Álgebras de Abel
Full text
Algeb as
de
Abel
po
Juan A ias
de
Reyna
Ma ínez
PRESENTADO
POR
EL
ACADÉMICO
D.
DARÍO
MARAVALL CASESNOVES
Las
unciones de inidas
po
se ies
de
po encias
en un
álgeb a
de
IBanach
no
compa en
con las
unciones
analí icas
más que
algunas
-p opiedades,
po
ejemplo
el
adio
de
con e gencia
no
iene
un
sig-
ni icado
cla o
y la
se ie
puede
con e ge
ue a
de él.
De inimos
unas
álgeb as
opológicas
pa a
las que se
ex ienden
p ác icamen e
odas
las
p opiedades
de las
se íes
de
po encias
en
C.
Las
llamamos
.álgeb as
de
Abel po que
ue
imponiendo
al
álgeb a
olopógica
que
• e i icase
el
lema
de
Abel como llegamos
a su
de inición.
1.
DEFINICIÓN
DE LAS
ÁLGEBRAS
DE
ABEL
Designa emos sencillamen e
po
álgeb as
a
C-á'geb as
con
ele-
men o
unidad,
asocia i as
y
conmu a i as. Podemos en onces
supo-
:ne
C'CA,
siendo
A el
álgeb a.
Conside a emos
a
eces
A
como
anillo
o
como espacio ec o ial sob e
C ; se
a a á
siemp e
de las
co espondien es es uc u as subyacen es
a la
es uc u a
de
álge-
b a
de A.
Llama emos semino ma
en A a una
aplicación
no
idén icamen e
-nula
p : A
->
R al que
pa a odo
pa de
elemen os
a, b de A y
odo
A
>€
C,
e i ique
:
1) p (a + i)
<
p (o) + p
(b).
2) p (a,
b)<p
(a) p
(b).
3)
p (A a)
=
| X | p
(a).
-
496
-
Como
ecuen emen e
se usa el
concep o
sin
impone
la
condi-
ción
2),
cuando
lo
exija
la
cla idad habla emos
de
semino mas
mul i-
plica i as
y no
mul iplica i as.
Usa emos
el
concep o
de
álgeb a localmen e
w-con exa,
es
de-
ci ,
las
álgeb as do adas
de una
opología
de inida
po un
conjun o-
T
de
semino mas
mul iplica i as.
Pa a
más
in o mación,
éase-
E. A.
Michael (*).
Necesi a emos
el
siguien e
esul ado,
que
puede encon a se
e
C.
Ricka .
PROPOSICIÓN
1.—Sea
A un
àlgeb a;
p : A
->
R, una
semino ma-_
Exis e
siemp e
el
lími e
p
(x) = ¡im
^p
(x*)
ü
—>
00
y
es
i.
in
^P
(xa).
Además,
p>
: A
->
R es
una
seminonna
que
e ì ica
O
<
P W
<
p
(x).
Podemos
de ini
ya las
álgeb as
de
Abel.
DEFINICIÓN
1.-—Llama emos
álgeb a
de
Abel
a un
álgeb a
do a-
da
de una
opologìa
localmen e
a-con exa
^
de
mane a que:
1)
La
Topología
"ü
es
sepa ada.
2)
Exis e
una,
semino ma
con inua
p0
: A
->
R, al que
pa a
cada
pa de
elemen os
a, b de A se
iene-
PO
(a b) =
PO
(a)
po
(b)
(igualdad
y no
desigualdad).
3)
Pa a oda
semino m-a
con inua
c
p
: A
->
P. se
iene
p =
p0
( éase
la
p oposición
1}.
4) A es
com,-
pie à
-po
sucesiones,
(*)
Las
e e encias
a
la
bibliog a ía
se
da án
po el
nomb e
del
au o
y, s*
es
necesa ia,
la
echa
de
publicación.
— 497 —
Pos e io men e
da emos ca ac e izaciones
más
simples
de. las ál-
geb as
de
Abel.
Las
condiciones
2) y 3) de la
de inición
son las más
ca ac e ís i-
cas.
Una
semino ma
e i ica
que
P
(x
y)
<
P M P
(y}
En las
álgeb as
de
Abel
se
e i ica ademas
lim
/jp
(xn
1)
= Hm
»/p
(xn)
lim
/p
(yn),
lo
que
e i a
en
pa e
la
des en aja
de
ene
en
P
(x y)
<
p
(*)
P (y)
un
signo
de
desigualdad
y no uno de
igualdad, como
se
e i ica
pa a
el
alo absolu o
en los
cue pos aluados.
La
semino ma
p0
juga á
un
papel
muy
impo an e
en la
eo ía
de
las
álgeb as
de
Abel.
Sus i ui á
en
muchas ocasiones
al
alo
absolu o
de C. Si A es un
álgeb a
de
Abel, deno a emos
po
TA
un
conjun o
de
semino mas
que
de inan
la
opología
de A. En
cambio,
designa emos
po
TA
al
conjun o
de
odas
las
semino mas mul ipli-
ca i as
con inuas
en A.
Pod ían
de ini se
las
álgeb as
de
Abel como álgeb as comple as
en
el
sen ido
de
Bou baki.
Pe o
la
condición
4) es
su icien e
en las
aplicaciones
;
además
en los
ejemplos hab ía
que
añadi elemen os
sin
in e p e ación cla a.
El
ejemplo
más
simp1e
de
álgeb a
de
Abel
es
C.
Da emos
más
adelan e ejemplos
no
i iales.
Un
álgeb a
que
e i ique
odas
las
condiciones
de la
de inición
sal o
la 4), se
di á
p
e
al
geb a
de
Abel;
es as
álgeb as
pueden
comp'e a se
y
o ma
así
álgeb as
de
Abel.
PROPOSICIÓN
2.-—Si
A es una
p eálgeb a
de
Abel,
el
espado
o-
pològico comple ado
Â
admi e
una
es uc u a
de-
'C-àlgeb a
que
in-
duce
en A la
dada
y que
jun o
con
la
opologia
de Ä
de ine
en
A
una
¿'s uc u a
de
álgeb a
de
Abel
que
llama emos
comple c?da.
de e
p eálgeb a
A.
No a.—Como
oda álgeb a
de
Abel
es
p eálgeb a
de
Abel, puede
usa se
la
p oposición
2
pa a ob ene álgeb as
comple as
en el
sen-
-
49»
-
ido
de
Bouba ki
de
algeb as
de
Abel
que
sólo
sean comple as
po
sucesiones.
Sea  el
anillo opològico comple ado
de
A;
sabemos
que es
conmu a i o
y con
unidad (c . Bou baki (19600).
Sea T : C
->
A la
inyección
canònica
; T es un
homomo ismo
uni o memen e
con i-
^
nuo. Exis e
una
p olongación
T : C
->
Â
única,
que
p opo ciona
una
es uc u a
de
C-álgeb a
en Â. La
opología
de  es
sepa ada.
La
opoioga
de A
es á
de inida
po la
amilia
de
semidis ancias
(x,
y)-»/>
(x
—
y),
pa a
p €
TA.
Como
p : A
—>
R son
uni o memen e
con inuas,
pue-
den
p olonga se
a Â,
ob eniéndose aplicaciones
p : Â
->!
R, que
po
el
p incipio
de
p olongación
de
desigualdades
son
semino mas
en Â. Sea
A
el
conjun o
de
Ias
p.
Lãs
semino mas
de
PA
de inen
la
opología
de Â
(c .
Bou bak:
(1958)).
Po
an o,
la
opologia
de A es
localmen e
m-con exa.
Veamos
que es una
es uc u a
de
álgeb a
de
Abel.
De
/>0
se
ob iene
una se-
mino ma
pç
: Â
->
R, que po el
p incipio
de
p olongación
de
iden-
idades
e i ica
PO
(*
y) =
P0
O')
P
(i'}-
» A
Dada
una
semino ma
p €
TA
e iden emen e
p = p,
pues
las dos
coin-
ciden
en el
subconjun o
denso
A de  y son
iguales
a
|>0
po la
misma
azón.
Po
ùl imo,
la
condición
4) de la
de inición
se
e i i-
ca
i ialmen e.
Juga án
un
papel especial
las
álgeb as
de
Abel
que
sean anillos
•de
in eg idad.
Si A es una
p eálgeb a
de
Abel
de
in eg idad,
no
puede
a i ma se
que  sea de
in eg idad.
2. EL
HOMOMORFISMO
: A
->
C
PROPOSICIÓN
3.—Sea
A un
álgeb a
de
Abel.
En onces
A es un
•amilo
local.
Si
designamos
po SV? su
ideal
maximal,
es
A/ZM,
iso-
•mo' o
a
C.
Sea
m
=
{
x
x
e A, * (x) =
0}.
—
499 —
SV£
es un
ideal
de
A,
pues
P»
(x
—
y)
<
Po
(*)
+
¿o
cy)
y
¿o
(a
*)
=
¿o
(°)
#o
W-
Es a
ùl ima elación, jun o
con el se
p„
no
idén icamen e
nulo,
p ueba
que
además
SV£
es un
ideal p imo.
Deci
que a —
¿>
€
SVC
equi ale
a
deci
que
/>0
(a) =
/>.„
(6),
pues
como pa a oda semino ma,
se
iene
I
M")-M6)
.<i0( l
—&)•
Po
an o,
/>.0
induce
una
aplicación
ç
:
A/5VÍ
—>
R
de inida
po
? (a +
SVO
=
P0
(a).
Es a
aplicación e iden emen e e i ica
en el
anillo
de
in eg idad
A/9VÍ
las
elaciones
?
O*
+ JO
<?(•*)
+ ?
00.
?
(A.
*)
= l
A.
I
?
(^),
g
(.
y) =
?
(; )
?
(y).
Podemos
habla
de
A
^
pues o
que
A/SVÍ
sigue siendo
álgeb a.
Además,
q (x)
=
O
equi ale
a
^
=
0.
Sea K el
cue po
de las
acciones
de
A/SV?.
Iden i iquemos
A/SVÍ
con
una
pa e
de K.
En onces
K es de
o ma
na u al
una
C-àlgeb a.
Podemos p olonga
ç
a K de
mane a
que se
con ie a
en
a'.o
absolu o.
En
e ec o,
si dos
acciones
de
A/SVÍ
son
iguales
a/b
=
=
c/d,
se
iene
a d =
be,
luego
q
(»)
q (d) =
q
(b)
q
(c)
y
pod emos pone
pa a
acciones
de
A/SVÍ
a
q (a)
b
=
g
(b)
Se
iene en onces
pa a
x e y en K : 1) | x y
=
x y
•
5°°
—
2)
x + y
<
x +
j
y ; 3) | x = O
equi ale
a x ' = 0. E i
e ec o,
1) es
i ial,
2) se
ob iene di ec amen e
:
a
b
d
a c + d b
b c
1
?
0) 1 (0 + 3
(d)
?
(6)
?
(a
c + d
q
(•»)
(b
c)
£•)
9
(d)
y 3) es
cie o, pues
| x = O
implica
que si x =
(o/i>)
que q (a) = O,
luego
a =
O
;
así, pues,
x = 0.
Como
ya
hemos dicho,
K es
C-álgeb a
de
mane a na u al
me-
dian e
el
homomo ismo
i »
TC
» T = h :
A./5VÍ
K,
donde
es el
homomo ismo
que
de ine
el
álgeb a
A,
ic
la
aplica-
ción canónica
e i la
inyección
de
A/SVÍ
en su
cue po
de acciones.
Pa a
A € C se
iene
I
h (A) | = | i o
«•
o (À) =
g
O o
(A))
=
/>Q
(
(A))
=
=
¿0
(A
-
1) = | A |
p
(1)
=
i A |
(es
i ial
que
/>„
(1)
=
1). Po
an o, pa a
la
C-álgeb a
K se
iene
j
A
x = i h
(A)
x
= h
(A)
| [
*
| = A | | x .
Es
deci ,
K es una
C-álgeb a no mada.
Aplicando
el
eo ema
de
Gel and-Mazu ,
pa a cada
x € K
debe
exis i
X
l€
C al que x —
Ã
• 1 no sea
in e ible
en K,
como
K es
cue po,
x = X • 1. Po
an o,
h : C
~>
K es
sob e.
Pe o
h (C) =
=
A/SVí,
ya que i es una
inyección
;
así, pues,
A/SVÍ
es
isomo o
a C y
SV£
ideal maximal.
Sólo queda
e que A es
local, pe o an es p oba emos
la si-
guien e p oposición.
PROPOSICIÓN
4.—Sea
A un
álgeb a
de
Abel,
pa a
cada
a € A el
espec o
a es
uni a io:
S
p¿
(a) =
{A}.
Si
designamos
po : A
->
C
—
S»'
-
la
aplicación
que
a
cada
a '€ A le
hace
co esponde
el
único
núme o
complejo
en
su
espec o
9 es un h
omomo ismi
o y
P0
(a)
= |
9
(a)
|.
En
e ec o,
sea
p0
(a) = O,
en onces
SpA
(a) =
{0}
;
pa a
p oba lo
•obse amos
que la
se ie
1 a
a*
À
/V
A3
«s
conmu a i amen e con e gen e
en A,
pa a odo
X
€ C con
X
^
0.
Pues
si p
'€
FA)
se á
lim
Vp
KA*4-1)
=
(1/1
A |)
/>„
(a) = 0.
Po
an o,
la
se ie
I
~
I + P I — I
+P
I — I +
•••
^
/
V
¿2
/
U3
/
•es
con e gen e.
La
suma
de
es a
se ie
es
i ialmen e
1/(X
•—
a), lo
•que
p ueba
que
SpA
(0)
=
{0}.
Sea
aho a
a
cualquie elemen o
de A y
usemos
las
no aciones
es-
ablecidas
en la
demos ación
de la
p oposición
(3).
Como
c
(œ)
'€ K
•exis e
¡i
€ C al que
w
(a) = h
(¡i),
es
deci ,
a —
¡x
'€
9VÍ
y po
an o
A
(o —
¡i)
= 0.
Según
hemos p obado,
SpA
(a —
íO
=
W»
luego
esc i o
en
o a
o ma,
SpA
(a) =
{|JL}.
Además,
I
M")
—
|
/»
1
=
I
#0
(o)
-
?o
W <
/>0
(o
-,«)
= 0.
Es o
es,
[i
| =
/>„
(a).
Sólo queda, pues,
e que 9 es
homomo ismo,
pe o
po la
de i-
nición,
9 =
A"1
«
TI.
También
se
ob iene
así que 9 ° T
=
Id.,
c. d. d.
Podemos aho a e mina
la
demos ación
de la
p oposición
3.
íM
es el
único
ideal maximal
de A,
pues
si a no es
in e ible
en
A,
SpA
(a) =
{0}
(usando
la
p oposición
á).
En onces
pa
(a) = |
9
(o)
|
= |
O
| =
O
;
—
5°*
—
es o
es, a €
SV£.
Po
an o,
SVÍ
es
el
conjun o
de los
elemen os
no-
in e ibles
de A, lo que
cla amen e implica
que es el
único
maximal.
Hemos is o unas p opiedades
de las
álgeb as
de
Abel
;
e emos,
aho a
que en
cie o sen ido
las
ca ac e izan.
Tend emos
que
usa
la
ó mula
del
adio
espec al
en
álgeb as
de
Banach.
Si E es un
álgeb a
de
Banach (compleja
y con
unidad)
e-
p esen amos
po
SPE
(x)
pa a,
cada-x
€ E el
conjun o
de los X € C
ales
que
x
—
A no sea
in e ible
en E.
En onces
lim
V||
y?11
= sup I
A.
j
n
—>-«o
AS
Sp
(i)
P oba emos en onces
la
siguien e ca ac e ización
de las
álgeb as-
de
Abel.
PROPOSICIÓN
5.—Sea
A un
álgeb a,
*&
una
opología
localmen e
m-con exa
sepa ada
y
comple a
po
sucesiones. Condición necesa ia
y
su icien e
pa a
que A
do ada
de
^
sea
un
álgeb a
de
Abel
es
que
A
sea
un
anillo
local.
La
necesidad
la
hemos
p obado
en la
p oposición
3.
Supongamos,,
pues,
anillo
local
y
amos
a
p oba
que es
álgeb a
de
Abel.
Sea
SV£
el
ideal maximal
de A.
TA
el
conjun o
de
semino mas con-
inuas
pa a
la
opología
'S.
Sea po in p
€
TA.
El
conjun o
=
•{
x
Ç
A, p (x) = O }
es
un
ideal
de A.
Tenemos
así
de inida
un
álgeb a
B
=
A/¿7.
Sí
x - y € £7 se
iene
p (x) — p
(y).
Podemos
de ini
una
aplicación
de
B en F, que
ep esen a emos
po
¡j
||, de
mane a
que
*
+
s =P
O)-
B
do ada
de || || es un
álgeb a
no mada sob e
los
complejos
;
com-
ple ándola
ob enemos
un
álgeb a
de
Banach compleja
B.
Sea
aho a
x € A.
Pongamos
x =
x
+
3'•
Como
B es un
álgeb a
de
Banach
exis e
un
elemen o
en el
espec o
de x, sea
.
x —
no>
es
in e ible
en
B.
Con más
azón
no es
in e ible
en B. Po
an o-
ampoco
en A.
Como
A es
anillo local, debe
se
x
—
J.
€
SVÍ.
No-
-
5°3
-
exis e
o o
X que
e i ique es a elación, pues
si
uese
x —
A'
€
'M*
se
end ía
X
—
'
€
SV£,
luego
X
=
X',
ya que
SVÍ
^
(1).
Es o
es,.
A/9VÍ
es
isomo o
a C.
Exis e,
pues,
un
homomo ismo
9 de
núcleo-
3V£
de A en C.
Hemos p obado además
que x no
iene
más que a
<p
(x)
en su es-
pec o
en
B.
Según
la
ó mula
del
adio espec al
y la
de inición
de-
la
no ma
II II en B se
end ía
|
i<p
(x)
| =
Km
^¡|
xn
|| =
Hm
</p
(*").
'•
.
00
Es o
p ueba
que si p 6
TA
y q €
TA
se
iene
p = q. Si
a
es a
se-
mino ma
la
llamamos
/>,„
se
iene
p„
(x) = | 9 (x)
j.
E iden emen e
se-
iene
/•0
(•*•
y}
= l «p
(*
y)
l = l
<P
W
P
C )
l =
/>,-,
W
/>„
(y)-
Sólo queda
e que
/>0
'€
FA.
Pe o es o
es
consecuencia inmedia a
de
se
o
<
Pa
W =
P
W
<
P O),
pa a oda
/>
€
TA.
3.
SERIES
DE
POTENCIAS
EN UN
ÁLGEBRA
DE
ABEL
P oba emos
a
con inuación
el.
lema
de
Abel, pe o
es
necesa io
an-
es
de ini
un
concep o
que
juega
el
papel
de la
con e gencia
abso-
lu a
en las
álgeb as
de
Abel.
DEFINICIÓN
2.—Sea
A un
álgeb a
de
Abel;
una
se ie
S
an
de
ele-
men os
de A se
dice absolu amen e con e gen e
si
pa a odo
p €
F^
se
iene
S
p
(an)
'< +
oo.
PROPOSICIÓN
6.—Si
Ia
se ie1
2
an
es
absolu amen e con e gen e
en
un
álgeb a
de
Abel
A, la
amilia
(an)ngA £j
su-mable
y su
suma
coin-
cide
con el
alo
de la
señe.
—
sio
—
Demos aho a
e
;>
O y sea x € K
exis e
m
(x)
al que
/„co
(*)-/(*)<
«A
Us a
igualdad
se
e i ica á
en un
en o no
V (x) de x.
Así, pues,
í6V(*)
=>/m(J )(í)-/(í)<«A
Un
núme o
ini o
de
es os en o nos
V
(*,),...,
V
( )
-cub en
K.
Pa a
cada
i (1
<
i
<
)
exis e
un
na
(x¡)
al que
n
>
nü
(*,)
=>
/Ä
(*)
<
e/2 +
/„^
(*).
Sea
N el
mayo
de los
nQ
{x¡)
y sea € K.
Pa a
a'gún
i, í € V
(#¡).
Pa a
es e
i se
iene
si w
>
N
/„
(í)
- /
(í)
<
«/2
+
/m
( .,
(í)
-
/
(í)
<
e/2
+
«/2
=,
«.
Es o
es,
dado
s
>
O,
hemos encon ado
N al que si n
>
N,
!/»(«)-/(<)!<«
pa a
í 6 K.
Pa a
e mina
la
demos ación
del
lema
3
enemos
que
p oba
•que
dados
w€
N y s
>
O
exis e
na
al que
»
>
»o
y
*
€ K
=D>
X
W
<
«
+
V«m
(*)•
Obse emos
en
p ime luga
que
«„
es
con inua
y se
e i ica
M„+m
W
<
«n
W
«m
(*)•
Dado
w, sea
«.
•€
N ;
di idiendo
se
ob iene
«•
= q m + , con
<
< m.
En onces
«>
*„
W
<
Mm
(X)
...
Um
(X)
»
(X)
=
«m
(*)«
«T
(X).
—
5" —
Tomando
la
aíz
w-ésima
i
"'
Á/«n
W
<
( X7<X>)
"
(«
W)""
Como
VMm
C*1)
es
unción
con inua
en K,
iene
un
máximo
en
K.
Sea M. La
unción
(A-,
x)
i—->
. *
de inida
en el
ec ángulo
[O,
M] x
[l
—
8,
1 +
S]
con
O
<
S
<
1 es
con inua.
Po
an o,
uni o memen e
con inua.
Exis e
en onces
8'
al que O <
8'
<
1
y
(x,
a) €
[O,
MJ x [1
—
8',
1 +
8']
=>
A-a
—
*
| <
e/3.
Po . an o,
a
pa i
de un
n'a
se
e i ica
£
w
(
n
l K
ȕ
V«m
M/
<
V
•*„
(*)
+
e/3.
£ í
/WZ
1
»
>
»'„
=î>
Pa a
O
<
< OT,
w
(T)
es á aco ado
po una
cons an e
L.
Pa a
3»
<
L y
<x
> O
es
y*
<
La
y lim
L
= 1;
exis e,
po
an o,
un
»„"
al
.que
'.
«-»-o
K
w
>
"o"
y
°
<
<
»«
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V«*
(*)
<
!
+
e'-
Tomemos
e'
<
min
{2/3,
s/(3
M)}.
Sea
aho a
«0
=
max.
{w'0,
MO"}
y sea n
>
«0,
se
iene
•
n m
-i
n
V«n
(x)
<
V'«m
W +
e/3
[1 +
e']
<
/«m
(»
+ e/3 + M
e'
+
+
e'
e/3
<
V»m
(j )
+ e.
Podemos aho a p oba
que una
se ie
de
po encias con e ge uni-
o memen e
en
compac os.
PROPOSICIÓN
11.—Sea
S = S
an
Xn
una
se ie
de
po encias
en
un
álgeb a
de
Abel
con
adio
R
>
Ò.
La
se ie
2
an
zn
con e ge
uni o -
memen e
en
compac os
de
{z
| z € A,
pc
(z)
<.
R}
hacia
S
(z).
-
512
-
Sea K un
compac o con enido
en
{
s
I e A,
pa
(2)<
R }.
Sea p €
A
una
semino ma. Debemos p oba
que
dado
s > O,
exis e
n0
al que
n
>
«0
y 2 € K
/>
(
^T
an
^
)
<
«-.
«-X
«o
Conside emos
las
unciones
p
(¿ ")
de inidas
en K. Se
e i ica
p
(^+»)
<
p
(")
p
O»).
Seg-ún
el
lema
3,
»Jp
(z"~)
con e ge
simplemen e
en K. Po se A
un
álgeb a
de
Abel, sabemos
que su
lími e
es
p„
(s}.
Además,
en
un
álgeb a
de
Abel,
/>0
(s)
y p
(#*)
son
unciones
con inuas.
Po el
lema
3 se
iene
lim
N/H^)"
=
p0(z)-
uni o memen e
en
K. En K,
p0
(s)
<
R.
Pe o
po se
K
compac o,
''se á
p0
(s).<
pa a
un
cie o
<;
R y
odo
z € K.
Sea
<
'
•<
R ;
como
el
lími e
se
alcanza
uni o memen e
en K
exis e
m.0
al que
«
>
»no
=Í>
/.
(s»)
<
'».
Se
puede en onces encon a
una
cons an e
M.
al que
s € K
=í>
p
(z")
< M
'«.
Sabemos
que
R es el
adio
de
con e gencia
de S ;
así, pues,
o-
mando
' < p < R se
iene
lim
>
K) <
I/P.
Exis e
en onces
«.„
al que n
>
w0
implica
>
(
2
"
)
^
,£
'(a>i)
M
"'
ya
que '
<.p:
'"
<e
M
^
«0
«
^
«0
-
SU
-
El
eo ema
análogo
en el
-caso
clásico pe mi e asegu a
que la
uncióli
S (z)
asociada
a una
se ie
de
po encias con e gen e
es
con-
inua.
Como
las
álgeb as
de
Abel
no
son,
en
gene al, localmen e
compac as, es e azonamien o
no es
álido aquí.
A
pesa
de
odo,
la
unción
S
(z)
es
con inua, pe o és e
es un
esul ado
que hay que
liga lo
al
c i e io
de
anali icidad
que
es udia emos
a
con inuación.
La
con e gencia
uni o me
nos
se á,
sin
emba go, ú il pa a
p oba
la
exis encia
del
desa ollo
de
Taylo
de las
unciones
egula es.
Clásicamen e
se
de inen
las
unciones
analí icas
como
unciones
de inidas
en un
abie o
y
conexo
de C qu een
cada pun o admi en
un
desa ollo
en
se ie
de
po encias.
Es a
de inición
es
con enien e
po el
hecho
de que los
conjun os donde con e gen
las
se ies
de
po encias
(los discos)
o man
una
base
de la
opología
de C.
En un
álgeb a
de
Abel
los
«d:scos»
i= s
Ç A.
pa
(*)
< R }
no
o man
una
base. Apa ece
de
es e modo aquí
la
necesidad
de
con-
side a
la
opología
en A
pa a
la que
es os discos o man
una
base
E iden emen e es a opología
es la
de inida
po la
semino ma
/>o
po
an o
no es
sepa ada. Hemos usado
*5
pa a
designa
la
opo-
logía
en A que
hace
de A un
álgeb a
de
Abel. Llama emos
"£.„
a
es a nue a opología.
"&0
es la
opología menos
ina
que
hace con-
inua
la
aplicación
9 A
->
C. Si U es
abie o
de
;C,
"1
(U) es
abie -
o de A
pa a
"??,„
;
ecíp ocamen e,
si V es
abie o
de A
pa a
*£>.„,.
cp
(V) es un
bie o
de C y V =
<?~l
(9
(V)).
Es as
conside aciones
hacen
i ial
el
hecho
de que un
abie o
V de A
pa a
*£><>
es
conexa
si
y
sólo
si lo es 9
(V).
Llama emos
egión
de A un
conjun o
de A no
acío abie o
y
conexo pa a
-
Dada
una
egión
de A
u,
cp
(Q)
se á
una
eg'ón
de
C ;
ecíp ocamen e,
si G es una
egión
de C,
9"1
(G) es
una.
egión
de A.
Siemp e
que
hablemos
de la
opología
o de
algún
concep o
o-
pològico
en un
álgeb a
de
Abel,
se
en ende á
que nos
e e imos
a
la
opología
*5,
sal o
que se
indique
lo
con a io.
El
concep o
de
egión,
sin
emba go,
se
e e i á siemp e
al
de inido
a iba.
Podemos
de ini
el
concep o
de
unción
anal ica.
DEFINICIÓN
3.—Sea
A un
álgeb a
de
Abel;
O,
una
egión
de A;
ï
: O
->
A una
aplicación.
.Di emos
que es
analí ica
si
pa a
cadc
—
5¡4
—
a €
û
exis e*
una
se ie
de
po encias
con
coe icien es
en A y
adio
no
nulo
S
=
2
an
X*
al
que
í
(z)
= S (z —
a)
en un
en omo
en
"G
de a.
No a.—P oba emos
más
adelan e
que en
es e caso
/
(£)
=
= S
(2
—a
) en un
en o no pa a
'S«
de a.
Admi iendo
la
no a
que
p oba emos cuando es ablezcamos
el
eo ema
de
Cauchy,
amos
a
es udia
una
elación impo an e en e
las
unciones
analí icas clásicas
y las
aquí
de inidas.
PROPOSICIÓN
12.—Sea
ï
'•
U
->
A una
undón
analí ica
de inida
en
la
egión
U
del
álgeb a
de.
Abel
A.
Pongamos
<?
(u)
= G.
Exis-
e una
unción
analí ica
única
g : G
->
C que
hace conmu a i o
el
diag ama,
a
>-
A
91
19
G
„
C
Sea a € G.
Exis e
a € Q al que
<p
(a) = a ; /
admi e
un
desa o-
llo en
se ie
en un
en o no
(en
"So)
de a. Es
deci ,
/
(*)
=
£
«„
(a
—
«)"
pa a
9
(s)
€
AB,
donde
A*
es un
disco
de
cen o
a en Ç.
Como
<p
es
con inua
?(/(*))
=29(on)(w—
«>",
donde hemos
pues o.w
=
<p
(#).
Además,
la
se ie
del
segundo
m'em-
b o
con e ge
con
segu idad. Bas a pone pa a
w
€
Acc^
(w)
=
E
<p
(«„)
(w
—
a)"
y
se
iene
que
ç
es
analí ica
en
A«,
y
al
que
pa a
o
(^)
'€
A
ï>(/(2))
=
í
ΫP
(*))•-
G
c
ü y
podemos
de ini
-g'en
G po
g
(w)
=
<p
»
/
(w).
—
515
—
Si
hubiese solución
al
p oblema se ía
esa g,
pe o
el
azonamien o
an e io
p ueba
que esa g es
ana'í ica
en G y
e i ica
la
condición
del
eo ema.
Vamos
a
p oba
a
con inuación
un
c i e io
de
ana'i icidad.
PROPOSICIÓN
13.—Sea
S = £
an
Xn
una
se ie
de
po encias
con
coe icien es
en un
álgeb a
de
Abel
A y
adio
no
nulo
R. La
unción
asociada
,?
de inida
en la
egión
AA,
=•{*!*
6^
PO(X)</?}
es
analí ica.
Más
exac amen e
;
las
de i adas sucesi as
de S
ienen
el
mismo
adio
que S y si
«
•€
AR,
la
se ie
Sa
=(S<«(a)/«
!)X»
iene adio mayo
o
igual
que R —
p0
(a) y se
e i ica
S
(j)
=
S.
(*
-
a)
pa a
,
_.
„
€
{
[
x
€
A,
po
(V)
<
R
-_
pa
(a)
}.
La
de i ada
-ésima
es
SC
=
£
((
+
s}
/s
!)
a +s
X'
s
y
sabemos
que el
adio
de
es a se ie
es R
(p oposición
10).
Po
an Oj
los
núme os
sin
(a)
es án
de inidos,
así
como
la
se ie
Sn.
La
se ie
S«
conduce
de
mane a na u al
a la
se ie doble
£
((
+ s)
J
s )
a +s
a'
(2
—
a)'.
,
s
T a a emos
de e que es
absolu amen e
con e gen e
pa a
2
—
o,€
{
*
x-c.
A,
po
(x) <
R
—
pa
(a)
}.
-
5i6
- , •
Sea p
'€
I
una
semino ma
de A.
Pongamos
p =
R
—
p„
(«).
En-
onces
/>„
(5
— l) < p.
Sabemos
que
lim
Vp
{(z
—
ay
} =
p0
(z
— o).
Luego
si
P„
(z
— a)
< i
< p
exis e
un M al que
P
•{
(z
-
a)"
}
^
M
^.
Anàlogamen e, como
p.3
(^
—
a)<
l
< R —
/>0
(a)
exis e
..¿
al que
pl)(d)< 2<R
—
i,
ya que
,,
. .
P0
(z
—
a)
+
p0
(a)
< ^+
pa
(a) < R.
Exis e
en onces
un N al que
p
(«»)
<
N
2».
En onces
£
PÍ
((
+
s) / s )
a +!
a*
(z
-
a)*
}
<
£
((
+
s)
/
s )p
(o +s)
N
M
/
;
s s
= N M
V1
p
(an)
( L
+
¿p
< +
oo,
n
pues
T!
+ , <
R.,
y
como
R es el
adio
de
S.
Km
J
p
(OB)
<
(l/R).
—
517
Po la
p oposición
6 la
amilia
es
sumable
y
pueden
eag upa se
sus
é minos
;
amos
a
hace lo
de dos
mane as dis in as.
Una
p ime a
ag upación
p opo ciona
V((
+ s)
/
s )
a
a*
(n
-
ay
=
V
an
V
/
"
(z
-
a)"
a"-"
=
Tí*
n
'
^
'
=
V"
O
3» = S O).
.¿_J
O a
ag upación
es
^T1
((
+
s)
/
U !)
a +s
a*
(g
-
a)"
=
^
(z
-
a)"
(
(1/
!)
^
(
+
í)
¡A
!
« +s
a-5')
5
=
V
(s
-
a)'
(S'
0)/
!)
=
S,
(a
-
a).
__;
Es o
implica,
po un
lado,
que e
I adio
de
S<¡
es
como mínimo
p„
(z
— a), que lo
hemos omado
de
cualquie modo siemp e meno
•que
R —
pa
(a) ; es
deci ,
el
adio
de
Sa
es
mayo
o
igual
a
R
—
Po(a)-
En
segundo luga ,
S
(0)
=
Sa
(z
—
a), lo que
p ueba
la
anali icidad
de S.
Vamos
a
con inuación
a
ob ene
algunas
consecuencias
del
eo-
ema
an e io .
PROPOSICIÓN
14.—Sea
A un
álgeb a
de
Abel;
:
U
->
A
una,
junción
analí ica
de inida
en una
egión
û
de A, es
en onces
con-
inua
en
Û.
Sea a
>€
ü ;
amos
a
p oba
la
con inuidad
de / en a.
Exis e
una
se ie
de
po encias
S de
adio
no
nulo
al que en un
en o no
V de a
se
iene
/
(Y)
= S (s —
a).
Como
la
aplicación
que
pasa
de z a z — a
es
con inua
en a,
bas a p oba
la
con inuidad
de
S
(s) en 0.
Pe o
es o
es
i ial, pues
si
.s=2>>
n-^O
sea p €
A
y
demos
e > 0. Se
iene
S (0) =
aa
y
p
(S
(3)
- S
(0))
=
p
(
^
an
^
<
£
p
( >n)
p
(zn}
<
£
p
(OB)
p
(s)».
K^l
l^l
í^l
-
S'«
-
Pe o
la
se ie.
S
iene adio
no
nulo
y po la
p oposición
7 se
ded u
ce
que
2
p
(a«}
X"
»^i
iene
un
adio mayo
o
igual.
La
unción
de inida
po
es a
se ie
es
con inua
y se
anula
en O
luego
exis e
8 al que
p
(z)<
S
=>
(S
(z)
— S
(0))
< e.
PROPOSICIÓN
15.—Sea
A un
álgeb a
de.
Abel;
í :
u->
A
una
unción analí ica.
Sea a
'€
û. En un
en o na
de a
(sal o
en a)
es á
de inido
el
cocien e
inc emen al
(
(z)
-
(a))/(z
-
a)
= g
(z)
y
exis e
el
lími e
de g (z)
cuando
z
->
a.
No a.-—Cuando
A no sea
anillo
de
in eg idad
no
podemos ase-
gu a
que el
cocien e inc emen al
sea
único
;
pe o e emos
que
exis e
una g al que
(s- -a)
£
(*)
=/(Y)-/( l)
:
que
e i ica
las
condiciones
del
enunciado.
Más
adelan e
se
puede
p oba
que
és e
que
de inimos aquí
es el
único cocien e con inuo.
Po la
p oposición
13
sabemos
que
puede esc ibi se
/(*)
=
/(«)
+S
O
—a),
donde
S es una
se ie
de
p ime
coe icien e
nulo. Pongamos en on-
ces
g (2)
=
T (z — d),
donde
T es la
única se ie
al que X T
=
S.
Sabemos
que la
se ie
T
iene
el
mismo adio
que
la
S y
además
/00
=/(a)
+6
(«-")
+
&2(*-o)2
+
.-
Es
e iden e, después
de la
p oposición
14, que
exis e
el
lími e
de
g
(z).
Puede
asegu a se
que
el
lími e coincide
con el
alo
de la
se ie de i ada
,en a.
Bas a compa a
las
demos aciones
de las
p o-
posiciones
13 y 15.
—
5'9
—
Po
úl imo,
eamos
que una
unción
analí ica
es
di e enciable.
Usa emos
la
eo ía
de la
di e enciabilidad
desa ollada
en J.
A ias
de
Reyna ( esis).
PROPOSICIÓN
16.—Sea
A un
álgeb a
de
Abel;
1 : O
->
A una
unción analí ica.
Sea a
€
Q.
í es
di e enciable
en a y la
di e encial
iene
la
o ma
D { (a) (x) = b • x.
Donde'
b
€.
A es el
coe icien e
de
(z
— a) en el
desa ollo
de en el
en o no
de a.
Sea
/(^
=j(a)
+ b
(s-a)
+
•&,(*
—o)*
+ ...
el
desa ollo
de /
(s)
en el
en o no
de
a.
Pongamos
(S~a)
=
(2)
—
(a)~b(3
—
a)
=
b2(z-a)*
+ ...
Bas a p oba
que es
es o.
es
con inua
en un
en o no
de
O,
luego
dado
K
compac o
que
con iene
a a,
exis e
un
en o no
de a al que (V
i
K) es
ela i-
amen e
compac o. Sólo queda
e que
li a
(1/í)
( z) = O
o nando
el
lími e cuando
->
O y z
€.
K.
Es o
es
li a
(&2
s2
+
&3
2
s3
+
...)
= 0.
Es
deci ,
* • lim
(&2
(./*)
+
b3( z)*
+
...)
=0.
Po se K.
compac o
y la
unción
62*
+
b3
z*
+
b
zs
+ ...
con inua
en
ce o,
el
esul ado
es
i ial.
Llamemos
L A el
conjun o
de
aplicaciones lineales con inuas
de
A en A
de inidas
po
cada elemen os
a € A po se x
—-*•
a x. He-
mos
is o
que si / es
analí ica
en a, D / (a) € L A.
Es as
son
p e-
cisamen e
las
condiciones
de
Cauchy-Riemann
en el
caso
c'ásico,
de
mane a
que
podemos espe a
la
alidez
de la
p oposición
: