Caracterización del daño en elementos estructurales tipo barra de material compuesto. Determinación de carga última

360 ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA Vol.ll (1994) CARACTERIZACION DEL DAÑO EN ELEMENTOS ESTRUCTURALES TIPO BARRA DE lVIATERIAL COMPUESTO. DETERMINACION DE CARGA ULTIMA . .T Sánchez, J. Cañas, F. Pmís Escuela Superior <.le Ingenieros Intlustriales Dpto. Mecúnica <.le Metlios Continuos. Universitlatl <.le Sevilla. E.T.S.I.I. Av. Reina Mercetles, s/n. 41012 Sevilla. Resumen.- El objetivo principal <.le! trabajo es realizar un análisis tlel comportmniento <.le barras <.le material compuesto hasta la cmga última. Pma ello, ha sitio necesario establecer a pmtir <.le criterios <.le fallo <.le J{uninas, motlelos <.le progresión <.le tlm1o. Para comprobar la valitlez <.le los motlelos propuestos se han realizatlo una serie <.le ensayos simples utilizantlo prohetw; con secuencias <.le apilatlo <.le [O]g, [(ON0)2ls, <mtl [45/0/-45NO]s. Ahstract.- The main purpose of this work is to GuTy out an analysis ahout the hehaviour of lmninate composite hemns proposing tlifferent failure progression metlels. In ortler to allow the practica! resolution of these ca.~es, a user-friendly computer progrmn has heen tlevelopetl. On U1e oU1er h<mtl, a test tlevice ha~ heen designetl antl huilt to make tests wilh tlifferent graphite/epoxy cmnposite he~uns. Specimens with stacking sequence [O]g, [(0/90)2Js. antl [ 45/0/-45/(JO]s ha ve been restetl. The valitlity of the failure progression motlels proposetl can he U1en verifietl by using U1ese tests. 1. INTRODUCCION. El análisis <.le estructuras formatlas por bmras <.le material compuesto puetle realizm·se a pm·tir <.le la teoría general <.le l<uninatlos metlümte la introtluccicín <.le hipótesis simplificativas acordes con la geometría peculiar tlel elemento estructural consitleratlo. La<; ecuaciones <.le gobiemo tlel elemento estructural, equilibrio, cnmpatibilitlatl y comport<uniento puetlen ser combinatla-; en ortlen a la obtenci<ín <.le la matriz <.le rigitlez elemental tlel elemento estructural. A pmtir <.le ella, se puetle realizar un montaje análogo al que se realiza en cálculo matricial en ortlen a obtener la relación E=K !J. <.le la cual se puetle obtener el cmnpo <.le tlesplazmnientos y a pmtir <.le él los esfuerzos internos y tensiones .. Una vez tleterminatlo el estatlo tensiona1 pma la cmga consitleratla, se emplea un criterio <.le fallo de l{unina tleterminantlose así el umbral <.le rotura <.le la primera lámina (RUL). El fallo <.le la J{unina es motlelatlo como una tlegratlaci<ín <.le propiedatles realizandose posteriormente un nuevo análisis tensional . El proceso se repite hasta la rotura del elemento estructural consitleratlo (RUL). 2. TEORIA GENERAL DE VIGAS DE MATERIAL COMPUESTO 2.1.- Hip<ítesis adoptadas. a) La" tlimensiones que tlefinen la secci<ín transversal <.le! elemento son pequel1as en comparaci¡ín a la longitutl b) Se atlmite que la secci<Ín permanece plana después <.le la tleformacicín e) Desplazmnientos y rotaciones pequeñas. ti) No existe deslizmniento relativo entre i<L" J{uninas. e) Las cmgas actuan en el plano tlel elemento y se admite que actuan <.le forma estática o cuasiestática creciendo proporcionalmente hasta la carga última. f) Solo se consitlera tlefonnaci<Ín normal a la secci<1n transversal y tensión tangencial en el plano <.le la secci<ín, vm·ümtlo esta última pm·ahúliGunente. 2.2. Ecuaciones de el¡uilihiin Supontlremos un estatlo <.le cargas linealmente rep~u·titlo a lo largo <.le totla la Iongitutl <.le! elemento estructural (L) y actuando en tlirección <.le la barra y/o perpentlicular a ella: Se tommán como magnitutles estútiGL'i intemas los esfuerzos intemos en el extremo i. Los esfuerzos en el extremo j se puetlen obtener por aplicaci<'m <.le l~L' ecuaciones <.le la estútica. '•fiiDftn c2 + . j X Fig. 1.- Estatlo <.le cargas y tlefinici<'m <.le esfuerzos intemos. ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA Vol.ll (1994) 361 N =-N - L (e +e ) j i 2 3 4 V =-V _.1.(c +e) j i 2 1 2 L2 L2 M =-M +VL+c -+ej i i 12 26 (1) Estas tres ecuaciones pueden ser escritas en forma matricial: Q. = CQ>· + f 1 - 1 - (2) siendo Qi 1 Q.i los esfuerzos internos en los extremos i(j , C. la matriz de equilibrio y f el vector de cargas externas. 2J. Ecuaciones de compatibilidad De acuerdo a la-; hiptítesis adoptadas, las relaciones E-u se reducen a : o aul) E (x)=- x ax 2 o a wo ; kx = ---2ax siendo kx 0 es la curvatura, Ex 0 la deformaci<Ín normal y u0 , w 0 y z los indicados en la ti gura 2 . +----t---+1: u o Sección AA Fig. 2.- Definición de desplazmnientos 2.4. Ley de comportamiento La ley de comportamiento del laminado, se obtiene a partir de la ecuación de comportmniento de una l{unina en los ejes principales del material (ejes de ortotropía 1,2). (4) donde: La ecuaciún anterior puede ser también escrita en ejes geométricos (x,y) xy Qxy xy .Q. =- .e. (5) Si la l{unina ocupa la posición k dentro del huninado y dista z de la línea media, la ecuación de comportmniento de acuerdo a la-; hipútesis adoptadas es: k xy;k xy;k 0 o cr = Q E = Q (E + zk ) X 11 X 11 X X xy;k 4 2 2 Q 11 = Q 11 cos 8 + 2 (Q 12 + 2Q66) sen 8 cos 8 + +Q2len48 siendo 8 el ángulo que forman las tibras de la lámina k con el eje x. Los esfuerzos internos Nx y Mx (axil y t1ector) en una secci<ín de la barra se calculan como la resultante de la.-; tensiones. Vendr{m dados, por tanto, por l<L<; expresiones: uonue: J h/2 o o M = b -cr zdz = -B E - D k X -h/2 X 11 X 11 X n xy;k All=h L Qll (zk-zk-1) k=l 362 ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA Vol.ll (1994) Expresando las ecuaciones anteriores en forma matricial: ( Nx) = ( All Bll ) (E~) M -B -D O x 11 11 kx (6) 2.5. Matriz de rigidez El conjunto de ecuaciones (2), (3) y (6) constituyen las ecuaciones de crunpo de la barra. Integrando y combinando adecuadamente estas ecuaciones, se pueden expresar los esfuerzos internos en funcilín de los desplazamientos en los extremos de la barra, obteniendo así la matriz de rigidez local K de la bmTa: A 11 L o B 11 L A 11 L o B 11 T o -6t. A L2 11 o 12t. -6t. A e 11 E=k..ll + femp B 11 L -66 A L2 11 4A D -3B 2 11 11 11 A11L B 11 L M A11L2 2A D -3B 2 11 11 11 A11L A 11 L o B 11 L A 11 L o B 11 L o 126 A L3 11 () (7) Bl1 L -GA 2A D -3B2 11 11 11 AIIL B 11 L M A11L2 4A D -3B2 11 11 11 AI1L A partir de la matriz de rigidez local de la bma, se realizar un montfüe similar al del cálculo matricial de estructuras de barras is<ítropas obteniendo la ecuación de rigidez total de la estructura, cuya soluci<ín permite obtener los desplazrunientos de los nudos a partir de lm; cargas externas. Conocidos los desplazmnientos !! de los nudos, la ecuación (7) pennite obtener los esfuerzos internos en los extremos de cada bmTa . 4. CRITERIO DE RESISTENCIA DE UNA LAMINA Necesitamos detlnir un criterio que relacione el estado actual de tensiones con uno permitido. Este estado permitido representa a la vez el tln del comportruniento elástico lineal y la rotura. Realizando un análisis de tensiones capa a capa y usando un criterio de rotura, puede obtenerse la rotura correspondiente a la primera l{unina. Los criterios utilizados más frecuentemente corresponden a ~unpliaciones de criterios similares usados para materiales isótropos. En este trab~o se han analizado cuatro criterios de rotura correspondientes a l{unina-; unidireccionales: . Teoría de la máxima tensión. . Teoría de la máxima deformación . . Criterio de Tsai-Hill . . Criterio de Tsai-Wu. Los resultados que se discutirán posteriormente han sido obtenidos utiliz~mdo la teoría de máxima tensión, con los otros criterios se obtuvieron para los casos analizados resultados similares. Este criterio establece que se producirá la fractura si alguna de las componentes tensionales sobrepasa su resistencia cmTespondiente; es decir, no se producirá la rotura si: a) Estado de tracción: b) Estado de compresión: donde: < S X1-Resistencia a tracción longitudinal. X e - Resistencia a compresión longitudinal. Y 1 -Resistencia a tracción transversal. Y eResistencia a compresión transversal. S - Resistencia a cortadura. Habitualmente, el cálculo de tensiones no se realizará en el sistema principal del material, sino en un sistema de coordenadas general para todas las capas del l~uninado. Por ello, es necesario establecer el criterio de rotura para unas direcciones arbitraria-;: crx < X /cos28 1 . ANALESDEMECAmCADELAFRACTURA Vol.ll (1994) 363 4. RESISTENCIA ULTIMA DEL LAMINADO La predicción de la rotura de la primera l{unina (RPL) de un laminado se realiza a partir del estado tensional calculado y aplicando un criterio de rotura determinado. Ahora bien, si las cargas aplicadas sobrepa-;an la RPL, el lmninado podrá o no soportar la carga adicional. La resistencia última de un lmninado (RUL) dependerá de cada estado de carga y se determina analizando el comporL:'liDiento de cada l(unina hasta que no quede ninguna resistiendo. De esw forma, aunque una l{unina falle, puede seguir aportando algo de resistencia al conjunto y, de cualquier modo, las l{uninas restantes siguen resistiendo. Vamos a analizar, a continuación, la capacidad de soportar la carga pnst-RPL de una barra de i<uninado cualquiera sometida a una carga monótona creciente. Para ello, será necesario proponer una serie de modelos de daño del laminado. Dichos modelos para compuestos l~uninados de t1bras continuas tratan cada lámina compuesta (fibra y matriz) como un único material homogéneo con un tipo de comportmniento antes de alcanzar el umbral de fallo y con otro comportamiento distinto después de dicho lúnite. El uso de un modelo de dm1o consiste en la runpliacüín de la teoría general de lmninados a la rotura final de la estructura. Es decir, tra-; realizar un modelado del dm1o (disminución de propiedades en la lámina que falló) causado por el fallo de alguna l{unina, se puede volver a analizar la estructura degradada y realizar un nuevo análisis convencional de tensiones. Con este nuevo esL:'ldo de tensiones se puede aplicar nuevmnente el criterio de fallo y predecir la siguiente l{unina de la estructura que alcanzará el fallo y continuar m;í hasta alcanzar el fallo total (RUL). Para corroborar los diferentes modelos propuestos se ha analizado una serie de ejemplos simples cuyos resultados son analizados en el apartado siguiente. La propuesta de los distintos modelos se ha realizado basándose, fundamentalmente, en la comparacüín de los resultados experimentales con los resultados teóricos que se generab¡m al aplicar cada modelo. Así, tras analizar los dos primeros modelos ( 1 y 2), enunciados por Tsai [ 1], hemos propuesto en este trabqjo [2] otros tres, con los que se pretende solventar las deficiencias encontradas en los anteriores. Estos cinco modelos se han denominado: 1) Modelo de eliminación de líuninm; 2) Modelo de degradación de la matriz 3) Modelo de degradaciones parciales sucesiva-; 4) Modelo de degradación y eliminación 5) Modelo de degradación de matriz y fibras Es con este último modelo con el que mejores resulL:'ldos se han obtenido. En él, se considera que cuando se sobrepasa el umbral de la rotura de la primera l(unina (RPL) comienz;m a aparecer fisuras en dirección paralela a las fibras propagándose en el interior de la matriz y en la interfa-;e fibra matriz. Este primer fallo de una lámina produce una disminución de las propiedades que vienen gobernadas fundrunentalmente por la matriz (En. G12 y v21). Ahora bien, cuando se produce el segundo fallo, este no solo afecta a la matriz sino que L:11nbién se produce un deterioro de las propiedades de las fibras. Dicho dal1o en las fibras puede considerarse como una reducción del módulo de Young longitudinal E u y del · módulo de Poisson V12· De esta forma se originaría un nuevo huninado en el que una lámina que ha fallado n veces tiene lw; siguientes propiedades: E = Rn-1 E o 11 11 E 11 Q11= 1-v v 12 21 = n-1 O R E 11 2n-1 O VO 1R V 12 21 n O E22 R E22 Q ' - --~-- = ----...;;;..;'---- 221 V V 1 _ R2n-1 VO O - 12 21 12 v 21 2n-1 o Eo R V 12 22 =---___;;.;:;...._:;.:::.,._ 2n-l O VO l-R vl2 21 donde el superíndice O indica que son propiedades originales y R el factor de degradación. El fallo último del laminado, para este modelo, se producirá cuando, tras haber fallado todas las láminas de una barra, se produce un nuevo fallo de alguna de ellas. 5. ANA LISIS EXPERI1\1ENT AL Con el fin de comprobar la validez de los diferentes modelos de progresi<Ín del dal1o propuestos se han realizado una serie de ensayos simples utilizando prohetas de un material gratito/epoxy fabricados por 364 ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA Vol.ll (1994) HTC (High Technology Composites) <le <.lenominaci6n AS-4/3501-6 con secuencias <le apila<.lo [O]s [(0/90)z]s y [45/0/-45/9021s· Las propie<.Ia<.les <le rigi<.lez y resistencia fueron obteni<.lm; experimentalmente a partir <le lamina<.Ios uni<.lireccionales. El primero ensayo realiza<.lo fue el <le tracción. En la tabla 1 pue<.len apreciarse los resulta<.los experimentales compara<.los con los obteni<los utilizan<.lo los <.liferentes modelos. Como pue<.le observarse, en el caso <le lamina<.lo uni<.lireccional el resulta<.lo coinci<.Ie con el espera<.lo <.Ia<.lo que el fallo <.Iel lmnina<.lo es el <le la lámina. Para las restantes secuencias <le apila<.lo, se observa que los resulta<.los son satisfactorios para el mo<.lelo <le <.legra<.lación <le matriz y tibra (Mo<.lelo 5) utilizando un factor <le <.legra<.laci6n R=0.5. [OJx [0/90l2s [ 45/0/-45/90]s Experimental 235 1230 730 (1) 2350 1176 588 R=0.3 2350 1207 335 (2) R=0.5 2350 1229 323 (3) R=0.3 2350 1207 921 R=0.3 2350 1207 603 (4) R=0.5 2350 1229 615 R=<U 2350 1207 ó75 (5) R=0.5 2350 1229 696 ~ ~· Cargas de rotura en Kg Tahla 1.· Resulta<.los <le! ensayo <le tracci(m. Posteriormente se ha realiza<.Io un ensayo <le t1exi<ín con viga biarticu la <.la. Para ello se construyú el <.lispositivo mostra<.lo en la figura 3. Fig. 3.- Dispositivo para ensayo <le t1exi<ín Los resulta<.los experimentales, junto con los que se pre<.licen con los <.liferentes mo<.Ielos se sumarizan en la tabla 2 para las tres secuencia-; <le apila<.lo utiliza<.las. [Ol8 [0/90lzs [45/0/-45/90] Experimental 20.7 14.1 8,3 (1) 18,8 13,0 7,3 R=0.3 18,9 13,2 3,2. (2) R=0.5 18,8 13,3 3,1 (3) R=0.3 74,6 69 48 R=0.3 18,9 13,2 7,4 (4) R=0.5 lS,S 13,3 7,4 R-0.3 19,5 13,2 8,5 (5) R=0.5 21,6 15,2 8,7 ! Cargas de &:: ~ rotura en Kg Tahla 2.- Resulta<.los <le! ensayo <le tlexi<'in Nuevamente, se aprecia c.¡ue el mo<.lelo <le <legra<.lación <le tihra y matriz con un factor R=0.5 es el que con<.Iuce a mejores resulta<.los. La evoluci(m <le la tlecha con la carga para una <le lw; secuencias analiza<.las usan<.lo el mo<.Ielo 5 con <.liferentes factores <le <.legra<.laci<ín, se muestra en la figura 4. ;:. c=·~~·~P~(K~g~)--~--~[-48 0 /_0I_·_4B_t,9_0I_• __ _,----, 10 o 500 1000 1800 2000 2800 3000 Flecha (0.01 mm) Viga blartloulada ~ R•0.3 --6R-0.6 -+- Ro0.4 Fig. 4.- Ensayo <le t1exión. [45/0/-45/90]s Como pue<.le observarse el acuer<.lo es satisfactorio. ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA 6. CONCLUSIONES Observando los buenos resultados obtenidos en los casos ensayados, se podría utilizar el análisis desarrollado en este trabajo para predecir el comportamiento de barras de material compuesto laminado. Por otro lado, los modelos de progresi<ín del daño propuestos pueden utilizarse para predecir el comportamiento post-RPL y la carga última. Como conclusión de este trab~jo, puede decirse que la predicción de la resistencia de un material compuesto sometido a cargas combinadas es arriesgado. Los criterios de resistencia no pueden ser asociados a algunos principios fundmnentales de comportamiento ya que los materiales compuestos tienen un runplio rango de comportamiento que depende de la interacción entre fibra y matriz drmdo lugar a distintos modos de fallo que actúan interactiva y simult.{mearnente. En este trabajo, se ha intentado modelar el comportmniento de estos materiales comprobándose que el modelo denominado de degradación de matriz y fibra, utilizando un factor de degradación R=0.5, es el que más se aproxima a la realidad en los ensayos realizados. 6. REFERENCIAS. [1] Tsai S.W., "Composites Design" Think Composites (1.988). [2] Sánchez .T., "Modelado del daño en estructuras ponicadas de material compuesto". Escuela Superior de Ingeneiros Industriales de Sevilla (1.993). [3] París F., Cañas J., "Introducción al análisis v diseño con materiales compuestos". Escuela Supérior de Ingenieros Industriales de Sevilla ( 1.991 ). [4] Berkowitz H.M.: "A Theory of Simple Beruns and Columns for Anisotropic Materials". .T ournal of Composite Materials, Vol. 3, 196-200 (1.969). [5] Agarwall B. D., Broutman L. .T., "Ana!ysis and perfornwnce o.f.fiher composites" . .Tolm Wiley & Sons (1-.980). 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