Teoría de Kaluza-Klein

Trabajo Fin De Grado: Teor´ıa De Kaluza-Klein Jes´us Pedro M´arquez Hern´andez 24 de junio de 2019 Facultad de F´ısica. Universidad de Sevilla. Departamento de F´ısica de la Materia Condensada. Trabajo Fin De Grado: Teor´ıa De Kaluza-Klein Facultad de F´ısica. Universidad de Sevilla. Departamento de F´ısica de la Materia Condensada. Fdo: Jes´us Pedro M´arquez Hern´andez (Alumno) Fdo: Diego G´omez Garc´ıa (Tutor) Resumen En este documento se pretende explicar la teor´ıa de Kaluza-Klein desde la perspectiva de un graduado en F´ısica sin conocimientos avanzados de relatividad general o teor´ıa cu´antica de campos. Para ello, inicialmente se ofrecer´a una base general de geometr´ıa diferencial y los fundamentos de la teor´ıa de la relatividad general. Una vez proporcionada dicha base se explicar´a y trabajar´a con la teor´ıa de Kaluza-Klein para comprobar de forma natural c´omo esta unifica gravedad y electromagnetismo bajo un mismo marco te´orico; aunque tambi´en se observar´a c´omo esta teor´ıa fracasa al incorporar elementos cu´anticos. Finalmente, se har´a un breve repaso bibliogr´afico sobre el impacto de esta teor´ıa en las teor´ıas de gran unificaci´on actuales que han hecho uso de muchas de sus herramientas y, entre otras, sostienen la misma pregunta: ¿vivimos en un universo con dimensiones extras? ´ Indice 1 Introducci´on 1 2 Notaci´on y documentaci´on bibliogr´afica 3 3 Fundamentos de geometr´ıa diferencial 5 3.1 Espacios vectoriales. Espacio Dual. Norma. Tensor M´etrico. Distancia. . . . 5 3.2 Derivada covariante. Variedades. Haz de planos tangentes. Transporte paralelo.Conexi´on de Levi-Civita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.3 Acci´onenunavariedad............................. 11 3.4 S´ımbolos de Christoffel. Medida de la curvatura: Tensor de Riemann, Tensor de Ricci y Escalar de Ricci. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.5 Formalismo de Vielbein. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4 Fundamentos de la Teor´ıa de la Relatividad General 14 4.1 Principio de equivalencia. Origen de la teor´ıa. . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4.2 Ecuaciones de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.3 Acci´on de Einstein-Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5 La conexi´on de esp´ın 20 6 Teor´ıa de Kaluza-Klein 22 6.1 OrigendelaTeor´ıa............................... 22 6.2 Ans¨atze de Kaluza-Klein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 6.3 El espacio pentadimensional de Kaluza-Klein . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 6.4 La acci´on de Kaluza-Klein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 6.5 Ecuaciones de Einstein y de Euler-Lagrange en el espacio de Kaluza-Klein 32 6.6 Campo fermi´onico en el espacio K-K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 7 Problemas y generalizaciones de la Teor´ıa de Kaluza-Klein 36 8 Conclusiones 40 1 Introducci´on Cuando Maxwell unific´o electricidad y magnetismo se produjo la primera teor´ıa de unificaci´on en F´ısica. Durante los a˜nos en los que se desarrollaban las teor´ıas de la gravedad s´olo eran conocidas estas 2 fuerzas: gravedad y electromagnetismo. En 1914 Gunnar Nordstr¨om[1] fue el primero en unificar ambas fuerzas a partir de una dimensi´on espacial extra. Sin embargo, Nordstr¨om plante´o dicha unificaci´on bajo su propia teor´ıa de la gravedad, una versi´on incompleta de lo que a˜nos m´as tarde fue la Relatividad General de Einstein. Cuando Einstein consigui´o dar con las ecuaciones de la teor´ıa de la Relatividad General la fuerza gravitatoria pas´o a tener una teor´ıa completa y firme sobre la que ser estudiada, desde el punto de vista cl´asico. La teor´ıa de la relatividad general y el electromagnetismo de Maxwell eran teor´ıas compatibles si se juntaban las ecuaciones como es el caso de la acci´on de Einstein-Maxwell; sin embargo, desde la comunidad cient´ıfica se intentaba encontrar un marco te´orico que realmente unificara estas teor´ıas como una misma entidad, como ya hizo en su momento Maxwell con el electromagnetismo. Fue en 1921 cuando Theodor Kaluza [2] prob´o que si se supon´ıa un espacio de 5 dimensiones (1 temporal, las 3 espaciales habituales y una dimensi´on espacial extra) las leyes de maxwell pod´ıan surgir como un elemento geom´etrico del espacio-tiempo. La teor´ıa originalmente no explicaba la presencia de cargas libres ni c´omo pod´ıa existir dicha dimensi´on extra, cuya presencia es emp´ıricamente contraintuitiva. Cinco a˜nos m´as tarde, en 1926, Oskar Klein [3] aport´o un nuevo formalismo matem´atico a la teor´ıa y propuso una explicaci´on que daba sentido a la existencia de dicha dimensi´on extra y por qu´e ser´ıa inobservable. Esto supuso una revoluci´on pues abr´ıa las puertas a realmente una teor´ıa del todo, dentro del contexto hist´orico donde estas fuerzas eran todas las fuerzas conocidas. Sin embargo, con la revoluci´on cu´antica y el descubrimiento de las fuerzas nucleares la teor´ıa de kaluza-klein, que originalmente era un teor´ıa cl´asica, qued´o relegada a un segundo plano. Principalmente, qued´o descartada al comprobar las malas predicciones que surg´ıan al combinar esta teor´ıa original con la mec´anica cu´antica. No obstante, dentro de la comunidad cient´ıfica siguieron haci´endose algunas pruebas generalizando la teor´ıa a mayores dimensiones ahora que se sab´ıa que exist´ıan m´as fuerzas fundamentales y que, quiz´as, los problemas de la teor´ıa de Kaluza-Klein original desaparezcan una vez incluidas todas las fuerzas bajo el mismo marco. Esta forma de pensar dio origen a la supergravedad y la supersimetr´ıa. Paralelamente, en la d´ecada de los 80 se desarrollaron las teor´ıas de cuerdas que acabaron estando estrechamente ligadas a la 1 es decir, una matriz diagonal en la que todos los elementos no nulos son unitarios y negativos excepto el primero. En definitiva, la m´etrica y m´etrica inversa son operaciones que modifican los vectores de la siguiente forma |eii=gij hej|(3.14) hei|=gij |eji(3.15) donde gij es la m´etrica, y gij es la m´etrica inversa3.La unicidad de descomposici´on de vectores en una base implica directamente que gijgij =δi j. Es inmediato comprobar que las componentes de los vectores xiyxipresentan el mismo comportamiento al relacionarse entre s´ı: xi=gijxj(3.16) xi=gijxj(3.17) esta relaci´on es lo que se suele llamar como Ley de bajar o subir ´ındices y es un procedimiento continuamente empleado en C´alculo Tensorial. Aparte de ser ´util para la m´etrica, esta Ley es v´alida para operar con cualquier tipo de tensores. Su uso ser´a recurrente a lo largo de este documento para operar con tensores. Ante un cambio de coordenadas la m´etrica transforma manteniendo consistencia con las reglas de transformaci´on de vectores covariantes y contravariantes. Las transformaciones bajo cambios de coordenadas para la m´etrica son de la siguiente forma g0 ij = (M−1)k i(M−1)l jgkl (3.18) g0ij =Mi kMj lgkl (3.19) donde g0ij yg0 ij son la m´etrica y la m´etrica inversa en las bases {|e0 ii} y{he0i|}. Ya que la m´etrica relaciona vectores covariantes y contravariantes, nos permite extender el producto escalar al permitir hacerlo entre dos vectores covariantes (o entre dos vectores contravariantes), |xi|yi=xiyk|eii|eki=xiykgij hej||eki=xjykδj k=xjyj(3.20) A partir de dicho producto escalar se puede definir la norma de un vector k|xik como: k|xik2=hx|xi=xixi=gijxixj(3.21) 3m´etrica es la forma m´as directa de referirse a gij pero, siendo m´as precisos hay que considerar que es un tensor de rango 2 y designarlo tensor m´etrico (gij es el co-tensor m´etrico om´etrica inversa) 8 Tambi´en permite obtener el ´angulo entre dos vectores de la forma cos(θ) = hx|yi k|xik·k|yik (3.22) dos vectores son ortogonales cuando el ´angulo es cero, es decir, cuando su producto escalar es cero. A partir de esta definici´on se puede construir una base ortogonal. Las transformaciones que parten de una base ortonormal y la convierten en otra base tambi´en ortonormal son las transformaciones ortogonales (p.ej.: cambio de coordenadas cartesianas a esf´ericas). Al haber definido la norma de un vector tambi´en se hace posible definir la distancia entre dos puntos |xie|yicomo el m´odulo del vector |x−yi=|xi−|yi; as´ı que si pensamos en dos puntos muy pr´oximos |xiy|x+dxise define un elemento de linea ds: ds2=gijdxidxj(3.23) En el caso de la Relatividad Especial, el espacio tiene (1+3) dimensiones y la m´etrica correspondiente es la M´etrica de Lorentz ηij =diag(1,−1,−1,−1), el elemento de l´ınea entonces define el intervalo relativista como ds2=ηijdxidxj= (dx0)2−(dx1)2−(dx2)2−(dx3)2(3.24) 3.2 Derivada covariante. Variedades. Haz de planos tangentes. Transporte paralelo.Conexi´on de Levi-Civita. Cuando pasamos de trabajar en coordenadas planas a coordenadas curvas es necesario efectuar un cambio de coordenadas tal y como se ha mencionado anteriormente. Cuando se aplica un operador diferencial a un vector cualquiera y se realiza el cambio de coordenadas, es necesario tener en cuenta que los vectores en la nueva base tambi´en se ver´an afectados por dicho operador diferencial. La idea detr´as de la derivada covariante es, precisamente, definir una generalizaci´on de la derivada como un operador diferencial que transforme como un tensor de rango 2 bajo cambio de coordenadas, permitiendo definir magnitudes invariantes en coordenadas curvas. La derivada covariante para el caso de un vector es ∇µVρ=∂µVρ+ Γρ µνVν(3.25) donde Γρ µν es el s´ımbolo de Christoffel (conexi´on de Levi-Civita). Observando la definici´on de la derivada covariante para un vector es inmediato comprobar que act´ua como la derivada parcial y, adem´as, un t´ermino de correcci´on dependiente 9 del transporte paralelo. En general, se introduce un t´ermino de correcci´on por cada ´ındice del tensor. La generalizaci´on para un tensor de rango (m,n) es de la forma ∇ρTµ1...µm ν1...νn=∂ρTµ1...µm ν1...νn+Γµ1 ρλTλµ2...µm ν1...νn+...+Γµm ρλ Tµ1...µm−1λ ν1...νn−Γλ ρν1Tµ1...µm λν2...νn−...−Γλ ρνnTµ1...µm ν1...νn−1λ (3.26) Dentro de la Relatividad General es imprescindible aplicar el concepto de derivada covariante no s´olo a coordenadas curvil´ıneas sino tambi´en a variedades. Una variedad N- dimensional MNes un espacio que localmente es plano, pero no lo es globalmente. En cada punto de la variedad se puede definir el espacio tangente en el punto p, Tp(MN), y ese espacio es isomorfo a RN; es decir, es plano. En Relatividad General, en la mayor´ıa de casos, este espacio plano es el de Minkowski (m´etrica lorentziana). Cuando se dice que una variedad es localmente RNlo que se quiere decir es que se comporta de esa forma en un entorno peque˜no alrededor de p, que se denomina espacio tangente Tp(MN). Ya que la variedad no es igual en todos los puntos del espacio y dicha aproximaci´on es s´olo v´alida localmente se define el haz de planos tangentes T(MN) (v´ease Fig. 2 ), que recoge los planos tangentes en cada punto de la variedad. Figura 2: Espacio tangente Tp(M) formado por todos los planos tangentes en cada punto de la variedad. [4] La forma de conectar desde un plano tangente a otro es lo que se conoce como conexi´on af´ın. Lo que hace una conexi´on af´ın es realizar un transporte paralelo de un vector a lo largo de una curva dentro de la variedad (v´ease Fig. 3). Se puede ver la derivada covariante como la correcci´on que se le debe de hacer a un vector tras cambiar de un plano tangente a otro para que vuelva a ser el mismo vector, es decir, para que el ”transporte”de una parte de la variedad a otra haya sido paralelo. Hay muchas formas de definir una conexi´on Γρ µν, aunque los criterios que se suelen seguir en Relatividad General suelen tomarse para simplificar c´alculos que haya que realizar con ellas y acorde a una forma intuitiva de 10 transporte paralelo que nos da la experiencia. Figura 3: Transporte paralelo de un vector [4] La conexi´on m´as ´util en Relatividad General es la antes mencionada Conexi´on de Levi-Civita, la cual cumple dos propiedades: 1. Es sim´etrica:Γρ µν = Γρ νµ 2. La derivada covariante de la m´etrica es nula: ∇µgνρ ≡0 3.3 Acci´on en una variedad Una propiedad importante a destacar de las variedades es el c´alculo de integrales en una variedad, que viene dado por ZdNxpkgkf(x) (3.27) En concreto, es importante el c´alculo de la acci´on para una densidad lagrangiana L ZdNxpkgkL (3.28) Para el caso del electromagnetismo, la forma que tiene la acci´on en relatividad general es ZdNxpkgk−1 4FµνFµν(3.29) donde Fµν es el Tensor Electromagn´etico, definido como Fµν =∂µAν−∂νAµ 3.4 S´ımbolos de Christoffel. Medida de la curvatura: Tensor de Riemann, Tensor de Ricci y Escalar de Ricci. Cuando se trata de realizar la conexi´on de Levi-Civita una de las formas m´as sencillas de calcular todos los par´ametros es a trav´es de los s´ımbolos de Christoffel4. Los s´ımbolos 4Concretamente, estos son los s´ımbolos de Christoffel hol´onomos, existe una generalizaci´on para sistemas no-hol´onomos pero no se usar´a en este trabajo (en general no se suele usar en R.G.) 11 de Chistoffel consisten en una definici´on de la conexi´on Γρ µν a partir de la m´etrica de la variedad Γρ µν =1 2gρλ (∂µgλν +∂νgµλ −∂λgµν) (3.30) Una vez definida una conexi´on, el siguiente paso a dar es el estudio de la curvatura de una variedad. La forma de definir la curvatura es a partir del transporte paralelo: Una variedad es curva si el transporte paralelo de un vector a trav´es de una curva cerrada da lugar a un vector diferente al retornar al punto de partida. El objeto matem´atico que se define para medir dichas variaciones es el Tensor de Riemann Rλ µνρ o, an´alogamente, el Tensor de Riemann covariante Rµνρλ, que se definen como Rλ µνρ =∂µΓλ νρ −∂νΓλ µρ + Γλ µσΓσ νρ −Γλ νσΓσ µρ (3.31) Rµνρλ =gλσRσ µνρ (3.32) Dada la relaci´on que establece el tensor de Riemann con el transporte paralelo, se puede determinar si una variedad es plana si todas las componentes del tensor de Riemann son id´enticamente cero. Para medir y comparar curvaturas debe de hacerse siempre bajo una misma conexi´on por una cuesti´on de consistencia, ya que el tensor de Riemann depende de la conexi´on que se emplee para calcularlo. Si se contrae el segundo ´ındice del tensor de Riemann con el cuarto se obtiene el tensor de Ricci Rµν =gρλRµρνλ =Rρ µρν (3.33) Si se contrae el tensor de Ricci, es decir, si se contraen todas las componentes del tensor de Riemann se obtiene el escalar de curvatura o escalar de Ricci R=gµνRµν (3.34) El escalar de Ricci es invariante bajo cambios generales de coordenadas y condensa mucha informaci´on sobre la curvatura de la variedad. Se relaciona con la diferencia entre un volumen geod´esico en la variedad y un volumen geod´esico en la m´etrica euclidea. Resumidamente: Si una m´etrica es plana su escalar de Ricci es cero, si es ’convexa’ su escalar de Ricci es mayor que cero y si en ’c´oncava’ su escalar de Ricci es menor que cero. 3.5 Formalismo de Vielbein. El formalismo de Vielbein es una forma de trabajar con las variedades usando el concepto de haz de planos tangentes como se ha explicado anteriormente. Un Vielbein consiste en un cambio general de coordenadas que relaciona coordenadas en la variedad {|eµi} con 12 coordenadas en el haz de planos tangentes TP(MN) en un punto arbitrario P, con una base de coordenadas {|eαi}5 |eµi=eα µ(P)|eαi(3.35) los coeficientes del vielbein eα µson las componentes del vector base |eµien la base |eµi, que parametrizan el cambio de base. La forma de calcular cada uno de esos coeficientes es eµ α=∂xµ ∂x0α(3.36) Se define el vielbein inverso fµ αverificando la relaci´on eα µfν α=δν µ(3.37) Una vez definidos los vielbeins y vielbeins inversos, es posible transformar vectores covariantes y contravariantes de una base a otra de la forma Vα=eα µVµ(3.38) Vµ=eµ αVα(3.39) Tambi´en se puede relacionar la m´etrica de la variedad, y su inversa, con la m´etrica del espacio tangente a trav´es de los vielbeins: gµν =eα µgαβeβ ν(3.40) gµν =fµ αgαβfν β(3.41) ya que la m´etrica gαβ corresponde a un espacio plano, lo habitual es elegir una m´etrica cartesiana como son la eucl´ıdea o la lorentziana. En el cap´ıtulo dedicado espec´ıficamente a Kaluza-Klein se emplear´a una m´etrica lorentziana. 5Notar que se est´a usando letras del principio del abecedario griego (α,β) para el espacio tangente y letras del final (µ,ν) para la variedad 13 4 Fundamentos de la Teor´ıa de la Relatividad General Ya en 1907, un par de a˜nos despu´es de la publicaci´on de la relatividad especial, Einstein se dio cuenta de que la teor´ıa de la gravedad newtioniana era incompatible con la relatividad especial. Hay varias maneras de ver esto. Un primer concepto que es contradictorio en ambas teor´ıas es el tiempo. En la gravedad newtoniana el tiempo es una magnitud absoluta independiente del espacio, id´entico para cualquier observador. Sin embargo, en relatividad especial cada observador tiene un tiempo propio particular. Otro concepto contradictorio es la velocidad de propagaci´on de la fuerza gravitatoria. Dentro de la gravedad newtoniana, si se modifica la distribuci´on de masa, el potencial gravitatorio cambia autom´aticamente en todo el espacio y s´olo depende de la distancia. Mientras tanto, en relatividad especial los campos electromagn´eticos se propagan, necesariamente a velocidades iguales a c en el vac´ıo. En definitiva, la propagaci´on instant´anea del potencial gravitatorio en todo el espacio implicar´ıa velocidades mayores a la de la luz y romper´ıa con el principio de causalidad. Einstein entonces encontraba necesario encontrar una teor´ıa din´amica de la gravedad que fuese compatible con la velocidad de propagaci´on finita para estar conforme a la relatividad especial. Si el paso de la electroest´atica a la electrodin´amica (teor´ıa de Maxwell) es un proceso complicado, m´as a´un lo es el paso de la gravedad newtoniana a la relatividad general. A Einstein le llev´o 10 a˜nos desde que se plante´o la reatividad especial para conseguir formular la relatividad general. En primer lugar dio con el planteamiento del Principio de Equivalencia, despu´es con el Principio de Covariancia y, finalmente, la relatividad general. En este trabajo no se puede hacer justicia al trabajo de esos 10 a˜nos pero s´ı se va a introducir, brevemente, los principios que defini´o Einstein y las herramientas matem´aticas propias de la relatividad general. 4.1 Principio de equivalencia. Origen de la teor´ıa. El primer razonamiento ´util consiste en considerar la gravedad como una fuerza ficticia como puede ser dentro de la gravedad newtoniana la fuerza de Coriolis o la fuerza centr´ıfuga. Seg´un la Segunda Ley de Newton ~ F=m~a en un sistema inercial la aceleraci´on ~a de una part´ıcula es debida a la fuerza ~ Fque act´ua sobre ella, y la masa que las relaciona es la masa inercial. En sistemas no inerciales las part´ıculas no seguir´an trayectorias rec- 14 tas debido a la aceleraci´on que sufre el propio sistema de referencia. Sin embargo, si un sistema no inercial atribuye la aceleraci´on que sufre a las part´ıculas que mide mediante el uso de fuerzas no inerciales, puede considerarse a s´ı mismo como un sistema inercial. En definitiva, un sistema inercial puede medir la aceleraci´on de una part´ıcula como si ´el mismo fuese un sistema inercial si introduce fuerzas ficticias ~ fque sean responsable de la aceleraci´on no inercial que sufre la part´ıcula ~an.i., ~ F+~ f=m(~a +~an.i.) (4.1) Hasta este momento, la masa inercial y la masa gravitatoria se hab´ıan considerado la misma en base a observaciones pero sin ning´un motivo te´orico aparente que los ligase, sin embargo, a trav´es de este razonamiento aparecen unificadas directamente al considerar la gravedad como una fuerza inercial sin m´as. El origen de esta idea es darse cuenta de que las part´ıculas en ca´ıda libre dentro de un campo gravitatorio son, localmente, equivalentes a part´ıculas libres en un sistema inercial, sobre el que no act´ua ninguna fuerza. La formulaci´on m´as general del principio de equivalencia es: Observadores en ca´ıda libre bajo la influencia de un campo gravitatorio general son localmente equivalentes a observadores inerciales. No hay experimentos locales que puedan distinguir entre estas dos situaciones. Despu´es de haber repasado los fundamentos de geometr´ıa diferencial en los cap´ıtulos anteriores resulta intuitivo el funcionamiento de la relatividad general: El campo gravitatorio es el efecto local, en un plano tangente, que produce la curvatura general del espacio, en toda la variedad. Es decir, la localidad de la que habla el principio de equivalencia es similar a la consideraci´on del espacio tangente plano que se hace en una variedad en geometr´ıa diferencial. En realidad, lo que supone el planteamiento de Einstein es que la gravedad, entendida como una fuerza ficticia, se debe a la curvatura del espacio-tiempo. Las trayectorias que realizan las part´ıculas son el equivalente a l´ıneas rectas, pero en el espacio curvo: una geod´esica (ver Fig. 4). Estas geod´esicas al definirse en un espacio lorentziano (m´etrica (+,- ,-,-)) no s´olo son las curvas de menor longitud entre dos puntos, sino que dicha longitud es id´enticamente 0 para la velocidad de la luz, siendo esta la m´axima velocidad alcanzable. La comparaci´on entre la gravedad enunciada seg´un la Segunda Ley de Newton y la gravedad seg´un la relatividad general es ¨xi−Fi g m= 0 (4.2) ¨xµ+ Γµ νρ ˙xν˙xρ= 0 (4.3) 15 Figura 4: Comparaci´on entre geod´esicas y la acci´on de fuerzas ’ficticias’ si se fuerza el uso de coordenadas planas en un espacio curvado [4] donde Fi ges la componente i de la fuerza gravitatoria, y Γmu νρ corresponde al s´ımbolo de Christoffel correspondiente. La ecuaci´on (4.3) es la ecuaci´on de una geod´esica m´etrica usando la conexi´on de Levi-Civita. Explicar el movimiento a trav´es de dichas geod´esicas, pese a partir de la equivalencia entre masas inercial y gravitatoria, es extensible a cualquier part´ıcula. Una consecuencia de ello es que las part´ıculas sin masa tambi´en sufren la gravedad, pues esta no es una interacci´on con su masa sino una deformaci´on del tejido espacio-temporal. As´ı fue como Einstein predijo el efecto de las lentes gravitacionales[8], uno de los test de la teor´ıa que despu´es fue satisfactoriamente comprobado experimentalmente. Una propiedad que se obtiene a partir de la formulaci´on geom´etrica del principio de equivalencia es el Principio de Covariancia. El principio de covariancia se enuncia: Las leyes de la f´ısica deben tener la misma forma en todos los sistemas de referencia, es decir, deben transformar de manera covariante bajo cambios generales de coordenadas. 4.2 Ecuaciones de Einstein En el apartado anterior se ha explicado c´omo Einstein describi´o la gravedad como una manifestaci´on puramente geom´etrica, en concreto, como la curvatura del espacio. Sin embargo, la teor´ıa de la relatividad no estar´ıa terminada sin explicar c´omo se curva dicho espacio y qu´e lo curva. A partir de la expresi´on de la energ´ıa en la relatividad especial E2= (mc2)2+ (pc)2 16 sabemos que la energ´ıa, el momento y la masa en reposo est´an ´ıntimamente relacionados. Adem´as, sabemos que en la gravedad newtoniana la masa produc´ıa los campos gravitatorios. Teniendo en cuenta los antecedentes, se hace razonable pensar que en relatividad general la deformaci´on del espacio-tiempo es producida por fuentes de energ´ıa, momento y/o materia. As´ı es como nace el concepto del tensor de energ´ıa-momento Tµν. El tensor de energ´ıa-momento debe ser definido seg´un el caso. Se tratan las fuentes de energ´ıa (materia-momento) como fluidos y se definen diferente forma seg´un su origen. Por ejemplo, para un conjuntos de part´ıculas que no interaccionan entre s´ı (’materia fr´ıa’) el tensor de energ´ıa-momento es Tµν (mat)=ρuµuµ(4.4) donde ρes la densidad y uµcorresponde a la cuadrivelocidad. En el caso del campo electromagn´etico, el tensor de energ´ıa-momento viene definido como Tµν (em)=FµρFν ρ−1 4gµνFρλFρλ (4.5) Si se procede a un desglose de las componentes el tensor energ´ıa-momento electromagn´etico se pueden diferenciar expresiones conocidas en el electromagnetismo: (4.6a)T00 (em)=1 2(E2+B2) (4.6b)T0i (em)= ( ~ E×~ B)i (4.6c)Tij (em)=EiEj+BiBj+1 2δij(E2+B2) La primera componente, T00 (em), es la expresi´on para la densidad de energ´ıa del campo electromagn´etico, las componentes T0i (em)son las componentes del Vector de Poynting (~ S=~ E×~ B) y las componentes Tij (em)corresponden al tensor de Maxwell. Todas estas magnitudes son empleadas en la teor´ıa cl´asica de campos del electromagnetismo y representan el flujo de energ´ıa y momento del campo electromagn´etico. Es inmediato comprobar que en el tensor Tµν (em)es sim´etrico en sus dos ´ındices. Tambi´en es notable que en este tensor no hay contribuci´on de ninguna masa, s´olo energ´ıa y momento; lo cual se debe a que los fotones no tienen masa. La divergencia del tensor energ´ıa-momento da lugar a la relaci´on ∂µTµν (em)=jµFµν (4.7) donde jµes la densidad de corriente. Esta igualdad indica que la energ´ıa se conserva en ausencia de fuentes de carga el´ectrica. En ausencia de fuentes, la expresi´on toma la forma ∂µTµν (em)= 0 (4.8) 17 El siguiente paso natural es definir la m´etrica del espacio como ˆgµν = gµν gµ4 g4νg44 !(6.2) la cual est´a escrita en forma compacta 2 x 2. Como se menciona en el apartado espec´ıfico de notaci´on, los ´ındices en ˆgµν van desde 0 hasta 4, mientras que en gµν van desde 0 a 3. La parte correspondiente a las 3+1 dimensiones habituales est´an recogidas en gµν, mientras que las componentes gµ4yg44 recogen informaci´on correspondiente a la dimensi´on extra. Recordemos, en primer lugar, la definici´on de las componentes del tensor m´etrico a partir del producto escalar de los vectores de la base: ˆgµν =eµ·eν(6.3) Teniendo en cuenta que el vector e4no es ortonormal a los dem´as elementos de la base, podemos hacer una descomposici´on (v´ease Fig. 5) de cualquiera de los otros vectores en funci´on a su componente paralela y ortonormal al vector e4: eµ=eµ|| +eµ⊥(6.4) eµ⊥·e4=0(6.5) e¯|| =gµ4 g44 e4(6.6) Figura 5: Decomposici´on vectorial de la cuarta componente en los elementos de la base [12] Con esta descomposici´on, el producto entre dos vectores cualquiera de la base entre s´ı, i.e., las componentes del tensor m´etrico quedan de la forma ˆgµν = (e¯⊥+e¯||)·(e˚⊥+e˚||) = e¯⊥·e˚⊥+e¯||·e˚|| =g(4) µν +gµ4gν4 g44g44 e4·e4=g(4) µν +gµ4gν4 g44 (6.7) Se define:    Aµ=gµ4 g44 , φ=g44, (6.8) Entonces el tensor m´etrico queda de la forma ˆgµν = g(4) µν +φAµAνφAµ φAνφ!(6.9) 24 La variable φes un campo escalar conocido como el campo del Dilat´on. Este campo est´a directamente relacionado con el tama˜no de la dimensi´on compactificada. Es necesario tener en cuenta dos consideraciones sobre las magnitudes que se han ido definiendo hasta ahora. Una de ellas es la condici´on cil´ındrica ∂4gµν = 0 (6.10) esta condici´on fue incluida en la propuesta inicial de Kaluza y carga de sentido que la 5a dimensi´on no sea observable. Debido a esta condici´on, las 1+3 dimensiones del espacio observable son independientes de la dimensi´on extra, que s´olo se manifestar´a como un campo de fuerzas covariante. Por otro lado, el campo Aµtransforma de la forma A0 µ=Aµ+∂µ(6.11) lo cual significa que es un campo covariante. Como se comprobar´a posteriormente, est´a estrechamente relacionado con el campo electromagn´etico. Para el c´alculo de los vielbeins, tambi´en es necesario establecer un ansatz, no hay una elecci´on ´unica pero aqu´ı, por simplicidad, se ha seleccionado uno disponible en la bibliograf´ıa [13] pero siendo modificado para ajustarse mejor a los criterios de signos empleados. Con este ansatz, podemos calcular el vielbein inverso as´ı como la m´etrica inversa. Usaremos la m´etrica de Minkowski para el c´alculo de la m´etrica inversa en el lugar de gµν pero, como se comprobar´a posteriormente, podremos sustituir de nuevo por la m´etrica gen´erica gµν9. Recordemos en primer lugar las expresiones que determinan los Vielbeins para aproximar la m´etrica general a una variedad plana local con forma de m´etrica de Minkowski (ηαβ): eµ α=∂xµ ∂x0α(6.12) ˆgµν =eα µˆηαβeβ ν(6.13) ˆgµν =fµ αˆηαβfν β(6.14) Donde ηµν es la m´etrica de Minkowski en 4 dimensiones, ˆηµν es la m´etrica de Minkowski en 5 dimensiones en la aproximaci´on necesaria para los Vielbeins, ˆgµν es la m´etrica en 5D y gµν es una m´etrica en 4D contenida en nuestra m´etrica. El ansatz para los vielbeins ser´a eα µ= δα µ0 √−φAµ√−φ!(6.15) 9Estos c´alculos est´an disponibles en el anexo 25 Una vez definidos esos ans¨atze usando ´algebra matricial10 es posible calcular la m´etrica inversa y el vielbein inverso. La m´etrica inversa viene dada por ˆgµν = gµν (4) −Aµ −AνAmAm+1 φ!(6.16) Por otra parte, el vielbein inverso es fµ α= δµ α−Aµ 01 √−φ!(6.17) 6.3 El espacio pentadimensional de Kaluza-Klein 6.3.1 S´ımbolos de Christoffel para la m´etrica de K-K A continuaci´on, se proceder´a a un c´alculo ab initio de los tensores ge´ometricos que se derivan del ans¨atze anteriormente propuesto. El lector podr´a as´ı comprobar como surge de manera natural la unificaci´on entre electromagnetismo y gravedad. Tambi´en podr´a comprobar la dificultad y extensi´on de dichos c´alculos que, a veces, ser´an abreviados mediante aproximaciones o referencias externas. Los s´ımbolos de Christoffel se calcular´an para una m´etrica gen´erica gµν en 4D, que se supone lorentziana pero no necesariamente plana (si no, no habr´ıa gravedad involucrada). Si recordamos la definici´on de los s´ımbolos de Christoffel: ˆ Γλ µν =1 2ˆgλX(∂µˆgνX +∂νˆgµX −∂Xˆgµν) (6.18) A priori, se estima que hay que calcular 53= 125 s´ımbolos diferentes. Sin embargo, es inmediato comprobar que los ´ındices inferiores son sim´etricos entre s´ı, lo cual reduce el n´umero de s´ımbolos de Christoffel razonablemente: #ˆ Γλ µν = 5 ·CR5,2= 5 ·5+2−1 2= 75; (5D) #Γλ µν = 4 ·CR4,2= 4 ·4+2−1 2= 40; (4D) Adem´as, la parte correspondiente a la m´etrica gµν es desconocida. Todos los s´ımbolos de Christoffel que hay que calcular para proseguir con los c´alculos de la m´etrica ser´an: ˆ Γλ µν,ˆ Γλ µλ,ˆ Γ4 µ4,ˆ Γλ 44,ˆ Γλ µ4,ˆ Γ4 µν,ˆ Γλ λ4,ˆ Γ4 44(11). Calcularemos la cardinalidad propia de cada uno de estos s´ımbolos, esto es, calcularemos cu´antos s´ımbolos realmente quedan definidos con cada una de esas expresiones. Por ejemplo: ˆ Γλ λλ sirve para definir con un resultado los s´ımbolos ˆ Γ0 00 ,ˆ Γ1 11,ˆ Γ2 22 yˆ Γ0 00 por las simetr´ıas que presenta la m´etrica; sin embargo, el 10En el anexo se encuentran dichos c´alculos y notas sobre su validez 11No se calculan de forma expl´ıcita ˆ Γλ µµ yˆ Γλ λλ por obtenerse trivialmente a partir de otros s´ımbolos. 26 s´ımbolo ˆ Γ4 44 debe ser definido independientemente. Para calcular la cardinalidad de cada tipo de s´ımbolo se supone que dos ´ındices son el mismo solo si van denotados mediante la misma letra. Los c´alculos correspondientes a la cardinalidad de cada s´ımbolo son #ˆ Γλ µν = 4 ·C3,2= 4 ·3 2= 12 (6.19) #ˆ Γλ µλ =V4,2=4! 2! = 12 (6.20) #ˆ Γλ µµ =V4,2= 12 (6.21) #ˆ Γλ λλ = 4 (6.22) #ˆ Γλ µ4=V4,2= 12 (6.23) #ˆ Γ4 µν =CR4,2= 10 (6.24) #ˆ Γ4 µ4= 4 (6.25) #ˆ Γλ 44 = 4 (6.26) #ˆ Γλ λ4= 4 (6.27) #ˆ Γ4 44 = 1 (6.28) (6.29) Es inmediato comprobar que las componentes correspondientes al espacio 4D suman 40 en total y si las sumamos todas obtenemos un total de 75. Para los c´alculos posteriores es importante tener en mente las leyes de subir y bajar ´ındices Aµ=gλµAλ, las propiedades de los tensores electromagn´eticos (Fµν es antisim´etrico) y aclarar el uso de los´ındices: ninguno de los´ındices se refiere a componentes del tensor m´etrico en la 4adimensi´on espacial; excepto en la primera contracci´on, tras la cual se separan los t´erminos correspondientemente (esto es: X es el ´unico ´ındice que incluye t´erminos relacionados con x4). Por otra parte ˆ Γλ µν se refiere a s´ımbolos de Christoffel en 5D y Γλ µν a s´ımbolos de Christoffel en 4D. En la m´etrica, de la misma forma, ˆgµν corresponde a 5D ygµν a 4D. Tal y como se explic´o antes, en la realizaci´on de este trabajo se ha procedido a los c´alculos ab initio a partir de la m´etrica para obtener todos los resultados de la teor´ıa; no obstante, los c´alculos de los s´ımbolos de Christoffel son largos y complicados as´ı que aqu´ı s´olo se mostrar´an los resultados obtenidos (en el anexo del trabajo se encontrar´an todos los c´alculos correspondientes). A continuaci´on se mostrar´a el c´alculo de uno de estos 27 s´ımbolos ˆ Γλ µν, como ejemplo: ˆ Γλ µν =1 2ˆgλX (∂µˆgνX +∂νˆgµX −∂Xˆgµν) =1 2ˆgλσ(∂µˆgνσ +∂νˆgµσ −∂σˆgµν) + 1 2ˆgλ4(∂µˆgν4+∂νˆgµ4−∂4ˆgµν) =1 2gλσ(∂µ(gνσ +φAνAσ) + ∂ν(gµσ +φAµAσ)−∂σ(gµν +φAµAν)) +1 2(−Aλ)(∂µ(φAν) + ∂ν(φAµ)−∂4(gµν +φAµAν)) =1 2gλσ(∂µ(gνσ) + ∂ν(gµσ)−∂σ(gµν)) +1 2gλσ(∂µ(φAνAσ) + ∂ν(φAµAσ)−∂σ(φAµAν)) −1 2gλσ(Aσ)(∂µ(φAν) + ∂ν(φAµ)) = Γλ µν +φ 2gλσ(∂µ(Aσ)Aν+∂µ(Aν)Aσ+∂ν(Aσ)Aµ+∂ν(Aµ)Aσ−∂σ(Aµ)Aν −∂σ(Aν)Aµ−Aσ∂µ(Aν)−Aσ∂ν(Aµ)) +1 2gλσ(AσAν∂µ(φ) + AσAµ∂ν(φ)−AµAν∂σ(φ)−AσAν∂µ(φ)−AσAµ∂ν(φ)) = Γλ µν +φ 2gλσ(Aν(∂µAσ−∂σAµ) + Aµ(∂νAσ−∂σAν)) −1 2gλσ(AµAν∂σ(φ)) = Γλ µν +φ 2gλσ(AνFµσ +AµFνσ)−1 2gλσ(AµAν∂σ(φ)) = Γλ µν +φ 2(AνFλ µ+AµFλ ν)−1 2(AµAν∂λ(φ)) Procediendo an´alogamente para el resto de s´ımbolos se obtienen todas las expresiones para los s´ımbolos de Christoffel: (6.30a) ˆ Γλ µν = Γλ µν +φ 2(AνFλ µ+AµFλ ν)−1 2(AµAν∂λ(φ)) (6.30b) ˆ Γλ µλ = Γλ µλ +φ 2AσFµσ −1 2AµAσ∂σ(φ) (6.30c) ˆ Γ4 µν =1 2(∂µ(Aν) + ∂ν(Aµ)) −φ 2Aλ(AνFλ µ+AµFλ ν) +AµAνAσ∂σ(φ) + 1 2φ(Aν∂µ(φ) + Aµ∂ν(φ)) (6.30d) ˆ Γ4 µ4=−1 2(Aσ)(φFµσ −Aµ∂σ(φ)) + 1 2φ∂µ(φ) (6.30e) ˆ Γλ 44 =−1 2∂λ(φ) (6.30f) ˆ Γ4 44 =1 2Aσ∂σ(φ) (6.30g) ˆ Γλ µ4=1 2φFλ µ−1 2Aµ∂λ(φ) (6.30h) ˆ Γλ λ4= 0 28 6.3.2 Tensor de Ricci Recordemos en primer lugar la expresi´on del tensor de Ricci ˆ Rµν =∂Xˆ ΓX µν −∂νˆ ΓX Xµ +ˆ ΓX XY ˆ ΓY µν −ˆ ΓX νY ˆ ΓY Xµ (6.31) Para hacer estos c´alculos m´as sencillos vamos a suponer que φ=cte, lo que simplifica considerablemente la forma de los s´ımbolos de Christoffel: (6.32a) ˆ Γλ µν = Γλ µν +φ 2(AνFλ µ+AµFλ ν) (6.32b) ˆ Γλ µλ = Γλ µλ +φ 2AσFµσ (6.32c) ˆ Γ4 µν =1 2(∂µ(Aν) + ∂ν(Aµ)) −φ 2Aλ(AνFλ µ+AµFλ ν) (6.32d) ˆ Γ4 µ4=−1 2(Aσ)(φFµσ) (6.32e) ˆ Γλ 44 = 0 (6.32f) ˆ Γ4 44 = 0 (6.32g) ˆ Γλ µ4=φ 2Fλ µ (6.32h) ˆ Γλ λ4= 0 As´ı ya podemos calcular las componentes del tensor de Ricci. De nuevo, se simplificar´an los c´alculos directamente para no alargar innecesariamente esta parte. Es importante mencionar que la condici´on cil´ındrica, por extensi´on, afecta tambi´en a los s´ımbolos de Christoffel: ∂4(ΓZ XY ) = 0. Los c´alculos, igual que en apartado anterior, se encontrar´an disponibles en el anexo del trabajo. Las expresiones correspondientes para las componentes del tensor de Ricci son: (6.33a) ˆ R44 =φ2 4FλσFλσ (6.33b) ˆ Rµ4=φ 2∂κFκ µ+φ2 4AµFαβFαβ (6.33c) ˆ Rµν =R(4) µν +φ 2(Aµ∂κFκ ν+Aν∂κFκ µ) −φ2 4AµAνFαβFαβ +φ 4(Fλ νFλµ +Fλ µFλν) 6.3.3 Escalar de Ricci En este caso, la expresi´on del escalar de Ricci es de la forma ˆ R= ˆgµν ˆ Rµν =gµνRµν + 2ˆgµ4ˆ Rµ4+ ˆg44 ˆ R44 (6.34) 29 ˆ R=R(4) +φ 2(2Aσ∂κFκ σ+φ2 4AκAκFαβFαβ −φ 4(2FαβFαβ) −2φ 2Aσ∂κFκ σ+φ2 4AκAκFαβFαβ+1 φ+AκAκφ2 4FαβFαβ =R(4) +φ2 4−2φ2 4+φ2 4AκAκFαβFαβ +−φ 2+φ 4FαβFαβ =R(4) −φ 4FαβFαβ Si se hubiese considerado el campo escalar φcomo no-constante los c´alculos habr´ıan aumentado considerablemente tanto en dificultad como extensi´on y hacerlo manualmente como se ha hecho al elaborar este trabajo es demasiado tedioso. Consultando bibliograf´ıa externa [14] [13] se puede encontrar el resultado de esta operaci´on debidamente calculada con software de c´alculo simb´olico: ˆ R=R(4) −φ 4FαβFαβ −2 √−φ∂κ∂κp−φ 6.4 La acci´on de Kaluza-Klein La acci´on de Kaluza-Klein es el resultado de aplicar la acci´on de Einstein-Hilbert al espacio 5D propuesto por Kaluza-Klein. Recordemos la expresi´on de la acci´on de E-H como aparece en (4.12): SE−H=αZd4xER =αZd4xpkgkR(6.35) donde kgkes el determinante de la matriz del tensor m´etrico, αes una constante de normalizaci´on (α= 1/16πG = 1/2k) y R es el escalar de Ricci. La generalizaci´on queda de la forma SK−K= ˆαZd5xˆ Eˆ R= ˆαZd5xpkˆgkˆ R(6.36) Definir la acci´on en 5 dimensiones tiene el mismo efecto que en la Relatividad General usual en 4D. La integral de acci´on define una densidad lagrangiana asociada ˆ L=pkˆgkˆ R, a partir de la cual se pueden obtener las ecuaciones de Euler-Lagrange y las ecuaciones de Einstein derivando respecto alguna coordenada generalizada o la m´etrica inversa gµν respectivamente. 6.4.1 M´etrica plana Haciendo uso del ans¨atze de m´etrica plana en el que la m´etrica se construye a partir de la m´etrica de Minkowski, el determinante de la matriz [ˆgµν] se puede calcular gracias a los vielbeins de forma muy sencilla kˆgµνk=keα µkkˆηαβkkeβ νk=p−φ(+1)p−φ=−φ(6.37) 30 recordando que [eα µ] es una matriz triangular, as´ı que su determinante es el producto de su diagonal. Tambi´en es conveniente recordar en el espacio de Minkowski R(4) = 0, al tratarse de una m´etrica plana. La acci´on generalizada ahora es S= ˆαp−φZd5xφ 4FαβFαβ −2 √−φ∂κ∂κp−φ(6.38) Si a˜nadimos a la integral de la acci´on los valores correspondientes e integramos respecto a la dimensi´on extra, esta queda de la forma SEfectiva = 2πRˆαp−φ−Zd4xφ 4FαβFαβ −Zd4x2 √−φ∂κ∂κp−φ(6.39) Donde R es el radio de la dimensi´on extra, es decir, la longitud del anillo que forma dicha dimensi´on es L= 2πR. Si ahora suponemos que el campo del dilat´on es constante y con valor φ=−1, se sustituir´a α= 2πRˆα=Lˆαy se definir´a el cuadrivector gauge como Aµ=Aµ/√−α, siendo Aµel cuadripotencial electromagn´etico usual. De esta forma se obtiene una acci´on efectiva que no es otra que la acci´on electromagn´etica en Relatividad Especial12 SEfectiva =−Zd4x1 4FαβFαβ =SEM (6.40) Este resultado no deja de ser impresionante pues seg´un ´el, en la teor´ıa de Kaluza-Klein, a´un siendo el espacio plano se presenta una curvatura en la dimensi´on extra que no es otra cosa que el campo electromagn´etico. Es decir, de ser este resultado cierto, los campos cl´asicos dejar´ıan de ser entes f´ısicos que se propagan en el espacio y pasar´ıan a ser parte del espacio-tiempo. 6.4.2 M´etrica gen´erica Cuando la m´etrica a partir de la cual se construye ˆgµν no es plana, usando el ansatz de Klein, a´un se puede calcular el determinante de ˆgµν[14] como kˆgµνk=−φkgµνk(6.41) Procedemos de forma an´aloga al caso de la m´etrica plana: S= ˆαp−φqkgµνkZd5xR(4) −φ 4FαβFαβ −2 √−φ∂κ∂κp−φ(6.42) 12N´otese que se obtiene la acci´on en Relatividad Especial pues esta es el caso l´ımite de la Relatividad General cuando el espacio es plano 31 y tras integrar en la dimensi´on extra queda SEfectiva = 2πRˆαp−φqkgµνkZd4xR(4) −Zd4xφ 4FαβFαβ −Zd4x2 √−φ∂κ∂κp−φ (6.43) Al evaluar en el caso φ=−1 y haciendo las mismas sustituciones que antes obtenemos SEfectiva =qkgµνkZd4xαR(4) −1 4FαβFαβ (6.44) Esta es, exactamente, la acci´on de Einstein-Maxwell [4] como aparece en (4.15). Esta acci´on modela los campos electromagn´eticos dentro de un espacio-tiempo curvo en el marco de la Relatividad General en ausencia de fuentes de carga. Al ser este el caso m´as general el resultado tiene las mismas implicaciones al suponer un cambio de paradigma en la definici´on de campo, seg´un la teor´ıa de Kaluza-Klein los campos ya no se encuentran en el espacio sino que son parte de la misma entidad. 6.5 Ecuaciones de Einstein y de Euler-Lagrange en el espacio de Kaluza-Klein A partir de la Acci´on definida anteriormente es trivial extraer una expresi´on para la funci´on lagrangiana del sistema L=qkgµνkp−φαR(4) +φ√−φ 4FαβFαβ −2α∂κ(∂κp−φ)(6.45) Por simplicidad se sustituir´a ψ=√−φ, y se extraer´a el resultado de la bibliograf´ıa [14]. Variando esta expresi´on en funci´on de la m´etrica se pueden obtener las ecuaciones de Einstein: δL δgµν = 0 (6.46) Las ecuaciones de Einstein quedan ψRµν −1 2gµνψR =ψ3 2αFµνFρ ν−1 4gµνFρλFρλ+ (∂µ∂νψ−gµν∂κ∂κψ) (6.47) La parte izquierda de esa igualdad corresponde al tensor de Einstein, mientras que la parte derecha corresponde al tensor energ´ıa-momento electromagn´etico-dilat´on. Una vez m´as, podemos comprobar como en el caso φ=−1→ψ= 1 se simplifican las ecuaciones hasta quedar solo las ecuaciones de Einstein del electromagnetismo en espacio curvo [4]: Rµν −1 2gµνR=1 2αFµνFρ ν−1 4gµνFρλFρλ(6.48) 32 Tal y como se mencion´o en el apartado 4.3 de este documento, las ecuaciones de Euler- Lagrange respecto a Aµpermite obtener la ecuaci´on de Maxwell en ausencia de fuentes (para espacio curvo). En este caso es inmediato comprobar que se obtiene el mismo resultado pues la acci´on de partida es id´entica frente a la variable Aµya que el campo adicional del dilat´on no tiene ning´un t´ermino vinculado a dicho campo Aµ. 6.6 Campo fermi´onico en el espacio K-K Para definir un campo fermi´onico en el espacio de Kaluza-klein es necesario recurrir a la conexi´on de esp´ın para definir el campo fermi´onico en teor´ıa cu´antica de campos extendida a espacios curvos. Para ello, partiremos desde el formalismo de Dirac pero se generalizar´a la derivada parcial a la derivada covariante tal y como se vio en el apartado 4. La acci´on de Dirac originalmente en Teor´ıa Cu´antica de Campos, en 4D, es de la forma SD=Zd4x(Ψ†γµ∂µ−m)Ψ + h.c.(6.49) Haciendo uso del ans¨atze de m´etrica plana, en la generalizaci´on a 5 dimensiones la acci´on correspondiente a un campo fermi´onico toma la forma[13] SD=Zd5xp−φ1 2Ψ†γ0γap0aΨ + h.c.(6.50) donde el operador p0aes definido en funci´on de la derivada covariante y toma la forma p0a=fα apα+1 2Scdωcdα(6.51) Introduciendo la definici´on de dicho operador en la acci´on se obtiene una expresi´on completa para el campo fermi´onico en el espacio de Kaluza-Klein usando el ans¨atze de m´etrica plana queda SD=Zd5xp−φ1 2Ψ†γ0γafα apα+1 2ScdωcdαΨ + h.c.(6.52) Si insertamos el valor φ=−1 y del vielbein inverso fα ala acci´on queda13 (6.53) SD=Zd5x1 2Ψ†γ0γmpm−p4 √αAm+γ5p4+γafα a 1 2Smnωmnα +γafα a 1 2Sm4ωm4αΨ + h.c. El t´ermino γafα a1 2Smnωmnα describe acoplamiento con la gravedad, que puede ser descartado. Por otra parte, Sm4= 0, as´ı que el t´ermino γafα a1 2Sm4ωm4α= 0. 13Se usa γ5en lugar de γ4para respetar la notaci´on que se suele usar, en la que se define γ5=γ0γ1γ2γ3 33 8 Conclusiones Tras la lectura y comprensi´on de este documento hay varias conclusiones destacables respecto a la Teor´ıa de Kaluza-Klein y su impacto en la historia de la F´ısica. En primer lugar, la teor´ıa de Kaluza-Klein fue la primera teor´ıa de unificaci´on que se ha planteado de forma efectiva, aunque s´olo lo fue en forma de campos cl´asicos. La comprensi´on de los conceptos fundamentales de la Relatividad General y las herramientas matem´aticas que esta emplea hacen emerger, de forma natural, las Leyes del Electromagnetismo Cl´asico a partir de argumentos puramente geom´etricos de un espacio con una dimensi´on extra. Adem´as, el desarrollo en series de funciones peri´odicas basadas en la propia periodicidad del espacio-tiempo es una idea revolucionaria, aunque en esta teor´ıa original condujo a predicciones err´oneas hay muchos sectores dentro de la f´ısica te´orica desde los a˜nos 80 hasta la actualidad que creen que mecanismos de compactificaci´on de esta ´ındole pueden ser el camino correcto para conseguir la Teor´ıa de Gran Unificaci´on definitiva. Por otra parte, tambi´en ha quedado patente que esta teor´ıa original presentaba algunos problemas insalvables: La existencia de cargas libres y la mala predicci´on de la relaci´on q/m del electr´on son los m´as importantes. Pese a esto, la Teor´ıa de Kaluza-Klein ha sido determinante para el desarrollo te´orico de las conocidas como teor´ıas de tipo Kaluza-Klein (supergravedad) que son actualmente parte del n´ucleo de investigaci´on de las teor´ıas de supercuerdas y teor´ıas de branas. A veces es, directamente, parte de la soluci´on (teor´ıa efectiva) y otras veces es parte de la inspiraci´on del planteamiento (dimensiones extras compactificadas). No obstante, ahondar en estas teor´ıas generalizadas m´as all´a de la revisi´on bibliogr´afica es algo que se escapa a este nivel de desarrollo donde lo m´as pertinente es entender la influencia de la teor´ıa de Kaluza-Klein sobre las teor´ıas de gran unificaci´on actuales de las que, en cierto modo, la teor´ıa de Kaluza-Klein fue el germen. Estas teor´ıas trabajan actualmente sobre demostraciones puramente matem´aticas basadas en simetr´ıas en teor´ıa de grupos, ya que proponer y comprobar un ansatz de 11 dimensiones es algo, a d´ıa de hoy, inalcanzable. 40 Referencias [1] Gunnar Nordstr¨om. ¨ Uber die m¨oglichkeit das elektromagnetische feld und das gravitationsfeld zu vereinigen. Phys. Zeit., 15:504–506, 1914. [2] Th. Kaluza. Zum Unit¨atsproblem der Physik. Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Math. Phys.), 1921:966–972, 1921. [3] Oskar Klein. Quantum Theory and Five-Dimensional Theory of Relativity. Phys. Zeit., 37:895–906, 1926. [4] Bert Janssen. Teoria de la Relatividad General. (Universidad de Granada, Granada, 2017). [5] Ray D’Inverno. Introducing Einstein’s Relativity. (Oxford University Press, New York, 1992). [6] Derek F. Lawden. An Introduction to Tensor Calculus and Relativity. (Dover Publications, Mineola, 1962). [7] Jos´e Ignacio Illana. Teor´ıa Cu´antica de Campos. (Universidad de Granada, Granada, 2017). [8] Albert Einstein. Lens-like action of a star by the deviation of light in the gravitational field. Science, 84:506–507, 1936. [9] Galina Weinstein. Einstein’s pathway to the equivalence principle 1905-1907. ar- Xiv:1208.5137. [10] Albert Einstein. Die feldgleichungen der gravitation. Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1915:844–847, 1915. [11] Dieter W Ebner. How hilbert has found the einstein equations before einstein and forgeries of hilbert’s page proofs. arXiv physics/0610154. [12] Øyvind GrønSigbjørn Hervik. Einstein’s General Theory of Relativity. (Springer New York, New York, 2007). [13] Anze Zaloznik. Kaluza-Klein Theory. (University of Ljubliana, Ljubliana, 2012). [14] L L. Williams. Field equations and lagrangian for the Kaluza metric evaluated with tensor algebra software. Journal of Gravity, 2015:1–6, 2015. [15] James Martin Overduin and Paul S Wesson. Kaluza-klein gravity. Physics Reports, 283:303–378, 1997. 41 [16] M. Baglojevic. Gravitation and Gauge Symemetries. (Institute Of Physics Publishing, Belgrade, 2002). [17] Edward Witten. Search for a Realistic Kaluza-Klein Theory. Nucl. Phys., 186:412– 428, 1981. [18] Brian Greene. The Elegant Universe. (Booket Ciencia, Barcelona, 2006). [19] W. Nahm. Supersymmetries and their Representations. Nucl. Phys., 135:149–166, 1978. [20] Michael B. Green and John H. Schwarz. Anomaly cancellation in supersymmetric d=10 gauge theory and superstring theory. Phys. Lett., 149:117–122, 1984. [21] David J Gross, Jeffrey A Harvey, Emil Martinec, and Ryan Rohm. Heterotic string. Physical Review Letters, 54:502, 1985. [22] Ferdinando Gliozzi, Joel Scherk, and David Olive. Supersymmetry, supergravity theories and the dual spinor model. Nuclear Physics, 122:253–290, 1977. 42 Anexos C´alculos de la m´etrica y vielbein inverso K-K Procedemos a los c´alculos con el ansatz¨e de m´etrica localmente plana y vielbeins para el espacio tangente: ˆgµν = η(4) µν +φAµAνφAµ φAνφ!(8.1) eα µ= δα µ0 √−φAµ√−φ!(8.2) C´alculo de la vielbein inversa (cuando los tensores se manipulan como matrices ir´an entre par´entesis): (eα µ)T(fµ α) = I5= δα µ√−φAµ 0√−φ! δµ αC1 C2C3!(8.3) Las cuatro ecuaciones resultantes de este producto entre matrices                C3√−φ= 1 →C3= (√−φ)−1 1 + C2√−φAµ= 1 →C2= 0 C1+Aµ= 0 →C1=−Aµ C2√−φ= 0 (8.4) El vielbein inverso queda fµ α= δµ α−Aµ 01 √−φ!(8.5) Comprobaci´on (Se usan como matrices, P =√−φ): ˆgµν = (eα µ)Tˆηαβeβ ν=         1PA0 1PA1 1PA2 1PA3 P                 1 −1 −1 −1 −1                 1 1 1 1 PA0PA1PA2PA3P         =         1−PA0 −1−PA1 −1−PA2 −1−PA3 −P                 1 1 1 1 PA0PA1PA2PA3P         = 1         1−P2A0A0−P2A0A1−P2A0A2−P2A0A3−P2A0 −P2A1A0−1−P2A1A1−P2A1A2−P2A1A3−P2A1 −P2A2A0−P2A2A1−1−P2A2A2−P2A2A3−P2A2 −P2A3A0−P2A3A1−P2A3A2−1−P2A3A3−P2A3 −P2A0−P2A1−P2A2−P2A3−P2         = η(4) µν +φAµAνφAµ φAνφ! C´alculo de la m´etrica inversa ˆgµν: ˆgµν = (fµ α)Tˆηαβfν β=         1 1 1 1 −A0−A1−A2−A31 P                 1 −1 −1 −1 −1                 1−A0 1−A1 1−A2 1−A3 1 P         =         1 −1 −1 −1 −A0A1A2A3−1 P                 1−A0 1−A1 1−A2 1−A3 1 P         =         1−A0 −1A1 −1A2 −1A3 −A0A1A2A3AmAm−1 P2         = ˆgµν = η(4) µν −Aµ −AνAmAm+1 φ!(8.6) Donde es conveniente recordar la forma del potencial vector: Aµ= (Φ, Ax, Ay, Az) y Aµ= (Φ,−Ax,−Ay,−Az). De aqu´ı en adelante se usar´a la notaci´on compacta 2x2 para los tensores m´etricos. Tambi´en vamos a sustituir la m´etrica de minkowski por una m´etrica gen´erica. Es cuasiinmediato comprobar ˆgµν ˆgνσ =δσ µlo que, tomando los tensores m´etricos como matrices, se puede tratar como (ˆgµν)(ˆgµν) = I5: ˆgµν ˆgµν = g(4) µν +φAµAνφAµ φAνφ! gµν (4) −Aµ AνAmAm+1 φ!= 2 δµ ν+φAmAm−φAmAm−Aµ−φAmAmAµ+Aµ+φAmAmAµ φAµ−φAµ−φAmAm+φAmAm+φ φ!= δµ ν0 0 1 ! C´alculo de S´ımbolos de Christoffel Primero se calcular´a el s´ımbolo ˆ Γλ µν: ˆ Γλ µν =1 2ˆgλX (∂µˆgνX +∂νˆgµX −∂Xˆgµν) =1 2ˆgλσ(∂µˆgνσ +∂νˆgµσ −∂σˆgµν) + 1 2ˆgλ4(∂µˆgν4+∂νˆgµ4−∂4ˆgµν) =1 2gλσ(∂µ(gνσ +φAνAσ) + ∂ν(gµσ +φAµAσ)−∂σ(gµν +φAµAν)) +1 2(−Aλ)(∂µ(φAν) + ∂ν(φAµ)−∂4(gµν +φAµAν)) =1 2gλσ(∂µ(gνσ) + ∂ν(gµσ)−∂σ(gµν)) +1 2gλσ(∂µ(φAνAσ) + ∂ν(φAµAσ)−∂σ(φAµAν)) −1 2gλσ(Aσ)(∂µ(φAν) + ∂ν(φAµ)) = Γλ µν +φ 2gλσ(∂µ(Aσ)Aν+∂µ(Aν)Aσ+∂ν(Aσ)Aµ+∂ν(Aµ)Aσ−∂σ(Aµ)Aν −∂σ(Aν)Aµ−Aσ∂µ(Aν)−Aσ∂ν(Aµ)) +1 2gλσ(AσAν∂µ(φ) + AσAµ∂ν(φ)−AµAν∂σ(φ)−AσAν∂µ(φ)−AσAµ∂ν(φ)) = Γλ µν +φ 2gλσ(Aν(∂µAσ−∂σAµ) + Aµ(∂νAσ−∂σAν)) −1 2gλσ(AµAν∂σ(φ)) = Γλ µν +φ 2gλσ(AνFµσ +AµFνσ)−1 2gλσ(AµAν∂σ(φ)) = Γλ µν +φ 2(AνFλ µ+AµFλ ν)−1 2(AµAν∂λ(φ)) Podemos usar este resultado para calcular otros s´ımbolos: ˆ Γλ µλ = Γλ µλ +φ 2gλσ(AλFµσ +AµFλσ)−1 2gλσ(AµAλ∂σ(φ)) = Γλ µλ +φ 2AσFµσ +φ 2AµgλσFλσ −1 2AµAσ∂σ(φ) = Γλ µλ +φ 2AσFµσ −1 2AµAσ∂σ(φ) 3 ˆ Γ4 µν =1 2ˆg4σ(∂µ(gνσ) + ∂ν(gµσ)−∂σ(gµν)) +1 2ˆg4σ(∂µ(φAνAσ) + ∂ν(φAµAσ)−∂σ(φAµAν)) + 1 2(ˆg44)(∂µ(φAν) + ∂ν(φAµ)) = Γ4 µν +1 2(−Aσ)(∂µ(φAνAσ) + ∂ν(φAµAσ)−∂σ(φAµAν)) +1 21 φ+AκAκ(∂µ(φAν) + ∂ν(φAµ)) =−1 2Aσ[φ(Aσ∂µ(Aν) + Aν∂µ(Aσ) + Aσ∂ν(Aµ) + Aµ∂ν(Aσ)−Aµ∂σ(Aν)−Aν∂σ(Aµ)) + (AσAν∂µ(φ) + AσAµ∂ν(φ)−AµAν∂σ(φ))] +1 21 φ+AκAκ[φ(∂µ(Aν+∂ν(Aµ)+(Aν∂µ(φ) + Aµ∂ν(φ)] =1 2(∂µ(Aν) + ∂ν(Aµ)) −φ 2Aσ(Aν(∂µAσ−∂σAµ) + Aµ(∂νAσ−∂σAν)) + AµAνAσ∂σ(φ) +1 2φ(Aν∂µ(φ) + Aµ∂ν(φ)) =1 2(∂µ(Aν)+∂ν(Aµ))−φ 2Aλ(AνFλ µ+AµFλ ν)+AµAνAσ∂σ(φ)+ 1 2φ(Aν∂µ(φ)+Aµ∂ν(φ)) ˆ Γ4 µ4=1 2ˆg4X(∂µˆg4X+∂4ˆgµX −∂Xˆgµ4) =1 2(−Aσ)(∂µ(φAσ)−∂σ(φAµ)) + 1 21 φ+AκAκ(∂µ(φ) + ∂4(Aµ)) =1 2(−Aσ)(φ∂µ(Aσ) + Aσ∂µ(φ)−φ∂σ(Aµ)−Aµ∂σ(φ)) + 1 21 φ+AκAκ(∂µ(φ)) =−1 2(Aσ)(φFµσ −Aµ∂σ(φ)) + 1 2φ∂µ(φ) ˆ Γλ 44 =1 2ˆgλX (∂4ˆg4X+∂4ˆg4X−∂Xˆg44) =−1 2gλσ∂σ(φ) + Aλ∂4(φ) =−1 2∂λ(φ) ˆ Γ4 44 =1 2ˆg4X(∂4ˆg4X+∂4ˆg4X−∂Xˆg44) =−1 2g4σ∂σ(φ) =1 2Aσ∂σ(φ) ˆ Γλ µ4=1 2ˆgλX (∂µˆg4X+∂4ˆgµX −∂Xˆgµ4) =1 2ˆgλσ(∂µ(φAσ)−∂σ(φAµ)−1 2(∂µ(φ))) =1 2ˆgλσ(φ∂µ(Aσ) + Aσ∂µ(φ)−φ∂σ(Aµ)−Aµ∂σ(φ)) −1 2(∂µ(φ))) =1 2ˆgλσ(φFµσ +Aσ∂µ(φ)−Aµ∂σ(φ)) −1 2Aλ∂µ(φ) =1 2φFλ µ−1 2Aµ∂λ(φ) 4 ˆ Γλ λ4=1 2ˆgλX (∂λˆg4X+∂4ˆgλX −∂Xˆgλ4) =1 2(∂X(φAX)−∂λ(φAλ)) = 0 C´alculo del tensor de Ricci Los t´erminos cruzados entre los s´ımbolos de Christoffel de la m´etrica en 4D no se mezcla con la dimensi´on extra, en el primer caso se mostrar´a expl´ıcitamente pero m´as adelante se omitir´a. Tambi´en es importante recordar que al subir ´ındices en los tensores electromagn´eticos se corresponde: Fλ µ=gνλFµν =Fλ µ Comenzamos con las componentes ˆ R44 yˆ Rµ4: ˆ R44 =∂Xˆ ΓX 44 −∂4ˆ ΓX X4+ˆ ΓX XY ˆ ΓY 44 −ˆ ΓX 4Yˆ ΓY X4 =−ˆ ΓX 4Yˆ ΓY X4 =−φ 2Fρ λφ 2Fλ ρ−−φ 2AκFλκ(0) −(0) −(0) =−φ2 4Fρ λFλ ρ =−φ2 4gρσFλσFλ ρ =−φ2 4FλσFσλ =φ2 4FλσFλσ ˆ Rµ4=∂Xˆ ΓX µ4−∂4ˆ ΓX Xµ +ˆ ΓX XY ˆ ΓY µ4−ˆ ΓX 4Yˆ ΓY Xµ =∂κˆ Γκ µ4+ˆ ΓX XY ˆ ΓY µ4−ˆ ΓX 4Yˆ ΓY Xµ =∂κφ 2Fκ µ+Γκ κλ +φ 2AσFλσ −φ 2AσFλσφ 2Fλ µ−(0 + 0)(...) −φ 2Fρ λΓλ ρµ +φ 2(AµFλ ρ+AρFλ µ+−φ 2AσFσλφ 2Fλ µ+ (0) + (0) =∂κφ 2Fκ µ+φ 2Γκ κλFλ µ−φ 2Γκ κλFλ µ−φ2 4AµFλ λ+AρFλ µ+φ2 4AσFσλFλ µ =φ 2∂κFκ µ+φ2 4AµFαβFαβ 5 ˆ Rµν =∂Xˆ ΓX µν −∂νˆ ΓX Xµ +ˆ ΓX XY ˆ ΓY µν −ˆ ΓX νY ˆ ΓY Xµ =∂κΓκ µν +φ 2(Aν∂κFκ µ+Fκ µ∂κAν+Aµ∂κFκ ν+Fκ ν∂κAµ) −∂νΓκ µκ+Γκ λκΓλ µν−Γκ νσΓσ κµ +φ2 4(AσFκ ν+AνFκ σ)(AµFσ κ+AκFσ µ) +φ 4Fκ ν(∂κAµ+∂µAκ)−φ2 4Fκ νAλ(AµFλ κ+AκFλ µ) + φ2 4(AρFνρ)(AρFµρ) +φ 4Fσ µ(∂νAσ+∂σAν)−φ2 4Fσ λAλ(AνFλ σ+AσFλ ν) + φ2 4(AρFνρ)(AρFµρ) =R(4) µν +φ 2(Aν∂κFκ µ+Fκ µ∂κAν+Aµ∂κFκ ν+Fκ ν∂κAµ)− −φ2 4(AσFκ ν+AνFκ σ)(AµFσ κ+AκFσ µ) + φ 4Fκ ν(∂κAµ+∂µAκ) −φ2 4Fκ νAλ(AµFλ κ+AκFλ µ) + φ2 4(AρFνρ)(AρFµρ) + φ 4Fσ µ(∂νAσ+∂σAν) −φ2 4Fσ λAλ(AνFλ σ+AσFλ ν) + φ2 4(AρFνρ)(AρFµρ) =R(4) µν +φ 2(Aµ∂κFκ ν+Aν∂κFκ µ)−φ2 4AµAνFαβFαβ +φ 4(Fλ νFλµ +Fλ µFλν) 6