Funciones zeta de variedades sobre cuerpos finitos

Universidad de Sevilla Trabajo de Fin de Máster Máster Universitario en Matemáticas Funciones zeta de variedades sobre cuerpos finitos Javier Linares Torres Tutorizado por Prof. Antonio Rojas León Resumen La función zeta de una variedad sobre un cuerpo finito se define como la función generatriz asociada a la sucesión obtenida al contar el número de puntos racionales de la variedad en las sucesivas extensiones finitas del cuerpo base. Dicho objeto codifica las propiedades aritméticas de la variedad y permite establecer una asombrosa conexión entre las mismas y la topología de la variedad cuando la vemos sobre los números complejas a través de las conjeturas de Weil, uno de los resultados matemáticas más importantes del siglo XX. En este trabajo estudiamos las principales características de la función zeta y demostramos las conjeturas en dos de los casos que motivaron al propio Weil a enunciarlas: las hipersuperficies diagonales y el caso de curvas. Abstract The zeta function of a variety over a finite field is defined as the generating function associated with the sequence obtained by counting the number of rational points of the variety over the successive finite extensions of the ground field. This object encodes the arithmetic properties of the variety and allows us to establish an amazing connection between them and the topology of the variety when we see it over the complex numbers through the Weil’s conjectures, one of the most important mathematical results of the 20th century. In this dissertation we study the main characteristics of the zeta function and prove the conjectures in two of the cases that motivated Weil himself to state them: the diagonal hypersurfaces and the case of curves. Índice 1 Introducción e historia de las conjeturas 2 2 La función zeta 4 2.1 Series de potencias ................................ 4 2.2 Cuerpos finitos .................................. 5 2.3 La función zeta .................................. 6 2.4 Las conjecturas de Weil ............................. 11 3 El caso de hipersuperficies diagonales 16 3.1 Caracteres, sumas de Gauss y Jacobi ...................... 16 3.2 La relación de Hasse-Davenport ......................... 24 3.3 Cálculo de Nsy conjeturas para hipersuperficies diagonales ......... 27 4 Conjeturas de Weil para curvas 32 4.1 Divisores ...................................... 32 4.2 Racionalidad y ecuación funcional ....................... 35 4.3 Intersecciones en superficies ........................... 38 4.4 La desigualdad de Hasse-Weil .......................... 40 5 Conclusiones 42 1 1 Introducción e historia de las conjeturas La historia de las conjeturas de Weil se remonta hasta 1740, cuando Euler consideró el estudio de la suma infinita dada por ∞ X n=1 1 ns=Y p>0 1 1−p−s, donde precorre el conjunto de los números primos, para ciertos valores de senteros y positivos. Posteriormente, Chebychev estudió esta suma como una función de variable real y Riemann, que conocía el trabajo de Euler y la relación de esta función con la teoría de números, escribe en 1859 su obra maestra «Über die anzahl der primzahlen unter einer gegebenen größe» [Rie59], donde considera la anterior suma como una función de variable compleja ζ(s), que converge para Re(s)>1y prueba su continuidad analítica, además de demostrar que dicha extensión tiene ceros en los enteros pares y negativos, los denominados «ceros triviales». Riemann establece aquí su famosa conjetura: los ceros no triviales de ζ(s)tienen parte real 1/2. Esta conjetura, aún abierta a día de hoy, ha tenido y tiene un impacto enorme en la historia y el desarrollo de las matemáticas, pues de ser cierta permitiría desvelar información acerca de la distribución de los números primos. Motivado por la existencia de la factorización de ζ(s)como un producto en función de los números primos, Dedekind realiza una definición análoga para un anillo de enteros OK, donde ahora el producto se realiza sobre el conjunto de ideales primos de OK, y a partir de ese momento se empiezan a estudiar generalizaciones de la función ζasociados a un álgebra Rde tipo finito sobre Z: ζ(R, s) = Y m⊂R 1 1−#(R/m)−s, donde ahora mrecorre el conjunto de ideales maximales de R. Gran parte del trabajo de la geometría aritmética de principios del siglo XX consistió en trasladar los resultados de tipo analítico (extensión meromorfa, ecuación funcional) que se conocían de las funciones zeta que aparecían en teoría de números a la función zeta asociada al cuerpo de funciones de variedades algebraicas sobre un cuerpo finito. Esta versión «en característica p» de la hipótesis de Riemann comienza en 1924, en la tesis de Emil Artin [Art24], donde se define la función zeta de una curva sobre un cuerpo finito y se establece el análogo a la hipótesis de Riemann. Para una variedad Xsobre un cuerpo finito Fq, es interesante realizar el cambio de variable T=q−s, de modo que la función zeta se transforma en una función generatriz del número de puntos de la variedad sobre las sucesivas extensiones de nuestro cuerpo base ζ(X, q−s) = Z(X, T) = Exp ∞ X s=1 NsTs s!. Son notables las contribuciones realizadas en esta época por F.K. Schimidt y H. Hasse, el primero demostrando la racionalidad de la función zeta en el caso de curvas y el segundo probando la hipótesis de Riemann para curvas elípticas. La hipótesis de Riemann en curvas de género arbitrario se resistió hasta mediados de los 40, cuando André Weil la demostró en [Wei45] utilizando una desigualdad de Castelnuovo y Severi. Unos años más tarde y motivado por los resultados obtenidos para el caso de curvas y otros ejemplos concretos como el de variedades abelianas [Wei46] o hipersuperficies diagonales, Weil conjetura en 2 el famoso artículo [Wei49] que la función zeta de una variedad debe satisfacer cuatro propiedades, las desde entonces denominadas Conjeturas de Weil: racionalidad, ecuación funcional, hipótesis de Riemann y conexión con la topología de la variedad vista sobre C; planteando así una profunda conexión entre las propiedades aritméticas y topológicas de la variedad. El propio Weil apuntó que con una teoría de cohomología adecuada para variedades sobre cuerpos finitos, similar a la cohomología singular de variedades sobre C, se podrían deducir las conjeturas de manera directa. Por ejemplo, la racionalidad y la ecuación funcional serían consecuencia de resultados bien conocidos de Topología Algebraica como el Teorema del punto fijo de Lefschetz o la dualidad de Poincaré. Esto propició que durante la segunda mitad del siglo XX se lograse un profundo desarrollo de la Geometría Algebraica mediante la introducción de diferentes teorías cohomológicas. La primera de ellas fue la cohomología de haces coherentes de Serre, que no cumplía los requisitos propuestos por Weil ya que los coefientes de dicha cohomología para una variedad sobre un cuerpo finito no estarían en un cuerpo de característica cero. El primer avance llego de mano de Dwork que, fuera de este programa, probó en [Dwo60] la racionalidad de la función zeta mediante técnicas de análisis p-ádico y sin usar aparentemente métodos cohomológicos. También a principios de los 60, Michael Artin y Grothendieck introdujeron la cohomología l-ádica, que resultó tener las propiedades adecuadas para probar las conjeturas de Weil salvo la hipótesis de Riemann [AGV73]. Esta teoría se basa en la construcción de la topología étale de un esquema, en la que sustituimos los abiertos típicos de la topología por morfismos étale. A pesar de estos avances, la hipótesis de Riemann seguía resistiéndose, hasta que finalmente en 1974 Pierre Deligne culminó los esfuerzos de la escuela de París impulsada por Grothendieck, entre otros, y consiguió probarla en [Del74], lo cual le valió la concesión de la medalla fields en 1978. El objetivo principal de este trabajo es el de introducirnos en el estudio de la función zeta de una variedad sobre un cuerpo finito, familiarizarnos con sus propiedades básicas, enunciar las conjeturas de Weil y probar las mismas en dos casos concretos: el de hipersuperficies diagonales y el de curvas. En el desarrollo del mismo emplearemos el lenguaje de los esquemas, con la filosofía de introducir siempre los conceptos que vamos utilizando, aunque dada la limitación en extensión de este trabajo serán frecuentes las referencias a libros de Geometría Algebraica como [Har77] o [GW10]. En la Sección 2, definimos la función zeta de un esquema de tipo finito y vemos la relación que tiene con la función generatriz asociada a los puntos racionales cuando el esquema está definido sobre un cuerpo finito. Enunciamos las conjeturas de Weil y estudiamos algunos ejemplos concretos. En la Sección 3, desarrollamos las técnicas necesarias para contar los puntos en una hipersuperficie de tipo diagonal mediante la teoría de sumas de Gauss y Jacobi, pasando por la relación de Hasse-Davenport, para finalmente comprobar las conjeturas en este caso concreto. Seguidamente, en la Sección 4, desarrollamos la teoría de curvas necesaria para enunciar el Teorema de Riemann-Roch, clave en la demostración de la racionalidad y la ecucación funcional de la función zeta de una curva. Seguidamente, hacemos una rápida incursión en la teoría de intersección en superficies para desarrollar las herramientas que nos permitan probar la desigualdad de Hasse-Weil, y así terminar la demostración de las conjeturas para el caso de curvas. 3 2 La función zeta En esta sección definimos la función zeta de un esquema de tipo finito y enunciamos las conjeturas de Weil. Antes de ello, hacemos un breve repaso sobre ciertos aspectos del anillo de series de potencias formales sobre un cuerpo así como de cuerpos finitos. 2.1 Series de potencias A lo largo de este trabajo consideraremos series de potencias formales (con coeficientes en Qen la mayoría de los casos) sin preocuparnos por las cuestiones de convergencia. En este apartado repasamos algunas de las operaciones que necesitamos incorporar al anillo de series de potencias formales sobre un cuerpo, siguiendo básicamente [Niv69], que posteriormente nos ayudarán a manipular la función zeta de un esquema. Dado un cuerpo F, denotaremos FJTKal anillo de series de potencias formales sobre F, cuyos elementos serán representados de la forma P∞ i=0 aiTi,ai∈F. Definimos P0como el conjunto formado por aquellas series que tienen a0= 0 yP1aquellas en las que a0= 1. Recordemos que el producto en FJTKviene dado por ∞ X i=0 aiTi!  ∞ X j=0 bjTj = ∞ X l=1  X i+j=l aibj Tl, que las unidades de FJTKson FJTK\P0y que (1 −aTn)−1=P∞ i=0 aiTni. A menudo identificaremos al subanillo de series de potencias cuyos coeficientes son cero a partir de uno dado con F[T], el anillo de polinomios en una variable sobre F. También será usual considerar FJTKyF(T)(el cuerpo de fracciones de F[T]) como subanillos del cuerpo de fracciones de FJTK, obteniéndose por ejemplo FJTK∩F(T) = {P/Q :P, Q ∈F[T]; Q(0) 6= 0}. Definición 2.1. Dada una sucesión α1, α2, . . . de series en FJTK, αi= ∞ X j=0 aijTj,para i= 1,2, . . . decimos que (αi)∞ i=1 admite suma si para todo entero r≥0, existe otro entero N(r)tal que para todo l≥N(r)se tiene que al0=al1=··· =alr = 0. En ese caso definimos P∞ i=1 αicomo la serie cuyo coeficiente r-ésimo viene dado por PN(r) i=1 air. Se puede comprobar que si (αi)∞ i=1 admite suma y τes una permutación de Z≥1, entonces (ατ(i))∞ i=1 también admite suma y además P∞ i=1 αi=P∞ i=1 ατ(i). De manera análoga también podemos definir productos infinitos: Definición 2.2. Sea γ1, γ2, . . . una sucesión de series en FJTK. Decimos que (γi)∞ i=1 admite producto si γi∈P1para todo i= 1,2, . . . y(γi−1)∞ i=1 admite suma. En ese caso definimos la serie Q∞ i=1 γicomo aquella cuyo coeficiente r-ésimo es el coeficiente r-ésimo de la serie QN(r) i=1 γi, para N(r)suficientemente grande. De nuevo esta definición es satisfactoria en el sentido de que si permutamos los elementos de una sucesión que admite producto, de nuevo obtenemos una sucesión que admite producto y sendos productos coinciden. 4 Ejemplo 2.3. Dadas sucesiones (bi)∞ i=1,(ai)∞ i=1 de enteros no negativos, la sucesión de series dada por γi= (1 −aiTi)−bi= (1 + aiTi+a2 iT2i+. . . )bi, i = 1,2, . . . admite producto. A continuación definimos las tres operaciones que emplearemos a la hora de manipular series de potencias formales. Supondremos que Ftiene característica 0. Definición 2.4. Definimos la derivada, el logaritmo y la exponencial como las aplicaciones d dT :FJTK→FJTK ∞ X i=0 aiTi7→ ∞ X i=0 (i+ 1)ai+1Ti, Log : P1→P0 α7→ ∞ X i=1 (−1)i+1 (α−1)i i, Exp : P0→P1 β7→ ∞ X i=0 βi i!. Notemos que las aplicaciones están bien definidas, pues si α∈P1, entonces (−1)i+1 (α−1)i i∞ i=1 es una suma admisible y análogamente si β∈P0, entonces βi i!∞ i=1 también lo es. Algunas de las propiedades usuales de la derivada, logaritmo y exponencial usuales se mantienen para series formales (cf. [Niv69, Sec. 5,6,7]): Proposición 2.5. Sean α, β ∈P;γ, γ′∈P1;(γi)∞ i=1 admitiendo producto; δ, δ′∈P0y n∈Z≥0. Se tiene que 1. d dT (α+β) = d dT (α)+ d dT (β),d dT (αβ) = d dT (α)β+αd dT (β),d dT (αn) = nαn−1d dT (α) y si αtiene inverso, d dT (α−n) = −nα−n−1d dT (α). 2. Log(γγ′) = Log(γ) + Log(γ′),Log (Q∞ i=1 γi) = P∞ i=1 Log(γi),Log(αn) = nLog(α)y si αtiene inverso, Log(α−n) = −nLog(α). 3. Exp(δ+δ′) = Exp(δ) Exp(δ′). 4. d dT (Log(γ)) = γ−1d dT (γ),d dT (Exp(γ)) = γd dT (γ),Log(Exp(δ)) = δ,Exp(Log(γ)) = γ. 2.2 Cuerpos finitos Antes de vernos inmersos en el estudio de la función zeta y las conjeturas de Weil, hacemos un breve repaso de las propiedades básicas de los cuerpos finitos (véase, por ejemplo [Lor96, XII.7.5]). Recordemos que dado un cuerpo kfinito, tenemos que #(k) = pnpara algún 5 n≥1, donde el primo pes la característica de ky se tiene que dos cuerpos finitos con la misma cardinalidad son isomorfos. Denotaremos al cuerpo finito con q=pnelementos como Fq. Fijemos dicho cuerpo y consideremos una clausura algebraica, que denotaremos por F. Para cada s≥1, existe una única extensión de Fqen Fde grado s, el cuerpo de descomposición de xqs−x. Denotaremos por Fqsa dicho cuerpo. La extensión Fqs/Fq es de Galois, pues es normal y separable, ya que Fqes perfecto. Además Gal(Fqs/Fq)es cíclico de orden s, y está generado por el denominado automorfismo de Frobenius, F:Fqs→Fqs,a7→ aq. Este automorfismo jugará un papel fundamental en este trabajo y en general en el estudio de las variedades sobre cuerpos finitos. Por otro lado, es bien conocido que el grupo multiplicativo F⋆ q=Fq\{0}es cíclico de orden q−1. 2.3 La función zeta En esta sección estableceremos el contexto en el que trabajaremos y definiremos la función zeta de un esquema de tipo finito sobre Z. Recordemos que un esquema es un espacio anillado (X, OX)que es localmente isomorfo al espectro de algún anillo. El cuerpo residual en un punto x∈Xse define como el cuerpo residual del anillo local OX,x y se denotará como κ(x). Si Xes un esquema de tipo finito sobre Z, es decir, existe un morfismo X→Spec Zde tipo finito, entonces para todo abierto afín Spec Ade Xse tiene que Aes un anillo finitamente generado, es decir, finitamente generado como Z-álgebra. Denotamos |X|al conjunto de los puntos cerrados de X, es decir, puntos que corresponden con ideales maximales cuando tomamos un entorno afín que los contenga. Si x∈ |X|, entonces κ(x) = A/mpara algún anillo finitamente generado Aymideal maximal. Se sigue que κ(x)es finitamente generado y gracias al siguiente lema deducimos que es un cuerpo finito. Lema 2.6. Un cuerpo kque es finitamente generado como anillo es finito. Demostración. Si ktiene característica 0 entonces contiene a Q, que no es finitamente generado como Z-álgebra. Entonces char(k) = p > 0, luego kes una Fp-álgebra de generación finita y gracias a la versión del Teorema de los Ceros de Hilbert que nos dice que si Kes un cuerpo y Buna K-álgebra finitamente generada que también es un cuerpo, entonces Bes una extensión finita de k(véase [AM89, Cor 5.24]), podemos concluir. Gracias a ello, dado Xesquema de tipo finito sobre Z, podemos realizar la siguiente definición de la función zeta de X, como una expresión formal para s∈C ζ(X, s) = Y x∈|X| 1 1−#(κ(x))−s Resulta que este producto converge absolutamente para Re(s)>dim X, véase [Mus11, 6.29] (recordemos que la dimensión de un esquema es su dimensión como espacio topológico). Ejemplo 2.7. Cuando X= Spec Z, los puntos cerrados de Xson los ideales primos no nulos de Zyζ(X, s)se corresponde con la función zeta de Riemann clásica ζ(Spec Z, s) = Y p>0 1 1−p−s. Si por el contrario tenemos una extensión finita de Q→K, podemos considerar el anillo de enteros OKasociado, es decir, la clausura entera de Zen K. Es bien conocido que OK 6 es un Z-módulo finitamente generado, luego también finitamente generado como anillo, por lo tanto X= Spec OKes un esquema sobre Zde tipo finito. Además, como OKes un dominio de Dedekind, en particular tiene dimensión 1, luego todo ideal primo no nulo p es maximal. La función zeta de Xcoincide con la función zeta de Dedekind ζ(Spec OK, s) = Y p⊂OK 1 1−#(OK/p)−s. Nuestro siguiente paso es reducir el estudio de ζ(X, s)al caso en el que Xes integral, es decir, OX(U)es un dominio de integridad para todo U⊂Xabierto, o equivalentemente, es irreducible y reducido (OX(U)no tiene elementos nilpotentes) [Har77, II.3.1]. Dado un esquema X, podemos considerar el esquema reducido asociado a X, que se obtiene hacificando el haz U7→ OX(U)/nil(OX(U)), llamado Xred. Los cuerpos residuales de Xy Xred coinciden en cada punto del espacio topológico subyacente. Se sigue que ζ(X, s) = ζ(Xred, s). Por otro lado, si tenemos Xcomo unión de dos subesquemas cerrados1X=X1∪X2, entonces de nuevo los cuerpos residuales coinciden y si dotamos a X1∩X2con la estructura de subesquema cerrado reducido [GW10, 3.52], tenemos que ζ(X, s) = ζ(X1, s)ζ(X2, s) ζ(X1∩X2, s).(2.1) Por lo tanto podremos suponer sin pérdida de generalidad que Xes integral. La imagen del único morfismo X→Spec Zes por lo tanto irreducible, luego es un punto cerrado (no puede ser el punto genérico pues en ese caso tendríamos que los cuerpos κ(x)son extensiones de Q) o un conjunto denso. El primer caso engloba las que se suele denominar funciones zeta locales, pues Xpasa a ser un esquema de tipo finito sobre algún Fpy por lo tanto están referidas a un primo pfijo, mientras que en el segundo tenemos funciones zeta globales. En este trabajo nos centramos en el primer caso, en particular estudiaremos la función zeta cuando Xes una variedad sobre algún cuerpo finito. Sea k→Kuna extensión finita de cuerpos. Un k-esquema Xes un esquema junto con un morfismo X→Spec k. En particular tenemos para cada punto x∈Xuna extensión de cuerpos k→κ(x). Si además Xes de tipo finito sobre k, podemos caracterizar los puntos cerrados de Xcomo aquellos en los que dichas extensiones son algebraicas (cf. [GW10, 3.33]). Si x∈Xes un punto cerrado, definimos el grado de xcomo deg(x) = [κ(x) : k]. Un punto K-racional de Xes un morfismo de k-esquemas Spec K→Xy el conjunto de todos ellos será denotado X(K). Dar un punto K-racional es equivalente a dar un punto cerrado x∈ |X|y un morfismo de k-álgebras κ(x)→K(cf. [GW10, 3.8]), es decir, existe una biyección X(K)∼ =[ x∈|X| Homk−álg(κ(x), K). 1Recordemos que la noción de subesquema cerrado es algo más sutil que la de subconjunto cerrado. Aquí usamos al definición de [GW10]: un subesquema cerrado de Xviene dado por un conjunto cerrado Z⊂Xy un haz OZtal que (Z, OZ)es un esquema y tal que el haz i∗OZes isomorfo a OX/Ipara algún haz de ideales, donde i:Z→Xes la inclusión. 7 En particular, si [K:k] = s, entonces teniendo en cuenta los grados en las extensiones k→κ(x)→Kpodemos separar la unión anterior: X(K)∼ =[ deg(x)|s Homk−álg(κ(x), K).(2.2) Por ejemplo, consideremos el esquema X= Spec A/I, donde A=k[x1, . . . , xn]eI⊆A es un ideal. Entonces los K-puntos racionales de Xse corresponden con los puntos de Kn que satisfacen los polinomios de I, ya que tenemos biyecciones HomSpec k(Spec K, X)∼ =Homk−álg(A/I, K)∼ = {a= (a1, . . . , an)∈Kn:f(a) = 0 para todo f∈I}, la primera de ellas se deduce de la equivalencia de categorías entre la opuesta de las kálgebras y k-esquemas afines y la segunda manda un homomorfismo de k-álgebras φ: A/I →Kal punto (φ(x1), . . . , φ(xn)). Si ahora Xes un k-esquema de tipo finito, podemos tomar un recubrimiento finito por abiertos afines {Uα}αpara obtener X(K) = [ α Uα(K). En particular, si Kes finito, X(K)también. Si tenemos una variedad proyectiva X= Proj Spara S=k[x0, . . . , xn]/I, donde Ies un ideal homogéneo, podemos recubrir Xcon los abiertos afines Dxi={p∈Xtal que xi/∈p}, de modo que Dxi(K) = HomSpec k(Spec K, Dxi)∼ =Homk−álg(S0 xi, K), donde S0 xies el subanillo de elementos de grado cero de la localización Sxi. No es difícil comprobar que este último conjunto se corresponde con los puntos [a0:··· :an]∈Pn(K) que verifican ai6= 0 y que anulan a los polinomios homogéneos de I. En definitiva, tenemos que X(K)∼ ={a= [a0:··· :an]∈Pn(K) : f(a) = 0 para todo f∈Ihomogéneo}.(2.3) Sea ahora q=pnpara algún primo py consideremos el único (salvo isomorfismo) cuerpo Fqde qelementos. Fijemos una clausura algebraica Fy sea Fqsla extensión de grado sde Fqen F. Consideremos Xun Fq-esquema de tipo finito, que por lo dicho anteriormente verifica que X(Fqs)es finito para todo s≥1. Además dado x∈ |X|con deg(x) = r|s, el grupo Gal(Fqs/Fq)actúa transitivamente en HomFq−álg(κ(x),Fqs)componiendo los homomorfismo por la izquierda. Es sencillo verificar que el estabilizador de cualquier homomorfismo coincide con Gal(Fqs/Fqr), por lo que # HomFq−álg(κ(x),Fqs) = # Gal(Fqs/Fq) # Gal(Fqs/Fqr)=s s/r =r, (2.4) luego junto con 2.2 obtenemos Proposición 2.8. Sea Xun Fq-esquema de tipo finito. Entonces se tiene que #X(Fqs) = X r|s r·#{x∈ |X|: deg(x) = r}. 8 Utilizando la hipótesis de Riemann y la cuarta de las conjeturas, vemos finalmente que Bj(Gr(r, n)C) = deg(Pj(T)) =      0si jes impar. λn,r(j)si jes par y 0≤j≤r(n−r). 0en otro caso. 15 3 El caso de hipersuperficies diagonales Nuestro objetivo en esta sección será estudiar el número de puntos de hipersuperficies proyectivas definidas por ecuaciones del tipo a1xc1 1+···+ajxcj jxc1−cj 0+···+anxcn nxc1−cn 0−axc1 0= 0; donde ai∈F⋆ q,a∈Fqy los exponentes c1≥ ··· ≥ cnsatisfacen ciertas condiciones; y así verificar las conjeturas de Weil para el caso de hipersuperficies diagonales siguiendo las ideas del propio Weil en el famoso artículo [Wei49] donde enunció las conjeturas. Para ello, nos hemos basado principalmente en [BEW98, Ch. 10, 11] para los resultados de sumas de Gauss y Jacobi, [IR90, Ch. 10, 11] para el cálculo de Nsy algunas pinceladas de [Kow18]. Dado un polinomio f∈Fq[x1, . . . , xn], denotaremos N(f)al número de puntos de A˜n(Fq)que anulan a f, donde ˜nes el número de variables que aparece en f. De manera análoga, dado F∈k[x0, . . . , xn]homogéneo, N(F)será el número de puntos de P˜n(Fq) que anulan a F, donde de nuevo ˜nes el número de variables que aparecen en F.Ns(f) yNs(F)se definen del mismo modo cambiando Fqpor Fqs. De igual modo usaremos las notaciones Ns(X)yNs(X)para el número de puntos Fqs-racionales de una variedad X. 3.1 Caracteres, sumas de Gauss y Jacobi Los caracteres de un cuerpo finito juegan un papel importante a la hora de expresar el número de raíces de un polinomio y obtener cotas sobre el mismo. Definición 3.1. Un caracter multiplicativo es un homomorfismo de grupos χ:F⋆ q→ C⋆. Denotaremos al caracter multiplicativo trivial como εdado por ε(t) = 1. Será útil extender la definición de un caracter χa todo el cuerpo Fq, definiendo χ(0) = 0 salvo ε(0) = 1. Un caracter aditivo es un homomorfismo de grupos ψ: (Fq,+) →C⋆. En cierto sentido un caracter multiplicativo de Fqes una forma de reordenar los elementos del cuerpo prestando importancia a la estructura multiplicativa del mismo y olvidándonos de la aditiva. Se deduce fácilmente que si χes un caracter multiplicativo y ψ aditivo, entonces para t∈F⋆ qtenemos que χ(t)es una raíz (q−1)-ésima de la unidad y que ψ(t)es una raíz q-ésima de la unidad. Además χ(1) = 1,χ(t−1) = χ(t)y si χno es trivial, entonces X t∈Fq χ(t) = 0, pues existe a∈Fqcon χ(a)6= 1, por lo que χ(a)Pt∈Fqχ(t) = Pt∈Fqχ(at) = Pt′∈Fqχ(t′), lo que implica que Pt∈Fqχ(t) = 0. Análogamente ψ(0) = 1,ψ(−t) = ψ(t)y si ψes no trivial X t∈Fq ψ(t) = 0. Los caracteres se pueden definir para cualquier grupo Gcomo la traza de una representación, es decir, una composición χ:GX −→ GLn(C)Tr −→ C, donde Xes una representación de G, de decir, un homomorfismo de grupos y Tr es la aplicación traza. A priori, para n > 1esta definición no coincide con 3.1, pero si nos restringimos a representaciones irreducibles, es decir, aquellas que sólo tienen subrepresentaciones triviales, sí coinciden ya que en un grupo abeliano los caracteres irreducibles 16 son lineales, es decir, n= 1 (cf. [Isa94, Cor 2.6]). Esta última referencia refleja la utilidad de la teoría de caracteres en el estudio de grupos finitos. Resulta que el producto elemento a elemento de caracteres es un caracter (cf. [Isa94, 4.1]) y en el caso de grupos abelianos finitos este producto da lugar a un grupo que es isomorfo (aunque no de manera canónica) al de partida (cf. [Con10, Th 3.9]). En particular, el conjunto de caracteres multiplicativo de Fqes un grupo cíclico de orden q−1. De hecho para cada divisor dde q−1podemos expresar N(xd−a)de forma compacta sumando sobre los caracteres del subgrupo de orden d. Más generalmente, Lema 3.2. Sea cun entero positivo, a∈Fqy sea d= gcd(q−1, c). Tomemos un caracter multiplicativo de Fqde orden d. Se tiene que N(xc−a) = d−1 X j=0 χj(a). Demostración. Notemos en primer lugar que existe una biyección t∈Fq:td=a→ {t∈Fq:tc=a}dada por t7→ tα, donde αverifica αc =den Z/(q−1). Además, si a6= 0 y existe γ∈Fqtal que γd=a, entonces t∈Fq:td=a=γt :t∈Fq, td=e, y los elementos de F⋆ qcuyo orden divide a dforman un subgrupo cíclico de orden d. Por lo tanto N(xc−a) = N(xd−a) =      1si a= 0, dsi a6= 0 tiene una raíz d-ésima, 0si a6= 0 no tiene una raíz d-ésima. En el primer caso, Pd−1 j=0 χj(a) = ε(a)=1. En el segundo caso, si escribimos a=γdpara cierto γ∈Fqse tiene que d−1 X j=0 χj(a) = d−1 X j=0 χjd(γ) = d−1 X j=0 ε(γ) = d. Finalmente, si a6= 0 no tiene raíces d-ésimas, veamos que χ(a)6= 1. Tomemos un generador gde F⋆ q, de modo que χ(g) = exp 2πi dβpara βcoprimo con dya=gαcon dno diviendo aα. Entonces χ(a) = exp 2πi dβα6= 1. Con esto en mente, d−1 X j=0 χj(a) = 1−χd(a) 1−χ(a)= 0. A continuación vamos a definir dos aplicaciones, la traza y la norma, importantes en el estudio de los elementos enteros de una extensión finita del cuerpo de fracciones de un dominio, que aquí utilizaremos para definir caracteres en extensiones finitas de Fqa partir de los de Fq. Definición 3.3. Sea L/E una extensión finita de cuerpos. Definimos la traza y la norma de un elemento t∈L, y serán denotadas TL/E(t)yNL/E(t), a la traza y el determinante de la aplicación E-lineal L→Ldada por t′7→ tt′. 17 Gracias a las propiedades de la traza y el determinante de una aplicación lineal, tenemos que TL/E :L→Ees una aplicación E-lineal y NL/E :L⋆→E⋆un homomorfismo de grupos. Propiedades importantes de la traza y la norma son las siguientes (cf. [Neu99, I.2]) Proposición 3.4. 1. Si L/E es una extensión finita y separable, entonces para t∈L ft(x) = pd t(x) = Y σ (x−σ(t)), TL/E(t) = X σ σ(t)yNL/E(t) = Y σ σ(t), donde σvaría en el conjunto de posibles homomorfismos σ:L→E,d= [L:E(x)], ft(x)es el polinomio característico de la aplicación t′7→ tt′ypt(x)es el polinomio mínimo de tsobre E. 2. Si E⊂M⊂Lson extensiones finitas, se tiene que TM/E ◦TL/M =TL/E yNM/E ◦NL/M =NL/E. En el caso de que L/E sea de Galois, el primer apartado nos dice que TL/E(t) = X σ∈Gal(L/E) σ(t), y análogamente NL/E(x) = Y σ∈Gal(L/E) σ(t). Volviendo al caso que nos concierne, para t∈Fqs TFqs/Fq(t) = t+tq+tq2+···+tqs−1yNFqs/Fq(t) = t1+q+q2+···+qs−1=tqs−1 q−1, donde hemos usado que Gal(Fqs/Fq)es el grupo cíclico generado por el automorfismo de Frobenius Fqs→Fqsdado por x7→ xq. Además, de lo dicho en la anterior proposición se deduce que si t∈Fqses de grado dsobre Fqyxd−a1xd−1+···+ (−1)dad∈Fq[x]es su polinomio mínimo entonces TFqs/Fq(t) = s da1, NFqs/Fq(t) = a s d d.(3.1) Podemos usar la norma (traza) de la extensión Fqs/Fqpara «levantar» los caracteres multiplicativos (aditivos) de Fqs: Definición 3.5. Dado χcaracter multiplicativo de Fq, definimos el levantamiento de χaFqscomo χ′=χ◦NFqs/Fq, que resulta ser un caracter de Fqs. De igual modo, dado ψ caracter aditivo de Fq, definimos ψ′=ψ◦TFqs/Fq. Dado que los elementos de Fqquedan fijos por el automorfismo de Frobenius se tiene que χ′(a) = χ(a)spara a∈Fqs. Además, dado que NFqs/Fqes sobreyectiva (pues NFqs/Fq es un homomorfismo de grupos cuyo núcleo lo forman los a∈Fqstales que aqs−1 q−1= 1, el cual tiene orden qs−1 q−1) se tiene que χ′=ρ′si y sólo si χ=ρ. En particular, el orden de χ coincide con el de ρ. Estamos en disposición de definir las sumas de Gauss, un tipo de sumas exponenciales, es decir, sumas de raíces de la unidad, que aparecen con frecuencia en diferentes ámbitos de la teoría de números. Por ejemplo pueden emplearse para dar una prueba de las leyes de reciprocidad cuadrática, cúbica y bicuadrática (cf. [IR90, Ch. 6,9]) o en la ecuación funcional de las funciones Lasociada a un caracter de Dirichlet [Kow18, 3.4]. 18 Definición 3.6. Sea χun caracter multiplicativo de Fq. Denotemos por Fpel cuerpo con pelementos. Para cada a∈Fqdefinimos la suma de Gauss del caracter χrespecto a a como ga(χ) = X t∈Fq χ(t)ψ(at), donde ψ:Fq→C⋆es el caracter aditivo dado por t7→ exp 2πi pTFq/Fp(t). Denotaremos g1(χ)simplemente como g(χ). Se pueden definir sumas de Gauss generales para caracteres multiplicativos y aditivos χyψcualesquiera y las propiedades que vamos a ver siguen siendo ciertas (cf. [Kow18, Sec. 2.1]). El motivo de usar exp 2πi pTFq/Fp(t)será justificado en la sección 3.2, donde relacionaremos las sumas de Gauss de un caracter con las correspondientes sumas de sus levantamientos. Veamos a continuación propiedades de las sumas de Gauss. Proposición 3.7. Sea χun caracter multiplicativo de Fqy sea a∈Fq. Se tiene que ga(χ) =      qsi a= 0 yχ=ε, χ(a−1)g(χ)si a6= 0 yχ6=ε, 0en caso contrario. Demostración. Si a= 0 yχ=ε, es trivial. Si a6= 0 yχ6=ε, χ(a)ga(χ) = χ(a)X t∈Fq χ(t)ψ(at) = X t∈Fq χ(at)ψ(at) = g(χ), de donde se deduce el resultado. Si a6= 0 yχ=ε, ga(ε) = X t∈Fq ψ(at) = X t′∈Fq ψ(t′) = 0. Si a= 0 yχ6=ε, g0(χ) = X t∈Fq χ(t) = 0. Proposición 3.8. Si χes un caracter multiplicativo no trivial de Fq, |g(χ)|=q1/2. Demostración. Tenemos por un lado que X a∈Fq ga(χ)ga(χ) = X a∈F⋆ q χ(a−1)g(χ)χ(a−1)g(χ) = (q−1) |g(χ)|2. Por otro lado, X a∈Fq ga(χ)ga(χ) = X a∈Fq X t∈Fq χ(t)ψ(at)  X t′∈Fq χ(t′)ψ(at′)  =X t∈FqX t′∈Fq χ(t)χ(t′)X a∈Fq ψ(a(t−t′)) =X t∈FqX t′∈Fq χ(t)χ(t′)qδtt′= (q−1)q, 19 donde δtt′= 1 si t=t′y 0 en otro caso. El resultado se deduce de igualar ambas expresiones. −5−4−2 0 2 4 5 −5 −4 −2 0 2 4 5 g(χ1) g(χ2) Re(z) Im(z) Figura 1: Sumas de Gauss de F25: Para un generador gde F⋆ 25,χ1(g) = e2πi 24 yχ2(g) = e6πi 24 . Este resultado nos permite realizar la siguiente observación, descrita con más detalle en [Roj09]. Dado que el caracter ψ:Fq→C⋆distribuye de forma uniforme los elementos de Fqen el sentido de que para cada a∈ {1, . . . , p −1}tenemos que Pt∈Fqψ(at)=0, es natural pensar que una función fpartiendo de un conjunto finito Aen Fqestará «bien distribuida» si para cada a∈ {1, . . . , p −1}el módulo del vector media 1 #AX t∈Fq ψ(at)# {x∈A:f(x) = t} es pequeño respecto a 1. En particular para ddivisor pequeño de q−1, la función Fq→Fq dada por t7→ tdestá «bien distribuida» pues X t∈Fq ψ(at)# nx∈Fq:xd=to=X t∈Fq ψ(at)N(xd−t) = X t∈Fq ψ(at) d X j=0 χj(t) = d X j=0 X t∈Fq ψ(at)χj(t) = d X j=0 ga(χ) = d X j=1 ga(χ) tiene módulo menor o igual que (d−1)q1/2. También como consecuencia de las proposiciones anteriores obtenemos fácilmente que g(χ) = χ(−1)g(χ)y por lo tanto g(χ)g(χ) = χ(−1)q. Esta igualdad puede recordarnos a la ecuación de reflexión de la función Γ(z), Γ(z)Γ(1 −z) = π sin(πz), 20 y es que existe una analogía entre el papel jugado por las sumas de Gauss g(χ)en cuerpos finitos y el de la función Γ(z)para el caso continuo, que recordemos esta definida para cada z∈Ccon parte real positiva como Γ(z) = Z+∞ 0 e−xxzdx x. Dicha analogía se sustenta en el hecho de que x7→ e−xes un caracter aditivo de (R,+) y para cada z∈C,x7→ xzes un caracter multiplicativo del grupo multiplicativo de R+. Nótese que igual que para cada a∈Fqtenemos que Pt∈Fqf(at) = Pt∈Fqf(t), en el lado continuo la medida dx xes invariante por «traslaciones multiplicativas», es decir, para a > 0, Z+∞ 0 f(ax)dx x=Z+∞ 0 f(x)dx x. La siguiente definición viene motivada por el hecho de que podemos expresar el número de soluciones de ecuaciones del tipo xd1 1+···+xdn n=aen función de las tratadas en el Lema 3.2: N(xd1 1+···+xdn n−a) = X c1+···+cn=a N(xd1−c1)···N(xdn−cn). Definición 3.9. Sean χ1, χ2, . . . , χrcaracteres multiplicativos de Fq. Definimos las sumas de Jacobi como J(χ1, χ2, . . . , χr) = X c1+···+cr=1 χ1(c1)···χr(cr), J0(χ1, χ2, . . . , χr) = X c1+···+cr=0 χ1(c1)···χr(cr), donde los coeficientes citoman sus posibles valores en Fq. Nótese que cada suma de Jacobi tiene qr−1sumandos, que J(χ) = χ(1) = 1 y que para cualquier a∈F⋆ q X c1+···+cr=a χ1(c1)···χr(cr) = X c′ 1+···+c′ r=1 χ1(c′ 1a)···χr(c′ ra) = χ1···χr(a)J(χ1, χ2, . . . , χr). (3.2) Exploremos las principales propiedades de las sumas de Jacobi: Proposición 3.10. Sean χ1, χ2, . . . , χr(r≥2) caracteres multiplicativos de Fq. Se tiene que J0(χ1, . . . , χr) =            qr−1si χ1=χ2=··· =χr=ε, −(q−1)J(χ1, . . . , χr) = χr(−1)(q−1)J(χ1, . . . , χr−1)si χi6=εpara todo i= 1, . . . , r yχ1···χr=ε, 0en caso contrario. J(χ1, . . . , χr) =            qr−1si χ1=χ2=··· =χr=ε, −qJ(χ1, . . . , χr−1)si χi6=εpara todo i= 1, . . . , r yχ1···χr−1=ε, J(χ1···χr−1, χr)J(χ1, . . . , χr−1)si χi6=εpara todo i= 1, . . . , r yχ1···χr−16=ε, 0en caso contrario. 21 Demostración. Empecemos con la primera de las igualdades. De nuevo el resultado se obtendrá al agrupar los sumandos de una determinada suma de dos formas diferentes. Por un lado tenemos que X a∈FqX c1+···+cr=a χ(c1)···χ(cr) = r Y i=1 X ci∈Fq χi(ci) = (qrsi χ1=χ2=··· =χr=ε, 0en caso contrario. Por otra parte, X a∈FqX c1+···+cr=a χ(c1)···χ(cr) = J0(χ1, . . . , χr) + X a∈F⋆ qX c1+···+cr=a χ1(c1)···χr(cr) =J0(χ1, . . . , χr) + X a∈F⋆ q J(χ1, . . . , χr)χ1···χr(a) =(J0(χ1, . . . , χr)+(q−1)J(χ1, . . . , χr)si χ1. . . χr=ε, J0(χ1, . . . , χr)en caso contrario. De donde deducimos la primera igualdad salvo que J0(χ1, . . . , χr) = χr(−1)(q−1)J(χ1, . . . , χr−1) si χi6=εpara todo i= 1, . . . , r yχ1···χr=ε. Veamos esto último: J0(χ1, . . . , χr) = X c1+···+cr=0 χ1(c1). . . χr(cr) = X cr∈F⋆ q χr(cr)X c1+···+cr−1=−cr χ1(c1)···χr−1(cr−1) =X cr∈F⋆ q χr(cr)χ1···χr−1(−cr)J(χ1, . . . , χr−1) =χr(−1)J(χ1, . . . , χr−1)X cr∈F⋆ q χ1···χr(−cr) =χr(−1)(q−1)J(χ1. . . , χr−1). Probemos ahora la segunda igualdad. Si todos los caracteres son triviales, se sigue inmeditamente que J(χ1, . . . , χr) = qr−1. Si alguno de ellos es no trivial pero χr=ε, J(χ1, . . . , χr−1, ε) = X c1+···+cr=1 χ1(c1)···χr−1(cr−1)ε(cr) =X (c1,...,cr−1)∈Fn q χ1(c1)···χr−1(cr−1) = r−1 Y i=1 X ci∈Fq χi(ci) = 0. Si todos ellos son no triviales, J(χ1, . . . , χr) = X c1+···+cr=1 χ1(c1)···χr(cr) =X c1+···+cr−1=0 χ1(c1)···χr(cr) + X cr=1 X c1+···+cr−1=1−cr χ1(c1)···χr(cr) =J0(χ1, . . . , χr−1) + J(χ1, . . . , χr−1)X cr=1 χ1···χr(1 −cr)χr(cr) =J0(χ1, . . . , χr−1) + J(χ1, . . . , χr−1) (J(χ1···χr−1, χr)−χ1···χr−1(0)) . Si χ1···χr−1=ε, entonces J0(χ1, . . . , χr−1) = −(q−1)J(χ1, . . . , χr−1)yJ(χ1···χr−1, χr) = 0, por lo tanto J(χ1, . . . , χr) = −(q−1)J(χ1, . . . , χr−1)−J(χ1, . . . , χr−1) = −qJ(χ1, . . . , χr−1). 22 Si por el contrario χ1···χr−16=ε, entonces J0(χ1, . . . , χr−1) = χ1···χr−1(0) = 0, de donde deducimos finalmente J(χ1, . . . , χr) = J(χ1, . . . , χr−1)J(χ1···χr−1, χr). Se deduce de la primera igualdad de la anterior proposición que si χ1, . . . , χrson no triviales y χ1···χr=ε, J(χ1, . . . , χr) = −χr(−1)J(χ1. . . , χr−1).(3.3) La siguiente proposición muestra la conexión existente entre las sumas de Gauss y de Jacobi, que será de gran importancia pues nos permitirá conocer el módulo de las mismas y también construir levantamientos vía Hasse-Daveport. Proposición 3.11. Sean χ1, . . . , χrcaracteres multiplicativos no triviales de Fq. Se tiene que J(χ1, . . . , χr) =      −1 qg(χ1)···g(χr)si χ1···χr=ε, g(χ1)···g(χr) g(χ1···χr)si χ1···χr6=ε Demostración. Lo probamos por inducción en r. Para r= 1, el resultado es trivial. Supongamos ahora que r≥2. Si χ1···χr=ε, entonces χ1···χr−16=ε. Se sigue de la Proposición 3.10 y de la hipótesis de inducción que J(χ1, . . . , χr) = J(χ1···χr−1, χr)J(χ1, . . . , χr−1) =−1 qg(χ1···χr−1)g(χr)g(χ1)···g(χr−1) g(χ1···χr−1)=−1 qg(χ1)···g(χr). Si χ1···χr6=εpero χ1···χr−1=ε, entonces χr=χ1···χr. De nuevo de la Proposición 3.10 y de la hipótesis de inducción J(χ1, . . . , χr) = −qJ(χ1, . . . , χr−1) = −q−1 qg(χ1)···g(χr−1) = g(χ1)···g(χr−1)g(χr) g(χ1···χr). Finalmente, si χ1···χr6=εyχ1···χr−16=ε, entonces J(χ1, . . . , χr) = J(χ1···χr−1, χr)J(χ1, . . . , χr−1) =g(χ1···χr−1)g(χr) g(χ1···χr) g(χ1)···g(χr) g(χ1···χr−1)=g(χ1)···g(χr) g(χ1···χr). Observemos que para el caso r= 2, si tenemos dos caracteres no triviales χ1,χ2con χ1χ26=ε, la relación J(χ1, χ2) = g(χ1)g(χ2) g(χ1χ2) nos sugiere que el análogo de las sumas Jacobi para el caso continuo es la función beta definida para z, w ∈Ccon parte real positiva como B(z, w) = Z1 0 xz(1 −x)wdx, pues esta última verifica B(z, w) = Γ(z)Γ(w) Γ(z+w). 23 Corolario 3.12. Sean χ1, . . . , χrcaracteres multiplicativos no triviales de Fq. Se tiene que |J(χ1, . . . , χr)|=(qr 2−1si χ1···χr=ε, qr−1 2si χ1···χr6=ε. 3.2 La relación de Hasse-Davenport Recordemos que para cada caracter multiplicativo χde Fq, podemos definir χ′=χ◦ NFqs/Fq, que resulta ser un caracter de Fqs. El objetivo de esta sección es comparar g(χ) con la suma de Gauss de χ′correspondiente, es decir, g(χ′) = X t∈Fqs χ′(t)ψ′(t), donde ψ′(t) = exp(2πi pTFqs/Fp(t)) = ψ◦TFqs/Fq. Fijaremos χun caracter multiplicativo de Fq. Dado un polinomio mónico f(x) = xn−a1xn−1+··· + (−1)nad∈Fq[x], definimos λ(f) = ψ(a1)χ(an). Empezamos por un lema previo: Lema 3.13. 1. Para polinomios mónicos f, g ∈Fq[x], tenemos que λ(fg) = λ(f)λ(g). 2. Sea t∈Fqsyd= [Fqs:Fq(t)]. Sea f(x)∈Fq[x]su polinomio mínimo sobre Fq. Entonces λ(f)s/d =χ′(t)ψ′(t). 3. Se tiene que g(χ′) = X d|sX f∈Ad dλ(f)s/d, donde Ades el conjunto de polinomios mónicos irreducibles de Fq[x]de grado d. Demostración. 1. Escribamos f(x) = xn−a1xn−1+···+(−1)nadyg(x) = xm−b1xn−1+ ···+ (−1)dbd. Entonces f(x)g(x) = xn+m−(a1+b1)xn+m−1+···+ (−1)n+manbm, luego λ(fg) = ψ(a1+b1)χ(anbm) = ψ(a1)ψ(b1)χ(an)χ(bm) = λ(f)λ(g). 2. Sea del grado de tsobre Fqyxd−a1xd−1+··· + (−1)dadsu polinomio mínimo. Recordando la relación 3.1, tenemos que λ(f)s/d =ψ(a1)s/dχ(an)s/d =ψ(s da1)χ(as/d d) = ψ(TFqs/Fq(t))χ(NFqs/Fq(t)) = ψ′(t)χ′(t). 3. Gracias al apartado anterior tenemos que g(χ′) = X t∈Fqs χ′(t)ψ′(t) = X t∈Fqs λ(ft)s/ deg(ft), donde ft∈Fq[x]es el polinomio mínimo de tsobre Fq. Dado que todo polinomio mínimo tiene grado un divisor de sy que dado un polinomio mónico irreducible de grado ddivisor de stiene sus draíces en Fqs, deducimos el resultado. 24 que está bien definida pues para (x1, x2)∈X1, tenemos que x4 1+x2 2(1 + x2 1)2=x4 1+ (1 + x2 1)(1 −x2 1) = x4 1+ 1 −x4 1= 1 yx2 16= 1, ya que en caso contrario la ecuación que define X1 implicaría que 2=0, pero estamos asumiendo que 4 divide a p−1. Este morfismo tiene una inversa dada por (y1, y2)7→ y1,y2 1 + y2 1, por lo tanto tenemos que Ns(X) = Ns(Y). Para calcular el número de puntos de Yusamos las herramientas ya desarrolladas, a saber, el Corolario 3.18 (n= 2,q=ps,c1= 4,c2= 2, a1=a2=a= 1): Ns(X) = ps−(−J(ρ, χ))s−(−J(ρ, χ2))s−(−J(ρ, χ3))s, donde χyρson caracteres multiplicativos de Fpde orden 4 y 2, respectivamente. Además recordando la ecuación 3.3 tenemos que J(ρ, χ2) = J(ρ, ρ) = −ρ(−1) = −1, pues por el Lema 3.2 ρ(−1) = N(x2+ 1) −1 = 1. Por otro lado, J(ρ, χ3) = J(ρ, χ) = J(ρ, χ), pues ρtoma los valores 1,−1. Llamando π=−J(ρ, χ), llegamos a Ns(X) = ps−πs−πs−1. Por lo tanto la función zeta de Xviene dada por Z(X, T) = (1 −πT)(1 −πT)(1 −T) 1−pT . Vemos como el factor (1 −T)aparece en el numerador en lugar del denominador, luego no se verifican las conjeturas de Weil. Este ejemplo tiene la siguiente interpretación geométrica: los puntos singulares de la curva son nodos simples que se pueden resolver explotando la curva y obteniendo un morfismo Y→X, donde Yes otra curva no singular que verifica Y(Fqs) = X(Fqs)+2. Dado que la función zeta de la unión disjunta de dos variedades es el producto de las funciones zeta por 2.1, tenemos que Z(Y, T) = Z(X, T)Z({pt}, T)2. Por otro lado, la función zeta de un punto es 1/(1 −T), de modo que la función zeta de Ypasa a ser Z(Y, T) = (1 −πT)(1 −πT) (1 −T)(1 −pT) que sí verifica las conjeturas de Weil. 31 4 Conjeturas de Weil para curvas Sea Xuna curva regular sobre un cuerpo k, que para nosotros significa una variedad sobre kno singular y de dimensión 1. A continuación introducimos el concepto de divisor en una curva, que juega un papel fundamental en el estudio de las mismas mediante el teorema de Riemann-Roch y que aquí utilizamos para dar la prueba de las conjeturas de Weil para curvas, aunque para conseguir la hipótesis de Riemann necesitaremos emplear resultados de teoría de intersección de curvas en superficies. 4.1 Divisores Existen en geometría algebraica dos formas comunes de introducir este concepto, los divisores de Weil y los divisores de Cartier, aunque en nuestro contexto acaban siendo equivalentes. Un divisor de Weil es un elemento de grupo abeliano libre generado por los puntos cerrados de X, es decir, una suma finita de puntos cerrados de Xcon ciertos coefientes enteros. Si todos los coeficientes de Dson positivos, decimos que Des un divisor efectivo. El grupo abeliano de los divisores de Weil será denotado Div(X), que además tiene un orden parcial dado por D1≤D2si y sólo si D2−D1es efectivo. El grado de un divisor D=Px∈|X|nx·xse define como deg(D) = X x∈|X| nxdeg(x), donde deg(x) = [κ(x) : k]. Recordemos que el cuerpo de funciones racionales de Xse define como K(X) := OX,η, donde ηes el punto genérico de la curva, y coincide con el cuerpo de fracciones de OX,x para x∈ |X|. Además el anillo local OX,x es regular de dimensión 1, por lo tanto es un dominio de valoración discreta [AM89, 9.2]. Esto nos permite asociar a cada función racional no nula un divisor del siguiente modo. Dada f∈K(X)⋆, para cada x∈ |X|podemos expresar f=g/h, con g, h ∈OX,x. Definimos la valoración de fen x como vx(g)−vx(h)y dado que vx(f)sólo puede ser distinto de cero en un número finito de puntos [Har77, II.6.1], podemos definir el divisor asociado a fcomo div(f) = X x∈|X| vx(f)·x. Además div : K(X)⋆→Div(X)es un homomorfismo de grupos y a los divisores que provienen de funciones racionales se les llama principales. Al cociente Cl(X) := Div(X)/Im(div) se le denomina grupo de clases de divisores. Consideremos el conjunto de uplas (Ui, fi)donde los Uison un recubrimiento abierto de Xy las fison funciones racionales de Xque verifican la condición4fif−1 j∈Γ(Ui∩Uj,O⋆ X) para todo i, j.Un divisor de Cartier Des una clase de equivalencia de la relación definida por D= (Ui, fi)∼E= (Vj, gj)si fig−1 j∈Γ(Ui∩Vj,O⋆ X)para todo i, j. Dados dos divisores de Cartier D= (Ui, fi)yE= (Vj, gj), podemos definir su suma como (Ui∩Vj, figj). Esta operación está bien definida y junto con ella el conjunto de divisores de Cartier es un grupo abeliano que denotaremos CaDiv(X). Al igual que antes, se define el subgrupo de divisores principales como aquellos del tipo (X, f). Al cociente de CaDiv(X) por los divisores principales se le denota CaCl(X). Dado un divisor de Cartier D= (Ui, fi), podemos asociarle un divisor de Weil como Px∈|X|x·vx(fi), donde para cada xescogemos 4Γdenota el funtor de secciones globales y O⋆ Xel haz de elementos invertibles asociado a OX. 32 ital que x∈Ui. Esta aplicación está bien definida y además es un isomorfismo de grupos [GW10, 11.38]5que induce otro isomorfismo CaCl(X)∼ =Cl(X). Por otro lado, el concepto de divisor está íntimamente ligado al de haz invertible. Recordemos que un haz invertible en un espacio anillado (X, OX)es un haz de OX- módulos que es localmente isomorfo a OX. Si LyMson dos haces invertibles, entonces L⊗OXMy el haz dual L∨:= Hom OX(L,OX)también. El producto tensorial de OX- módulos dota al conjunto de clases de isomorfía de haces invertibles de estrucutra de grupo abeliano llamado grupo de Picard Pic(X), cuyo elemento neutro es OXy el inverso de Lviene dado por L∨. Dado un divisor de Cartier D= (Ui, fi), podemos asociarle un haz invertible OX(D)definido en cada abierto V⊂X OX(D)(V) = {f∈K(X) : fif∈Γ(Ui∩V, OX)para todo i}. Esta aplicación es sobreyectiva y factoriza a través de CaCl(X), luego establece un isomorfismo CaCl(X)∼ =Pic(X)[GW10, 11.27]. Componiendo los dos isomorfismos descritos, tenemos una aplicación Cl(X)→Pic(X)que a cada divisor Dlo manda al haz invertible definido en cada abierto Vpor OX(D)(V) = {f∈K(X)⋆:D|V+ div(f)≥0}∪{0}.(4.1) De hecho existe una correspondencia {D∈Div(X) : D≥0} ←→ {(L, γ) : L∈Pic(X),06=γ∈Γ(X, L)}/∼(4.2) donde ∼denota multiplicación por escalar no nulo de la sección global γ. La idea detrás de esta correspondencia es que si D≥0, entonces existe un morfismo no trivial OX→OX(D) y luego usar el isomorfismo canónico L∼ =Hom OX(OX,L). Si además Xes proyectiva, se tiene que para f∈K(X)⋆(cf. [GW10, 15.32]) deg(div(f)) = 0, por lo tanto el homomorfismo deg : Div(X)→Zfactoriza a través de Cl(X), luego podemos definir el grado de un haz invertible. Para cada n∈Z, denotaremos Picn(X) aquellos que tienen grado n. En resumen, se tiene el siguiente diagrama OX(D)D= (Ui, fi)Px∈|X|x·vx(fi) {Haces inveribles}CaDiv(X) Div(X) Pic(X) CaCl(X) Cl(X)Z ∈ ∈ ∈ ≈ ≈≈ deg (Xproyectiva) A continuación recordamos el enunciado del Teorema de Riemann-Roch, fundamental a la hora de tratar con haces invertibles sobre una curva. Recordemos que los funtores de cohomología Hi(X, ·)se definen como los funtores derivados por la derecha del funtor de sección globales Γ(X, ·)que parte de la categoría de OX-módulos a la de grupos abelianos. En nuestro caso Γ(X, ·)será un k-espacio vectorial, así que los grupos Hi(X, ·)también. No será necesario profundizar en temas de cohomología, pues en lo sucesivo trataremos 5Xcumple la hipótesis de localmente factorial (es decir, todos los anillos locales son factoriales) pues un anillo local y regular es factorial [Mat70, Th. 48]. 33 solamente con los espacios H0(X, ·), que coinciden con Γ(X, ·)al ser éste un funtor exacto a la izquierda. Dado un haz invertible L, denotaremos h0(L) = dim H0(X, L). El último ingrediente que nos falta es el haz de 1-formas en X, denotado por Ω1 X. Recordemos que un haz en un espacio topológico está unívocamente determinado por sus valores en los abiertos de una base de la topología. Definimos Ω1 Xen cada abierto afín U⊂Xcomo el módulo de formas diferenciables de OX(U)sobre k, es decir, Ω1 X(U)es el OX(U)-módulo libre generado por los símbolos {df :f∈OX(U)}cocientado por las relaciones d(f+f′) = d(f) + d(f′),d(fg) = fdg +gdf yda = 0 para a∈k. En el caso de curvas, Ω1 Xresulta ser un haz invertible que juega un papel fundamental, pues coincide con lo que se denomina el divisor canónico. Definimos el género de Xcomo g=h0(Ω1 X). Teorema 4.1 (Riemann-Roch).Sea Xuna curva proyectiva y Lun haz invertible. Entonces h0(L)−h0(Ω1 X⊗OXL∨) = deg(L)+1−g. (4.3) Demostración. Véase [GW10, 15.36]. Sí probaremos el siguiente corolario con el fin de familiarizarnos con los conceptos involucrados en el teorema. Corolario 4.2. Sea L∈Pic(X). 1. Si Ladmite secciones globales no nulas, entonces deg(D)≥0. 2. Se tiene que deg(Ω1 X) = 2g−2. 3. Si deg(L)>2g−2, entonces h0(L) = deg(L)+1−g. 4. Si k=Fq, el homomorfismo deg : Pic(X)→Zes sobreyectivo. Demostración. 1. Sea D∈Div(X)tal que OX(D)∼ =L. Si 06=f∈Γ(X, L), entonces por definición tenemos div(f) + D≥0, por lo tanto deg(D) = deg(div(f) + D)≥0. 2. Basta sustituir en la fórmula de Riemann Roch para L= Ω1 X. 3. Se sigue de la fórmula de Riemann-Roch que basta comprobar que h0(Ω1 X⊗OXL∨) = 0. Esto se deduce del primer apartado y de que deg (Ω1 X⊗OXL∨) = deg (Ω1 X)−deg (L) = 2g−2−deg (L)<0. 4. Bastará probar que podemos encontrar un divisor de grado 1. Para ello utilizaremos la desigualdad de Hasse-Weil, que probaremos más adelante de forma independiente a todo lo que se deduzca de este corolario. La desigualdad nos dice que para todo s≥1, |#X(Fqs)−(qs+ 1)| ≤ 2gqs/2, luego existe un stal que para todo r≥ssiempre existen puntos Fqr-racionales. En particular podemos encontrar primos p1, p2≥sy dos puntos x1, x2∈ |X|con deg(x1) = p1ydeg(x2) = p2gracias a la Proposición 2.8. Tomemos ahora α, β ∈Ztales que αp1+βp2= 1 y consíderese el divisor D=αx1+βx2. 34 Corolario 4.3. Si k=Fq, para cada n∈Z,Picn(X)es finito. Demostración. Los subconjuntos Picn(X)son las clases laterales del subgrupo Pic0(X), por lo tanto basta probarlo para algún n. Tomemos n > 2g−2y sea Dun divisor de grado n. Del tercer apartado del lema anterior sabemos que h0(OX(D)) >0, luego podemos tomar 06=f∈Γ(X, OX(D)) de modo que D+ div(f)es efectivo, luego todo divisor en Picn(X)admite como representante un divisor efectivo. Dado que en Xhay un número finito de puntos que tienen grado ≤n, tenemos el resultado. 4.2 Racionalidad y ecuación funcional Ya hemos desarrollado todas las herramientas para dar la prueba de la racionalidad y la ecuación funcional de la función zeta de una curva proyectiva sobre Fq, que como es habitual denotaremos por X. Teorema 4.4. La función zeta de Xse puede escribir como Z(X, T) = P1(T) (1 −T)(1 −qT)(4.4) para cierto P1(T)∈Z[T]de grado menor o igual que 2gy término constante 1. Demostración. Partimos de la expresión de Z(X, T )como producto sobre los puntos cerrados de X: Z(X, T) = Y x∈|X| 1 1−Tdeg(x)=Y x∈|X| (1 + Tdeg(x)+T2 deg(x)+. . . ). Tomemos una enumeración {xi}i≥0de los puntos cerrados de X. Desarrollando este producto vemos que en la serie aparacen todos los posibles términos T∑ikideg(xi), donde los kison enteros no negativos y las sumas consideredas son finitas. Utilizando divisores, podemos escribir esta suma de forma más conveniente como Z(X, T) = X D≥0 Tdeg(D). El siguiente paso es usar la equivalencia 4.2 entre divisores efectivos y pares de haces invertibles y secciones globales no nulas salvo multiplicación por escalar de modo que podamos agrupar los divisores por clases de equivalencia. En concreto dado L∈Pic(X), existen #Ph0(L)(Fq)divisores efectivos Dtales que OX(D)∼ =L. Por lo tanto Z(X, T) = X L∈Pic(X),L≥0 qh0(L)−1 q−1Tdeg(L) =X 0≥deg(L)≥2g−2 qh0(L)−1 q−1Tdeg(L)+X 2g−2<deg(L) qh0(L)−1 q−1Tdeg(L) =X 0≥deg(L)≥2g−2 qh0(L)−1 q−1Tdeg(L)+X 2g−2<deg(L) qdeg(L)+1−g−1 q−1Tdeg(L), donde hemos usado el tercer apartado del Corolario 4.2. Dado que # Picn(X) = # Pic0(X) es finito vemos que el primer sumando es un polinomio de grado 2g−2o nulo en caso de que g= 0. En cuanto al segundo sumando, tenemos X 2g−2<deg(L) qdeg(L)+1−g−1 q−1Tdeg(L)= # Pic0(X)X 2g−2<n qn+1−g q−1Tn. 35 Podemos sumar esta última serie del siguiente modo X 2g−2<n qn+1−g q−1Tn=T2g−1 q−1X 2g−2<n (qn+1−g)Tn−2g+1 =T2g−1 q−1X n≥1 (qn+g−1)Tn =T2g−1 q−1qg 1−qT −1 1−T=h(T) (1 −T)(1 −qT), donde h(T)es un polinomio de grado ≤2g, de modo que obtenemos el resultado. Teorema 4.5. La función zeta de Xsatisface la siguiente igualdad en C(T). ZX, 1 qT =q1−gT2−2gZ(X, T). Demostración. La idea es expresar Z(X, T)como suma de dos términos ambos cumpliendo la ecuación funcional. Primero notemos que qh0(L)−1 q−1=qh0(L)−qdeg(L)+1−g q−1+qdeg(L)+1−g−1 q−1. Por lo tanto, Z(X, T) = X 0≥deg(L)≥2g−2 qh0(L)−1 q−1Tdeg(L)+X 2g−2<deg(L) qdeg(L)+1−g−1 q−1Tdeg(L) =X 0≤deg(L)≤g−1 qh0(L)−1 q−1Tdeg(L)+X g≤deg(L)≤2g−2 qh0(L)−qdeg(L)+1−g q−1Tdeg(L) +X deg(L)≥g qdeg(g)−1 q−1Tdeg(L)=g1(T) + g2(T), donde g1(T)es la suma de los dos primeros sumandos y g2(T)el tercero de ellos. Veamos que g1(T)satisface la ecuación funcional. Necesitaremos usar la simetría en el conjunto de los L∈Pic(X)con 0≤deg(L)≤2g−2dada por L7→ Ω1 X⊗L∨(recordemos que deg(Ω1 X) = 2g−2). Sea L∈Pic(X)y llamemos M= Ω1 X⊗L∨. Obervemos que qh0(L)−1 q−11 qT deg(L) =qh0(M)−deg(M)+g−1−1 q−11 qT −deg(M)+2g−2 =qh0(M)−qdeg(M)+1−g q−1Tdeg(M)q1−gT2−2g. y análogamente qh0(M)−qdeg(M)+1−g q−11 qT deg(M) =qh0(L)−1 q−1Tdeg(L)q1−gT2−2g. Por lo tanto g1(T)satisface la ecuación funcional. Finalmente, g2(T) = X deg(L)≥g qdeg(L)+1−g−1 q−1Tdeg(L) = # Pic0(X)X n≥g qn+1−g−1 q−1Tn= # Pic0(X)Tg (1 −T)(1 −qT), 36 que verifica g21 qT = # Pic0(X)1 qT gqT2 (qT −1) (T−q)=g2(T)q1−gT2−2g. Corolario 4.6. Se tiene que P1(T)tiene grado 2g. Se sigue que E= deg P0−deg P1(T) + deg P2(T) = 2g−2, y por lo tanto se verifican las conjeturas 1 y 3 en 2.11. Demostración. Aplicando la ecuación funcional a la expresión obtenida en el Teorema 4.5 tenemos que P1q−1T−1qT2 (1 −qT)(1 −T)=T2−2gq1−gP1(T) (1 −T)(1 −qT), y por lo tanto T2gqgP1(q−1T−1) = P1(T).(4.5) Sabemos que Z(X, T)tiene término independiente 1, luego P1(T)también. Se sigue que el grado es 2g. De hecho podemos sacar todavía más información de la ecuación 4.5. Dado que sabemos que el término independiente de P1(T)es 1, podemos facotizarlo en Cy escribir P1(T) = 2g Y i=1 (1 −αiT), y por lo tanto P1(T) = 2g Y i=1 (1 −αiT) = T2gqg 2g Y i=1 1−αi 1 qT =qg 2g Y i=1 T−αi q =qg 2g Y i=1 1−q αi Tαi q="2g Y i=1 1−q αi T#"2g Y i=1 αi#q−g, lo cual nos indica que existe una permutación σ∈S2gtal que αiασ(i)=q. El objetivo de la siguiente sección es comprobar que en realidad ασ(i)=αi, es decir, se verifica la hipótesis de Riemann. Para ello, gracia a la simetría de las raíces recíprocas de P1(T), bastará probar que cada αiverifica |αi| ≤ q1/2. El siguiente lema nos asegura que dicha condición es equivalente a la Desigualdad de Hasse-Weil: Lema 4.7. Se tiene que |αi| ≤ q1/2si y sólo si |Ns−(qs+ 1)| ≤ 2gqs/2. Demostración. Empecemos notando que si tomamos derivada del logaritmo en la función zeta de Xobtenemos ∞ X s=1 Ns sTs= 2g X i=1 Log(1 −αi)−Log(1 −T)−Log(1 −qT ) = ∞ X s=1 1 + qs− 2g X i=1 αs i!Ts s, de donde deducimos que εs:= |Ns−(qs+ 1)|= 2g X i=1 αs i. 37 Por lo tanto si cada αiverifica |αi| ≤ q1/2, claramente obtenemos que εs≤2gqs/2. Recíprocamente, notemos que ∞ X s=1 εsTs= 2g X i=1 ∞ X s=1 αs iTs= 2g X i=1 αiT 1−αiT. Veamos esta expresión como una función de variable compleja T∈C. Dado que |εs| ≤ 2gqs/2para todo s, obtenemos la siguiente cota para |T| ≤ q−1/2:  ∞ X s=1 εsTs≤2g ∞ X s=1 (q1/2|T|)s=2gq1/2|T| 1−q1/2|T|, por lo tanto los polos de P∞ s=1 εsTstienen módulo mayor o igual que q−1/2, es decir, |αi| ≥ q1/2. 2 4 6 8 10 100 101 102 103 s Ns qs+ 1 + 2√qs qs+ 1 −2√qs Ns Figura 3: La Desigualdad de Hasse-Weil (para la curva elíptica x0x2 2+x0x1x2+x2 0x2=x3 1+x0x2 1+x0x2 1yq= 2) implica que Nssiempre se encuentra entre las curvas qs+1+2√qsy qs+ 1 −2√qs. 4.3 Intersecciones en superficies Con el fin de desarrollar las técnicas que usaremos en la prueba de la desigualda de Hasse Weil, es necesario tratar algunos fundamentos de la teoría de intersección de superficies. El primer paso es el de generalizar la noción de divisor que hemos introducido en el caso de curvas y definir algunas operaciones entre ellos, para así aplicarlos a la superficie X×FX, donde recordemos que en la notación que estamos siguiendo, Fes una clausura algebraica de FqyX=X×FqF. Supongamos que Xes una superficie proyectiva sobre un cuerpo kalgebraicamente cerrado, es decir una variedad proyectiva sobre kde dimensión 2. Supondremos que X es regular en codimensión 1, es decir, que todo anillo local de dimensión 1 es regular o, equivalentemente, los puntos singulares son aislados. Un divisor primo en Xes un 38 subesquema cerrado de dimensión 1, es decir, una curva, y se define el grupo de divisores (de Weil) Div(X)como el grupo abeliano libre generado por los divisores primos de X. Un elemento típico de Div(X)se escribe como una suma finita D=PiniCi. Al igual que en el caso de curvas (los divisores primos eran los puntos cerrados), cada divisor primo tiene asociado un punto genérico ηtal que OX,η es un anillo de valoración discreta cuyo cuerpo de fracciones es K(X)y así dada f∈K(X)⋆podemos definir la valoración de fen Y,vY(f). De nuevo vY(f)6= 0 es un número finito de divisores primos de Xde modo que podemos asociar un divisor a una función racional: div(f) = X Y⊂X vY(f). Definimos así una relación de dependencia lineal (D1∼D2si y sólo si D1−D2= div(f) para alguna f∈K(X)⋆) y el correspondiente cociente Cl(X). Definimos el grupo de Picard de Xexactamente de manera análoga a como lo hicimos para curvas. En el caso de que X sea localmente factorial (en particular si Xes regular) tenemos un isomorfismo de grupos Cl(X)→Pic(X)como el descrito en 4.1. Si CyDson dos curvas sobre Xyx∈C∩Des un punto de intersección de Cy D, decimos que CyDintersectan transversalmente en xsi las ecuaciones locales f, g de C, D en xgeneran el ideal maximal mxde OX,x. A continuación introducimos un pairing en el grupo de divisores de X, denominado número de intersección. No nos preocuparemos de su definición, sólo utilizaremos que existe y alguna de sus propiedades: Teorema 4.8. Existe un único pairing Div(X)×Div(X)→Z, denotado D.C para cada par de divisores, tal que 1. Si CyDson dos curvas no singulares que se intersecan transversalmente, entonces C.D = #(C∩D). 2. Es simétrico: C.D =D.C. 3. Es aditivo: (C1+C2).D =C1.D +C2.D. 4. Sólo depende de la clase de equivalencia lineal: si C1∼C2, entonces C1.D =C2.D. Demostración. Véase [Har77, V.1.1]. También enunciamos dos resultados que utilizamos en la prueba de la desigualdad de Hasse-Weil cuya demostración también puede encontrarse en [Har77, V.1]. Definimos el divisor canónico Kde Xcomo el haz asociado a ωX=V2ΩX/k (cf. [Har77, II.8]). Proposición 4.9 (Fórmula del adjunto).Sea Cuna curva no singular de género gsobre la superficie X, y sea Kal divisor canónico en X. Entonces 2g−2 = C.(C+K). Decimos que un D∈Cl(X)es amplio si D2:= D.D > 0yD.C > 0para toda curva irreducible Cen X. También diremos que Des numéricamente equivalente a cero, y se denotará D≡0, si D.E = 0 para todo divisor E. Decimos que DyEson numéricamente equivalentes si D−Ees numéricamente equivalente a cero. Teorema 4.10 (Teorema del índice de Hodge).Sea Hun divisor amplio en Xy sea D un divisor no numéricamente equivalente a cero tal que D.H = 0 . Entonces D2<0. 39 Volviendo al caso que nos concierne, consideremos una curva Xproyectiva y regular sobre Fqy definamos S=X×FX, que resulta ser una superficie regular y proyectiva. Entran ahora en juego dos importantes morfismos, por un lado la diagonal ∆ = idX×idX:X→S, (4.6) yel grafo de Fs X Γs F= idX×Fs X:X→S, (4.7) donde recordemos FX= idX×Fes el automorfismo de Frobenius de Xintroducido en 2.5. Ambos morfismos son inmersiones cerradas, de modo que identificaremos las imágenes con divisores primos de Sque por abuso de notación denominaremos Γs Fy∆. Recordemos que los puntos Fqs-racionales, X(Fqs), se corresponden con los puntos cerrados de Xque quedan fijos por Fs X, o dicho de otro modo aquellos que están en Γs F∩∆. En particular se sigue que Γs F∩∆es finito. La siguiente proposición nos asegura que dicho número puede calcularse como Γs F.∆. Proposición 4.11. Γs Fy∆intersecan transversalmente. Demostración. Véase [Mus11, 2.4]. 4.4 La desigualdad de Hasse-Weil Ya estamos en disposición de probar la desigualdad de Hasse-Weil y por lo tanto la hipótesis de Riemann para curvas. Empecemos con una proposición preparatoria. Proposición 4.12. Sean CyC′dos curvas regulares y proyectivas sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, y consideremos X=C1×C2. Sean l=C1×{pt}ym={pt}×C2. Sea Dun divisor de Xy sean a=D.l yb=D.m. Entonces se tiene que D2≤2ab. Demostración. Definamos H=l+myE=l−m. Dado que l2=m2= 0 yl.m = 1, tenemos que D.H =a+b,D.E =a−b,H2= 2,E2=−2yH.E = 0. Para toda curva C′′ ⊂X, si C′′ no intersecta a ninguna curva C× {pt}para ningún pt ∈C′, entonces claramente C′′ ⊂C×{pt}para algún pt ∈C′. Entonces C′′ debe intersecar a {pt}×C′ para algún pt ∈C. Dado que H2= 2, tenemos que Hes amplio. Así que definimos D′= (H2)(E2)D−(E2)(D.H)H−(H2)(D.E)E=−4D+ 2(a+b)H−2(a−b)E, que verifica D′.H =−4(a+b) + 4(a+b) = 0, Se sigue del Teorema del índice de Hodge 4.10 que D′2≤0, es decir, 0≥(−4D+ 2(a+b)H−2(a−b)E)(−4D+ 2(a+b)H−2(a−b)E) = 16D2−8(a+b)H.D + 8(a−b)E.D −8(a+b)H.D + 4(a−b)2H2+ 8(a−b)E.D + 4(a−b)E2 = 16D2−8(a+b)2+ 8(a−b)2= 16D2−32ab, de donde obtenemos el resultado. 40