Geometría diferencial de curvas en el espacio de Lorentz-Minkowski

FACULTAD DE MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA GEOMETRÍA DIFERENCIAL DE CURVAS EN EL ESPACIO DE LORENTZ-MINKOWSKI Memoria realizada por Eduardo Fernández Galán Dirigido por Dr. Alfonso Carriazo Rubio Resumen En este trabajo estudiamos la geometría diferencial de curvas cuando consideramos un espacio diferente al espacio euclídeo. En particular, trabajaremos sobre el espacio de Lorentz-Minkowski. En dicho espacio, utilizaremos la métrica de Minkowski, una métrica no degenerada, indefinida y de índice uno, lo que provocará importantes diferencias. El objetivo principal de este trabajo es realizar un estudio teórico similar al de la asignatura Geometría Local de Curvas y Superficies. Así, definiremos la curvatura y la torsión, estableceremos las ecuaciones de Frenet (que cambiarán según la causalidad de las curvas) y demostraremos el teorema fundamental de curvas. Abstract In this work we study the differential geometry of curves when considering a different space from the Euclidean. In particular, we will work on the Lorentz-Minkowski’s space. In such space, we will use the Minkowski’s metric, a non-degenerate, indefinite metric of index one, which will lead to important differences. The main objective of this work is to carry out a theoretical study similar to the one developed in the subject Geometría Local de Curvas y Superficies. Thus, we will define the curvature and torsion, we shall establish the Frenet’s equations (that will change according to the causality of the curves) and we will proof the fundamental theorem of curves. iii iv Índice general Introducción 7 1. Preliminares 11 1.1. Espacioseuclídeos........................................ 11 1.2. Teoríalocaldecurvas...................................... 14 1.2.1. Curvasplanas...................................... 15 1.2.2. Curvasalabeadas.................................... 16 2. El espacio E3 1de Lorentz-Minkowski 19 2.1. Causalidad............................................ 19 2.1.1. Ortogonalidad...................................... 21 2.1.2. Temporalidad...................................... 27 2.2. Ánguloentredosvectores ................................... 29 2.3. Isometrías............................................ 32 3. Curvas en el espacio de Minkowski. 37 3.1. Teoría local de curvas en el espacio de Minkowski. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2. El triedro de Frenet. Curvatura y torsión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2.1. Curvastemporales.................................... 44 3.2.2. Curvasespaciales..................................... 46 3.2.3. Curvasluminosas..................................... 49 3.2.4. Teorema fundamental de curvas alabeadas en E3 1................... 53 3.3. Curvasplanas........................................... 61 Bibliografía 69 v vi Índice general Introducción La teoría clásica de curvas sobre el espacio euclídeo E3es una de las ramas más interesantes de las matemáticas. Combina objetos sencillos y gráficos, fáciles de entender para cualquier persona, aun sin amplios conocimientos matemáticos, con resultados muy fuertes, como el Teorema fundamental de curvas, que nos permite determinar cualquier curva del espacio sin más que considerar su curvatura y torsión. Esta teoría fue desarrollada sobre R3y depende fundamentalmente del producto escalar euclídeo. Por lo tanto, cabe preguntarse si es posible desarrollar una teoría de curvas similar sobre otro espacio, con un producto escalar diferente al euclídeo, y cuáles serían las diferencias que implicaría dicho cambio. Con el avance de la ciencia a lo largo de los siglos, surge de manera natural el espacio de Lorentz- Minkowski E4 1, un novedoso espacio que se volvió fundamental para físicos como Albert Einsten, quien en 1905 desarrolló su Teoría Especial de la Relatividad apoyándose sobre él. Hermann Minkowski fue un matemático lituano, nacido en 1864 y fallecido en Gotinga en 1909. Desde muy pequeño, demostró grandes habilidades en las matemáticas, lo que le sirvió para acceder a la Königsberg University, donde entabló estrechas amistades con otros matemáticos de la época, como David Hilbert o Adolf Hurwitz. En un primer momento, Minkowski se interesó por las formas cuadráticas, llegando incluso a ganar un gran premio de matemáticas dando una solución al problema del número de representaciones de un número entero como suma de cinco cuadrados, reconstruyendo además la teoría de formas cuadráticas de Eisenstein. Sin embargo, su resultado de mayor relevancia fue el desarrollo de una nueva visión del espacio y el tiempo, sentando las bases matemáticas de la posterior teoría de la relatividad de Einstein. De hecho, en 1907, Minkowski se dio cuenta de que los trabajos de Lorentz y Einstein podían entenderse mejor sobre un espacio no euclídeo, ya que el consideraba que el espacio y el tiempo estaban acoplados en un “continuo espacio-tiempo” de cuatro dimensiones, cuando hasta ese momento se creían independientes. Los trabajos de Minkowski sirvieron de ayuda a Einstein para formular su famosa Teoría de la Relatividad General. Por otra parte, Hendrik Antoon Lorentz fue un físico neerlandés, que vivió entre los años 1853 y 1928. Lorentz perfeccionó la teoría electromagnética de Maxwell en su tesis doctoral The theory of the reflection and refraction of light, presentada en 1875. Antes de que se demostrara la existencia de los electrones, Lorentz propuso que las ondas luminosas se debían a las oscilaciones de una carga eléctrica en el átomo, cuyo desarrollo matemático le sirvió para ganar el Premio Nobel de Física en 1902, que fue concedido conjuntamente a Lorentz y a Pieter Zeeman, un alumno suyo que le ayudó en la demostración experimental. Lorentz también es muy conocido por sus trabajos sobre la contracción de FitzGerald-Lorentz, que es una contracción de la longitud de un objeto a velocidades relativistas. Las transformaciones de Lorentz, que introdujo en 1904, constituyen la base de la teoría especial de la relatividad de Einstein. 7 8 Introducción Figura 1: Hermann Minkowski y Hendrik Antoon Lorentz. Imágenes extraídas de MacTutor History of Mathematics Archive (School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews). El espacio de Lorentz-Minkowski E4 1posee tres dimensiones espaciales (que se comportan igual que el espacio euclídeo E3), a la que se le incorpora una cuarta dimensión que denotará al tiempo. De esta forma, se puede medir cómo varía la posición de un objeto a lo largo del tiempo. En física, se trabaja sobre el espacio E4 1, para poder considerar así las tres dimensiones espaciales y la cuarta dimensión temporal. Sin embargo, como el estudio teórico sobre E3 1es válido para E4 1, se suele trabajar también sobre él, ya que es computacionalmente más sencillo y, además, posible de visualizar al reducir una dimensión. El objetivo de este trabajo será realizar un estudio de la teoría de curvas sobre el espacio de Lorentz- Minkowski E3 1, de manera análoga a como se hizo para el caso euclídeo, puntualizando además las diferencias y similitudes entre ambos espacios. Empezaremos con un primer capítulo de introducción y repaso de algunos conceptos y resultados vistos hasta ahora y que nos resultarán muy útiles para el desarrollo del trabajo. Continuaremos con el segundo capítulo, en el que introduciremos al espacio de Lorentz-Minkowski E3 1, dando algunas propiedades y resultados propios de este espacio que serán notablemente diferentes al espacio euclídeo, sirviéndonos de base para el estudio de curvas. Para finalizar, en el tecer y último capítulo, nos centraremos en el tema principal de este trabajo, el estudio de curvas, que se desarrollará de manera paralela a como se hizo en la asignatura Geometría Local de Curvas y Superficies del Grado en Matemáticas. En este desarrollo incluiremos ejemplos, así como imágenes de creación propia. Para todo ello, ha sido fundamental el artículo [7], de Rafael López, Catedrático de Geometría y Topología de la Universidad de Granada. Otras fuentes bibliográficas se citan a lo largo del trabajo. Todas ellas se encuentran recogidas en la Bibliografía. Agradecimientos Quería agradecer a mi familia y amigos, por animarme a continuar en la carrera y no dejarme caer, aun estando en la distancia. A mis magnolios, por hacer de Sevilla un hogar. A mis compañeros de clase, por tantas tardes de estudio, y tantos buenos momentos juntos. A mi tutor, Alfonso, por hacer que me apasione por la geometría y por su ayuda inestimable. Pero sobre todo y en especial, a Luis, Herminia y Elena, por todo lo que me han enseñado a lo largo de estos cuatro años y lo feliz que me han hecho. Todo esto no tendría sentido sin vosotros. 9 16 1.2. Teoría local de curvas Teorema 1.2.10 (Teorema fundamental de curvas planas) Sea κ=κ(s)una función continua. Entonces, existe una curva parametrizada regular α: (a, b)−→ E2tal que ses su parámetro natural y κ(s)su curvatura. Además, αes única salvo congruencias de E2. Veamos cómo construir una base ortonormal para αque nos permita estudiar su geometría diferencial con mayor facilidad. Definición 1.2.11 Se llama vector normal de αen α(s)al único vector unitario n(s)y ortogonal a t(s)en dicho punto, y tal que el par (t(s),n(s)) está positivamente orientado. A este par se le llama Referencia de Frenet oDiedro de Frenet de αen α(s), y es una referencia (base) ortonormal directa que se mueve con los puntos de la curva. Esta referencia determina las llamadas ecuaciones de Frenet, que nos permiten calcular, entre otras cosas, la curvatura de α. Teorema 1.2.12 (Ecuaciones de Frenet) Se verifica que: (˙ t(s) = κ(s)n(s), ˙ n(s) = −κ(s)t(s). Con estas ecuaciones, podemos deducir que la curvatura puede calcularse como κ(s) = ˙ t(s)n(s) = −t(s)˙ n(s). De hecho, la curvatura también puede calcularse sin necesidad de parametrizar naturalmente la curva de la siguiente forma: κ(t) = x0(t)y00(t)−x00(t)y0(t) px02(t) + y02(t)3. 1.2.2. Curvas alabeadas Para terminar este primer capítulo de repaso, vamos a recordar los resultados que obteníamos del estudio de una curva alabeada α: (a, b)−→ E3regular parametrizada naturalmente de clase k≥3. En este caso, es claro que la curvatura tendrá otra interpretación, ya que en el caso de las curvas planas tenía signo pues las rectas dividen al plano en dos regiones. Eso no ocurre ahora, por lo que definimos la curvatura de la siguiente forma. Definición 1.2.13 Sea α=α(s)una curva regular parametrizada naturalmente en E3. Se llama curvatura de αa la función κ=κ(s) = |¨α(s)|. Ahora, se sigue verificando que una curva es una recta si y solo si su curvatura es nula en todos los puntos, pero no es cierto que toda curva alabeada con curvatura constante sea una circunferencia. Definición 1.2.14 Se define el vector normal principal aαen un punto α(s0)tal que κ(s0)>0como n(s0) = ¨α(s0) κ(s0), que claramente es unitario y ortogonal a t(s). 1.2. Teoría local de curvas 17 Por su parte, se define el vector binormal de αen un punto α(s0)tal que κ(s0)>0como el vector resultante del producto vectorial b(s0) = t(s0)×n(s0), que por la propia definición es unitario y ortogonal a los vectores t(s0)yn(s0). Así, este trío de vectores forma el llamado Triedro de Frenet, que es una referencia móvil ortonormal y directa de E3en cada punto de la curva. En curvas alabeadas es posible introducir un segundo concepto de curvatura, llamada torsión. Definición 1.2.15 Sea α=α(s)una curva regular parametrizada naturalmente en E3. Se llama torsión de αa la función τ=τ(s)tal que ˙ b(s) = −τ(s)n(s). Además, la torsión verifica la siguiente propiedad. Proposición 1.2.16 Una curva alabeada es plana si y solo si su torsión es idénticamente nula. Por lo tanto, para determinar la geometría de una curva alabeada no solo hay que tener en cuenta su curvatura, sino también su torsión. En este sentido, podemos extender el Teorema fundamental de curvas planas a las curvas alabeadas. Teorema 1.2.17 (Teorema fundamental de curvas alabeadas) Sean κ, τ : (a, b)−→ Rdos funciones κ=κ(s), τ =τ(s)tales que κ(s)>0, para todo s∈(a, b),κ∈ C1), y τcontinua. Entonces, existe una única curva regular parametrizada, salvo movimiento rígido de E3, tal que ses su parámetro natural, κsu curvatura, y τsu torsión. Al igual que en el caso de las curvas planas, gracias al Triedro de Frenet, podemos obtener unas ecuaciones que nos permiten calcular más facilmente las expresiones de las derivadas de los vectores de la base. Teorema 1.2.18 (Ecuaciones de Frenet-Serret) Se verifican las siguientes ecuaciones:    ˙ t(s) = κ(s)n(s), ˙ n(s) = −κ(s)t(s) +τ(s)b(s), ˙ b(s) = −τ(s)n(s). Demostración: Haremos uso del Teorema 1.1.9. En virtud de dicho teorema, podemos escribir: ˙ t(s) = h˙ t(s),t(s)it(s) + h˙ t(s),n(s)in(s) + h˙ t(s),b(s)ib(s)i, ˙ n(s) = h˙ n(s),t(s)it(s) + h˙ n(s),n(s)in(s) + h˙ n(s),b(s)ib(s)i, ˙ b(s) = h˙ b(s),t(s)it(s) + h˙ b(s),n(s)in(s) + h˙ b(s),b(s)ib(s)i. Se puede obtener mediante una sencilla derivación que h˙ t(s),t(s)i=h˙ n(s),n(s)i=h˙ b(s),b(s)i= 0. De hecho, como la tercera ecuación se obtiene de la propia definición de la torsión, podemos deducir que: h˙ b(s),n(s)i=−τ(s),h˙ b(s),t(s)i= 0. Por otro lado, empleando la regla de la derivada del producto se obtiene que (hu, vi)0=hu0, vi+hu, v0i, para todo u, v ∈R3. Como {t(s),n(s),b(s)}es una base ortogonal, se tiene que h˙ b(s),n(s)i=−h˙ n(s),b(s)i=−τ(s),h˙ b(s),t(s)i=−h˙ t(s),b(s)i= 0. 18 1.2. Teoría local de curvas Por lo tanto, solo nos falta calcular h˙ t(s),n(s)i, pues de nuevo se tiene que h˙ t(s),n(s)i=−h˙ n(s),t(s)i. Como por definición n(s) = ¨α(s) κ(s), y teniendo en cuenta que ˙ t(s) = ¨α(s), entonces h˙ t(s),n(s)i=hκ(s)n(s),n(s)i=κ(s), y como dijimos anteriormente h˙ n(s),t(s)i=−κ(s). Por lo tanto, hemos comprobado que calculando la expresión de {˙ t(s),˙ n(s),˙ b(s)}en función del triedro de Frenet obtenemos las ecuaciones de Frenet.  Por último, podemos hacer todo este estudio sin necesidad de parametrizar naturalmente la curva. Los vectores del Triedro de Frenet los calcularíamos como t(t) = α0(t) |α0(t),b(t) = α0(t)×α00(t) |α0(t)×α00(t)|,n(t) = b(t)×t(t), mientras que las curvaturas y la torsión pueden calcularse como κ(t) = |α0(t)×α00(t)| |α0(t)|3 y, suponiendo κ(t)6= 0, τ(t) = (α0(t), α00(t), α000(t)) |α0(t)×α00(t)|2. Capítulo 2 El espacio E3 1de Lorentz-Minkowski En este capítulo vamos a introducir el espacio ambiente sobre el que trabajaremos en adelante: el espacio de Lorentz-Minkowski. Veremos también algunas propiedades importantes del mismo, resaltando las principales diferencias con respecto al espacio euclídeo, y terminaremos destacando un tipo importante de aplicación lineal. Para más información, pueden consultarse [4], [6] y [7]. 2.1. Causalidad Vamos a empezar definiendo el nuevo espacio sobre el que trabajaremos. Definición 2.1.1 Se define el espacio de Lorentz-Minkowski, o simplemente espacio de Minkowski, como el espacio métrico En 1= (Rn,h·i), donde la métrica h·i viene dada por hu, vi= n X i=1 uivi−unvn, u, v ∈Rn. Dicha métrica se conoce como la métrica de Minkowski. Recordemos que el producto escalar es una forma bilineal, simétrica y definida positiva. Por lo tanto, es claro que la métrica de Minkowski no es un producto escalar, pues no verifica la propiedad de ser definido positivo. De hecho, esta métrica es no degenerada e indefinida (i.e., no es ni definida positiva, ni definida negativa). Por lo tanto, con asiduidad hablaremos también de pseudoproducto escalar de Minkowski para referirnos a la métrica de Minkowski. Como veremos más adelante, esta pequeña diferencia con respecto al caso euclídeo provocará grandes diferencias entre ambos. Cabe destacar que, en un sentido físico, interesa trabajar sobre el espacio de Minkowski de dimensión 4, es decir, sobre E4 1. Esto se debe a que se trabaja en un espacio de 3 dimensiones al que se le incorpora una cuarta dimensión que representará el tiempo. En este caso, si consideramos la base canónica B={e1= (1,0,0,0), e2= (0,1,0,0), e3= (0,0,1,0), e4= (0,0,0,1)}, la métrica de Minkowski puede escribirse matricialmente con respecto a la base Bcomo η=    1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 −1    . 19 20 2.1. Causalidad Sin embargo, a lo largo de este proyecto se trabajará sobre E3 1, puesto que al reducir una dimensión, no solo será computacionalmente más sencillo, sino que además podrá ser más fácilmente interpretable de manera visual. Además, el análisis teórico para E3 1es válido para el caso tetradimensional. Una vez hecha esta puntualización, veamos cómo son los elementos de este espacio. Según el signo de su pseudoproducto escalar, podemos clasificar un vector en tres grupos diferentes. Definición 2.1.2 Un vector v∈E3 1se dice que es: 1. Espacial si hv, vi>0ov= 0. 2. Temporal si hv, vi<0. 3. Luminoso si hv, vi= 0 yv6= 0. La causalidad de un vector es la propiedad de ser espacial, temporal, o luminoso. Observación 2.1.3 Los vectores temporales y luminosos también se denominan vectores causales. A los vectores de E3 1también se les conoce como sucesos oeventos. Un suceso u= (u1, u2, u3)puede escribirse como u=u1e1+u2e2+u3e3, donde ei,i= 1,2,3, son los vectores de la base canónica de E3 1. A las coordenadas u1, u2se las conoce como las coordenadas espaciales del suceso, mientras que a la coordenada u3se la denomina la coordenada temporal del suceso. Dado que ahora la métrica de Minkowski no es definida positiva, no podemos tomar la misma definición que dimos para la norma en el caso euclídeo, pues la raíz del pseudoproducto escalar de un vector temporal no existiría. Por ello, redefinimos el concepto de norma de la siguiente manera: Definición 2.1.4 Dado u∈E3 1, se define la norma del vector ucomo |u|=p|hu, ui|. El vector use dice unitario si su norma es 1. Observación 2.1.5 Un vector userá unitario si hu, ui= 1 en el caso de que usea espacial, o hu, ui=−1 en el caso de que usea temporal. Un vector luminoso no puede ser unitario. Notemos que la norma de cualquier vector de E3 1será positiva, al igual que en el caso euclídeo, salvo que tratemos con vectores luminosos. A diferencia del espacio euclídeo, en el espacio de Minkowski existen una infinidad de vectores luminosos que tienen norma cero, sin ser ninguno de ellos el vector nulo (pues este vector es espacial). Con la clasificación que hemos dado de los vectores del espacio de Minkowski, podemos realizar una partición del mismo en función de la causalidad. En efecto, sea C={(x, y, z)∈E3 1:x2+y2−z2= 0}−{(0,0,0)}, 2.1. Causalidad 21 el conjunto de todos los vectores luminosos. A este conjunto se le conoce con el nombre de cono de luz, y es un cono no convexo formado por dos componentes conexas, C+={(x, y, z)∈E3 1:x2+y2−z2= 0, z > 0}, C−={(x, y, z)∈E3 1:x2+y2−z2= 0, z < 0}, que se denominan cono de luz futuro ycono de luz pasado, respectivamente. Al interior del cono de luz T={(x, y, z)∈E3 1:x2+y2−z2<0}, se le denomina cono temporal, ya que es el conjunto de todos los vectores temporales. A diferencia del cono de luz, posee dos componentes conexas que sí son convexas, T+={(x, y, z)∈E3 1:x2+y2−z2<0, z > 0}, T−={(x, y, z)∈E3 1:x2+y2−z2<0, z < 0}, que llamaremos cono temporal pasado ycono temporal futuro. La unión del cono de luz futuro (resp. pasado) y el cono temporal futuro (resp. pasado) constituyen la región futura (resp. región pasada). De este modo, si consideramos el conjunto de vectores espaciales, que denotaremos por E, y que llamaremos región presente, entonces podemos concluir que E3 1=E ∪C, donde Ces la clausura de C. Estos conjuntos pueden considerarse también para el plano de Minkowski E2 1, realizando así también una partición del mismo. (a) Espacio de Minkowski E3 1. (b) Plano de Minkowski E2 1. 2.1.1. Ortogonalidad Vamos a ver ahora cómo construir una base ortonormal para el espacio de Minkowski (o cualquier subespacio del mismo). Recordemos que el ejemplo más sencillo de base ortonormal euclídea era la base canónica B={e1= (1,0,0), e2= (0,1,0), e3= (0,0,1)}. Este ejemplo también es el caso más simple de base en el espacio de Minkowski. Además esta base es ortonormal. Para ello, necesitamos las siguientes definiciones: 22 2.1. Causalidad Definición 2.1.6 Dos vectores u, v ∈E3 1son ortogonales si hu, vi= 0. Definición 2.1.7 Una base se dirá que es ortonormal si todos sus vectores son unitarios y ortogonales dos a dos. Es trivial comprobar que la base Banterior es ortonormal. Además, contienes dos vectores espaciales (e1ye2) y un vector temporal (e3). Este hecho va a ser fundamental para cualquier base ortonormal de E3 1. Esta observación de gran importancia viene recogida en el siguiente teorema, que probamos para cualquier dimensión n: Teorema 2.1.8 El número de vectores temporales en una base ortonormal no depende de la base escogida. A dicho número se le conoce como índice. Demostración: Sea νel número de vectores temporales en una base ortonormal. Supongamos que existe otra base ortonormal B0tal que el número de vectores temporales en ella es ν0< ν. Entonces, la intersección del subespacio U0, formado por los n−ν0vectores espaciales de B0, y el subespacio W, generado por los νvectores temporales de B, tendría dimensión mayor que cero, es decir, existiría un vector u∈U0∩Wtal que hu, ui>0yhu, ui<0, lo cual es una contradicción.  Observación 2.1.9 El índice del espacio de Minkowski es 1. Una vez sabemos cómo son las bases ortonormales en E3 1, veamos el equivalente al Teorema 1.1.9 en el espacio de Minkowski. Teorema 2.1.10 Sea B={u1, . . . , un}una base ortonormal de En 1, donde supongamos que el vector temporal es un. Dado un vector v∈En 1, podemos escribir ven función de las coordenadas de Bcomo: v=hv, u1iu1+···+hv, un−1iun−1−hv, uniun. Demostración: Supongamos dada una base ortonormal B={u1, . . . , un}, donde unes un vector temporal yuies un vector espacial, para todo i= 1, . . . , n−1. Entonces, dado un vector v∈En 1, podemos escribirlo en función de la base Bcomo v= n X i λiui= n−1 X i λiui+λnun. Nuestro objetivo es calcular las coordenadas λi, para todo i= 1, . . . , n. Si consideramos el producto escalar de vcon cualquier vector uj,j= 1, . . . , n −1, tenemos que: hv, uji= n−1 X i λihui, uji+λnhun, uji | {z } = 0 = n−1 X i λiδij =λj, j = 1, . . . , n −1. Por otro lado, calculando el producto escalar de vcon el vector temporal un, llegamos a: hv, uni= n−1 X i λihui, uji | {z } = 0 +λnhun, uni=−λn. Por lo tanto, teniendo en cuenta lo anterior, hemos llegado a la expresión v=hv, u1iu1+···+hv, un−1iun−1−hv, uniun, como queríamos demostrar.  2.1. Causalidad 23 Observación 2.1.11 La elección del vector temporal en la expresión anterior es arbitraria, y puede ser cualquier vector de la base. Para poder definir las bases ortonormales hemos hablado de ortogonalidad. Recordemos que sobre el espacio euclídeo la caracterización de la ortogonalidad entre dos vectores venía dada porque ambos vectores formasen un ángulo de π 2. Sin embargo, en el espacio de Minkowski la noción de ortogonalidad será diferente a la noción euclídea. Por lo tanto, vamos a ver cómo son dos vectores ortogonales en E3 1. Antes de comenzar dicho estudio, veamos algunas propiedades de los vectores luminosos y temporales: Proposición 2.1.12 Se verifica: 1. Dos vectores luminosos u, v ∈E3 1son linealmente dependientes si y solo si hu, vi= 0. 2. Si uyvson dos vectores no espaciales que verifican hu, vi= 0, entonces ambos son luminosos. 3. Si uyvson dos vectores temporales, entonces hu, vi 6= 0. Demostración: Vayamos punto por punto. 1. Supongamos primero que u, v son dos vectores luminosos linealmente dependientes. En tal caso, podemos asumir que v=λu, para un cierto valor λ∈R. Entonces, se tiene que hu, vi=hu, λui=λhu, ui= 0. Supongamos ahora que se verifica que hu, vi= 0, y consideremos B={e1, e2, e3}la base ortonormal canónica. Está claro que si u, v no tuvieran componente en e3, no podrían ser luminosos (de hecho, serían espaciales). Por lo tanto, normalizando la tercera coordenada si fuera necesario, podemos escribir los vectores u, v de la forma: u=a1e1+a2e2+e3, v =b1e1+b2e2+e3. Basta probar ahora que u=v. De las relaciones hu, vi=hu, ui=hv, vi= 0, llegamos a que 1 = a1b1+a2b2=a2 1+a2 2=b2 1+b2 2. Si consideramos los vectores ¯u= (a1, a2),¯v= (b1, b2), como vectores del espacio euclídeo E2, podemos hacer uso de la desigualdad de Cauchy-Schwarz, llegando a que ambos vectores son proporcionales, es decir, ¯u=λ¯v. Como |¯u|=|¯v|= 1, y hu, vi= 0, entonces necesariamente λ= 1, llegando al resultado que queríamos. 2. Supongamos que uno de los dos vectores, por ejemplo u(para vse razonaría de manera análoga) fuera temporal. Entonces considerando su normalización ˜e3=u |u|, podríamos extenderlo a una base ortonormal {˜e1,˜e2,˜e3}de E3 1, en la que, de acuerdo con el Teorema 2.1.8, ˜e1y˜e2han de ser espaciales. Pero como hv, ˜e3i=1 |u|hv, ui= 0, se tendría, aplicando el Teorema 2.1.10, que v∈Span{˜e1,˜e2}, por lo que sería espacial, lo que es una contradicción. 24 2.1. Causalidad 3. Si uyvson dos vectores temporales, entonces hu, vi 6= 0, pues en caso contrario, por el apartado anterior, serían vectores luminosos.  Consideremos ahora un subespacio vectorial U⊂E3 1. Recordemos que la métrica inducida sobre U viene dada por hu, viU=hu, vi, u, v ∈U. De esta forma, podemos clasificar un subespacio vectorial según la métrica que se induce en él: Definición 2.1.13 La métrica inducida en Upuede ser de tres tipos: 1. La métrica tiene índice 1, que denominaremos métrica Lorentziana, y Ues temporal. 2. La métrica es degenerada yUes luminoso. 3. La métrica es Riemanniana, es decir, es definida positiva, y Ues espacial. Al ser la métrica definida positiva en los subespacios espaciales, podemos identificar dichos espacios con los espacios euclídeos. Por esta razón, al no contener la región presente vectores temporales, la métrica inducida sobre este subespacio será definida positiva, por lo que podemos asegurar que la región presente es un subespacio euclídeo. Para los subespacios temporales podemos dar la siguiente caracterización: Proposición 2.1.14 Sea U⊂E3 1un subespacio vectorial de dimensión mayor o igual que 2. Son equivalentes: 1. U es un subespacio temporal. 2. U contiene dos vectores luminosos linealmente independientes. 3. U contiene un vector temporal. Demostración: (1) ⇒(2). Supongamos que Ues un subespacio temporal y consideremos una base ortonormal {e1, . . . , ek}, donde kpodría valer 2 o 3. Entonces, por el Teorema 2.1.8, sabemos que solo uno de los vectores de esta base es temporal. Supongamos que es ek. Así, e1es espacial. Entonces, los vectores e1+ek, e1−ekson dos vectores luminosos, pues he1+ek, e1+eki=he1, e1i+ 2he1, eki+hek, eki= 1 + 0 −1 = 0, y he1−ek, e1−eki=he1, e1i−2he1, eki+hek, eki= 1 + 0 −1 = 0. (2) ⇒(3). Supongamos que u, v son dos vectores luminosos linealmente independientes. Entonces, o bien el vector u+ves temporal, o bien lo es el vector u−v, pues hu+v, u +vi=hu, ui+ 2hu, vi+hv, vi= 2hu, vi, hu−v, u −vi=hu, ui−2hu, vi+hv, vi=−2hu, vi, donde, si usamos la Proposición 2.1.12, sabemos que hu, vi 6= 0, por lo que uno de los vectores anteriores es espacial y otro temporal. (3) ⇒(1). Supongamos que Ucontiene un vector temporal y sea udicho vector. Normalizándolo, podemos extenderlo a una base ortonormal de U, en la que sería el único vector temporal, pues, en 2.1. Causalidad 25 caso contrario, al extender dicha base a una base ortonormal de E3 1, nos encontraríamos con más de un vector temporal en la base, lo que sería contradictorio con el Teorema 2.1.8. Por lo tanto, el índice de Utambién es 1 y Ues un subespacio temporal.  De igual forma, podemos caracterizar los subespacios luminosos, tal y como viene recogido en la siguiente proposición: Proposición 2.1.15 Sea Uun subespacio vectorial de E3 1. Son equivalentes: 1. Ues un subespacio luminoso. 2. Ucontiene un vector luminoso, pero no contiene vectores temporales. Demostración: Es trivial, a la vista del apartado 3 de la Proposición 2.1.14, pues si Ucontuviera algún vector temporal, habría de ser un subespacio temporal.  Notemos que, debido a este resultado, no podemos considerar las bases ortonormales que hemos definido anteriormente sobre los espacios luminosos, ya que al no contener ningún vector temporal, estarían incumpliendo el Teorema 2.1.8. Es por ello que para estos subespacios introducimos el concepto de base nula. Definición 2.1.16 Una base {u1, u2, u3}de E3 1se dice que es una base nula si u1es un vector espacial unitario, y u2, u3son dos vectores luminosos tales que hu1, u2i=hu1, u3i= 0 yhu2, u3i=−1. En particular, los vectores u2, u3pertenecen a la misma componente de C. Las bases nulas son el equivalente a las bases ortonormales en los subespacios luminosos. Por eso, cuando necesitemos tomar bases ortonormales en estos espacios, usaremos las bases nulas. Pasemos ahora a estudiar algo más la ortogonalidad. Al igual que en el caso euclídeo, se define el ortogonal U⊥de un subespacio vectorial U⊂En 1como U⊥={v∈En 1| hv, ui= 0,para todo u∈U}. Además, se dice que Ues no degenerado si U∩U⊥={0}. El caso contrario se obtiene cuando la métrica es degenerada en U, es decir, cuando Ues luminoso. Para comenzar, veamos un primer resultado referente al ortogonal: Proposición 2.1.17 Sea U⊂En 1un subespacio vectorial. Se verifica: 1. dim(U⊥)=n−dim(U). 2. (U⊥)⊥=U. 3. Si ves espacial o temporal, entonces En 1=Span{v}⊕Span{v}⊥. 4. Si Ues no degenerado, entonces U⊥es un subespacio no degenerado. 5. Ues temporal (resp. espacial, luminoso) si y solo si U⊥es espacial (resp. temporal, luminoso). 32 2.3. Isometrías La bilinealidad de la métrica nos asegura la existencia y unicidad del vector u×v. Tomando wen la definición como uno de los vectores hide la base estándar Bede E3, obtenemos la expresión de u×v en coordenadas con respecto a Be, es decir: u×v= i j −k u1u2u3 v1v2v3 Así, si denotamos u×eval producto vectorial euclídeo, entonces u×ves la proyección de u×evcon respecto al plano espacial z= 0. Observemos que si uyvson dos vectores no degenerados, entonces el conjunto B={u, v, u ×v} es una base de E3 1. Sin embargo, y a diferencia del espacio euclídeo, la causalidad de uyvdetermina si la base está positivamente orientada o no. Particularmente, si uyvson espaciales, entonces u×ves temporal y Bestá negativamente orientada, ya que det(u, v, u ×v) = hu×v, u ×vi<0. Si uyvtienen distinta causalidad, entonces Bestará positivamente orientada. 2.3. Isometrías Terminaremos el tema hablando de las isometrías. Recordemos que una aplicación lineal f:V→W es una isometría si hv1, v2iV=hf(v1), f(v2)iWv1, v2∈V, es decir, es una aplicación lineal que conserva las métricas. Recordemos primero el caso euclídeo. En particular, por ser un morfismo, existe una matriz Aque lo define. De hecho, por ser isometría, se tiene que dicha matriz es ortogonal, puesto que estas matrices conservan la norma. Por lo tanto, la matriz de una isometría verifica que A0A=I. Consideraremos el conjunto O(3) de matrices ortogonales reales de E3que, de hecho, tiene estructura de grupo. Este grupo es isomorfo al grupo de isometrías de E3, por lo que también se le conoce como el grupo de isometrías de E3. Puesto que las matrices ortogonales tienen determinante ±1, podemos obtener un subgrupo de O(3) formado por las matrices ortogonales con determinante 1, denotado como SO(3) ⊂O(3) y conocido como grupo ortogonal especial, o simplemente grupo de rotaciones de E3. Dicho grupo está asociado al conjunto de movimientos directos. Topológicamente, O(3) tiene dos componentes conexas, donde SO(3) es la componente que contiene la matriz identidad y, además, es compacta. Algunos ejemplos de isometrías en E3son las rotaciones, las traslaciones o las reflexiones. Después de este pequeño repaso, veamos qué ocurre en el espacio de Minkowski. La definición de isometría no difiere, pues es válida para cualquier métrica, por lo que consideraremos entonces una isometría f:E3 1→E3 1. Sin embargo, en este caso, la matriz ortogonal Ade la isometría fcon respecto a una base ortonormal de E3 1, verifica que A0GA =G, siendo G=  1 0 0 0 1 0 0 0 −1 . Esta diferencia se debe a que el espacio de Minkowski tiene índice 1, por lo que no podemos considerar la matriz identidad, puesto que sus columnas no forman una base ortonormal de E3 1. 2.3. Isometrías 33 De manera análoga al caso euclídeo, llamaremos O1(3) al grupo de todas las isometrías de E3 1. Por tanto, podemos expresar O1(3) como el conjunto de matrices O1(3) = {A∈GL(3,R) : A0GA =G}. En particular, como det(A) = ±1, pues det(G) = −1, podemos deducir que O1(3) tiene al menos dos componentes conexas. De manera análoga, podemos denotar por SO1(3) al conjunto de las isometrías con determinante 1, que llamaremos grupo especial de Lorentz. Dicho conjunto está relacionado con la noción de orientación de E3de la siguiente forma: dada una orientación B∈ B,B0∈ B está positivamente orientada si la matriz Adel cambio de base pertenece a SO1(3). Por lo tanto, parece lógico hacer una distinción entre las matrices ortogonales que preservan la orientación y las que no. Definición 2.3.1 Se define el grupo ortocrono como el grupo O+ 1(3) = {A∈O1(3) : Apreserva la orientación temporal}, donde decimos que Apreserva la orientación temporal si la isometría definida por Alleva bases orientadas hacia el futuro en otra base orientada al futuro, es decir, si a33 >0. El grupo ortocrono tiene también dos componentes, una de las cuales se denomina grupo ortocrono especial de Lorentz, que es la intersección del grupo ortocrono con el grupo especial de Lorentz, es decir, O++ 1(3) = O+ 1(3) ∩SO1(3). Esto prueba entonces que O1(3) tiene exactamente cuatro componentes conexas, a diferencia del espacio euclídeo E3, que tiene exactamente dos componentes conexas, siendo una de ellas el grupo de rotaciones SO(3). Otra diferencia reside en el grupo ortocrono especial de Lorentz O++ 1(3) ya que, desde el punto de vista topológico, no es un conjunto compacto, a diferencia del subgrupo SO(3) ⊂O(3) del espacio euclídeo, que sí lo es. Las otras tres componentes conexas de O1(3) se obtienen de combinar el valor de su determinante (1 ó -1) con la propiedad de si preservan la orientación temporal o no. De este modo, se obtienen las componentes: O+− 1(3) = {A∈SO1(3) : a33 <0}, O−+ 1(3) = {A∈O+ 1(3) : det(A) = −1}, O−− 1(3) = {A∈O1(3) : det(A) = −1, a33 <0}. Todas estas cuatro componentes se pueden expresar fácilmente en función del grupo ortocrono especial de Lorentz a través de las isometrías T1, T2de E3 1definidas por: T1=  1 0 0 0−1 0 0 0 1  , T2=  1 0 0 0 1 0 0 0 −1 . Entonces, las componentes de O1(3) pueden expresarse como O+− 1(3) = T2·T1·O++ 1(3), O−+ 1(3) = T1·O++ 1(3), O−− 1(3) = T2·O++ 1(3). No obstante, no hemos dado una demostración rigurosa que asegure la existencia de dichas componentes. Sin embargo, esto puede probarse fácilmente si nos restringimos al plano de Minkowski E2 1. 34 2.3. Isometrías Veamos cómo: Consideremos una isometría cualquiera dada por una matriz Ade la forma A=a b c d ∈O1(2). Veamos qué forma puede tener A. Por ser Ala matriz de una isometría, en particular es una matriz ortogonal, luego verifica que A0GA =G, donde en este caso, G=1 0 0−1. De esta forma, realizando el producto de matrices llegamos a las siguientes tres ecuaciones: a2−c2= 1, b2−d2=−1, ab −cd = 0. Si observamos detenidamente las dos primeras ecuaciones, podemos darnos cuenta que se corresponden con las ecuaciones de dos hipérbolas cuyos ejes focales son perpendiculares. Figura 2.3: Hipérbolas de ecuaciones x2−y2= 1 yx2−y2=−1. Luego, por tanto, dando las respectivas soluciones para estas hipérbolas, y combinándolas con las posibles soluciones de la tercera ecuación, obtendremos las cuatro componentes que buscamos. 1. Una solución para la primera ecuación es a= cosh(t), c = sinh(t), mientras que para la segunda ecuación podemos considerar las dos soluciones siguientes: a) Una primera solución es b= sinh(s), d = cosh(s). Entonces, considerando la tercera ecuación podemos concluir que s=t. b) La otra solución es b= sinh(s), d =−cosh(s), y por la tercera ecuación podemos concluir que s=−t. 2. La otra solución de la primera ecuación es a=−cosh(t), c = sinh(t). De nuevo, para la segunda ecuación podemos considerar las dos soluciones siguientes: a) Una solución es b= sinh(s), d = cosh(s), que combinándola con la tercera ecuación podemos concluir que s=−t. b) La otra solución es b= sinh(s), d =−cosh(s), y por la tercera ecuación podemos concluir que s=t. 2.3. Isometrías 35 Por lo tanto, hemos obtenido cuatro isometrías diferentes que vienen dadas por las matrices cosh(t) sinh(t) sinh(t) cosh(t),cosh(t)−sinh(t) sinh(t)−cosh(t), −cosh(t)−sinh(t) sinh(t) cosh(t),−cosh(t) sinh(t) sinh(t)−cosh(t). Cada una de estas isometrías ejerce de representante de cada una de las componente de O1(2), puesto que cada una pertenece a una única componente. En concreto, y siguiendo el orden en el que aparecen, pertenecen a O++ 1(2), O−− 1(2), O−+ 1(2), O+− 1(2). Esto prueba la existencia de las cuatro componentes de O1(2). Recordemos que en el caso euclídeo, la matriz Ade una isometría de E2verifica que A0GA =G, con G=1 0 0 1 , luego las ecuaciones que obtenemos son a2+c2= 1, b2+d2= 1, ab +cd = 0. Ahora, las dos primeras ecuaciones se corresponden con las ecuaciones de la circunferencia unidad S1, luego al combinarlas con la tercera ecuación como hicimos anteriormente, obtenemos las dos componentes conexas de O(2). Esto explica la diferencia fundamental del grupo de isometrías del espacio euclídeo con respecto al del espacio de Minkowski. 36 2.3. Isometrías Capítulo 3 Curvas en el espacio de Minkowski. Vamos a desarrollar la teoría de curvas en el espacio de Minkowski y a poner de manifiesto así las diferencias y semejanzas que existen con la teoría de curvas que repasamos en el primer capítulo. Como hemos venido haciendo a lo largo de todo este trabajo, nos basaremos en los resultados obtenidos en [7]. 3.1. Teoría local de curvas en el espacio de Minkowski. La definición de una curva regular en el espacio de Minkowski es la misma que la escrita en la Definición 1.2.1, donde en este caso el espacio de llegada es E3 1. Vamos a empezar hablando de curvas alabeadas, aunque puntualmente haremos algunas menciones a curvas planas. Como ocurría con los vectores, las curvas en E3 1también tienen causalidad, que vendrá determinada por su vector velocidad α0(t). Definición 3.1.1 Una curva αen E3 1se dice que es: 1. Espacial en t, si α0(t)es un vector espacial. 2. Temporal en t, si α0(t)es un vector temporal. 3. Luminosa en t, si α0(t)es un vector luminoso. La curva se dirá espacial (resp. temporal, luminosa) si es espacial (resp. temporal, luminosa) para todo t∈I. Observación 3.1.2 Toda curva temporal o luminosa es regular, ya que el vector nulo es un vector espacial. Notemos que una curva en E3 1puede no ser de ningún tipo de los descritos en la definición anterior, sino que puede tener una causalidad diferente en distintos intervalos. Veamos un ejemplo: Ejemplo 3.1.3 Sea α:R→E3 1la curva definida por α(t) = sin(t),cos(t),t2 2. Dado que α0(t) = (cos(t),−sin(t), t), se tiene que αes regular y, además, hα0(t), α0(t)i= 1 −t2, por lo que la curva es espacial en el intervalo (−1,1),temporal en (−∞,−1) ∪(1,∞), y luminosa en {−1,1}. Además, notemos que |α0(±1)|= 0, pero αes regular en todo Ry, en particular, lo es en ±1. 37 38 3.1. Teoría local de curvas en el espacio de Minkowski. Figura 3.1: Gráfica de la curva α(t)sobre el cono temporal futuro. La condición de ser espacial (o temporal) es una propiedad local, es decir, si αes una curva espacial (o temporal) en t0∈I, entonces existe un intervalo (t0−δ, t0+δ)alrededor de t0donde αes espacial (o temporal). Esto se debe a que, dado t0∈I, si hα0(t0), α0(t0)i 6= 0, por continuidad se puede asegurar la existencia de un intervalo alrededor de t0donde hα0(t), α0(t)itiene el mismo signo que en t=t0. Vamos a ver algunos ejemplos de la causalidad de algunas curvas planas comúnmente conocidas. Ejemplo 3.1.4 Consideremos las siguientes curvas planas contenidas en un plano afín de E3 1y estudiemos su causalidad: 1. La recta que pasa por un punto pde ecuación α(t) = p+tv, p, v ∈E2 1, v 6= 0, tiene la misma causalidad que el vector v, ya que su vector velocidad es α0(t) = v. Figura 3.2: Causalidad de rectas en E2 1. En la Figura 3.2 podemos observar las rectas luminosas α1(t)=(t, −t), α2(t)=(t, t), puesto que sus respectivos vectores tangentes son α0 1(t) = (1,−1), α0 2(t) = (1,1), la recta α3(t) = (2t, t)que es espacial, ya que su vector tangente es α0 3(t) = (2,1), y la recta temporal α4(t)=(t, 2t), con su respectivo vector tangente α0 4(t) = (1,2). 2. La circunferencia unidad α(t) = (cos t, sin t, 0) sobre el plano espacial z= 0, es una curva espacial, ya puesto que su vector velocidad α0(t)=(−sin t, cos t, 0) verifica hα0(t), α0(t)i= cos2t+sin2t= 1, para todo t∈I, luego es un vector espacial. 3.1. Teoría local de curvas en el espacio de Minkowski. 39 3. La parábola α(t) = (t, t2, t2)sobre el plano luminoso y−z= 0 es una curva espacial, ya que α0(t) = (1,2t, 2t)yhα0(t), α0(t)i= 1, para todo t∈I. 4. Las hipérbolas α1(t) = (0, r sinh t, r cosh t), α2(t) = (0, r cosh t, r sinh t)son, respectivamente, espacial y temporal sobre el plano temporal x= 0, ya que sus respectivos vectores velocidad son α0 1(t) = (0, r cosh t, r sinh t), α0 2(t) = (0, r sinh t, r cosh t), lo que conduce a hα0 1(t), α0 1(t)i=r2(cosh2t−sinh2t) = r2>0, hα0 2(t), α0 2(t)i=r2(sinh2t−cosh2t) = −r2<0. Figura 3.3: Gráfica de la hipérbola espacial α1(t)y de la hipérbola temporal α2(t)sobre el plano E2 1. En particular, la circunferencia es una curva cerrada plana de periodo 2π. Este tipo particular de curvas tienen una teoría muy amplia en el espacio euclídeo que incluye varios resultados clásicos importantes, como, por ejemplo, la desigualdad isoperimétrica (por la cual podemos concluir que la circunferencia es la única curva que maximiza el área), o el Teorema de los cuatro vértices. Recordemos la noción de curva cerrada plana. Definición 3.1.5 Una curva α:R→E3 1se dice que es una curva cerrada si es una curva parametrizada que es periódica, es decir, existe un valor mínimo T > 0tal que α(t+T) = α(t), para todo t∈I. En particular, la traza de dicha curva es un conjunto compacto. Nos preguntamos ahora entonces cómo se comportan las curvas cerradas planas en el espacio de Minkowski. Vamos a empezar viendo cómo la causalidad de una curva en E3 1impone restricciones sobre las curvas cerradas planas. Teorema 3.1.6 Sea αuna curva regular cerrada en E3 1contenida en un plano P. Si αes espacial, entonces Pes un plano espacial. Demostración: Por reducción al absurdo, supongamos que el plano Pno es espacial. Entonces, podemos distinguir dos casos en función de la causalidad de P: 1. El plano Pes temporal. Podemos asumir sin pérdida de generalidad que el plano Pes el plano de ecuación x= 0. Entonces, como αestá en P, podemos escribir la expresión de α(t)como α(t) = (0, y(t), z(t)). Usando que αes periódica, se tiene que la función y:R→Res también periódica, por lo que tiene un máximo en algún punto t0, por lo que y0(t0) = 0, y por tanto, α0(t0) = (0,0, z0(t0)). Por ser αregular, z0(t0)6= 0 y entonces αsería una curva temporal en t=t0, lo cual es una contradicción con el hecho de que αes espacial. 40 3.1. Teoría local de curvas en el espacio de Minkowski. 2. El plano Pes luminoso. Supongamos sin pérdida de generalidad que Pes el plano y−z= 0. Entonces, α(t)=(x(t), y(t), y(t)). Por un razonamiento análogo al anterior, x:R→Res una función periódica, y por tanto tiene un máximo en algún punto t0. Por tanto, x0(t0)=0, y de esta forma, α0(t0) = (0, y0(t0), y0(t0)). Como αes regular, y0(t0)6= 0, lo que implica que α0(t0)es luminoso, lo cual es una contradicción. Por tanto, la única posibilidad es que Psea espacial.  Notemos que con este Teorema no estamos diciendo que si αes una curva regular cerrada temporal (o luminosa) en un plano P, esto implique que Psea temporal (o luminoso). De hecho, esta posibilidad no existe, ya que, mediante una isometría, podemos llevar una curva cerrada contenida en un plano, en una curva cerrada en E2, por lo que podemos concluir que la teoría de curvas cerradas en E3 1es la misma que la de curvas cerradas en E2. Siguiendo esta idea, podemos enunciar el siguiente resultado. Teorema 3.1.7 No existen curvas cerradas en E3 1que sean temporales o luminosas. Demostración: Por reducción al absurdo, supongamos que αes una curva cerrada. En particular, z=z(t) es periódica, por lo que existe un t0tal que z0(t0) = 0. Entonces hα0(t0), α0(t0)i=x0(t0)2+y0(t0)2≥0, lo cual es una contradicción si αes temporal. Pero si αes luminoso, entonces x0(t0) = y0(t0)=0, con lo que α0(t0)=0, lo cual es una contradicción, ya que αes regular.  Observación 3.1.8 Podemos reescribir el Teorema 3.1.6 como sigue: si αes una curva regular cerrada en E3 1contenida en un plano P, entonces Pes espacial. Volviendo a las curvas alabeadas, vamos a ver algunos ejemplos de estas curvas en E3 1. Ejemplo 3.1.9 f 1. La curva α(t) = (ht, r sinh t, r cosh t), con h6= 0,r > 0, es una curva espacial contenida en el cilindro hiperbólico de ecuación y2−z2=−r2, pues el pseudoproducto escalar de su vector velocidad es hα0(t), α0(t)i=h2+r2. Figura 3.4: La curva α(t)sobre el cono temporal futuro, con h= 2, r = 1. 3.1. Teoría local de curvas en el espacio de Minkowski. 41 2. La curva α(t)=(ht, r cosh t, r sinh t), con h2−r2<0(resp. h2+r2>0, h2+r2= 0), es una curva temporal (resp. espacial, luminosa) ya que su vector velocidad es α0(t) = (h, r sinh t, r cosh t), y verifica hα0(t), α0(t)i=h2−r2. Figura 3.5: La curva α(t), para h=−1,6, r = 1. 3. La curva α(t) = (cosh rt, rt, sinh rt)tiene como vector tangente a α0(t) = (rsinh rt, r, r cosh rt), que es un vector luminoso, para todo t∈I. Luego la curva αes luminosa. Figura 3.6: La curva α(t), para r= 1,5. Recordemos que una curva regular en el espacio euclídeo es localmente el grafo de dos funciones diferenciables definidas en un eje de coordenadas de R3. Esto se debe a la regularidad de la curva, como consecuencia del Teorema de la función inversa, por lo que dicha propiedad no depende de la métrica. De hecho, en E3 1la causalidad de la curva nos determina sobre qué eje están definidas las dos funciones anteriores. De esta forma, podemos dar el siguiente resultado. Proposición 3.1.10 Sea α:I→E3 1una curva temporal o luminosa y t0∈I. Entonces, existen  > 0 y dos funciones diferenciables f, g :J⊂R→Rtales que t=φ(s)yβ(s) = α(φ(s)) = (f(s), g(s), s). Demostración: Si escribimos α(t) = (x(t), y(t), z(t)), por ser αtemporal o luminosa se tiene que x0(t)2+y0(t)2−z0(t)2≤0, 48 3.2. El triedro de Frenet. Curvatura y torsión. es decir,    ˙ t(s) = κ(s)n(s), ˙ n(s) = κ(s)t(s) +τ(s)b(s), ˙ b(s) = τ(s)n(s). 3. El vector ˙ t(s)es luminoso. Al ser ˙ t(s)luminoso, no tiene sentido hablar de curvatura, pues |˙ t(s)|= 0,aunque esto no quiere decir que todas estas curvas sean rectas. Por tanto, al no haber una noción de curvatura, definiremos el vector normal de la curva como n(s) = ˙ t(s). Al ser luminoso, no podremos construir una base ortonormal como en los otros casos, pues éstas no contienen vectores luminosos. En su lugar, buscaremos un vector b(s)luminoso (que además será único), de tal forma que sea ortogonal a t(s)y verifique que hn(s),b(s)i=−1. De esta forma, el conjunto {t(s),n(s),b(s)}constituye una base nula que, a priori, no sabemos si está positivamente orientada o no. Además, para estas curvas la noción de torsión es distinta a la conocida hasta ahora, aunque su expresión sí es la habitual. Definición 3.2.5 Sea α(s)una curva espacial cuyo vector normal n(s)es luminoso. Entonces, se define la pseudo-torsión de α(s)como τ(s) = −h˙ n(s),b(s)i. Aunque la expresión es la misma que en otros casos, como veremos más adelante, existen diferencias con la noción de torsión que conocemos de E3. Por último, podemos calcular sus ecuaciones de Frenet. Al no ser una base ortonormal, no podemos hacer uso del Teorema 2.1.10, por lo que calcularemos las coordenadas de cada vector directamente. Para la primera ecuación, tenemos que ˙ t(s) = n(s). Por otro lado, podemos expresar ˙ n(s)y˙ b(s)como ˙ n(s) = λ1(s)t(s) + µ1(s)n(s) + ν1(s)b(s), ˙ b(s) = λ2(s)t(s) + µ2(s)n(s) + ν2(s)b(s), donde λi, µi, νi∈R. La idea es multiplicar ambas expresiones por los vectores de la base y así conseguir una expresión para sus coordenadas. Por tanto, se obtiene que: ht(s)˙ n(s)i=λ1(s), hn(s)˙ n(s)i=−ν1(s), hb(s)˙ n(s)i=−µ1(s), ht(s)˙ b(s)i=λ2(s), hn(s)˙ b(s)i=−ν2(s), hb(s)˙ b(s)i=−µ2(s), 3.2. El triedro de Frenet. Curvatura y torsión. 49 donde hemos usado que t(s)es a ortogonal a n(s)yb(s), y que hn(s),b(s)i=−1.Por una parte, como n(s)yb(s)son luminosos, se obtiene fácilmente que h˙ n(s),n(s)i=h˙ b(s),b(s)i= 0, por lo que tenemos que ν1(s) = µ2(s) = 0, para todo s. Por otro lado, como ht(s),n(s)i= 0, entonces se tiene que h˙ t(s),n(s)i+h˙ n(s),t(s)i= 0,(3.2.1) pero como h˙ t(s),n(s)i=hn(s),n(s)i= 0, entonces h˙ n(s),t(s)i= 0, y en particular, λ1(s)=0, para todo s. Por el mismo razonamiento que hemos usado para obtener 3.2.1, obtenemos que h˙ b(s),t(s)i+h˙ t(s),b(s)i= 0, y en este caso, h˙ t(s),b(s)i=hn(s),b(s)i=−1, por lo que h˙ b(s),t(s)i= 1, y en particular, λ2(s) = 1, para todo s. Por último, por la definición de la pseudo-torsión, podemos obtener que µ1(s) = τ(s),ν2(s) = −τ(s), por lo que las ecuaciones son ˙ n(s) = −τ(s)n(s), ˙ b(s) = t(s) + τ(s)b(s). Resumiendo, las ecuaciones de Frenet para las curvas espaciales con vector normal luminoso vienen dadas por el sistema   ˙ t ˙ n ˙ b =  0 1 0 0τ0 1 0 −τ   t n b , o equivalentemente,    ˙ t(s) = n(s), ˙ n(s) = −τ(s)n(s), ˙ b(s) = t(s)−τ(s)b(s). Observación 3.2.6 Recordemos que la causalidad de un vector no tiene por qué ser la misma en todo el intervalo, sino que puede ir variando en función del valor de s. Eso supone que el triedro de Frenet para curvas espaciales variará también en función del valor de s, pues el vector normal puede ser espacial, temporal o luminoso. Por ello, para hacer el estudio anterior hemos supuesto que la causalidad de ¨α(s) es siempre la misma. 3.2.3. Curvas luminosas. Por último, vamos a estudiar el caso de las curvas luminosas. Dado que t(s)es un vector luminoso, obtendremos resultados similares a los obtenidos para curvas espaciales con vector normal luminoso. Definimos entonces el vector normal como n(s) = ˙ t(s), que en este caso es espacial. Para este tipo de curvas, al no poder construir una base ortonormal, buscamos una base nula, por lo que el vector binormal será el único vector luminoso b(s)que es ortogonal a n(s)y verifica que ht(s),b(s)i=−1. De esta forma, el conjunto {t(s),n(s),b(s)}es una base nula de E3 1. En este caso, tampoco hablaremos de curvatura aunque, de nuevo, esto no quiere decir que las curvas luminosas sean únicamente rectas. Más adelante veremos algunos ejemplos de curvas luminosas que no son rectas. En este caso, no damos la noción de torsión, sino que al igual que en las curvas espaciales con vector normal luminoso, hablamos de pseudo-torsión. 50 3.2. El triedro de Frenet. Curvatura y torsión. Definición 3.2.7 Sea α(s)una curva luminosa. Se define la pseudo-torsión de α(s)como τ(s) = −h˙ n(s),b(s)i. El cálculo de las ecuaciones de Frenet es totalmente análogo al anterior. De nuevo, la primera ecuación es ˙ t(s) = n(s), mientras que para las otras dos tenemos de nuevo las expresiones ˙ n(s) = λ1(s)t(s) + µ1(s)n(s) + ν1(s)b(s), ˙ b(s) = λ2(s)t(s) + µ2(s)n(s) + ν2(s)b(s), con λi, µi, νi∈R. Multiplicamos por los vectores de la base, obteniendo el sistema ht(s)˙ n(s)i=−ν1(s), hn(s)˙ n(s)i=µ1(s), hb(s)˙ n(s)i=−λ1(s), ht(s)˙ b(s)i=−ν2(s), hn(s)˙ b(s)i=µ2(s), hb(s)˙ b(s)i=−λ2(s). Por la misma razón de antes λ2(s) = µ1= 0, para todo s, y por la definición de la pseudo-torsión, se tiene que λ1=τ(s)yµ2(s) = τ(s). Haciendo el mismo procedimiento que en la ecuación (3.2.1), obtenemos que h˙ t(s),n(s)i+h˙ n(s),t(s)i= 0, h˙ t(s),b(s)i+h˙ b(s),t(s)i= 0. Como h˙ t(s),n(s)i=hn(s),n(s)i= 1 por un lado, y h˙ t(s),b(s)i=hn(s),b(s)i= 0, deducimos que ν1= 1 yν2= 0. Por tanto, las ecuaciones son ˙ n(s) = τ1(s)t(s) + b(s), ˙ b(s) = τ2(s)n(s). En resumen, matricialmente las ecuaciones de Frenet son   ˙ t ˙ n ˙ b =  0 1 0 τ0 1 0τ0   t n b , o equivalentemente,    ˙ t(s) = n(s), ˙ n(s) = τ(s)t(s) +b(s), ˙ b(s) = τ(s)n(s). Observación 3.2.8 No todos los autores coinciden en los conceptos dados para curvas luminosas, ya que la elección de la base nula de Frenet no es única. 3.2. El triedro de Frenet. Curvatura y torsión. 51 Una vez hemos visto los triedros de Frenet (o su base nula) de una curva de cada causalidad, vamos a calcular el triedro de Frenet de algunas curvas que vimos en el Ejemplo 3.1.9, así como de otras curvas que tienen cierto interés. Ejemplo 3.2.9 1. Sea la curva espacial α(t)=(ht, r sinh t, r cosh t), con h6= 0, r > 0. Tenemos que parametrizar naturalmente la curva mediante la reparametrización t7→ s √h2+r2, pues recordemos que |α0(t)|=h2+r2. Así, la curva queda parametrizada naturalmente como α(s) = hs √h2+r2, r sinh s √h2+r2, r cosh s √h2+r2. Sus vectores derivadas son ˙α(s) = t(s) = 1 √h2+r2h, r cosh s √h2+r2, r sinh s √h2+r2, ¨α(s) = ˙ t(s) = r h2+r20,sinh s √h2+r2,cosh s √h2+r2. Luego ˙ t(s)es temporal, por lo que κ(s) = q−h˙ t(s),˙ t(s)i=r h2+r2y su vector normal es n(s) = ¨α(s) κ(s)=0,sinh s √h2+r2,cosh s √h2+r2, Por último, su vector binormal es b(s) = 1 h2+r2r, h cosh s √h2+r2, h sinh s √h2+r2, con lo que tenemos ya formado el triedro de Frenet y podemos obtener el valor de la torsión τ=h h2+r2. 2. Sea la curva regular parametrizada naturalmente α(s) = rcos s r, r sin s r,0, que es una circunferencia euclídea contenida en el plano espacial z= 0. Podemos entonces calcular directamente su vector tangente t(s) = −sin s r,cos s r,0,˙ t(s) = 1 r−cos s r,−sin s r,0. Podemos concluir entonces que α(s)es una curva espacial con vector normal espacial y que su curvatura es κ(s) = 1 r. Para terminar de completar el triedro, obtenemos los vectores normal y binormal n(s) = −cos s r,−sin s r,0,b(s) = (0,0,−1). Por tanto, la base {t(s),n(s),b(s)}no está ni positivamente orientada ni dirigida al futuro, como dijimos al principio de la sección. Por último, del hecho de que ˙ b(s) = 0, y usando las ecuaciones de Frenet, podemos concluir que su torsión τ= 0. 52 3.2. El triedro de Frenet. Curvatura y torsión. 3. Consideremos la curva αdada por α(t) = (2t, 1−t2,−1−t2). Como se tiene que α0(t) = (2,−2t, −2t), la curva es espacial. Además, α00(s) = (0,−2,−2), que es luminoso, luego la curva es espacial con vector normal luminoso, pues la causalidad del vector no depende de la parametrización. Como |α0(s)|= 2, reparametrizamos la curva por su pseudoparametrización natural mediante el cambio t7→ s 2. De esta forma, obtenemos la curva α(s) = s, 1−s2 4,−1−s2 4. Ya podemos obtener la base nula de Frenet, que viene dada por los vectores t(s) = 1,−s 2,−s 2,n(s) = ˙ t(s) = 0,−1 2,−1 2,b(s) = s, 1−s2 4,−1−s2 4. Como ˙ n(s)=0, podemos concluir que la pseudo-torsion es τ= 0. Notemos que esta curva es plana, pues está incluida en el plano de ecuacion y−z= 2. 4. Sea la curva α(s) = r0,cosh s r,sinh s r. Esta curva es la parametrización por su longitud de arco de la curva α(t) = r(0,cosh t, sinh t), que vimos en el Ejemplo 3.1.4. Por tanto, la curva es temporal y su vector tangente es t(s) = 0,sinh s r,cosh s r. Podemos entonces calcular su curvatura: ˙ t(s) = 1 r0,cosh s r,sinh s r, por lo que κ(s) = 1 r. Ya podemos calcular el triedro de Frenet: n(s) = 0,cosh s r,sinh s r,b(s) = (−1,0,0). Podemos finalizar diciendo que su torsión es τ= 0. Observemos que esta curva es plana. 5. Sea la curva luminosa α(s) = 1 r2(cosh rs, rs, sinh rs). Sabemos que su vector tangente es t(s) = 1 r(sinh rs, 1,cosh rs), por lo que podemos calcular los vectores normal y binormal n(s) = (cosh rs, 0,sinh rs),b(s) = r 2(sinh rs, −1,cosh rs). Así, su pseudo-torsion es τ=−r2 2. 3.2. El triedro de Frenet. Curvatura y torsión. 53 Con estas nociones, al igual que hicimos en el espacio euclídeo, en E3 1podemos definir una fórmula para calcular la curvatura y la torsión de una curva sin necesidad de que ésta esté parametrizada naturalmente. Nos centraremos en las curvas de Frenet, aunque el resultado para la pseudo-torsión es totalmente análogo. Sea entonces αuna curva regular, y β=α◦φsu parametrización por longitud de arco, que supondremos que es una curva de Frenet. Entonces, es claro que se tiene κα(t) = κβ◦φ−1, τα=τβ◦φ−1, que no depende de la reparametrización, salvo en algunos casos en el signo de τ. Teniendo en cuenta esto, y las ecuaciones de Frenet generalizadas para curvas de Frenet, podemos deducir análogamente al caso euclídeo que κα(t) = |α0(t)×α00(t)| |α0(t)|3, τα(t) = −δdet(α0(t), α00(t), α000(t)) |α0(t)×α00(t)|2. 3.2.4. Teorema fundamental de curvas alabeadas en E3 1 En E3vimos un resultado de existencia y unicidad para la torsión y la curvatura, el Teorema fundamental de curvas alabeadas. Vamos a ver que este resultado también existe en E3 1pero con algunas restricciones, y vamos a estudiar algunas propiedades de la torsión para finalizar la teoría de curvas alabeadas. Empecemos primero con la definición de curva de Frenet. Definición 3.2.10 Se llama curva de Frenet a las curvas temporales y a las curvas espaciales con vector normal espacial o temporal. Además, las ecuaciones de Frenet de estas curvas tienen una única forma:   ˙ t ˙ n ˙ b =  0κ0 −δκ 0τ 0τ 0   t n b , donde =ht(s),t(s)i, y δ=hn(s),n(s)i. Observación 3.2.11 Supondremos que las curvas de Frenet están parametrizadas naturalmente. Para las curvas luminosas y espaciales con vector normal luminoso también puede darse una generalización de las ecuaciones de Frenet:   ˙ t ˙ n ˙ b =  0 1 0 δτ τ δ  δτ −τ    t n b , donde en este caso , δ ∈ {0,1}, y además 6=δ. Así, la torsión es τ(s) = −δh˙ n(s),b(s)i. Recordemos que en el espacio euclídeo, la torsión mide hasta qué punto una curva es plana de tal manera que una curva es plana si y sólo si su torsión es nula. Esta propiedad se mantiene en el espacio de Minkowski para curvas de Frenet. Proposición 3.2.12 Sea α:I−→ E3 1una curva de Frenet parametrizada naturalmente. Entonces, α(s)es plana si y solo si su torsión es idénticamente nula. 54 3.2. El triedro de Frenet. Curvatura y torsión. Como las curvas de E3son un caso particular de curvas de Frenet, parece claro que la demostración para el caso del espacio de Minkowski es idéntica a la estudiada en la asignatura de Geometría Local de Curvas y Superficies, por lo que la omitiremos. Para las curvas luminosas y espaciales con vector normal luminoso obtenemos un resultado similar, aunque en este caso obtendremos una segunda condición. Proposición 3.2.13 Sea α(s)una curva luminosa o curva espacial con vector normal luminoso pseudoparametrizada naturalmente. Se verifica: 1. Si la pseudo-torsion es cero, entonces la curva es plana. 2. Si la curva luminosa es plana, entonces es una recta, mientras que si es una curva espacial con vector normal luminoso, entonces la condición anterior es necesaria pero no suficiente, es decir, existen curvas espaciales con vector normal luminoso que son planas pero cuya psuedo-torsión no es cero. Demostración: 1. Si τ= 0, entonces ˙ n(s) = 0, pues recordemos que el vector binormal forma parte de la base nula y, por tanto, no puede ser el vector nulo. De esta forma, se tiene que n(s) = v∈E3 1,v6= 0, para todo s. Tomando s0∈I, definimos la función f(s) = hα(s)−α(s0), vi. Entonces, f(s0)=0yf0(s) = ht(s), vi= 0, lo que implica que f(s)es constante y, por tanto, α(s) es una curva plana. 2. Veamos primero el resultado para curvas luminosas. Sea α(s)una curva luminosa plana. Entonces, esta curva está contenida en un plano temporal o luminoso. En el primer caso sabemos, por la Proposición 2.1.14, que solo hay dos vectores luminosos linealmente independientes, mientras que en el segundo caso solo hay un único vector luminoso, por la Proposición 2.1.15. Esto implica que t(s)es proporcional a una dirección fija, lo que hace que α(s)sea una recta. Para el caso de las curvas espaciales con vector normal luminoso basta con ver un contraejemplo. Sea la curva α(s) = s, s3 3,s3 3, que está contenida en el plano de ecuación y−z= 0. Para calcular la pseudo-torsión necesitamos la base nula de Frenet, que viene dada por t(s) = (1, s2, s2),n(s) = (0,2s, 2s),b(s) = s 2,−1 4s,−1 4s, donde hemos usado que ˙ n(s) = (0,2,2). Por tanto, αes una curva espacial con vector normal luminoso. Si calculamos la pseudo-torsión obtenemos que τ(s) = 1 s, que es distinta de cero para todo s, mientras que αes una curva plana.  Este resultado explica por qué tenemos el concepto de pseudo-torsión y no de torsión para curvas luminosas y espaciales con vector normal luminoso. Aun así, la pseudo-torsión también cumple que es invariante bajo movimientos rígidos. El siguiente resultado nos será útil cuando enunciemos el equivalente al Teorema fundamental de curvas alabeadas en E3 1. 3.2. El triedro de Frenet. Curvatura y torsión. 55 Teorema 3.2.14 Para las curvas de Frenet, la curvatura es invariante bajo movimientos rígidos, y la torsión es invariante bajo este tipo de movimiento salvo signo, que dependerá si es un movimiento directo o indirecto. En el caso de las curvas luminosas y espaciales con vector normal luminoso, se tiene que la pseudotorsión es invariante bajo movimientos rígidos, con independencia de que éste sea directo o indirecto. Demostración: Sea Mx =Ax +bun movimiento rígido, con A∈O1(3) (porque los movimientos son un caso particular de isometría), b∈E3 1, y además β=M◦α. La prueba para el caso de las curvas de Frenet es la misma que en el caso euclídeo, aunque en este caso no la omitiremos. Supongamos entonces primero que αes una curva de Frenet. Entonces, la relación entre los respectivos triedros de Frenet es tβ=Atα,nβ=Anα,bβ=±Abα, donde el signo de bαdepende de si Mes un movimiento directo o indirecto, es decir, del signo de det(A). Con estas relaciones, es claro que κα=κβyτβ=±τα. Supongamos ahora que αes una curva espacial con vector normal luminoso. Entonces tβ=Atα, y por tanto, t0 β=At0 αes luminoso, lo que implica también que nβ=t0 β=At0 α=Anα. Por la construcción de la base nula de Frenet, el vector Abαes luminoso y ortogonal a tβ, por lo que hAbα,nβi=hAbα, Anαi=−1, y así, bβ=Abα. Esto hace que τβ=−hn0 β,bβi=−hAn0 α, Abαi=τα. El caso en que αsea una curva luminosa es el más sencillo de todos, pues entonces β=M◦αes una curva luminosa pseudo-parametrizada naturalmente y se obtiene directamente que tβ=Atα,nβ=Anα,bβ=Abα, lo que prueba que τα=τβ. Finalmente, vamos a ver el equivalente al Teorema fundamental de curvas alabeadas en el espacio de Minkowski. Recordemos que este Teorema nos daba un resultado de existencia y unicidad. En el espacio de Minkowski, el resultado de existencia se mantendrá, aunque con pequeños matices, al igual que en el espacio euclídeo, independientemente de la causalidad de la curva. Sin embargo, solo podremos asegurar la unicidad en algunos casos específicos de curvas, ya que, por lo general, no se tiene unicidad. Empecemos viendo la existencia de curvas con curvatura κ(s), y torsión τ(s)dadas. Distinguiremos dos casos, empezando por las curvas de Frenet. Teorema 3.2.15 Sean κ(s)>0yτ(s), con s∈I, dos aplicaciones diferenciables. Entonces, existen tres curvas parametrizadas regularmente α:I−→ E3 1diferentes (es decir, tales que no existe un movimiento rígido que lleve una en otra) tales que su curvatura y torsión son, respectivamente, κ(s)yτ(s). 56 3.2. El triedro de Frenet. Curvatura y torsión. Observación 3.2.16 Notemos que con este primer resultado de existencia, ya estamos afirmando que, en general, no existe unicidad. Demostración: La demostración es muy similar a la que se realiza para demostrar el Teorema fundamental de curvas alabeadas en el caso euclídeo. En este caso, veremos que para dos funciones κ(s), τ(s)dadas, podremos obtener exactamente tres curvas, una temporal, una espacial con vector normal espacial, y otra espacial con vector normal temporal, tales que κ(s), τ(s)son su curvatura y torsión, respectivamente. Sea entonces s0∈I, y sea {e1, e2, e3}una base ortonormal cuyos vectores serán las condiciones iniciales de un sistema diferencial ordinario. Supongamos que e1es un vector temporal tal que dicha base está positivamente orientada. En este caso, definimos el sistema diferencial ordinario    t0(s) = κ(s)n(s), n0(s) = κ(s)t(s) +τ(s)b(s), b0(s) = −τ(s)n(s), con condiciones iniciales    t(s0) = e1, n(s0) = e2, b(s0) = e3. Por el Teorema de Picard, sabemos que en un entorno de s0dicho sistema tiene una y solo una solución {t(s),n(s),b(s)}. La elección de este sistema diferencial ordinario no es trivial, sino que estamos buscando que las soluciones {t(s),n(s),b(s)}formen un triedro de Frenet de una cierta curva temporal α(s), para así poder probar que κ(s), τ(s)son, respectivamente, su curvatura y torsión. Asimismo, la elección de la causalidad de las condiciones iniciales tampoco es trivial, y en función de la que tenga cada vector de la base obtendremos una curva diferente (obteniendo así las tres curvas buscadas). Vamos entonces a ver que efectivamente {t(s),n(s),b(s)}es una base ortonormal con las mismas propiedades causales que las condiciones iniciales {e1, e2, e3}. Consideremos entonces el sistema diferencial ordinario:                    ht(s),n(s)i0=κ(s)hn(s),n(s)i+κ(s)ht(s),t(s)i+τ(s)ht(s),b(s)i, ht(s),b(s)i0=κ(s)hn(s),b(s)i−τ(s)ht(s),n(s)i, hn(s),b(s)i0=κ(s)ht(s),b(s)i+τ(s)hb(s),b(s)i−τ(s)hn(s),n(s)i, ht(s),t(s)i0= 2κ(s)ht(s),n(s)i, hn(s),n(s)i0= 2κ(s)ht(s),n(s)i+ 2τ(s)hb(s),n(s)i, hb(s),b(s)i0=−2τ(s)hb(s),n(s)i, con condiciones inciales en s=s0dadas por (0,0,0,−1,1,1). Sin embargo, las funciones f1=f2=f3= 0, f4=−1, f5=f6= 1, son solución de dicho sistema diferencial ordinario con esas condiciones iniciales. De nuevo, por el Teorema de Picard, sabemos que existe una única solución del sistema en un entorno de s0, por lo que podemos deducir: ht(s),t(s)i=−1,hn(s),n(s)i=hb(s),b(s)i= 1,ht(s),n(s)i=ht(s),b(s)i=hn(s),b(s)i= 0. En otras palabras, {t(s),n(s),b(s)}es una base ortonormal de E3 1, con t(s)un vector temporal. Además, está positivamente orientada pues, al ser ortonormal, sabemos que det(t(s),n(s),b(s)) = ±1, 3.2. El triedro de Frenet. Curvatura y torsión. 57 pero como se verifica que en s=s0es 1 (por como hemos definido las condiciones iniciales), entonces det(t(s),n(s),b(s)) = 1, para todo s∈I. Si definimos la curva α(s) = Zs s0 t(u)du, entonces la base {t(s),n(s),b(s)}es su triedro de Frenet, por lo que α(s)es una curva temporal parametrizada naturalmente, pues α0(s) = t(s). Vamos a ver entonces que κ(s)es su curvatura, y τ(s)su torsión. Sabemos que la curvatura de αse calcula como κα(s) = |˙ t(s)|o, equivalentemente, κα(s) = |¨α(s)|, por lo que, usando las ecuaciones de Frenet, podemos obtener κα(s) = |¨α(s)|=κ(s)|n(s)|=κ(s), pues n(s)es unitario y espacial. Por tanto, κα(s) = κ(s). Por otro lado, la torsión se calcula como h˙ n(s),b(s)i, luego utilizando las ecuaciones de Frenet obtenemos τα(s) = h˙ n(s),b(s)i=hκ(s)t(s) + τ(s)b(s),b(s)i=τ(s)hb(s),b(s)i=τ(s), donde hemos usado que t(s)yb(s)son ortogonales, y b(s)unitario y espacial. Por tanto, hemos demostrado que dadas dos funciones κ(s), τ(s), existe una curva temporal tal que dichas funciones son, respectivamente, su curvatura y torsión. Veamos los otros dos casos. Para el caso de una curva espacial con vector normal espacial, consideramos la base ortonormal negativamente orientada {e1, e2, e3}, donde e3es un vector temporal. En este caso, el sistema diferencial ordinario a resolver es    t0(s) = κ(s)n(s), n0(s) = −κ(s)t(s) +τ(s)b(s), b0(s) = τ(s)n(s), con condiciones iniciales    t(s0) = e1, n(s0) = e2, b(s0) = e3. Realizando el mismo razonamiento que en el caso temporal, llegamos a que {t(s),n(s),b(s)}es una base ortonormal de E3 1, donde en este caso el vector temporal es b(s). Además, esta base está negativamente orientada, pues en s=s0lo está, y podemos razonar de igual forma que en el caso anterior. Si definimos de nuevo la curva α(s) = Zs s0 t(u)du, entonces la base {t(s),n(s),b(s)}es su triedro de Frenet, por lo que α(s)es una curva espacial con vector normal espacial parametrizada naturalmente, pues α0(s) = t(s). Veamos ahora que κ(s)es su curvatura, yτ(s)su torsión. La curvatura de αse calcula al igual que antes, luego utilizando las ecuaciones de Frenet correspondientes llegamos a κα(s) = |˙ t(s)|=κ(s)|n(s)|=κ(s), pues n(s)vuelve a ser unitario y espacial. Por tanto, κα(s) = κ(s). Por otro lado, la torsión en este caso se calcula como −h˙ n(s),b(s)i, luego utilizando de nuevo las ecuaciones de Frenet obtenemos τα(s) = h˙ n(s),b(s)i=−h−κ(s)t(s) + τ(s)b(s),b(s)i=−τ(s)hb(s),b(s)i=τ(s), 64 3.3. Curvas planas. Para la rama B−, parametrizamos como β(s) = −rcosh s r, r sinh s r, donde en este caso los vectores del diedro son t(s) = −sinh s r,cosh s r,n(s) = cosh s r,−sinh s r. Por lo tanto, ahora ˙ t(s) = 1 r−cosh s r,sinh s ry así su curvatura es κ(s) = −1 r, para todo s. En el plano euclídeo, definimos la curvatura como κ(s) = ˙ θ(s), donde θes una determinación continua del ángulo que forma el eje OX con el vector tangente. Esta idea puede ser extendida también al plano de Minkowski, teniendo en cuenta las restricciones de este espacio a la hora de medir ángulos que vimos en el capítulo anterior. Así, tenemos el siguiente resultado. Teorema 3.3.3 Sea α:I−→ E2 1una curva temporal parametrizada naturalmente. Supongamos que existe un vector temporal unitario v∈E2 1de tal forma que vyt(s)están sobre el mismo cono temporal, para todo s∈I. Si θes una determinación continua del ángulo entre dichos vectores, entonces κ(s) = ±˙ θ(s). Demostración: Por el Teorema 2.2.1 (desigualdad de Cauchy-Schwarz inversa), sabemos que se tiene ht(s), vi=−cosh (θ(s)), pues ambos vectores son unitarios. Entonces, derivando esta expresión: −˙ θ(s) sinh (θ(s)) = κ(s)hn(s), vi. Ahora, por el Teorema 2.1.10, podemos escribir al vector vcomo: v=−hv, t(s)it(s) + hv, n(s)in(s), luego entonces, multiplicando por el vector v, obtenemos que −1 = −hv, t(s)i2+hv, n(s)i2=−cosh (θ(s))2+hv, n(s)i2. De esta forma, se tiene que hv, n(s)i=±sinh (θ(s)) y, por tanto, ˙ θ(s) = ±κ(s). El Teorema también se cumple si la curva es espacial y el vector t(s)forma un ángulo constante con un vector unitario espacial que esté en la misma componente de U2 1, es decir, que ambos estén en S1+ 1ó S1− 1. Observación 3.3.4 Gracias a este Teorema, también podemos asegurar una propiedad que se cumplía en el espacio euclídeo: una curva es una recta si y solo si su curvatura es nula. Con este resultado, podemos estudiar la existencia y unicidad de curvas con curvatura κ(s), tal y como hicimos para las curvas en E3 1, y en lo que sería el equivalente al Teorema fundamental de curvas planas del plano euclídeo. Para la existencia, vamos a hacer una observación previa. Al igual que en el plano euclídeo, podemos obtener una parametrización de la curva en términos de la integral de la curvatura. Como hemos visto antes, κ(s) = ±˙ θ(s), luego si la función diferenciable κ(s)es conocida, entonces θ(s) = Zs s0 κ(t)dt. 3.3. Curvas planas. 65 De esta forma, podemos definir dos curvas αyβ, espacial y temporal respectivamente, tal que κ(s) es su curvatura, de la siguiente manera: α(s) = Zs s0 cosh θ(t)dt, Zs s0 sinh θ(t)dt, β(s) = Zs s0 sinh θ(t)dt, Zs s0 cosh θ(t)dt. Así, tenemos el siguiente resultado: Teorema 3.3.5 Sea κ=κ(s)una función continua. Entonces, existe una curva espacial o temporal parametrizada naturalmente tal que κ(s)es su curvatura. Además, esta curva es única salvo movimientos rígidos directos de E2 1. De hecho, si α(s)es una curva espacial o temporal, y Mx =Ax+bes movimiento rígido de E2 1con A∈SO1(2), entonces la relación entre los diedros de Frenet de α(s)yβ(s) = M◦α(s) es: tβ(s) = Atα(s),nβ(s) = Anα(s). Demostración: Sean α, β :I−→ E2 1dos curvas espaciales parametrizadas naturalmente con la misma curvatura κ=κ(s). Fijado s0∈I, los diedros de Frenet {tα(s0),nα(s0)}y{tβ(s0),nβ(s0)}son dos bases positivamente orientadas. Entonces, existe una isometría A∈SO1(2) tal que A(tα(s0)) = tβ(s0), A(nα(s0)) = nβ(s0). Considerando b=β(s0)−Aα(s0), definimos el movimiento rígido Mx =Ax +b. Entonces, la curva γ=M◦αsatisface que κγ=κ, pues det(A)=1. Si denotamos al diedro de γcomo {tγ(s0),nγ(s0)}, las curvas γyβcoinciden en s=s0. Así, definimos la función diferenciable f:I−→ Rdada por f(s) = |tγ(s)−tβ(s)|2−|nγ(s)−nβ(s)|2. Derivando f, y teniendo en cuenta las ecuaciones de Frenet y la ortogonalidad de los vectores tangente y normal, deducimos que f0(s) = 0, para todo s∈I, es decir, fes constante. Como f(s0) = 0 por lo visto anteriormente, se tiene que f(s)=0, para todo s∈I. Ahora, como la métrica no es definida positiva, no podemos asegurar que |tγ(s)−tβ(s)|=|nγ(s)−nβ(s)|= 0. Aun así, desarrollando los cuadrados de la ecuación f(s)=0, obtenemos que hnγ(s),nβ(s)i+ 1 = htγ(s),tβ(s)i−1. Observemos que tγ(s)ytβ(s)están en la misma componente de vectores espaciales unitarios, es decir, ambos están en S1+ 1ó en S1− 1. Por lo tanto, por lo visto en el capítulo anterior, sabemos que htγ(s),tβ(s)i ≥ 1, para todo s∈I. A los vectores nγ(s)ynβ(s)les ocurre lo mismo. En este caso, al ser temporales se verifica que hnγ(s),nβ(s)i≤−1, pues ambos están en el mismo cono temporal. Así, tenemos que 0≥ hnγ(s),nβ(s)i+ 1 = htγ(s),tβ(s)i−1≥0, es decir, htγ(s),tβ(s)i= 1, por lo que tγ(s) = tβ(s). Entonces, A˙α(s) = ˙ β(s), para todo s. Integrando, existe un c∈E2 1tal que β(s) = Aα(s) + c. Evaluando en s=s0, obtenemos que c=b, con lo que podemos concluir que β(s) = γ(s) = M◦α(s). Es decir, si dos curvas tienen la misma curvatura, entonces difieren en un movimiento rígido. La demostración para el caso de curvas temporales es totalmente análoga al caso espacial.  66 3.3. Curvas planas. Observación 3.3.6 En la demostración hemos usado que tβ(s) = Atα(s),nβ(s) = Anα(s)para deducir que ˙ tβ(s) = A˙ tα(s) = A(κα(s)nα(s)) = κα(s)Anα(s) = κα(s)nβ(s), lo que implica que κβ(s) = κα(s). Por último y para finalizar el estudio de curvas planas, vamos a revisar la noción de ángulo entre dos vectores del plano de Minkwsoki que dimos en el capítulo anterior. Recordemos que en el plano euclídeo, el ángulo entre dos vectores unitarios uyvde la cirunferencia unidad S1puede medirse como la longitud de arco de la curva más corta en S1que une los puntos uyv. En E2 1, la idea es exactamente la misma, pero tendremos que tener cuidado de que ambos vectores estén en la misma componente de U2 1. Teorema 3.3.7 Sean uyvdos vectores unitarios de E2 1que están en la misma componente de U2 1. Entonces, el ángulo ∠(u, v)es la longitud de arco de la curva en U2 1que une uyv. Demostración: Veamos primero el caso en que ambos vectores sean temporales. Sean u, v dos vectores temporales unitarios que están en el mismo cono temporal, y supongamos que u= (sinh ϕ, cosh ϕ), v= (sinh ψ, cosh ψ), con ϕ≤ψ. El arco de curva de H1entre uyves α(s) = (sinh s, cosh s), s ∈[ϕ, ψ], y su longitud Lψ ϕ(α)es: Lψ ϕ(α) = Zψ ϕ|˙α(s)|ds =Zψ ϕ 1ds =ψ−ϕ. Si calculamos el ángulo entre ambos vectores mediante la igualdad que vimos en la desigualdad de Cauchy-Schwarz inversa, −hu, vi=−sinh (ϕ) sinh (ψ) + cosh (ϕ) cosh (ψ) = cosh (ψ−ϕ), pues cosh (x±y) = cosh (x) cosh (y)±sinh (x) sinh (y). Por tanto, el ángulo es ∠(u, v) = ψ−ϕ, pues ψ−ϕ≥0. Tomemos ahora u, v dos vectores unitarios espaciales que estén en la misma componente de U2 1. Supongamos en este caso que u= (cosh ϕ, sinh ϕ), v = (cosh ψ, sinh ψ), con ϕ≤ψ. De nuevo, el arco de curva que une uyves α(s) = (cosh s, sinh s), s ∈[ϕ, ψ], cuya longitud es: Lψ ϕ(α) = Zψ ϕ|˙α(s)|ds =Zψ ϕ 1tds =ψ−ϕ. Usando ahora la Definición 2.2.2, obtenemos que: hu, vi= cosh (ϕ) cosh (ψ)−sinh (ϕ) sinh (ψ) = cosh (ψ−ϕ), donde hemos usado la misma identidad para los cosenos hiperbólicos que en el caso temporal. Por tanto, como ψ−ϕ≥0, el ángulo es ∠(u, v) = ψ−ϕ. Observación 3.3.8 Algunos autores definen el ángulo entre dos vectores de una manera ligeramente diferente. Si los vectores uyvson unitarios, temporales, y están en el mismo cono temporal, entonces el ángulo es ∠(u, v) = ϕ, donde ϕ∈[0,∞)es el valor tal que la isometría Rϕ=cosh ϕsinh ϕ sinh ϕcosh ϕ∈O++ 1(2) 3.3. Curvas planas. 67 verifica Rϕ(u) = v. En el caso en que u, v sean dos vectores unitarios espaciales que están en la misma componente de U2 1, el ángulo se define como ∠(u, v) = ∠(F(u), F(v)), donde Fes la reflexión con respecto a la recta y=x. Ambas definiciones son coherentes con respecto a la que se ha dado anteriormente en este trabajo. Otros autores también definen el ángulo entre vectores temporales y espaciales que están en distintas componentes de U2 1, llevándose ambos vectores a la componente H1 +mediante sucesivas reflexiones a través del cono luminoso de E2 1(i.e, a través de las rectas y=±x). Sin embargo, en estos casos no existe un arco de curva de U2 1que una uyv. 68 3.3. Curvas planas. Bibliografía [1] Manfredo P. do Carmo. 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