La unidad de opuestos en Leibniz

THÉMATA. Revista de Filosofía Nº 53, enero-junio (2016) pp.: 13-30 ISSN: 0212-8365 e-ISSN: 2253-900X doi: 10.12795/themata.2016.i53.01 LA UNIDAD DE OPUESTOS EN LEIBNIZ THE UNITY OF OPPOSITES Francisco Javier Luna Leal1 Facultad de Filosofía y Letras, UNAM (México) Recibido: 6-9-2014 Aceptado: 15-3-2015 Resumen: El desarrollo del cálculo infinitesimal le permitió a Leibniz establecer un puente entre entidades que anteriormente se consideraban opuestas y mostrar la armonía subyacente. Con esa experiencia Leibniz trató de conciliar entre la individualidad y el continuo, estableciendo una armonía entre las sustancias individuales y el universo infinito. Palabras-clave: cálculo; sustancia; unidad; opuestos; infinito. Abstract: The development of calculus allowed Leibniz to build up a bridge between entities previously considered opposite and show the underlying harmony. With that experience Leibniz tried to reconcile the individuality and the continuity, establishing a harmony between individual substances and the infinite universe. Key-words: calculus; substance; unity; opposites; infinity. [1] ([email protected]) Doctor en Historia por la Universidad Nacional Autónoma de México en la línea de teoría y filosofía de la historia. Es becario del CONACYT de México y ha sido profesor en varias universidades. Actualmente realiza un estancia de investigación posdoctoral, bajo la dirección de Miguel Ángel Granada, en la Universitat de Barcelona investigando sobre el problema del espacio en la obra de Johannes Kepler. Sus últimas publicaciones son «Gaos -O’Gorman -Ortega y Medina: La construcción de la fenomenología del concepto en la escuela histórica mexicana», Eikasia, 68; «Sobre el concepto de historicidad desde una fenomenología histórica», Historiografías, 10; y «Tres argumentos keplerianos contra el universo homogéneo», Intus-Legere, 8-2. Francisco Javier Luna Leal Thémata. Revista de Filosofía Nº53 (2016) pp.: 13-30. 14 1. Arena comparada con el firmamento El análisis ordinario trata de las magnitudes finitas, en cambio éste penetra hasta el infinito mismo... De tal manera que no sólo abarca el infinito, sino el infinito del infinito, o una infinidad de infinitos. Sólo un análisis de esta naturaleza podría conducirnos hasta los verdaderos principios de las líneas curvas. L’Hôpital, «preface»2 Ce qui fournit autant qu’on veut de degrés d’incomparables, puisque ce qui est incomparablement plus petit, entre inutilement plus grand que luy, c’est ainsi qu’une parcelle de la matiere magnetique qui passe à travers du verre n’est pas comparable avec un grain de sable, ny ce grain avec le globe de la terre, ny ce globe avec le firmament. Leibniz, Carta a Varignon, 2/II/17023 En octubre de 1684 apareció un pequeño artículo de sólo seis páginas en el Acta Eroditorum de Leipzig de la pluma de Wilhelm Leibniz. Lo sucinto del mismo, la falta de explicaciones, la oscuridad del tema y en general todos los defectos de la comunicación escrita en latín del autor hicieron casi incomprensible su significado. Sin embargo, en sus páginas contenía la primera declaración abierta y explícita de que la larga búsqueda por cuadrar lo curvo, que los matemáticos habían emprendido desde la época de los griegos, y el problema de trazar tangentes, eran ambos en realidad dos aspectos de la misma cosa. El problema de la cuadratura del círculo, que ampliado es el problema de la relación que mantiene toda curva con cada punto en su circunferencia, quedaba comprendido por un nuevo análisis que abría las puertas a su resolución de forma inmediata; y la llave de ese análisis estaba contenida en una observación en apariencia sencilla, la cual en 1692 el marqués de L’Hôpital (1661-1704) lo resumió así: ... las curvas al ser poligonales de una infinidad de lados [côtés], y al diferir entre ellas sólo por la diferencia [différence] de los ángulos que estos lados infinitamente pequeños forman entre sí, al análisis de los infinitamente pequeños únicamente corresponde determinar la posición de estos lados para obtener la curva que de ellos forman, es decir, las [2] L’Hôpital: Análisis de los infinitamente pequeños para el estudio de las líneas curvas. México: UNAM, 1998, p. 15. [3] Leibniz, G. W.: Die Matematischen Schriften. Berlín: Weidmannsche Buchhandlung, 1849-1863, vol. IV, p. 91. Thémata. Revista de Filosofía Nº53 (2016) pp.: 13-30. La unidad de opuestos en Leibniz 15 tangentes de estas curvas, sus perpendiculares, sus puntos de inflexión o de retorno, los rayos que se reflejan, los que rompen, etcétera.4 La descripción de L’Hôpital resume muy bien de dónde partía el nuevo análisis infinitesimal. Primero, las curvas se consideran como polígonos de infinitos lados. Segundo, cada uno de esos lados infinitesimales es matemáticamente diferente de otros y puede ser ubicado. Tercero, como cada punto está plenamente identificado entonces se pueden determinar los más importantes, como los puntos de inflexión o los máximos y mínimos, junto con sus rectas tangentes. Finalmente, como cada infinitesimal es diferente y está determinado por su posición en la curva, desde cualquier punto se puede volver a trazar la curva completa, aunque con algunas reservas, lo cual implica que también es posible encontrar su superficie, volumen y perímetro. Todo esto se resume en el teorema fundamental del nuevo cálculo: los problemas de tangentes y de cuadraturas son equivalentes e inversos. Sin embargo, el pequeño artículo al que nos referimos, titulado Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi gemus5 (1684), no ponía las cosas tan fáciles. El Nova methodus, como mejor se le conoce, comienza directamente describiendo el algoritmo de cálculo de lo que ahora llamamos derivadas (llamadas «diferencias» por L’Hôpital). El escrito arranca con las operaciones de infinitesimales sin ofrecer definiciones, comentarios o siquiera una introducción general. Lo anterior da una muestra del grado de abstracción que manejó Leibniz y explica las dificultades que sus contemporáneos tuvieron para entender lo que exponía. Por lo tanto, cuando el filósofo alemán afirmó que «la demostración de todo será muy fácil para uno versado en estas materias»6 era demasiado optimista cuando menos. La famosa frase de los Bernoulli lo representa mejor, el trabajo de Leibniz era «un énigme plutôt qu’une explication.» Las operaciones que enseña a realizar el Nova methodus eran las cuatro clásicas de la aritmética: sumar, restar multiplicar y dividir, sin embargo todas adquieren un nuevo significado al operar con infinitesimales en lugar de números. Las operaciones se aplicaban ahora a indivisibles o diferencias, que expresan la medida de cambio entre dos puntos de una [4] L’Hôpital: op. cit., p. 15. [5] «Un nuevo método para los máximos y los mínimos, así como para las tangentes, que no se detiene ante las cantidades fraccionarias o irracionales y es un singular género de cálculo para estos problemas» contenido en Leibniz, G. W.: Die Matematischen Schriften cit., vol. V, p. 220-226. [6] Leibniz, G. W.: Análisis infinitesimal cit., p. 9. Francisco Javier Luna Leal Thémata. Revista de Filosofía Nº53 (2016) pp.: 13-30. 16 curva. Este escrito se puede definir como una exposición con un enfoque operativo, donde se enseña el manejo del nuevo algoritmo para calcular con infinitesimales y se muestra un sistema de notación para dicho propósito. Además también se introduce una nueva simbología, que en sí misma fue un avance significativo, introduciendo el símbolo «d» para denotar la diferenciación como algo ya construido7. La verdadera carta fuerte de presentación del nuevo cálculo fue la solución de una serie de complicados problemas que atormentaban a los geómetras analíticos de esa época. Al ir desarrollando la explicación, uno a uno los grandes problemas de la geometría de curvas van cayendo. Con cada nueva interpretación geométrica de los datos, Leibniz hilvana una nueva solución: la transformación del valor de una diferencia indica la presencia de un máximo o un mínimo, según sea de positivo a negativo o viceversa; si la diferencia del eje ordenado y de las abscisas es infinita entonces la tangente es perpendicular al eje de las abscisas, mientras que si los infinitesimales son iguales, entonces la tangente es paralela al eje de las ordenadas, etc. Gracias a ello, Leibniz declaró con orgullo: Del conocimiento de este Algoritmo, así lo llamo, o de este cálculo, que llamo diferencial, puede obtenerse todas las otras ecuaciones diferenciales por medio del álgebra [calculum] común, y los máximos y mínimos, así como pueden obtenerse las tangentes, de tal forma que no sea necesario separar fracciones o los irracionales u otros vínculos, como sin embargo, debía hacerse según los métodos hasta ahora publicados.8 El gran logro del nuevo algoritmo era precisamente que unificaba todos los problemas que estaban en ese momento dispersos. No es de extrañar que los problemas geométricos sean los primeros en ser atacados por Leibniz, ya que el nuevo análisis de infinitesimales se fincaba sobre el análisis espacioso de Vieta, Descartes y Fermat, conservando mucho de su sabor geométrico. Incluso en el pequeño Nova methodus, tan parco en demostraciones, se habla de que las diferencias se pueden considerar como una «cuarta proporcional», adelantando un poco que la demostración del [7] La simbología leibniziana del cálculo fue un mérito que lo diferenció del de Newton, mérito negado por largo tiempo luego de la polémica con los matemáticos ingleses. Como afirma Oscar Esquisabel: «El diseño leibniziano del cálculo infinitesimal puede ser considerado como parte de su proyecto de una característica general, entendida esta última en el sentido de un arte o disciplina que tiene como meta fundamental el diseño de sistemas simbólicos eficientes para todas las ciencias» Esquisabel, O.: «Infinitesimales y conocimiento simbólico en Leibniz» en Notae Philosophicae Scientiae Formalis 1, n.1, 2012, p. 67. [8] Leibniz, G. W.: Análisis infinitesimal cit. p. 8. Thémata. Revista de Filosofía Nº53 (2016) pp.: 13-30. La unidad de opuestos en Leibniz 17 nuevo algoritmo está construida sobre una tradición matemática que se remonta hasta Grecia. Sin embargo, esa misma tradición aparece literalmente modernizada por los trabajos de geometría analítica, pues las curvas están situadas sobre ejes de referencia y son expresadas por ecuaciones; congregando de esa forma el mundo algebraico y el geométrico. Ahora, con el nuevo análisis infinitesimal, Leibniz pretendía llevar esa tradición un paso más lejos. El filósofo alemán escribió: «Además no me parece que añado en vano que la Geometría con este método es llevada mucho más allá de los límites propuestos por Vieta y Descartes9. Pero si la tradición geométrica-aritmética de los franceses era la que daba cuerpo y concreción a las ideas de Leibniz, la inspiración de esas ideas estaba en el arte combinatorio. Desde la cábala de Llull y el arte de la memoria de Giordano Bruno, la combinatoria sirvió como la fuente de inspiración del pensamiento leibniziano. Una combinatoria de las diferencias o, más radical quizás, de los contrarios, desde la cual brotaba la unidad dialéctica entre opuestos. En ese sentido, Leibniz se inserta en la tradición de pensamiento pitagórico-platónica que puede ser rastreada desde la teología negativa medieval hasta los filósofos florentinos, como explica Bernardino Orio: Heredero de una vieja idea que se remonta a los llamados «prisci theologi» y que reciben Platón, Aristóteles y Plotino, en una formidable tradición que, atravesando la Edad Media tanto judía o musulmana como cristiana, llega hasta la Escuela de Florencia de Ficino y Pico della Mirandola y los neoplatónicos naturalistas del Renacimiento, Cardano, Cusa o Campanella, Leibniz había concebido un mundo unitario, orgánico, activo, energético, un vasto sistema de sistemas arquitectónicos, nunca clausurado por sus datos en origen sino abierto a infinitas perspectivas irreversibles.10 El nuevo algoritmo infinitesimal no fue posible sin la convicción de Leibniz, como antes la de Bruno, de que el universo funciona como una serie de combinaciones dialécticas que se despliegan desde el Uno trascendente (Monas monadum). La tesis central del cálculo es que las diferencias y las integraciones («sumas» en terminología leibniziana) son opuestas y también complementarias, lo cual no es más que una forma concreta del presupuesto unitario primero. En ese sentido, diferenciar e integrar no son dos operaciones aisladas, sino la misma en sentidos inversos. Esta convicción la afirmó con claridad Leibniz en un escrito algo posterior: «Pues como [9] Leibniz, G. W.: Análisis infinitesimal cit. p. 23. [10] Orio, B.: «Leibniz y la tradición hermética» en THÉMATA. Revista de filosofía 42, 2009, p. 109. Francisco Javier Luna Leal Thémata. Revista de Filosofía Nº53 (2016) pp.: 13-30. 18 las potencias y las raíces en los cálculos comunes [vulgaribus calculis], las sumas y las diferencias o «∫» y «d» son recíprocas [reciprocae]»11. Esa idea fructífera de unidad de suma/sustracción, aumento/disminución, existía de forma previa al cálculo de infinitesimales. Javier de Lorenzo la descubre ya en el De corpore (1655) de Hobbes, aunque afirma también que existía incluso desde antes: Dos operaciones, suma y sustracción, claves para la combinatoria de nuestra razón, para el cálculo en que consiste el razonamiento. Idea no sólo de Hobbes, ciertamente, sino que estaba en el ambiente, en la búsqueda de una compensación a la Torre de Babel en que se había visto sometida la especie humana. Idea que también explicitó Descartes cuya carta del 20 de Noviembre de 1629 a Mersenne copia Leibniz hacia 1678. Copia a la que Leibniz agrega que la invención de una lengua o al menos una escritura para expresar los pensamientos sería algo maravilloso sobre todo para acabar las disputas que dependen del razonamiento; porque con esa lengua o escritura razonar y calcular serían lo mismo.12 La combinatoria y la búsqueda de un lenguaje universal son parte de una misma forma de razonar, de ahí que Leibniz se interesó tanto por la lógica pura como por la creación de un simbolismo adecuado para las matemáticas. Ambas cosas las concibió para superar las ambigüedades y expresar de una forma más precisa los vínculos de la realidad. Pero existe una dificultad en la aplicación de la combinatoria de opuestos en el cálculo, pues la combinatoria es un arte esencialmente discreto y al igual que las formas numéricas trabaja con unidades cerradas, y en última instancia se acerca más a las realidades lingüísticas. En cambio, los objetos de la geometría, donde el cálculo tenía su aplicación más inmediata, existen de manera continua. Las mismas líneas carecen de partes y más bien fluyen siempre como un todo. Sólo los puntos se acercan a lo discreto, pero el mismo Leibniz no creyó siquiera que éstos fueran parte de la línea. Así lo afirmó en varios lugares: «los puntos hablando con exactitud, son extremidades de la extensión y de ningún modo partes constitutivas de las cosas: la geometría lo muestra.»13 Se requería entonces de un engarce que existiera entre los dos extremos, algo que hiciera posible pasar de lo discreto a lo continuo. Leibniz [11] Leibniz, G. W.: Análisis infinitesimal cit., p. 25. [12] Lorenzo, J. [en línea]: «Leibniz-L’Hôpital y el cálculo diferencial» en La ciencia europea de 1650 hasta 1800. Canarias: Encuentros Educativos, Canarias, 2007, http://www.gobcan. es/educacion/3/usrn/fundoro/web_fcohc/005_publicaciones/seminario/ciencia_europea2.htm [Consultado: 30/08/2014]. [13] Leibniz a Samel Masson, 1716: Tomo la traducción de Luna, M.: La ley de la continuidad en G. W. Leibniz. Sevilla: Universidad de Sevilla, 1996, p. 158. Cfr: Respuesta de Foucher a Leibniz sobre su nuevo sistema del conocimiento de las sustancias. Thémata. Revista de Filosofía Nº53 (2016) pp.: 13-30. La unidad de opuestos en Leibniz 19 necesitaba algo que mediara entre las sumas y las restas de elementos discretos y los puntos y las líneas de lo geométrico. Este engarce lo encontró en la noción de infinitésimo, tomada de Wallis vía Huygens, pero desarrollada para intentar superar las ambigüedades de la terminología que se venía arrastrando desde los indivisibles. El infinitésimo es la diferencia entre dos puntos de una recta, separados por una distancia tan pequeña que el arco de la curva coincide con la tangente. Esta definición paradójica resume bien el extraño ente que «no siendo un número concreto participa evanescentemente de lo numérico.»14 Pues la esencia del infinitésimo es que es menor que cualquier número, pero sin caer en la nada. Sin embargo, esta unión de lo paradójico era por su misma naturaleza de difícil explicación. En el Nova methodus, sin utilizar propiamente el término «infinitesimal», Leibniz explica su uso de la siguiente manera: En esta situación se consigue, para encontrar la tangente, trazar la recta que una dos puntos de una curva que estén a una distancia infinitamente pequeña o el lado prolongado de un polígono de infinitos ángulos, que para nosotros equivale a la curva. Esta distancia infinitamente pequeña siempre puede ser expresada por alguna diferencial conocida...15 Si se sigue este razonamiento, una curva es al mismo tiempo un trazo continuo y también un polígono de infinitos lados. La paradoja se resuelve usando a esos extraños entes que oscilaban entre el ser y la nada. Sin embargo, ese delicado equilibrio se altera apenas uno se decanta por cualquiera de las opciones. Si los infinitesimales son reales, entonces existe al mismo tiempo lo finito y lo infinito dentro del mismo cálculo, pero si no son reales, entonces ni siquiera alcanzan para realizar el menor cálculo. Para expresar esto último con términos matemáticos, podemos decir que para que la operación con infinitesimales sea válida, la tangente y la secante deben ser idénticas. Eso implica que la distancia entre dos puntos sea otro punto, pero no existe una proporción entre puntos y líneas, excepto si, como dice Aristóteles, «la línea sea un compuesto de puntos» (Fis. 215b.), cuestión que ya había rechazado Leibniz. Pero incluso si se aceptara esa opción, eso conllevaría la existencia de un infinito actual y de [14] Esta idea viola claramente los principios de la lógica aristotélica. Pues dice el libro de la Física: «el vacío no tiene razón (λόγον) por la cual fuera superada por un cuerpo, como tampoco la nada la tiene con el número.» Fis. 215b. 12-14 [Schmidt, 2001: 88]. La idea del cálculo, sin embargo, da pie a proyectar un valor cuya magnitud es menor que cualquier razón dada de antemano. Una definición de Leibniz en Theoria motus abstracti de punto afirma: «Punctum non est, cujus pars nulla est, nec cujus partes sunt indistantes, cujus magnitudo est inconsiderabilis, inassignabilis, minor quam quae ratione» Leibniz, G. W.: Die Philosophischen Schriften. Berlín: Weidmannsche Buchhandlung, 1880 vol. IV-II p. 229. [15] Leibniz, G. W.: Análisis infinitesimal cit., p. 9. Francisco Javier Luna Leal Thémata. Revista de Filosofía Nº53 (2016) pp.: 13-30. 20 magnitudes sin valor pero reales. Ante esta complicada discusión, Leibniz siempre trató de alejar su nuevo cálculo del debate metafísico: mi propósito fue señalar que no hay necesidad de hacer depender el análisis matemático de las controversias metafísicas ni de asegurar que haya en la naturaleza estrictamente líneas infinitamente pequeñas, en comparación con las nuestras, ni por consiguiente haya líneas infinitamente más grandes que las nuestras. [...] Por lo cual, a fin de evitar estas sutilezas, he creído que para hacer sensible a todo el mundo el razonamiento, era suficiente con explicar aquí el infinito por los incomparables, es decir, concebir cantidades incomparablemente más grandes o más pequeñas que las nuestras; esto nos proporciona todo lo que necesitamos en cuanto a grados de incomparables...»16 Esa sana intención falló. Después de publicar su algoritmo, la comunidad de matemáticos comenzó a discutir sobre si se debía considerar a los infinitésimos como entidades reales o no. El mismo Leibniz tuvo un largo comercio epistolar con Johann Bernoulli, debatiendo precisamente este asunto, debido a una implicación mal deducida por el matemático suizo17. Para evitar desde malentendidos hasta los sensibles problemas de lógica interna, Leibniz calificará insistentemente a los infinitesimales de «fictions, mais des fictions utiles.» El problema de fondo, la proporción entre lo finito y lo infinito, no era en sí mismo nada nuevo, ya desde los griegos aparecía siempre que se intentaba construir proporciones entre líneas y arcos. Cada vez que esto ocurrió, parecía que los matemáticos debían optar entre la funcionalidad de los métodos y el rigor que exigía la demostración. Para salvar el rigor, Leibniz se esforzó en conservar el carácter continuo de las líneas y, por ello, se enfrentó a la virtualidad de los infinitesimales, aunque no por eso afirme su inexistencia. Como escribe Javier de Lorenzo: Para un Pascal, para un Leibniz, el infinitésimo es un elemento que impone la razón conceptual, como el punto en el infinito, aunque no lo capte el entendimiento. Y lo que puede hacerse es dar una justificación y explicar unas reglas de manejo de tales nuevas magnitudes y en su enlace con las antiguas. Pascal dio esa justificación mediante el recíproco del postulado eudoxiano-arquimediano, y Leibniz acepta dicha justificación según se desprende de algunas cartas, a la vez que formula las reglas de manejo de las diferencias.18 Pero si el infinitésimo está por encima del entendimiento, entonces está aún más allá de la percepción sensitiva. Sin embargo, parte de [16] Leibniz, G. W.: Die Matematischen Schriften cit., vol. IV, p. 91. [17] Montesinos hace la reseña completa de dicha discusión: Montesinos, J.: «Fluxiones, infinitesimales y fuerzas vivas. Un panorama leibniziano» en THÉMATA. Revista de filosofía 42, 2009, p. 77-106. [18] Javier de Lorenzo, «Estudio preliminar» en Leibniz, G. W.: Análisis infinitesimal cit., p. lxviii. Thémata. Revista de Filosofía Nº53 (2016) pp.: 13-30. La unidad de opuestos en Leibniz 21 la confusión que originó el nuevo cálculo fue que quienes lo aprendían, literalmente creían ver como se construía un infinitesimal. Esto es claro en el tratado De geometria recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum aparecido en el Acta Eroditorum en 168619. Ahí Leibniz dio algunas explicaciones más acerca del nuevo análisis y ofreció un esbozo de la demostración que depende del uso del llamado triángulo característico que proviene desde Pascal. El problema de usar dicho triángulo era que da la impresión de poder verlo cuando se traza el diagrama. Probablemente por eso Leibniz en De geometria no incluyó ningún diagrama, pero la explicación e incluso el mismo nombre de triángulo condiciona al lector a formarse una imagen del mismo. Todo lo anterior podría aclararnos porqué Leibniz se centró, en el Nova methodus, en ofrecer ejemplos de aplicación. Esos ejemplos mostraban la potencia y alcance de las nuevas matemáticas, resolviendo problemas difíciles de manera casi inmediata, sin complicarse demasiado justificando la difícil paradoja combinatoria en que estaba construido el cálculo. Precisamente dicha potencia del nuevo cálculo era algo de lo cual Leibniz se sentía sumamente orgulloso, y siempre resaltó que éste no tenía que limitarse a cantidades algebraicas, sino que abarcaba por igual «fracciones e irracionales que componen a las variables» y «también es evidente que nuestro método se extiende a las líneas trascendentes, que no pueden ser manejadas por el cálculo algebraico.» Al resolver nuevos problemas, el cálculo amplió el campo de las matemáticas hacia nuevos límites, confirmando con ello la fe leibniziana en la unidad subyacente a todo lo real. Como él mismo declara: Y ciertamente estos puntos son los inicios de una Geometría muy sublime que también se extiende a los dificilísimos y hermosos problemas de la Matemática mixta que sin nuestro cálculo diferencial o semejante nadie podrá tratar con parecida facilidad.20 [19] En español: «Sobre una geometría altamente oculta y el análisis de los indivisibles y de los infinitos». Leibniz, G. W.: Die Matematischen Schriften cit., vol. V, pp. 226-233. [20] Leibniz, G. W.: Análisis infinitesimal cit., p. 14.b,mn Francisco Javier Luna Leal Thémata. Revista de Filosofía Nº53 (2016) pp.: 13-30. 28 sustancias infinitesimales39, y es también eterno en duración, pues sólo puede perecer por aniquilación. Además es infinitamente infinito, pues cada una de sus partes, cada mónada, cada punto metafísico infinitamente pequeño, refleja el cosmos infinito. Así el universo es siempre infinito de infinitos, la máxima unidad plena posible. A pesar de esto, el mismo Leibniz fue oscuro respecto a aceptar un universo físico infinito en acto. La misma definición de lo infinito como sólo aplicable al absoluto, que el sajón reservó para Dios, implicó esta separación entre realidad física e infinitud. Así, Leticia Cabañas escribe que la aplicación del infinito al mundo físico es contradictoria con el continuo: Para superar la contradicción hay que pasar de poner el infinito en el objeto a ponerlo en el espíritu, en una ley ideal que se convierte en el instrumento de investigación por excelencia para penetrar lo real. Los procesos infinitos, que siempre habían sido considerados inalcanzables para el hombre, pueden ser ahora descritos mediante la aplicación del infinito matemático al mundo físico.40 La interpretación de Cabañas hace justicia a los esfuerzos conceptuales leibnizianos, pero deja fuera a sus ideas que apuntan hacia un infinito universo físico real. El intento por parte del sajón de evitar cualquier implicación panteísta que refutara sus bases cristianas explica por qué no admitió las consecuencias de sus propios postulados. En realidad la idea de continuo no es contradictoria con un universo físico infinito, salvo que se quiera hacer del prejuicio del realismo materialista un axioma, pues puede insertarse esa idea en el marco dialéctico de la combinatoria y hacer de la dualidad continuo/discreto un eje del despliegue del universo físico. El problema central está, como bien notó Alejandro Herrera, en que Leibniz rechazó aplicar al universo la categoría de «auténtico todo»41, el cual reservó únicamente para su Dios trascendente. El resultado es un mundo físico potencialmente infinito, otro metafísico dividido en acto al infinito y Dios como unidad trascendente absoluta. En contraste con lo anterior, desde la dialéctica pitagórica era posible postular un universo autónomo absoluto, donde el propio universo [39] Concuerdo con la tesis de Richard T. W. Arthur cuando afirma que: «The real Enigma, I propose, is that this thesis, that the continuum is not just potentially but actually divided into an infinity of parts, is one he seems to have held from as early as 1666, and consistently from then on, even while proposing atoms.» Arthur, Richard T. W., 2003, «The Enigma of Leibniz’s Atomism», en Oxford Studies in Early Modern Philosophy 1, 2003, p. 187. En esa idea lo continuo está compuesto de partes infinitesimales, que no pueden ser sólo materiales, únicamente pueden ser materiales-espirituales o monádicas. [40] Cabañas, L.: «El concepto de infinito en Leibniz y Locke» en Ontology Studies 10, 2010, p. 150. [41] Herrera, A.: “El infinito en Leibniz» en Benítez L., y Robles J. A. El problema del infinito: filosofía y matemáticas. México: UNAM-IIF, 1997, p. 165. Thémata. Revista de Filosofía Nº53 (2016) pp.: 13-30. La unidad de opuestos en Leibniz 29 asume la función de reunir los opuestos convirtiéndose en el correlato de la divinidad. En tal caso estaría el infinito en el universo y no fuera del mismo, con lo cual la idea de ‘creación’ carecería de sentido y también toda diferencia entre universo y absoluto. A pesar de los intentos del propio Leibniz por evitar llegar a la conclusión anterior, todo su sistema apuntaba en esa dirección. Esa consecuencia se desprende del núcleo de su pensamiento, como bien lo notara Samuel Clarke. «Éste, en su respuesta 4a, colocará a Leibniz ante la consecuencia inevitable de su razonamiento: que el mundo material habrá de ser infinito y eterno, lo cual contradiría la decisión creadora de Dios.»42 Esta consecuencia no es contradictoria con el sistema mismo, sino con los principios cristianos a los que Leibniz concede la acción creadora de la divinidad. Como escribe Salas Ortuela: En Leibniz, hay un esfuerzo por salvar la trascendencia de Dios con respecto a las mónadas. Esta trascendencia de Dios sólo se aprecia en la dependencia de las mónadas con respecto a Él, pues las criaturas no son sino realizaciones imperfectas de Dios. En tanto que realizaciones, hay continuidad entre ellas y Dios, pero en tanto que imperfectas, se da por una parte la diferencia y autonomía, y, por otra, la contingencia y limitación.43 El punto de rompimiento es la ubicación de la mónada de mónadas como un ente trascendente o inmanente, fuera o dentro del universo. Leibniz trató de limitar la acción divina al cálculo combinatorio primordial que dio origen al cosmos, creando entonces, según su metáfora, dos relojes perfectamente sincronizados, uno físico continuo y otro metafísico discreto, y reservándose un papel en un futuro indefinido donde clausurará sus obras. Pero, aun con su intento de separar a Dios y el universo, la causa y el efecto, el principio y la unidad, la idea de armonía que guía su pensamiento, y la necesidad de caracterizar el cosmos por su perfección infinita impele a considerar dicha división como «une fiction d’esprit.» Bibliografía Arthur, T. W. R.: «The Enigma of Leibniz’s Atomism» en Oxford Studies in Early Modern Philosophy 1, 2003, pp. 183-227. Benítez, L., y Robles J. A.: El problema del infinito: filosofía y matemáticas. México: UNAM-IIF, 1997, p. 165. [42] Ribas, A.: Biografía del vacío. Barcelona: Editorial Sunya, 2008, p. 250. [43] Salas, J.: «Hegel y Leibniz frente a Spinoza» cit. p. 106. Francisco Javier Luna Leal Thémata. Revista de Filosofía Nº53 (2016) pp.: 13-30. 30 Cabañas, L.: «El concepto de infinito en Leibniz y Locke» en Ontology Studies 10, 2010, pp. 143-152. Coudert, R. S.: Leibniz and the Kabbalah. Dordrecht : Kluwer, 1995, p. 78. Dilthey, W.: Hombre y mundo en los siglos XXI y XVII. México: FCE, 1978, p. 465. Esquisabel, O.: «Infinitesimales y conocimiento simbólico en Leibniz» en Notae Philosophicae Scientiae Formalis 1, n.1, 2012, pp. 66-79. González-Velazco, E.: Journey Through Mathematics, New York: Springer, 2010, p. 361. Leibniz, G. W.: Análisis infinitesimal. Madrid: Tecnos, 1987, p. 5. - Die Philosophischen Schriften. Berlín: Weidmannsche Buchhandlung, 1880. - Die Matematischen Schriften. Berlín: Weidmannsche Buchhandlung, 1849-1863. - Nuevos ensayos sobre el entendimiento humano. Madrid: Alianza, 1992. - Tratados fundamentales. Buenos Aires, Losada, 2004. L’Hôpital: Análisis de los infinitamente pequeños para el estudio de las líneas curvas. México: UNAM, 1998, p. 15. Lorenzo, J. [en línea]: «Leibniz-L’Hôpital y el cálculo diferencial» en La ciencia europea de 1650 hasta 1800. Canarias: Encuentros Educativos, Canarias, 2007,http://www.gobcan.es/educacion/3/usrn/fundoro/web_fcohc/005_ publicaciones/seminario/ciencia_europea2.htm [Consultado: 30/08/2014]. 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