Software Excel: tensiones y deformaciones en fatiga por fretting con contacto cilíndrico

Equation Chapter 1 Section 1 Proyecto Fin de Grado Ingeniería de las Tecnologías Industriales Software Excel: tensiones y deformaciones en fatiga por fretting con contacto cilíndrico Autor: Carlos Hernádez Castelao Tutor: Jesús Vázquez Valeo Dpto. Ingeniería Mecánica y Fabricación Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2019 iii Proyecto Fin de Grado Ingeniería de las Tecnologías Industriales Software Excel: tensiones y deformaciones en fatiga por fretting con contacto cilíndrico Autor: Carlos Hernández Castelao Tutor: Jesús Vázquez Valeo Profesor titular Dpto. Ingeniería Mecánica y Fabricación Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2019 v Proyecto Fin de Grado: Software Excel: tensiones y deformaciones en fatiga por fretting con contacto cilíndrico Autor: Carlos Hernández Castelao Tutor: Jesús Vázquez Valeo El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Acuerdan otorgarle la calificación de: Sevilla, 2019 El Secretario del Tribunal vii A mi familia A mis maestros ix Resumen La fatiga por fretting es un tipo de fatiga que puede provocar el fallo en multitud de componentes industriales. Este fenómeno de fallo se produce en partes de estos componentes en las que existe una unión mecánica, unión en la que se encuentran en contacto dos o más piezas. Estos contactos poseen una amplia variedad de formas geométricas, sin embargo, en muchas situaciones, por su similitud geométrica y de acción de cargas externas, estos pares de contacto se pueden simplificar a un contaco cilíndrico, es decir, por el contacto entre un cilindro y un plano. El objetivo de este proyecto ha sido la creación de un software para calcular las tensiones y deformaciones y la representación gráfica de las mismas producidas en un contacto cilíndrico. A parte de estos objetivos, este software se ha realizado de forma que sea lo más sencillo posible para que, una vez finalizado, este se pueda usar fácil e intuitivamente por cualquier persona. Para conseguirlo, se ha usado el software Excel por las características que este posee, especialmente por el lenguaje de programación que tiene integrado: VBA. Este lenguaje se ha utilizado para crear dos macros que calculan las tensiones y deformaciones producidas en un contacto cilíndrico. La diferencia entre ambas es que una realiza el cálculo tensiones y deformaciones a lo largo de un segmento y otra muestra los resultados de una matriz de puntos. Los resultados numéricos obtenidos ejecutando cada una de ellas se muestran en hojas de Excel diferentes. En este documento se realiza una introducción a los contactos mecánicos y sus posibles mecanismos de fallos. Posteriormente, se explican las principales características de la fatiga por fretting y las particularidades del contacto cilíndrico, centrándose en las expresiones analíticas que gobiernan este problema y que se usan para calcular tanto las tensiones como deformaciones en el software desarrollado. El siguiente apartado describe las dos hojas del archivo Excel construido, así como los pasos que hay que seguir para conseguir obtener los resultados numéricos. Por último, se muestran las conclusiones de la realización de este trabajo y se anexan los códigos de Visual Basic desarrollados para la creación de las macros. Figura 4-21. Tensión σyy en la superficie para el estado de compresión adimensionalizada por p0 32 Figura 4-22. Tensión σxy en la superficie para el estado de compresión adimensionalizada por p0 32 Figura 4-23. Tensión σzz en la superficie para el estado de compresión adimensionalizada por p0 33 Figura 4-24. Deformación εxx en la superficie para el estado de compresión adimensionalizada por p0 33 Figura 4-25. Deformación εyy en la superficie para el estado de compresión adimensionalizada por p0 33 Figura 4-26. Deformación εxy en la superficie para el estado de compresión adimensionalizada por p0 34 Figura 4-27. Tensión σxx en la superficie para el estado de tracción adimensionalizada por p0 34 Figura 4-28. Tensión σyy en la superficie para el estado de tracción adimensionalizada por p0 34 Figura 4-29. Tensión σxy en la superficie para el estado de tracción adimensionalizada por p0 35 Figura 4-30. Tensión σzz en la superficie para el estado de tracción adimensionalizada por p0 35 Figura 4-31. Deformación εxx en la superficie para el estado de tracción adimensionalizada por p0 35 Figura 4-32. Deformación εyy en la superficie para el estado de tracción adimensionalizada por p0 36 Figura 4-33. Deformación εxy en la superficie para el estado de tracción adimensionalizada por p0 36 Figura 4-34. Tensión σxx en el interior para el estado de compresión adimensionalizada por p0 37 Figura 4-35. Tensión σyy en el interior para el estado de compresión adimensionalizada por p0 37 Figura 4-36. Tensión σxy en el interior para el estado de compresión adimensionalizada por p0 38 Figura 4-37. Tensión σzz en el interior para el estado de compresión adimensionalizada por p0 38 Figura 4-38. Deformación εxx en el interior para el estado de compresión adimensionalizada por p0 38 Figura 4-39. Deformación εyy en el interior para el estado de compresión adimensionalizada por p0 39 Figura 4-40. Deformación εxy en el interior para el estado de compresión adimensionalizada por p0 39 Figura 4-41. Tensión σxx en el interior para el estado de tracción adimensionalizada por p0 39 Figura 4-42. Tensión σyy en el interior para el estado de tracción adimensionalizada por p0 40 Figura 4-43. Tensión σxy en el interior para el estado de tracción adimensionalizada por p0 40 Figura 4-44. Tensión σzz en el interior para el estado de tracción adimensionalizada por p0 40 Figura 4-45. Deformación εxx en el interior para el estado de tracción adimensionalizada por p0 41 Figura 4-46. Deformación εyy en el interior para el estado de tracción adimensionalizada por p0 41 Figura 4-47. Deformación εxy en el interior para el estado de tracción adimensionalizada por p0 41 Figura 4-48. Tabla de variables entrada y salida de la hoja Contour 43 Figura 4-49. Botón ContourPlot 44 Figura 4-50. Ventana emergente para introducir el tipo de esfuerzo 45 Figura 4-51. Ventana emergente para introducir la variable 45 Figura 4-52. Ventana emergente para introducir la fuerza externa 45 Figura 4-53. Ventana emergente para introducir el tipo de fuerza tangencial 45 Figura 4-54. Ventana emergente para introducir la componente 46 Figura 4-55. Matriz de datos 46 Figura 4-56. Gráfico de superficie de la tensión σxx para el estado de compresión adimensionalizada por p0 47 Figura 4-57. Gráfico de superficie de la tensión σyy para el estado de compresión adimensionalizada xvii por p0 48 Figura 4-58. Gráfico de superficie de la tensión σxy para el estado de compresión adimensionalizada por p0 48 Figura 4-59. Gráfico de superficie de la tensión σzz para el estado de compresión adimensionalizada por p0 48 Figura 4-60. Gráfico de superficie de la deformación εxx para el estado de compresión adimensionalizada por p0 49 Figura 4-61. Gráfico de superficie de la deformación εyy para el estado de compresión adimensionalizada por p0 49 Figura 4-62. Gráfico de superficie de la deformación εxy para el estado de compresión adimensionalizada por p0 49 Figura 4-63. Gráfico de superficie de la tensión σxx para el estado de tracción adimensionalizada por p0 50 Figura 4-64. Gráfico de superficie de la tensión σyy para el estado de tracción adimensionalizada por p0 50 Figura 4-65. Gráfico de superficie de la tensión σxy para el estado de tracción adimensionalizada por p0 50 Figura 4-66. Gráfico de superficie de la tensión σzz para el estado de tracción adimensionalizada por p0 51 Figura 4-67. Gráfico de superficie de la deformación εxx para el estado de tracción adimensionalizada por p0 51 Figura 4-68. Gráfico de superficie de la deformación εyy para el estado de tracción adimensionalizada por p0 51 Figura 4-69. Gráfico de superficie de la deformación εxy para el estado de tracción adimensionalizada por p0 52 1 1 INTRODUCCIÓN AL CONTACTO MECÁNICO 1.1 Introducción al Contacto Mecánico La Mecánica del Contacto es el área que estudia y analiza las tensiones y deformaciones que ocurren entre cuerpos que tienen uno o más puntos en contacto a causa de la acción de fuerzas externas. Esta definición engloba a sólidos elásticos, viscoelásticos, hiperelásticos o rígidos que estén en contacto estático o dinámico. Uno de los primeros en esta área se debe a Hertz, que en 1882 resolvió el problema de contacto entre dos cuerpos elásticos y curvos. Sus experimentos se basaron en sólidos con superficie lisa sometidos a una carga de compresión. Dicha carga debía ser tal que provocase que la zona de contacto en comparación con el radio de curvatura fuera muy pequeña. De esta manera se podía considerar cada sólido como un espacio semiinfinito. Otra de las las consideraciones que realizó fue que las deformaciones elásticas debían ser muy pequeñas en comparación con el radio de curvatura. Por último, los cuerpos en contactos tenían que tener las mismas características elásticas. El hecho de que considerara una superficie lisa y con las mismas características elásticas provocaba que el contacto se produjera en ausencia de fricción. La teoría del contacto estudia la forma del área de contacto además de la influencia de las cargas externas sobre esta. Para determinar esta influencia se estudia la manera en que se aplican, su magnitud y la distribución de presiones, tanto normal como tangencial, que se crean en la zona contacto. Todo esto permite realizar el estudio para predecir las tensiones y deformaciones que tendrán lugar tanto en la región de contacto como en sus alrededores. 1.2 Clasificación Contactos Mecánicos 1.2.1 Contacto sin fricción El contacto sin fricción es un modelo de contacto idealizado, ya que no existe este contacto en la práctica real, aunque se puede utilizar en casos donde haya una muy buena lubricación y la rugosidad sea relativamente nula. En este tipo de contactos, al no existir fricción, solo aparecen tensiones normales. 1.2.2 Contacto con fricción La fricción es un fenómeno que aparece de forma natural en los contactos reales y tenerla en consideración a la hora de realizar modelos de contactos dificulta el estudio de los mismos. La existencia de fricción de un contacto relaciona la fuerza normal y la tangencial, limitando esta última en función del valor del coeficiente de fricción entre los cuerpos. En el supuesto caso de que exista fricción pueden darse dos situaciones entre los cuerpos en contacto. La primera es la adhesión entre sólidos, es decir, las superficies permanecen en contacto sin sufrir desplazamiento relativo entre ellas. La otra situación posible es, al contrario que la anterior, si las superficies en contacto de cada sólido tienden a deslizarse entre sí. 1.2.3 Contacto conforme El contacto conforme hace referencia a contactos donde la superficie de contacto entre sólidos es independiente de la carga aplicada, ya que el área de este tendrá siempre un valor fijo. Introducción al Contacto Mecánico 2 1.2.4 Contacto no conforme Contrariamente al contacto conforme, este tipo de contacto posee una relación directa con las cargas externas aplicadas. Para estos problemas de contacto, en ausencia de carga, el tamaño de la superficie de contacto entre sólidos será puntual, mientras que, si se aplica una carga, el área de contacto modificará su tamaño. 1.2.5 Contacto no hertziano La teoría de Hertz para contactos mecánicos es un modelo idealizado que se cumple en un número muy pequeño de contactos, por lo que en la vida real es muy difícil encontrarlos y es inevitable violar alguna o todas las hipótesis realizadas en su estudio. Aunque en algunos casos se puedan realizar consideraciones para tratarlos como hertzianos, la mayoría de este tipo de contactos carece de una solución analítica, incrementando la dificultad de su estudio. 1.2.6 Otros contactos En la práctica existen distintos tipos de contactos a los mencionados en esta sección como pueden ser aquellos que tengan asociados un movimiento de rotación, como por ejemplo una rueda y un raíl, un sistema de engranajes o levas, rodamientos, etc. 1.3 Mecanismos de fallo asociados al contacto mecánico El desgaste es el término general asociado a los fallos por movimiento entre dos o más superficies en contacto, cual produce una pérdida de material de ambos o uno de los componentes. Este tipo de fallo se puede producir de diversas maneras como puede ser por vibraciones, por excesiva fricción durante el funcionamiento del componente o llegar a ser un factor desencadenante de otro tipo de fallos. El efecto principal por el que se produce el desgaste es por la presencia de la fricción. Esta se genera debido a las imperfecciones entre las superficies de contacto, las cuales generalmente son de carácter microscópico. Estas imperfecciones pueden ser la rugosidad o las propias propiedades del material, principalmente la dureza relativa entre los materiales en contacto. La rugosidad superficial hace que el área de contacto real sea considerablemente más pequeña que el área de contacto nominal. En realidad, el contacto se produce en los picos de la superficie rugosa, por lo que los valles no contribuyen a la fricción. Esta diferencia entre el área real y nominal tiene una serie de consecuencias importantes. La primera de ellas es que la fuerza normal aplicada es solamente soportada por una fracción del área de contacto, lo que significa que las tensiones serán mayores que las esperadas teóricamente y los picos se deformarán plásticamente, aumentando así la superficie de contacto. Otra de las consecuencias a considerar es el calor producido por la fricción que, según el nivel que se alcance, puede provocar problemas en el lubricante o llegar a un derretimiento de los picos. Por último, el desgaste del material puede hacer que el espesor de los sólidos de contacto se minimice mucho antes de lo esperado. Respecto a la dureza relativa, si entre los dos cuerpos en contacto difiere considerablemente, los picos de la rugosidad del material con mayor dureza penetran en el material con menor dureza causando una deformación en él. Este hecho depende tanto de la fuerza de compresión aplicada como de las características elásticas del material penetrado. Si, por el contrario, la dureza de ambos cuerpos es similar o las superficies tienen un acabado liso, las fuerzas atómicas o intermoleculares crean una atracción entre ambas superficies, aumentando así la fricción entre ambas. 1.3.1 Desgaste Adhesivo El desgaste adhesivo ocurre en los casos de que las superficies de contacto son relativamente lisa o si ambos cuerpos tienen una dureza similar. Este tipo de desgaste se caracteriza por el traspaso de material de una superficie a otra. Este tipo de desgaste se asocia a niveles altos de fricción y normalmente requieren la parada del componente o sistema. Además, la alta fricción provoca el calentamiento interno de los componentes, el cual puede hacer que se tenga que parar la máquina. Este tipo de desgaste se puede prevenir haciendo que los materiales no sean del mismo material o con lubricación. 3 3 Software Excel: tensiones y deformaciones en fatiga por fretting con contacto cilíndrico 1.3.2 Desgaste Abrasivo El desgaste abrasivo aparece en los contactos cuyos materiales tienen una diferencia apreciable de dureza y el material más duro posee una superficie rugosa elevada. La superficie dura penetra en el interior de la blanda haciendo que se elimine material de esta. Este tipo de desgaste puede aparecer también si el contacto ocurre entre dos superficies y entre ambas se introducen partículas de mayor dureza, como arena o algún polvo procedente del exterior, o incluso partículas oxidadas de la misma abrasión. La intensidad de la abrasión depende de varios factores como la mencionada en el párrafo anterior, o la fuerza aplicada, ya que determina el grado de penetración. Para bajos niveles de este se origina una deformación elástica o plástica en la superficie, pero no se elimina una gran cantidad material. Para el caso opuesto, si la penetración es elevada, no hay posibilidad de deformación y el material es eliminado directamente. La manera más efectiva de reducir la abrasión de tres cuerpos es un sellado o filtrado apropiado para evitar que entren partículas abrasivas en el contacto. Para abrasión dos cuerpos, se puede reducir la diferencia de dureza entre los cuerpos y la rugosidad en la superficie del material más duro. Para ambos tipos, el incremento de la dureza del material que se desgasta reduce también la cantidad de desgaste. 1.3.3 Corrosión El desgaste corrosivo se produce como resultado de la interacción mecánica de las superficies en contacto por la influencia de las condiciones del medio en que se produce. Este ambiente corrosivo provoca unas reacciones químicas o electroquímicas cuyos productos se quedan en una o ambas de las superficies. Estos productos quedan generalmente poco adheridos a la superficie, por lo que se eliminan fácilmente de esta con el simple movimiento entre sólidos. Sin embargo, la eliminación de las partículas dejan a la superficie sin protección y el efecto corrosivo se repite de nuevo. De esta manera, la interacción repetitiva entre la corrosión y un movimiento de deslizamiento puede dar como resultado altas tasas de desgaste. Este tipo de desgaste se puede prevenir reduciendo el efecto del ambiente corrosivo o minimizando el movimiento relativo entre ambos cuerpos. También se puede hacer uso de algún lubricante que sea conveniente para las condiciones del medio en el que se aplica el contacto. 1.3.4 Fatiga superficial El deterioro de la superficie debido a la fatiga es común en contactos sometidos a ciclos de carga, como por ejemplo, un contacto rotatorio. El movimiento de rotación origina en los diferentes puntos del contacto una tensión que varía con el tiempo, produciéndose un ciclo de carga por cada vuelta. Un repetido número de ciclos de carga puede llegar a provocar la iniciación de grietas en una de las superficies y, una vez iniciada, su posterior propagación hacia el interior del sólido. La propagación de la grieta puede recorrer el sólido hasta llegar a la superficie de la pieza por otro punto y producir una fractura total o parcial de ella, lo que causa el desgaste del material. A diferencia de los otros mecanismos de desgaste, para la fatiga superficial no es necesario el contacto directo entre las dos superficies, sino que solo hace falta la transmisión del ciclo de fuerzas. Mientras que en los desgaste abrasivos y adhesivos se produce un daño en las superficies de contacto desde el inicio del deslizamiento, en este tipo de desgaste el daño suele aparecer a partir de un número de ciclos elevado. Introducción al Contacto Mecánico 4 5 2 FATIGA POR FRETTING 2.1 Descripción fatiga por fretting El fenómeno conocido como fretting ocurre cuando dos cuerpos están en contacto por la acción de una carga externa y existen unos desplazamientos relativos oscilatorios de pequeña amplitud entre ambas superficies de contacto. Este desplazamiento relativo produce un desgaste de las superficies en contacto. Cuando uno de los cuerpos esta excitado por una tensión vibratoria u oscilatoria el fenómeno se conoce como fretting fatigue o fatiga por fretting. El frettting aparece cuando existe una fuerza normal N que comprime un sólido contra otro y una fuerza tangencial Q que provoca un deslizamiento relativo entre las superficies de contacto. La relación que exista entre estas dos fuerzas y el coeficiente de rozamiento μ del contacto determina que el deslizamiento sea parcial o total. Si la relación es el deslizamiento será total, por lo que toda la zona de contacto se encontrará deslizando. Si se cumple será parcial y en la zona de contacto se distinguirán dos zonas, una parte de la superficie de contacto estará deslizando y otra adherida. Estas dos situaciones pueden apreciarse en la Figura 2-1. Figura 2-1. Deslizamiento global y deslizamiento parcial Las condiciones para que aparezca el fenómeno fatiga por fretting es necesario que actúe, además de la fuerza normal N y la fuerza tangencial Q, una tensión externa σ en uno de los cuerpos en contacto. Por el efecto de las fuerzas normal y tangencial en la zona de contacto, aparecen en el interior de los sólidos una distribución de tensiones σlocal, mientras que la tensión externa σ crea una distribución de tensiones σglobal tanto en la zona cercana al contacto como en la zona alejada de él. La diferencia entre fatiga por fretting y fretting se muestra en la Figura 2-2. Tanto la fuerza Q como la tensión σ pueden variar con el tiempo, ya sea por vibraciones o porque están sometidos a esfuerzos alternos. Este hecho hace que, tras la iniciación de grietas en la superficie por la acción de las fuerzas de contacto, dichas grietas tengan la posibilidad de propagarse hacia el interior del sólido llegando a producir la fractura del componente. Dependiendo del estado de las cargas, el fretting puede llegar a tener influencia en la iniciación, propagación, o incluso en ambas fases. Fatiga por Fretting 6 Figura 2-2. Diferencia entre fatiga por fretting y fretting Bajo la condición de deslizamiento parcial, al existir una tensión externa, la zona de adhesión se desplaza una distancia e, tal y como se aprecia en la Figura 2-3. Esto ocurre porque la acción de la tensión externa σ provoca una diferencia entre las deformaciones de cada cuerpo en la superficie de contacto. Figura 2-3. Excentricidad La fatiga por fretting puede aparecer, a priori, en cualquier componente donde haya un contacto mecánico, siendo fácilmente identificable debido a que tiene características apreciables. Una de estas características es la formación de partículas de óxido que surgen del desgaste de la superficie y que son de diferentes colores dependiendo del materiales de los sólidos en contacto, como por ejemplo negro en los aluminios o rojo en los aceros. Otra característica apreciable es la formación de huellas en las superficies en contacto. Este fenómeno es muy importante en la ingeniería industrial puesto que existen numerosos componentes expuestos a él. Algunos ejemplos de componentes industriales en los que puede aparecer el fretting o fatiga por fretting son uniones atornilladas, roblonadas o remachadas, álabes de turbinas, rodamientos, contactos por chavetas, uniones eje cubo de una transmisión, diferentes engranajes, cables metálicos trenzados, rotores generadores o incluso implantes artificiales. En la Figura 2-4 se muestran algunos ejemplos anteriores, señalándose aquellas zonas propensas a sufrir este tipo de fatiga. 7 Software Excel: tensiones y deformaciones en fatiga por fretting con contacto cilíndrico Figura 2-4. Unión eje-cubo, álabe-rotor, roblonada 2.2 Reseña histórica El primer estudio relacionado con la fatiga por fretting fue realizado por Warlow-Davies en 1941. Este consistía en ensayar probetas de acero mediante fretting hasta la iniciación de grietas y, posteriormente, aplicarle solo cargas globales para estudiar su vida a fatiga. Este autor concluyó que se reducía la vida a fatiga de las probetas en torno a un 15%. Las observaciones de Warlow-Davies fueron reafirmadas por McDowell en 1953, quién determinó que la acción conjunta del fretting y la fatiga provocaba un daño mayor que por separado, produciendo disminuciones en el límite a fatiga de entre 2 a 5 veces e incluso mayores. Años más tarde, Fenner y Fields demostraron como la iniciación de grietas se acelera enormemente por la presencia del fretting. Durante los años 1968-1972, Nishioka y Hirakawa estudiaron el fenómeno del fretting basándose en los problemas encontrados en las ruedas de la red ferroviaria. Llegaron a la conclusión de que la fatiga por fretting se daba en condiciones de deslizamiento parcial, observando que en la zona de contacto había una zona adherida y otras de deslizamiento, cuyo tamaño dependía directamente de la relación que había entre la fuerza normal y tangencial. También apreciaron que la iniciación de las grietas, que se iniciaban inclinadas respecto a la superficie, aparecía en la zona de deslizamiento y como las fuerzas normal y tangencial no influían en la propagación de las mismas. Endo y Goto continuaron el estudio de la fatiga por fretting aplicando la teoría de la mecánica de la fractura y estudiando el camino que seguía la grieta hacia el interior. Determinaron que, en las proximidades de la superficie (fase I), estas crecen con un ángulo pequeño y cuando llegan al punto donde las fuerzas tangenciales dejan de tener efecto, crecen perpendiculares a la superficie bajo la acción de la tensión global únicamente (fase II). Posteriormente, Waterhouse, en 1979 estudió como el shot peening, que es un proceso que consiste en introducir tensiones residuales de compresión en el material, mejora la vida a fatiga por fretting. Durante los años 80 se comenzó a estudiar este tipo de fatiga en implantes ortopédicos, ya que estos tenían uniones mecánicas cuyo desprendimiento de material podía causar infecciones a los pacientes. En la década de los 90 se realizaron las primeras congregaciones internacionales de las que resultaron varias publicaciones con diferentes artículos relacionados con la fatiga por fretting. Actualmente el estudio de este fenómeno se centra en los diferentes paliativos para mejorar la vida a fatiga, especialmente en los tratamientos superficiales. Estos tratamientos se basan en la introducción de tensiones residuales como son el shot peening o laser peening o en mejorar las condiciones tribológicas de las superficies en contacto con recubrimientos. Hay que destacar que la mayoría de estos estudios han sido realizados sobre aleaciones de titanio y de aluminio. Otras líneas de investigación importantes son los estudios de la iniciación de grietas y la vida a fatiga. Para la primera de ellas se emplean criterios de fatiga multiaxial, pero adaptados al fretting. Con ellos se determina el lugar de iniciación de grieta, ángulo de crecimiento y número de ciclos necesarios para su nucleación. Para el estudio de predicción de vida a fatiga existe una gran cantidad de formas de abordar el problema distinguiéndose en mecanismos que se basan en la iniciación, en la propagación y las que combinan ambos. Contacto Cílindrico 14 14 La suma de estas dos distribuciones da lugar a la distribución de tensión tangencial total. Se han añadido las Figuras 3-4 y 3-5 para representar esta distribución de tensión tangencial. Figura 3-4. Distribución de tensiones tangenciales producidas por la acción de la carga Q en la dirección de esta adimensionalizadas por p0 en estado de compresión 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 σQxy(x,0)/p0 x/a 15 Software Excel: tensiones y deformaciones en fatiga por fretting con contacto cilíndrico Figura 3-5. Distribución de tensiones tangenciales producidas por la acción de la carga Q y tensión σ adimensionalizadas por p0 en estado de tracción 3.2 Expresiones analíticas del contacto En este apartado se van a describir todas las ecuaciones que se han necesitado para el cálculo de las tensiones y deformaciones en el software realizado. Las ecuaciones referidas a las tensiones se han obtenido del libro Mechanics of elastic contacts desarrollado por Hills, Nowell y Sackfield. Para obtener las deformaciones se ha empleado la ley de comportamiento en forma de ley de Hooke. Hay que señalar que se ha resuelto el problema bajo condiciones de deformación plana, por lo que ciertas componentes del tensor de tensiones y deformaciones se ven afectadas por esta hipótesis. 3.2.1 Tensiones En este subapartado se van a exponer todas las expresiones de los campos de tensiones del contacto. La tensión total será la suma de las tensiones provocadas por cada una de las acciones. Las tensiones provocadas por la fuerza normal N y la fuerza tangencial Q tienen expresiones analíticas diferentes en la superficie y en el interior del plano, por lo que se van a describir por separado. 3.2.1.1 Superficie La acción de la fuerza normal N da lugar a las siguientes distribuciones de tensiones. -0.40 -0.35 -0.30 -0.25 -0.20 -0.15 -0.10 -0.05 0.00 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 σQxy(x,0)/p0 x/a Contacto Cílindrico 16 16 En cuanto a las tensiones ejercidas por la acción de la fuerza tangencial Q hay que recordar que es una superposición de distribuciones, por lo que la tensión tangencial total será la suma de la tensión en estado de deslizamiento global y la tensión correctiva. Las expresiones de ambas son las que se muestran a continuación. 17 Software Excel: tensiones y deformaciones en fatiga por fretting con contacto cilíndrico 3.2.1.2 Interior Antes de describir las expresiones de las tensiones en el interior es necesario definir los parámetros s1 y s2, que son las raíces positivas de la siguiente ecuación cuadrática. Para obtener el parámetro s1, el valor de la amplitud es equivalente al semiancho de la zona de contacto a mientras que para s2, la amplitud es igual al límite de la zona de adhesión c. En el cálculo de s2 también hay que tener en cuenta que el valor de x estará desplazado por la excentricidad e. Las distribuciones de tensiones en el interior del plano provocadas por la fuerza normal N son las siguientes. Contacto Cílindrico 18 18 Las expresiones referidas a las distribuciones de tensiones producidas tangencial Q se muestran a continuación. 19 Software Excel: tensiones y deformaciones en fatiga por fretting con contacto cilíndrico 3.2.2 Deformaciones Al igual que las tensiones, las distribuciónes de deformaciones totales serán la suma de todas las deformaciones provocadas por cada acción externa. Las componentes del tensor de deformaciones totales se calculan a partir de las siguientes expresiones. Al tratarse del caso de deformación plana sólo tendrán un valor distinto de cero las componentes contenidas en el plano XY. La deformación que causa cada una de las fuerzas en cada una de las componentes del tensor de deformaciones se determina de la siguiente manera. Donde el superíndice k se sustituirá por cada una de las fuerzas para así obtener las distribuciones de Contacto Cílindrico 20 20 deformaciones. 21 Software Excel: tensiones y deformaciones en fatiga por fretting con contacto cilíndrico 4 DESCRIPCIÓN DEL SOFTWARE 4.1 Hoja Principal El objetivo de esta hoja de Excel es el cálculo y la representación gráfica de los valores de tensiones y deformaciones tanto en la superficie de contacto entre el cilindro y el plano como en el interior del plano. Para ello se considera un segmento con unas coordenadas inicial y final dentro del sistema cartesiano elegido. Este segmento se discretiza en un número de puntos a elegir por el usuario y se obtienen las tensiones y deformaciones en cada división. El punto inicial y final de este segmento pueden situarse tanto en la superficie de contacto como en el interior del plano, formando un segmento horizontal, vertical o diagonal. En lo que respecta al sistema cartesiano elegido, se ha tomado como origen el punto medio de la superficie de contacto entre el plano y el cilindro. El eje horizontal X se corresponde con la superficie del plano y es positivo hacia la derecha. El eje vertical Y es positivo desde el origen el centro de curvatura del cilindro, por lo que todo el interior del plano tiene coordenadas menores que cero. Cabe destacar que el signo de la fuerza normal P se considera negativo tanto en los cálculos de las longitudes características como en el programa diseñado mediante Visual Basic, por lo que sólo es necesario introducir el valor absoluto. Lo mismo ocurre con los signos de la fuerza tangencial Q y la tensión global σ, es decir, durante la ejecución del programa se tiene en cuenta si se aplica compresión o tracción, por lo que simplemente se ha de introducir el valor absoluto en la tabla de entrada de variables. También se ha de puntualizar que, al igual que la fuerza P, para el cálculo de longitudes características se usa el valor absoluto de Q y σ. 4.1.1 Tabla de variables El primer paso a realizar es rellenar la tabla que se encuentra en las columnas B y C. La columna B muestra los nombres de las distintas variables de entrada y salida del problema. La columna C es la que muestra los datos numéricos de las variables. Para distinguir las variables de entrada y salida se ha asignado un color de fondo de celda azul para las de entrada y rojo para las de salida. En la parte inferior de la tabla aparece el subapartado Especificación en color amarillo cuya casilla no es necesario rellenar por el usuario. La función de esta casilla se explica más adelante. Para comenzar con el cálculo de las tensiones y deformaciones es necesario escribir los valores deseados de las variables de entrada. Por tanto, para cada variable de entrada que aparece en la columna B, hay que introducir un valor numérico en la columna C. Tras esto, las variables de salida se rellenarán de automáticamente. Para ejemplificar este primer paso se ha añadido al documento la Figura 4-1. Descripción del Software 22 22 Figura 4-1. Tabla de variables entrada y salida de la hoja Principal Las variables a introducir por el usuario son, de superior a inferior posición en la tabla, las siguientes:  E: módulo de elasticidad longitudinal o de Young (Pa)  ν: coeficiente de Poisson  R: radio de curvatura del cilindro (m)  P: fuerza normal aplicada al cilindro (N)  Q: fuerza tangencial aplicada al cilindro (N)  σ: tensión externa aplicada al plano (Pa)  μ: coeficiente de fricción  xi: coordenada inicial respecto al eje X (m)  yi: coordenada inicial respecto al eje Y (m)  xf: coordenada final respecto al eje X (m)  yf: coordenada inicial respecto al eje Y (m)  Divisiones segmento: número de divisiones a analizar en la recta formada por la unión de los puntos inicial y final Por otro lado, las variables de salida que se van a generar tras rellenar las celdas correspondientes a las variables de entrada son:  a: longitud característica del semiancho de contacto (m) 23 Software Excel: tensiones y deformaciones en fatiga por fretting con contacto cilíndrico  c: longitud característica del semiancho de la zona adherida (m)  e: longitud característica del desplazamiento del centro de la zona adherida (m)  p0: valor máximo de la presión normal (Pa) Especificación:  Esfuerzo: se refiere al esfuerzo axil al que se someterá al plano, es decir, tracción o compresión. 4.1.2 Botón Cilindro_Plano Tras rellenar la tabla correctamente, el siguiente paso para la obtención de resultados es ejecutar la macro diseñada mediante Visual Basic. Para ello se ha asociado un botón de formulario con la macro Cilindro_Plano, cuyo nombre es exactamente igual al de su macro asignada. Para ejecutar el programa simplemente se tendrá que pinchar sobre el botón Cilindro_Plano. Este botón está situado justo de la tabla de variables, como se observa en la Figura 4-2. Figura 4-2. Botón Cilindro_Plano Tras presionar sobre el botón, Excel mostrará una pantalla emergente en la cual nos pedirá que se introduzca el esfuerzo al que se quiere someter al plano que está en contacto con el cilindro. El valor uno corresponde con un esfuerzo de compresión y dos con un esfuerzo de tracción, tal y como se aprecia en la Figura 4-3. Figura 4-3. Ventana emergente para introducir el tipo de esfuerzo Si se introduce uno de esos valores la macro programada se ejecutará correctamente y los resultados se mostrarán en sus respectivas columnas de la hoja Principal, rellenándose además la celda correspondiente a la especificación Esfuerzo de la tabla de variables, como se muestra en la Figura 4-4. Se ha querido añadir esta información a la tabla para que el usuario sea siempre consciente de las condiciones del problema que se está resolviendo. Descripción del Software 30 30 el eje Y hay que pinchar en el botón Agregar que aparece en la pantalla Seleccionar origen de datos, tal y como se aprecia en la Figura 4-17. Figura 4-17. Agregar Después, en la pantalla Modificar serie hay que escribir =Principal!Nombre_de_la_columna en el apartado Valores de la serie. Como ejemplo en la imagen se ha seleccionado el valor de σxx provocado por la fuerza normal P, como puede observarse en la Figura 4-18. Figura 4-18. Valores del eje Y Posteriormente a la selección de tensión o deformación a representar en el eje Y de la gráfica, para establecer los valores de la variable s1 en el eje horizontal, en la pantalla de Selección de origen de datos hay que pulsar el botón Editar del cuadro de Etiquetas del eje horizontal y escribir =Principal!s_1 en Rango de rótulos del eje, como se muestra en la Figura 4-19. Figura 4-19. Valores del eje X 31 Software Excel: tensiones y deformaciones en fatiga por fretting con contacto cilíndrico 4.1.6 Ejemplos Mediante la programación de las distintas ecuaciones descritas anteriormente de las tensiones y deformaciones en Visual Basic se consiguen desarrollar las diferentes gráficas buscadas con el desarrollo del software Excel construido. A continuación se van a mostrar una serie de gráficas que caracterizan el problema de fatiga por fretting en el contacto entre un cilindro y un plano. Para diferenciar el caso de compresión del caso de tracción con mayor facilidad, las gráficas que se muestran a continuación se han representado en color rojo si se trata de compresión y en color azul si se trata de tracción. 4.1.6.1 Superficie En primer lugar, se van a representar las tensiones y deformaciones sobre la superficie del plano, es decir, se van a elegir solamente puntos con coordenada y igual a cero. Para esta ejemplificación se van a considerar los siguientes datos de entrada:  E = 2.10E11 Pa  ν = 0.3  R = 0.1 m  P = 1.00E6 N  Q = 1.00E5 N  σ = 1.10E8 Pa  μ = 0.7  xi = -1.5757E-3 m  yi = 0 m  xf = 1.5757E-3 m  yf = 0 m  Divisiones segmento = 250 El resultado de las variables de salida para las anteriores variables de entrada es:  a = 1.0505E-3 m  c = 9.7254E-4 m  e = 6.8095E-5 m  p0 = 6.0604E8 Pa Se han elegido unos valores de fuerzas que no dieran lugar al caso de deslizamiento inverso, es decir, que la longitud a sea mayor que las longitudes c y e sumadas. También se ha seleccionado un rango en el eje X que abarcara desde -1.5a hasta 1.5a para conocer que ocurre en ciertas tensiones y deformaciones fuera de la zona de contacto. Las gráficas de tensiones y deformaciones para el estado de compresión abarcan desde la Figura 4-20 hasta la Figura 4-26 mientras que las gráficas referentes al estado de tracción de la Figura 4-27 hasta la Figura 4-33. Descripción del Software 32 32 Figura 4-20. Tensión σxx en la superficie para el estado de compresión adimensionalizada por p0 Figura 4-21. Tensión σyy en la superficie para el estado de compresión adimensionalizada por p0 Figura 4-22. Tensión σxy en la superficie para el estado de compresión adimensionalizada por p0 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 1.12 0.66 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.66 1.12 σxx/p0 s1/a -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 1.12 0.66 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.66 1.12 σyy/p0 s1/a 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 1.12 0.66 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.66 1.12 σxy/p0 s1/a 33 Software Excel: tensiones y deformaciones en fatiga por fretting con contacto cilíndrico Figura 4-23. Tensión σzz en la superficie para el estado de compresión adimensionalizada por p0 Figura 4-24. Deformación εxx en la superficie para el estado de compresión adimensionalizada por p0 Figura 4-25. Deformación εyy en la superficie para el estado de compresión adimensionalizada por p0 -0.70 -0.60 -0.50 -0.40 -0.30 -0.20 -0.10 0.00 1.12 0.66 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.66 1.12 σzz/p0 s1/a -4.5E-12 -4.0E-12 -3.5E-12 -3.0E-12 -2.5E-12 -2.0E-12 -1.5E-12 -1.0E-12 -5.0E-13 0.0E+00 1.12 0.66 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.66 1.12 εxx/p0 s1/a -2.5E-12 -2.0E-12 -1.5E-12 -1.0E-12 -5.0E-13 0.0E+00 5.0E-13 1.0E-12 1.5E-12 1.12 0.66 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.66 1.12 εyy/p0 s1/a Descripción del Software 34 34 Figura 4-26. Deformación εxy en la superficie para el estado de compresión adimensionalizada por p0 Figura 4-27. Tensión σxx en la superficie para el estado de tracción adimensionalizada por p0 Figura 4-28. Tensión σyy en la superficie para el estado de tracción adimensionalizada por p0 0.0E+00 5.0E-13 1.0E-12 1.5E-12 2.0E-12 2.5E-12 1.12 0.66 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.66 1.12 εxy/p0 s1/a -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.12 0.66 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.66 1.12 σxx/p0 s1/a -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 1.12 0.66 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.66 1.12 σyy/p0 s1/a 35 Software Excel: tensiones y deformaciones en fatiga por fretting con contacto cilíndrico Figura 4-29. Tensión σxy en la superficie para el estado de tracción adimensionalizada por p0 Figura 4-30. Tensión σzz en la superficie para el estado de tracción adimensionalizada por p0 Figura 4-31. Deformación εxx en la superficie para el estado de tracción adimensionalizada por p0 -0.40 -0.35 -0.30 -0.25 -0.20 -0.15 -0.10 -0.05 0.00 1.12 0.66 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.66 1.12 σxy/p0 s1/a -0.70 -0.60 -0.50 -0.40 -0.30 -0.20 -0.10 0.00 0.10 0.20 0.30 1.12 0.66 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.66 1.12 σzz/p0 s1/a -2.5E-12 -2.0E-12 -1.5E-12 -1.0E-12 -5.0E-13 0.0E+00 5.0E-13 1.0E-12 1.5E-12 2.0E-12 2.5E-12 3.0E-12 3.5E-12 4.0E-12 1.12 0.66 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.66 1.12 εxx/p0 s1/a Descripción del Software 36 36 Figura 4-32. Deformación εyy en la superficie para el estado de tracción adimensionalizada por p0 Figura 4-33. Deformación εxy en la superficie para el estado de tracción adimensionalizada por p0 4.1.6.2 Opción genérica Ahora va a desarrollarse la opción genérica que se puede conseguir con el programa diseñado. Para ello se va a seleccionar un segmento diagonal que vaya desde un punto de la superficie hasta un punto que se encuentre en el interior con coordenada y menor que cero. Primero se muestran todas las tensiones y deformaciones para el estado de compresión del plano, desde la Figura 4-34 a la Figura 4-40, y siguiendo a estas, se muestran las mismas gráficas pero para el estado de tracción, abarcando desde la Figura 4-41 hasta la Figura 4-47. Los valores de entrada seleccionados para este caso son los siguientes:  E = 2.10E11 Pa  ν = 0.3  R = 0.1 m  P = 1.00E6 N  Q = 1.00E5 N  σ = 1.10E8 Pa  μ = 0.7 -3.0E-12 -2.5E-12 -2.0E-12 -1.5E-12 -1.0E-12 -5.0E-13 0.0E+00 1.12 0.66 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.66 1.12 εyy/p0 s1/a -2.5E-12 -2.0E-12 -1.5E-12 -1.0E-12 -5.0E-13 0.0E+00 1.12 0.66 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.66 1.12 εxy/p0 s1/a 37 Software Excel: tensiones y deformaciones en fatiga por fretting con contacto cilíndrico  xi = -1.5757E-3 m  yi = 0 m  xf = 1.5757E-3 m  yf = -5.2523E-4 m  Divisiones segmento = 250 El resultado de las variables de salida para las anteriores variables de entrada es:  a = 1.0505E-3 m  c = 9.7254E-4 m  e = 6.8095E-5 m  p0 = 6.0604E8 Pa Figura 4-34. Tensión σxx en el interior para el estado de compresión adimensionalizada por p0 Figura 4-35. Tensión σyy en el interior para el estado de compresión adimensionalizada por p0 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 1.12 0.67 0.21 0.19 0.21 0.25 0.31 0.42 0.62 0.93 1.29 σxx/p0 s1/a -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 1.12 0.67 0.21 0.19 0.21 0.25 0.31 0.42 0.62 0.93 1.29 σyy/p0 s1/a Descripción del Software 38 38 Figura 4-36. Tensión σxy en el interior para el estado de compresión adimensionalizada por p0 Figura 4-37. Tensión σzz en el interior para el estado de compresión adimensionalizada por p0 Figura 4-38. Deformación εxx en el interior para el estado de compresión adimensionalizada por p0 -0.20 -0.15 -0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 1.12 0.67 0.21 0.19 0.21 0.25 0.31 0.42 0.62 0.93 1.29 σxy/p0 s1/a -0.60 -0.50 -0.40 -0.30 -0.20 -0.10 0.00 1.12 0.67 0.21 0.19 0.21 0.25 0.31 0.42 0.62 0.93 1.29 σzz/p0 s1/a -2.5E-12 -2.0E-12 -1.5E-12 -1.0E-12 -5.0E-13 0.0E+00 1.12 0.67 0.21 0.19 0.21 0.25 0.31 0.42 0.62 0.93 1.29 εxx/p0 s1/a 39 Software Excel: tensiones y deformaciones en fatiga por fretting con contacto cilíndrico Figura 4-39. Deformación εyy en el interior para el estado de compresión adimensionalizada por p0 Figura 4-40. Deformación εxy en el interior para el estado de compresión adimensionalizada por p0 Figura 4-41. Tensión σxx en el interior para el estado de tracción adimensionalizada por p0 -3.5E-12 -3.0E-12 -2.5E-12 -2.0E-12 -1.5E-12 -1.0E-12 -5.0E-13 0.0E+00 5.0E-13 1.0E-12 1.12 0.67 0.21 0.19 0.21 0.25 0.31 0.42 0.62 0.93 1.29 εyy/p0 s1/a -1.5E-12 -1.0E-12 -5.0E-13 0.0E+00 5.0E-13 1.0E-12 1.5E-12 2.0E-12 1.12 0.67 0.21 0.19 0.21 0.25 0.31 0.42 0.62 0.93 1.29 εxy/p0 s1/a -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 1.12 0.67 0.21 0.19 0.21 0.25 0.31 0.42 0.62 0.93 1.29 σxx/p0 s1/a Descripción del Software 46 46 Figura 4-54. Ventana emergente para introducir la componente En esta hoja se mostrarán los mismos mensajes de error que en la hoja Principal si no se elige una de las opciones requeridas en cada una de las especificaciones o se introduce un valor inadmisible en las variables de entrada. 4.2.4 Matriz de datos Una vez elegido las especificaciones de los datos que se desea obtener, se generará la matriz de los mismos en nuestra hoja de Excel. En la hoja Contour se pueden apreciar tres secciones, tal y como se muestra en la Figura 4-55.  Coordenadas eje X: se compone de todas las coordenadas en el eje X de los puntos a analizar. Estas se encuentran dispuestas horizontalmente en una única fila en la parte superior de la matriz, distinguiendose del resto de filas por tener un color verde más oscuro en el fondo de la celda. La obtención de estas coordenadas depende de las variables de entrada xi, xf y Divisiones eje X.  Coordenadas eje Y: se compone de todas las coordenadas en el eje Y de los puntos a analizar. Estas se encuentran dispuestas verticalmente en una única columna en la parte más a la izquierda de la matriz, del resto de columnas por tener un color verde más oscuro en el fondo de la celda. La obtención de estas coordenadas depende de las variables de entrada yi, yf y Divisiones eje Y.  Resultados numéricos: muestra los datos obtenidos en función de las especificaciones que haya elegido el usuario. Estos datos se encuentran en forma de matriz en la hoja Contour y cada uno de ellos depende de la coordenada X e Y en función de la fila y columna en las que se encuentren cada celda. Esta sección se caracteriza por tener un color de fondo verde claro. La matriz tendrá tantos datos como indiquen las variables Divisiones eje X y Divisiones eje Y. Figura 4-55. Matriz de datos A diferencia de la hoja Principal, la creación del gráfico de superficie está programado en la macro ejecutada, por lo que una vez aparezcan los valores en la hoja Contour, la gráfica deseada se generará automáticamente 47 Software Excel: tensiones y deformaciones en fatiga por fretting con contacto cilíndrico en una hoja nueva a la izquierda de la hoja Contour. 4.2.5 Ejemplo Al igual que en el apartado anterior, se van a añadir al documento una serie de gráficas que muestran los resultados numéricos obtenidos a partir de las ecuaciones analíticas del problema de fretting para el caso de un contacto entre un cilindro y un plano. Para ello se han elegido los datos de entrada que aparecen a continuación:  E = 2.10E11 Pa  ν = 0.3  R = 0.1 m  P = 1.00E6 N  Q = 1.00E5 N  σ = 1.10E8 Pa  μ = 0.7  xi = -2.1009E-3 m  yi = 0 m  xf = 2.1009E-3 m  yf = -1.0505E-3 m  Divisiones eje X = 30  Divisiones eje Y = 30 El resultado de las variables de salida para las anteriores variables de entrada es:  a = 1.0505E-3 m  c = 9.7254E-4 m  e = 6.8095E-5 m  p0 = 6.0604E8 Pa Las gráficas de tensiones y deformaciones para el estado de compresión abarcan desde la Figura 4-56 hasta la Figura 4-62, mientras que las gráficas referentes al estado de tracción se muestran de la Figura 4-63 hasta la Figura 4-69. Figura 4-56. Gráfico de superficie de la tensión σxx para el estado de compresión adimensionalizada por p0 0.000 -0.167 -0.333 -0.500 -0.667 -0.833 -1.000 -2.00 -1.33 -0.67 0.00 0.67 1.33 2.00 y/a x/a σxx/p0 -0.153--0.074 -0.231--0.153 -0.309--0.231 -0.387--0.309 -0.465--0.387 -0.544--0.465 -0.622--0.544 -0.700--0.622 -0.778--0.700 -0.856--0.778 -0.934--0.856 -1.013--0.934 -1.091--1.013 Descripción del Software 48 48 Figura 4-57. Gráfico de superficie de la tensión σyy para el estado de compresión adimensionalizada por p0 Figura 4-58. Gráfico de superficie de la tensión σxy para el estado de compresión adimensionalizada por p0 Figura 4-59. Gráfico de superficie de la tensión σzz para el estado de compresión adimensionalizada por p0 0.000 -0.167 -0.333 -0.500 -0.667 -0.833 -1.000 -2.00 -1.33 -0.67 0.00 0.67 1.33 2.00 y/a x/a σyy/p0 -0.071-0.006 -0.149--0.071 -0.226--0.149 -0.304--0.226 -0.381--0.304 -0.459--0.381 -0.536--0.459 -0.614--0.536 -0.691--0.614 -0.769--0.691 -0.846--0.769 -0.924--0.846 -1.001--0.924 0.000 -0.167 -0.333 -0.500 -0.667 -0.833 -1.000 -2.00 -1.33 -0.67 0.00 0.67 1.33 2.00 y/a x/a σxy/p0 0.234-0.272 0.196-0.234 0.157-0.196 0.119-0.157 0.081-0.119 0.043-0.081 0.004-0.043 -0.034-0.004 -0.072--0.034 -0.110--0.072 -0.148--0.110 -0.187--0.148 -0.225--0.187 0.000 -0.167 -0.333 -0.500 -0.667 -0.833 -1.000 -2.00 -1.33 -0.67 0.00 0.67 1.33 2.00 y/a x/a σzz/p0 -0.069--0.022 -0.115--0.069 -0.162--0.115 -0.208--0.162 -0.255--0.208 -0.302--0.255 -0.348--0.302 -0.395--0.348 -0.441--0.395 -0.488--0.441 -0.534--0.488 -0.581--0.534 -0.627--0.581 49 Software Excel: tensiones y deformaciones en fatiga por fretting con contacto cilíndrico Figura 4-60. Gráfico de superficie de la deformación εxx para el estado de compresión adimensionalizada por p0 Figura 4-61. Gráfico de superficie de la deformación εyy para el estado de compresión adimensionalizada por p0 Figura 4-62. Gráfico de superficie de la deformación εxy para el estado de compresión adimensionalizada por p0 0.000 -0.167 -0.333 -0.500 -0.667 -0.833 -1.000 -2.00 -1.33 -0.67 0.00 0.67 1.33 2.00 y/a x/a εxx/p0 -2.10E-13-6.75E-14 -4.88E-13--2.10E-13 -7.66E-13--4.88E-13 -1.04E-12--7.66E-13 -1.32E-12--1.04E-12 -1.60E-12--1.32E-12 -1.88E-12--1.60E-12 -2.16E-12--1.88E-12 -2.43E-12--2.16E-12 -2.71E-12--2.43E-12 -2.99E-12--2.71E-12 -3.27E-12--2.99E-12 -3.55E-12--3.27E-12 0.000 -0.167 -0.333 -0.500 -0.667 -0.833 -1.000 -2.00 -1.33 -0.67 0.00 0.67 1.33 2.00 y/a x/a εyy/p0 8.31E-13-1.15E-12 5.08E-13-8.31E-13 1.86E-13-5.08E-13 -1.37E-13-1.86E-13 -4.59E-13--1.37E-13 -7.82E-13--4.59E-13 -1.10E-12--7.82E-13 -1.43E-12--1.10E-12 -1.75E-12--1.43E-12 -2.07E-12--1.75E-12 -2.40E-12--2.07E-12 -2.72E-12--2.40E-12 -3.04E-12--2.72E-12 0.000 -0.167 -0.333 -0.500 -0.667 -0.833 -1.000 -2.00 -1.33 -0.67 0.00 0.67 1.33 2.00 y/a x/a εxy/p0 1.45E-12-1.68E-12 1.21E-12-1.45E-12 9.74E-13-1.21E-12 7.37E-13-9.74E-13 5.01E-13-7.37E-13 2.64E-13-5.01E-13 2.74E-14-2.64E-13 -2.09E-13-2.74E-14 -4.46E-13--2.09E-13 -6.83E-13--4.46E-13 -9.19E-13--6.83E-13 -1.16E-12--9.19E-13 -1.39E-12--1.16E-12 Descripción del Software 50 50 Figura 4-63. Gráfico de superficie de la tensión σxx para el estado de tracción adimensionalizada por p0 Figura 4-64. Gráfico de superficie de la tensión σyy para el estado de tracción adimensionalizada por p0 Figura 4-65. Gráfico de superficie de la tensión σxy para el estado de tracción adimensionalizada por p0 0.000 -0.167 -0.333 -0.500 -0.667 -0.833 -1.000 -2.00 -1.33 -0.67 0.00 0.67 1.33 2.00 y/a x/a σxx/p0 0.375-0.482 0.268-0.375 0.161-0.268 0.054-0.161 -0.053-0.054 -0.160--0.053 -0.267--0.160 -0.374--0.267 -0.481--0.374 -0.588--0.481 -0.695--0.588 -0.802--0.695 -0.909--0.802 0.000 -0.167 -0.333 -0.500 -0.667 -0.833 -1.000 -2.00 -1.33 -0.67 0.00 0.67 1.33 2.00 y/a x/a σyy/p0 -0.077-0.000 -0.154--0.077 -0.231--0.154 -0.308--0.231 -0.385--0.308 -0.462--0.385 -0.538--0.462 -0.615--0.538 -0.692--0.615 -0.769--0.692 -0.846--0.769 -0.923--0.846 -1.000--0.923 0.000 -0.167 -0.333 -0.500 -0.667 -0.833 -1.000 -2.00 -1.33 -0.67 0.00 0.67 1.33 2.00 y/a x/a σxy/p0 0.189-0.227 0.150-0.189 0.112-0.150 0.074-0.112 0.036-0.074 -0.003-0.036 -0.041--0.003 -0.079--0.041 -0.117--0.079 -0.156--0.117 -0.194--0.156 -0.232--0.194 -0.270--0.232 51 Software Excel: tensiones y deformaciones en fatiga por fretting con contacto cilíndrico Figura 4-66. Gráfico de superficie de la tensión σzz para el estado de tracción adimensionalizada por p0 Figura 4-67. Gráfico de superficie de la deformación εxx para el estado de tracción adimensionalizada por p0 Figura 4-68. Gráfico de superficie de la deformación εyy para el estado de tracción adimensionalizada por p0 0.000 -0.167 -0.333 -0.500 -0.667 -0.833 -1.000 -2.00 -1.33 -0.67 0.00 0.67 1.33 2.00 y/a x/a σzz/p0 0.089-0.145 0.034-0.089 -0.021-0.034 -0.076--0.021 -0.131--0.076 -0.187--0.131 -0.242--0.187 -0.297--0.242 -0.352--0.297 -0.407--0.352 -0.462--0.407 -0.518--0.462 -0.573--0.518 0.000 -0.167 -0.333 -0.500 -0.667 -0.833 -1.000 -2.00 -1.33 -0.67 0.00 0.67 1.33 2.00 y/a x/a εxx/p0 1.77E-12-2.09E-12 1.45E-12-1.77E-12 1.13E-12-1.45E-12 8.04E-13-1.13E-12 4.84E-13-8.04E-13 1.63E-13-4.84E-13 -1.58E-13-1.63E-13 -4.79E-13--1.58E-13 -8.00E-13--4.79E-13 -1.12E-12--8.00E-13 -1.44E-12--1.12E-12 -1.76E-12--1.44E-12 -2.08E-12--1.76E-12 0.000 -0.167 -0.333 -0.500 -0.667 -0.833 -1.000 -2.00 -1.33 -0.67 0.00 0.67 1.33 2.00 y/a x/a εyy/p0 -1.57E-13-1.18E-13 -4.31E-13--1.57E-13 -7.05E-13--4.31E-13 -9.80E-13--7.05E-13 -1.25E-12--9.80E-13 -1.53E-12--1.25E-12 -1.80E-12--1.53E-12 -2.08E-12--1.80E-12 -2.35E-12--2.08E-12 -2.63E-12--2.35E-12 -2.90E-12--2.63E-12 -3.17E-12--2.90E-12 -3.45E-12--3.17E-12 Descripción del Software 52 52 Figura 4-69. Gráfico de superficie de la deformación εxy para el estado de tracción adimensionalizada por p0 0.000 -0.167 -0.333 -0.500 -0.667 -0.833 -1.000 -2.00 -1.33 -0.67 0.00 0.67 1.33 2.00 y/a x/a εxy/p0 1.17E-12-1.40E-12 9.31E-13-1.17E-12 6.94E-13-9.31E-13 4.57E-13-6.94E-13 2.21E-13-4.57E-13 -1.60E-14-2.21E-13 -2.53E-13--1.60E-14 -4.89E-13--2.53E-13 -7.26E-13--4.89E-13 -9.63E-13--7.26E-13 -1.20E-12--9.63E-13 -1.44E-12--1.20E-12 -1.67E-12--1.44E-12 53 Software Excel: tensiones y deformaciones en fatiga por fretting con contacto cilíndrico 5 CONCLUSIONES El objetivo principal de este trabajo ha sido crear y diseñar una herramienta sencilla para la obtención de las tensiones y deformaciones del contacto entre un cilindro y un plano bajo las condiciones de carga que provocan la fatiga por fretting. Para ello se ha elegido el software Excel por poseer unas características que hacen que sea fácil de utilizar y tener una interfaz intuitiva. El software diseñado se ha creado combinando el manejo de hojas de Excel y programación de macros usando el lenguaje Visual Basic. Aunque se haya utilizado este lenguaje para el desarrollo del trabajo, el usuario que vaya a utilizar el programa no necesita tener ningún conocimiento acerca de programación en Visual Basic. Esto ocurre gracias a la posibilidad de ejecutar las macros programadas en cada hoja pulsando un botón de control de formulario. El problema de cálculo de tensiones y deformaciones se podría haber resuelto usando softwares como Matlab o Maple. Estos poseen una potencia de cálculo numérico mucho mayor que Excel. Se ha comprobado que, para realizar el mismo cálculo de tensiones para la hoja Principal, utilizando el programa Mapple se obtenía un tiempo de ejecución de resultados ocho veces menor que el necesitado por Excel. Este hecho se ha estimado insuficiente en la valoración de usar un software distinto de Excel, puesto que, con ningún otro se habría podido conseguir una herramienta tan fácil de usar como la construida en este trabajo. A parte de realizar un cálculo numérico, también se han diseñado una serie de gráficas en las que representar dichos cálculos. En este ámbito, Excel también se presenta como una mejor opción frente a otros programas al poseer un amplio abanico gráficos a los que se puede acceder de manera intuitiva. En cambio, en los programas anteriormente mencionados, para poder representar los valores de las tensiones y deformaciones, es necesario conocer los comandos necesarios para la realización de gráficas. Por esto, si el usuario desconoce el lenguaje de programación de Maple o Matlab, le será imposible construir las gráficas. Otra de las características que hacen que el software desarrollado sea sencillo es la actualización automática de los valores que se representan en las gráficas de la hoja Principal. Esto permite cambiar cualquier dato de las variables de entrada y solamente tener que volver a pulsar el botón Cilindro_Plano para observar el efecto que este cambio tiene en las gráficas. Hay que señalar que se puede tener graficadas todas las columnas de tensiones y deformaciones de esta hoja de forma simultánea. Para visualizar una gráfica nueva hay que seguir una serie de pasos muy sencillos descritos en el apartado 4.1.5. Respecto a la hoja Contour, hay que decir que solo se pueden obtener los valores para representar una sola gráfica. Esto es así porque se ha programado para que en la hoja aparezca solamente una matriz de datos. Se ha tomado esta decisión ya que, si se quisiera tener las gráficas de todas las tensiones y deformaciones de forma simultánea, el tiempo de ejecución de la macro sería extremadamente elevado. A parte de las anteriores, una de las claves para obtener un software fácilmente manejable, ha sido la forma de determinar el estado de aplicación de cargas que se desea resolver en cada una de las hojas. Esto se refiere al estado de tracción o compresión y a lo que implica esta elección en los sentidos de la fuerza tangencial aplicada al cilindro y tensión aplicada al plano. Este método de introducción de requisitos se ha seguido también en la hoja Contour para seleccionar la tensión o deformación que se quiere representar en el gráfico de superficie. Para ello el usuario tiene que responder a una serie de preguntas que le aparecen de forma automática. Sus respuestas dictaminan qué componente del tensor de tensiones o deformaciones se muestra en el gráfico, eligiendo también si dicha componente es provocada por la fuerza normal, tangencial o por la suma de todas las acciones externas. Hay que destacar que las opciones para responder cada una de las preguntas aparecen en la misma pantalla emergente, por lo que simplemente hay que apreciar cual de ellas se desea e introducir el valor correspondiente. El apartado cuarto ha sido redactado como una guía para aprender a usar el software construido. Con esto se Conclusiones 54 54 pretende conseguir que, aquel que lo utilice, obtenga los resultados numéricos de las tensiones y deformaciones del contacto propuesto, independientemente de que se conozca o no la teoría relacionada con el problema del fretting para interpretar los resultados. Aunque se desconozca dicha teoría, algo que si es realmente importante para poder obtener resultados es el significado de cada una de las variables de entrada. Es necesario introducir valores adecuados en función de la variable que se trate, por lo que hay que tener un conocimiento básico de ellas para saber el rango de valores posible de cada una de ellas. Uno de los objetivos por los que se ha construido este software ha sido para poseer una herramienta que realice el cálculo numérico de las expresiones analíticas y poder comparar los resultados obtenidos teóricamente con los resultados obtenidos en experimentos con contactos cilíndricos. Los conocimientos que se han averiguado sobre la fatiga por fretting desde los comienzos de su estudio, han sido gracias a la realización de estudios teóricos y experimentales paralelamente. La comparación de ambos proporciona un mejor entendimiento de este tipo de fatiga. Otro de los posibles usos que se puede conseguir del desarrollo de este software, es que, al haber otros tipos de contactos de los que se conocen las expresiones analíticas de las distribuciones de tensiones, sustituyendo las ecuaciones que gobiernan las distribuciones del contacto cilíndrico por aquellas que determinan las distribuciones en otro tipo de contacto, se puede conseguir la obtención de otro software para otra clase de contacto. Las ecuaciones de las mismas para el contacto entre una esfera y un plano se pueden encontrar en los trabajos realizados por Hamilton y Sackfield. Por tanto, partiendo del software diseñado en este trabajo, se podría modificar el código de Visual Basic para obtener los resultados de las tensiones y deformaciones para el caso esférico. Sería necesario estudiar este nuevo tipo de contacto a fondo para tener en cuenta todas las particularidades que este presente y difieran del contacto cilíndrico. Por último, la creación de este archivo Excel se considera el primer paso del desarrollo de un software mucho más complejo. El fin último que se pretende conseguir es obtener un software que permita realizar un conjunto de cálculos relacionados con la fatiga, como son el cálculo de la vida del componente a fatiga o las tensiones que se crean en el borde de la grieta. En definitiva, realizar un estudio en profundidad de la iniciación y propagación de la grieta para determinar cuándo, cómo y dónde falla el componente en estudio, pero en un software sencillo. 55 Software Excel: tensiones y deformaciones en fatiga por fretting con contacto cilíndrico 6 ANEXOS: MACROS DE VISUAL BASIC 6.1 Macro Cilindro_Plano Sub Cilindro_Plano() ''VARIABLES DE LA TABLA'' E = Cells(3, 3).Value ' Módulo de Young poi = Cells(4, 3).Value ' Coeficiente de Poisson R = Cells(6, 3).Value ' Radio de curvatura del cilindro P = Math.Abs(Cells(8, 3).Value) ' Fuerza normal de compresión Q = Math.Abs(Cells(9, 3).Value) ' Fuerza tangencial sigma = Math.Abs(Cells(10, 3).Value) ' Tensión global mu = Cells(12, 3).Value ' Coeficiente de rozamiento xi = Cells(14, 3).Value ' Coordenada inicial eje X yi = Cells(15, 3).Value ' Coordenada inicial eje Y xf = Cells(16, 3).Value ' Coordenada final eje X yf = Cells(17, 3).Value ' Coordenada final eje Y n = Cells(19, 3).Value ' Número de puntos A = Cells(21, 3).Value ' Semiancho de contacto c = Cells(22, 3).Value ' Semiancho zona adherida exc = Cells(23, 3).Value ' Excentricidad zona adherida p0 = Cells(25, 3).Value ' Tensión máxima 'Coordenada inicial o final en el eje Y mayor que 0 If yi > 0 Or yf > 0 Then MsgBox "Las coordendas del eje Y tienen que ser iguales o menores que cero" , , "Error" Exit Sub End If 'Límite fuerza tangencial If Q > mu * P Then MsgBox "El valor de Q excede el límite, es decir, Q>mu*P" , , "Error" Exit Sub End If 'Condición deslizamiento reverso If c + exc > A Then MsgBox "Valores de las cargas tales que tiene lugar el deslizamiento reverso, es decir, c+e>a" , , "Error" Exit Sub End If 'Especificación esfuerzo = InputBox("¿A qué esfuerzo quiere someter el plano? Compresión=1 o Tracción=2", "Introduzca esfuerzo") Anexos: Macros de Visual Basic 62 62 defQ_yy_d_parcial(j) = 1 / E * (sigmaQ_yy_d_parcial(j) - poi * (sigmaQ_xx_d_parcial(j) + sigmaQ_zz_d_parcial(j))) defQ_xy_d_parcial(j) = (1 + poi) / E * sigmaQ_xy_d_parcial(j) Cells(j, 32).Value = defQ_xx_d_parcial(j) Cells(j, 33).Value = defQ_yy_d_parcial(j) Cells(j, 34).Value = defQ_xy_d_parcial(j) 'Deformaciones debidas a la fuerza tangencial total' defQ_xx(j) = defQ_xx_d_total(j) + defQ_xx_d_parcial(j) defQ_yy(j) = defQ_yy_d_total(j) + defQ_yy_d_parcial(j) defQ_xy(j) = defQ_xy_d_total(j) + defQ_xy_d_parcial(j) 'Deformaciones debidas a la suma de todas las acciones exteriores' def_total_xx(j) = defP_xx(j) + defQ_xx_d_total(j) * mu + defQ_xx_d_parcial(j) * mu + 1 / e * ((sigma / p0) - poi ^ 2 * (sigma / p0)) def_total_yy(j) = defP_yy(j) + defQ_yy_d_total(j) * mu + defQ_yy_d_parcial(j) * mu - poi / e * ((sigma / p0) + poi * (sigma / p0)) def_total_xy(i, j) = defP_xy(i, j) + defQ_xy_d_total(i, j) * mu + defQ_xy_d_parcial(i, j) * mu Cells(j, 35) = def_total_xx(j) Cells(j, 36) = def_total_yy(j) Cells(j, 37) = def_total_xy(j) 'Formato de las celdas i = 26 Do Until i = 38 With Cells(j, i).Interior .Pattern = xlSolid .PatternColorIndex = xlAutomatic .Color = 16756655 .TintAndShade = 0 .PatternTintAndShade = 0 End With Cells(j, i).NumberFormat = "0.000E+00" With Cells(j, i).Borders(xlEdgeLeft) .LineStyle = xlContinuous .ColorIndex = xlAutomatic .TintAndShade = 0 .Weight = xlThin End With With Cells(j, i).Borders(xlEdgeRight) .LineStyle = xlContinuous .ColorIndex = xlAutomatic .TintAndShade = 0 .Weight = xlThin End With With Cells(j, i) .HorizontalAlignment = xlCenter .VerticalAlignment = xlBottom .WrapText = False .Orientation = 0 .AddIndent = False .IndentLevel = 0 .ShrinkToFit = False .ReadingOrder = xlContext .MergeCells = False End With i = i + 1 Loop Next j 'Borrado de datos si el número de puntos es menor que el anterior uso de la macro 63 Software Excel: tensiones y deformaciones en fatiga por fretting con contacto cilíndrico i = 26 Do Until i = 38 j = n + 3 Do Until IsEmpty(Cells(j, i)) Cells(j, i).Clear j = j + 1 Loop i = i + 1 Loop End Sub 6.2 Macro ContourPlot Sub ContourPlot() ''VARIABLES DE LA TABLA'' E = Cells(3, 3).Value ' Módulo de Young poi = Cells(4, 3).Value ' Coeficiente de Poisson R = Cells(6, 3).Value ' Radio de curvatura del cilindro P = Math.Abs(Cells(8, 3).Value) ' Fuerza normal de compresión Q = Math.Abs(Cells(9, 3).Value) ' Fuerza tangencial sigma = Math.Abs(Cells(10, 3).Value) ' Tensión global mu = Cells(12, 3).Value ' Coeficiente de rozamiento xi = Cells(14, 3).Value ' Coordenada inicial eje X yi = Cells(15, 3).Value ' Coordenada inicial eje Y xf = Cells(16, 3).Value ' Coordenada final eje X yf = Cells(17, 3).Value ' Coordenada final eje Y nx = Cells(19, 3).Value ' Número de puntos en el eje X ny = Cells(20, 3).Value ' Número de puntos en el eje Y A = Cells(22, 3).Value ' Semiancho de contacto c = Cells(23, 3).Value ' Semiancho zona adherida exc = Cells(24, 3).Value ' Excentricidad zona adherida p0 = Cells(26, 3).Value ' Tensión máxima 'Coordenada inicial o final en el eje Y mayor que 0 If yi > 0 Or yf > 0 Then MsgBox "Las coordendas del eje Y tienen que ser iguales o menores que cero" , , "Error" Exit Sub End If 'Límite fuerza tangencial If Q > mu * P Then MsgBox "El valor de Q excede el límite, es decir, Q>mu*P" , , "Error" Exit Sub End If 'Condición deslizamiento reverso If c + exc > A Then MsgBox "Valores de las cargas tales que tiene lugar el deslizamiento reverso, es decir, c+e>a" , , "Error" Exit Sub End If 'Coordenadas en el eje Y de menor a mayor profundidad Anexos: Macros de Visual Basic 64 64 If yi < yf Then yi = Cells(17, 3).Value yf = Cells(15, 3).Value End If 'Especificación esfuerzo = InputBox("¿A qué esfuerzo quiere someter el plano? Compresión=1 o Tracción=2 ", "Introduzca esfuerzo") If esfuerzo = 1 Or esfuerzo = 2 Then If esfuerzo = 1 Then sigma = -sigma Cells(28, 3).Value = "Compresión" ' Q>0 , sigma<0 End If If esfuerzo = 2 Then Q = -Q Cells(28, 3) = "Tracción" ' Q<0 , sigma>0 End If Else MsgBox "Tiene que elegir una de las opciones" , , "Error" Exit Sub End If ''MATRIZ'' ' Posición de la matriz de puntos en la hoja Contour fila_x = 1 col_x = 7 fila_y = fila_x + 1 col_y = col_x - 1 length_x = nx + col_x length_y = ny + fila_y ReDim x(length_x) ReDim y(length_y) 'Fila de coordenadas del eje X i = col_x Do Until i = nx + col_x + 1 x(i) = (xi + (i - col_x) * (xf - xi) / nx) Cells(fila_x, i).Value = x(i) / A 'Formato de las celdas With Cells(fila_x, i).Interior .Pattern = xlSolid .PatternColorIndex = xlAutomatic .Color = 5756247 .TintAndShade = 0 .PatternTintAndShade = 0 End With Cells(fila_x, i).NumberFormat = "0.000" With Cells(fila_x, i).Borders(xlEdgeLeft) .LineStyle = xlContinuous .ColorIndex = xlAutomatic .TintAndShade = 0 .Weight = xlThin End With With Cells(fila_x, i).Borders(xlEdgeRight) 65 Software Excel: tensiones y deformaciones en fatiga por fretting con contacto cilíndrico .LineStyle = xlContinuous .ColorIndex = xlAutomatic .TintAndShade = 0 .Weight = xlThin End With With Cells(fila_x, i).Borders(xlBottom) .LineStyle = xlContinuous .ColorIndex = xlAutomatic .TintAndShade = 0 .Weight = xlThin End With With Cells(fila_x, i) .HorizontalAlignment = xlCenter .VerticalAlignment = xlBottom .WrapText = False .Orientation = 0 .AddIndent = False .IndentLevel = 0 .ShrinkToFit = False .ReadingOrder = xlContext .MergeCells = False End With i = i + 1 Loop 'Borrado de datos si el número de puntos en el eje X es menor que el anterior uso de la macro Do Until IsEmpty(Cells(fila_x, i)) Cells(fila_x, i).Clear i = i + 1 Loop 'Columna de coordenadas del eje Y j = fila_y Do Until j = ny + fila_y + 1 y(j) = (yi + (j - fila_y) * (yf - yi) / ny) Cells(j, col_y).Value = y(j) / A 'Formato de las celdas With Cells(j, col_y).Interior .Pattern = xlSolid .PatternColorIndex = xlAutomatic .Color = 5756247 .TintAndShade = 0 .PatternTintAndShade = 0 End With Cells(j, col_y).NumberFormat = "0.000" With Cells(j, col_y).Borders(xlEdgeLeft) .LineStyle = xlContinuous .ColorIndex = xlAutomatic .TintAndShade = 0 .Weight = xlThin End With With Cells(j, col_y).Borders(xlEdgeRight) .LineStyle = xlContinuous .ColorIndex = xlAutomatic .TintAndShade = 0 .Weight = xlThin End With With Cells(j, col_y) Anexos: Macros de Visual Basic 66 66 .HorizontalAlignment = xlCenter .VerticalAlignment = xlBottom .WrapText = False .Orientation = 0 .AddIndent = False .IndentLevel = 0 .ShrinkToFit = False .ReadingOrder = xlContext .MergeCells = False End With j = j + 1 Loop 'Borrado de datos si el número de puntos en el eje Y es menor que el anterior uso de la macro Do Until IsEmpty(Cells(j, col_y)) Cells(j, col_y).Clear j = j + 1 Loop ''CÁLCULO DE TENSIONES'' ReDim s1(length_x, length_y) ReDim s2(length_x, length_y) ReDim sigmaP_xx(length_x, length_y) ReDim sigmaP_yy(length_x, length_y) ReDim sigmaP_xy(length_x, length_y) ReDim sigmaP_zz(length_x, length_y) ReDim sigmaQ_xx_d_total(length_x, length_y) ReDim sigmaQ_yy_d_total(length_x, length_y) ReDim sigmaQ_xy_d_total(length_x, length_y) ReDim sigmaQ_zz_d_total(length_x, length_y) ReDim sigmaQ_xx_d_parcial(length_x, length_y) ReDim sigmaQ_yy_d_parcial(length_x, length_y) ReDim sigmaQ_xy_d_parcial(length_x, length_y) ReDim sigmaQ_zz_d_parcial(length_x, length_y) ReDim sigmaQ_xx(length_x, length_y) ReDim sigmaQ_yy(length_x, length_y) ReDim sigmaQ_xy(length_x, length_y) ReDim sigmaQ_zz(length_x, length_y) ReDim sigma_total_xx(length_x, length_y) ReDim sigma_total_yy(length_x, length_y) ReDim sigma_total_xy(length_x, length_y) ReDim sigma_total_zz(length_x, length_y) For j = fila_y To length_y For i = col_x To length_x s1(i, j) = Sqr(0.5 * (-(A ^ 2 - x(i) ^ 2 - y(j) ^ 2) + Sqr((A ^ 2 - x(i) ^ 2 - y(j) ^ 2) ^ 2 + 4 * A ^ 2 * y(j) ^ 2))) s2(i, j) = Sqr(0.5 * (-(c ^ 2 - (x(i) + exc) ^ 2 - y(j) ^ 2) + Sqr((c ^ 2 - (x(i) + exc) ^ 2 - y(j) ^ 2) ^ 2 + 4 * c ^ 2 * y(j) ^ 2))) 'Tensiones debidas a la fuerza normal' If y(j) = 0 Then If Math.Abs(x(i)) > A Then sigmaP_xx(i, j) = 0 sigmaP_yy(i, j) = 0 67 Software Excel: tensiones y deformaciones en fatiga por fretting con contacto cilíndrico sigmaP_xy(i, j) = 0 Else sigmaP_xx(i, j) = -Sqr(1 - (x(i) / A) ^ 2) sigmaP_yy(i, j) = -Sqr(1 - (x(i) / A) ^ 2) sigmaP_xy(i, j) = 0 End If Else sigmaP_xx(i, j) = -y(j) / A * (2 - (s1(i, j) / A) / Sqr(1 + (s1(i, j) / A) ^ 2) - Sqr(1 + (s1(i, j) / A) ^ 2) / (s1(i, j) / A) - (x(i) / A) ^ 2 * (s1(i, j) / A) ^ 3 / (1 + (s1(i, j) / A) ^ 2) ^ (3 / 2) / ((s1(i, j) / A) ^ 4 + (y(j) / A) ^ 2)) sigmaP_yy(i, j) = (y(j) / A) ^ 3 * Sqr(1 + (s1(i, j) / A) ^ 2) / (s1(i, j) / A) / ((s1(i, j) / A) ^ 4 + (y(j) / A) ^ 2) sigmaP_xy(i, j) = (x(i) / A) * (y(j) / A) ^ 2 * (s1(i, j) / A) / Sqr(1 + (s1(i, j) / A) ^ 2) / ((s1(i, j) / A) ^ 4 + (y(j) / A) ^ 2) End If sigmaP_zz(i, j) = poi * (sigmaP_xx(i, j) + sigmaP_yy(i, j)) 'Tensiones debidas a la fuerza tangencial DESLIZAMIENTO TOTAL' If y(j) = 0 Then If x(i) < -A Then sigmaQ_xx_d_total(i, j) = Sgn(Q) * -2 * (x(i) / A + Sqr((x(i) / A) ^ 2 - 1)) sigmaQ_yy_d_total(i, j) = 0 sigmaQ_xy_d_total(i, j) = 0 End If If Math.Abs(x(i)) <= A Then sigmaQ_xx_d_total(i, j) = Sgn(Q) * -2 * x(i) / A sigmaQ_yy_d_total(i, j) = 0 sigmaQ_xy_d_total(i, j) = Sgn(Q) * Sqr(1 - (x(i) / A) ^ 2) End If If x(i) > A Then sigmaQ_xx_d_total(i, j) = Sgn(Q) * -2 * (x(i) / A - Sqr((x(i) / A) ^ 2 - 1)) sigmaQ_yy_d_total(i, j) = 0 sigmaQ_xy_d_total(i, j) = 0 End If Else sigmaQ_xx_d_total(i, j) = Sgn(Q) * (-2 * (x(i) / A) * (1 - (s1(i, j) / A) / Sqr(1 + (s1(i, j) / A) ^ 2)) + (x(i) / A) * (y(j) / A) ^ 2 * (s1(i, j) / A) / Sqr(1 + (s1(i, j) / A) ^ 2) / ((s1(i, j) / A) ^ 4 + (y(j) / A) ^ 2)) sigmaQ_yy_d_total(i, j) = Sgn(Q) * (x(i) / A) * (y(j) / A) ^ 2 * (s1(i, j) / A) / Sqr(1 + (s1(i, j) / A) ^ 2) / ((s1(i, j) / A) ^ 4 + (y(j) / A) ^ 2) sigmaQ_xy_d_total(i, j) = Sgn(Q) * (y(j) / A * (2 - (s1(i, j) / A) / Sqr(1 + (s1(i, j) / A) ^ 2) - Sqr(1 + (s1(i, j) / A) ^ 2) / (s1(i, j) / A) - (x(i) / A) ^ 2 * (s1(i, j) / A) ^ 3 / (1 + (s1(i, j) / A) ^ 2) ^ (3 / 2) / ((s1(i, j) / A) ^ 4 + (y(j) / A) ^ 2))) End If sigmaQ_zz_d_total(i, j) = poi * (sigmaQ_xx_d_total(i, j) + sigmaQ_yy_d_total(i, j)) 'Tensiones debidas a la fuerza tangencial (Zona adherida) DESLIZAMIENTO PARCIAL' If y(j) = 0 Then If x(i) + exc < -c Then sigmaQ_xx_d_parcial(i, j) = -Sgn(Q) * c / A * (-2 * ((x(i) + exc) / c + Sqr(((x(i) + exc) / c) ^ 2 - 1))) sigmaQ_yy_d_parcial(i, j) = 0 sigmaQ_xy_d_parcial(i, j) = 0 End If If Math.Abs(x(i) + exc) <= c Then sigmaQ_xx_d_parcial(i, j) = -Sgn(Q) * c / A * (-2 * (x(i) + exc) / c) sigmaQ_yy_d_parcial(i, j) = 0 sigmaQ_xy_d_parcial(i, j) = -Sgn(Q) * c / A * (Sqr(1 - ((x(i) + exc) / c) ^ 2)) End If If x(i) + exc > c Then sigmaQ_xx_d_parcial(i, j) = -Sgn(Q) * c / A * (-2 * ((x(i) + exc) / c - Sqr(((x(i) + exc) / c) ^ 2 - 1))) sigmaQ_yy_d_parcial(i, j) = 0 sigmaQ_xy_d_parcial(i, j) = 0 Anexos: Macros de Visual Basic 68 68 End If Else sigmaQ_xx_d_parcial(i, j) = -Sgn(Q) * c / A * (-2 * (x(i) + exc) / c * (1 - (s2(i, j) / c) / Sqr(1 + (s2(i, j) / c) ^ 2)) + ((x(i) + exc) / c) * (y(j) / c) ^ 2 * (s2(i, j) / c) / Sqr(1 + (s2(i, j) / c) ^ 2) / ((s2(i, j) / c) ^ 4 + (y(j) / c) ^ 2)) sigmaQ_yy_d_parcial(i, j) = -Sgn(Q) * c / A * ((x(i) + exc) / c) * (y(j) / c) ^ 2 * (s2(i, j) / c) / Sqr(1 + (s2(i, j) / c) ^ 2) / ((s2(i, j) / c) ^ 4 + (y(j) / c) ^ 2) sigmaQ_xy_d_parcial(i, j) = -Sgn(Q) * c / A * (y(j) / c * (2 - (s2(i, j) / c) / Sqr(1 + (s2(i, j) / c) ^ 2) - Sqr(1 + (s2(i, j) / c) ^ 2) / (s2(i, j) / c) - ((x(i) + exc) / c) ^ 2 * (s2(i, j) / c) ^ 3 / (1 + (s2(i, j) / c) ^ 2) ^ (3 / 2) / ((s2(i, j) / c) ^ 4 + (y(j) / c) ^ 2))) End If sigmaQ_zz_d_parcial(i, j) = poi * (sigmaQ_xx_d_parcial(i, j) + sigmaQ_yy_d_parcial(i, j)) 'Tensiones debidas a la fuerza tangencial total' sigmaQ_xx(i, j) = sigmaQ_xx_d_total(i, j) + sigmaQ_xx_d_parcial(i, j) sigmaQ_yy(i, j) = sigmaQ_yy_d_total(i, j) + sigmaQ_yy_d_parcial(i, j) sigmaQ_xy(i, j) = sigmaQ_xy_d_total(i, j) + sigmaQ_xy_d_parcial(i, j) sigmaQ_zz(i, j) = sigmaQ_zz_d_total(i, j) + sigmaQ_zz_d_parcial(i, j) 'Tensiones debidas a la suma de todas las acciones externas' sigma_total_xx(i, j) = sigmaP_xx(i, j) + sigmaQ_xx_d_total(i, j) * mu + sigmaQ_xx_d_parcial(i, j) * mu + sigma / p0 sigma_total_yy(i, j) = sigmaP_yy(i, j) + sigmaQ_yy_d_total(i, j) * mu + sigmaQ_yy_d_parcial(i, j) * mu sigma_total_xy(i, j) = sigmaP_xy(i, j) + sigmaQ_xy_d_total(i, j) * mu + sigmaQ_xy_d_parcial(i, j) * mu sigma_total_zz(i, j) = poi * (sigma_total_xx(i,j) + sigma_total_yy(i,j)) Next i Next j ''CÁLCULO DE DEFORMACIONES'' ReDim defP_xx(length_x, length_y) ReDim defP_yy(length_x, length_y) ReDim defP_xy(length_x, length_y) ReDim defQ_xx_d_total(length_x, length_y) ReDim defQ_yy_d_total(length_x, length_y) ReDim defQ_xy_d_total(length_x, length_y) ReDim defQ_xx_d_parcial(length_x, length_y) ReDim defQ_yy_d_parcial(length_x, length_y) ReDim defQ_xy_d_parcial(length_x, length_y) ReDim defQ_xx(length_x, length_y) ReDim defQ_yy(length_x, length_y) ReDim defQ_xy(length_x, length_y) ReDim def_total_xx(length_x, length_y) ReDim def_total_yy(length_x, length_y) ReDim def_total_xy(length_x, length_y) For j = fila_y To length_y For i = col_x To length_x 'Deformaciones debidas a la fuerza normal' defP_xx(i, j) = 1 / E * (sigmaP_xx(i, j) - poi * (sigmaP_yy(i, j) + sigmaP_zz(i, j))) defP_yy(i, j) = 1 / E * (sigmaP_yy(i, j) - poi * (sigmaP_xx(i, j) + sigmaP_zz(i, j))) defP_xy(i, j) = (1 + poi) / E * sigmaP_xy(i, j) 'Deformaciones debidas a la fuerza tangencial DESLIZAMIENTO TOTAL' defQ_xx_d_total(i, j) = 1 / E * (sigmaQ_xx_d_total(i, j) - poi * (sigmaQ_yy_d_total(i, j) + sigmaQ_zz_d_total(i, j))) defQ_yy_d_total(i, j) = 1 / E * (sigmaQ_yy_d_total(i, j) - poi * (sigmaQ_xx_d_total(i, j) + sigmaQ_zz_d_total(i, j))) 69 Software Excel: tensiones y deformaciones en fatiga por fretting con contacto cilíndrico defQ_xy_d_total(i, j) = (1 + poi) / E * sigmaQ_xy_d_total(i, j) 'Deformaciones debidas a la fuerza tangencial (zona adherida) DESLIZAMIENTO PARCIAL' defQ_xx_d_parcial(i, j) = 1 / E * (sigmaQ_xx_d_parcial(i, j) - poi * (sigmaQ_yy_d_parcial(i, j) + sigmaQ_zz_d_parcial(i, j))) defQ_yy_d_parcial(i, j) = 1 / E * (sigmaQ_yy_d_parcial(i, j) - poi * (sigmaQ_xx_d_parcial(i, j) + sigmaQ_zz_d_parcial(i, j))) defQ_xy_d_parcial(i, j) = (1 + poi) / E * sigmaQ_xy_d_parcial(i, j) 'Deformaciones debidas a la fuerza tangencial total' defQ_xx(i, j) = defQ_xx_d_total(i, j) + defQ_xx_d_parcial(i, j) defQ_yy(i, j) = defQ_yy_d_total(i, j) + defQ_yy_d_parcial(i, j) defQ_xy(i, j) = defQ_xy_d_total(i, j) + defQ_xy_d_parcial(i, j) 'Deformaciones debidas a la suma de todas las acciones exteriores' def_total_xx(i, j) = defP_xx(i, j) + defQ_xx_d_total(i, j) * mu + defQ_xx_d_parcial(i, j) * mu + 1 / e * ((sigma / p0) - poi ^ 2 * (sigma / p0)) def_total_yy(i, j) = defP_yy(i, j) + defQ_yy_d_total(i, j) * mu + defQ_yy_d_parcial(i, j) * mu - poi / e * ((sigma / p0) + poi * (sigma / p0)) def_total_xy(i, j) = defP_xy(i, j) + defQ_xy_d_total(i, j) * mu + defQ_xy_d_parcial(i, j) * mu Next i Next j 'Borrado de datos si el número de puntos en el eje X o eje Y es menor que el anterior uso de la macro j = fila_y i = col_x Do Until IsEmpty(Cells(j, col_x)) i = col_x Do Until IsEmpty(Cells(j, i)) If j > length_y Or i > length_x Then Cells(j, i).Clear i = i + 1 Else i = i + 1 End If Loop j = j + 1 Loop ''ELECCIÓN MATRIZ DE DATOS'' 'Especificaciones variable = InputBox("¿Qué variable quiere representar? Tensión=1 o Deformación=2", "Introduzca variable") If variable = 1 Or variable = 2 Then If variable = 1 Then Cells(29, 3).Value = "Tension" End If If variable = 2 Then Cells(29, 3) = "Deformación" End If Else MsgBox "Tiene que elegir una opción" , , "Error" Exit Sub End If fuerza = InputBox("¿Respecto a qué fuerza? Normal=1,Tangencial=2 o Ambas=3", "Introduzca fuerza") If fuerza = 1 Or fuerza = 2 Or fuerza = 3 Then Anexos: Macros de Visual Basic 70 70 If fuerza = 1 Then Cells(30, 3).Value = "Normal" End If If fuerza = 2 Then tangencial = InputBox("¿A qué distribución está asociado el campo deseado? Tensión tangencial deslizamiento global=1 Tensión tangencial correctiva=2 Tensión tangencial total=3", "Introduzca tangencial") If tangencial = 1 Or tangencial = 2 Or tangencial = 3 Then If tangencial = 1 Then Cells(30, 3).Value = "Tangencial deslizamiento global" End If If tangencial = 2 Then Cells(30, 3).Value = "Tangencial correctiva" End If If tangencial = 3 Then Cells(30, 3).Value = "Tangencial deslizamiento parcial" End If Else MsgBox "Tiene que elegir una opción" , , "Error" Exit Sub End If End If If fuerza = 3 Then Cells(30, 3).Value = "Ambas" End If Else MsgBox "Tiene que elegir una opción" , , "Error" Exit Sub End If componente = InputBox("¿Qué componente quiere representar? XX=1,YY=2,XY=3 o ZZ=4 (ZZ solo si Variable=Tensión)", "Introduzca componente") If componente = 1 Or componente = 2 Or componente = 3 Or componente = 4 Then If componente = 1 Then Cells(31, 3).Value = "XX" End If If componente = 2 Then Cells(31, 3).Value = "YY" End If If componente = 3 Then Cells(31, 3).Value = "XY" End If If componente = 4 Then Cells(31, 3).Value = "ZZ" End If Else MsgBox "Tiene que elegir una opción" , , "Error" Exit Sub End If For j = fila_y To length_y For i = col_x To length_x If variable = 1 Then If fuerza = 1 Then If componente = 1 Then Cells(j, i).Value = sigmaP_xx(i, j) End If If componente = 2 Then Cells(j, i).Value = sigmaP_yy(i, j) End If If componente = 3 Then Cells(j, i).Value = sigmaP_xy(i, j) 71 Software Excel: tensiones y deformaciones en fatiga por fretting con contacto cilíndrico End If If componente = 4 Then Cells(j, i).Value = sigmaP_zz(i, j) End If End If If fuerza = 2 Then If tangencial = 1 Then If componente = 1 Then Cells(j, i).Value = sigmaQ_xx_d_total(i, j) End If If componente = 2 Then Cells(j, i).Value = sigmaQ_yy_d_total(i, j) End If If componente = 3 Then Cells(j, i).Value = sigmaQ_xy_d_total(i, j) End If If componente = 4 Then Cells(j, i).Value = sigmaQ_zz_d_total(i, j) End If End If If tangencial = 2 Then If componente = 1 Then Cells(j, i).Value = sigmaQ_xx_d_parcial(i, j) End If If componente = 2 Then Cells(j, i).Value = sigmaQ_yy_d_parcial(i, j) End If If componente = 3 Then Cells(j, i).Value = sigmaQ_xy_d_parcial(i, j) End If If componente = 4 Then Cells(j, i).Value = sigmaQ_zz_d_parcial(i, j) End If End If If tangencial = 3 Then If componente = 1 Then Cells(j, i).Value = sigmaQ_xx(i, j) End If If componente = 2 Then Cells(j, i).Value = sigmaQ_yy(i, j) End If If componente = 3 Then Cells(j, i).Value = sigmaQ_xy(i, j) End If If componente = 4 Then Cells(j, i).Value = sigmaQ_zz(i, j) End If End If End If If fuerza = 3 Then If componente = 1 Then Cells(j, i).Value = sigma_total_xx(i, j) End If If componente = 2 Then Cells(j, i).Value = sigma_total_yy(i, j) End If If componente = 3 Then Cells(j, i).Value = sigma_total_xy(i, j) End If If componente = 4 Then Cells(j, i).Value = sigma_total_zz(i, j) End If End If End If