Orontii Finaei... De rebus mathematicis hactenus desideratis libri IIII : quibus inter caetera, circuli quadratura centum modis, & supra per eundem Orontiun recenter excogitatis, demonstratur

ORONTII FINAEI, DELPHINATIS.REGII MATHEMATICARVM PROPE s s oRIS, De rebus matbcmaticis, hadienus defideratis, Libri III I. ^Q_uibus inter cstcra. Circuli quadratura Centum modis,& fupra, per eundem Orontium recenter excogitatis dcmonftratur. LVTETIAE PARISIORVM. Anno Chrifti Scruatoris, M. D. LVI. Ex officina Michaclis Vafeoi^buia lacobxa ad infigne Fontis. Cum Pnuilegio Regis. CHRISTIANISSIMO GALLIARVM REGI HENRICO II. ANTONIVS MIZALDVS MONLVCIANVS, S. P. D. VVM nullum prarftantius bonum a Deo Opt.Max. hominibus fit conccE- fum,HENRiCE Rex ChriftianifTi - me, quam doctrinarum rerum pulchrarum ingeniola acq^ utilis dilquificio:pra:ciare dc Rcpublica, imb ucrb de uniucrlb mortaliu genere mihi mereri Icmper fum uifi, quicunqueaddifciplinarum communianimiim ftrenue conucrccrunteae omnem operam,ftudium,laborem,&induRriam in id fcdulbcontulcrunt.Q^od cum optimus idemqucdoCliflimus uir ille Oroncius iam olim prudenter animaduertiffcc ,tota uica conquicfccrc non potuit, donec leCtionibus cum publicis, tum priuatis,adha:c multis libris editis,in id incubuiflc,& tandcfuccubuilTc palam icftarctur.Quam rem,tuo,& ChriRianils-patris tui FRANCisci, fauore &aufpicio gnauiter aggreflus ,ad extremum ufquc uitsaCtum fceiicillime perduxit. Deo in omnibus Scperomniaalpirantc: qui uthumansc infirmitati fuccurrat,6c infirms humanitati prolpiciat.quarfuapte natura uix infima afTcquipotcft, in aliquibus Heroicis uiris proflantes animorummotus,latcntefque igniculos excitare fuDindefolct,qui poftea quafi diuinitus afflati, &ccelitus agitati, ad rcru magna., rum inucntionem,& difficilium explicationem, mira feruntur induftria.-fummo certe patrocinantis Dei miraculo, &ingenti talium uirorum laudc,immortaUquc patrio illorum ornamen- to:obproclara menimentaquo uclutx publicum urbium pcculium,& regnorum infigne decus memorio poftcritatisconfccratum,atantis uiris rclinquuntur.Hinc nimirum cclcbrc adhuc cflSyracufaru nomcnmon ob proftantiflima figna &prctiof^ tabulas, quibus olim abundabant Syracufo,fcd ob unius ij EPISTOLA Archimedis Mathematici clari{rimi,eximia& adhuc uiucntia opera, perpccuoquc ui6lura,6c Syracufas ubique celebratura. Q^oddetuaLutetia Galliarum metropoli,idem aliquando futurum,certb tibi polliceri debes: no tam quod fynccra religione, &legibus squiflimis illam optime conftitutam uideas, ad hxcopum magnitudine 8c iplendore egregie ornatam, qudm quod in ea eloquentix,philofophia:,mcdicin9,mathemat«fn, ac omnium optimarum artium 6c linguarum publicum habeas gymnafium,tua &illuftriifimi patris tui liberalitatc,multis lam annis florcntiffimumj&uigilantiflimorum ac dodtilTimorum profefforum duodecim (quotus eft mularum Sc charitu humerus) quotidianis inteipretationibus ,propohto cuique honefto ftipcndio,gloriose illuftratum.Quorum omnium induftria ac monimentis, immortalitatem tibi ®no tuo iamiam comparatam e(Ie,quis non uidet?Quis ncfcitprilcos Reges delireris &literatis bene mercndo,pofi:critatcm fui memorem feci fle? Quis hodie non celebrat Alfonlum Caftilix Regem,qubd liberalitcr contulerit quadringenta milia aureorum ,dodtis aliquot uiris cxiudxa &Aphricaaccerfitis, adconftrudtionem AftrO' nomicarum tabularu,qux hodie omnibus funt in manu? Quis Alexandrum Macedonem multis ante illum feculis non prodicat,quod octingenta talenta,hoc cft quadringenta 6c odioginta milia coronatorum,Ariftoteli proceptori dederit ad naturx animantium inquifitionem ?Sunt hxc magna &celebria,rcd, meo iudicio,maiora ac celebriora qux facis. Qui regia morus Jiberalitate,6c hxreditaria imbutus uirture, magnam pecuniam no. uni tantumnumeras, ut Alexander, auc tribus uel quatuor, iic Alfonfus,quin potius duodccim,ut dixfprxclaris acfcicdtis uiris, hinc inde ad Lutetianam tuam Academiam publice uocatis.Quorum pars quotidie foeliciter interpretando, pars dodle foibendojparsutrumqueexadle faciendo, per uniuerfim Europam^nedum Galliam,artium omnium &difciplinarum,hnguarumque fcecunda femina,Ionge ac late fpargic. Quxubi x~ ratem tulerutjfuauifli mos fruclus edunt ad communemregnorum utilitatcm,& tutam Rerumpubl.conferuarionem. In quorum ordinem cum optimus,idcmque dodrifs.uir ille Orontius, omnium NVNCVPATORIA. omnium primus aChriftianilTimo patre tuo cooptatus fuiflcr, &a tua Maieftatcpoftca confirmatus ac probatus: cum ibi totos uiginti quinque annos,& doccndo,8c multa feribendo,magnalaude ueriatus fuiflee :cum ea in prouincia fe pro dignitate femper gelliiret,acque aliis dies ac no<^cs fudando lefc raaceraC- {et,imbucrb&:corpore&animo negledia familia, qua numerofam &pauperem habebat,funditus cxhaufiilet: canus &fexagenarius uitam cum morte ibinupermutauitimortc, inquam, illi flimme acerba 6c molefta,non quod eam grauiter ferrer, qui fc mortalem agnofeebat, &legibus fati obnoxiu: fed quod do- Icrctpopulofam &: benenatam fobolcm, in tanta rerum inopia relinquere :adhxc. Mathematica aliquot opera, qu^e in manu uixdiim ex dimidio elaborata habebat, impcrfedla &impolita uidere.Sibi tamen ac doclis omnibus impense gratulabatur, 5c Deo Opt.Max.fummas gratias agebat,qubdlibruiftum,in quo toturn feptennium indefeiTo fudore confumpferat ,ad colo - phonem duxiflet. Quem accurate impre(rum,utMaiefi:ati tua; offerrem, qua ualebat in me audforitatc, moriens, lemel atque iterum imperauit:cum obalia, tum utfuorum laborum prsfens haberes p»K<u4«u;oc,&rubleuandar fuorum inopia:, pofitum ob oculos pium monimentum.Addebat,sequiflimumefle ut hanc fuarum lucubrationum poftrcmam acciperes manum, cum ter maximus pater tuus primamrcgali alacritatc,& dextra fummMiberali, annis abhinc triginta quinque plus minus ultro accepiffet. Q^od me &libcnter,& ex animofadlurum cum illifuiflem pollicituSjUbiinfataconccffit, librum una cum figuris,quas paulo ante quam abiret, ingeniofa manu ad ungue pinxerat, Michacli Vafeofano typographo diligentifiimo ac dodliflimojftacim committere mhilfumcu(51:atus: nullo prorfus mutato uerbo,nec item fenfu :ne audtori &parenti iniuria facerem .Reliqui itaque pofthumum opus fux integritati & origini.Q^od quale quale cft, diuinum fane &eruditum, Maicftati tus, HENRIcERex potcntillime, hodie hilariter offero : cum ucpoftrcmis tanti uiri mandatis ingenue parcam, tum ut rerum mathematicarum ftudiofis,iamdiu defideratam fementem,fub tuo nominc,ubique terrarum difpergam. Cuius cam- SVMMA EORVM,QVAE IN SEQVENTIBVS libris,dercbusMatfacmacicishai9:cnus dc{ideratis,pcrcra£tamur. LIBER PRIMVS, INVENTIONEM DVARVM RE- ftarum inter datas extremas continue proportionalium, pluribus 6c ha£l:enus inauditis modis exponit: Idem quoque de oblatis quibuC- cunque efficies numeris. Vnacum rationu copofitione, atque reguize fex quatitatu origine notada ,ex ipfis lineis fubonaproportionalibus. LIBER SECVNDVS, RATIONEM CIRCVNFEREN- tix ad circuli diametrum exprimit; rc£tamquc in circuferentiam uertere docet: necnon circulum in quadratum xqualc ,atque ediuerfo, mulcifariam,& uiisha6tcnus inccntatis,reuocac. LIBER TERTIVS, CONTINET INVENTIONEM latetis cuiuflibct polygoni regularis in dato circulodefcripri:redudfioneihquc figurarum redtilincarum in circulum, &ipfius circuli in figuram re£lilineam squalem, etiam regularem: Ethorum omnium augmentum,feudecrementu,fubquauis ratione data, propria uniuficuiufque fpecic remanente. LIBER QVARTVS ET VLTIMVS, OMNIMODAM folidorum tranfmutationera,cum ipfalphsrs cubicatione, &: uerfionecubiinfphsram squalem:Illorumqueaugmetationem,feu diminutionem,atque tam ipfius iphsrs quam circuli fc£lionem,fub ratione data comprehendit. DE DIVINA PROPORTIONE, oyAE IN LINEA rc6ia per mediam 5c extremam rationem diuifa continetur, AVTHORIS DISTICHON. Siquiddiuinum condehatpulchra Mathejlsi Quod Geometra colat:hac tibifola dabit. ORONTII FINAEI DELPHINATIS, REGII MATHEMATICARVM LVTETIAE PROFESSORIS. DE REBVS MATHiMATlCIS HACTENVS DESIDERATIS, LIBER PRIMVS. PROPOSITIO I. Blatis duabus lineis redis insqualibus : duas medias lineas redas jfub eadem ratione continue proportionales ,in primis reddere notas. fay ARATIONE MATHEMATICA hoc dignij^imum ac utileproblema diffoluatUTt nemo haBenusJkfficientertradidilpuidetur:tametJtGracorMm quamplurimi, ndaj^eman^ diphilofophi atque mathematici,ut illud explicaretproblema, quodcubi duplicatio dicitur,uariu acjubtilibus admodum inuenWy easdem lineasproportionales tentarint exprimere .Quemadmodum ex Eutocio Afcalonita Archimedis interprete, ^CeorgioVallaElacentino ,qui jingulorum expofuerunt adinuentiones ,colligere haud dijficde ejl. Nullusfquidem eorundem Griecorumauthorumojfendetur,quiin difquirendis eiujcemodi lineis proportionalibus ,uiam aliquam certam obtinuerit :utpote ,qui regulamentorum quorundam adminiculo,tentando ,uelpotius hinc inde palpitando ,totiejque conceptas iterando deferiptiones,proprias adinuentionum traditionesJuJ^eSlas,inexplicahilefque reddiderint .Nos igiturprafatas lineas reBas ,inter datas extremas continue proportionales (ne mathematicajimulatqueJuJcepti negotij uioletur integritas)uia haHenusdnemine tentata ,exfidifimis Geometricorum elementorum rudimentis,multifariam, acprimafronte conabimurreddere notas idquepotifimum illius diuinaproportionis adminiculo, qua data linea re^lafcdiuiditur,ut in illa medium ^extrema continuaproportionis (qua in tribus ad minus uidetur confjlere terminis)inueniatur .Huiuspra tered diuinaproportionis beneficio, ut quinque regularium corporumab Euclide conciliata efl harmonia; fic ^nos bonampartem eorum,qua in ipfis defiderabantur Mathema- RERVM MATHE. ticisjandem ahfoluimffSyUt exiis pquunturfiet manifelium. Admirabiles etenim rationum com^oftiones yjtmilitudincjlte ,data linea re£ia infep compleBi uidetur^ tjua proportionaliterfeu media ^extrema ratione diuidttwr .Vrius quam igituradpropojitam reBarum linearum, inter datds extremas continueproportionalium ,deueniamus inuentionem: operapretium efje uidetur exprimere, qualiter data quauis lineareBa ,in quotcunqueJegmentainuicemproportionalia diuidatur,iuxta uidelicettrigefimafexti elementorum traditionem . ^Qualiter data quaeuis linea reda, in quotcunque icgmenta inuicem proportionalia diuidenda fit. fSIT IGITVR DATA LINEA RECTA, SV- i prajcripto modo diuidenda ,ah apunflo h,illius uidelicet extremo limite, in quem minora expediueritfinire fegmenta,ipfiah ,perpendicularis excitetur hc,perundecimamprimi elementorum ,qua dimidio eiufdem ah,fit aqualis .'EtconneSlamrac, lineareHa:d quafeceturreBac d,eidem^h ,aqualis ,atque reliqua da,aqualis ae,per tertiam ipfiusprimi elementorum .Aio refiam ah,diuifam effe pro - portionaliter inpunfio e:ficut quidem ah,tota adfegmentum ae ,fc idemfegmentum ae, adreliquum eh. Contentum enimfuh ah,^he, reflangulum,aquum efiei quod ex ae,quadrato defcrihitur,per undecimamfecundi elementorum: &^perdecimamfptimamfexti eorundem elementorum, efi utah ,adfegmentum ae ,fic idemfigmentum ae, adreliquum cd . LIBERPRIMVS. : Cum autem Profata Je^entaproportionalia ,fuh difcretii o^erapretium fuerit hahere quantitatihits (faltem quantum ars ipjapatitur numerorum) ducenda entahinfeipjamj^ dimidium eiujdem ah y cuiujmodi e^i hc ,perfeipjum itidem multiplicandum^ amho quadratam unum componenda numerum :cuius radix quadrata yeritipfus aclongitudo ,per 47primi elementorum . Ea: qua quidemaCy demenda erithcyhocefl 3ipfius ah dimidia :relinquetur enimjegmentum maius ae.idemporrofe^entum ae,fuhdu6lumextota a^yrelinquetfegmentum minus eh .'Et quoniamJireHa lineaproportionaliter diuidatur, eist’ fegmentum dlius maius toti linea in direBum componatur: confurgit linea itidemproportionaliterdiuifa ycuiuspgmentum maius eB ipja linea aprincipio data 3minus uero pgmentum idemfigmentum maius ita compofitum,perquintam tredecimi elementorum. Igiturdconuerfit ratione ycuiujlihet linea reHaproportionaliter diuifafigmentum minusyeflfigmentum maiusproportionalefigmenti maioris ipfius linea data :£/• quod perJuhtraBionem eiufdem figmenti minoris ah ip fi maiorife^ento relinquitur,eH maius figmentum proportionale eiufdem figmenti minoris .E? proinde Ji a maiorifigmento ae yipfiusah ylinea data yauferatur coharens figmentum minusehyrelinqueturfigmentummaiusefy ipfius fidenti minoris eh:Q«o detraBo ah eodem figmento minori eh 3relinque- turfie^entum minus fh 3prafati fidenti minoris eh. Etji idem fegmentum minusfh tollaturexmaiorifignento efy relinquetur,figmentum maiusfg: QuoddetraBu ex ipfifhyrelinquetfigmentu minus gh .Etdeinceps in hunc modumquantum lihetiut de reliquis figmentis proportionalibus gh,hh 3iyih ypericulum facerelicet. Hoc 3in quotcunquefigmenta ^Pars prima conftrudlionis, ubi datarum linearum minor,dimidium maioris fupcrauerit. igiturartifiao 3data quauis aua Itr. proportionaliapendenterdiuidetur 3fHlS IN HVNC MODVM PRAELIBATIS, poEl innumeras ,acpene incredibilifiudio ,afidudque meditatione excogitataspradiBarum linearum adinuentiones ,aliquot demum tibi RERVM MATHE. plegimus ,exteris omnihus mm conBru6lionisfacilitate ,tum demonfirationis certitudine prxfiantes .Yti^turremfjamacu tangamus, ^dparticularibus ad uniuerfalia defendamus prxeepta ,animaduertenda efi minoris oblatarum linearum admaiorem habitudo ,Jiue relata quantitas: namproutippi minorlinea uariam partem quotam ipjtus maioris effecerit dnumero pariter pari denominatam, utpote, fecundamfue dimidiam, quartam ,ueloBauam, autfmilem ,uelinter eorundem paniumquotarum diftin^ones limitata ceciderit ,uariandum erit utcunqueipfius inuentionisfue confiruBionis artificium: quanquam ipfa demonfirationis reflutio uno ^eodem difurf indifferenterprofquenda uideatur .Sit itaque datarum inxquaUum linearummaiorab ,minor uerocd ipfius maioris in primis Juperans dimidium :^ipfds medias qua inter datas extremasfuturafntcontinue proportionales ,in eo doceamus colligere re^angulo, quodfub ipfis datis lineis reflis continetur. Sit autem reBangulumfubeifdem ab gst‘cd comprehenfum abee: &diuidaturab proportionaliter, fu media extrema ratione inpunftof, cuius fgmentum maiusfit af:fimiliter ipfa aeproportionaliterdiuidatur inpunfiog, cuius fgmentum maius fitag, per 30fexti elementorum ,aut nuper exprefjum documentum . Erquoniam abmaior efl ipf ae, per hypothefin :maius efipropterea fgmentum af, ipf ag . Amaiori itaque af, ipfagminori aqualis fceturfh:g^ refdua haproportionaliter diuidaturin punfiok, cuius fgmentum maius fitak ,minus uerok h.Per punBum deinde k,ipf aeparallela ducatur kl, per 31 primi elementorum ,qua fcetconnexam adlineam reBam in ipf punBoL Veridem rurfum punBum Ijpfia bparallela ducaturmln:g^ conne- Batura nlinea reBa ,quafecetipfam klinpunBo 0.Ipfipoflmodum lo aquales fcenturmp g^nr: gp* conneBaturp rlinea reBa, qua fecet ipfm adreBam inpunBo s.Connexapoli modum lrlinea re- Ba ,peripfumpunBumseidem aeparallela ducatur s t, quafcet It inipfopunBo t.Veridem rurfum punBum s,ipfi t r parallela ducatur s c: cadet enimprafataparallela ,eritque reBa stipfi rcaqualis, ut ipfa naturalium linearum (qua mathematicarum funt imagines) te docebit experientia :dum modo exaBe diligenterque adimpleueris Jingula ,tam in confhruendo reBangulo ah ce, quam diuidendo pra- LIBERPRIMVS. 3 fatits lineas ah ^ae ^a h proportionaliter :minimus nanque defe- Sius inprincipio jmaximumtandemprocreabit errorem .His itacon^ Jiruflis iaio reEiasln &sr^ interdatas ah ^cdlineas re- ^as y/ub eadem ratione fore continueproportionales :fi‘ cut quidem ahad ipfim In ,fc eadem In adipjam sry atque eadem sr ad minoremcdy quemadmodum infra manifefium efficiemus . rervm mathe. In maioremautem huiufce j^rimapartis confirmationem ,Jequen~ tem ittuatfuperaddere defcriptionem :in qua minor datarum reSla^ ntmj utpote cdiabeaquainprimafigurafenfiyiliteruideturejfieditterfa .Qualium enimpartium maior ab eli 6,talium minor cdin pracedenti figura ell 5,in hacuero fequenti 4.Variatis nanquefenfihiliterdatarum linearum quantitatibus »&in unam coincidentibus defiriptionisformulam :fieri nonpotefi, quinprannjfa traditionis ueritas ex omnipartefubjequatur» X LIBERPRIMVS. 4 ^Secundapars,quando minorlinea dimidium eft maioris, ucl ipfo dimidiominor,{cdquanaiplius maioris parte maior. 4fQVOTIES AVTEM DATARVM RECTA- rumminor,dimidiumfeceritipjiusmaiorts iipsoue dimidiofiieritminortjedmaiorquanaeiufdemmaioris farte ifUmtque frenum opera inuenire duas reBas interdatas extremas continue proportionales: idpaulo utcunque leuiori ahjoluetur artificio ,in hunc uidelicet modum .I-xponantur rurjum hina linea reBa^quarum maiorfitah, minorautem cd^iffius maioris inprimis dimidia. EtdeJerihaturreBagulum ah ceyfuh iffis lineis datis ,uelutantea ,comprehenjum :^conneBaturadlinea reBa. Diuidatur pofimodum ah reBa proportionaliter,jeu media ^extrema ratione infunBo f, cuiusfigmentum maiusfit ahuiusfigmenti dimidiOiaqualisficeturag^^ conne- BaturfglineareBa-j qua ficeta dreBam inpunBo l.VerpunBuni confiquenter l,ipfiahparallela ducaturmln :^connexa reBa an^ peridem punBum liffiaeparallela ducatur lo, qua ficeta nreBam in ipjb punBo 0.Confiquenter^ipfilo aqualesficenturmpclT nr: ^conneBaturprlinea reBa ,quaficetreBam adinpunBo s.Connexa deinde reBalr, peridempunBum s,eidem aeparallela ducaturst, quaficetirin ipfi punBo t. Etperidem punBum seidem Ir parallela ducatur s. c:cadet enim huiufiemodiparallela in iffiumfun- Bumc,eritque eademst linea reBa aqualis ipfirc. Hacautem ita fi hahere ,ocularis te docehit experientia :dummodo in ipfius ahce reBanguliconBruBione, atqueproportionali diuifione fupradiBa linea ah, nullum commifiris errorem .Erit itaque rurjum Inficunda proportionalis ,srtertia, ititer ah ^hclineas datas: ficut uidelicetmaiorah adipfamln ,ficeademlnadipfamsr, atque eademsr adminoremed. Qmdund cumreliquis huiufie propofitionis partibus uniuerfaliter ofiendemus .In clariorem autem huiufie partis elucidationem,0‘ confirmatio noBra traditionis ,alteram placuit anneBerefiguram :in qua minor datarum reBarum ,utpote cd,continet tresfanes ,qualium maiorahefiS .Ex iteratts nanque oblatarum linearum diuerfitatihus ,in eandem conBruBionis coincidentibus harmoniam ,pracepti ueritas elucefcit. aiiq ^Tertia pars conftrudionis ,cum data linea minor eft quarta,uel ipfa quarta minor,fcd maior 8parte maioris x CAT SIMINOREARVNDEM .OBLATA- 5 mmyreBarum quartampartemfecerit eiufdem maioris, uel tppt quarta minus, fedplus oBaua eiufdem maiorisparte: hac uiaprocedendum efi .iforurfum datarum redarum maiorah, minoruero cd,juh data hypothefproportionata : ^dejerihatur ah ce reBangulum, juh ipjis lineis datis comprehenfum, conneElaturque adlinea reBa .Diuidatur conjequenter ahproportionaliterin punBof, cuiusfegmentum maiusftaf:fmiliter &ipft aeproportionaliter diuidaturinpunBog, cuiusfe^ienturn maius ftag .Secetur pojbnodum ipf<ig aequalis ^ fk LIBERPRIMVS. j fh: &rejiduah apro^ortionaliter dmidamr inpunBoitCuius Jegmentummaiusfit ai .Huiusautemferenti maioris dimidio a^uaU- terfeceturek :produHaaeindire^um3adparteseuerJusk. Etcon^ nefiatur fk lineareBa ,auaJecnadreBaminpun6lol .Verpun- Shim icturi ipji ah parauela ducatur inln: &connexa anreiia, peridem puniluml ipJiaeparallela dejcrihaturlo .Deinde ipji loa- ^uales fecenturmp ^nr: 0^ conneflatur prlineareHajquaJecet adinpunSio s. VerpunBum autem sipji aeparallela ducaturst: ipji uero lrparallela xc.Cadetenim rurfum scin ipfumpunHum c,utin proximis diBum atque ohferuatum eFl dejcriptionihus :entque InjecundaproportionaliSjS ruero teniajnterah 0^ hclineas datas. Veluti quamprimum mathematicade.. duBione manifeBum efficiemus. Huius itaquepracepti iin maiorem omniumfidem^nojhiqueinuenti confirmatione, duas lihuit confhruere figuras :in quarumprima, datarum reBarum minor cdejl quarta pars ip~ Jius maions ah: in fecunda uero figura, eadem mi norcd efi trium partium ,qualium ipfa maior ah efi Z.Haud aliter de cateris facito, atquetutato. RERVM MATHE. CAT SI MINOR DATARVM LINEARVM VT- 3 potecdyfuentipjtus maioris ah dimidia:d€firihamriterumreBdn~ii- 'iHmahcefubipfis datis lineis reBis comj^rehenfum .Etconnexaa dii~ neareBa ,applicetur reBafkipjitis gnomonisgfh direBe fuper lineam maiorem ah :moueatar^juegnomon uerfus aaut uerfus h,quatenus latusfgcoincidat in punBum e:noteturi^uefeBio eiufdem laterisfgeum ipfa adlinea reBa:,(juaJitrurfam inpunBo l.Compleatur LIBERPRIMVS. 9 deniquefigurdiUti nupertraditum ejhy^fuhfcripta delineatio mojhrat» Habebis enim rurfum lnfecundamy e^ysrtertiamproportionalem inkf CDum minor linea ,dimidio maioris fub quacunque ratione fuerit minor. PORRO MINOR DATARVM RECTA- rumedy nonfecerit dimidium ipjius maioris abyttiam/ub quacunque ratione ipfo dimidiofuerit minor:fiat rurjumparaUelogrammum reBagulumJuh ipjis ab cdeomprehenjum iunacumJubtenJa adlinea RERVM MATHE. reBa.Vroducaturconpquenter latas aein directum 0^ continuum ad ^artese, uerfrs u:0dimidia^artii^ fias maioris ah,cequalis fiecetar aa. Differentia aatem eu,hifariam diuidatur:0 dimidio ipfias ea,aqualisfiecetar ax. Tadem reSlagnomonis f k, in direfiam igfius ahfiolito moreconjUtuatur.cogaturque latasfgtranfiregerpunflam x,immotafimgerfkah eadem ah.Sefho denique laterisfgeum ig/d adreflafit rarfium 1:0 comgleatarfigura, utifaq>rd diflam atque ohferuatum extitit.Dritenim lnficunda, 0sr tertiagrogortionalisjnter ah 0cdlineas datas .Cuius demofiratio ex igjd tria cofiruflionu antecedentisgrimagrogofitionis ofiefione colligeda ejhatgote, qua utriq; modo 0cum igfi gnomone, 0ahfiq;gnomonis officio ,comunis effi uidetur. LIBER PRIMVS. PROPOSITIO III. IO Afdcmlineas medias, inter datas extremas continue propottionaleSjalitcr inuenirc . ^fALITER C^VIDEM POLLICEMVR, EIVSCE- modi linearumproportionalium inueJHgationemifedeo nihilominus artificio ,ut antecedentis prima propofitionis demonfhatio ,in huiufie propofitionis oflenfionem fiubrogetur .Si qua igiturfuerit differentia ea ex ipfd confiruSHone pendebit .Supponemus itaque primum (ut rempaucis expediamus) datarumreSlarum minorem ,dimidium ipfius maiorispracise conficere: ^ex ea linea reEla ^cuiuspars eritfecunda proportionalis, reliquasfecundasproportionales truncare ,atque ipfam tertiam pendenter elicere docebimus ,dumfcilicetminor linea data, fuerit maior, autminoripfa maions dimidia :idque inparallelogrammis reSlangulis,quafub maiore datarum redarum ,^proportionatis lineis reBis(in locum datarum minorumfubrogatis)comprehendentur. 5'Primapars fuccedentium origo, pr^fupponens minorem datarum rectarum ipfius maioris effe dimidium. ^fSITIGITVR MAIOR DATARVM RECTA- rum ab,minoruero cd, ipfius maioris inprimis dimidia .'Bt deferibaturparallelogrammum reBangulum ab ce ,fub eifdem reBis comprehenfum:conneBaturquereBa a d.Diuidaturpofhnodum abreBapro^ portionaliter, feu media ^extrema ratione inpunBof, cuiusfigmentum maiusfit af, minus uerofb ,per^ofixti elementorum ,udantecedentisprimapropofitionisgenerale documentumiconneBaturque re- Baad,atquefe .DeindedpunBoainipfamfe,perpendicularis deducaturag,pem primi elementorum .Bt quoniam reBan^lumeB triangulumfae: eritagmediaproportionalisinter fg^^gefigmenta bafisfe,per corollarium oBauafixtielementorum.Dimidio confiequenterfigmentimaioris af,aqualisfecetur ch :elT conneBaturbh linea reBa .Dimidio autem ipfiusfg aqualisfeceturb k, dimidio ipfiusag aqualiskl, atque dimidio ipfius ge aqualis lh:eritenim reliqua lhdimidio ipfius ge (resprofiBomira )adamufiim aqualis. biiij RERVMMATHE. Ver^un^ai^tur^lfi^fahparaileUducanturm n& J^rimi elementorum :Jechque mnipfam adlineam reBam in punBo Oj ^rinpunBos .'Eruntitaque on ^sr^ mediaproportionales interah &cdlineas datas :ficut uidelicet ah ad ipJamon,Jic eadem 0nadipfam sr,^ eadem sradminorem cd. ^Qusfpeiftant ad huiufce conftrudionis dc* monftrationem. ^CONNECTAN- twr itaque an^o r,sc linex re^a: ^perpunBa o sjpjt aeparallela ducantur ot ^suifecetque oe ipfam an in ipjo pun^lo ty O" suipfam orin ipjo punSlo u.Cum enim tres linea re^afgiga,ge,con- (utpradiHum eB) /\\\ ^\ \ \fint proportionales ,erunt \\\hdimidia hkykl, \\Ih ,continue itidem pro- \\1\portionales :partes enim \^gsf aque multiplices, ean- \\\dem rationem hahetfum- \\ptaadinuice, per quinti \ \ \ elementorum .Sicut i^tur -\^\hkadipjam k/, fceadem “rckl adipjam Ib .In triangulo autem hch,adlatus chaSlajuntparallela kn,lr^per conjiru- Flionem :funtigitur ipfus trianguli Utera hcg^hh diuijapro^ortionaliterperfecundamjexti elementorum .Si intelliganturporroade^ hclinea retlajin continuum dire^iumproduBa ,adpartes quidem cd: illa de necefitateconuenient tandem adinuicemfacientque triangulum,adcuius latus aha^ntur rurjumparallela on^sr ,d cjecant igitur 3 LIBER PRIMVS. igiturproponionaliter ipjtus trianguli Utera ^per eandem fecundam fexti elementorum. Elfigituruta oados ,fchnadnr: Jtcut pra-' tereaosadsdyficnradrc .Eflautem ut bnadnry Jiceademnrad rc:^ jicut i^tur per undecimam quinti elementorum aoados, Jic nradrc. Trianguli igitur ,quodex concurfu ipfdrum ad &nc in continuum tir direflumproduBarum cum ipfa anefficitur. Utera ad ^ncdiuiduntur proportionaliter inpunBis os^r c :Adfegmenta i^turconnexa linea reElao r^sc,parallelafuntadreliquum latus an,perfecundam partem eiufoem fecunda fexti elementorum. Et proinde otnr &sur cquadrilatera ,funt paraUelogramma :cy Utera conjequenter ote^n r,fmilitersurcinuicem aqualia, per primi eorundem elementorum. Hincper 2.9^ ^i.ipjiusprimielementorum, triangula abn,onr,s r c ,fimiliter triangula aon,osu, sdc, atque trianguU aot, osu,jimilia concludentur adinuicem :ut in tribus conBruBionispartibus antecedentis primapropojttionis .Ver ipfarum itaquepartium communem demonBrationem ,continuapradiBatum linearum on,srcum datis extremis ab ^cdproportio concludetur:ficut uidelicetab maior ad ipjdm 0r,fic eadem 0rad ipfam sr, atque eadem sradminorem cd.QuodconBruendum demonfirandumfufceperamus . ^Secunda pars de lineis datis,quarum minordimidium maioris cxccdit. 4^CVM AVTEM LINEA MINOR, DIMIDIVM ipfus maioris fuperauerit :dua proportionales intermedia ,in hunc quifequitur modum colligentur .EBo rurfum maiordatarum reBarum ab ,minorautem cd, trium (uerbigratia) partium qualium eadema beflquatuor. Sitpraterea differentia, qua minor cdexcedit ipfus maioris dimidium ,reBade: quaproportionaliter diuidatur,0* inter illius fgmenta media proportionalis inuentatur, qua fitfg. Ipfus deinde maioris dimidiaparti ,utpote bh, in direBum confituatur hc ,dimidia parti eiufdem media proportionalis fgadamuftm aqualis ;compleaturque reBangslum ab clfub ipfs ab ^bc comprehenfum,^ conneBaturadlinea reBa .ViatpoBmodum reBangulum,fub eadem ab 0“illius medietate contentumieliciaturque ipfus RERV MMATHE. amfeuhn lon^tudo, ut inprima huius parte traditum e0 :quihus aquaksfecenturexalf^hcydpunHisuideliceta h, uerfusl&Cj quaam atque hn itidem uocitentur. Conne^antur infuper an ^ mnlinea refia :Jeckque mnipfam adreBam in punBo o.Perpun- Bumconfequentero^ipjialparallela ducaturoptqua fecetan in fignop :ipfiautem an parallela itidem agatur or^ qua cadat in pun- Bumripfius reBa hc. Kurfum ,perpunBum r, ipfi mnparallela ducaturrsty quaficet eandem adreBam inpunBos .Tandem,perpun Bumseidem alparallela ducatursu, quafecetorinpunBou: ipjt autem onparallela itidem agatursc.Hacenimparallela ,cadetfemperinpunBum c, quemadmodu ipfius prima atque fecunda propofi' tionisprodiximus accidere defieriptionihus: dummodo neque in re- Bangulorum cojlruBione, neque in[umendis lineis tumuis etiam modicus ,committatur. His in hunc modum confiru- Bis, aio rurfium on srlineas reBas ,fiore mediasproportiona- es inter a h atque cdlineas datas :ficut uidelicet maior ahad ipfam proportionalibus^ nullus error,qud- LIBERPRIMVS. li ipjamorijic eademoradippimsry at^ue eadem srad minoremccL Hocautem non aliterdemonfirahitur^quam de lineis In r^n quali triumpartium antecedentitprimapropojttionis tradidimus: adminiculo uidelicet triangulorum ,quapropterlineas parallelas Jtmilia funt adinuicem. HuUaigitur opus efinoua demonflrandi ratione^tamin hacquaminfiquentihus huiujcepropojitionis dejcriptionihtts. ^Tertia pars, ubi datarum linearum minor, non facit ipfius maioris dimidiam ,fcd plus quarta ciufdem maioris parte . 5fSI contingat avtem minorem DA- tarum redarum ,nonfacere dimidiampartem ipfus maioris (de qua maioris dimidia ,prima huiusparte traHatume^i) fed quartampartem eiufdem maioris nihilominusfuperare :haud multum difimili uia ipfa media proportionales colligentur. Kejumaturigitur linea maior ah iuna cum minore cd ,Jeptem uerhigratiapartium ,qualium ipfa maior efi fedecim . Effumatur ipfus minoris atque dimidia eiufdem maioris differentia :quaft rurfum de .Hacautem differentia (uelut antea diBum efljproportiorialiter diuidaturinpunHofcuiusfgmentum maiusftdf, per fapius allegatum primapropoftionis documentum iuel 30 fxti elementorum .idemporrofegmentum maius dfbifariam diuidaturinpun^og,per decimamprimi eorundem elementorum. kh ipfa deinde maioris dimidia^quaft rurfum hh ad reHum angulum cum a h conflituta ,fcetur ipfdgfuegfi hoc ef, dimidio figmenti maioris aqualis hc: compleaturfolito moreparaUelogrammu reSlangulum ab cl .Tandem ahfoluantur reliqua omnia lineamentay quemadmodum in duabusproximis diflum atque obfiruatum efifigurisfue defiriptionibus .Hoc efi idefumaturex maiore ab ^dimidia illiusparte,ipfus amfiu bnlon^tudo,iuxtaprimapartis huiufiepropoftionis traditionem:^ conneclatura d,a ne^mn linea relia, ducanturqueparallela op 0-0 r,denique rs t,su^s c.Ham ipfaparallelas c,cadetrurfum inpunBum c: ut ipfafigura delineatio ad amufim obfiruata te docebit.Hinc re^as ipfas 0nr, inter datas extremas ab Cfcdmedias effeproportionales non aliter concludemus:quam de lineis RERV MMATHE . In &sryiuxta prima propojitionis traditionem adinttentis condujum ex~ titit, ^inproximis de~ fcriptionihmoyferHatum: perjimilia uidelicet trianguUy cuiujmodifuta h onr, src yatque aony osTysdcynecndaop^ os u. Haudalienu uelim - hitheas iudiciu de cateris minoribus lineisy interip- Jius maioris dimidiam ^ quartam eius partem coprehenjis . Quarra pars, cum linea minor quartam partem ipfius maioris fecerit, uelipia quarta minus ,(cd plus oclaua ciufdem maiorispartc. fQVOD SI praedictarvm rectarvm ^ minoryquartam ip/ius maioris partem pracise fecerit ,fueritue ipja quarta minoryjedmaior oElaua parte ciufdem maioris :tuncuniuerptm confhuHionis artificium ,in colligenda hciuxta ipfius minoris quantitate proportionatafolummodo uerfahitur-.catera enim omnia, ut inpramifiis defcriptionihusfiuefiguris ueniuntprorfus imitada.Sit itaque rurfum datarum re^aru maiorahyminorautem cd,ipfius maioris pracise quarta ,ueltriifpartium qualiu ipja maiorefifedecim (utfimul utriquepartijatisfaciamus) cuius differentia ah eiufdem maioris dimidia ,fit rurfum de.Haci^turproportionaliter diuidatur yinpundo quidemfyCuiusfegmentummaiusfitdfy quodrurfum bifariam diui~ datur yut inproxima dejcriptione :fdinterfigmentum minusfcy ^ dimidium LIBER PRIMVS. ij dimidiumJegmenti maioris fdmedia proportionalis accipiatur3fer Jexnelementorum,qu£JitgiMuicitaque mediaproportionalii aqualis feceturh c:compleaturque reSfangulum ah cly fuh ah^^b ccomprehenpum. Tandem ahfoluantur reliquafigura Uneamentaymediante am feuh nyiuxta prima panis traditionemadinuenta :utinprampisoinnibus ohjeruatum extitit partibus .Si enimfideliter atque diligenter objeruenturfingulay offendetur tandem in utraque figuray ultimaparalielarum r c coincidere inpunBumc: proinde conjurgere tot triaguUyquotinpracedentibusfigurisyfimilia adinuicem .Quorum adminiculo ,concludeturrurfumforeyUt abadonyficonadsty ^eadem sraddc: utinprimaparte ipfiusprimapropofitionis demojhratu extitit. Omnes etenimpanes haru triupropofitionUyeade uiaprorjus ofiedutur. c RERVM MATHE. ^Tertia difFercntia, dc lineis minoribus, qusnon faciunt ipfius maioris dimidium, fcd infra dimidiam fub quacunque ratione comprehenduntur . CAT SI CONTINGAT EANDEM MINOREM cd, non conficere dimidium maiork ah,etiam fiiih quacunque rationis differentia id acciderit :deferihatur ruffum ex eadem maiore ahquet" dratum ah ce,fitque rurfum data linea minorcd^ dimidia maioris cf. Conne^anturpofimodumaffadc^aclineare^a: feceturque ex ipfb quadrati dimetiente acjpfimaiori ahaqualis ag, &ipfi afaqualis ah^atque ipfiad aqualis ak.Seddifferentia hkproportionaliter diuidenda ejl, ^figmentum maius addendum ipfi cg:atque inde refitltantis linea reBa ,aqualisfecunda al. Deinde ahfoluantur reliqua LIBER PRIMVS. 17 qmomnia con^iruSHonts lineamenta^ utinipjaj^rima digerentia declaratum extititi^ohieBa uidetur indicareJigura,prioribue hauddif- Jimili.Eadem itaque refolutione demonjhrationis ofiendetur, reBam mn forefecundam, ^srtertiamproportionalem interdatam maiorem ah, &minorem cd: quemadmodum infupradiBis omnihua conBruBionu differentiis,fepiusfuitdeclaratum.Ve his ergoparticularibusfupradi- Barumlinearum inuentionibuSyhacfintfttis:ad uniuerjales earundem linearum inueBigationes,tranJeundum effe uidetur. PROPOSITIO V. Nucntioncm fupradiitarum linearum ,continuam proportionem interdatas extremas obferuaiitium, uniucrfalitcr oftendere. fXAMETSI QVATVOR ANTECEDENTI B VS propoftionibus ,humfeemodi linearum reBarum inter datas extremi^ continue proportionaliu inuentionem multifaria exprefferimus :iuuat nihilominus,eafdem lineas intermedias compendiofa magis ,^haBe~ nusi^otaratione colligere: idque unica uia, ^fitb eodem conBru- Bionis artifcio,atque tum demonJlratione,tum uju admodumfacili.Yt iispartim ualeamusfacerefatis ,qui traditionum uarietate deleBatur, ^compendiofasprobare uidenturadinuentiones:partim etiam,uttam utilem,haBenufque defderatam mathematicapartem,totis (ut aiunt) uiribus explicemus.Wanci^turperquirendi rationem,fola iatque 3o fexti elementorum opitulanteperfringemus ex corollario tantum oBauapropoftionis eiufdemfextiuniuerfaliterdemonBrabimus . ^Conftru^lio figura ^omnibus linearum difFerentiis communis. fSIT IGITVR (YT REM IPSAM ACV TAN- gamus)datarum ^inaqualium linearum maiorab, minoruero bc, etiam fub quauis data rationis habitudine inuicemfe habentes . pojhnodum linea data in reBum angulum quifub ab cconBituantur: utraque adpartes buerfus d^e direBe continuetur .Affumatur RERVM MATHE. conjequenter diameter <^uadriiti,qmd ex ah maiore dejcrihitur^ utpote aconnexa aclinea reSia, epia.erii diameter rediangulifuh i^fs lineis datis camprehenji,/eceturilli aqualis ag. KjeJtdua aucemgfprtiportionaliterdiuidaturinpundio h,miusje^entum maiusjitfh ,minus itero hg,per joJexti elementorum^ rej^ondensueprimapropofitionis huius documentum.^tperi^ eiu/dem/exti, interfh hgpgmenta^mediaproportionalis inueniatur kl:cui aqualisfeceeurh m.htcentro m, interuallo autemmc^, femicirculus deferihaturedc ^Diuidatur tandem adreBa bifariam inpunSlo n:^centro n,interuallo autem nayUeln d,femicirculus rurfum dejtrihatur aed.Tranjtbit enim indubitanterhuius/emicirculiperiphariaperpunSlum e, utipfa te docebit experientiay&fequentesuidenturindicarefigura,fub naturalibus Uneis,qua mathematicarumfuntima^nes cemprehenfa.Quurumpri- LIBER PRIMVS. i8 nuthahetminorem lineam cddimiJiumipJtUf maioris ah,/ecunda rofigura,i^fo dimidio maiorem ,tertia denique minorem: ut exfibrarum diuerfitate,^afata conjhruHionis ueritas mabelucefcat . ^Dcmonftratio quod per antecedentem conftrutlionem inucntJE linese re<fl:s, inter datas extremas continue fine proportionales. 3fOyOD AVTEM SIT VT ABAD '"B E, SIC eadebe ad bd,atque bdadipfam hafic demonfhatur. Connedhantur RERVM MATHE. enim ae^e d^dcline<!ereSIie.'Et quoniam angulus quijuh aed,efiin femiarculoyfmiliter angulusedc: uterqueigiturre^usefiyper^i tertij elementorum .Ab igjis autem angulis reSlis aed ,ede, in hajes ad&ec,perpendiculares deducuntur eb& db: utraque igiturperpendicularis ,efimediaproportionalis interjegmentafute bajts ,pereorollarium oHau§fexti elementorum. Sicut ictura badb ejjlc eadem be adbd: atque ut ipja be ad eandem bd,Jic eadem bdadminorem bc. Errurjumper undecimam quinti elementorum ,ut ab ad be,Jic bdad hc.Dua itaque linea reEla beatque bd,per ipfam conJiruSHonem adinuent§ ,interabatque bcdatas extremasfub eadem ratione continue junt proportionales .Qwdfaciendum ,atque demandandumfufceperamus .PRO- Teieia figura- liber primvs. PROPOSITIO VI. 19 Lio rurfum artificio, prsmemoratas lineas rectas interdatas extremas continue proportionales,gcncraliterinueftigare. IfVT GRATA ADMODVM, ET VTILI PRAE- ceptionum diuerftds^quihus dua linea media inter datas extremas continuam^ro^ornonem ohferuantes eliduntur^clarius innotefcat: o^erafretium duximus ,earundem linearum intermediarum inuentionem^ alia conflruendi atque demonfirandi rationeful^iungere 3etiam data quauis maioris adminorem habitudine. Huiusitaque inuenti traditionem ,exgeometricorum elementorum rudimentis inauditafacilitate J?erjbingemus:ab igfa con^hruflionefeliciter exordiendo. ^Prsceptum generale conftrudionis . ifSIT IGITVR DATARVM ET INAEQVA- liu linearu maiorah,minor autem hc,fuh quacunque rationis habitudinefefe inuicem habentes, dT reBum angulum quifub ab cconJH- tuta. (^compleaturde more reBangulumparallelogrammum ahed, fub eifdem lineis datis comprehenfum .Ipjtus deinde parallelogrammi reBanguli dimetientesfubtendantur ac^^bd, inpunBofefe inuicem bifariam dirimentes .VtraquepoBmodum a b atque bc, in continuum direBum quantumlibetproducatur ,adpartes quidem ag^c: ipfa bmaiori ,aqualisfecetur bfper^ primi elementorum .Connexa deinde af3dimetiente uidelicet quadrati quodexipftabmaioredefribitur ,ipf bduel acdimetienti aqualisfceturag: gr refduagf (qua efi excejjus 3fue differentia dimetientis af, Juperipfimdimentemac) aqualis fecetur ch: ipfporrobe ,aqualis itidem fecetur hl. ConneBatur infiiper reBa ld:qua direBeproduBa adpartes dconueniat tandem cumab itidem produBa in punBom. ConneBantur demurnelgss^emlineareBayquadenecefitate (ut ipfa te docebitexperientia)aquales erunt adinuicem ,Quodfprius connexafuerit el, g^ illi aqualis fubtenfd evn :fconneBatur Im, eadem uerfet uice tranfeet per punBumd, g^ proinde conBruBiopermanebit eadem. d RERVM MATHE. Vt ipfe quteJe<^uuntur>uidetur in- "His in hunc modum conjhruflts ,aio lineam reflam clfore fecundam y mauerotertiam proportionalem interah atcjueh clineasdatas :fcut uideiicet ahmaiorad ipfam lineam cl,fceadem cladipfam ma, atque eadem maadminorem hc. Caditigitur tamfecunda quam tertia proportionalisy extra retlangulumfuh datis reBis comprehenfum. ^Demonftratio ,quod prxfats linex reiflx per antecedentem conftrui£tionem adinuenrxj continuam inter datas extremas proportionem obreruen t . In hac LIBERPR IM V S. 26 In hac^ornfecundafi^ura,ipfa.^i~ nor linea hcejlpracise dimidia maioris ah^hoc e/f ypartium 30 ,qualiumeademahe^lCo. Infequenti ^nerofigura tertia,prafata linea minorh c,efi tertiapars eiujdem maioris ah. idemjuhfequetHrde cateris lineis inaqualihus datis ,Juh quacunque maioris ad minorem hahituaine comprehenJts:femperenim elre6la> aqualis erit ipjiem. 3CQVOD AVTEM RECTA CLSIT SECVN- da,^ma tertia proportionalis inter ah^hclineas datas :in hunc quifequiturmodum demonflratur. Exponatur igitur in aliarum exemplum yfequensfigura tertia: cuius latus hchifariam diuidaturin punBo n,^conneEiatur reBa en, quaperpendicularis eritJuperide latus hc. Cumenim hnipfi ncperconBruBionemfitaquahs,^ utrique communis en,hafis quoqueh eaqualis ipfiec: erit angulus enh aqualis angulo enCyperoBauamprimi elementorum, ^ipfaproinde enfuper eadem hcperpendicularis,perdecimam diffinitionem eiufdem dij RERV MMATHE. pWmi .Ef quonUmreBa hcbifariamJeBa ef in^unBo ncui in dire- ' Bum ap^oftaefreBacl: quodi^turffbbl&lc continetur reBangulum >und cum quadrato quod excn ,aquum eB quadrato quodft ex nlyferfextamfecundi elementorum .Addaturutrijque aqualium communeyquadratum quodftexne :Quodigiturfuh eifdem blQrlc continetur reBangulum ,und cum quadratis ,quafiunt excn^ne» aquum efiiisquaexln &nedejcribuntur quadratis.Iffisforrd quadratis qua excn^ ne ,aquum eji quadratum quodexce,^ quadratafimititer qua exlnQrn Cydefcrifto ex elquadrato itidem aqua- ^lia yfer frimi elementorum :re- Bangulafiquide funt ycne&enl triangula .Comfrehenfum igitur fuh hl& lcreBangulumyUnd cum quadrato quodex ce dejcrihiturya ~ quu efi quadrato quod ex eLHaud aliter diuifa bifariam abin funBo Oy connexa eolinea reBay qua fimiliter ferfendicularis eritfufer ab: contentumfuh bmO^ mare- Bangulu, und cum quadrato quod ex a e, aquum ejfe quadrato quod ex em demonftrabitur .idautem quodfit ex em^aquum eji ei quod €lquadrato defcribitur: aqualis eji enim eaae em ifjie lyfercojhru- Bionem.Quodi» macS unetur re Bangulu und 2.1 liber primvs. cum quadrato quodex ae, aquum efi comprehenfifuh hl&lcreHa^ guloj^ ei quodex cefit quadrato :qua enim aqualibusjunt aqualia^ ^adinuicemfunt aqualia.Qmdautem ex aefit quadratum,aquum ejiei quodexec:funt enim ae&ec,adinuicem aquales. Detrahis i^^ tur qua exae&‘€cfunt quadratis‘.reliquumfuh hme^macomprehenfumre^angulum ,reliquofuh hle!^lc contento reBangulo eritaquale:fenim ab aqualibus auferantur aqualia,qu§ relinquunturfunt aqualia adinuicem. AequaUum^orro, unum uni aqualem habentium anulumparallelogrammorum (funt enim re^angula omnia^aralielogramma, atque inuicem §quian^la)latera qu§ circum fquales angulosfunt reciproceproportionalia,peri^ fexti elementorum ,Sicut igitur bmadb l,fic cl adma.Yt autem bmadb Ificm aad ipfam ad, atque dcadcl, perquartam ipfusfextielementorum: triangula enim mb l,m ad,dcl,per ipfam confhru^onem ,gT ^9primi elementorum, fiintinuicem aquiangula .autem eidem rationi funte§dem rationes,^ adinuicemfunte§dem,perundecimam quinti eorundem elemetorum.Sicuti^tur dcadcl,fceademcladmaatque eademmaadipfam cd.Atqui dcipfabqualis, fmiliter ^adipfbc,per primi elementorum:^ aquales adeandem,eandem habent rationem, eadem ad aquales,perfptimam quinti ipforum elementorum .Eiiigitur ut ab maior adcl,fic eademcladipfamma, atque eademmaadminorem bc.Dua itaque linea re^a cl&ma, interabg^bc datas €xtremas,fub eadem rationeproportionantur .Qj^ddemonfirarefueratoperapretium. PROPOSITIO VII, Afdem iterum geminas re<fias cum datis extremis continue proportionales, etiam quacunque inter illas acciderit habitudo,aliarationc perquirere . ifCVM IPSA DVARVM INTE RMEDI ARV M reSiarum, cum datis extremis continuamproportionem obfruantium adinuentio,a tot tannfque uiris ,potifimum Gracis ,tdmquediuerfis coptationibus fuerit dudum perquifta ,^haHenus nihilominus diij RER.VM MATHE. autem eauele c^Jemicirculus dejcrihaturadc.Eliciatur pojbnodumi ^fubtendatur re6ia dkj uelutiproxima traditum efipropoftione:p- Ha uidelicet excd(qua ippmaiori ah efi aqualis) minori hc aqualij . quaptcf, &repduafdin quatuorpgmentaproportionalia dilirihu^ tOyinipps quidempungisgh i3minoribus pgmentisin punBum [terminatis :quorumpgmentorum tria maiora dg,gh3hi3conficiant ippmdkpbtendendam.Deindeperpun^ium k3ipfib cparallela ducatur khipfiautem abfiue dc3paraUelakm quam attingat bcin dire^ BumproduBa uerfus m,in ipppunBom.Tandem 3conneBatur bk C^am linea reBa 3feckque eadem a mippm klinpunBo nut in obieBa contineturfigura 3in qua minor linea bcnonfacit dimidium maioris a^bjpd quartam illiuspartempperat, fHIS ITA CON-4 firuBk, manifeBum efi expramijfa deduBione ,triangula a b m3bmk3mkn3 ejfe inuicem aquiangula :proinde a b re- Bamphabere adbm3 ut eadem hmadmk 3atque eadem mk ad ippm k», qua eB aqualis ipp minorib c: parallelogrammumpquidem eBa dk nquadrilaterum, &proinde utraque hcg^knippadepaqualis, 0“ altera pendenter aqualis alteri. KeBa itaq; linea bmefipcunda proportionalis3& mktertia,in~ termaiorem ah,^ minorem bclineas dprincipio datas .Haudalienu uelim habeas indicium 3depmilibus quibupunquefiguris ,atque lineis inaqualibus datis.His itaquefinem mponetes,e lineisproportionalibus3 adipps numeros noBrum iuuat conuertereprmonem. PROPOSITIO IX. Vobus numeris inaqualibus datis ,duos medios numeros, fub eadem ratione continue proportio-- nales, pendenter fupputare . PRAE- LIBER PRIMVS. 2^5 rpRAESTAT CONSEQVENTER IDEMINNV- meris ,quod^in i^Jis ahjoluere lineis reflis :tum utfidem eorum faciamus,quade ^r^efatis lineis re^Hspartim tradita ,partim ueroinp^ quentihus lihris tradendafunt :tum etiam ut eorum qua fequuntur demonfirationes (cum nobis uijumfuerit opera^retium)familiariter elucidemus . ^De ui, atque poteftate numerorum. I^Nudafiquidem fidelior uidetur ejje uia perueniendi ad incommen- Jurahilium magnitudinum latentes habitudines, quam proximarum &commenfurabilium magnitudinum ,^ipfbrumproinde numerorum auxilio. Quoniam numerus nihilaliud ejp uidetur quammenfurarumfiue partium commenfurabilium magnitudinum determinata multitudo.^t commenfurabiles magnitudines adinuicem rationem habent, quam numerusad numerum ,perquintam decimi elementorum. Quanquam enim irrationales ,incommenfurabilefue magnitudines, numeris adunguem exprimerefit impofibdefieri tamen nonfacilepotefi, quin numeri fub adeo proximam coincidentes rationem,fidem apertam faciant eafdem magnitudines non aliterfefe inuicem habere, quamUdempolliceanturuel ofiendant numeriitanta efl inter continua atque difcreta ,hoc efi, interipfas magnitudines in diuifibilia femper diuifibiles,atque numeros in infinitumprogredientes amicitiafiue concordia. Qmd igitur delineis reflu ,proximis tradidimus propofitionibsts ;hic de numeris ,ad numerofue relatis magnitudinibus, pendenter eo docere, congruum nobis uifumfuit ,atque non incommodum .oblatis porro duobus inaqualibus numeris ,duo me - dij numerifub eadem ratione continue proportionales, non ufque adeo pracifa ratione colligentur, qua ^ipfe linea refla. Quamuis enim ars numerorumfit omnium clarifima ,in multis tamen ado - fhina continuorum fuperari uidetur :ob fcilicet numerorum non quadratorum ,aut minime cuborum radices (quibus frequenter uti cogmur)quafuntfurda, efT numeris adamufim exprimi nonpojjunt. ^atis erit tamen ,quantum adrem nofiramfieflare uidetur (ubi non quadrati ,autminime cubi producenturfupputando numeri)fi eiuf cerno di numeros intermedios ^cum datis extremis continueproportionolesjdut alios c^uofuisJtmiles ueritati admodumpropinquos^quantum uidelicetarsipfapatiturnumerorumjupputare docuerimus. ^Regula propofitionis cxecutiua. fEX IRRATIONALIVMIT A QJ" E2- ma^itudinumpraxi, qu^ paucis admodum uidetur ejje nota :hanc generalem &ueluti corollariam tiht collegimus ,^tandem con - fcripfmus regulam ,ipjius propoftionis executiuam. VropoJjtis itaque duohus inaqualihus numeris ,inter quos oporteat duos inuenire numeros ,fub eadem ratione continue proportionales :Jecundus in primis eorundem proportionalium numerorum ,hoc artificio colligendus efl. Multiplicentur ipji dati numeri adinuicem ,hoc efi, alter datorum extremorum ducatur in reliquum :&produBus inde numerus ^peripfum primum iterum multiplicetur. Vel(& idem ohtinehis)ipje numerus primus ducatur in Jeipfum :procreatus inde numerus ,multiplicetur per reliquum extremum. Confurgentis demum alterutro duorum modorum numeri^cuhica radix extrahatur: namipfa radix^erit optatus numerus proportionalis ,ordine fecundus. }Aancdifimiliter,fi numerus ex eorundem extremorum multiplicatione refultans ,ducatur in eum quifuturus efi quartus ,uel tdem numerus quartusperJeipfum multiplicetur ,produSlus inde numerus ducatur in ipfum primum ,atque refultantis alterutro modo numeri cubica radix fupputetur :ea erit tertius proportionalis numerus. Voterit g^ idem numerus tertius ,obtento (ueluti nunc exprefimus) feundo numero ,aliter obtineri :ducendo uidelicet eundemfecundum numerum in quartum ,&proflientis inde numeri quadratam extrahendo radicem.ipfa namque radix,eunde tertium exprimet numerum. Si tres enim numeri ,continue fuerint proportionales :qui fub extremis ,aqualis efl ei qui dmedio fit numero yper uigefmam feptimi elementorum .Yerum ubi JupradiBo modo procreati numerinon fuerint aut quadrati ,aut cubi ,gsrfurdas (ut uocant)habuerint radices:habebisfaltem, quorum numeroru ipfimedifjpportionales LIBER PRIMVS. liint radices. QuiJt in ujum ueniant reuocandi :fumenda tunc erut radices cuhica, uelquadrataiadueras&Jurdas radices quam maxime fieripoterit accedentes.quemadmodumjeptimo ^oBauo capitibus libriprimi Arithmetica noflrapra^ica tradidimus. CSupraditfte fupputationis exempla. ^Vroponantur in regulaconfirmationem^hiduonumeri^^ 3^,inter quos oporteat duos medios inuenire numeros ^fub eadem rationecontinueproportionales. X>uc igitur ^2,,in^yfient iz8 :qua rurjum per 32, multiplicata 3reddunt 4096. Aut (Ji libuerit) duc^z infefe,producenturiozOf :hacrurfi^rrt multiplicataper ,refiituunt eadem 40^6'. quoru radix cubica^efi 16: tantus efiigitur numerusfecundus proportionalis optatus. Qmdfimultiplicaueris eundem numerum ia8, ex du- Bu in j^procreatum^peripja j^iproducentur ^iz: aut4infeje»fient 16,^ hacin^ZyConfurgent eadem ^iz. quorum radix cubica efi%: tantus efi i^turipfe tertius ^proportionalis numerus. Jpfinaque numeriyz^ x^y^y^yfubratione duplacontinueproportionantur. fundem quoque numeru tertium obtinebisyfimultiplicaueris iCper 4.fient enim ^4 ;quorum radix quadrata efi 8,idem uideUcet quiprius inuenms efi numerus. Sintrurfum oblati numeri 3inter quos reperiendifint duo numeri 3continuam cum ipfis extremis proportionem obferuantes. Multiplicabis ergo ^6 3per 10 ^f3producentur 384 :qua rurjum dufla in ^63 conficiunti^Z 14. Vel ducito ^63infefe 3fient 1Z96: & hacrurfum in 10 refiituentur eadem Quorumradix cubica 3eft z^itantus ejl igiturfecundus numerus proportionalis .Porro fieundem numerum '^Z^iCx duBu 36 in 10 &\proo'eatu, per ipfa 10 &Tmultiplicaueris: ueleadem 10 ^duxeris infefe, &produflu numerum (fcilicet 113 !)multiplicaueris per ipfum numerum :refultabuntutroquemodo 4.^96. Qmrumradixcubica efbi6 :tantusefi ipfi tertius (y^proportionalisnumerus.Q^nidipfinumeri ^63Z43i<^3io *fuh rationefefqualteracotinueproportionaturlEundepraterea nume ru tertiu impetrabis3fi multiplicaueris 14perioproduceturenim eij RERVM MATHE. 15(5. Qj^ru radix quadrataysfi i 6iide qui^rius coUcSlus eji numerus. ^Corollariumprimum,dcduobusnnmcrisproportionalibusjintcr datum numerum &unitatem. ^S 1IGITVR INTER DATVM NVME-4 rum &unitatemyduo medijproportionales occurrat numeri', minoripforii intermediorUfCrit cubica radix ipjtus numeridati,^quadrata ra dix reliqui numeri intermedij.Si enim ab unitate, quatuor numerifuerint inuiceproportionales: tertius ab ipfa unitate quadratus erit,quartus uero cubus,peroBauam noni elementorum .Quoties igiturjecudus ab unitate numerus,eandem continet unitatem: toties numerus tertius eundemfecundum,^ quartus ipfitm tertium comprehenditnumerum, hx duHuitaquefecundi numeri ab unitate inJeipJum,fittertius:^ ex duHu ipfus tert^ in eundemfecundum, quartus refultat numerus. Ver ipfus ergo quadrata,atq; cubica radicis dijfinitionf.prafatus numerus peudus efl radix quadrata tertij, &fmulcubica raaix ipfus quarti numeri. Qj^madmodum exfubieShs numerorum colli^turformulis. \Nwnen 'dupli.\ Trifli. QMdrupli. 1Qnintupli . '\ l. i: 4- I. j. 9.17 I. 4. IS. 44.1 I. J. If. Ilf. ^Corollarium fecundum, quod primo 4proportiona- lium numeroru cxiflcnte cubo, oportet quartu efle cubu. ^Hinc rurfumfquitur,datis quatuornumeris continue proportionalibus :falter extremorumfuerit cubus ,reliquus extremus itidem erit cubus. It^am fduorum numerorum ,duo medijproportionales fuerint numeri ;ipfextremi numeri flidi erunt,atque inuicemfmiles,per 11 oHaui elementorum.Si i^turinter quatuornumeros cotinueproportionalesyUnus extremorumfuerit cubus :reliquus extremus itidem cubus erit. Vt exfubfcriptis numerorum clarefcitformulis. 1Numeri dupli.] Tripli. [Quadrupli. |Quiatupli , ( tg. IS. jZ. S4. ia.z.^,. jz.ziS. 18. ?z. 128. 7I2.| 8. 40. 200. 1000. 1 Incidens notandum ,dc duorum proportionalium numerorum inter duos cubos inuentione peculiari . LIBERPRIMVS. 27 fVoteruntautem ^ipjt duo medij numeri ^inter duos oblatos cubos continueproportionales,alia ratione in hunc quipquitur modumfupputari .I>uc radicem cubicam unius, in cubicam alterius radicem ,& indeproducum numerum duc tande in radice maioris numeri cubi:fiet enim maior numerusproportionalis intermedius. QuodJi eundemproducum numerum,ex mutua radicum multiplicationeprocreatum,mul tiplicauertsper radicem numeri cubi minoris: conjurget eorudem intermediorum 0^proportionalium numerorum minor, ^ofdem quoq^ numeros intermedios rurfum obtinebis ,Jiutriujque dati cubi radicem cubicam infeipjam duxeris,0“ quadratu unius radicis numeru,peralterius radice altematim multiplicaueris.Qi^ratus enim maioris radicis numerus,perminorem radice multiplicatus.dabitmaiorem:quadratus uero minoris in ipjdm vutiurem radicem uerfa uice duCus,ipJum minorempradiCorum intermediorum rejUtuet numerum. Q^madmodum fuhjaipta demonjhrare uidentur exempla .id autem non in rationalibus tantummodo numeris:fed 0“ infurdu, hoc ejl, irrationales habentibus radicesdndifferenter ohferuandum ejp uelim non inores . ExemplumiMxrapnmummodum. Exemplum fecundimodi. Cubus 8. 16. 32. 6/^.Cubui. ^cubi ^<Q g^4^subi froducius radicum. Cubus. 8, iS. 5I- 64. Cubfts. J^cubi. z. 4^i-cubi. Quadratus „ — j6Quadrat* radias 4. radicis. ^Corollarium tertium ,dc fucccllionc quatuor numerorum continueproportionalium. ^Sequitur confequenterdnter unitatem &primum oConariu numerumfcilicet S,atque inter binarium 0“ 16 oConariumfecundum, inter ipfum quoq; ternariu 0^ oConarium tertiufilicet 24, &cofequenter inter quatemariit 0rfuccedente oConariu quartu,utpote j,2.,0‘ deinceps in hucmodu objer uato extremoru ordine :duos rationales occurrere numeros,fub eade ratione (nempe dupla)continueproportionales .YtobieCa tabella demonjlrat .Vorrointer ipjam umtatem,0‘numerosprimum oConarium antecedentes, atque inter binarium 0rfeptem numeros /1 |.( 4|8:[41 ULUiiS I4! 8)r 6j32. I;|i^20 f6|l2|24 IrlkfTg' 56 64 eiv} RERVM MATHE. ^racedetes idj necno inter i^fum temariu ^jentem numeros^racedetes 2.^ 3&deinceps in hunc modumfaHa comparatione ;duos itidem coincidere numeros continueproportionales^fedjurdos3utpote3 non cuhicomm numerorum radices3^ua irrationales ^furda nuncupantur. CCorollarium quartu, de folidis extremos quatuor proportionalium admittentibus numeros. ^Tandem colli^tur3jolidum numerum reStangulum3cuius hajts efh g quadratusprimi quatuorproportionalium numeroru continueproportionalium,altitudo uero quartus :aquari cubo ipjtusJecundi numeri. Hauddipmiliter elicitur3jolidum reflangulum numerUiCuius hajis ejl quadratus numeri quarti eorundem quatuorproportionalium3alti- tudo uero ipfe numerusprimus'.aquari cubo ipjius terttj numeri. Queadmodum ipfe numerorum calculus te docebit . ^Exempla. Txponantur ergo hi numeri 3^ 631 1, x4.,/ub ratione dupla continui proportionati. Quadratus igiturprimi numeri3efi$:per quemfimultiplicaueris z^3fient x\6.Tantus efl igitur/olidus numerus reHangulus» cuius bafis eji quadratus numeri primi3 altitudo uero quartusproportionalis numerus.Huic aquaturcubusfecundi numeri ,qui efi 6:nam pxies exefficiunt 16, rurfumfexies ^exconficiunt xi6. Hat autem quadratus ex numero ,is erit 576' ;quefiper3multiplicaucris,prodibit/olidus numerus re^angulus lyx^xcuius bafis efiquadratus numeri quartixaltitudo ueroprimusproportionalis numerus. Huic rurfum aqualis efl cubus numeritertij,ipfiusuidelicet numeri 11 ;quonia duodecies IXfaciunt rurfum duodecies i^^ireflituunt 172.8. 5'PRO POSITIO X. VAE ex ipfis quatuor numeris continue proportionalibus fuboriantur proportiones, paucis colligere . CEX PRAEDICTIS AVTEM QVATVOR NVME- ris,fub eadem ratione continueproportionalibusifiquentes deducuntur LIBERPRIMVS. 28 fuhinfentnturue numerorum^roportionestcfuarum adminiculo, una regula ex igfa quatuor numeroru proportionalium harmonia data^mult£ admodum Utiles reguUpendenterelici poffunt. De quatuor proportionalium numerorum differentiis. ^^\nprimis ipforum quatuornumerorum continueproportionaliu dif^ jerentia :itidem(uh eadem ratione continuefuntproportionales.Kefu~ manturenim hi quatuornumeri ^1,1 6,S,.^,Juh ratione dupla cotinue proportionales.Clarum ejl ipforum numerorum differentias ,effe 16, 8, 4. :qua fuh ratione dupla yquemadmodum ^‘ipji dati numeri^continueproportionantur. CDe ipforum quatuor proportionalium seque multiplicibus,aut fu bmultiplicibus. 2. ^Datis infuper quatuor numeris continue proportionalibus :illorum aque multiplices autfuhmultiplices numeri, continue itidem eruntproportionales.t^amJipradiHorum numerorum continueproportionalium ^i,,\6S,4.,triplos (uerhigratia) acceperis numeros,utpote, 96,48,24: ityoffendes illos in eade ratione, qua ^ipfos numeros datos, continue itidemproportionari. Aut(i eorundem numerorum 32,16,8,4,/«^- duplosfiue dimidies fumpferis numeros :utpore,\6,S,4, 2, :hierunt/uh ratione dupla,quemadmodum 0^ ipji dati numeri continueproportionati.Vartes enim, 0aque multiplicia,eandem rationem habentjumpta adinuicem.per 15 quinti elementorum. ^Alia proportionis illatio notanda. 3Chijdem praterea quatuornumeris proportionalibus datis ,Jiex ipfis quatuor adgregatus numerus ,per quemlibet eorundem numerorum ordine diuidatur :quoti ex diuijtonibusjingulatimprocreati numeri,e~ runtpariter continueproportionales. Kepetaeur enim praajjumpti numeri^r,\6,%,4,quifimuliunHiconficiunt6Q. Si diuidantur ergo 60, inprimisper 4,deindeper S,poJhnodumper 16,tandemper 51.* procreabuntur hi numeri 15 ,7f,31,ihfub eade ratione qua 0ipji dati numeri continueproportionales . ^De perm utata fupradiclorum numerorum proportione. 4CVrater fupradiSlas ,alias etiam quamplurimas ,ex eifdem quatuor numeris proportionalibus ,licebit elicere proportiones :tum maxime ,ex/edecima quinti elementorum permutatim arguendo. eiiij RERVM MATHE. handem nanque rationem habent (ut^rius ajiumptis utamurnumeris) ^Zyud Sy^uam i6iad/Sf :nempe tjuadru^ldm .idem habendum efi iudicium,de datis tjuibujcunque numerisfub continua aut difcontinua proportione colligatis. CDe eorundem numerorum proportione ,compofita^att^ue diuifanuncupatur. ^oblatis rurjum prajatis numeris continue proportionalibus 32 j5 componantur 31^0^ iCyjient 49 :numeriautem ^,Jtmul iun6U efficiunt iz.I.andemitaquerationemhabent j^Z,ad iCyquam iiyad^: utrobique enim tripla ratio comperitur .Quaproptera diui~ fis ad compofitos numerosfaSla relatione, proportio fuboritur :tametfi ab alio denominata numero .Haud difiimiliter proportionem inferre licebit ydcompofitis ad diuijbs arguendo numeros :quemadmodum ex praajfitmptis numeris 3uelfacile colligitur .Hacautemex 17 &18 quinti elementorumfiunt manifefia. ^Conditio quatuor proportionalium numerorum ualdc notanda. ^Necpratermittenda efi eorundem quatuorproportionalium nume~ c rorum exdecimanona fiptimi elementorum deprompta conditio :ut fcilicet tantusfub extremis, quantus fub intermediis inuicem multiplicatis ,producaturnumerus. Quemadmodum exfitpradiflis 4numeru ^XyiCjZy^iUelfacile coUi^tur .Siue enim multiplicentur per^yautiGperZ :idem na~ fetur numerus 3utpote 12.8 .Haudalienum uelim habeas iudicium ,de cateris numeris datis continue uel difeontinue proportionalibus. LIBRI PRIMI FINIS. RERVM MATHEMATICARVM HACTENVS DESIDERATAKVAC LIBE». SECVNDVS. fPROPOSITIO 1. V A Mrationem habeat circunferentia circuli addiamctrum,con{equetcrinueftigare:re£lamue lineam eidem circunferentia a:qualem, ex ipfo colligere diametro. IfABSOLVTA LIBRO PRIMO DVARVM RE- Barum, interdatas extremas continue proportionalium >inuentione diuerjk iatqueJimulojlenfo 3i^ualiter inter duos ohlatos numeros inaquales ,duo medij numeri continue itidemproportionales colligantur: Confentaneum ejje uidetur3ut hoc lihrofecundo ,rationem quam hahetcircunferentia ad circuli diametrum ojlendamus 3[altem quantum fieri potent uero proximam ipsiue circunferentia uel data eius parti 3reBam aqualem afignemus ,Cf econuerfo .Deinde circulum ipfum metiri 3&tandem in quadratum aquale 3datumue quadram in aquale circulu3pluribus modis reuocare doceamus .Viaeenimfunty qua und cum prafatis lineisproportionalibus 3in re mathematicapoiifimu defiderari uidebatunutpotCid quibus c§tera omnUtquf duobus Jequentibus libris (Deofauente) trademuspenderefitmanifeBum . ^Conftrutffio figurs generalis. 2_fSIT IGITVR SEXTA PARS CIRCVLI ab c df fub aquilatero &aquiangulo triangulo abd,^feBione b cd 3comprehenfa .Ipfum enim triangulu aquilaterum abd, efifexta pars hexagoni regularis in dato circulo dejeripti :cuius unumquodque latus 3aquum efi eiufdem circuli femidiametro ,per corrolarium 15 quarti elementorum .Diuidatur itaque arcus bcdt bifariam 3in ipjo quidem punBo c3per 30 tertq eorundem elementorum: O* conneBaturfemidiameter ac, qui fecet ipfam bd, reBaminpun- Bo e.Secabit igitur ac3eandem reBam bd,bifariam 3atque ad RERVMMA T HE. igitur ambitus circunfaripti polygoni regularis habentis laterd^S ^rationem habet adcirculi diametrum triplafejquijeptima minorem . Ef quoniam circunferentia ipjiuscir^ ISupradiSiorum formula . 1 iDumeterarcHli. |[i20 °1° 1° ITriplum arcuit .I360 °0]010|1 B5ipfim diametri. H17 854li^ ^Terdtametercum-. I377 85411718! lambitus poly»om.\\^jy i«|5i 1o|| \Diff'erenria . |0‘7|4S|8li Quod pcundo loco demojhrandum ICircunfcrentiam circuli ,ad ipfum diametrum rationem habere triplam undecupartientem feptuagefimas odiauas. fE.X SVPRADICTIS TANDEM COLLIGI- mrtrationemcircunferentU circuli adipfum diametrujnteripfam tri-- pldm decupartientemfeptuagefima6primas,0" triplamfefqmfeptimam de necejfitate uerfari. Vera itaque ratio etufdem circunferentia addiametrum circuli, ex ipjis duabus uelfacile componetur ;addendo uidelicetadinuicem faftas earundem rationum quantitates, utpote\, ^ ”, numeratorem quidem numeratori, denominatorem denominatori. Conjufgenfenim mediam quandam rationem inter rationesfupradi/las exprimen{ia:minorem uidelicet triplafifquifptima,& maiorem tripla decupaniente fiptuagefmasprimas proinde omnium fdelifimam. Quemadmodum exfubfcriptis numerorum eliciturformulis .In quarum prima, ^reducunturad^: quorum 78fiunt ab 'ab ipfs^.lnfeunda uero formula,prafata^gy ^reducutur ad^^ :quorum 781 procreatur ab ipf^^} &780 ab eifdem^ .Ef quemadmodum 78, ipft 77 fla unitate fuperant :fic& ipf 781 eadem 780fuperare uidentur .Circunferentia itaque circuli,adipfum, diametrum rationem obtinet triplam undecupartientemfptuagefimas oSlauasiquakmpropemodum obfruantpartes 57^, gT minuta 55, 13, 55 -1^61 . 78. 77. 781. 780, X-i ' 4-X4- 54 tf. 15558. LIBERSECVNDVS. 31 4,ddpartes 110 . Quadrans uero eiufdem circunferentia adfimidiametrum eampendenrer uidetur obfmiare rationem yquam tes ft^)^minutai^,zo,^6ySfyi^yad^artesCo .Ter igitur diameter und cum Higjius diametri yconficiunt reElam lineam aqualem circunfierentia dati circuli :quaratione,uixfj>eramusd quopiam mortalium pojje darifideliorem.De hacigitur hacfintfatis. PROPOSITIO II. V^dranti circunfercntia: daci cuiuflibet circuli re- «^tam lineam squalem ,aliter quam per rationem ipfius circunferentis ad diametrum,pluribus modis dcllgnarc < CTAMETSI EX ANTECEDENTI PRIMA propofitione apertum fecerimus ,circunferentia quadrantem ad ipfurn diametrum rationempropemodum ohfiruare ,quampartes 94 0*mi- nuta 9,50,46,9, 13 ,partes 110 :iuuat nihilominusycidem quadranti circunferentia refiam lineam aqualem alia ratione colligere ,nempe fegmentorumproportionalium ipfius dimetientis adminiculo . I^Sit igitur datus /emicirculus a h c, cuius circunferentia bifariamfit diuifaffub dbfemidiametro',in ipjbpunSlo b: 0operapretiumfit quadrantia brefla aquale inuenire.Diuidaturitaque dimeties acproportionaliteryatqifegmcntuillius minus iterumproportionaliteTyrurfumq', RERVM MATHE. [ementum minus ^roportiondliter,^ deinceps in hunc modum, fsr 30fextielementorum, minoribus[edentis inpunBum ccontinue ter-' minatis: quatenus in toto dimetiente acnouem occurrantproportionaliumfe^entorum dijiinBiones,nouem maiora,totidemque minorafegmentadiflribuentes, qua numerisJuo annotentur ordine .Seceturpofimodum exdbfemidiametro ,rcBa quadam linea de:qua conflet ex dimidioferenti maioris ipfus dimetientis ac,^ dimidiofegmenti ordine quinti ,atque dimidio oflaui/egmenti ,una cumfegmento decimo fexto,^ quartapartefegmenti quindecimi, atque demum unius oflauapartisfegmenti ordine decimifeptimiparteJexagejtma. Conneflatur deinde linea refla cex cui aqualis coaptetur cf,perprimam quarti elementorum. Tandem conneflatur aflinea refla: quam aio aqualem effe quadranti circunferentia ah.Hocautemper ipjorumproportionalium[ementorum numeros,fiet illico manifeflum :coadiuuantepraoflenfa ratione circunferentia addiametrum. ^Supponatur ergo dimetiens acpartium inuicem aqualium izoiquantum uidelicet adimitationem C.Ptolemai, in cateris nojhis fupputationihus expofuimus. Verea i^turqua numeropcundoprimapropoftionis antecedentis libri primi declarata fiint, [ementum maiusipfus dimetientis ac, eritpartium minutorum 50, 40^59, 18, 14: minus uero fegnentum ,partium 45 , ^minutorum 50 ^9,ip ,0,41, 4C.Qitibus detraflis ex 74par- tibus,^ minutis 9^50,40,5^^39, 18 ,14 ,ipfus flenti maioris: relinquetur [ementum maius eiu/d tium 19, 41 ,zi, 58,3^, z8 .Qua Jubdufla ex ipjo minoriflento totius diametri :relinquuntfgmentum minus eiufdemfegmenti minoris ,partium 17 ,&minutorum 30 ,Z7 ,57, 1,5, 18. Ef emfgmenti minoris, parquidem z8 ,minutorum LIBER SECVNDVS. 34 Etdeinceps in hunccontinuando modum ,hoce^i,fuccedentia diametri pgmenta ,ah immediatepracedentihus Juhducendofegmentis'.reliqua fe^entaproportionalia ipfius dimetientis acsfuo colligentur ordine ^ fubipjis quidempartibus 0^ minutis ,qualiumprafatus diameter e^i pars qualibet minutorum 6o comprehenfaNtin obiefia numerorum tabella continetur .^Dimidium itaqueferenti maioris habetpartes yjiO' minuta 4,55 ,2,0,19 ^7•&dimidium quintijegmentipartes minuta Dimidium infuper oflaui/egmenti,haberpartem lyg^ minutaiCyyj, 45>j37> 18,33 •Segmenm porro decimumjextum yhacminuta comprehendit Ef Jegmentum ordine quindecimum yfub his continetur minutis 5,it? ,42, ^^yZZyZO:quorumparsquarta,habetminutaoyty\^y 10,13,10, 35. Segmentum denique decimumjeptimum,Jub his comprehenditur minutis 1, 0,58, 18,18, 38 ;quorum oBauapars^ejl minutorum o,15, 7,18, ^Zyzoi^horum 7. |parspxagejimay o Ieifdem minutoru _2_| exprimiturnume °IriSyJedmutataJln -g^^lorum denotniiojj natione inproxi- 55 1mefequente dextram uerfus ordinemyinhuncuidelicetmodumOyOyi^yjyiZy^Zyio .Hacautem omnia jimuliunBaejficiuntpartes minuta 49,17,11,19,48, 49,55 *ut ohieBa numerorum indicatformula .Tanta ejl igitur reBa de.Quadratum autem ipfius dejoabetpartes minuta 35, 43,51,13, 35, 13,59,2(?j54,48,4i, 40 :Etquadratum Copartiumfimidiametridc, efipartium ^6oo.Quadrataporro ex dedcfimuliunBayConficiunt quadratum ipfius eCyper^jprimi elementorum: ^proinde quadratum ipfius cfypartium quidem 5510,^^ minutorum 53,43,51, 13, 35, 13, 59,1^,54,48,41,40. Qi^adratuminjupertotius diametriacyhabet partes 14400:4 quibusfiauferatur quadratum ipfiuscfy relinquetur quadratum quod exafypereandem 47primi elementorum, partium uidelicetZZy^y^ minutorum z6,i6ySy4Gyi^y-^6, 0,35, 5,ii, 19, 10. Quorum radix quadratafquantum arsipfapatitur numeroru)habes f !-J.4-5. 1Lfermenti maioru . 455 20 2.9 39 7 jiejmnti (e^menti . s24 36 42 18 3S J7o£ltiui fermenti .-16 37 45»37 18 33 |xv» fermentum. 3s44 4^ \lfegmcnn XV. ° 0 I? 10 320 xvif. 00s 7 .8 3i mReclade. 1| 43 49 V11 19 48 149 RERVMMATHE. partes ^j{,C^minutai^3^0i463^y^x.Tantaefii^turre^daf. Atqui totidempartium atqueprimorum ,fecundorum ^tertiorum minuto- Yumyefl quadrans circunfretia eiufdem circuliy cuius diameter efipartium izOyfdquartorum minutorum quintorum 13 perantecedentemprimampropoftionem ."Differt itaque reHa afah ipf quadrante ahytrihus quartis minutis y^oferequintis :quafaciunth «o lo «0 , una cum i«« «loeo,& reducuntur propemodum adffo rg^ ,unius integra partis, imperfe^is irrationalium fgmentorum ,radicumue non quadratorum numeris (ex quihus conflatur reSha de)iure deputandu: contrahit enim de nece fitate refla ecuel cf, ineuitahile peccatum ipfus de.Cum igturpramemorata differentia unius integrapartis adeoftexiguay& uitari nullo modopofit: concludemus refiam ipfam afy aqualem effe quandranti circunferentia ah,cuius dimidium efla h c .QMdfaciendum receperamus. ^Idem aliter. fEIDEM RVRSVM QVADRANTI CIRCVN- t ferentiayreflam lineam aqualem yexprafttisfgmentisproportionalihusdiametri,aliter defcrihere licehit.Kefumatur ergofmicirculus ah c, cuius circunferentia hifariam diuifdfitin punfio h: diameter autem acdiuifus proportionaliter in punfio d, fitque adfgmentum maius, minus uero dc.quodrurfum in totfegnentaproportionalia, eodem ordine atque numero diflrihuta partiaturyUt inprima huiusparte tradidimus .Auferaturpojhnodumfexagefmapars unius feaecimapartu LIBERSECVNDVS. 33 je^ennordinedecimiofiauiiexquintapartejegmenti quindecimi: ^ rejtduum tollatur conjequenter ex dimidiofidenti ordine duodecimi. Ei autem qua inde relinquetur lineola ,aqualisfeceturd e.'S.td^un^o e,Juperacdiametrumperpendicularis exciteturef,per und.ecimamprimi elementorum .Qonneflatur demum refta af^quam aiofore aqualem quadranti ahipfius circunferentia dati circuli:quoduia numeroru ojlendere iuuat . ^Manife/ium ejl itaque expramiffojegmentorum proportionalium calculo ,decimumoElauum/egmentumproportionale ipfus dimetientis ac3continere uniuspartu minutajexagenaria i, 14, ^^3tf>3^':^,^:quorumparsJedecimajhabet minuta o, 4^40,21, 1^3fere: qua diuifaper Condant minuta 0,0^4, 40jZ2,,i5>.Q«/We’iri»7«»2porro figmentum^jlth his connneturminutis :quorumpars quintaefiminutorui3^32.03^^3^i‘t-^‘^ quibusfauferantur minuta o, 03i^,^03^Z3i9 relinquentur in primis minutai3'^3i^ 3^^ 341,5); qua dempta ex dimidioJegmenti duodecimij ex minutis uidelicet 113 10, 48, 50^ 10,7,32, 55, 25,3 .Tantaejligitur lineola de:quafuhdu6laexj^partihus3minutis 93^03^03 55», 18, 14,/^- fusjeffnenti maioris ad3relinquunta€partium 73, minutorum 59, 43,8,3,53,11. Efm"o- 4’| ?•)^•Iinde reliqua echabe- 59 |i8 |i4 1bitpartes mi- .PLZ Inuta o, 1^,51 ,56,63 .|jL^.Si ducaturautem —7—-r—l aerettaiin reliquam )4( 4^19II ^f ec: pet quadratum 3)55 1nIipfas ef3partiu qui- 56[g I49 8dem^^043&’minutorum 7,52,, 9, i43, Se^entum matus a d. fevmentt \je^entt I Prtmum refiduum. 59,5,47,57,45,31, 59 .'Ejlenimefmediaproportionalis interae^ eC3 perij,Jexti elementoru:g^ quodfub ipfsae gst‘ eccontinetur reEia^- lum3aquale ei quodab ipja effit quadrat03periy eiufdemfexti elemen - torum.Quadratuporro ipfius ae,habetpartes 5475, &minuta 18, 23 , 58,19,28,0,54,12,2,14, 28,1 .Eo: quadratu autem ipjarum ae0^ef3 conjurgit quadratum ipfius af3per4jprimieorundemelementorum: paniu quidem 8879,^^^ minutorum 2<>,i(j,7,4<> ,22,o.riZ«M eflreEla af. Totidem autempartium3atqueprimorum,Jecundorum3g^ tertio- RERVM MATHE. Tum minutorumiCflreEici quadrann circunferentice atjualii iperprimte ^ropojitionis huiufce lihri Jecundi demonfhrationem :/ed quartorum minutorum quintorum 13 .T>iffertitaqueprapnscalculus,abipjius prima ^ro^ojitionis calculo 3tribus minutis quartis 3quintis minutis 50 :quafaciunt 3&s-«l el dei 3reuocamurprope- modumadjjfsg^ unius integrapartis .\iacitaquediJferetianonobJldte (cumftadeo mnuta3 ut animaduerfone cenfeatur indigna) exfolito irrationaliumfegnentorumiatqueradicum non quadratarii contraBa peccatoxoncludemus ,uelutifupra ,reBam afaqualem ejje quadranti abpropoftacircunferentia circuli. Quodrurfumfecife oportuit. ^Idem rurfum aliter. ^POTERIT INSVPER EIDEM CIRCVNFE- 3 rentia quadranthdari reBa aquatu:in hunc qui/equitur modum. Exponatur uelutanteaJemicirculus ab Cifuperacdiametro conjijlens cuius fegmentum maiusproportionaleftae ,minus uero ec:quod rurfum in totfegnentaproportionaliaj^ eodem ordine diihibutapartiatur3ut inprimaparte huiufcepropoftionis diBum atque obferuatum extitit .Exciteturpo/hnodumfemidiameterdbfuper acdiametroperpendicularis.CoapteturinfuperreBa quada linea bftqua confiet ex dimidiofegmetiproportionalis ordine tertpf3autex ipfa dCifubtraBoprius dimidiofegmeti decimiquartiyminusfexa^fimaparte uniusfextapartis tpfius decimiquartifegmemi:0‘ conneBatur demum aflinea reBa. Aio LIBER SECVNDVS. 36 Ato itaqueyYe^am afaqualem ejje circunferentia quadranti ah.^'^er ea etenim^quf^rima huiuspane tradita atquefupputatafunt,§qualiu partium diameterac ejl izo,talium fe^entum proportionale ordine tertium minutorum 1^3^1)11, 5853^^.28 :quorum dimidium ^ hahetpanes minuta •Totidem etiapartium, atque minutorumycflipja de: namfiexmaiorifegmento ae^auferatur 60partes ipjtus adfemidiametri, idempartium atque minutoru relinqUetur numerus .i)imidium aute decimi quartiJegmentiproportionalis yfuhhis contineturminutis , 0"jexraiUiusp^enti parsyhacminuta cotinereuideturyiyi.<),z^,^^y^y±o:quoruparsfexagejimayeijdem exprimitur numeris ,/ed mutatisfedihusper unum ordinem uerjus dextrdyin hucmoduyOyiy^^yZ^y^^y^-^yZO.HacauteJuhdu- Slaexminutis ^yiSji^y/^iyi^styrelinquuntminuta 4,i4,48,i<J,35)ji<?, ^o:quafidetrahdturexprafatisi4.partihus,0 minutis ^,py^0y^Sf3 iSyi^yrelinquent tandempanes i^y0 $5, 52342,38,57, zo.Ta* tidem itaquepanium 0minutorum efi ipja hfxuius arcusyperea qu§ de reHis in circulojuhtenfis tradidimusyhahetgradus \^y0minuta zjyiOyiiy%^3’jy^,qualiumgraduum(uelim intelligas )tota circuliperiph§ria ejli6o.Totusproindearcus ahfycjigraduum 103,0minuto- rum 25),2i,io,2i, 55,7, 4:quorumJuhtenJa chordaafy continetpanes 9^y0 minuta i3,55,45,44,i5,^rf.Re^4 i^turafy quadranti ahco~ uincituraqualis:cumjolispropemodu 25 minutu quanis ,ah ipjtusprimapropojitionis calculodifferre uideatur,quafaciut-k «o «o eoi0 reducunturad715553 ,uicio radicum non quadratarum (qua ueris nunquam exprimunturnumeris (uelutifapius diSlum eByad/crihendum .Q«4- dranti i^tur circuliyre^lam aqualem iterum dejignauimus . ^Idemrurfum aliter. 4fQVArto, poterit idem CIRCVNFE- rentia quadrans,in lineam re6lam hocmodo reuocari.Sit igitur ohlatus circuli quadrans a h c,hifariam diuifus inpunHohper^o tenij elementorum: 0pert^ ipjtus tertij yinueniaturcentrum circuli, cuius datus arcus ejiquanaparsyftqueillud d:cone^anturqj ac0h dline§ reB§, qu§fefeinuicefecentinpunflo e. Diuidaturpojimodu/emidiameterdh RERVM MATHE. proportiofialiter media ^extrema ratione ,atquepgmentufn illius minus iterumf>roportionaliter,gp^ deincegsin hunc modum^per pxti elementorum :donec in totopmidiametro db ,oBomaiora ,totidemqueminorapgmenfa colligantur ,omnibuspgmentis minoribus in unumcommunepunBumfcilicet duel bterminatis :ut inprima huius parte 3defegmentisproportionalibus diametri diBu aeque obpruatum extitit. Secetur conpquenterex ipp dbfemidiametro ^reBa quadam linea bf, qua refultet ex duplofegmenii minoris ipfis dbfemidiametriy oBauo ,atque duodecimo'plento proportionali ,una cumpptem trigepmispgmenti ordine quindecimi.Sicut autem dbadipfam bf, pc pataeadipfamegiperdecimampxti elementorum: (pr conneBatur dglinea reBa, cui aqualispcetur dh.'Deinde ,perpunBum hipp ac linea reBaparallela ducaturkl,per^iprimi elementorum :pceturque hkg^hlippa euelecaquales .Tangatautem reBa quadam linea mnipfum datum quadrantis arcum abcinpunBo b,utrique ipfarum ac g^klparallela. Etconnexis dk&dllineis rcBis, utraque in direBum continuetur uerfus kl: donecconueniantipfam mn,in eip dempunBtsmg^n. Erit enim reBa mninter dmatque dncomprehenp, aqualis numero- \/huncquipqut- /turmodum de- /monBratur . p/o^Sit uelutija- %f/Wpius diBu efi, b partium 6o. Huius itaque femidiametri p^entaproportionalia illicopentnota ,pproportionaliumpgnentorum totius diametri,inprima huius parte depriptorum, acceperis dimidium ."bAinus itaquep^entumproportionale ippus db, habetpartes ^2,g^ minuta ^0,10, 53 :quaduplata, efficiunt partes 45^6^ minuta ,45) .oBauumporro pgmentum habebit 1m. 1i. ?• +•1 1- 3-1 ij.ll 45 [50 jp 19 0141 46 °1 ''“>'1 I 1)S749 37 1 18 33 0 Xijjl 01II |io 48 50 711 01 ferenti, xv.j 0|Oj36 37 0117 36 ZO 1 Ifitcai. bf.i47| 18 134 54 18 135 710 LIBER SECVNDVS. 37 :&duodecimumJeg~ mentumifuh his tantum continebitur minutis 11,10,48,50^7, decimum deniquepgmentum proportionale ,hac minuta comprehen- ^/^’^i,38,^IJ^7,4I,IO :quorumpars trigejjma 3ejb minutorum 0,5, 10, zOj^^jZijZOjqu^JeptiesJumptareddut minuta 03^6,jjyZj3^C,io.H^c autem 7trigefmayUnd cum duplojecundifegmentiproportionalis 3& o^auoyatque duodecimofe^entOyin unum conflata numerum,reddut partes ^minuta 18,34,54,18,35, {cateraenimahfqueiaBura calculi reiici uel faalepoffunt) tanta efi i^tur ipfa bf, linea re6ia: quamji multiplicaueris per re6lam aCjqug efl partiu 41, &minutorum .iS'35>3>53» pe dimidium la teris injcripti quadrati) conjurgentpartes 33,17, &minuta 10, 45), 34,47,io,48,57,55),55 iquadiuifaper 60 partes ipflus db^reuocanturinpartes minuta 17,10,49,34,47 (catera nanqueminum^ resjrafhonesydbfque iaBura calculi reiicipojjunt) tata efli^turreHa egyperuulgatam quatuorproportionalium numerorum regula: cuius quadratuhahetpartes ?wi««f4<S',i5,i8,50jii,5i,48,55,5i,49. Qj^dratumporro ipflus dCyqua efl aqualis ipji eayjub his tatum contineturpartibus i%oo :quaflmuliunilay conficiuntquadratum ipflus dgyper primi elementorumypartium quidem x^i^.e^minutorujupr4i://(^or«<J3i3,i8,50,ii,5i,48,55,5i,45>. Huiusaute quadratiradix, hoceflyipja dg,reSla30"proinde illi aqualis dh3habetpartes minuta 1,43,15,44. Si ducanturtandempartes j^ZyCt' minuta 15, ^^3^3^l,ipflus Ak (quapoflta efl aqualis ipfl ea) pereo jpartes ipflus db 3^!^ produBumdiuidaturper partes ,minuta 1,4,15,44, ipflus dhynajcenturpartes 47,^^^^ minuta 6,55,13,4,15, ipflus bm,per eandem quatuorproportionalium regiam :Triangula enim dbm^?^ dhkjjunt inuicem aquianguUyperi9,c^ 31primielementoru:&per 4fexti eorundem elementoru, eflfleut dh,ad hk,^cdb,adipjam dm. Totaproindemn,eflpartius>4.3&‘minutorum 13,50,46,8,50. Atqui totidempartiumyatq;primoru,flcundoru:^ tertioru minutorUiinueta RERVM M ATHE. reElo minorxonuenienrpropterea ah,tTfg,in direHumgrodu^a,ger quintumgofiuUtHmgeometricum. Conueniant igitur in ^unSlumg: triangulum grogterea afgjCritreSlangulum,^proinde inJemicirculo conJiitutum,perigJius 31 tenij elementorum cduerfone. Diuidaturergo ag^reSia l/ifariamjngun^o h,gerdecimamprimi eorundem elementorum. 'Et centro hjnterualloaute ha,uelhg,jemicirculus defcrihatur iifg: cuius circunferentia hifariam diuidatur inpunBo l,per ipjam 30 tertij elementorum. ^His in hunc modum conjlruBis ,aio circunferentia quadrantem aUautlg^ aqualem ejfe data ahjlinea refla. Triangula enim aeh^g^afg,Junt inuicem aquiangula :quoniam angulus qui ada, utrique triangulo communis ejl^gp^ is qui ad e^ ei qui ad faqualis (nempe reflus reflo)proinde reliquus angulus ahcj aqualis reliqup agf.Ver quarta igiturJexti elemetoru, erit ut ha, ada e.fcga,ad af.Etpermutatim igiturper 16 quinti eorunde elementorumtUt ha,dimetienstaddimetientem ag :fcaerefla ,adreflamaf. Sicut rurfum dimetiens ah, adcircunferentia quadrantemad: ficdimetiens ag,adcircunferentia quadrantem al. Wtautem dimetiens ah, addimetientem ag:pcpraojienfa efla e,refla ,ad refiam afEtfcut i^turperundecima quinti efemetorumae, refla ,adrefiam afficad, quadrans adquadrantem al .Etpermutatim deniqucypereandemjedecimam quinti elementorum ,utae, refla,ad quadrantem ad:fc af, refla,ad quadrantem aIfedaerefla, aqualis ejlquadranti ad,peripfam conjhruflionem :refla i^turaf,g^proinde ah, linea data, aqualis efl quadranti al.Dat§ i^turlinea refla ah,aqualem circunferentia quadrantem dedimus al.Qupdrurfum oportuitfecijje . CIdem rurfum aliter . ALU LIBER SECVNDVS. 41 3eamque duplicem, qua datajinea reBa,in circunferentite quadrantem promptij^ime reuocatur.Sit i^tur rurjum data ImeareBa aL' qua lifdriam inprimis diuidatur ,inpunSlo quidem c.lUius aute dimidia ch, proportionaliter diuidatur :cuius fegmentum maius ,und cum unius nonapartes eiufdemferenti maionsparteJexageJima (quajacit ^ unius integi) efiocd.lpjipojhnodum ad, aquales [ubtendanturae, atque he,jefe inuicem contingentes in ipfbpunBo e:^conne6iatur ce,lineareBa,quaperZpropojitionem, gsf 10 dijfinitionemprimi ele~ mentorum,perpendicularis erit Juperab.Centro igitur e, interuallo -,autem ec, de~ ac<3 h,. .^^~y jcnbatur cir~ \1/culi quadrans ,/\ ^C'/^peri6 tertij e- \/lementorum, // tangeipfaahy «9 \/.• linea data . \/igitur \/circunfertntis cunferentia quadrans (quem habet reprafemare data ab ItneareBa) perantecedentemprima propofitionem.KeSia igitur cb,ipjius ab dimidia, eritparttu fimiliu minutorum 6,^^,z^,t\.,^6,^o:quorufe^entu maiusproportionale,per ea qu§ numero ^prim§jppojttionis antecedetis libri primijuntannotata,eritpartiu minutoru 7,8,4,11544,30. Hori* autepars nona, habetpartes minutai4.,-7,i^,49,7: quadiuijdp 6o,reuocdturin minuta ^,i^,'j,'^^,4.p,y.Quaiu^apr^Jatis 19 partibus,^minutisy) 8,4,11,44,30, ipjiusje^eti maioris,coficiutpartes minuta 10, 11,II,55,33,13 .efi igitur linea cd:qua una cum ac,eidem ab aquali,cdjicitreHam acd,partium quidem yG,gfy‘ minutorum I7,t7,35- Totideitaqipartium minutoru,ejlipJa ae, uel eb:cuius quadratu RERVM MATHe. hahetpartes 53,31,41,59,10,15. AquihusfrydHBo quadrato ipjius ac^quodefipartium ixip3& minutorum 51,34,4, 57^ ^^3'i7:relinqmtur quadram ipjtus e Cjper^yprimi elemetoriifre^issejl enim angulus ace) partium uideUcet ^600 minutorum 1^57^38,1, 36',58: quoru radix quadrata hahetpartes <>o,^ ifere minutuprimu, £x irrationaliulegmentorum^pirdarumue radicu ineuitahili defeSfu co traBumjgp^proinde nihilifaciendum.KeBa igitur ec,efipartium 60: gsr quadranspropterea circunferentiafcg (utifupra diximus) eritfmiliumpartium^^igp^ fninutorumi^, ^0,^6 Atqui totidempartium atque minutorumfuppofta ejl ah,linea reSla.Qj^adrans igitur circunferentiafcg,eidem ahiUnea reSia coaquatur: quodfaciendum, atque numeris confrmandumfufceperamus, ^Idem rurfum alio modo. flVVAT ET ALIVM DEMVM, AD IDEM, SVB-^ neEiere modum .Kefumaturergo data ah,linea re^aMfariam diuifa inpunSlo c:gp* dimidiailliuspars ch,diuiJaproportionaliterinpun^o dycuiusfegmentu maiusfthdominus uero dc: quodrurfumproportionaliter diuidaturinpun6io efttq; illiusfgmentu maius de,minusaute ec. Superdatapojhnodu ah, linea reBafdefcrihaturfemicirculus afh: ipjiaeyfuhtedatur aqualis afconneHaturq;fh,linea reBa. ^re6la demumperpendiculari cg, eidemfh, aqualisfuhtendatur hgyCoincides in cgiperpendicularem adipfumpunctug. Erit enim reBagcfemidiameter circuli, cuius circunferentia quadranstUelmi hcl,eidem ah,linea refla eJl aqualis. H«- iufce autem tra ditionis fdem facit, couemes adamufim ipfius cgyfemidiametri,cum proxima de/cri ptione ma^itudo , ^Corollarium. LIB ER SECVNDVS. 41 ^Exju^radi^Usfit manifefium^quamfacileft ,data quauis linea re~ ila in circunferentia quadrantem inprimis refoluta^ oblata cuicunque linea reB§iaqualem circunferentia quadrantemitaquam ex archetj^^o defcrihere.Namfeadem linea refla aprincipio data,poftafuerit inpri mo ordine :&Jemidiametercirculi^cuius circunferentia quadrans a~ quaturipflinea data,infcundoitertiumporro locumpofideat ipfa lineapropofta, cui uidelicet quadras circunferetia defderatur aqualis : Cir per12fxti elemetoru^quartaproportionalis inueniatur.ea erit diametercirculi^cuius circunferetia quadransyeidempropofta linea refla coaquatur .Sunt enimprafata linea, atquefemidiatri ,inuicemproportionales. PROPOSITIO ini. VILIB ET infuper lincx redxj liberas quotcunque diuerlarum circunferentiarum partes ,adatis quibufuis numeris denominatas, integramue circunfercntiam squalem delineare. j^VT SI DATA FVERIT LINEA RECTA, AB; illi inprimis dabitur circunferentia quadrans aqualisjperantecedetem tertiampropoftionem,cuiu/modi efi arcus ac,eius quafequiturdefcrizptionis. ^Etfeadem ab, linea data,in trespartes inuicem aqualesdi uidatur,^ duo illius tertia in circunferentia quadrantem refluatur peripfam antecedentem tertiapropofitionemiidem circunferentia quadrans, una cum dimidia eiusparte (%eluti arcus adjciufdemJequentis 3defcriptionis) eidem oblata linea refla coaquabitur. ^Itemfdimidia parti eiufdem abjinea data,perantecedentem tertiam propoftionem quadrans aqualis defcribatur, Ijqi gemineturfocefl,compleaturJemicirculus :erit ipfa dimidia circunferentia (cuiujmodi ejl aef) aqualis ^ipfab,lineadata.^Y*raterea,fprafatalineadatain quinque partes inuicem aquales diuidatur,(^ duo illius quinta in circunferentia quadrantem,peripfam antecedentem propoftionem tertiam refluantur, gemini quadrantes ,^dimidium quadrantis eiufdem circunferentia (quhs reprafntatarcus alm) ipftoti linea data aberunt aquales. 5^Q^odfeadem linea data,in feptem partes inuicem aquales fuerit diflributa ,^duobus illiusfptimis aqualis circunferentia quadrans. per eandem tertiampropoftionem defcrihatur :treshuitijcemodi cjuadrantes, una cum ipfus quadrantk dimidio (cuiujmodi ejiarcus anO) Jiihfcripta delineationis) coaquahuntur eidem aby linea data. ^ConJequenter,ubi quartaparti eiufde linea dataycircunferetia quadrans dejcripmfuerit aqualisperfapius allegatampropofitionem tertiam :erit idem quadrans quaterfumptus ,hoc efl ,integra circunfe - rentia (qualis efi arcus ars) eidem linea data adamufimaqualis. ^(EtdeincepSyinhuc modum quantumlihet progrediendo : exdiuerjis partibus quotis ipfus ab, linea data in circunferentia quadrante refolutiSi diuerfa coi ligentur circunferetiaru partes ieidem Unea datapendenteraquales. ^Corollarium. ^"Etproindeftmanifejhim idaripoff diuerjarum circunferentiarum arcuSitum inuicemytum integris circunferentiis aquales.Ver ea etenim qua nuncexprejfafunt^arcus ac^a d^aefagh^alm^a no^atque integra circunferentia ars(quorum diuerftas ejieuidetifima)eidem ab» linea datafuntaquales :proinde aquales adinuicem. ^Incidens notandum. ^Qualiterautem data linea reSla ,in quotcunquepartes inuicem aquales diuidatur :alibi/ujficienteredocuimus, idetiam ex nonafixti elementorum ,uelfacile colligitur :Docet enim a quauis linea reEla ordi- LIBER SECVNDVS. 43 vrdinatam^artemyhocejiyd dato puouU numero denominata ahjcindere. Hincpertertiamprimi eorundem elementorum ,rejiduapars ipjius linea data yin reliquaspartes Jimiles tandemjuhdiuidi poterit :donec oblatus earundem partiumabjoluaturnumerus . PROPOSITIO V. V Aratione circulus fub dimenfionem cadat, iliiufuc colligatur area,pcndcnter reddere certum. IfCVM AREA DATAE CVIVSLIBET REGVLA- ris atque multilatera figura,Jtt aqualisparallelogrammo reflan^lo, quodjuhperpendiculari qua ex centro inferiptiaut circunferipti circuliJn latus ipjius multilater§figura cadit,^ dimidio eiujde multilater§ contineturambitu :jit confequenter,ufcomprehenfumjub dimidia cir~ cunferentia, ea qua ex centro circuliparallelogramum reSlangulu, area ipjius circulijitaquale .Circulus enim omnium regulariumj^ intra eundem orbicularem ambitum dejeriptarum multiUteraru jigurarum^maxima atq; capacijlima uidetur ejjejigura: utpoteyintra cuius circunferemiam ,fngula data cuiujlibetmultilaterajigura coincidanf latera,perfecundam terti] elementorum.Circulinanquecircunferetia, exinfinitisyatque intiicem cofufis uidetur refultare lateribus :numerus jiquidem laterum regularium figurarum,qua in eodempojjuntdejaribi circulo 3in infinitumprogreditur. Wincfit:, utjemidiameter circuli,in jingulalateratUius circunjerentiam conflituentia (quafuntomnium minima) indifferenter coincidere uideatur: 0‘proinde contentufub dimidia circunjerentia, ea qua ex centroparallelogrammu reSlangu - lum,area ipjius circuli de necejiitate coaquatur. Cumenim illud de mi~ nima:,atque intermediis omnibus multilateris ^regularibusfiguris ue rificetur :necejjum ejt confequenter,idem habere uerum de ipjo circulo, ornnium multilaterarumyC^ intra eundam orbiculare ambitum (utiju pra didtum eji) dejeriptarum maximo atque regularijlimo. CAffumptum,dc multilatcrarum atqueregularium figurarum dimenfione . ifQVOD AVTEM RECTANGVLVM SVB PRAEFATA h RERVMMATHE. perpendiculari,^ dimidio cuiujlihet multilatera regularis amhitu caprehenjum,aream haheatipji multilatergfigura aqualem:in hunc mo dum cofirmatur.Sitclarioris ineelligentia grana,datu hepeagonu a^uilateru &aquiangulu ahcd efgjcuius cetriiftthid quo inJingulos angulos ipfius heptagoni ,reBa ducantur linea ha,h hj) c,h d,h e,hfy hgfdem heptagonum infeptem ifofcelia ^inuicem aqualia triangula diuidentes .In latusporro de, perpendicularis incidat hk.* Jitquefuh eademperpendiculari hhj^ipfo latere de,contentHm reBanguluparallelogrammum dlme.Confiati^tur,per primi elementoru,ipJum dlm e,reflangulu duplum effi trianguli dh e:funt enmtn eadembafi deyatq; in e^demparallelis de,^ lm,cdfifientia.Quod i^turfuh hk perpendiculariy(^ latere decotinetur reBangulu,duplum efitpfius trianguli dh e. Haudaliter concludemus, quodfuhprofataperpediculari hk,^ quolibet eiufde heptagoni latere continetur reBangulu,duplum effi trianguli quodfupereode latere ad centrum hconfHtuitur.Qi^tuplexefiaute unumprodiBorum reBan^loru unius trianguli ,utpote dlm e,ipfius ahe:totupliciafunt omnium trianfulorum omnia reBangutyperprima quinti elemen torum. Quoigiturfub hk, perpediculari, omnibus eiufdem heptagoni lateribus continentur reBangu- Uydupla funtomnium triangulorum,/uper eifdem lateribus ad centrum h, confifientium :gr ipfius pro - pterea heptagoni dupla, utpote, quodex eifdem refultet trian^lis. KeBan^lum itaqueparallelogrammum,fub hk, perpendiculari ,g^ dimidio laterum ambitu corriprehenjum ,oquum efi areo ipfius heptagoni abcdefg. quodfuerat ofiendendum. De coteris quibufcuq; regularibus ,g^ in infinitum progredientibusfiguris multilateris ,fiuepolygonis ,haudalienum habendis eBiudicium .Area itaque circuli, g^ dati cuiuflibetpolygoni regularis,eadem uia colligitur. ^Qubd LIBER SECVND VS. 44 CQuod circulusnoncftmaior rcdanguIo,fub dimidia circunfercntia,&: fcmidiamccro comprchenfo. 3rEANDEM QVOQVE CIRCVLI DIMENSIO- nem^ay impopihili confirmare licehit .Sicigiturdatus circulus aycd , cuius centrum e:reclangulu uerofiuy dimidia illius circunferentia, & eaquaexcentrocontentumjfighV.. ltaquefiaycdcirculus,igfi re- Slangulofgh k,«o»fuerit aaualis :erit igitur uel eo maioriaut minor. Sit inprimis (fi^ofiihilefuerit) maior: excejjus eiufdem circuliyjuferififum reSlangulum ,magnitudo l.Eritigimr magnitudo l,eodem circulo ahc dyminor.Kuferaturita<jue dcirculo adcdymaius quam di midiumyg^ drefiduo maius quam dimidium,c^fic deince^siquatenus id quodrelinquetUTyfi.t maius ipjdlmagnitudine.ld autemfiet, tollendo inprimis quadratum aycd,in dato circuloperJextam quinti elemetorum defcriptum:iUud enim dimidium ejl quadrati eidem circulo circufiriptiyg^proinde maius quam dimidiu ipfius circuli. Deindeyd relictis quatuorcirculiJeHioniyusyquatuorifoJcelia ^inuicem aqualia auferendo triangulayd limitiyus cuiujhyet lateris in mediumpunSlumfid?- tenfiarcus injurgentia (cuiufinodiejitriangulum aiy) erit uniiquodq; triangulum,dimidiumparallelogrammi yquodfuy eifidem laterdus fagttisfiBionum coprehendituryg^proinde ipfiusfiBionis dimidio ma ius. Sint igitur (uen>igratia) oHo circuli/eBionesfuper latera oBogo- ni aquilateri aquianguli, in eodem circulo defcripti, minores ipfa l, —magnitudine.Maius erit itaqueprafatum ^oBQgQnum,eodemfghV.,retlangulo: con- /j /tinebit enimipfium reBagulumfghkyC^ 7partem ipfius l,magnitudinis yqua profata oBoJeBiones, eadem Imagnitudinefuntminores .Verumfi ex centro eyin unum ipfius oBogoni latusperpendicularis inteUigatur : contentumfuy ipfaperpendiculariy dimidio laterum amVitu reBa- RERVM MATHE. gulumiCidem oBogono^ger antecedentis lematis demonjhrationem ,erit aquale .Atquiperpendicularis ipfa minor efi circulifemidiametro, & dimidius laterum ambitus ipjtus o6logoni,dimidia circuferentia itidem minor :idempropterea oHogonumjJub eademperpendiculan, &dimidio laterum ambitu comprehenjumtminus erit eodemfghk, reBangulo,quodfuh circuli dimidia circunferentia ^illiusfemidiametro continetur.Sequebaturautem expramifis^quod ^maius: quajtmulimpofibiliafunt .'Non eji igitur circulus ab cdtipfifg hk,reBangulo maior . ^Quod circulus non cft minor ipfo redangulo,quod fub dimidia circunfcrcntia &c femidiametro continetur. fAIO CONSEQVENTER, QVOD NEQVE MI- 4 nor efi circulus eodem reBanguloJub dimidia circunferentia 0“fimidiametro comprehenfi .Sit enim rurfum (fi^ofiibilefuerit) difierentia ipfius ahcdcirculi,atque reBangulifg hk,prafata magnitudo l . Er eidem circulo ab cd^ circunjeribatur quadratum mnop, ipfius infiripti quadrati contingens angulos,perfipttmam quinti ekmetorum , Ipfum ergo quadratum mnopiCodem reBangulofghk) maius erit. Namper antecedentemprimampropofitionem huiusficundi libri, qualiumpartium diameter circuli efi 1x0 ,talium dimidia circunferentia efiiSS, minutorum :qua duBain 6o,partes diametri,producuntpartes ,0rminuta .QjMdratum autem circunferiptum ,ex circuli diametro in fiipfum duBo procreatum,habetpartes 14400. Auferatur igtur exeodem circufiripto quadrato maius quam dimidium,^^ drefiduo maius quam dimidium, 0* fic deinceps :donec ipfum refiduum,minusfit eadem lmagnitudine, id autemfiet,fiin primis auferatur circulus ah cd:qui maior efi inferipto quadrato,quodipfius circunfiripti clarum efiejje dimidium. "Deinde dreliquis quatuortriangulis ,quorum bafisfuntipfius circuli quadrantes,auferatur maius quam dimidiumtin hunc qui (equitur modii. ConneBaturea,circulifemidiameter ,in latus mp,circunfiripti quadratiperpendicularis :pofiea emeiufdem circunfiripti quadratifimidiameter ,qui circunferentia quadrantem ahficet inpunBo r.Ittper punBum LIBER SECVNDVS. 45 pun^um r, ipjj ahUteriparallela ducamrsrtiper^iprimi elemento^ rum.KefH erunt i^tur anguli qui circa uerticem r,peri^ 15 ipjiuf primi elementorum .Tanget itaque reHa stipjum ahcdcirculum ,in ipfo quidempunSio rpercorollarium pdecima tertij eorundem elementorum .Connexa tandem ar yqua efi latus oflogoni reguUrU in dato circulo defcripti :eadem sterit latus oSlogoni regularis ydejadpti circa eundem circulumabcd: ^rsaqualis ipjxas yperea qua ir quarti elementorum demonjhrantur. Ef cum angulus mrs,ft reflus :maiorerit ms,ipfa rs, per primi elementorum: 0*proinde maior eadem sa. TrianguUporro mrs &srayfe habentadinuicemy uthajesms &sayper primam fexti elementorum .Maius ejl itaque triangulum mrsyipfbreBilineotriangulor su :^proinde longe maius triangulo rs ay cuius hafseflarcus ar .^ttotum confequenter triangulum msty maiuserit duobus triangulis rsayrtby quorum bafesfuntarcus aryrb, Subduclo itaque triangulo mstquaterfumptoy dreli^is quatuortriaguliSj quorum bajes Junt circunferentia quadrantes: aufereturplus quam dimidium .hcdemmodo conne- ^xaes linea reSiay quafecet arcum a r punSio u,peripfum punHum \// y/\\Uy ipfia rdefcripta parallela xu;^: 1/\\ \\erit eadem xut latus fedecagoni [/ ^\af ic eidem circulo abcdcircunfcripti ,&triangulum sxmaius rehquu duobus triangulis axuyws^r, quorumbafesfunt arcusa ucir »r.SubduBo itaque triangulo su:^ oElies fumpto ,aufereturab oSlo refduis triangulis 3ipjt asrutriangulofmibbus inuicem aquaU- husyplus quam dimidiumTt deinceps in huncmodum,de catems agendo triangulis ,atqueregularibus polygonis eidem circulo circunJcriptiSy ^dpariterparibus numeris denominatis. Supponanturigtur,facilioris intelligentia caupi ,oSlo triangularesfup^cies ,inter ipfum circulum ^circii friptupolygonu regulare coprehenfa yipfa lmagnitudine foreminores. hrit igituridem o^ognum yprafato re^angulofghk hitj RERVMMATHE. td,reuocanmrin minuta oiO ,0,0,0, .Vars tandem ^fiadragejimao^aua fegmentidecimifiptimiJyaccompkBiturminutaj o, z,^iy\^,y.quaji^erquatuorfexagenarios ordines dextram uerpts reuocenturyuenentur in 0,0,2,,31,15,5. H^ec autem omnia in unum collega numeroruordine,e^iciutminutan,zy^Sy^jj 14,1,48, i03},yquajlihdudia d^rafatisgartihus 43}Cj7^minutis ip,53,35),4«» j4> 40 ,i- ^fus quinti Jegme - ti triqfli cati,relinquut partes 43 ‘minuta 1\tris. m. ?• e. i?r ^Tmluqmtifepnen.] 4.? 16 39 4« •4 40 000 |ii xij. 0II IO 48 SO 711 0°0 xviij- 00H57 II 45 048 00 173 ttS xviij. 0°°035 148 952 }0 JToco i$o xvtij. 000 0 0 18 214 35 54 [1 7o 60 60 3oxviij. 00°0005^429 4 xvif. 0 ° 0000151 13 s ]Horumfitmma. 50M4S37 14 148 10 33 HReSid ef. 14J15i/ IT 840 38 II 49 ^7 yzjiS^ly^y^Oj^ZyUndcum iz^ropemodumminutisfeptimisycitracalculiiaHuram reiiciendis,utpote qua adfummumfaciant R^- Ba igiturefefipartium 43,c^ minutorum 5,2.7,53>8,4o,38 .QMm .rurjum hoc modo colligere licebit ,Segmentumproportionale diametri ordine quartUyhahetpartes minuta 30,17,57,1,5,18; c^Jegmetum undecimumyminuta 3<?,io,47,58,i,4(j .Qtahus detraBis exprafatoJegmBo quartoyrelinquuturpartes i6y& minuta 54,17,9,4,1,31. His autemfiaddanturprafata ,^fingulatim exprejfit decimioBaui, ~atque deci~ mifiptimi figtnnijrag menta:confurget partes 16 y minuta 54, 3i,<J,5i, II, 48,10, 33 .Tata efi 1m. 2.?• ?• 1. 6,r- I? Segmentum ~W. 7l50 ^7 57 518 oj 0 Segmentum xu 0136 10 47 38 246 0oj 0 Reficimm. 16' 54 17 9425^0010 jfigmenn xviij^ 0 0 14 57 ti 45 048 0j0 hzylM^etixviij. °00035 248 95^13 ° S3«0 IS9xviq "00 0 028 214 35I54 7oao so So xvtq. 0 0 0 0 0°5«4v[ 4 55 <50 eo 60 4S xvij. °000003'"31 S tJ orum jumntd Af. '| 16 54 '3^ 651 19 21 48 °|33 Re[icjifxfe,feuef. ]45 sIvi 53 840} 38: II l4s]27 inturreBa afquafkhduBa exaefemidiametro ,relinquit efpartiu ap,yCp^minutoruyz-jyy%y^Oyi%.Quius quadratu hahetpartes iS^GyCt minuta liber SECVNDVS. 49 eg^efi^amt(^6oc:a fiaufefaturide quadratu quodfit exef^ relinqueturquadratum ipfift^ elementorum ,parttum i743jC^ 31 ^57i44i4ij5ij44>45>34i2.o,55,5<>. Qmrumradix quadratathahetpartes 4minuta 45,4,9,i8,39,<>: tanta ejl i^tur re6iafg. Hacautem duEla in 60partes ipftus hefemidiametri, c3r producum iterummultiplicatum per eafdem Copartes, ejfictuntpartes minuta 9,18, 39 ,<> ;quorum radix cuhica, efipartium^^iCf minutorumiOy-jj^/Sf., Tanta eji itaque reBak l, pernonampropojitionem antecedentis libriprimiEtproinde tota klm, •hahetpartes 106,0“ minuta 20,15,18, 50 .* quantum uidelicetper antecedentem propojitionemfextam inuentumfuit latus quadrati ipfida- to circulo aqualis,cuius diameter eftpartium 120 .Dato itaque circulo ahcdjdatum efilatus quadrati eidem circule aqualis:quodinprimisfaciendumfuerat. ^Qufdautem reSta nop,fit aqualis quadranti circunferentia ahuelad, fit aquemanifefium .Namfipartes 53 ,O* minuta io,y,4<n.iZ'^, ipfiusk.1 jducantur in partes 41, ^minuta^^, j\;^,i^,^9,6,ipfiusgfyproducenturpartes minuta ,34,4, 57,33,33,7,8,41,30 ;quorum radix quadrata habetpartes 47,eir wi- (>,55,23,4,36^, jfere .Tantaefiigiturre^ano,periofeptimi elementorum: O^otaproinde n0p,eritpartium 94, minutorum 13, 50,46,9 ,13 :quanta uidelicetinuentaefireBa aqualis quadranti circunferentia ,cuius diameterefipartium 12.0 ,perantecedentemfextam pTopofitionem. Datopropterea circunferentia quadrante ,datur re£la nop eidem quadranti aqualis: quodfeciffe conjequenterpportuit. aliter. 2^POTERIT ET VTRAQVE PARS HVIVSCE propofitionisjuia chordarum etarcuum ,reBarumue in circulofuhtefdrum, adeandem ofienfionispracifionem uelfacile reuocari. Kefumatur ergo datus circulus abcd^cuius centrum e,dimetientes «ero acO^d, in eodem centro efefe orthogonaliter interfecantes.ln quo quidem circuloyCoaffumatur arcus afgraduum ^^(qualium uidelicet tota circunferentiaeil^6o)&minutorumfexagenariorum^,/^Z3^iiZ^,^t,% .Cuius quidem arcus af,finus regiusfitfg :O* tota proinde chorda ,fiuh- RERVM MATHE, tzn^ens arcum duplum ,efioreSiafgh .Inter ipfumpofiea dimetientem hedy^ chordamfue reBamfgh,dua linea re6iafuh eadem ratione continueproportionales inueniantur,per quam lihueritipfus an - recedentisprimi libripropojitionem. Quarummaior ^ordinefecun - da,Jtt rurfitm kIm: minoruero^jiue tertiaproportionalis^nop. His ita conflruHis ,aio rurfum eandem kIm ejje latus quadrati ipjt dato circulo aqualis:re6lam uero nop ,aqualem ejp quadranti abipjius data circunferentia ab cd .^J^ereaetenim^ qua de reflis in circuloftbtenfs conjmpfmus ,nofham fnuum reEiorum tabulam minutim fdeliterquepipputatam,Jinus reflusfg ipfiuspropofti arcus afhabet partes i\.i{qualiumfemidiametereEi 6o)& minuta , 6'. quantam uidelicetproximo calculo offendimus ipjdmgf. Ef quoniam pmidiameterb eJupponiturpartium COiCritrurfum kIpartium^^y ^ minutorum loij,^j^,zy.reila uero nofmiliumpartium minutorum <fj55>i3,4,3<>,3o. Cum enim extremapnteadem quaprius :^ ipfa mediaproportionalia kl^no» aprius inuentapartium ^minutorum LIBERSECVNDVS. 5c nutorum quantitate non dijarepahmt .Tota igitur klm^ eritrurfum ^artiumioC^ey^minutorumio, iZ%3<j^o:KeBauerono^ Jimilium fartium 30^minutorum^i^Oi 4(>j 9, 13 .Etproinde reHa klm, eji latus quadrati ipjidato circulo aqualis^ip/d uero nop, aqualis quadrati circunferentia eiujdem circulijperea qua nuperdeduilafunt, & antecedenti/extapropojttione confirmata .Vtraque i^mrpars huiufce propofitionisfit rurjum euidentifiima. CIdem rurfum aliter . ^fIDEM QVOQJ/E LATVS QVADRATI DA- to circulo aqualis, utpote klm ohtinehitur :fiarcus akJumptusfuerit graduum 62. (qualium ,uelim intelligas ,tota circunferentia eB^6oJ C^' minutorumfexagenariorum 23 ,25, 2.8, 50 -Quoniam huiufcemodi arcusfinus reHus kl, per nofiram de replis in circulo fuhtenfis traditionem, efipartium minutorumxo 44, 25 .* quaduplata,efiiciuntpartes 106 ,cpr minuta zo , , zZ ,:quantum uidelicet nuper inuentumfuit idem latus klm. ^T^tfi coajjumptusfuerit arcus an graduum^\ 3^minutorum ,30, \o,(inusre^ Slus n0ipfius arcus an, expraallegatofinuum reSiorum calculo ,confiatfartibus ^minutis (f, 55, 23,4,3^, 30 ;qua dupluta 3con- ficiunt totam nopquadranti aqualem 3partium minutorum 1^3^0,463 ^3 13 .Quamfacilis i^tur3g^ methodicafit utriufque harum duarum reBarum adinuentio ,cuilibet dextro leBori relinquimus diiudicandum .^Qhorda itaque arcus \z graduum 3minuto- rum 4(j ,50, j7, 40 jeBlatus quadrati ipfi dato circulo aqualis :qua autemfubtendit arcumioi graduum, ciy* minutorum isf,11,11,03 20, quadranti circunferentia eiufdem circuli coaquatur .Hincfit, ut ex unaquaque harum triumpartium ,quemadmodum exproxima colligitur propofitione 3gminafuboriaturcirculi quadratura .'Namfiex reBa kIm uno trium modorum adinuenta, dejeribatur quadratum rkms3illud erit aquale dato circuloabcd. Autft inter dimetientembedg^ reBam nop 3mediaproportionaliseliciatur:eaeritlatus quadrati,quodeidem aquatur circulo. *^ PROPOSITIO VIII. RERVM MATHE. Irculo iterum dato, kcusqiiadrati eidem circulo squalis, cxfegmcntis proportionalibus ipfius colligere diametri. CfN PRIMIS IDEM QUADRATI LATVS, i perfoUmproportionaliumpgmentorum dimetientis ipfus circuli elidemr compojitionem ."Namjiprimo ^maioriplento ,iungamr ternum, und cum dimidio pxti, atque dimidiofegmenti decimi, necnon ^quartaparteferenti ordinefedecimi, partepxagepma dimidij ferentidefimipptimi, atque centepma nonagepmafecundapartis decimioEiauifegmentipartefexagepma ,&parte demumfexagepma alteriuspxagepma unius nonagejtmafextiepartis etufdem plentidecimioBaui :conflabitur tandem reBa quadam linea ,cuius quadratum aquum eflipjidato circulo . ^Kefumaturenim ob oculos, tabella pgmentorumproportionalium ipflus dimetientis ,quam in demonflrationem antecedentispeundapropoptionisppputauimus: nefufficienter expreffam ipflus dimetientis partitionem ,toties inculcare uideamur. clarum efi igiturexip/a tabella ,pgmentum maius ^ordine primu, conflarepartibsfs y^(qualiumippdiametereflizo)^minutispxa~ genariis ,40 , 59 ,18,14 :tertium ueropgmentum, haberepartes 2.8,6^minuta i5>,4i,zj ,58,3(?, iS.Dimidium confequenterfegmenti ordinepxti,CDntinetpartes 3,^ minuta 20,57,1 <>,2,47, 4;ipflus decimiplentidimidium, hactantum minuta comprehendit ,29 ,iS, 12 ,49 ,8,35 .Vnumporro quartumfe^Tienti decimipxti ,eB minutorum 0,48 ,,^,45,55, 30. Etdimidiumpgmenti decimipptimiihaccompleBitur minuta i,0,29,14,9 ,19 :quorumparspxagefl- 117-jq?: majeuocatur SSeomerUummaius, /• 1Se^tientumordine Hj- \D^midfup^meti <;^ IQ^ittfiars xvi. LIfeffsmti xvij. Ilo IS, xvtq. 74 28 3 0 0 0 0 0 9^0 19 41 2C37 29 16 048 0l o[ 0 oj 0 40 21 16 12 P 0 0 0 59) 1» 58!;« 2-147 4si 8 «45 29 [14 23 ZI 046 14 28 4 31 55 9 l 0 0 0 30 t$ 44 o[ Ij0,29,i4,i9, o\^.Vars deinde ‘^1 pxagepma no '^1 nagepma p~ ^^1 eundapgme- 15I tidecimioBa- \LdttiS quadrati. io6 20i id 28 49 59 ij 39 4i\m,fryhisci>- tinetur 5* LIBER SECVNDVS. tinetHrmiriHtls 0,0,13, Cyiy.quortimjexagefma^ars etfdem ex~ ^rimiturnumeris fjedper unicum ordinem uerpis dextram reuocans. Nonagejtma denitjuejextagarsigjtusdecimic^aui/egmenfi ,hac ha^ her minuta oio,4<j,45,44jI3 :<^ua his dextram uerjuaper Codijlrihuta yuertuntur in minuta o, o,o,o,4<> ,43 ,44 ,13 .H.fc autem omniaJimul iun6la ,in unumuecoadunata numerorum ordinem, con - fiduntpartes 106 ,minuta 10 ,15 ,i8 ,50 :deefi enimfolummodo iminutum quintum ,reprajentans unius integrapartis ,ex ui~ dojb irrationaliumjegmentorum ,radicumue non quadratarum calcu^ lo de necejlitateprocreatumyrelatione (nedum aliquidfiat)prorfus indignum .Atqui totidempartium atque minutorum, repertum eji latus quadrati,ipji dato drculo (cuius dimetiens eflpartium 60) aqualis,per antecedentis/extapropofitionis demonfirationem .Satis gitur huicpropojitionifa6lum ejje uidetur . ^Idcm aliter. ifIDEM PRAETEREA LATVS QVADRATI ipfidato drculo aqualis,exprafatispgmetispr^oportionalihus diametri, in huncmodum colligetur. Sit itaque datuspmidrculus ahc:cuius diameterac in totfegmentaproportionalia g^eodeordine dijhihutapartiatur,ut inprgfatafecudapropofitione luculeter €xprefiimus,&^pria eorundemfegnentoru tahella continetur .Suhtedaturpojhnodum reHa qufddlinea ch,qua confiet ex refiduofemidiametri:fuhtraBa inprimis quartapartefegmetiproportionalis ordine quarti, g^ dimidio nonifegmeti,atq;fexagefimapte dimidijfe^etidedmiquarti, g^parte infuper fexagefima unius terti§ptUfegmeti dedmi/eptimi ,g^fexagefima itide RERVM MATHE. fte unius quadrageJim^ffartUpgmeti decimioSiaui,undcufeXeig€jima gte uniusgartisfexdgejimg alteriusfexagejim§ unius decim§gtisfercti ordinefedecimilEt coneSlaturdemu ablinea reEla: qua aiofore latus quadratiiquod igfdato aquum eflcirculo.^Claru eji enim(ut idjolito numeroruprobemus examine)exfepius allegatofgmentoruproportionalium ip/ius dimetientis calculo ,unum quartumJegmentiproportionalis ordine quarti,haberepartes minuta ix, dimidiumfegmenti noni,hacfolum minuta continere o, 47 , 48,p,^S.Dimidium autemjegmenti decimiquarti,hahetminuta 4jiC, 13,41^13^1 :quorumparsjexagefma,eofdem compleSUturnumeros,fed perunicum ordinem dextram uerfus reuocatos,in huncmodum 0,4,1^, 13, 41,13,1 .Vnumporro tertiujegmenti decimijeptimi ,fub his continetur minutis,o,j^o,i^,x^3i6,\x, 40 :gy' horumparsjexagejimajub his o,o,40,i5>,i5>,i(3',ii, /^o.Qupdragefma deindeparsfegmenti decimioSlauiyhac uidetur habere minuta 0,1,51,8,58,7,3^: qua difributajemelper 60 ,reJUtuunt minuta o, 0,1,51,8,58, 7, 3(> .Ipfus deniquefidecimijegmentipars decima,his minutis exprimitur o,ii> ,34,,41, fere: qua teruerfus dextramper 60 dijhibuta ,reuocanturmminuM: o,o,o,o,i5>,34, 1^,41 .Hacautem ommafUtomore in unmtco.mpo-^- hta numfivA- ftep 4 ,0 0 0 0 11 3« 47 4 0 Q 0 I: 21 16 40 .I 0 4* 15 3^ 1-3 19 5^ 0 1- 3' 48 41 29 8 15» ,3^ i9 9 x6 34 - 3° 5« i h 0 0 40 3^ 42 j rum ordinsj, effkiiit partes 4, »tf nuta 13, 19» 19» ?7>58 > 41. 15 ’58* quibus detra ^figmtnri iiq. 1jegmcnd ix. kl 'XUq. 'ssl XVj W40 XYiij . XVi. 0 : 0 \Horum/umma. 55 3^ ^9 30 17 ^7 41 ^Refidaum de 60. 40 41] I18 4^ CtlS ex 60. partihusfemidiametri ,relinquunur partes 55 ,g^ minuta ^6 ,30, 40, 41 ,I, 18 ,fere. Tantaefi igitur reBa cb: cuius quadratum habetpartes ,g ^minuta 18, 17, ,^4yferh deficiunt enim circiter x-j minutafexta,quafaciunthmkla loy gst* reducunturad unius integra partis yexfapius allegato irrationalium calculo de necefitatepeccantegeneratum .Qtiadratum porro quod ex cbyjubduStum ex quadrato dimetientis ac: relinquitquadratum ipfius abyperotjprimi elementorum Subtra6lis ergopartibus ^o^Xygsr minutis LIBERSECVNDV5. 5 nutu iS >2.y ,4^ 334 ^^T4400 ^anibtis quadrati ipfius dimetientis ac:relinquunturpartes 11^oy, &minuta ^i,^x^\%iZ 6.Tantumejii^turquadratum3quodexa hreBade- Jcrihitur .Atqui totidempartium atque minutorum inueta ejiarea 'drculijcuius diameterejipartium 110 ,per antecedentemfextampropojitionem. Manifejlum eji i^turiVeEiam ahefje latus quadrati^quoddato aquum eficirculo.Qmd rurfumjujceperamus inueniendum. ^Idemrurfiim aliter. 3cesto RVRSVM DATVS SEMICIRCVLVS ahciCuius centrum d,^ diameter adc, in quemperpendicularis incidatpemidiamster dh :jttqite latus circunferipti quadratiehfjiUiufque/emidiametri deatquedf.Etdiui^a dediametroin totfegmenta proportionalia ,&eodem ordine dijhrihuta ,uelutifecunda huius hhri propojttione diSlum atque ohpruatum extitit ijecetur ex ipfdh ereEla quadam linea hg,quafit aqualis dimidiofegmenti minoris ipjius ddametriyg^ dimmoje^entiproportionahs ordine quartiiautfegmento tertio, 0*dimidiofextifegmenti proportionalis eiufdem diametri :minus tamenfexagefima parte ipjiusfegmetiproportionalis ordine quarti ,atqueparte itidem fexagejima medietatisferenti duodecimi, 0* parte infuperfexagejima unius quarta partis quindecimi ferenti, detraSla priiis eiufdem pxagefmapartis parte rurfum fexagefma. Etconneflatur dg linea reEla ^qua fecet circunferennam ipfius cir^ culiinpunEloh .Confequenter ,perpunElumh dimetienti ac atque ipftefparallela ducatur hl> qaa utrinque produEia, contingatde. RERVM MATHE. <itque dfjemidiametros inpunSlis n. Er/f enim mnreflay Utus quadrati i^Jidato circulo <x(jualis . CKefumanturnanqueexjecunda huiusprofojltione ,fegmenta proportionalia dimetientis ,in partibus qualium ipfe diameterefi 12.0: uelutobieSla tabella continetur. Dimidium itaquefegmentiminoris ipjtus dimetientiSihabet partes 2.2., minuta 55^4^39 j30^ 2,0 ,53; 0‘ dimidium fegmenti ordine quarti ,partes 8,minuta 45, iliS^%,^\y^t^<).QuajimuliunBay efficiunt partes-^i ^minuta 40,18^38,1,23,31. idemetiam coUigeturfx^partesyg^ minuta ip, 41,11 ,58, 3<>, 28 ypgmenti ordine tertij ycomponanturdimidiofextife^entiypartibus uideliceti ygfr minutis xOyyjyiCy 2,47,4; confurgent enim rurfum partes 31, minuta 40 ,18,58, 1,23,32. Quartumporrofigmentum proportionale, eli partium ijy&minutorumiOyZjy^-jy^y^yiZ: quorumparsfixagefima filUuidetur conflare minutisyin ^««cw^)^/»w,o,l7,30,27,57,1,5, 18 .Dimidium autemfigmenti ordine duodecimiyhahetminuta n,io ,48 ,50,7, ixNnuminfuperquartum quindecimifigmenti ,efl minutorum i, 10,43, 50, 35 ;quaperCofilitomore dfhributa yuertuntur in minuta <t>3iy^9yiOy^^ j50^35 .Hiporro tres minutorum ordines in unumcompojitiy conficiuntminuta 17 ,42 ,57,5<»j3<?j3 »5.* ^quibusfidetrahatur prafata fixagefima pars unius quartifigmenti quindecimi iterumper 60 difiributa yqua erit minutorum 0,0,1, 15),i2,43,50, 35 ,relinquenturminuta 17^41, 5(>, 37^ 2.5, ,14,15. QuafubduBa exfupradi^is partibus y^minutis 40,18,38,1,13,31; relinquunt partes yiyg^ minuta i%y^<^ySf\, ,fere .tanta efi igtur ipfdbg linea re6ia :cuius quadratum habet partes <>84 ,g^ minuta, 15) ,13 ,18, 2.1,33,57, 36. Quadratum autem ipfiusdbfiemidiametriyeli partium ISegmentaproporaonaliadia- II metri,partium 120 . 12. I- 4- ?. tf. 7-| i'• 74 9yo 40 y^ 18 14 4TTo 919 041 4<f o( I» 19 41 21 fS 3^ 28 1"f 17 17 r? 2y18 IO 49 13 Hy^ 3^IO 1641 14 32-34 , tw 47JS •yi yo 17 2°i! fi-piV iIf 39 H37 s01 IH43 j3S19 y^ 031 3^17 IO “1 II XI. 3^IO 47 58 144 0 Parf 022 2t 17 40 14 i4®| ”7- 0M49 10 17 48 22 /xuif. 0827 2Z 2<f 2°! i;05IS 42 yy 22 20 01 If *»>». 1013ly 44 i742 01 fxy^- '0i058 28 18 38 01 Ixyiii- 0I14 4yt8 4f40|j 14(fudni. \Horu7np Ammi. j| Se^entum lij. \\fegmenti vi. Iflor-AmfummA . iiTfe'»'»" ."? xij. IXV. jHorumfummA. jRejtd-AHmpnmu. I^b». LIBER SECVNDVS. (^1 m. I •1 ssl 4! 31 30U0I 8!45I bI 58 3‘[ ^1 i3r[4r»| i8|3j 11231 .i8 I?! 4i| ii y8| 36 i :_3 ^Ij7lj.^l_il 47 _ Jil 4°l 'S j38I i| i3| : Io17 13o| i/l 57 1 .j OOII }loj 48 50 .j_o _o ^)j9|jo _43 J 4ilS7| 5«! 3S_ .' o o otIj19 ]IO A .o| 17 -iA 5'Si 57 I " 31 Izz 35|4i|24|fti-f. 53 pdniu-^ 6oo. Hi£C alite fmul iunBa, conjiciutpartes minuta 157, Z3,i8, i3,iz, 353 57 >3<^- quorum radix quadrata, uerO:,quatu arspatitur numerorum. proxima,ejlpartium minutorum ^z,-^j,^i,^i.Tantaefiippi dg, per^y primi elementorum :rePius efienim angulus qui fuhdbg. 'Et quoniam triangula bdg0^h dl, funtinuicem aquiangu!a,per 2.^ g^T* 31 ipjiusprimi elementorum-.efl igiturperquartamfexti eorundem elementorum ,utgdaddb ,Jich dadipjam dl ."Ducdturergoh dindh, fentpartes ^6qo (nam utraque ePi femidiameter,proindepartium 6o)qua diuifaperpartes 6y,&minuta reHituuntpartes minuta 10,7,44,25 .Tanta efiipft dl,peruulgatam 4propor- tionalium regulam-.cui utraque ^ml&lnePiaqualis .Ettotapropterea mneflpartium io 6,& minutorum 20,15,28,50 ;quantum uidelketinuentum efl latus quadrati circulo aqualis ,cuius diameterefi partium 120 ,per antecedentemJextam propojitionem .Ejligitur rePla mnlatus quadrati ipji dato ci rculo, cuius dimidium efi ab c,aqualis. ^Iterum idem aliter. 4fIDEM PRAETEREA LATVS QVADRATr ipjidato circulo aqualis ,in huncrurjumpoteritinueniri modum. Re- Jumatur ipfius dati circuli dimidium abe, cuius centrum d,dimetiens adc.Effubtendaturipfiadfemidiametro aqualis ah,hoc efi, latus hexagoni aquHateri aquianguli in dato circulo deferipti: ggyconePlatur rePla bc,qu^ efi latus trianguli aquilaterifimiliter g^aquiaguli in eodem circulo defaipn .Diuifipofimodum ac dimetiente in totidem figmenta proportionalia ,eodemprorfus ordine dilirihuta. RERVM M ATHE. fESTO RVRSVM DATVS CIRCVLVS AB C, 4 cuius centrum d, &diameter acdiuifus ^rojyortionaliter inpunSlo una cum ehperpendicularijuperac: ut inpracedentihus diBum atque ohferuatum fuit circuli quadraturis. Et diuidaturjegmentumdeproportionaliterin punBofy cuiusfigmentum maitisjitdfy minusuerof e,perfipius allegatam ^ofiexti elementorum .EtperfipunBum, ipfi ehparallela ducaturfg,per primi eorundem elementorum .ConnexatandemaglineareBa yfultendaturiUiaqualis ah, quafiecetehre- Bam in ipfi punBoh .Quoniam ehreBa, erit dimidium lateris eius quadrati ,quodipfidato aquum efl cirado .Secentur itaque dkgp* d lycidem ehaquales :&ex ipfia k/quadratum ipfum defcrihatury quod fitkmln. CDETVR CONSEQVENTER IDEM CIRCV- , Ius ah CyCuius centrum dy dimetiens uero ac, diuifus (uelutifiepius di- Bum efl) proportionaliter in punBo e, cuiusfigmentum maiusfit ae. LIBER SECVNDVS. ae,minusueroec:cni aqualisficeture f. Etere^o dhJemidiametro juperacq>erpendiculari ,ipjiafaqualtsfuhtendatur, coa^temruehg, Verpunilum deindeg,ipjt dimetienti acparallela ducaturgh,quaJecetd hfemidiametrum inpiiSio h. Nadheritfemilatus quadrati,quod ipji dato coaquaturcirculo. Viat igitur utraque dk.& dlaqualtsipjt ah: &ah ipja k/dejcrihaturipfum quadratum hhmleidem circulo ab caquale. ^CSIT VELVT ANTEA DATVS CIRCVLVS ahci illiufque centrum d, ^diameterac:cui quidem circulo opera^ pretium jit dare quadratum aquale .Diuidaturitaque dimetiens ac' proportionaliter in punHoe 3cuius figmentum maiusJit rurfum af, minus autem ec: erigaturque perpendicularis eh .Connexa deinde ah linea re^la ,fuhtendatur latus quadrati in dato circulo defcript't,Jit(3Ue illudfg dimetienti acparallelum :cuius interfeBio cum ipja e%perpendiculari Jit h.£f conneBatur chlinea reBa, kiij RERVM MATHE. ^uain dire^nm ^roduSla ad partes htcadat inpunilnmV.ipJiUSah lineareBce. Connexispojhnodum dfcrdgfemidiametris, 0^ in continuum direHum^uegroduBis U€rfusl0 w, reBum comprehendentibus anulum quifuh ldm:fecentur dl0dmaquales ipji ck.Conne- Bamrtandem re6la Im, ex qua dlejcrihatur quadratum Imno :siiud enim aquabiturdatocirculo ah c. quemadmodumper aliquam antea demonjhratam circuli quadraturam, confirmari uelfacilepote^i. fRESVMATVR ITERVM CIRCVLVSABC, cuius centrum e,dimetientes uero ac^hd^ ad regios angulos circa idem centrum eyfife inuicem hifariam difejcentes. Subtendaturitaque latus quadrati meodem circulo defiripti fg, ipfidiametro bdparallelum :quodficet aefemidiametrum inpunSio h .Lt diuidaturfhproportionaliter inpun^o k, cuiusfegnentummaiusfitfk. ,minus uero kh.Connexapoilmodum eklinea reHa ,fceturilli aqualis e1:0 conneHaturdemum reHabl.lpfiautem blaqualesficetur em 0en, LIBER SECVNDVS, adangulum reflumfuh me nconjtjhntes. Nrfm connexa mn Unea re- 6la,erit latus quadrati ,quod dato aquum e^icirculo. 8fEXPONATVR TANDEM PRAEFATVS CIR- culus ah cd,cuius centrum e, dimetientes uero acO^b d,in eodem centro e ad reBos fefe inuicem dirimentes angulos .Erfubtendamur af &bglinea rena ,ipji aejemidiametro aquales :qua fefe inuicemfecent ingun6lo h.ConneBaturdeinde helinea reBa,qua direBe pro - duBa adpartes e>uerfus i0‘ ,contingat circunferentiam in ipfo punBo k.KeBapoBmodum hkbifariam dmidatur in ipfo punBo i: ^dimidia parti hiueliky aquales fubtendantur flatque gmyin femidiametros aec^eb coincidentes, 'Erit enim utraque eIg^ emydimidium laterispropojtti quadrati ,quod ipjt dato aquaturcirculo . S^- centur icture ng^eoy ntrique ipfarum elg^em aquales: &exipfaln aut mo quadratam defcribaturlmno :quod 'ipji dato circuloabcdy ex praoflenfis circuli quadratura aquumeffe conuincetur. rERVM mathe. PROPOSITIO X. Ato quadrato, inucnirc diametrum, aut iemidiametrum circuli, qui eidem quadrato uerrauicefit «qualis. fO^EMADMODVM CIRCVLVM, IN QVA- dratum aquale multifariam remeare docuimuSyfedato quadrato circulum aqualem uerfa uice nitemurdefrihereddque compendiaria rurfum,atqueperfeje manifefia traditione jut inproximis diSlum atque ohfruatumfuit circuli quadraturis, ^Sit igitur inprimis datum quadratum ah cd,cuius diameterac& bd,fe diuidant hifariaminpun- * Boe .'E.tabfcindaturexablatereparsilliusfptima^pernonamfxti elementorum yquaftaf. Ipfipojlmodum afiaqualtsfceturag, per tertiamprimi eorundem elementorum . Er centro e, interuallo autem egi circulus deferihaturgh k/;quem aio aqualem ejfe dato quadrato ab cd. Huius autem quadrati circulaturaprobationem ,autnumeris LIBER SECVNDVS. nf examinandam, autjnius demonjhrata circuli quadraturi confhen^ damhreuitati caufa relinquimus. Si enim circulo gh kl, aquale quadratumgerantecedentiumprogojitionum dejcrig feris,offendes illud da- to quadrato abc dadamuffim conuenire. CSIT RVRSVM DATVM OVADRATYM A hcdyCHius utrunque latus ahe!^ cdbifariam diuidatur, per decimam primi elemcntorumta hquidem inpunlioe, ^cdinpunllof. ht connexa eflinea relia (qua erit aqualis unicuique laterum, &ipfis ac^ bd^araUela)ea rurfum bifariam diuidatur inpunflog. Dimidium confequer,terlater]sab,hocefae, diuidaturproportionaliter,feu per mediam &extremam rationem in punflo h,cuiusfegmentum maius ftah ,minus uero he:quod rurfum proportionaliter diuidaturin punflo k, cuiusfe^ientum maiusfte \i,minus uerofegmentum kh:cui aqualisfeceturhl.Nam connexagllinea refla,eritfemidiameter circuli, qui dato aqualis efi quadrato .Centro itaqueg, interuaUo autem RERVM MATHE. gl» circulfis dejcrihaturlm n,quadrato abcdac^ualis. fESTO RVRSVM DATVM QVADRATVM 3 ab cdic^diuidaturbclatus hifariamin j>unflo e.Voflea dimidium latus beproportionaliter diuidatur in ^un^ofy cuiusfegmentum maittsjitbfy minus uerofe: quodrurjum diuidatur proportionaliter in ^undlo gycuiusfegmentum maius fg» minus uero Je^entumge. Dimidio tandem ipjtusge ,aqualisfecetur eh: connediatur ahlinea reBa^quam aio ejje diametrum circuli, qui dato quadrato efi aqualis. DucaturigiturpermediapunBaip/orum ab ^cdlaterum, reBa quadam linea Im ,ipjis adg^hclateribusparallela: cuiuspars ihter prafata ab &cdlatera comprehenp.,bifariam diuidatur inpunBo n, fechque nlipfam ah in punBo 0.Secentur tandem nlg^nmdimidioipjiusa haqualesyhoceflyipjiaouelo hinam eademlm,diuidetbifanam eandem ahin ipjo punBo0.Et centro n,interuaUo autem nl autnm 3circulus defcribatur Ip tn :quem dato quadrato abcd, per antea LIBER SECVNDVS. anted demon^hratas circuU quadraturas ,haudduhie offendetur fDETVR ITERVM QVADRATVM ABCD ^in circulum aqualem reducendum .Ipjum et^o quadratum ah cd^ in 5quatuor quadrata 'inuicemaqualiajfub reBis ac&h dfuhdiuidamirfuhtendaturque latus quadrati in eodem quadrato dejcri^tiffciliceta h. Diuidatur confequenter ehreBa qua eBaqualis dimidio lateri eiufdem quadrati )proportionaliter inpunBof^ cuius fegmentum maius Jltefy minus uero fegmentumproportionalefh :quod rurfumproportionaliterdiuidatur inpunBogy cuiusfegmentum maiusfit hg, minus uerofignentumgf: quodbifariam diuidatur inpuHo h.Dimidiapofi^ modum ipfius eh^utpote ipfi e k, autk. h^aqualisfecetur al:&conne~ Baturdl linea reBa^ qua in direBum produBa uerjusly cadat in laterispunBum mifecetque reBam abinpunBo n.Si conneBatur ergo tandem reBa emjUa offendetur aqualis ipfib n: 0^ utraque eritfi - rnidiameter circuli ,qui eidem oblato quadrato coaquatur .Centro RERVM MATHE. icture ,imeruallo autem em ,ad ^uantitatemue ipjiHs hn ,drculus defcrihatur mo p:cui fiperfextam yfeptimam ,uel oBauam pTOpofitionem aquale cjuadratum defcrihatur, id dato quadrato ah cdad amufjim aquale comperietur. ^EXPONATVR RVRSVM IDEM QVADRA- tumahcd, cuius dimetientes ac^hdfefe inuicem bifariam ^ad reSios angulos diuidant in punSlo e. htdefcrihatur quadrans circun^ ferentia infcripti circuli ,quifitfgh :conneBaturquefhlinea refla, qua erit latus quadrati in eodem circulo defcripti .Suhtendaturpoflmodum refiafd^quaficet eundem circunferentia quadrantem in pun~ flo^ig^ conneciatur hklinea reHa .Ipfideinde hk,aqualisfeceturhl: ^conneciatur reCla el, cui aquatufecetur em.^idem ntrfumh^S-^feuhl, aqualis ahfcindatur mn, perfapius allegatam tertiamprimi elementorum .'Erit enim emfemtdiameterchculi, qui dato quadrato efi aqualu.Centro igitur ejnteruallo autem en,defcrihatur ipfe circulus, quifitnop: ut in ipfa contineturfigura. Voterit LIBEK secvndvs. <?fPOTERlT ET IDEM SEMIDIAMETER circuli, <jui dato quitdrato efta^jualis 3aliter rurfum obtineri ,Sit igi^ tur oblatum uelut antea quadratumabc d3cui expediat aqualem dejignare circulum .Qircunfcrihatur igitur ipji quadrato ab cdcircunjerenna quadransafd, und cum eidem circulo uel circunferentia quadranti circuhfcripti quadrati lateregf hipji adlateriparallelo ;in quodquidem latusgfh,dati quadrati femidiametriea&*ed,conue~ niaminipfipun6lasi&‘ h.ConneSlatur poflmodum reSla ah3qua fecet eundem circunferentia quadrantem afdinpunflo k;&conneflaturre^a dk^cuiaqualisJecetur dl.t^am connexa demum reHa e/, erit jemtdiameter circuli, quiipfi dato quadrato efl aqualis .Centro icture, interuallo autem e/, circulus ipje defcribatur3quiJitlmn .Yt igiturproxima quadrati circulatura, perin/cripti circuli quadrantem abfoluitur: hauddij^imiliterhacyd quadrante circunfcripti circulipendere uidetur. l R. ERVMMATHE. cidem rvrsvm obtinebitvr, si re- 5 jumptopriori c^uadrato hk.1, latere hkinJe^enta proportionalia uelut antea difiributo ,latus ahipfipunSio s3relit^uum uero latus hc punSio ljtmulapplicetur ,&eleueturpaulatim angulus refbss <jui ad b3immotis fempsr lateribusgnomonis abeifdem punflis s^l:donec idem angulus qui adb,cadat infupremum quadrati latus quodpern punHum ducitur.Namjeciio lateris ab cum reBa omin direBumproduBauerfusm, quajttrurfuma Imitabitpropofti circulijemidiametrum 0a.^QjiodJireBa 0Iproportionahterdiuidatur infi^op 3cuius /ementum maiusJitop 30* minorifegmentoplaqualisfiatou 3con- neBaturquepulinea reBayCui rurfum aqualisfiat It 3e:^ab ipjopun- Bo tperpendicularis excitetur tb :erit eademperpendicularis tbfijupra quam direBe locanda efi bglinea reBagnomonis abci^ ipfiusgnomonislatus bcper punBumlfimul traducendum. Tuncenimlatus ahfecabit (uelutantea)prafatum circulifemidiametrum oa:nec opus eritaliquo modo diuidere latus hk. diuidet autem ipfaperpendicularis^ dejcripti circuli diametrumproponionaliteTiin ipfopunBo t. PRO- LIBER SECVNDVS. PROPOSITIO XII. «^5 Enefido lateris pentagoni, atque heptagoni reguiarisjin dato drculo deferipti ,quadratum eidem circulo aequale,modis hactenus inauditis colligere. ^QVANQVAiA. PRAEOSTENSAE CIRCVLi ^uadratura,unicuitjue rerum mathematicarumJhtdiofi (quantumuis etiam dijficiUjfatts ejle uideanturialias nihilominus excogitauimus adinuentioneSi quihus rurfum datus circulus in quadratum aquale multifariam reuocatur, Qu^huicfecundo lihro ,commodifime cenfuimus anneflendas.-utpote, quaftudiofis omnibus delegationem cum admiratione caufabunty ^nofhra tum diligentia, tum dexteritatisfidemJiimulfacerepoterunt. ^Sit igitur in primis datus circulus ahc, cuius centrum e, in quo dimetientes aeg^hdfefe orthogonaliter interfecerit* RERVM MATHE, Diuidamrergopmidiametere If^roportionaliter, /eu media ^extremarationejinpunSiofyCuiusfegmentummamsfitefjper^o pxtiele~ mentorum :gT conneSlatur aflinea re^a jqua efi latuspentagoni regularis in dato circulo dejcripti .J/pdeinde afaquales pihendantur, coaptenturue ag^ah yperprimam quarti elementorum :&conne- Siaturreflagh,quapcetdiametrum acinpun/loh, Qonne/laturinfuperreElag c:cui aqualisfeceturex ipjdghy per^primi elementorum^ quafthl.Keliquapojhnodum Ig aqualispcetur ipftg c^quf Kepduf tandem mc, §qualisfubtendaturex pu/h cinfemidiametrum ehyqufptcn.Nam reBa enerit dimidium lateris ipfius quadrati^quod dato equum efl circulo .Dupletur ergo en»0* defcrihaturipfum quadratumyUt infigura continetur. fPOTERIT ET IDEM SEMILATVS EN, IN t huncquifiquitur modum obtineri .Kejumanturfngulapartes ipjius antecedentis figura ,demptagclinea reSla :fitquefiliio ipfius afeum reHaghypunBum.ttdiuidaturfemidiameterecbifariamin punBoo, LIBER SECVNDVS. ca Jfer tofrimi elementorum :atqueper ii eiufdemprimi, excitetur reBa opfupera cdiametroperpendicularis ,qua efi latus hepta^oni regulartsin dato circulo defcripti.lpjipojhnodumk. mlinea re^a, aqualisfeceturex eadem op, quajitpq.l^amfi expungo c,peripfumpunSlum q,in femidiametrum eh, reSla coextendatur lineaiilla rurfum coincidet in ipfumpunSlum n,deJignaUtquepropterea idempmilatus enipjius 3propojiti quadrati.^Adde,quod eadem reSla cn, bifariam diuiditurin ipJopunHo qiutraqueproptereacq &qn,aqualis ejl ipfk l. Etproinde eadem klduplata,^Jubten/a dpunSlocperpunilumq, coincidetinipfum punHumn .Viincprafatumjemilatus enypoteritrurfum def gnari:atque eo duplato, dejcribi quadratum aquale circulo dato,ut ^habetur inf^ura . ^Idem quoquefemilatus quadratiprafato circulo abcdaqualis ,in huncobtinebitur modum .Auferatur ex afinfcripti pentagoni latere,re6iafr,quafit aqualis ipfiglt Quoniam reliqua ar, jipfi dimidio lateri en adamufiim aquabitur. ^Aliter rurfumprafatum latus quadrati dato circulo aqualis obtineripoterit.Kefumaturergoprafatus circuius abcd, cuius centrum e, dimetientes uero acg^b dyorthogonaliter ^bifariam(efe inuicem dirimentes :undcum afin- Jcriptipentagoni latere,cir iUi aqualibus ag^ah,atquefubtenfitg h, qua(ecetrurfum aefemidiametrum in punSlok, g^ipfamafinpun- Bo m:fitquefemidiameter ec bifariam diuifus inpunUo o, ut inproxima defcripiione .Et diuidaturebfemidiameter permediam &extremamrationem,inpunBor ,cuiusfigmentum maiusfitb r,peripfam 3 o fixti elementorum. Es:punHo deinde o,peripfumpunHum r, in re- £lamghyCxtendaturoslinea reila. Namfiab eodempunHo o,infimidiametru eb,reHafubtendatur ipfi osaqualis: coincidet rurfum eadem reEia in ipjum punflum n,eritquepropterea reEla enfimilatus ipfius quadratipropofiti .Defiribaturi^turipfitm quadratu,ex dupla ipfius Ceniutinjequentifiguracotinemr.^Aliarurfum uia,g^ admodum copediofa,prafatumfimilatus enefficieturmanifefium. Namfiex reEia, figmentoue diametri ok, tertia parsabfcindatur,pernonamfixtielementorum,quafit ot:eriteademparsot,aqualis ipfi fn.Etproindefigmentum maiusproportionalefemidiametri ,utpote ef,iunElum ipfiot, conficit dimidium larus quadrati,quod dato circulo efi aquale ,hoceU, ipjam en: &cuius dupla ,idem quadratum (uelutinfigura obferuaturjde/cribendum ejje uidetur. RERVM MATHE. fHAVD MINVS FACILE, SAEPIVS EX-^ ^rejjum Utus quadrati aqualis dato circulo ,ex iam defcriptujiet manifejlum.Kefumaturenimprofatus circulus abc d^una cumjuis dimetientibus ac&‘b dyUtque re^u af^ag^a h^atquejubtenfk qua fecet rurfum aefemidiametrum inpun^o k, ipjdmuerorelldmafin punHo l.Et diuidaturflproportionaliter ,feupermediam &extrema ratio^^em yinpunElom ycuiusfegmentum maiusfit Im.lpjt autem am aqualesfubtendamuraoap. conneBaturque reUa opyquafecetae femidiametrum in pun6lo r. Erit enim opreSldy latus quafiti quadrati dato circulo aqualis :^utraque or elT rp yaqualis ipfi dimidio lateri en. Defcribatur ipturex ipjd opreSla quafimm quadratum ,ut infi - gura .Cidem quoque latus rurfum obtinebitur,fi connexa ellinea redla,eidem aqualisfecetur ex aejemidiametro ,dpunflo quidem auerfus e, quafitar: ^perpunflum r, ipfi diametro b dparallela ducatur opyper^i primi elementorum. Aequalis efl enim elipfiar. ^Adde rurjumyquoddpunHo r, alterutro duorum modorum adinuentOy infe~ 9 midiametrum LIBER SECVNDVS. midUmetTHm ehfhhtenfa linea, re^la^ qua jtt aqualis eidempmidia^ metro:i!la coincidetacUmupiminfa^iusdefignaeumpunSltim njimi^ tabitque^roptereagrafatumfemiUtuso^tatiquadratien. ^Itemjlgl hifariamdiutdamrinpun^os, ajfun^o CfperSjincircunferetiami reSld coextendatur linea ct:illa erit aqualis ipjtop 3proinde latus 11 eiufdem quadrati. ^Siiuuettandem 3adminicukdp^us Uteris inferi^ ptipentagoni,femidiametrum eiufdem habere quadrati dato circulo aqualis: refumaturdatus dprincipio circulus abcd,prafatis dimetientibusaeg^r bdin quatuor quadrantes/olito more didhibutus, und rurfum cum af,ag,a hlineis reSlis inuicem aqualibus ,atquefubtenfa ghyquafecetfemmametrum aein ipfbpunBok.His itaparatis, auferatur inprimis ex a finjeriptipentagoni latere reflafl, quafitaqualu ipfek. Kefdua enim layefllatus heptagoni regularis in dato circulo dejerati. Subtendaturpo^imodumTeflabm,ipfafigp^proindeagaquahs,quaJeceteasdem aginpuaflo oig^r conneflature 0 linea refla, m RERVMMA T H E. ^ua/ecetghre^am in^un6io r.VroducamrconJetjuenteri^faeo in direSium ^continuum ucrfus s-.jeceturque oslinea. re{la,quafit aqualis ipfior3dimidioue ipfiusa l,hocefii ipfius lateris injcriptiheptagoni. "Eritenimes linea reBayfemidiameteripfiuspropofiti quadrati. ^Colligetur ^idem quadratifimidiameterjn hunc modum .Eliofin flio ipfius aficum reBaghpunSlum t;diuidaturgtreBa bifariam inpunBo u.Conne^aturpofimodum eulinea reflaxuificetur aqualis ex ipfo ehfemidiam€tro,quafite X.Quoniamficonnexafiueritcx lineareBa,illaerit aqualis eidemes: proindeipfius quadrati femidiameter.hincfiacileeritipfiumdefiribere quadratum, 'fiiamfiperpunflumsy diametro acparallela ducatursy ,peryprimi elementorum» ea tranfiet (fiiufleabfiolutafuerintfingula)perfapius exprefifiumpun- Bumr.Etpyoindefiny »fiat aqualis eidem sn^tota sy eritlatus ipfius quadrati^quod dato abcd coaquatur circulo. ^Hahes igitur» candide acfiudiofeleBor»duodecim modos inuenien^ latus quadrati dato aqualis circulo»omnfqi ab eodemfontefiaturihest nempe LIBER SECVNDVS, 68 nem^e ex lateris Pentagoni atque hegtagoni reflaris in dato circulo de^ fcrigti admirando Iteneficio.C^i quamgulchre ac utiliter in unum con~ ueniant,tihi relinquimus diiudicddum.Voterant enimfin^U,fuh unicafigura defcrigtione com^rehendiifed clarioris intelligentia gratia ,illos in quinque diflinximus .'Hecingrafentiarum aliamJugeraddemus confirmationem (ne uolumen hocin immenfam ac inutilem molemproducamus)quam ipjorum duodecim modorum tum inuicem ,tum cum prius demonfiratis circuli tetragonifimu euidentifiimam concordiam. PROPOSITIO XIII. Dem lacus quadrati dato circulo squalis ^etiam cadens extra ipfum circulum,nouarurrum,mulciIque modis uariaca ratione defignare. ^IVVAT CONSEQVENTER IDEM LATVS quadrati ,quoddato aquum efi circulo ,etiam extra ipjum coincidens circulu,noua rurfum ,multifaridmque diuerfificata ratione colligere.In primis ergo radicalem quandamfuhiiciemus eiujdem circuli quadraturam ynumeralifuppmatione confirmatam :quaJuccedentiumfcopusy jatquefidifiimum erit examen. ^Sit igitur datus circulusyin quadratu aquale reuocandus,a hcdy illiufque centrum eyperquodtran/eant hi- ni dimetientes ac0^h dyud reiiosfieje inuicem dirimentes angulos. DiuidaturpoHmodumipfe diameteracyuelhdy permediam extrema rationeyfeuproportionaliter: jegmetu illius minus itideproportionaliteTyCuiusfigmentum minus iterumproportionaliterdiuidatur, g^ deinceps in huncmodum,per^ofexti elementorum: quatenus in toto diametrofint i8figmentaproportionaliaynouem quidem maioraytotidemqueminora ,ipfis minoribusfegmentis in alterutrum dimetientis extremumpunBum terminans .Q^madmodumficunda ,atquefeptima huius libri propofitionepradiflum yatque obfiruatum extitit .Secetur deinde exacdiametro yreBa quadam linea afi, qua conjlet ex quarta ipfius diametri parte ygsr dimidia partefigmentiproportionalis ordine decimi,a.tque dimidUyg^ ^40partefedecimifigmentiy ipfiuspraterea plentiproportionalis ordine decimio^auiparte ipio yatque 1457(5’, necnon ^%%iiooo.^erpun^um deindefdpfi bdparallela ducaturfg, mij rervm mathe. peryiprimi elementorum:^ua^er ^9 eiufdemprimi, &decimam iUitfs diffinitionem,perpendicularis eritfupera efemidiametmm, ConneBa^ turinfuper egfemidiameteryin direBumque producatur ad utrafque illiuspartesyuerfus h^i.PerpunBum confequentera,utrique ipjaru fgparaUela ducaturah,quaper quintumpojiulatumgeometricum,coueniet tandem cum ip/a hiyadip/um uidelicetpunBum h:eritque angulus eah reBus, per ipprimi elementorum . Erproinde reBa a htangit circulum inipfo punBoa, per corollarium i6 tertij eorundem elementorum]. His ita confhuBis ,aio reBam aheffe latus quadrati, quodipjidato circulo efl aquale .Hocautem uia numerorum ,in hunc quijequitur modumfitmanifeBum .Vrafatananq. fegmentorumpartes ipfus dimetientisine te longa detineamus uerhorum amhagine)quem de morefupponimus ejje partium iio, /e hahent, utinfequenti connneturformula, ex eorundem fegmentorumproportionalium taheUa deprompta. LIBER SECVNDVS. j>ta, quampraaUegatafecunda ,atqueJeftima huius lihri^rofojitione con/crijfjtmus. ptes m.T41.5.7.3. 9.10. xi.ii 30 00000.0. 0.0. 0.0.0 QtMHapars diametri. 1-9 iS 11 49 8000000Oimidiapars fegmentidtami. 0I37 Ti 13 31 0000Dimidiaparsfegmenti X'vi, 000 48 C0 0 0Vars 1^0.eiufdemfe^enti xfi. 0010 I00000Parsipio. "j 00ly..ij. 18 .31.^2.30.0 P4rx 24j7tf. pSegmenti 000.16 .1-f. 6.7 .24.22.30 Pars 32832000.“^ xyiil- 1 30 50 y420 416 .7.24 .39.itf.f 2.30 KeSfa a f. i9 19 T39 31 !»• Jf 7-J° KeiiqM fe . Qualium i^turpartium diameteraceJiiio,talium re6ia afeflj,o,e!T minutorumfexagenanorum^Oi<^\y^6yi.Oy^i2.6y'jii.\i 35) 31<> ,5Z, 30: C^proinde reliquapars jemidiametri yUtpotefe,habetpartesx^ 3^ minuta itidemfexagenaria 2-5>j5i3j355 55>33i5ij35j2.o, 43,7,30. 'Etquo~ niamin triangulo ahe,ad latus ah aflae^iparaUelafgjfecatigitur eademfgreliqua ipjius trianguli lateraproportionaliteryper xfexti ele-' mentorum:jicutuidelicet efadfafficegadgh .Atquitresprima ef, fa3egnotafunt (namipfafgejlpartium 60Jquartaproindeg hjper proportionalium regulam innotefcet :ducendo uidelicetafin egy ^ produSlum diuidendoperfe. 'Erit autem iplaghpartium 3^minutorum 5,45), 15,10,41,11. Etcum punBum hextra ipfum cadat circulumy^ ab iUogeminaprocidant lineareflah a&hi, quarum alteraifciiicet hicirculum ipfum di^efcityaltera uerOyUtpote ha, eundem circulum tangit.QtwdigiturJub ih^hgcontineturreHangulum, aquum ei quodexah tangentefit quadratum,per^6 tertq elementorum. liOtaporro hiycfipartium i8i,ci7" 5,49,25,10,41,11 (nam diameter hi habetpartes 110)quaduHain partes 6% &minuta itidem 5,49,15,10,41,11, hgyejficiuntpartes 3,8,i7,yf« 11507, minuta iS^i,'^2.3\?>3%ij^,4f±3ferkTot'idemitaquepartium,^ minutorum^ eji quadratum ipfius ha.Sedperantecedentemfixtampropofitionem, quadratum aquale circuloycuius diameter efipartium izo 3habet itide partes minuta 3X6 .Eiuiufcepropterea calculi 3 ipfius/extapropofitionis difierentia ,efi quintorum minutorum \%3qua faciunt^i^s^ unius integrapartis. Tolerandaproculduhioygir qaa reprehendaturindigna calculi differentiafitum illius adeo exigua quanmiij RERVM MATHE. pcyjlciehKS colare uidetur.Vr<eterea non oporteti^fa quatuorJblidaijtmilia ejje adinuicem:Jed ea tantummodo ,quorumproxima uel immediatafit comparatio .Cumfit i^turut cubum quod exfgadcubum quodex bc de/cribitur^ficf^h^ra, cuiusfemidiameter efide,adf^h§rd cuius/emidiameter elb hk;erit quoquepermutarim,pereandemfedecimam librifixti elementorum ,ut cubum quod exfg, adfhharam cuiusfemidiameterefld e,fic datum cubum quod exbcadffh§ram cuius femidiameterefihk. Sedcubum quod exfgdejcnbitur,aquatur ^h§- racuiusfemidiametere^i de,perconfiruSlionis hypothefin: datum igi^ turcubum quodfitexbc,aquum erit f^harf cuius femidiameter e^ hk.Defirihatur ipturex hkcirculus adipfius circuli quantitatem, ffh§rahlm:eaenimaqualiseritipfidatocuboabc. Data i^- tur^^har§,cubumaqualedefiribitur& econuerfb .Quodfaciendum receperamus. ^Corollarium i.Dcredudionc Iph^ra: in columnam, auc pyramidem £equalcm:& cconucrfb. fDATAE IGITVR SPHAERAE, LATERA- tafiu rotunda columna,uelpyramis defiribeturaqualis: ^econuerfo, cuilibet oblata columna, /eu pyramidi, reailineam uelcircularembafin habentitaqualis ffhgra defignabitur. Vrimapars corollarij fit manifefla. Sphara enim^ uertiturin cubum aquale ,perprimampartem huiusfextgpropofitionis :0" omne cubum ,in dat§ altitudinisfoUdum reBangulum ^autinparalleleptpedumfuperdatabafi confifiens 111LIBER Qjy ARTVS. conjtjlens reuocatur^per quintam huiuspropojitionem. idem autem re~ BangulumJolidum ,aut parallelepipedum ,in columnam cuius hafls efl quadrata reducitur.Hancporro columnamifacile efl tranjmutare in rotundam,perprimam huius propoftionem :&columnam demum rotundam,in lateratam aut rotundampyramidem,perfecundam huiuspropojitionem. ^Secunda ueropars coroUarij, non minus euidens e^i. Omnis etenim columna,fmiliter &pyramis, reducitur in cuhum, eidem columna uel pyramidi aquale ,per corollarium antecedentis quartapropoftionis .Cuilibet autem cubo ,aqualisjfhara defcribitur, perfecundam huiusJextapropojitionis.Data igitur columna,uelpyramis,atquehuiufcemodiJfhara 3eidem cubo erunt aqualia: ^proinde. aqualiaadmuicem.Wtraque proptereacorollarijpars,uera. ^Corollarium i.Qubd unumquodque exterorum regularium corporum^in cubum,aut fphxram rcuocatur. ^MANIFESTVM EST PRAE TERE A,VNV M- fiodque caterorum retiarium corporum, in cubum, atque demum in haram reduci uelfacilepojje. Corpora autem regularia, hoc efl,Jub aquiangulis ac inuicem aqualibusplanis (quorum quodlibet, bajts indiffereter dicitur) coprehenfa, funt tantumodo qtdinque. Vrimu corpus regulare,quatuorbafbus triangularibus terminatur :^tetrahedrum dicitur. Secundum uero,fex quadratis clauditur bajibus :&uocatur hexhadrumjjiue cubum.Tertium autem,fub oflo regularibus triangulis continetur :^oflahedrumpropterea nuncupatur. Quartum dicitur icofahedrum, uiginti bafbus itidem triangularibus terminatum. Quintum denique regulare corpus ,Jub duodecim pentagonis bafbus comprehenfum :dodecahedrum uocitatur.Qua quidem regularia corpora,tum inuicem ,tumipfffharafunt infiriptibilia. Vnumquodque igiturfupradi^orum quinque regularium corporum,ex tot rejultat pyramidibus inuicem aqualwus ,quotfunt in iHo triangulares, quadrata,uelpentagona bafs:quarumpyramidum altitudo,eH lineaperpendicularis,qua efl centro cuiuflibet regularis corporis ,in bafn quamlibet educitur. ^xpraofienfs autem ,atque geometricorum elementorumpropoftionibus fit manifeftum ,ipfas cuiuflibet regularis corporis RERVM MATHE. hajesiinunam^olje reuocariJu^erfictemj etiam regularem. Su^erqua uniuerfalifug^cie ijiadgrafata perpendicularis altitudinem pyramis erigatur.ea erit aqualis omnibus ipjtus dati corporis regularispyramidibusygf;r eidempropterea regulari corpori aqualis. Ipjd nanque pyramis^ad unamquamquejingularempyramidem eam rationem obtinebit,quam bajts adbafn. Qjioties igitur bajts ipjtus uniuerfalispyramidis, cuiujlibetpyramidisparticularis bajtn continebif.toties eadem uniuerfalispyramis, unamquanqueJingularempyramidem, gy totum propterea regulare corpus comprehendet. Omnis autempyramis, info- Udum re^langulum,percorollarium antecedentisfecunda propoftionis uelfacile tranjmutatur: gjr/olidum quodlibet reSlangulum, in cubum aquale reducitur,per ipfam quartampropoftionem. Ipfi tandem cubo, aqualis j/hara,perhancfextam propoftionem defcribitur. CoroUariu igitur ex omniparte uerum. PROPOSITIO VII. Vbum cubo iungcrc:cx duobus uc cjibis squalibus,aut insqualibusjunum conficere cubum ipfis datis cubis squale. CIN PRIMIS IGITVR, SI CVBVM CVBO FVE- i rit aquale,alterum alteri direBefuprapoftum,ejficietreBangulumflidum alteraparte longius :quodper antecedentem quartampropofitionem,facile uertetur in cubum,eidem reHangulofolido, ^ipjisproinde cubis datU aquale. ^ytf(uerbigratia) datumfuerit cubumab, cubo cd,aquali componendum :conficiatur ex ipjts duobus cubis, re- Slangulumfolidum aed, cuius bafis erit quadrata ,altitudo uero ex utri/que datorum cuborum con/urgens lateribus. Inuentis ergo duabus lineis re^is,inter ac,atqUe cd,continueproportionalibus,per aliquam propofitionum antecedentis libriprimi,quafint ef&gh,ficut quidem ac,adefific eademef,ad ipfm gh, atque eadem gh, ad ipfam cd: de/cribaturex ipfa gh,cuhumgh k.lUudenim erit aqualeprafatojo- Udo redlangulo acd,0^ aqualepropterea ipfis datis cubis ab,gtr cd. CSecunda ^Secunda pars de cubis insqualibus. ^AT SI ALTERVM DATORVM GVBORVM utpoteahymaiHSfuerit reliquo cd-.reuocadum erit idem minus cuhum cd,inreflangulumfolidum ,fuh altitudine ipjius ^in quadrata hajicomprehenfum, ^er antecedentem quintam jfro^ojitionem-: inueta mediaproportionali interah,^ hc, deinde quarta itidem proportionalipojlipfam hc^quajitfg-.ex qua defcrihatur quadratum,fuper quo erigaturprafatum reBangulumfolidum efg. Canebatur pofimodum egdinea reSia: cuius quadratum aquum erit iis, qua ex efg>p^^ penultimamprimi elementorum, proinde quadratis qua ex a b, gp^ eademfgidefcribuntur.Viat igitur quadratum,ex ipja eg: &defcrihaturfuperillo reflangulumfolidum egh,adprafatam altitudinem cubi maiorisfcilicet ah. illud enim re^angulum Jolidum egh ,aquum erit eidem maiori cubo ah, atque reflangulo folido efgtgp" proinde datu cubis ab,^cd,pendenter aquale. Sub eadem enim altitudine exiflentia folida parallelepipeda ,adinuicemJuntJicut bafes,per trigejimam fecundam undecimi elementorum. Operapretium€fitandem,interlatus eg,quadratabajis, gp^ altitudinemgh(qua minor efi ipfo latere) duas inuenire regias continue proportionales, per aliquam propojttionum antecedentis libriprimi :qua Jint(uerbigratia)kl,gp^ mn,Jicut quidem eg,adkl,fic eadem.k. l,ad ipfam mn, atque eadem mn,ad prafatam altitudinemgh. Cubum enim quod ex ipfakl,de/cribetur, eidemfolido rcBangulo egh,gp‘ipfis confequenter datis cubis ab,gsr RE RVM MATHE. cdjperquartam huiKSpropojitionem erit aquale.Wahesi^turjqua uia exduobus cuhis inuicem aquaUhusaut inaqualihus,unum conficiatur cuhum ipfis datis aquale. Me(3ia,fportioiiaV. inter ab^etcd. ^Notandum. ^\demfiet confequenter de tribusyaut^lurihus cuhis, in unum cuhum eifdem cuhis aquale componendis. Nam reduBis duohus primis cuhis, in unumcuhum ipfis duohus aquale :illud, cum fequenti euho ordine tertioyin unum cuhum (quod trihus primis erit aquale) reuocandum erit:^ illud rurfum, cumfuccedenti quarto. Ef deinceps in hunc modum,pro data euhorum in unum reuocandorum multitudine. ^Corollarium i.Dc duabus coIumnis,aut pyramidibus,in unam componendis. fquoquefietje columnis, ^pyramidibus inuicem aqualibus autinaquaiihfis. Hic intercolumnas lateratas, annumeramus omnia LIBER QV ARTVS. 1x3 Jolida reBdn^la minime cuhica )fuh aquidiflantibus pUnis &di~ menjionibu^ inaequalibus comprehenjk. l^am eiujcemodi columna, 4f- que^yramides,aut eiufdem erunt altitudinis,aut diuerfk. Sifecundum acciderit, reuocenturad eandem altitudinem, longiorem in breuiorem tranfmutandoiaut econuerjd,feruata quantitate magnitudinis,gerternam huius progoftionem. Deinde fiat bafs,qua utriufque columna, uelpyramidis bajtn comprehendat. Duabus enim,autpluribus rediilineis figuris ,unica dari poteli aqualis ,atque duobus ,aut pluribus circulis ,unus aqualis defcribi circulus,perfecundum corollarium feptima propofitionis antecedentis libri tertij. Circuluspraterea, in re- Shlineam uertiturfiguram :^econuerfo ,per quartam ,&quintam propojitionem ipfius pracedentis libri tertij :ut omnia propofito compofitionis tibi citemus adminicula .Superhac igitur bafi, qua datarum eiufdem altitudinis columnarum ,fiue pyramidum bafibus edi aqualis, fi ad eandem altitudinem columna, uel pyramis erigatur :ea erit aqualis ipfis columnis,fiuepyramidibus: quemadmodum expradidliSiCf trigefimafecunda undecimi,atquefexta,& undecima duodecimi elementorum uelfacile colligitur. ^Notandum. j^'Et proindefit, utduacolumna, uel pyramides ,autfimul rotunda, autfimul laterata ,undue exifiente laterata ,O* altera rotunda :in unamaut rotundam,aut lateratam columnam ,feupyramidem ,ipfis datis aqualem,uelfacile reducatur. ^Corollarium i.De exteris regularibus corporibus in unum componendis ipfis datis xquale. ^^Eatet infuper, qualiter ex duobus caterorum regularium corporum dcubo, unumfimile ,ac eifdem aquale corpus fabricetur. Exfecundo enim corollario antecedentis fixta propofitionis fit manifefium,qualiter catera regularia corpora ,in ipfum cubum tranfinutentur :ex hac autem fiptima propofitione ,qua uia ipfis duobus autpluribus cubis, unumaquale cubum deferibatur. Hoc autem cubum,fi infimile corpus regulare cum ipfis datis reuocetur.iRud prafatis,hoc eHjdatis dprincipio regularibus corporibus,de necefiitate coaquabitur. Xiij R.ERVM mathe. irinucntio laceris oblati corporis regularis, ipfi dato cubo a:qualis. ^Kdi<^Hum efhergOydemonfhrare (jualiter inuemendHmfitldtHs dati 7 corforts regularis, eidem cubo aqualis, ifio itaque ^ropojltum in caterorum exemplum, inuenire latus tetrahedri ,dato cubo aqualis ,cuius Utusjit ab. AjJumatureYgo tetrahedrum quoddam libera magnitudinisjcuius unumlatusjttcdig^gerpcundum corollarium antecedentisfexta^rogoJitioniSyillud in cubum aquale tranfnutetur, cuius latus fitef. Datu confequenter tribus lineis reSlis,e f,a b,c d, quarta proportionalis inueniaturg h,per izJexti elementorum .'Erit enim reila gh,latus tetrahedri ipji dato cubo aqualis .Quoniam ipfa quatuorlineare6la,e f,a b,c d,g h,juntper conjlruSlionem inuicemproportionales:jicutuidelicetef,ad ipjamabyjicc d,ad ip/amgh. Ediigiturutcubum quodex ef, adcubum quod ex ab,defcribitur:Jic tetrahedrum cuius latus e^ cd,adtetrahedrum cuius latus eflgh,hoceIf, fmilefolidum, adfmileJimiliterque dejcriptum ,per undecimi elementorum. Etpermutatim erit igitur,per/edecimam quinti eorundem elemetorum, ut cubum quodex ef,ad tetrahedrum cuius latus efl cd: jic cubit defcriptu ex ab, ad tetrahedru cuius latus ell gh.Atquiprimum aquaturfecudo,per conJhru6lionis hjpothefin: igitur &tertium, ipjiquarto.Cubum igitur,cuius latus eli ab, aquumeji tetrahedro cuius latus ejigh. idem uelim inteliigas de cateru regularibus corporibus. PROPO- LIBER Qjy ARTVS. 12.4 PROPOSITIO VIII. Maiori cubo decra(£i:o minori ,rcliduu exprimere cubum: Idemque dcre<£tangulo folido non cubo refpondenter obicruare. IfESTO, CLARIORIS INTELLIGENTI AE GRA- tia,^rol)ojimm,a maiori euho quodjit ah e, detraElo minoridej reji~ duum euhum ex^Yimere.Yiati^turin primis quadratum^uni quadratorum ipfuscuhi maioris aquale:cuius latus fitgh. Etfuperipfo quadratogh,dato euho dejaquale/olidum reflagulum deferihaturg hkj perjecundampartem antecedentis quartapropoJitionisSeceturpoJbnodum ex dati cubi maioris latere ahdpjt hk»aqualis, utpote bl,per tertiamprimi elemetorum.Etperpun^um /diuidaturidem cubum abe, /ubplano lm.Detraheturitaque ex ipjo maioricubo abcjolidumre- Bangulum lm^ip/i re6iargulofolidogh k, equale :&proinde aquale ipji minori cubo def.KeJiduumporro reBangulum/olidum am,/ub inaquahbus dimenjionibus ,in quadrata baji continebitur:quod in cubum,eidemfolido reBangulo aquale^, perquartampropo/itionem uel facile reducemrtinuentis inter latus ipfus quadrata bajis ab, altitudinem alyduabus lineis reBis continue proportionalibus ,per aliquampropo/itionum antecedentis libri, qua fnt n0,^ pr. Cubum Xliij RERVM MATHE. tmm cjuodex ea media lineaproportionali defcrihemr >eide quadrata hajis lateri uicinior erit^ ipji rejiduo am, erit aquale :ueluti cuhuntiCHius latus efl no,ipJiusfigurata dejmptionls. ^Dcrcdtangulis foIidis,tninime cubis. ^idem quoque faciendum effe uelim inteUigas ,de re^angulisfolidis z minime cubis.Namfuper quadrata baf maiorisfolidi re^angulijdefcrihipoteritfolidumreBangulumiipfi minori aqualejperea quapropoftione quintapradocuimus. Deindefacienda eritfubtraSlio minoris folidi re^anguli^b ipfo maiori^ non aliter quam defuhtraBione minoris cubi dmaiori cubojnuperrimediSlum extitit. ^Corollarium i. De mutua columnarum^ucl pyramidum fubtradione. fAB OMNI IGITVR COLVMNA,SEV PYRA- 3 mide maiori,minorcolumna,fuepyramis, detrahi confequenterpoterit:& refduum infmilem uel columnam ,uelpyramidem pendenter reuocari. Namfdata columna,oblatauepyramides, inaquatisfuerint altitudinis:minordiarum in altitudinem maioris, aut ediuerfo reduce - da erit,pertertiam huiuspropoptionem. Deinde bafes earundem colunarum,puepyramidum,qua nonfuerint quadrata,in quadrata eifde bapbus aqualia tranfmutari debent,perea qua antecedentibus praofenfafuntpropoptionibus :baps quadrata minoris columna, uel pyramidis,dbap quadrata maioris confequenterauferri. Itaqueprepduum quadratum,in circularem,autretliiineam quanuis reducaturpguram,&fupereadempgura,columnayUelpyramis,adprafatam de~ fcribatur altitudine-.ea erit,qua exipfdfubtraiiione relinquetur. quoniamfubtraBayatque relitia columna,uelpyramis,fe habent ut bafes. Vt quadratum aquadratofubtrahatur. ^Subtrahitur autem minus quadratum, dmaiori quadrato, in hunc 4 quipquiturmodum.Epo latus maioris quadrati ab,minoris uerocd. Etfuperab latere, pmicirculus defcribatur aeb. Ipppofmodumminori Uteri cd, aqualis in eodem coapteturpmicirculo,perprima quarti elementorum: LIBER QJVARTVS. 12.5 clcmentorum:&* conneBataraeJinea reBa, 'E.ritenimae reBa, latus quadrati rejidui :quoniam angulus qui ade^reBus eB,ger trige- Jtmamprimam tertij eorundem elementorum. Efproinde qua ex a e, \&eh^reBis quadrata dejcributury aqualiaJunt ei quodjit ex aper t'*<' quadragejtmamjeptimamprimifupradiBorum elementorum. ^Corollarium z.Defubtradionc regularis corporiSja fimili regulari corpore. fPATET RVRSVM,QVAM FACILE VNVM- quodque caterorumregulariumcorporumacuho,detrahipojiit amaiori jimili corpore regulari-.atque latus rejidui corporis,ipjis datisjimilis tandem exprimatur. Ytrunque enim regulare corpus in cubum aquale reduci ueljacilepoterit ^perfecundum corollarium antecedentisfextapropojitionu :^cubum minoris corporUiU cubo maioris pendenter auferriiperhanc oBauam ^ropojitionem.KeJtduum tandemfblidum reBangulum,reuocaripoteritin cubum^per antecedentem quartampropojitionem:atque demum inueniri latusjimilis corporis regulariSiCidem cubo^^^ ipjiproinde rejiduo aquale,per ea quaproximefuere demonjhrata. PROPOSITIO IX. Blatis duabus fphsris inuicem squalibus, aut insqualibus,unam deferibere fphsram ,ipfis datis xqualem. fVTRIQVE SPHAERAE CVBVM AEQ^VALE dejeribatur ,perfextam huiuspropojitionem. Ipjis pojhnodum cubis , unum aquale cubum fabricetur, perfequentem propoftionem jeptimamiquod ipjis duabusjjharis de necej^itate coaquahitur. H«jc demu cubo, aqualisjjhara conjiruatur ,per eandem jextam propoftionem. 'Eadem nanquejjhara,ipfs duabusjjharis aprincipio datis entaqualis:utpote,qua eidem communi cubo fmuladaquantur.'Huiuspropoftionis ynudo opus ejje reor exemplo :ni uelis fngula ,proximis O* RERVM MATHE. Jintg mijicut cjuidem ah,ddghyfc eademgh,ad lm, atque eadem lm,ddipfam ef.Ex data gojbnodum linea reBa gh,datocu^ lo quod ex ay^fimile ^fmihterquegofmm cubum defcribaiur gh n, pertj undecimi elementorum. Aio itaque^darum cubum quodexab^ Utere defcripmm efi, eandem habere rationem ad i^fum ghn, quod exipfa gh, defcribitur, quamc reBa,ad ipjam d. Cum enim quatuor linearefla abgh,lm,efyContinuefntproportionales:eB igitur jicut ^rimt ab,ad quartam ef,fc datum cubum, cuius latus efi ab, ad ipjum cubumgh n^quodexfecundaproportionali gh, defcriptum t/f, percorollarium trige/tmatertU undecimi elementorum. Vt autem ab, ad efyjic c,ad ipfam d,percoJhruclionem:Sicutpropterea Cyaddftcper undecimam quinti eorundem elementorum,datum cubum quodex ab, adipjum cubumghn. ^Dcfolidis parallelcpipedis minime cubis. CHAVD ALITER DATVM QVODVIS ALIVD z Jolidum non cubum ,altera uidelicet parte longus reBangulumy tantummodoueparallelepipedum:pro data ratione augere, uel minue^ re licebit. Quanquam autem huiujcemodi[olida, diuerfase!^ inaquales habeantdimenjiones :poterit nihilominus unaquaquepradtBarum dimenjlonum ,pro prima linea proportionali indifferenter ufurpari . Cateraporroyueluti fupra demonjhrauimus ,pendenter ueniunt abfoluenda. Chjio in maiorem omnium elucidationem, datum (olidum paralleleptpedum abc: data uero ratio,qua dreBa,ad ipfam e. htfcut d,adipjam Cyfiefat latus abyadipfam fg:atque inter ipfas abygTfgy dua liber QJVARTVS. ,2c^ du<£ medU colligantur proportionales,per aliquam antecedentisprimi libri propofltionem ,quafint hl,^ mn:ficut uidelicet ah, latus ad ipfam hl,jic eadem hl, ad ipfam mn, atque eadem mn,ad ipfamfg. Defaibaturpojlmodum exipfa hl^olidum parallelepipedum hlo,ipli ab c^jimile, atquejimiliter pojttum,per ipfam undecimi elementorumJErit igitur,per idem corollarium 55 ipjtus undecimi, ut d,ad e,fic ah c,Jolidumparallelepipedum, adfmile fmiliterque poftumfue defcriptum parallelepipedum hio. Voterit quoque dprincipio fieri, ut d, ade,fic latus hc,ad ipfam fg. atque dua rurfum inueniri medio loco proportionales lo,& mn,interidem latus hc,^ ipfamfgitandemque ahfolui reliqua omnia,quemadmodum nuper demonfiratu extitit. 3^Haud alienum uelim habeas iudicium, de quolibet cateroru quatuor regularium corporum acuhoiea enimpro ratione data non aliter auge^ bis, quam de ipfo cubo,autquouis alio/olidoparallelepipedo tradidimus. ^CoroIIariunijDe augcnda^ucl minuenda fph^era,pro ratione, data. 4^Data igiturJ/hara,/ub quauis ratione data, proportionaliter augeri, uel minui confequenterpoterit, t^amper antecedentem fextampropofitionem,j/hara uertitur in cubum: &perhancdecimam tertiam, cubum ip[um,pro data ratione,proportiotialiter augetur, uelminuitur. Ipfirurfum cubofub data ratione proportionaliterauHo ,uel diminu- to, aquatis ffhara defcribitur ,pereandemfextam propofitionem. Corollarium ergo uerum,atquefacillimum. PROPOSITIO XIIII. Mni columnXjfeu pyramidi, fimilcm &fub data ratione maiorem,uel minorem columnam, feu py- ^ramidemerigere. yhj RERVM MATHE. fEX SEXTA PROPOSITIONE LIBRI TERTII i nommrelinijuitur ,qualiter omnis figura reShlinedi &proinde hajis tam coluna quhnpyramidis lateratdtfuh quauis ratione dataproportionaliteraugeaturyUeldiminuatur: hxfequetiueropropofitionefeptimaeiufde libri tertij^idempraojhnfum eft de circulo. IgiturJtpro data ratione^bajis oblata columna,uelpyramidis ,proportionaliter augeatur^fUelminuatur,g^/uperhuiufcemodi bajtfimilis columnaiUelpyramis exciteturiadipjius datacolumna uel pyramidis altitudinem:fiet columna,fiue pyramisitadem oblata columna,pro ratione data maiora aut minor. Sub eodem nanquefafli^o exiflentes pyramides,fe habent adinuicemjicutbafes: laterata quidemper quintam c^fextam,rotudaueroper undecimam duodecimi elementorum. Er quoniam ipfa columna,eandem bafin altitudinem habentes cum ipftspyramidibus, triplam rationem habentad ipfaspyramidesmeceffum efi idemprafatis accidere columnis,quod ^ipfispyramidibus. Vartes enim, aque multiplicia, eandem rationem habentJumpta adinuicem,per 15 quinti elemetorum.^odem itaque modo columna, quo ipfapyramides,pro ratione dataproportionaliter augebuntur, uel diminuentur. ^1« quorum omniu maiorefidem, fubfcripta contemplentur dejcriptioz nes.\n quaruprima,data rotuda coluna abc,pro ratione ipfius d,ade, reSld,proportionaliteraubba efiiaugmentatopriusfub eade rationefg, circulo,g^fuper illo defcripta coluna fgh,ad altitudine gh,qua ipfia h,fit aqualis.lnfecunda uerO defcriptione ,lateratapyramis lmn,pro ratione ipfius e,ad reSla d,proportionaliter efl diminuta: faSla inprimis reflilineabafip r,ipfdbafimn,fubprafata ratione minori ,atque ad altitudinem lo, aqualem, utpote st, defcriptafmilifmiliterque pofta pyramidespr. PROPO- LIBER CLVARTVS, PROPOSITIO XV. 130 Alorum tandem capacitates, tormentorumque bellicorum uircs,& pondera,atque his hmilia, fub data ratione propbrtionaliccr augere,ucl minuere. Icde vasis hic POTISSIMVM INTELLIGI- musyquix regulariafunt, ^quibusfmilia transformari uelfacilepof fmticuiufnodi uidentur ejfe liquidorumi autgranorum uulgata men~ ptr^fg^ qua hisfmiliafunt. Augmentandafunt igitur in grimis, aut mmuenda,pro data rationegeometricaieiufemodi uaforumfue men' furarum bajesiger ea quafexta^atquefegtimagropoftione antecedentis libri tertij tradita /unt.Vabricandaftnt deindeyfuper buiujcemodi proportionaliter auElis uel diminutis bafbusyfmilia fmiliterque gofta uafafeu menfurarum infirumentai quemadmodum de columnisyCT pyramidibus 3proxima declaratum extitit propoftione .Quacunque enim de/olidis, antecedentibus tradita funtpropoftionibus (ne te longioribus uerborum detineamus ambagibus) infmilibus, hoc eB,fmiliterfgUYatis,atquefmiliter poftis uaforum atque menfurarum excauaturisyueniuntpendenterobferuanda. 'Hicperhuiufcemodi uaforum, atque menfurarum bafes,intelligimus illorum orifeia: qua inuerfouafef.uemenfuraybafes effe uidentur. ^Detormentis bellicis. ^'Nonaliterde tormentis bellicis ,ac illorum emifjariisglobis cenfendum,atquefaciendum efje uelim exijtimes. Inprimis enim emiffarq talium machinarumglobifgurafuntjfharicaiidcirco non aliteraugendi, uel minuendi,pro data ratione uidentur eff, qudmipfum corpus jfharicum.De cuiusproportionato incremento, ueldecremento, antecedentis decimatertia propoftionis traditum eft corollario .Ipfa porro machina bellica,duobus modis augenda, uel minuenda,pro data uidetureffe ratione.lnprimis quidem,feruata eiufdem machina longitudine:^ baf,fmul cum illius capacitate aufla, uel diminuta. Secundo, eadem crafitudinisbafiinuiolatapermanente:fedaufla, uel diminuta longitudine, una cum ipfa capacitate. Hicde tota mole uelim non in- \lUg4smachina :fid deillim tantum excaaatura ,gUhum redfumijfamm,0‘ m^uluem in ignem conuerfi, atquefupra loci cagacitatem rarefaBhuiolentereiidt. Qua quidem excauatura ^cum ^lindriyfeu rotunda columna uideatur habere figuram: ipfarum columnarumpropofita fuh quauis ratione data augmentationeti atquediminutioneSi unacum illarum tranfmutationibus jfuis propofitionibus corollariisfuffidenterfint eluddata :de his ' ulterius uerbum addere^ne eademfapius,ac inutiliter repetere uideamur, confiiltofuper- [edemus. QVARTI^ET VLTIMr LI- bri rerum Mathematicarum hactenus defideratarum Oronito Vinao DelphinatCy Kegio MathematicOy authore, FINIS. Virefcit uulncre uirtus.