Fundamentos matemáticos de la relatividad general: algunos modelos cosmológicos

FACULTAD DE MATEM´ ATICAS DEPARTAMENTO DE GEOMETR´ IA Y TOPOLOG´ IA FUNDAMENTOS MATEM ´ ATICOS DE LA RELATIVIDAD GENERAL: ALGUNOS MODELOS COSMOL ´ OGICOS UNIVERSIDAD DE SEVILLA Juli´an Mar´ıa Galindo ´ Alvarez Tutorizado y dirigido por Dr. Alfonso Carriazo Rubio Resumen En este trabajo vamos a desarrollar los conceptos, formalismos y herramientas matem´aticas, propios de la Geometr´ıa Diferencial, que sirven de base para la teor´ıa de la Relatividad. Comenzaremos con un breve repaso sobre las variedades diferenciables y tensores, continuaremos introduciendo las formas bilineales con el fin de definir las variedades semi-Riemannianas. En el estudio de este tipo de variedades introduciremos la conexi´on de Levi-Civita, los productos warped, las geod´esicas y los tensores de curvatura. Adem´as, nos centraremos brevemente en un tipo concreto de estas variedades: las variedades de Lorentz. Una vez expuesto y desarrollado lo anterior, introduciremos el formalismo de la Relatividad General y veremos tres modelos cosmol´ogicos en los que haremos uso de los conceptos previamente desarrollados: los espacio-tiempos de Lorentz-Minkowski, Schwarzschild y Robertson-Walker. Abstract In this work we are going to introduce the concepts, formalisms and mathematical tools of Differential Geometry in which the theory of Relativity is based. We will start with a brief review about smooth manifolds and tensors, followed by bilinear forms in order to define semi-Riemannian manifolds. During the study of this kind of manifolds, we will introduce the Levi-Civita conection,warped products,geodesics and curvature tensors. Also, we will focus in a specific type of this manifolds: Lorentz manifolds. After developing all this structure, we will stablish the formalism of General Relativity and apply the previous concepts in three different cosmological models: Lorentz- Minkowski, Schwarzschild and Robertson-Walker spacetimes. Nota del autor sobre las referencias y la bibliograf´ıa: El texto contiene numerosas referencias coloreadas. En azul se encuentran las referencias a elementos del propio documento y en morado las bibliogr´aficas. En la bibliograf´ıa, los n´umeros finales indican las p´aginas de este documento en las que se ha hecho la referencia y no las consultadas en los textos. Para el lector del documento en formato digital: Las referencias y elementos del ´ındice pueden ser visitados haciendo click sobre ellos. Se recuerda que tras acceder a ellos, puede volver a la p´agina en la que se encontraba con el comando Alt + ←en Adobe Acrobat Reader de Windows o con cmd + ←en Mac. ´ Indice general Introducci´on 7 1. Variedades diferenciables y tensores 11 1.1. Variedades diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2. Aplicaciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3. Espacio tangente y aplicaci´on diferencial . . . . . . . . . . . . 14 1.4. Campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5. 1-formas y diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.6. Campos tensoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2. Formas bilineales y producto escalar 23 2.1. Formas bilineales sim´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2. Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3. Variedades semi-Riemannianas 29 3.1. Variedades semi-Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2. Conexi´on de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.3. Transporte paralelo y geod´esicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.4. Cambio de tipo y contracci´on m´etrica . . . . . . . . . . . . . . 41 3.5. Tensor curvatura de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.6. Tensor de Ricci, curvatura escalar y seccional . . . . . . . . . 46 3.7. Variedades de Lorentz. Orientaci´on temporal . . . . . . . . . . 49 4. Teor´ıa de la Relatividad 53 4.1. Part´ıculas en un espacio-tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.2. Ecuaci´on de campo de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5. Modelos cosmol´ogicos simples 61 5.1. Espacio-tiempo de Lorentz-Minkowski . . . . . . . . . . . . . . 61 5.2. Espacio-tiempo de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5.3. Espacio-tiempo de Robertson-Walker . . . . . . . . . . . . . . 73 Bibliograf´ıa 81 Introducci´on Cuando uno piensa en la teor´ıa de la Relatividad parece inevitable que la figura de Albert Einstein le venga a la cabeza, pero lo cierto es que esta teor´ıa no habr´ıa llegado muy lejos sin el trabajo de los matem´aticos que desarrollaron todo el cuerpo te´orico en el que se sustenta. La teor´ıa de la Relatividad es una teor´ıa geom´etrica, y el camino a ella requiri´o del cruce de un formalismo matem´atico que apenas se estaba desarrollando, junto a una intuici´on y conocimientos sobre F´ısica que permitiera unirlos. Figura 1. B. Riemann. El matem´atico alem´an Carl F. Gauss (1777- 1855) revolucion´o el an´alisis de curvas y superficies, estudi´andolas de forma intr´ınseca, independientemente del espacio ambiente en el que se encontraran (R2oR3). As´ı, desarroll´o conceptos como la curvatura, invariante bajo isometr´ıas tal y como ´el mismo demostr´o, el c´alculo de longitudes y ´areas, y en definitiva, el an´alisis intr´ınseco de las superficies [7]. En 1854, Bernhard Riemann (1826- 1866), alumno de Gauss, estableci´o en su tesis de habilitaci´on Sobre las hip´otesis en que se funda la geometr´ıa (1854) [16] las bases para generalizar el trabajo de Gauss a dimensiones superiores, dando las primeras pinceladas de lo que hoy conocemos como Geometr´ıa Diferencial. Sin embargo, el estudio de Riemann era lo suficientemente complejo como para que sus contempor´aneos no fueran capaces de ver la nueva revoluci´on de la geometr´ıa que se avecinaba. Gracias a los trabajos de Elwin B. Christoffel (1829-1900) sobre formas cuadr´aticas, los matem´aticos italianos Gregorio Ricci-Curbastro (1853-1925) y su ex-alumno Tullio Levi-Civita (1873-1941) comenzaron a formalizar los conceptos que plante´o Riemann, dot´andolos de la rigurosidad matem´atica que necesitaba esta nueva teor´ıa para poder ser puesta en pr´actica. Este fue el nacimiento del C´alculo Diferencial Absoluto 8INTRODUCCI ´ ON de Ricci y Levi-Civita, que apoy´andose en Riemann y Christoffel, generalizaba el c´alculo diferencial en estas nuevas superficies de m´as dimensiones, las variedades [9]. Figura 2. Gregorio Ricci-Curbastro y Tullio Levi-Civita. Paralelamente, el f´ısico alem´an Albert Einsten (1879-1955) public´o en 1905 su teor´ıa de la Relatividad Especial, en la que generalizaba la relatividad de Galileo Galilei, explicando que al igual que las velocidades y posiciones medidas por un observador dependen de su movimiento relativo (respecto a otro observador), el tiempo tambi´en es relativo. Adem´as, establec´ıa que la velocidad de la luz es la m´axima alcanzable en la naturaleza y de valor constante para todos los observadores independientemente de su movimiento. Interesado por esta teor´ıa f´ısica, el matem´atico Hermann Minkowski (1864-1909) la formaliz´o a trav´es de conceptos geom´etricos bien conocidos en matem´aticas. Figura 3. A. Einstein. Intentando incorporar la fuerza gravitatoria en la teor´ıa de Einstein, su compa˜nero y matem´atico Marcel Grossman le recomend´o estudiar los trabajos de Ricci y Levi-Civita y su C´alculo Diferencial Absoluto, pues le parec´ıa el marco matem´atico perfecto para las ideas que Einstein planteaba. Tras a˜nos de trabajo junto a Grossman y un intenso carteo con Levi-Civita [9], Einstein public´o en 1916 su Teor´ıa de la Relatividad General, donde la ecuaci´on de campo describ´ıa el espacio y el tiempo como una variedad semi-Riemanniana en la que la gravedad no era una fuerza, sino la consecuencia de que las trayectorias de los cuerpos libres fueran geod´esicas de esta variedad, curvada por la presencia de materia y energ´ıa. INTRODUCCI ´ ON 9 Figura 4. G. Lemaˆıtre. Cuando en 1919 Arthur Eddington midi´o la desviaci´on que sufr´ıa un rayo de luz al pasar cerca del Sol (hecho inexplicable con la hasta entonces reinante teor´ıa de Newton), junto a la concordancia con los datos predichos por la teor´ıa de Einstein, el f´ısico alem´an se consolid´o como uno de los m´as importantes de su ´epoca. A ra´ız de la comprobaci´on experimental, numerosos cient´ıficos intentaron encontrar distintas soluciones a la ecuaci´on de campo. Poco despu´es de la publicaci´on de la teor´ıa, Karl Schwarzchild (1873-1916) public´o la primera soluci´on no trivial de la ecuaci´on, apareciendo por primera vez lo que hoy conocemos como agujeros negros. M´as adelante, los trabajos de Aleksandr Fridman (1888-1925) y Georges Lemaˆıtre (1894-1966) sobre soluciones din´amicas de la ecuaci´on de campo, junto con la evidencia experimental de Edwin Hubble y el apoyo matem´atico de Howard P. Robertson (1901-1963) y Arthur. G. Walker (1909-2001), conclu´ıan que nuestro universo naci´o a ra´ız de una rapid´ısima expansi´on (big bang) y se expande desde entonces. Este largo camino que involucr´o a f´ısicos y matem´aticos fue el nacimiento de la cosmolog´ıa moderna, que tras haber confirmado una y otra vez la teor´ıa de la Relatividad, sigue enfrent´andose a problemas a´un sin explicaci´on como la expansi´on acelerada del universo o la energ´ıa oscura. En este trabajo pretendo exponer todo el sustento matem´atico de la teor´ıa de la Relatividad, la Geometr´ıa Diferencial, que en esencia es el trabajo de Ricci-Curbastro y Levi-Civita de formalizaci´on de las ideas de Riemann y Christoffel, para luego introducir las ideas de la Relatividad General a partir del desarrollo previo, aplicando adem´as las nociones expuestas en tres modelos cosmol´ogicos simples: en el modelo de Lorentz-Minkowski veremos algunos elementos puramente geom´etricos de la Relatividad Especial como la desigualdad de Schwarz o el teorema de Pit´agoras, en el modelo de Schwarzschild usaremos las propiedades de los tensores de curvatura para llegar a la m´etrica de la variedad buscada; y en el modelo de Robertson-Walker usaremos la noci´on de producto warped para construir el espacio-tiempo que modela la evoluci´on del universo. Puesto que el foco principal del documento es el fundamento geom´etrico, me tomar´e la libertad de simplificar ligeramente el marco f´ısico. Con esto me refiero a que a la hora de plantear el formalismo de la teor´ıa de la Relatividad, me centrar´e ´unicamente en la materia como fuente de densidad de energ´ıa, 16 CAP´ ITULO 1. VARIEDADES DIFERENCIABLES Y TENSORES Definici´on 1.4.2. Un campo vectorial Vsobre Mde dice diferenciable si V f es diferenciable para cada f∈F(M). Notaci´on 1.4.3. El conjunto de todos los campos vectoriales diferenciables sobre Mse denota por X(M). Lema 1.4.4. X(M)es un R-espacio vectorial y un F(M)-m´odulo. Lema 1.4.5. Dados (U, ϕ = (x1, . . . , xm)) carta en Mmy un campo vectorial Vsobre Mm,{∂1, . . . , ∂m}es base de X(U)y por tanto, cada V∈X(U)puede expresarse como V= m X i=1 V xi∂i. Definici´on 1.4.6. Sea Mvariedad diferenciable. Se denomina producto corchete a la aplicaci´on [·,·] : X(M)×X(M)−→X(M) (X, Y )7−→[X, Y ] = XY −Y X. Ejemplo 1.4.7. Sean (U, ϕ = (x1, . . . , xm)) carta de Mmyf∈F(U). Para cada i, j = 1, . . . , m tenemos que [∂i, ∂j](f) = ∂ ∂xi ∂f ∂xj−∂ ∂xj ∂f ∂xi=∂2f ∂xi∂xj−∂2f ∂xj∂xi= 0. 1.5. 1-formas y diferencial Las 1-formas sobre una variedad son los elementos duales de los campos vectoriales. La introducci´on de estos elementos ser´a fundamental para la construcci´on de los tensores. Definici´on 1.5.1. Dada una variedad M, se denomina espacio cotangente al espacio dual de Tp(M), esto es, Tp(M)∗={ω:Tp(M)→R|ωes lineal}. Llamamos vector covariante ocovector a todo ω∈Tp(M)∗. Se denomina fibrado cotangente aT(M)∗=Sp∈MTp(M)∗. Definici´on 1.5.2. Se denomina 1-forma sobre Ma cualquier aplicaci´on ω: M→T(M)∗tal que que a cada punto p∈Mle asocia un vector covariante ωp∈Tp(M)∗. Equivalentemente, las 1-formas pueden verse como aplicaciones ω:X(M)→F(M) que asocian VaωV para cada p∈M, donde ωV env´ıa cada p∈MaωpVp. 1.6. CAMPOS TENSORIALES 17 Definici´on 1.5.3. Una 1-forma ωsobre Mde dice diferenciable si ωV es diferenciable para todo V∈X(M). Notaci´on 1.5.4. El conjunto de todas las 1-formas diferenciables sobre M se denota por X∗(M). Lema 1.5.5. X∗(M)es un R-espacio vectorial y un F(M)-m´odulo. Definici´on 1.5.6. Llamamos diferencial a la aplicaci´on d:F(M)→X∗(M) que env´ıa cada funci´on diferenciable fadf, donde (df)(V) = V f para todo V∈X(M). Ejemplo 1.5.7. Dada (U, ϕ = (x1, . . . , xm)) una carta de Mm, las 1-formas coordenadas dxi∈X∗(U) con i= 1, . . . , m cumplen que dxi∂j=∂jxi=∂xi ∂xj=δi j, donde δi jes la delta de Kronecker, cuyo valor es 1 si i=jy 0 en caso contrario. Lema 1.5.8. Dada (U, ϕ = (x1, . . . , xm)) carta en Mm, el conjunto de 1- formas coordenadas {dx1, . . . , dxm}es base de X∗(U)y por tanto, cada ω∈ X∗(U)puede expresarse como ω= m X i=1 ω∂idxi. 1.6. Campos tensoriales Los campos tensoriales sobre una variedad pretenden generalizar los conceptos de campo vectorial y 1-formas. Estos objetos permitir´an dotar a la variedad diferenciable de una estructura m´as amplia. Comenzaremos defi- ni´endolos para un K-m´odulo V. Definici´on 1.6.1. Sea Vun m´odulo sobre un anillo K. Decimos que la aplicaci´on A: (V∗)r×Vs→Kcon r, s ≥0 no simult´aneamente nulos es un tensor de tipo (r, s)sobre V si es K-multilineal. Notaci´on 1.6.2. El conjunto de todos los tensores sobre Vde tipo (r, s) lo denotaremos por Tr s(V). Nota 1.6.3. Por convenio, T0 0(V) = K. 18 CAP´ ITULO 1. VARIEDADES DIFERENCIABLES Y TENSORES Proposici´on 1.6.4. Se tiene que Tr s(V)es un K-m´odulo. Definici´on 1.6.5. Un campo tensorial Ten una variedad Mde tipo (r, s) es un tensor sobre el F(M)-m´odulo X(M), esto es, T:X∗(M)r×X(M)s→F(M) es F(M)-multilineal. Notaci´on 1.6.6. Por simplicidad se denotar´a el conjunto de todos los campos tensoriales sobre la variedad Mde tipo (r, s) como Tr s(M). Proposici´on 1.6.7. Dada una variedad Mse cumple que: 1. T0 1(M) = X∗(M). 2. T1 0(M) = X(M). 3. Si T:X(M)s→X(M)es F(M)-multilineal entonces la aplicaci´on: e T:X∗(M)×X(M)s−→F(M) (ω, V1, . . . , Vs)7−→ωT(V1, . . . , Vs) es un campo tensorial de tipo (1, s). Definici´on 1.6.8. Un campo tensorial Tsobre Mse dice covariante si es de tipo (0, s) y contravariante si es de tipo (r, 0). Definici´on 1.6.9. Sean T1∈Tr s(M) y T2∈Tr0 s0(M). Definimos el producto tensorial de T1yT2como T1⊗T2:X∗(M)r+r0×X(M)s+s0→F(M) dado por: (T1⊗T2)(ω1, . . . , ωr+r0, V1, . . . , Vs+s0) =T1(ω1, . . . , ωr, V1, . . . , Vs)T2(ωr+1, . . . , ωr+r0, Vs+1, . . . , Vs+s0). Definici´on 1.6.10. Dados (U, ϕ = (x1, . . . , xm)) carta de MmyT∈Tr s(U), llamamos componentes de T relativos a ϕa las funciones Ti1...ir j1...js=T(dxi1, . . . , dxir, ∂j1, . . . , ∂js)∈F(U) donde ik, jl∈ {1, . . . , m}para cada k= 1, . . . , r yl= 1, . . . , s. Lema 1.6.11. Dados (U, (x1, . . . , xm)) carta de MmyT∈Tr s(U), se tiene que T=XTi1...ir j1...js∂i1⊗···⊗∂ir⊗dxji⊗···⊗dxjs, donde la suma se mueve en ik, jl∈ {1, . . . , m}para cada k= 1, . . . , r y l= 1, . . . , s. 1.6. CAMPOS TENSORIALES 19 Los siguientes resultados nos permitir´an dar una interpretaci´on m´as intuitiva de lo que es un tensor, que a su vez se asemeja m´as a la concepci´on que la F´ısica tiene sobre los mismos: objetos abstractos que adquieren “forma” al fijar una base del espacio vectorial de partida, con las consecuentes reglas de cambio de base. Lema 1.6.12. Sean (U, ϕ)carta en Mmcon p∈U,T∈Tr s(M),ω1, . . . , ωr∈ X∗(U)yV1, . . . , Vs∈X(U)tales que ωi(p)=0para alg´un 1≤i≤r´o Vj(p) = 0 para alg´un 1≤j≤s. Entonces T(ω1...,ωr, V1, . . . , Vs)(p) = 0. Proposici´on 1.6.13. Sean p∈MyT∈Tr s(M). Consideremos ω1, . . . , ωr yθ1, . . . , θr∈X∗(M)tales que ωi(p) = θi(p)para i= 1, . . . , r;X1, . . . , Xsy Y1, . . . , Ys∈X(M)tales que Xj(p) = Yj(p)para j= 1, . . . , s. Entonces T(ω1, . . . , ωr, X1, . . . , Xs)(p) = T(θ1, . . . , θr, Y1, . . . , Ys)(p). De la proposici´on anterior se deduce que podemos interpretar un campo tensorial T∈Tr s(M) como una aplicaci´on que a cada punto p∈Mle asocia el tensor Tp∈Tr s(Tp(M)) dado por Tp: (Tp(M)∗)r×(Tp(M))s−→R (θ1, . . . , θr, v1, . . . , vs)7−→T(ω1, . . . , ωr, V1, . . . , Vs)(p) donde cada ωicon i= 1, . . . , r es cualquier 1-forma con ωi(p) = θiyVjcon j= 1, . . . , s es cualquier campo vectorial con Vj(p) = vj. Un campo tensorial sobre una variedad es efectivamente un campo, en el sentido de que asocia cierto objeto (tensor) a cada punto de la variedad. ´ Esta ser´a la interpretaci´on m´as com´un que haremos sobre los tensores. Ejemplo 1.6.14 (Regla de cambio de base).Veamos c´omo cambian las componentes de un tensor T∈T1 2(U) relativas al sistema de coordenadas ϕ= (x1, . . . , xm) al pasar a un sistema de coordenadas φ= (y1, . . . , ym). Denotemos por (ϕ)Ti jk =T(dxi, ∂x j, ∂x k) a las componentes de Trelativas a ϕy por (φ)Ti jk =T(dyi, ∂y j, ∂y k) a las relativas a φ. Por un lado tenemos los cambios de base ∂y i= m X j=1 ∂y ixj∂x j= m X j=1 ∂xj ∂yi∂x j= m X j=1 aj i∂x j, dyi= m X j=1 dyi∂x jdxj= m X j=1 ∂yi ∂xjdxj= m X j=1 bi jdxj. 20 CAP´ ITULO 1. VARIEDADES DIFERENCIABLES Y TENSORES Entonces, podemos escribir: (φ)Ti jk =T(dyi, ∂y j, ∂y k) =T m X l=1 bi ldxl, m X r=1 ar j∂x r, m X s=1 as k∂x s! = m X j,r,s=1 bi lar jas kT(dxl, ∂x r, ∂x s) = m X j,r,s=1 bi lar jas k(ϕ)Tl rs = m X j,r,s=1 (ϕ)Tl rs ∂yi ∂xl ∂xr ∂yj ∂xs ∂yk. Definici´on 1.6.15. Sean (U, (x1, . . . , xm)) carta de MmyT∈Tr s(U). Llamamos contracci´on (i, j)del tensor Tal campo tensorial Ci j(T)∈Tr−1 s−1(U) tal que Ci j(T)(ω1, . . . , ωr−1, V1, . . . , Vs−1) = m X k=1 T(ω1, . . . , ωi−1, dxk, ωi, . . . , ωr−1, V1, . . . , Vj−1, ∂k, Vj, . . . , Vs−1). Ejemplo 1.6.16. Consideremos T∈T1 1(Rm) que podemos identificarlo con una matriz. La ´unica contracci´on posible C1 1(T)∈Res la que da la traza de Tya que C1 1(T) = m X k=1 T(dxk, ∂k) = m X k=1 dxk m X j=1 tj k∂j= m X k=1 m X j=1 tj kdxk∂j= m X k=1 tk k. Definici´on 1.6.17. Sean MyNvariedades y f:M→Ndiferenciable. Dado T∈T0 s(N) con sno nulo, llamamos pullback de Tpor fal campo tensorial definido por (f∗T)p(V1, . . . , Vs) = Tf(p)(dfpV1, . . . , dfpVs)∈T0 s(M) para todos Vi∈Tp(M), p∈M. Definici´on 1.6.18. Sea Muna variedad. Una derivaci´on tensorial en M es un conjunto de aplicaciones R-lineales D=Dr s:Tr s(M)→Tr s(M) con r, s ≥0 tal que para cualesquiera T1, T2, T ∈Tr s(M) se tiene que 1.6. CAMPOS TENSORIALES 21 D(T1⊗T2) = DT1⊗T2+T1⊗DT2, D(CT) = C(DT) con Ccontracci´on. Lema 1.6.19. Sean Mvariedad y D1,D2dos derivaciones tensoriales en Mtales que D1f=D2fyD1V=D2Vpara todo f∈F(M)yV∈X(M). Entonces D1=D2. Proposici´on 1.6.20. Sean Mvariedad, V∈X(M)y la aplicaci´on R-lineal D:X(M)→X(M)tal que D(fX) = (V f)X+fDXpara todo f∈F(M)y X∈X(M). Entonces existe una ´unica derivaci´on Den Mtal que D0 0=V yD1 0=D. Proposici´on 1.6.21 (Regla de la cadena).Sean Duna derivaci´on en una variedad MyT∈Tr s(M). Entonces: D(T(ω1, . . . , ωr, V1, . . . , Vs)) = (DT)(ω1, . . . , ωr, V1, . . . , Vs) + r X i=1 T(ω1,...,Dωi, . . . , ωr, V1, . . . , Vs) + s X j=1 T(ω1, . . . , ωr, V1,...,DVj, . . . , Vs). Cap´ıtulo 2 Formas bilineales y producto escalar Hasta ahora la noci´on de producto escalar en un espacio vectorial consist´ıa en una forma bilineal sim´etrica definida positiva sobre dicho espacio vectorial. En este cap´ıtulo generalizaremos dicho concepto tratando las formas bilineales desde el punto de vista tensorial y relajando la condici´on de ser definida positiva, imponiendo en su lugar que sea no degenerada. En [4] y [15] puede profundizarse en los conceptos que van a presentarse. 2.1. Formas bilineales sim´etricas Las formas bilineales son un tipo de tensores que constituyen el paso previo a la noci´on de producto escalar, y por tanto, al concepto de medida tal y como ocurre en Rm. Definici´on 2.1.1. Sean Vun R-espacio vectorial y b∈T0 2(V). Se dice que bes una forma bilineal sim´etrica si b(u, v) = b(v, u) para cada u, v ∈V. Definici´on 2.1.2. Sea buna forma bilineal sim´etrica sobre V. Se dice que b es: Definida positiva (negativa) si se cumple que b(v, v)>0 (<0) para todo v∈V\{0}. Semidefinida positiva (negativa) si se cumple que b(v, v)≥0 (≤0) para todo v∈V\{0}. 24 CAP´ ITULO 2. FORMAS BILINEALES Y PRODUCTO ESCALAR No degenerada si se cumple que b(u, v) = 0 para todo u∈Vimplica que v= 0. En caso contrario se denomina degenerada. Adem´as se dice definida (semidefinida) si se da alguno de los dos casos del primer (segundo) punto. Definici´on 2.1.3. Sea b:V×V→Runa forma bilineal sim´etrica en V. La funci´on q:V→Rdada por q(v) = b(v, v) se denomina forma cuadr´atica asociada a b. Una propiedad interesante de la forma cuadr´atica es que nos permite reconstruir la forma bilineal a partir de ella gracias a la identidad de polarizaci´on: b(u, v) = 1 2[q(u+v)−q(u)−q(v)] . Definici´on 2.1.4. Sean B={e1, . . . , en}una base de Vybuna forma bilineal sim´etrica en V. La matriz de b en la base Bes la matriz (bij) =    b(e1, e1)··· b(e1, en) . . ..... . . b(en, e1)··· b(en, en)   . Notemos que esta matriz es claramente sim´etrica por serlo b. Puesto que la interpretaci´on matricial de este tipo de tensores supone facilidades a la hora de trabajar con ellos, vamos a demostrar el siguiente resultado. Proposici´on 2.1.5. Sea buna forma bilineal sim´etrica sobre V. Entonces bes no degenerada si y s´olo si la matriz de ben cualquier base de Ves invertible. Demostraci´on. Consideremos {e1, . . . , en}base de Vyu, v ∈V. Por la linealidad de bse tiene que b(u, v) = b n X i=1 uiei, v!= n X i=1 uib(ei, v). Por tanto b(u, v) = 0 para cada u∈Vsi y s´olo si b(ei, v) = 0 para todo i= 1, . . . , n. 2.2. PRODUCTO ESCALAR 25 Equivalentemente b(ei, v) = b ei, n X j=1 vjej!= n X j=1 vjbij = 0. Es decir, bes degenerada si y s´olo si existen v1, . . . , vnno simult´aneamente nulos tal que se tiene lo anterior para cada i, lo que es equivalente a decir que las columnas de la matriz asociada a bson linealmente independientes y en consecuencia, que dicha matriz es invertible. Definici´on 2.1.6. Sea buna forma bilineal sim´etrica sobre V. Llamamos ´ındice νde ben Va la dimensi´on del mayor subespacio W⊂Vtal que la restricci´on de baW,b|W×W, es definida negativa. En la definici´on anterior, nos referimos con mayor subespacio al subespacio de dimensi´on mayor. 2.2. Producto escalar Un producto escalar es un tipo de forma bilineal sim´etrica. Comenzaremos viendo ciertos aspectos en un espacio vectorial gen´erico. Definici´on 2.2.1. Dado un espacio vectorial Vde dimensi´on finita, decimos que g:V×V→Res un producto escalar en Vsi es una forma bilineal sim´etrica no degenerada. Al par (V, g) lo llamamos espacio vectorial con producto escalar. Definici´on 2.2.2. Sean (V, g) un espacio vectorial con producto escalar, u, w ∈VyU, W ⊆Vsubespacios vectoriales. Se dice que: 1. uywson ortogonales si g(u, w) = 0, 2. UyWson ortogonales si uywson ortogonales para todos u∈Uy w∈W. Como es habitual, denotaremos la relaci´on de ortogonalidad por u⊥w. Adem´as, si Wes un subespacio de un espacio vectorial V, notaremos por W⊥al conjunto {v∈V|w⊥vpara todo w∈W}. Es sencillo comprobar que W⊥es un subespacio de V. 32 CAP´ ITULO 3. VARIEDADES SEMI-RIEMANNIANAS σ π q p (p, q) B×fF F B Figura 3.1. Producto warped. La idea intuitiva consiste en que para cada punto de la base Bse obtiene una copia de la fibra F, deformada mediante la funci´on f. 3.2. Conexi´on de Levi-Civita Buscando generalizar el concepto de derivada sobre una variedad semi- Riemanniana, vamos a introducir la conexi´on, una aplicaci´on que buscar´a “medir” cu´anto var´ıa un campo vectorial a lo largo de la direcci´on que indique otro campo vectorial. Adem´as veremos que de entre todas las conexiones, existe una ´unica de ellas que posee propiedades claves en relaci´on a la m´etrica de la variedad: la conexi´on de Levi-Civita. Comenzamos esta secci´on viendo un par de lemas t´ecnicos que ser´an de utilidad. Lema 3.2.1. Sean Muna variedad y V, W ∈X(M). Si hV|Xi=hW|Xi para todo X∈X(M), entonces V=W. Demostraci´on. La no degeneraci´on del tensor m´etrico implica que para cada p∈M, se tiene que (V−W)p= 0 ya que h(V−W)p|Xpi= 0. Lema 3.2.2. Sea Muna variedad. Dada cualquier 1-forma ω∈X(M)existe un ´unico campo V∈X(M)tal que ω(X) = hV|Xipara todo X∈X(M). Demostraci´on. Consideremos una carta (U, ϕ = (x1, . . . , xm)) de M. Sea ω=Pm i=1 ωidxiy definamos el campo vectorial V=Pm i,j=1 gijωi∂j. Entonces hV|∂ki= m X i,j=1 gijωih∂j|∂ki= m X i,j=1 ωigijgjk = m X i=1 ωiδi k=ωk=ω(∂k). 3.2. CONEXI ´ ON DE LEVI-CIVITA 33 Por tanto ω(X) = hV|Xipara todo X∈X(M) por linealidad. Para ver la unicidad supongamos que existen dos campos vectoriales V, W tales que ω(X) = hV|Xi=hW|Xipara todo X∈X(M). Por el Lema 3.2.1 tenemos que V=Wy hemos acabado. Definici´on 3.2.3. Una conexi´on Dsobre una variedad Mes una aplicaci´on D:X(M)×X(M)→X(M) tal que para V, X ∈X(M) P1. DVXes F(M)-lineal en V, P2. DVXes R-lineal en X, P3. DV(fX)=(V f)X+fDVXpara toda f∈F(M). A cada DVX∈X(M) se le llama derivada covariante de Xcon respecto de Vpara la conexi´on D. El siguiente lema muestra el car´acter local de la conexi´on, permiti´endonos hacer c´alculos con ella dada una carta de la variedad. Lema 3.2.4. Sean Duna conexi´on sobre una variedad M,p∈MyV,V0, X,X0∈X(M)tales que V=V0yX=X0en un entorno Ude p. Entonces (DVX)p= (DV0X0)p. Demostraci´on. Como X=X0en el entorno Ude p, se tiene que X−X0= 0 en dicho entorno. Entonces, por el Lema de Extensi´on 1.2.8, existen f∈F(M) y un abierto Wcon p∈W⊆U, tales que: f(q) = 1 si q∈M\U 0 si q∈W Tenemos entonces que X−X0=f(X−X0), por lo que aplicando la conexi´on a esta expresi´on llegamos a: DV(X−X0) = DVfX −DVfX0 = (V f)X−(V f)X0+fDVX−fDVX0. Puesto que (V f)p=Vpf,f= 0 en Wentorno de py en particular f(p) = 0, tenemos que (DVX)p−(DVX0)p= (V f)pXp−(V f)pX0 p+f(p) (DVX−DVX0)p= 0, y por tanto (DVX)p= (DVX0)p. 34 CAP´ ITULO 3. VARIEDADES SEMI-RIEMANNIANAS Ahora, puesto que V−V0= 0 en U, de manera an´aloga a lo anterior existen una funci´on g∈F(M) y un abierto W0⊆Ude forma que (DVX0)p= (DV0X0)p, por lo que (DVX)p= (DVX0)p= (DV0X0)p. Teorema 3.2.5 (Teorema fundamental de la geometr´ıa semi-Riemanniana). Sea Muna variedad. Entonces existe una ´unica conexi´on, que denotaremos por ∇, tal que para cada V, X, Y ∈X(M)se tiene que P4. [V, X] = ∇VX−∇XV, P5. VhX|Yi=h∇VX|Yi+hX|∇VYi. Dicha conexi´on se denomina conexi´on de Levi-Civita de My viene caracterizada por la f´ormula de Koszul: 2h∇VX|Yi=VhX|Yi+XhY|Vi−YhV|Xi −hV|[X, Y ]i+hX|[Y, V ]i+hY|[V, X]i. Demostraci´on. Denotemos por K(V, X, Y ) el lado derecho de la f´ormula de Koszul. Es f´acil comprobar que, fijados los campos vectoriales V, X ∈X(M) la aplicaci´on Y→K(V, X, Y ) es F(M)-lineal en Yy por tanto es 1-forma. Por el Lema 3.2.2 existe un ´unico campo vectorial que denotaremos por ∇VX tal que 2 h∇VX|Yi=K(V, X, Y ) para todo Y∈X(M) y tenemos la f´ormula de Koszul. Veamos que tal campo vectorial cumple las cinco propiedades mencionadas. Para ello, s´olo vamos a indicar ciertos pasos pues aunque no es complicado, hay c´alculos engorrosos y todos se basan en la f´ormula de Koszul. Sea Y∈X(M) arbitrario. Para probar (P1) y (P2) consideremos f, g ∈F(M), U, W ∈X(M) y λ∈R. 2h∇fU+gW (λX)|Yi=K(fU +gW, λX, Y ) = 2λfK(U, X, Y )+2λgK(W, X, Y ) = 2λ(fh∇UX|Yi+gh∇WX|Yi) = 2 hλ(f∇UX+g∇WX)|Yi. Para probar (P3) consideremos 2h∇V(fX)|Yi=VhfX|Yi+fX hY|Vi−YhV|fXi −hV|[fX, Y ]i+hfX|[Y, V ]i+hY|[V, fX]i. 3.2. CONEXI ´ ON DE LEVI-CIVITA 35 Por la F(M)-linealidad del tensor m´etrico y teniendo en cuenta que [fX, Y ] = f[X, Y ]−(Xf)Yllegamos a que 2h∇V(fX)|Yi= 2 h(V f)X+f∇VX|Yi. Para probar (P4) consideramos 2h∇VX−∇XV|Yi=K(V, X, Y )−K(X, V, Y ) =hY|[V, X]i−hY|[X, V ]i = 2 h[V, X]|Yi. Para probar (P5) consideramos 2(h∇VX|Yi+hX|∇VYi) = K(V, X, Y ) + K(V, Y, X) = 2VhX|Yi. Por la arbitrariedad en la elecci´on de Yy el Lema 3.2.1, tenemos el resultado que busc´abamos demostrar. En lo que sigue, toda conexi´on que consideremos ser´a la de Levi-Civita. Observemos que de las propiedades que definen una conexi´on, (P3) nos asegura que ∇no es un tensor pues no es F(M)-lineal en X. Debido a la propiedad (P4), se suele decir que ∇es libre de torsi´on y por (P5) que es compatible con la m´etrica. Definici´on 3.2.6. Sea (U, ϕ = (x1, . . . , xm)) una carta de M. Llamamos s´ımbolos de Christoffel a las funciones Γk ij ∈F(U) componentes de ∇∂i∂jen la base {∂1,...∂m}, esto es ∇∂i∂j= m X k=1 Γk ij∂k. Puesto que [∂i, ∂j] = 0 como vimos en el Ejemplo 1.4.7, por la propiedad (P4) de la conexi´on de Levi-Civita tenemos que Γk ij = Γk ji. Aunque la notaci´on utilizada para Γk ij parezca indicar que se tratan de componentes de un tensor, recordemos que ∇no lo es y por tanto los s´ımbolos no siguen las reglas de transformaci´on que vimos en el Ejemplo 1.6.14. Lema 3.2.7. Sea (U, ϕ = (x1, . . . , xm)) una carta de Mm. Los s´ımbolos de Christoffel se expresan de la forma Γk ij =1 2 m X n=1 gkn ∂gjn ∂xi+∂gin ∂xj−∂gij ∂xn. 36 CAP´ ITULO 3. VARIEDADES SEMI-RIEMANNIANAS Demostraci´on. Consideremos la f´ormula de Koszul. Haciendo el c´alculo directo obtenemos 2h∇∂i∂j|∂ni=K(∂i, ∂j, ∂n) = ∂gjn ∂xi+∂gin ∂xj−∂gij ∂xn. Por otro lado, usando la definici´on de Γk ij, 2h∇∂i∂j|∂ni= 2 g m X r=1 Γr ij∂r, ∂n!= 2 m X r=1 Γr ijgrn. Igualando las expresiones, multiplicando en ambos miembros por gkn y sumando en n(lo que equivale a multiplicar en ambos miembros por la matriz inversa del tensor m´etrico), obtenemos el resultado. Lema 3.2.8. Sean (U, ϕ = (x1, . . . , xm)) una carta de Mmy el campo vectorial V=Pm j=1 Vj∂j. Entonces se tiene que ∇∂i(V) = m X k=1 "∂V k ∂xi+ m X j=1 Γk ijVj#∂k, Demostraci´on. A partir de la propiedad (P3) de la conexi´on se tiene que ∇∂i m X j=1 Vj∂j!= m X j=1 "(∂iVj)∂j+Vj m X k=1 Γk ij∂k# = m X k=1 "∂V k ∂xi+ m X j=1 Γk ijVj#∂k, como quer´ıamos demostrar Por tanto el tensor m´etrico determina la conexi´on de Levi-Civita a trav´es de los s´ımbolos de Christoffel por el Lema 3.2.7. As´ı, gracias a la expresi´on del Lema 3.2.8, junto con la propiedad (P1), podemos calcular cualquier derivada covariante ∇VXdada una carta de M. Por otro lado, podemos ver que en cualquier espacio semi-Eucl´ıdeo (o Eucl´ıdeo) Rm ν, todos los s´ımbolos de Christoffel se anulan ya que la m´etrica es constante (gij es o bien 1 ´o −1) y la derivada covariante se reduce a la derivada direccional. Haciendo uso del concepto de derivaci´on de un campo tensorial que vimos en la Definici´on 1.6.18 y la Proposici´on 1.6.20, podemos dar una definici´on m´as amplia de derivada covariante que permita actuar sobre campos tensoriales en general. 3.2. CONEXI ´ ON DE LEVI-CIVITA 37 Definici´on 3.2.9. Sean Muna variedad y V∈X(M). La derivada covariante (de Levi-Civita) ∇Ves la ´unica derivaci´on tensorial ∇V:Tr s(M)→Tr s(M) tal que 1. ∇Vf=V f para todo f∈F(M), 2. ∇VXes la derivada covariante de Xrespecto de Vpara la conexi´on de Levi-Civita para todo X∈X(M). Definici´on 3.2.10. Sea T∈Tr s(M). Se denomina diferencial covariante del tensor T al tensor ∇T∈Tr s+1(M) tal que (∇T)(ω1, . . . , ωr, V1, . . . , Vs, X) = (∇XT)(ω1, . . . , ωr, V1, . . . , Vs) para todos Vi, X ∈X(M) y ωj∈X∗(M). La diferencial covariante es una forma compacta de escribir todas las derivadas covariantes de un elemento. Observemos que en el caso r=s= 0 se tiene que T0 0(M) = F(M) y por tanto la diferencial covariante de una funci´on f∈F(M) es la diferencial df ∈X∗(M) ya que (∇f)(V) = ∇Vf=V f =df(V) para todo V∈X(M). Definici´on 3.2.11. Sea Muna variedad. Un campo tensorial Tse dice paralelo si ∇VT= 0 para todo V∈X(M), lo que se expresa como ∇T= 0. Proposici´on 3.2.12. La propiedad (P5) de la conexi´on de Levi-Civita (Teorema 3.2.5) es equivalente al paralelismo del tensor m´etrico. Demostraci´on. Sean X, Y, V ∈X(M). Por la regla de la cadena de la Proposici´on 1.6.21: ∇VhX|Yi= (∇Vg)(X, Y ) + g(∇VX, Y ) + g(X, ∇VY), que es equivalente a VhX|Yi= (∇Vg)(X, Y ) + h∇VX|Yi+hX|∇VYi. Como los campos vectoriales eran arbitrarios, se cumple (P5) si y s´olo si ∇Vg= 0 para todo V∈X(M). As´ı, la propiedad (P5) de la conexi´on de Levi-Civita se suele escribir como ∇g= 0, y por eso decimos que la conexi´on es compatible con la m´etrica. Notaci´on 3.2.13. Sean Mmvariedad, (U, ϕ = (x1, . . . , xm)) una carta de M yT∈Tr s(M). Las componentes de ∇T∈Tr s+1(M) respecto de ϕse denotan por Ti1...ir j1...js;k. 38 CAP´ ITULO 3. VARIEDADES SEMI-RIEMANNIANAS 3.3. Transporte paralelo y geod´esicas Una vez definidas la conexi´on y la derivada covariante nos preguntamos por los campos vectoriales sobre una variedad que, restringidos a una curva sobre la misma, parecen no variar conforme nos movemos a lo largo de dicha curva. Esto nos permitir´a generalizar el concepto de “l´ınea recta” que tenemos en el espacio Eucl´ıdeo: las geod´esicas. Una curva sobre Mes una aplicaci´on diferenciable α:I→Mcon Iun intervalo abierto de R. Su vector velocidad α0(t) = dα d dtp∈Tp(M) da lugar a un campo vectorial sobre α. Denotemos por X(α) al conjunto de todos los campos vectoriales sobre α. La siguiente proposici´on nos dar´a una forma de cuantificar el cambio de un campo vectorial sobre αa lo largo de la curva. Proposici´on 3.3.1. Sea α:I→Muna curva en M. Entonces existe una ´unica aplicaci´on D dt :X(α)−→X(α) Z7−→Z0=DZ dt denominada derivada covariante inducida, tal que si Z, Y ∈X(α) 1. (aZ +bY )0=aZ0+bY 0para todos a, b ∈R, 2. (fZ)0=df dtZ+hZ0para todo f∈F(I), 3. (V|α)0(t) = ∇α0(t)(V)para todos t∈I, V ∈X(M), 4. d dt hZ|Yi=hZ0|Yi+hZ|Y0i. Demostraci´on. Para la unicidad supongamos por ahora que existe una aplicaci´on que satisface las tres primeras propiedades. Consideremos una carta (U, ϕ = (x1, . . . , xm)) de Mtal que la imagen de αse encuentra en U(en caso de necesitar varias cartas ser´ıa an´alogo). Sea Z∈X(α), entonces en 3.3. TRANSPORTE PARALELO Y GEOD´ ESICAS 39 cada α(t) podemos expresar Z(t) = Pi(Zxi)(t)∂i=PiZi(t)∂i. A partir de las propiedades se tiene que Z0= m X i=1 dZi dt ∂i|α+Zi(∂i|α)0= m X i=1 dZi dt ∂i|α+Zi∇α0(∂i). Esto prueba la unicidad pues Z0quedar´ıa completamente determinado por la conexi´on ∇. Para demostrar la existencia basta con definir Z0como en la expresi´on anterior para cada subintervalo de Ital que su imagen por αse encuentre en las distintas cartas de M. Las prueba de las cuatro propiedades se limitan a una comprobaci´on. La introducci´on de los s´ımbolos de Christoffel en la expresi´on de Z0da lugar al siguiente resultado. Corolario 3.3.2. Sean (U, ϕ = (x1, . . . , xm)) una carta de Mm,α:I→U una curva sobre UyZ∈X(α). Entonces podemos expresar Z0como Z0=DZ dt = m X k=1 "dZk dt + m X i,j=1 Γk ij d(xi◦α) dt Zj#∂k. Definici´on 3.3.3. Sean α:I→Muna curva en MyZ∈X(α). Se dice que Zes paralelo si Z0≡0. Observemos que el hecho de que los vectores {∂i}m i=1 sean linealmente independientes implica que el paralelismo de Zes equivalente a un sistema de mecuaciones diferenciables ordinarias. Los resultados de existencia y unicidad sobre ecuaciones diferenciables ordinarias [6] permiten asegurar que dados t0∈Iyz∈Tα(t0)(M) existe un ´unico campo vectorial paralelo Z∈X(α) tal que Z(t0) = z. Esto nos permite definir el transporte paralelo. Definici´on 3.3.4. Sean Muna variedad y α:I→Muna curva en M. Consideremos t0, t ∈I,z∈Tα(t0)(M) y el campo vectorial paralelo Z∈ X(α) que cumple que Z(t0) = z. Denotemos por p=α(t0) y q=α(t). La aplicaci´on Pα p,q :Tp(M)→Tq(M) que env´ıa cada zaZ(t) se denomina transporte paralelo a lo largo de αde paq. Observemos que la unicidad del transporte paralelo a lo largo de una curva implica que Pα p,q es un difeomoerfismo cuya inversa es precisamente Pα q,p . 40 CAP´ ITULO 3. VARIEDADES SEMI-RIEMANNIANAS Figura 3.2. Ejemplos conocidos de Geometr´ıa y Topolog´ıa de Superficies de transporte paralelo en un plano y una esfera. El transporte paralelo a lo largo de un ciclo en una superficie curva puede que no conserve los vectores inicial y final. El ´angulo entre estos vectores se denomina ´angulo de holonom´ıa y est´a directamente relacionado con la curvatura de la regi´on. Definici´on 3.3.5. Una geod´esica de una variedad Mes una curva γ:I→M cuyo campo de velocidades γ0es paralelo. El Corolario 3.3.2 nos proporciona directamente las ecuaciones diferenciales de las geod´esicas. Corolario 3.3.6. Sea (U, ϕ = (x1, . . . , xm)) una carta de Mm. Una curva en M γ :I→Ues una geod´esica de Msi y s´olo si sus funciones coordenadas xi◦γcumplen que d2(xk◦γ) dt2+ m X i,j=1 Γk ij d(xi◦γ) dt d(xj◦γ) dt = 0 para todo k= 1, . . . , m. As´ı, por el mismo motivo que mencionamos anteriormente, fijados p∈M yz∈Tp(M), existe una ´unica geod´esica γ:I→Mtal que γ(0) = py γ0(0) = z. Ejemplo 3.3.7. Las ecuaciones de las geod´esicas en el espacio semi-Eucl´ıdeo Rm νse reducen a d2(xi◦γ) dt2= 0 i= 1 . . . , m. Estas ecuaciones tienen soluciones de la forma xi(γ(t)) = pi+tviy por tanto, podemos describir las geod´esicas vectorialmente como γ(t) = p+tv. Como era de esperar, las geod´esicas en un espacio semi-Eucl´ıdeo son l´ıneas rectas. 3.4. CAMBIO DE TIPO Y CONTRACCI ´ ON M´ ETRICA 41 3.4. Cambio de tipo y contracci´on m´etrica Los Lemas 3.2.1 y3.2.2 nos permiten establecer una relaci´on un´ıvoca entre campos vectoriales y 1-formas. Esta relaci´on nos permitir´a definir unas operaciones entre campos tensoriales de subida ybajada de ´ındices que consistir´a en un cambio de tipo, as´ı como una nueva definici´on de contracci´on para el caso de una variedad semi-Riemanniana. Corolario 3.4.1. Sean Muna variedad, V∈X(M)yV∗∈X∗(M)dado por V∗(X) = hV|Xipara todo X∈X(M). Entonces la aplicaci´on que env´ıa cada Ven V∗es un isomorfismo F(M)-lineal de X(M)aX∗(M). Demostraci´on. Por la linealidad del tensor m´etrico, V∗es F(M)-lineal y por tanto es 1-forma, y la aplicaci´on V→V∗est´a bien definida y es tambi´en F(M)-lineal. El Lema 3.2.2 nos asegura que es un isomorfismo. Los campos vectoriales y 1-formas relacionados por el isomorfismo anterior se dicen m´etricamente equivalentes. Definici´on 3.4.2. Sean Muna variedad, r,s,aybenteros positivos con 1≤a≤ry 1 ≤b≤s. Definimos la operaci´on bajar ´ındice como la aplicaci´on ↓a b:Tr s(M)→Tr−1 s+1(M) dada por (↓a bT)(ω1, . . . , ωr−1, V1, . . . , Vs+1) =T(ω1, . . . , V ∗ b |{z} entrada a , . . . , ωr−1, V1, . . . , Vb−1, Vb+1, . . . , Vs+1). De igual modo que podemos subir ´ındices, podemos bajarlos. El Corolario 3.4.1 proporciona directamente el siguiente resultado. Corolario 3.4.3. La operaci´on bajar ´ındice es un isomorfismo F(M)-lineal cuya operaci´on inversa subir ´ındice ↑a b:Tr s(M)→Tr+1 s−1(M)viene dada por (↑a bT)(ω1, . . . , ωr+1, V1, . . . , Vs−1) =T(ω1, . . . , ωa−1, ωa+1, . . . , ωr+1, V1, . . . , ωa ∗ |{z} entrada b , . . . , Vs−1), donde ωa ∗denota el campo vectorial m´etricamente equivalente a la 1-forma ωa. Veamos un ejemplo concreto de bajada de ´ındice que usaremos m´as adelante. 48 CAP´ ITULO 3. VARIEDADES SEMI-RIEMANNIANAS El segundo t´ermino es por definici´on (div Ric)k, por tanto, observando que el tercer t´ermino es la diferencial covariante de la curvatura escalar, 2(div Ric)k−S;k= 0. Teniendo en cuenta que ∇S=dS, la relaci´on anterior es la expresi´on coordenada de 2 div Ric = dS, como quer´ıamos demostrar. Para acabar este cap´ıtulo introducimos una ´ultima noci´on de curvatura, que ser´a de utilidad a la hora de modelar el universo como veremos en el Cap´ıtulo 5: la curvatura seccional. Proposici´on 3.6.6. Sean Muna variedad, p∈M,Πun subespacio bidimensional de Tp(M)(que llamamos secci´on plana de Men p) y {u, v}una base de Π. Entonces: 1. La secci´on plana Πes no degenerada si y s´olo si Q(u, v) = hu|uihv|vi− hu|vi26= 0. 2. Si Πes no degenerado entonces el n´umero k=hRuvu|vi/Q(u, v)es independiente de la base {u, v}y se denomina curvatura seccional de Π, denot´andose k(Π). Demostraci´on. (1) es directo de la Proposicion 2.1.5 ya que Q(u, v) es el determinante de la matriz de la forma bilineal sim´etrica en la base {u, v}. Por tanto dicha matriz es invertible si y s´olo si Q(u, v)6= 0. Para demostrar (2) consideremos otra base {x, y}de Π. Entonces existen a,b,cyd∈Rtales que u=ax +by,v=cx +dy yad −bc 6= 0. Por otro lado, por las propiedades del producto escalar se comprueba que Q(u, v) = hax +by|ax +byihcx +dy|cx +dyi−hax +by|cx +dyi2 = (ad −bc)2Q(x, y). Y por las propiedades del tensor de curvatura de Riemann que hRuvu|vi= (ad −bc)2hRxyx|yi. Por tanto hRuvu|vi Q(u, v)=(ad −bc)2hRxyx|yi (ad −bc)2Q(x, y). Como ad −bc 6= 0, tenemos el resultado. 3.7. VARIEDADES DE LORENTZ. ORIENTACI ´ ON TEMPORAL 49 La curvatura seccional depende por tanto de la propia secci´on plana. La siguiente definici´on da un nuevo tipo de variedades en relaci´on con este tipo de curvatura. Definici´on 3.6.7. Una variedad Mtiene curvatura constante ksi k(Π) es constante, esto es, si k=k(Π1) = k(Π2) para cualesquiera Π1y Π2secciones planas de M. Los ejemplos m´as sencillos y representativos de variedades de curvatura constante son: El espacio Eucl´ıdeo Rndotado de m´etrica Eucl´ıdea, con k= 0. La n-esfera unidad Sncon la m´etrica inducida del espacio Eucl´ıdeo Rn+1, esto es, el pullback de la m´etrica Eucl´ıdea a trav´es de la inclusi´on, con k= 1. El n-espacio hiperb´olico Hn(hiperboloide unidad imbuido en Rn+1), dotado de la m´etrica inducida del espacio de Lorentz-Minkowski Ln+1, de curvatura k=−1. 3.7. Variedades de Lorentz. Orientaci´on temporal Como hemos mencionado anteriormente, la Relatividad General se construye sobre las variedades Lorentzianas. En concreto vamos a ver c´omo podemos dotar a este tipo de variedades de una noci´on de orientaci´on: la orientaci´on temporal. Definici´on 3.7.1. Sea (V, g) un espacio vectorial con producto escalar de dimensi´on dim V≥2. Decimos que Ves un espacio vectorial de Lorentz si tiene ´ındice 1. Por razones hist´oricas, la base de un espacio vectorial de Lorentz suele numerarse con los ´ındices empezando en 0 y no en 1, siendo el primer vector, digamos e0, el vector temporal de la base. Notemos adem´as que en una variedad de Lorentz, los espacios tangentes son espacios vectoriales de Lorentz. Los tipos causales que vimos en la Definici´on 2.2.10 pueden trasladarse a subespacios de ´estos. 50 CAP´ ITULO 3. VARIEDADES SEMI-RIEMANNIANAS Si W⊆Ves un subespacio de un espacio vectorial de Lorentz (V, g), el tipo causal de Wes 1. espacial si g|Wes definida positiva, 2. luminoso si g|Wes degenerada, 3. temporal si g|Wes no degenerada de ´ındice 1. Si v∈V, su tipo causal es el que le corresponde a span(v). Adem´as decimos que ves causal si no es espacial. Lema 3.7.2. Sean (V, g)un espacio vectorial de Lorentz y v∈Vun vector temporal. Entonces el subespacio v⊥es espacial y V= span(v)⊕v⊥. Demostraci´on. Como span(v) es no degenerado con ´ındice 1 por ser vtemporal, por el Lema 2.2.6 se tiene que v⊥es no degenerado y por tanto V= span(v)⊕v⊥. Adem´as, el ´ındice de v⊥es 0, por lo que es espacial. La siguiente definici´on busca dotar al espacio vectorial de una noci´on de orientaci´on debida al car´acter temporal que posee al tener ´ındice 1. Definici´on 3.7.3. Sean (V, g) un espacio vectorial de Lorentz y Tel conjunto de vectores temporales de V. Llamamos cono temporal de v∈Tal conjunto C(v) = {u∈T|hv|ui<0}. El cono temporal opuesto de ves C(−v) = −C(v) = {u∈T|hv|ui>0}. Proposici´on 3.7.4. Dos vectores temporales uyvde un espacio vectorial de Lorentz (V, g)pertenecen a un mismo cono temporal si y s´olo si hu|vi<0. Demostraci´on. Consideremos el cono temporal C(w) con w∈Vvector temporal tal que u∈C(w). Por el Lema 3.7.2, podemos expresar u=a w +x v =b w +y, donde x, y ∈w⊥. Como uyvson temporales se cumple que −a2+kxk2<0, −b2+kyk2<0 y |hx|yi| ≤ kxkkyk<|ab|por la desigualdad de Schwarz. Por otro lado hu|vi=−ab +hx|yi, por lo que el signo de hu|vies el de ab. Como u∈C(w), tenemos que −a=hu|wi<0 por definici´on, y por tanto el signo de hu|vies el contrario al de b=−hv|wi. Es decir, v∈C(w) si y s´olo si b > 0 si y s´olo si hu|vi<0. 3.7. VARIEDADES DE LORENTZ. ORIENTACI ´ ON TEMPORAL 51 Definici´on 3.7.5. Sean (V, g) espacio vectorial de Lorentz, vun vector temporal y Cel conjunto de vectores causales de V. Llamamos cono causal de v∈Tal conjunto C(v) = {u∈C|hv|ui<0}. M´as adelante veremos por qu´e estos objetos que acabamos de definir se denominan “conos” y cu´al es su interpretaci´on. Definici´on 3.7.6. Sea Muna variedad Lorentziana. Una orientaci´on temporal de Mes una aplicaci´on Tque a cada p∈Mle asocia un cono temporal Cpen Tp(M) de forma que existe alg´un campo vectorial Ven un entorno Ude ptal que Vq∈Cqpara cada q∈U. Decimos que Mes orientable temporalmente si admite una orientaci´on temporal. Definici´on 3.7.7. Fijado en un espacio vectorial de Lorentz (V, g) un cono causal C(v) con v∈V, decimos que un vector u∈Vapunta al futuro si u∈ C(v). Por otro lado, en una variedad Lorentziana Morientada temporalmente diremos que una curva α:I→Mapunta al futuro si α0(t) apunta al futuro en cada Tα(t)para todo t∈I. El concepto de cono temporal es el que nos permitir´a darle una estructura m´as compleja a las variedades Lorentzianas. Hemos definido tambi´en el cono causal, conteniendo los vectores temporales y luminosos, para definir las curvas que apuntan al futuro. Como veremos en el siguiente cap´ıtulo, a partir de estas curvas modelizaremos las part´ıculas. Cap´ıtulo 4 Teor´ıa de la Relatividad El primer modelo gravitacional de la humanidad se debe a Isaac Newton, con la conocida Ley de Gravitaci´on Universal, enunciada en su libro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687). Esta ley ha resultado ser precisa en multitud de experimentos; sin embargo, era incapaz de explicar ciertos hechos como por ejemplo el avance del perihelio de Mercurio. No fue hasta 1916 que Albert Einstein public´o su Teor´ıa de la Relatividad General [13], una nueva forma de entender la gravedad que desecha el concepto de fuerza gravitatoria introducida por Newton, bas´andose en dos principios: El primero establece que la velocidad de la luz en el vac´ıo es la m´axima posible e igual para todos los observadores, lo que autom´aticamente acaba con la fuerza instant´anea de Newton, y el Principio de Equivalencia Fuerte [20], que afirma que un sistema sujeto a la acci´on de la gravedad es indistinguible de un sistema uniformemente acelerado. Dicho de otra forma, estar en reposo es indistinguible de una ca´ıda libre en el seno gravitatorio (como les ocurre por ejemplo a los astronautas de la Estaci´on Espacial Internacional, que flotan tranquilamente en la nave mientras ´esta orbita la Tierra). Estos dos principios llevaron a Einstein a interpretar la gravedad no como una fuerza, sino como el resultado de la curvatura de una variedad por la que los objetos libres se mueven siguiendo las geod´esicas de la misma [13]. En Relatividad General es habitual usar un sistema de unidades distin- to del Sistema Internacional: el Sistema de Unidades Geom´etricas. Las dos principales constantes que aparecen en la Teor´ıa de la Relatividad son la velocidad de la luz y la constante de gravitaci´on universal c= 299.792.458 m s−1, G = 6,67191 ·10−11 m3s−2kg−1. El sistema de Unidades Geom´etricas se basa en considerar estas dos constantes adimensionales e iguales a 1. Como resultado de esta elecci´on, longitud, 54 CAP´ ITULO 4. TEOR´ IA DE LA RELATIVIDAD masa y tiempo son la misma magnitud (L=M=T), lo que simplifica considerablemente las expresiones resultantes. En la Tabla 4.1 vemos c´omo quedan representadas las principales magnitudes en el Sistema Internacional y en Unidades Geom´etricas. S.I. U.G. S.I. U.G. Longitud L X Momento lineal ML/T X Superficie L2X2Momento angular ML2/T X2 Volumen L3X3Fuerza ML/T2- Tiempo T X Tensi´on M/T21/X Velocidad L/T - Presi´on M/LT21/X2 Aceleraci´on L/T21/X Energ´ıa ML2/T2X Masa M X Potencia ML2/T3- Tabla 4.1. Unidades de las magnitudes expresadas en el Sistema Internacional y en Unidades Geom´etricas, donde Xrepresenta L,M, o T. 4.1. Part´ıculas en un espacio-tiempo En primer lugar, vamos a definir gracias a todo lo que hemos visto hasta ahora una variedad gen´erica sobre la que se sustenta la teor´ıa, el espaciotiempo, y veremos c´omo podemos modelar los conceptos de part´ıcula yobservador en ella [18]. Definici´on 4.1.1. Un espacio-tiempo es una terna (M, g, T) donde (M, g) es una variedad de Lorentz 4-dimensional con la conexi´on de Levi-Civita y Tuna orientaci´on temporal. Los puntos de un espacio-tiempo se denominan sucesos oeventos, la orientaci´on temporal se denomina futuro y la orientaci´on negativa pasado. De aqu´ı en adelante, para simplificar la notaci´on denotaremos un espaciotiempo simplemente como M. Definici´on 4.1.2. Se define part´ıcula en un espacio-tiempo Mcomo una curva α:I→Mque apunta al futuro tal que hα0(u)|α0(u)i=−m2con m≥0 para todo u∈I. Si m > 0 decimos que mes la masa en reposo de la part´ıcula (material) y si m= 0 decimos que es una part´ıcula sin masa. En el caso de que m= 1 decimos que la part´ıcula es un observador y en este caso y el par´ametro use denomina tiempo propio. 4.1. PART´ ICULAS EN UN ESPACIO-TIEMPO 55 Notemos que para un observador, nos encontramos con la parametrizaci´on natural de la curva y en ese caso el par´ametro ues la longitud de arco. La l´ınea de universo de una part´ıcula α:I→Mes α(I) y representa todos los sucesos por los que transcurre la part´ıcula, esto es, el conjunto de las posiciones y tiempos concretos. Definici´on 4.1.3. Una part´ıcula αen un espacio-tiempo Mcae libremente si αes una geod´esica de M, esto es, Dα0 du ≡0. Definici´on 4.1.4. Un fot´on en un espacio-tiempo Mes una part´ıcula sin masa que cae libremente. Definici´on 4.1.5. Un observador instant´aneo en un espacio-tiempo Mes un par (p, Z) donde p∈MyZ∈Tp(M) tal que hZ|Zi=−1 y Zapunta al futuro. Un observador instant´aneo representa la velocidad de un observador en un instante de tiempo propio. Si consideramos un observador instant´aneo (p, Z), entonces podemos hacer la siguiente descomposici´on ortogonal por el Lema 3.7.2: Tp(M) = span(Z)⊕Z⊥ El subespacio 3-dimensional Z⊥se llama espacio f´ısico observado por (p, Z) y representa el espacio Eucl´ıdeo que ve instant´aneamente este observador. Si consideramos ahora una part´ıcula αde masa men un espacio-tiempo Mque para cierto ucumple que α(u) = p, por la descomposici´on anterior podemos escribir α0(u) = EZ +~ P E ∈R,~ P∈Z⊥. Definici´on 4.1.6. Sean Mun espacio-tiempo, (p, Z) un observador instant´aneo y αuna part´ıcula que cumple que α(u) = ppara cierto u. Se definen la energ´ıa E∈Ry el momento ~ P∈Z⊥de la part´ıcula medidos por el observador instant´aneo como aquellos elementos que cumplen que α0(u) = EZ+~ P. Definimos tambi´en la velocidad ~v de la part´ıcula medida por el observador instant´aneo como ~v =1 E~ P∈Z⊥. 56 CAP´ ITULO 4. TEOR´ IA DE LA RELATIVIDAD Para el momento y la velocidad hemos utilizado la notaci´on ~ Py~v para indicar que Pyvson sus respectivas normas. Teorema 4.1.7. Sean Mun espacio-tiempo, (p, Z)un observador instant´aneo yαuna part´ıcula de masa mque cumple que α(u) = ppara cierto u. Entonces se cumple que 1. E > 0, 2. E2=m2+P2, 3. 0≤v≤1yv= 1 si y s´olo si m= 0, 4. E=m/√1−v2si m > 0, 5. E=Psi m= 0. Demostraci´on. De la descomposici´on ortogonal α0(u) = EZ +~ Ptenemos que hα0(u)|Zi=EhZ|Zi+hP|Ziy entonces E=−hα0(u)|Zi. Como ambos vectores apuntan al futuro, se encuentran en mismo cono y hα0(u)|Zi<0 por la Proposici´on 3.7.4, por tanto E > 0. De igual modo hα0(u)|α0(u)i= EhZ|α0(u)i+hP|α0(u)iy se tiene que E2−m2=hP|α0(u)i. Por ´ultimo, hα0(u)|Pi=EhZ|Pi+hP|Pida lugar a P2=hα0(u)|Piy por tanto E2= m2+P2. De la expresi´on anterior, E2=m2+E2v2y despejando llegamos av2= 1 −m2/E2, por tanto v= 1 si y s´olo si m= 0. En otro caso v < 1 y despejando de la expresi´on anterior, E=m/√1−v2. Si m= 0 entonces E=Pdirectamente a partir de (2). En las unidades habituales donde la velocidad de la luz es c, las expresiones anteriores toman la forma E2= (mc2)2+ (Pc)2,E=mc2/p1−v2/c2, E=Pc y la velocidad de cualquier part´ıcula est´a limitada a c. En el caso de que P= 0 y por tanto v= 0, llegamos a E=mc2, la famosa expresi´on de Einstein que relaciona la energ´ıa y masa de una part´ıcula. Esta energ´ıa en ausencia de momento medido se llama energ´ıa en reposo de la part´ıcula. En el caso de que el observador sea la propia part´ıcula (material), la descomposici´on ortogonal da lugar a Tα(u)M= span(α0(u)) ⊕α0(u)⊥. Lo anterior puede interpretarse como que el espacio f´ısico observado por la part´ıcula cambia a medida que transcurre su tiempo propio. 4.2. ECUACI ´ ON DE CAMPO DE EINSTEIN 57 4.2. Ecuaci´on de campo de Einstein Definir el concepto “materia” no es sencillo. Hasta ahora hemos interpretado una part´ıcula con masa como una curva en una variedad, pero el hecho de que hablemos de “masa” no dota de significado f´ısico alguno al concepto de part´ıcula ni define el de materia . La idea de Einstein consist´ıa en que, visto el espacio-tiempo como una variedad, la “materia” en dicha variedad (signifique lo que signifique) deber´ıa determinar la curvatura y a su vez, dicha curvatura debe determinar c´omo se mueve la “materia”. En analog´ıa con los resultados cl´asicos en medios continuos donde encontramos el tensor momento-energ´ıa [8], en cuyas componentes quedan representadas las densidades de energ´ıa y momento, podemos generalizar este concepto a modo de primer acercamiento a la hora de definir un modelo de materia. Definici´on 4.2.1. Un tensor momento-energ´ıa T en un espacio-tiempo M es un campo tensorial sim´etrico de tipo (0,2) en Mtal que : 1. T(v, v)≥0 para todo vector causal de Tp(M) y para todo p∈M. 2. div T = 0. La primera condici´on se justifica en que T(v, v) representa la densidad de energ´ıa y hasta donde conocemos, siempre es positiva para todo tipo de materia. La segunda condici´on expresa la conservaci´on del momento-energ´ıa. En particular, podemos definir un modelo material en un espacio-tiempo Mcomo un par (M,T), donde Mes un conjunto de part´ıculas en My T es un tensor momento-energ´ıa. Por simplicidad denotaremos los modelos materiales simplemente como M. Con el fin de relacionar la curvatura y la materia existente en un espaciotiempo, Einstein defini´o el siguiente tensor. Definici´on 4.2.2. Sea Mun espacio-tiempo. Se define el tensor gravitacional de Einstein G como: G = Ric −1 2Sg. Proposici´on 4.2.3. El tensor gravitacional de Einstein en un espacio-tiempo Mes un campo tensorial de tipo (0,2) sim´etrico con divergencia nula. Adem´as se tiene que Ric = G −1 2C(G)g. 64 CAP´ ITULO 5. MODELOS COSMOL ´ OGICOS SIMPLES Demostraci´on. Tenemos que ~pq =~oq −~op. Entonces: pq2=|h~pq|~pqi| =|h~oq −~op|~oq −~opi| =|h~oq|~oqi+h~op|~opi−2h~op|~oqi| =|op2−oq2−2h~op|~oqi|. Si se dan (1) y (2) entonces |op2−oq2|= 0, con lo que tenemos (3). Si se dan (1) y (3) entonces |h~op|~oqi| = 0, teniendo (2). Por ´ultimo, si se dan (2) y (3), necesariamente pq = 0 y tenemos (1). x1 x0 ~pq =~oq −~op ~oq ~op o Figura 5.2. Representaci´on del Lema 5.1.3 en un espacio-tiempo de Lorentz Minkowski bidimensional visto desde oen To(M). La l´ınea discontinua indica el cono de luz de o. Continuando con la geometr´ıa de este espacio, introducimos el ´angulo hiperb´olico y la que equivaldr´ıa a la bien conocida desigualdad de Schwarz. Proposici´on 5.1.4. Sean o,pyqeventos de Mtales que pyqse encuentran en el mismo cono temporal de o. Entonces |h~op|~oqi| ≥ op oq y existe un ´unico n´umero φ≥0tal que h~op|~oqi=op oq cosh φ. Demostraci´on. Podemos descomponer ~op ortogonalmente como ~op =a ~oq+~v donde a∈Ry~v ∈~oq⊥. Por ser ~op temporal se tiene que 0 >h~op|~opi=a2h~oq|~oqi+h~v|~vi. Por el Lema 3.7.2 sabemos que ~v es espacial y h~v|~vi ≥ 0. Por otro lado h~op|~oqi2= (ah~oq|~oqi+h~v|~oqi)2 =a2h~oq|~oqi2 = (h~op|~opi−h~v|~vi)h~oq|~oqi =h~op|~opih~oq|~oqi−h~v|~vih~oq|~oqi. 5.1. ESPACIO-TIEMPO DE LORENTZ-MINKOWSKI 65 Puesto que h~v|~vi ≥ 0 y h~oq|~oqi<0 por ser ~oq temporal, se tiene que h~op|~oqi2≥op2oq2. La igualdad se alcanza cuando ~v = 0 y en tal caso ~op y~oq son proporcionales. Por ´ultimo, del hecho de que ambos vectores pertenezcan al mismo cono y la desigualdad tenemos que −h~op|~oqi op oq ≥1. Por tanto existe un ´unico φ≥0 tal que cosh φcoincide con el miembro izquierdo de la desigualdad, con lo que tenemos el resultado. Es decir, en este tipo de espacios, la desigualdad de Schwarz cambia de sentido, lo que lleva a que en lugar de aparecer el habitual coseno en la expresi´on del producto escalar, aparezca un coseno hiperb´olico. De ah´ı que al φanterior se le denomine ´angulo hiperb´olico entre ~op y~oq, que denotaremos por poq V . Proposici´on 5.1.5. Sean o,pyqeventos de Mtales que pyqse encuentran en el mismo cono temporal de oy~op es ortogonal a ~pq. Entonces 1. oq2=op2−pq2, 2. op =oq cosh φypq =oq sinh φ, donde φ=poq V . Demostraci´on. Sabemos que ~oq =~op +~pq, por tanto: −oq2=h~oq|~oqi=h~op|~opi+h~pq|~pqi−2h~op|~oqi=−op2+pq2 Con lo que tenemos (1). Para demostrar (2), por un lado tenemos que h~op|~oqi=−op oq cosh φ, pero tambi´en h~op|~oqi=h~op|~op +~pqi=−op2, por lo que op =oq cosh φ. Usando (1) tenemos que pq2=oq2(cosh2φ−1) = oq2sinh2φy por tanto pq =oq sinh φya que sinh φ≥0 por ser φ≥0. Lo que acabamos de ver es el correspondiente Teorema de Pit´agoras en este tipo de espacios. En la Figura 5.3 vemos un ejemplo de c´omo quedan representadas estas relaciones. Veamos algunas implicaciones f´ısicas de este modelo. En el Cap´ıtulo 4 comentamos que para un observador, el espacio f´ısico observado depend´ıa del propio observador. Vamos a generalizar este concepto con el fin de estudiar las relaciones entre observador y part´ıcula observada. 66 CAP´ ITULO 5. MODELOS COSMOL ´ OGICOS SIMPLES x1 x0 ~op ~oq o oq cosh φ oq sinh φ φ Figura 5.3. Representaci´on del Lema 5.1.5. La curva representa el conjunto de eventos que est´an separados oq de o. Es sencillo comprobar que es una hip´erbola. Definici´on 5.1.6. Un sistema de coordenadas inercial o Lorentziano en un espacio-tiempo de Lorentz-Minkowsi Mes una isometr´ıa ξ= (x0, . . . , x3) : M→L4que preserva la orientaci´on temporal. Si {e0, . . . , e3}es una base de Tp(M) tal que e0apunta al futuro, entonces existe un ´unico sistema de coordenadas inercial ξtal que ∂i|p=eipara i= 0,...,3. Una demostraci´on de este resultado puede encontrarse en [15]. La idea es considerar la l´ınea de universo de una part´ıcula observadora Aque cae libremente (y por tanto la imagen de Aes una l´ınea recta como vimos en el Ejemplo 3.3.7) como la direcci´on de del eje x0de cierto sistema inercial ξ, buscando interpretar Acomo un “observador” en el sentido habitual de la palabra. El observador que cae libremente generaliza el concepto de observador instant´aneo que vimos en el Cap´ıtulo 4. Definici´on 5.1.7. Sea ξun sistema de coordenadas inercial en M. Para cada evento p∈Mdecimos que x0(p) es el tiempo de pmedido en el sistema ξy que ~x(p) = (x1(p), x2(p), x3(p)) ∈R3es la posici´on de pmedida en el sistema ξ. Si consideramos ahora una part´ıcula en α:I→M, para cada u∈I el tiempo del evento α(u) medido en un sistema ξser´ıa t=x0(α(u)) y su posici´on ~α(u) = (x1(α(u)), x2(α(u)), x3(α(u))). Como αes una part´ıcula, α0 apunta al futuro y se tiene que 0<−hα0|∂0i=*3 X i=0 d(xi◦α) du ∂i∂0+=−d(x0◦α) du h∂0|∂0i=d(x0◦α) du . 5.1. ESPACIO-TIEMPO DE LORENTZ-MINKOWSKI 67 Puesto que x0◦αes un difeomorfismo del intervalo Ia alg´un intervalo J de R, existe su funci´on inversa que denotaremos por z:J→I. Por tanto, en un tiempo tmedido en ξ, la posici´on de αmedida en ξdefine la siguiente curva en R3 ~α :J−→R3 t7−→(x1◦α◦z(t), x2◦α◦z(t), x3◦α◦z(t)), que llamamos part´ıcula αmedida en ξy es lo que el observador Arealmente ve de la part´ıcula. El vector velocidad de αmedido en ξes d~α/dt y es la velocidad de la part´ıcula que el observador Amedir´ıa. Si la part´ıcula que observa Aes un fot´on γ:I→Mentonces dγ du =dt du∂0+ 3 X i=1 d(xi◦α) du ∂i. Este vector es luminoso por ser el fot´on una part´ıcula sin masa, por lo que 0 = hγ0|γ0i=−dt du2 +    d~γ du    2 . Adem´as hemos visto que dt/du > 0 y se tiene que |dt/du|=kd~γ/duk. Por tanto, la velocidad que Amide del fot´on es     d~γ dt    =    d~γ/du dt/du    =kd~γ/duk |dt/du|= 1. Tal y como esper´abamos, Amide que los fotones viajan a la velocidad de la luz independientemente de su movimiento, es decir, la velocidad de la luz es la misma para todos los observadores. La teor´ıa de la Relatividad Especial predice hechos sorprendentes como la contracci´on de Lorentz, la dilataci´on del tiempo, la relatividad del concepto de simultaneidad o la famosa paradoja de los gemelos entre otros. Aqu´ı no abordaremos estos elementos, pues en este cap´ıtulo pretendemos ver algunos ejemplos y aplicaciones de los conceptos matem´aticos que se han desarrollado, pero en la literatura pueden encontrarse numerosas explicaciones y desarrollos sobre estas interesantes consecuencias de este modelo, como por ejemplo en [8]. 68 CAP´ ITULO 5. MODELOS COSMOL ´ OGICOS SIMPLES 5.2. Espacio-tiempo de Schwarzschild La primera soluci´on no trivial de las ecuaciones de campo de Einstein se debe al f´ısico Karl Schwarzschild, publicada en 1916. Esta soluci´on proviene de la b´usqueda de la descripci´on del espacio-tiempo en un entorno de un cuerpo masivo, como puede ser una estrella, bajo ciertas suposiciones de simetr´ıa. Sus trabajos fueron pioneros en la predicci´on de lo que hoy conocemos como agujeros negros. En este apartado vamos a ver c´omo la m´etrica de Schwarzschild aparece de forma natural bajo algunas hip´otesis. Optaremos por la notaci´on (x0, x1, x2, x3) = (t, x, y, z) ´o (x0, x1, x2, x3) = (t, r, θ, ϕ) si trabajamos en coordenadas cartesianas o esf´ericas (realmente s´olo nos interesar´an las coordenadas esf´ericas). En primer lugar consideraremos un cuerpo de masa m, causante de la curvatura. Sin embargo, no modelaremos el cuerpo en s´ı, s´olo el espaciotiempo que produce. As´ı, el modelo surge de las siguientes condiciones sobre el espacio-tiempo: 1. Es est´atico. Esto quiere decir que las componentes del tensor m´etrico no dependen del tiempo. 2. Presenta simetr´ıa esf´erica. 3. Es una soluci´on de la ecuaci´on de campo de Einstein de vac´ıo (G= 8πT = 0 y por tanto es Ricci llana). 4. Es as´ıntoticamente plano, en el sentido de que el espacio-tiempo debe aproximarse al de Lorentz-Minkowski conforme nos alejamos del cuerpo. Es m´as, debe coincidir con ´este en el caso de que la masa del cuerpo sea nula (es decir, que no haya cuerpo). A partir de las dos primeras condiciones, podemos optar por considerar la variedad M=R×R3con el elemento de l´ınea de la forma ds2=f(r)dt2+g(r)dr2+r2dθ2+r2sin2θdϕ2, donde fygson funciones en F(M) no id´enticamente nulas a determinar. Para expresar el anterior elemento de l´ınea hemos usado las coordenadas esf´ericas usuales de R3sin el origen, visto como R+×S2, donde R+={r∈R|r > 0} yS2es la 2-esfera unidad: x=rcos ϕsin θ, y =rsin ϕsin θ, z =rcos θ. 5.2. ESPACIO-TIEMPO DE SCHWARZSCHILD 69 Es m´as, el elemento de l´ınea descrito puede verse como el del producto warped P×rS2, donde P=R×R+dotado del elemento de l´ınea f(r)dt2+ g(r)dr2. Para satisfacer la tercera condici´on, debe cumplirse que Ric = 0. Puesto que los elementos del tensor de Ricci los podemos expresar en funci´on de los s´ımbolos de Christoffel, y estos a su vez en funci´on de los componentes m´etricos, obtendremos un sistema de ecuaciones. A partir de la expresi´on coordenada de los s´ımbolos de Christoffel del Lema 3.2.7, obtenemos los siguientes s´ımbolos: Γ0 01 = Γ0 10 =f0 2f, Γ1 00 =−f0 2g,Γ1 11 =g0 2g,Γ1 22 =−r g,Γ1 33 =−rsin2θ g, Γ2 12 = Γ2 21 =1 r,Γ2 33 =−sin θcos θ, Γ3 13 = Γ3 31 =1 r,Γ3 23 = Γ3 32 =1 tan θ. El resto de s´ımbolos son nulos y la notaci´on f0yg0indica la derivada respecto de r. Por otro lado, a partir de la Definici´on 3.6.1 y el Lema 3.5.5 tenemos las componentes del tensor de Ricci en funci´on de los s´ımbolos de Christoffel, que deben anularse por la condici´on de vac´ıo. Para cada 0 ≤ i, j ≤3, debe cumplirse que Rij = 3 X k=0 Rk ijk = 3 X k=0 "∂ ∂xkΓk ij −∂ ∂xjΓk ik + 3 X r=0 Γr ijΓk rk − 3 X r=0 Γr ikΓk jr#= 0. En principio, lo anterior da lugar a 10 ecuaciones por la simetr´ıa del Ricci, pero ´unicamente tres son independientes1. R11 = 0 =⇒ −2rf00gf +rg0f0f+r(f0)2g−4f0gf = 0,(5.2.1) R22 = 0 =⇒4g0f2−2rf00gf +rg0f0f+r(f0)2g= 0,(5.2.2) R33 = 0 =⇒rg0f+ 2g2f−2gf −rf0g= 0.(5.2.3) Restando la Ecuaci´on (5.2.1) a la Ecuaci´on (5.2.2) tenemos que 4f(g0f+fg0) = 4f(gf)0= 0. 1Tanto los s´ımbolos de Christoffel como las componentes Rij han sido computados con el sistema de c´alculo simb´olico Maxima. 70 CAP´ ITULO 5. MODELOS COSMOL ´ OGICOS SIMPLES Puesto que fno es id´enticamente nula, debe cumplirse que (gf)0= 0 y por tanto gf =K, donde Kes una constante no nula. Sabiendo que f0g=−gf0, tenemos a partir de la Ecuaci´on (5.2.3) que 2f[rg0+g(g−1)] = 0, lo que por el mismo motivo de antes implica g2−g+rg0= 0. Esta ecuaci´on diferencial puede resolverse f´acilmente a trav´es del cambio de variable g(r) = 1/u(r) ya que entonces g0=−u0/u2, y la ecuaci´on anterior queda: du dr =1−u r. Esta es una ecuaci´on de variables separables que se integra directamente, dando lugar a una soluci´on general de la forma 1 −u=rS/r, donde rSes una constante. Deshaciendo el cambio de variable tenemos que g(r) = 1−rS r−1=r r−rS . Esta funci´on cumple que: l´ım r→0g(r) = 0,l´ım r→rS g(r) = ∞,l´ım r→+∞g(r)=1. Por tanto, la funci´on fes f(r) = K g(r)=K1−rS r. En este caso se cumple lo siguiente: l´ım r→0f(r) = ∞, f(rS)=0,l´ım r→+∞f(r) = K. La condici´on de que el espacio-tiempo sea asint´oticamente plano se traduce en que en el l´ımite de rtendiendo a infinito, fdebe tender a −1 y ga 1 (obteniendo la m´etrica de Lorentz-Minkowski). La condici´on sobre f implica que K=−1 mientras que la condici´on sobre gya hemos visto que se cumple. Indirectamente, esto implica que la informaci´on sobre la masa mdel cuerpo est´a representada en la constante rS. La condici´on de que en caso de no haber ning´un cuerpo (m= 0) se tenga la m´etrica de Lorentz-Minkowski implica que la constante rSdepende de la masa mde tal forma que rS= 0 si y s´olo si m= 0. 5.2. ESPACIO-TIEMPO DE SCHWARZSCHILD 71 Finalmente, el elemento de l´ınea de M∼ =P×rS2es ds2=−1−rS rdt2+1−rS r−1dr2+r2(dθ2+ sin2θdϕ2). El hecho de que 1 −rS/r se anule en r=rSresulta en que hemos determinado no uno, sino dos espacios distintos. Definici´on 5.2.1. Sea rS>0. Consideremos las regiones en R×R+,P1= {(t, r)|0< r < rS}yP2={(t, r)|rS< r}, cada una dotada del elemento de l´ınea −h dt2+h−1dr2,donde h(r) = 1−rS r. Si S2es la 2-esfera unidad, llamamos agujero negro de Schwarzschild al producto warped N=P1×rS2, exterior de Schwarzschild al producto warped E=P2×rS2. La constante rSse denomina radio de Schwarzschild. ∂r ∂t t 0 r=rS R3∼ =R+×S2 S2 N E Figura 5.4. Representaci´on del exterior de Schwarzschild y del agujero negro de Schwarzschild. Hemos visto que en los casos r→0 y r→rSla m´etrica obtenida falla. Sin embargo, las variedades NyEpueden extenderse a una variedad mayor en la que la m´etrica es no degenerada en r∈(0,+∞) tal y como demuestran Hawking y Ellis en [10]. En cualquier caso, en la regi´on Ees la coordenada tla que da lugar a vectores temporales ∂tpuesto que −h < 0, mientras que los vectores ∂rson espaciales. En este caso podemos pensar en tyrcomo tiempo ydistancia 72 CAP´ ITULO 5. MODELOS COSMOL ´ OGICOS SIMPLES r h(r) 1 0rS 1 0rSr h(r)−1 Figura 5.5. Funciones h(r) y h(r)−1. radial respectivamente. Sin embargo, en el agujero negro N, los caracteres causales se intercambian y no podemos realizar la interpretaci´on anterior (v´ease la Figura 5.5). La denominaci´on agujero negro proviene de una de las propiedades m´as famosas de estos objetos, recogida en la siguiente proposici´on, cuya demostraci´on puede encontrarse en [15]. Proposici´on 5.2.2. Ninguna part´ıcula, material o fot´on, puede escapar de la regi´on de agujero negro. Es m´as, cualquier part´ıcula en esta regi´on se dirige hacia la singularidad central r= 0, alcanz´andola en un intervalo de par´ametro finito. Figura 5.6. Primera fotograf´ıa realizada a un agujero negro, tomada por el Event Horizon Telescope y publicada en 2019 [2]. La radiaci´on captada se debe principalmente a aquella emitida por las part´ıculas que orbitan el agujero en la regi´on Ea enormes velocidades, cercanas a la de la luz (radiaci´on del disco de acreci´on). 5.3. ESPACIO-TIEMPO DE ROBERTSON-WALKER 73 Para que se forme un agujero negro es necesario que toda la masa del cuerpo se concentre en una regi´on de radio menor al radio de Schwarzschild. Las estrellas que vemos tienen un radio de Schwarzschild bastante menor al de la propia estrella. Por ejemplo, el radio de Schwarzschild de nuestro sol es de apenas 3 km [5]. 5.3. Espacio-tiempo de Robertson-Walker Cuando Einstein intent´o modelar el universo gracias a la Teor´ıa de la Relatividad General, supuso sin evidencia f´ısica que ´este deb´ıa ser est´atico [13]. Aleksandr Fridman y Georges Lemaˆıtre encontraron soluciones din´amicas de la ecuaci´on de campo, que daban lugar a universos que se pod´ıan contraer o expandir en el tiempo. Junto con el apoyo te´orico de los matem´aticos H. P. Robertson y A. G. Walker y las evidencias experimentales aportadas por el astr´onomo Edwin Hubble, se consolid´o el modelo Fridman-Lemaˆıtre- Robertson-Walker (FLRW) como un modelo capaz de describir la evoluci´on de nuestro universo. Este es el nacimiento de conceptos como el de big bang tal y como lo conocemos hoy, que llevaron a Einstein a rechazar su prejuicio de universo est´atico, desechando la constante cosmol´ogica de las ecuaciones de campo [14]. El primer paso a la hora de modelar el universo es dar una forma del tensor momento-energ´ıa. Para ello, podemos imaginar que todo el universo es un gran flujo de part´ıculas, que aproximamos como un continuo en lugar de part´ıculas discretas. La velocidad de este flujo vendr´a dada por un campo vectorial temporal unitario que representa el promedio de las velocidades de las part´ıculas. Esta entidad la podemos imaginar como un fluido. Definici´on 5.3.1. Un fluido perfecto en un espacio-tiempo Mes una terna (U, ρ, P) tal que 1. U∈X(M) es un campo de vectores temporales unitarios que apuntan al futuro, denominado campo vectorial de flujo. 2. ρ∈F(M) cumple que ρ(p)≥0 para todo p∈My se llama funci´on de densidad de energ´ıa. 3. P ∈ F(M) se denomina funci´on de presi´on. 4. Definen un tensor momento-energ´ıa T = (ρ+P)U∗⊗U∗+Pg. Como es habitual, U∗indica la 1-forma m´etricamente equivalente a U. Bibliograf´ıa [1] Aghanim, N., et al. Planck 2018 results. VI. Cosmological parameters. arXiv preprint arXiv: 1807.06209 (2018). 78,79 [2] Akiyama, K., et al. 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