La categoría de Lusternik-Schnirelmann de los espacios finitos. Enunciado y discusión de un problema

FACULTAD DE MATEM´ ATICAS DEPARTAMENTO DE GEOMETR´ IA Y TOPOLOG´ IA La categor´ıa de Lusternik-Schnirelmann de los espacios finitos. Enunciado y discusi´on de un problema Un Trabajo Fin de Grado realizado por ´ Alvaro Pav´on D´ıaz Dirigido por los tutores: Antonio Quintero Toscano Jose Antonio Vilches Alarc´on 2 Presentaci´on El estudio de los espacios finitos es muy apropiado como fuente de trabajos fin de grado pues, aunque el lenguaje b´asico es accesible a los alumnos de ´ultimo a˜no, lleva casi inmediatamente a problemas abiertos de inter´es. Este trabajo es una aproximaci´on elemental al uso de invariantes num´ericos del tipo Lusternik-Schnirelmann en la topolog´ıa de los espacios finitos (o, equivalentemente, en teor´ıa de conjuntos , de acuerdo con la conocida identificaci´on debida a P.S. Alexandrov). El desarrollo del mismo ha sido pr´acticamente simult´aneo con la aparici´on de trabajos de investigaci´on centrados en este tipo de invariantes u otros de tipo combinatorio muy relacionados, como se puede comprobar en la bibliograf´ıa. Los tutores Los tutores y el alumno agradecen la ayuda de Ram´on Flores y su inter´es en el trabajo. ´ Indice general 1. Definiciones de topolog´ıa general 7 1.1. Base de y para una topolog´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2. Axiomasdeseparaci´on.............................. 9 1.3. Construyendo nuevos espacios a partir de otros dados . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1. Topolog´ıauni´on ............................. 10 1.3.2. Topolog´ıa producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.3. Espaciocociente ............................. 11 1.3.4. Ejemplos ................................. 11 1.4. Conexi´on y contractibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2. Espacios de Alexandrov 15 2.1. Definici´on de A-espacio. Abierto m´ınimo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2. Conexi´on y homotop´ıa en A-espacios. Modelo T0de un A-espacio. . . . . . 15 2.3. Conjuntos parcialmente ordenados (posets) y A-espacios. . . . . . . . . . . 16 2.4. Homotop´ıayorden................................ 18 2.5. A-espacios y poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.5.4. Poliedros asociados a espacios finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.5.5. Espacios finitos asociados a complejos. F-modelos de poliedros . . . 24 3. La categor´ıa de Lusternik-Schnirelmann 25 3.1. Definici´on de la categor´ıa LS. Invariancia por homotop´ıa . . . . . . . . . . . 25 3.2. Ejemplos ..................................... 26 3.3. LS-recubrimientos relativos a un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.4. Versi´on de la categor´ıa LS en el sentido de Whitehead . . . . . . . . . . . . 28 4. La categor´ıa LS de los espacios finitos 33 4.1. Definici´on, ejemplos y observaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.2. Arboricidad y la categor´ıa simplicial en grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.3. El problema de la caracterizaci´on de la categor´ıa LS de espacios finitos de alturauno..................................... 39 3 4´ INDICE GENERAL Resumen El trabajo presenta el invariante homot´opico conocido como categor´ıa de Lusternik- Schnirelmann (categor´ıa LS, para simplificar) para espacios finitos. La topolog´ıa y homotop´ıa de estos espacios se resumen en un cap´ıtulo inicial y se contin´ua con los elementos de la categor´ıa LS cl´asica. El cap´ıtulo final est´a abierto, ya que plantea problemas sobre la categor´ıa LS de espacios finitos de los que desconocemos la soluci´on. Una serie de ejemplos, comentarios y resultados conocidos sirven para presentar los problemas. Abstract This work focuses on the homotopical invariant termed Lusternik-Schnirelmann category (LS category, for short) of finite spaces. A brief account of the topology and homotopy of this class of spaces is followed by an introduction of the basics of classical LS category. The last chapter contains several open questions together with a series of related examples, observations and known results. Introducci´on La observaci´on de que los conjuntos ordenados poseen una topolog´ıa intr´ınseca se debe a P.S. Alexandrov (ver [1]) y A.W. Tucker (ver [14]), que de manera independiente descubrieron que los conjuntos ordenados (llamados posets) pod´ıan ser identificados con aquellos espacios topol´ogicos en los que las intersecciones arbitrarias de abiertos tambi´en son conjuntos abiertos. Estos espacios son llamados espacios de Alexandrov oA-espacios. Es claro que los A-espacios con la propiedad de separaci´on de Hausdorff son s´olo los espacios discretos, esto es, desde el punto de vista de la topolog´ıa m´etrica del an´alisis y la geometr´ıa, los A-espacios carecer´ıan de inter´es. No obstante, la topolog´ıa algebraica de estos espacios no es trivial en absoluto. De hecho, M.McCord ( [11]) prob´o que los invariantes algebraicos de cualquier poliedro compacto (por ejemplo el grupo fundamental o la homolog´ıa) pueden ser realizados por un espacio finito. Mas expl´ıcitamente, este autor prob´o que existe una correspondencia natural que a cada espacio finito Xle asigna un poliedro |O(X)|y una equivalencia de homotop´ıa d´ebil natural ψX:X→ |O(X)|. De hecho, el proceso puede ser revertido salvo equivalencia de homotop´ıa d´ebil. Una equivalencia de homotop´ıa d´ebil f:X→Yinduce isomorfismos entre los invariantes algebraicos de XeYque est´en construidos a partir de poliedros (como son el grupo fundamental y la homolog´ıa). Para ilustrar con un ejemplo esta noci´on, consideremos la aplicaci´on f:X→Yque recoge la semirrecta X=R+en el espacio compacto Y, que es conocido como c´ırculo polaco, y que est´a descrito en la siguiente figura. Figura 1: C´ırculo polaco Se puede comprobar que fes una equivalencia de homotop´ıa d´ebil de acuerdo con la definici´on en Subsecci´on 2.5.4. Sin embargo, fno es una equivalencia de homotop´ıa, pues para ello ha de existir una aplicaci´on f0:Y→Xtal que f◦f0≃idYyf0◦f≃idX. Ahora bien, el espacio Yes conexo y compacto, f0(Y) ser´ıa un arco y una homotop´ıa H:f0◦f≃idYno podr´ıa ser continua en los puntos del segmento recto. En efecto, dados un punto ade este segmento y una sucesi´on xn→afuera del segmento, para cada nla restricci´on H|{xn}×Ies un camino en Yque comienza en xny termina en alg´un punto del arco f0(Y). La ´unica forma de desplazarse de xn, para nsuficientemente grande, debe ser hacia la derecha. Igualmente, H|{a}×Ies un camino con inicio en ay terminaci´on en f0(Y). 5 6´ INDICE GENERAL Pero esto entra en contradicci´on con la continuidad de H, ya que as´olo puede moverse usando el segmento y el arco inferior. Adem´as de los invariantes algebraicos, hay otros invariantes que lo son del tipo de homotop´ıa, pero no del tipo de homotop´ıa d´ebil. Un ejemplo es la llamada categor´ıa de Lusternik-Schnirelmann (o categor´ıa LS) que surgi´o como una cota inferior para funciones diferenciables arbitrarias de una variedad. La categor´ıa LS (definida como el menor n´umero de abiertos de un espacio cuya inclusi´on es homot´opicamente trivial) encontr´o su lugar dentro de la topolog´ıa tras los trabajos de R.H. Fox, y actualmente es el prototipo de los llamados invariantes num´ericos de la topolog´ıa algebraica. Ver [4] para una referencia muy completa sobre estos invariantes. A diferencia del grupo fundamental o la homolog´ıa, la categor´ıa LS no es invariante del tipo de homotop´ıa d´ebil. Por ejemplo, nuestro espacio Ytiene categor´ıa LS infinita mientras X=R+tiene categor´ıa 1 por ser contr´actil. Por tanto, el teorema de McCord pierde su papel esencial para la categor´ıa LS, y la consideraci´on de la categor´ıa LS para espacios finitos ampl´ıa los temas de estudio de la teor´ıa de homotop´ıa de estos espacios incluidos en [2] y [9]. Este es un trabajo abierto que presenta algunos ejemplos y plantea varios problemas relativos a la categor´ıa LS de los espacios finitos: su relaci´on con la categor´ıa LS cl´asica y con un nuevo invariante num´erico de tipo simplicial dado en [7]. Las soluciones a estos problemas no parecen inmediatas. Pasamos a detallar el contenido de esta memoria: el cap´ıtulo 1 recoge los resultados de topolog´ıa general necesarios en el resto del trabajo, mientras que el cap´ıtulo 2 es una recopilaci´on de la topolog´ıa de los A-espacios. Ambos cap´ıtulos han sido resumidos de [3] y ampliados con aquellos resultados puntuales necesarios para el ´ultimo cap´ıtulo. La casi totalidad de los resultados recogidos en ellos s´olo necesitan el conocimiento de las asignaturas del grado. El cap´ıtulo 3 es una breve introducci´on a la categor´ıa LS cl´asica. Aqu´ı nuestro trabajo ha consistido en adaptar los resultados necesarios para que puedan ser enunciados con s´olo los conocimientos del grado. El cap´ıtulo 4 presenta de la categor´ıa LS de los espacios finitos, dando ejemplos y algunos resultados contenidos en [7] y [8], y en particular su relaci´on con la llamada categor´ıa LS simplicial. El trabajo queda abierto, pues la ´ultima secci´on de este cap´ıtulo plantea una serie de problemas sobre la categoria LS de espacios finitos. Cap´ıtulo 1 Definiciones de topolog´ıa general Este cap´ıtulo introductorio recoge los diferentes conceptos b´asicos de topolog´ıa necesarios en este trabajo. Los detalles se pueden encontrar en cualquier libro de de topolog´ıa general (por ejemplo, [13]). Recordemos que una topolog´ıa,T, sobre un conjunto Xes una colecci´on de subconjuntos de Xcon las siguientes propiedades: 1. ∅yXest´an en T. 2. La intersecci´on finita de conjuntos de Test´a en T. 3. La uni´on arbitraria de conjuntos de Test´a en T. Al par (X, T) se le llama espacio topol´ogico. Los conjuntos de Tson llamados conjuntos abiertos de (X, T). Al complementario de un conjunto abierto se le llama conjunto cerrado. Notaci´on 1.0.1.Cuando la topolog´ıa Tse supone impl´ıcitamente, o no es relevante en el contexto, denotamos simplemente por Xal espacio topol´ogico, que tambi´en es abreviadamente referido como “espacio”. Los dos ejemplos extremos de topolog´ıa son la topolog´ıa discreta en la que todos los conjuntos son abiertos, (o equivalentemente todos los conjuntos unitarios son abiertos) y la topolog´ıa indiscreta otrivial que es la topolog´ıa en la que ´unicamente ∅yXson los abiertos. Es obvio que la topolog´ıa discreta es la mayor topolog´ıa posible, y la indiscreta, la menor. Recordemos que un espacio topol´ogico Xse dice compacto si de todo recubrimiento de Xpor abiertos se puede extraer un subrecubrimiento finito. Si (X, T) es un espacio topol´ogico, dados A⊆Xyx∈X, se dice que xes interior a Aen (X, T) (o que Aes entorno de x) si existe un abierto Gcon x∈G⊆A. Se llama interior de Aen (X, T) al conjunto int(A) = {x∈X;xes interior a A}. Una familia V de entornos de xse dice base de entornos de xsi para todo entorno Nde x, existe V∈ V con V⊆N. Igualmente, x∈Xes llamado punto adherente aAsi todo abierto Gcon x∈G cumple G∩A6=∅. Se llama clausura de Aal conjunto A={x∈X;xes adherente a A}. Un subconjunto Ade un espacio Xse dice que es denso en Xsi A=X. Se cumple que int(A)⊆A⊆A. Un conjunto A⊆Xes cerrado en (X, T) si y s´olo si A=Ay es abierto si y s´olo si int(A) = A. La topolog´ıa relativa a un subconjunto A⊆Xse define de la siguiente manera: sea (X, T) un espacio topol´ogico, y sea A⊆X. La topolog´ıa sobre A, TA={A∩G;G∈ T } 7 8CAP´ ITULO 1. DEFINICIONES DE TOPOLOG´ IA GENERAL se denomina topolog´ıa relativa aA. Al par (A, TA) se le llama subespacio topol´ogico de (X, T). Obs´ervese que si Aes abierto en (X, T), entonces todo abierto de (A, TA) lo es de (X, T). Por medio de una topolog´ıa se da una estructura de proximidad entre los puntos de un conjunto. La aplicaciones continuas entre espacios topol´ogicos son aquellas que preservan dicha estructura de proximidad. Recordamos que una aplicaci´on f:X−→ Y entre espacios topol´ogicos es continua si f−1(V) es un abierto de Xpara cada abierto V de Y. Una aplicaci´on continua es un homeomorfismo si fes biyectiva y su inversa f−1es tambi´en continua. Los espacios topol´ogicos de mayor inter´es en la geometr´ıa y en el an´alisis son los espacios m´etricos. Una distancia en un conjunto Xes una funci´on d:X×X→R que cumple las siguientes propiedades: 1. d(x, y)≥0 para todos x, y ∈X. 2. d(x, y) = 0 si y s´olo si x=y. 3. d(x, y) = d(y, x) para todos x, y ∈X 4. (Desigualdad triangular)d(x, y) + d(y, z)≥d(x, z) para todos x, y, z ∈X Al par (X, d) se le llama espacio m´etrico. En cualquier espacio m´etrico se definen la bola abierta de radio  > 0 y centro xcomo el conjunto Bd(x, ) = {y|d(x, y)< }y la bola cerrada como Bd[x, ] = {y|d(x, y)≤}. La topolog´ıa de un espacio m´etrico (X, d) est´a formada por el conjunto vac´ıo y todos aquellos conjuntos A⊆Xtales que para todo a∈Aexiste  > 0 con Bd(a, )⊆A. 1.1. Base de y para una topolog´ıa En la definici´on de la topolog´ıa de un espacio m´etrico los abiertos no est´an dados expl´ıcitamente, sino descritos a partir de ciertos abiertos generadores (las bolas abiertas), ajust´andose este hecho a la siguiente definici´on. Dado un espacio topol´ogico (X, T), una subfamilia B ⊆ T se dice que es una base de la topolog´ıa T(o base de abiertos) si todo abierto no vac´ıo de Tes uni´on de abiertos de B. Equivalentemente, Bes una base de Tsi y s´olo si para cada abierto Uy para cada x∈U, existe un B∈ B tal que x∈B⊆U. Si Bes una base de (X, T) y A⊆X, entonces BA={B∩A;B∈ B} es una base de la topolog´ıa relativa TA. En un espacio m´etrico (X, d) la familia de las bolas abiertas de centro xy radio rpara todo x∈Xyr > 0 es una base de la topolog´ıa de (X, d). Una base Bde Tse dice minimal si para cualquier B∈ B la familia B\{B}deja de ser base de T. Por ejemplo, una base de la topolog´ıa discreta es la formada por todos los conjuntos unitarios {x},x∈X. Adem´as, esta base es minimal. La siguiente definici´on nos da un m´etodo para construir una topolog´ıa a partir de una familia dada de conjuntos. Una base para una topolog´ıa sobre Xes una colecci´on Bde subconjuntos de X, llamados elementos b´asicos, que cumplen las siguientes propiedades: 1. Para cada x∈X, hay al menos un elemento b´asico Bque contiene a x. 1.2. AXIOMAS DE SEPARACI ´ ON 9 2. Si xpertenece a la intersecci´on de dos elementos b´asicos B1yB2, entonces existe un elemento b´asico B3que contiene a x, tal que B3⊆B1∩B2. Si Bsatisface estas dos condiciones, la familia T(B) formada por los conjuntos U⊆X tales que para cada x∈Uexiste B∈ B con x∈B⊆U, es la ´unica topolog´ıa sobre Xque tiene a Bcomo base y se denomina topolog´ıa generada por B. A˜nadiendo una tercera condici´on a la definici´on de base se tiene la siguiente caracterizaci´on de base minimal para una topolog´ıa. Un conjunto Bde subconjuntos no vac´ıos de Xes una base minimal para una topolog´ıa si y s´olo si se cumplen las tres propiedades siguientes: 1. Todo punto de Xest´a en alg´un conjunto Bde B. 2. Si xpertenece a la intersecci´on de dos elementos B1, B2∈ B, entonces existe B3∈ B, tal que x∈B3⊆B1∩B2. 3. Si una uni´on de conjuntos Bide Best´a tambi´en en B, entonces la uni´on es igual a uno de los Bi. Todo homeomorfismo f:X→Ytransforma una base Bde abiertos de Xen una base de abiertos de Y,Bf={f(B); B∈ B}. Si Bes una base minimal de X, entonces Bf tambi´en es minimal. 1.2. Axiomas de separaci´on Es bien sabido que la unicidad de puntos l´ımite, crucial en tantos resultados de an´alisis, es consecuencia de la famosa propiedad de separaci´on de Hausdorff, llamada T2en la siguiente jerarqu´ıa de propiedades de separaci´on: 1. Xes un espacio T0si para dos puntos distintos x, y ∈X, existe un abierto Gtal que, o bien x∈Gey /∈G, o bien y∈Gyx /∈G. 2. Xes un espacio T1si dados dos puntos distintos x, y ∈X, existen abiertos G1, G2 tales que: x∈G1, y /∈G1, y tambi´en y∈G2, x /∈G2. 3. Xes un espacio T2(o espacio de Hausdorff ) si existe en Xun par de abiertos disjuntos de modo que uno contiene a xy el otro a y. 4. Xes un espacio T3(o espacio regular) si es un espacio T1y para cada punto x∈X y cualquier cerrado F⊆Xtal que x /∈Fexisten abiertos disjuntos UyVtales que x∈UyF⊆V. 5. Xes un espacio T4(o espacio normal) si es un espacio T1y para cada par de cerrados disjuntos F1, F2⊆Xexisten abiertos disjuntos UyVtales que F1⊆UyF2⊆V. Obviamente, T4⇒T3⇒T2⇒T1⇒T0. Adem´as, (A, TA) es un espacio Tisi (X, T) tambi´en es un espacio Ti, para i= 0,1,2. Se tienen las siguientes equivalencias: 1. Xes T0si y s´olo si para cualesquiera dos puntos x, y ∈Xo bien x /∈{y}, o bien y /∈ {x}. 2. Xes T1si y s´olo si para todo x∈X, entonces {x}es cerrado, es decir, {x}={x}, lo que a su vez equivale a pedir que {x}=∩x∈GxG, siendo Gxla familia de abiertos que contiene a x. 16 CAP´ ITULO 2. ESPACIOS DE ALEXANDROV Teorema 2.2.1. Sea Xun A-espacio. Las siguientes condiciones son equivalentes. 1. Xes conexo. 2. Dados x, y ∈X, existe una secuencia x=z1, . . . , zs=y, tal que zi∈Uzi+1 ´o zi+1 ∈Uzipara i<s. 3. Xes conexo por caminos. Lema 2.2.2. Sean f, g :X−→ Ydos aplicaciones continuas, siendo Yun A-espacio. Supongamos que Uf(x)⊆Ug(x)(o, equivalentemente, f(x)∈Ug(x)), para todo x∈X. Entonces fygson homot´opicas por una homotop´ıa relativa al conjunto {x∈X;f(x) = g(x)}. Corolario 2.2.3. Si Yes un A-espacio tal que para alg´un y0∈Yse tiene Uy0=Y, entonces Yes contr´actil. Corolario 2.2.4. Todo A-espacio Xes localmente contr´actil. Teorema 2.2.5. El espacio cociente X0de un A-espacio Xpor la relaci´on x∼ysi Ux=Uy es un A-espacio T0. M´as a´un, la aplicaci´on cociente p:X→X0es una equivalencia de homotop´ıa con inversa homot´opica cualquier aplicaci´on f:X0→Xque elija para cada clase de X0un representante de la misma. Al espacio X0se le llama el modelo T0de X. 2.3. Conjuntos parcialmente ordenados (posets) y A-espacios. La teor´ıa de los conjuntos parcialmente ordenados se puede considerar parte de la Topolog´ıa, ya que los posets son exactamente los A-espacios T0. A continuaci´on se describe esta equivalencia con detalle. Un preorden Ren un conjunto Xes una relaci´on reflexiva y transitiva. Si un preorden Ren Xes adem´as antisim´etrico, se llamar´a orden parcial (o simplemente orden en X) y se dice que (X, R) es un conjunto parcialmente ordenado (o poset). Dos elementos xeydel conjunto preordenado (X, ≤) se dicen que est´an relacionados si x≤yox≥y. Un elemento xes un elemento maximal (minimal) si para cada zen X,x≤z(z≤x, respectivamente) implica x=z. Se denotar´a por Max(X) (Min(X), respectivamente) el conjunto de los elementos maximales (minimales, respectivamente) de X. En general, cualquier subconjunto totalmente ordenado se llamar´a cadena. Un subconjunto A⊆Xse dice una anticadena si ning´un par de su elementos est´an relacionados. N´otese que tanto Max(X) como Min(X) son anticadenas. Una aplicaci´on entre conjuntos preordenados f: (X, ≤)→(Y, ) se dice que preserva el orden (o que es una aplicaci´on ordenada) si para x≤x0se tiene f(x)f(x0). Se dice que invierte el orden (o es antiordenada) si para x≤x0se tiene f(x0)f(x). La aplicaci´on anterior se dice que es un isomorfismo entre conjuntos preordenados si es una biyecci´on tal que fyf−1son aplicaciones ordenadas. Si son antiordenadas se llama antiisomorfismo. Un subconjunto S⊆Xse llama conjunto decreciente si y≤x∈Simplica y∈S. Dado x∈X,↓x={y∈X;y≤x}es un conjunto decreciente, llamado el ideal principal generado por x. Dualmente, un subconjunto S⊆Xse llama conjunto creciente si y≥x∈Simplica y∈Spara x, y ∈X. Como caso particular, ↑x={y∈X;y≥x}es un conjunto creciente para todo x∈X, llamado filtro principal generado por x. Si “≤” es un preorden en X, entonces no es dif´ıcil comprobar que la familia de los ideales principales en Xes base m´ınima para una A-topolog´ıa sobre Xpara la cual los 2.3. CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS (POSETS) Y A-ESPACIOS. 17 abiertos son exactamente los conjuntos decrecientes (o, equivalentemente, los cerrados son los conjuntos crecientes). M´as a´un, si “≤” es un orden parcial, entonces esta topolog´ıa es T0. A esta topolog´ıa se le llama topolog´ıa del preorden de “≤”y se denota por T≤. Tambi´en es base m´ınima para una topolog´ıa sobre Xla familia de filtros principales ↑x, que ser´ıa la topolog´ıa del preorden opuesto definido por x≤op ysi y≤x. Rec´ıprocamente, dado un A-espacio (X, T) se puede definir un preorden ≤T(preorden de especializaci´on de T) estableciendo x≤Tysi se cumple una de las siguientes condiciones equivalentes: y∈ {x} ⇔ x∈Uy⇔ {y} ⊆ {x} M´as a´un, si (X, T) es T0, entonces el preorden ≤Tes de hecho un orden parcial. Se tiene el siguiente teorema que da la equivalencia entre preorden y A-espacio. Teorema 2.3.1. Toda relaci´on de preorden “≤” sobre un conjunto Xcoincide con el preorden de especializaci´on de su topolog´ıa. M´as a´un, toda A-topolog´ıa Tsobre Xes la topolog´ıa de su preorden de especializaci´on. Adem´as, f: (X, ≤)−→ (Y, ) es ordenada si y s´olo si f: (X, T≤)−→ (Y, T) es continua. Esta equivalencia se restringe a una equivalencia entre los A-espacios T0y los conjuntos parcialmente ordenados. A partir de esta equivalencia, los elementos minimales de un conjunto preordenado (X, ≤) son abiertos unitarios de la A-topolog´ıa asociada al preorden. Igualmente, los elementos maximales de Xson conjuntos cerrados unitarios. En particular, Min(X) es un subespacio abierto discreto y Max(X) es un subespacio cerrado discreto. Como todo poset finito tiene alg´un elemento maximal y minimal, todo espacio finito T0posee al menos un punto que es subconjunto cerrado y otro punto que es abierto. A partir del Teorema 2.3.1 se puede reescribir el Teorema 2.2.1 como sigue: Teorema 2.3.2. Un A-espacio Xes conexo (o, equivalentemente, conexo por caminos) si y s´olo si existe una secuencia de elementos relacionados para el orden de especializaci´on entre dos puntos cualesquiera de X. La equivalencia entre conjuntos preordenados y A-espacios lleva a la siguiente caracterizaci´on de los abiertos de un espacio finito en t´erminos del preorden. Proposici´on 2.3.3. Los abiertos de un espacio finito (X, T) est´an en correspondencia biun´ıvoca con las anticadenas de su preorden asociado. M´as precisamente, la anticadena asociada a un abierto Ges el conjunto Max(G). Usando la proposici´on anterior se pueden dar las siguientes condiciones suficientes para obtener homeomorfismos entre espacios finitos: Proposici´on 2.3.4. Sean Xun espacio finito y f:X→Xcontinua e inyectiva, o bien sobreyectiva, entonces fes un homeomorfismo. Dado un poset (X, ≤) , se llama diagrama de Hasse asociado a Xal grafo dirigido H(X), en el que los v´ertices son los elementos de Xy las aristas son los pares ordenados (a, b) tales que a < b y no existe c∈Xcon a<c<b. Como cada espacio topol´ogico finito (X, T) puede ser identificado con un poset, se llama diagrama de Hasse del espacio al diagrama del poset que determina. Usualmente, H(X) se dibuja en el plano de tal manera que si a < b, el v´ertice que representa a best´a por encima del v´ertice que represente a a, quedando la direcci´on de la arista de aabbien definida por el dibujo. 18 CAP´ ITULO 2. ESPACIOS DE ALEXANDROV f bc e d a Figura 2.1: Ejemplo 2.3.5. Para X={a, b, c, d, e, f}con a<b,a<c,a < d,a < e,a < f,b < e, b < f yc < e, el diagrama de Hasse de Xest´a descrito en la Figura 2.1. Obs´ervese que en H(X) no se reflejan las relaciones a < e ya < f. Puesto que H(X) contiene a todas las anticadenas del orden, la topolog´ıa del orden puede obtenerse a partir del diagrama de Hasse por medio de la Proposici´on 2.3.3, de forma que los abiertos m´ınimos son los correspondientes a los anticadenas unitarias, esto es, Ua={a},Ub={a, b},Uc={a, c}, Ud={a, d},Ue={a, b, c, e}yUf={a, b, f}. 2.4. Homotop´ıa y orden Ya comentamos en la Secci´on 1.4 que si se denota por YXal espacio de aplicaciones continuas de Xen Ycon la topolog´ıa compacto-abierta, entonces las homotop´ıas entre aplicaciones f, g ∈YXson exactamente los caminos entre fygen YX. Si XeYson ahora A-espacios (o, equivalentemente, conjuntos preordenados), tambi´en se puede dotar aYXcon el orden: f≤gsi f(x)≤g(x) en el preorden de Ypara todo x∈X. (2.1) Para la topolog´ıa de Alexandrov asociada a este preorden, la conexi´on por caminos se corresponde a la conexi´on por secuencias de aplicaciones relacionadas por ese orden (Teorema 2.3.2). En general la ley exponencial no se cumple para esta topolog´ıa, por lo que a una homotop´ıa no siempre se le podr´a asociar una secuencia de aplicaciones relacionadas. Esto s´ı ocurre para los espacios finitos. M´as expl´ıcitamente, Proposici´on 2.4.1. Si Xes un espacio finito e Yes cualquier A-espacio, la topolog´ıa compacto-abierta sobre YXcoincide con la A-topolog´ıa del orden en (2.1). Como consecuencia, si f, g :X→Yson aplicaciones continuas del espacio finito X en el A-espacio Y,fes homot´opica a gsi y s´olo si existe una secuencia de aplicaciones f1, f2, . . . , fndonde f1=f,fn=gyfiyfi+1 est´an relacionadas para el preorden en (2.1) para 1 ≤i≤n−1. Otra particularidad de los espacios finitos es que el tipo de homotop´ıa de cualquier espacio finito tiene un representante minimal ´unico salvo homotop´ıa. Sea Xun A-espacio. Un punto x∈Xse dice que es eliminable ascendentemente si existe y∈Xcon y > x tal que z≥ximplica z≥y. De forma similar, un punto x∈Xse dice que es eliminable descendentemente si existe y∈Xcon y < x tal que z≤ypara todo z≤x. Se dir´a que un punto xes eliminable si lo es ascendentemente o descendentemente. Un A-espacio se dice minimal si es T0y no tiene puntos eliminables. La siguiente caracterizaci´on de los espacios minimales finitos es ( [2], Proposici´on 1.3.9). 2.5. A-ESPACIOS Y POLIEDROS 19 Proposici´on 2.4.2. Sea Xun espacio finito T0. Entonces Xes un espacio minimal si y s´olo si para cualesquiera x, y ∈Xtales que cada z∈Xrelacionado con xest´a relacionado con y, se sigue x=y. Demostraci´on. Si Xno es minimal, existe un punto eliminable x. Sin p´erdida de generalidad asumimos que xes un punto eliminable descendentemente. Esto quiere decir que existe un y < x tal que para todo z≤x,z≤y. Esto contradice la condici´on dada. Rec´ıprocamente, supongamos que existen x6=ytal que todo elemento relacionado con xlo est´a tambi´en con y. En particular xest´a relacionado con y, y se puede asumir que x>y. Si suponemos x>y, sea A el conjunto: A={z∈X;z > y y si west´a relacionado con zentonces west´a relacionado con y} Este conjunto no es vac´ıo ya que x∈A. Sea z0un elemento minimal de A, veamos que z0 es un punto eliminable descendentemente, lo que llevar´a a contradicci´on. De hecho afirmamos, que si p<z0entonces p≤y. En efecto, como z0∈A, la definici´on de Anos dice que pdebe estar relacionado con y. En el caso que p≤yya tendr´ıamos la afirmaci´on. En otro caso p>yy si west´a relacionado con ppuede ocurrir w≤p<z0y, como z0∈A,westar´a relacionado con y, o bien w≥p>y. Por tanto pest´a relacionado con y en cualquier caso y as´ı p∈A, lo que contradice la minimalidad de z0, ya que p<z0. As´ı pues siempre p≤yyz0es efectivamente un punto eliminable descendentemente. A todo subespacio minimal de un A-espacio que sea retracto de deformaci´on de Xse le llama un alma de X. Teorema 2.4.3. Sea Xun espacio finito. Entonces Xadmite un alma. De hecho, las almas de un mismo espacio finito son todas homeomorfas como consecuencia del siguiente teorema. Teorema 2.4.4. Sea Xun espacio minimal finito y sea f:X→Xhomot´opica a la identidad. Entonces fes la identidad. En particular, toda equivalencia de homotop´ıa entre espacios minimales finitos es un homeomorfismo. Tambi´en el teorema anterior implica que dos espacios finitos T0son homot´opicamente equivalentes si y s´olo si tienen almas homeomorfas. 2.5. A-espacios y poliedros El estudio topol´ogico de los poliedros constituye una rama de la Topolog´ıa conocida como Topolog´ıa Simplicial o Poliedral. En esta secci´on recordaremos las definiciones b´asicas de esta disciplina. Para los detalles se puede consultar [12]. Recordemos que una colecci´on de puntos {a0, . . . , an} ⊆ Rmse dice af´ınmente independiente si los vectores {a1−a0, . . . , an−a0}son linealmente independientes. El n-s´ımplice generado por {a0, . . . , an}es el conjunto convexo: σn={x∈Rm;x= n X i=0 λiaicon n X i=0 λi= 1 y λi≥0}. As´ı un 0-s´ımplice es un punto, un 1-s´ımplice es un segmento, un 2-s´ımplice es un tri´angulo y un 3-s´ımplice es un tetraedro. 20 CAP´ ITULO 2. ESPACIOS DE ALEXANDROV Los coeficientes λison llamados coordenadas baric´entricas. El punto de σcon todas sus coordenadas iguales a 1 n+1 se llama baricentro de σy se denota b(σ). El interior (af´ın) de σes el conjunto ◦ σ={x∈σ;λi>0}. Los puntos ai(0 ≤i≤n) se llaman v´ertices de σ y se escribir´a σ= (a0, a1, . . . , an) para dar expl´ıcitamente los v´ertices de σ. Sean σyτdos s´ımplices en Rm. Se dice que τes cara de σ, y lo denotaremos por τ≤σ, si los v´ertices de τson v´ertices de σ. Si τ6=σyτ≤σdiremos que τes una cara propia de σy escribiremos entonces τ < σ. Si τ≤σ, se dir´a que ◦ τes una cara abierta de σ. La uni´on de las caras propias de un n-s´ımplice σ= (a0, . . . , an) se llama borde de σ, y lo denotaremos por • σ. N´otese que • σ={x∈σ;x=Pn i=0 λiaital que λj= 0 para alg´un j}y por tanto ◦ σ=σ−• σ. Se tienen las dos propiedades siguientes: a) Todo s´ımplice es uni´on disjunta de sus caras abiertas. b) Dos caras de un un mismo s´ımplice o son disjuntas o se encuentran en una cara. Se llama complejo simplicial a una colecci´on Kfinita de s´ımplices en alg´un espacio eucl´ıdeo Rnverificando: 1. Si σ1, σ2∈Kentonces σ1∩σ2=∅´o σ1∩σ2es una cara com´un de σ1yσ2. 2. Si σ∈Kyτ≤σentonces τ∈K. La dimensi´on de Kes el n´umero m´ax{dim σ;σ∈K}. N´otese que todo s´ımplice σdetermina un complejo simplicial al considerar σy todas sus caras. En lo que sigue, σdenotar´a indistintamente un s´ımplice o el complejo simplicial determinado por ´el. Un subcomplejo L⊆Kes un conjunto de s´ımplices de Kque es a su vez un complejo simplicial. Se llama m-esqueleto de Ky se denota Kmal subcomplejo Km={σ∈K; dim σ≤m}. AK0se le llama el conjunto de v´ertices de Ky los 1-s´ımplices ser´an llamados las aristas de K. El conjunto de los puntos de los s´ımplices de Kse le denomina poliedro subyacente de K, denotado por |K|, es decir, |K|=∪{σ;σ∈K}. Es una consecuencia inmediata de la propiedad a) dada m´as arriba que todo x∈ |K|est´a en el interior de un ´unico s´ımplice de K, llamado s´ımplice soporte de x. Se define el cono de un complejo simplicial Ken Rncomo el complejo simplicial resultante del proceso de a˜nadir un v´ertice v∈Rn+1\Rn× {0}y crear todos los s´ımplices posibles entre Kyv. Se le denotar´a vK. Sean K1yK2complejos simpliciales y ϕuna aplicaci´on definida entre los v´ertices de K1yK2. Se dice que ϕes aplicaci´on simplicial si para todo s´ımplice de K1σ= (v0, . . . , vn), los v´ertices ϕ(v0), . . . , ϕ(vn) est´an en un mismo s´ımplice de K2. Al referirnos a una aplicaci´on simplicial ϕentre KyL, escribiremos ϕ:K→L. Tambi´en denotaremos por ϕa la aplicaci´on continua ϕ:|K| → |L|definida entre los poliedros subyacentes al tomar sobre cada s´ımplice σ∈Kla extensi´on lineal de ϕ ϕ(Pn i=0 λivi) = Pn i=0 λiϕ(vi) si σ= (v0, . . . , vn). Obs´ervese que la composici´on de aplicaciones simpliciales es siempre una aplicaci´on simplicial. Un isomorfismo simplicial entre dos complejos simpliciales K1yK2es una biyecci´on ϕentre los v´ertices tal que (v0, . . . , vn) es un s´ımplice de K1si y s´olo si (ϕ(v0), . . . , ϕ(vn)) es un s´ımplice de K2. 2.5. A-ESPACIOS Y POLIEDROS 21 Sea Kun complejo simplicial y σ∈Kun s´ımplice. Se llama estrella de σen Kal subcomplejo: st(σ;K) = {τ∈K; existe ρ∈Kcon τ, σ ≤ρ}. Obs´ervese que |st(σ;K)|=S{µ∈K;σ≤µ}. Si x∈ |K|se define la estrella de xen Kcomo el subcomplejo st(x;K) de Kformado por los s´ımplices que contienen a xy todas sus caras. Si σ∈Kes el s´ımplice soporte de xse tiene st(x;K) = st(σ;K). Asimismo, se define la estrella abierta de x∈ |K|como el conjunto ◦ st(x;K) = [{ ◦ µ;µ∈Kyx∈µ}.(2.2) Se define el engarce (o link) de x∈ |K|como el subcomplejo: lk(x;K) = {σ∈st(x;K); x /∈σ}. Notes´e que |lk(x;K)|=|st(x;K)|\ ◦ st(x;K). La propiedad clave de la estrella abierta es que define un abierto de la topolog´ıa de |K| a partir de la estructura simplicial. Esto se debe al hecho de que cuando la intersecci´on ◦ st(x;K)∩σno es vac´ıa, entonces x∈σy esa intersecci´on es justamente la diferencia σ−σx, donde σxes el s´ımplice soporte de x, que es un abierto de σ. Sean KyK0complejos simpliciales. Se dice que K0es una subdivisi´on de Ksi se cumplen las siguientes condiciones: 1. |K|=|K0|. 2. Todo s´ımplice de Kes uni´on de s´ımplices de K0. En particular los v´ertices de Kson v´ertices de K0. Sea Kun complejo simplicial. Dada una secuencia de s´ımplices de Kordenada por la relaci´on de cara σ0< σ1< . . . σn∈K, el conjunto de sus baricentros {b(σ0), . . . , b(σn)} es af´ınmente independiente y determina as´ı un s´ımplice contenido en σn. La subdivisi´on baric´entrica de K,sdK, es el complejo simplicial formado por estos s´ımplices de v´ertices los baricentros b(σ) con σ∈K. N´otese que si σes de dimensi´on n, los n-s´ımplices de sdK contenidos en σest´an en biyecci´on con las permutaciones de los v´ertices de σ. Las subdivisiones baric´entricas reiteradas se denotar´an por sdmK=sd(sdm−1K) (m≥ 1) con sd0K=K. Los di´ametros de los s´ımplices de subdivisiones baric´entricas reiteradas tienden a 0, y la familia V={ ◦ st(x, sdnK)}n≥0es una una base encajada de entornos, para cada punto x∈ |K|. Dada una aplicaci´on continua entre poliedros f:|K1|→|K2|, se llama aproximaci´on simplicial de fa una aplicaci´on simplicial ϕ:K1→K2tal para todo x∈ |K1|,ϕ(x) pertenece al s´ımplice soporte de f(x)∈K2. Equivalentemente si f(x)∈σ∈ |K2|entonces ϕ(x)∈σ. Es sabido que fsiempre es homot´opica a cualquiera de sus aproximaciones simpliciales, que existen por el siguiente teorema: Teorema 2.5.1. (Teorema de aproximaci´on simplicial). Sean K1yK2complejos simpliciales y f:|K1| → |K2|continua. Entonces existen un nsuficientemente grande y una aplicaci´on ϕ:sdnK1→K2que es aproximaci´on simplicial de f. 22 CAP´ ITULO 2. ESPACIOS DE ALEXANDROV Dado un conjunto V, un complejo abstracto Acon v´ertices en Vconsiste en una colecci´on no vac´ıa de partes finitas de Vverificando las siguientes condiciones: 1. Acontiene todos los subconjuntos unitarios de V. 2. Dado Σ ∈ A, todo subconjunto de Σ pertenece a A. A los elementos de Vse les llama v´ertices de A, y a los subconjuntos de A,s´ımplices de A. La dimensi´on de Aes el n´umero (posiblemente infinito): dim A= sup{card (Σ); Σ ∈ A} − 1 Es claro que todo complejo simplicial Kdetermina un complejo abstracto A(K) donde los v´ertices de A(K) son los v´ertices de Ky los s´ımplices de A(K) son los conjuntos de v´ertices de Ksituados en un mismo s´ımplice de K. La definici´on de aplicaci´on simplicial entre complejos abstractos es inmediata: dados dos complejos abstractos A1yA2una aplicaci´on entre sus conjuntos de v´ertices ϕ:V1→ V2se dice aplicaci´on simplicial si para todo s´ımplice sde A1ϕ(s) es un s´ımplice de A2. De esta manera, ϕser´a un isomorfismo simplicial si adem´as es una biyecci´on entre V1yV2. Como es habitual, escribimos ϕ:A1→ A2para indicar que ϕes una aplicaci´on simplicial. Una realizaci´on geom´etrica de un complejo abstracto Aes un complejo simplicial K cuyo complejo abstracto A(K) es simplicialmente isomorfo a A. Teorema 2.5.2. Todo complejo abstracto finito y de dimensi´on ≤nadmite una realizaci´on geom´etrica en R2n+1. Notaci´on 2.5.3.A partir de ahora todo complejo abstracto se identificar´a con una realizaci´on geom´etrica suya. 2.5.4. Poliedros asociados a espacios finitos Sea Xun espacio finito T0, se llama complejo de orden de X al complejo abstracto O(X) cuyos v´ertices son los puntos de Xy cuyos s´ımplices son las cadenas finitas del orden de especializaci´on de X(ver Secci´on 2.3). M´as aun, toda aplicaci´on continua f:X→Y entre espacios finitos T0define una aplicaci´on simplicial O(f) : O(X)→ O(Y) que env´ıa la cadena x0≤x1≤. . . xnen la cadena f(x0)≤f(x1)≤ · · · ≤ f(xn). N´otese que la dimensi´on de O(X) coincide con la altura m´axima del diagrama de Hasse H(X). Siendo la altura del digrama de Hasse el n´umero de niveles menos uno. M´as a´un, si la altura de H(X) es 1, entonces O(X) coincide con el diagrama de Hasse de X. Para el poliedro |O(X)|siempre es posible definir una aplicaci´on ψX:|O(X)| → Xde la siguiente manera: dado z∈ |O(X)|, sea s={x0≤x1≤ · · · ≤ xn}el s´ımplice soporte de zen |O(X)|. Entonces se toma ψX(z) = x0= m´ın s. La continuidad de ψXse sigue de que, para todo x∈X,ψ−1(Ux) = ∪y≤x ◦ st(y, O(X)). M´as a´un, ψXhace que el siguiente diagrama sea conmutativo: |O(X)|O(f)// ψX  |O(Y)| ψY  Xf //Y (2.3) La conmutatividad sigue de la observaci´on de que si s= (x0≤x1,≤ · · · ≤ xn) es el s´ımplice soporte de z, entonces, por definici´on, O(f)(z) tiene a O(f)(s) como s´ımplice soporte; adem´as, por preservar fel orden, f(m´ın s) = m´ın f(s). McCord demostr´o en [11] que para todo espacio finito Xla aplicaci´on ψXtiene la siguiente propiedad homot´opica: 2.5. A-ESPACIOS Y POLIEDROS 23 Teorema 2.5.4.1. Para todo espacio Xfinito y T0, la aplicaci´on ψXes una equivalencia de homotop´ıa d´ebil. Recordemos la noci´on de equivalencia de homotop´ıa d´ebil: i [X, Y ] denota el conjunto cociente YX/≃por la relaci´on de homotop´ıa, toda aplicaci´on f:Y→Zinduce una aplicaci´on f∗: [X, Y ]→[X, Z] dada por f∗([g]) = [f◦g]. Observ´ese que si si g≃g0y f≃f0se tiene que f◦g≃f0◦g0por la compatibilidad de la relaci´on de homotop´ıa con la composici´on de aplicaciones. En particular f∗est´a bien definida y f∗=f0 ∗. Una aplicaci´on continua se llama una equivalencia de homotop´ıa d´ebil si para todo complejo simplicial finito Kse tienen que f∗: [|K|, X]→[|K|, Y ] es una biyecci´on. Dos espacios XeYson del mismo tipo de homotop´ıa d´ebil (o d´ebilmente homot´opicamente equivalentes) si existe una secuencia de espacios X=X0, X1, . . . , Xn=Ytal que para cada 1 ≤i≤nhay equivalencias d´ebiles Xi→Xi+1 ´o Xi+1 →Xi. Es claro que toda equivalencia de homotop´ıa es una equivalencia de homotop´ıa d´ebil. M´as a´un, el rec´ıproco es cierto para los poliedros. Es inmediato que comprobar que si el siguiente diagrama X f  g Yh//Z es conmutativo salvo homotop´ıa (es decir, h◦f≃g) y si dos de las tres aplicaciones son equivalencias de homotop´ıa d´ebiles, entonces tambi´en lo es la tercera. Como consecuencia se obtiene si XeYson espacios finitos T0del mismo tipo de homotop´ıa d´ebil, entonces sus complejos de orden definen poliedros del mismo tipo de homotop´ıa. Nota 2.5.4.2.Si bien ψXes siempre una equivalencia de homotop´ıa d´ebil, s´olo puede ser una equivalencia de homotop´ıa cuando |O(X)|es una uni´on disjunta de poliedros contr´actiles. En efecto, si Xno es conexo y X1, . . . , Xmson sus componentes conexas, se tiene por construcci´on que ψXes la uni´on de las aplicaciones ψXi:|O(Xi)| → Xi. As´ı pues, sea Xconexo y supongamos que existe g:X→ |O(X)|tal que las composiciones ψX◦gyg◦ψXson homot´opicas a las correspondientes identidades. En particular, la imagen de g◦ψX:|O(X)| → |O(X)|debe ser un subconjunto conexo de un poliedro (y por tanto Hausdorff) y contener s´olo una cantidad finita de puntos. Esto s´olo es posible si es un ´unico punto, luego la identidad de |O(X)|es homot´opica a una constante y por tanto este poliedro debe ser contr´actil. 69 11 2 8410 5 1 3 7 (a) 1 2 5 6 7 3 89 10 11 4 (b) Figura 2.2: A la izquierda el espacio finito y a la derecha el poliedro asociado. A´un siendo el poliedro |O(X)|contr´actil, es posible dar ejemplos para los que ψXno es una equivalencia de homotop´ıa. El espacio finito Xde la Figura 2.2(a) es minimal, ya que no tiene puntos eliminables, mientras que su realizaci´on es contr´actil por ser el cuadrado de la Figura 2.2(b). 24 CAP´ ITULO 2. ESPACIOS DE ALEXANDROV 2.5.5. Espacios finitos asociados a complejos. F-modelos de poliedros La estructura combinatoria de un complejo simplicial Kda lugar de manera natural a un poset finito F(K)=(F(K),≤), al considerar como puntos de F(K) a los s´ımplices de Ky la relaci´on de orden ≤como la inclusi´on de s´ımplices. De esta forma, en el espacio finito asociado a este orden el abierto minimal Usde s∈F(X) coincide el subcomplejo de Kformado por sy todas sus caras. Dada una aplicaci´on simplicial f:K→L, se define F(f) : F(K)→F(L) por F(f)(s) = f(s). N´otese que F(f) preserva el orden y por tanto es continua entre los espacios finitos. A F(K) se le llama F-modelo de K. En cada nivel n≥0 del diagrama de Hasse del F-modelo F(K) se colocan tantos puntos como s´ımplices de dimensi´on nhaya en Ky se dibuja una arista de cada uno de ellos a los puntos del nivel inmediatamente superior que lo contengan como cara. Existe un isomorfismo simplicial tK:O(F(K)) →sd(K) que asocia a cada cadena σ0≤,...,≤σnel s´ımplice (b(σ0), . . . , b(σn)). Mas a´un, si ϕ:K→Les una aplicaci´on simplicial, el siguiente diagrama es conmutativo, donde sd(ϕ) : sd(K)→sd(L) es la aplicaci´on simplicial inducida por ϕque lleva el baricentro b(σ) en el baricentro b(ϕ(σ)): O(F(K)) O(ϕ)// ∼ = tK  O(F(L)) ∼ =tL  sdK sd(ϕ) //sdL (2.4) De acuerdo con el Teorema 2.5.4.1 tenemos una equivalencia de homotop´ıa d´ebil ψF(K): |O(F(K))| → F(K). Usando el isomorfismo simplicial tKse obtiene una equivalencia de homotop´ıa d´ebil ΦK=t−1 k◦ψF(K):|K|=sdK → |O(F(K)| → F(K). De hecho la aplicaci´on es natural en el sentido de que el siguiente diagrama es conmutativo: |sdK|sd(ϕ)// ∼ = ΦK  |sdL| ∼ =ΦL  F(K)F(ϕ) //F(L), (2.5) donde ϕ:K→Les aplicaci´on simplicial. Esto es consecuencia de la conmutatividad de los diagramas 2.3 y 2.4 . Aunque |K|=|sdK|, el diagrama anterior no es conmutativo si se sustituye sd(ϕ) por ϕ, pues en general sd(ϕ) y ϕno coinciden como aplicaciones entre poliedros. No obstante, ϕ:K→Les aproximaci´on simplicial de sd(ϕ) : |K|=|sdK|→|sdL|=|L|, ya que el s´ımplice soporte de sd(ϕ)(x) en Lcoincide con el de ϕ(x). As´ı, ambas aplicaciones son homot´opicas y se tiene por tanto que ΦL◦ϕ≃F(ϕ)◦ΦK. Mediante los operadores FyOse definen y desarrollan para espacios finitos T0he- rramientas an´alogas a las que la topolog´ıa simplicial basa en las ideas de subdivisi´on baric´entrica y aproximaci´on simplicial. As´ı, se define la F-subdivisi´on del espacio finito T0Xcomo el espacio finito X0=F◦ O(X). Esta construcci´on se puede iterar y se define la n-´esima F-subdivisi´on de Xcomo sdn F= (F◦ O)n(X) Adem´as, toda aplicaci´on h:X→Yentre espacios finitos T0define una aplicaci´on sdn Fh= (F◦ O)n(h). Si el isomorfismo simplicial tKdel diagrama 2.3 se usa como identificaci´on, sdnysdn Fest´an ligados por la igualdad O ◦ sdn F(X) = sdn◦ O(X). Cap´ıtulo 3 La categor´ıa de Lusternik-Schnirelmann Damos aqu´ı una breve introducci´on al invariante num´erico conocido como categor´ıa de Lusternik-Schnirelmann (categor´ıa LS para abreviar). La referencia mas completa sobre este invariante es [4], de donde hemos seleccionado el contenido del cap´ıtulo. 3.1. Definici´on de la categor´ıa LS. Invariancia por homotop´ıa Definici´on 3.1.1. Sea Xun espacio topol´ogico. Un recubrimiento Ude un espacio Xse dice LS-recubrimiento si para todo U∈ U la inclusi´on U ,→Xes homot´opicamente trivial. Definici´on 3.1.2. Sea Xun espacio topol´ogico. Se define la categor´ıa de Lusternik- Schnirelmann (o categor´ıa LS)cat(X) de Xcomo el m´ınimo cardinal de los LS-recubrimientos de X por abiertos. Si no existe el entero m´ınimo, se conviene cat(X) = ∞. Notaci´on 3.1.3.Otra forma de denotar la categor´ıa cuando se la compara con otros invariantes num´ericos es catLS(X). Nota 3.1.4.De acuerdo con la definici´on, cat(X) = 1 si y s´olo si Xes contr´actil. Por ello muchos autores definen la categor´ıa una unidad menos para hacer que los espacios contr´actiles tengan categor´ıa nula. El siguiente teorema muestra que la categor´ıa LS es un invariante del tipo de homotop´ıa del espacio. Teorema 3.1.5. Si XeYson del mismo tipo de homotop´ıa, entonces cat(X) = cat(Y). Demostraci´on. Supongamos que f:X→Yes equivalencia de homotop´ıa con una inversa homot´opica g:Y→X. Sean H:X×I→Xuna homotop´ıa entre idXyg◦f. An´alogamente, sea H0:Y×I→Yuna homotop´ıa entre idYyf◦g. Dado un LS-recubrimiento de Ypor abiertos UY={Ui}, es claro que UX={f−1(Ui)} es un recubrimiento por abiertos de X, ya que fes continua. Veamos que UXes un LS-recubrimiento, con lo que se probar´a cat(X)≤cat(Y). An´alogamente se prueba cat(Y)≤cat(X), empezando con un LS-recubrimiento de X. Sea Gi:Ui×I→Yuna homotop´ıa entre la inclusi´on Ui⊆Yy una aplicaci´on constante yi. Entonces se define Fi:f−1(Ui)×I→Xcomo la homotop´ıa: Fi(x, t) = H(x, 2t), si 0 ≤t≤1/2, g◦Gi(f(x),2t−1), si 1/2≤t≤1. 25 32 CAP´ ITULO 3. LA CATEGOR´ IA DE LUSTERNIK-SCHNIRELMANN Cap´ıtulo 4 La categor´ıa LS de los espacios finitos 4.1. Definici´on, ejemplos y observaciones Para un espacio finito Xtiene sentido preguntarse por su categor´ıa LS. Como los espacios finitos son equivalentes a los posets, se tiene la posibilidad as´ı de aplicar la categor´ıa LS a la teor´ıa del orden. Esta secci´on es una recopilaci´on de ejemplos y observaciones sobre el comportamiento de la categor´ıa LS en estos espacios, y se plantean varios problemas que que quedan abiertos. La categor´ıa LS es un invariante del tipo de homotop´ıa del espacio, por lo que se puede asumir siempre que trabajamos con los modelos minimales y sus diagramas de Hasse. En particular, si Xes un espacio finito (minimal o no) la categor´ıa queda acotada por el n´umero de elementos maximales; esto es, se tiene cat(X)≤#(Max(X)). Esto se sigue de que los abiertos de un punto son contr´actiles y que los abiertos m´ınimos de los maximales cubren todo el espacio. Ejemplo 4.1.1. Se puede apreciar que el espacio Xrepresentado por la Figura 4.1(a) tiene cuatro elementos maximales, pero es suficiente con tomar los abiertos Ux6∪Ux2 yUx9∪Ux11 . El primer abierto es contr´actil a un punto siguiendo la siguiente sucesi´on de eliminaci´on de puntos x1, x3, x7, x5, y sobrevive ´unicamente x6. El segundo abierto es contr´actil a un punto siguiendo la misma sucesi´on de eliminaci´on de puntos, y queda ´unicamente x9. As´ı que cat(X)≤2<4 = #(Max(X)). 69 11 2 8410 5 1 3 7 (a) 1 2 5 6 7 3 89 10 11 4 (b) Figura 4.1: Se comprueba que no es contr´actil viendo que no hay ning´un punto eliminable. Por tanto cat(X) = 2. 33 34 CAP´ ITULO 4. LA CATEGOR´ IA LS DE LOS ESPACIOS FINITOS Tambi´en este ejemplo nos muestra que, en general, cat(X)6=cat(|O(X)|), ya que el |O(X)|de la Figura 4.1(b) es un cuadrado y por tanto su categor´ıa LS es 1. En el siguiente ejemplo se ve que, en general, cat(X)6=cat(Xop), donde Xop indica el espacio asociado al orden opuesto al de X. En particular, los maximales de Xop son los minimales de X. Ejemplo 4.1.2. El espacio finito Xrepresentado por la Figura 4.2(a) tiene tres elementos maximales y sus correspondientes abiertos son los que nos sirven para dar un LS-recubrimiento minimal, ya que ninguna uni´on de dos abiertos m´ınimos de elementos maximales contiene puntos eliminables. El espacio finito Xop representado por la figura 4.2(b) tiene dos maximales, y por lo tanto cat(Xop)≤2. (a) (b) Figura 4.2: Ejemplo 4.1.3. El espacio Xrepresentado por la Figura 4.3(a) se puede contraer al punto asiguiendo la sucesi´on de puntos eliminables c, g, e, d. La Figura 4.3(b) representa a la uni´on por el punto c,X∨X, lo que provoca que el punto que se empezaba eliminando ahora no se pueda eliminar y no existe otro punto posible para empezar; por tanto, cat(X∨X)≥2. Por otro lado, si consideramos los abiertos Ua∪UbyUa0∪Ub0, cada uno de ellas se puede llevar por eliminaci´on de h0yg0y hyg, respectivamente, a X. Por tanto, son contr´actiles en X∨X. ab c d e fgh (a) fgh ab edc b' a' d' e' h' g' f' (b) Figura 4.3: Si comparamos este ejemplo con la Proposici´on 3.3.7, vemos que el hecho de que X∨X no sea contr´actil (lo que seguir´ıa de ser cierta dicha proposici´on en este caso) se debe a que el punto de uni´on es degenerado en el ejemplo. De hecho, la presencia de puntos degenerados es un problema intr´ınseco de la teor´ıa de homotop´ıa de los espacios finitos (ver [10]). Se puede comprobar que la diferencia entre cat(X) y cat(|O(X)|) puede ser arbitrariamente grande (ver Ejemplo 4.1.12 m´as adelante). Esto nos lleva a preguntarnos si existe alg´un invariante num´erico del tipo de la categor´ıa LS que interpole la categor´ıa LS de un espacio finito y la de su realizaci´on como poliedro. Para ello se va a presentar el invariante num´erico denominado categor´ıa simplicial en [7]. 4.1. DEFINICI ´ ON, EJEMPLOS Y OBSERVACIONES 35 Definici´on 4.1.4. Sea Kun complejo simplicial. Se define la categor´ıa simplicial (scat(K)) de Kcomo el menos n´umero entero tal que existen K1, K2, ..., Knsubcomplejos que recubren a Ky cuya inclusiones Ki,→Kest´an en la misma clase de contig¨uidad que una constante. Recordemos la noci´on de contig¨uidad. Se dice que dos aplicaciones simpliciales ϕ, ψ : K→Lson contiguas si para cada s´ımplice σ∈K, sus im´agenes ϕ(σ) y ψ(σ) est´an en un mismo s´ımplice de L. Se dice que est´an en la misma clase de contig¨uidad si existe una secuencia ϕ=ϕ0, ϕ1, ..., ϕn=ψtal que ϕiyϕi+1 son contiguas para todo 0 ≤i≤n−1. Teniendo en cuenta que dos aplicaciones simpliciales contiguas son homot´opicas (ver [12]) y que se pueden usar recubrimientos por cerrados para determinar la categor´ıa LS de un poliedro (Nota 3.1.6) entonces se sigue la desigualdad scat(K)≤cat(|K|). Dos complejos simpliciales KyLse dicen que est´an en la misma clase de contig¨uidad si existen aplicaciones simpliciales ϕ:K→Lyψ:K→Ltales que ϕ◦ψyψ◦ϕest´an en la misma clase de contig¨uidad que las correspondientes identidades. Se demuestra en [7] que si KyLest´an en la misma clase de contig¨uidad entonces scat(K) = scat(L). Pasamos a relacionar la categor´ıa LS de un espacio finito Xcon la categor´ıa simplicial de su complejo asociado O(X). Para ello empezaremos comprobando que la relaci´on de homotop´ıa de los espacios finitos pasa a ser la de contig¨uidad entre sus complejos asociados. Esta parte est´a tomada de la Secci´on 2.1 de [2]. Lema 4.1.5. Sean f, g :X→Ydos aplicaciones homot´op`ıcas entre espacios finitos T0. Entonces se puede encontrar una secuencia f=f0, f1, ..., fn=gtal que para cada 0≤i≤nexiste un punto xi∈Xcon las siguientes propiedades: 1. fiyfi+1 coinciden en X\{xi}. 2. fi(xi)≤fi+1(xi) ´o fi+1(xi)≤fi(xi). Demostraci´on. Por ser fyghomot´opicas existe una secuencia f=f0, f1, ..., fn=gde aplicaciones tales que fiest´a relacionada con fi+1 (1 ≤n≤n−1) para el orden entre aplicaciones en la Secci´on 2.4. Sin p´erdida de generalidad se puede tomar f≤g. Sea A(f, g) = {x∈X;f(x)6=g(x)}. Si este conjunto es vac´ıo no hay nada que decir. En otro caso, sea x0un elemento maximal de A(f, g), as´ı que f(x0)< g(x0). Se define ahora f1:X→Ypor f1=fsobre X\{x0}y f1(x0) = g(x0). Obviamente fyf1cumplen las condiciones 1) y 2). Queda ver que f1es continua. En efecto, x≤zen Xy tenemos los siguientes casos: Si x=x0, por ser x0maximal en A(f, g) se sigue que z /∈A(f, g) y por tanto f(x) = g(z). Tenemos por la continuidad de gque f1(x) = f1(x0) = g(x0)≤g(z) = f(z) = f1(z). As´ı pues f1preserva el orden en este caso. Si z=x0, entonces por la continuidad de fse tiene que f1(x) = f(x)≤f(z) = f(x0)< g(x0) = f1(x0) = f(x). Tambi´en f1preserva el orden. Si x, z 6=x0. De nuevo, f1preserva el orden pues por la continuidad de f, ya que f1(x) = f(x)≤f(z) = f1(z). Obs´ervese que por definici´on f1≤gyA(f1, g) = A(f, g)\{x0}. Podemos entonces reiterar el proceso hasta que, para alg´un n,A(fn, g) = ∅, esto es, fn=g. Aqu´ı usamos la finitud de A(f, g). 36 CAP´ ITULO 4. LA CATEGOR´ IA LS DE LOS ESPACIOS FINITOS Proposici´on 4.1.6. Sean f, g :X→Ydos aplicaciones homot´opicas entre espacios finitos T0. Entonces las aplicaciones simpliciales O(f),O(g) : O(X)→ O(Y) est´an en la misma clase de contig¨uidad. Demostraci´on. Por el Lema 4.1.5, se puede asumir que existe x∈Xtal que f(z) = g(z) para cada z6=xyf(x)< g(x). Por lo tanto, para toda cadena en X C ={x1≤x2≤ ... ≤xn}es claro que f(C) = g(C) es una cadena en Ysi x /∈C, y si x=xien C, entonces f(C)∪g(C) es la cadena y1≤y2≤... ≤yi−1≤yi≤yi+1 ≤... ≤yn+1 donde yj=f(xj) = g(xj) si j≤i−1; yi=f(xi); yi+1 =g(xi), y yj=g(xj−1) = f(xj−1) si j≥i+ 2. Es decir, si σ∈ O(X) es el s´ımplice representado por la cadena C, sus im´agenes O(f)(σ) y O(g)(σ) est´an en un mismo simplice de O(Y). Proposici´on 4.1.7. Sean ϕ, ψ :K→Laplicaciones simpliciales de la misma clase de contig¨uidad. Entonces F(ϕ) y F(ψ) son homot´opicas. Demostraci´on. Supongamos que ϕyψson contiguas. Entonces la aplicaci´on f:F(K)→ F(L) que lleva σen el s´ımplice generado por los v´ertices de ϕ(σ) y ψ(σ) est´a bien definida y es continua. M´as a´un, F(ϕ)≤f≥F(ψ) y entonces F(ϕ) y F(ψ) son homot´opicas. Teorema 4.1.8. Sea X un espacio finito. Se tiene la cadena de desigualdades cat(X)≥scat(O(X)) ≥cat(sdFX)≥scat(O(sdFX)) ≥... ≥cat(|O(X)|) Recordemos que la subdivisi´on n-´esima de un espacio finito X sdn FXest´a definida como la composici´on reiterada nveces del operador F◦ O, ver el final de la subsecci´on 2.5.5. Demostraci´on. Por la definici´on de sdn Fbasta con demostrar las dos desigualdades siguientes: cat(X)≥scat(O(X)). Sea cat(X) = ny{Ui}1≤i≤nLS-recubrimiento por abiertos de X. Sea Hiuna homotop´ıa que hace a la correspondiente inclusi´on homot´opicamente trivial. Por otra parte cada Uidebe contener elementos maximales de X, pues en caso contrario podr´ıa ser eliminado del LS-recubrimiento. Entonces, para Mi=Max(X)∩ Uise tiene Ui=∪x∈MiUx; ver Proposici´on 2.3.3. Ahora bien, para cada x∈XO(Ux) es el subcomplejo de O(X) generado por los v´ertices menores o iguales a x. Adem´as si i:Ux→Xes la inclusi´on, O(i) es la inclu- si´on del correspondiente subcomplejo. Entonces {O(Ui)}1≤i≤nes un recubrimiento de O(X) por subcomplejos tales que cada inclusi´on O(i) : O(Ui)→ O(X) es contigua a la constante. Aqu´ı usamos la Proposici´on 4.1.6. Se concluye que n≥scat(O(X)). scat(K)≥cat(F(K)). Se supone que scat(K) = n, entonces existen K1, K2, ..., Kn subcomplejos simpliciales que recubren a O(X) tal que la inclusi´on de cada Kiest´a en la misma clase de contig¨uidad que una constante. Para cada i,F(Ki) es la uni´on de los abiertos m´ınimos de los s´ımplices maximales de Ki. En efecto, si σ∈Kiyτes un s´ımplice maximal de Kicon σ≤τentonces σ∈Uτen la topolog´ıa de F(K). Rec´ıprocamente, si µ∈Uτentonces µ≤τy por ser Kicomplejo simplicial µ∈Ki, es decir µ∈F(Ki). Por tanto {F(Ki)}1≤i≤n forma un recubrimiento por abiertos de F(K). Adem´as es LS-recubrimiento por la Proposici´on 4.1.7. Se concluye que n≥cat(F(K)) 4.1. DEFINICI ´ ON, EJEMPLOS Y OBSERVACIONES 37 Para el caso de categor´ıa LS uno las desigualdades del Teorema 4.1.8 son todas igualdades como consecuencia de los siguientes teoremas (ver Corolario 5.2.7 de [2]). Las demostraciones dadas en [2] son indirectas (ver Corolario 5.2.8 y 5.1.11 de [2]). Aqu´ı presentamos una demostraci´on directa para el primero. No hemos encontrado una demostraci´on similar para el segundo. Teorema 4.1.9. Sea Xun espacio topol´ogico finito T0. Entonces cat(X) = 1 si y s´olo si scat(O(X)) = 1. Teorema 4.1.10. Sea Kun complejo simplicial. Entonces scat(K) = 1 si y s´olo si cat(F(K)) = 1. Demostraci´on del Teorema 4.1.9. Si cat(X) = 1, es inmediato que scat(O(X)) = 1 por el Teorema 4.1.8. Para el rec´ıproco podemos suponer que Xes minimal. Sea ϕ:O(X)→ O(X) contigua a la identidad. Entonces si v∈ O(X) es cualquier v´ertice y σes un s´ımplice maximal con v∈σ, tenemos por contig¨uidad que ϕ(σ)∪σest´a contenido en alg´un s´ımplice que debe coincidir con σ. Por tanto ϕ(σ)⊆σ, as´ı que ϕ(v)∈σ. Deducimos que ϕ(v) est´a en todo s´ımplice maximal que contenga a v, o lo que es lo mismo, a todo simplice maximal de lk(v;O(X)). as´ı que lk(v;O(X)) es un cono desde ϕ(v). De aqu´ı se sigue que todo elemento de Xrelacionado con xest´a relacionado con ϕ(x), ya que si zest´a relacionado con xentonces aparece como v´ertice de lk(v;O(X)). Este engarce es un cono desde ϕ(v), as´ı que se sigue que ztambi´en est´a relacionado con ϕ(v). Por la Proposici´on 2.4.2 se concluye de ser Xminimal que ϕ(v) = v. Luego ϕ=id. Como scat(O(X)) = 1 existe una cadena id =ϕ0, ϕ1, ..., ϕn=cte con ϕicontigua a ϕi+1. Por el resultado anterior, ϕi=id para todo iy por tanto ϕn=cte =id. Concluimos que Xes un punto. Ejemplo 4.1.11. 1. Sea Xel espacio finito de la Figura 4.2(a). Se sabe que cat(X) = 3, pero la categor´ıa simplicial del poliedro asociado es dos, ya que |O(X)|es homot´opicamente equivalente a S1∨S1. a b c df Figura 4.4: Poliedro asociado a X Tambi´en scat(O(X)) = 2. Para ello basta tomar los dos subcomplejos de la Figura 4.4, uno en l´ınea continua y otro en l´ınea discontinua. Las correspondientes identidades de estos subcomplejos est´an en la misma clase de contig¨uidad de una constante y se tiene as´ı que la cadena de desigualdades del Teorema 4.1.8 tiene ´unicamente un salto al principio y despu´es queda constante 3 = cat(X)≥2 = scat(O(X)) = ... = cat(|O(X)|). 2. Con el opuesto de X(ver Figura 4.2(b)), la cadena de desigualdades del Teorema 4.1.8 se convierte en una cadena de igualdades: 2 = cat(Xop) = scat(O(Xop)) = ... = cat(|O(Xop)|) = 2. Obs´ervese que |O(Xop)|es tambi´en homot´opicamente equivalente aS1∨S1. El siguiente ejemplo muestra que se pueden encontrar espacios finitos con categor´ıa LS grande y tales que su complejo asociado tenga una categor´ıa simplicial peque˜na. 38 CAP´ ITULO 4. LA CATEGOR´ IA LS DE LOS ESPACIOS FINITOS Ejemplo 4.1.12. Si consideramos el espacio Xen la Figura 4.2(a) y un conjunto con n≥1 elementos Ln={a1, a2, ..., an}, podemos definir el espacio finito Ln(X) al considerar x≥aipara todo x∈Xy todo 1 ≤i≤n. No es dif´ıcil comprobar que O(Ln(X)) es el cono simult´aneo desde los v´ertices aisobre el complejo O(X) en la Figura 4.4. Por otra parte, si Ues la uni´on de dos o m´as abiertos m´ınimos Uai,O(U) es el cono simult´aneo desde los puntos en Max(U) sobre O(X). Por tanto, en homolog´ıa simplicial con coeficientes en Z2la inclusi´on i:O(U),→ O(Ln(X)) es un homomorfismo inyectivo i∗:M 2(#(Max(U)−1) Z2∼ =H2(O(U),Z2)−→ H2(O(Ln(X)),Z2)∼ =M 2(n−1) Z2 As´ı, i:U ,→Ln(X) no puede ser homot´opicamente trivial, pues por la Proposici´on 4.1.6 iser´ıa contigua (y por tanto homot´opica) a una constante. Como consecuencia el ´unico LS-recubrimiento de Ln(X) est´a formado por los abiertos m´ınimos Uaiy tenemos que, necesariamente, cat(Ln(X)) = n. En contraste, O(Ln(X)) se puede descomponer en dos subcomplejos J1yJ2dados por dos conos reiterados desde los aisobre los subcomplejos indicados en trazos de l´ınea discontinua y continua en la Figura 4.4. Las inclusiones de los Jien O(Ln(X)) est´an en la misma clase de contig¨uidad que una constante siguiendo el empuje de un extremo hacia el otro (dando igual desde cual de los dos se comience). Concluimos as´ı que scat(O(Ln(X))) = 2 para todo n≥2. Si n= 1, scat(O(L1(X))) = 1, por ser O(Ln(X)) un cono. (a) (b) Figura 4.5: A la izquierda L4(X) y a la derecha uno de los dos subcomplejos de la descomposici´on de O(L4(X)). Los ejemplos anteriores son s´olo una peque˜na parte de la soluci´on a los siguientes problemas sugeridos por la secuencia de desigualdades en el Teorema 4.1.8. Problema 4.1.13. Dado n≥1 y m≤n−1, ¿existe alg´un espacio finito Xpara el cual se puedan encontrar msaltos en la secuencia del Teorema 4.1.8? M´as generalmente, Problema 4.1.14. Dados n≥1 y m≤n−1 como antes y una secuencia de enteros k1, k2, ..., kmtal que Pm i=1 ki≤n−1, ¿existe alg´un espacio finito Xpara el cual se puedan encontrar msaltos en la secuencia del Teorema 4.1.8 y la diferencia del i-´esimo salto sea ki? 4.2. ARBORICIDAD Y LA CATEGOR´ IA SIMPLICIAL EN GRAFOS 39 4.2. Arboricidad y la categor´ıa simplicial en grafos Esta secci´on trata sobre la categor´ıa simplicial para complejos simpliciales de dimensi´on 1 (grafos) y su relaci´on con la noci´on de arboricidad. Sea Gun grafo. Un ciclo es una secuencia alternada v0, e1, v1, ..., vn−1, en, vnde v´ertices y aristas, donde los v´ertices de cada arista eison vi−1yvi, y tal que v0=vn. Un bosque es un grafo sin ciclos. Un ´arbol es un bosque conexo. Dado un grafo G, un bosque F⊆Gse dice maximal si contiene a todos los v´ertices de G. La arboricidad de un grafo Gse denota Υ(G) y es el m´ınimo n´umero de bosques maximales disjuntos por aristas en que puede ser descompuesto G. El siguiente teorema determina la arboricidad de un grafo cualquiera. Teorema 4.2.1. (Teorema 8.1.4 de [8]) Sea Gun grafo no trivial y sea qnel m´aximo n´umero de aristas en cualquier subgrafo de Gcon nv´ertices. Entonces Υ(G) = dqn n−1e. Notaci´on 4.2.2.Para un n´umero real x, se define dxecomo el primer entero mayor o igual que x. La relaci´on entre Υ y la categor´ıa simplicial de un grafo viene dada por el siguiente teorema, que es el Corolario 8.3.2 en [8]. Teorema 4.2.3. Sea Gun grafo, entonces scat(G) = Υ(G) El siguiente resultado (Proposici´on 8.4.1 y Corolario 8.4.3 de [8]) nos dice que despu´es de una sola subdivisi´on la categor´ıa simplicial resulta ser la categor´ıa LS del grafo. Proposici´on 4.2.4. Sea Gun grafo conexo. Si Ges un ´arbol, entonces scat(G) = cat(|G|) = 1. En otro caso, entonces scat(sdG) = cat(|G|) = 2. El Teorema 2 de [5] y sus observaciones posteriores dan una estimaci´on de la arboricidad (y por tanto la categor´ıa simplicial) de los grafos sin ciclos de longitud 3. Expl´ıcitamente, Teorema 4.2.5. Si Ges un grafo sin ciclos de longitud 3, se tiene que Υ(G)≤ d√e 2e, con eel n´umero de aristas de G. M´as a´un, la igualdad s´olo se alcanza si Ges un grafo bipartito con el mismo n´umero de elementos en cada nivel. 4.3. El problema de la caracterizaci´on de la categor´ıa LS de espacios finitos de altura uno Se llama altura (denotada h(X)) de un espacio finito T0al numero de niveles del diagrama de Hasse asociado a X. Como aplicaci´on de los resultados sobre arboricidad de la secci´on anterior damos la soluci´on al Problema 4.1.14 con n= 5, m= 2, k1= 2 y k2= 1. Para ello se considera el grafo bipartito completo K5,5, que procede de un espacio finito Xde altura uno y que tiene categor´ıa LS cat(X) = 5, ya que la uni´on de dos abiertos m´ınimos de puntos de altura uno contiene un ciclo. Adem´as sabemos que cat(sdK5,5) = 2 por la Proposici´on 4.2.4. A raiz del Teorema 4.2.5 se puede concluir que scat(K5,5) = d√25 2e= 3. Resumiendo, tenemos: 5 = catX ≥3 = scat(K5,5)≥cat(F(K5,5)) ≥scat(sdK5,5) = ... =cat(|K5,5|)=2 40 CAP´ ITULO 4. LA CATEGOR´ IA LS DE LOS ESPACIOS FINITOS Figura 4.6: Poliedro asociado a X ¿Qu´e ocurre con cat(sdF(X)) = cat(F(K5,5))? ¿Se estabiliza en dos o a´un es tres? Por la definici´on de la subdivisi´on baric´entrica, el espacio finito que genera tiene 25 v´ertices de altura uno (uno por cada arista del original) y 10 v´ertices de altura cero (los originales de K5,5). Por medio de la conocida caracter´ıstica de Euler-Poincar´e podemos concluir que los arboles maximales de 10 v´ertices tienen 9 aristas (elementos maximales de F(K)). Esto nos obliga a necesitar al menos tres abiertos para recubrir F(K5,5), y por tanto cat(F(K5,5)) = 3. Como tenemos ejemplos de espacios finitos de altura uno con cat(X)> scat(O(X)) (Ejemplo 4.1.12), es claro que de poderse caracterizar los espacios finitos de altura uno por medio de una arboricidad, esta debe ser relativa a la topolog´ıa de X. Es decir, que si un ´arbol en O(X) contiene a un elemento maximal, entonces debe contener a todos los inferiores. As´ı, en el Ejemplo 4.1.11 hay dos ´arboles que cubren al grafo O(X) (indicados en los dos tipos de trazos en la Figura 4.4), pero no relativos en el sentido indicado, pues el abierto m´ınimo del elemento maximal de la derecha est´a repartido entre los dos ´arboles. As´ı pues, el problema de determinar la categor´ıa LS de un espacio finito de altura uno parece ser equivalente a considerar O(X) como grafo dirigido (digrafo) y encontrar una estimaci´on de la siguiente arboricidad relativa definida para digrafos bipartitos: Definici´on 4.3.1. Sea Gun digrafo y A⊆Gun conjunto de v´ertices. Un ´arbol T⊆Gse dice relativo aAsi cuando a∈Tel conjunto de v´ertices que queda por debajo de aest´a contenido en T. Un bosque se dice relativo aAsi lo son todos sus ´arboles. En estas condiciones se define la arboricidad relativa aA, ΥA(G) como el m´ınimo n´umero de bosques maximales relativos necesarios para cubrir a G. Se plantean aqu´ı los siguientes problemas. Problema 4.3.2. Si Ges un digrafo estimar ΥA(G). Problema 4.3.3. Si Xes un espacio finito de altura uno, ¿es cierta la igualdad cat(X) = ΥMax(O(X))? Otro problema sugerido por el Corolario 3.4.4 es el siguiente: Problema 4.3.4. ¿Qu´e propiedades topol´ogicas de un espacio finito Xcaracterizan la desigualdad cat(X)≤2? Intentar repetir el camino que lleva al Corolario 3.4.4, incluso para espacios finitos de altura uno, queda descartado por el siguiente resultado probado en [6]: Teorema 4.3.5. Sea Xun espacio finito minimal. Entonces Xadmite una estructura de co-H-espacio si y s´olo si es un punto. Demostraci´on. Supongamos que Xadmite estructura de co-H-espacio respecto a un punto e∈X,Xes conexo por caminos (Proposici´on 3.4.8). Adem´as por el Teorema 2.4.4 se tiene que p1◦µ=idX=p2◦µ. As´ı pues, si µ(x)=(y, e) se sigue x=p2µ(x) = e. En el otro caso, µ(x)=(e, y) y x=p1µ(x) = e. Se concluye entonces que x=e, para todo x∈X, y por tanto X={e}. 4.3. EL PROBLEMA DE LA CARACTERIZACI ´ ON DE LA CATEGOR´ IA LS DE ESPACIOS FINITOS DE ALTURA UNO41 Como consecuencia inmediata de los Teoremas 2.4.3 y 2.4.4, junto al Lema 3.4.2 se tiene: Corolario 4.3.6. Todo espacio finito Xadmite una estructura de co-H-espacio si y s´olo si Xes contr´actil. Demostraci´on. Si (X, e) es un co-H-espacio y X0es su alma (Teorema 2.4.3), sea f:X→ X0una equivalencia de homotop´ıa y e0=f(e). Se tiene que (X0, e0) es un co-H-espacio por la Proposici´on 3.4.7, y por el Teorema 4.3.5 X0es un punto, luego Xes contr´actil.