Teorema de Picard

Universidad de Sevilla Facultad de Matem´aticas Departamento de An´alisis Matem´atico Trabajo Fin de Grado: Teorema de Picard Autora: Raquel Le´on Barrado Tutora: Madel Carmen Romero Moreno 20 de junio de 2018 Abstract. In this work, we study Picrad’s theorems about the range of an analytic function. The first approach to Picard Theorem is the Casorati-Weierstrass Theorem which ensures that the range of an analytic function near an essential singularity is dense in C. In Chapter 3, we prove Little Picard Theorem: if a function fis entire and non constant, the set of values that fassumes is either the whole complex plane or the plane minus a single point. In Chapter 4, we prove Great Picard Theorem: if an analytic function fhas an essential singularity at a point z0then at any punctured neighborhood of z0,f(z) attains every finite complex value with at most one possible exception. 3 4 ´ Indice general 1. Introducci´on. 7 2. Conceptos b´asicos. 9 2.1. Funci´on holomorfa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2. Ceros. ................................ 13 2.3. Singularidades aisladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3.1. Tipos de singularidades aisladas . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4. Relaci´on con series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.5. Teorema de Extensi´on de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.6. Funciones meromorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.7. Teorema de Casorati-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3. Teorema peque˜no de Picard 21 3.1. Principio de Reflexi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2. Prolongaci´on a lo largo de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3. Teorema de monodrom´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.4. Funci´onmodular .......................... 30 3.5. Teorema peque˜no de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4. Teorema grande de Picard. 43 4.1. Funci´on modular el´ıptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5 6´ INDICE GENERAL 4.2. Criterio fundamental de normalidad . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.3. Teorema grande de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Cap´ıtulo 1 Introducci´on. El teorema de E. Picard [6] fue una revelaci´on en su tiempo y caus´o un gran inter´es en la investigaci´on de la Teor´ıa de funciones. La prueba original, usaba la funci´on modular el´ıptica, la cual est´a conectada con el Criterio Fundamental de Normalidad, que es empleado en la prueba actual. In 1986, Borel di´o una demostraci´on elemental del Teorema de Picard, una prueba en la cual no utilizaba la funci´on modular. Montel [7], tuvo la brillante idea de reemplazar una propiedad particular de una funci´on por una familia de funciones que pose´ıan la propiedad en una sucesi´on de dominios. Este m´etodo fue explotado posteriormente por Julia y Montel en una serie de entornos diferentes. En este trabajo, estudiaremos los teoremas de Picard sobre las funciones anal´ıticas. El primer teorema que necesitaremos es el Teorema de Liouville, el cual afirma que las ´unicas funciones acotadas enteras son las funciones constantes en C. Como consecuencia, podemos deducir el Teorema Fundamental del ´ Algebra, que nos dice que la imagen del plano complejo Cbajo un polinomio no constante, da C. La primera aproximaci´on al Teorema de Picard es el Teorema de Casorati- Weierstrass, cuyo enunciado es que la imagen de una funci´on holomorfa cerca de una singularidad esencial es densa en C. En el cap´ıtulo 3, probaremos el Teorema peque˜no de Picard: Si una funci´on es entera y no constante, entonces alcanza todo valor en el plano complejo, con 7 8CAP´ ITULO 1. INTRODUCCI ´ ON. una excepci´on posible. La prueba original de Picard estaba basada en propiedades de la funci´on modular. En el cap´ıtulo 4, probaremos el Teorema grande de Picard: Si una funci´on ftiene una singularidad esencial en el punto z0yf(z) es holomorfa en una entorno reducido de z0, entonces f(z) toma cualquier valor finito complejo, a excepci´on de uno. Esto refuerza el Teorema de Casorati-Weierstrass. Cap´ıtulo 2 Conceptos b´asicos. Definici´on 2.0.1 Sea A⊂Cyz0∈C. Sea el disco D(z0;r) = {z∈C: |z−z0|< r}. Diremos que z0es un punto interior de Asi existe r > 0 tal que D(z0;r)⊂A. Al conjunto de todos los puntos interiores de Alo llamaremos interior de A y lo denotaremos por ˚ A. Diremos que z0es un punto de adherencia de Asi para todo r > 0 se verifica que D(z0;r)∩A6=∅. Al conjunto de todos los puntos de adherencia de Alo llamaremos clausura de Ay lo denotaremos por A. Diremos que z0es un punto de acumulaci´on de Asi para todo r > 0 se verifica que D(z0;r)∩(A\{z0})6=∅. Al conjunto de todos los puntos de acumulaci´on de Alo llamaremos conjunto derivado de A y lo denotaremos por A0. Definici´on 2.0.2 Diremos que Aes un conjunto abierto si ˚ A = A. Diremos que Aes un conjunto cerrado si A=A. Definici´on 2.0.3 Sea (X, T) un espacio topol´ogico, y A⊆X. Sea la familia de subconjuntos de A, TA={A∩G, G ∈T}. Entonces, la familia TAes una topolog´ıa sobre Allamada topolog´ıa relativa aA. Definici´on 2.0.4 Diremos que un conjunto Ade Ces conexo si, para la topolog´ıa relativa de A, los ´unicos conjuntos abiertos y cerrados a la vez son el propio Ay∅. 9 16 CAP´ ITULO 2. CONCEPTOS B ´ ASICOS. Supongamos ahora que la singularidad de fen z0es de tipo evitable. Podemos suponer que el valor f(zo) est´a definido para que fsea diferenciable en z0. Naturalmente, debe cumplirse f(z0) = l´ımz→z0|f(z)|. Podemos elegir r > 0 que nos asegure |f(z)|<|f(z0)|+ 1 para cada zen el disco D∗. Luego esto prueba que fest´a acotada en el disco D∗.  2.6. Funciones meromorfas Definici´on 2.6.1 Se dice que una funci´on fes meromorfa en un conjunto abierto Ω si existe un conjunto A⊂Ω tal que 1. Ano tiene puntos de acumulaci´on en Ω, 2. f∈H(Ω −A), 3. fposee un polo en cada punto de A. Ya que no se excluye la posibilidad de que A=∅, toda f∈H(Ω) es meromorfa en Ω. Recordemos que en un entorno de un polo λde orden γla funci´on f(z) admite un desarrollo f(z) = A−γ (z−λ)γ+A−γ+1 (z−λ)γ−1+... +A−1 z−λ+A0+A1(z−λ) + ... , donde la funci´on racional A−γ (z−λ)γ+... +A−1 z−λ representa la parte principal de f(z) en el punto λ. Teorema 2.6.2 (Teorema de Mittag-Leffler.) Sea {λn}una sucesi´on de n´umeros complejos, distintos entre s´ı, que no decrecen en valor absoluto, convergente hacia el infinito, y sea {Gn(z)}una sucesi´on de funciones racionales, cada una de las cuales es de la forma Gn(z) = A(n) −γn (z−λn)γn+... +A(n) −1 z−λn 2.6. FUNCIONES MEROMORFAS 17 de modo que el punto λnes un polo de la funci´on Gn(z) de orden γny ´esta no posee m´as polos. Entonces existe una funci´on meromorfa f(z) que tiene polos en los puntos λn, y s´olo en estos puntos, y cuyas partes principales en los puntos λncoinciden con las funciones dadas Gn(z). Demostraci´on. La funci´on buscada f(z) la obtendremos en forma de la suma de una serie f(z) = ∞ X 1 [Gk(z) + Pk(z)],(2.1) donde Pk(z) son ciertos polinomios. Evidentemente, cualquiera que sea el polinomio Pk(z), la suma Gk(z)+Pk(z) es una funci´on racional con un polo en el punto λky cuya parte principal coincide con Gk(z). En los puntos finitos del plano esta funci´on no tiene otros polos. Demostremos que se pueden elegir los polinomios Pk(z) de tal modo, que en cualquier c´ırculo |z|< R sea uniformemente convergente la serie ∞ X N(R)+1 [Gk(z) + Pk(z)], que resulta de la serie (2.1) al excluir unos cuantos t´erminos primeros. Supongamos que P∞ 1kes una serie convergente de t´ermios positivos. Si λ1= 0, entonces supongamos que el polinomio correspondiente P1(z) es igual a cero. Supongamos ahora que λk6= 0 (k⩾1). Como Gk(z) es una funci´on holomorfa en el c´ırculo |z|<|λk|, su desarrollo de Taylor Gk(z) = A(k) 0+A(k) 1z+... +A(k) nzn+... es convergente en el interior del c´ırculo indicado y es uniformemente convergente en el c´ırculo |z|⩽1 2|λk|. Elijamos n=nkde tal modo que en el ´ultimo c´ırculo se cumpla la desigualdad |Gk(z)−[A(k) 0+... +A(k) nkznk]|< k, y hagamos : Pk(z) = −A(k) 0−... −A(k) nkznk. Entonces |Gk(z) + Pk(z)|< k, si |z|⩽1 2|λk|.(2.2) Sea |z|< R un c´ırculo arbitrario con el centro en el origen de coordenadas y sea N(R) + 1 el ´ındice, comenzando desde el cual todos los puntos λkest´an situados fuera de un c´ırculo de radio doblemente mayor: |λk|>2R para k > N(R).(2.3) 18 CAP´ ITULO 2. CONCEPTOS B ´ ASICOS. Consideremos la serie ∞ X N(R)+1 [Gk(z) + Pk(z)]; (2.4) todos los polos λkde sus t´erminos satisfacen la condici´on (2.3), por lo cual 1 2|λk|es superior a Ry, por consiguiente, el c´ırculo |z|< R est´a contenido en cada uno de los c´ırculos |z|<1 2|λk|. Por esto, en virtud de (2.2), se puede afirmar que |Gk(z) + Pk(z)|< k, si |z|< R y k > N(R). De aqu´ı se deduce que la serie (2.4) es absoluta y uniformemente convergente en el c´ırculo |z|< R y, por consiguiente, representa en este c´ırculo una fucni´on holomorfa ϕR(z). Por lo tanto, para la elecci´on hecha de los polinomios Pk(z), la suma de la serie (2.1) tambi´en ser´a holomorfa en el c´ırculo |z|< R. Esta puede escribirse de la forma f(z) = N(R) X 0 [Gk(z) + Pk(z)] + ϕR(z), de donde se deduce que los polos de la funci´on f(z) en el c´ırculo |z|< R coinciden con los t´erminos de la sucesi´on {λk}que est´an situados en el c´ırculo; adem´as, las partes principales de la funci´on f(z) en los puntos λkcoinciden con Gk(z). Como esta conclusi´on es v´alida para cualquier c´ırculo |z|< R, de aqu´ı se deduce que la suma de la serie (2.1) es una funci´on meromorfa que satisface todas las condiciones propuestas en el teorema.  Teorema 2.6.3 Una funci´on F(z) es meromorfa en Ω si puede expresarse en forma del cociente de dos funciones uniformes y holomorfas en Ω, G(z) y H(z), F(z) = G(z) H(z). Demostraci´on. Si F(z) es meromorfa en Ω, entonces no puede tener aqu´ı otros puntos singulares m´as que los polos. Si el conjunto de polos es finito y consta de los puntos ν1, ..., νnde ´ordenes α1, ...αn, entonces, formando el polinomio H(z) = (z−ν1)α1...(z−νn)αny multiplic´andolo por F(z), resulta una funci´on G(z) = F(z)H(z) que es holomorfa en todos los puntos de Ω. Por lo tanto, F(z) = G(z) H(z)es cociente de dos funciones holomorfas en Ω. Si el 2.7. TEOREMA DE CASORATI-WEIERSTRASS 19 conjunto de polos de la funci´on F(z) es infinito, entonces, ´este es un conjunto numerable {νn}que no tiene puntos de acumulaci´on en el interior de Ω. Sean γ1, ..., γn, ... los ´ordenes de los polos. Formemos entonces una funci´on H(z) holomorfa en Ω, que tenga en cada punto νnun cero de orden γny que no tenga ning´un cero distinto de los puntos νn. Entonces el producto F(z)H(z) ser´a una funci´on G(z) holomorfa en Ω, y de nuevo tendremo que F(z) = G(z) H(z) es cociente de dos funciones holomorfas en Ω.  2.7. Teorema de Casorati-Weierstrass A continuaci´on, vamos a demostrar el Teorema de Casorati-Weierstrass, el cual es la aproximaci´on elemental al Teorema grande de Picard. Teorema 2.7.1 Si fes una funci´on holomorfa en un disco D∗=D∗(z0;r) y tiene una singularidad esencial en el centro z0, entonces f(D∗) es denso en C, es decir, C\f(D∗) no tiene puntos interiores. Demostraci´on. Lo vamos a demostrar por reducci´on al absurdo. Supongamos que C\f(D∗) tiene puntos interiores y deducimos que fs´olo puede tener una singularidad de tipo evitable o polo en z0, contrario a la hip´otesis. Sea w0un punto interior de C\f(D∗), y sea s > 0 tal que el disco D(w0;s) est´a contenido en C\f(D∗). Luego se tiene |f(z)−w0|⩾spara cada z∈D∗. Se tiene que la funci´on g:D∗→Cdefinida por g(z)=[f(z)−w0]−1 es holomorfa y satisface |g(z)|⩽s−1en todo D∗. El Teorema de extensi´on de Riemann nos dice que la singularidad de g en z0es de tipo evitable. Adem´as, como la funci´on gno tiene ceros en D∗, la funci´on inversa 1/g tiene una singularidad aislada en z0. Dicha singularidad puede ser evitable o polo, dependiendo si l´ımz→z0|g(z)|es cero o no. Esto asegura, que la singularidad en z0de f=w0+(1/g) solo puede ser evitable o polo, no esencial, luego hemos llegado a una contradici´on. Por tanto, C\f(D∗) no tiene puntos interiores.  El Teorema de Casorati-Weierstrass afirma que la imagen de un disco D∗(z0;r), sin importar como de peque˜no sea, bajo una funci´on fcon una singularidad aislada de tipo esencial en z0, es denso en todo el plano complejo. Entre sus 20 CAP´ ITULO 2. CONCEPTOS B ´ ASICOS. consecuencias est´a: Dado un n´umero w0del plano complejo, existe una sucesi´on {zn} ∈ C\{z0} tal que zn→z0yf(zn)→w0. Ejemplo. Una considerable mejora de este teorema, es el Teorema de Picard, que asegura que C\f(D∗(z0;r)) contiene un punto a lo sumo. La funci´on f(z) = e1/z, la cual tiene una singularidad esencial en el origen demuestra que el valor excepcional permitido por el Teorema de Picard existe. La existencia de tal valor no implica siempre que sea cierto. Por ejemplo, la singularidad de f(z) = sen(1/z) en el origen es tambi´en esencial y, en este caso, f(D∗) = C para cada D∗=D∗(0; r). Esto puede ser probado considerando que la imagen de la banda A=nz:|Re z|⩽π 2o mediante g(z) = sen(z) es todo C. De hecho, los segmentos horizontales se transforman en [−1,1] o elipses de focos −1 y 1. Las rectas verticales se transforman en el eje imaginario [1,∞), (−∞,−1] o hip´erbolas con focos en −1 y 1. La imagen mediante 1/z de D∗(0; r) contiene una banda de la forma ˜ A=nz:π 2+ (k−1)π⩽Re z⩽π 2+kπo y se cumple sen(A) = sen( ˜ A) = C; con lo que f(D∗) = C. Cap´ıtulo 3 Teorema peque˜no de Picard 3.1. Principio de Reflexi´on Definici´on 3.1.1 Diremos que una funci´on fes una transformaci´on conforme si fes una funci´on holomorfa y su derivada no se anula. Teorema 3.1.2 Supongamos que Ω es una regi´on, f∈H(Ω), y Z(f) = {a∈Ω : f(a)=0} Entonces, o bien Z(f) = Ω, o Z(f) no tiene puntos de acumulaci´on en Ω. En el ´ultimo caso, a cada a∈Z(f) le corresponde un ´unico entero positivo m=m(a) tal que f(z) = (z−a)mg(z) (z∈Ω),(3.1) donde g∈H(Ω) y g(a)6= 0. Demostraci´on. Sea Ael conjunto de todos los puntos de acumulaci´on de Z(f) en Ω. Como fes continua, A⊂Z(f). Fijemos a∈Z(f), y tomemos r > 0 de modo que D(a;r)⊂Ω. Tenemos f(z) = ∞ X n=0 cn(z−a)n(z∈D(a;r)).(3.2) Existen ahora dos posibilidades. O bien todos los cnson 0, en cuyo caso D(a;r)⊂Ayaes un punto interior de A, o existe un m´ınimo entero m > 0 tal que cm6= 0. En este caso, definimos g(z) = (z−a)−mf(z) si z∈Ω\{a} cmsi z=a 21 22 CAP´ ITULO 3. TEOREMA PEQUE ˜ NO DE PICARD Entonces se verifica (3.1). Es claro que g∈H(Ω\{a}). Pero (3.2) implica que g(z) = ∞ X k=0 cm+k(z−a)k(z∈D(a;r)). En consecuencia, g∈H(D(a;r)), por lo que, en realidad, g∈H(Ω). M´as a´un, g(a)6= 0, y la continuidad de gmuestra que existe un entorno de a en el que gno tiene ning´un cero. Entonces aes un punto aislado de Z(f) por (3.1). Si a∈A, debe presentarse el primer caso. Por tanto, Aes abierto. Si B= Ω−A, de la definici´on de Acomo conjunto de puntos de acumulaci´on se deduce que Bes abierto. Entonces Ω es la uni´on de los conjuntos abiertos disjuntos Ay B. Como Ω es conexo, tenemos que o bien A= Ω, en cuyo caso Z(f) = Ω, o A=∅.  Definici´on 3.1.3 Decimos que una funci´on continua uen un conjunto abierto Ω tiene la propiedad del valor medio si a todo z∈Ω le corresponde una sucesi´on {rn}tal que rn>0, rn→0 cuando n→ ∞, y u(z) = 1 2πZπ −π u(z+rneit)dt (n= 1,2,3, ...). Teorema 3.1.4 Si una funci´on continua utiene la propiedad del valor medio en un conjunto abierto Ω, ues arm´onica en Ω. Demostraci´on La demostraci´on viene detallada en la p´agina 227 del libro [1]. Teorema 3.1.5 (Principio de reflexi´on de Schwarz.) Supongamos que L es un segmento del eje real, Ω+es una regi´on de Π+, con Π+el semiplano superior abierto, y que todo t∈Les el centro de un disco abierto Dt, tal que Π+∩Dtest´a en Ω+. Sea Ω−la reflexi´on de Ω+: Ω−={z:z∈Ω+} Supongamos que f=u+iv es holomorfa en Ω+, y que l´ım n→∞ v(zn) = 0 (3.3) para toda sucesi´on {zn}en Ω+que converja a un punto de L. Entonces existe una funci´on F, holomorfa en Ω+∪L∪Ω−, tal que F(z) = f(z) en Ω+y tal que Fsatisface la relaci´on F(z) = F(z) (z∈Ω+∪L∪Ω−). 3.2. PROLONGACI ´ ON A LO LARGO DE CURVAS 23 Demostraci´on. Pongamos Ω = Ω+∪L∪Ω−. Extendemos va Ω definiendo v(z) = 0 para z∈Lyv(z) = −v(z) para z∈Ω−. Como ves continua y tiene la propiedad del valor medio en Ω, tenemos que ves arm´onica por el Teorema 3.1.4. En consecuencia, ves localmente la parte imaginaria de una funci´on holomorfa. Esto significa que a cada uno de los discos Dtle corresponde una ft∈H(Dt) tal que Imft=v. Cada ftest´a determinada por vsalvo una constante aditiva real. Si esta constante se elige de tal forma que ft(z) = f(z) para alg´un z∈Dt∩Π+, se verificar´a lo mismo para todo z∈Dt∩Π+, porque f−ftes constante en la regi´on Dt∩Π+. Suponemos que las funciones ftest´an ajustadas as´ı. El desarrollo de ften serie de potencias de z−ttiene s´olo coeficientes reales, puesto que v= 0 en L, de modo que todas las derivadas de ftson reales en t. Se tiene que ft(z) = ft(z) (z∈Dt). Por otro lado, supongamos que Ds∩Dt6=∅. Entonces ft=f=fsen Dt∩Ds∩Π+; y como Dt∩Dses conexo, el Teorema 3.1.2 muestra que ft(z) = fs(z) (z∈Dt∩Ds). Por tanto, es consistente definir F(z) =    f(z) si z∈Ω+ ft(z) si z∈Dt ft(z) si z∈Ω− y queda por demostrar que Fes holomorfa en Ω−. Si D(a;r)⊂Ω−, entonces D(a;r)⊂Ω+, por lo que para todo z∈D(a;r) tenemos f(z) = ∞ X n=0 cn(z−a)n. En consecuencia, F(z) = ∞ X n=0 cn(z−a)n(z∈D(a;r)), lo que prueba el enunciado del teorema.  3.2. Prolongaci´on a lo largo de curvas Definici´on 3.2.1 Un elemento de funci´on es un par ordenado (f, D), donde Des un disco circular abierto y f∈H(D). Dos elementos de funci´on (f0, D0) y (f1, D1) son prolongaciones directas uno del otro si se verifican dos condiciones: 24 CAP´ ITULO 3. TEOREMA PEQUE ˜ NO DE PICARD D0∩D16=∅. f0(z) = f1(z) para todo z∈D0∩D1. En este caso escribiremos (f0, D0)∼(f1, D1).(3.4) Una cadena es una sucesi´on finita de discos C, por ejemplo C={D0, D1, ..., Dn}, tal que Di−1∩Di6=∅para i= 1, ..., n. Si se da (f0, D0) y existen elementos (fi, Di) tales que (fi−1, Di−1)∼(fi, Di) para i= 1, ..., n, entonces (fn, Dn) se llama prolongaci´on anal´ıtica de (f0, D0) a lo largo de C. Notemos que fnest´a determinada de manera ´unica por f0y por C(si existe). Para verlo, supongamos que se verifica (3.4), y supongamos que se verifica (3.4) tambi´en con g1en lugar de f1. Entonces g1=f0=f1en D0∩D1; y como D1es conexo, tenemos g1=f1en D1. La unicidad de fnse deduce ahora por inducci´on sobre el n´umero de t´erminos de C. Si (fn, Dn) es la prolongaci´on de (f0, D0) a lo largo de C, y si Dn∩D06=∅, no es necesariamente cierto que (f0, D0)∼(fn, Dn); en otras palabras, la relaci´on ∼no es transitiva. Ejemplo. Tomamos, en primer lugar, el disco D1=D(1; 1) y el logaritmo principal logp(z) cuyo argp(z) est´a en (−π, π); en segundo lugar, el disco D2=D(i; 1) y el logaritmo log3π/2(z) y cuyo argumento arg3π/2(z) est´a en (−π/2,3π/2);a continuaci´on, el disco D3=D(−1; 1) y el logaritmo log2π(z) cuyo arg2π(z) est´a en (0,2π); y por ´ultimo, el disco D4=D(−i; 1) con logaritmo log5π/2(z) y cuyo arg5π/2est´a en (π/2,5π/2). Entonces, el argumento del disco D1est´a ahora en el intervalo (π, 3π). Definici´on 3.2.2 Una cadena C={D0, ..., Dn}se dice que recubre una curva γcon [0,1] como intervalo param´etrico si existen n´umeros 0 = s0< s1< ... < sn= 1, tales que γ(0) es el centro de D0,γ(1) es el centro de Dn, y γ([si, si+1]) ⊂Di,(i= 0, ..., n −1). Si (f0, D0) puede prolongarse a lo largo de esta Chasta (fn, Dn), llamamos a (fn, Dn) una prolongaci´on anal´ıtica de (f0, D0) a lo largo de γ; se dice que (f0, D0) admite una prolongaci´on anal´ıtica a lo largo de γ. Definici´on 3.2.3 Una regi´on Ω es simplemente conexo si C∞\Ω es conexo, donde C∞es C∪ {∞}. 3.2. PROLONGACI ´ ON A LO LARGO DE CURVAS 25 Ejemplo. Un ejemplo de la definici´on anterior es que sea Ω = C\{0}, Ω es conexo pero no es simplemente conexo. Teorema 3.2.4 Sea Ω una regi´on del plano complejo. Diremos que Ω es simplemente conexo si y s´olo si cada funci´on que es holomorfa en Ω posee una primitiva en esta regi´on. Demostraci´on. Supongamos primero que Ω es simplemente conexo y que la funci´on fes holomorfa en Ω. Por el Teorema de Cauchy Zγ f(z)dz = 0 con γun camino cerrado en Ω, homol´ogico a cero en Ω. Luego ftiene una primitiva en Ω. Supongamos ahora que cada funci´on que es holomorfa en Ω tiene primitiva ah´ı. Sea γun camino cerrado arbitrario en Ω. Afirmamos que γes homol´ogico a cero en la regi´on. Para ver esto, sea zun punto cualquiera de C\Ω. La funci´on f: Ω →Cdefinida como f(ν)=(ν−z)−1es holomorfa. Como estamos suponiendo que ftiene primitiva, tenemos n(γ, z) = 1 2πi Zγ dν ν−z=1 2πi Zγ f(ν)dν = 0, necesario para que γsea homol´ogico a cero en Ω. Luego Ω es simplemente conexo.  Teorema 3.2.5 Sea Ω una regi´on del plano complejo. Diremos que Ω es simplemente conexo si y s´olo si para cada funci´on fque es holomorfa y no tiene ceros en Ω existe una rama del log(z) en esta regi´on. Demostraci´on. Supongamos primero que Ω es simplemente conexo y que f es holomorfa en Ω y no tiene ceros ah´ı. Por el Teorema de Cauchy tenemos Zγ f0(z) f(z)dz = 0 para cada caminos cerrado por partes γen Ω. Luego existe una rama del log f(z) en Ω. Consideremos ahora un punto arbitrario z∈C\Ω y asociado a ´el la funci´on f: Ω →Cdefinida como f(ν) = ν−z. Como fes holomorfa y no tiene ceros 32 CAP´ ITULO 3. TEOREMA PEQUE ˜ NO DE PICARD hecho de que toda circunferencia puede transformarse en cualquier l´ınea recta, y por tanto, que todo disco abierto puede transformarse conformemente en cualquier semiplano abierto. Podemos asociar a una transformaci´on bilineal ϕ(z) = az+b cz+duna matriz compleja no singular A=a b c d . Llamaremos ϕAa cada matriz Ade los coeficientes de las transformaciones bilineales. La correspondencia ϕA→Atiene la caracter´ıstica de AB →ϕA◦ϕB, A−1→ϕ−1 A,(3.10) donde AB es la multiplicaci´on de las matrices y A−1es la inversa. Gracias a esto, podemos reducir los c´alculos de las transformaciones bilineales a simples c´alculos matriciales. Definici´on 3.4.2 El grupo modular es el conjunto Gde todas las transformaciones bilineales de la forma ϕ(z) = az +b cz +d.(3.11) donde a,b,cydson enteros y ad −bc = 1. La parte imaginaria de ϕ(i) es (c2+d2)−1>0. Estas transformaciones, transforman el eje real en s´ı mismo. Por tanto, ϕ(Π+) = Π+(ϕ∈G), donde Π+es el semiplano superior abierto. Si ϕviene dada por (3.11), entonces ϕ−1(w) = dw −b −cw +a. de modo que ϕ−1∈G. Adem´as ϕ◦ψ∈Gsi ϕ∈Gyψ∈Gutilizando las matrices complejas no singulares. Por tanto, Ges un grupo con la composici´on como operaci´on de grupo. Las transformaciones z→z+1 y z→ −1/z pertenecen a G; de hecho, generan G. Una funci´on modular es una funci´on meromorfa fsobre Π+que es invariante con respecto a Go al menos con respecto a alg´un subgrupo no trivial Γ de G. Esto significa que f◦ϕ=fpara toda ϕ∈Γ. 3.4. FUNCI ´ ON MODULAR 33 Tomaremos como Γ el grupo generado por σyτ, donde σ(z) = z 2z+ 1, τ(z) = z+ 2.(3.12) Nuestro objetivo es la construcci´on de cierta funci´on λque sea invariante con respecto a Γ y que permita una demostraci´on del Teorema Peque˜no de Picard. Sea Qel conjunto de todos los zque satisfacen las siguientes cuatro condiciones y donde z=x+yi: y > 0, −1⩽x < 1, |2z+ 1|⩾1, |2z−1|>1 Qest´a acotado por las rectas verticales x=−1 y x= 1 y est´a acotado por debajo por dos semicircunferencias de radio 1/2, y con centros en −1/2 y 1/2. Qcontiene a aquellos de sus puntos frontera que est´an en la mitad izquierda de Π+.Qno contiene ning´un punto del eje real. Pretendemos probar que Qes un dominio fundamental de Γ. Esto significa que son ciertos los enunciados 1) y 2) del teorema siguiente: Teorema 3.4.3 Sean Γ y Qcomo antes: 1. Si ϕ1yϕ2∈Γ y ϕ16=ϕ2, entonces ϕ1(Q)∩ϕ2(Q) = ∅. 2. ∪ϕ∈Γϕ(Q)=Π+. 3. Γ contiene a todas las transformaciones ϕ∈Gde la forma ϕ(z) = az +b cz +d(3.13) para las que aydson enteros impares, y bycson pares. Demostraci´on. Sea Γ1el conjunto de todas las ϕ∈Gdescritas en 3). Por la correspondencia de matrices, tenemos que Γ1es un subgrupo de G. Como σ∈Γ1yτ∈Γ1se deduce que Γ ⊂Γ1. Para demostrar que Γ = Γ1, es decir, para demostrar 3), basta demostrar que se cumple el apartado 1) para Γ1y el apartado 2). Necesitamos la relaci´on Im ϕ(z) = Im z |cz +d|2(3.14) que es v´alida para toda ϕ∈Gdada por (3.13). La demostraci´on de (3.14) se basa en la relaci´on ad −bc = 1. Multiplicando por el conjugado, tenemos ϕ(z) = az +b cz +d·cz +d cz +d=ac|z|2+bcz +adz +bd |cz +d|2 34 CAP´ ITULO 3. TEOREMA PEQUE ˜ NO DE PICARD Luego tenemos Im ϕ(z) = Im z |cz +d|2(3.14) Demostremos ahora 1) cambiando Γ por Γ1. Supongamos que ϕ1yϕ2∈Γ, ϕ16=ϕ2, y definamos ϕ=ϕ−1◦ϕ. Si z∈ϕ1(Q)∩ϕ2(Q), entonces ϕ−1 1(z)∈ Q∩ϕ(Q). En consecuencia, basta demostrar que Q∩ϕ(Q) = ∅(3.15) si ϕ∈Γ1yϕno es la transformaci´on identidad. La demostraci´on de (3.15) se desdobla en tres casos. Si c= 0 en (3.13), entonces ad = 1, y como aydson enteros, tenemos a=d=±1. Por tanto, ϕ(z) = z+2npara alg´un entero n6= 0, y la descripci´on de Qhace evidente que se verifica (3.15), por ser traslaciones horizontales. Si c= 2d, entonces c=±2 y d=±1. Por tanto, ϕ(z) = σ(z)+2m, donde m es un entero. Como σ(Q)⊂D(1 2;1 2), se verifica (3.15). Si c6= 0 y c6= 2d, afirmamos que |cz +d|>1 para todo z∈Q. De otro modo, el disco D(−d/c; 1/|c|) cortar´ıa a Q. La descripci´on de Qmuestra que si α6=−1 2es un n´umero real y si D(α;r) corta a Q, entonces al menos uno de los puntos −1,0,1 est´a en D(α;r). Por tanto, |cw +d|<1, para w=−1 ´o 0 ´o 1. Pero para estos w, cw +des un entero impar cuyo absoluto no puede ser menor que 1. Por tanto, |cw +d|>1, y se deduce de (3.14) que Im ϕ(z)<Im zpara todo z∈Q. Si fuera cierto para alg´un z∈Qque ϕ(z)∈Q, el mismo razonamiento podr´ıa aplicarse a ϕ−1y mostrar´ıa que Im z=Im ϕ−1(ϕ(z)) ⩽Im ϕ(z) Esta contradicci´on verifica (3.15). Por tanto, queda demostrado el apartado 1) cambiando Γ por Γ1. Para demostrar 2), sea Σ la uni´on de los conjuntos ϕ(Q), para ϕ∈Γ. Es claro que Σ ⊂Π+. Adem´as, Σ contiene a los conjuntos τn(Q), para n= 0,±1,±2,..., donde τn(z) = z+ 2n. Como σtransforma el c´ırculo |2z+ 1|= 1 sobre el c´ırculo |2z−1|= 1, vemos que Σ contiene a todo z∈Π+que satisface las desigualdades |2z−(2m+ 1)|⩾1 (m= 0,±1,±2, ...) (3.16) Fijemos w∈Π+. Como Im w > 0, existe s´olo un n´umero finito de pares de enteros cydtales que |cw +d|sea inferior a cualquier cota dada, y podemos tomar ϕ0∈Γ de modo que se minimice |cw +d|. Por (3.14), esto significa que Im ϕ(w)⩽Im ϕ0(w) (ϕ∈Γ) (3.17) Pongamos z=ϕ0(w). Entonces (3.17) resulta ser Im ϕ(z)⩽Im z(ϕ∈Γ) (3.18) 3.4. FUNCI ´ ON MODULAR 35 Apliquemos esto a ϕ=στ−ny a ϕ=σ−1τ−n. Puesto que (στ−n)(z) = z−2n 2z−4n+ 1,(σ−1τ−n)(z) = z−2n −2z+ 4n+ 1, se deduce de (3.14) y (3.18)que |2z−4n+ 1|⩾1,|2z−4n−1|⩾1,(n= 0,±1,±2, ...). Por tanto, zsatisface (3.16), y por ello z∈Σ; y como w=ϕ−1 0(z) y ϕ−1 0∈Γ, tenemos w∈Σ.  Teorema 3.4.4 Si Ω es una regi´on simplemente conexa acotada en el plano y si todo punto frontera de Ω es simple, entonces toda transformaci´on conforme de Ω sobre Use extiende como homeomorfismo de Ω sobre U. Demostraci´on. Supongamos que f∈H(Ω), f(Ω) = Uy que fes uno a uno. Podemos extender fcomo aplicaci´on de Ω en Utal que f(αn)→f(z) si {αn}es una sucesi´on en Ω que converge a z. Si {zn}es una sucesi´on de Ω que converge a z, existen puntos αn∈Ω tales que |αn−zn|<1/n y |f(αn)−f(zn)|<1/n. Por tanto, αn→z, con los que f(αn)→f(z), y esto muestra que f(zn)→f(z). Hemos demostrado, que nuestra extensi´on de fes continua en Ω. Adem´as, U⊂f(Ω) ⊂U. La compacidad de Ω implica que f(Ω) es compacto. Por tanto, f(Ω) = U. Como fes uno a uno en Ω y como toda aplicaci´on uno a uno continua de un conjunto compacto tiene una inversa continua, la demostraci´on est´a completa.  Definici´on 3.4.5 Sea Dun disco circular abierto, supongamos que f∈H(D), y sea βun punto frontera de D. Llamamos a βpunto regular de fsi existe un disco D1con centro en βy una funci´on g∈H(D1) tal que g(z) = f(z) para todo z∈D∩D1. Un punto frontera cualquiera de Dque no sea un punto regular de fse llama un punto singular de f. Definici´on 3.4.6 Sea Uel disco unidad y sea Tla circunferencia unidad. Si f∈H(U) y si todo punto de Tes un punto singular de f, entonces Tse dice que es la frontera natural de f. Esta definici´on se extiende a regiones que se transforman en el disco unidad. El teorema siguiente resume algunas de las propiedades de la funci´on modular λ mencionada anteriormente y que se utilizar´a en el Teorema peque˜no de Picard. 36 CAP´ ITULO 3. TEOREMA PEQUE ˜ NO DE PICARD Teorema 3.4.7 Si Γ y Qson como los descritos en (3.12), existe una funcion λ∈H(Π+) tal que 1. λ◦ϕ=λpara toda ϕ∈Γ. 2. λes uno a uno en Q. 3. El recorrido Ω de λ, es la regi´on que consiste en todos los n´umeros complejos diferentes del 0 y 1. 4. λtiene el eje real como su frontera natural. Demostraci´on. Sea Q0la mitad derecha de Q. M´as precisamente, Q0consiste en todos los z∈Π+tales que 0<Re z < 1,|2z−1|>1. Por el Teorema 3.4.4 existe una funci´on continua hen Q0que es uno a uno en Q0y holomorfa en Q0, tal que h(Q0) = Π+,h(0) = 0, h(1) = 1 y h(∞) = ∞. El principio de reflexi´on muestra que la f´ormula h(−x+iy) = h(x+iy) (3.19) extiende hcomo funci´on continua sobre la adherencia Qde Q, la cual es una transformaci´on conforme del interior de Qsobre el plano complejo menos el eje real no negativo. Vemos adem´as que hes uno a uno en Q, que h(Q) es la regi´on Ω descrita en 3), que h(−1 + iy) = h(1 + iy) = h(τ(−1 + iy)) (0 < y < ∞),(3.20) y que h−1 2+1 2eiθ=h1 2+1 2ei(π−θ)=hσ−1 2+1 2eiθ (0 < θ < π).(3.21) Como hes real en la frontera de Q, (3.20) y (3.21) se deducen de (3.19) y de las definiciones de τyσ. Definimos ahora la funci´on λ: λ(z) = h(ϕ−1(z)) (z∈ϕ(Q), ϕ ∈Γ).(3.22) Por el Teorema 3.4.3, cada z∈Π+est´a en ϕ(Q) para una, y s´olo una, ϕ∈Γ. Por tanto, (3.22) define λ(z) para z∈Π+, y vemos inmediatamente que λ posee las propiedades de 1) a 3), y que λes holomorfa en el interior de cada 3.5. TEOREMA PEQUE ˜ NO DE PICARD 37 uno de los conjuntos ϕ(Q). Se deduce de (3.21) y (3.20) que λes continua en Q∪τ−1(Q)∪σ−1(Q) y, por tanto, en un conjunto abierto Vque contiene a Q. Tenemos tambi´en que λes holomorfa en V. Como Π+est´a recubierto por la uni´on de los conjuntos ϕ(V), ϕ∈Γ, y como λ◦ϕ=λ, concluimos que λ∈H(Π+). Finalmente, el conjunto de todos los n´umeros ϕ(0) = b/d es denso en el eje real. Si λpudiera ser prolongada anal´ıticamente hasta una regi´on que contuviera propiamente a Π+, los ceros de λtendr´ıan un punto l´ımite en esta regi´on, lo cual es imposible porque λno es constante.  3.5. Teorema peque˜no de Picard El ’Teorema peque˜no de Picard’ afirma que toda funci´on entera no constante alcanza todo valor, con una excepci´on posible. En esta secci´on vamos a exponer algunas proposiciones elementales que, para el caso de orden finito, establecen el llamado Teorema peque˜no de Picard. Existen varias aproximaciones al Teorema de Picard para ciertos tipos de funciones. Definici´on 3.5.1 Supongamos que fes entera, que λes un n´umero positivo, y que se verifica la desigualdad |f(z)|< exp{|z|λ} para |z|suficientemente grande. Se dice entonces que fes de orden finito. El ´ınfimo de todos los λpara los que se verifica la condici´on es el orden de f. Teorema 3.5.2 Si una funci´on entera f(z) no toma cierto valor αen ning´un punto del plano, entonces f(z) tiene la forma f(z) = α+eg(z), donde g(z) es una funci´on entera. Demostraci´on. Como f(z)−αno se anula, f(z)−α6= 0. Por el Teorema 3.2.4 existe una funci´on g(z) rama del logaritmo de forma que f−α=eg(z) 38 CAP´ ITULO 3. TEOREMA PEQUE ˜ NO DE PICARD lo que implica f=α+eg(z)  Teorema 3.5.3 Si una funci´on entera f(z), que no toma cierto valor αen ning´un punto del plano, es de orden finito p, entonces pnecesariamente es un n´umero entero y f(z) posee la forma f(z) = α+eP(z), donde P(z) es un polinomio de grado p. Demostraci´on. Debido al teorema anterior, f(z) puede expresarse de la forma f(z) = α+eg(z), donde g(z) es una funci´on entera. Pero, para cualquier  > 0 y r > R(), se cumple la desigualdad |f(z)|< erp+ 2, de donde |eg(z)|<|α|+erp+ 2. Eligiendo R0()⩾R() de modo que para r > R0() sea |α|+erp+ 2< erp+, y observando que |eg(z)|=eRe[g(z)], obtenemos: eRe[g(z)] < erp+para r > R0(). Por consiguiente, para estos mismos valores de r Re[g(z)] < rp+, de donde g(z) es un polinomio P(z) de grado no superior a [p+]. Por otra parte, est´a claro que si f(z) es una funci´on de orden p, entonces f(z)−α=eP(z)tambi´en es una funci´on del mismo orden, y como el orden de la funci´on eP(z) es igual al grado ndel polinomio P(z), resulta que p=nes un n´umero entero y P(z) un polinomio de grado p.  3.5. TEOREMA PEQUE ˜ NO DE PICARD 39 Teorema 3.5.4 Si una funci´on entera f(z) toma un valor αen un n´umero finito de puntos z1, z2, ..., zmcon los ´ordenes de multiplicidad k1, k2, ..., km, entonces f(z) es de la forma f(z) = α+ (z−z1)k1...(z−zm)kmeg(z), donde g(z) es una funci´on entera. Demostraci´on. Por las condiciones del teorema, la funci´on f(z)−α (z−z1)k1...(z−zm)km es entera y no se anula en ning´un punto del plano. De aqu´ı que, ´esta es de la forma eg(z), donde g(z) es una funci´on entera. Por tanto, f(z)−α (z−z1)k1...(z−zm)km=eg(z), de donde f(z) = α+ (z−z1)k1...(z−zm)kmeg(z).  Teorema 3.5.5 Si respecto de una funci´on entera f(z) que satisface la condici´on del teorema precedente, se sabe que es orden finito p, entonces ptiene que ser un n´umero entero y la funci´on f(z) es de la forma f(z) = α+ (z−z1)k1...(z−zm)kmeP(z), donde P(z) es un polinomio de grado p. Demostraci´on. Por el teorema anterior, f(z) es de la forma f(z) = α+ (z−z1)k1...(z−zm)kmeg(z), donde g(z) es una funci´on entera. Como |eg(z)|=eRe[g(z)] <|f(z)|+|α| |z−z1|k1...|z−zm|km<|f(z)|+|α|, si |z−z1|>1, ..., |z−zm|>1 y adem´as para todos los valores de rsuficientemente grandes: |f(z) + |α|< erp+, resulta Re[g(z)] < rp+, de donde g(z) es un polinomio P(z) de grado no superior a p. Por otra parte, es evidente que si f(z) es una funci´on de orden p, entonces f(z)−α (z−z1)k1...(z−zm)km=eP(z), 40 CAP´ ITULO 3. TEOREMA PEQUE ˜ NO DE PICARD es una funci´on del mismo orden. En efecto, ya se ha observado que |eP(z)|=|eg(z)|< rp+para r > R(), y, por consiguiente, el orden de eP(z)no es superior a p. Pero ´este no puede ser inferior a p, pues en caso contrario tendr´ıamos para alg´un λpositivo que |eP(z)|< erp−2λpara r > R0(λ) y, por tanto, |f(z)|<|α|+erp−2λ(r+|z1|)k1...(r− |zm|)km para r > R0(). Es evidente que la raz´on de la magnitud que figura en el segundo miembro de la desigualdad erp−λtiende a cero cuando r→ ∞. Por ello, para r > R00(λ)> R0(λ) tendremos: |f(z)|< erp−λ, lo cual es incompatible con la hip´otesis del teorema seg´un la cual el orden de la funci´on f(z) es p. As´ı, el orden de la funci´on eP(z)tambi´en es igual a py, por consiguiente, pes un n´umero entero que coincide con el grado del polinomio P(z).  Teorema 3.5.6 (Teorema peque˜no de Picard.) Si fes una funci´on entera y si existen dos n´umeros complejos distintos αyβque no est´an en el recorido de f,fes constante. Demostraci´on. Sin p´erdida de generalidad suponemos que α= 0 y β= 1; si no, cambiamos fpor (f−α)/(β−α). Entonces ftransforma el plano en la regi´on Ω descrita en el teorema 3.4.7. A cada disco D1⊂Ω le corresponde una regi´on V1⊂Π+tal que λes uno a uno en V1yλ(V1) = D1; cada una de estas V1corta como mucho a dos de los dominios ϕ(Q). Para cada elecci´on de V1existe una funci´on ψ1∈H(D1) tal que ψ1(λ(z)) = zpara todo z∈V1. Si D2es otro disco en Ω y si D1∩D26=∅, podemos tomar un V2correspon- diente de modo que V1∩V26=∅. Los elementos de funci´on (ψ1, D1) y (ψ2, D2) ser´an entonces prolongaciones anal´ıticas directas uno del otro. Notemos que ψi(Di)⊂Π+. 3.5. TEOREMA PEQUE ˜ NO DE PICARD 41 Como el recorrido de fest´a en Ω, existe un disco A0con centro en 0 tal que f(A0) est´a en un disco D0de Ω. Tomemos ψ0∈H(D0), como antes, pongamos g(z) = ψ0(f(z)) para z∈A0, y sea γuna curva cualquiera del plano que comienza en 0. El recorrido de f◦γes un subconjunto compacto de Ω. Por tanto, γpuede ser recubierta por una cadena de discos, A0,...,An, de modo que cada f(Ai) est´e en un disco Dide Ω, y podemos tomar ψi∈H(Di) de modo que (ψi, Di) sea una prolongaci´on anal´ıtica directa de (ψi−1, Di−1), para i= 1, ..., n. Esto proporciona una prolongaci´on anal´ıtica directa del elemento de funci´on (g, A0) a lo largo de la cadena {A0, ..., An}; notemos que ψn◦ftiene parte imaginaria positiva. Como (g, A0) puede prolongarse anal´ıticamente a lo largo de toda la curva del plano y como el plano es simplemente conexo, el Teorema de monodrom´ıa implica que gpuede extenderse como funci´on entera. Adem´as, el recorrido de gest´a en Π+, por lo que (g−i)/(g+i) est´a acotada, y, por tanto, es constante, por el Teorema de Liouville. Esto muestra que g es constante, y como ψ0es uno a uno en f(A0) y A0es un conjunto abierto no vac´ıo, concluimos que fes constante.  Teorema 3.5.7 Toda funci´on meromorfa F(z)6≡ constante toma cualquier valor complejo, a excepci´on, posiblemente, de dos. Demostraci´on. Supongamos que para la funci´on F(z) existen tres valores a, bycque ´esta no toma. Si uno de ellos, por ejemplo c, es igual a ∞, entonces F(z)6≡ constante es una funci´on entera que no toma dos valores finitos ayb, lo cual es imposible. As´ı, pues, los n´umeros a,bycson finitos. Formemos la funci´on Φ(z) = 1 F(z)−c; ´esta es una funci´on meromorfa que no toma el valor ∞, por lo cual es entera y, adem´as, Φ 6≡ constante. Por otra parte, Φ(z) no toma dos valores finitos 1 a−cy1 b−c. Resulta de nuevo una contradicci´on con el Teorema peque˜no de Picard, de donde se deduce que el teorema es cierto.  48 CAP´ ITULO 4. TEOREMA GRANDE DE PICARD. contradice que la subsucesi´on {fnk(z)}tiene que contener dentro de s´ı otra subsucesi´on {fn0 k(z)}que converge uniformemente hacia ∞en Γ. As´ı, pues, de la hip´otesis de que la sucesi´on {fn(z)}es una familia normal en Γ0 0, se deduce que {fn(z)}converge uniformemente hacia el infinito en Γ. Por ello, para un Narbitrariamente grande, en los puntos del anillo Γ se verifican las desigualdades |fn(z)|> N, si nes suficientemente grande. En otras palabras, fz 2n> N si n ⩽ν(N)y z ∈Γ. Cuando zrecorre el anillo ΓR 23⩽|z|⩽R 2, el punto z 2nrecorre el anillo γnR 2n+3 ⩽|z|⩽R 2n+1 . Los anillos γn(n=ν, ν + 1, ...) se interceptan unos con otros cubriendo todo el recinto 0 <|z|<R 2ν+1 . Por consiguiente, en todos los puntos de este recinto se verifica la desigualdad |f(z)|> N. En otras palabras, l´ım z→0f(z) = ∞, lo cual, no obstante, es imposible, puesto que z= 0 es un punto singular esencial de la funci´on f(z). Por consiguiente, hemos demostrado que la familia {fn(z)}no puede ser normal en el anillo Γ0 0. De aqu´ı se deduce que en este anillo existe al menos un punto δtal, que en cualquier entorno del mismo, la familia {fn(z)}no puede ser normal. En efecto, si todo punto del anillo Γ0 0poseyese un entorno en el cual la familia {fn(z)}fuese normal, entonces esta familia ser´ıa tambi´en normal en Γ0 0. Sea |z−δ|<  un entorno arbitrariamente peque˜no del punto δ. Como la familia {fn(z)}no es normal en este entorno, las funciones de esta familia en su conjunto toman en el mismo todos los valores finitos, a excepci´on, posiblemente, de uno. Mejor dicho, para cualquier valor finito A, a excepci´on, posiblemente, de un valor A0, existen funciones fnk(z) de sub´ındices arbitrariamente grandes, que toman el valor Aen cierto punto zkperteneciente al entorno dado. Observando que fnk(z) = fz 2nk 4.3. TEOREMA GRANDE DE PICARD 49 y designando zk 2nkmediante δk, obtenemos: f(δk) = A. Est´a claro que la sucesi´on {δk}converge hacia el punto z= 0 y est´a contenida dentro del ´angulo limitado por los rayos que parten del punto z= 0 y son tangentes a la circunferencia |z−δ|< . Como el punto δest´a fijado y es arbitrariamente peque˜no, obtenemos el siguiente teorema: Teorema 4.3.2 Para cada punto singular esencial z0de una funci´on holomorfa f(z), existe al menos un rayo que parte de este punto tal que en cualquier ´angulo, sim´etrico respecto de dicho rayo, la funci´on f(z) toma cualquier valor finito, a excepci´on, posiblemente, de uno, en una sucesi´on infinita de puntos que converge hacia z0. Es obvio que este teorema es una precisi´on del Teorema grande de Picard. El Teorema de Picard no dice c´omo est´an situados los A−puntos de la funci´on f(z) en un entorno del punto singular esencial, mientras que el ´ultimo teorema afirma que para cualquier A, a excepci´on, posiblemente, de uno, un conjunto infinito de A−puntos se agrupa en las proximidades de cierto rayo (puede haber unos cuantos rayos e incluso un conjunto infinito). El rayo (o los rayos) se llaman rayos de Julia, nombre del cient´ıfico que los descubri´o. Teorema 4.3.3 Sea f(z) una funci´on trascendente entera. Entonces en el plano existen unos puntos, distintos del origen de coordenadas, tales que en cualquier entorno de los mismos la familia {f(2nz)}no es normal. El rayo que parte del origen de coordenadas y pasa por tal punto, posee la propiedad de que un ´angulo de magnitud arbitrariamente peque˜na, sim´etrico respecto de este rayo, contiene un conjunto infinito de A−puntos de la funci´on para cualquier valor finito A, a excepci´on, posiblemente, de uno. Ejemplo. Consideremos la funci´on ez. Esta posee dos rayos de Julia, dirigidos por las partes positiva y negativa del eje imaginario. En efecto, si A6= 0, entonces las ra´ıces de la ecuaci´on ez=Ason: zk= LogA = log |A|+ i arg A + 2kπi. Supongamos, para precisar, que kes positivo. Como la tangente del ´angulo formado por el vector zky la direcci´on positiva del eje imaginario es igual a log |A| arg A+ 2kπ, 50 CAP´ ITULO 4. TEOREMA GRANDE DE PICARD. ´esta tiende a cero cuando kcrece indefinidamente. De aqu´ı se deduce que los puntos zk, comenzando desde uno de ellos en adelante, pertenecen a cualquier ´angulo fijado que sea sim´etrico respecto de la parte positiva del eje imaginario. Para knegativos y para la parte negativa del eje imaginario se obtiene un resultado similar. Obs´ervese que aqu´ı todos los puntos del eje imaginario son tales, que en cualquiera de sus entornos la familia {e2nz}no es normal. En efecto, en cada uno de ellos |e2nz|= 1, mientras que en los puntos que est´an situados en los semiplanos de la derecha y de la izquierda, la sucesi´on {e2nz}converge hacia ∞y 0, respectivamente. De aqu´ı se deduce que para los puntos del eje imaginario no existe un entorno en el que la sucesi´on {e2nkz} sea uniformemente convergente. Bibliograf´ıa [1] W. Rudin, An´alisis Real y Complejo, McGraw-Hill, Madrid, 1988. [2] A. I. Markushevich, Teor´ıa de las funciones anal´ıticas, vol.I y II, Mir, Mosc´u, 1978. [3] B. P. Palka, An introduction to complex function theory, Springer- Verlag, New York, 1991. [4] L. V. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill, New York, 1979. [5] J. L. Schif, Normal families, Springer-Verlag, New York, 1993. [6] ´ E. Picard, Sur une propri´et´e des fonctions enti`eres, C. R. Acad. Sci., Par´ıs, 1879. [7] P. Montel, Sur les familles de fonctions analytiques qui admettent des valeurs exceptionnelles dans un domaine, Ann. ´ Ecole Norm. Sup., 1912. 51