Análisis del movimiento de residentes en España mediante Redes Complejas

Equation Chapter 1 Section 1 Trabajo Fin de Grado Ingeniería de Organización Industrial Análisis del movimiento de residentes en España mediante Redes Complejas Autora: Ana Domínguez-Adame Palomo Tutora: Ester Gutiérrez Moya Dpto. Organización Industrial y Gestión de Empresas I Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2021 Trabajo Fin de Grado Ingeniería de Organización Industrial Análisis del movimiento de residentes en España mediante Redes Complejas Autora: Ana Domínguez-Adame Palomo Tutora: Ester Gutiérrez Moya Dpto. de Organización Industrial y Gestión de Empresas I Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2021 Trabajo Fin de Grado: Análisis del movimiento de residentes en España mediante Redes Complejas Autora: Ana Domínguez-Adame Palomo Tutora: Ester Gutiérrez Moya El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Acuerdan otorgarle la calificación de: Sevilla, 2021 El Secretario del Tribunal A mi familia A mis maestros Resumen Este trabajo tiene como objetivo el análisis del movimiento de residentes en España en el periodo 2015-2019 a través de la metodología de Redes Complejas. Dicha metodología proporcionará una mejor comprensión de los flujos de movilidad entre las distintas Comunidades Autónomas (CC. AA.). En primer lugar se analizarán las principales características del movimiento nacional a través del análisis de los estadísticos que describen la topología de la red. Los datos analizados proceden de las encuestas anuales realizadas durante el periodo 2015- 2019, información publicada por el Instituto Nacional de Estadística (INE) de España. En segundo lugar, se expondrán los modelos Exponenciales de Grafos Aleatorios (Exponential Random Graph Models, ERGM) mediante los cuales se podrá analizar la no aletoriedad de la red estudiada a través de un modelo estadístico que considera variables endógenas (arcos, reciprocidad, triangulación) y variables exógenas (conexión con alta velocidad ferroviaria, tipo de destino turístico, festividades, localización geográfica), permitiendo la detección de patrones de comportamiento en la movilidad entre Comuniades Autónomas, además de la posibilidad de poder explicar la relevancia de los flujos y de la red en su conjunto. Finalmente, se realizará un análisis del impacto que la actual crisis sanitaria, provocada por el virus SARS- CoV-2, ha tenido sobre la movilidad. 1 INTRODUCCIÓN La movilidad de personas se entiende como el conjunto de desplazamientos que se producen en un entorno físico, realizados haciendo uso de diferentes sistemas de transporte, ya sea mediante automóvil, avión, transporte público, etc. en función de la dimensión que tenga el movimiento. La movilidad ha sido una necesidad a lo largo de la historia humana, incrementándose el volumen de los flujos con los avances industriales y la creación de los diferentes medios de transporte. Además, los avances tecnológicos han permitido que el movimiento de personas se realice con mayor rapidez y frecuencia, aumentando las distancias de los trayectos y disminuyendo su coste. En consecuencia, esto ha supuesto que los desplazamientos se produzcan en masa pues, a medida que pasa el tiempo, la posibilidad de desplazarse es cada vez más accesible. En efecto, el aumento de los trayectos ha supuesto numerosas ventajas en muchos ámbitos. Sin embargo, no debemos dejar de lado otros aspectos que han tenido un impacto colateral, como la contaminación atmosférica fruto de, entre otros motivos, los gases contaminantes emitidos por diferentes sistemas de transporte. Así, la movilidad en su conjunto se puede clasificar según su principal motivación: como una fuente de atracción de turismo o una fuente de migración, aunque a lo largo del trabajo se podrá comprobar que el espectro de las principales causas de movilidad es mucho más amplio. En cuanto al desplazamiento con fines turísticos, se puede afirmar que la presencia del turismo internacional es un pilar básico de la economía española, pues es uno de los motores económicos esenciales de este país. La aportación del turismo a la economía española supone un 12,4% (dato correspondiente al año 2019) sobre el total del porcentaje del PIB, siendo su aportación monetaria de 154.487 millones de euros, generando a su vez 2,72 millones de puestos de trabajo. En cuanto a la caracterización del turismo, las opciones son variadas pues, según la actividad turística a realizar, la clasificación resulta la siguiente: turismo cultural, ecológico, religioso, deportivo, de playa, de nieve, rural y gastronómico. Sin embargo, el turismo que se realiza en España no sólo proviene de los turistas internacionales. Esta misma clasificación se puede aplicar al turismo nacional puesto que casi el 90% de los viajes de residentes se hicieron dentro de España en 2019 haciendo que el número de viajes realizados por los residentes en España ascendiera a 173,75 millones de viajes con destino interno, siendo “únicamente” 20,12 millones de viajes con destino externo. Como se ha señalado, el turismo en España se realiza tanto de forma nacional como internacional. En este sentido, los principales países exportadores de turistas a España son Reino Unido, Alemania y Francia, siendo las principales Comunidades Autónomas de destino en 2019: Cataluña, Baleares y Canarias. El segundo fin por el que se producen desplazamientos es la migración. Las causas de este concepto son muy variadas, ya sean por una económica, pobreza, hambruna, guerras y conflictos armados, exilios y persecuciones o desastres naturales, todas ellas devastadoras, produciendo consecuencias de mayor o menor envergadura tanto en el lugar de origen como en el destino, creando: cambios demográficos, intercambio cultural y étnico, cambios en la economía e incluso xenofobia. El saldo migratorio desde España hacia otros países fue de 51.250 personas con nacionalidad española durante el año 2019, ascendiendo la inmigración de extranjeros a 661.065 personas. Cabe destacar que son Madrid y Cataluña las Comunidades Autónomas que mayor número de extranjeros recibe, siendo Francia, Alemania y Estados Unidos los países a los que emigran más españoles. Los flujos de movilidad que se analizan mediante redes complejas en el presente trabajo se verán influidas por variables endógenas y exógenas que afectan a la estructura de las mismas. Por lo tanto, los modelos Exponenciales de Grafos Aleatorios (Exponential Random Graph Models, ERGM) permiten relacionar diversos atributos y características propias y compartidas que tienen las Comunidades Autónomas que afectan al flujo de la movilidad entre las CC. AA., lo cual, en definitiva, permitirá afirmar la presencia de variables que resultan determinantes para la formación del flujo. Finalmente, es importante precisar que los datos que se analizan en el presente trabajo corresponden al año 2019 y años anteriores pues, a consecuencia del SARS-CoV-2, la situación que se ha establecido en el año 2020 y 2021 es muy dispar a la de años precedentes. La crisis económica y sanitaria, así como las restricciones 18 asociadas a retener la propagación del SARS-CoV-2, han producido una paralización en el número de movimientos realizados tanto en el territorio español como a nivel internacional. En cuanto a viajes de los españoles realizados al extranjero, las cifras son desproporcionadas: para tener una idea genérica del cambio, partiendo del segundo trimestre del 2019, teniendo 4.933.015 viajes, la cifra ha disminuido a 157.532 viajes (un 96.8%) para el mismo periodo del año 2020. La cifra de los viajes de españoles dentro del territorio español es similar pues se pasó de tener 45.541.375 viajes en el segundo trimestre del 2019 a 8.869.729 viajes en el año 2020 para el mismo periodo (disminuyendo un 80,5%). El análisis de las redes requiere una aplicación informática apropiada. En este trabajo se utilizará Ucinet (Borgatti, 2002) y el entorno de programación estadística R (R Core Team, 2021), un producto de libre distribución bajo la GNU General Public License. R ofrece un conjunto de paquetes que permiten construir las Redes Complejas, y además, la comunidad de usuarios mantiene constantemente actualizada esta plataforma de computación estadística. Por tanto, los principales objetivos de este trabajo son: en el Capítulo 2 se presentan algunos conceptos básicos de la metodología a tratar. El Capítulo 3 describe con detalle los estadísticos que caracterizan las redes complejas. El Capítulo 4 analiza el movimiento de residentes en España, a partir de los valores de los datos publicados por el Instituto Nacional de Estadística en sus encuestas anuales en el periodo 2015-2019. En el Capítulo 5 se presentan los modelos ERGM, de forma que se pueda describir las distintas configuraciones que posee la estructura de la red con el fin de poder explicar la relevancia que tiene la misma. A modo de conclusión, en el Capítulo 6 se realizará un análisis de la situación producida por el virus SARS-CoV-2, tanto de forma global como nacional. 19 2 METODOLOGÍA En este capítulo se presenta una introducción a la metodología de Redes Complejas, basada en estadísticos que permiten caracterizar la topología de las redes. Finalmente, se van a identificar los tipos de redes complejas existentes en la metodología. 2.1. Introducción a Redes Complejas Una red compleja es una red con propiedades estadísticas y topológicas que no tienen las redes simples. Se pueden observar este tipo de redes en la naturaleza, ejemplo de ello son las redes neuronales, las redes sociales, las redes de metro o de cualquier tipo de transporte. Este tipo de redes abundan en la naturaleza, pudiéndose dar en todo tipo de situaciones y a diferentes niveles de organización, abarcando disciplinas como la física, biología, sociología, neurología, economía o medicina, entre otras. Los diferentes niveles de organización hace referencia a que una red de proteínas o una red neuronal se da a un nivel de organización mucho menor que una red de comunicación o una red informática o social. Una red compleja se puede representar gráfica y matemáticamente mediante un grafo. La Teoría de Grafos permite la representación de las relaciones entre objetos de todo tipo. Se denota un grafo G = (V, E) formado por un conjunto V de vértices (nodos) y un conjunto E de arcos entre estos nodos, que más adelante se verá que pueden ser dirigidos o no dirigidos. Se considera un nodo individual i ∈ V, siendo un arco un par (i, j) formado por dos nodos, siendo a su vez i y j nodos vecinos o adyacentes. Un grafo será dirigido si el arco (i, j) es distinto al arco (j, i) (también denominado digrafo). A continuación, se procede a comentar los conceptos que caracterizan a las redes complejas y por los que quedan definidas e identificadas. 2.2. Principales Conceptos de las Redes Complejas 2.2.1 Matriz de Adyacencia La matriz de adyacencia AG o Aij representa una matriz cuadrada donde la casilla será 1 si (i, j) ∈ E y será 0 en caso contrario. También se puede expresar como: 𝐴𝑖𝑗 = {1 𝑠𝑖 (𝑖,𝑗)∈𝐸 0 𝑒𝑛 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 Cuando Aij es simétrica, se dice que la red es no es dirigida, siendo todos su autovalores reales. En el caso contrario, si Aij es no simétrica, la red es dirigida. 2.2.2 Distribución de grados El grado del nodo i, ki, representa el número total de conexiones que tiene. Se denomina grado medio de la red, 𝑘 , al promedio de los grados de los nodos de la red. En una red se hace uso de la función de distribución P(k) para representar la distribución de grados en la misma, y representa la probabilidad de que un nodo seleccionado al azar tenga exactamente k enlaces (o conexiones). Para una red completamente aleatoria, la distribución de grados sigue una distribución Poisson. Sin embargo, la mayoría de las redes reales se describen de forma más exacta mediante la ley de Potencias (en 20 inglés, Power-Law). La ley de Potencias es una relación funcional entre dos cantidades, de modo que una variación relativa en una cantidad genera un cambio relativo proporcional en la otra cantidad, con independencia del valor inicial de ambas cantidades (ver Figura 1). 𝑃(𝑥)= 𝑐∙ 𝑥−𝛾 donde P(x) es la probabilidad de que un nodo esté conectado a x nodos, c es una constante de normalización y el exponente γ identifica el tipo de red (2 < γ ≤ 3 si la ley de Potencias se ajusta al conjunto de datos). Figura 1: Ejemplo de Distribución Ley de Potencias 2.2.3 Grado de Incidencia Como ya se comentó anteriormente, las redes pueden ser de dos tipos: no dirigidas y dirigidas. Se denomina grado de incidencia de un nodo para redes no dirigidas como el número de arcos que inciden en el nodo, sin diferenciar de qué extremo sea. Para redes dirigidas, se denomina grado de entrada del nodo al número de arcos que lo tienen como extremo final, y grado de salida al número de arcos que lo tienen como extremo inicial. Al sumar el grado de entrada y el grado de salida de un nodo se obtiene el grado del nodo. La suma de los grados de entrada y de salida de todos los nodos coincide y es igual al número de arcos que tiene la red. 2.2.4 Peso Los arcos pueden tener asignado un peso (denominado en inglés, strength), haciendo referencia a la intensidad de la relación entre nodos conectados. La red en su conjunto pasará a denominarse, en este caso, red ponderada. Del mismo modo que ocurría con el grado de un nodo, el peso puede ser de entrada (en inglés, instrength) o de salida (en inglés, out-strength), representando la suma de los pesos de los arcos que inciden o parten del nodo i, respectivamente. 2.2.5 Longitud de los caminos La longitud de los caminos entre nodos puede definirse como:  Paseo: es la sucesión de nodos conectados entre sí.  Camino: se trata de un paseo donde no se visita ningún nodo en más de una ocasión.  Sendero: es un paseo donde ningún arco se recorre más de una vez.  Ciclo: supone un paseo cerrado de al menos tres arcos, sin recorrer ningún arco más de dos veces.  Distancia, dij: representa la distancia entre el nodo i y el nodo j, y es el número de enlaces del camino más corto que los conecta.  Diámetro, D: distancia máxima entre cualquier par de nodos de la red.  Longitud promedio, L: es la media de las distancias entre todos los pares de nodos. 21 2.2.6 Red conexa Una red será conexa si se puede trazar un camino entre cada nodo, es decir, si dos nodos cualesquiera pueden ser conectados mediante un camino con origen en cualquiera de éstos, siendo fuertemente conexo cuando dos nodos cualesquiera están conectados por un arco, o dicho de otra forma, conectados por al menos dos caminos, pudiendo coincidir. La componente conexa representa subconjuntos conexos de nodos y aristas de forma que añadiendo un nuevo nodo, deja de ser conexo. Al igual que se comentó previamente, este concepto se puede ampliar para ser una componente fuertemente conexa. 2.3. Modelos de Redes Complejas De forma simplificada, un sistema complejo es un sistema en el que el estudio de cada parte no puede explicar el comportamiento del conjunto en su totalidad. Las redes complejas se utilizan para representar gráficamente los sistemas complejos, de forma que se puedan analizar y visualizar para un posterior estudio de los mismos. Existen diferentes algoritmos (tales como algoritmo de Tutte (1963), algoritmo de Kamada-Kawai (1989), entre otros) que se usan para reducir las redes en otras más pequeñas, de forma que se pueda extraer la información de forma más clara y útil. Sin embargo, para el trabajo en cuestión, no se utilizarán, puesto que se parte de una red inicialmente reducida. De forma inversa, existen diferentes modelos de redes (tales como redes de Erdös-Renyi (1960), redes de Watts-Strogatz (1998), redes de Barabási-Albert (1999), entre otros) utilizadas para la generación de los mismos. No obstante, en este trabajo únicamente se comentarán sus características principales, puesto que la red se crea de forma muy sencilla al tratarse de los viajes que se realizan entre las CC. AA., habiendo viajes (conexiones) entre todas ellas. Para poder entender la estructura de la red que se va a analizar, es necesario seguir ciertos pasos para poder llegar a ese punto. En primer lugar, es neceario medir propiedades básicas mediante los conceptos que se han explicado anteriormente. A continuación, se deberá desarrollar el modelo matemático por el cual se podrá obtener las propiedades estadísticas y así poder aplicar métodos matemáticos para analizar la red. Sin embargo, estas etapas dependen del tipo de red a estudiar, pudiéndose distinguir entre redes regulares, redes aleatorias, redes de mundo pequeño o modelos libre de escala. 2.3.1 Redes Regulares Una red regular es aquella que tiene todos sus nodos con el mismo grado, con una cantidad lineal de enlaces cuando se da el caso de x << N (ver Figura 2). Por otro lado, tiene un alto coeficiente de clustering, además de una alta longitud promedio. Figura 2: Ejemplo de Redes Regulares 22 2.3.2 Redes Aleatorias Las redes aleatorias fueron estudiadas en mayor profundidad por Erdös y Rényi a finales de los 50, y resulta ser un tipo de red completamente opuesta a las redes regulares. Este tipo de redes se caracteriza por tener una gran cantidad de nodos, N >> 1, conectando cada par de nodos con un enlace mediante una probabilidad p, en todos los casos, con una longitud de camino pequeña. Se obtendrá así una red aleatoria con N nodos y con 𝑝∙𝑁∙(𝑁−1) 2 conexiones. Erdös y Rényi (1950) descubrieron que si la probabilidad p era superior a cierto umbral, pc ∼ ln (𝑁) 𝑁 , la red estaba casi totalmente conectada. En el caso contrario, para valores por debajo de ese umbral, la red resultaba estar casi desconectada (ver Figura 3). Los estadísticos de las redes aleatorias vienen definidos por las siguientes expresiones:  Grado medio: 𝑘 =𝑝 ∙ (𝑛−1)~ 𝑝 ∙ 𝑁  Longitud del camino promedio: 𝐿 ~ln(𝑁) 𝑘   Coeficiente de clustering: 𝐶 =𝑝 = 𝑘  𝑁 ≪ 1. Al tener muchos nodos la red, apenas tendrá clusterización. Figura 3: Ejemplo de Redes Aleatorias Por lo tanto, para valores grandes de N, las redes aleatorias son casi homogéneas. Esto significa que la conectividad se distribuirá según una distribución Poisson. 2.3.3 Redes de Mundo Pequeño Este tipo de red (denominadas en inglés, Small-World Network) combina los conceptos de las redes aleatorias y regulares pues tienen un alto índice de agrupamiento (o clustering) como las redes regulares, además de una longitud de camino pequeña, característico de las redes aleatorias. Las redes de mundo pequeño fueron estudiadas por Watts y Strogatz (1998), creando el siguiente algoritmo: haciendo uso de una red regular de N nodos, se selecciona cada enlace al azar con probabilidad p y se conecta uno de sus extremos a cualquier nodo de la red. De este modo, se tienen 𝑝∙𝑁∙𝑘 2 enlaces que conectan todos los nodos, y que, en el caso de los dos tipos de redes anteriores, estarían posiblemente desconectados. Las redes de mundo pequeño son las más frecuentes, donde gran parte de los nodos no están conectados pero la mayoría de ellos pueden ser alcanzados desde cualquier nodo de origen a través de un número relativamente reducido de enlaces entre sí (Figura 4). Ejemplo de ello son las redes sociales no virtuales, en las que con un determinado número de amigos se puede llegar a conocer a toda la comunidad. 23 Figura 4: Ejemplo de Redes de Mundo Pequeño 2.3.4 Modelos Libres de Escala A diferencia de las redes aleatorias y las redes de mundo pequeño, con distribución de grados homogénea, las redes complejas de gran tamaño no siguen el mismo comportamiento, pues tienen una distribución de grado que sigue una ley de potencias. Fueron Barabási y Albert (1999) quienes estudiaron los modelos libres de escala (ver Figura 5), exponiendo los siguientes argumentos:  Las redes reales añaden de forma continuada nuevos nodos a la red. Sin embargo, otros modelos resultan ser estáticos puesto que al añadir enlaces a la red, el número de nodos es constante.  En las redes aleatorias y en las redes de mundo pequeño, las probabilidades son uniformes al crear nuevos enlaces, hecho que no es realista. Ejemplo de ello son las citas de artículos: un nuevo artículo será más propenso a citar artículos ya reconocidos que otros menos reconocidos. Cabe destacar la importancia de los conceptos de crecimiento y enlace preferencial de las redes:  Crecimiento: partiendo de un número pequeños de nodos (ko), en cada unidad de tiempo se añaden nuevos nodos y se conectan a los ya existentes (k ≤ ko).  Enlace preferencial: la probabilidad de que un nodo nuevo se conecte al nodo x ya existente depende del grado xi. Su expresión fraccional es: ∏=𝑘𝑖 ∑𝑘𝑗𝑗 𝑖 . Tras t pasos, se obtendrá una red con 𝑁 =𝑡+𝑚 o nodos y con (𝑚∙𝑡) enlaces, de forma que la distribución de grados queda inalterada con el tiempo y sigue una ley de Potencias de exponente 𝛾 = 3. Si el exponente es 𝛾 =3 equivale a decir que la probabilidad de encontrar un nodo con k enlaces es de k-3. Sin embargo, este modelo tiene ciertas restricciones al compararlo con redes reales. Figura 5: Ejemplo de Redes Libres de Escala 24 2.4. Comunidad de Redes En las redes se pueden identificar subgrupos de nodos con una relación más estrecha que el resto, también denominado comunidades de redes. Es decir, se trata de un conjunto de nodos con un mayor número de arcos dentro de la comunidad que fuera (la red en su conjunto). Existen diferentes algoritmos o métodos para detectar comunidades dentro de la red:  Particionamiento de redes: se dividen los nodos en g conjuntos de un tamaño predeterminado y se minimiza el número de arcos que conectan nodos de distintos conjuntos. Se denomina tamaño del corte al número de arcos que conectan nodos de distintos conjuntos. Sin embargo, no resulta ser un algoritmo eficiente, pues es necesario predeterminar el número de nodos que tiene cada comunidad.  Clustering jerárquico: se define una distancia o alguna similitud para los nodos que tiene la red y se aplica algún tipo de clustering jerárquico.  Clustering particional: se define una distancia o alguna similitud para los nodos que tiene la red y se aplica algún tipo de clustering divisivo.  Clustering espectral: se hace uso de la matriz de similitud o de distancia, de forma que se pueda transformar la red en un conjunto de puntos para que la distancia entre puntos sea proporcional a la relación entre las distintas redes. Adicionalmente, se hará uso de algoritmos de clustering para agrupar nodos. Hay un concepto clave para medir la calidad de los algoritmos usados: la medida de desempeño de la generación de caminos (denominado en inglés, performance), que permite contabilizar el número de arcos en una comunidad y el número de pares de nodos en distintas comunidades, según el número de arcos que se podrían formar con todos los nodos de la red. Su valor está comprendido entre 0 y 1, siendo mayor cuanto mejor es la clasificación que se encuentre. 2.5. Camino y camino geodésico Hay múltiples definiciones posibles para el concepto de camino, siendo una de ellas la siguiente: el camino entre dos nodos supone una secuencia de arcos, estando esos nodos conectados entre sí. El camino geodésico entre dos nodos es el camino de longitud mínima entre ellos. Otra definición posible es: el camino de menor coste entre dos nodos, siendo su coste el peso (para redes ponderadas) o en caso contrario, ese peso será la unidad (para redes no ponderadas). La distancia geodésica entre esos nodos es la longitud del camino geodésico, o dicho de otro modo, la mínima longitud entre ellos. Cabe la posibilidad que la red tenga más de un camino geodésico entre dos nodos. En el extremo opuesto, si dos nodos no están conectados entre sí, se considera que la distancia geodésica es ∞. Existe un algoritmo conocido como Algoritmo de Bellman-Ford (1958) con el que se puede calcular la distancia geodésica entre dos nodos de forma eficiente. Este algoritmo admite pesos negativos. Sin embargo, para el caso en el que todos los pesos sean positivos, el Algoritmo de Dijkstra (1959) es más eficiente que el anterior, aplicado a redes no dirigidas ponderadas positivas formadas por una única componente conexa (concepto explicado más adelante). Este algoritmo proporciona la distancia mínima de cada nodo a un nodo dado ko. 2.6. Coeficiente de Clustering El coeficiente de clustering, 〈𝐶〉, representa la proporción media de pares de vecinos de un nodo que son a su vez vecinos entre sí. Por tanto, el coeficiente de clustering de la red es el promedio de los coeficientes de clustering de todos los nodos, tomando el valor 1 cuando la red es completa, estando todos los nodos conectados entre sí. En caso contrario, para una red aleatoria con N nodos, el valor 〈𝐶〉 será igual a 1/N. 〈𝐶〉= 1 𝑁 ∑𝐶𝑖 𝑝 𝑖=1 25 2.7. Centralidad El concpto de centralidad se comenzó a poner en práctica durante los años 40 en el ámbito sociológico en el Grupo Networks Laboratory del Massachusetts Institute of Technology. Sin embargo, con los años se empleó en conceptos dispares: en las áreas geográficas, políticas económicas o industriales. Al tratarse de un concepto complejo que, como se observa, se aplica a varias áreas, se considera que un elemento es central si verifica las siguientes propiedades:  Los elementos centrales de una red son aquéllos con mayor grado de adyacencia, es decir, los que más relacionados están con otros nodos.  Son aquéllos que pertenecen a la mayor cantidad de caminos geodésicos posibles entre dos nodos cualesquiera de esa misma red.  Son los que están más cerca del resto de nodos, minimizando la suma de la distancia geodésica al resto de puntos de la red. Sin embargo, con estas tres propiedades no se termina de definir la centralidad de un nodo. La centralidad de un nodo es función de, por un lado, la cantidad de nodos a los que está conectado, y por otro, a la centralidad de los nodos a los que está conectado. Otro concepto relevante es la centralidad de intermediación (denominado en inglés, betweenness). Expresa el número de caminos geodésicos entre dos nodos cualesquiera que pasan por un nodo dado respecto al número de geodésicas que unen esos dos nodos. Mediante la centralidad de cercanía (en inglés, closeness), se puede calcular la distancia geodésica entre un nodo y todos los demás de la red. Es decir, la centralidad de cercanía de un nodo hace referencia a que cuanto más cercano es un nodo al resto, más popular será. Otra medida en arcos dirigidos es la de centralidad de centro/autoridad (en inglés, hub/authority) por la que, para cada nodo, se contabilizan los nodos de la red que se conectan a ese nodo a través de un camino, penalizando según la distancia geodésica que tengan. Serán nodos hub aquellos nodos con muchos arcos de salida, y nodos authority los nodos con muchos arcos de entrada. De este modo, para un mismo concepto se obtienen dos medidas, según sea hub o authority. 2.8. Vulnerabilidad El análisis de la vulnerabilidad de una red se realiza a partir de una red de gran dimensión con sus nodos conectados. A continuación, se procede a eliminar los nodos de forma aleatoria y sucesiva, uno en cada unidad temporal. Tras eliminar un nodo, también se eliminan todas sus conexiones con otros nodos, lo que supone un posible aumento de la distancia entre ellos, así como la distancia geodésica de la red. Tras varios periodos de tiempo, si se había partido de una red completamente conectada, es habitual que se termine teniendo varias redes más pequeñas conectadas entre sí por pocos, o incluso un solo enlace (ver Figura 6). Se dice que la conectividad de la red es robusta, poco vulnerable, si tras eliminar mucho de los nodos que tiene la red, la componente conexa grande sigue siendo la misma y no ha sido eliminada. Este es el caso que se da en las redes libres de escala. En este sentido, la robustez, o también denomidado resiliencia, es la capacidad de mantener la red su estructura o funcionalidad ante fallos y ataques. Un fallo es aquel que afecta a nodos y arcos de forma aleatoria, siendo un ataque el fallo intencionado según la criticidad que tenga el nodo seleccionado. Sin embargo, las redes libres de escala son sensibles, pues al eliminar ciertos nodos específicos, la red queda muy dividada como si fueran pequeñas islas aisladas. Éste es el segundo caso ante el que nos podemos encontrar: que la red sea frágil por la distribución no homogénea de sus grados. 32 4.2. Movimiento entre Comunidades Autónomas Considerando el año 2019 como el último periodo completo con ausencia de cambios bruscos relativos a los datos en la movilidad, se puede afirmar que en ese año, la mayoría de los viajes de los españoles se realizó dentro de nuestro país (casi el 90% del total de desplazamientos). Como es habitual, en gran medida los viajes se realizaron durante periodo estival, principalmente durante el mes de agosto, representando un 25% del total de desplazamientos (Figura 9). Figura 9: Pernotaciones de residentes por tipo de alojamiento (millones) (2019) Fuente: Instituto Nacional de Estadística En la Tabla 2 se muestra los desplazamientos que tuvieron como destino cada una de las Comunidades Autónomas durante el año 2019. La C. A. que recibió mayor número de desplazamientos fue Madrid (18,2)%, seguida de la Cataluña (17,3)% y Andalucía (15,3)%; con un peso algo menor, Valencia (9,2)%. La Comunidade Autónoma con menor entrada de turistas españoles fueron: La Rioja (0,7)%, seguido de las Ciudades Autónomas de Ceuta (0,2)% y Melilla (0,1)%. Tabla 2: Total viajes por Comunidad Autónoma (2019). Posición Comunidades Autónomas Viajes % sobre total 3 Andalucía 29.728.070 15,3% 10 Aragón 6.690.201 3,5% 12 Asturias 4.441.749 2,3% 14 Baleares 3.622.222 1,9% 9 Canarias 6.931.553 3,6% 16 Cantabria 2.133.001 1,1% 5 Castilla y León 11.297.345 5,8% 8 Castilla-La Mancha 8.422.734 4,3% 2 Cataluña 33.448.057 17,3% 4 Valencia 17.838.521 9,2% 13 Extremadura 3.842.266 2,0% 7 Galicia 9.854.554 5,1% 1 Madrid 35.343.853 18,2% 11 Murcia 4.691.885 2,4% 15 Navarra 2.973.847 1,5% 6 País Vasco 10.742.903 5,5% 17 La Rioja 1.310.083 0,7% 18 Ceuta 325.917 0,2% 19 Melilla 235.956 0,1% Total 193.874.716 Fuente: Instituto Nacional de Estadística 33 En la Tabla 3 se detallan los desplazamientos según el trimestre del año 2019. De aceurdo a lo comentado previamente, además de lo observado en la Figura 9, se comprueba como la mayoría de las Comunidades Autónomas y Ciudades Autónomas reciben un mayor número de desplazamientos en el tercer trimestre del año 2019, que transcurre desde el 1 de julio hasta finales de septiembre. Tabla 3: Total viajes por Comunidad Autónoma desglosado (2019) Fuente: Instituto Nacional de Estadística La información de la Tabla 2 y la Tabla 3 representan el total de viajes realizados por cada Comunidad Autónoma, sin distinguir si dichos viajes se han realizado dentro de la misma C. A. o fuera. A continuación se muestran el número de viajes que se han realizado a otras CC. AA., que, como se puede observar, dicha cifra disminuye considerablemente pues, en este sentido, no se tienen en cuenta los desplazamientos entre las provincias de una misma Comunidad Autónoma (Tabla 4). Tabla 4: Total viajes por Comunidad Autónoma a otra Autonomía (2019). Posición Comunidad Autónoma emisora Viajes % sobre total 5 Andalucía a otra Comunidad Autónoma 5.440.461 6,5% 8 Aragón a otra Comunidad Autónoma 3.120.498 3,8% 11 Asturias a otra Comunidad Autónoma 2.055.153 2,5% 14 Baleares a otra Comunidad Autónoma 1.400.337 1,7% 15 Canarias a otra Comunidad Autónoma 1.332.791 1,6% 16 Cantabria a otra Comunidad Autónoma 1.216.447 1,5% 7 Castilla y León a otra Comunidad Autónoma 5.039.465 6,1% 6 Castilla-La Mancha a otra Comunidad Autónoma 5.231.884 6,3% 2 Cataluña a otra Comunidad Autónoma 7.591.304 9,1% 4 Comunidad Valenciana a otra Comunidad Autónoma 5.976.019 7,2% 12 Extremadura a otra Comunidad Autónoma 1.933.575 2,3% 10 Galicia a otra Comunidad Autónoma 2.170.488 2,6% 1 Madrid a otra Comunidad Autónoma 27.626.345 33,3% 9 Murcia a otra Comunidad Autónoma 2.657.189 3,2% 13 Navarra a otra Comunidad Autónoma 1.671.093 2,0% 3 País Vasco a otra Comunidad Autónoma 7.396.290 8,9% 17 La Rioja a otra Comunidad Autónoma 861.097 1,0% 18 Ceuta a otra Comunidad Autónoma 210.828 0,3% 19 Melilla a otra Comunidad Autónoma 144.199 0,2% Total 83.075.463 Fuente: Instituto Nacional de Estadística Comunidad Autónoma 2019T4 2019T3 2019T2 2019T1 Andalucía 6.514.810 9.438.764 6.860.177 6.914.318 Aragón 1.420.515 2.146.013 1.649.399 1.474.274 Asturias 752.366 1.330.060 1.296.103 1.063.221 Baleares 945.883 878.690 950.381 847.269 Canarias 1.447.914 2.295.291 1.617.000 1.571.347 Cantabria 515.067 576.134 534.243 507.558 Castilla-León 2.492.339 3.257.439 2.952.066 2.595.502 Castilla la Mancha 1.840.757 2.702.369 2.012.052 1.867.557 Cataluña 6.759.009 10.077.851 9.270.724 7.340.473 Valencia 3.500.214 5.382.263 5.084.857 3.871.187 Extremadura 834.931 1.115.523 1.007.975 883.836 Galicia 2.380.547 2.896.244 2.459.761 2.118.001 Madrid 6.837.642 12.688.902 9.305.578 6.511.731 Murcia 984.701 1.650.059 1.183.365 873.760 Navarra 636.536 866.699 755.010 715.601 País Vasco 2.236.843 3.238.724 3.022.614 2.244.722 La Rioja 310.870 416.848 339.589 242.776 Ceuta 55.888 100.952 100.259 68.819 Melilla 45.053 57.646 73.238 60.019 Total 40.511.885 61.116.470 50.474.390 41.771.971 34 Considerando este nuevo criterio, la clasificación varía. Comunidad de Madrid es la C. A. que emite un mayor número de desplazamientos (33,3)%, seguida de Cataluña (9,1)% y País Vasco (8,9)%. 4.3. Motivación de la Movilidad en España La relevancia de las características personales y regionales son factores determinantes que afectan a los motivos por los cuales se lleva a cabo la movilidad por el país. En efecto, las razones por las que se realizan movimientos pueden clasificarse, según el INE, en:  Negocios y otros motivos profesionales  Congresos, ferias y convenciones  Desplazamiento al centro de trabajo  Otros motivos profesionales  Motivos personales  Ocio, recreo y vacaciones  Turismo de sol y playa  Turismo de naturaleza  Turismo cultural  Turismo gastronómico  Turismo deportivo  Turismo termal y de bienestar  Otro tipo de turismo de ocio  Visitas a familiares y amigos  Otros motivos  Turismo de compras  Desplazamiento al centro de estudios habitual  Otros motivos de educación y formación  Salud  Motivos religiosos o peregrinaciones  Otros El presente trabajo se centra en la movilidad en España, considerando como causa todos los motivos expuestos anteriormente. Además, no se ha considerado las Ciudades Autónomas de Ceuta y Melilla, por ser su información incompleta. De este modo, la matriz de adyacencia resultante consiste en una matriz cuadrada no simétrica, pues se tiene una red dirigida, con tantas filas y columnas como número de vértices tenga la red, esto es, 17. Como ya se comentó en el Capítulo 2, cada elemento aij = 1 cuando haya una arista que una el vértice i con el vértice j, es decir, la Comunidad Autónoma i con la Comunidad Autónoma j. Una vez identificado el valor de los elementos de la matriz, se han considerado nulos los trayectos realizados dentro de una misma C. A, evitando de este modo los loops (aii = 1), de acuerdo a los datos del Anexo I (Tablas 21, 22, 23, 24, 25 y 26). 35 4.4. Análisis de la movilidad mediante Ucinet 4.4.1 Datos utilizados Se va a representar gráficamente y analizar las redes resultantes haciendo uso de los datos correspondientes a los viajes realizados (Anexo I), considerando todos los motivos comentados en el apartado anterior. Por otro lado, debido a la información incompleta referente a los movimientos entre Comunidades Autónomas, no se tienen registrados algunos desplazamientos que se realizan de unas CC. AA. a otras. En consecuencia, el contenido que a continuación se desarrolla incluye la cantidad de viajes realizados por los habitantes de las distintas Comunidades Autónomas, a excepción de Ceuta y Melilla, a otras CC. AA. suponiendo el total de alojamientos, total de motivos, total de transportes, total de viajes y total de noches (Figura 7). Para la representación gráfica de la red y el cálculo de los estadísticos se ha utilizado la aplicación informática “Ucinet”. Además, Ucinet tiene incorporada la herramienta “NetDraw” de modo que se pueda visualizar las redes. Cabe destacar que Ucinet permite exportar directamente los datos de dicha red, sin necesidad de realizar ningún cálculo adicional. 4.4.2 Visualización de la Red 2015 En la Figura 10 se muestra la red de desplazamiento del año 2015 haciendo uso de los datos correspondientes a la Tabla 21 del Anexo I. Figura 10: Visualización de la Red (2015) Nota: El tamaño de los nodos es proporcional al número de conexiones (grado de entrada) que cada C. A. tiene con otras. El grosor de los arcos dirigidos entre nodos es en función del peso de cada C. A., es decir, representa el volumen de los desplazamientos que una C. A. recibe (denominado en inglés, in-strength) (a mayor grosor, mayor el número de desplazamientos que se han producido dentro de ese año considerado de la muestra). 36 En la Figura 10 se puede observar como la Comunidad Autónoma de Madrid es la Autonomía que recibe la mayor parte de los desplazamientos (26.431.373) siendo su procedencia de las CC. AA. de Castilla y León (supone un 21,7%), Castilla-La Mancha (24,5%) y Andalucía (12,3%), principalmente. No se observa una gran diferencia en los arcos dirigidos del resto de Comunidades Autónomas. País Vasco es la segunda C. A. con mayor entrada de desplazamientos (6.794.606) desde Castilla y León (22,2% de los mismos) y Cantabria (18%), primordialmente. Por otra parte, Madrid, seguida del País Vasco, son las CC. AA. receptoras de desplazamientos de un mayor número de Comunidades Autónomas (16 y 14, respectivamente). 4.4.3 Visualización de la Red 2016 En la Figura 11 se obtiene la red resultante hacienda uso de los valores en el año 2016. Figura 11: Visualización de la Red (2016) En la Figura 11 se observa como la Comunidad Autónoma de Madrid es la que recibe nuevamente la mayor parte de los movimientos (27.143.294), principalmente desde Castilla y León (23,5%), Castilla-La Mancha (24,9%), Comunidad Valenciana (12,4%) y Andalucía (12,7%). No se observa una gran diferencia en los arcos dirigidos del resto de Comunidades Autónomas. No obstante, Cataluña resulta ser la segunda C. A. que sigue a la Comunidad de Madrid, con 7.366.710 desplazamientos. Por otra parte, Madrid, seguida de Cataluña y Castilla y León, son las CC. AA. receptoras de desplazamientos de un mayor número de Comunidades Autónomas (16, 14, 14, respectivamente). 4.4.4 Visualización de la Red 2017 La red resultante para el año 2017 se observa en la Figura 12. 37 Figura 12: Visualización de la Red (2017) En la Figura 12 se observa como la C. A. de Madrid es la que recibe la mayor parte de los desplazamientos (29.216.584), desde Castilla y León (supone el 24,1%), Castilla-La Mancha (22,8%), Comunidad Valenciana (12,8%) y Andalucía (12,4%). No se observa una gran diferencia en los arcos dirigidos del resto de Comunidades Autónomas. País Vasco es la segunda C. A. receptora de un mayor número de desplazamientos, 7.292.915. Por otra parte, Madrid, seguida de País Vasco y Castilla y León, son las CC. AA. receptoras de desplazamientos de un mayor número de Comunidades Autónomas (16, 14, 14, respectivamente). 4.4.5 Visualización de la Red 2018 En la Figura 13 se expone el caso para el año 2018. 38 Figura 13: Visualización de la Red (2018) En la Figura 13 se observa como la Comunidad de Madrid es la C. A. que recibe la mayoría de los desplazamientos (27.820.135), cifra que se ha visto decrementada respecto al año anterior, recibiendo dichos desplazamientos principalmente desde Castilla y León (representa el 24,8%) y Castilla-La Mancha (21%). Cataluña es la segunda C. A. receptora de un mayor número de desplazamientos, 7.358.475. Por otra parte, Madrid, seguida de Castilla y León, son las CC. AA. receptoras de desplazamientos de un mayor número de Autonomías (16 y 15, respectivamente). 4.4.6 Visualización de la Red 2019 La red que se va a exponer a continuación corresponde a los valores últimos disponibles proporcionados por el Instituto Nacional de Estadística que representa los viajes entre Comunidades Autónomas considerando el total de motivos por los que se viaja, el total de alojamientos posibles, el total de transportes usados para la realización de dichos viajes y el total de noches que se han hospedado los viajeros. 39 Figura 14: Visualización de la Red (2019) En la Figura 14 se observa como la C. A. de Madrid es la que recibe la mayor parte de los desplazamientos (27.619.435), desde Castilla y León (23,9%), Castilla-La Mancha (19,4%), Comunidad Valenciana (13,2%) y Andalucía (13,3%), principalmente. No se observa una gran diferencia en los arcos dirigidos del resto de Comunidades Autónomas. País Vasco es la segunda C. A. receptora de un mayor número de desplazamientos, 7.323.373. Por otra parte, Madrid, seguida de País Vasco, son las CC. AA. receptoras de desplazamientos de un mayor número de Autonomías (16 y 14, respectivamente). Realizando una comparativa de las redes estudiadas, se puede observar los cambios que se han ido produciendo según ha avanzado el tiempo. Figura 15: Visualización Red 2015 y 2016 (comparativa) 40 4.4.7 Visualización de la Red Promedio (2015-2019) En la Figura 17 se representa gráficamente la red de los desplazamientos promedio durante el periodo 2015- 2019, que puede resultar ser más completa que las mostradas anteriormente, ya que se suavizan las variaciones anuales de los flujos. Figura 16: Visualización Red 2017, 2018 y 2019 (comparativa) 41 Figura 17: Visualización de la Red (Valores Promedio) En la Figura 17 se observa como la C. A. de Madrid es la que recibe la mayor parte de los desplazamientos (27.646.164), principalmente desde Castilla y León (23,6%), Castilla-La Mancha (22,5%), Comunidad Valenciana (12,8%) y Andalucía (12,7%). No se observa una gran diferencia en los arcos dirigidos del resto de Comunidades Autónomas. País Vasco es la segunda C. A. receptora de un mayor número de desplazamientos, 7.165.538. Por otra parte, Madrid, seguida de Cataluña y Castilla y León, son las CC. AA. receptoras de desplazamientos de un mayor número de Comunidades Autónomas (16, 15 y 15, respectivamente). 4.5. Comentarios adicionales Una vez identificado todas las redes correspondientes a los periodos que comprenden de 2015 a 2019, junto con la red relativa a los valores promedio de éstas, se puede comprobar como, desde el año 2015 en adelante, las Comunidades Autónomas de Castilla-La Mancha y Castilla y León tienen un flujo abundante hacia la capital de España. Esto puede explicarse debido a la gran cantidad de primeras y segundas residencias que hay en estas CC. AA. pertenecientes a los habitantes de Madrid. Además, se observa como el flujo receptor y emisor del nodo correspondiente a la Comunidad Autónoma de Madrid va aumentando según avanzan los años, es decir, hay una mayor concentración de los desplazamientos hacia la C. A. de Madrid. Respecto a las CC. AA. de Canarias y Baleares, la movilidad que reciben desde otras Comunidades Autónomas es principalmente por motivos de ocio y turismo. Este hecho se respalda con la información obtenida del Ministerio de Transportes, Movilidad y Agenda Urbana el cual señala como las principales rutas en España, para el año 2012, las siguientes (Figura 18). 48 Figura 21: Red según PageRank de la Autonomía más influyente A modo de conclusión, se puede afirmar que la Comunidad Autónoma más influyente en España en referencia a la movilidad de personas es la Comunidad de Madrid. 4.8. Resultados del Contraste de Bondad de Ajuste Se va a analizar si la distribución Ley de Potencias (en inglés, Power-Law) se ajusta a los datos correspondientes a la movilidad entre CC. AA. (promedio) (Tabla 26), a partir del contraste de bondad de ajuste basado en el estadístico de Kolmogorov–Smirnov (KS statistic). En la Tabla 12 se muestran los resultados, pudiéndose afirmar, con un nivel de significación del 10%, que la distribución de ley de Potencias se ajusta al grado de la red promedio (Estadístico KS = 0.126; p-valor = 0.997). Tabla 12: Ajuste de la ley de Potencias según grado Incertidumbre de los parámetros 𝛼 xmin probabilidad logarítmica estadístico KS p-valor Grado total 5.943 23 -26.008 0.126 0.997 Nota: 𝛼 representa el exponente de la distribución de Potencias; xmin es el mínimo valor con el que la distribución de Potencias se ajustó al modelo; probabilidad logarítmica: referente a los parámetros que se han ajustado a la distribución; estadístico KS representa un estadístico de prueba de un test KS que compara la distribución Power- Law con el vector de entrada (grado de entrada de la red, en este caso) (un menor valor supone un ajuste mejor); finalmente, un p-valor inferior a 0.05 indica que la prueba rechaza la hipótesis referente a que los datos podrían haberse extraído de la distribución ajustada a la ley de Potencias. La Figura 22 muestra la relación que existe entre el grado de la red y la función de distribución acumulativa (en inglés, cumulative distribution function, CDF), donde se observa gráficamente los resultados tras realizar el análisis de la red según su ajuste a una distribución Power-Law. 49 Figura 22: Resultados Power-Law 50 5 MODELOS ERGM En el presente capítulo se va a exponer los modelos Exponenciales de Grafos Aleatorios (Exponential Random Graph Models, ERGM). Los modelos ERGM se caracterizan por ser modelos estadísticos que permiten analizar la probabilidad que tendrán los pares de nodos de una red comparando la red observada con los modelos ERGM. 5.1. Introducción a los Modelos ERGM Los modelos ERGM (Snijders et al., 2006) se utilizan para la especificación de la distribución probabilística de las distintas redes que se desee estudiar. Estos modelos explican la probabilidad de una red observada como una función de variables, tanto endógenas como exógenas. En el análisis de redes, los atributos afectan a la estructura de la red, y la estructura afecta a los atributos, dando lugar a una relación mutua entre ambos. Es por ello la necesidad de controlar los efectos exógenos y endógenos puesto que la variación de éstas afecta a la estructura de la red en su conjunto. Hay que señalar además que los modelos ERGM parten de unos supuestos teóricos:  Las redes emergen localmente.  Los patrones de la red estudiada se pueden entender como evidencia de procesos en marcha.  Y las redes están estructuradas estocásticamente, es decir, que evolucionan aleatoriamente en función del tiempo. Las variables endógenas, que pueden estar representadas a través de la reciprocidad, conectividad, popularidad o triangulación, entre otros, describen la presencia o ausencia de vínculos entre los nodos de la red. En este sentido, las variables endógenas generan un modelo de la estructura de la red a estudiar, mediante la creación de la red a partir de diversas configuraciones (o patrones locales de vínculos). Respecto a las variables exógenas, pueden ser atributos no controlables e inherentes por los nodos o las diversas relaciones exógenas en la red, y son variables que no tienen relación con la estructura de la red, pero que influyen en la forma que tendrá la misma. Los modelos ERGM permiten producir un conjunto de resultados en forma de coeficientes y niveles de significancia que reflejan el cambio en la probabilidad de un vínculo asociado con el cambio de una variable endógena o exógena. Por lo tanto, los modelos ERGM permiten obtener estimaciones de máxima semejanza para los parámetros del modelo especificado dado un conjunto de datos, así como la definición de modelos para una red que incluya elementos tales como mutualidad, relaciones de triangulación, etc., la evaluación de modelos de convergencia, coeficientes individuales y realizar comparaciones entre distintos modelos o simular nuevas redes en base a las distribuciones de probabilidad del modelo previamente estudiado con ERGM. 5.2. Descripción de los Modelos ERGM Sea Y una matriz de adyacencia donde yij = 1 si los elementos están relacionados mediante un arco. Sea X la matriz de covariables que incorpora las medidas estructurales de la red así como los atributos de los nodos y 51 arcos, los modelos ERGM se pueden expresar como: 𝑃𝜃,𝛾(𝑌 =𝑦|𝑋)= 𝑒𝜃𝑇𝑔(𝑦,𝑋) 𝑘(𝜃,𝛾) donde:  Y: representa la realización de una red, siendo una variable similar a una variable aleatoria.  y: aplicación a la red observada.  θ: especifica el vector de coeficientes.  𝛾: simboliza el espacio de grafos (o redes) posibles.  g (y, X): vector del modelo estadístico de la red.  k (θ, 𝛾): representa un escalar de normalización, es decir, una cantidad respecto a todas las redes posibles, restringiendo a las redes con el mismo conjunto de nodos y. Además, la ecuación de los modelos ERGM se puede describir de una forma alternativa: 𝑙𝑜𝑔𝑖𝑡 (𝑌𝑖𝑗 =1|𝑦𝑖𝑗 𝑐)= 𝜃𝑇𝛿(𝑦𝑖𝑗) donde:  𝑌𝑖𝑗: observación de la variable aleatoria genérica.  𝑦𝑖𝑗: representa la relación que tienen los nodos i y j en la red y. De nuevo, si yij = 1 los elementos están relacionados mediante un arco.  𝑦𝑖𝑗 𝑐: simboliza el estado de todos los pares de vértices (nodos) en la red y que no sean (i, j).  𝛿(𝑦𝑖𝑗): medida de cómo varían los estadísticos de la red en función de si el vértice ij está, o no, conectado a los demás. 5.3. Estimación y análisis del modelo ERGM A través de la estimación de los modelos ERGM al análisis del movimiento de residentes en España, se podrán explorar e identificar las relaciones entre las CC. AA. y algunas de las características que determinan su funcionamiento, es decir, la determinación de los flujos emisores y receptores. 5.3.1 Variables endógenas 5.3.1.1 Arcos Los arcos (denominado en inglés, edges) se refiere al número de vínculos entre nodos existente en la red. 5.3.1.2 Reciprocidad Las conexiones recíprocas (denominado en inglés, mutual) hace referencia a la tendencia que tienen los nodos de la red a formar relaciones recíprocas (si el nodo i se relaciona con el nodo j, muy posiblemente j decida relacionarse con i). 52 5.3.1.3 Triángulos Los triángulos (denominado en inglés, triangles) representa la relación existente entre los nodos i, j, k, de modo que un triángulo se define, en redes no dirigidas, como el conjunto {(i, j), (j, k), (k, i)}. En redes dirigidas, un triángulo se define como cualquier conjunto de tres arcos entre (i, j) y (j, k) y (k, i) o (i, k). 5.3.2 Variables exógenas 5.3.2.1 Presencia de costa en la Comunidad Autónoma Un motivo que puede influir en el aumento de los desplazamientos puede estar relacionado con los destinos de playa o costa. Por esta razón, se ha introducido la variable exógena “Costa” según tenga (o no) la C. A. costa en su región. La variable “Costa” es de tipo binaria (1 = “Presencia costa”; 0 = “Ausencia costa”). Las CC. AA. que sí presentan costa son: Andalucía, Principado de Asturias, Islas Baleares, Canarias, Cantabria, Cataluña, Comunidad Valenciana, Galicia, Región de Murcia y País Vasco. Por el contrario, aquellas Comundidades Autónomas sin costa son: Aragón, Catilla-La Mancha, Castilla y León, Extremadura, La Rioja, Comunidad de Madrid y Cominidad Foral de Navarra. 5.3.2.2 Presencia de estación de esquí en la Comunidad Autónoma Otro motivo que puede contribuir a un aumento de los desplazamientos se encuentra en los destinos de montaña, con la finalidad de esquiar. Se introduce la variable exógena “Esqui”, variable binaria (1 = “Presencia estación esquí”; 0 = “Ausencia estación de esquí”), identificando las CC. AA. donde se hayan las siguientes estaciones de esquí:  Cordillera Cantábrica: Valgrande-Pajares (Asturias), Fuentes de Invierno (Asturias), San Isidro (León), Leitariegos (León), El Morredero (León), Alto Campoo (Cantabria), Lunada (Burgos) y Manzaneda (Orense).  Pirineos: Astún (Huesca), Candanchú (Huesca), Formigal (Huesca), Panticosa (Huesca), Cerler (Huesca), Baqueira Beret (Lérida), Boí Taüll Resort (Lérida), Espot Esquí (Lérida), Port Ainé (Lérida), Port del Comte (Lérida), La Molina (Gerona), La Masella (Gerona), Tavascán (Lérida), Vallter 2000 (Gerona) y Vall de Núria (Gerona).  Sistema Central: Valdesquí (Comunidad de Madrid), Puerto de Navacerrada (Comunidad de Madrid), La Pinilla (Segovia) y La Covatilla (Salamanca).  Sistema Ibérico: Valdezcaray (La Rioja), Valle del Sol (Burgos), Javalambre (Teruel) y Valdelinares (Teruel).  Sierra Nevada. Es decir, las Comunidades Autónomas a las que pertenecen estas provincias y que por tanto tendrán asignado el atributo de estación de esquí son: Andalucía, Aragón, Principado de Asturias, Cantabria, Castilla y León, Cataluña, Comunidad de Madrid y La Rioja. 5.3.2.3 Fiestas más conocidas y otros acontecimientos Se ha incorporado la variable exógena “Festividades”, atributo asignado a las CC. AA. que poseen las fiestas más conocidas en España y otros acontecimientos mostrados en el siguiente listado:  Carnaval de Cádiz, carnaval de Tenerife y carnaval de Gran Canaria.  Las fallas de Valencia.  La Semana Santa de Andalucía y Castilla y León.  La Feria de Abril de Sevilla. 53  Las Fiestas de San Isidro en Madrid.  El Camino de Santiago.  Y La Tomatina en Buñol, Valencia. La variable “Festividades” es de tipo binaria (1 = “Presencia festividades”; 0 = “Ausencia festividades”). 5.3.2.4 Presencia del AVE Otro motivo que puede explicar un posible aumento de los desplazamientos recae en la variable explicativa “AVE”. De este modo, la presencia de rutas de AVE entre CC. AA. puede suponer un aumento en la movilidad entre estos territorios. Cabe destacar que en este apartado se tendrán en cuenta las Comunidades Autónomas que conecten con otras mediante la red ferroviaria de Renfe AVE. De este modo, como pudo comporbarse en la Figura 19 del capítulo anterior y aplicando el criterio comentado previamente, queda excluida la Comunidad Autónoma de Galicia pues, aún teniendo presencia de AVE en su territorio, su trayecto no conecta con otras CC. AA. restringiendo, de este modo, la movilidad únicamente por el interior de Galicia. En consecuencia, las CC. AA. que sí quedan conectadas son: Andalucía, Castilla-La Mancha, Castilla y León, Comunidad Valenciana, Comunidad de Madrid, Cataluña y Aragón. La variable “AVE” es de tipo binaria (1 = “Presencia AVE”; 0 = “Ausencia AVE”). 5.3.2.5 Distinción de Regiones Finalmente, se ha introducido la variable explicativa “Region”. Su finalidad es distinguir tres regiones en el territorio español, mediante los cuales pueda ser más factible la movilidad entre CC. AA. que pertenezcan a una misma región por su proximidad. Éstas son:  Norte: Aragón, Asturias, Cantabria, Cataluña, Galicia, Navarra, País Vasco y La Rioja.  Sur: Andalucía, Canarias y Murcia.  Centro: Baleares, Castilla León, Castilla-La Mancha, Valencia, Extremadura y Madrid. La variable “Region” es de tipo categórica y representa las tres regiones del territorio español (1 0 = “Norte”; 0 1 = “Sur”; 0 0 = “Centro”, siendo esta última la variable de referencia de las otras dos). 5.4. Simulación con RStudio Se va a estudiar la red desde la perspectiva de las relaciones entre las Comunidades Autónomas, es decir, cómo los nodos interactúan entre sí, haciendo uso de la aplicación informática “RStudio”, herramienta que permite la computación estadística basada en un lenguaje de programación R. Antes de comenzar a mostrar los resultados obtenidos, es preciso apuntar la notación utilizada en los resultados obtenidos en la estimación del modelo:  Valor estimado. Un valor negativo corresponde a la no aleatoriedad en la formación del enlace.  MCMC: Cadenas de Markov de Montecarlo (en inglés, Markov Chain Monte Carlo). Métodos de simulación que permite generar muestras y estimar cantidades de interés.  (***): p-valor ≤ 0,01; (**): 0,01 < p-valor ≤ 0,05; (*): 0,05 < p-valor ≤ 0,1. La presencia de (*) representa que el factor es significativo, influyendo en la generación de arcos.  AIC: Criterio de Información de Akaike (en inglés, Akaike Information Criterion): mide la calidad 54 relativa de un modelo estadístico. Un menor valor del mismo proporcionará una mejor solución.  BIC: Criterio de Información Bayesiano (en inglés, Bayesian Information Criterion): criterio para seleccionar modelos entre un conjunto de los mismos. Un menor valor del mismo proporcionará una mejor solución. En primer lugar, se procede a calcular y simular el modelo en su forma más simple, considerando únicamente la existencia de arcos, que equivale al modelo de Erdös-Renyi. Tras simular el código en RStudio, de la Tabla 13 se obtiene que el número de arcos totales existentes en la red son 192. Haciendo uso de la ecuación logit expresada previamente se puede interpretar el coeficiente obtenido en la Tabla 13: 𝑙𝑜𝑔𝑖𝑡 (𝑌𝑖𝑗 =1|𝑦𝑖𝑗 𝑐)= 𝜃𝑇𝛿(𝑦𝑖𝑗) =0,8755× 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑛º 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 =0,8755 × 1 donde 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑛º 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 supone la unidad pues, tras añadir un nuevo arco a la red, el número total de arcos se ve incrementado en 1. De este modo, la probabilidad de ocurrencia de un enlace es la inversa de logit, es decir, un 0,70: 𝑒𝑥𝑝(0,8755)(1+𝑒𝑥𝑝(0,8755)) ⁄ =0,70 Tabla 13: Resultados del modelo (ERGM) número de arcos Parámetros Términos ERGM Valor estimado Error MCMC p-valor Pr(>|p|) Efectos estructurales de la red edges 0.8755 0.1331 0 6.579 <1e-04 *** Diagnóstico del modelo AIC 331.6 BIC 335.2 A continuación, se procede a añadir el término “mutual” (reciprocidad) (Tabla 14), que representa la existencia de las relaciones i → j y j ← i. De los resultados se obtiene que las relaciones de reciprocidad ascienden a 81, con efecto positivo y significante, indicando la existencia de más relaciones recíprocas en este modelo que las esperadas de un modelo aleatorio con 192 arcos. Además, realizando el mismo procedimiento que anteriormente, se obtiene que la probabilidad de crear un enlace recíproco entre dos nodos es 0,816. 𝑒𝑥𝑝(1,4893)(1+𝑒𝑥𝑝(1,4893)) ⁄ =0,816 Tabla 14: Resultados del modelo (ERGM) Parámetros Términos ERGM Valor estimado Error MCMC p-valor Pr(>|p|) Efectos estructurales de la red mutual 1.4893 0.1742 0 8.549 <1e-04 *** Diagnóstico del modelo AIC 306.3 BIC 309.9 Incorporando al modelo inicial el término de “triangle”, se puede medir la probabilidad de la red de tener nodos adyacentes interconectados como un conjunto de tres arcos, también denominado triangulación.Se 55 obtiene que el número asciende a 2.223. En este caso, la probabilidad de formación de triángulos en la red es 0,507. 𝑒𝑥𝑝(0,032)(1+𝑒𝑥𝑝(0,032)) ⁄ =0,507 Tabla 15: Resultados del modelo (ERGM) Parámetros Términos ERGM Valor estimado Error MCMC p-valor Pr(>|p|) Efectos estructurales de la red triangle 0.031944 0.002805 0 11.05 <1e-04 *** Diagnóstico del modelo AIC 313.4 BIC 317 Por otra parte, se va a hacer uso de las variables exógenas previamente comentadas. Al trabajar con una red dirigida, es necesario realizar un estudio de la influencia que tiene cada atributo en los arcos de entrada y salida de los nodos, es decir, en la simulación se ha considerado la influencia de estos atributos sobre los nodos según sean factores significativos sobre los arcos emisores, sobre los arcos receptores y de forma conjunta. En la Tabla 16 se muestra la estimación del modelo ergm_1, que representa la influencia de las covariables en la generación de arcos.Un primer aspecto que se puede abordar es cómo la covariable “Costa” no es un factor significativo y por tanto no influye en la generación de los arcos de la red. Ocurre lo mismo con la covariable “Esqui”. En este sentido, la presencia de costa y de estaciones de esquí en las Comunidades Autónomas no son razón suficiente por la cual aumenta el número de movimientos de esas CC. AA. Sin embargo, la presencia del AVE sí influye en un aumento de los movimientos, teniendo un efecto significativo. Las covariables “Festividades” y “Region.Norte” influyen de forma menos significativa, de acuerdo al número de (*). Finalmente, la interpretación de la variable exógena “Region.Sur” indica que la probabilidad de que una C. A. del sur forme un enlace frente a que una C. A. del centro forme un enlace es menor, de acuerdo al signo negativo del término ERGM. Tabla 16: Resultados del modelo (ERGM) con efectos exógenos Parámetros Términos ERGM Valor estimado Error MCMC p-valor Pr(>|p|) Efectos estructurales de la red edges -2.6959 0.5872 0 -4.591 <1e-04 *** mutual 0.7959 0.5448 0 1.461 0.1440 Efectos de los atributos de los nodos nodefactor.AVE.1 1.8162 0.4201 0 4.323 <1e-04 *** nodefactor.Costa.1 0.5252 0.2867 0 1.832 0.0670 . nodefactor.Esqui.1 0.3804 0.2986 0 1.274 0.2027 nodefactor.Festividades.1 0.9683 0.3326 0 2.912 0.0036 ** nodefactor.Region.Norte.1 0.7200 0.3435 0 2.096 0.0361 * nodefactor.Region.Sur.1 -0.8838 0.4097 0 -2.157 0.0310 * Diagnóstico del AIC 235.3 56 modelo BIC 264.1 A continuación, se procede a analizar los resultados obtenidos de la simulación considerando la influencia de las variables exógenas en la generación de arcos que inciden sobre los nodos (ergm_2). En la Tabla 17 se observa como la única covariable significativa es “AVE”. De este modo, la presencia de líneas de AVE en una C. A. influye en un aumento de los movimientos que recibe ésta. Sin embargo, no se puede afirmar lo mismo del resto de covariables pues, al no ser factores significativos, no afectan a la formación de enlaces que inciden sobre las CC. AA. Tabla 17: Resultados del modelo (ERGM) con efectos exógenos (entrada) Parámetros Términos ERGM Valor estimado Error MCMC p-valor Pr(>|p|) Efectos estructurales de la red edges -1.37977 0.42143 0 -3.274 0.001060 ** mutual 2.27299 0.41814 0 5.436 < 1e-04 *** Efectos de los atributos de los nodos nodeifactor.AVE.1 1.54494 0.45811 0 3.372 0.000745 *** nodeifactor.Costa.1 -0.18964 0.35662 0 -0.532 0.594885 nodeifactor.Esqui.1 0.21447 0.37074 0 0.578 0.562934 nodeifactor.Festividades.1 0.09186 0.37477 0 0.245 0.806380 nodeifactor.Region.Norte.1 0.77192 0.43506 0 1.774 0.076015 . nodeifactor.Region.Sur.1 -0.31559 0.47543 0 -0.664 0.506819 Diagnóstico del modelo AIC 281.6 BIC 310.4 Finalmente, se procede a analizar la situación contraria a la descrita anteriormente: cómo influyen las variables explicativas en un aumento de los arcos que emiten los nodos (ergm_3). Atendiendo a los resultados obtenidos, las variables exógenas que influyen en mayor medida en la generación de los arcos que emiten las Comunidades Autónomas son la presencia de AVE y la existencia de festividades. En menor medida, la existencia de costa también influye en el aumento del movimiento que emiten estas CC. AA. Las covariables “Esqui” y “Region.Norte” no contribuyen a un aumento de los enlaces que emiten los nodos, no siendo factores significativos. La interpretación de la covariable “Region.Sur” indica que la probabilidad de que una C. A. del centro forme un enlace frente a que una C. A. del sur forme un enlace es mayor, de acuerdo al signo negativo del término ERGM. Sin embargo, no tiene gran influencia en la red, atendiendo al rango donde se encuentra su p-valor. Tabla 18: Resultados del modelo (ERGM) con efectos exógenos (salida) Parámetros Términos ERGM Valor estimado Error MCMC p-valor Pr(>|p|) Efectos edges -2.6164 0.4975 0 -5.259 < 1e-04 *** 57 estructurales de la red mutual 2.4862 0.4663 0 5.331 < 1e-04 *** Efectos de los atributos de los nodos nodeofactor.AVE.1 1.9192 0.4891 0 3.924 < 1e-04 *** nodeofactor.Costa.1 1.1936 0.4004 0 2.981 0.00287 ** nodeofactor.Esqui.1 0.3723 0.4268 0 0.872 0.38298 nodeofactor.Festividades.1 2.0192 0.5124 0 3.941 < 1e-04 *** nodeofactor.Region.Norte.1 0.5038 0.4705 0 1.071 0.28433 nodeofactor.Region.Sur.1 -1.4300 0.6020 0 -2.375 0.01753 * Diagnóstico del modelo AIC 235.4 BIC 264.2 Finalmente, atendiendo a los valores de los estadísticos AIC y BIC, el modelo ergm_1 es el que proporciona una mayor calidad del ajuste, entre todos los modelos estudiados. A continuación, se va a hacer uso de la función de Contraste de Bondad de Ajuste (en inglés, Goodness-of-Fit, GOF) perteneciente a ERGM de forma que se pueda comparar la red simulada con la red observada. Dicha comparación es posible puesto que la función GOF simula diversas redes haciendo uso de los parámetros del modelo inicial utilizado, obteniendo, de este modo, medidas de estas redes. En este caso, los p-valores que se obtienen son la diferencia entre los estadísticos pertenecientes a la red observada y los referentes a la red simulada. Un p-valor reducido supone un posible problema ante el correcto ajuste de los estadísticos del modelo. Se ha empleado para esta última simulación el código de ergm_1. En la Tabla 19 se observa los p-valores individuales de cada covariable. Atendiendo a estos resultados, las variables exógenas “AVE” y “Costa” son las que mejor se ajustan a los modelos simulados. Tabla 19: Resultados GOF (p-valor) Términos ERGM p-valores edges 0.9136283 mutual 0.5606255 nodefactor.AVE.1 0.9661010 nodefactor.Costa.1 0.9885409 nodefactor.Esqui.1 0.5313997 nodefactor.Festividades.1 0.6989611 nodefactor.Region.Norte.1 0.3604792 nodefactor.Region.Sur.1 0.5128918 En las Figuras 23 y 24 se representa gráficamente el procedimiento GOF. Los diagramas de caja representan los valores de la red simulada, siendo la línea en negrita el valor de la red original. Idealmente, éstos dos deberían superponerse. 64 hecho que no ocurrirá de momento, puesto que la situación hoy en día es similar a meses anteriores, considerando las nuevas cepas y mutaciones del virus que se detectan, además de la incertidumbre respecto a la protección a largo plazo de las vacunas. Muchos expertos consideran que no habrá una mejora para alcanzar un nivel de movilidad como el que había antes de la pandemia, considerando este periodo en el cuarto trimestre de 2019, hasta el año 2023 o incluso posteriormente. 65 7 CONCLUSIONES Las redes complejas resultan de gran interés en diferentes ámbitos de la vida real, y gracias a Internet se puede acceder a una gran cantidad de datos, que tras su análisis concreto, proporcionan información y resultados con conclusiones coherentes para una adecuada toma de decisiones. El primer objetivo del presente trabajo ha sido describir la metodología utilizada, Redes Complejas, con el fin de comprender su tipología y sus estadísticos característicos. El segundo objetivo ha sido presentar las redes resultantes haciendo uso del flujo de movimientos que se produce en el territorio español entre las diecinueve Comunidades Autónoma a excepción de Ceuta y Melilla, de las que no se dispone información. Conviene indicar que los resultados obtenidos reproducen una aproximación de la realidad, sin llegar a una exactitud completa pues ciertas Comunidades Autónomas no tienen registrados los flujos que reciben o emiten a otras CC. AA. De acuerdo a todo lo anterior, considerando la información registrada por el Instituto Nacional de Estadística, se ha representado la movilidad entre las CC. AA. para los periodos entre 2015 y 2019, además de una red adicional con los valores promedio de estos periodos. Del análisis realizado se destaca el hecho de que las distintas rutas del AVE han permitido conectar las zonas de Andalucía, Castilla y León, Castilla-La Mancha, Valencia, Madrid y Cataluña y fortalecer la centralidad de Madrid en los flujos de población. Haciendo uso de los estadísticos de la red, se ha comprobado como las redes estudiadas durante el periodo 2015-2019 estaban bien conectadas pero poco centralizadas, siguiendo un modelo de red regular. Además, se ha obtenido mediante el análisis PageRank que la Comunidad Autónoma más relevante de la red es Madrid. Por otro lado, se ha verificado que la distribución de Ley de Potencias se ajusta al grado de la red promedio. Posteriormente, con el propósito de explicar la relevancia de la red estudiada, se ha introducido la metodología de los modelos ERGM, para analizar las posibles variables que resultan determinantes para la formación de flujo en las redes de movilidad en España. En consecuencia, se ha desarrollado un listado con atributos que tienen, o no, las Comunidades Autónomas: ya sea la presencia de costa, de estaciones de esquí, de fiestas o acontecimientos destacados, la presencia o ausencia del AVE y la región donde se encuentra ubicada cada C. A. Tras las simulaciones realizadas, las variables explicativas “Costa” y “Esqui” no son influyentes en el aumento de desplazamientos que se producen entre las Comunidades Autónomas, a diferencia de las covariables “AVE” y “Festividades”. Adicionalmente, la variable explicativa “Region” influye levemente en el aumento de la movilidad entre las CC. AA. Finalmente, se ha analizado la situación actual causada por el SARS-CoV-2, pues la pandemia, que ha alcanzado más de 3.764.651 contagios y 80.689 fallecidos, ha provocado un desplome en los movimientos en todos los continentes. Por este motivo, tanto el Gobierno de España como el de las CC. AA. establecieron restricciones en la movilidad, limitando los desplazamientos dentro de los municipios, provincia o Comunidad Autónoma, según fuese la fase del Estado de Alarma. Con la llegada de la campaña de vacunación, la situación ha mejorado. Sin embargo, sigue existiendo una situación de incertidumbre respecto a la evolución del SARS-CoV-2. En síntesis, mediante la metodología aplicada de Redes Complejas se ha mostrado gráficamente la movilidad de residentes en España, pudiendo visualizar la red resultante, y se ha realizado un análisis de las variables que resultan determinantes en los desplazamientos entre Comunidades Autónomas. 66 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Almende, B. & Thieurmel, B. (2019). visNetwork: Network Visualization using “vis.js” Library (R package version 2.0.9). https://cran.r-project.org/package=visNetwork Altmark, S. (2016). Estudio del gasto en turistas de cruceros en Uruguay para la temporada 2010-2011 mediante el análisis de redes. 1–34. Álvarez-Vaz, R. & Altmark, S. (2019). Study of Expenditure on Cruise Tourists in Uruguay for the 2010-2011 Season Using Network Analysis. Cuadernos Del CIMBAGE, 21, 27–64. Analytictech. Cohesion Dyadic and Whole Network. Barabási, A. & Albert, R. (1999). Emergence of Scaling in Random Networks. 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(promedio) 72 Anexo II: Código en R ######Librerias###### library(igraph) library(statnet) library(intergraph) library(ergm) library (network) library(sna) library(ggraph) library(visNetwork) library(threejs) library(networkD3) library(ndtv) library(ggplot2) library(readr) library(dplyr) library(tnet) library(poweRlaw) ######Datos###### dat=read.table(file="C:/Users/ANA/Desktop/TFG/Excel/Viajes.csv",header=TRUE, sep = ";" ,row.names=1,check.names=FALSE,nrows=18) m=as.matrix(dat) #Atributos att<-read.table(file="C:/Users/ANA/Desktop/TFG/Excel/Atributos.csv",header=T, sep = ";",stringsAsFactors=FALSE,check.names=FALSE,nrows=18) #Red net <- network(m, vertex.attr = att,vertex.attrnames = colnames(att),directed = T, hyper = FALSE, loops = FALSE, multiple = FALSE, bipartite = FALSE) which.matrix.type(net) which.matrix.type(as.matrix.network(net,matrix.type="adjacency")) #Formato Red 73 ggraph(net) + geom_edge_link() + geom_node_point() + geom_node_text(aes(label=name), repel = TRUE)+ geom_edge_link(width=1, colour="black") + geom_node_point(size=4, colour="#00AFBB") + theme_graph() ######Page Rank###### # grafica objeto de grafo como ejemplo plot(net, layout= layout.fruchterman.reingold, vertex.size=8, vertex.label.dist=0.4, vertex.color="#00AFBB", edge.arrow.size=0.5, edge.color="black",vertex.label.dist=0.9, vertex.label.color="black",vertex.label.dist=6, vertex.label.font=c(2),vertex.label.dist=0.9, vertex.label.color="black",vertex.label.dist=6, vertex.label.font=c(2)) # calcula page rank pr.tmp <- data.frame(pr.value= page.rank(net)$vector) pr <- data.frame(pr.desc=row.names(pr.tmp), pr.val = pr.tmp[,1]) head(pr[order(pr$pr.val,decreasing = T),],17) # grafica interacciones usando valor page.rank para tamaños en grafico V(net)$label.cex = 0.6 + pr$pr.val*3 # tamaño de letra segun page.rank a <- layout_on_sphere(net) plot(net,layout=a, vertex.size=pr$pr.val*100, vertex.label.dist=2, vertex.label.color="black", vertex.label.dist=2, vertex.label.font=c(2), vertex.color="#00AFBB", edge.arrow.size=0.1, edge.color="black") b <- layout_in_circle(net) plot(net,layout=b, vertex.size=pr$pr.val*100, vertex.label.dist=2, vertex.label.color="black",vertex.label.dist=2, vertex.label.font=c(2), vertex.color="#00AFBB", edge.arrow.size=0.1, edge.color="black") plot(net,layout=layout.fruchterman.reingold, vertex.size=pr$pr.val*100, vertex.label.dist=2, vertex.label.color="black",vertex.label.dist=2, vertex.label.font=c(2),vertex.color="#00AFBB", edge.arrow.size=0.1, edge.color="black") # GRAFICANDO PERSONA MAS IMPORTANTE # Se agrega vector al objeto grafo, con valores de PageRank (pr$pr.val y grafo vienen de script anterior) V(net)$page.rank.vector <- pr$pr.val # Se identifica el valor máximo de page rank max.pr <- max(V(net)$page.rank.vector) # Se crea objeto g2 con grafo de persona más influyente g2 <- subgraph.edges(net, E(net)[inc(V(net)[page.rank.vector>=max.pr])]) # gráfico del objeto g2