Simulación de pulsos gaussianos de velocidad a la salida de un chorro líquido

Trabajo Fin de Grado Grado en Ingeniería Aeroespacial Simulación de pulsos gaussianos de velocidad a la salida de un chorro líquido Autor: Daniel Fernández García Tutores: Pedro Ángel Vázquez González Heliodoro González García Dep. Física Aplicada III Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2018 Trabajo Fin de Grado Grado en Ingeniería Aeroespacial Simulación de pulsos gaussianos de velocidad a la salida de un chorro líquido Autor: Daniel Fernández García Tutores: Pedro Ángel Vázquez González Profesor titular Heliodoro González García Profesor titular Dep. de Física Aplicada III Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2018 iii Trabajo Fin de Grado: Simulación de pulsos gaussianos de velocidad a la salida de un chorro líquido Autor: Daniel Fernández García Tutores: Pedro Ángel Vázquez González Heliodoro González García El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Acuerdan otorgarle la calificación de: Sevilla, 2018 El Secretario del Tribunal v Agradecimientos La realización de este trabajo constituye todo un hito para mí, pues supone alcanzar uno de mis mayores propósitos, un logro que hubiera sido imposible de alcanzar sin el cariño y el apoyo de muchísimas personas. Como no podía ser de otra forma, he de comenzar dando las gracias a mis tutores, Pedro y Helio, por su inestimable ayuda a lo largo de estos meses, por todos sus consejos, correcciones y orientaciones, que me han sido de gran utilidad en la realización de este trabajo, y por brindarme la oportunidad de aportar mi pequeño granito de arena a su encomiable labor de investigación. Gracias a mis padres, Francisco y María del Mar, por todo el cariño que día tras día me demuestran y por enseñarme con su ejemplo la importancia del esfuerzo, la dedicación y la perseverancia. A mi hermana, Marina, por su complicidad y su increíble capacidad para sacarme una sonrisa incluso en los peores días. También a todos esos abuelos, tíos y primos que me han demostrado su apoyo a lo largo de estos años. Tampoco podía olvidarme de mis amigos de toda la vida, aquellos para los que después de tantos años y vivencias compartidas la palabra amigo se queda corta, porque ya son de la familia. Por mucho que se separen nuestros caminos, siempre tendréis un sitio en mi mesa cada 28 de diciembre. Por último y no por ello menos importante, y porque los grandes desafíos no pueden alcanzarse sin ayuda, agradecer a todas esas personas que han compartido esta aventura conmigo en primera persona, aquellos perfectos desconocidos que tras incontables clases, horas de estudio, risas, anécdotas y conciertos improvisados se han convertido en mi familia sevillana. Gracias por enseñarme que a veces está bien dejar de levantarse a las 7:00 de un domingo para estudiar y lanzarse a los brazos de la procrastinación, dejar los problemas al yo del futuro, y confiar en que todo va a salir bien. Daniel Fernández Garcia Sevilla, 2018 vii Resumen El objetivo del presente trabajo es el análisis de la evolución y ruptura de un chorro líquido estimulado por pulsos gaussianos de velocidad, por medio de simulaciones con el software Gerris. Se pretende estudiar cómo los parámetros que definen la perturbación gaussiana influyen en la ruptura en gotas del chorro, y determinar qué valores de los mismos dan lugar a formas de ruptura específicas. En concreto, interesa determinar qué valores dan lugar a una ruptura en una gota única, y cuáles permiten obtener una ruptura simultánea, en la que los ligamentos anterior y posterior a la gota se desprenden al mismo tiempo. En primer lugar, se expondrán las ecuaciones y condiciones que rigen el comportamiento del chorro líquido, así como las hipótesis consideradas en el estudio del mismo y su correspondiente justificación. Seguidamente, se llevará a cabo una estimación inicial de los parámetros de estudio, en base a una serie de resultados teóricos. Una vez estimadas las características del pulso gaussiano, se realizarán una serie de simulaciones que permitirán analizar cómo los parámetros elegidos influyen en la evolución y ruptura del chorro líquido. Los resultados obtenidos revelarán qué valores de los parámetros que definen la perturbación gaussiana dan lugar a las formas de ruptura buscadas. ix Ilustración 4-21: Simulación con = y =0.7, gotas secundarias y gota delantera 29 Ilustración 4-22: Simulación con = y =0.6, ruptura simultánea 30 Ilustración 4-23: Simulación con = y =0.6, formación de gota delantera y satélites secundarios 30 Ilustración 4-24: Simulación con = y =0.6, formación de gotas secundarias 30 Ilustración 4-25: Simulación con = y =0.8, ruptura delantera 31 Ilustración 4-26: Simulación con = y =0.8, ruptura trasera 31 Ilustración 4-27: Simulación con = y =0.8, gotas secundarias 31 Ilustración 4-28: Simulación con =1 y = , ruptura simultánea 32 Ilustración 4-29: Simulación con =1 y = , gotas secundarias. 32 Ilustración 4-30: Simulación con =1 y = , ruptura trasera 34 Ilustración 4-31: Simulación con =1 y = , formación de gota delantera 34 Ilustración 4-32: Simulación con =1 y = , gotas secundarias 34 Ilustración 4-33: Simulación con =1 y = 0, ruptura delantera 35 Ilustración 4-34: Simulación con =1 y = 0, ruptura trasera y formación de satélite secundario trasero 35 Ilustración 4-35: Simulación con =1 y = 0, gotas secundarias 35 Ilustración 4-36: Simulación con =0.5, ruptura delantera 36 Ilustración 4-37: Simulación con =0.5, ruptura trasera 36 Ilustración 4-38: Simulación con =0.5, formación de gota secundaria 36 Ilustración 4-39: Simulación con =0.5, gota secundaria delantera 36 Ilustración 4-40: Simulación con =0.5, gota secundaria trasera 36 Ilustración 4-41: Simulación con =1 y =0.6, ruptura delantera 37 Ilustración 4-42: Simulación con =1 y =0.6, ruptura trasera 37 Ilustración 4-43: Simulación con =1 y =0.6, gota secundaria delantera 37 Ilustración 4-44: Simulación con =1 y =0.6, gotas secundarias 37 Ilustración 4-45: Simulación con =1 y =0.8, ruptura delantera 38 Ilustración 4-46: Simulación con =1 y =0.8, ruptura trasera 38 Ilustración 4-47: Simulación con =1 y =0.8, gota secundaria delantera 38 Ilustración 4-48: Simulación con =1 y =0.8, gotas secundarias 38 Ilustración 4-49: Simulación con =0.2, ruptura delantera 39 Ilustración 4-50: Simulación con =0.2, ruptura trasera 39 Ilustración 4-51: Simulación con =0.2, gotas secundarias 39 xvii Notación Amplitud de la gaussiana Amplitud adimensional de la gaussiana C Número de Ohnesorge cos Función coseno e Número e k Número de onda Número de onda adimensional L Distancia de ruptura Distancia entre gotas P Presión Presión capilar característica R Radio del chorro líquido sen Función seno t Tiempo T Variable del trazador Período del pulso gaussiano Tiempo capilar característico Velocidad del chorro líquido Velocidad capilar característica V(t) Velocidad inicial del chorro líquido Velocidad inicial del pulso gaussiano We Número de Weber γ Tensión superficial κ Curvatura μ Viscosidad dinámica Viscosidad dinámica del medio externo Viscosidad dinámica del fluido que conforma el chorro líquido π Número pi Ρ Densidad Densidad del medio externo Densidad del fluido que conforma el chorro líquido Anchura de la gaussiana Anchura adimensional de la gaussiana Desfase respecto a portadora centrada en la campana Frecuencia de la portadora Frecuencia adimensional de la portadora Derivada parcial Operador nabla xix 1 1 INTRODUCCIÓN n chorro líquido está generado por la salida de un fluido por diferencia de presión a través de un orificio, generalmente circular, a una velocidad suficientemente elevada. La formación, evolución y ruptura en gotas de un chorro líquido es un fenómeno que ha captado la atención de científicos e investigadores destacados, debido a la amplia gama de aplicaciones técnicas asociadas. 1.1. Antecedentes históricos Desde finales del siglo XIX, diversos científicos han tratado de dar explicación al fenómeno de formación y ruptura en gotas de chorros líquidos. Los trabajos de Young [6], Laplace [7] y Gauss [8] permitieron la obtención de una primera formulación del fenómeno de tensión superficial, y Savart [9] demostró cualitativamente la inestabilidad del chorro, que daba lugar a su ruptura en gotas. Plateau [10] fue el primer investigador en establecer la relación entre la inestabilidad del chorro líquido y la tensión superficial. En sus estudios, recogió una serie de predicciones teóricas de la inestabilidad del chorro, y obtuvo los primeros resultados experimentales cuantitativos de la misma [11]. El testigo de Plateu fue recogido por Rayleigh, una de las figuras más destacadas en el ámbito de estudio de los chorros líquidos. Propuso uno de los primeros métodos de resolución analítica del problema del chorro líquido, el análisis lineal temporal [12]. Este método se basa en el estudio del chorro líquido como una columna líquida infinita, perturbada en toda su extensión, cuya evolución se observa desde un sistema de referencia solidario con el movimiento del chorro. Gracias a este análisis, fue capaz de establecer una serie de predicciones teóricas sobre la evolución del chorro líquido y la perturbación aplicada al mismo Además, introdujo una serie de nuevas técnicas experimentales, que permitieron detectar la formación de pequeñas gotas, denominadas "gotas satélite", asociadas a la generación de gotas convencionales. Las predicciones y observaciones realizadas por Rayleigh abrieron nuevos caminos de investigación en el estudio de chorros líquidos. El análisis de inestabilidad del chorro fue extendido a nuevos ámbitos, gracias a la labor de investigadores como Weber, y se realizaron múltiples estudios para corroborar los resultados teóricos. En las últimas décadas del siglo XX, la aparición de diversas aplicaciones tecnológicas relacionadas con la evolución del chorro líquido y su ruptura en gotas acrecientan el interés en torno al avance de esta disciplina. Algunas de las investigaciones llevadas a cabo en los últimos años están enfocadas en la definición de un nuevo modelo de resolución numérica de las ecuaciones de Navier-Stokes que definen la evolución del chorro, que permita además predecir fenómenos no lineales (tales como la formación de gotas satélite) que el método originalmente propuesto por Rayleigh no es capaz de abordar. 1.2. Aplicaciones técnicas Una de las aplicaciones tecnológicas más extendidas del chorro líquido es la impresión por inyección de tinta. Esta técnica se basa la ruptura controlada de un chorro en gotas, que distribuidas sobre el papel consiguen la impresión. Actualmente, las dos técnicas fundamentales por las que se consigue la impresión por inyección son:  Drop-on-demand (D-o-D): En esta técnica, la tinta retenida en el inyector es estimulada por un pulso de presión. Dicho pulso fuerza la formación de gotas en el orificio del inyector, que son proyectadas sobre el papel para conseguir la impresión. El bajo caudal de gotas producido es la principal desventaja del método Drop-on-demand frente a otras técnicas de impresión por inyección de tinta. U Introducción 2 Figura 1-1: Representación esquemática de la técnica Drop-on-demand  Continuous inkjet (CIJ): Esta técnica se basa en la generación de un chorro continuo de tinta y su estimulación con un pulso o señal tras su salida del inyector, para obtener una ruptura en gotas del mismo. La estimulación necesaria para producir la ruptura del chorro se consigue por medio de elementos piezoeléctricos. Este método permite conseguir una producción de gotas más rápida que la obtenida por medio de la técnica Drop-on-demand, y facilita además la visualización y control de la presión. No obstante, para explotar al máximo las ventajas de esta técnica, es necesario analizar en detalle qué características debe tener la señal empleada en la estimulación del chorro para conseguir la forma de ruptura deseada. Figura 1-2: Representación esquemática de la técnica Continuous inkjet En el ámbito aeroespacial, cabe destacar la importancia de los chorros líquidos en los procesos de combustión. Una inyección de combustible en pequeñas gotas permite un control más preciso de la proporción de combustible en la cámara de combustión. De este modo, se consigue una combustión más eficiente, lo que se traduce en una reducción del consumo de combustible, y se evita la presencia de combustible residual que pueda quemarse en la ignición, produciendo daños y/o degradación en la cámara de combustión. Los chorros líquidos cuentan también con numerosas aplicaciones en los ámbitos químico, biológico y médico. Destaca en estos últimos la citometría de flujo, técnica en la cual un chorro líquido transporta una serie de células que son analizadas por medio de luz láser. Esta técnica es empleada en la detección y seguimiento de enfermadades tales como SIDA y leucemia. 3 Simulación de pulsos gaussianos de velocidad a la salida de un chorro líquido 1.3. Gerris Flow Solver Gerris es un software libre desarrollado por Stéphane Popinet [13] [16], orientado a la resolución de las ecuaciones diferenciales parciales que rigen el comportamiento de un fluido. Este software permite la resolución de las ecuaciones de Navier-Stokes mediante el método de Volúmenes Finitos (FV) [14], y define la interfaz entre dos fases a cada paso temporal por medio de la técnica de Volume-Of-Fluid (VOF) [15]. Gerris cuenta además con un modelo de tensión superficial de gran precisión, que resulta muy útil en el estudio de fenómenos dominados por capilaridad, y con el módulo GfsView, que permite visualizar los resultados de las simulaciones realizadas y controlar su evolución en tiempo real. Otro de los puntos fuertes de este software es la adaptabilidad del dominio de estudio. Dicho dominio se construye a través de "cajas" ("Box"), cada una de ellas con unas condiciones de contorno asociadas, que pueden unirse entre sí de diversas formas para crear regiones de estudio bidimensionales o tridimensionales. Adicionalmente, Gerris cuenta con la opción de realizar un mallado adaptativo, que permite refinar la malla a voluntad en determinadas zonas del dominio para conseguir mayor precisión en las mismas (interfases, zonas de gradientes intensos, etc.). A esto hay que añadir la posibilidad de ejecutar Gerris en paralelo, que permite vincular cada una de las cajas que conforman el dominio de estudio a un procesador, reduciendo así notablemente el tiempo de computación. Estas características justifican la elección de Gerris como software de análisis y simulación a emplear en el presente trabajo. Su preciso modelo de tensión superficial proporcionará buenos resultados de la evolución del chorro líquido, y la gran flexibilidad del dominio de estudio y del mallado permitirán dividir el chorro en varias "cajas" y refinar el mallado en torno a la interfase entre líquido y medio exterior. Introducción 4 5 2 DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA a evolución y ruptura en gotas de un chorro líquido es un problema de mecánica de fluidos, y como tal está regido por las ecuaciones de Navier-Stokes. Las condiciones de evolución del chorro líquido objeto de estudio permiten establecer una serie de hipótesis, que simplifican la resolución de este complejo sistema de ecuaciones en derivadas parciales no lineales. 2.1. Hipótesis de partida En este estudio, se considera que el chorro líquido está conformado por un fluido incompresible y newtoniano. Se asume además la ausencia de gradientes térmicos y de concentración. De este modo, pueden suponerse constantes y uniformes la densidad y viscosidad dinámica del fluido que conforma el chorro líquido objeto de estudio. En lo que respecta a las fuerzas que actúan sobre el fluido, puede despreciarse el efecto de la gravedad, siempre y cuando el chorro líquido emerja con una velocidad suficientemente elevada. Por otra parte, se considera que el chorro líquido se encuentra en el vacío o en el seno de un gas que no altera su evolución, de forma que no existe interacción entre el fluido y el medio externo. En concreto, el chorro líquido objeto de estudio estará formado por agua, y el medio exterior será aire en condiciones ambiente. En base a estas hipótesis, puede establecerse que la evolución del chorro líquido a analizar está dominada por efectos de capilaridad y viscosidad. 2.2. Pulsos gaussianos de velocidad Tal y como se comentó en el Apartado 1.2, para conseguir el máximo rendimiento de las técnicas de generación de gotas a partir de la ruptura de un chorro líquido, es necesario estudiar con detalle qué tipo de perturbaciones propician las formas de ruptura del chorro deseadas. Hasta ahora, sólo se ha considerado la opción de pertubar el chorro líquido con señales senoidales puras, que generan una ruptura del mismo en múltiples gotas de tamaño similar. Sin embargo, si lo que se busca es la ruptura del chorro líquido en una única gota, este tipo de perturbación resulta poco conveniente. Por este motivo, se propone el pulso gaussiano como tipo de perturbación candidata a satisfacer este objetivo. La estimulación de un chorro líquido con un pulso gaussiano de presión se traduce en una velocidad inicial del mismo uniforme, , y con una perturbación que puede aproximarse también por un pulso gaussiano, como refleja la Relación 2-1: (2-1) L Estudios previos 12  Densidad del fluido que conforma el chorro y el medio externo (líneas 21-22).  Radio del chorro líquido (línea 23).  Viscosidad del fluido que conforma el chorro y el medio externo (líneas 24-25).  Tensión superficial del fluido que conforma el chorro (línea 26).  Números de Reynolds y Ohnesorge (líneas 27-28).  Densidad y viscosidad en función del parámetro T que define el trazador VOF (líneas 29-30).  Velocidad inicial (línea 31).  Tiempo y velocidad característicos de la adimensionalización capilar (líneas 32-33).  Frecuencia adimensional de la portadora (línea 34).  Correción de tiempo para situar el pulso gaussiano en el origen del chorro líquido (línea 35). Ilustración 3-2: Código numérico, parte 1 13 Una vez determinados los valores de las magnitudes que caracterizan el comportamiento del chorro líquido, se definen las condiciones iniciales de velocidad y de la variable T que define el trazador VOF. Se puede observar que esta última toma el valor 1 si se encuentra en la región ocupada por el chorro líquido (y<=RO), y 0 si se halla fuera de la misma, como se comentó en el Apartado 2.4. En las líneas 48-52 se establece que la velocidad inicial es la impuesta por el pulso gaussiano (de acuerdo con la relación expuesta en el Apartado 2.2), en la región ocupada por el chorro líquido, y la velocidad inicial previamente definida fuera de esta. Tras ello, se configuran el tiempo de simulación y el trazador VOF, que reproduce la zona de separación entre el fluido que conforma el chorro y el medio externo. Ilustración 3-3: Código numerico, parte 2 A continuación, se determinan los parámetros que establecen la configuración de las cajas (línea 74), y los valores iniciales de velocidad y del trazador (líneas 79-82). Las líneas 93-94 cuentan con la función RemoveDroplets, una opción que resulta muy útil en diversas aplicaciones del software Gerris, ya que permite eliminar gotas inferiores a un tamaño concreto, consiguiendo así resultados más rápidos y limpios. No obstante, debe ser empleada cuidadosamente en este estudio, puesto que si no se configura correctamente el tamaño mínimo de gota a mostrar, es posible que la gota única formada en la ruptura del chorro no pueda observarse. Las funciones empleadas en las líneas 98-102 son las encargadas de generar el mallado empleado para representar y analizar el dominio de estudio. Como se indicó en el apartado 1.3, Gerris cuenta con la opción de crear un mallado adaptativo, capaz de conseguir un mayor refinamiento de la malla en aquellas regiones que requieren mayor precisión. Se puede observar que el valor de los parámetros VOFMAX y VOFMIN, previamente establecido en las líneas 14-15, determina respectivamente el número máximo y mínimo de celdas a usar en la región cercana a la interfase entre el chorro líquido y el medio externo (y<3*RO). En el próximo Apartado se estudiará qué valores deben tomar estos parámetros para conseguir el mallado que mejor se adapta al fenómeno de estudio. Estudios previos 14 14 Ilustración 3-4: Código numérico, parte 3 Tras haber definido el mallado, se incluyen las funciones que permiten obtener múltiples salidas (Outputs) del código numérico. Los comandos empleados en las líneas 118-120 permiten obtener imágenes del estado del chorro líquido en los instantes inicial y final de la simulación. Análogamente, por medio de la función utilizada en la línea 122, se puede conseguir que el software genere imágenes del estado del chorro líquido cada cierto intervalo de tiempo. Gracias a la función empleada en la línea 126, se puede realizar una visualización en tiempo real de la simulación por medio del módulo GfsView2D. Este módulo también es capaz de generar un archivo de video de la simulación por medio de los comandos empleados en las líneas 129-132. 15 Ilustración 3-5: Código numérico, parte 4 Por último, el código numérico queda cerrado con la definición de las condiciones de contorno de cada una de las cajas que componen el dominio de estudio (líneas 138-163), y estableciendo la forma de unión de las mismas. Como se observa en la Ilustración 3-6, en este estudio se ha optado por emplear cinco cajas, unidas lateralmente entre sí, con el fin de generar un dominio de estudio lo más cercano posible a un chorro líquido. Ilustración 3-6: Código numérico, parte 5 Estudios previos 16 16 3.2 Estudio de mallado Con el fin de determinar el mallado que mejor se adapta al problema a analizar, se realizarán múltiples simulaciones con distintos mallados. En concreto, se compararán los resultados obtenidos de simulaciones realizadas con diversos valores de los parámetros VOFMIN y VOFMAX, que determinan respectivamente el número mínimo y máximo de celdas empleadas en la definición del trazador VOF que define la interfase entre el fluido y el medio externo. De este modo se pretende evaluar cómo varían las soluciones obtenidas a medida que se refina el mallado, y determinar para qué valores de VOFMIN y VOFMAX se obtienen resultados suficientemente precisos. Para la realización de estas simulaciones, se han elegido los siguientes valores del núemro de Weber y de los parámetros que definen el pulso gaussiano: En primer lugar, se busca determinar el número máximo de celdas empleadas en la definición del trazador VOF necesarias para obtener resultados suficientemente precisos. Para ello, se fija el número de celdas mínimas empleadas en la definición del trazador (VOFMIN=5), se realizan múltiples simulaciones con diversos valores del parámetros VOFMAX, y se comparan los resultados obtenidos de dichas simulaciones en un instante de tiempo concreto. Ilustración 3-7: Simulación con VOFMIN=5 VOFMAX=5 en el instante t=25 Ilustración 3-8: Simulación con VOFMIN=5 VOFMAX=6 en el instante t=25 Ilustración 3-9: Simulación con VOFMIN=5 VOFMAX=7 en el instante t=25 Ilustración 3-10: Simulación con VOFMIN=5 VOFMAX=8 en el instante t=25 Ilustración 3-11: Simulación con VOFMIN=5 VOFMAX=9 en el instante t=25 Las Ilustraciones 3-7 - 3-11 muestran el estado del chorro líquidoen el instante t=25, para distintos valores de VOFMAX. Si bien los resultados obtenidos para los primeros valores de VOFMAX considerados son muy dispares, a partir de VOFMAX=7 puede observarse cómo las soluciones obtenidas comienzan a converger. En base a este primer análisis, es posible considerar que las simulaciones realizadas con VOFMAX=9 proporcionan resultados suficientemente precisos. Para confirmar que dicho valor del parámetro VOFMAX configura un mallado adecuado para el estudio a realizar, se lleva a cabo un nuevo análisis del estado del chorro líquido en un instante de tiempo concreto, para un valor fijo del parámetro VOFMIN=6, y diversos valores de VOFMAX. 17 Ilustración 3-12: Simulación con VOFMIN=6 VOFMAX=6 en el instante t=25 Ilustración 3-13: Simulación con VOFMIN=6 VOFMAX=7 en el instante t=25 Ilustración 3-14: Simulación con VOFMIN=6 VOFMAX=8 en el instante t=25 Ilustración 3-15: Simulación con VOFMIN=6 VOFMAX=9 en el instante t=25 Los resultados de este segundo análisis, recogidos en las Ilustraciones 3-12 - 3-15, arrojan conclusiones similares a las del primer estudio. De nuevo es posible apreciar cómo el estado del chorro líquido en el instante t=25 obtenido para diversos valores de VOFMAX comienza a converger a medida que crece el valor de dicho parámetro. Por tanto, se confirma que VOFMAX=9 es un valor adecuado para las simulaciones a realizar durante el estudio. Por otra parte, interesa también conocer cómo afecta el número mínimo de celdas elegido en la definición del trazador VOF en la precisión de la solución obtenida. Para ello, se comparan los resultados obtenidos en un instante de tiempo concreto para un valor de VOFMAX fijo y varios valores de VOFMIN. Las Ilustraciones 3- 16 y 3-17 muestran el estado del chorro líquido en el instante t=25 para valores del parámetro VOFMIN de 5 y 6, respectivamente. Se puede observar cómo la variación del parámetro VOFMIN apenas influye en el resultado obtenido. Ilustración 3-16: Simulación con VOFMIN=5 VOFMAX=9 en el instante t=25 Ilustración 3-17: Simulación con VOFMIN=6 VOFMAX=9 en el instante t=25 De acuerdo con los análisis y resultados previamente expuestos, se decide optar por un mallado definido por los parámetros VOFMAX=9 y VOFMIN=5. Estos valores permitirán la obtención de resultados suficientemente precisos en un tiempo computacional razonable. Estudios previos 18 18 3.3 Elección inicial de parámetros Una vez determinado el mallado más adecuado para el presente estudio, se procede a realizar una estimación inicial de los valores que deben tomar los parámetros que definen el pulso gaussiano de velocidad. Tal y como se comentó en el Apartado 2.2, el objetivo es estimular el chorro líquido con una perturbación suficientemente localizada e intensa, que propicie su ruptura en una única gota. Para ello, es preciso analizar cómo influye cada uno de los parámetros que definen el pulso gaussiano en su forma y evolución. Tal y como se expuso en el 3.2, el número de Weber es uno de los parámetros de entrada del código numérico, por lo que es necesario estimar su valor en primer lugar. Como recoge la Relación 2-19, el número de Weber está directamente relacionado con la velocidad inicial del chorro líquido. Esto implica que un número de Weber demasiado bajo se traduciría una velocidad de salida muy reducida, que daría lugar a goteo, y un número de Weber demasiado alto implicaría una velocidad muy elevada, que requeriría un domino de mayor longitud para poder determinar el efecto de la perturbación sobre el chorro, con el consiguiente incremento del tiempo computacional. Por tanto, teniendo en cuenta el valor de la tensión superficial del líquido que conforma el chorro (agua), y que la velocidad inicial del mismo no es demasiado elevada, parece razonable optar por un valor intermedio de We=20. Una vez definido el valor del número de Weber a emplear, se procede a los valores de los parámetros que definen el pulso gaussiano:  Amplitud ( : Se pretende estudiar situaciones de evolución del chorro estimulado por perturbaciones de pequeña amplitud, por lo se apostará por un valor no demasiado elevado, en torno a 0.01-0.05.  Anchura de la campana ( : Un valor elevado de la anchura de campana implica un gran número de oscilaciones, lo que se traduciría en la formación de numerosas gotas. Puesto que se busca conseguir la ruptura del chorro en una única gota, conviene optar por valores pequeños, inferiores a 2.  Frecuencia de señal de la portadora ( ): Tal y como se comentó en el Apartado 3.1, interesa analizar las perturbaciones de gran crecimiento, aquellas cuya frecuencia se aproxima al máximo de la curva de Rayleigh. Este máximo se alcanza para valores próximos a =0.7 ( =3.13), por lo que se estudiarán perturbaciones con valores de comprendidos entre 0.6-0.8 ( =2.68 - 3.58).  Desfase respecto a una portadora centrada en la campana ( ): El valor de este parámetro tiene una gran influencia en la ruptura simultánea del chorro líquido. Inicialmente, se optará por una señal senoidal sin desfase, y una vez obtenidos los primeros resultados, se modificará su valor para conseguir la simultaneidad buscada. En base a esta primera elección de parámetros, el pulso gaussiano adopta una configuración similar a la mostrada en la Figura 3-1: Figura 3-1: Pulso gaussiano con parámetros iniciales 19 El pulso gaussiano mostrado en esta Figura está definido por los parámetros: Se puede apreciar que esta perturbación se encuentra centrada en el instante t=0s. Para reproducir el efecto de una perturbación aplicada en el punto de salida del chorro, es necesario realizar la siguiente corrección: Figura 3-2: Pulso gaussiano inicial corregido Es posible apreciar cómo los valores seleccionados dan lugar a una perturbación previsiblemente muy localizada y con una amplitud suficientemente grande como para propiciar la ruptura del chorro en una única gota. Cabe destacar también las perturbaciones menores que pueden observarse a ambos de la perturbación central, cuya amplitud puede resultar suficientemente elevada para generar gotas adyacentes a la gota central buscada. Por último, el tiempo de simulación es otro de los parámetros de entrada de el código numérico a definir. Un valor de TEND=30 permite observar la evolución del chorro hasta su ruptura en los casos considerados. Estudios previos 20 20 21 4 ANÁLISIS DE RESULTADOS na vez definidas las ecuaciones y condiciones que rigen el problema a tratar, los valores de los parámetros que definen la perturbación gaussiana estimados para alcanzar la solución buscada, y el mallado que mejor se adapta a las condiciones de estudio, se procede a la obtención de resultados del presente trabajo. Para ello, se empleará el código numérico expuesto en el Apartado 3.1. Gracias al módulo GfsView, se puede realizar un seguimiento de la evolución del chorro líquido a medida que avanza la simulación, y obtener diversos videos e imágenes que serán de gran utilidad a la hora de la toma y análisis de resultados. Con el fin de determinar cómo influyen cada uno de los parámetros que definen la perturbación gaussiana en la evolución del chorro líquido y su ruptura en gotas, se han realizado múltiples simulaciones con distintas combinaciones de los valores estimados en el Apartado 3.2. De este modo, se busca identificar cuales de estas combinaciones dan lugar a rupturas en una única gota y/o simultáneas. Así, se han elegido dos valores de amplitud ( =0.01 y =0.05), tres valores de k ( =0.6, =0.7 y =0.8), y un valor de anchura de campana y desfase ( =2 y =0, respectivamente). Esto da lugar a un total de seis simulaciones distintas, cada una de las cuales se realizará tres veces, con el fin de conseguir resultados promediados. 4.1 Simulaciones y resultados Los siguientes subapartados recogen imágenes representativas y resultados promediados de las distintas simulaciones llevadas a cabo. El principal objetivo de las ilustraciones obtenidas es mostrar la deformación que sufre la interfase entre el fluido que conforma el chorro y el medio externo en el proceso de ruptura del chorro. Adicionalmente, se presenta la velocidad, U, por medio de distintas tonalidades, correspondiéndose las regiones más cercanas al rojo las de velocidad más elevada, y las más próximas al azul oscuro las de menor velocidad. A la hora de comentar los fenómenos observados en la evolución y ruptura del chorro, se empleará el término "trasero" para hacer referencia a la parte izquierda de la gota, y "delantero" para la parte derecha. Las longitudes de ruptura e instantes de tiempo mostrados en las distintas tablas de datos se han obtenido por observación y medición directa dela evolución en tiempo real de la simulación, proporcionada por el módulo Gfsview. Las longitudes están referenciadas al radio inicial del chorro líquido, considerado este como L=1. 4.1.1 Simulación con =0.01 y =0.6 Las Ilustraciones 4-1 - 4-4 muestran algunas de las observaciones más significativas de esta primera simulación. En las dos primeras se puede apreciar cómo se produce la ruptura no simultánea del chorro, tal y como indican los datos recogidos en la Tabla 4-1, en un único satélite. Cabe destacar también la formación de dos gotas secundarias en torno al satélite central. Tal y como se puede observar en la Figura 4.1, la formación de estas gotas está asociada a la configuración del pulso gaussiano escogida, que presenta dos perturbaciones menores a ambos lados de la perturbación central, cuya amplitud es suficientemente grande como para generar gotas.También es posible ver cómo la gota secundaria delantera se forma antes que la trasera, al ser la amplitud de la perturbación que la genera mayor. U Análisis de resultados 28 28 4.2 Simulaciones adicionales Las simulaciones previamente expuestas proporcionan una idea aproximada de la influencia de los parámetros y en la evolución y ruptura del chorro líquido, y han permitido identificar algunas combinaciones de los mismos que propician la ruptura simultánea del chorro líquido. No obstante, hasta el momento sólo se ha conseguido obtener rupturas simultáneas del chorro en satélites, gotas de tamaño demasiado reducido. Por tanto, se van a realizar algunas simulaciones adicionales, con valores de y distintos a los empleados hasta ahora, con el fin de determinar si la variación de estos parámetros permite conseguir la forma de ruptura simultánea del chorro en una gota. 4.2.1 Simulación con =0.05, =0.7, =2 y = π En primer lugar, se va a analizar el efecto de introducir un desfase de valor π en la perturbación gaussiana, lo cual equivale a cambiar el signo de la función seno empleada en la definición de dicha perturbación: (4-1) (4-2) Como se puede apreciar en las Ilustraciones 4-17 - 4-19, esta combinación de parámetros propicia la ruptura del chorro en una única gota, acompañada de dos satélites secundarios. No obstante, la introducción de dicho desfase propicia una ligera pérdida de la simultaneidad en la formación de la gota, como se puede apreciar en los datos recogidos en la Tabla 4-7. De estos mismos datos se puede considerar también que el desfase de la señal no influye significativamente en la distancia y tiempo de ruptura del chorro. Figura 4-7: Perfil de velocidades de la simulación con = π Ilustración 4-17: Simulación con = π, ruptura delantera Ilustración 4-18: Simulación con = π, ruptura trasera y formación de satélite secundario delantero Ilustración 4-19: Simulación con = π, formación de satélite secundario trasero 29 Simulación 1 54.61 20.34 51.54 20.53 Simulación 2 54.67 20.27 51.67 20.51 Simulación 3 53.42 20.32 50.36 20.49 Promedio 54.23 20.31 51.19 20.51 Desviación 0.70 0.04 0.72 0.02 Tabla 4-7: Resultados de la simulación con = π 4.2.2 Simulación con =0.05, =0.7, =2 y = Los resultados de la simulación anterior indican que un valor de = π da lugar a una ruptura del chorro en una única gota muy próxima a la simultaneidad. En esta simulación se ha escogido un valor de próximo a π, que permita conseguir la simultaneidad en la ruptura, sin comprometer la formación de la gota ni el tiempo y distancia de ruptura. Las Ilustraciones 4-20 - 4-21 y los datos recogidos en la Tabla 4-8 demuestran que el nuevo valor de desfase elegido propicia la ruptura simultánea del chorro en una gota única, en tiempo y distancia similares a los observados para = π. Esta combinación de parámetros también da lugar a la formación de gotas secundarias en torno a la gota central, y a una gota adicional aguas abajo. Si bien esta última se encuentra a una distancia suficientemente grande de la gota central (t 22, L 33), las dos gotas secundarias se encuentran muy próximas a la gota central (t 22, L 7), lo que puede dificultar su extracción y aislamiento del chorro. Figura 4-8: Perfil de velocidades de la simulación con = y =0.7 Ilustración 4-20: Simulación con = y =0.7, ruptura simultánea Ilustración 4-21: Simulación con = y =0.7, gotas secundarias y gota delantera Análisis de resultados 30 30 t Simulación 1 50.29 53.82 20.41 Simulación 2 50.33 53.93 20.43 Simulación 3 50.41 54.12 20.42 Promedio 50.34 53.96 20.42 Desviación 0.06 0.15 0.01 Tabla 4-8: Resultados de la simulación con = y =0.7 4.2.3 Simulación con =0.05, =0.6, =2 y = Una vez lozalizado el valor de que propicia la ruptura simultánea del chorro en una única gota, se procede a observar la influencia del parámetro k en esta nueva configuración, y determinar qué valores del mismo dan lugar a la formación de gotas secundarias más alejadas de la gota central. Las Ilustraciones 4-22 - 4-24 y los datos recogidos en la Tabla 4-9 se corresponden con la simulación con =0.6. Como se pudo apreciar en simulaciones previas, un valor de menor se traduce en un ligero incremento de la distancia y tiempo de ruptura. Se puede ver cómo el valor de k elegido no afecta a la simultaneidad ni a la distancia entre la gota central y delantera (t 22, L 34), pero sí consigue incrementar ligeramente la separación entre las gotas secundarias y central (t 23.5, L 8). Figura 4-9: Perfil de velocidades de la simulación con = y =0.6 Ilustración 4-22: Simulación con = y =0.6, ruptura simultánea Ilustración 4-23: Simulación con = y =0.6, formación de gota delantera y satélites secundarios Ilustración 4-24: Simulación con = y =0.6, formación de gotas secundarias 31 t Simulación 1 53.14 56.36 21.18 Simulación 2 58.58 62.17 21.17 Simulación 3 57.00 60.67 21.18 Promedio 56.24 59.73 21.18 Desviación 2.80 3.02 0.01 Tabla 4-9: Resultados de la simulación con con = y =0.6 4.2.4 Simulación con =0.05, =0.8, =2 y = De forma análoga a la simulación anterior, se procede a analizar los resultados obtenidos de la simulación con k=0.8. Las Ilustraciones 4-25 - 4-27 y los datos recogidos en la Tabla 4-10 indican que esta combinación de parámetros propicia la ruptura del chorro en una única gota en tiempo y distancia ligeramente menores que en los casos k=0.6 y k=0.7. No obstante, presenta dos principales inconvenientes: las gotas secundarias se generan más cerca de la gota central (t 21,5, L 6), y el incremento de k da lugar a una ligera pérdida de simultaneidad en la ruptura. Figura 4-10: Perfil de velocidades de la simulación con = y =0.8 Ilustración 4-25: Simulación con = y =0.8, ruptura delantera Ilustración 4-26: Simulación con = y =0.8, ruptura trasera Ilustración 4-27: Simulación con = y =0.8, gotas secundarias Análisis de resultados 32 32 Simulación 1 52.37 20.23 48.81 20.29 Simulación 2 52.37 20.24 48.94 20.31 Simulación 3 52.41 20.22 49.35 20.35 Promedio 52.38 20.23 49.03 20.32 Desviación 0.02 0.01 0.28 0.03 Tabla 4-10: Resultados de la simulación con con = y =0.8 4.2.5 Simulación con =0.05, =0.7, =1 y = Con esta simulación se pretende determinar cómo influye una reducción de la anchura de la campana en la evolución y ruptura del chorro líquido. En la Figura 4-11 es posible observar cómo el perfil de velocidades asociado a una anchura de campana más reducida está formado por un número de perturbaciones menor que en los casos anteriores. Tal y como se puede apreciar en las Ilustraciones 4-28 - 4-29 los datos recogidos en la Tabla 4-11, una reducción de la anchura de campana se traduce en una ruptura del chorro más temprana, en el menor instante de tiempo obtenido hasta el momento, manteniéndose además la simultaneidad en la ruptura. Sin embargo, dicha reducción también da lugar a la ruptura del chorro en un satélite, en lugar de en una gota. Esto se debe previsiblemente al hecho de que la amplitud de la perturbación negativa es mayor que la de la perturbación positiva, como se puede ver en la Figura 4-11. Figura 4-11: Perfil de velocidades de la simulación con =1 y = Ilustración 4-28: Simulación con =1 y = , ruptura simultánea Ilustración 4-29: Simulación con =1 y = , gotas secundarias. 33 t Simulación 1 51.17 55.94 16.69 Simulación 2 50.87 55.47 16.67 Simulación 3 50.62 55.5 16.69 Promedio 50.89 55.64 16.68 Desviación 0.27 0.26 0.01 Tabla 4-11: Resultados de la simulación con =1 y = 4.2.6 Simulación con =0.05, =0.7, =1 y = Para determinar si es posible conseguir la ruptura del chorro en una única gota con una anchura de campana menor, se ha realizado una nueva simulación con un desfase de valor = , que equivale a cambiar la función seno contenida en la definición del pulso gaussiano de velocidad por una función coseno: (4-3) De esta forma, se obtiene el perfil de velocidades mostrado en la Figura 4-12, en el que a diferencia del caso anterior, se obtiene una perturbación positiva de mayor amplitud que las perturbaciones negativas, configuracion que previsiblemente dará lugar a la ruptura del chorro en una gota en lugar de en un satélite. Las Ilustraciones 4-30 - 4-33 y los datos recogidos en la Tabla 4-12 confirman esta predicción, mostrando una ruptura del chorro en una única gota en un instante de tiempo menor. No obstante, se produce una ligera pérdida de simultaneidad en la ruptura, y tiene lugar la formación de gotas secundarias, que si bien se originan en instantes de tiempo relativamente mayores que el de la gota central (t 19.8 para la gota secundaria delantera, t 20.9 para la gota secundaria trasera), se encuentran muy próximas a esta ( L 5 y L 6.5 para las gotas secundarias delantera y trasera, respectivamente). Teniendo en cuenta que los resultados obtenidos en simulaciones previas indican que la variación del desfase influye en la simultaneidad en la ruptura sin afectar a la distancia y tiempo de ruptura, la pérdida de simultaneidad vinculada a la reducción de la anchura de campana se corregiría previsiblemente con un ajuste adecuado de . Figura 4-12: Perfil de velocidades de la simulación con =1 y = Análisis de resultados 34 34 Ilustración 4-30: Simulación con =1 y = , ruptura trasera Ilustración 4-31: Simulación con =1 y = , formación de gota delantera Ilustración 4-32: Simulación con =1 y = , gotas secundarias Simulación 1 53.44 16.82 58.44 17.06 Simulación 2 51.87 16.8 56.75 17.07 Simulación 3 53.6 16.83 58.53 17.09 Promedio 52.97 16.82 57.91 17.07 Desviación 0.96 0.01 1.00 0.01 Tabla 4-12: Resultados de la simulación con =1 y = 4.2.7 Simulación con =0.05, =0.7, =1 y = 0 Una vez determinadas las condiciones que a priori debe cumplir el perfil de velocidades para propiciar la ruptura del chorro en una única gota, se procede a buscar una combinación de parámetros que permita alcanzar una ruptura simultánea, y en la que las gotas secundarias se generen suficientemente separadas en tiempo y espacio de la gota central, para no influir en su evolución. Para ello se ha optado por regresar a la señal senoidal previamente empleada con desfase nulo. Como se puede ver en la Figura 4-13, el perfil de velocidades asociado a esta señal cuenta con una perturbación postiva de amplitud mayor que la perturbación negativa. Dicha configuración da lugar a una ruptura no simultánea del chorro en una única gota, acompañada por varias gotas secundarias, formándose la más cercana unos instantes después de la ruptura (t 19.5) a una distancia algo mayor de la gota central que la observada en simulaciones previas ( L 7). 35 Figura 4-13: Perfil de velocidades de la simulación con =1 y = 0 Ilustración 4-33: Simulación con =1 y = 0, ruptura delantera Ilustración 4-34: Simulación con =1 y = 0, ruptura trasera y formación de satélite secundario trasero Ilustración 4-35: Simulación con =1 y = 0, gotas secundarias Simulación 1 52.23 16.76 51.15 17.31 Simulación 2 53.33 16.68 51.67 17.24 Simulación 3 55.00 16.75 53.57 17.28 Promedio 53.52 16.73 52.13 17.28 Desviación 1.39 0.04 1.27 0.03 Tabla 4-13: Resultados de la simulación con =1 y = 0 4.2.8 Simulación con =0.05, =0.7, =0.5 y = Con el fin de buscar una reducción aún mayor del tiempo de ruptura del chorro, se ha realizado una simulación con una anchura de campana muy reducida. Las Ilustraciones 4-36 - 4-40 muestran una evolución del chorro liquido algo distinta a la observada en simulaciones previas. La combinación de parámetros elegida propicia la ruptura no simultánea del chorro en un satélite, como indican las Ilustraciones 4-36 - 4-37 y los datos recogidos en la Tabla 4-14. No obstante, unos instantes después de la formación del chorro (L , t 17.5), se genera una gota secundaria, que acaba siendo flanqueada por otras dos gotas secundarias a medida que el chorro evoluciona (t 18 L 4 para la gota secundaria delantera, t 20 L 8 para la gota secundaria trasera). Análisis de resultados 36 36 A pesar de que esta combinación de parámetros no da lugar a la ruptura del chorro en una única gota vista en simulaciones anteriores, sí que propicia la formación de una gota aislada, por lo que se debería de analizar en mayor profundidad para determinar si podría considerarse como una opción válida para la obtención de gotas aisladas. Por otra parte, cabe destacar que en este caso la reducción de la anchura de campana de =1 a =0.5 contribuye ligeramente a la disminución del tiempo de ruptura, pero a costa de un ligero incremento de la distancia de ruptura. Figura 4-14: Perfil de velocidades de la simulación con =0.5 Ilustración 4-36: Simulación con =0.5, ruptura delantera Ilustración 4-37: Simulación con =0.5, ruptura trasera Ilustración 4-38: Simulación con =0.5, formación de gota secundaria Ilustración 4-39: Simulación con =0.5, gota secundaria delantera Ilustración 4-40: Simulación con =0.5, gota secundaria trasera Simulación 1 62.07 16.15 59.13 16.74 Simulación 2 62.53 16.13 59.93 16.71 Simulación 3 62.69 16.17 59.81 16.76 Promedio 62.43 16.15 59.62 16.74 Desviación 0.32 0.02 0.43 0.02 Tabla 4-14: Resultados de la simulación con =0 37 4.2.9 Simulación con =0.05, =0.6, =1 y = 0 Se procede ahora a analizar cómo afecta la variación del parámetro a la evolución y ruptura de un chorro líquido estimulado por una señal de menor anchura de campana. Se puede ver que el perfil de velocidades asociado a esta combinación de parámetros, mostrado en la Figura 4-15, es muy similar al considerado en el Subapartado 4.2.7, por lo que los resultados obtenidos serán previsiblemente semejantes. Las Ilustraciones 4- 41 - 4-44 y los datos recogidos en la Tabla 4-15 confirman esta predicción. El valor =0.6 propicia una ruptura del chorro análoga a la obtenida en el Subapartado 4.2.7, ruptura en una única gota con leve pérdida de simultaneidad, (con un ligero incremento de la distancia y tiempo de ruptura), y formación de gotas secundarias (generadas en condiciones similares a las observadas en el Subapartado 4.2.7, t 20 L 7.5 para la gota secundaria delantera, t 21 L 6 para la gota secundaria trasera). Figura 4-15: Perfil de velocidades de la simulación con =1 y =0.6 Ilustración 4-41: Simulación con =1 y =0.6, ruptura delantera Ilustración 4-42: Simulación con =1 y =0.6, ruptura trasera Ilustración 4-43: Simulación con =1 y =0.6, gota secundaria delantera Ilustración 4-44: Simulación con =1 y =0.6, gotas secundarias Simulación 1 56.71 17.12 55.21 17.64 Simulación 2 56.6 17.11 55 17.59 Simulación 3 56.78 17.15 55.28 17.62 Promedio 56.70 17.13 55.16 17.62 Desviación 0.09 0.02 0.14 0.03 Tabla 4-15: Resultados de la simulación con =1 y =0.6 Referencias 44 44 REFERENCIAS [1] F.J. García, "Aplicación de modelos unidimensionales a la dinámica de columnas líquidas con y sin campo eléctrico", Tesis doctoral, Universidad de Sevilla, 1998. [2] F.J. García and H. González, "Normal mode linear analysis and initial conditions of capillary jets", J. Fluid Mech., vol 602, pp. 82-117, 2008. [3] J. Guerrero, H. González and F.J. García, "Spacial modes of capillary jets, with application to surface stimulation", J. Fluid Mech., vol 702, pp. 354-377, 2012. [4] H. González, P.A. Vázquez, F.J. García and J.Guerrero "Minimal formulation of the linear spatial analysis of capillary jets: Validity of the two-mode approach", Phys. Rev. Fluids, 3, 044802, 2018 [5] F.J. Gómez Aguilar, H. González, F.J. García, J.R. Castrejón-Pita, A.A. Castrejon Pita, "Formation of isolated drops in the intact length of a capillary jet by means of pressure pulses", 2016. [6] T. Young, "Essay on the cohession of fluids", Phylos. Trans. R. Soc. London, 95, 65, 1805. [7] P.S. Laplace, "Mécanique Céleste", Courcier, Paris, 1805. [8] K.F. Gauss, "Disquisitiones generales circa superficies curvas ", Comm. Soc. Göttingen, 6, 1823-1827. [9] F. Savart, "Mémoire sur la constitution des veines liquides lancées par des orifices circulaires en mince paroi", Annal. Chim., 53, 337, 1833. [10] J. Plateau, Acad. Sci. Bruxelles Mém., 23, 5, 1846 [11] J.A.F. Plateau, "Experimental and theoretical researches on the figures of equilibrium of a liquid mass withdrawn from the action of gravity", Ann. Rep. Smithsonian Institution, págs. 207-285, 1863. [12] L. Rayleigh, "On the instability of jets", Proc. Lon. Math. Soc., 10, 4-13, 1878 [13] S. Popinet, "An accurate addaptative solver for surface-tension driven interfacial flows", J. Comput. Phys. 228, 58585866, 2009 [14] J. H. Ferziger, & M, P. , "Computational Methods For Fluids Dynamics", Springer, 2002 [15] R. Scardovelli, S. Zaleski, "Direct numerical simulation of free-surface and interfacial flow", Annual Review of Fluid Mechanics 31, 1, pp. 567-603, 1999 [16] http://gfs.sourceforge.net 45 Referencias 46 46