Matemáticas y platonismo(s)

La Gace a de la Real Sociedad Española de Ma emá icas 2 (1999), 446–473. Ma emá icas y pla onismo(s) José Fe ei ós, Uni e sidad de Se illa Dice us ed [He mi e] muy bellamen e en su ca a del 27 de No .: “Los núme os (en e os) me pa ecen cons i ui un mundo de ealidades que exis en más allá de noso os con el mismo ca ác e de absolu a necesidad que las ealidades de la na u aleza, cuyo conocimien o nos es dado po los sen idos, e c.” Pe mí ame, sin emba go, el comen a io de que en mi opinión la ealidad y absolu a legalidad de los núme os en e os es mucho mayo que la del mundo senso ial. Y el que así sea, iene una única y muy simple azón, a sabe , que los núme os en e os exis en en el g ado sumo de ealidad, an o sepa ados como en su o alidad ac ualmen e in ini a, en la o ma de ideas e e nas in in ellec u Di ino. (Can o a He mi e, 30 No . 1895, en [Meschkowski 1983, 275]) No es ninguna exage ación deci que el pla onismo es hoy en día dominan e en ma emá icas. [Be nays 1935, 65] 1. Exis encia ma emá ica: lo dado y lo cons uido. 2. Exis encia ideal y consis encia. 3. G ados de pla onismo in e no. 4. Pla onismo ilosó ico o ex e no. El é mino ‘pla onismo’ ue p opues o po el g an lógico ma emá ico y colabo ado de Hilbe Paul Be nays [1935, 62–63] en una con e encia que impa ió en junio de 1934. Be nays p e endía da nomb e a un modo de azona que es ca ac e ís ico sob e odo del análisis y la eo ía de conjun os, aunque ambién del álgeb a mode na y la opología.1 Dicho modo de pensa consis e en lo siguien e: los obje os de la eo ía se conciben como elemen os de una o alidad o conjun o, que se conside a dada al ma gen de cualquie dependencia espec o al suje o pensan e, al ma emá ico. P ecisamen e po que los elemen os del conjun o se conciben como dados, una consecuencia de dicho modo de pensa es que pa a una p opiedad cualquie a (exp esable con los medios de la eo ía) puede deci se que o bien la poseen odos los elemen os del conjun o, o bien hay uno que no la posee. Que el pla onismo, en el sen ido de Be nays, es ca ac e ís ico de la mode na ma emá ica abs ac a, ue uno de los esul ados angibles y cla os del deba e sob e undamen os que u o luga a p incipios del siglo XX. Aunque ese deba e es amoso y bas an e bien conocido, a menudo se i ializa la cues ión, pensando que en úl imo é mino se educe a una elección muy subje i a en e a ias pos u as en en adas.2 A o unadamen e, hay mucho más de in e és en el p oblema de los undamen os de la ma emá ica, y a o unadamen e, ambién, el deba e de los años 20 y 30 dejó algunas conclusiones i mes. En un a ículo de 1971, el p opio Be nays [1976, 190] esal aba los siguien es esul ados posi i os y du ade os: 1 Como e emos, la denominación de “pla onismo” puede en ocasiones esul a con unden e, de mane a que amos a dis ingui aquí en e dos sen idos del é mino. 2 En especial el ópico ío de logicismo, in uicionismo y o malismo, que —dicho sea de paso— no esume en absolu o odas las opciones posibles pa a una undamen ación. 2 1. el conocimien o de las posibilidades de o malización de eo ías ma emá icas po medio del simbolismo lógico: ca ac e ís icas, alcance y lími es de la o malización; 2. el empleo de la o malización pa a conside aciones me a eó icas (consis encia, decidibilidad, comple ud, e c.) empleando medios es ingidos en Hilbe y en los amosos esul ados de Gödel, o odo el pode de la ma emá ica clásica en desa ollos pos e io es como la eo ía de modelos de Ta ski; 3. la con aposición en e un a amien o de la ma emá ica cons uc i o, basado en conside aciones p ocesuales, y el a amien o clásico, que se basa en conside a elaciones en e obje os asumidos como exis en es; el p ime en oque apa ece como complemen a io del segundo. Es a úl ima con aposición, de g an impo ancia, apun a ambién al ema undamen al que p e endemos discu i en es e abajo. En ealidad, con iene indica desde un comienzo que, en opinión del que susc ibe, se deben di e encia dos aspec os del p oblema del pla onismo, dos géne os de pla onismo. Encon a les un nomb e adecuado esul a complicado, pe o p opond emos aquí los siguien es: 1. Pla onismo in e no o p opiamen e ma emá ico: es ca ac e ís ico de las eo ías de la ma emá ica abs ac a o mode na, donde se hace e e encia a elemen os cuya exis encia se pos ula y se conside a dada (se pod ía habla de exis encia ideal). 2. Pla onismo ex e no, on ológico, o p opiamen e ilosó ico (una de las posibles in e p e aciones ilosó icas de la ma emá ica, en pa icula de la ca ac e ís ica an es señalada de la ma emá ica abs ac a): consis e en la a i mación de que los obje os ma emá icos gozan de una exis encia eal, análoga en algún sen ido (aunque di e en e) a la exis encia de los obje os ísicos. Las de iniciones an e io es son me amen e o ien a i as; los concep os cla e que apa ecen en ellas se explici a án más abajo. Nos in e esa á sob e odo acla a en qué sen ido puede a i ma se que la ma emá ica mode na es pla ónica en la p ime a acepción: acla a en qué consis e el pla onismo in e no. Empeza emos pues con es a cues ión, dejando pa a el inal los aspec os ilosó icos del pla onismo (suge idos po la ci a de Can o que dábamos al p incipio). Eso sí, me gus a ía deja cla o desde el p incipio que el pla onismo ex e no es sólo una de las in e p e aciones posibles del pla onismo in e no. 1. Exis encia ma emá ica: lo dado y lo cons uido. Es a dis inción no es aba en absolu o cla a en la ma emá ica del siglo XIX, y su acla ación ha sido una de las consecuencias más impo an es y du ade as del deba e de undamen os. En oda eo ía ma emá ica se conside an dados cie os obje os, elaciones y unciones, mien as que o os son de inidos, es deci , cons uidos lógicamen e a pa i de aquéllos. En a i mé ica elemen al, po ejemplo, se pa e del 0 y la unción suceso , así como las unciones + (adición) y · (p oduc o); o as unciones, elaciones o p opiedades (p.e., la p opiedad de se p imo) son de inidas o cons uidas. En geome ía, se oman como dados los pun os, ec as y planos, así como algunas elaciones (p.e., “es a sob e” o “es a en e”) y o as elaciones más complejas son de inidas. Es e p oceso de de inición o cons ucción lógica consis e en la aplicación i e ada de unas cuan as ope aciones lógicas elemen ales sob e aquella base dada. A es e espec o, hay que esal a que la u ilización de cuan i icado es, especialmen e del exis encial ∃x, indica que se conside an dados los obje os que pe enecen al dominio de cuan i icación. Si en geome ía empleamos el axioma que dice: La Gace a de la Real Sociedad Ma emá ica Española 2 (1999), 446–473. 3 Dados dos pun os A y C, exis e al menos un pun o B que es á sob e la ec a AC, al que C es á en e A y B, es amos empleando el cuan i icado exis encial ∃x con espec o al dominio de pun os; asumimos dada una o alidad de pun os.3 Como e emos, en algunos casos se aplica el cuan i icado ∃x de al mane a que pe mi e pos ula la exis encia de un obje o que no puede cons ui se median e los obje os y elaciones básicos de la eo ía. Es o es lo que ocu e en el Axioma de Elección, de ahí que su empleo causa a polémicas en 1904. Fue p ecisamen e la discusión con espec o al Axioma de Elección, y cues iones simila es, lo que lle ó a los ma emá icos a oma conciencia de la di e encia cla e en e lo dado y lo cons uido. La ma emá ica euclidea, y casi odas las con ibuciones hechas has a el XVIII, endían al en oque de lo cons uido. Los pos ulados de Euclides no cons i uyen un sis ema axiomá ico en el sen ido mode no, sino que, sob e odo, es ipulan los medios de cons ucción de igu as admi idos ( undamen almen e, la idea de una geome ía de egla y compás, de ec as y cí culos); quizá pod ía deci se que el único axioma en el sen ido mode no es p ecisamen e el 5º, el de las pa alelas. La deducción en Euclides no es sólo ob ención de consecuencias lógicas, sino que ales consecuencias se basan en la elabo ación de cons ucciones con los medios admi idos. Es a es una de las azones de que a Euclides se le ‘escapa an’ axiomas básicos de la geome ía, en pa icula odo lo ela i o a cong uencia de segmen os y a la con inuidad de ec as y cí culos. También el cálculo del XVIII endía a en a iza lo cons uido, como puede e se sob e odo en el desa ollo de la noción de unción. En esa época, se concebía una unción como una exp esión analí ica que in oluc a a iables, cons an es, y cie as ope aciones conocidas (+, √, sen, log). Los elemen os en que se basaba la cons ucción e an aquí los núme os eales, las le as del al abe o, y unas pocas ope aciones o unciones elemen ales. Cla o es á que se admi ían las unciones dadas a a és de se ies in ini as, pe o los miemb os de la se ie enían siemp e dados a a és de una ley de cons ucción. Se asumía, po descon ado, que oda unción se á con inua en el sen ido mode no; an asumido es aba que, de hecho, se en endía po unción ‘discon inua’ aquella que (siendo con inua en el sen ido mode no) obedece dis in as leyes o exp esiones analí icas en su eco ido. Como p obablemen e sabe el lec o , hacia mediados del XVIII u o luga una amosa polémica ace ca de la o ma analí ica de ep esen a el mo imien o de una cue da ib an e (po ejemplo, la cue da de un iolín al pulsa la). Eule se a e ió a suge i que, en casos como es os, se debían acep a incluso unciones (con inuas) dadas po una g á ica azada lib emen e, aun si no sabemos ep esen a las median e una exp esión analí ica. Comenzaba a plan ea se la cues ión de si son acep ables las unciones de inidas en é minos pu amen e abs ac os, un ema que esu gi ía con el es udio de las se ies de Fou ie en el XIX. En es a época, Di ichle p opuso una de inición pe ec amen e abs ac a de unción, de mane a que su nomb e quedó asociado a la idea de unción a bi a ia.4 Su alumno Riemann comenzó a amplia el análisis a las unciones abs ac as, especialmen e unciones discon inuas; pe o o os, no ablemen e Weie s aß, pensaban que e a absu do hace ma emá ica con unciones que no sabemos ep esen a analí icamen e. Lo que es o indica es que ue el desa ollo de una nue a o ma de hace ma emá ica, la ma emá ica abs ac a, lo que as ocó el adicional esquema de lo cons uido en a o de un nue o plan eamien o, el de lo dado. Puede deci se, al modo de Be nays, que la ma emá ica abs ac a se plan ea como una in es igación de elaciones que se dan en e obje os o elemen os 3 Aunque no necesa iamen e asumimos que es é dada como un conjun o: en eo ía de conjun os axiomá ica se asumen dados los conjun os, pe o es os no o man a su ez un conjun o (uni e sal) sino en odo caso una clase, en el sen ido écnico del é mino. 4 Di ichle dio el ejemplo de la unción (que, desde su pun o de is a, no e a in eg able) ƒ(x) = 0 pa a x acional, ƒ(x) = 1 pa a x i acional. Se a a de una unción pa a la que no se conocía ep esen ación analí ica, aunque cua en a años más a de (en 1870) He mann Hankel mos ó cómo ep esen a la. 4 que se asumen exis en es con independencia de nues o pensamien o. En seguida a a emos de acla a en qué consis e es o. Pe o an es con iene deci que, pese a odo, la ma emá ica adicional ambién incluía elemen os no cons uc i os, y aquí sí que se puede habla de lo dado en el sen ido pleno. Pa a la ma emá ica adicional, los núme os exp esaban magni udes y p opo ciones en e magni udes; los e e en es úl imos de la ma emá ica (esas magni udes) no e an obje os ma emá icos sino obje os ísicos. Po an o, e an algo dado en el sen ido pleno: olúmenes de agua, dis ancias en e luga es del espacio ísico, e c. Se asumía, ambién, que el espacio ísico es con inuo, y de es a mane a — ía p opo ciones— en aba en juego el con inuo, la o alidad de los núme os eales. Los núme os eales no pueden cons ui se median e ope aciones a i mé icas a pa i de los na u ales; pa a de ini  pa iendo de  se necesi an ambién conjun os in ini os a bi a ios, es deci , se necesi a ecu i al en oque no cons uc i o, abs ac o. Pa a abaja con  ambién podemos comenza a la mane a de Hilbe : dando un sis ema axiomá ico que de ine un cue po o denado, a quimediano y comple o. Es e en oque se basa, p ecisamen e, en asumi como exis en e un cie o conjun o de elemen os, es ipulando cuáles son las elaciones que se dan en e ellos (cuál es su es uc u a). A es o se e e ía Be nays al deci que la ma emá ica mode na es in es igación de elaciones que se dan en e obje os asumidos como exis en es independien emen e del ma emá ico. Tomemos como ejemplo el axioma de comple ud de , que se puede o mula , al modo de Weie s aß y Can o , como sigue: Dada una sucesión in ini a de in e alos ce ados y encajados de elemen os de , exis e al menos un núme o eal que pe enece a odos esos in e alos (e.d., su in e sección es no acía). El axioma es ipula la exis encia de cie os núme os eales en cie as condiciones. Sob e su base se puede demos a , po ejemplo, que exis e co a supe io pa a un conjun o in ini o y aco ado de núme os eales. Pe o esos núme os eales no pueden, en gene al, de ini se po cons ucción a i mé ica a pa i de los núme os na u ales. Si no acep á amos los conjun os a bi a ios, pe de íamos la comple ud de  y el eo ema de la co a supe io ; es o es lo que ocu e cuando se a a de de ini los eales pa iendo de  y las ope aciones a i mé icas ( e más abajo, §3). Siguiendo es a línea de azonamien o, el p oblema que es amos a ando puede e o mula se en é minos de la noción de exis encia. Pa a el ma emá ico cons uc i o, exis e aquello que podemos de e mina de una mane a conc e a y e ec i a, lo que podemos cons ui paso a paso. Los núme os na u ales pueden a a se como me os símbolos que se ob ienen, po ejemplo, po adjunción: esc ibimos |, ||, ||| y así sucesi amen e; de modo que los na u ales son admisibles (aunque no la o alidad in ini a de ellos). A con inuación, podemos de ini las ope aciones a i mé icas habi uales de una mane a ambién admisible, y podemos a a de econs ui la ma emá ica clásica median e cons ucciones e ec i as a pa i de dicha base. Es e in en o se puede lle a bas an e lejos, pe o nunca has a ecupe a la noción del con inuo, de un conjun o  comple o. En el caso del ma emá ico ‘clásico’ o abs ac o, la noción de exis encia se oma en o o sen ido. El signo lógico ∃x se emplea pa a especi ica cie as p opiedades del conjun o o la es uc u a a la que se e ie en los axiomas, sin que ‘exis i ’ implique ninguna es icción cons uc i is a. Donde Euclides pos ulaba que podemos uni dos pun os cons uyendo una ec a, Hilbe es ablece el axioma de que, dados dos pun os, exis e una ec a que los une. ‘Exis e’ en el conjun o de las ec as, una o alidad que se oma como dada de an emano: de nue o emos que la endencia undamen al del pla onismo es conside a los obje os de que habla la eo ía como exen os de cualquie dependencia espec o al ma emá ico. La única limi ación a la lib e pos ulación — esal ada ya po au o es como Can o , Dedekind y Hilbe — es que no a en emos con a la lógica, que el sis ema esul an e sea no con adic o io, consis en e. Veamos con más calma es a cues ión. La Gace a de la Real Sociedad Ma emá ica Española 2 (1999), 446–473. 5 2. Exis encia ideal y consis encia. El pun o de is a cons uc i is a comenzó a se e inado y acla ado cuando el ascenso de la nue a ma emá ica abs ac a esul aba ya e iden e. Es o sucedía en Alemania hacia 1870: el análisis de Di ichle y Weie s aß, la eo ía de unciones de Riemann, o la eo ía de núme os algeb aicos de Dedekind, mos aban cla amen e una endencia abs ac a. En eacción, el in luyen e ma emá ico be linés K onecke comenzó a plan ea un cla o y ambicioso (aunque demasiado es ic o) p og ama cons uc i is a. K onecke echazaba la noción de conjun o, que se había empleado en di e sas de iniciones de los núme os eales o en la mencionada eo ía de Dedekind, oponiéndose al p incipio de comple ud de  asumido po Weie s aß. P e endía educi odo, en ma emá ica pu a, a los núme os na u ales y las ope aciones con ellos; po es os mo i os, c i icó abie amen e a Weie s aß, a Dedekind y a Can o . An e ello, Can o esc ibió en un amoso a ículo [1883, 182] que el ma emá ico debe se comple amen e lib e en el desa ollo de sus ideas, y que las únicas es icciones consis en en que dichas ideas es én lib es de con adicción, bien de inidas, y que en en en elaciones o denadas con las nociones ma emá icas p e iamen e acep adas. Como se e, no es amos oda ía en el simple equisi o de la consis encia, pe o sí muy ce ca. Can o p esen ó la cues ión en é minos que son in e esan es en el con ex o de es e abajo, ya que nos ecue dan la dis inción en e pla onismo in e no y ex e no: el ma emá ico a iende única y exclusi amen e a la “ ealidad inmanen e” de sus concep os, es deci , a su acep abilidad en el dominio del pensamien o pu o; se desp eocupa comple amen e de la “ ealidad ansien e” de los obje os ma emá icos, es deci , de su exis encia eal o su capacidad de ep esen a elaciones o p ocesos del mundo ex e no [Can o 1883, 181]. Es a es una mane a muy adecuada de p ecisa el en oque que, po esos mismos años, de ende ían homb es como Dedekind y Hilbe .5 Pocos años después, Dedekind [1888, 105] espondía a las c í icas que le había di igido K onecke diciendo que no le pa ecían jus i icadas las limi aciones que és e p e endía impone a la lib e o mación de concep os. En pa icula , a i maba que un conjun o es á bien de e minado cuando se ha p ecisado un c i e io que es ablezca si una cosa cualquie a pe enece o no al conjun o, comple amen e al ma gen de si conocemos un p ocedimien o e ec i o que pe mi a oma esa decisión en cada caso conc e o. El conjun o de los núme os eales ascenden es es á bien de inido, aún si hay núme os i acionales pa a los que no ha podido de e mina se si son ascenden es o no. (Se debe deci que el plan eamien o de Dedekind e a ingenuo, en la medida en que los conjun os pa adójicos de Can o y Russell es án pe ec amen e de inidos en su sen ido.) Además, bas a una demos ación de consis encia lógica pa a que un concep o (en pa icula , el de conjun o in ini o) sea admisible en ma emá ica.6 Algún iempo después, Hilbe [1899] aplicaba ese en oque abs ac o al a amien o de la geome ía y de la eo ía de núme os eales. Al lee su ob a sob e geome ía, el g an lógico F ege se so p endió de que Hilbe es u ie a dispues o a llama ‘pun os’, ‘ ec as’ y ‘planos’ a es conjun os a bi a ios de cosas, siemp e y cuando la es uc u a de esos conjun os sa is icie a los axiomas geomé icos. Más aún, F ege no comp endía cómo Hilbe p e endía es ablece la acep abilidad de los axiomas geomé icos en base a demos aciones de consis encia. Pa a F ege, los axiomas euclideos e an e dades ace ca del espacio in ui i o (en el sen ido de Kan ), y eso bas aba pa a hace supe lua una demos ación de consis encia: es e iden e (aquí en sen ido es ic o) que exis e un modelo, y po an o la eo ía no puede se con adic o ia. Pa a Hilbe , en cambio, la demos ación de consis encia es ablecía la exis encia ma emá ica: Si … se puede demos a que los a ibu os con e idos a una noción no pueden, po aplicación de un núme o ini o de deducciones lógicas, conduci nunca a una con adicción, di é que se ha demos ado la exis encia ma emá ica de la noción en cues ión, po ejemplo la exis encia de un núme o o de una 5 Hay que deci que, inmedia amen e, Can o iba más allá, po que sus con icciones ilosó icas y me a ísicas le hacían pensa que odo lo que exis e inmanen emen e iene ‘ ealidad ansien e’ ( e §4). 6 Ve la ca a a Ke e s ein de 1890 en Dedekind [1998]. No en ano Dedekind pensaba que la ma emá ica pu a es una pa e de la lógica, lo que le con ie e —jun o a F ege— en pad e del logicismo. 6 unción que cumplen cie as condiciones … [o] … la exis encia ma emá ica del conjun o de odos los núme os eales, es deci , del con inuo. [Hilbe 1900, ] La idea de Hilbe es jus amen e céleb e, y o ma un pila ideológico —po así deci — de la ma emá ica mode na, aunque no de la p ác ica ma emá ica: las demos aciones de consis encia han esul ado inalcanzables en los casos de in e és. Fue Hilbe mismo el que, un cua o de siglo más a de, in en ó zanja las dispu as en o no a la ma emá ica abs ac a con una jugada genial: con i iendo en p oblema ma emá ico la p opia cues ión de la exis encia de las nociones ma emá icas. Admi amos que la consis encia bas a pa a ga an iza la exis encia ma emá ica, y admi amos ambién que las nociones ma emá icas pueden se codi icadas median e eo ías o males. En onces, el p oblema de la consis encia se con ie e en un p oblema combina o io, analizable median e una in es igación ma emá ica de la noción de demos ación o mal. La me ama emá ica, la eo ía de la demos ación, bas a á pa a es ablece la consis encia de las dis in as eo ías ma emá icas axioma izadas, y po an o (po el p incipio de Hilbe ) pa a dic amina la exis encia de las espec i as es uc u as abs ac as. Como odo el mundo sabe, la a iesgada apues a de Hilbe acasó. Los medios combina o ios y ini a ios no son su icien es ni siquie a pa a es ablece la consis encia de la a i mé ica de Peano,7 y nadie iene ni la meno idea de cómo se pod ía demos a la consis encia de un sis ema axiomá ico pa a los núme os eales. Pe o es o no ha impedido que la apelación a la consis encia siga o mando pa e del c edo undamen al del ma emá ico mode no, aunque sea al ni el de las buenas in enciones y la espe anza de que, algún día, alguien esol e á la cues ión. Todo es o nos lle a al ema de la posición o malis a, sob e la que ya es ho a de deci algunas palab as. Mien as esc ibo es e abajo, soy plenamen e conscien e de que la mayo ía de los ma emá icos, an e una discusión sob e emas de es e ipo, se mani ies an como o malis as (po más que no pocos sien an algún males a an e las limi aciones de ese plan eamien o). Es o hab á enido como consecuencia que muchas de las o mulaciones an e io es les hayan c eado cie a incomodidad. De acue do con el o malismo es ic o, oda eo ía ma emá ica es (y sólo es) una combinación de símbolos ca en es de signi icado: odo consis e en símbolos, eglas pa a la o mación de exp esiones (bien o madas) y eglas pa a la de i ación de exp esiones (incluyo aquí axiomas y eglas de in e encia). Las exp esiones no ienen un e e en e ex e no, no ienen signi icado; en odo caso, los símbolos ma emá icos son au o- e e en es. El o icio del ma emá ico es me amen e la deducción o mal.8 Aho a bien, el o malismo pu o y du o no esul a adecuado ni como una espues a al p oblema de los undamen os, ni como una iloso ía de la ma emá ica. No es adecuado como undamen ación, po que la pied a de oque undacional —en es e plan eamien o— es y sólo puede se la demos ación de consis encia. De mane a que no disponemos de una undamen ación pa a el análisis, ni pa a el álgeb a abs ac a, e c., ni siquie a pa a la a i mé ica. No impo a, se di á, po que esul a cla o que la a i mé ica de Peano o la eo ía de los núme os eales no an a da luga a con adicción: una la ga expe iencia y un al o g ado de amilia idad con ellas lo a alan. Pe o si la uen e de nues a con icción ace ca de la consis encia no es á en los p opios mé odos o males, esul a cla o que el o malismo no alcanza a se un pun o de is a au osu icien e en undamen ación de la ma emá ica. Como mínimo, hab ía que complemen a lo con algún o o elemen o que die a cuen a de las con icciones ma emá icas que no su gen del pu o juego o mal. Es o es lo que ocu e en el caso de algunos o malis as conscien es, como puede se Cu y [1951], que complemen a las ideas o malis as con una cie a in uición in o mal. Aho a bien, si acep amos es a in uición como uen e de nues as ideas ace ca de es uc u as como las de  y , es amos ab iendo la pue a al pla onismo in e no. 7 La consis encia de la a i mé ica de Peano solo se ha podido es ablece (Gen zen) empleando inducción ans ini a (limi ada, eso sí, a o dinales nume ables) o (Gödel) suponiendo consis en e la a i mé ica in uicionis a. 8 Todo el mundo sabe que el o malismo se elaciona con el g an nomb e de Hilbe , aunque lo cie o es que Hilbe no e a o malis a, según la de inición an e io . Lo que en Hilbe e a un medio pa a demos a la consis encia, ha sido con e ido po o os en un in, en odo lo que cabe deci ace ca de la ma emá ica. La Gace a de la Real Sociedad Ma emá ica Española 2 (1999), 446–473. 7 Los p oblemas del o malismo no acaban ahí. Se a a de un en oque muy insa is ac o io pa a da cuen a del conocimien o ma emá ico y su desa ollo, es deci , como iloso ía de la ma emá ica. Es o se debe, an e odo, a que no hace comp ensible ni el desa ollo de la ma emá ica, ni la p ác ica ac ual. Comenzando po la p ác ica ma emá ica, és a in oduce oda una se ie de elemen os que es án lejos de ep esen a simplemen e una ap oximación o mal a las eo ías. Cuando el ma emá ico en ac i o habla de la a i mé ica de Peano (AP), no es á desa ollando un pu o juego o mal, sino azonando sob e una cie a es uc u a, un modelo de los axiomas. Quizá es o se ía compa ible con el o malismo si se es u ie a conside ando odos los posibles modelos del sis ema, pe o po supues o el ma emá ico en ac i o no es á pensando en modelos no es ánda de AP (desde un pu o o malismo, és os es án exac amen e al mismo ni el que el modelo p e endido). Lo mismo se aplica a la eo ía de : es el p oblema de la no ca ego icidad de las eo ías axioma izadas en lógica de p ime o den.9 La misma noción de ini ud (p o o ipo de concep o que odos, clásicos o cons uc i is as, c eemos cap a in ui i amen e) no es o malizable en p ime o den. El ma emá ico en ac i o es á habi uado a o mula las eo ías que le in e esan en el ma co de la eo ía de conjun os, pe o no abaja den o de la eo ía de conjun os axiomá ica; es o le lle a ía de nue o a la exis encia de modelos no es ánda , a la pa adoja de Skolem, e c. [(Ve los es ue zos de En iques y Mazu kie icz po comp ende es os asun os en las con e saciones de Zu ich, Skolem [1970], 477–82).] O a di icul ad cla ísima que encuen a el o malismo es que hace incomp ensible la his o ia de la ma emá ica. El impe a i o o malis a, pa a la p ác ica ma emá ica, se ía: es udia odos los sis emas o males consis en es. Pe o los ma emá icos nunca se han guiado po esa máxima, nunca han es udiado sis emas a bi a ios, sino sólo sis emas in e esan es en conexión con el conocimien o ma emá ico p eexis en e. Ni siquie a en la época del o malismo se han in es igado sis emas o males a bi a ios: sólo se es udian sis emas que su gen de mane a na u al a pa i de p oblemas, esul ados y eo ías p eceden es; sólo se es udian cie as es uc u as de in e és ma emá ico, en e las in ini as es uc u as posibles. Pe o una iloso ía de la ma emá ica ¿no debe ía acla a en qué puede consis i eso del ‘in e és ma emá ico’? (y el p oblema de qué es ‘in e esan e’ nos lle a ía de nue o a cues iones ce canas a la espinosa ‘in uición’). Además, llama ‘ma emá icos’ a los au o es de an es del siglo XX se ía, es ic amen e hablando, un abuso lingüís ico. El en oque o malis a no pe mi e en ende a qué se ha llamado ‘ma emá ica’ an es de (digamos) 1920, ni qué es lo que ha guiado el desa ollo de las ideas de los ‘ma emá icos’ desde G ecia. No se en iende ampoco po qué qué pasa si se aplica el plan eamien o o malis a habi ual espec o a CH a, po ejemplo, el axioma de comple ud o el axioma de inducción an es de 1850?? Es amos an e la si uación desc i a po Dieudonné ( e ci a al p incipio): el ma emá ico en ac i o es pla ónico en días de abajo y o malis a los domingos. Dicen Da is y He sh [1982, 247] que el pla onismo es la e de (casi) odos los ma emá icos, pe o que se a a de una eligión ocul a eje ci ada en p i ado. El en oque abs ac o y el plan eamien o o malis a gana on la ba alla, la dispu a de los undamen os, no po que se demos a a ehacien emen e su alidez, sino po que ga an izaban mejo la libe ad de acción del ma emá ico. El o malismo es una ideología muy adecuada pa a el ma emá ico abs ac o: le ga an iza libe ad en la pos ulación de obje os y es uc u as, y sob e odo le asegu a una au onomía o al en la decisión ace ca de lo que es acep able y lo que no en el campo de la ma emá ica. El o malismo es, así, la ideología más con enien e pa a los 9 Es o iene o a consecuencia: una demos ación de consis encia pa a  ga an iza ía la exis encia de algún modelo de los axiomas, pe o és e no iene po qué se el modelo p e endido, po que los axiomas en p ime o den no ca ac e izan  ca egó icamen e. (Ag adezco a Ignacio Jané llama mi a ención sob e es e pun o, cuyas consecuencias pod ían lle a se más lejos, aunque no lo ha emos aquí.) 8 miemb os de una comunidad ma emá ica au ónoma, pa a los ep esen an es de una disciplina que p e ende se plenamen e au osu icien e.10 Pe o ol amos a la idea de Can o de una exis encia inmanen e; según es a, odo lo que exige el ma emá ico es la acep abilidad en el dominio del pensamien o pu o. Ya en [1872, 85] decía Dedekind que aún si supié amos a ciencia cie a que el espacio ísico ( eal) es discon inuo, “nada nos pod ía impedi , si así lo quisié amos, hace lo con inuo en el pensamien o ellenando sus lagunas”. La acep abilidad de nociones como la del in ini o o del con inuo es independien e, en opinión de es os au o es, de si exis e algo eal que sea con inuo. En es a línea, se pod ía a a de comp ende la noción de exis encia ma emá ica empleada en la ma emá ica mode na (§1) como una pos ulación de obje os en cuan o admisibles en el eino del pensamien o. El p opio Hilbe , en sus esc i os sob e undamen os, en a izaba que la ma emá ica mode na in oduce con inuamen e elemen os ideales. Al deci es o enía ejemplos conc e os en men e, como los pun os en el in ini o de la geome ía p oyec i a o los núme os ideales de Kumme . Pe o apun aba ambién a ese plan eamien o según el cual el dominio de la ma emá ica es el eino del pensamien o pu o. Ze melo, que ue su discípulo, a i mó en el mismo espí i u [1930, 43] que la consis encia de los axiomas del sis ema ZF en aña “la exis encia (ma emá ica, es deci , ideal)” de modelos pa a la misma. En la adición de Dedekind, Can o y Hilbe , exis encia ma emá ica no es más que exis encia ideal. Es e es el plan eamien o que mo i ó la equi alencia hilbe iana consis encia ↔ exis encia: po que en el dominio del me o pensamien o es admisible odo aquello que cabe pensa sin con adicción. El p oblema ilosó ico undamen al en elación con la ma emá ica mode na o abs ac a se ía acla a qué quie e deci eso y, sob e odo, cómo algo me amen e pos ulado puede p esen a se como obje i o. Elemen os hipo é icos o de cons ucción simbólica en la eo ización humana. Así que, a in de cuen as, el ma emá ico abs ac o se a oga la máxima libe ad a la ho a de asumi obje os y es uc u as como exis en es independien emen e de nues as cons ucciones (y po an o, independien emen e de lo que pod íamos de ini paso a paso, de modo e ec i o, a pa i de un dominio limi ado de obje os y elaciones dados, p.e. la a i mé ica elemen al). Vol emos una ez más a la idea de Be nays: la ma emá ica mode na in es iga elaciones que se dan en e obje os pos ulados, asumidos como exis en es independien emen e de nues as cons ucciones. Desde el pun o de is a his ó ico, podemos e esa ca ac e ís ica como una he encia del elemen o no-cons uc i o que había en la ma emá ica adicional. Solo que an iguamen e se enía la c eencia (que muchos cali ica ían de me a ísica) de que exis en magni udes con inuas en la ealidad ísica, mien as que aho a pocos piensan (o pocos se a e en a deci ) que haya una elación inmedia a en e la ma emá ica y la ealidad. 3. G ados de pla onismo in e no. En ealidad, la cues ión del pla onismo in e no no se plan ea en é minos de odo o nada. Caben múl iples posiciones que desa olla ían una gama de comp omisos pla ónicos c ecien es [Be nays 1935]. Los polos ex emos se ían un cons uc i ismo adical, al modo de K onecke y B ouwe , que elimina cualquie elemen o pla ónico; y un pla onismo ex emo, que pos ula ía un mundo ideal con eniendo odos los obje os y elaciones de los que pod ía ocupa se la ma emá ica. La p ime a posición es de endible, aunque limi a e iblemen e las posibilidades eó icas, pe o la segunda es inadmisible, al como mos a on las pa adojas (en especial la de 10 A es e ni el, pues, el de explica po qué (his ó icamen e) ha iun ado el o malismo, me pa ece muy ace ada una explicación sociológica. Pe o con iene deci que, en gene al, es oy muy lejos del sociologismo con espec o a la ma emá ica o la ciencia en gene al. La Gace a de la Real Sociedad Ma emá ica Española 2 (1999), 446–473. 9 Russell y Ze melo).11 Si acep amos los concep os habi uales de conjun o y unción en oda su gene alidad, no puede habla se de una o alidad que aba que odos los obje os ma emá icos, pues es o nos lle a a una con adicción. Es o hizo posible que Ze melo [1908] con i ie a la pa adoja mencionada en una demos ación igu osa de la no exis encia de un conjun o uni e sal. Aho a bien, las pa adojas solo mues an la inadmisibilidad del pla onismo ex emo. Fue a de es a limi ación, cualquie géne o de pla onismo es (has a donde sabemos) admisible en el sen ido de no lle a a con adicción. Los ipos de comp omiso pla ónico más impo an es son, esencialmen e, solo dos [Be nays 1935, 63–64]: 1. El supues o más débil consis e en admi i el in ini o ac ual en su o ma más elemen al, la o alidad de los núme os na u ales, como algo que goza de exis encia obje i a. Al hace lo, nos emos lle ados a admi i el p incipio de e cio excluso pa a los na u ales: dada una p opiedad a i mé ica, o bien la p opiedad se aplica a odos los na u ales, o bien exis e un núme o de  que no la cumple. (Es e p incipio no esul a na u al si no se asumen como p eexis en es, en algún sen ido, odos los núme os.) 2. El supues o más ue e consis e en la admisión de las nociones de conjun o y unción al como se usan en la ma emá ica mode na: lo que suele llama se las nociones abs ac as, o la idea de conjun os y unciones a bi a ios. Se a a, po ejemplo, de habla de conjun os numé icos (subconjun os de ), o sucesiones de núme os, o unciones ϕ:  → , comple amen e al ma gen de posibilidades e ec i as de de inición. Las leyes de o mación y las de iniciones que se dan pa a ejemplos pa icula es de conjun os o unciones se con emplan, desde es a pe spec i a, sólo como mé odos de de e minación de obje os que exis en independien emen e. Po supues o, caben o as opciones, habi ualmen e explo adas solo po expe os en undamen os: la misma opción (2.) que acabo de señala no exige adop a el sis ema Ze melo– F aenkel de eo ía de conjun os, sino que (como ha señalado Dieudonné) pod íamos elimina el Axioma de Reemplazo y debili a el de Elección dejándolo en su e sión nume able. Po o o lado, se han p opues o di e sos sis emas oda ía más débiles (po ejemplo el Σ de Wang), y los expe os en eo ía de conjun os dedican sus es ue zos a explo a comp omisos mucho más ue es (axiomas de in ini ud ue es, g andes ca dinales). Pe o es as opciones al e na i as no ienen, de momen o, g andes implicaciones pa a la p ác ica habi ual, a di e encia de las dos que hemos esal ado, siguiendo a Be nays [1935]. En el momen o en que Be nays p esen ó es as ideas en su cla i icado a ículo, ya exis ían buenos ejemplos de las di e sas pos u as mencionadas. K onecke había plan eado, y B ouwe desa ollado, el pun o de is a cons uc i is a es ic o, que a a la noción de in ini o en el sen ido po encial, y nunca en el ac ual; Dedekind y Russell, mien as an o, daban ejemplos de pla onismo ex emo con su ap oximación ingenua a la eo ía de conjun os. La in e esan e posición esbozada en (1.) ue, de hecho, adop ada po He mann Weyl en su lib o Das Kon inuum [1918]. Weyl aplicaba la lógica clásica cuan i icando sob e el dominio de los na u ales, pe o se negaba a admi i subconjun os in ini os a bi a ios de . Su a gumen o e a que la ca ac e ís ica p incipal de lo in ini o es se inexhaus ible, y po eso mismo no puede deci se que exis a una analogía en e lo ini o y lo in ini o. Dado un conjun o ini o, podemos azona asumiendo subconjun os a bi a ios suyos, po que siemp e es posible (en p incipio) o ma dichos subconjun os seleccionando elemen o po elemen o. Es o es, jus amen e, lo que según Weyl (y o os au o es) no se puede hace en el caso in ini o, de ahí que sólo podamos habla de un subconjun o in ini o de  cuando disponemos de una p opiedad que lo de ina. Y pa a o ma p opiedades o elaciones debemos pa i de las p opiedades y elaciones básicas de la a i mé ica. 11 Se a a de la con adicción a que lle a admi i la exis encia de un conjun o de odos los conjun os que no pe enecen a sí mismos, Z = {x : x ∉ x}. Es ácil e que, en ese caso, Z∈Z si y solo si Z∉Z. Ze melo descub ió la con adicción independien emen e de Russell (y algo an es), aunque ue és e quien la publicó en 1903. 16 Re e encias Be nays, P. 1935. Su le pla onisme dans les ma héma iques, L’Enseignemen Ma héma ique 34, 52–69. También en [Be nays 1976] y e sión inglesa en P. Benace a & H. Pu nam, eds., Philosophy o Ma hema ics: selec ed eadings, Camb idge Uni e si y P ess, 1983. — 1976. Abhandlungen zu Philosophie de Ma hema ik, Da ms ad , Wissenscha liche Buchgesellscha . Can o , G. 1883. G undlagen eine allgemeinen Mannig al igkei sleh e, en [Can o 1932], 165–208; aducción inglesa en [Ewald 1996], ol.2. — 1895. Bei äge zu Beg ündung de ans ini en Mengenleh e, en [Can o 1932], 282–351. — 1932. Gesammel e Abhandlungen ma hema ischen und philosophischen Inhal s, Be lin, Sp inge ; eimp esión: Hildesheim, G. Olms, 1966. Cu y, H. B. 1951. Ou lines o a Fo malis Philosophy o Ma hema ics, Ams e dam, No h-Holland. Da is, P. J. & R. 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Los ‘obje os’ ma emá icos son dependien es de los obje os ma e iales y, en cie o sen ido, son me as posibilidades abs ac as (es uc u as posibles e imposibles). Así, Pu nam habla de ealismo sin pla onismo, de algo eal y obje i o pe o no exis en e; F ege hablaba, in e samen e, de obje os ma emá icos, pe o en el sen ido de algo obje i o y no eal. Recu iendo a ese ipo de base na u alis a, y acep ando el ca ác e hipo é ico —pe o no po ello a bi a io— de buena pa e de los cons uc os ma emá icos, pa ece posible elabo a una epis emología compa ible con algunas in uiciones del pla onismo, pe o que supe a sus p oblemas. En e es os p oblemas, uno de los más amosos es el llamado p oblema del acceso, o “desa ío de Benace a ”: si pos ulamos la exis encia de en idades ma emá icas subsis en es, nues o conocimien o de ellas, nues o “acceso epis emológico”, pa ece inexplicable. Po supues o, es o sólo es un incon enien e pa a e siones ue es del pla onismo, y ni siquie a es á cla o has a qué pun o las p ime as ideas de Gödel (en 1944) dan pie a semejan es pegas. En lo dicho has a aquí, los conocedo es de Quine hab án encon ado elemen os amilia es. De hecho, Maddy basa su pla onismo de comp omiso en ideas de Quine. La di e encia más no able en e los pun os de is a de Quine y Gödel es iba en la amosa esis holis a que Quine ha de endido desde 1952. Quine p esupone que, apa e cues iones de simplicidad y simila es, el único c i e io posible pa a juzga una eo ía es el apoyo empí ico, aun en el caso de que se a e de una eo ía ma emá ica. Gödel, en cambio, acep a algún ipo de “e idencia” ca ac e ís icamen e ma emá ica, a la que denomina in uición. Esa di e encia en e Gödel y Quine implica que el segundo elimine la adicional idea de la especi icidad del conocimien o ma emá ico. El mo i o úl imo se debe encon a , pues, en que la epis emología de Quine iene como base un empi ismo adical.23 23 “Del mismo modo que la ma emá ica ha de educi se ... a la lógica y la eo ía de conjun os, así el conocimien o na u al ha de basa se de alguna mane a en la expe iencia sensible” [Quine 1968, 95]. Es un p incipio “i eba ible” que “la e idencia, cualquie a que és a sea, que hay pa a la ciencia, es e idencia senso ial” (100); y la ma emá ica no es más que una pa e del odo de la ciencia.