Introducción a las variedades de Einstein

FACULTAD DE MATEM´ ATICAS DEPARTAMENTO DE GEOMETR´ IA Y TOPOLOG´ IA INTRODUCCI´ ON A LAS VARIEDADES DE EINSTEIN Memoria realizada por Israel Bellanato N´u˜nez Dirigido por Dr. Alfonso Carriazo Rubio Resumen En este trabajo se realiza un estudio introductorio de la teor´ıa de variedades de Einstein. Para ello, primero se lleva a cabo un repaso de los aspectos m´as relevantes de la teor´ıa general de variedades diferenciables, as´ı como un primer acercamiento a la geometr´ıa semi-Riemanniana. Habiendo introducido las variedades de Einstein, se enlazar´an con la Teor´ıa de la Relatividad General y, de forma m´as espec´ıfica, con las ecuaciones del campo de Einstein. Abstract This project is focused on studying, at an introductory level, the theory of Einstein manifolds. Prior to that, a review of the most relevant topics of the theory of differentiable manifolds and a comprehensive, basic study of semi-Riemannian geometry will be covered. Having introduced Einstein manifolds, the link between them and the Theory of General Relativity and, more specifically, the Einstein field equations, will be adressed. ´ Indice general Introducci´on 7 1. Preliminares: Variedades Diferenciables 9 1.1. Variedades diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2. Aplicaciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3. El espacio tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4. Ladiferencial ........................... 15 1.5. Subvariedades........................... 16 1.6. Campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.7. 1-formas.............................. 20 1.8. Tensores.............................. 22 2. Variedades Semi-Riemannianas 27 2.1. El producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2. Variedades semi-Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3. La conexi´on de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.4. El tensor de curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.5. Curvatura seccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.6. El tensor de Ricci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3. Variedades de Einstein 57 3.1. Variedades de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.2. El funcional de Hilbert-Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.3. La ecuaci´on del campo gravitatorio . . . . . . . . . . . . . . . 76 Bibliograf´ıa 79 5 6´ INDICE GENERAL Introducci´on Si existe una ecuaci´on an´aloga a la de Poisson en Relatividad General, ´esta habr´a de ser una ecuaci´on tensorial para el tensor de potencial gravitatorio gµν, en cuyo lado derecho ha de tenerse el tensor de energ´ıa de la materia. En el lado izquierdo de la ecuaci´on necesitamos un tensor diferencial derivado de gµν. El objetivo es determinar este tensor de forma precisa. Est´a completamente determinado por las tres condiciones siguientes: 1. El tensor en cuesti´on no debe contener derivadas de gµν que sean de orden superior a 2. 2. El tensor debe depender linealmente de las derivadas segundas. 3. La divergencia del tensor debe ser id´enticamente nula. Albert Einstein, Princeton, 1921. Estas palabras de Albert Einstein constituyen el objetivo esencial del estudio que vamos a realizar: obtener de forma puramente geom´etrica la ecuaci´on que rige la Teor´ıa de la Relatividad General. Einstein consigui´o identificar la curvatura del espacio-tiempo con la acci´on de la gravedad sobre el mismo. Este hecho, contrastado a d´ıa de hoy en numerosas ocasiones, fue tremendamente revolucionario en la ´epoca, y a´un hoy resulta, cuanto menos, sorprendente. Y es que verdaderamente se tienen implicaciones sorprendentes, como es el hecho de que la gravedad, considerada una fuerza entre un par de cuerpos con masa, afecta a la trayectoria de los fotones que viajan por el espacio, pero los fotones no tienen masa. ¿C´omo es esto posible? 7 8INTRODUCCI ´ ON Uno de los primeros experimentos realizados en el estudio de la Teor´ıa de la Relatividad General se dedica al an´alisis de este fen´omeno. En ´el, se mide la posici´on de estrellas lejanas en el espacio cuando hay eclipse solar, y se compara con la posici´on que se obtiene en una noche usual. El resultado obtenido es que las posiciones no coinciden, dado que la acci´on gravitatoria del Sol, al curvar el espacio-tiempo que lo rodea, da lugar a que las trayectorias de los fotones procedentes de estas estrellas se curven, de forma que la posici´on que se percibe de las estrellas en la Tierra queda distorsionada. En la construcci´on que llevaremos a cabo, repasaremos los resultados esenciales e imprescindibles que se tienen de variedades diferenciables, as´ı como alg´un resultado de c´alculo en variedades. A continuaci´on, construiremos la geometr´ıa semi-Riemanniana, que nos proporcionar´a las herramientas necesarias para el estudio que queremos realizar. Por ´ultimo, pasaremos a la definici´on y estudio de un tipo especial de variedades semi-Riemannianas, las conocidas como variedades de Einstein, que dan nombre a este escrito, y veremos que son aquellas en las que la teor´ıa de la Relatividad funciona de forma adecuada. As´ı, nuestro objetivo es doble: por una parte, hemos de determinar c´omo son los espacios en los que la Relatividad funciona de forma adecuada; por otra, hemos de determinar el tensor que Einstein buscaba, desde un enfoque totalmente geom´etrico, para hallar la ecuaci´on del campo gravitatorio. No quisiera acabar sin agradecer su apoyo durante estos a˜nos a todos los que me han acompa˜nado: mi familia, mis amigos y compa˜neros de clase, y especialmente a mi tutor, Alfonso Carriazo, que me ha dado la oportunidad de hacer un trabajo a mi medida, sobre un tema que verdaderamente me entusiasma, colaborando conmigo durante dos a˜nos, permiti´endome estudiar el contenido m´as avanzado, estimulante e interesante que he podido adquirir despu´es de 5 a˜nos yendo de una facultad a otra. Cap´ıtulo 1 Preliminares: Variedades Diferenciables Para llegar a abordar los conceptos m´as avanzados de la teor´ıa de variedades semi-Riemannianas, es primero necesaria una profunda comprensi´on de la teor´ıa general de variedades diferenciables (correspondiente en gran medida al contenido estudiado en la asignatura Variedades Diferenciables del Grado en Matem´aticas de la Universidad de Sevilla). Este cap´ıtulo se centra en dicho estudio b´asico, poniendo el foco en todo momento en los conceptos m´as interesantes para construir los cap´ıtulos posteriores. Las demostraciones correspondientes a los resultados de este cap´ıtulo pueden encontrarse en los apuntes de la asignatura Variedades Diferenciables [1] de la US, y en el cap´ıtulo 1 de Semi-Riemannian Geometry With Applications to Relativity [2]. 1.1. Variedades diferenciables En esta secci´on nos centraremos en llegar al concepto de variedad diferenciable. Antes de empezar hay que notar que diremos que una aplicaci´on es diferenciable si es de clase C∞. Por otra parte, al tratar con espacios topol´ogicos (S,T), escribiremos simplemente S. Comencemos entonces definiendo la noci´on m´as elemental con la que trabajaremos: la carta. 9 16 CAP´ ITULO 1. PRELIMINARES: VARIEDADES DIFERENCIABLES Definici´on 1.4.4 Se dice que una variedad diferenciable Mes orientable si existe un conjunto de cartas Ocuyos abiertos sean recubrimiento de My tal que para todo par de cartas en Oel determinante de la matriz jacobiana sea positivo. Lema 1.4.5 Si f:M→Nyg:N→Pson diferenciables, para todo p∈Mse tiene: d(g◦f)p=dgf(p)◦dfp. Teorema 1.4.6 Sea f:M→Ndiferenciable. Entonces dfpser´a isomorfismo si y solo si existe un entorno Vde p∈Mtal que f|Ves difeomorfismo de Ven su imagen f(V), que ser´a entorno de f(p)∈N. Introduzcamos ahora unas aplicaciones que resultar´an de gran utilidad en apartados posteriores: las inmersiones y las sumersiones. Definici´on 1.4.7 Una aplicaci´on diferenciable f:Mm→Nnes una inmer- si´on (sumersi´on) en p∈Msi rg f(p) = m(rg f(p) = n). Diremos que fes inmersi´on (sumersi´on) en Msi lo es para todo p∈M. N´otese entonces que si fes inmersi´on en p, entonces m<n; y si fes sumersi´on en p,m > n. Veamos una ´ultima proposici´on que ser´a clave en la siguiente secci´on. Proposici´on 1.4.8 Sea f:M→Ndiferenciable. Si dfpes inyectiva (sobreyectiva) para todo p∈M, tendremos que fes inmersi´on (sumersi´on). 1.5. Subvariedades Pasamos ahora a introducir la noci´on de subvariedad. Definici´on 1.5.1 Se dice que una variedad Pes subvariedad de otra variedad Msi: 1. Pes subespacio topol´ogico de M. 2. La inclusi´on i:P ,−→ Mes inmersi´on. 1.6. CAMPOS VECTORIALES 17 Lema 1.5.2 Si Pes subvariedad de Myf∈ F(M), entonces f|P∈ F(P). Introducimos ahora un resultado por el cual podemos obtener subvariedades a partir de aplicaciones diferenciables entre variedades. Teorema 1.5.3 Sean f:Mm→Nndiferenciable y Pk⊆Nnuna subvariedad. Si fes submersi´on en todos los puntos de f−1(P), entonces f−1(P) es una subvariedad de dimensi´on m−n+k. 1.6. Campos vectoriales Introduzcamos ahora los campos vectoriales, y veamos su relaci´on con las derivaciones, que tambi´en definiremos a continuaci´on. Definici´on 1.6.1 Un campo vectorial Xes una aplicaci´on que a cada punto p∈Mle asigna un vector Xp∈TpM. Podemos entender as´ı el campo X como la aplicaci´on: X:M−→ T M p7−→ Xp , verificando π◦X=id, donde π:TM →Mes la proyecci´on π(vp) = p. Definici´on 1.6.2 Sean Xcampo vectorial en Myf∈ F(M). Se define (Xf)(p) = Xp(f), para todo p∈M. De esta forma, se dice que Xes diferenciable si Xf lo es para toda f∈ F(M). Proposici´on 1.6.3 Para X,Ycampos vectoriales cualesquiera en Myf∈ F(M) se tiene: 1. (fX)p=f(p)Xppara todo p∈M. 2. (X+Y)p=Xp+Yppara todo p∈M. Lema 1.6.4 El conjunto de los campos diferenciables sobre M, al que denotaremos por X(M), es un m´odulo sobre el anillo F(M) con las operaciones mencionadas. 18 CAP´ ITULO 1. PRELIMINARES: VARIEDADES DIFERENCIABLES Proposici´on 1.6.5 Para una carta (U, ϕ = (x1, ..., xm)) de M, se tiene que ∂i:U→TU dada por ∂i(p) = ∂i|pes un campo vectorial diferenciable para todo i= 1, ..., m. Adem´as, por el teorema de la base, para todo X∈ X(M) se tiene: X= m X i=1 (Xxi)∂ien todo U. Definici´on 1.6.6 Una derivaci´on sobre F(M) es una aplicaci´on D:F(M)→ F(M) tal que: 1. Es R-lineal: D(af +bg) = aD(f) + bD(g) para todos a, b ∈R, y para todas f, g ∈ F(M). 2. Verifica la condici´on de Leibniz: D(fg) = D(f)g+fD(g) para todas f, g ∈ F(M). Con lo que se ha construido hasta ahora, se tiene que los campos tangentes X∈ X(M) se comportan como derivaciones al actuar sobre aplicaciones f∈ F(M). De hecho, tendremos que la aplicaci´on f→Xf es la derivada de fen la direcci´on del campo X. Es importante notar tambi´en el siguiente resultado, pues en adelante trataremos los campos como derivaciones cuando sea necesario. Lema 1.6.7 Toda derivaci´on Dproviene de una campo vectorial X∈ X (M). Definamos ahora una operaci´on con la que trabajaremos regularmente: el corchete de Lie. Definici´on 1.6.8 Se define el corchete de Lie como [·,·] : X(M)× X(M)−→ X (M) [X, Y ]−→ XY −Y X , de modo que se tendr´a [X, Y ]p(f) = Xp(Y f)−Yp(Xf), para todo p∈M, y para toda f∈ F(M). 1.6. CAMPOS VECTORIALES 19 Lema 1.6.9 El corchete verifica las siguientes propiedades sobre X(M): 1. Es R-bilineal: [aX +bY, Z] = a[X, Z] + b[Y, Z], [X, aY +bZ] = a[X, Y ] + b[X, Z], para todos X, Y, Z ∈ X (M), y para todos a, b ∈R. 2. Es antisim´etrico: [X, Y ] = −[Y, X], para todos X, Y ∈ X(M). 3. Verifica la identidad de Jacobi; [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y ]] = 0, para todos X, Y, Z ∈ X (M). Haciendo uso del corchete de Lie podemos definir la derivada de Lie. Definici´on 1.6.10 Dado X∈ X(M), definimos la derivada de Lie como el operador LXverificando: 1. LX(f) = Xf para toda f∈ F(M). 2. LX(Y)=[X, Y ] para todo Y∈ X (M). N´otese que se tiene la propiedad LX(fY ) = (Xf)Y+fLX(Y), pues resulta sencillo probar que [X, fY ] = (Xf)Y+f[X, Y ]. Por ´ultimo, hay que notar que la diferencial de una aplicaci´on diferenciable f:M→Nlleva vectores tangentes a Men vectores tangentes a N, pero en general esto no se puede aplicar para sobre campos vectoriales. Nos dedicamos a continuaci´on a salvar esta dificultad introduciendo el concepto de campos f-relacionados. 20 CAP´ ITULO 1. PRELIMINARES: VARIEDADES DIFERENCIABLES Definici´on 1.6.11 Dados X∈ X(M), Y∈ X(M) y f:M→Ndiferenciable, se dice que XeYest´an f-relacionados (Xf ∼Y) si se verifica que dfp(Xp) = Yf(p)para todo p∈M, es decir, si el siguiente diagrama, en el cual la aplicaci´on df :TM →T N viene dada por df(vp) = dfp(vp) para todo vp∈TM, es conmutativo. M X  f//N Y  TM df //TN En caso de que ffuera difeomorfismo en el diagrama anterior, se tendr´ıa que para X∈ X(M) existe un ´unico campo Y∈ X(N)f-relacionado con X dado por Y=df ◦X◦f−1. Adem´as, en tal caso, la aplicaci´on inducida por tal composici´on, f∗:X(M)→ X (N), es isomorfismo de espacios vectoriales. Lema 1.6.12 Dos campos X∈ X(M) e Y∈ X(N) est´an f-relacionados si y solo si X(g◦f) = Y g ◦fpara todo g∈ F(N). 1.7. 1-formas Para introducir el concepto de 1-forma es preciso saber primero qu´e es el espacio cotangente a una variedad en un punto. Definici´on 1.7.1 Se dice espacio cotangente a una variedad Men un punto p∈Mal dual del espacio tangente en dicho punto. De este modo, el espacio cotangente viene dado por: TpM∗={f:TpM→R|fes lineal}. Definici´on 1.7.2 Se llama fibrado cotangente de la variedad Ma: TM∗=[ p∈M TpM∗. 1.7. 1-FORMAS 21 Definici´on 1.7.3 Una 1-forma θen una variedad Mes una aplicaci´on que a cada punto p∈Mle asigna un elemento θpdel espacio cotangente TpM∗: θ:M−→ T M∗ p−→ θp , verificando π∗◦θ=id, donde π∗:TM∗→Mes la proyecci´on π∗(θp) = p. Definici´on 1.7.4 Sean θuna 1-forma en MyX∈ X(M). Se define (θX)(p) = θp(Xp), para todo p∈M. De este modo, se dice que θes una 1-forma diferencial si θX es diferenciable para todo X∈ X(M). As´ı, podemos identificar el espacio de las 1-formas con el de las aplicaciones lineales de X(M) en F(M). Tendremos adem´as el siguiente lema. Lema 1.7.5 El conjunto de las 1-formas diferenciales sobre M,X∗(M), es un m´odulo sobre F(M) con las siguientes operaciones: 1. (θ+ω)p=θp+ωppara todas θ, ω ∈ X∗(M), y para todo p∈M. 2. (fθ)p=f(p)θppara toda f∈ F(M), y para todo p∈M. Definici´on 1.7.6 Se define la diferencial de f∈ F(M) como la 1-forma df verificando df(X) = X(f) para todo X∈ X (M). Habiendo definido la diferencial de una funci´on, podemos estudiar el siguiente resultado. Proposici´on 1.7.7 Para una carta (U, ϕ = (x1, ..., xm)) de M, se tiene que dxies 1-forma diferencial en Upara todo i= 1, ..., m. M´as a´un, {dx1, ..., dxm} constituye la base dual a {∂1, ..., ∂m}, teni´endose dxi(∂j) = δij para todos i, j = 1, ..., m. 22 CAP´ ITULO 1. PRELIMINARES: VARIEDADES DIFERENCIABLES Corolario 1.7.8 De la proposici´on anterior, se sigue que θ= m X i=1 θ(∂i)dxien todo U. En particular, para f∈ F(M), se tiene df = m X i=1 ∂f ∂xidxien todo U. Lema 1.7.9 La diferencial verifica las siguientes propiedades: 1. La aplicaci´on d:F(M)→ X ∗(M) es R-lineal. 2. Se verifica la regla del producto: d(fg) = gdf +fdg para todas f, g ∈ F(M) 3. Si f∈ F(M) y h∈ F(R), entonces d(h(f)) = h0(f)df. 1.8. Tensores En este apartado introduciremos la noci´on de campo tensorial y estudiaremos algunos resultados t´ecnicos que nos ser´an de utilidad posteriormente. Definici´on 1.8.1 Consideremos V1, ..., Vs, W m´odulos sobre el anillo K. Sabiendo que V1×... ×Vses tambi´en m´odulo sobre K, diremos que A:V1×... ×Vs→W es K-multilineal si Aes K-lineal por componentes, es decir, si para todo i∈ {1, ..., s}se tiene que para v∈Vi,vj∈Vj(j6=i), la aplicaci´on v7→ A(v1, ..., vi−1, v, vi+1, ..., vs) es K-lineal. 1.8. TENSORES 23 Definici´on 1.8.2 Si Ves m´odulo sobre K, se define su m´odulo dual como: V∗={A:V→K|Aes K-lineal}, que efectivamente es m´odulo con la suma de elementos de V∗y el producto por elementos de K. Denotaremos V1×...×Vs=Vssiempre que Vi=Vpara todo i∈ {1, ..., s}. Definici´on 1.8.3 Dados r, s ≥0, no ambos nulos, una aplicaci´on K-multilineal A: (V∗)r×Vs→Kse dice tensor de tipo (r, s) sobre V. Definici´on 1.8.4 Un campo tensorial Asobre una variedad Mes un tensor sobre X(M). As´ı, un campo tensorial de tipo (r, s) ser´a de la forma A:X∗(M)r× X(M)s→ F(M). De este modo, para 1-formas θ1, ..., θr, y campos X1, ..., Xs, tendremos: A(θ1, ..., θr, X1, ..., Xs)∈ F(M). En adelante, diremos que las 1-formas son covariantes y los campos contravariantes (m´as adelante se introducir´an estas nociones de manera m´as formal). As´ı, como sobre cada una de las rprimeras componentes Aact´ua como un campo, θiocupa la i-´esima componente contravariante; mientras que como Aact´ua como 1-forma sobre cada una de las ´ultimas scomponentes, Xjocupa la j-´esima componente covariante. Se denota el conjunto de campos tensoriales de tipo (r, s) sobre una variedad Mpor Tr s(M). Por abuso de lenguaje, con frecuencia llamaremos tensores a los campos tensoriales. Aunque solo podemos sumar tensores del mismo tipo, el producto de tensores puede llevarse a cabo con independencia de los tipos defini´endolo como sigue. 24 CAP´ ITULO 1. PRELIMINARES: VARIEDADES DIFERENCIABLES Definici´on 1.8.5 Sean A∈ T r s(M) y B∈ T r0 s0(M). Se define el producto tensorial de AyBcomo: A⊗B:X∗(M)r+r0× X(M)s+s0→ F(M), donde (A⊗B)(θ1, ..., θr+r0, X1, ..., Xs+s0) = =A(θ1, ..., θr, X1, ..., Xs)B(θr+1, ..., θr+r0, Xs+1, ..., Xs+s0). En caso de que B∈ T 0 0(M), B=f∈ F(M), y se define A⊗f=f⊗A=fA. Veamos ahora ciertas propiedades relevantes para distintos tipos de tensores: 1. Si ωes una 1-forma diferenciable sobre M, se tiene que X→ω(X) es F(M)-lineal entre X(M) y F(M), lo que resulta en un tensor (0,1). As´ı, todo tensor (0,1) proviene de una 1-forma, con lo que podemos escribir T0 1(M) = X∗(M). 2. Si Xes un campo sobre M, definamos X(θ) = θ(X) para todo θ∈ X∗(M). Esta aplicaci´on X:X∗(M)→ F(M) es F(M)-lineal, de modo que tenemos un tensor (1,0). As´ı, de forma an´aloga al caso previo, escribimos T1 0(M) = X(M). 3. Sea A:X(M)s→ X (M) una aplicaci´on F(M)-multilineal, y definamos A:X∗(M)× X(M)s→ F(M) como el tensor (1, s) dado por A(θ, X1, ..., Xs) = θ(A(X1, ..., Xs)). Por abuso de lenguaje, diremos con frecuencia que Aes un tensor. 4. A los tensores de tipo (0, s) los llamaremos covariantes, y a los de tipo (r, 0) con r > 0, contravariantes. Esto hace que las 1-formas y las funciones reales sean covariantes, mientras que los campos son contravariantes. N´otese que el producto de un tensor covariante y otro contravariante es conmutativo. 1.8. TENSORES 25 A continuaci´on, introducimos un resultado que nos permite entender los tensores como campos (en el sentido de los campos vectoriales). Proposici´on 1.8.6 Todo tensor A∈ T r s(M) tiene un valor Apen cada punto p∈Mdado por la funci´on Ap: (TpM∗)r×(TpM)s→R, definida como sigue: para α1, ..., αr∈TpM∗,v1, ..., vs∈TpM, tendremos Ap(α1, ..., αr, v1, ..., vs) = A(θ1, ..., θr, X1, ..., Xs)(p), con θ1, ..., θr1-formas cualesquiera con θi|p=αi(i= 1, ..., r), X1, ..., Xs campos vectoriales cualesquiera con Xi|p=vi(i= 1, ..., s). Por otra parte, es preciso estudiar la expresi´on en coordenadas de un tensor dado. Definici´on 1.8.7 Sea (U, ϕ = (x1, ..., xm)) una carta de M. Dado un tensor A∈ T r s(M), las componentes de Arelativas a (U, ϕ) son las funciones reales dadas por: Ai1,...,ir j1,...,js=A(dxi1, ..., dxir, ∂j1, ..., ∂js), para todos i1, ..., ir, j1, ..., js∈ {1, ..., m}. N´otese que esto ser´a congruente con las expresiones de campos (tensores de tipo (1,0)) y 1-formas (tipo (0,1)), de manera que se tengan: θ=Piθ(∂i)dxi=Piθidxi, X =PiX(dxi)∂i=PiXi∂i. Un caso especialmente interesante ser´ıa el de un tensor (1, s) dado como A:X(M)s→ X(M), para el cual A(∂i1, ..., ∂is) = X j Aj i1,...,is∂j, pues para A∈ T 1 s(M) queda: A(dxj, ∂i1, ..., ∂is) = dxj(A(∂i1, ..., ∂is)) = X k Ak i1,...,isdxj(∂k) = Aj i1,...,is. 32 CAP´ ITULO 2. VARIEDADES SEMI-RIEMANNIANAS Lema 2.1.16 Todo espacio vectorial V6= 0 tiene una base ortonormal. Demostraci´on. Como ges no degenerado por ser producto escalar, existe v∈Vtal que g(v, v)6= 0, de modo que podemos tomar el vector unitario e1=v |v|. Ahora bien, si consideramos W=hv1i, tenemos un subespacio no degenerado de V, y por el Corolario 2.1.14, tenemos que W⊥tambi´en es no degenerado, con lo que existe v0∈W⊥tal que g(v0, v0)6= 0, con lo que podremos tomar e2=v0 |v0|y considerar a partir de ahora W=he1, e2i, pues e1⊥e2. As´ı, si iteramos este proceso llegaremos a dimW =m=dimV y dim(W⊥) = 0, de modo que se acaba teniendo W=V, con B={e1, ..., em} base ortonormal por construcci´on.  Llegamos as´ı a un concepto crucial en geometr´ıa semi-Riemanniana: la signatura. Definici´on 2.1.17 La matriz del producto escalar gen una base ortonormal {e1, ..., em}viene dada por gij =g(ei, ej) = jδij, donde j=g(ej, ej) = ±1. Se dice signatura del producto escalar gal vector (1, ..., m). Exponemos a continuaci´on dos resultados interesantes relacionados con la signatura. Lema 2.1.18 Sea {e1, ..., em}una base ortonormal para V. Entonces para todo v∈Vse tiene v= m X i=1 ig(v, ei)ei. Demostraci´on. Notemos que para todo j= 1, ..., m podemos escribir: g v− m X i=1 ig(v, ei)ei, ej!=g(v, ej)− m X i=1 ig(v, ei)g(ei, ej) = =g(v, ej)− m X i=1 2 ig(v, ei)δij = 0. 2.1. EL PRODUCTO ESCALAR 33 De este modo, al ser gno degenerado, resulta que v−Pm i=1 ig(v, ei)ei= 0, con lo que queda probado el resultado.  Lema 2.1.19 Para toda base ortonormal {e1, ..., em}de V, el n´umero de −1 en la signatura (1, ..., m) es el ´ındice νde V. Con frecuencia nos referiremos al ´ındice de gcomo ν=indV . Demostraci´on. Podemos considerar, sin p´erdida de generalidad, que los k primeros iverifican i=−1. As´ı, si ges definido, tendremos que el resultado ser´a trivial, pues si ges definido positivo, en la signatura s´olo se tienen signos positivos; y si es definido negativo, s´olo se tienen signos negativos. En el caso de que gno sea definido, resulta obvio que gs´ı es definido negativo en el subespacio S=he1, ...eki, de modo que k≤ν. Para ver la otra desigualdad, consideremos W⊆Vun subespacio arbitrario donde gsea definido negativo, y definamos la proyecci´on ortogonal sobre Scomo la aplicaci´on lineal π:W→Sdada por π(w) = k X i=1 ig(w, ei)ei=− k X i=1 g(w, ei)ei. De este modo, si probamos que πes inyectiva, obtendremos dimW ≤dimS = k, con lo que al elegirse Wde forma arbitraria, resultar´ıa ν≤k. Bastar´a as´ı con ver que kerπ = 0. Dado w∈W, si π(w) = 0, podemos escribir w= m X i=k+1 g(w, ei)ei. Pero como ges definido negativo en W, resulta que 0≥g(w, w) = g m X i=k+1 g(w, ei)ei, m X j=k+1 g(w, ej)ej!= = m X i=k+1 m X j=k+1 g(w, ei)g(w, ej)δij = m X i=k+1 g(w, ei)2. As´ı, g(w, ei) = 0 para i=k+ 1, ..., m, con lo que se tiene w= 0, luego kerπ = 0.  34 CAP´ ITULO 2. VARIEDADES SEMI-RIEMANNIANAS 2.2. Variedades semi-Riemannianas Pasamos, al fin, a la introducci´on de las variedades semi-Riemannianas en este camino hacia la Teor´ıa General de la Relatividad. En 1928, Carl Friedrich Gauss prov´o su Theorema Egregium que, en resumidas cuentas, afirmaba que la curvatura de una superficie puede determinarse a trav´es de la medida de distancias de caminos sobre dicha superficie. A˜nos despu´es, en 1954, Bernhard Riemann, destacado alumno de Gauss, inici´o el desarrollo de una teor´ıa de superficies en dimensiones superiores que acabar´ıa convirti´endose en lo que hoy conocemos como geometr´ıa Riemanniana. Con la formalizaci´on matem´atica de la Teor´ıa de la Relatividad General de Einstein, llegar´ıa la necesidad de debilitar las propiedades del producto escalar, pasando este de ser definido positivo a ser no degenerado. Esto es lo que hemos hecho en la secci´on previa, y nos lleva finalmente a la geometr´ıa semi-Riemanniana. Definici´on 2.2.1 Un tensor m´etrico g(o una m´etrica) sobre una variedad diferenciable Mes un tensor (0,2) sim´etrico y no degenerado en Mque tiene ´ındice constante. As´ı, g∈ T 0 2(M) asigna a cada punto p∈Mun producto escalar gpen TpM, y el ´ındice de gpes siempre ν, independientemente del p∈Mtomado. Con frecuencia escribiremos gen lugar de gppor abuso de notaci´on. Definici´on 2.2.2 Se define una variedad semi-Riemanniana como el par (M, g) constituido por una variedad diferenciable y una m´etrica sobre la misma. Es preciso notar que habitualmente llamaremos Ma la variedad semi- Riemanniana por simplicidad, aunque dos m´etricas diferentes puedan definir distintas variedades semi-Riemannianas a partir de una variedad diferenciable. 2.2. VARIEDADES SEMI-RIEMANNIANAS 35 Definici´on 2.2.3 Se dice ´ındice de una variedad semi-Riemanniana Mmal ´ındice νde su m´etrica g(que es el ´ındice de todos los productos escalares gp que se obtienen sobre M). N´otese que ν= 0, ..., m. Si ν= 0, se dice que M es una variedad Riemanniana; y si ν= 1 y m≥2, que es una variedad de Lorentz. Con frecuencia utilizaremos la notaci´on alternativa para g, dada por g(v, w) = hv, wi ∈ Rpara vectores tangentes (donde escribimos gen lugar de gppor abuso de notaci´on), y g(X, Y ) = hX, Y i∈F(M) en el caso de campos vectoriales. Consideremos ahora una carta (U, ϕ = (x1, ..., xm)) de M. Las componentes del tensor m´etrico gen Uvendr´an dadas por: gij =h∂i, ∂ji, con i, j = 1, ..., m. As´ı, para campos X=PiXi∂i,Y=PjYj∂j, tendremos: g(X, Y ) = hX, Y i=*X i Xi∂i,X j Yj∂j+=X ij XiYjh∂i, ∂ji=X ij gijXiYj. Por otra parte, como gpes no degenerado, para cada punto p∈Mresulta que la matriz (gij(p)) es invertible. Denotaremos (gij)=(gij)−1, y al ser las matrices sim´etricas, gij =gji ygij =gji. Con todo, hay que notar que el tensor m´etrico puede expresarse en U seg´un: g=X ij gijdxi⊗dxj. Ejemplo 2.2.4 El espacio Eucl´ıdeo Rm. Si consideramos el producto escalar habitual en Rm, tendremos que para dos vectores v, w ∈Rm v·w= m X i=1 viwi. Pero recordemos que existe un isomorfismo lineal entre RmyTpRmpara todo p∈Rm, llevando v∈Rmen vp=Pivi∂i. As´ı, el producto escalar 36 CAP´ ITULO 2. VARIEDADES SEMI-RIEMANNIANAS usual en Rmda lugar al tensor m´etrico en Rmdado por: hvp, wpi=v·w= m X i=1 viwi. Ejemplo 2.2.5 El espacio semi-Eucl´ıdeo Rm ν. Este caso es an´alogo al anterior; solo que hay que cambiarle el signo a las primeras νcomponentes, de modo que se tiene el tensor de ´ındice νdado por: hvp, wpi=− ν X i=1 viwi+ m X i=ν+1 viwi. Hay que destacar que si ν= 0 este ejemplo se reduce al caso anterior. Sin embargo, si ν= 1 tenemos un m-espacio de Minkowski, y en el caso m= 4, tenemos el espacio-tiempo relativista usual, en el cual se hay tres dimensiones espaciales y una temporal, que es la que da lugar a que el ´ındice no sea nulo. En estos espacios podemos expresar el tensor m´etrico de forma m´as sencilla si tomamos i=−1 si i= 1, ..., ν 1 si i=ν+ 1, ..., m , de modo que se pueda escribir: g= m X i=1 idui⊗dui, donde las uison las funciones coordenadas naturales en Rm. La importancia del ´ındice de una variedad semi-Riemanniana se tiene por lo siguiente. Definici´on 2.2.6 Dado un vector vtangente a Mdiremos que es: 1. Espacial si hv, vi>0 ´o v= 0. 2. Temporal si hv, vi<0 y v6= 0. 3. Luminoso onulo si hv, vi= 0. 2.2. VARIEDADES SEMI-RIEMANNIANAS 37 La nomenclatura dada a los distintos tipos de vectores se deriva de la representaci´on del Cono de luz (o Cono de Minkowski) en la Teor´ıa de la Relatividad Especial, que resulta ´util para tratar la idea de causalidad (para ver si dos procesos distintos que se dan lugar en dos puntos, iguales o no, del espacio-tiempo, pueden tener relaci´on). Figura 2.1: Cono de Minkowski. En resumidas cuentas, esta representaci´on surge al considerar al observador en el origen del espacio-tiempo, de modo que los vectores luminosos forman un cono cuyo v´ertice es precisamente el origen. Estos vectores caracterizan las direcciones en las que solo puede viajar la luz a velocidad c. Tal cono divide el espacio en dos zonas: la espacial, hacia la cual se mueve el observador; y la temporal, inaccesible para el observador (tendr´ıa que moverse a una velocidad v > c para acceder a ella). El Principio de Causalidad establece que el observador solo puede percibir sucesos que se encuentren en la zona espacial del espacio-tiempo, pues en otro caso la luz que le llegar´ıa del suceso que viese tendr´ıa que viajar con v > c, lo cual no es posible. As´ı, dos sucesos en el espacio de Minkowski solo pueden estar relacionados si para un suceso dado en el origen, el otro se halla en la zona espacial. Hay que notar que siempre podemos considerar uno de los sucesos en el origen y trabajar con coordenadas relativas a dicho suceso. 38 CAP´ ITULO 2. VARIEDADES SEMI-RIEMANNIANAS As´ı, el ´ındice da el n´umero de dimensiones temporales que se tienen en la variedad en cuesti´on. Introduzcamos ahora la noci´on de subvariedad semi-Riemanniana. Definici´on 2.2.7 Sean Psubvariedad de una variedad semi-Riemanniana Mcon m´etrica gyj:P ,−→ Mla inclusi´on. Tendremos que si el pullback j∗(g) es un tensor m´etrico en P, entonces Pes subvariedad semi-Riemanniana de M. N´otese que la restricci´on de que el pullback de gsea un tensor m´etrico en Presulta imprescindible al poder degenerarse la m´etrica a trav´es del pullback, de modo que dejar´ıa de ser una m´etrica como tal. Veamos como se obtienen entonces variedades semi-Riemannianas producto con el siguiente lema. Lema 2.2.8 Sean MyNvariedades semi-Riemannianas con m´etricas gMy gN. Consideremos las proyecciones π:M×N→Myσ:M×N→N, y definamos g=π∗(gM) + σ∗(gN). Entonces ges un tensor m´etrico en M×N, con lo que M×Nes una variedad semi-Riemanniana. Demostraci´on. Consideremos v, w ∈T(p,q)(M×N), de modo que se tenga: g(v, w) = gM(dπ(p,q)(v), dπ(p,q)(w)) + gN(dσ(p,q)(v), dσ(p,q)(w)). As´ı, ges sim´etrico. Hay que ver ahora la no degeneraci´on de g. Supongamos que g(v, w) = 0 para todo w∈T(p,q)(M×N). Entonces, si w∈T(p,q)M, se tiene que dσ(p,q)(w) = 0, luego gN(dσ(p,q)(v), dσ(p,q)(w)) = 0, y como g(v, w) = 0, resulta que gM(dπ(p,q)(v), dπ(p,q)(w)) = 0. Ahora bien, como esto se tiene para todo w∈T(p,q)(M×N), vemos que dπ(p,q)(w) nos da todos los posibles vectores de TpM, con lo que por la no degeneraci´on de gMha de tenerse que dπ(p,q)(v) = 0, de modo que v= 0. Esto se puede hacer de forma an´aloga para w∈T(p,q)N, obteni´endose que dσ(p,q)(v) = 0 y, consecuentemente, que v= 0. Queda as´ı probada la no degeneraci´on de g. Este resultado nos permite llegar a que para el espacio semi-Eucl´ıdeo Rm ν: Rm ν=Rν ν×Rm−ν. 2.3. LA CONEXI ´ ON DE LEVI-CIVITA 39 2.3. La conexi´on de Levi-Civita Consideremos X, Y ∈ X(M). En esta secci´on se busca un nuevo campo ∇XY∈ X(M) cuyo valor en cada p∈Mindique la variaci´on de Yen la direcci´on de Xp. Podemos definirlo de forma natural sobre Rm νcomo sigue. Definici´on 2.3.1 Sean u1, ..., umlas coordenadas naturales sobre Rm ν. Dados XeY=PiYi∂icampos en Rm ν, se define la derivada covariante natural de Yrespecto de Xcomo: ∇XY=X i X(Yi)∂i. Sin embargo, nuestro inter´es reside en la extensi´on de esta noci´on a una variedad semi-Riemanniana M. Para ello, definimos el concepto de conexi´on a continuaci´on. Definici´on 2.3.2 Una conexi´on ∇en una variedad semi-Riemanniana M es una aplicaci´on ∇:X(M)× X(M)→ X(M) tal que: 1. ∇XYes F(M)-lineal en X: ∇fX1+gX2Y=f∇X1Y+g∇X2Y, para todos X1, X2∈ X (M) y para todas f, g ∈ F(M). 2. ∇XYes R-lineal en Y: ∇X(aY1+bY2) = a∇XY1+b∇XY2, para todos a, b ∈R, y para todos Y1, Y2∈ X(M). 3. Se tiene la regla del producto en el argumento: ∇X(fY )=(Xf)Y+f∇XY, para toda f∈ F(M). Se dice que ∇XYes la derivada covariante de Yrespecto de Xpara la conexi´on ∇. 40 CAP´ ITULO 2. VARIEDADES SEMI-RIEMANNIANAS N´otese que la propiedad (1) hace que ∇XYsea un tensor sobre X, pero por la propiedad (3) se tiene que no es un tensor sobre Y. Definamos ahora un concepto esencial en lo que sigue. Definici´on 2.3.3 Se dice tensor de torsi´on de una conexi´on ∇sobre una variedad semi-Riemanniana Ma la aplicaci´on T:X(M)× X (M)→ X (M) dada por: T(X, Y ) = ∇XY− ∇YX−[X, Y ]. Se expone a continuaci´on un resultado que es necesario para llegar a la conexi´on de Levi-Civita. Proposici´on 2.3.4 Sean Muna variedad semi-Riemanniana y X∈ X (M). Definamos X∗∈ X∗(M) la 1-forma dada por X∗(Y) = hX, Y ipara todo Y∈ X(M). Entonces, la aplicaci´on X→X∗es un isomorfismo F(M)-lineal entre X(M) y X∗(M). Demostraci´on. Al ser la m´etrica F(M)-lineal en sus dos componentes, resulta evidente que X∗es F(M)-lineal, con lo que es una 1-forma, y tambi´en que la aplicaci´on X→X∗tambi´en es F(M)-lineal. As´ı, s´olo hay que probar que la aplicaci´on X→X∗es isomorfismo. Para ello bastar´a con ver que para toda θ∈ X ∗(M) existe un ´unico X∈ X (M) tal que θ(Y) = hX, Y ipara todo Y∈ X (M). Para ver la unicidad bastar´a con probar que dados X, X0∈ X(M), si hX, Y i=hX0, Y ipara todo Y∈ X(M), entonces X=X0. N´otese que hX−X0, Y i= 0 para todo Y∈ X(M), de modo que hXp− X0 p, Ypi= 0 para todo p∈My para todo Y∈ X(M). Entonces, por la no degeneraci´on de la m´etrica, Xp=X0 ppara todo p∈M. De este modo, X=X0, y queda probada la unicidad. Veamos ahora la existencia. Bastar´a con probar que existe un campo Xdefinido en una carta (U, ϕ = (x1, ..., xm)) de Mtal que se cumple lo buscado. Localmente podemos escribir θ=Piθidxi. Consideremos entonces 2.3. LA CONEXI ´ ON DE LEVI-CIVITA 41 X=Pi,j gijθi∂j. Se tiene que: hX, ∂ki=X i,j gijθih∂j, ∂ki=X i,j θigijgjk =X i θiδik =θk=θ(∂k), de modo que por F(M)-linealidad se tiene que θ(Y) = hX, Y ipara todo campo Yen U. Pasamos ahora al estudio de uno de los resultados centrales de la geometr´ıa semi-Riemanniana: el Teorema Fundamental de la Geometr´ıa de Riemann. Teorema 2.3.5 (Teorema Fundamental de la Geometr´ıa de Riemann) Dada una variedad semi-Riemanniana M, existe una ´unica conexi´on tal que: 1. Es libre de torsi´on: T(X, Y )=0, para todos X, Y ∈ X(M). 2. Es compatible con la m´etrica: XhY, Zi=h∇XY, Zi+hY, ∇XZi, para todos X, Y, Z ∈ X (M). A∇se le llama conexi´on de Levi-Civita de M, y queda caracterizada por la f´ormula de Koszul: 2h∇XY, Zi=XhY, Zi+YhZ, Xi − ZhX, Y i −hX, [Y, Z]i+hY, [Z, X]i+hZ, [X, Y ]i, para todos X, Y, Z ∈ X (M). Demostraci´on. Probemos primero la unicidad. Para ello, si consideramos campos arbitrarios X, Y, Z ∈ X (M), se tiene por (2) que: XhY, Zi+YhZ, Xi − ZhX, Y i=h∇XY, Zi+hY, ∇XZi+h∇YZ, Xi+ +hZ, ∇YXi − h∇ZX, Y i−hX, ∇ZYi= 48 CAP´ ITULO 2. VARIEDADES SEMI-RIEMANNIANAS 4. Para ver que hRXY V, W i=−hRXY W, V i, por linealidad en la m´etrica y en el tensor de curvatura, bastar´a con probar que hRXY Z, Zi= 0, siendo Z=V+W. As´ı: hRXY Z, Zi=h∇X∇YZ, Zi − h∇Y∇XZ, Zi= =Xh∇YZ, Zi − h∇YZ, ∇XZi − Yh∇XZ, Zi+h∇XZ, ∇YZi= =1 2XY hZ, Zi − 1 2Y XhZ, Zi=1 2[X, Y ]hZ, Zi= 0. 5. Por una parte, se tiene que hRXY V, Wi=−hRY X V, W i=hRXV Y, Wi+hRV Y X, Wi, hRXY V, Wi=−hRXY W, V i=hRY W X, V i+hRW X Y, V i, con lo que: 2hRXY V, Wi=hRXV Y, W i+hRV Y X, W i+hRY W X, V i+hRW X Y, V i. Por otra parte: hRV W X, Y i=−hRW V X, Y i=hRV X W, Y i+hRXW V, Y i, hRV W X, Y i=−hRV W Y, Xi=hRW Y V, Xi+hRY V W, Xi, de modo que: 2hRV W X, Y i=hRV X W, Y i+hRXW V, Y i+hRW Y V, Xi+hRY V W, Xi= =hRXV Y, Wi+hRV Y X, Wi+hRY W X, V i+hRW X Y, V i= 2hRXY V, Wi. Hemos probado as´ı todas las propiedades enunciadas.  Corolario 2.4.3 Se tienen las mismas propiedades para los operadores de curvatura, pues los vectores tangentes se pueden extender a campos vectoriales. 2.5. CURVATURA SECCIONAL 49 2.5. Curvatura seccional Recordemos que al trabajar sobre superficies surg´ıa la noci´on de curvatura de Gauss (o curvatura intr´ınseca). La generalizaci´on de la curvatura de Gauss a variedades semi-Riemannianas surge de la identificaci´on de la Segunda Forma Fundamental con el tensor de curvatura, y la Primera Forma Fundamental con la funci´on Q: (TpM)2→R, dada por Q(v, w) = hv, vihw, wi−hv, wi2. Para precisar esto, introducimos la siguiente definici´on. Definici´on 2.5.1 Dado p∈M, se llama plano tangente de Men pa cualquier subespacio de dimensi´on 2 de TpM. Denotaremos los planos tangentes por Π. Definici´on 2.5.2 Un plano tangente Π se dice no degenerado si el producto escalar asociado a la m´etrica gde la variedad es no degenerado. El siguiente resultado es trivial a partir del Lema 2.1.5. Lema 2.5.3 Un plano tangente Π de una variedad diferenciable Mes no degenerado si y s´olo si Q(v, w)6= 0 para toda base {v, w}de Π. Con todo lo visto, ya podemos definir la curvatura seccional. Definici´on 2.5.4 Dado Π plano tangente no degenerado de Mcon base {v, w}, se define la curvatura seccional de Π como: KΠ=hRvww, vi Q(v, w). N´otese que si vywson ortonormales, entonces KΠ=hRvww, vi hv, vihw, wi, y si tomamos los vectores de una base ortonormal {e1, ..., em}, tendremos Kij =ijhReiejej, eii. 50 CAP´ ITULO 2. VARIEDADES SEMI-RIEMANNIANAS Lema 2.5.5 La curvatura seccional es independiente de la base de Π tomada. Demostraci´on. Si consideramos dos bases de Π dadas por {v, w}y{v0, w0}, tendremos que existen a, b, c, d ∈Rtales que v=av0+bw0;w=cv0+dw0, donde ad −bc 6= 0. De este modo, teniendo en cuenta que Rxxz= 0 y hRxyz, zi= 0 por las propiedades (2) y (3) de la Proposici´on 2.4.2 resulta que hRvwv, wi= (ad −bc)2hRv0w0v0, w0i, Q(v, w)=(ad −bd)2Q(v0, w0), con lo que KΠno depende de la elecci´on de la base.  Por ´ultimo, introduzcamos un tipo de variedades muy particulares que surgen a partir de la curvatura seccional. Definici´on 2.5.6 Se dice que Mes un espacio de curvatura constante si KΠ es constante, es decir, si KΠ=K0 Πpara todos Π,Π0planos tangentes a M. 2.6. El tensor de Ricci Pasamos as´ı a la ´ultima secci´on de este cap´ıtulo, en la que introduciremos los conceptos de tensor de Ricci y curvatura escalar. Ambas nociones resultan cruciales en el estudio y entendimiento de las variedades de Einstein y, posteriormente, de la Teor´ıa de la Relatividad General. Comencemos estudiando la noci´on de contracci´on (o traza) de un tensor. Definici´on 2.6.1 Sea A∈ T 1 1(M), de modo que Ap:TpM→TpMpara todo p∈M. Se define la contracci´on (o traza) de Apcomo el escalar CAp=Tr(Ap) = X i ihApei, eii, donde {e1, ..., em}es base ortonormal de TpM, con hei, eji=δijipara todos i, j = 1, ..., m. 2.6. EL TENSOR DE RICCI 51 N´otese que entonces, este mismo resultado se tiene localmente para campos vectoriales, pues podemos extender los vectores de la base ortonormal {e1, ..., em}para obtener un conjunto de campos ortonormales {E1, ..., Em} tales que (Ei)p=ei∈TpMyhEi, Eji=iδij para todos i, j = 1, ..., m. A tal conjunto de campos lo llamaremos referencia local ortonormal. En este caso, la contracci´on de Aviene dada por la funci´on: CA =Tr(A) = X i ihAEi, Eii. Definici´on 2.6.2 Sea A∈ T 1 s(M). Se define la i-´esima contracci´on de A como el tensor CiA∈ T 0 s−1(M) dado por CiA(X1, ..., Xi−1, Xi+1, ..., Xs) = X j jhA(X1, ..., Xi−1, Ej, Xi+1, ..., Xs), Eji, donde {E1, ..., Em}es una referencia local ortonormal con hEi, Eji=δiji para todos i, j = 1, ..., m. En el caso particular de los tensores covariantes, definiremos las contracciones como sigue. Definici´on 2.6.3 Sean A∈ T 0 s(M) e i, j = 1, ..., m con i6=j. Se define la contracci´on ij-´esima de Acomo el tensor Cij A∈ T 0 s−2(M) dado por CijA(X1, ..., Xi−1, Xi+1, ..., Xj−1, Xj+1, ..., Xs) = =X k kA(X1, ..., Xi−1, Ek, Xi+1, ..., Xj−1, Ek, Xj+1, ..., Xs), donde {E1, ..., Em}es una referencia local ortonormal con hEi, Eji=δiji para todos i, j = 1, ..., m. En el caso de que A∈ T 0 2(M), s´olo se tendr´a la contracci´on 12, y tambi´en podremos llamarla traza, notando C12A=TrA. 52 CAP´ ITULO 2. VARIEDADES SEMI-RIEMANNIANAS Veamos ahora las formas de conexi´on. Definici´on 2.6.4 Se llama formas de conexi´on a las 1-formas ωj ique verifican ∇XEi=X j ωj i(X)Ej, para todo X∈ X (M) y para todo i= 1, ..., m, con {E1, ..., Em}referencia local ortonormal con hEi, Eji=δijipara todos i, j = 1, ..., m. La siguiente propiedad resultar´a muy ´util m´as adelante, especialmente en el siguiente cap´ıtulo. Proposici´on 2.6.5 Las formas de conexi´on verifican jωj i=−iωi jpara todos i, j = 1, ..., m. Demostraci´on. Consideremos X∈ X (M) arbitrario: 0 = ∇XhEi, Eji=XhEi, Eji=h∇XEi, Eji+hEi,∇XEji= =hX k ωk i(X)Ek, Eji+hEi,X k ωk j(X)Eki=X k ωk i(X)jδkj+X k ωk j(X)iδik = =jωj i(X) + iωi j(X). As´ı, al ser Xarbitrario, jωj i=−iωi j. Definimos a continuaci´on una serie de operadores que ser´an de inter´es en lo que sigue. Definici´on 2.6.6 Se dice gradiente de una funci´on f∈ F(M) al campo gradf ∈ X (M) verificando hgradf, Xi=df(X) = Xf, para todo X∈ X (M). Definici´on 2.6.7 Dado X∈ X(M), la divergencia de Xviene dada por la funci´on divX =X i ih∇EiX, Eii, donde {E1, ..., Em}es una referencia local ortonormal con hEi, Eji=δiji para todos i, j = 1, ..., m. 2.6. EL TENSOR DE RICCI 53 Definici´on 2.6.8 Dado A∈ T 0 2(M) sim´etrico, se define la divergencia de A como la 1-forma (divA)(X) = X i i(∇EiA)(X, Ei), donde {E1, ..., Em}es una referencia local ortonormal con hEi, Eji=δiji para todos i, j = 1, ..., m. Veamos un resultado que es de suma importancia en el siguiente cap´ıtulo, pero no probaremos por ir m´as all´a de los objetivos de este escrito, pues solamente lo usaremos como herramienta t´ecnica. Teorema 2.6.9 (Teorema de Gauss-Stokes) Sean (M, g) una variedad semi-Riemanniana compacta y orientada con o sin borde, y νel campo vectorial normal unitario a lo largo de ∂M (si ∂M es no vac´ıo), con la orientaci´on inducida por la de ∂M. Sea X∈ X(M) arbitrario. Entonces ZM div(X)dVM=Z∂M hX, νidV∂M , y en particular, el lado izquierdo de la igualdad se anula si ∂M es vac´ıo o si Xse anula en todo ∂M. Podemos definir, llegados a este punto, el tensor de Ricci y la curvatura seccional. Definici´on 2.6.10 Se define el tensor de Ricci como la primera contracci´on del tensor de curvatura, Ric =C1R∈ T 0 2(M). De este modo se tiene Ric(X, Y ) = C1RZX Y=X i ihREiXY, Eii, donde {E1, ..., Em}es una referencia local ortonormal con hEi, Eji=δiji para todos i, j = 1, ..., m. 54 CAP´ ITULO 2. VARIEDADES SEMI-RIEMANNIANAS Definici´on 2.6.11 La curvatura escalar se define como la contracci´on 12 del tensor de Ricci, S=C12Ric ∈ F(M), de modo que S=X i,j ijhREiEjEj, Eii, donde {E1, ..., Em}es una referencia local ortonormal con hEi, Eji=δiji para todos i, j = 1, ..., m. N´otese que si evaluamos la curvatura escalar en un punto p∈Men el que la referencia local ortonormal tomada antes sea v´alida, considerando (Ei)p=ei∈TpMpara todo i= 1, ..., m, tendremos S(p) = X i,j ijhReiejej, eii=X j jRic(ej, ej) = X i6=j Kij, donde Kij es la curvatura seccional del plano tangente Πij generado por eiy ej. Se deduce as´ı que Ric(ej, ej) = Pi6=jjKij. N´otese que esto puede extenderse a campos si definimos la curvatura seccional sobre ellos. Veamos un resultado que nos ser´a ´util en el siguiente cap´ıtulo. Lema 2.6.12 Dados A∈ T 1 s(M) y X∈ X(M), se tiene la conmutatividad dada por Ci(∇XA) = ∇X(CiA). Demostraci´on. Realizaremos la prueba para tensores de tipo (1,1) por ser m´as clara la notaci´on. Para tensores (1, s) con s > 1 bastar´a con contraer fijando los argumentos de las componentes que no se contraigan. Se tiene que CA =PiihAEi, Eii, con lo que: ∇X(CA) = X i i[h∇X(AEi), Eii+hAEi,∇XEii]. Por otra parte: C(∇XA) = X i ih(∇XA)Ei, Eii=X i i[h∇X(AEi), Eii−hA(∇XEi), Eii]. 2.6. EL TENSOR DE RICCI 55 De este modo, para probar el resultado bastar´a con comprobar: X i i[hAEi,∇XEii+hA(∇XEi), Eii]=0. Teniendo en cuenta que ωi j=−j iωj i=−ijωj i, se tiene: X i ihAEi,∇XEii+X i ihA(∇XEi), Eii= =X i ihAEi,X j ωj i(X)Eji+X i ihA(X j ωj i(X)Ej), Eii= =X i,j iωj i(X)hAEi, Eji+X i,j jωi j(X)hAEi, Eji= =X i,j iωj i(X)hAEi, Eji − X i,j 2 jiωj i(X)hAEi, Eji= 0. Queda as´ı probado el resultado.  56 CAP´ ITULO 2. VARIEDADES SEMI-RIEMANNIANAS Cap´ıtulo 3 Variedades de Einstein En este cap´ıtulo llegamos, finalmente, al estudio de las variedades de Einstein. Estudiaremos algunas de sus propiedades y, a partir de ellas, construiremos la ecuaci´on del campo gravitatorio, explicando adem´as c´omo el resultado matem´atico encaja con la realidad f´ısica, llegando as´ı a la que es la base de la Teor´ıa de la Relatividad General. Para ello, recordemos las palabras con las que empez´o este escrito: Si existe una ecuaci´on an´aloga a la de Poisson en Relatividad General, ´esta habr´a de ser una ecuaci´on tensorial para el tensor de potencial gravitatorio gµν, en cuyo lado derecho ha de tenerse el tensor de energ´ıa de la materia. En el lado izquierdo de la ecuaci´on necesitamos un tensor diferencial derivado de gµν. El objetivo es determinar este tensor de forma precisa. Est´a competamente determinado por las tres condiciones siguientes: 1. El tensor en cuesti´on no debe contener derivadas de gµν que sean de orden superior a 2. 2. El tensor debe depender linealmente de las derivadas segundas. 3. La divergencia del tensor debe ser id´enticamente nula. Albert Einstein, Princeton, 1921. Ya estamos en disposici´on de afrontar este problema: buscar el tensor descrito por Einstein para la ecuaci´on del campo gravitatorio. Ser´a en esa b´usqueda en la que desarrollemos nuestro estudio de las variedades de Einstein. 57 64 CAP´ ITULO 3. VARIEDADES DE EINSTEIN Albert Einstein propuso que lo que en realidad ocurre es que la gravedad no surge por el hecho de que un cuerpo tenga masa, sino por la energ´ıamomento del cuerpo (recordemos la famosa relaci´on entre masa en reposo y energ´ıa, dada por el propio Einstein, E=mc2). Adem´as, afirm´o que la gravedad deb´ıa estar en tal caso asociada a la curvatura del espacio-tiempo. La cuesti´on es entonces, ¿existen ecuaciones que relacionen la gravedad (curvatura) y la materia? La respuesta, como es predecible llegados a este punto, es que s´ı. A trav´es de las Ecuaciones de Einstein se obtiene una expresi´on que relaciona el denominado tensor de energ´ıa-momento (asociado a la materia) con la curvatura. En lo que sigue llegaremos a dicha expresi´on de forma geom´etrica, trabajando con el Principio de M´ınima Acci´on sobre el denominado funcional de Hilbert-Einstein (que se define a continuaci´on), buscando la m´etrica para la cual la curvatura (gravedad) sea lo m´as uniforme posible sobre la variedad en la que se trabaja (el espacio-tiempo). Definici´on 3.2.1 Sea (M, g) una variedad semi-Riemanniana y consideremos el elemento de volumen en dicha variedad dVg=p|detgij|dx1⊗···⊗dxm. Se definen, para gvariable, los funcionales: 1. Volumen de M : V ol(M) = ZM dVg. 2. Curvatura escalar total de g, o funcional de Hilbert-Einstein: S(g) = ZM SgdVg. En lo que sigue, nuestro objetivo ser´a resolver el problema variacional dado por δS = 0 (Principio de M´ınima Acci´on). 3.2. EL FUNCIONAL DE HILBERT-EINSTEIN 65 Definici´on 3.2.2 Sea (M, g) una variedad semi-Riemanniana. Se define la variaci´on de la m´etrica en la direcci´on de hcomo gt=g+th, donde t∈Ryh∈ T 0 2(M) es sim´etrico. N´otese que al ser guna m´etrica no degenerada, tendremos que gttambi´en lo ser´a para t∈(−, ), dado suficientemente peque˜no. Notemos que la derivada de S(gt) respecto de tpuede verse como la derivada direccional de Sen la direcci´on de hen el punto g, y as´ı el problema variacional dado por δS(g) = 0 equivale a estudiar el problema d dtS(gt)|t=0 = 0, para todo h∈ T 0 2(M). Se podr´ıa decir en tal caso que Ses estacionario para la m´etrica g. Asumiendo este hecho, podemos trabajar para hallar el gradiente del funcional S. Para ver esto, primero demostraremos dos lemas que resultar´an cruciales. Lema 3.2.3 Sea dVtel elemento de volumen de gt=g+th con dV0=dVg. Entonces: d dtt=0 (dVt) = 1 2Trgh dVg. Demostraci´on. Ya hemos visto que en coordenadas locales se tiene: dVg=q|detgij|dx1⊗···⊗dxm. Esto lleva a: d dtt=0 (dVt) = l´ım t→0 dVt−dVg t= = l´ım t→0 1 tq|Det(g(t) ij )| − q|Det(gij)|dx1⊗···⊗dxm= 66 CAP´ ITULO 3. VARIEDADES DE EINSTEIN = l´ım t→0 |Det(g(t) ij )|0 2q|Det(g(t) ij )| dx1⊗···⊗dxmu ul´ım t→0 1 2t(|Det(g(t) ij )|−|Det(gij)|)1 p|Det(gij)|dx1⊗···⊗dxm= = l´ım t→0 1 2t(|Det(g(t) ij )||Det(gij)| − 1)q|Det(gij)|dx1⊗···⊗dxm= = l´ım t→0 1 2t  Det X j g(t) ij gjk! −1!dVg. Ahora bien, como X j g(t) ij gjk =X j (gij +thij)gjk =δik +tX j hijgjk, resulta que Det X j g(t) ij gjk!=Det δik +tX j hijgjk!= = 1 + t Trgh+t2(···) + ... +tm(···), con lo que nos queda: d dtt=0 (dVt) = 1 2l´ım t→0 1 t(1+t T rgh+t2(···)+...+tm(···)−1)dVg=1 2Trgh dVg. Queda as´ı probado el lema.  De este modo, tendremos que dVtser´a estacionario si y s´olo si T rgh= 0. Estudiemos ahora el otro lema. Lema 3.2.4 Sean ∇tla conexi´on de Levi-Civita de gt=g+th yRtel tensor de curvatura de gt, con ∇0=∇yR0=R. Dados X, Y, Z ∈ X(M), se tienen las siguientes propiedades: 1. gd dt t=0 ∇t XY, Z=1 2[(∇Xh)(Y, Z)+(∇Yh)(Z, X)+(∇Zh)(X, Y )] . 2. La aplicaci´on ∇0 h(X, Y ) = d dt t=0 ∇t XYes un tensor de tipo (1,2) sim´etrico en XeY. 3. d dt t=0 (Rt XY Z) = (∇X∇0 h)(Y, Z)−(∇Y∇0 h)(X, Z). 3.2. EL FUNCIONAL DE HILBERT-EINSTEIN 67 Demostraci´on. 1. Por la f´ormula de Koszul: 2gt(∇t XY, Z) = X(gt(Y, Z)) + Y(gt(Z, X)) −Z(gt(X, Y ))− −gt(X, [Y, Z]) + gt(Y, [Z, X]) + gt(Z, [X, Y ]). Ahora bien, gt=g+th, con lo que th =gt−g, de modo que: gt(∇t XY, Z)−g(∇XY, Z) = t 2[X(h(Y, Z))+Y(h(Z, X))−Z(h(X, Y ))− −h(X, ∇YZ) + h(X, ∇ZY) + h(Y, ∇ZX)−h(Y, ∇XZ)+ +h(Z, ∇XY)−h(Z, ∇YX)] = t 2[X(h(Y, Z))−h(Y, ∇XZ)+h(Z, ∇XY)+ +Y(h(Z, X)) −h(Z, ∇YX)−h(X, ∇YZ)−Z(h(X, Y )) + h(X, ∇ZY)+ +h(Y, ∇ZX)] = th(Z, ∇XY)+ t 2[X(h(Y, Z))−h(Y, ∇XZ)−h(Z, ∇XY)+ +Y(h(Z, X)) −h(Z, ∇YX)−h(X, ∇YZ)− −Z(h(X, Y )) + h(X, ∇ZY) + h(Y, ∇ZX)]. Y como sabemos que (∇Xh)(Y, Z) = X(h(Y, Z))−h(Y, ∇XZ)−h(Z, ∇XY), se tiene: gt(∇t XY, Z)−g(∇XY, Z) = =th(Z, ∇XY) + t 2[(∇Xh)(Y, Z)+(∇Yh)(Z, X)−(∇Zh)(X, Y )]. Adem´as, gt(∇t XY, Z) = g(∇t XY, Z) + th(∇t XY, Z), y as´ı: g(∇t XY− ∇XY, Z) = t 2[(∇Xh)(Y, Z)+(∇Yh)(Z, X)−(∇Z)(X, Y )]. Podemos concluir entonces: gd dtt=0 ∇t XY, Z= l´ım t→0g∇t XY− ∇XY t, Z= =1 2[(∇Xh)(Y, Z)+(∇Yh)(Z, X)+(∇Zh)(X, Y )] . 68 CAP´ ITULO 3. VARIEDADES DE EINSTEIN 2. El car´acter tensorial de la expresi´on desarrollada en la prueba de la propiedad anterior nos lleva a que ∇0 hsea un tensor de tipo (1,2). En cuanto a la simetr´ıa, se tiene trivialmente de la misma expresi´on. 3. Por la definici´on del tensor de curvatura tenemos: Rt XY Z−RXY Z=∇t X∇t YZ− ∇t Y∇t XZ− ∇t [X,Y ]Z− −∇X∇YZ+∇Y∇XZ+∇[X,Y ]Z=∇t X(∇t Y−∇Y)Z−∇t Y(∇t X−∇X)Z+ +(∇t X− ∇X)∇YZ−(∇t Y− ∇Y)∇XZ−(∇t [X,Y ]− ∇[X,Y ])Z. Tomando ahora l´ımite: d dtt=0 (Rt XY Z) = ∇X(∇0 h(Y, Z)) − ∇Y(∇0 h(X, Z)) + ∇0 h(X, ∇YZ)− −∇0 h(Y, ∇XZ)− ∇0 h([X, Y ], Z) = ∇X(∇0 h(Y, Z)) − ∇0 h(Y, ∇XZ)− −∇0 h(∇XY, Z)− ∇Y(∇0 h(X, Z)) + ∇0 h(X, ∇Y, Z)− ∇0 h(∇YX, Z) = = (∇X∇0 h)(Y, Z)−(∇Y∇0 h)(X, Z). Queda as´ı probado el lema.  Llegados a este punto, estamos en disposici´on de determinar el “gradiente”de S(g), entendi´endolo como la derivada direccional de S(gt) en la direcci´on de h, con harbitrario. Teorema 3.2.5 (Variaci´on del funcional de Hilbert-Einstein.) Sea (M, g) una variedad semi-Riemanniana compacta y orientable, y sea gt=g+th la variaci´on de la m´etrica g. Si denotamos la curvatura escalar de gtpor St, entonces: d dtt=0 S(gt) = d dtt=0 ZM StdVt=S 2g−Ric, hg , para todo h. 3.2. EL FUNCIONAL DE HILBERT-EINSTEIN 69 Demostraci´on. Hay que notar que hemos escrito, para dos tensores sim´etricos de tipo (0,2) hA, Big=ZMX i,j ijA(Ei, Ej)B(Ej, Ei)dVg, con {E1, ..., Em}referencia local ortonormal. En cada punto de Mesta expresi´on es simplemente la traza de AB expresada en esta referencia. Para expresar Stcomo traza, tomaremos {Et 1, ..., Et m}, referencia ortonormal con respecto a gt. De este modo: St=X j jRict(Et j, Et j) = X i,j ijgt(Rt Et iEt jEt j, Et i). Hemos de notar dos consideraciones relevantes: 1. gt(Et i, Et j) = iδij lleva a dgt dt (Et i, Et j) + gtdEt i dt , Et j+gtEt i,dEt j dt = 0, con lo que teniendo en cuenta que gt=g+th, para t= 0 tendremos: X i,j h(Ei, Ej) = −2X i,j gtdEt i dt t=0 , Ej. 2. Teniendo en cuenta que ∇XEj=Piωi j(X)Ei, para todo tensor sim´etrico Ase tiene X j A(∇XEj, Ej) = X i,j ωi j(X)A(Ei, Ej) = 0, pues Aes sim´etrico en iyj, y ωi jes antisim´etrico. A partir de esto, y del lema previo, obtenemos dSt dt t=0 =d dtt=0 "X i,j ijgt(Rt Et iEt jEt j, Et i)#= 70 CAP´ ITULO 3. VARIEDADES DE EINSTEIN =X i,j h(REiEjEj, Ei) + gdRt dt t=0 (Ei, Ej)Ej, Ei+ +gRdEt i dt t=0 , EjEj, Ei+gREi,dEt j dt t=0Ej, Ei+ +gREiEj dEt j dt t=0 , Ei+gREiEjEj,dEt i dt t=0= =X i,j ijh(REiEjEj, Ei)+2gREiEjEj,dEt i dt t=0+ +X i,j g((∇Ei∇0 h)(Ej, Ej), Ei)−g((∇Ej∇0 h)(Ei, Ej), Ei)+ +2 X j jRic dEt j dt t=0 , Ej= =X i,j ijg((∇Ei∇0 h)(Ej, Ej), Ei)−g((∇Ej∇0 h)(Ei, Ej), Ei)+ +2 X j,k jkRic(Ek, Ej)gdEt j dt t=0 , Ek= =X i,j ij[g(∇Ei(∇0 h(Ej, Ej)), Ei)−2g((∇0 h(∇EiEj, Ej)), Ei)− −g((∇Ej∇0 h)(Ei, Ej), Ei)] −X j,k jkRic(Ek, Ej)h(Ej, Ek) = =X j div(∇0 h(Ej, Ej)) −X i,j ijg((∇Ej∇0 h)(Ei, Ej), Ei)− −X j,k jkRic(Ek, Ej)h(Ej, Ek), donde hemos utilizado: Ric dEt j dt t=0 , Ej=X i igREj,dEj dt t=0Ej, Ei= =X i igREjEiEi,dEj dt t=0 Ej, Ei= 3.2. EL FUNCIONAL DE HILBERT-EINSTEIN 71 =X i,k,l iklg(REjEiEi, Ek)gdEj dt t=0 , Elg(Ek, El) = =X i,k,l i2 klδklg(REjEiEi, Ek)gdEj dt t=0 , El= =X i,k ikg(REiEjEk, Ei)gdEj dt t=0 , Ek= =X k kRic(Ej, Ek)gdEj dt t=0 , Ek. Hay que notar que el segundo t´ermino de la expresi´on obtenida tambi´en es una divergencia, en este caso, del campo vectorial (C∇0 h)#, que est´a asociado al tensor C∇0 ha trav´es de la relaci´on dada por g((C∇0 h)#, X)=(C∇0 h)(X), para todo X∈ X (M). N´otese que (C∇0 h)(X) = Piig(∇0 h(Ei, X), Ei). Tenemos X i,j ij∇Ejg(∇0 h(Ei, Ej), Ei) = =X i,j ij[g(∇Ej(∇0 h(Ei, Ej)), Ei) + g(∇0 h(Ei, Ej),∇EjEi)] = =X i,j ij[g((∇E:j∇0 h)(Ei, Ej), Ei) + g(∇0 h(∇EjEi, Ej), Ei)+ +g(∇0 h(Ei,∇EjEj), Ei) + g(∇0 h(Ei, Ej),∇EjEi)], de modo que, aplicando lo que sabemos sobre formas de conexi´on: X i,j ijg((∇Ej∇0 h)(Ei, Ej), Ei) = X j j∇EjX i ig(∇0 h(Ei, Ej), Ei)− −X i,j ij[g(∇0 h(∇EjEi, Ej), Ei) + g(∇0 h(Ei,∇EjEj), Ei)+ 72 CAP´ ITULO 3. VARIEDADES DE EINSTEIN +g(∇0 h(Ei, Ej),∇EjEi)] = X j j[∇Ej((C∇0 h)(Ej)) −(C∇0 h)(∇EjEj)]− −X i,j ij[g(∇0 h(∇EjEi, Ej), Ei) + g(∇0 h(Ei, Ej),∇EjEi)] = =X j j[∇Ejg((C∇0 h)#, Ej)−g((C∇0 h)#,∇EjEi)]− −X i,j,k ij[g(∇0 h(ωk i(Ej)Ek, Ej), Ei) + g(∇0 h(Ei, Ej), ωk i(Ej)Ek)] = =X j jg(∇Ej(C∇0 h)#, Ej)−X i,j,k j[iωk i(Ej)g(∇0 h(Ek, Ej), Ei)+ +kωi k(Ej)g(∇0 h(Ek, Ej), Ei)] = div(C∇0 h)#− −X i,j,k ijk[2 ikωk i(Ej) + i2 kωi k(Ej)]g(∇0 h(Ek, Ej), Ei) = =div(C∇0 h)#−X i,j,k ijk[kωk i(Ej) + iωi k(Ej)]g(∇0 h(Ek, Ej), Ei) = =div(C∇0 h)#. Nos queda as´ı: ZM dSt dt t=0 dV =ZM"X j jdiv(∇0 h(Ej, Ej)) −div(C∇0 h)#− −X j,k jkRic(Ek, Ej)h(Ej, Ek)#dV. Ahora bien, aplicando el teorema de Gauss-Stokes, se anulan los dos primeros t´erminos de la igualdad, lo que nos lleva a: ZM dSt dt t=0 dV =−ZMX j,k jkRic(Ek, Ej)h(Ej, Ek). Todo lo visto resulta de este modo en: d dtt=0 ZM StdVt=ZM dSt dt t=0 dV +ZM Sd dtt=0 (dVt) = 3.2. EL FUNCIONAL DE HILBERT-EINSTEIN 73 =ZM"S 2Trgh−X j,k jkRic(Ek, Ej)h(Ej, Ek)#= =ZMX j,k jkS 2g(Ek, Ej)−Ric(Ek, Ej)h(Ej, Ek)dV = =S 2g−Ric, hg . As´ı, el teorema queda demostrado.  Hay que notar que lo mismo se obtiene si Mes compacto con ∂M no vac´ıo, siempre que h= 0 en un entorno de ∂M. Tambi´en ha de destacarse que el funcional Spodr´ıa haberse considerado para variedades no compactas, lo que es de gran relevancia en la Teor´ıa de la Relatividad. En tal caso hay que considerar S(g) como integral impropia yh= 0 (de modo que gt=g) fuera de cierto compacto. As´ı, al aplicar el teorema de Gauss-Stokes los t´erminos que incluyen divergencias se anulan tambi´en en este caso, obteni´endose el mismo resultado. Es muy importante observar que al obtener d dtt=0 S(gt) = S 2g−Ric, hg , para todo h definido como hemos visto, tendremos que δS(g) = 0 si y s´olo si: S 2g−Ric, hg = 0. Nuestro objetivo pasa a ser ahora averiguar en qu´e situaciones se tiene tal resultado. Hay que observar tambi´en que hemos obtenido el tensor de gravitaci´on, G=Ric −S 2g, como el “gradiente”del funcional de Hilbert-Einstein. Tendremos as´ı que la m´etrica del espacio-tiempo para la cual la curvatura ser´a lo mas uniforme posible ser´a aquella para la que se satisfaga la ecuaci´on previa. Nuestro objetivo es ahora determinar tal m´etrica.