Modelos geométricos para el aprendizaje de movimientos en el plano

MSEL Modelling in Science Education and Learning Modelling in Science Education and Learning Volume 3, No. 4, 2010. Instituto Universitario de Matem´atica Pura y Aplicada Modelos geom´etricos para el aprendizaje de movimientos en el plano O. Delgado1 Universidad de Sevilla o[email protected] Abstract En geometr´ıa moderna, la relaci´on entre la estructura algebraica de los elementos geom´etricos y la descripci´on f´ısica de estos mismos es a menudo demasiado abstracta para que se pueda explicar usando s´olo su representaci´on matricial. En este art´ıculo presentamos algunas herramientas para la ense˜nanza de los movimientos en el plano. Junto con los elementos matem´aticos abstractos (vectores, matrices,...), el archivo pdf que facilitamos proporciona modelos sencillos para la explicaci´on y autoaprendizaje de esta materia mediante los efectos de movimiento que se a˜naden a los dibujos que aparecen en el modelo. In modern linear geometry, the relation between the algebraical structure of the geometrical elements and the physical description of these elements is sometimes too abstract for being explained only by using the matrix representation. In this paper we provide some tools for the teaching of the movements in the plane. Together with the abstract mathematical elements (vector, matrices,...), the pdf file provided gives easy models for the explanation and self learning of this subject by adding movement effects to the pictures represented in the model. Keywords: Algebra lineal, Movimientos en el plano, Autoaprendizaje 1La autora quiere agradecer la financiaci´on del Ministerio de Educaci´on y Ciencia (MTM2009-12740-C03-02) y de la Universidad Polit´ecnica de Valencia (PAID-10 Ref. 2149), que ha permitido realizar este trabajo. 39 40 Modelos geom´etricos para el aprendizaje de movimientos en el plano 1 Introducci´on Adem´as de facilitar la ense˜nanza y el aprendizaje de elementos avanzados de matem´aticas en la universidad, los modelos de tipo geom´etrico facilitan tambi´en el aprendizaje de conceptos cl´asicos de las matem´aticas. Es f´acilmente constatable que la representaci´on geom´etrica de los movimientos en el plano (traslaciones, giros, simetr´ıas, homotecias...) representan para los alumnos de primer curso de la universidad un problema, puesto que en general no son capaces de asociar con facilidad la geometr´ıa con su soporte matricial. En este trabajo presentamos un pdf en el que se dan simult´aneamente mediante ejemplos la representaci´on matricial de los movimientos habituales en el plano, junto con modelos din´amicos de esos mismos movimientos. Las operaciones propias del c´alculo matricial se asocian entonces autom´aticamente con su contrapartida geom´etrica. Este enfoque, adem´as de que asegura la posibilidad de un uso aut´onomo del material, permite al profesor explicar estos temas sin necesidad de recurrir a modelos f´ısicos, que tambi´en podr´ıan utilizarse para representar la caracter´ıstica principal que estos modelos facilitan: el propio movimiento. Este material ha sido utilizado como recurso de apoyo docente en la asignatura Matem´atica Aplicada a la Edificaci´on I, impartida bajo la titulaci´on de Grado en Ingenier´ıa de Edificaci´on, en la Escuela Universitaria de Arquitectura T´ecnica de la Universidad de Sevilla. Por su sencillez, tambi´en podr´ıa usarse en institutos de ense˜nanza secundaria. 2 Enfoque did´actico. Los modelos geom´etricos para la docencia de las matem´aticas en la universidad son una herramienta cl´asica de trabajo. Las explicaciones de determinados temas del c´alculo y el ´algebra han venido tradicionalmente acompa˜nadas de dibujos y representaciones que se realizaban en la pizarra o en otro tipo de medios. La generalizaci´on del uso de los programas de c´alculo matem´atico en las aulas universitarias ha permitido una mejora significativa en este procedimiento, que sin duda facilita el aprendizaje de los temas abstractos. Estos programas, sin embargo, son a menudo de acceso restringido y su uso depende de su disponibilidad en la universidad, y adem´as, a pesar de que cada vez son mas sencillos de usar, requieren de un cierto entrenamiento para aprovechar todas las aplicaciones que pueden ofrecer. En este sentido, el tipo de material que presentamos aqu´ı mejora la accesibilidad al recurso y permite por lo tanto su uso por parte de los alumnos de manera aut´onoma con mucha m´as facilidad que los materiales habituales. Al tratarse de un pdf, cualquier estudiante puede utilizarlo s´olo con disponer de un ordenador. Como el lector puede observar, los efectos de movimiento que acompa˜nan a la ejecuci´on del pdf, por su car´acter esquem´atico y su claridad, permiten asociar el soporte matem´atico que aportan las ecuaciones matriciales a los movimientos concretos sin ninguna ambig¨uedad. La aparici´on conjunta de las ecuaciones y el movimiento que representan facilita la comprensi´on del concepto y su asociaci´on. El f´acil acceso al recurso es una ventaja a˜nadida. 3 Contenidos espec´ıficos: los movimientos en el plano. Una transformaci´on en el plano es simplemente una funci´on que, al aplicarla sobre los puntos de ´este, produce un cambio en las figuras geom´etricas que se sit´uan en ´el que se puede asociar ISSN 1988-3145 40 @MSEL Volume 3, 2010. 41 a cambios en la posici´on o en el tama˜no. La representaci´on matricial de los movimientos en el plano permite entre otras cosas determinar las propiedades de la composici´on y otros cambios matem´aticos. Un movimiento en el plano se puede representar mediante una matriz 3 ×3 con una estructura espec´ıfica (ve´ase por ejemplo 10.6 en Checa et al). Los movimientos son un ejemplo claro de c´omo el car´acter abstracto de los contenidos matem´aticos y su propia construcci´on convierten conceptos f´aciles de asimilar desde el punto de vista de su concepci´on geom´etrica en ecuaciones que no guardan ninguna relaci´on con esa imagen intuitiva. La presentaci´on simult´anea de ambas cosas es fundamental para una correcta comprensi´on, ya que facilita el proceso de intercambio entre las ecuaciones y algo externo que sin embargo responde en sus caracter´ısticas y propiedades a las que reproducen estas mismas ecuaciones. Sin embargo, los movimientos en el plano son s´olo un ejemplo de c´omo esta metodolog´ıa puede usarse. 4 Especificaciones t´ecnicas. El archivo pdf que contiene la presentaci´on de este material ha sido creado con el paquete de LaTeX denominado Beamer. Este paquete resulta ideal a la hora de mostrar expresiones matem´aticas junto con texto ordinario, adem´as permite hacerlo por fases de manera que centre la atenci´on del oyente en la materia que se est´e tratando en cada momento. La explicaci´on de cada movimiento incluye una figura din´amica reproduciendo el movimiento en cuesti´on y que puede ser activado cuantas veces se desee. La reproducci´on del movimiento consiste en una serie de im´agenes que se suceden r´apidamente creando el efecto de movimiento al igual que ocurre con las pel´ıculas cinematogr´aficas. La consecuci´on r´apida de im´agenes se ha creado usando comandos de Beamer. En cuanto a las propias im´agenes, han sido creadas con el programa matem´atico Maple. La capacidad de este programa para realizar c´alculo simb´olico resulta de gran utilidad para crear f´acilmente distintas im´agenes con peque˜nas diferencias entre s´ı, algo indispensable para que en la reproducci´on del movimiento no haya grandes saltos que distorsionen dicho movimiento. El c´alculo simb´olico permite definir la matriz de un movimiento con par´ametros a los que se les dan valores para crear las distintas fases del movimiento que formar´an la secuencia de im´agenes. @MSEL 41 ISSN 1988-3145 Referencias [1] J. Burgos, ´ Algebra Lineal. Ed. McGraw-Hill, 1997. [2] E. Checa, M. J. Felipe, J. Mar´ın, E. A. S´anchez y J. V. S´anchez, ´ Algebra, C´alculo y Mec´anica para Ingenieros. Ed. RA-MA, 1997. [3] J. Garc´ıa Garc´ıa y M. L´opez Pellicer, ´ Algebra Lineal y Geometr´ıa. Ed. Marfil, 1990. 43