Cálculo fotoelástico de factores de intensidad de tensiones mediante desarrollos en serie. Estudio numérico

218 USWU.: ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA VOL.7 {1990) C.UCUO I'O'lOEU.S' .ICO H FAC!'OUS H I :USDU 11 ' DSmDS IIEID E IESAIJOU.OS :U SDD: . ES' DIO llll ÚJ:CO. 1.. Hoóa. D4 pu u.n o de s oinioe. de :S dios Con inuos . E. '!.'. S. !Dqenie os IMus ie.lu de S. ill .. A d .. ..w i oedes s/n. 41012 S. ill .. Los é odos o oelí.s ioos MÚ po en es pe. . u ilau los ooe ioien u de in ensid .d de ensiones son los q'l» unn los d . os o oelú ioos expe iun .lu p .n .jus . los ooe ioien es del dne. olo en se ie de las ñlloioMS de ension 00111pleju, a p . i de lu o'llal.es se ob iene el cupo gene .l de ensioMS. En es e nbe.jo H nliza UD. es udiO nuH iOO de la in l'l»nci . en los uul .dos de .lguDOS de los .o o es q• in l~n en el p oouo. En 00110 e o se oonsidenn el ipo de ñlloión de e.jus e u ilizd ., el nw o de ooe ioien es de e.jus e US .dos, '1 la iMlusión o no de o os p . Í.H os de . jus e. '1'» 1110s pow ll pho oelu io ~~~e hods o ob .in s ess-in ensi y .o o s . e hon bued on s us-. uno ion se ies exp .nsions. '1'» ooe ioien s o his exp .nsions a e i o » expe iun e.l isooh om . io p . e n usinq .n on de enainis io IH on-~phson lns -squa es u hod. In his p .pe , e. nUH ioe.l s udy has bnn Mde o .Ml H » in l'l»noe on he u ll s o. se enl pe. .~~~e e s, speoi. io .ll' » . i uno ion, » n'Uiabe o i ooe ioien s, .1'ld » inolusion o no o o he i pe. .~~~e e s 1 . - IlmODUCCIOJI' ensioMS en unción de los ac o es de in enside.d de ensiones (FI'l') y, en su caso, de o os p . í.u os, pe llli e plan ea el p oble~~~ . de busca los nlo es de XI y Xn (y de los o os pe. í.ae os, si exis en) qu consigan un ujo ajus e en e l . ~ e.(1) y los da os expe iMen ales. En p incipio, el p oblelll . de H i.... o oelás io .Hn e los ac o es de in ensidad de ensiones X¡ y X¡¡ n plan ea de o .... •111 siMple. La. o o.lu icide.d p opo oicm& el e.lo de l . ensión angencial aáxia . lia en los pun os de une. isoo oaá ica de o den :1 en l . o ~~~ ., De.lly. [1): silmdo A. el ac o de anja y •e• el espeso de l . pl .o .. La. e.p oxill .oión del enso de Inioial.aen e lu exp esiones de l .s ensiones u ilize.de.s . ue on lu del oe.apo sinq ll . , álido en pun os auy p 6xillos e.l bo de de l . g ie e., lo qu o n p obleae.s al equ i Hdide.s en ese. zona, en la qu ap& l Cel di e sos ipos de no linee.lidades y en la qu los e o es de Hdida pueden ene une. g an in l'I»JJIia. Pos e io un e 1111 on siendo usados aí.s énliDos en l .s ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA VOL.7 (1990) 219 ap osiaaoiODH 4! J.u UDsioJlH 1 lo que po ni ió uplia la zona de Mdi4a; K e p OOHO oul.llin6 en ap oxiaacioDH de lu ensioJIH en . o M de desa ollos en M i ' en los c ae la zona de Mdi4a p de H 1 en p úloipio ~a 1 oMMo el ll'6M o ~ de Un 1nos de la M i ' (Yn [ 13) pa a 1JII. Hisión de H odos) . En HU> abajo H •u s u. p iM o b n.-n . los . undu.n os de los H oclos de clHUTollo en H ie ( mS) paÁDdOH l' 11P90 a conside a la in i' »:ocia, en los uul aclos nw icos ob .niclos 1 de una H ie de . ac o u COMO son •l ipo cliP . uDoión el• ajus • u ilizada, el nÚH o de ~. ioiiPn H de ajus . usados '1 la i.nolusión o no el• o os pa é.H os cliP ajus .. 2 . ECVACIOIES BUICAS plano pu.d• s. luncion s Z(z) '1 Z • X + iy (2). exp ese.cla a pa i de las l(z) de la a iabl• COMpl•ja Dos posiblK . o •s de la aiXX = P..Z¡ - y:üaZ' I + ya l' - 2b l ai:n .. P..Z + y:üaZ' I - ya I (2) a x = - yM' I + yb ¡' + X. l anxx • 2I.Zn + ybZ' II - yb ¡' II - I• ln oiil'l' .. -yM' II + yb ¡' - X. ln (3) aiixx .. P..Zn - y:üaZ' II + yiM l II Po supues o las ep es.n aoiODH de las e<:s. (2) 1 (3) son ~nlen u; 111 uso de dis in as .hnoion s el• .nsión ien po objiP iYO siMpli. ioa las IPXp KiODH diP las oondioiODH de con o no •n los oasos el• cliP. onaoión HqÚn el MOdo I (oaso siM ioo) 1 el MOdo II (oaso an isiÑ ioo) . Asi, s~H c ae •xis . lDII. g ie a A'lliillde. illida en J=O, X<O; lu OOlldioiOn s de con o no son: OI.SO ~ioo: aix 1 =0 •n : =O ~ X. l -0 en : =O ai:n=o en •0 1 x<O ~ P..Z¡-0 en 1=0 1 x<O (4) caso an isiM ico: La npe posición de lu ensio iK en ubos H a4os da el cupo o al de nsion s (6) ObYiuen e las oondioiODH el• con onlo de. illidas po las eou.oiODH(4) 1 (S) s6l.o ep oduo.n el K aclo ensiOJI&l en un ex eMo de la g ie a po lo que el cupo ensiOJI&l de. illiclo po las e-cs.(6), (2) l' (3) no debe H usado pa a el ajus e de los es ados ensiOJI&lK en zonas en las que in iu u ubos bo dK de g ie a. A con inuación las .hnoiODH de ensión son clKa olladas en H ie de po e:ociu. Una o ... de K os dKa ollos que a is aoe las oondioiODH d• con onlo (4) 1 (S). adMS de con eM los W ai: .os siil;ul.UK adeoUIII.dos es en las c ae &o l' B0 son p opo oiOll&les a los ao o K de in ensidad de ensiOl'l S ICI 1 ICn, que ca ac e iz .n el peso de las dis ibuoiODH siD;ula K el• ensión c ae apa eo on •n •l bo de d• lDII. g ie a. La idn de exp esa las .hnoioDH de ensión Mdiu e clHUTollos •n s. ie no es n"~»Ya. Fu& ya plan eada po l':illius [3] 1 u ilise.da en din sos abajos [4,5,6,?] sobn la ob .:oción de IC¡ Mdiu e 9cmcas o oelás icas. Pos e ionen e, es a H oclolog:í.a b g&M ü.izada [8) pa a a a p oble...s Mix os, en los c ae apa ecen XI l' In (Ecs. (?) 1 (8)) . En HU> Hn ido cabe HnoiOll& c ae en [8) la . uDoión ln(z) no b i.noluida en el plan .ui•n o, a mq 11 si ¡ 1 (z) . A p io i, no pa ece habe n:i.n;une. azón pa a no inclui 'l 11 . Mi, si a aMos oon un p ob1eK siM ioo la solución gel'l al debe Hg'Ui depeMiondo el• dos .hnoioDH de n iabl& 00111paja, al 001110 apun ó S .n o d (5] lo c ae hace l'll'OKI. io inclui l (z); a DiYel isioo, el p iMe é aino del desa ollo de ¡ 1 (z) K ( asociado al p obl .... de lDII. plaoa SOH ida a acción (o ooap Hión) ho izon al(Oxx cons an e) siendo el ooe. ici.en e C0 p opo cioll&l al é aino Oox u ilizado en la li e a u a ,In .in, 220 ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA VOL.7 (1990) [9).bálo;uen e 1, si a. uos oon un p oblna an i~ ioo 1 la soluoi6n deb4 n up ue.de. n . ullci.ón de dos . ullci.ODK Zu 1 Tlui a ni: el . isioo 1 el p il e éna:i.Do del dHUTOllo de Tlu(z) n á asociado al p oblna de lll& plaoe. SOM ida a 110111 n o . leo o ( Ou: li.J:lee.l. oon 1) . La sus i ución de las eos. (7) 1 (8) en las eos. (2) 1 (3) 1 (6) penai e exp ne. las eDSiODK en unción de los ooe icien es de los dH& ollos '! de la a iable z; poniendo @s e. n la . ona Z = ei9 A ob end ia 1 siJabólioe.Mn e 1 (9) Sus i U]'endo las ecs (9) en la ec. (1) ob .nd i'MOS la ecuación de lll& isoo OIIIé. ioe. de o den 1 ¡ silllb6liouen e és a se esc ibi ía (10) La apa ioión . ecuen e de una oius ioe. en el ex eMO de la g ie a Mc! 1.001 Sejable ixlclu:i. como pa áme os de ajus e las coo d~m .du: del ex eMO de la g ie a 1 Xc 1 ' 0 1 una idea que 1a ha sido S'l'lgll ida oon an e io idad 1 P.osSIII.lli. h 1 [7) . Los ooe. icien es de la 110. ( 1 o) • en nw o I+H+P+0+2-'1' , son calculados pe. ioule. izando dicha ecuación en S pun os de dis in as isoc oma ioas, d• inidos oe.da uno d• •llos po unos alo e-s 51 95,Js (s=1,S). Así se ob i•ne •1 sis e.a no lineal de eouaoiODK. Si enqlobuos odos los ooe. ioien es en el ec o I ( -11'1') lu ecs.(11) quedan F5(X ) • O; s • 1, S (12) La eleooi6n M.s oo:n eni.en e pa a lldmm:ize. los e o es de medida es oM 'l'<S lo que oon'l ie e las ecs. (12) en un :sis eM sob ede enainado no li.J:lee.l. de ecuaciones. Dicha sob ede enainación hace que en gene al dichas ecuaciones no puedan sa is. aoe se exac uen e 1 po lo que pa a oe.da ec o X puede de ini se un ec o esiduo Rs • F 5 (l ) . Hl die.n e un mé odo i e a i o que OOMbi1ll. el mé odo d• :IH on-Raphson (D) oon el de MÍMiDcs cuad ados [ 1 O] , se busoe. el oonjun o de alo es de los ooe. ioien es ( ec o x ) que IDinimiza el módulo del ec o Hiduo. 3. ASPEC!OS ll mlUCOS Esi.s e alqu:aa li e a u a [ 11] sob e el oompo uien o del l i odo de Desa ollos en Se ie ( mS) desc i o, en el caso de exis i sólo XI, pe o no oo:DOCHOS es udios oompe. ables pa a si uaciODK en lu que se p oduzoe. Xn sólo, o XI 1 Xn conjun amen e. Es e abajo in en a eai:a un análisis del oompo uien o nw ioo del mS en es e Úl imo caso. En p iu lw¡¡e. 1 oe.b4 unoione. que exis e un g an niae o de . ac o es suscep ibles de a iación a la ho a de ealiza un es udio nw ioo. li moionnos e.qui los ~: a) El ipo de . unoión de ajus e a u iliza b) El :núme o o al de ooe. ioien es de ajus e u ilizados o) La inclusión o no de las coo denadas del bo de de g ie a en el ajus e d) La oonside e.oión o no de la . unción Tln e) La sol uci6n inioie.l escogida . ) El núme o de pun os de ajus e u ilizados g) La dis ibución de es os pun os Es di icil MI.Di je. pa e.Ñ ioe.un e odos es os . ac o es. En es e abajo hHos cubie o, a eou en . o ma no exhaus i a, aspec os nw ioos elacionados oon los cua o p iu os apa ados. El caso analizado se mun a en la Fig. 1. 39 85 Fig. 1 . P obe a u ilizada Espeso : e=4 •· Fac o de . anja A =0'75 Kql• Ca ga o al aplioe.da.=27 !Cq. ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA VOL.? (1990) 221 Delibe adamen e se ha escogido una dimensión de la g ie a pa a la que no exis e solución analí ica del p oblema en los manuales clásicos [ 12] . l ues a de inición de si un ajus e es o no acep able se basa á en el pos e io azado g á ico de dicho ajus e, q 111 se supe pond á y compa a á a los pun os eales in oducidos. Una o og a ia del campo de isoc omá icas ob enido se mues a en la Fiq. 2, co espondien e Fig.2. Campo de isoo omá icas. a oampo cla o . MeMás, se han usdo las isoc oMá icas ob enidas en el co espondien e caMpo oscu o. Con obje o de no hace in e eni los ac o es ) y q) se ha oMado un ele ado nÚMe o de pun os , l!>n concn o 443 pun os , q 111 se han dis ibuido sob e odas las isoc omá icas, dl!>sdl!> E!>l o den 1 '5, co l!>spondil!>n e a la más ex l!> na, bas a el o den 7, co espondien e a la más in e na. Un dibujo del conjun o de pun os se mues a en las Fiqs .4 y 5. Como solución inicial se ha omado en odos los casos K = K = 1 y el es o de los coe icien es nulos. 4. ESTUDIO l ll 1 RICO An es de en a a de ini los es udios panmé icos ealizados debe menciona se que en ocasiones el mé odo de IR con l!>ncional no con e Q adeouadamen e,p oduciendose c ecimien os de esiduos en e dos i e aciones, lo que indica la exis encia de un Minimo nla i o de. dicho esiduo en el in e alo. Es e hecho, comen ado en o o abajo [13], panoe es a asociado al aUMen o del nw o de Minimos ela i os de la unción esiduo a medida que aumen amos el nÚMe o de oodici m es, pues no se ha p esen ado en ninquno d > los casos pa a bajo nÚMe o de coe icien es, en los cuales >l mé odo oon encional d > IR ha unoio: ado adecuadamen e. Pa a al o núme o de coe icien es si se ha encon ado con eo1»noia mal uncionamien o del mé odo connncional. Consecuen emen e se ha implemen ado un mé odo de IR modi icado en el cual se p ocede como siq1». Si >l mé odo con encional dá un nsiduo c ecien e, és e se e alua en la mi ad del in e alo, en los dos e cios cen ales, e c .. , e eniendo como esiduo ac ual el p ime o q1» sea meno q1» el del in e alo comple o. Con es a me odología se asegu a la oon ~ Q noia , al menos a un minimo ~ la i o. En la Fiq.3 se ha ep esen ado el alo 4 -e-RE(2-0-15)-FO-N 3.2 -&RE(2-0-15)-FO-NI'1 2.4 1.6 0.8 ITERACION o 4 6 8 1 o 12 14 16 18 20 22 24 Fiq.3. E olución del esiduo pa a el caso (2-0- 15)-FO. 1: l:i odo oon encio: al. 1M: l:i odo Modi icado d~ l ~ siduo •n unción d~ l nÚMe o de i e aciones pan un oaso d• al o nÚMe o de coe icien es con el Mé odo oon encional y con la. e sión modi icada del mé odo. Es a e sión modi icada ha sido u ilizada pan odos los casos q1» luego d > allanmos. 222 ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA VOL.7 (1990) La exp esión básica ( 1) ¡n»de po m'H de d.is in u o aas (12).(13) F2 • (~ll 2 )(2 a)2_J2.o,,F 3 e (~ll2J2)(2 a)2_1•0 (14),(15) Ob iuen e odas son equi alen es si H ouaplie a es io uen e la igualdad a oe o, pe o en el oaso eal de ajus e eso :oo se á así, oh •ni•ndOH UDU 0011pon n es d•l ec o Hiduo •n los segundos MieMb os, po lo q• o .lle pellA p el op illo di ie a de u a a o a u:ooión. 4. 2. O os . ac o es Las al e na i as adop adas se iden i ican po u a clan de es nÚMe os a-b-o p indican, el p iH o, si Xc, Yo se han illclu:i.do o :oo en el ajus e ( alo es 2 6 O); •1 segando, •1 nÚMe o de ~ ai:oos d•l desa ollo d• la u:ooión 11n: (•o.(S)); y el e ce o, •1 ZlÚIIIHo de ~Minos de le.s o u es unoicmes Z , Zn y TII (eos.(7) y (8), qW? se ~ p . en a pe. es igual.K R • dlas. Los •s!Jl ados oh •nidos se a.s an •n la T .bla 1 Tabla 1 Resul ados ob enidos ~ a e Fo F1 F2 F3 1.53 .985 1.71 .951 1.75 .922 1.45 .987 o-o-3 M M M M M M M M 0-1-3 1.59 1.00 1.76 .956 1.64 .920 1.54 .997 M M M M M M M M 2-0-3 1.62 .934 1.77 .904 1.84 .679 1.60 .926 R ' M 8 M 6 M R M 2-1-3 1.64 .947 1.78 .911 1.86 .884 1.64 .940 R M 8 M 8 M R M 0-0-15 1.73 .898 1.79 .883 1.79 .857 1.68 .896 M 8 R M 8 R M 8 M M 8 RH 0-5-15 1.88 .849 1.67 .856 1.86 .833 1.64 .866 M 8Hl M R(-2) M 8 M M 8(-1) 2-0-15 1.80 .866 1.88 .857 1.91 .848 1.79 .865 8 8 B(-1) 88 8(-2) 8 8 8(-2) 88RHl 2-5-15 1.94 .835 1.94 .647 1.94 .641 1.929 .848 8 8Hl 8 8(-1) 8 B(-2) ll 8 En u a' los dos n6M os supe io u d• oada ecuad o son los alo K de X y Kn ob enidos. L .S dos l. as in l io u indican, la de la izqQie da(de echa) si el ajus e de las isoc olaá icas Más in e nas (ex e nas) ¡n»de conside . se bUi :oo (B), egul . (:R) ó Malo (11). Si un ll'ÓH o :D~ g~. i o n acoapaiia a es as l. as indica q• •1 ajus e n 00110 se indica noep o •n las n isoc oaá icas Más n e na.s, en p es Malo. El ci o llo JIE!9l"O en e aabas l. u indican p •1 ~o olásioo d• D. . alló en ese caso y p hubo d• s• u ilizada la IIOdi. icaoión dno i a p e iaHn •. kdo •1 16gioo g ado d• subj• i idad qU~ oonlle .n H as ce.li 1caoicmes H MUIII'S an en la Fig.4 el ajus e ob enido pa a el caso (0-0-3)- F3, p es u:oo de los peo es, y en la Fig.5 el caso (2-5-15)-F3, 'l'lll pu d• oonsid• a se •1 Óp iMO. + 1•1 + + ··++ ,: + + • S z ... + + + .• :{+ + + + + l ... 1 .. ~, •••••• ··' K1• 1.449"'' K2• 0.987 (b) Fiq.4. Conjun o d• pun os y ajus • en •1 oaso (0-0-3)-13. (a) :lis a ce cana.. (b) :lis e. bjana ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA VOL.7 (1990) 223 + (•) K1• 1.929 K2• 6.848 (b) Fig-.5. Conju:n o de pun os y ajus e en el caso (2- 5-15)-F3. (a): lis a O«oall&. (b): lis a lejana 5. COICLUSIOJIES Aunque los esul ados ob enidos oo pe ai en es ablece conclusiones ajan es, pueden hace se los siguien es oo a.n a ios: a) El posible . allo del ú odo con e ~Ci.oW de n es aí.s p obable pa a un nw o de coe. ioien es al o, p es' llllihle~Mn e po que a MS coe. ioien u mis IIIÍnimos ela i os de la . u:noión esiduo. La p esencia de la . ulloiÓn T]u iml un cla o e ec o es abilizan e b) El uso d o dis in as . moion 's d o ajus e pued ' p o oca s~msibles a iacioi'IH; es o u MS acusado pa a u:n nw o bajo de coe icien es. Así, H eoo'l»n an a iaoiones en :¡ de has a el 21 pa a el caso 0-0-3, aden as que éos as oo llegan al ? pa a el caso 0-0-15. lo pa ece posible de ini cla a aen e 1ll . uooión de ajus e ejo que las o as, aunq'l» cabe deoi q'l» en el caso 2-5-15 el ajus e ejo s. consiguió con la . u:noión F3. e) La inclusión de los pa. í.e osw Xc,' c p o oca a. iaoiones de X¡ X u que ll~ al 1 o. 3 1 6. 2 pa a bajo nw o de ooe. ioien es 1 son algo MllO H (6. 7 1 3.6 ) pa a al o n'Óiae o de ooe. ioien es. La inclusión de dichos pa ie os es esenoia1 pa a conHgui un b'l»ll ajus e oe caoo (del que M5 an a depende 1UlOS bl»oos alo es de los coe icien es de in .nsi. icaoión de ensionn) H ambién ola uen e hm ioiose. pa a consegui 1li'I b" »n ajus e en zo:nas más alejadas. d) La inclusión deo la . uooión TI¡¡ p o oca n iaoiones de X¡ X¡¡ que llegan al 6 . 2 y 4. 4 pa a bajo n'Óiae o de coe icien es son algo aayo es (9.5 1 5.5 ) pa a al o nw o de coe icien es. Su e ec o K nulo pa a el ajus e oe caoo, COMO e a de espe a , y cla amen e posi i o pa a el ajus e lejaoo. e) La inclusión conjun a de Xc•1o 1 de la unción TJu p o oca a iaoioi'IH en lC¡ 1 X¡¡ de has a el 13.1 y 8.9 pa a bajo núMe o de coe icien es 1 dl'l 14.9 ? pa a al o l ÍIIM o de coe icien es. n e ec o de es os pa '- os es oo o io sob e el ajus e 1 cabe OODC111i que debe ia.n s. siemp e inol1Iidos. eo) A'Ón en el caso de que los ajus es sean en gene al b" »oos hay 1ll apa en e di icul ad de aj 'IS a la isoc omá ica M5 leja:na, quizás po el Moho de s. u a la de banda M.s aooha. 6. Ul'DEICIAS [ 1 ) Da.ll y , J . 1'. R:í.ley , 1'. F . ( 1978) "Expe imen al s ess analysys" , l cg a -Ri.ll. [2] l askhelish ili, I.I. (1953) "Scme basic p oblems o he aa hell ioal heo y o nas ici y" . loo dho . [3) l'illians, li.L. 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