Cálculo de la atenuación de los ultrasonidos en distintas soluciones acuosas

Equation Chapter 1 Section 1 Trabajo Fin de Grado Ingeniería de Tecnología Industriales Cálculo De La Atenuación De Los Ultrasonidos En Distintas Soluciones Acuosas Dpto. de Física Aplicada III Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Autor: Pablo Barroso Rodríguez Tutor: Ramón Risco Delgado Cotutor: Alberto Olmo Fernández Sevilla, 201 9 21-7-2019 CÁLCULO DE LA ATENUACIÓN DE LOS ULTRASONIDOS EN DISTINTAS SOLUCIONES ACUOSAS Autor: Pablo Barroso Rodríguez Tutores: Ramón Risco Delgado, Alberto Olmo Fernández GRADO EN INGENIERÍA DE TECNOLOGÍAS INDUSTRIALES DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA III UNIVERSIDAD DE SEVILLA Autor: Pablo Barroso Rodríguez 1 CÁLCULO DE LA ATENUACIÓN DE LOS ULTRASONIDOS EN DISTINTAS SOLUCIONES ACUOSAS. RESUMEN En este trabajo simulamos la velocidad del sonido y el coeficiente de atenuación de hielo a temperaturas por debajo de su punto de fusión y frecuencia ultrasónica, por lo tanto, solo es aplicable a frecuencias superiores a los 20kHz. Para esto, partiremos de varios modelos, uno para hielo poroso policristalino y modificado por Carcione et al [1] y otro modelo viscoelástico no poroso que parte de hielo amorfo altamente denso, desarrollados ambos, en lenguaje de programación Matlab-GNU Octave. El primero está basado en la Teoría de Biot sobre la poroelasticidad en medios porosos fluido-sólido, mientras el otro está basado en un modelo viscoelástico cuyo material es del tipo Kelvin-Voigt (sólido). Las ondas longitudinales se propagan bien por el líquido y el sólido, cuyas velocidades están relacionadas con el módulo de compresión volumétrica y el módulo transversal. La amplitud de la onda cambia por absorción (convierte el sonido en calor [1]) y dispersión. Un ultrasonido es una onda que transporta energía mecánica a través de la vibración local de partículas a frecuencias de 20 kHz o más (siendo las usadas como frecuencias de diagnóstico médico los 1 -20 MHz). La atenuación del medio aumenta con la frecuencia. OBJETIVO El objetivo de este trabajo es la de dar una aproximación del coeficiente de atenuación del sistema agua-hielo poroso y el hielo a modo de sólido viscoelástico a frecuencias ultrasónicas, ya que, tanto para uno como para otro no hay datos suficientes para su uso, por ejemplo, en simulación Autor: Pablo Barroso Rodríguez 2 del calentamiento con transductores focalizados con programas de elementos finitos como puede ser COMSOL Multiphysics. En este paquete informático el módulo acústico necesita valores de atenuación en compuesto elásticos y con atenuación. También puede servir como un método para el cálculo de atenuación para otros compuestos viscoelásticos o porosos como puede ser el hígado, polímeros, elastómeros, etc. Se han calculado la atenuación para líquidos como el agua, dando una atenuación nula (lo esperable) con el modelo viscoelástico de Maxwell, y otros casos con el modelo de Kelvin – Voigt, como el hígado, poliestireno y sylgard 134 (ver anexos correspondientes), dando resultados simulados en MATLAB-GNU OCTAVE, semejantes al real. A su vez se da un método de cálculo teórico aproximado para determinar el coeficiente de atenuación para distintos materiales incluido el hielo vitrificado (no poroso). Esto tiene como consecuencia la obtención de valores numéricos aproximados del coeficiente de atenuación a partir de otros parámetros, como pueden ser módulos elásticos y viscosidades, y a falta de datos experimentales. Autor: Pablo Barroso Rodríguez 3 ÍNDICE Resumen .................................................. 1 Objetivo ................................................. 1 1. Introducción ........................................ 6 2. Coeficiente de atenuación ........................... 7 3. Resumen de los módulos elásticos más importantes. Significado [5] .......................................... 8 4. Notas sobre la Teoría de Biot ....................... 9 4.1. Modificaciones usadas por Carcione et al en la Teoría de Biot ........................................ 11 4.1.1. Modelo de kelvin ............................. 12 4.1.2. Relación de Kozeny-Carman .................... 12 4.1.3. Modelo de percolación ........................ 13 5. Modelo Matemático [8] y [9]. Código en anexo I-A. .. 13 5.1. Parámetros ...................................... 13 5.1.1. Propiedades Agua y hielo ..................... 13 5.1.2. Radio de curvatura de la partícula congelada . 13 5.2. Porosidad ....................................... 14 5.3. Módulo de compresión volumétrica de la matriz del sólido 14 5.4. Densidad del medio poroso congelado ............. 14 5.5. Modelo matemático de la Teoría de Biot .......... 14 5.5.1. Para bajas frecuencias ....................... 14 5.5.2. Para altas frecuencias ....................... 15 6. Modelo viscoelástico en 3·D ........................ 18 6.1. Modelo viscoelástico 1D [15] .................... 19 6.2. Modelo matemático. Modelo viscoelástico de Kelvin Voigt. Sólidos [15]. Código en Anexo I-B. ............. 22 6.3. Modelo Matemático. Modelo viscoelástico de pistón viscoso lineal (elaboración propia). Líquidos. ........ 26 6.4. Modelo matemático. Modelo viscoelástico de Maxwell (elaboración propia). Fluidos. ........................ 28 6.5. Modelo matemático. Modelo viscoelástico de Jeffrey (elaboración propia). Fluidos. ........................ 30 6.6. Otros arreglos y su carácter sólido o líquido ... 33 Autor: Pablo Barroso Rodríguez 4 7. Resultados ......................................... 35 7.1. Medios porosos .................................. 35 7.1.1. Resultados para el coeficiente de atenuación del hielo 35 7.1.2. Hielo-agua (200 kHz-50MHz y 77-270K) ......... 35 7.1.3. Validación de la simulación .................. 36 7.2. Sólido viscoelástico de kelvin voigt (T=160-250K) 38 7.2.1. Entre 200kHz y 400kHz ........................ 39 7.2.2. Entre 500kHz y 3MHz .......................... 40 7.2.3. Entre 5MHz y 15MHz ........................... 40 7.3. Comparación de coeficientes de atenuación con referencia ............................................ 41 8. Conclusión ......................................... 41 8.1. Medios porosos .................................. 41 8.2. Sólido viscoelástico de kelvin voigt ............ 42 Anexo I. Códigos en Matlab - GNU Octave ................. 43 A. Medios porosos .................................... 43 B. algoF ............................................. 48 C. Modelo de kelvin voigt para solidos [T=160K a 250K] 49 D. Código de comparación ............................. 51 8.2.1. Módulos elásticos. Relación. ................. 52 Anexo II. CARACTERIZACION DEL HIELO – AGUA PARA MEDIOS POROSOS Y VISCOELÁSTICOS. ............................... 53 A. Módulos elásticos del hielo no poroso. Transición del hielo amorfo al cristalino por aumento de temperatura 53 B. Hielo LDA ......................................... 56 C. Viscosidad del agua-hielo ......................... 57 D. Viscosidad del agua-hielo desde 160K a 380K. Código Matlab-GNU Octave modificado de [34]. ................. 59 Anexo III. Coeficientes de atenuación. Distintos casos. . 61 A. Hígado ............................................ 61 Código modificado para hígado ........................ 61 Resultados ........................................... 63 Autor: Pablo Barroso Rodríguez 5 B. Poliestireno ...................................... 64 Código poliestireno .................................. 66 Resultados ........................................... 68 C. PDMS (SYLGARD 184) ................................ 70 Código ............................................... 71 Resultados ............................................ 72 Bibliografía ............................................ 73 Autor: Pablo Barroso Rodríguez 6 PRIMERA PARTE. INTRODUCCIÓN Y TEORÍA BÁSICA SOBRE ATENUACIÓN Y MECÁNICA 1. INTRODUCCIÓN Un sonido es la sensación percibida en el oído debido a la vibración propagada en un medio elástico en forma de ondas. Es una perturbación en la presión del aire (medio elástico) procedente de una vibración. El ser humano escucha en la frecuencia de 20 a 20000 Hz (ultrasonido> 20 kHz), arriba y abajo es inaudible. La energía que contiene una onda se puede convertir en otra en interfaces de dos medios como en un medio poroso en cuyos poros hay fluido y su matriz en sólido, que posee, por lo tanto, una velocidad y atenuación diferentes. Por ejemplo, hay ondas de compresión longitudinales, donde las partículas se mueven paralelas en la dirección de la onda. También hay transversales. En general, las ondas de compresión longitudinales se producen en líquidos, tejidos blandos y gases, mientras que en sólidos se producen tanto longitudinales como transversales. La amplitud de la onda puede atenuarse por absorción, dispersión o difracción [2], teniendo un comportamiento lineal con la frecuencia en la mayoría de los materiales. La energía del ultrasonido pierde potencia y su intensidad disminuye con la profundidad del medio en el que se encuentra y puede ser secundaria a la absorción y dispersión. Los líquidos se atenúan poco, los sólidos lo hacen por absorción y dispersión y los gases absorben mucho y dispersan la energía en todas las direcciones (9). Este coeficiente de atenuación puede usarse para resolver problemas de calentamiento de tejidos blandos mediante el uso de transductores curvos que focalizan las ondas sonoras en un punto de convergencia a mayor temperatura que el que lo rodea. Es también llamado como HIFU en inglés. Ejemplo Autor: Pablo Barroso Rodríguez 7 de ello lo encontramos en el siguiente esquema de un transductor que calienta un punto de un órgano: Ilustración 1 Transductor, tomado de [3] 2. COEFICIENTE DE ATENUACIÓN La atenuación es una pérdida de amplitud por parte de una onda por mecanismos de absorción o dispersión, entre otros. El modelo de decaimiento de la onda viene dado de la siguiente forma [4]: 𝑨(𝒛)=𝑨𝟎·𝒆−𝝁𝑨·𝒛 Donde 𝜇𝐴 es el factor de amplitud de la atenuación con unidades de cm-1. El coeficiente de atenuación está relacionado con éste de la siguiente manera: 𝜶=𝟐𝟎·𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎(𝒆)·𝝁𝑨≅𝟖.𝟕𝝁𝑨 [𝒅𝑩 𝒄𝒎] Y generalmente depende de la frecuencia (f) por un modelo simple como: Autor: Pablo Barroso Rodríguez 14 • ∆𝐻𝐹: calor de fusión del líquido 5.2. POROSIDAD ∅𝒍=𝐞𝐫𝐟(𝒂)+𝐞𝐫𝐟 (𝒃) 𝟏+ 𝐞𝐫𝐟 (𝒃) 𝒂= 𝒓 √𝟐∆𝒓 𝒃=𝒎𝒆𝒂𝒏(𝒓) √𝟐∆𝒓 5.3. MÓDULO DE COMPRESIÓN VOLUMÉTRICA DE LA MATRIZ DEL SÓLIDO 𝝁𝒎=𝝁𝒔(𝟏−∅𝒍)𝟑.𝟖 𝑲𝒎=𝑲𝒔(𝟏−∅𝒍)𝟑.𝟖 5.4. DENSIDAD DEL MEDIO POROSO CONGELADO 𝝆=(𝟏−∅𝒍)𝝆𝒔+∅𝒍𝝆𝒍 5.5. MODELO MATEMÁTICO DE LA TEORÍA DE BIOT 5.5.1. PARA BAJAS FRECUENCIAS 5.5.1.1. VELOCIDAD PARA ONDAS TRANSVERSALES 𝒗𝑺=√𝝁𝒎 𝝆 5.5.1.2. MÓDULO DE GASSMANN 𝑲𝑮=𝑲𝒔−𝑲𝒎+∅𝒍𝑲𝒎(𝑲𝒔 𝑲𝒍−𝟏) 𝟏−∅𝒍−𝑲𝒎 𝑲𝒔+∅𝒍·𝑲𝒔 𝑲𝒍 Donde Kl es el módulo de compresión volumétrica del líquido. 5.5.1.2.1. VELOCIDAD ONDAS P Autor: Pablo Barroso Rodríguez 15 𝒗𝑷=√𝑲𝑮+𝟒𝟑·𝝁𝒎 𝝆 5.5.2. PARA ALTAS FRECUENCIAS 𝝎=𝟐·𝝅·𝒇𝒓𝒆𝒒𝒖𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 5.5.2.1.1. ONDAS TRANSVERSALES 5.5.2.1.1.1. VELOCIDAD COMPLEJA 𝒗𝒄𝑺=√𝝁𝒎 𝝆−𝒊·𝝎·𝝆𝒍𝟐 𝒀(𝝎) 5.5.2.1.1.2. FASE DE LA VELOCIDAD 𝒗𝑺=𝟏 𝑹𝒆(𝟏𝒗𝒄𝑺) 5.5.2.1.1.3. FACTOR DE ATENUACIÓN 𝜶𝑺=𝝎·𝑰𝒎(𝟏𝒗𝒄𝑺) 5.5.2.1.2. CORRECCIÓN DE VISCOSIDAD PARA ALTAS FRECUENCIAS 𝒀(𝝎)=𝒊·𝝎·(𝝆𝝉 ∅𝒍)+𝜼·𝑭(𝝎) 𝒌 Donde 𝜂 es la viscosidad del líquido. 5.5.2.1.3. TORTUOSIDAD DEL MEDIO POROSO 𝝉=𝟏+𝜷·(𝟏∅𝒍−𝟏) 𝛽=1/2 por granos esféricos. 5.5.2.1.4. PERMEABILIDAD (RELACIÓN KOZENY - CARMAN) Autor: Pablo Barroso Rodríguez 16 𝒌=𝟐·𝒌𝟎·∅𝒍𝟑 (𝟏−∅𝒍)𝟐 Dende 𝑘0 es una referencia para el 50 % de líquido. 5.5.2.1.5. CORRECCIÓN PARA LA VISCOSIDAD 𝑭(𝝎)=√𝟏−𝟒𝒊𝝉𝟐𝒌 𝒙∩𝟐∅𝒍 𝒙=𝜼∅𝒍 𝝎𝒌𝝆𝒍 Donde ∩ es un parámetro geométrico, siendo 2/∩ la relación superficie volumen poro de una interfase poro - sólido. 𝝃𝝉𝒌 ∩𝟐∅𝒍=𝟏 Tomando 𝜉 = 12 para losas de canto, and 𝜉 = 8 para un conjunto de tubos inclinados no entrecruzados. 5.5.2.2. VELOCIDAD ONDAS - P La velocidad compleja de las ondas P se puede obtener a partir de la siguiente ecuación de cuarto orden: 𝑨·𝒗𝒄𝑷𝟒+𝑩·𝒗𝒄𝑷𝟐+𝑪=𝟎 𝑨=−(𝝆𝒍𝟐+𝒊𝝎𝒀(𝝎)𝝆) 𝑩=𝒊𝝎𝒀(𝝎)𝑬𝑮+𝑴(𝟐·𝜶·𝝆𝒍−𝝆) 𝑪=𝑴𝑬𝒎 Los parámetros Em, EG y a son el módulo de onda P de la estructura de hielo, el módulo de onda P de Gasmann y el coeficiente de esfuerzo efectivo de Biot, respectivamente: Autor: Pablo Barroso Rodríguez 17 𝑬𝒎=𝑲𝒎+𝟒𝟑·𝝁𝒎 𝑬𝑮=𝑲𝑮+𝟒𝟑·𝝁𝒎 𝜶=𝟏−𝑲𝒎 𝑲𝒔 𝑴= 𝑲𝒔 𝟏−∅𝒍−𝑲𝒎 𝑲𝒔+∅𝒍·𝑲𝒔 𝑲𝒍 𝒗𝑷=𝟏 𝑹𝒆(𝟏 𝒗𝒄𝑷) 𝜶𝑷=𝝎·𝑰𝒎(𝟏 𝒗𝒄𝑷) Autor: Pablo Barroso Rodríguez 18 TERCERA PARTE. MODELO VISCOELÁSTICO (KELVIN VOIGT) PARA HIELO AMORFO A CRISTALINO. CÁLCULO DE LA ATENUACIÓN. CARACTERIZACION DEL HIELO Y DEL AGUA EN ANEXO II. 6. MODELO VISCOELÁSTICO EN 3·D La energía total de una onda (energía cinética y de tensión elástica) se conserva al pasar por un medio elástico. Las ondas radiales cambian su amplitud, disminuyendo al paso, del mismo, debido a que la onda tiene un área mayor (Esto no pasa con una onda plana). Sin embargo, un sólido no es totalmente elástico en el régimen transitorio que hace que la energía cinética se transforme en energía interna aumentando su calor (energía disipada). Las hipótesis de las que se parte son (tomado de [13] ) para las 3 dimensiones, aunque el posterior modelo será 1D: • La estructura microscópica del material viscoelástico es mecánicamente equivalente a una red de elementos viscosos y elásticos. • El material ocupado por el material viscoelástico homogéneo no sometido a fuerzas externas puede ser dividido en paralelepípedos de iguales dimensiones, cerrados y empacados. Ilustración 4 Elemento básico [14] Autor: Pablo Barroso Rodríguez 19 • La extensión de cada elemento es pequeña. • La deformación en la ley macroscópica tensión – deformación se puede calcular considerando las propiedades mecánicas de cada elemento. • Si A y B son un par cualquiera de puntos con coordenadas xiA y xiB en la red de elementos (o “cubos”) adyacentes, los desplazamientos de A y B, correspondientes, uiA y uiB serán (deformación macroscópica - 𝜖𝑖𝑗- y tensor de rotación - 𝜉𝑖𝑗 -, que son constante en la zona del cubo): 𝒖𝒊𝑩=𝒖𝒊𝑨+(𝝐𝒊𝒋+𝝃𝒊𝒋)·(𝒙𝒋𝑩−𝒌𝒋𝑨) • La energía disipada como calor es en todas partes lo suficientemente pequeña por unidad de volumen como para permitir que cualquier variación en las propiedades mecánicas debido al cambio de temperatura sea ignorada. • Considerando la ecuación de movimiento de cualquier unión, las fuerzas inerciales y fuerzas de cuerpo son pequeñas e ignoradas. 6.1. MODELO VISCOELÁSTICO 1D [15] Se usan leyes deformación - tensión unidimensionales. El modelo de Kelvin Voigt, es un modelo es análogo a un muelle (elemento elástico) en paralelo a un elemento viscoso (pistón), dispuestas de forma paralela. De esta forma las tensiones de ambas se pueden escribir como sigue: Autor: Pablo Barroso Rodríguez 20 Ilustración 5 Modelo de Kelvin Voigt [16] Existe otro modelo, como el de Maxwell, que los pone en serie. Ilustración 6 Modelo de Maxwell [16] La disposición de Kelvin muestra el comportamiento de un sólido y la de Maxwell se comporta como un fluido. Estos modelos se denominan alternativamente como Kelvin, o sólido Kelvin-Voigt, y Maxwell o fluido Maxwell-Wiechert, respectivamente [14] . O una combinación de ellos, como puede ser el Zener: Ilustración 7 Modelo Zener [17] Autor: Pablo Barroso Rodríguez 21 O el modelo Burgers: Ilustración 8 Modelo Burguers [17] La respuesta de cada uno de los anteriores modelos es: Ilustración 9 Modelos. Respuesta a la tensión [13] Ilustración 10 Respuesta de la deformación a una carga constante [17] Autor: Pablo Barroso Rodríguez 22 Aunque hay muchísimas combinaciones dependiendo del arreglo entre muelle y pistón, ya sean en serie o en paralelo: Ilustración 11 Resumen de los distintos modelos simples que se pueden realizar [18] 6.2. MODELO MATEMÁTICO. MODELO VISCOELÁSTICO DE KELVIN VOIGT. SÓLIDOS [15]. CÓDIGO EN ANEXO I-B. (𝜏= 𝜎) En este modelo se supone que tratamos con un muelle helicoidal, perfectamente lineal y sin masa, representada por la Ley de Hooke (ecuación constitutiva): 𝜺=𝟏𝑬𝝉𝟏 Autor: Pablo Barroso Rodríguez 23 Mientras que para la parte viscosa tratamos con un pistón representado por la Ley de Newton (ecuación constitutiva): 𝜺󰇗=𝟏𝜼𝝉𝟐 E es una constante elástica del muelle, que se corresponde como veremos más adelante a MR (o módulo real de masa) y 𝜂. De este modo la relación en este modelo de la tensióndeformación del modelo Kelvin - Voigt es (ecuación de equilibrio): 𝝉=𝑬·𝜺+𝜼·𝜺󰇗 Por tanto, los desplazamientos son iguales y las fuerzas aditivas. Este material es un sólido. Si 𝜀 la consideramos como: 𝜺=𝜺𝟎·𝒆𝒊𝝎𝒕 𝜏, queda como: 𝝉=(𝑬+𝒊𝝎𝜼)𝜺𝟎·𝒆𝒊𝝎𝒕 𝝉=(𝑴𝑹+𝒊𝑴𝒊) 𝜺 De lo que se deduce que MR=E y MI es 𝜔𝜂. La ecuación que explica el proceso es: Ilustración 12 Balance de fuerzas en un volumen de sólido [15] Autor: Pablo Barroso Rodríguez 30 𝒑=𝝆𝝎𝟐 𝑬±√(𝝆𝝎𝟐 𝑬)𝟐+𝟒·(𝝆𝝎 𝟐𝜼)𝟐 𝟐 Tomamos los valores positivos: 𝒌𝑹=√𝒑=√𝝆𝝎𝟐 𝑬+√(𝝆𝝎𝟐 𝑬)𝟐+𝟒·(𝝆𝝎 𝟐𝜼)𝟐 𝟐 𝒌𝑰=𝝆𝝎 𝟐𝜼 √𝝆𝝎𝟐 𝑬+√(𝝆𝝎𝟐 𝑬)𝟐+𝟒·(𝝆𝝎 𝟐𝜼)𝟐 𝟐 Si E<< 𝜂, ya que, en este modelo E corresponde al módulo de rigidez o G en fluidos (que es casi o nulo): 𝒌𝑹= 𝝆 𝟐𝜼 √𝝆𝑬 𝒌𝑰=√𝝆𝑬 𝟐𝜼≅𝟎 6.5. MODELO MATEMÁTICO. MODELO VISCOELÁSTICO DE JEFFREY (ELABORACIÓN PROPIA). FLUIDOS. En un balance de fuerzas en un segmento infinitesimal del sólido: [𝝉(𝒙,𝒕)−𝝉(𝒙+∆𝒙,𝒕)]·𝑨=−𝝆(𝑨·∆𝒙)𝝏𝟐𝒖 𝝏𝒕𝟐 Autor: Pablo Barroso Rodríguez 31 𝝏𝝉 𝝏𝒙=𝝆·𝝏𝟐𝒖 𝝏𝒕𝟐 𝝉𝟏=𝜼𝟏·𝝏𝜺𝟏 𝝏𝒕 𝝉𝟐=𝑬·𝜺𝟐+𝜼𝟐·𝝏𝜺𝟐 𝝏𝒕 La suma de las deformaciones individuales son la deformación total: 𝝏𝜺 𝝏𝒕=𝝏𝜺𝟏 𝝏𝒕+𝝏𝜺𝟐 𝝏𝒕 𝜼𝟏+𝜼𝟐 𝑬·𝝉󰇗+𝝉𝜼𝟏=𝜺󰇗+𝜼𝟐 𝑬·𝜺󰇘 Como en el caso anterior tomamos: 𝜼𝟏+𝜼𝟐 𝑬·𝝏𝝉 𝝏𝒕+𝝉𝜼𝟏=𝝏𝜺 𝝏𝒕+𝜼𝟐 𝑬·𝝏𝟐𝜺 𝝏𝒕𝟐 𝝏 𝝏𝒙(𝜼𝟏+𝜼𝟐 𝜼𝟏𝑬·𝝏𝝉 𝝏𝒕+𝝉𝜼𝟏)=𝝏 𝝏𝒙(𝝏𝜺 𝝏𝒕+𝜼𝟐 𝑬·𝝏𝟐𝜺 𝝏𝒕𝟐) Si: 𝜺=𝝏𝒖 𝝏𝒙 𝜼𝟏+𝜼𝟐 𝜼𝟏𝑬·𝝏𝟐𝝉 𝝏𝒙𝝏𝒕+𝝏𝝉 𝜼𝟏𝝏𝒙=𝝏𝟐𝜺 𝝏𝒙𝝏𝒕+𝜼𝟐 𝑬·𝝏𝟑𝜺 𝝏𝒙𝝏𝒕𝟐 𝝆·𝜼𝟏+𝜼𝟐 𝜼𝟏𝑬·𝝏𝟑𝒖 𝝏𝒕𝟑+𝝆 𝜼𝟏·𝝏𝟐𝒖 𝝏𝒕𝟐=𝝏𝟑𝜺 𝝏𝒙𝟐𝝏𝒕+𝜼𝟐 𝑬·𝝏𝟒𝜺 𝝏𝒙𝟐𝝏𝒕𝟐 El desplazamiento está descrito por: 𝒖(𝒙,𝒕)=𝑼𝟎·𝒆𝒊((𝒌𝑹+𝒊𝒌𝑰)·𝒙−𝝎𝒕) Autor: Pablo Barroso Rodríguez 32 𝝏𝟐𝒖 𝝏𝒕𝟐=𝑼𝟎·𝝎𝟐·𝒆𝒊((𝒌𝑹+𝒊𝒌𝑰)·𝒙−𝝎𝒕) 𝝏𝟑𝒖 𝝏𝒕𝟑=𝒊·𝑼𝟎·𝝎𝟑·𝒆(𝒊(𝒌𝑹+𝒊𝒌𝑰)·𝒙−𝝎𝒕) 𝝏𝟑𝒖 𝝏𝒙𝟐𝝏𝒕=𝒊·𝑼𝟎·(𝒌𝑹+𝒊𝒌𝑰)𝟐·𝝎·𝒆𝒊((𝒌𝑹+𝒊𝒌𝑰)·𝒙−𝝎𝒕) 𝝏𝟒𝜺 𝝏𝒙𝟐𝝏𝒕𝟐=𝑼𝟎·(𝒌𝑹+𝒊𝒌𝑰)𝟐·𝝎𝟐·𝒆𝒊((𝒌𝑹+𝒊𝒌𝑰)·𝒙−𝝎𝒕) 𝝆·𝜼𝟏+𝜼𝟐 𝜼𝟏𝑬·𝒊·𝑼𝟎·𝝎𝟑·𝒆(𝒊(𝒌𝑹+𝒊𝒌𝑰)·𝒙−𝝎𝒕)+𝝆 𝜼𝟏·𝑼𝟎·𝝎𝟐·𝒆𝒊((𝒌𝑹+𝒊𝒌𝑰)·𝒙−𝝎𝒕) =𝝏𝟑𝜺 𝝏𝒙𝟐𝝏𝒕𝒊·𝑼𝟎·(𝒌𝑹+𝒊𝒌𝑰)𝟐·𝝎·𝒆𝒊((𝒌𝑹+𝒊𝒌𝑰)·𝒙−𝝎𝒕)+𝜼𝟐 𝑬 ·𝑼𝟎·(𝒌𝑹+𝒊𝒌𝑰)𝟐·𝝎𝟐·𝒆𝒊((𝒌𝑹+𝒊𝒌𝑰)·𝒙−𝝎𝒕) 𝝆·𝜼𝟏+𝜼𝟐 𝜼𝟏𝑬·𝒊·𝝎𝟐+𝝆 𝜼𝟏·𝝎=𝒊·(𝒌𝑹+𝒊𝒌𝑰)𝟐+𝜼𝟐 𝑬·(𝒌𝑹+𝒊𝒌𝑰)𝟐·𝝎 𝝆·𝜼𝟏+𝜼𝟐 𝜼𝟏𝑬·𝒊·𝝎𝟐+𝝆 𝜼𝟏·𝝎=𝒊·(𝒌𝑹+𝒊𝒌𝑰)𝟐+𝜼𝟐 𝑬·(𝒌𝑹+𝒊𝒌𝑰)𝟐·𝝎 (𝒌𝑹+𝒊𝒌𝑰)𝟐(𝒊+𝝎𝜼𝟐 𝑬)=𝝆·𝝎·(𝜼𝟏+𝜼𝟐 𝜼𝟏𝑬·𝒊·𝝎+𝟏𝜼𝟏) (𝒌𝑹𝟐+(𝒊𝒌𝑰)𝟐+𝟐·𝒌𝑹·𝒊𝒌𝑰)·(𝒊+𝝎𝜼𝟐 𝑬)=𝝆·𝝎·(𝜼𝟏+𝜼𝟐 𝜼𝟏𝑬·𝒊·𝝎+𝟏𝜼𝟏) (𝒊𝒌𝑹𝟐−𝒊𝒌𝑰𝟐−𝟐·𝒌𝑹·𝒌𝑰)+(𝝎𝜼𝟐 𝑬𝒌𝑹𝟐−𝝎𝜼𝟐 𝑬𝒌𝑰𝟐+𝝎𝜼𝟐 𝑬𝟐·𝒌𝑹·𝒊𝒌𝑰) =𝝆·𝝎·(𝜼𝟏+𝜼𝟐 𝜼𝟏𝑬·𝒊·𝝎+𝟏𝜼𝟏) 𝒌𝑹𝟐(𝝎𝜼𝟐 𝑬+𝒊)−𝒌𝑰𝟐(𝝎𝜼𝟐 𝑬+𝒊)+𝟐·𝒌𝑹·𝒊𝒌𝑰(𝝎𝜼𝟐 𝑬−𝟏) =𝝆·𝝎·(𝜼𝟏+𝜼𝟐 𝜼𝟏𝑬·𝒊·𝝎+𝟏𝜼𝟏) (𝒌𝑹𝟐−𝒌𝑰𝟐+𝟐·𝒌𝑹·𝒌𝑰(𝝎𝜼𝟐 𝑬−𝟏))·𝒊+(𝝎𝜼𝟐 𝑬𝒌𝑹𝟐−𝝎𝜼𝟐 𝑬𝒌𝑰𝟐) = 𝝆 · 𝝎 · (𝜼𝟏+𝜼𝟐 𝜼𝟏𝑬·𝒊·𝝎+𝟏𝜼𝟏) Autor: Pablo Barroso Rodríguez 33 Separando partes real e imaginaria: 𝒌𝑹𝟐−𝒌𝑰𝟐+𝟐·𝒌𝑹·𝒌𝑰(𝝎𝜼𝟐 𝑬−𝟏)=𝜼𝟏+𝜼𝟐 𝜼𝟏𝑬𝝆·𝝎𝟐 𝝎𝜼𝟐 𝑬𝒌𝑹𝟐−𝝎𝜼𝟐 𝑬𝒌𝑰𝟐=𝝆·𝝎 𝜼𝟏 De la página web https://quickmath.com, obtenemos las siguientes soluciones (a=vis1, b=vis2, r=rho, w=omega, y =k_i): 6.6. OTROS ARREGLOS Y SU CARÁCTER SÓLIDO O LÍQUIDO En el siguiente cuadro se da la energía almacenada y la velocidad de disipación para distintos modelos de material, Autor: Pablo Barroso Rodríguez 34 de forma que la ecuación de cada uno de ellos de Kelvin o Maxwell tiene el tipo (𝜏= 𝜎) [20]: 𝝉+𝒑𝟏·𝝉󰇗+𝒑𝟐·𝝉󰇘+⋯=𝒒𝟎·𝜺+𝒒𝟏·𝜺󰇗+𝒒𝟐·𝜺󰇘+⋯ 𝒑𝟎=𝟏 𝐏𝝉=𝐐 𝜺 Ilustración 15 Energía almacenada y velocidad de disipación para distintos modelos viscoelásticos de material [13] Para saber si el ordenamiento y distribución de muelles y pistones da un sólido o un líquido tenemos la siguiente tabla: Autor: Pablo Barroso Rodríguez 35 Ilustración 16 Material sólido o líquido según ordenamiento de elementos elásticos y viscosos (s=muelle, d=pistón) [20] 7. RESULTADOS 7.1. MEDIOS POROSOS 7.1.1. RESULTADOS PARA EL COEFICIENTE DE ATENUACIÓN DEL HIELO Ilustración 17 Pequeña interfaz en Matlab del programa 7.1.2. HIELO-AGUA (200 KHZ-50MHZ Y 77-270K) Autor: Pablo Barroso Rodríguez 36 Ilustración 18 Parámetros a baja frecuencia y porosidad (Temperatura) Ilustración 19 Parámetros a alta frecuencia 7.1.3. VALIDACIÓN DE LA SIMULACIÓN Con un código algo modificado respecto al anterior comparamos con algunas correlaciones que se aportan en distintas referencias: Autor: Pablo Barroso Rodríguez 37 [21] Hielo de agua desgasificada enfriada a -5ºC. No es poroso, pero podemos compararlo. Hay semejanzas [22] [23] Autor: Pablo Barroso Rodríguez 38 [24] T=263K en este caso. 7.2. SÓLIDO VISCOELÁSTICO DE KELVIN VOIGT (T=160- 250K) El paso de temperaturas es de 20 K. Autor: Pablo Barroso Rodríguez 39 Ilustración 20 Interfaz gráfica que se ve en GNU OCTAVE 7.2.1. ENTRE 200KHZ Y 400KHZ Ilustración 21 Coeficiente de atenuación en distintas transiciones. GNU OCTAVE. Autor: Pablo Barroso Rodríguez 46 alphas(ll+1,:)=-omega.*imag(1./v_c); %atenuación ondashear en Np/m altas frecuencias E_m=K_m+4/3*mu_m; E_G=K_G+4/3*mu_m; alpha=1-K_m./K_ice; MMm=K_ice/(1-phi_w-K_m./K_ice+phi_w*K_ice/K_w); a=-(rho_w^2+1i*Y*rho./omega); b=0; c=1i*Y*E_G./omega+MMm*(2*alpha*rho_w-rho); d=0; e=MMm.*E_m; %Es una ecuacion bicuadrada por lo que puedo hacer lo siguiente raiz=sqrt(c.^2-4*a*e); x1=(-c+raiz)./(2*a); x2=(-c-raiz)./(2*a); vc_pF=sqrt(x1); alphapF(ll+1,:)=-omega.*imag(1./vc_pF); %atenuación onda-p en Np/m vcpF(ll+1,:)=1./real(1./vc_pF);%velocidad rápida onda-p. la que buscamos Autor: Pablo Barroso Rodríguez 47 vc_pS=sqrt(x2); alphapS(ll+1,:)=-omega.*imag(1./vc_pS); %atenuación onda-p en Np/m vcpS(ll+1,:)=1./real(1./vc_pS); %velocidad lenta onda-p end mediaalphaF=mean(alphapF); figure(1) subplot(2,2,1); fragf0=f0(1); fgraf=f0(end); %para ver mejor las gráficas plot(f0,vc_s) axis([fragf0 fgraf -inf inf]) title('Shear c') subplot(2,2,2); fragf0=f0(1); fgraf=f0(end); %para ver mejor las gráficas plot(f0,alphas) axis([fragf0 fgraf -inf inf]) title('Shear alpha') subplot(2,2,3); plot(T2,phi_w1) title('Porosity') figure(2) subplot(2,2,1); fragf0=f0(1); fgraf=f0(end); %para ver mejor las gráficas plot(f0,vcpS) axis([fragf0 fgraf -inf inf]) Autor: Pablo Barroso Rodríguez 48 title('c Slow P-wave') subplot(2,2,2); fragf0=f0(1); fgraf=f0(end); %para ver mejor las gráficas plot(f0,alphapS) axis([fragf0 fgraf -inf inf]) title('alpha Slow P-wave') subplot(2,2,3); fragf0=f0(1); fgraf=f0(end); %para ver mejor las gráficas plot(f0,vcpF) axis([fragf0 fgraf -inf inf]) title('c Fast P-wave') subplot(2,2,4); fragf0=f0(1); fgraf=f0(end); %para ver mejor las gráficas plot(f0,alphapF) axis([fragf0 fgraf -inf inf]) title('alpha Fast P-wave') B. ALGOF %CREADO POR PABLO BARROSO RODRIGUEZ %FUNCION PEQUEÑA PARA SABER QUE PHI_W function phi = algoF(T, L) if T>272.8 errordlg('No puede superar los 272.8K') return; end Tr=linspace(0, 272.8, L); T_0=273; Autor: Pablo Barroso Rodríguez 49 r_0=0.228E-9; r=r_0./log(T_0./Tr); sigma=std(r); mu=mean(r); jj=erf(r./(sqrt(2)*sigma)); ii=erf(mu./(sqrt(2)*sigma)); phi_w1=(jj+ii)./(1+ii); %algoritmillo para encontrar la phi correspondiente a una temperatura de las anteriores indice=fix(length(Tr)*(T-Tr(1))/(Tr(end)-Tr(1))); diferencia=T-Tr(indice); %tiene que ser cercano a cero, si no no vale, mirarlo phi=phi_w1(indice); end C. MODELO DE KELVIN VOIGT PARA SOLIDOS [T=160K A 250K] Ilustración 24 Interfaz del programa %CREADO POR PABLO BARROSO RODRIGUEZ clear global clc clf Autor: Pablo Barroso Rodríguez 50 global T K_ice mu_ice etha_w f0 omega rho_ice E_ice c0 k_imag i L %Número de frecuencias o Paso L=20; jj3={'Frecuencia Menor','Frecuencia Mayor'}; titulo3='160-250K'; lineas3 = 1; valorinicialpantalla3 = {'500000','3000000'}; salida3 = inputdlg(jj3,titulo3,lineas3,valorinicialpantalla3); %Pasamos el vector de string a vector de números tipo double nn3=str2double(salida3); T=[160 250]; %Son lineales K_ice=[9 8]*1E9; mu_ice=[3.4 3]*1E9; etha_w=6.311976526557475E16*exp(-1.472496273460144E-1*T); f0=linspace(nn3(1),nn3(2),L); Autor: Pablo Barroso Rodríguez 51 omega =2*pi*f0; rho_ice=-0.0842*T+940.42; E_ice=K_ice+4/3*mu_ice; c0=(E_ice./rho_ice).^(1/2); for i=0:length(f0)-1 omega2=omega(i+1); %fenómeno viscoso importante %k_imag(i+1,:)=(etha_w*omega2.^2)./(2*E_ice.*c0); k_imag(i+1,:)=sqrt(((rho_ice.*E_ice.*omega2.^2)./(2*(E_ice. ^2+(etha_w.^2).*omega2.^2))).*(sqrt((E_ice.^2+(etha_w.^2).* omega2.^2)./E_ice.^2)-1)); end plot(T,k_imag) xlabel('T[K]') ylabel('k_i[1/m]') title('Coeficiente de atenuación desde hielo amorfo altamente denso a hielo cristalino') D. CÓDIGO DE COMPARACIÓN %PABLO BARROSO RODRÍGUEZ T=251; Autor: Pablo Barroso Rodríguez 52 f0=15E6; K_ice=8E9; mu_ice=3E9; etha_w=6.311976526557475E16*exp(-1.472496273460144E-1*T) omega =2*pi*f0; rho_ice=-0.0842*T+940.42; E_ice=K_ice+4/3*mu_ice; c0=(E_ice/rho_ice)^(1/2); %fenómeno viscoso importante k_imag=sqrt(((rho_ice*E_ice*omega^2)/(2*(E_ice^2+(etha_w^2) *omega^2)))*(sqrt((E_ice^2+(etha_w^2)*omega^2)/E_ice^2)-1)) alpharef=100*(0.067*(f0/1E6)+0.3) %f0=5MHz y T=-10ºC alpha=10.8 [1/m], ref= 100 [1/m] %f0=15MHz y T=-10ºC alpha=98.1 [1/m], ref= 180 [1/m] 8.2.1. MÓDULOS ELÁSTICOS. RELACIÓN. Sin embargo, en la literatura no hay mucha información sobre E=MR (Módulo de masa real) para el hielo amorfo, pero si sobre el módulo de compresión volumétrica (K) y el de Autor: Pablo Barroso Rodríguez 53 rigidez(𝜇), que se relacionan con el anterior según la siguiente forma [6]: 𝐸=𝐾+43·𝜇 ANEXO II. CARACTERIZACION DEL HIELO – AGUA PARA MEDIOS POROSOS Y VISCOELÁSTICOS. A. MÓDULOS ELÁSTICOS DEL HIELO NO POROSO. TRANSICIÓN DEL HIELO AMORFO AL CRISTALINO POR AUMENTO DE TEMPERATURA Existe gran variedad de tipos de hielo dependiendo de su ordenamiento molecular: Ilustración 25 Tipos de hielo [25] Y dependiendo de esta estructura y de la temperatura correspondiente, el hielo tiene unos módulos elásticos con unos valores u otros. Estos módulos elásticos son el módulo de compresión volumétrica (B o K) y el módulo de rigidez (G Autor: Pablo Barroso Rodríguez 54 o μ) y tienen unidades del orden de los GPa. En la figura siguiente se ve el cambio de sus valores en función de la temperatura. El hielo amorfo o vítreo se corresponde con el HDA y LDA, dependiendo de su densidad, ya sea alta o baja, respectivamente. De la referencia [26] tomamos los valores de los módulos elásticos de compresión volumétrica y transversal. Este parte de 1.8GPa y 77K a aproximadamente hasta presión atmosférica y 190K (Se extrapola linealmente hasta los 250K). Ilustración 26 Módulos elásticos del hielo [26] Podemos identificar en un diagrama de fases P - T los distintos hielos que podemos encontrar según a la presión y temperatura a las que están sometidas: Autor: Pablo Barroso Rodríguez 55 Ilustración 27 Diagrama P-T del hielo [27] Ilustración 28 Hielo amorfo por debajo de la línea gruesa [28] Autor: Pablo Barroso Rodríguez 62 L=20; jj3={'Frecuencia Menor','Frecuencia Mayor'}; titulo3='298K'; lineas3 = 1; valorinicialpantalla3 = {'500000','900000'}; salida3 = inputdlg(jj3,titulo3,lineas3,valorinicialpantalla3); %Pasamos el vector de string a vector de números tipo double nn3=str2double(salida3); f0=linspace(nn3(1),nn3(2),L); omega =2*pi*f0; %Hígado Bovino a 25ºC APROX para todo K_o=2.53E9; %GPa mu_o=10.3E3; %kPa rho_o=1092; %kg/m^3 etha_o=1; %Pa·s %Módulos elásticos E_o=K_o+4/3*mu_o; %velocidad del sonido c0=(E_o/rho_o)^(1/2); Autor: Pablo Barroso Rodríguez 63 for i=0:length(f0)-1 omega2=omega(i+1); %fenómeno viscoso importante %Coeficiente de atenuación %k_imag(i+1,:)=(etha_w*omega2.^2)./(2*E_ice.*c0); k_imag(i+1,:)=sqrt(((rho_o*E_o*omega2^2)/(2*(E_o^2+(etha_o^ 2)*omega2^2)))*(sqrt((E_o^2+(etha_o^2)*omega2^2)/E_o^2)- 1)); end %Referencias [Np/m]=[1/m] alpha1=100*0.047*(f0/1E6).^1.27; alpha2=100*0.038*(f0/1E6).^1.36; alpha3=100*0.026*(f0/1E6).^1.17; plot(f0,k_imag, f0, alpha1, f0, alpha2, f0, alpha3) xlabel('f0[Hz]') ylabel('k_i[1/m]') title('Coeficiente de atenuación del Hígado Bovino a 25ºC') legend('Modelo','ref1', 'ref2', 'ref3') RESULTADOS Autor: Pablo Barroso Rodríguez 64 Ilustración 33 Modelo las tres referencias anteriores. GNU OCTAVE. Como se observa, es válido para ciertas frecuencias, en este caso para menores a 0.9MHz, a partir del cual se dispara. B. POLIESTIRENO El Poliestireno se puede considerar como un material viscoelástico por el modelo de Maxwell. Usaremos las mismas ecuaciones anteriores con sus distintos parámetros físicos y la compararemos con varias referencias. De [40] tenemos el módulo de compresión volumétrica y el de rigidez. De [41] tomamos la densidad y de [42] tomamos el de la viscosidad: Autor: Pablo Barroso Rodríguez 65 Ilustración 34 Viscosidad del poliestireno (AZUL) [42] Ilustración 35 Densidad del poliestireno. Tomamos los valores experimentales [41] Autor: Pablo Barroso Rodríguez 66 Ilustración 36 Módulos de compresión y rigidez del poliestireno (ps) CÓDIGO POLIESTIRENO %CREADO POR PABLO BARROSO RODRIGUEZ clear global clc clf global T etha_w f0 omega k_imag i L %Número de frecuencias y temperaturas o Paso L=20; jj3={'Frecuencia Menor','Frecuencia Mayor'}; titulo3='298K'; Autor: Pablo Barroso Rodríguez 67 lineas3 = 1; valorinicialpantalla3 = {'100000','3000000'}; salida3 = inputdlg(jj3,titulo3,lineas3,valorinicialpantalla3); %Pasamos el vector de string a vector de números tipo double nn3=str2double(salida3); T=[300 350 390]; K_w=[4 3.25 2]*1E9; mu_w=[1.3 1.2 0.6]*1E9; etha_w=exp(3304.26./T-0.12); f0=linspace(nn3(1),nn3(2),L); omega =2*pi*f0; rho_w=(-6E-4*T+1.0962)*1000; E_w=mu_w; E_w2=K_w+4/3*mu_w; for i=0:length(f0)-1 omega2=omega(i+1); a=(rho_w.*omega2)./(2*etha_w); b=(rho_w.*omega2.^2)./E_w; Autor: Pablo Barroso Rodríguez 68 k_imag(i+1,:)=a./sqrt((b.^2+sqrt(b.^2+4*a.^2))/2); k_imag2(i+1,:)=sqrt(((rho_w.*E_w2.*omega2.^2)./(2*(E_w2.^2+ (etha_w.^2).*omega2.^2))).*(sqrt((E_w2.^2+(etha_w.^2).*omeg a2.^2)./E_w2.^2)-1)); end plot(f0,k_imag, f0, k_imag2) xlabel('f0[Hz]') ylabel('k_i[1/m]') title('Coeficiente de atenuación del Poliestireno') RESULTADOS Autor: Pablo Barroso Rodríguez 69 Ilustración 37coeficiente de atenuación del poliestireno a 300 (Amarillo, Verde), 350 (Rojo, Verde) y 390 K (Azul, Violeta). Modelo de maxwell y kelvin voigt, respectivamente. Que podemos compararla con la siguiente referencia [43] : Si nos damos cuenta para 4000 Hz, coincide a 300K y existe tanto para el modelo como para la referencia un pico a 500Hz, mayor en el primero. Para materiales homogéneos (lo suponemos así) el coeficiente de absorción y atenuación son el mismo valor [43]. Por lo que se puede decir que para el modelo de Maxwell se aproxima mucho al PS de 50mm (gráfica con máximo), Autor: Pablo Barroso Rodríguez 70 mientras que el de Kelvin Voigt al rígido (gráfica lineal), ya que este, asciende poco a poco con el mismo orden de magnitud. C. PDMS (SYLGARD 184) El PDMS es un elastómero, por lo que podemos asimilarlo como un sólido de Maxwell-Voigt. Tomamos la densidad de [44], la viscosidad de [45] y el módulo de compresión y rigidez de [46]. La densidad viene dada por: Ilustración 38 densidad del pdms [44] La viscosidad por: Ilustración 39 VISCOSIDAD DEL PDMS [45] Los módulos elásticos están tabulados: Autor: Pablo Barroso Rodríguez 71 Ilustración 40 Módulos de compresión y rigidez [46] CÓDIGO %CREADO POR PABLO BARROSO RODRIGUEZ clear global clc clf global T etha_w f0 omega k_imag i L %Número de frecuencias y temperaturas o Paso L=20; jj3={'Frecuencia Menor','Frecuencia Mayor'}; titulo3='298K-373K'; lineas3 = 1; valorinicialpantalla3 = {'100000','3000000'}; salida3 = inputdlg(jj3,titulo3,lineas3,valorinicialpantalla3); %Pasamos el vector de string a vector de números tipo double nn3=str2double(salida3); Autor: Pablo Barroso Rodríguez 78 8 ] [ 2 9 ] KATRIN WINKEL, and THOMAS LOERTING2 NICOLAS GIOVAMBATTISTA, "AMORPHOUS ICES," Physics Department, Brooklyn College of the City University of New York and Institute of Physical Chemistry, University of Innsbruck, p. 36, ¿? [ 3 0 ] Martin Chaplin. (2018, Octubre) Water Structures and Science. [Online]. http://www1.lsbu.ac.uk/water/ice_phases.html [ 3 1 ] A. A. Aleksandrov and M. S. Trakhtengerts, "VISCOSITY OF WATER AT TEMPERATURES OF -20 TO 150ºC," Springer, p. 5, ¿? [ 3 2 ] et al Jiu La, "Glass Transition Temperature of Water: from simulations of difusion and excess of entropy," CHIN.PHYS.LETT., vol. 24, no. 7, p. 3, 2007. [ 3 3 ] David Whipp. (2015) Introduction to Quantitative Geology. Lecture 9. [Online]. https://matskut.helsinki.fi/bitstream/handle/123456789/7 03/Rock%20and%20ice%20as%20viscous%20materials.pdf?seque nce=1 [ 3 4 ] ¿? matrixlab-examples.com. [Online]. http://www.matrixlab-examples.com/exponentialregression.html Autor: Pablo Barroso Rodríguez 79 [ 3 5 ] MSc, Haim Azhari, DSc Tanya Glozman, "A Method for Characterization of Tissue Elastic Properties Combining Ultrasonic Computed Tomography With Elastography," 2009. [ 3 6 ] H. J. KRZYWICKI AND. E. ROBERTS T. H. ALLEN, "Density, fat, water and solids in freshly isolated tissues," U.S. Army Medical Research and Nutrition Laboratory, p. 9, 1959. [ 3 7 ] Gwladys E. Leclerc et al, "Analysis of Liver Viscosity Behavior as a Function of Multifrequency Magnetic Resonance Elastography (MMRE) Postprocessing," JOURNAL OF MAGNETIC RESONANCE IMAGING, p. 7, 2012. [ 3 8 ] Jr. Laurie A. Segal and W. D. O'Brien, "FREQUENCY DEPENDENT ULTRASONIC ATTENUATION COEFFICIENT ASSESSMENT IN FRESH TISSUE," 1983. [ 3 9 ] L. A. FRIZZELL and F. DUNN S. A. Ooss, "ULTRASONIC ABSORPTION AND ATTENUATION IN MAMMALIAN TISSUES," Ultrasound in Med. & Biol., vol. 5, p. 6, 1979. [ 4 0 ] "The bulk modulus and Poisson’s ratio of ‘‘incompressible’’ materials," JOURNAL OF SOUND AND VIBRATION, vol. 312, p. 4, 2008. [ 4 1 ] Elena Algaer, Thermal Conductivity of Polymer Materials. Noworsibirsk: Technische Universitat Darmtadt, 2010. Autor: Pablo Barroso Rodríguez 80 [ 4 2 ] Attila Bata and Karoly Belina Gergely Toth, "DETERMINATION OF POLYMER MELTS FLOW-ACTIVATION ENERGY," Gradus, vol. 2, p. 5, 2017. [ 4 3 ] D.R. Bacon. KAYE&LABY. [Online]. http://www.kayelaby.npl.co.uk/general_physics/2_4/2_4_4. html [ 4 4 ] ALEX C. M. KUO,.: Oxford University Press, 1999, p. 25. [ 4 5 ] Jeffrey M. Davis, and Sandra M. Troian Anton A. Darhuber, "Thermocapillary actuation of liquid flow on chemically patterned surfaces," PHYSICS OF FLUIDS, vol. 15, no. 5, p. 11, 2003. [ 4 6 ] D K McCluskey, C K L Tan and M C Tracey I D Johnston, "Mechanical characterization of bulk Sylgard 184 for microfluidics and microengineering," Journal of Micromechanics and Microengineering, vol. 24, no. 035017, p. 8, 2014. [ 4 7 ] Jie Liu, Abdul I. Barakat, and Michael F. Insana Jean K. Tsou, "Role of ultrasonic shear rate estimation errors in assessing inflammatory response and vascular risk," Ultrasound Med Biol, vol. 34, no. 6, p. 22, 2008. [ 4 J. Hudson, "Surface science, an introduction". Autor: Pablo Barroso Rodríguez 81 8 ] [ 4 9 ] D. L., Koplik, J., & Dashen, R. Johnson, "Theory of dynamic permeability and tortuosity in fluid-saturated porous media," no. 176, 1987. [ 5 0 ] b) Thomas Pezeril, Darius H. Torchinsky, Jeppe C. Dyre and Keith A. Nelson Christoph Klieber a) Tina Hecksher, "Mechanical spectra of glass-forming liquids. II. Gigahertz-frequency longitudinal and shear acoustic dynamics in glycerol and DC704 studied by time-domain Brillouin scattering," vol. 138, 2013. [ 5 1 ] Fernando Revilla. (2015) Blog. [Online]. http://fernandorevilla.es/blog/2015/02/07/raiz-cuadrada- de-un-numero-complejo/ [ 5 2 ] Aude Michel and Jérôme Fresnais Carina Sötebier, "Polydimethylsiloxane (PDMS) Coating onto Magnetic Nanoparticles Induced by Attractive Electrostatic Interaction," Applied sciences, vol. 2, p. 11, 2012.