Medida continua de la frecuencia en redes eléctricas con perturbaciones electromagnéticas conducidas de baja frecuencia
Abstract
En esta Tesis se desarrolla un marco de trabajo para la comparación de los diversos métodos que realizan la medida de la frecuencia de la red eléctrica de manera continua, tanto para redes monofásicas como trifásicas. Esta comparación ha sido realizada tanto en ausencia de perturbaciones electromagnéticas, como en presencia de perturbaciones conducidas de baja frecuencia. Las señales de prueba utilizadas son las propuestas por la normativa IEC 61000 para este tipo de perturbaciones electromagnéticas (distorsión armónica, desequilibrio de tensión, fluctuación de tensión, hueco de tensión y variación de frecuencia). También se ha propuesto un nuevo método de medida, con versión monofásica y trifásica, que mejora las prestaciones de los existentes para determinados tipos perturbaciones. Finalmente, se ha evaluado la posibilidad de realización en tiempo real de los distintos métodos de medida. A partir de la normativa indicada, se ha creado un banco de señales de prueba para evaluar las prestaciones de cada método considerado. Estos han sido simulados en Mathcad, procesando las señales de prueba en distintas condiciones de ruido, cuantificación y frecuencia de muestreo. Para comprobar la ejecución en tiempo real de estos métodos, se han codificado en C y ejecutado con un controlador digital de señal. Para la comparación de los distintos métodos de medida de la frecuencia, se ha calculado el error máximo cometido en la estimación de la frecuencia para cada método y cada señal de prueba. El nuevo método de medida propuesto, presenta las mismas prestaciones o mejores que los métodos existentes cuando la tensión de red está distorsionada por armónicos impares, existe desequilibrio de tensión (redes trifásicas), hay fluctuación en la tensión de red, huecos de tensión o variaciones de frecuencia.
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ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Departamento de Tecnología Electrónica TESIS DOCTORAL Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia Autor: Antonio López Ojeda Director: Tutor: Juan Carlos Montaño Asquerino Alberto Yúfera García Sevilla, 2019
ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Departamento de Tecnología Electrónica TESIS DOCTORAL Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia Autor: Antonio López Ojeda Director: Tutor: Juan Carlos Montaño Asquerino Alberto Yúfera García Sevilla, 2019
Agradecimientos En primer lugar, me gustaría agradecer a mi director de tesis, Dr. Juan Carlos Montaño Asquerino, su constante apoyo e infinita paciencia a lo largo del desarrollo de esta tesis, así como sus recomendaciones en la redacción de la misma. A continuación, agradezco a mi actual tutor Dr. Alberto Yúfera García y anterior tutor Dr. Joaquín Luque Rodríguez, su incondicional disponibilidad cada vez que los he necesitado. También me gustaría destacar mi agradecimiento al Dr. Félix Biscarri Triviño por sus sugerencias en los momentos de incertidumbre, al Dr. Diego Francisco Larios Marín por su ayuda con Word y al Dr. Enrique Personal por su ayuda en la organización de la presentación de este trabajo. No puedo dejar de expresar mi gratitud al resto de compañeros de departamento que con su buen hacer diario y su profesionalidad me han servido de ejemplo y estímulo. Finalmente, y de manera especial, quisiera dejar constancia de mi agradecimiento a mi mujer, Merchi, que ha realizado la parte más difícil de este trabajo.
i Resumen En esta Tesis se desarrolla un marco de trabajo para la comparación de los diversos métodos que realizan la medida de la frecuencia de la red eléctrica de manera continua, tanto para redes monofásicas como trifásicas. Esta comparación ha sido realizada tanto en ausencia de perturbaciones electromagnéticas, como en presencia de perturbaciones conducidas de baja frecuencia. Las señales de prueba utilizadas son las propuestas por la normativa IEC 61000 para este tipo de perturbaciones electromagnéticas (distorsión armónica, desequilibrio de tensión, fluctuación de tensión, hueco de tensión y variación de frecuencia). También se ha propuesto un nuevo método de medida, con versión monofásica y trifásica, que mejora las prestaciones de los existentes para determinados tipos perturbaciones. Finalmente, se ha evaluado la posibilidad de realización en tiempo real de los distintos métodos de medida. A partir de la normativa indicada, se ha creado un banco de señales de prueba para evaluar las prestaciones de cada método considerado. Estos han sido simulados en Mathcad, procesando las señales de prueba en distintas condiciones de ruido, cuantificación y frecuencia de muestreo. Para comprobar la ejecución en tiempo real de estos métodos, se han codificado en C y ejecutado con un controlador digital de señal. Para la comparación de los distintos métodos de medida de la frecuencia, se ha calculado el error máximo cometido en la estimación de la frecuencia para cada método y cada señal de prueba. El nuevo método de medida propuesto, presenta las mismas prestaciones o mejores que los métodos existentes cuando la tensión de red está distorsionada por armónicos impares, existe desequilibrio de tensión (redes trifásicas), hay fluctuación en la tensión de red, huecos de tensión o variaciones de frecuencia.
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia ii
iii Abstract This Thesis develops a framework for the comparison of various methods that measure of the frequency of the electrical network continuously, both for single-phase and three-phase networks. This comparison has been made both in the absence of electromagnetic disturbances, and in the presence of low frequency conducted disturbances. The test signals used are those proposed by the IEC 61000 standard for this type of electromagnetic disturbances (harmonic distortion, voltage imbalance, voltage fluctuation, voltage gap and frequency variation). A new measurement method has also been proposed, with single-phase and threephase versions, which improves the performance of existing ones types of disturbances. Finally, the possibility of realization of the different measurement methods in real time has been evaluated. Based on the indicated regulations, a bank of test signals has been created to evaluate the performance of each method considered. These have been simulated in Mathcad, processing the test signals in different conditions of noise, quantification and sampling frequency. To verify the real-time execution of these methods, they were coded in C and executed with a digital signal controller. For the comparison of the different frequency measurement methods, the maximum error committed in the estimation of the frequency for each method and each test signal has been calculated. The proposed new measurement method has the same or better performance than the existing methods when the network voltage is distorted by odd harmonics, voltage is unbalanced (three-phase networks), there is fluctuation in the network voltage, voltage gaps or variations of frequency.
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia x
xi ÍNDICE DE FIGURAS Figura 2-1. Forma de onda de la curva plana. ................................................................................................... 15 Figura 2-2. Forma de onda de la curva de oscilación. ....................................................................................... 16 Figura 2-3. Cambio de la frecuencia del pseudoarmónico en función del tiempo. ........................................... 17 Figura 2-4. Cambio de la amplitud del pseudoarmónico en función de su frecuencia de este....................... 17 Figura 2-5. Desequilibrio de tensión, caso dt17%. (a) Diagrama fasorial, (b) diagrama temporal. ................. 19 Figura 2-6. Forma de onda de la tensión eficaz para la fluctuación de tensión con escalón negativo (a), positivo (b) y positivo seguido de negativo (c). ................................................................................................................. 20 Figura 2-7. Forma de onda detallada de la tensión eficaz para la fluctuación de tensión con escalón positivo. .............................................................................................................................................................................. 21 Figura 2-8. Forma de onda de la tensión instantánea en el entorno de un paso creciente de la tensión eficaz. .............................................................................................................................................................................. 21 Figura 2-9. Forma de onda de la tensión instantánea en el entorno de un paso decreciente de la tensión eficaz. .............................................................................................................................................................................. 22 Figura 2-10. Diagrama temporal de la fluctuación de tensión ft12%1.0VN en el entorno del escalón creciente. .............................................................................................................................................................................. 22 Figura 2-11. Evolución temporal de la tensión eficaz durante un hueco de tensión. ....................................... 23 Figura 2-12. Diagrama fasorial y representación temporal de los huecos de tensión (a1 y a2) htA70%90°, (b1 y b2) htB70%90° y (c1 y c2) htC70%90°. .................................................................................................... 24 Figura 2-13. Evolución temporal de la variación de frecuencia. ........................................................................ 25 Figura 3-1. Descripción gráfica general del método MV. ................................................................................... 27 Figura 3-2. Estimación de la frecuencia cada nueva muestra. .......................................................................... 28 Figura 3-3. Tres estimaciones no entrelazadas. ................................................................................................ 30 Figura 3-4. Tres estimaciones entrelazadas. ...................................................................................................... 31 Figura 3-5. Comparación entre estimaciones entrelazadas y no entrelazadas (A = 3). .................................. 31 Figura 3-6. Descripción gráfica de la versión monofásica con una sola estimación. ....................................... 32 Figura 3-7. Esperanza de ˆ c . Versión monofásica sin ponderación. ............................................................... 33 Figura 3-8. Desviación típica de ˆ c . Versión monofásica sin ponderación. .................................................... 34 Figura 3-9. Error máximo de fm, a lo largo de un ciclo. Señal senoidal de 50 Hz y SNR de 60 dB. ................ 34 Figura 3-10. Descripción gráfica de la versión monofásica con tres estimaciones entrelazadas. ................... 35 Figura 3-11. Variación del sesgo de ĉmp con el número de estimaciones. Señal senoidal de 50.01 Hz y 60 dB. .............................................................................................................................................................................. 37 Figura 3-12. Variación de la desviación típica de ĉmp con el nº de estimaciones. ............................................ 37 Figura 3-13. Comparación error máximo de fmp. Resultado analítico y experimental. A = 9. Señal senoidal de
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia xii 50 Hz y 60 dB. ...................................................................................................................................................... 38 Figura 3-14. Descripción gráfica de la versión trifásica con una estimación por fase. ..................................... 39 Figura 3-15. Variación del sesgo de la estimación de c. Casos monofásico con varias estimaciones y trifásico con una sola estimación por fase. Sistema trifásico equilibrado de 50.01 Hz y 60 dB. ................................... 40 Figura 3-16. Desviación típica de la estimación de c. Casos monofásico con varias estimaciones y trifásico con una sola estimación por fase. Sistema trifásico equilibrado de 50 Hz y 60 dB.......................................... 41 Figura 3-17. Error máximo de ft a lo largo de un ciclo. Señal senoidal de 50 Hz y 60 dB. ............................... 41 Figura 3-18. Versión trifásica con tres estimaciones por fase. .......................................................................... 42 Figura 3-19. Sesgo de la estimación de c. Casos trifásicos sin y con ponderación. Sistema trifásico equilibrado de 50.01 Hz y 60 dB. ........................................................................................................................................... 43 Figura 3-20. Desviación típica de la estimación de c. Casos trifásicos sin y con ponderación. Sistema trifásico equilibrado de 50.01 Hz y 60 dB. ........................................................................................................................ 43 Figura 3-21. Error máximo de ftp a lo largo de un ciclo, para A = 3. Señal senoidal de 50 Hz y 60 dB de SNR. .............................................................................................................................................................................. 44 Figura 4-1. Módulo de la ganancia de los filtros ortogonales seno-coseno. ..................................................... 54 Figura 4-2. Algoritmo de medida de la frecuencia. Método de Moore. ............................................................. 55 Figura 4-3. Algoritmo de medida de la frecuencia. Método de Sidhu. .............................................................. 56 Figura 4-4. Algoritmo de medida de la frecuencia. Método de Szafran. ........................................................... 57 Figura 4-5. Módulo de la ganancia de los filtros wavelet tipo polinómica. ........................................................ 58 Figura 4-6. Algoritmo de medida de la frecuencia. Método wavelet. ................................................................ 59 Figura 4-7. Esquema general de las versiones trifásicas. ................................................................................. 59 Figura 5-1. Diagrama de bloques del PLL básico. ............................................................................................. 63 Figura 5-2. Estructura PLL estándar. .................................................................................................................. 65 Figura 5-3. Estructura del QSG-PLL ................................................................................................................... 66 Figura 5-4. Diagrama de bloques del integrador generalizado de segundo orden (SOGI). ............................ 66 Figura 5-5. Estructura del SOGI-PLL .................................................................................................................. 67 Figura 5-6. Estructura del PL-EPLL. ................................................................................................................... 68 Figura 5-7. Estructura básica del SRF-PLL. ....................................................................................................... 69 Figura 5-8. Estructura del 3EPLL-I. ..................................................................................................................... 70 Figura 5-9. Estructura del 3EPLL-II ..................................................................................................................... 72 Figura 7-1. Diagrama de bloques del montaje experimental ............................................................................. 89 Figura 7-2. Realización física del montaje experimental. ................................................................................... 90 Figura 7-3. Generador de formas de onda arbitraria DG1062Z. ....................................................................... 91 Figura 7-4. Tarjeta de desarrollo eZdsp F28335. ............................................................................................... 92 Figura 7-5. Diagrama de bloques de la eZdsp F28335. .................................................................................... 92
xiii ÍNDICE DE TABLAS Tabla 2-1. Señales de prueba para la desviación de frecuencia. ...................................................................... 14 Tabla 2-2. Señales de prueba para la desviación de amplitud. ......................................................................... 14 Tabla 2-3. Señales de prueba consideradas para la distorsión armónica - curva plana.................................. 15 Tabla 2-4. Señales de prueba consideradas para la distorsión armónica - curva de oscilación. .................... 16 Tabla 2-5. Señales de prueba consideradas para el barrido de frecuencias. ................................................... 18 Tabla 2-6. Señales de prueba consideradas para el desequilibrio de tensión. ................................................ 19 Tabla 2-7. Distintas señales de prueba consideradas para la fluctuación de tensión. ..................................... 21 Tabla 2-8. Distintas señales de prueba consideradas para el hueco de tensión. ............................................ 23 Tabla 2-9. Señales de prueba para la desviación de frecuencia. ...................................................................... 25 Tabla 6-1. Error máximo, sistema trifásico. Resultados de simulación. ............................................................ 83 Tabla 6-2. Error máximo con 60 dB de ruido. ..................................................................................................... 85 Tabla 6-3. Error máximo con 12 bits. .................................................................................................................. 85 Tabla 6-4. Error máximo a 1600 Hz. ................................................................................................................... 85 Tabla 6-5. Error máximo, sistema monofásico. Resultados de simulación. ..................................................... 88 Tabla 7-1. Tiempo de procesamiento de una muestra en cada método trifásico. ............................................ 93 Tabla 7-2. Tiempo de procesamiento de una muestra en cada método monofásico. ..................................... 94 Tabla 7-3. Error máximo, sistema trifásico. Resultados experimentales. ......................................................... 95 Tabla 7-4. Error máximo, sistema monofásico. Resultados experimentales. ................................................... 96
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia xiv
xv Abreviaturas 3EPLL-I (3-phase Enhanced PLL-I ) PLL trifásico mejorado tipo I en marco de referencia estático 3EPLL-II (3-phase Enhanced PLL-I ) PLL trifásico mejorado tipo II en marco de referencia estático BFD Barrido de Frecuencia Digital CO Curva de Oscilación CP Curva Plana DA Desviación de Amplitud DF Desviación de Frecuencia DT Desequilibrio de Tensión FO Filtros Ortogonales FO-Moore-m Método de los filtros ortogonales, versión Moore monofásica FO-Moore-t Método de los filtros ortogonales, versión Moore trifásica FO-Sidhu-m Método de los filtros ortogonales, versión Sidhu monofásica FO-Sidhu-t Método de los filtros ortogonales, versión Sidhu trifásica FO-Szafrant-m Método de los filtros ortogonales, versión Szafrant monofásica FO-Szafrant-t Método de los filtros ortogonales, versión Szafrant trifásica FO-Wavelet-m Método de los filtros ortogonales, versión Wavelet monofásica FO-Wavelet-t Método de los filtros ortogonales, versión Wavelet trifásica FT Fluctuación de Tensión HT Hueco de Tensión MV Mínima Varianza MV-mp Método de mínima varianza, versión monofásica con varias estimaciones ponderadas MV-t Método de mínima varianza, versión trifásica con una estimación por fase
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia xvi MV-tp Método de mínima varianza, versión trifásica con varias estimaciones por fase ponderadas MV-tp-3 Método de mínima varianza, versión trifásica con 3 estimaciones por fase ponderadas PL-EPLL (Pseudo Lineal Enhanced PLL) PLL pseudolineal mejorado PLL (Phase Locked Loop) Lazo de sincronismo de fase PLLstd PLL standard SOGI-PLL (Second Order Generalized Integrator PLL) PLL con integrador generalizado de segundo orden SRF-PLL (Synchronous Reference Frame PLL) PLL basado en el marco de referencia síncrono VF Variación de Frecuencia
Capítulo 1: Introducción 1 1. Introducción Actualmente, la distribución de la energía eléctrica se realiza, principalmente, mediante corriente alterna a una frecuencia de oscilación constante (50 Hz para Europa, Asia, África, Australia y parte de Sudamérica, 60 Hz para el resto) [1-1]. En este trabajo nos centraremos en el entorno europeo, por lo que asumiremos que la frecuencia de la red eléctrica es de 50 Hz. Al no existir en la red eléctrica sistemas que permitan almacenar grandes cantidades de energía ni ser posible su intercambio de una manera rápida y estar sometida la red a constantes cambios en la carga conectada y en la energía generada (debido a las fluctuaciones en la generación eólica y fotovoltaica), no existe un equilibrio perfecto entre la potencia generada y la consumida, de modo que la frecuencia no tiene un valor constante, sino que varía de forma continua. Cuando la potencia consumida es inferior a la potencia generada, se produce un aumento en la frecuencia de la red, mientras que, si la demanda es superior a la producción, hay una disminución de la frecuencia. Esto, se ve agravado por el uso cada vez mayor de sistemas de generación basados en convertidores de potencia (generación distribuida) en lugar de grandes máquinas eléctricas rotativas (generación convencional), lo que hace que la inercia de la red disminuya y que los desequilibrios entre la generación y el consumo tengan un efecto mayor sobre el valor de la frecuencia y su velocidad de cambio. La mayoría de los equipos que forman la red eléctrica (turbinas, generadores, transformadores, motores, etc) están diseñados para funcionar de manera eficiente y segura en una banda muy estrecha en torno a dicha frecuencia. Para frecuencias fuera de esa banda, tanto por exceso como por defecto, estos equipos presentan diversos problemas de funcionamiento (sobrecalentamiento, envejecimiento prematuro y acumulativo de las partes mecánicas, mal funcionamiento, avería, etc). Por ello, una medida rápida, precisa y continua de la frecuencia de la red es necesaria, de modo, que se puedan llevar a cabo las tareas de protección y control necesarias para el restablecimiento, lo más rápidamente posible, de la frecuencia a su valor nominal. Estas características en la estimación de la frecuencia también son necesarias para una correcta y eficiente conexión a la red de los convertidores de potencia asociados a las fuentes de energía renovable [1-2]–[1-4], dotarlos de capacidad de mejorar la inercia de la red [1-5]–[1-7] o generar las señales de referencia de los restauradores dinámicos de tensión [1-8]–[1-10] y los filtros activos de potencia [1-11]–[1-13] entre otras aplicaciones. Otros equipos en donde es importante la medida de la frecuencia son los controladores de flujo de potencia unificados (UPFC) o los compensadores síncronos estáticos (STATCOM) [1-14], [1-15]. En el caso de micro-redes, la estimación precisa de la frecuencia y su control es especialmente importante durante las transiciones entre los modos de conexión en red y en efecto isla, donde pueden fácilmente originarse grandes desviaciones de frecuencia [1-16]–[1-18]. La medida de la frecuencia de la red sería una cuestión trivial si ésta trabajase todo el tiempo con los parámetros que la caracterizan constantes e iguales a sus valores nominales (tensión de cada línea, desfase entre líneas y frecuencia) y la forma de onda de las señales fuese perfectamente senoidal. Sin embargo, la mayor parte el tiempo esta situación no se da, ni siquiera en condiciones normales de operación. A la variación continua de la frecuencia (desequilibrio generación/consumo), habría que añadir la distorsión de la forma de onda de la tensión debido a armónicos e interarmónicos (cargas no lineales), el desequilibrio entre líneas (cargas no equilibradas), las variaciones transitorias en la tensión de red (conexión/desconexión de generadores o cargas, energización de transformadores, arranque de motores, conmutación de bancos de condensadores, faltas en líneas, …) y el ruido (hornos de arco eléctrico, equipos de soldadura, puestas a tierra inadecuadas, señales de comunicación, ...). Todas estas perturbaciones, hacen que la medida de la frecuencia
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia 2 no sea un proceso sencillo. En Europa, las perturbaciones electromagnéticas que se pueden producir en la red eléctrica están recogidas en la norma IEC 61000. Según esta, los fenómenos electromagnéticos se clasifican en [1-19]: Conducidos de baja frecuencia. Son aquellos que se propagan por conductores eléctricos o mediante acoplamiento y cuyo espectro no supera los 9 kHz (armónicos, interarmónicos, desequilibrio de tensión, fluctuación de tensión, hueco de tensión y variación de frecuencia). Conducidos de alta frecuencia. En este caso el espectro es superior a los 150 kHz (tensiones o corrientes inducidas o acopladas y transitorios). Radiados de baja frecuencia. Son aquellos que se propagan a través del espacio y tienen un espectro inferior a 9 kHz (campos magnéticos y campos eléctricos). Radiados de alta frecuencia. El fenómeno se propaga por el espacio y su espectro es superior a 150 kHz (perturbaciones oscilatorias continuas, perturbaciones moduladas y perturbaciones pulsadas). Descarga electrostática (corrientes electrostáticas). Durante las últimas décadas se han desarrollado una gran cantidad de métodos para la estimación de la frecuencia de la red eléctrica, tanto para redes monofásicas como trifásicas. Estos métodos se suelen dividir entre los desarrollados en el dominio del tiempo y los desarrollados en el dominio de la frecuencia. Entre los primeros, el más elemental es el de paso por cero de la tensión [1-20]–[1-27], siendo muy sensible al ruido y a la distorsión de la tensión. Para superar estas limitaciones, se han desarrollado una gran variedad de alternativas. Los métodos basados en mínimos cuadrados (LS) tratan de encontrar la mejor solución de un sistema de ecuaciones lineales mediante la minimización de una función objetivo del tipo sumatorio de cuadrados [1-28]–[1-41] dan buenos resultados sólo cuando la frecuencia se desvía poco de su valor nominal y requiere de grandes cálculos matriciales. En los algoritmos basados en el método de Newton (NTA) [1- 42]–[1-47] se trata de buscar la mejor solución de un sistema de ecuaciones no lineales mediante un proceso iterativo basado en mínimos cuadrados. Estos métodos son muy sensibles al conjunto de valores iniciales y suele ser necesario realizar la inversa de una matriz en cada iteración por lo que requiere un volumen alto de cálculos. Los filtros “notch” adaptativos (ANF) [1-48]–[1-50] tienen una respuesta dinámica lenta. El filtro de Kalman (KF) también es utilizado en algunos métodos [1-51]–[1-62], pero requiere de complejos cálculos iterativos. La obtención de dos señales ortogonales entre sí, mediante filtrado FIR (filtros ortogonales, FO) de la señal de red y, a partir de estas, calcular la frecuencia es otra técnica empleada [1-63]–[1-69]. Una mejora al filtrado ortogonal con filtros FIR consiste en el empleo de filtros IIR basados en una wavelet madre de tipo polinómica [1-70]–[1-72]. La minimización de la varianza del error (MV) de varias estimaciones consecutivas de la frecuencia usando tres muestras equidistantes es otra técnica desarrollada por el autor de esta tesis [1- 73]–[1-75]. El uso del lazo de enganche de fase (PLL) es ampliamente utilizado en la estimación de la frecuencia y ha dado lugar a distintas variantes [1-76]–[1-82] aunque, en general, hay que establecer un compromiso entre el tiempo de respuesta y la exactitud de la estimación en estado estacionario, presenta oscilaciones en presencia de armónicos y largos tiempos de respuesta cuando hay saltos de fase. Otros métodos emplean las redes neuronales [1-83], [1-84] o los lazos de enganche de frecuencia (FLL) [1-85]–[1- 87]. Los métodos en el dominio de la frecuencia utilizan los coeficientes de la transformada discreta de Fourier (DFT) de la señal de red para estimar la frecuencia [1-88]–[1-94]. La aplicación directa de la DFT presenta errores significativos, debidos al difuminado espectral y la resolución espectral, cuando la frecuencia se aparta de su valor nominal (muestreo no coherente). Para mejorar los resultados se han propuesto distintas alternativas. La DFT interpolada (IpDFT) calcula varios coeficientes DFT (líneas espectrales) en el entorno de la frecuencia nominal y a partir de ellos se obtiene la frecuencia. El número de coeficientes utilizados, la función ventana usada y las aproximaciones consideradas para calcular la frecuencia da lugar a distintas
Capítulo 1: Introducción 3 versiones del método [1-95]–[1-109]. La DFT recursiva [1-110]–[1-112] es otra variante utilizada. A la hora de evaluar las prestaciones de los distintos métodos de medida, se observa que no existe una uniformidad en las señales de prueba propuestas, planteando cada autor un conjunto de señales concreto. En algunos casos, el tipo de señal propuesto es el mismo, pero con valores de los parámetros que lo caracterizan distintos (señal con armónicos, por ejemplo). En otros, incluso se proponen señales poco realistas en cuanto a que no son posibles en la red eléctrica (por ejemplo, un escalón en frecuencia). En muchos casos, no se estudia el efecto de perturbaciones típicas de la red (interarmónicos, desequilibrio, fluctuación de tensión, huecos de tensión). Finalmente, se ha observado que no existe ningún trabajo en el que se lleve a cabo un estudio del efecto de todas las posibles perturbaciones en la red eléctrica (conducidas o radiadas, de baja o alta frecuencia). Tampoco se considera en todos los métodos el efecto del ruido presente en las señales a procesar. Respecto a la implementación digital de los distintos métodos, tampoco existe una uniformidad en cuanto a la frecuencia de muestreo de las señales o a la resolución de la cuantificación de las muestras, ni un estudio sobre cómo afectan estos aspectos a la medida de la frecuencia. El presente trabajo de tesis se centra en plantear un marco de trabajo que permita la evaluación de las prestaciones de los distintos métodos de medida de la frecuencia de forma objetiva, completa y realista y la viabilidad de su realización en tiempo real, tanto en redes monofásicas como trifásicas, cuando existen perturbaciones electromagnéticas conducidas de baja frecuencia. Dado que la implementación de todos los métodos propuestos en la literatura, sería demasiado extenso, el trabajo desarrollado se centra en el método de mínima varianza, propuesto por el autor de esta tesis, el método de los filtros ortogonales (con sus distintas versiones) y algunas de las variantes de los métodos PLL. El estudio se ha llevado a cabo tanto para redes monofásicas como para redes trifásicas. Los métodos propuestos han sido implementados tanto en MATHCAD (software matemático de alto nivel equivalente a MATLAB) y ejecutados sobre PC, como en C y ejecutados por un controlador digital de señal (DSC). 1.1. Objeto de la tesis El objetivo general de la presente tesis doctoral se divide en tres partes. En primer lugar, desarrollar un marco de trabajo que permita realizar una comparación objetiva, realista y completa de los distintos métodos de medida de la frecuencia de la red eléctrica. Esto facilitará la tarea de decidir qué método es el más adecuado en función de la aplicación que se vaya a hacer de la información de la frecuencia y de las características de perturbación del entorno donde se realicen las medidas. En segundo lugar, desarrollar un nuevo método de medida de la frecuencia que mejore el comportamiento de los métodos existentes para determinados tipos de perturbaciones electromagnéticas. En tercer lugar, comprobar la viabilidad de realización en tiempo real de los distintos métodos de medida de la frecuencia. Para ello se han perseguido los siguientes objetivos específicos: Definir el conjunto de señales de prueba a utilizar con los métodos de medida de la frecuencia, basadas en la norma IEC 61000 y correspondientes a las perturbaciones electromagnéticas conducidas de baja frecuencia. Desarrollar un nuevo método de medida de la frecuencia que mejore los resultados obtenidos con los métodos actuales. Simular los distintos métodos con una herramienta matemática de alto nivel, con las señales de prueba y para distintas condiciones de ruido, de cuantificación y de frecuencia de muestreo de las
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia 10 [1-80] M. Ciobotaru, R. Teodorescu, and F. Blaabjerg, “A new single-phase PLL structure based on second order generalized integrator,” in 37th IEEE Power Electronics Specialists Conference, 2006, pp. 1–6. [1-81] S. Eren, M. Karimi-Ghartemani, and A. Bakhshai, “Enhancing the three-phase synchronous reference frame PLL to remove unbalance and harmonic errors,” in 35th Annual Conference of IEEE Industrial Electronics, 2009, pp. 437–441. [1-82] R. Teodorescu, M. Liserre, and P. Rodríguez, Grid Converters for Photovoltaic and Wind Power Systems. Chichester, UK: John Wiley & Sons, Ltd, 2011. [1-83] P. Dash, D. Swain, a Routray, and a Liew, “An adaptive neural network approach for the estimation of power system frequency,” Electr. Power Syst. Res., vol. 41, no. 3, pp. 203–210, 1997. [1-84] L. Lai, W. Chan, C. Tse, and A. So, “Real-time frequency and harmonic evaluation using artificial neural networks Estimation - Adaptive,” Power Deliv. IEEE Trans., vol. 14, no. 1, pp. 52–59, 1999. [1-85] P. Rodríguez, A. Luna, I. Candela, R. Mujal, R. Teodorescu, and F. Blaabjerg, “Multiresonant frequency-locked loop for grid synchronization of power converters under distorted grid conditions,” IEEE Trans. Ind. Electron., vol. 58, no. 1, pp. 127–138, 2011. [1-86] J. Matas, M. Castilla, J. Miret, L. Garcia De Vicuna, and R. Guzman, “An adaptive prefiltering method to improve the speed/accuracy tradeoff of voltage sequence detection methods under adverse grid conditions,” IEEE Trans. Ind. Electron., vol. 61, no. 5, pp. 2139–2151, 2014. [1-87] S. Golestan, J. M. Guerrero, J. Vasquez, A. M. Abusorrah, and Y. A. Al-Turki, “A Study On Three- Phase FLLs,” IEEE Trans. Power Electron., vol. 34, no. 1, pp. 213–224, 2018. [1-88] A. G. Phadke, “A New Measurement Technique for Tracking Voltage Phasors, Local System Frequency, and Rate of Change of Frequency,” IEEE Trans. Power Appar. Syst., vol. PAS-102, no. 5, pp. 1025–1038, 1983. [1-89] E. Jacobsen and R. Lyons, “‘the sliding DFT,’” IEEE Signal Process. Mag., vol. 20, no. 2, pp. 74–80, 2003. [1-90] M. Wang and Y. Sun, “A practical, precise method for frequency tracking and phasor estimation,” IEEE Trans. Power Deliv., vol. 19, no. 4, pp. 1547–1552, 2004. [1-91] D. Fan and V. Centeno, “Phasor-based synchronized frequency measurement in power systems,” IEEE Trans. Power Deliv., vol. 22, no. 4, pp. 2010–2016, 2007. [1-92] T. Radil and P. M. Ramos, “Frequency domain based algorithm for estimation of single-tone multichannel signals,” in IEEE Intrumentation and Measurement Technology Conference, I2MTC, 2009, no. May, pp. 978–982. [1-93] P. Zhang, H. Xue, and R. Yang, “Shifting window average method for accurate frequency measurement in power systems,” IEEE Trans. Power Deliv., vol. 26, no. 4, pp. 2887–2889, 2011. [1-94] J. K. Hwang and P. N. Markham, “Power system frequency estimation by reduction of noise using three digital filters,” IEEE Trans. Instrum. Meas., vol. 63, no. 2, pp. 402–409, 2014. [1-95] T. Grandke, “Interpolation Algorithms for Discrete Fourier Transforms of Weighted Signals,” IEEE Trans. Instrum. Meas., vol. 32, no. 2, pp. 350–355, 1983. [1-96] G. Andria, M. Savino, and A. Trotta, “Windows and Interpolation Algorithms to Improve Electrical
Capítulo 1: Introducción 11 Measurement Accuracy,” IEEE Trans. Instrum. Meas., vol. 38, no. 4, pp. 856–863, 1989. [1-97] D. Belega and D. Petri, “Accuracy analysis of the multicycle synchrophasor estimator provided by the interpolated DFT algorithm,” IEEE Trans. Instrum. Meas., vol. 62, no. 5, pp. 942–953, 2013. [1-98] J. Borkowski and D. Kania, “Interpolated-DFT-based fast and accurate amplitude and phase estimation for the control of power,” Metrol. Meas. Syst., vol. 23, no. 1, pp. 13–26, 2016. [1-99] M. S. Reza, M. Ciobotaru, and V. G. Agelidis, “A Robust Frequency Estimation Technique Based on Three Consecutive Samples for Single-Phase Systems,” IEEE J. Emerg. Sel. Top. Power Electron., vol. 2, no. 4, pp. 1049–1058, Dec. 2014. [1-100] H. Wen, Z. Teng, Y. Wang, B. Zeng, and X. Hu, “Simple Interpolated FFT Algorithm Based on Minimize Sidelobe Windows for Power-Harmonic Analysis,” IEEE Trans. Power Electron., vol. 26, no. 9, pp. 2570–2579, Sep. 2011. [1-101] H. Wen, C. Li, and W. Yao, “Power System Frequency Estimation of Sine-Wave Corrupted with Noise by Windowed Three-Point Interpolated DFT,” IEEE Trans. Smart Grid, vol. 9, no. 5, pp. 5163– 5172, 2018. [1-102] C. Offelli and D. Petri, “Interpolation Techniques for Real-Time Multifrequency Waveform Analysis,” IEEE Trans. Instrum. Meas., vol. 39, no. 1, pp. 106–111, 1990. [1-103] C. Offelli and D. Petri, “The Influence of Windowing on the Accuracy of Multifrequency Signal Parameter Estimation,” IEEE Trans. Instrum. Meas., vol. 41, no. 2, pp. 256–261, 1992. [1-104] J. Schoukens, R. Pintelon, and H. Van Hamme, “The Interpolated Fast Fourier Transform: A Comparative Study,” IEEE Trans. Instrum. Meas., vol. 41, no. 2, pp. 226–232, 1992. [1-105] Jun-Zhe Yang and Chih-Wen Liu, “A precise calculation of power system frequency and phasor,” IEEE Trans. Power Deliv., vol. 15, no. 2, pp. 494–499, 2000. [1-106] F. Zhang, Z. Geng, and W. Yuan, “The algorithm of interpolating windowed FFT for harmonic analysis of electric power system,” IEEE Trans. Power Deliv., vol. 16, no. 2, pp. 160–164, 2001. [1-107] D. Agrez, “Frequency estimation of the non-stationary signals using interpolated DFT,” in Proceedings of the 19th IEEE Instrumentation and Measurement Technology Conference (IEEE Cat. No.00CH37276), 2002, vol. 2, pp. 925–930. [1-108] D. Belega and D. Dallet, “Efficiency of the three-point interpolated DFT method on the normalized frequency estimation of a sine-wave,” in Proceedings of the 5th IEEE International Workshop on Intelligent Data Acquisition and Advanced Computing Systems: Technology and Applications, IDAACS’2009, 2009, no. September, pp. 2–7. [1-109] D. Belega, D. Dallet, and D. Petri, “Accuracy of sine wave frequency estimation by multipoint interpolated DFT approach,” IEEE Trans. Instrum. Meas., vol. 59, no. 11, pp. 2808–2815, 2010. [1-110] H. A. Darwish and M. Fikri, “Practical considerations for recursive DFT implementation in numerical relays,” in Proceedings of the IEEE Power Engineering Society Transmission and Distribution Conference, 2006, vol. 22, no. 1, pp. 880–887. [1-111] M. S. Reza, M. Ciobotaru, and V. G. Agelidis, “A recursive DFT based technique for accurate estimation of grid voltage frequency,” in IECON Proceedings (Industrial Electronics Conference), 2013,
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia 12 pp. 6420–6425. [1-112] F. Ykhlef, “Frequency Estimation and Tracking in Electrical Power Systems,” in 2018 6th International Conference on Multimedia Computing and Systems (ICMCS), 2018, vol. 0, pp. 1–4.
Capítulo 2: Señales de prueba 13 2. Señales de prueba En este capítulo se lleva a cabo la presentación del conjunto de señales utilizadas para estudiar y comparar los métodos de medida de la frecuencia. Con objeto de que el estudio sea objetivo, se ha aplicado a cada uno de los métodos de medida de la frecuencia instantánea al mismo conjunto de señales de prueba. Para hacerlo más realista, se han utilizado señales con fenómenos continuos y con fenómenos discontinuos (eventos de tensión), de acuerdo con las definiciones que aparecen en las distintas secciones de la parte 4 de la norma UNE EN 61000 (Compatibilidad Electromagnética. Técnicas de ensayo y medida. Ensayos de inmunidad). El estudio se ha centrado sobre las perturbaciones de tipo conducido de baja frecuencia, ya que son las más importantes de la red eléctrica. A partir de las descripciones de las distintas perturbaciones dadas en la norma, se han desarrollado las descripciones matemáticas correspondientes, con sus parámetros característicos. Esto nos ha permitido generar los distintos casos que se recogen en la normativa, para una misma señal de prueba (perturbación). Las señales han sido generadas en versión trifásica y monofásica. 2.1. Descripción de las señales de prueba trifásicas A continuación, se comenta las características de las señales sintetizadas referentes a la tensión de red. Han sido clasificadas en los dos grupos de señales mencionados: los correspondientes a fenómenos continuos y a los fenómenos transitorios (Eventos de tensión, UNE EN 50160:2010) [2-1]. 2.1.1. Señales sintetizadas para fenómenos continuos Se dan cuando alguna de las características de la tensión eléctrica suministrada por las redes presenta desviaciones de manera continua con relación al valor nominal correspondiente [2-1]. Las situaciones con fenómenos continuos incluidas han sido: Desviación de frecuencia (DF) Desviación de amplitud (DA) Distorsión armónica Desequilibrio de tensión (DT) Fluctuación de tensión /FT) 2.1.1.1. Desviación de frecuencia (DF) Se considera la desviación de frecuencia, en una red de alimentación de baja tensión, VrmsN (230 V), cuando el valor eficaz de la señal es constante, e igual al valor nominal, y la frecuencia también se mantiene constante pero distinta al valor nominal (50 Hz). Se ha creado una señal de prueba para cada posible valor de frecuencia desde 49 Hz hasta 51 Hz en incrementos de 0.1 Hz. La Tabla 2-1 recoge los distintos casos considerados con su denominación. Este fenómeno no aparece recogido en la norma UNE EN 61000, ha sido incluido para ampliar el estudio de
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia 14 los métodos de medida de la frecuencia, permitiendo identificar el error asociado al método (señal sin perturbación). Con esta información es posible, para algunos de los métodos y algunas de las señales de prueba, reconocer el efecto específico de la perturbación correspondiente. Tabla 2-1. Señales de prueba para la desviación de frecuencia. Frecuencia fdf (Hz) Señal de prueba Frecuencia fdf (Hz) Señal de prueba 49.0 df49.0Hz 50.0 df50.0Hz 49.1 df49.1Hz 50.1 df50.1Hz 49.2 df49.2Hz 50.2 df50.2Hz 49.3 df49.3Hz 50.3 df50.3Hz 49.4 df49.4Hz 50.4 df50.4Hz 49.5 df49.5Hz 50.5 df50.5Hz 49.6 df49.6Hz 50.6 df50.6Hz 49.7 df49.7Hz 50.7 df50.7Hz 49.8 df49.8Hz 50.8 df50.8Hz 49.9 df49.9Hz 50.9 df50.9Hz 51.0 df51.0Hz La descripción matemática correspondiente es: df N df 2· v (t,p) 2·Vrms ·sen 2· ·f ·t p· 3 (2-1) Donde p representa la fase del sistema trifásico (0 fase a, 1 fase b y 2 fase c). 2.1.1.2. Desviación de amplitud (DA) Se considera la desviación de amplitud, en una red de alimentación de baja tensión, VrmsN (230 V), cuando la frecuencia de la señal es constante e igual al valor nominal (50 Hz) y el valor eficaz de la tensión es también constante pero distinto al valor nominal, VrmsN (230 V). Se ha creado una señal para cada posible variación del valor eficaz desde 90% VrmsN hasta 110% VrmsN en incrementos de 1% VrmsN. Este fenómeno tampoco aparece en la norma UNE EN 61000, ha sido incluido para ampliar el estudio de los métodos de medida de la frecuencia. Los casos considerados se muestran en la Tabla 2-2. Tabla 2-2. Señales de prueba para la desviación de amplitud. Amplitud %Vrmsda (%VrmsN) Señal de prueba Amplitud %Vrmsda (%VrmsN) Señal de prueba 90 da90% 100 da100% 91 da91% 101 da101% 92 da92% 102 da102% 93 da93% 103 da103% 94 da94% 104 da104% 95 da95% 105 da105% 96 da96% 106 da106% 97 da97% 107 da107% 98 da98% 108 da108% 99 da99% 109 da109% 110 da110% La descripción matemática correspondiente es:
Capítulo 2: Señales de prueba 15 da da N N %Vrms 2· v (t,p) 2· ·Vrms ·sen 2· ·f ·t p· 100 3 (2-2) 2.1.1.3. Distorsión armónica La tensión de red no es una onda sinusoidal perfecta. Siguiendo las recomendaciones de la norma UNE EN 61000-4-13 [2-2], [2-3], se han utilizado tres tipos de señales para caracterizar esta perturbación: Combinación de armónicos-curva plana (CP) Combinación de armónicos-curva de oscilación (CO) Barrido de frecuencias La curva plana es una señal sinusoidal recortada por arriba y por abajo. La ecuación (2-3) describe matemáticamente esta forma de onda. El parámetro Kx determina la altura a la que se trunca la señal. El parámetro Ky es un factor de corrección para mantener el valor eficaz de la forma de onda resultante al valor nominal de red, N Vrms . La Figura 2-1 es el diagrama temporal de la curva plana. La Tabla 2-3 recoge de los distintos casos generados. y N x N x cp y N N N x y N x N x ·K · 2·Vrms ·K sen ·t K 2· v t,p K · 2·Vrms ·sen ·t p· sen ·t K 3 K · 2·Vrms ·K sen ·t K (2-3) Donde ωN = 2·π·fN. Figura 2-1. Forma de onda de la curva plana. Tabla 2-3. Señales de prueba consideradas para la distorsión armónica - curva plana. Factor de truncamiento, Kx Factor de corrección, Ky Señal de prueba 0.95 1.0133 cp0.95 0.90 1.0379 cp0.90 0.80 1.1117 cp0.80
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia 16 La curva de oscilación es la señal resultante de sumar al armónico fundamental el tercer y quinto armónico. La descripción matemática correspondiente se indica en la ecuación (2-4). El valor nominal de la señal completa debe ser igual al valor nominal de la red, (VrmsN, 230 V). En la Tabla 2-4 se indica el valor concreto de amplitud y fase de cada uno de los armónicos, junto con la denominación para los casos considerados. La Figura 2-2 muestra la forma de onda resultante para el caso co8%-5%. N k N co 1 N N k k 3,5 p·T %Vrms p·T v t,p 2·Vrms · sen 2· ·f · t ·sen 2· ·k·f · t 3 100 3 (2-4) Tabla 2-4. Señales de prueba consideradas para la distorsión armónica - curva de oscilación. Armónico fundamental Vrms1 (V) Tercer armónico %Vrms3 / 3 (%Vrms1 / °) Quinto armónico %Vrms5 / 5 (%Vrms1 / °) Señal de prueba 229.7 4% / 180° 3% / 0° co4%-3% 229.4 6% / 180° 4% / 0° co6%-4% 229.0 8% / 180° 5% / 0° co8%-5% Nota: El valor del armónico fundamental está expresado como valor eficaz. Figura 2-2. Forma de onda de la curva de oscilación. El barrido de frecuencias permite comprobar el efecto de los armónicos y los interarmónicos. Consiste en una señal compuesta, por una parte, de una onda sinusoidal de amplitud y frecuencia iguales a los valores nominales correspondientes, a la que se suma otra onda sinusoidal (pseudoarmónico) cuya amplitud y frecuencia va cambiando. La variación de frecuencia del pseudoarmónico puede realizarse de forma continua (barrido analógico) o de forma discreta (barrido digital). Para facilitar la comprobación que este fenómeno tiene sobre los distintos métodos de estimación de la frecuencia, se ha optado por el barrido de frecuencias digital (BFD). Según la Norma UNE EN 61000-4-13, la velocidad de cambio de la frecuencia debe ser tal que el tiempo empleado por década no sea inferior a 5 minutos. Esto supone la generación de señales de prueba con un número de muestras muy elevado. No obstante, después de unas pruebas preliminares, se ha comprobado que, para los distintos métodos estudiados, no hay variación en los resultados si la frecuencia del pseudoarmónico se mantiene constante más de 200 ms. Por ello, se ha optado por generar las señales de prueba con 1 s de duración para cada pseudoarmónico. Esto reduce considerablemente el volumen de datos de cada señal. El rango de frecuencias cubierto va desde 0.33·fN hasta 40·fN. El incremento
Capítulo 2: Señales de prueba 17 de frecuencia no es constante para todo el rango de variación. La Figura 2-3 indica la evolución temporal de la frecuencia. Figura 2-3. Cambio de la frecuencia del pseudoarmónico en función del tiempo. El cambio en el valor de la frecuencia del pseudoarmónico se produce coincidiendo con un paso por cero ascendente del armónico fundamental. Este patrón de comportamiento de la frecuencia del pseudoarmónico es común a todos los casos considerados para el barrido de frecuencias. La amplitud del pseudoarmónico va cambiando en función de la frecuencia del pseudoarmónico. La Figura 2-4 describe este comportamiento para las distintas señales consideradas en la Norma. Figura 2-4. Cambio de la amplitud del pseudoarmónico en función de su frecuencia de este. La descripción matemática de esta señal viene dada en la ecuación (2-5). pa NN bfd N N pa pa %Vrms t p·T p·T v t,p 2·Vrms · sen 2· ·f · t ·sen 2· ·f t · t t0 t 3 100 3
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia 18 (2-5) t0pa representa el instante en el que comienza cada pseudoarmónico. Básicamente, consiste en sumar al armónico fundamental, con amplitud y frecuencias nominales, una señal senoidal cuya amplitud, frecuencia y fase inicial se van cambiando a lo largo del tiempo. La Tabla 2-5 describe los distintos casos considerados para el barrido de frecuencias. Tabla 2-5. Señales de prueba consideradas para el barrido de frecuencias. Gama de frecuencia (Hz) Incremento de frecuencia (Hz) Amplitud del pseudoarmónico %Vrmspa (%Vrms1) Señal de prueba bfdC1 bfdC2 bfdC3 0.33·fN a 2·fN 0.1·fN 2 3 4.5 2·fN a 10·fN 0.2·fN 5 9 14 10·fN a 20·fN 0.2·fN 4 4.5 9 20·fN a 30·fN 0.5·fN 2 2 6 30·fN a 40·fN 0.5·fN 2 2 4 2.1.1.4. Desequilibrio de tensión (DT) En un sistema trifásico, el valor eficaz de la señal de tensión en los conductores presenta, en la práctica, valores diferentes. En lo referente a la fase de las señales, la diferencia de fase entre las mismas no son todas iguales. Para evaluar esta forma de perturbación, se han generado señales con distinto valor del factor de desequilibrio inverso, ku2 (ecuación (2-6)). De acuerdo con la norma UNE-EN 61000-4-27 [2-4], los casos propuestos se recogen en la Tabla 2-6. La Figura 2-5 muestra el diagrama fasorial y el diagrama temporal de la tensión de cada fase para el caso dt17%. 2 u2 1 22 2 a a b b c c a a b b c c 2 1 a a b b c c a a b b c Vtensión inversa k 100· tensión directa V 1 V · V ·cos V ·cos 120 V ·cos 120 V ·sen V ·sen 120 V ·sen 120 3 1 V · V ·cos V ·cos 120 V ·cos 120 V ·sen V ·sen 120 V ·sen 3 2 c a b c a b c 120 V ,V ,V Amplitud de cada línea , , Ángulo de cada línea (2-6) La descripción matemática de esta señal viene dada por la ecuación (2-7). p dt N N p %Vrms 2· v t,p 2· ·Vrms ·sen ·t · 100 360 (2-7)
Capítulo 2: Señales de prueba 19 Tabla 2-6. Señales de prueba consideradas para el desequilibrio de tensión. Fase Amplitud %VrmsF (%VrmsN) Ángulo ϕF (°) Factor de desequilibrio ku2 (%) Señal de prueba Fase Amplitud %VrmsF (%VrmsN) Ángulo ϕF (°) Factor de desequilibrio ku2 (%) Señal de prueba a 100 0° 6 dt6% a 100 0° 8 dt8% b 95.2 -125° b 93.5 -127° c 90 120° c 87 120° a 100 0° 13 dt13% a 100 0° 17 dt17% b 90 -131° b 87 -134° c 80 121° c 74 122° a 110 0° 25 dt25% b 66 -139° c 71 125° (a) (b) Figura 2-5. Desequilibrio de tensión, caso dt17%. (a) Diagrama fasorial, (b) diagrama temporal. 2.1.1.5. Fluctuación de la tensión (FT) Consiste en una serie de cambios en la tensión o una variación cíclica en la envolvente de la tensión UNE- EN 61000-4-14 [2-5]. Este fenómeno viene definido por la forma de onda de la tensión eficaz y algunos parámetros relacionados con dicha forma. Siguiendo las indicaciones de la norma citada, se ha considerado variaciones en escalón de la tensión. En este caso, el resto de parámetros a definir son la tensión eficaz inicial, Vrmsini, la polaridad del escalón, la altura del escalón, %ΔVrms, la duración del escalón, Δt y el periodo de repetición, T. Las formas de onda concretas consideradas se muestran en la Figura 2-6. La norma indicada específica, para Δt y T, un valor de 2 y 5 segundos, respectivamente. De nuevo, dado que los métodos de medida de la frecuencia no varían sus resultados para valores de estos parámetros superiores a 200 y 500 milisegundos, respectivamente, se ha optado por tomar los valores de 1 y 2 segundos, reduciendo con esto el tamaño de las señales de prueba. La altura del escalón utilizada es de 8% y 12%. La Tabla 2-7 recoge las características y la denominación de las distintas señales de prueba evaluadas.
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia 26 2.2. Señales de prueba monofásicas Para los métodos monofásicos se utiliza una de las fases de las señales de prueba trifásica (fase B). Esto significa que las señales de prueba correspondientes al desequilibrio de tensión no tienen sentido. Las señales con hueco de tensión correspondientes a tipo A y B dan lugar al mismo tipo de hueco (cambio brusco sólo en la tensión eficaz) mientras que las asociadas a tipo C dan lugar a un tipo de hueco en el que cambia bruscamente tanto la tensión eficaz como la fase. 2.3. Referencias [2-1] UNE-EN 50160:2010, Características de la tensión suministrada por las redes generales de distribución. [2-2] UNE-EN 61000-4-13:2003, Compatibilidad electromagnética (CEM). Parte 4-13: Técnicas de ensayo y de medida. Ensayos de inmunidad a baja frecuencia de armónicos e interarmónicos incluyendo las señales transmitidas en los accesos de alimentación en corriente alterna. [2-3] UNE-EN 61000-4-13:2003/A1:2010, Compatibilidad electromagnética (CEM). Parte 4-13: Técnicas de ensayo y de medida. Ensayos de inmunidad a baja frecuencia de armónicos e interarmónicos incluyendo las señales transmitidas en los accesos de alimentación en corriente alterna. [2-4] UNE-EN 61000-4-27:2002, Compatibilidad electromagnética (CEM). Parte 4-27: Técnicas de ensayo y de medida. Ensayos de inmunidad a los desequilibrios. [2-5] UNE-EN 61000-4-14:2001, Compatibilidad electromagnética (CEM). Parte 4-14: Técnicas de ensayo y de medida. Ensayos de inmunidad a las fluctuaciones de tensión. [2-6] UNE EN 61000-4-14:2001/A2:2010, Compatibilidad electromagnética (CEM). Parte 4-14: Técnicas de ensayo y de medida. Ensayos de inmunidad a las fluctuaciones de tensión. [2-7] UNE-EN 61000-4-11:2005, Compatibilidad electromagnética (CEM). Parte 4-11: Técnicas de ensayo y de medida. Ensayos de inmunidad a los huecos de tensión, interrupciones breves y variaciones de tensión. [2-8] UNE-EN 61000-4-34:2008, Compatibilidad electromagnética (CEM). Parte 4-34: Técnicas de ensayo y de medida. Ensayos de inmunidad a los huecos de tensión, interrupciones breves y variaciones de tensión para equipos con una corriente de entrada superior a 16 A. [2-9] M. Bollen, Understanding Quality Power Problems, Wiley, 2006. [2-10] UNE-EN 61000-4-28:2000, Compatibilidad electromagnética (CEM). Parte 4-28: Técnicas de ensayo y de medida. Ensayos de inmunidad a la variación de la frecuencia de alimentación.
Capítulo 3: Método de mínima varianza 27 3. Método de mínima varianza (MV) Este método calcula la frecuencia de la señal de red a partir de un número reducido de muestras equidistantes de dicha señal, permitiendo estimar la frecuencia en una fracción del ciclo de red. Se fundamenta en la descripción matemática de la frecuencia en función de tres muestras equidistantes de una señal senoidal, de modo que la varianza de la estimación sea mínima. La Figura 3-1 nos da una descripción gráfica general de este método. Figura 3-1. Descripción gráfica general del método MV. En la Figura 3-1, ˆ f es la estimación de la frecuencia, (v)-1, (v)0 y (v)1 son las tres muestras equidistantes de la señal, Tm es la distancia entre muestras y g(·) es la función que minimiza la varianza de ˆ f . Esta estimación puede actualizarse cada vez que se toma una nueva muestra de la señal de modo que es posible disponer de información de la frecuencia con la periodicidad deseada dentro de un ciclo de la señal. La Figura 3-2 representa gráficamente este proceso. Ts es el periodo de muestreo de la señal. Para llegar a la expresión de la estimación, en función de las muestras utilizadas, partimos de la representación de estas muestras en función de la amplitud, frecuencia y fase de la señal senoidal, 0m 1 0 0 0m 1 v V·sen ·T v t V·sen t v V·sen v V·sen ·T (3.1) Siendo V la amplitud, ϕ(·) la fase en un determinado instante, ω la frecuencia angular y ɸ0 la fase de la señal en el instante correspondiente a la muestra central, (v)0.
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia 28 Figura 3-2. Estimación de la frecuencia cada nueva muestra. A partir de este sistema de ecuaciones, utilizando las identidades trigonométricas adecuadas, se obtiene la siguiente relación [3-1]: 11 0 vv c2· v , (3.2) Donde m c cos ·T . A partir de aquí puede obtenerse la frecuencia: m acos c f2· ·T (3.3) La relación entre f y c, en torno al valor normalizado de 50 Hz, es monótona decreciente. Además, en primera aproximación, es lineal, de modo que: mm 1c f4·T 2· ·T (3.4) Esto significa que existe una relación directa entre el error cometido al calcular c y el que se comete al calcular f. Dado que la relación entre las muestras y la estimación de c es más simple que la existente con la estimación de f, usaremos la primera de ellas para estudiar el método MV, de modo que, todos los comentarios que hagamos sobre la estimación de c, serán válidos para la estimación de f. De la ecuación (3.2) se deduce que el error en el cálculo de c puede ser muy elevado si la muestra central de la estimación, (v)0, está muy próxima a cero. El más mínimo error debido al ruido o la resolución finita con la que se representan los datos, provoca un elevado error en el valor de c y, en consecuencia, en la estimación de la frecuencia. Esto puede demostrarse matemáticamente si modelamos la señal real de tensión, v’(t), como la suma de una señal teórica, sin ruido, v(t), y una señal de ruido, e(t): v'(t) v(t) e(t) (3.5) Esto significa que al utilizar la (3.2) lo que obtenemos es una estimación de c, a la que denominaremos ˆ c :
Capítulo 3: Método de mínima varianza 29 11 0 v' v' ˆ c2· v' (3.6) Esta estimación tiene un carácter aleatorio, de modo que, si suponemos que e(t) tiene una distribución normal con media cero (μ = 0) y desviación estándar σ, su valor esperado, E( ˆ c ), y su varianza, var( ˆ c ), pueden expresarse de forma aproximada (Apéndice 3.6.1) como: 2 2 0 ˆ E c c· 1 v (3.7) 22 2 0 1 2·c ˆ var c 2v (3.8) Donde c y (v)0 son los valores teóricos de las magnitudes correspondientes. El valor de la esperanza y la varianza de ˆ c varía en función de la posición dentro del ciclo de la señal senoidal en la que se lleve a cabo la estimación. Concretamente, depende de la posición de la muestra central (v)0. La expresión de E( ˆ c ) muestra que la estimación está sesgada [3-2], siendo más importante la desviación cuanto más cerca de 0 este (v)0. De la expresión de var( ˆ c ) se deduce que el error aumenta a medida que el valor de (v)0 es más pequeño, tendiendo a infinito cuando (v)0 tiende a 0. El sesgo se puede reducir eligiendo la distancia entre muestras igual a un cuarto del periodo nominal de la señal de red: N mT T4 (3.9) Esto hace que, para f = 50 Hz, sea c = 0 y, en consecuencia ˆ E c c 0 . Esto también reduce var( ˆ c ), aunque sigue quedando el efecto de los pasos por cero de (v)0. Una forma de reducir este efecto es utilizar varias estimaciones de c (estimaciones individuales, j ˆ c ), realizando una media ponderada de ellas de modo que se haga mínima la varianza de la estimación global ( g ˆ c ) [3-3], [3-4], A1 jj11 j 0 j j gg A1 j min 0j j j0 ˆ a · c v' v' ˆ ˆ ˆ c ,, var c ,, c 2· v' a (3.10) Donde A es el número de estimaciones individuales consideradas, aj el peso de cada una de ellas y (v’-1)j, (v’0)j, (v’1)j la muestra primera, central y última de (ĉ)j, respectivamente. Para simplificar el cálculo de los términos aj conviene elegir las estimaciones de modo que no compartan muestras. En este caso, las estimaciones serán estadísticamente independientes y al imponer la condición de
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia 30 que la varianza sea mínima se llega a la siguiente expresión (Apéndice 3.6.2): j j 1 aˆ var c (3.11) Este planteamiento admite distintas variantes dependiendo de la posición relativa de las estimaciones individuales y de las señales de red utilizadas en el procedimiento. La posición relativa de las estimaciones puede ser no entrelazada o entrelazada. Figura 3-3. Tres estimaciones no entrelazadas. En el caso de no entrelazada, la porción de la señal de red utilizada por cada estimación individual, no se solapan. La Figura 3-3 representa esta situación. Te es la distancia entre el final de una estimación y el comienzo de la siguiente. Con esta versión, el intervalo de tiempo cubierto por las muestras utilizadas, ΔT, aumenta significativamente con el nº de estimaciones consideradas. N m e e T T 2·A·T A 1·T A· A 1·T . 2 (3.12) Con objeto de reducir el error cuando varía la amplitud y la frecuencia a lo largo del tiempo, conviene hacer Te << Tm. Lo más simple, de cara a la realización final del algoritmo de cálculo, es tomar para Te un valor divisor de Tm, y múltiplo de Ts. La solución más simple es hacer Te = Ts. Teniendo en cuenta que el valor más adecuado para Tm es TN/4, el periodo de muestreo debe de cumplir que Ts << TN/4. En las pruebas realizadas se ha tomado Ts = TN/128. N m es N s T T4 TT N 128 T TN (3.13) En el caso de estimaciones individuales entrelazadas, hay solapamiento. El caso para tres estimaciones se
Capítulo 3: Método de mínima varianza 31 muestra en la Figura 3-4. Figura 3-4. Tres estimaciones entrelazadas. Ahora Te representa la distancia entre el comienzo de dos estimaciones consecutivas. En esta situación, el intervalo de tiempo cubierto por las muestras utilizadas es N m e s T T 2·T A 1·T A 1·T . 2 (3.14) De nuevo hemos hecho Te = Ts << Tm. El intervalo de tiempo cubierto por las muestras es significativamente menor que para el caso de estimaciones no entrelazadas. La Figura 3-5 compara ambas opciones para A = 3. Figura 3-5. Comparación entre estimaciones entrelazadas y no entrelazadas (A = 3). En consecuencia, la opción que se seguirá es la de las estimaciones entrelazadas.
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia 32 La magnitud eléctrica de la señal de red que se suele considerar para aplicar el método MV es la tensión, al presentar normalmente mucha menos distorsión que la intensidad. Esto es especialmente significativo en entornos con asociaciones de cargas fuertemente no lineales. Por otro lado, el método MV se puede aplicar a señales monofásicas, trifásicas y, en general, a señales polifásicas. También es posible aplicarlo a la componente simétrica de secuencia positiva del sistema polifásico considerado. En este caso, el planteamiento es similar al de señales monofásicas. Teniendo en cuenta estos aspectos, las variantes más interesantes del método MV son: Versión monofásica con varias estimaciones entrelazadas (MV-mp) Versión trifásica con una sola estimación en cada fase (MV-t) Versión trifásica con varias estimaciones en cada fase (MV-tp) En los siguientes apartados se desarrolla cada una de ellas en detalle 3.1. Versión monofásica con una sola estimación Esta versión, aunque no se utiliza en el método MV, se desarrolla aquí como introducción a las siguientes versiones. Consiste en la realización de una única estimación de c a partir de tres muestras equidistantes. 11 m0 v' v' ˆ c2· v' (3.15) El subíndice m indica versión monofásica. Para una mejor comprensión de esta expresión, se incluye la Figura 3-6: Figura 3-6. Descripción gráfica de la versión monofásica con una sola estimación. El intervalo de tiempo cubierto por las muestras es exactamente medio ciclo de la señal nominal de red, TN/2. La expresión para la esperanza y la varianza de m ˆ c es (Apéndice 3.6.1):
Capítulo 3: Método de mínima varianza 33 2 m2 0 ˆ E c c· 1 v (3.16) 22 m2 0 1 2·c ˆ var c 2v (3.17) Se aprecia que m ˆ c es un estimador sesgado, siendo su valor: 2 mm 2 0 ˆˆ B c E c c c· v (3.18) De las expresiones (3.17) y (3.18) se deduce que, cuando se cumpla la condición: 0 v, (3.19) tanto el sesgo como la dispersión de la estimación de c es muy grande, llegando incluso a estar fuera del rango de valores de la función coseno (-1 a 1). Por tanto, esta versión, no es útil en las proximidades de los pasos por cero de la muestra central de la estimación. Esto se aprecia mejor representando gráficamente la esperanza y la desviación típica de mon ˆ c , a lo largo de un ciclo, para una señal senoidal de 50 Hz con relación señal-ruido (SNR) de 60 dB (Figura 3-7 y Figura 3-8). Figura 3-7. Esperanza de ˆ c . Versión monofásica sin ponderación.
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia 34 Figura 3-8. Desviación típica de ˆ c . Versión monofásica sin ponderación. Para la estimación de la frecuencia, m ˆ f , se ha comprobado mediante simulación numérica (método de Montecarlo y gráfico cuantil-cuantil) que la distribución de probabilidad es aproximadamente normal, independientemente de la posición en la que se lleve a cabo la estimación. Esto significa que el valor de la estimación de f, con un nivel de confianza del 99.73%, estará comprendido en el intervalo [3-5]: min max m m m m mm ˆ ˆ ˆ ˆ E f 3· f ,E f 3· f ˆˆ f , f (3.20) A partir de esta expresión, definimos el error máximo cometido como: min max max m m m ˆ ˆ ˆ Error f max f f ,f f (3.21) La Figura 3-9 muestra el error máximo en la estimación de la frecuencia, a lo largo de un ciclo, para una señal senoidal de 50 Hz con relación señal-ruido de 60 dB. Figura 3-9. Error máximo de fm, a lo largo de un ciclo. Señal senoidal de 50 Hz y SNR de 60 dB.
Capítulo 3: Método de mínima varianza 35 3.2. Versión monofásica con varias estimaciones entrelazadas (MV-mp) En este caso se realizan varias estimaciones individuales entrelazadas sobre la misma fase de la señal de red. La Figura 3-10 muestra el caso con 3 estimaciones individuales. Figura 3-10. Descripción gráfica de la versión monofásica con tres estimaciones entrelazadas. Se obtiene así la expresión general de ˆ c : A1 jj j0 mp A1 j j0 ˆ a · c ˆ c a (3.22) 11 jj j0j v' v' ˆ c2· v' (3.23) El subíndice mp indica versión monofásica con varias estimaciones sobre las que se realiza una media ponderada. Combinando las ecuaciones (3.8) y (3.11) obtenemos la expresión aproximada de los términos: 0j j22 j 2· v a1 2· c · (3.24) Sustituyendo las ecuaciones (3.23) y (3.24) en (3.22) y despreciando la variación de la frecuencia en el intervalo de tiempo cubierto por las estimaciones individuales ( 0 A 1 c ··· c ), obtenemos:
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia 42 3.4. Versión trifásica con varias estimaciones en cada fase (MV-tp) En este caso se realiza más de una estimación individual sobre cada una de las fases (Figura 3-18). Figura 3-18. Versión trifásica con tres estimaciones por fase. La expresión general para ˆ c es: A1 pp jj j 0 p a,b,c tp A1 pj j 0 p a,b,c ˆ a · c ˆ c a (3.43) pp 11 jj pjp0j v' v' ˆ c2· v' (3.44) El subíndice tp indica versión trifásica con media ponderada de varias estimaciones por fase. En función de las muestras utilizadas: A1 p p p 0 1 1 jj j j 0 p a,b,c tp A1 2 p0j j 0 p a,b,c v' · v' v' ˆ c v' (3.45) La esperanza y la varianza de este estimador son (Apéndice 3.6.5): 2 tp A1 2 p0j j 0 p a,b,c 2 3·A · ˆ E c c· 1 v (3.46)
Capítulo 3: Método de mínima varianza 43 22 tp A1 2 p0j j 0 p R,S,T 1 2·c ˆ var c · 2v (3.47) Ambos valores son independientes de la posición donde se realice el cálculo de la frecuencia. Ahora el sesgo es mayor que el correspondiente a la versión trifásica sin ponderación, pero la desviación típica es menor. La Figura 3-19 y Figura 3-20 muestran la comparación del sesgo y de la desviación típica, respectivamente. Figura 3-19. Sesgo de la estimación de c. Casos trifásicos sin y con ponderación. Sistema trifásico equilibrado de 50.01 Hz y 60 dB. Figura 3-20. Desviación típica de la estimación de c. Casos trifásicos sin y con ponderación. Sistema trifásico equilibrado de 50.01 Hz y 60 dB. Dado que el valor de la desviación típica es varios órdenes de magnitud superior al sesgo, el error máximo en la estimación de la frecuencia se reduce.
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia 44 La distribución de probabilidad de la estimación de la frecuencia sigue siendo casi normal. La Figura 3-21 muestra el error máximo en la estimación de la frecuencia con A = 3, a lo largo de un ciclo, para un sistema trifásico equilibrado a 50 Hz con relación señal-ruido de 60 dB. Figura 3-21. Error máximo de ftp a lo largo de un ciclo, para A = 3. Señal senoidal de 50 Hz y 60 dB de SNR. 3.5. Postfiltrado Con objeto de mejorar aún más el comportamiento frente al ruido, en todas las versiones desarrolladas, se realiza un filtrado de la estimación de la frecuencia (postfiltrado). Utilizando, simplemente, un filtro promedio de un ciclo de duración se consigue reducir la desviación típica de la estimación en un factor igual a N1/2 [3-5].
Capítulo 3: Método de mínima varianza 45 3.6. Apéndices 3.6.1. Obtención de E( ˆ c ) y de Var( ˆ c ). Versión monofásica con una estimación La expresión general para la estimación de c es: 11 0 v' v' ˆ c2· v' (3.48) Haciendo un desarrollo en serie de Taylor en torno al valor teórico de cada muestra se obtiene i j k i j k 1 0 1 i j k i 0 j 0k 0 1 0 1 v e · e · e ·i!·j!·k! v' v' v' ˆ c ˆ c (3.49) Aplicando la definición de esperanza de una variable aleatoria [3-2] obtenemos: i j k i j k 1 0 1 i j k i 0 j 0k 0 1 0 1 v E e ·E e ·E e ·i!·j!·k! v' v' v' ˆ c ˆ Ec (3.50) Dado que estamos suponiendo que (e) es una variable aleatoria de distribución normal con media 0 y desviación típica σ, la esperanza de las potencias impares de (e) es cero y la esperanza de las potencias pares es igual a la desviación típica elevada a la correspondiente potencia: n n 0 ,, n impar Ee ,, n par (3.51) La expresión (3.50) quedaría reducida a: i j k i j k i j k i 0 j 0k 0 1 0 1 v par par par ·i!·j!·k! v' v' v' ˆ c ˆ Ec (3.52) Este resultado es válido para cualquier función de variables aleatorias con densidades de probabilidad que presenten simetría par respecto a sus respectivas esperanzas. Por tanto, se utilizará también en las otras versiones del método MV. De la expresión (3.48) se deducen las siguientes relaciones para las derivadas de ˆ c respecto a v’-1, v’0 y v’1: nn 1 n 1v n nn 0 nn 00 v nn 1 n 1v 0 n 2 v' 1 ·n!·c n 1 v' v 0 n 2 v' ˆ cc ˆ cc ˆ cc (3.53)
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia 46 Sustituyendo (3.53) en (3.52) llegamos a: n n n2 0 par ·1 v ˆ E c c (3.54) Para la varianza, no es posible obtener una expresión general, por lo que partimos del desarrollo en serie de Taylor de primer orden de ˆ c alrededor del punto ((v)-1, ((v)0, ((v)1): 11 1 m mm m 1 m 1 mv · e · e v' ˆ c ˆ c c c c (3.55) La relación entre la varianza de ˆ c y la esperanza de ˆ c y 2 ˆ c es [3-2]: 2 2 ˆˆ var c E c E c (3.56) El valor al cuadrado de ˆ c es: 1 0 1 22 1 1 1 22 m m n m m n m 1 m 1 n m 1 · e 2· · · e · e ˆ c c c c c (3.57) La esperanza de 2 ˆ c , teniendo en cuenta (3.51) queda: 12 1 2 2 2 m m1 · ˆ E c c c (3.58) La esperanza de ˆ c , utilizando la expresión (3.55) es: ˆ E c c (3.59) Sustituyendo (3.58) y (3.59) en (3.56) llegamos a: 12 1 2m m1 · ˆ var c c (3.60) De nuevo este resultado lo podemos utilizar en las mismas situaciones que las descritas para la ecuación (3.52). Finalmente, utilizando (3.53), la varianza de ˆ c queda: 22 2 0 1 2· · 2v c ˆ var c (3.61)
Capítulo 3: Método de mínima varianza 47 3.6.2. Obtención del valor de los términos aj para la minimización de la varianza de ˆ c De acuerdo con la ecuación (3.22) la varianza de la estimación de c, viene dada por: A1 2 jj j0 2 A1 j j0 ˆ a ·var c ˆ var c a (3.62) El valor de los términos aj que minimiza la varianza cumple: g m ˆ var c 0 m=0,1,···,A-1 a (3.63) Esto nos lleva a: A1 j m j mj j0 ˆˆ a· a ·var c a ·var c 0 m=0,1,···,A-1 (3.64) La solución más sencilla para este sistema de ecuaciones es: m m 1 a m=0,1,···,A-1 ˆ var c (3.65) Esto significa dar un peso a cada estimación individual, inversamente proporcional a su propia varianza.
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia 48 3.6.3. Obtención de E( ˆ c ) y de Var( ˆ c ). Versión monofásica con varias estimaciones La expresión general para la estimación de ˆ c es: A1 0 1 1 jj j j0 A1 2 0j j0 v' · v' v' mp 2· v' ˆ c (3.66) Para simplificar el desarrollo se van a utilizar las siguientes relaciones: jA 1j j 0j jA 1j v' v' v' v' j=0,1,···,A-1 v' v' (3.67) Para la esperanza, partimos de la ecuación (3.52) adaptada a esta versión y despreciando términos en σ4 y superiores: 22 2·A 1 2 2 mA mv mp · mp v' ˆ c Ec ˆ c (3.68) La expresión general para las derivas segundas de ˆ c es: A 1 A 1 2 2 2 j j A j A m A m A m j m j j 0 j 0 j 2 m 0 m A, A 1,···, 1 v · v v · 4·v v 2·v · v v · v mp c A1 0 3 A1 22 mj j0 m 0,1,···,A 1 4·v v 0 m A,2·A 1,···,2·A1 (3.69) Sustituyendo en (3.68) y simplificando, llegamos a: 2 A1 2 j j0 2 A · 1 mp v E c· ˆ c (3.70) Utilizando de nuevo las relaciones indicadas en (3.67), obtenemos: 2 A1 2 0j j0 2 A · 1 mp E c· ˆ cv (3.71)
Capítulo 3: Método de mínima varianza 49 Para la varianza, partimos de (3.60) adaptada a esta versión: 2·A 1 2 1 2 m mA · mp mp var c ˆ c (3.72) La expresión general para las derivas primeras de ˆ c : mA A1 2 j j0 A 1 A 1 2 m A m A j j j A j A m j 0 j 0 12 mA1 2 2· j j0 mA A2 j j0 v m A, A 1,···, 1 2· v v v · v 2·v · v · v v m 0,1,···,A 1 mp v v 2· v c 1 m A,2·A 1,···,2·A 1 (3.73) Sustituyendo las derivadas primeras de ˆ c y simplificando, nos queda: A1 22 j A j A j j0 22 A1 2 j j0 v v 2· v · mp 4· v var ˆ c (3.74) Si la señal de red es senoidal, se cumple que: 222 j A j A j v v 4·v ·c (3.75) Por lo que se llega a: 22 A1 2 j j0 1 2·c · mp 2v var ˆ c (3.76) Utilizando (3.67) nos queda: 22 A1 2 0j j0 1 2·c · mp 2v var ˆ c (3.77)
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia 50 3.6.4. Obtención de E( ˆ c ) y de Var( ˆ c ). Versión trifásica con una estimación por fase La expresión general para la estimación de ˆ c es: p p p 0 1 1 p a,b,c 2 p0 p a,b,c v ' · v ' v ' t2· v ' ˆ c (3.78) Comparando esta expresión con la correspondiente a la versión mp se observa que son equivalentes si se cambia el índice p por j, con A = 3. Por tanto, los resultados que se obtienen son: 2 2 p0 p a,b,c c· 1 tv Eˆ c (3.79) 22 2 p0 p a,b,c 1 2·c · t2v var ˆ c (3.80) 3.6.5. Obtención de E( ˆ c ) y de Var( ˆ c ). Versión trifásica con varias estimaciones por fase La expresión general para la estimación de ˆ c es p p p 0 1 1 jj j A1 2 p0j j 0 p a,b,c A1 v ' · v ' v ' j 0 p a,b,c tp 2· v ' ˆ c (3.81) Esta expresión es equivalente a la correspondiente para la versión mp en donde el número de estimaciones es 3·A, por tanto, los resultados que se obtienen son 2 A1 2 p0j j 0 p a,b,c 2 3·A · c· 1 tp v Eˆ c (3.82) 22 A1 2 p0j j 0 p a,b,c 1 2·c · t2v var ˆ c (3.83)
Capítulo 3: Método de mínima varianza 51 3.7. Referencias [3-1] R. M. Adelson, “Frequency Estimation from Few Measurements”, Digital Signal Processing, vol. 7, nº 1, pp. 47-54, 1997. [3-2] M. H. Hayes, Stastistical Digital Signal Processing and Modeling, Wiley, 1996. [3-3] A. López, J. C. Montaño, M. Castilla, J. Gutiérrez, M. D. Borrás y J. C. Bravo, “Power system frequency measurement under nonstationary situations”, IEEE Transactions on Power Delivery, vol. 23, nº 2, pp. 562-567, 2008. [3-4] A. López, J. C. Montaño, M. Castilla, J. Gutiérrez, M. D. Borrás, and J. C. Bravo, “Instantaneous linefrequency measurement under nonstationary situations”, Proc. 21st IEEE Instrum. Meas. Technol. Conf. IMTC/04, vol. 2, no. May, pp. 941–944, 2004. [3-5] R. Witte y J. Witte, Statistics, 9 ed., Wiley, 2010.
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia 58 4.1.4. FO-Wavelet-m Este método utiliza, como filtros ortogonales, una wavelet madre de tipo polinómica [4-9], [4-10], [4-11]. Estos filtros tienen la ventaja de tener casi el mismo valor en el módulo de la ganancia en todo el rango de variación de la frecuencia y presentar un lóbulo secundario muy reducido. La descripción matemática de la respuesta impulsiva y la respuesta en frecuencia de estos filtros vienen dadas por la ecuación (4-19) y la Figura 4-5, respectivamente. 0 7 8 9 t j· · a ·t ·t ·t 1a a a h t · ·e ·u t 240 960 8640 a (4-19) Con 0 0N 2· , 2· y a 3 . Figura 4-5. Módulo de la ganancia de los filtros wavelet tipo polinómica. Esto significa que no es necesario corregir la ganancia de los filtros y que el efecto de los armónicos de la señal cuando la frecuencia es distinta a su valor nominal va a ser muy pequeño. Este hecho garantiza que ambas componentes ortogonales tengan la misma amplitud d s r 1 r 1 s r c s r 1 r 1 s r v t H ·V·sen ·t H v t H ·V·cos ·t H (4-20)
Capítulo 4: Método de los filtros ortogonales 59 Por tanto, la división de una entre otra nos permite obtener la fase instantánea del armónico fundamental d c vt t atan vt (4-21) de modo que la frecuencia puede calcularse considerando la diferencia de fase en dos instantes distintos. s rs t t T f2· ·T (4-22) El algoritmo de cálculo correspondiente se indica en la Figura 4-6 Figura 4-6. Algoritmo de medida de la frecuencia. Método wavelet. Ahora no sería necesario realizar ni el prefiltrado ni el postfiltrado. 4.2. Versiones trifásicas Las distintas versiones vistas en el apartado anterior pueden generalizarse para un sistema trifásico. Para ello, se ha cambiado la tensión de red por una tensión de referencia representativa del sistema trifásico. La solución más simple es tomar la componente α del vector de espacio en el marco de referencia estático αβ [4-12], descrita por la ecuación (4-23). A partir de esta, se calcula la frecuencia igual que en las versiones monofásicas. La Figura 4-7 describe, de forma general, este proceso. a b c 2 1 1 v t · v t ·v t ·v t 3 2 2 (4-23) Figura 4-7. Esquema general de las versiones trifásicas.
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia 60 4.3. Apéndices 4.3.1. Filtros seno y coseno Expresión matemática de los coeficientes de los filtros s c n n 2· ·n h sen n 0,1,...,N 1 NN 2· ·n h cos NN (4-24) Expresión matemática de la ganancia s s s c ·f· N 1 i· fN s s s N ss ·f· N 1 i· fN s s s N ss ·f ·N·f ·f i·2·e ·sen ·sen ·cos f f f Hf 2· ·f 2· ·f cos cos ff ·f ·N·f ·f 2·e ·cos ·sen ·sen f f f Hf 2· ·f 2· ·f cos cos ff (4-25) 4.3.2. Obtención de la expresión de fr en el dominio del tiempo discreto (método de Moore) n n 1 n n 1 n n 1 n n 1 ss n n n n n2 2 2 2 nn n n 1 n n 1 n n 1 n n 1 22 sn n 1 n n 1 d d c c c c d d d c c d rdc d d c c c d d c d d c c v v v v v v v v ·· 2 T 2 T v ·v v ·v f2· · v v v v v v 2· · 22 2 v ·v v ·v ·T v v v v (4-26) En este resultado hay una doble aproximación, la asociada al cálculo de la derivada y la consideración de que la frecuencia en el instante n·Ts es la misma que en el instante [(n+(n-1))/2]·Ts. El error cometido, disminuye al disminuir Ts (aumentar la frecuencia de muestreo). 4.3.3. Desarrollo de la ecuación (4-10) Sustituyendo vd y vc por sus expresiones (ecuaciones (4-2) y (4-3)), obtenemos sen ns cos ·n·T ·sen · n 1 ·T ·n·T ·cos · n 1 ·T r s 1 r s 1 r s 1 r s 1 22 sen ·n·T sen · n 1 ·T cos ·n·T cos · n 1 ·T r s 1 r s 1 r s 1 r s 1 r2 f·T (4-27)
Capítulo 4: Método de los filtros ortogonales 61 Para simplificar las expresiones, utilizamos las siguientes igualdades n r s 1 r s n r s 1 r s S sen ·n·T S sen ·T C cos ·n·T C cos ·T (4-28) Utilizando los teoremas de la diferencia de ángulos, desarrollamos la ecuación (4-27) y simplificamos n n n n n n n22 sn n n n n n 2 2 2 2 2 2 sTs Ts Ts Ts Ts Ts 2 2 2 2 2 2 Ts Ts Ts Ts Ts Ts ss rC · S ·C C ·S S · C ·C S ·S 2 f·T S S ·C C ·S C C ·C S ·S 2S ·T S S ·C C ·S 2·S ·C 2·S·C·S 2·S·C·S ·C C C ·C S ·S 2·C ·C 2·S·C·S 2·S·C·S ·C 2 S 1 ·T 2 2·C ·T rs rs sen ·T 1 cos ·T Reemplazando sen(ωr·Ts) por los dos primeros términos de su desarrollo en serie de Taylor, obtenemos 2 3 2 rs r nrs r 4· ·f ·T 2·f 3 f1 cos 2· ·f·T (4-29) 4.3.4. Obtención de la expresión de fr en el dominio del tiempo discreto (método de Sidhu) Partimos de la relación existente entre la diferencia de fase y la frecuencia s r s t t T ·T (4-30) Utilizando algunas identidades trigonométricas, obtenemos rs 11 r s r s rs sen ·T ·T tan tan ·T tan cos ·T (4-31) Combinando adecuadamente vd y vc en los instantes t y t-Ts, obtenemos sen(ωr·Ts) y cos(ωr·Ts) r s c d s d c s r s d d s c c s sen ·T v t ·v t T v t ·v t T cos ·T v t ·v t T v t ·v t T (4-32) Con lo cual, llegamos finalmente a c d s d c s 1 rs d d s c c s v t ·v t T v t ·v t T 1 f tan 2· ·T v t ·v t T v t ·v t T (4-33)
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia 62 4.4. Referencias [4-1] P. J. Moore, R. D. Carranza and A. T. Johns, "A New Numeric Technique for High-Speed Evaluation of Power System Frequency," IEE Proccedings - Generation, Transmission and Distribution, vol. 141, no. 5, pp. 529-536, Septiembre 1994. [4-2] P. J. Moore, R. D. Carranza and A. T. Johns, "Model System Test on a New Numeric Method of Power System Frequency Measurement," IEEE Transactions on Power Delivery, vol. 11, no. 2, pp. 696-701, Abril 1996. [4-3] R. S. Esfandiari, Numerical Methods for Engineers and Scientists Using MATLAB, CRC Press, 2013. [4-4] T. Sidhu and M. Sachdev, "A Iterative Technique fos Fast and Accurate Measurement of Power System Frequency," IEEE Transactions on Power Delivery, vol. 13, no. 1, Enero 1998. [4-5] T. S. Sidhu, "Accurate Measurement of Power System Frequency Using a Digital Signal Processing Technique," IEEE Transactions on Instrumetation and Measurement, vol. 48, no. 1, Febrero 1999. [4-6] S. Das and T. Sidhu, "A Simple Synchrophasor Estimation Algorithm Considering IEEE Standard C37.118.1-2011 and Protection Requirements," IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, vol. 62, no. 10, Octubre 2013. [4-7] J. Szafran and W. Rebizant, "Power System Frequency Estimation," IEE Proccedings - Generation, Transmission and Distribution, vol. 145, no. 5, pp. 578-582, Septiembre 1998. [4-8] W. Rebizant, J. Szafran and A. Wiszniewski, Digital Signal Processing in Power System Protection and Control, Londres: Springer-Verlag, 2011. [4-9] T. Lin, M. Tsuji and E. Yamada, "A Wavelet Approach to Real Time Estimation of Power System Frequency," in Society of Instrument and Control Engineers Annual Conference, Nagoya, 2001. [4-10] M. Tsuji, S. Hamasaki, H. Uemura and E. Yamada, "Online Frequency Estimation using Power Series Type Wavelet Transform," IEEJ Transactions on Industry Applications, vol. 126, no. 5, pp. 646-652, 2006. [4-11] S. Hamasaki, M. Tsuji and K. H. a. J. Yano, "Applications of The Power Series Type Wavelet Transform for Real-time Analysis," in International Conference on Electrical Machines and Systems, Tokio, 2009. [4-12] Y. F. Wang and Y. W. Li, "Analysis and Digital Implementation of Cascaded Delayed-Signal- Cancellation PLL," IEEE Transactions on Power Electronics, vol. 26, no. 4, pp. 1067-1080, Abril 2011.
Capítulo 5 : Método PLL 63 5. Método PLL El método general PLL (Phase Locked Loop) emplea un “lazo de sincronismo de fase” para estimar la frecuencia. El PLL es un sistema de control realimentado que permite obtener, a partir de una señal periódica, una señal sinusoidal, de amplitud unitaria, sincronizada con su armónico fundamental, y por tanto, con la misma frecuencia y fase que dicha señal. El cálculo de la frecuencia es parte del proceso de generación de la señal síncrona. Normalmente, como señal de entrada al PLL se utiliza la tensión de la red, al estar menos distorsionada que la corriente. Del PLL existen diversas versiones, tanto para aplicaciones monofásicas como para aplicaciones trifásicas. A continuación, se comentarán las más significativas de ambos grupos. 5.1. Versiones monofásicas Utilizan como señal de referencia una sola fase de la tensión de red. En su versión básica, consta de una unidad de detección de error de fase (PD), un filtro de lazo (LF) y un oscilador controlado por tensión (VCO) conectados según se indica en el diagrama de bloques de la Figura 5-1. Figura 5-1. Diagrama de bloques del PLL básico. vi(t) es la señal de entrada, vo(t) la señal de salida y vo┴(t) es vo(t) desfasada (retrasada) 90°. Para las explicaciones que siguen vamos a suponer que la señal de entrada y la de salida vienen descritas por la ecuación (5-1) y (5-2) respectivamente. t i i i i i i 0 v t V·sen t ,, t ·d + 0 (5-1) t o o o o o 0 v t sen t ,, t ·d + 0 (5-2) ωi(t) y ωo(t) son la frecuencia angular de vi(t) y vo(t), respectivamente. El funcionamiento de cada bloque es el siguiente: - PD compara la señal de entrada, vi(t), con la señal de salida, vo(t), y produce una señal, vd(t), proporcional al desfase entre ambas (ϕe(t) = ϕi(t) – ϕo(t)) d d e v t K · t (5-3) Kd es la ganancia del PD. - LF es un controlador PI, cuyo objetivo es conseguir que la fase de salida siga, con una determinada exactitud, los cambios que se produzcan en la fase de entrada, con un tiempo de respuesta y comportamiento transitorio adecuado y a la vez, que se lleve a cabo una apropiada atenuación de las
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia 64 distorsiones de la señal de entrada (ruido, armónicos, transitorios, …) [5-1]. La descripción matemática de la señal a la salida del LF, Δωo(t) es t o p d i d 0 t K ·v t K· v ·d (5-4) Kp es la ganancia de la rama proporcional y Ki la ganancia de la rama integral. - VCO genera una señal sinusoidal, vo(t), cuya frecuencia angular, ωo(t), es igual a la suma de la señal de entrada al VCO, Δωo(t) y la frecuencia nominal de la red, ωN, de modo que o N o tt (5-5) El funcionamiento del sistema completo es el siguiente. Si la frecuencia de la señal de entrada, ωi, es igual a la frecuencia central del oscilador, ωN, y este opera a esa frecuencia, el error de fase, ϕe, es cero, la salida del detector de fase, vd, también es cero y la salida del filtro de lazo, Δωo, será igual a cero, por tanto, el VCO mantendrá su frecuencia de oscilación en ωN, estando el sistema en equilibrio y la salida sincronizada con la entrada. En cambio, si la frecuencia de la señal de entrada al PLL, ωi, es mayor que ωN, el error de fase, ϕe, aumentará con el tiempo, vd también lo hará y ωf aumentará con respecto a cero, de modo que, la frecuencia a la salida del oscilador aumentará, reduciendo el error de fase. Después de un tiempo de establecimiento, el VCO oscilará a la misma frecuencia que la señal de entrada y estará sincronizada con esta. En el caso de que, inicialmente, ωi fuese menor que ωN, el oscilador disminuirá su frecuencia e igualmente, acabará oscilando a la misma frecuencia que la señal de entrada. De igual forma, si la frecuencia de la señal de entrada varía, la frecuencia de la señal de salida del oscilador, seguirá dicha variación, estando ambas señales sincronizadas en frecuencia y fase. Dependiendo de cómo se implemente cada uno de los bloques que forman la estructura del PLL o de los bloques adicionales que se añadan a la estructura básica, tendremos distintas versiones. En ingeniería eléctrica, las más utilizadas son: PLL estándar (PLLstd) PLL con integrador generalizado de segundo orden (SOGI-PLL) PLL mejorado pseudolineal (PL-EPLL) A continuación, se comenta cada uno de estos casos. 5.1.1. PLLstd Es la manera más simple de implementar el PLL, pero también la que da lugar a mayores errores en cálculo de la frecuencia. El PD consiste en un multiplicador de la señal de referencia y la señal de salida. El LF es un controlador PI y el VCO consta de un integrador seguido de una función trigonométrica [5-1]. La Figura 5-2 describe la estructura de este PLL. Obsérvese que, para mejorar la estimación de la frecuencia, ωr, cuando la señal de entrada presenta ruido o esta distorsionada, se ha tomado un punto en el que no tiene efecto la rama proporcional del controlador PI (interceptación de la frecuencia en la rama integral [5-1] y se ha pasado el término ωN al LF. Si sólo estamos interesados en la estimación de la frecuencia, el bloque que realiza la función seno puede ser omitido.
Capítulo 5 : Método PLL 65 Figura 5-2. Estructura PLL estándar. En esta versión del PLL, el error de sincronización es debido al comportamiento no ideal del detector de fase, de modo que vd no es, exactamente, una señal proporcional al desfase entre la señal de entrada y la de salida ni tampoco depende, exclusivamente, de ese desfase. Esto puede comprobarse matemáticamente 1 . Si las señales de entrada y salida vienen dadas por las expresiones: i i i oo v V·sen v cos (5-6) La salida del PD se expresa según: ii d i o i o VV v ·sen ·sen 22 (5-7) Esta señal consta de dos términos: uno de baja frecuencia (sen(ϕi-ϕo)) y otro de alta frecuencia (sen(ϕi+ϕo)). El primero de ellos está relacionado con la diferencia de fase entre la señal de entrada y de salida, ϕe, pero también con la amplitud de la señal de entrada. El segundo, es un término no deseado cuya frecuencia es, aproximadamente, el doble de la frecuencia de red (rizado de frecuencia doble) y también depende de la amplitud de la señal de entrada. Finalmente, la señal vd, no varía linealmente con ϕe sino que están relacionadas a través de una función seno. En el caso de que el PLL se encuentre sincronizado, esto no tendrá un efecto importante puesto ϕe estará muy próximo a cero y la función seno se aproximará muy bien a una función lineal. Obsérvese que en esta versión del PLL, cuando la salida está sincronizada con la entrada, existe un desfase de 90° entre ambas. Las ecuaciones diferenciales que describen al PLL estándar son r1 i o oN r 0 i o h ·v·cos h ·v·cos (5-8) Esto se corresponde con un sistema de segundo orden con características de filtro paso bajo [5-1]. Los coeficientes h0 y h1 se calculan buscando una solución de compromiso entre la respuesta transitoria y el error en estado estacionario. Considerando el comportamiento dinámico más adecuado, el caso con factor de amortiguamiento igual a 1/√2 [5-2], con un error en estado estacionario aceptable (frecuencia de corte aproximadamente 2·ωN/5), se llega a los valores h0=400/Vi y h1=40000/Vi. Obsérvese que el valor de estos parámetros depende de la amplitud de la señal de entrada. 1 Para mejorar la legibilidad de las ecuaciones, se omite la referencia a la dependencia del tiempo en las variables.
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia 66 5.1.2. SOGI-PLL Una manera de minimizar los errores debidos a la componente de frecuencia doble consiste en modificar el detector de fase, de modo que, a partir de la señal monofásica de entrada, se generen dos señales en cuadratura. Una de ellas, vα, en fase con la señal de entrada y la otra, vβ, ortogonal a la primera (retrasada 90°). Estas señales se combinan adecuadamente con la señal de salida, vo, y su versión ortogonal, vo┴, para dar una señal en la que desaparece el término de frecuencia doble. La Figura 5-3 muestra la estructura correspondiente este tipo de PLL (PLL con generación de señal en cuadratura, QSG-PLL) [5-2]. Figura 5-3. Estructura del QSG-PLL Obsérvese que para la generación de estas señales en cuadratura es necesaria la información de la frecuencia de la señal. Matemáticamente puede comprobarse la desaparición del término de frecuencia doble d i i o i o o i i o v V·sen ·cos V·cos ·sen V·sen (5-9) No obstante, sigue quedando la dependencia con la amplitud de la señal de entrada. Para la generación de las señales en cuadratura existen varias posibilidades [5-2] entre las que destaca la basada en el integrador generalizado de 2º orden (SOGI) por su sencillez y robustez frente a las variaciones de frecuencia y distorsión de la señal de entrada [5-1], [5-3] y [5-4]. El SOGI consiste en dos integradores en una configuración realimentada [5-5] [5-6]. La Figura 5-4 muestra el diagrama de bloques correspondiente. Figura 5-4. Diagrama de bloques del integrador generalizado de segundo orden (SOGI).
Capítulo 5 : Método PLL 67 Se observa que para la generación de las señales ortogonales es necesario el valor de la frecuencia de la señal de entrada. En su lugar se utiliza la propia frecuencia estimada por el PLL, llegándose, finalmente, a la estructura del SOGI-PLL (Figura 5-5): Figura 5-5. Estructura del SOGI-PLL La variable vd es la salida del detector de fase, no la componente directa en el marco de referencia síncrono (se corresponde con la componente q en dicho marco). Las ecuaciones diferenciales que describen a esta versión PLL son N r i r r 1 o o oN r 0 d v · k· v v v v ·v h · cos ·v sen ·v h ·v (5-10) El bloque QSG se comporta como un sistema de 2º orden [5-2]. Para obtener una relación óptima entre el tiempo de respuesta y el sobredisparo, se toma k=√2. Los valores de h0 y h1 se consideran igual que los del PLL estándar. 5.1.3. PL-EPLL Esta versión nos permite minimizar tanto el efecto de la componente de frecuencia doble como el efecto de la amplitud de entrada. El diagrama de bloques correspondiente se muestra en la Figura 5-6 [5-1]. Ahora, además del lazo para la estimación de la fase de entrada, ϕo, hay otro lazo para la estimación de la amplitud de entrada, Vo. A partir de ambas estimaciones se generan dos señales, una en fase con la señal de entrada y con su misma amplitud, vo, y otra desfasada 90° y con amplitud unidad, vo┴. Restando vo(t) de vi(t) se obtiene la entrada a ambos lazos, ve. Además, el detector de fase se ha modificado añadiéndole la división por Vo. A la salida de este, vd, sólo depende del desfase entre la entrada y la salida.
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia 74 5.3. Apéndices 5.3.1. Salida del detector de fase para el SRF-PLL con sistema trifásico equilibrado. T d abc o i i o i i o i i o ii o i o i o i o i o i o i 2· 2· 2· 2· v vi ·C V·sen ·cos V·sen ·cos V·sen ·cos 3 3 3 3 V2· 2· · sen sen sen sen sen sen 2 3 3 V· 3·sen 2 i i o i o i o i o i o 3·V 2· 2· sen sen sen ·sen 3 3 2 5.3.2. Salida del detector de fase para el SRF-PLL con sistema trifásico desequilibrado. TT T1 i1 2 i2 0 i0 d 0 i0 1 i1 2 i2 0 i0 1 i1 2 i2 V·sen V ·sen V ·sen 2· 2· v V ·sen V·sen V ·sen · 33 V ·sen 2· 2· V·sen V ·sen 33 o o o 0 i0 o 0 i0 o 0 i0 o 1 i1 o 1 i1 o 1 i1 cos 2· cos 3 2· cos 3 2· 2· V ·sen ·cos V ·sen ·cos V ·sen ·cos 33 2· 2· 2· V·sen ·cos V·sen ·cos V·sen 3 3 3 o 2 i2 o 1 i2 o 2 i2 o 0i0 o i0 o i0 o i0 o i0 o 2· ·cos 3 2· 2· 2· 2· V ·sen ·cos V·sen ·cos V ·sen ·cos 3 3 3 3 V2· 2· 2· · sen sen sen sen sen 2 3 3 3 i0 o 1i1 o i1 o i1 o i1 o i1 o i1 o 2i2 o i2 o i2 o i2 o i2 o 2· sen 3 V2· 2· · sen sen sen sen sen sen 2 3 3 V2· 2· · sen sen sen sen sen sen 2 3 3 i2 o 12 i1 o i2 o 3·V 3·V ·sen ·sen 22
Capítulo 5 : Método PLL 75 5.3.3. Salida del detector de fase para el 3EPLL-I con sistema trifásico desequilibrado. 5.3.4. Ecuaciones del 3EPLL-I en el marco de referencia estático αβ. 5.3.4.1. Desarrollo del término T o abc S ·ve T T o abc o o o o o o o o o 10 2· 2· 1 3 S ·ve sen sen sen · ·ve 3 3 2 2 13 22 2· 2· 2· 2· sen sen 3·sen 3·sen 3 3 3 3 sen ·ve 2 2 2 2 sen se oo oo T o o 2 o 3·sen 3·cos 2· 2· n ·cos 3·cos ·sen 3 3 2 2 33 · sen cos ·S 22 0 i0 1 i1 2 i2 o o To o o o abc d 0 i0 1 i1 2 i2 o o oo 0 i0 1 i1 V ·sen V ·sen V ·sen V ·sen 2· 2· cos cos cos C ·ve 33 2· 2· 2· v · V ·sen V ·sen V ·sen V ·sen V V 3 3 3 2· V ·sen V ·sen 3 2 i2 0 0 012 i0 o i0 o i1 o i1 o i2 o i2 o o o o o 2· 2· V ·sen V ·sen 33 VVV · sen sen · sen sen · sen sen sen 2· 2·V 2·V 2·V 012 i0 o i0 o i1 o i1 o i2 o i2 o o o o o 0i0 o i0 o o VVV 2· 2· 2· 2· 2· · sen sen · sen sen · sen sen sen 2· 2·V 3 3 2·V 3 2·V 3 3 V2· · sen sen 2·V 3 12 i1 o i1 o i2 o i2 o o oo VV 2· 2· 2· 2· · sen sen · sen sen sen 2· 3 2·V 3 2·V 3 3 12 i1 o i2 o oo 3·V 3·V ·sen ·sen 2·V 2·V
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia 76 5.3.4.2. Desarrollo del término T o abc C ·ve T T o abc o o o o o o o o o 10 2· 2· 1 3 C ·ve cos cos cos · ·ve 3 3 2 2 13 22 2· 2· 2· 2· cos cos 3·cos 3·cos 3 3 3 3 cos ·ve 2 2 2 2 cos co oo oo T o o 2 o 3·sen 3·sen 2· 2· s ·cos 3·sen ·sen 3 3 2 2 33 · cos sen ·C 22 5.3.5. Salida del detector de fase para el 3EPLL-II con sistema trifásico desequilibrado. 0 i0 1 i1 2 i2 o1 o1 o2 o2 o1 o1 o1 d1 0 i0 1 i1 2 i2 o1 o1 o2 o2 o1 V ·sen V ·sen V ·sen V ·sen V ·sen 2· 2· cos cos cos 33 2· 2· 2· 2· v · V ·sen V ·sen V ·sen V ·sen V ·sen V 3 3 3 3 0 i0 1 i1 2 i2 o1 o1 o2 02 012 i0 o1 i0 o1 i1 o1 i1 o1 i2 o o1 o1 o1 2· 2· 2· 2· V ·sen V ·sen V ·sen V ·sen V ·sen 3 3 3 3 VVV · sen sen · sen sen · sen 2·V 2·V 2·V 1 i2 o1 02 o1 o2 o1 o2 o1 o1 012 i0 o1 i0 o1 i1 o1 i1 o1 i2 o1 o1 o1 o1 sen V 1·sen 2· · sen sen 2 2·V VVV 2· 2· 2· 2· · sen sen · sen sen · sen 2·V 3 3 2·V 3 2·V 3 i2 o1 02 o1 o2 o1 o2 o1 o1 012 i0 o1 i0 o1 i1 o1 i1 o1 o1 o1 sen V 1 2· 2· ·sen 2· · sen sen 2 3 2·V 3 VVV 2· 2· 2· · sen sen · sen sen 2·V 3 3 2·V 3 2· i2 o1 i2 o1 o1 02 02 12 o1 o2 o1 o2 o1 i1 o1 i2 o1 o2 o1 o1 o1 o1 o1 2· · sen sen V3 V 3·V 3·V 3·V 1 2· 2· ·sen 2· · sen sen ·sen ·sen ·sen 2 3 2·V 3 2·V 2·V 2·V
Capítulo 5 : Método PLL 77 5.4. Referencias [5-1] M. Karimi-Ghartemani, Enhanced Phase-Locked Loop Structures for Power and Energy Applications, Hoboken, New Jersey: Wiley-IEEE Press, 2014. [5-2] R. Teodorescu, M. Liserre and P. Rodríguez, Grid converters for photovoltaic and wind power systems, Chichester: Wiley, 2011. [5-3] M. Ciobotaru, R. Teodorescu and F. Blaabjerg, "A New Single-Phase PLL Structure Based on Second Order Generalized Integrator," in Power Electronics Specialists Conference, Jeju, 2006. [5-4] L. Coluccio, A. Eisinberg, G. Fedele, C. Picardi and D. Sgro, "Modulating functions method plus SOGI scheme for signal tracking," in IEEE International Symposium on Industrial Electronics, Cambridge, 2008. [5-5] B. Burger and A. Engler, "Fast Signal Conditioning in Single Phase Systems," in 9th European Conference on Power Electronics and Applications, Graz, 2001. [5-6] X. Yuan, W. Merk, H. Stemmler and J. Allmeling, "Stationary-frame generalized integrators for current control of active power filters with zero steady-state error for current harmonics of concern under unbalanced and distorted operating conditions," IEEE Transactions on Industry Applications, vol. 38, no. 2, pp. 523 - 532, 2002.
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Capítulo 6: Resultados de simulación 79 6. Resultados de simulación En este capítulo se muestran los resultados obtenidos al procesar las señales de prueba, almacenadas en fichero, por los distintos métodos de medida de la frecuencia, desde un ordenador personal que ejecuta una herramienta matemática de alto nivel (Mathcad). Las señales están almacenadas en fichero con formato punto flotante de doble precisión. Los métodos de medida han sido creados en hojas de trabajo para su ejecución por parte de Mathcad. Se han realizado todas las versiones de los métodos de medida desarrolladas en capítulos anteriores (tanto monofásicas como trifásicas) y se han procesado todas las señales de prueba, con sus distintos casos, presentadas en el capítulo correspondiente. Esto permite realizar una comparación objetiva de dichos métodos, a la vez que realista, al tratarse de señales propuestas por la normativa internacional IEC 61000 como representativas de las distintas perturbaciones electromagnéticas consideradas (perturbaciones conducidas de baja frecuencia). Las gráficas de los resultados obtenidos se recogen en el Anexo A. En aquellos métodos y para aquellas señales de prueba para las que ha sido posible, se ha diferenciado entre la componente del error debida al método de medida (señal sin perturbación) y la componente del error asociada a la perturbación considerada. Además, cuando se ha observado una variación lineal de esta componente con el parámetro característico de la perturbación, el resultado se ha expresado de forma normalizada con respecto a dicho parámetro. Esto permite calcular el error que tendría lugar para casos de la señal de prueba con valores distintos a los considerados. Finalmente, se ha estudiado el efecto, sobre los resultados, del ruido superpuesto a las señales de prueba, la resolución de las muestras y la frecuencia de muestreo. 6.1. Resultados de simulación con los métodos trifásicos Para facilitar la interpretación de los resultados, se ha representado gráficamente, por un lado, el error absoluto del cálculo de la frecuencia frente al tiempo, y por otro, el error frente al parámetro que caracteriza a cada señal de prueba. En el Anexo A se recogen todas estas gráficas. En la Tabla 6-1 aparece el máximo del error absoluto para cada una de las señales de prueba y cada uno de los métodos. Para la mayoría de las señales, el error está expresado en Hz, salvo para las señales BFD que está normalizado respecto al nivel del pseudoarmónico correspondiente (Hz/(%VrmsN)), para las señales DT que está normalizado respecto al factor de desequilibrio inverso, ku2 (Hz/%) y para las señales VF que está normalizado a la velocidad de cambio de la frecuencia (Hz/(Hz/s)). Así mismo, el efecto específico de cada perturbación se ha indicado en negrita con objeto de distinguirlo frente al error al error en ausencia de perturbación. A continuación, se comentan los resultados obtenidos con cada señal de prueba. 6.1.1. Desviación de frecuencia (DF) Para los métodos de los filtros ortogonales (FO), el error sólo es despreciable (inferior a 1 μHz) para el método de FO- Szafrant. Para el método de FO-Moore, el error presenta un error de offset que aumenta ligeramente y de forma lineal, al aumentar la frecuencia de la señal (2.4 10-7 Hz/Hz), por tanto, el error máximo se produce para el caso df51.0Hz. Para la frecuencia de 50 Hz dicho offset es de 2.4 μHz. Este efecto es causado por las aproximaciones utilizadas en el método. Este resultado indica la existencia de un error sistemático debido al método de medida, de modo que aparecerá en todas las demás señales de prueba. Dado que su valor es muy pequeño, no tendrá un peso significativo para el resto de señales. Para el método de FO-Sidhu, el error es despreciable sólo para la señal de 50 Hz, para el resto de casos de desviación de frecuencia, el error tiene un comportamiento periódico en torno a 0 Hz, de frecuencia doble a la de la señal de prueba, no apreciándose ningún comportamiento sistemático al cambiar la frecuencia. Su valor máximo es de 0.37 mHz. Esto es
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia 80 debido a la resolución con la que se tabulan los coeficientes de los filtros. Para el método de FO-Wavelet, tenemos un comportamiento senoidal del error, con una frecuencia doble a la de la señal de prueba. Su amplitud disminuye al aumentar la frecuencia (caso con mayor error df49.0Hz). A la frecuencia de 50 Hz la amplitud del error es de 3.0 mHz, siendo el error máximo de 3.1 mHz. Este resultado indica la existencia de un error sistemático debido al método de medida, de modo que aparecerá en todas las demás señales de prueba. A este efecto le denominamos error residual periódico (Eares). Se debe a que el módulo de la ganancia de los filtros ortogonales usados no es idéntico en el rango de frecuencias considerado. Con otras señales de prueba, este efecto debe ser tenido en cuenta para evaluar el efecto específico de la señal correspondiente. Para todas las versiones de los métodos MV y PLL el error es despreciable. 6.1.2. Desviación de amplitud (DA) La desviación de la amplitud de las señales de red no tiene ningún efecto en los resultados obtenidos con los distintos métodos de medida de la frecuencia. El error es despreciable en los métodos FO-Sidhu y FO-Szafrant. En el método de FO-Moore y de FO-Wavelet, sólo aparecen los errores sistemáticos comentados en el apartado anterior. Para todas las versiones de los métodos MV y PLL el error es despreciable. 6.1.3. Distorsión armónica-barrido de frecuencias digital (BFD) Para evaluar mejor el efecto de cada pseudoarmónico, se ha normalizado el error al nivel de cada uno de ellos, de modo que sus unidades serán Hz/(%VrmsN) (se expresará de forma abreviada como Hz/%). Para comprender mejor el efecto de cada método, se ha considerado el efecto de los armónicos por una parte y el de los interarmónicos por otra. En este segundo caso, se ha distinguido entre los interarmónicos entre 0 y 100 Hz y los comprendidos entre 100 y 2000 Hz. El efecto de los armónicos en casi todos los métodos FO es despreciable, salvo en FO-Sidhu para los armónicos 17 y 31 (850 y 1550 Hz, respectivamente) y FO-Wavelet con el 2º armónico (aunque su valor es inferior al error residual periódico). Para los métodos MV, el error es despreciable en todos los armónicos impares. En la versión MV-t, el error también es despreciable para los pares no múltiplos de 3. Para el resto de armónicos (múltiplos de 6 en la versión MV-t y pares en la versión MV-tp-3) ambos llegan hasta las decenas de mHz/%. En el caso de los métodos PLL, el error es despreciable sólo para los armónicos múltiplos de tres. Para el resto, su valor llega hasta las decenas de mHz/%, disminuyendo su valor a medida que aumenta su orden. Los interarmónicos entre 0 Hz y 100 Hz provocan un error máximo de decenas de mHz/% (FO-Wavelet) o centenas de mHz/% (FO-Moore, FO-Sidhu y FO-Szafrant). Con los métodos MV y PLL se obtienen resultados del mismo orden que con la mayoría de los métodos FO, aunque algo mejores. Los interarmónicos por encima de 100 Hz provocan un error máximo de décimas de mHz/% (FO-Moore, FO-Szafrant y FO-Wavelet) o centenas de mHz/% (FO-Sidhu). Con los métodos MV y PLL se obtienen resultados del orden de las decenas mHz/%. 6.1.4. Distorsión armónica-curva plana (CP) En aquellas versiones de los métodos en los que este tipo de señal tiene efecto, el error aumenta con el nivel de distorsión de la señal de prueba, siendo mayor para el caso cp0.80. El comportamiento del error para cada uno de estos métodos se puede justificar al analizar los resultados con la señal
Capítulo 6: Resultados de simulación 81 barrido de frecuencia digital. Dado que la curva plana se caracteriza por tener únicamente armónicos, no interarmónicos, y de tipo impar, para el método de FO-Szafrant el error será despreciable, para los de FO-Moore y FO-Wavelet será igual a sus respectivos efectos sistemáticos y para el método de FO-Sidhu similar al obtenido con la señal BFD para el armónico 17. Para los métodos MV el error es despreciable y con los métodos PLL el error es del orden de las decenas de mHz para todas las versiones, aunque algo mayor para el método de SRF-PLL que para las otras versiones del método que tienen un resultado muy similar. 6.1.5. Distorsión armónica-curva de oscilación (CO) De nuevo, el error aumenta con el nivel de distorsión de la señal de prueba, siendo mayor para el caso co8%6%. Al igual que con la señal curva plana, el comportamiento del error para cada uno de estos métodos se explica al analizar los resultados con la señal barrido de frecuencia digital. Ahora, en la señal de prueba sólo aparecen los armónicos 3 y 5 (impares y uno de ellos múltiplo de 3), por tanto, los resultados con los métodos FO y MV serán idénticos a los obtenidos para la curva plana (salvo para el método de FO- Sidhu. Para los métodos PLL el error es debido exclusivamente al 5º armónico, siendo su valor del orden de las decenas de mHz y mayor para SRF-PLL que para las otras versiones del método que tienen un resultado muy similar. 6.1.6. Desequilibrio de tensión (DT) A los métodos FO y MV no le afecta el desequilibrio de las señales trifásicas por lo que los resultados son idénticos al de las señales de prueba DA, CP y CO. Para los métodos PLL, el desequilibrio influye en las versiones SRF-PLL y 3EPLL-Iabc (variación lineal con el factor de desequilibrio inverso, ku2) siendo del orden de las decenas de mHz/% en ambos casos. No hay efecto en la 3EPLL-IIabc puesto que esta versión ha sido diseñada con ese objetivo. 6.1.7. Fluctuación de tensión (FT) En los métodos en los que el error es significativo, hay un comportamiento transitorio cuando cambia el valor eficaz de las señales. Ese efecto desaparece varios ciclos después de finalizado el cambio. El valor del error depende de la altura del escalón. La tensión eficaz inicial influye solo ligeramente. En los métodos FO el error máximo va desde los mHz (FO-Wavelet, 7 ciclos), pasando por las decenas de mHz (FO- Szafrant, 3 ciclos) hasta las centenas de mHz (FO-Moore, 3 ciclos y FO-Sidhu, 1 ciclo). En los métodos MV es despreciable y para los métodos PLL sólo es importante para 3EPL-IIabc (decenas mHz, 3 ciclos). 6.1.8. Hueco de tensión (HT) En todos los casos estudiados se produce un comportamiento transitorio cuando cambia el valor eficaz de las señales (comienzo y final del hueco), siendo mayor el error para los casos con menor tensión residual, Vrmsres. Dado que los huecos de tipo B y C llevan asociado desequilibrio de tensión, también habrá error mientras dura el hueco en aquellos métodos a los que le afecte el desequilibrio. El punto de onda inicial, no tiene un efecto significativo en casi ninguno los métodos. El error se extingue varios ciclos después de finalizado el cambio en el valor eficaz. Los métodos FO se ven afectados por los tres tipos de hueco. Los huecos tipo A y B provocan grandes errores, siendo los errores ligeramente menores para los de tipo B que para los de tipo A. El error máximo va desde las centenas de mHz (FO- Wavelet, 9 ciclos de extinción) hasta los Hz (resto de métodos). Los métodos MV no se ven afectados por los huecos tipo A, siendo los errores algo mayores para los de tipo B que para los de tipo C (del orden de las centenas de mHz). El efecto
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia 82 del error no se extingue hasta 1.5 ciclos después de finalizado el hueco. En los métodos PLL, para las versiones SRF-PLL y 3EPLL-Iabc, los huecos tipo A no provocan error, para los huecos tipo B y C hay error mientras dura el hueco. Para el método 3EPLL-IIabc los tres tipos de huecos provocan error en la estimación de la frecuencia. Para las tres versiones el error máximo llega hasta los Hz. El efecto del hueco llega hasta, aproximadamente, 7 ciclos después de finalizado. 6.1.9. Variación de frecuencia (VF) El error producido por este tipo de señal es debido, fundamentalmente, a la latencia del método de medida utilizado, por tanto, sólo tiene efecto mientras la frecuencia cambia, variando linealmente con la velocidad de cambio de la frecuencia (rate of change of frequency, rocof). Para comparar cuantitativamente el comportamiento de los distintos métodos con esta señal de prueba, se ha calculado el error máximo normalizado a la velocidad de cambio de la frecuencia (unidades Hz/(Hz/s)) Los métodos con menos error son los SRF-PLL y FO-Sidhu (1.1·10-2 y 1.2·10-2 Hz/(Hz/s), respectivamente) seguidos de MV- t, MV-tp-3, 3EPLL-IIabc y 3EPLL-Iabc (1.5·10-2 Hz/(Hz/s)) y los de mayor error son los de FO-Moore (3.2·10-2 Hz/(Hz/s)), FO-Szafrant (3.5·10-2 Hz/(Hz/s)) y FO-Wavelet (5.5·10-2 Hz/(Hz/s)).
Capítulo 6: Resultados de simulación 83 Tabla 6-1. Error máximo, sistema trifásico. Resultados de simulación. Desp. Error inferior a 10-6 Hz. Los valores en negrita indican el efecto específico de la señal de prueba correspondiente. 1 El error viene dado en Hz/(%VrmsN). 2 El error viene dado en Hz/(%). 3 El error viene dado en Hz/(Hz/s). VF3 HT FT DT2 CO CP BFD1 DA DF Señales de prueba Error máximo (Hz) Interarm. 100-2000 Hz Interarm 0-100Hz Arm. 3.2·10-2 A > B > C 5.0·100 1.5·10-1 2.4·10-6 (Hz) 3.5·10-4 2.4·10-1 2.4·10-6 (Hz) 2.4·10-6 2.7·10-6 Moore FO Métodos de medida trifásicos 1.2·10-2 A > B > C 1.0·101 8.0·10-1 Desp. 8.6·10-6 5.7·10-1 4.9·10-1 7.8·10-5 Desp. 3.7·10-4 Sidhu 3.5·10-2 A > B > C 4.1·100 7.6·10-2 Desp. 8.2·10-4 2.0·10-1 Desp. Desp. Desp. Szafrant 5.5·10-2 A > B > C 3.0·10-3+2.2·10-1 3.0·10-3+1.1·10-3 3.0·10-3 (Hz) 3.0·10-3+4.9·10-4 (Hz) (Hz/%) 3.0·10-3+5.3·10-2 (Hz) (Hz/%) Arm. 2 3.0·10-3+7.7·10-4 (Hz) (Hz/%) 3.0·10-3 3.1·10-3 Wavelet 1.5·10-2 B > C 7.6·10-1 Desp. Desp. 3.6·10-2 1.2·10-1 Mult.6 3.2·10-3 Desp. Desp. MV-t MV 1.5·10-2 B > C 7.6·10-1 Desp. Desp. 3.6·10-2 1.2·10-1 Par 3.2·10-3 Desp. Desp. MV-tp-3 1.1·10-2 B > C 2.3·100 Desp. 4.7·10-2 8.6·10-2 6.6·10-2 4.8·10-2 1.4·10-1 No mult. 3 3.4·10-2 Desp. Desp. SRF PLL 1.5·10-2 B > C 1.6·100 Desp. 3.8·10-2 5.7·10-2 4.4·10-2 3.1·10-2 1.0·10-1 No mult. 3 2.3·10-2 Desp. Desp. Iabc 1.5·10-2 A > B > C 1.8·100 4.4·10-2 Desp. 5.6·10-2 4.3·10-2 2.9·10-2 1.1·10-1 No mult. 3 2.2·10-2 Desp. Desp. IIabc
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia 90 Figura 7-2. Realización física del montaje experimental. 7.1.1. Generadores de formas de onda arbitraria Por motivos técnicos, a la vez que económicos, para la creación física de las señales se ha optado por utilizar dos generadores de formas de ondas DG1062Z de Rigol, de 2 canales cada uno, los cuales han sido conectados y configurados para trabajar de forma síncrona y poder crear señales trifásicas. Las características más significativas, desde el punto de vista de las pruebas a realizar, son [7-1], [7-2]: Memoria para cada canal de 16 Mpuntos. 14 bits de resolución vertical. 2 canales independientes. Frecuencia de muestreo máxima de 200 Msa/s. Interface Host USB. Conector de Entrada/Salida de 10 MHz. Conector de disparo de entrada/salida.
Capítulo 7: Resultados experimentales 91 Figura 7-3. Generador de formas de onda arbitraria DG1062Z. 7.1.2. Tarjeta de desarrollo Se ha utilizado el kit eZdsp F28335 de Spectrum Digital, basada en el controlador digital de señal (DSC) TMS320F28335 de Texas Instruments. Las características principales del TMS320F28335 son [7-3], [7-4]: • Velocidad de operación de 150 MHz. • Arquitectura Harvard modificada. • Modelo de programación de memoria unificada. • CPU de punto fijo de 32 bits. • Unidad hardware de punto flotante de 32 bits. • Instrucciones de multiplicación y acumulación simultánea (MAC) de 16 y 32 bits. • Instrucción de repetición. • Segmentación de instrucciones. • Ejecución de la mayoría de las instrucciones en un ciclo de reloj (6.67 ns). • Alta velocidad de respuesta y procesamiento de interrupciones. • Convertidor analógico-digital de 12 bits con 16 canales de entrada. • Memoria SARAM interna de 64Kx16. • Memoria FLASH interna de 256Kx16. • Módulos PWM mejorados y de alta resolución. • Módulos de comunicación (SCI, SPI y I2C). • Controlador DMA de 6 canales. • Pines de entrada/salida de propósito general (GPIO). • Depuración en tiempo real vía hardware.
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia 92 La tarjeta de desarrollo incluye el TMS320F28335, memoria SRAM de 128Kx16, conectores de interface analógica y digital para acceder a los terminales del DSC y un controlador JTAG vía USB que permite la comunicación con un PC para la programación del DSC y la depuración del código que se está ejecutando en la tarjeta [7-5]. Figura 7-4. Tarjeta de desarrollo eZdsp F28335. Figura 7-5. Diagrama de bloques de la eZdsp F28335.
Capítulo 7: Resultados experimentales 93 7.1.3. Entorno de desarrollo Se ha utilizado el entorno de desarrollo integrado Code Composer Studio 6.1 (IDE CCS) de Texas Instruments. El IDE CSS permite la edición, carga y depuración del código que debe ejecutar el DSC [7-6]. Para ello, dispone de una interfaz gráfica que agiliza las tareas de edición de programa en lenguaje ensamblador y C, compilación, linkado y asociación de librerías necesarias. También dispone de una serie de herramientas para la depuración del código (creación de puntos de ruptura, visor de variables y registros, visor de memoria, representación gráfica de memoria, medida de tiempo de ejecución de bloques de código, …). Además, incluye ficheros cabecera y programas ejemplos que facilitan el desarrollo de las aplicaciones, dado que las tareas generales de inicialización y configuración del sistema y de los periféricos se pueden resolver modificando ligeramente el código disponible. De este modo, sólo hay que centrarse en la parte del código específico de la aplicación. 7.2. Comprobación de la realización en tiempo real Para llevar a cabo esta tarea, se ha ejecutado cada uno de los métodos de medida de la frecuencia en modo de depuración y activando el trazador del reloj del sistema. Esto ha permitido determinar el número de ciclos necesario para procesar una muestra, desde que se llama a la subrutina de atención a la adquisición de la muestra hasta que se vuelve al programa principal a la espera de una nueva muestra. En todos los métodos se ha empleado una frecuencia de muestreo de 6400 Hz, por lo que el tiempo disponible entre muestra y muestra (periodo de muestreo) es de 156.25 μs. Dado que el DSC trabaja con una señal de reloj de 150 MHz de frecuencia (6.67 ns de periodo de reloj), se dispone de, aproximadamente, 23437 ciclos de reloj para llevar a cabo tareas de procesamiento y control, desde que se captura una muestra hasta que se toma la siguiente. Los resultados obtenidos para los distintos métodos trifásicos y monofásicos se recogen en las Tabla 7-1 y Tabla 7-2, respectivamente. Tabla 7-1. Tiempo de procesamiento de una muestra en cada método trifásico. Métodos de medida trifásicos Tiempo de procesamiento por muestra (ciclos de reloj) FO-Moore FO-Sidhu FO-Szafrant FO-Wavelet 2344 31xxx – 154xxx 1813 1558 MV-t MV-tp-3 5582 5845 SRF-PLL 3EPLL-Iabc 3EPLL-IIabc 544 924 1939
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia 94 Tabla 7-2. Tiempo de procesamiento de una muestra en cada método monofásico. Métodos de medida monofásicos Tiempo de procesamiento por muestra (ciclos de reloj) FO-Moore FO-Sidhu FO-Szafrant FO-Wavelet 2278 31xxx – 154xxx 1741 1493 MV-mp-9 7382 PLLstd SOGI-PLL PL-EPLL 401 427 648 Se observa que, para casi todos los métodos, el tiempo necesario para procesar una muestra es muy inferior al tiempo disponible para su tratamiento (periodo de muestreo, 23437 ciclos). La única excepción es el método Sidhu, que necesita más tiempo del disponible para procesar cada muestra. Para este método sería necesario bajar la frecuencia de muestreo a 800 Hz o menos para su realización en tiempo real. 7.3. Comparación con los resultados simulados Se ha comparado los resultados simulados con los experimentales. En concreto, se han considerado aquellos casos de las señales de prueba que provocan mayor error en la estimación de la frecuencia. En primer lugar, se observa que ahora, para todas aquellas combinaciones de métodos y señales de prueba en los que, para los resultados simulados se obtuvieron errores despreciables o muy bajos, hay un error del orden de los mHz. Esto es debido a que las muestras utilizadas para calcular la frecuencia están cuantificadas a 12 bits y contienen ruido, el cual, se ha producido en el proceso de generación, transmisión y adquisición de las señales. Para el resto de situaciones, en donde los resultados simulados son sensiblemente superiores al mHz, los resultados experimentales son muy similares. Para confirmar la coherencia de resultados simulados y experimentales, se ha representado gráficamente el error máximo, de igual forma que como se hizo con los resultados simulados en el anexo A. Todas esas gráficas se recogen en el anexo B. Se observa que las gráficas obtenidas en este caso, son muy similares a las anteriores, diferenciándose únicamente en la aparición de una variación aleatoria en torno al correspondiente resultado simulado. De nuevo, su justificación está en la cuantificación y en el ruido presente en las muestras.
Capítulo 7: Resultados experimentales 95 Tabla 7-3. Error máximo, sistema trifásico. Resultados experimentales. Error máximo (Hz) Métodos de medida trifásicos FO MV PLL Señal Caso Moore Sidhu Szafrant Wavelet MV-t MV-tp-3 SRF Iabc IIabc DF df49.0Hz df50.0Hz df51.0Hz 6.9·10-3 ------------ 4.9·10-3 5.2·10-3 4.0·10-3 4.0·10-3 7.7·10-3 4.4·10-3 5.9·10-3 DA da90% da100% da110% 6.2·10-3 ------------ 4.5·10-3 5.1·10-3 4.3·10-3 4.3·10-3 9.0·10-3 5.5·10-3 7.7·10-3 BFD Arm. 6.8·10-3 ------------ 4.3·10-3 5.7·10-3 4.9·10-3 4.8·10-3 4.4·10-2 2.1·10-2 2.3·10-2 Interarm 0-100Hz 2.4·10-1 ------------ 2.0·10-1 5.9·10-2 1.2·10-1 1.2·10-1 1.5·10-1 1.0·10-1 1.1·10-1 Interarm. 100-2000 Hz 7.9·10-3 ------------ 4.9·10-3 6.5·10-3 4.0·10-2 4.0·10-2 6.9·10-2 3.3·10-2 3.3810-2 CP cp0.80 5.2·10-3 ------------ 5.0·10-3 5.0·10-3 3.4·10-3 3.4·10-3 7.5·10-2 5.0·10-2 4.8·10-2 CO co8%-5% 5.8·10-3 ------------ 4.3·10-3 4.9·10-3 3.7·10-3 3.6·10-3 9.3·10-2 6.2·10-2 6.2·10-2 DT dt25% 7.0·10-3 ------------ 5.0·10-3 5.2·10-3 5.5·10-3 5.5·10-3 1.2·100 6.4·10-1 5.8·10-3 FT ft12%1.0VN 1.3·10-1 ------------ 7.0·10-2 5.7·10-3 3.8·10-3 3.8·10-3 7.9·10-3 5.3·10-3 4.1·10-2 HT htA40%0° htB40%0° htC40%0° 5.0·10-0 ------------ 4.1·10-0 2.3·10-1 7.6·10-1 7.6·10-1 2.1·100 1.6·100 1.8·100 VF vf15%1s vf-15%1s 2.5·10-1 ------------ 2.7·10-1 4.2·10-1 1.2·10-1 1.2·10-1 8.8·10-2 1.2·10-1 1.2·10-1
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia 96 Tabla 7-4. Error máximo, sistema monofásico. Resultados experimentales. Error máximo (Hz) Métodos de medida monofásicos FO MV PLL Señal Caso Moore Sidhu Szafrant Wavelet MV-mp-9 PLLstd SOGI-PLL PL-EPLL DF df49.0Hz df50.0Hz df51.0Hz 6.7·10-3 ------------ 4.7·10-3 5.4·10-3 9.5·10-3 5.3·100 1.3·10-1 3.0·10-2 DA da90% da100% da110% 6.5·10-3 ------------ 5.1·10-3 5.4·10-3 7.8·10-3 5.7·100 1.3·10-1 2.6·10-2 BFD Arm. 7.9·10-3 ------------ 5.9·10-3 5.8·10-3 9.2·10-2 5.3·100 1.8·10-1 1.3·10-1 Interarm 0-100Hz 2.7·10-1 ------------ 2.1·10-1 5.6·10-2 2.6·10-1 5.6·100 4.2·10-1 1.2·100 Interarm. 100-2000 Hz 1.4·10-2 ------------ 7.7·10-3 8.0·10-3 1.6·10-1 6.0·100 2.3·10-1 1.4·100 CP cp0.80 7.9·10-3 ------------ 6.1·10-3 5.3·10-3 6.2·10-3 5.5·100 3.7·10-1 5.9·10-1 CO co8%-5% 6.5·10-3 ------------ 5.3·10-3 4.7·10-3 8.8·10-3 4.9·100 1.6·10-1 5.8·10-1 FT ft12%1.0VN 1.3·10-1 ------------ 7.0·10-2 5.8·10-3 8.1·10-2 5.8·100 1.9·10-1 1.4·10-1 HT htA40%0° htC40%0° 4.8·100 ------------ 3.3·100 1.6·100 2.8·100 8.8·100 5.7·100 6.1·100 VF vf15%1s vf-15%1s 2.5·10-1 ------------ 2.7·10-1 4.2·10-1 1.4·10-1 6.2·100 2.1·10-1 1.2·10-1
7.4. Aspectos prácticos en la realización de los métodos con el DSC Con objeto de reducir el ruido presente en las muestras capturadas, se ha configurado el ADC para realizar un muestreo por ráfagas, de modo que, cada vez que se activa el proceso de muestreo se toman varias muestras de cada fase con una separación temporal mucho menor que el periodo de muestreo (800 ns frente a 156.25 μs para una frecuencia de muestreo de 6400 Hz). Concretamente, se capturan 4 muestras de cada fase que se promedian. Esto supone una reducción del efecto del ruido en un factor de 2. Por otro lado, dado que en el DSC utilizado, no es posible muestrear simultáneamente las tres fases, el muestreo por ráfaga se ha realizado siguiendo el patrón: FASE: A – B – C – A – B – C – C – B – A – C – B – A INST.: (t0) – (t0+Tss) – (t0+2·Tss) – (t0+3·Tss) – (t0+4·Tss) – (t0+5·Tss) – (t0+6·Tss) – (t0+7·Tss) – (t0+8·Tss) – (t0+9·Tss) – (t0+10·Tss) – (t0+11·Tss) Siendo t0 es el instante de comienzo de una ráfaga de muestreo y Tss el intervalo de tiempo entre muestras consecutivas de una misma ráfaga. Esto supone que, al promediar cada fase, el valor obtenido se corresponde con el mismo instante de tiempo en las tres fases (t0+5.5·Tss). 7.5. Referencias [7-1] RIGOL TECHNOLOGIES, INC., DG1000Z Series Datasheet, Oct. 2016. [7-2] RIGOL TECHNOLOGIES, INC., DG1000Z Series Function/Arbitrary Waveform Generator-User´s Guide, Oct. 2016. [7-3] Texas Instrument, TMS320F2833x, TMS320F2823x, Digital Signal Controllers (DSCs) Data Manual. SPRS439M, Junio 2007, Revisado Agosto 2012. [7-4] Texas Instrument, TMS320C28x CPU and Instruction Set Reference Guide. spru430f, Abril 2015. [7-5] Spectrum Digital Incorporated, eZdsp F28335 Technical Reference, 2007. [7-6] Texas Instruments, Manual básico del CCS.
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia 98
Capítulo 8: Conclusiones y líneas futuras 8. Conclusiones y líneas futuras Para finalizar este trabajo de tesis, en este capítulo se comentarán, las conclusiones obtenidas, las posibles líneas futuras de trabajo y las distintas aportaciones científicas realizadas. 8.1. Conclusiones del trabajo de investigación El trabajo desarrollado en esta tesis, permite llegar a las siguientes conclusiones: Se ha creado un entorno de trabajo para la comparación de forma objetiva, realista y completa de los distintos métodos de medida de la frecuencia de la red eléctrica cuando existen perturbaciones electromagnéticas conducidas de baja frecuencia. Este entorno permite comparar no sólo los métodos considerados sino cualquier otro, actual o futuro. Se ha analizado los resultados obtenidos con los distintos métodos de medida de la frecuencia considerados, para cada tipo de perturbación. Las conclusiones generales obtenidas son: o No existe un único método que sea mejor que, en cuanto a precisión, que todos los demás, para todas las perturbaciones electromagnéticas. o Los métodos trifásicos son mejores, en general, que los métodos monofásicos. o Los peores resultados se obtienen, para todos los métodos, tanto en sistemas monofásicos como trifásicos, cuando hay huecos de tensión y cuando hay interarmónicos en el rango de 0 a 100 Hz. o Los peores métodos son PLLstd y SOGI-PLL, con errores del orden de los Hz y las décimas de Hz, respectivamente, incluso cuando no hay perturbaciones. Se ha estudiado el efecto del ruido, la cuantificación y la frecuencia de muestreo sobre la estimación de la frecuencia de los distintos métodos de medida, llegando a las siguientes conclusiones: o En todos los métodos, el error aumenta en un factor de 10 por cada 20 dB de aumento en el nivel de ruido de las señales. En la mayoría de los métodos, el error provocado por el ruido es del mismo orden (mHz para un ruido de 60 dB). El método FO-Sidhu es el que peor se comporta, con un error del orden de la centena de mHz. o En todos los métodos, el error aumenta en un factor de 2 por cada bit que disminuye la resolución de las muestras. En la mayoría de los métodos, el error provocado por la cuantificación es del mismo orden (décimas de mHz para una resolución de 12 bits). El método FO-Sidhu es el que peor se comporta, con un error del orden de las decenas de mHz. o En la mayoría de los métodos, la frecuencia de muestreo no tiene efecto sobre el error. Únicamente para FO-Sidhu y FO-Wavelet, tiene efecto, aumentando el error al disminuir la frecuencia de muestreo. Se ha desarrollado un nuevo método de medida de la frecuencia que tiene mejores prestaciones (mayor exactitud) que otros métodos en las siguientes situaciones: o Sistemas monofásicos: Se comporta mejor que los métodos PLLstd y SOGI-PLL para casi todas las señales de prueba.
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia 106 A.1.4. FO-Wavelet-t
Anexo A: Resultados gráficos de simulación A.1.5. MV-t
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia 108 A.1.6. MV-tp-3
Anexo A: Resultados gráficos de simulación A.1.7. SRF-PLL
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia 110 A.1.8. 3EPLL-Iabc
Anexo A: Resultados gráficos de simulación A.1.9. 3EPLL-IIabc
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia 112 A.2. Señal de prueba: Desviación de amplitud (DA) A.2.1. FO-Moore-t
Anexo A: Resultados gráficos de simulación A.2.2. FO-Sidhu-t
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia 114 A.2.3. FO-Szafrant-t
Anexo A: Resultados gráficos de simulación A.2.4. FO-Wavelet-t
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia 122 A.3.2. FO-Sidhu-t
Anexo A: Resultados gráficos de simulación A.3.3. FO-Szafrant-t
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia 124 A.3.4. FO-Wavelet-t
Anexo A: Resultados gráficos de simulación A.3.5. MV-t
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia 126 A.3.6. MV-tp-3
Anexo A: Resultados gráficos de simulación A.3.7. SRF-PLL
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia 128 A.3.8. 3EPLL-Iabc
Anexo A: Resultados gráficos de simulación A.3.9. 3EPLL-IIabc
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia 130 A.4. Señal de prueba: Curva de oscilación (CO) A.4.1. FO-Moore-t
Anexo A: Resultados gráficos de simulación A.4.2. FO-Sidhu-t
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia 234 B.7.2. FO-Sidhu-t B.7.3. FO-Szafrant-t
B.7.4. FO-Wavelet-t
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia 236 B.7.5. MV-t
B.7.6. MV-tp-3
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia 238 B.7.7. SRF-PLL
B.7.8. 3EPLL-Iabc
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia 240 B.7.9. 3EPLL-IIabc
B.8. Señal de prueba: Hueco de tensión (HT) B.8.1. FO-Moore-t
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia 242 B.8.2. FO-Sidhu-t B.8.3. FO-Szafrant-t
B.8.4. FO-Wavelet-t
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia 250 B.9.2. FO-Sidhu-t B.9.3. FO-Szafrant-t
B.9.4. FO-Wavelet-t
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia 252 B.9.5. MV-t
B.9.6. MV-tp-3
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia 254 B.9. 7. SRF-PLL
B.9.8. 3EPLL-Iabc
Tesis Doctoral: Medida Continua de la Frecuencia en Redes Eléctricas con Perturbaciones Electromagnéticas Conducidas de Baja Frecuencia 256 B.9.9. 3EPLL-IIabc