Análisis teórico y de simulación de convertidores dc/dc con orientación docente
Abstract
Este documento tiene como fin sentar las bases para el análisis de varias topologías de convertidores de potencia dc/dc. Este trabajo tiene un objetivo académico para servir como apoyo para el estudio de este tipo de convertidores de potencia a futuros alumnos de la materia. Además de los análisis teóricos de las topologías de convertidores dc/dc más convencionales, se incluyen en el documento una serie de problemas de exámenes oficiales de años anteriores de la asignatura de Electrónica de Potencia, resueltos con la metodología indicada en los análisis teóricos de los convertidores. Se pretende con ello dar a conocer al alumno cómo abordar la resolución de problemas de una manera sencilla y comprensible una vez entendidos todos los conceptos incluidos en los análisis teóricos. Además, como material de apoyo software, se incluyen una serie de archivos correspondientes a cada uno de los convertidores dc/dc incluidos en el documento. Estos archivos se pueden incluir como librerías en el software de simulación PLECS. De este modo, el alumno podrá comprobar mediante modelos de simulación cómo operan los convertidores dc/dc tras modificar los parámetros físicos de las topologías, y verificar que lo explicado en los análisis se cumple. Como futura expansión a este documento, se incluirán más topologías de convertidores dc/dc más complejas, así como más problemas correspondientes a estas topologías.
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Proyecto Fin de Carrera Ingeniería de Telecomunicación Formato de Publicación de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería Autor: F. Javier Payán Somet Tutor: Juan José Murillo Fuentes Dep. Teoría de la Señal y Comunicaciones Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2013 Trabajo Fin de Grado Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales Análisis teórico y de simulación de convertidores dc/dc con orientación docente Autor: Juan Manuel López Rodríguez Tutor: José Ignacio León Galván Tutor: Abraham Márquez Alcaide Dpto. de Ingeniería Electrónica Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2021
Trabajo Fin de Grado Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales Análisis teórico y de simulación de convertidores dc/dc con orientación docente Autor: Juan Manuel López Rodríguez Tutor: José Ignacio León Galván Profesor Titular de Universidad Tutor: Abraham Márquez Alcaide Investigador postdoctoral Dpto. de Ingeniería Electrónica Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2021
Trabajo Fin de Grado: Análisis teórico y de simulación de convertidores dc/dc con orientación docente Autor: Juan Manuel López Rodríguez Tutor: José Ignacio León Galván Tutor: Abraham Márquez Alcaide El tribunal nombrado para juzgar el trabajo arriba indicado, compuesto por los siguientes profesores: Presidente: Vocal/es: Secretario: acuerdan otorgarle la calificación de: El Secretario del Tribunal Fecha:
Agradecimientos A mis profesores, Abraham y José Ignacio, de los que he aprendido mucho durante la realización de este trabajo. A mi familia, que año tras año empuja y da fuerzas para seguir adelante. A mis amigos, lo mejor que me llevo de la carrera. I
Resumen Es te documento tiene como fin sentar las bases para el análisis de varias topologías de convertidores de potencia dc/dc. Este trabajo tiene un objetivo académico para servir como apoyo para el estudio de este tipo de convertidores de potencia a futuros alumnos de la materia. Además de los análisis teóricos de las topologías de convertidores dc/dc más convencionales, se incluyen en el documento una serie de problemas de exámenes oficiales de años anteriores de la asignatura de Electrónica de Potencia, resueltos con la metodología indicada en los análisis teóricos de los convertidores. Se pretende con ello dar a conocer al alumno cómo abordar la resolución de problemas de una manera sencilla y comprensible una vez entendidos todos los conceptos incluidos en los análisis teóricos. Además, como material de apoyo software, se incluyen una serie de archivos correspondientes a cada uno de los convertidores dc/dc incluidos en el documento. Estos archivos se pueden incluir como librerías en el software de simulación PLECS. De este modo, el alumno podrá comprobar mediante modelos de simulación cómo operan los convertidores dc/dc tras modificar los parámetros físicos de las topologías, y verificar que lo explicado en los análisis se cumple. Como futura expansión a este documento, se incluirán más topologías de convertidores dc/dc más complejas, así como más problemas correspondientes a estas topologías. III
2Capítulo 1. Consideraciones Iniciales Por último, es importante indicar que la ecuación (1.3) deberá cumplirse siempre que el convertidor esté operando en régimen permanente en cualquier modo de operación del convertidor, ya sea modo de conducción continua o discontinua.
2 Convertidor Elevador 2.1 Introducción En este capítulo se realizará el análisis del convertidor dc/dc de tipo elevador, el cual, como su propio nombre indica, es un convertidor de potencia que se emplea para elevar la tensión, de tal forma que dada una tensión a la entrada, la elevará para ofrecer una mayor tensión en la salida. El esquema del convertidor elevador se muestra en la fig. 2.1: CR L v o (t) V d S iL(t) is(t) io(t) v L (t) iC(t) Figura 2.1 Esquema del convertidor elevador. Como bien se observa en la fig. 2.1 , en el circuito hay varios elementos: una bobina con inductancia L, un semiconductor de potencia, un diodo, un condensador con capacitancia C, y una resistencia R, que emula la carga conectada al convertidor. 2.2 Modo de Conducción Continua Se va a realizar un primer análisis suponiendo que el convertidor se encuentra en Modo de Conducción Continua (MCC), es decir, se va a suponer que la intensidad por la bobina nunca se llega a anular. Habrá pues que diferenciar en el análisis, dos tramos o intervalos de funcionamiento, uno en el que el semiconductor conduce (ON), el cual se denominará intervalo de conducción; y otro en el que no conduce (OFF), el denominado intervalo de no conducción. Según el intervalo de operación, el circuito a analizar será distinto, tal y como se observa en la fig. 2.2: C R L v o (t)v o (t) V d S iL(t) is(t)is(t) C R L V d S iL(t) v L (t)v L (t) iC(t) io(t)io(t) iC(t) ba Figura 2.2 Intervalos de funcionamiento del convertidor elevador en MCC. 3
4Capítulo 2. Convertidor Elevador Como se observa, el circuito de la fig. 2.2a corresponde al intervalo de conducción, en el que el interruptor de potencia está en conducción, mientras que el diodo se encuentra en polarización inversa no dejando pasar la corriente. Por otro lado, el circuito de la fig. 2.2b corresponde al intervalo de no conducción, en el que el semiconductor está en estado de corte. Debido a ello, el diodo se encuentra en polarización directa dejando pasar la corriente a través de él hacia la carga. 2.2.1 Análisis del intervalo de conducción Si se empieza analizando el circuito en el intervalo de conducción, se obtienen las ecuaciones (2.1) , (2.2) y (2.3) (mediante las leyes de Kirchoff): vL=Vd,(2.1) iC=−io,(2.2) is=iL.(2.3) Las ecuaciones que gobiernan el comportamiento de una bobina son las siguientes: vL=LdiL dt ,(2.4) iL=ZvL Ldt.(2.5) Haciendo uso de las ecuaciones (2.1) y (2.5) , se llega a la conclusión de que la expresión de la corriente por la bobina en este primer intervalo del circuito en MCC es la siguiente: iL=ZvL Ldt =ZVd Ldt =Vd Lt+imin L.(2.6) Como se observa, la ecuación (2.6) nos da a conocer que la corriente que circula por la bobina es una recta con pendiente positiva m1=Vd/L. Asimismo, según la ecuación (2.2) , la corriente por el condensador será aproximadamente constante asumiendo que el rizado de tensión de salida es muy pequeño comparado con su valor medio. 2.2.2 Análisis del intervalo de no conducción Las ecuaciones que definen el comportamiento del circuito en el intervalo de no conducción representado en la fig. 2.2b, son las expresiones (2.7), (2.8) y (2.9): vL=Vd−vo,(2.7) iL=iC+io,(2.8) is=iL.(2.9) Haciendo uso de las ecuaciones (2.5) y (2.7) , se obtiene que la expresión de la corriente por la bobina en este intervalo es: iL=ZvL Ldt =ZVd−vo Ldt =Vd−vo Lt+imax L.(2.10) La ecuación (2.10) indica que la corriente por la bobina durante este intervalo es una recta con pendiente m2=(Vd−vo) /L . Esta pendiente m2 debe ser necesariamente negativa. Esto se puede asegurar al recordar que se asume que el circuito se encuentra en régimen permanente y que la corriente en la bobina no puede cambiar instantáneamente su valor. Por tanto, la corriente por la bobina al terminar el intervalo de no conducción debe ser igual a la corriente inicial de la bobina en el intervalo de conducción. Por tanto, al cumplirse en el intervalo de conducción que la corriente por la bobina era creciente, en el intervalo de no conducción debe
2.3 Modo de Conducción Discontinua 5 ser una corriente decreciente, forzándose entonces a que la pendiente m2 sea negativa y por tanto se debe cumplir que (Vd−vo)<0y observándose que éste es un convertidor de tipo elevador. Tras este análisis, se obtienen las gráficas de la fig. 2.4. 2.3 Modo de Conducción Discontinua El modo de conducción discontinua (MCD) es aquel en el que la intensidad de la bobina se hace cero durante algún tiempo del periodo de trabajo T . Además de los dos intervalos de funcionamiento que aparecían y fueron analizados en MCC, aparecerá un nuevo intervalo de funcionamiento en el que, al anularse la corriente por la bobina, la corriente por el diodo es por tanto nula, con lo que el diodo se corta. C R L v o (t)v o (t) V d S iL(t) is(t) is(t) is(t) iak(t) C R L V d S iL(t)iak(t) v L (t)v L (t) iC(t) io(t) C R L v o (t) V d S iL(t)iak(t) v L (t) iC(t) io(t) io(t) iC(t) ba c Figura 2.3 Intervalos de funcionamiento del convertidor elevador en MCD. En resumen, en MCD el convertidor elevador presenta tres circuitos equivalentes en los diferentes intervalos de funcionamiento, tal y como muestra la fig. 2.3 . Los circuitos representados en las fig. 2.3a y fig. 2.3b son iguales a los que aparecían en el MCC. La diferencia en el MCD es que el intervalo de no conducción representado en la fig. 2.3b no acaba al final del periodo T , sino que la corriente en la bobina llega a anularse antes de dicho instante. Así, aparece un tercer intervalo de funcionamiento (mostrado en la fig. 2.3c ) en el que tanto el semiconductor de potencia como el diodo están cortados. Por lo tanto, los análisis de los circuitos de la fig. 2.3a y fig. 2.3b darán lugar a las mismas ecuaciones que en el MCC, y lo único que se debe realizar en el MCD es el análisis del circuito de la fig. 2.3c , del que se extraen las ecuaciones (2.11) , (2.12) y (2.13) : vL=0,(2.11) iC=−io,(2.12) is=iL.(2.13) Como en el MCD hay un intervalo más de funcionamiento, habrá que definir el tiempo que dura éste. Así, D1T se define como la fracción de periodo de trabajo correspondiente al circuito de la fig. 2.3b y el resto de tiempo hasta completar el período será el tiempo correspondiente al circuito de la fig. 2.3c. La evolución de las formas de onda características del convertidor elevador en un período de trabajo en MCD, una vez obtenidas las ecuaciones, es la mostrada en la fig. 2.5. 2.4 Límite entre modos de conducción El límite entre el MCC y el MCD es aquel en el que la corriente por la bobina llega a ser cero, pero sólo durante un instante, y no durante un periodo de tiempo. Este caso se puede considerar como un caso particular del MCC donde imin L=0. Esto se observa mejor en la fig. 2.6.
6Capítulo 2. Convertidor Elevador vL (t) vGATE (t) iL (t) Vd iL min -Io Vd/L (Vd - Vo )/L (Vd - Vo )/L Vd - Vo iC (t) iL max iL max - Io iL min - Io DT T t Figura 2.4 Curvas características del convertidor elevador en MCC. vL (t) vGATE (t) iL (t) Vd -Io Vd/L (Vd - Vo )/L Vd - Vo iC (t) iL max iL max - Io DT (D+D1)TT δT t Figura 2.5 Curvas características del convertidor elevador en MCD. Si se calcula la corriente media por la bobina con el convertidor trabajando en el límite entre el MCC y el MCD, se obtendrá lo que se conoce como IL boundary ( ILB ). Si en un convertidor se cumple que IL>ILB , éste estará en trabajando en MCC; si IL<ILB , estará en MCD; y si IL=ILB estará justo en el límite entre ambos modos de conducción. ILB =1 TZT 0 iLBdt =1 TT∆iL 2=∆iL 2.(2.14)
2.5 Parámetros del convertidor elevador en MCC 7 iLB (t) iL max ∆iL DT T t Figura 2.6 Corriente por la bobina en un convertidor elevador trabajando en el límite entre los modos MCC y MCD. Este mismo razonamiento se puede hacer para la corriente media en la salida, obteniéndose así la llamada Io boundary ( IoB ). Al igual que con la IL , hay tres casos: si en un convertidor se da que Io>IoB , éste estará trabajando en el MCC; si Io<IoB , estará en MCD; y si Io=IoB , estará justo en el límite entre ambos modos. IoB =1 TZT 0 ioBdt =1 TZDT 0 −iCBdt +ZT DT (iLB −iCB)dt= =1 T(1−D)T∆iL 2= (1−D)ILB.(2.15) 2.5 Parámetros del convertidor elevador en MCC 2.5.1 Rizado de corriente en la bobina El rizado de la corriente en la bobina se define como: ∆iL=imax L−imin L.(2.16) siendo imax L e imin L los valores máximo y mínimo de la corriente que circula por la bobina, cuyos valores a priori se desconocen. Sin embargo, se puede hacer uso de las expresiones (2.8) y (2.12) , que expresaban la evolución de la corriente en los dos intervalos de funcionamiento. De este modo: ∆iL=m1DT =Vd LDT.(2.17) ∆iL=−m2(1−D)T=Vo−Vd L(1−D)T.(2.18) Como se observa, se puede obtener el rizado de corriente de la bobina mediante dos expresiones distintas, la (2.17) y la (2.18) . Nótese además que a partir de ahora se hará uso del valor constante Vo en lugar de vo para la tensión de salida, tal y como se indicó en las suposiciones iniciales del análisis de los convertidores de potencia incluidos en la sección 1. 2.5.2 Relación entre la tensión de entrada y la tensión de salida Partiendo de las expresiones (2.17) y (2.18), se obtiene lo siguiente: Vd LDT =Vo−Vd L(1−D)T; VdD= (Vo−Vd)(1−D); VdD=Vo−VoD−Vd+VdD; Vo=Vd 1−D(2.19)
8Capítulo 2. Convertidor Elevador La expresión (2.19) es la que relaciona la tensión de salida con la tensión de entrada en función del duty cycle. Además, es la expresión donde mejor se aprecia que el análisis se está centrando en un convertidor de tipo elevador ya que si D=0 , Vo será igual a Vd ; mientras que si D tiende a 1 , Vo tenderá a infinito. Es decir, el rango de valores que tomará Voserá siempre mayor o igual al valor de Vd. 2.5.3 Corriente media por la bobina La corriente media que circula por la bobina se define como: IL=1 TZT 0 iLdt.(2.20) Como ya se dispone de la expresión de iL en todo el periodo de trabajo, esta integral se puede calcular analíticamente. Sin embargo, otro modo de calcular IL es hallar el área bajo la curva de iL , con ayuda de la fig. 2.4. El área bajo esta curva se puede descomponer como un rectángulo de base T y de altura imin L , y un triángulo de base Ty altura ∆iL. Empleando esto, la integral queda como: IL=1 TTimin L+T∆iL 2; IL=imin L+∆iL 2.(2.21) Despejando imin L de la ecuación (2.21) , y recordando la definición del rizado de corriente por la bobina, ecuación (2.16), se puede obtener lo siguiente: imin L=IL− ∆iL 2;(2.22) imax L=IL+∆iL 2.(2.23) Las ecuaciones (2.22) y (2.23) permiten saber que el valor medio de la corriente por la bobina es justo el valor medio de los valores límite del rizado de la corriente que circula por ella, es decir, IL=(imax L+imin L) /2. 2.5.4 Corriente media de salida Se define la corriente media a la salida del convertidor como: Io=1 TZT 0 iodt.(2.24) Haciendo uso de las ecuaciones que describen io en los diferentes intervalos de funcionamiento del circuito, (2.2) y (2.8), se puede obtener que Io=1 TZDT 0 −iCdt +ZT DT (iL−iC)dt.(2.25) Además, al asumir que el circuito está operando en régimen permanente, la tensión media en el condensador no varía, es decir, debe cumplirse que 1 TZT 0 iCdt =0.(2.26) Sabiendo esto, la ecuación (2.25) se simplifica, obteniéndose: Io=1 TZT DT iLdt.(2.27)
2.6 Parámetros del convertidor en MCD 9 Esta integral puede resolverse calculando el área bajo la curva de iL , esta vez sólo en el intervalo de no conducción, llegándose a que: Io=1 T(1−D)Timin L+(1−D)T∆iL 2; Io= (1−D)imin L+∆iL 2= (1−D)IL.(2.28) 2.5.5 Corriente media de entrada Gracias a que se tienen las expresiones (2.3) y (2.9) , se puede calcular la corriente media de la fuente de entrada como: Is=1 TZT 0 isdt =1 TZT 0 iLdt =IL.(2.29) 2.5.6 Rizado de la tensión de salida Se define el rizado de la tensión de salida, en por unidad, como: ∆vo Vo =∆Q CVo =DTIo CVo (2.30) Siendo ∆Q el valor absoluto de la variación de carga (bien sea positiva o negativa) en el condensador durante un periodo de trabajo. Esto se puede calcular como el área positiva o negativa de la corriente iC , en valor absoluto. Nótese que la expresión (2.30) es solo válida si (imin L−Io)≥0. Sin embargo, esta condición no es siempre válida y se debe también analizar el caso contrario, es decir, cuando se obtenga que (imin L−Io)<0 . En este caso, como se observa en la fig. 2.7, lo más sencillo es tener en cuenta el área del triángulo sombreado para el cálculo de la variación de carga del condensador de salida. Sin embargo, no sabemos cuándo la corriente por el condensador se anula, es decir, no se conoce la base de dicho triángulo definido como δT . Para calcularla, se hará uso de la propiedad de semejanza de triángulos entre el triángulo sombreado ya mencionado, y el triángulo descrito por los tres vértices marcados en verde, del siguiente modo: δT (1−D)T=imax L−Io ∆iL ; δ=(imax L−Io)(1−D) ∆iL .(2.31) Y por lo tanto, el valor del rizado de tensión a la salida se podrá obtener como ∆vo Vo =δT(imax L−Io) 2CVo =T(imax L−Io)2(1−D) 2CVo∆iL .(2.32) 2.6 Parámetros del convertidor en MCD 2.6.1 Rizado de la corriente en la bobina El rizado de corriente por la bobina se determina como: ∆iL=imax L=Vd LDT =Vo−Vd LD1T.(2.33)
10 Capítulo 2. Convertidor Elevador -Io iC (t) iL max - Io iL min - Io DT T δT t Figura 2.7 Evolución de la corriente por el condensador de salida del convertidor elevador en MCC suponiendo que (imin L−Io)<0. 2.6.2 Relación entre la tensión de entrada y la tensión de salida Gracias a la expresión (2.33) , se puede obtener la relación que existe entre la tensión de salida Vo , la tensión de entrada Vd, el valor de duty cycle Dy el parámetro D1: Vd LDT =Vo−Vd LD1T; Vo=Vd D+D1 D1 .(2.34) 2.6.3 Corriente media por la bobina Se procede hallando el área bajo la curva de iL, llegándose a que IL=1 TZT 0 iLdt =1 T(D+D1)T∆iL 2= (D+D1)∆iL 2.(2.35) 2.6.4 Corriente media de salida Se define la corriente media a la salida como: Io=1 TZT 0 iodt.(2.36) En este caso, haciendo uso de las expresiones de la corriente io en cada uno de los intervalos de funcionamiento del convertidor en MCD, introducidas en (2.2), (2.8) y (2.10), se tiene que: Io=1 TZT 0 iodt =1 TZDT 0 −iCdt +Z(D+D1)T DT (iL−iC)dt +ZT (D+D1)T −iCdt Una vez más, haciendo uso de que la integral en todo el periodo de trabajo de iCes cero: Io=1 TZ(D+D1)T DT iLdt =1 TD1T∆iL 2=D1 ∆iL 2(2.37) 2.6.5 Corriente media de entrada Gracias a que se tienen las expresiones (2.3) , (2.9) y (2.13) , se puede calcular la corriente media de la fuente de entrada como: Is=1 TZT 0 isdt =1 TZT 0 iLdt =IL.(2.38)
2.7 Balance de potencia 11 2.6.6 Rizado de la tensión de salida Se define el rizado de tensión a la salida, en por unidad, como: ∆vo Vo =∆Q CVo =δT(imax L−Io) 2CVo .(2.39) -Io iC (t) iL max - Io iL min - Io DT T δT (D+D1)T t Figura 2.8 Evolución de la corriente por el condensador de salida del convertidor operando en MCD. Teniendo en cuenta la evolución de la corriente por el condensador de salida (representada en la fig. 2.8 ) y procediendo del mismo modo que en MCC, es decir, aplicando la propiedad de semejanza de triángulos entre el triángulo sombreado y el definido por los vértices verdes, se puede obtener el valor de δcomo δT D1T=imax L−Io ∆iL ; δ=D1(imax L−Io) ∆iL .(2.40) Finalmente, el valor del rizado de tensión a la salida es: ∆vo Vo =D1T(imax L−Io)2 2CVo .(2.41) 2.7 Balance de potencia En el capítulo 1 se explicó el balance de potencia, obteniéndose la siguiente ecuación: VdIs=VoIo.(2.42) En el convertidor elevador, tanto en el MCC como en el MCD, se cumple que la corriente media suministrada por la fuente de entrada es igual a la corriente media por la bobina: Is=IL . De este modo, aplicar el balance de potencia conlleva que: VdIL=VoIo.(2.43) En esta expresión, habrá que sustituir la corriente media Io con la expresión correspondiente al modo de funcionamiento en el que se encuentre el convertidor. 2.8 Corrientes y tensiones máximas por el diodo y el interruptor de potencia A la vista de los circuitos de la fig. 2.3, se puede conocer la evolución de las corrientes y las tensiones por el diodo y el interruptor de potencia (IGBT) que componen este convertidor. La evolución se observa en la fig. 2.9
18 Capítulo 3. Convertidor Reductor Estas ecuaciones permiten saber que el valor medio de la corriente por la bobina es justo el valor medio de los valores límite del rizado de la corriente que circula por ella, es decir, IL=(imax L+imin L) /2. 3.4.4 Corriente media a la salida Se define la corriente media a la salida del convertidor como: Io=1 TZT 0 iOdt.(3.22) Haciendo uso de las ecuaciones en las que se tiene la evolución de la corriente de salida, (3.2) y (3.8) , se tiene que: Io=1 TZT 0 (iL−iC)dt.(3.23) Además, la tensión media en el condensador no cambia, es decir, se debe cumplir que: 1 TZT 0 iCdt =0.(3.24) Sabiendo esto, la ecuación (3.23) se simplifica, obteniéndose: Io=1 TZT 0 iLdt.(3.25) De este modo, el valor de la corriente media a la salida es igual a la corriente media por la bobina. Io=IL.(3.26) 3.4.5 Corriente media de entrada Gracias a que se tienen las expresiones (3.3) y (3.9) , se puede calcular la corriente media de la fuente de entrada como: Is=1 TZT 0 isdt =1 TZDT 0 iLdt =1 Timin LDT +DT ∆iL 2=DIL.(3.27) 3.4.6 Rizado de la tensión de salida Se define el rizado de la tensión de salida, en por unidad, como: ∆vo Vo =∆Q CVo .(3.28) Siendo ∆Q la variación de carga en el condensador, la cual se puede calcular como el área positiva o negativa de la corriente iC , en valor absoluto. Nótese en la fig. 3.6 que, debido a la evolución de la corriente por el condensador en este convertidor, lo más fácil será calcular el área positiva, es decir, el área sombreada en rojo de la figura. Sin embargo, para calcular este área, se desconoce cuándo la corriente por el condensador será cero, es decir, no se conoce la duración de δT . Para calcularlo, se hará uso de la semejanza entre el triángulo sombreado en rojo ya mencionado, y el triángulo descrito por los tres vértices marcados en verde, del siguiente modo:
3.5 Parámetros del convertidor en MCD 19 ±T iC (t) iL max - Io iL min - Io DT T t Figura 3.6 Evolución de la corriente por el condensador en el convertidor reductor en MCC. δT T=imax L−Io imax L−imin L =∆iL/2 ∆iL ; δ=1 2,(3.29) donde hay que hacer notar que, como Io=IL, se puede afirmar que imax L−Io=∆iL/2. Finalmente, el valor del rizado de tensión a la salida será: ∆vo Vo =δT(imax L−Io) 2CVo =δT(∆iL/2) 2CVo =T∆iL 8CVo .(3.30) 3.5 Parámetros del convertidor en MCD 3.5.1 Rizado de la corriente en la bobina El rizado de corriente se define como: ∆iL=imax L=Vd−Vo LDT =Vo LD1T.(3.31) 3.5.2 Relación entre la tensión de entrada y la tensión de salida Partiendo de la expresión (3.31), se llega a lo siguiente: Vd−Vo LDT =Vo LD1T; VdDT −VoDT =VoD1T; Vo=Vd D D+D1 .(3.32) 3.5.3 Corriente media por la bobina Se procede hallando el área bajo la curva de iL. IL=1 TZT 0 iLdt =1 T(D+D1)T∆iL 2= (D+D1)∆iL 2.(3.33)
20 Capítulo 3. Convertidor Reductor 3.5.4 Corriente media a la salida Se define la corriente media a la salida como: Io=1 TZT 0 iodt.(3.34) Haciendo uso de las ecuaciones que dan a conocer la evolución de la corriente de salida, (3.2) , (3.8) y (3.12): Io=1 TZT 0 iodt =1 TZT 0 (iL−iC)dt Haciendo uso de que la integral en todo el intervalo de iCes cero: Io=1 TZT 0 iLdt =IL= (D+D1)∆iL 2.(3.35) 3.5.5 Corriente media de entrada Se puede calcular la corriente media de la fuente de entrada sabiendo que is=iL en el intervalo de conducción y es cero en los demás intervalos. Por tanto, se debe cumplir que: Is=1 TZT 0 isdt =1 TZDT 0 iLdt =1 TDT ∆iL 2=D∆iL 2(3.36) 3.5.6 Rizado de la tensión de salida Partiendo de la gráfica mostrada en la fig. 3.7 , se define el rizado de tensión a la salida, en por unidad, como: ∆vo Vo =∆Q CVo =δT(imax L−Io) 2CVo .(3.37) ±T iC (t) iL max - Io iL min - Io DT T(D+D1)T t Figura 3.7 Evolución de la corriente por el condensador de salida con el convertidor operando en MCD. Procediendo del mismo modo que en MCC, con semejanza entre el triángulo sombreado en rojo y el de vértices verdes, se obtiene el valor de δ: δT (D+D1)T=imax L−Io imax L =∆iL−IL ∆iL ; δ=∆iL−IL ∆iL (D+D1).(3.38) De este modo, el valor del rizado de tensión a la salida es:
3.6 Balance de potencia 21 ∆vo Vo =(∆iL−IL)2 2CVo∆iL (D+D1)T.(3.39) 3.6 Balance de potencia En el capítulo 1 se explicó el balance de potencia, obteniéndose la siguiente ecuación: VdIs=VoIo.(3.40) En el convertidor reductor en MCC se cumple que la corriente media suministrada por la fuente de entrada es igual a la corriente media por la bobina por el dutycycle: Is=DIL. De este modo: VdDIL=VoIo.(3.41) Por otro lado, en el convertidor reductor en MCD se cumple que: VdD∆iL 2=VoIo.(3.42) En esta expresiones, tanto en MCC como en MCD se cumple que Io=IL , y habrá que sustituir la corriente media Io con la expresión correspondiente al modo de funcionamiento en el que se encuentre el convertidor. 3.7 Límite entre modos de conducción El límite entre el modo de conducción continua y el modo de conducción discontinua es aquel en el que la corriente por la bobina llega a ser cero, pero solo durante un instante, y no durante un período de tiempo. En ese caso: imin L=0de forma instantánea. Esto se observa mejor en la fig. 3.8. iLB (t) iL max ∆iL DT T t Figura 3.8 Evolución de la corriente por la bobina cuando el convertidor reductor está operando en el límite entre el MCC y el MCD. Si se calcula la corriente media por la bobina cuando el convertidor reductor está operando en el límite entre el MCC y el MCD, se obtendrá lo que se conoce como IL boundary ( ILB ). Si en un convertidor IL>ILB , éste estará en operando en MCC; si IL<ILB , el convertidor estará en MCD; y si IL=ILB estará justo en el límite entre ambos modos de conducción. ILB =1 TZT 0 iLBdt =1 TT∆iL 2=∆iL 2.(3.43) Lo mismo puede hacerse para la corriente media en la salida, obteniéndose así la Io boundary. Al igual que con la IL , hay tres casos: si en un convertidor se da que Io>IoB , estará en MCC; si Io<IoB , estará en MCD; y si Io=IoB , estará justo en el límite entre ambos modos. Como se ha visto, en este convertidor resulta que Io=IL. Por lo tanto, sus valores límites o boundary serán los mismos, es decir:
22 Capítulo 3. Convertidor Reductor IoB =ILB =∆iL 2.(3.44) 3.8 Corrientes y tensiones máximas por el diodo y el interruptor de potencia A la vista de los circuitos de la fig. 3.4, se puede conocer la evolución de las corrientes y las tensiones por el diodo y el interruptor de potencia (IGBT) que componen este convertidor. La evolución se observa en la fig. 3.9 DT (D+D1)TT t vak (t) -Vd -Vo vIGBT (t) Vd Vd -Vo iak (t) iL max iIGBT (t) iL max Figura 3.9 Evolución de las corrientes y tensiones por el diodo y el interruptor de potencia. De este modo, las tensiones y corrientes máximas por el diodo y por el interruptor de potencia son las siguientes: vmax ak =−Vd(3.45) imax ak =imax L(3.46) vmax IGBT =Vd(3.47) imax IGBT =imax L.(3.48)
4 Convertidor Reductor-Elevador 4.1 Introducción En este capítulo se realizará el análisis del convertidor reductor-elevador. El convertidor dc-dc reductorelevador, como su propio nombre indica, es un convertidor de potencia que se emplea tanto para elevar como para reducir la tensión de entrada. El esquema del convertidor reductor-elevador se puede observar en la fig. 4.1: CR Lv o (t) V d S iL(t) iak(t) io(t) v L (t) iC(t) is(t) Figura 4.1 Esquema del convertidor reductor-elevador. 4.2 Modo de Conducción Continua Se va a realizar un primer análisis suponiendo que el convertidor se encuentra en Modo de Conducción Continua (MCC). Se va a suponer pues que la intensidad por la bobina nunca se llega a anular. Habrá pues que diferenciar en el análisis, dos tramos o intervalos de funcionamiento, uno en el que el semiconductor conduce (ON), el cual se denominará intervalo de conducción; y otro en el que no conduce (OFF), el denominado intervalo de no conducción. Según el intervalo en el que nos encontremos, el circuito a analizar será distinto, tal y como se observa en la fig. 4.2: Como se observa, el circuito de la fig. 4.2a corresponde al intervalo de conducción, en el que el interruptor de potencia está en conducción, y el diodo se encuentra en polarización inversa no dejando pasar la corriente. Por otro lado, el circuito de la fig. 4.2b corresponde al intervalo de no conducción, en el que el semiconductor está en estado de corte. Debido a ello, el diodo se encuentra en polarización directa dejando pasar la corriente a través de él hacia la carga. 4.2.1 Análisis del intervalo de conducción Si se empieza analizando el circuito en el intervalo de conducción, se obtienen las ecuaciones (4.1) y (4.2) (mediante las leyes de Kirchoff): 23
24 Capítulo 4. Convertidor Reductor-Elevador CR Lv o (t) V d S iL(t) iak(t) io(t) v L (t) iC(t) CR Lv o (t) V d S iL(t) iak(t) io(t) v L (t) iC(t) a b is(t) is(t) Figura 4.2 Intervalos de funcionamiento del convertidor reductor-elevador en MCC. vL=Vd,(4.1) iC=−iO,(4.2) is=iL.(4.3) Las ecuaciones que gobiernan el comportamiento de una bobina son las siguientes: vL=LdiL dt ,(4.4) iL=ZvL Ldt.(4.5) Haciendo uso de las ecuaciones (4.1) y (4.5) , se llega a la conclusión de que la expresión de la evolución de la corriente por la bobina en este primer intervalo del circuito en MCC es la siguiente: iL=ZvL Ldt =ZVd Ldt =Vd t+imin L.(4.6) Como se observa, la expresión de la corriente que circula por la bobina es una recta con pendiente positiva m1=Vd L . Asimismo, según la ecuación (4.2) , la corriente por el condensador será aproximadamente constante asumiendo que el rizado de la tensión de salida es muy pequeño comparado con su valor medio. 4.2.2 Análisis del intervalo de no conducción El siguiente análisis será el del intervalo de no conducción. Las ecuaciones que definen su comportamiento, según la fig. 4.1b, son: vL=−Vo,(4.7) iL=iC+io,(4.8) is=0.(4.9) Haciendo uso de las ecuaciones (4.5) y (4.7) , se obtiene la expresión de la corriente por la bobina en este intervalo, del siguiente modo:
4.3 Parámetros del convertidor en MCC 25 iL=ZvL Ldt =Z−Vo Ldt =−Vo Lt+imax L.(4.10) Como se observa, la corriente por la bobina en este intervalo es una recta con pendiente negativa m2=−Vo L y partiendo de un valor de origen imax. Una vez realizado el análisis de ambos intervalos y obtenidas las ecuaciones, se obtienen las gráficas de la fig. 4.3: vL (t) vGATE (t) iL (t)-Vo iLVd/L-Vo /L -VO /L Vd iC (t) iL iL - IO iL - IO -IO max min max min DT T t Figura 4.3 Curvas características del convertidor reductor-elevador en MCC. Una vez realizados los análisis y obtenidas las expresiones de las distintas variables necesarias, se procede al cálculo de los parámetros del convertidor. 4.3 Parámetros del convertidor en MCC 4.3.1 Rizado de corriente en la bobina El rizado de la corriente en la bobina se define como la variación que experimenta dicha corriente durante todo el período, es decir: ∆iL=imax L−imin L.(4.11) A priori, se desconocen los valores de imax L y de imin L . Sin embargo, se puede hacer uso de las expresiones (4.6) y (4.10) , obtenidas previamente, que expresaban la evolución de la corriente en los dos intervalos de funcionamiento. De este modo: ∆iL=m1DT =Vd LDT.(4.12) ∆iL=−m2(1−D)T=Vo L(1−D)T.(4.13)
26 Capítulo 4. Convertidor Reductor-Elevador 4.3.2 Relación entre la tensión de entrada y la tensión de salida Partiendo de las expresiones (4.12) y (4.13), se obtiene lo siguiente: Vd LDT =Vo L(1−D)T; VdD=Vo(1−D); VdD=Vo−VoD; Vo=Vd D 1−D.(4.14) Esta última expresión es la que relaciona la tensión de entrada con la de salida en función del valor del duty cycle. Mediante esta expresión se aprecia que el convertidor puede funcionar como reductor o como elevador en función del valor del duty cycle aplicado asumiendo que el convertidor está operando en MCC: si D∈[0,0.5) , el convertidor reducirá la tensión, mientras que si D∈(0.5,1] , el convertidor elevará la tensión. Cuando D=0.5, la tensión de salida será igual a la de entrada. 4.3.3 Corriente media por la bobina La corriente media que circula por la bobina se define como: IL=1 TZT 0 iLdt.(4.15) Como ya se dispone de la expresión de iL en todo el período, esta integral se puede calcular analíticamente. Sin embargo, otro modo es hallar el área bajo la curva de iL , con ayuda de la fig. 4.3 . El área bajo esta curva se puede descomponer como un rectángulo de base T y de altura imin L y un triángulo de bases T y altura ∆iL . Empleando esto, la integral se resuelve como: IL=1 TZT 0 iLdt =1 Timin LT+T∆iL 2; IL=imin L+∆iL 2.(4.16) Despejando imin L de la ecuación (4.16) , y recordando la definición del rizado de corriente por la bobina, se puede obtener lo siguiente: imin L=IL− ∆iL 2;(4.17) imax L=IL+∆iL 2.(4.18) Estas ecuaciones permiten saber que el valor de la corriente media por la bobina es justo el valor medio de los valores límite del rizado de la corriente que circula por ella. 4.3.4 Corriente media a la salida Se define la corriente media a la salida del convertidor como: Io=1 TZT 0 iodt.(4.19) Haciendo uso de las ecuaciones en las que se tiene la evolución de la corriente de salida, (4.2) y (4.8): Io=1 TZDT 0 −iCdt +ZT DT (iL−iC)dt.(4.20)
4.3 Parámetros del convertidor en MCC 27 Además, en media, la tensión en el condensador no cambia durante cada ciclo (en régimen permanente), es decir: 1 TZT 0 iCdt =0.(4.21) Sabiendo esto, se pueden cancelar los términos donde aparezca iC, quedando: Io=1 TZT DT iLdt =1 Timin L(1−D)T+∆iL 2(1−D)T= = (1−D)imin L+∆iL 2= (1−D)IL.(4.22) 4.3.5 Corriente media de entrada Gracias a que se tienen las expresiones (4.3) y (4.9) , se puede calcular la corriente media de la fuente de entrada como: Is=1 TZT 0 isdt =1 TZDT 0 iLdt =1 Timin LDT +DT ∆iL 2=DIL.(4.23) 4.3.6 Rizado de la tensión de salida Se define el rizado de la tensión de salida como: ∆vo Vo =∆Q CVo =DTIo CVo ,(4.24) siendo ∆Q la variación de carga en el condensador, la cual se puede calcular como el área descrita por el triángulo que se observa en la gráfica de iC. Nótese que esta expresión es solo válida si imin L−Io≥0. -VO /L iC (t) iL - IO iL - IO IO DT T ±T max min t Figura 4.4 Evolución de la corriente por el condensador de salida del convertidor reductor-elevador en MCC si imin L−Io<0. Vamos a analizar el caso en el que imin L−Io<0 . Como se observa en la fig. 4.4 , en este caso hay que tener en cuenta únicamente el área del triángulo sombreado en rojo. Sin embargo, no sabemos cuándo la corriente por el condensador será cero, es decir, no se conoce la duración de δT . Para calcularlo, se hará uso de la semejanza entre el triángulo sombreado en rojo y el triángulo descrito por los tres vértices marcados en verde, del siguiente modo: δT (1−D)T=imax L−Io imax L−imin L =imax L−Io ∆iL ; δ= (1−D)imax L−Io ∆iL .
34 Capítulo 5. Convertidor Flyback (OFF), el denominado intervalo de no conducción. Según el intervalo en el que nos encontremos, el circuito a analizar será distinto, tal y como se observa en la fig. 5.2: S is(t) V d S is(t) V d a b Figura 5.2 Intervalos de funcionamiento del convertidor flyback en MCC. Como se observa, el circuito de la fig. 5.2a corresponde al intervalo de conducción, en el que el interruptor de potencia está en conducción, el diodo se encuentra en polarización inversa estando en estado de corte. Por otro lado, el circuito de la fig. 5.2b corresponde al intervalo de no conducción, en el que el semiconductor está en estado de corte. Sin embargo, el diodo se encuentra en polarización directa dejando pasar la corriente a través de él hacia la carga. 5.2.1 Análisis del intervalo de conducción Si se empieza analizando el circuito en el intervalo de conducción, se obtienen las ecuaciones (5.3) y (5.4) (mediante las leyes de Kirchoff): vL=Vd,(5.3) iC=−io,(5.4) is=iL.(5.5) Obsérvese que para obtener la ecuación (5.5) se ha empleado que i1=0 , dado que i2=0 por el estar el diodo cortado, estando ambas intensidades relacionadas mediante la ecuación (5.2). Las ecuaciones que gobiernan el comportamiento de una bobina son las siguientes: vL=LdiL dt ,(5.6) iL=ZvL Ldt.(5.7) Haciendo uso de las ecuaciones (5.3) y (5.7) , se llega a la conclusión de que la expresión de la corriente por la bobina de magnetización en este primer intervalo del circuito en MCC es la siguiente:
5.3 Modo de Conducción Discontinua 35 iL=ZvL Ldt =ZVd Ldt =Vd Lt+imin L.(5.8) Como se observa, la ecuación (2.6) nos da a conocer que la corriente que circula por la bobina es una recta con pendiente positiva m1=Vd/L. Por otro lado, según la ecuación (2.2) , la corriente por el condensador será aproximadamente constante asumiendo que el rizado de tensión de salida es muy pequeño comparado con su valor medio. 5.2.2 Análisis del intervalo de no conducción El siguiente análisis a realizar será el del intervalo de no conducción. Las ecuaciones que definen su comportamiento, según la fig. 5.2b, son las expresiones (5.8) y (5.9): v2=Vo,(5.9) vL=v1=−N1 N2 v2=−N1 N2 Vo,(5.10) iL=i1,(5.11) i2=iC+io=N1 N2 iL,(5.12) is=0; (5.13) Haciendo uso de las ecuaciones (5.10) y (5.7) , se obtiene la expresión de la corriente por la bobina en este intervalo, del siguiente modo: iL=ZvL Ldt =Z−N1/N2Vo Ldt =−N1 N2 Vo Lt+imax L.(5.14) La ecuación (5.14) indica que la corriente por la bobina durante este intervalo es una recta con pendiente m2=−N1/N2Vo/L . Esta pendiente m2 es negativa, lo que era esperable al recordar que se asume que el circuito se encuentra en régimen permanente y que la corriente en la bobina no puede cambiar instantáneamente su valor. Por tanto, la corriente por la bobina al terminar el intervalo de no conducción debe ser igual a la corriente inicial de la bobina en el intervalo de conducción. Por tanto, al cumplirse en el intervalo de conducción que la corriente en la bobina era creciente, en el intervalo de no conducción debe ser una corriente decreciente, forzándose entonces a que la pendiente m2sea negativa. Por otro lado, es conveniente analizar la evolución de la corriente por el condensador iC . Según las ecuaciones (5.12) y (5.14): iC=i2−Io=N1 N2 iL−Io=N1 N2−N1Vo N2Lt+imax L−Io; iC=−N1 N22Vo Lt+N1 N2 imax L−Io.(5.15) La ecuación (5.15) da a conocer que durante el intervalo de no conducción, la corriente iC tendrá una pendiente m3=−(N1/N2)2Vo L , y sus valores máximo y mínimo en el intervalo de no conducción serán respectivamente iC1=N1 N2imax L−IoyiC2=N1 N2imin L−Io. Tras este análisis, se obtienen las gráficas de la fig. 5.3. 5.3 Modo de Conducción Discontinua El modo de conducción discontinua (MCD) es aquel en el que la intensidad de la bobina de magnetización se hace cero durante algún tiempo del periodo de trabajo T . Además de los dos intervalos de funcionamiento que había en MCC, aparecerá un intervalo de funcionamiento nuevo en el que, al anularse la corriente por la bobina de magnetización, la corriente por el diodo se anula, con lo que el diodo se corta.
36 Capítulo 5. Convertidor Flyback DT T t m3 Figura 5.3 Curvas características del convertidor flyback en MCC. En resumen, en MCD el convertidor flyback presenta tres circuitos equivalentes en los diferentes intervalos de funcionamiento, tal y como muestra la fig. 5.4, donde se observa que los circuitos representados en las fig. 5.4a y fig. 5.4b son iguales a los que aparecían en MCC. La diferencia en MCD es que el intervalo de no conducción representado en la fig. 5.4b no acaba al final del periodo T , sino que la corriente en la bobina de magnetización llega a anularse antes de dicho instante. Así, aparece un tercer intervalo de funcionamiento (mostrado en la fig. 5.4c ) en el que tanto el semiconductor de potencia como el diodo están cortados. Por lo tanto, los análisis de los circuitos de la fig. 5.4a y fig. 5.4b darán lugar a las mismas ecuaciones que en el MCC, y lo único que se debe realizar en el MCD es el análisis del circuito de la fig. 5.4c , del que se extraen las ecuaciones (5.18) y (5.19): i2=0,(5.16) iL=i1=N2 N1 i2=0,(5.17) vL=0,(5.18) iC=−io,(5.19) is=0.(5.20) Como en MCD hay un intervalo más de funcionamiento, habrá que definir el tiempo que dura éste. Así, se define D1T como la fracción de tiempo del periodo de trabajo T correspondiente al circuito de la fig. 5.4b y el resto de tiempo hasta completar el período será el correspondiente al circuito de la fig. 5.4c. La evolución de las formas de onda características del convertidor flyback en un período de trabajo en MCD, una vez obtenidas las ecuaciones, es la mostrada en la fig. 5.5. 5.4 Límite entre modos de conducción El límite entre el MCC y el MCD es aquel en el que la corriente por la bobina de magnetización llega a ser cero pero sólo durante un instante, y no durante un periodo de tiempo. Este caso se puede considerar como un caso particular del MCC donde imin L=0. Esto se observa mejor en la fig. 5.6. Si se calcula la corriente media por la bobina en esta situación, se obtendrá lo que se conoce como IL boundary ( ILB ), que no es mas que el valor de IL en el límite entre ambos modos de conducción. Si en un
5.4 Límite entre modos de conducción 37 S is(t) V d S is(t) V d a b S is(t) V d c Figura 5.4 Intervalos de funcionamiento del convertidor flyback en MCD. convertidor IL>ILB , éste estará en MCC; si IL<ILB , estará en MCD; y si IL=ILB estará justo en el límite entre ambos modos de conducción. ILB =1 TZT 0 iLBdt =1 TT∆iL 2=∆iL 2.(5.21) Lo mismo puede hacerse para la corriente media en la salida, obteniéndose así la Io boundary ( IoB ). Al igual que con la IL , hay tres casos: si en un convertidor se da que Io>IoB , estará en MCC; si Io<IoB , estará en MCD; y si Io=IoB, estará justo en el límite entre ambos modos. IoB =1 TZT 0 ioBdt =1 TZDT 0 −iCBdt +ZT DT (N1 N2 iLB −iCB)dt= =1 T N1 N2 (1−D)T∆iL 2=N1 N2 (1−D)ILB.(5.22)
38 Capítulo 5. Convertidor Flyback DT T t m3 Figura 5.5 Curvas características del convertidor flyback en MCD. T ¢iL DT iLB(t) t Figura 5.6 Corriente por la bobina de magnetización en un convertidor Flyback en el límite entre los modos MCC y MCD. 5.5 Parámetros del convertidor Flyback en MCC 5.5.1 Rizado de corriente en la bobina El rizado de la corriente de la bobina de magnetización se define como: ∆iL=imax L−imin L(5.23) siendo imax L y imin L los valores máximo y mínimo de la corriente que circula por la bobina. Por otro lado, se puede hacer uso de las expresiones (5.8) y (5.11) , que expresaban la evolución de la corriente de la bobina de magnetización en los dos intervalos de funcionamiento. De este modo: ∆iL=m1DT =Vd LDT.(5.24) ∆iL=−m2(1−D)T=N1 N2 Vo L(1−D)T.(5.25) Nótese que a partir de ahora se hará uso del valor constante Vo en lugar de vo para la tensión de salida, tal y como se indicó en las suposiciones iniciales del análisis de los convertidores de potencia incluidos en la sección 1.
5.5 Parámetros del convertidor Flyback en MCC 39 5.5.2 Relación entre la tensión de entrada y la tensión de salida Partiendo de las expresiones (5.24) y (5.25), se obtiene lo siguiente: Vd LDT =N1 N2 Vo L(1−D)T; VdD=N1 N2 Vo(1−D); Vo=N2 N1 D 1−DVd.(5.26) La expresión (5.26) es la que relaciona la tensión de salida con la tensión de entrada en función del duty cycle. Observando esta expresión, se puede observar que el convertidor flyback se comporta como un convertidor de tipo reductor-elevador en función de los valores de ratio de transformación N2/N1y el valor de duty cycle D. 5.5.3 Corriente media por la bobina La corriente media que circula por la bobina se define como: IL=1 TZT 0 iLdt.(5.27) Como ya se dispone de la expresión de iL en todo el periodo de trabajo, esta integral se puede calcular analíticamente. Sin embargo, otro modo de calcular IL es hallar el área bajo la curva de iL , con ayuda de la fig. 5.3. El área bajo esta curva se puede descomponer como un rectángulo de base T y de altura imin L , y un triángulo de base Ty altura ∆iL. Empleando esto, la integral queda como: IL=1 TTimin L+T∆iL 2; IL=imin L+∆iL 2.(5.28) Despejando imin L de la ecuación (5.28) , y recordando la definición del rizado de corriente por la bobina, ecuación (5.23), se puede obtener lo siguiente: imin L=IL− ∆iL 2;(5.29) imax L=IL+∆iL 2.(5.30) Las ecuaciones (5.29) y (5.30) permiten saber que el valor de la corriente media por la bobina es justo el valor medio de los valores límite del rizado de la corriente que circula por ella, es decir, IL=(imax L+imin L) /2. 5.5.4 Corriente media de salida Se define la corriente media a la salida del convertidor como: Io=1 TZT 0 iodt.(5.31) Haciendo uso de las ecuaciones en las que se tiene la evolución de la corriente de salida io , (5.4) y (5.12) , se puede obtener que Io=1 TZDT 0 −iCdt +ZT DT (N1 N2 iL−iC)dt.(5.32)
40 Capítulo 5. Convertidor Flyback Además, al estar en régimen permanente se asume que la tensión media en el condensador no varía, es decir, debe cumplirse que 1 TZT 0 iCdt =0.(5.33) Sabiendo esto, la ecuación (5.33) se simplifica, obteniéndose: Io=1 TZT DT N1 N2 iLdt.(5.34) Esta integral puede resolverse tal y como se hizo en el apartado anterior, es decir, calculando el área bajo la curva de iL, esta vez sólo en el intervalo de no conducción: Io=1 T N1 N2(1−D)Timin L+(1−D)T∆iL 2; Io=N1 N2 (1−D)imin L+∆iL 2=N1 N2 (1−D)IL.(5.35) 5.5.5 Corriente media de entrada Gracias a que se tienen las expresiones (5.5) y (5.13) , se puede calcular la corriente media de la fuente de entrada como: Is=1 TZT 0 isdt =1 TZDT 0 iLdt =1 Timin LDT +DT ∆iL 2=DIL.(5.36) 5.5.6 Rizado de la tensión de salida Se define el rizado de la tensión de salida, en por unidad, como: ∆vo Vo =∆Q CVo =DTIo CVo (5.37) Siendo ∆Q el valor absoluto de la variación de carga (bien sea positiva o negativa) en el condensador durante un periodo de trabajo. Esto se puede calcular como el área positiva o negativa de la corriente iC , en valor absoluto. Nótese que la expresión (5.37) es solo válida si iC2≥0 . Sin embargo, esta condición no es siempre válida y se debe también analizar el caso contrario, es decir, cuando se obtenga que iC2<0 . Como se observa en la fig. 5.7, en este caso lo más sencillo es tener en cuenta el área del triángulo sombreado para el cálculo de la variación de carga del condensador de salida. Sin embargo, no sabemos cuándo la corriente por el condensador será cero, es decir, no se conoce la base de dicho triángulo definido como δT. Para calcularla, se hará uso de la propiedad de semejanza de triángulos entre el triángulo sombreado ya mencionado, y el triángulo descrito por los tres vértices marcados en verde, del siguiente modo:
5.6 Parámetros del convertidor en MCD 41 δT (1−D)T=iC1 iC1−iC2 ; δ (1−D)= N1 N2imax L−Io N1 N2imax L−Io−N1 N2imin L+Io ; δ (1−D)= N1 N2imax L−Io N1 N2 ∆iL ; δ= (1−D) N1 N2imax L−Io N1 N2 ∆iL .(5.38) Y por lo tanto, el valor del rizado de tensión a la salida se podrá obtener como: ∆vo Vo =δT(N1 N2imax L−Io) 2CVo ; ∆vo Vo =(N1 N2imax L−Io)2 2CVo N1 N2 ∆iL (1−D)T.(5.39) -Io iC (t) iC1 iC2 DT T δT t Figura 5.7 Evolución de la corriente por el condensador de salida del convertidor elevador en MCC suponiendo que iC2<0. 5.6 Parámetros del convertidor en MCD 5.6.1 Rizado de la corriente en la bobina El rizado de corriente en la bobina en MCD se define como: ∆iL=imax L=Vd LDT =N1 N2 Vo LD1T.(5.40) 5.6.2 Relación entre la tensión de entrada y la tensión de salida Partiendo de las expresiones incluidas en la ecuación (5.40) , se puede obtener la relación que existe entre la tensión de salida Vo, la tensión de entrada Vd, el valor de duty cycle Dy el parámetro D1: VdD=N1 N2 VoD1; Vo=Vd N2 N1 D D1 .(5.41)
42 Capítulo 5. Convertidor Flyback 5.6.3 Corriente media por la bobina Se procede hallando el área bajo la curva de iL, llegándose a que IL=1 TZT 0 iLdt =1 T(D+D1)T∆iL 2= (D+D1)∆iL 2.(5.42) 5.6.4 Corriente media de salida Se define la corriente media a la salida como: Io=1 TZT 0 iodt.(5.43) En este caso, haciendo uso de las expresiones de la corriente io en cada uno de los intervalos de funcionamiento del convertidor en MCD, introducidas en (5.4), (5.12) y (5.21), se tiene que: Io=1 TZT 0 iodt =1 TZDT 0 −iCdt +Z(D+D1)T DT (N1 N2 iL−iC)dt +ZT (D+D1)T −iCdt Una vez más, haciendo uso de que la integral en todo el periodo de trabajo de iCes cero: Io=1 TZ(D+D1)T DT N1 N2 iLdt =1 T N1 N2 D1T∆iL 2=N1 N2 D1 ∆iL 2.(5.44) 5.6.5 Corriente media de entrada Se puede calcular la corriente media de la fuente de entrada sabiendo que is=iL en el intervalo de conducción y es cero en los demás intervalos. Por tanto, se debe cumplir que: Is=1 TZT 0 isdt =1 TZDT 0 iLdt =1 TDT ∆iL 2=D∆iL 2(5.45) 5.6.6 Rizado de la tensión de salida Se define el rizado de tensión a la salida, en por unidad, como: ∆vo Vo =∆Q CVo =δT(imax L−Io) 2CVo .(5.46) -Io iC (t) iC1 DT T δT (D+D1)T t Figura 5.8 Evolución de la corriente por el condensador de salida del convertidor elevador en MCD. Procediendo del mismo modo que en MCC, es decir, aplicando la propiedad de semejanza de triángulos entre el triángulo sombreado y el defindo por los vértices verdes, se puede obtener el valor de δcomo:
5.7 Balance de potencia 43 δT D1T=iC1 iC1−Io ; δ D1 = N1 N2imax L−Io N1 N2imax L−Io−(−Io); δ D1 = N1 N2imax L−Io N1 N2 ∆iL ; δ=D1 N1 N2imax L−Io N1 N2 ∆iL .(5.47) Finalmente, el valor del rizado de tensión a la salida es: ∆vo Vo =δT(N1 N2imax L−Io) 2CVo ; ∆vo Vo =(N1 N2imax L−Io)2 2CVo N1 N2 ∆iL D1T.(5.48) 5.7 Balance de potencia En el capítulo 1 se explicó el balance de potencia, obteniéndose la siguiente ecuación: VdIs=VoIo.(5.49) En el convertidor reductor en MCC se cumple que: VdDIL=VoIo.(5.50) Por otro lado, en el convertidor reductor en MCD se cumple que: VdD∆iL 2=VoIo.(5.51) En esta expresiones, habrá que sustituir la corriente media Io con la expresión correspondiente al modo de funcionamiento en el que se encuentre el convertidor. 5.8 Corrientes y tensiones máximas por el diodo y el interruptor de potencia A la vista de los circuitos de la fig. 5.4, se puede conocer la evolución de las corrientes y las tensiones por el diodo y el interruptor de potencia (IGBT) que componen este convertidor. La evolución se observa en la fig. 5.9 De este modo, las tensiones y corrientes máximas por el diodo y por el interruptor de potencia son las siguientes:
50 Capítulo 6. Convertidor Forward S V d v 1 (t)v 2 (t) v L (t) v o (t) is(t) iL(t) iC(t) L N1N2 io(t) c S V d v 1 (t)v 2 (t) v L (t) v o (t) is(t) iL(t) iC(t) L N1N2 io(t) S V d v 1 (t)v 2 (t) v L (t) v o (t) is(t) iL(t) iC(t) L N1N2 io(t) i 1 (t) i 1 (t) i 2 (t) i 2 (t) i 1 (t)i 2 (t) D1 D2 D1 D2 D1 D2 a b Figura 6.6 Intervalos de funcionamiento del convertidor forward en MCD. características del convertidor forward en un período de trabajo en MCD, una vez obtenidas las ecuaciones, es la mostrada en la fig. 6.7. 6.4 Límite entre modos de conducción El límite entre el MCC y el MCD es aquel en el que la corriente por la bobina llega a ser cero, pero sólo durante un instante, y no durante un período de tiempo. Este caso se puede considerar como un caso particular del MCC donde imin L=0. Esto se observa mejor en la fig. 6.8. Si se calcula la corriente media por la bobina en esta situación, se obtendrá lo que se conoce como IL boundary ( ILB ), que no es más que el valor de IL cuando el convertidor opera justo en el límite entre ambos modos de conducción. Si en un convertidor IL>ILB , éste estará en MCC; si IL<ILB , estará en MCD; y si IL=ILB estará justo en el límite entre ambos modos de conducción. ILB =1 TZT 0 iLBdt =1 TT∆iL 2=∆iL 2.(6.23) Lo mismo puede hacerse para la corriente media en la salida, obteniéndose así la Io boundary ( IoB ). Al igual que con la IL , hay tres casos: si en un convertidor se da que Io>IoB , estará en MCC; si Io<IoB , estará en MCD; y si Io=IoB, estará justo en el límite entre ambos modos. IoB =1 TZT 0 ioBdt =1 TZT 0 (iLB −iCB)dt =ILB =∆iL 2.(6.24)
6.5 Parámetros del convertidor elevador en MCC 51 (D+D1)TTDT -Vo Figura 6.7 Curvas características del convertidor forward en MCD. T ¢iL DT iLB(t) t Figura 6.8 Corriente por la bobina en un convertidor forward en el límite entre los modos MCC y MCD. 6.5 Parámetros del convertidor elevador en MCC 6.5.1 Rizado de corriente en la bobina El rizado de una corriente en la bobina se define como: ∆iL=imax L−imin L.(6.25) Siendo imax L y imin L los valores máximo y mínimo de la corriente que circula por la bobina. Para determinar este rizado, se puede hacer uso de las expresiones (6.17) y (6.21) que expresaban la evolución de la corriente por la bobina en los dos intervalos de funcionamiento. De este modo: ∆iL=m1DT =(N1/N2)Vd−Vo LDT.(6.26) ∆iL=−m2(1−D)T=Vo L(1−D)T.(6.27) Nótese que a partir de ahora se hará uso del valor constante Vo en lugar de vo para la tensión de salida, tal y como se indicó en las suposiciones iniciales del análisis de los convertidores de potencia incluidos en la sección 1.
52 Capítulo 6. Convertidor Forward 6.5.2 Relación entre la tensión de entrada y la tensión de salida Partiendo de las expresiones (6.26) y (6.27), se obtiene lo siguiente: (N1/N2)Vd−Vo LDT =Vo L(1−D)T; N2 N1 Vd−VoD=Vo(1−D); N2 N1 Vd−VoD=Vo−VoD; Vo=N2 N1 VdD.(6.28) 6.5.3 Corriente media por la bobina La corriente media que circula por la bobina se define como: IL=1 TZT 0 iLdt.(6.29) Como ya se dispone de la expresión de iL en todo el periodo de trabajo, esta integral se puede calcular analíticamente. Sin embargo, otro modo de calcular IL es hallar el área bajo la curva de iL , con ayuda de la fig. 6.5. El área bajo esta curva se puede descomponer como un rectángulo de base T y de altura imin L , y un triángulo de base Ty altura ∆iL. Empleando esto, la integral queda como: IL=1 TTimin L+T∆iL 2; IL=imin L+∆iL 2.(6.30) Despejando imin L de la ecuación (6.30) , y recordando la definición del rizado de corriente por la bobina, ecuación (6.27), se puede obtener lo siguiente: imin L=IL− ∆iL 2;(6.31) imax L=IL+∆iL 2.(6.32) Las ecuaciones (6.31) y (6.32) permiten saber que el valor de la corriente media por la bobina es justo el valor medio de los valores límite del rizado de la corriente que circula por ella, es decir, IL=(imax L+imin L) /2. 6.5.4 Corriente media de salida Se define la corriente media a la salida del convertidor como: Io=1 TZT 0 iodt.(6.33) Haciendo uso de las ecuaciones en las que se tiene la evolución de la corriente de salida io , (6.14) y (6.20) , se puede obtener que: Io=1 TZT 0 iodt =1 TZT 0 (iL−iC)dt.(6.34) Además, al estar en régimen permanente se asume que la tensión media en el condensador no varía, es decir, debe cumplirse que
6.5 Parámetros del convertidor elevador en MCC 53 1 TZT 0 iCdt =0.(6.35) Sabiendo esto, la ecuación (6.34) se simplifica, obteniéndose: Io=1 TZT 0 iLdt =IL.(6.36) 6.5.5 Corriente media de entrada Gracias a que se tienen las expresiones (6.12) y (6.18) , se puede calcular la corriente media de la fuente de entrada como: Is=1 TZT 0 isdt =1 TZDT 0 i1dt =1 TZDT 0 N2 N1 iLdt =N2 N1 DIL.(6.37) 6.5.6 Rizado de la tensión de salida Se define el rizado de la tensión de salida, en por unidad, como: ∆vo Vo =∆Q CVo .(6.38) Siendo ∆Q la variación de carga en el condensador, la cual se puede calcular como el área positiva o negativa de la corriente iC , en valor absoluto. Nótese en la fig. 6.9 que, debido a la evolución de la corriente por el condensador en este convertidor, lo más fácil será calcular el área positiva, es decir, el área sombreada en rojo de la figura. Sin embargo, para calcular este área, se desconoce cuándo la corriente por el condensador será cero, es decir, no se conoce la duración de δT . Para calcularlo, se hará uso de la semejanza entre el triángulo sombreado en rojo ya mencionado, y el triángulo descrito por los tres vértices marcados en verde, del siguiente modo: δT T=imax L−Io imax L−imin L =∆iL/2 ∆iL ; δ=1 2(6.39) Nótese que, como Io=IL, se puede afirmar que imax L−Io=∆iL/2. Y por lo tanto, el valor del rizado de tensión a la salida será: ∆vo Vo =δT(imax L−Io) 2CVo =δT(∆iL/2) 2CVo =T∆iL 8CVo .(6.40) @T DT T Figura 6.9 Evolución de la corriente por el condensador de salida del convertidor forward en MCC.
54 Capítulo 6. Convertidor Forward 6.6 Parámetros del convertidor en MCD 6.6.1 Rizado de la corriente en la bobina El rizado de corriente en la bobina en MCD se define como: ∆iL=imax L=(N2/N1)Vd−Vo LDT =Vo LD1T.(6.41) 6.6.2 Relación entre la tensión de entrada y la tensión de salida Partiendo de las expresiones incluidas en la ecuación (6.26) , se puede obtener la relación que existe entre la tensión de salida Vo, la tensión de entrada Vd, el valor de duty cycle Dy el parámetro D1: (N2/N1)Vd−VoD=VoD1; Vo=N2 N1 D D+D1 Vd.(6.42) 6.6.3 Corriente media por la bobina Se procede hallando el área bajo la curva de iL, llegándose a que IL=1 TZT 0 iLdt =1 T(D+D1)T∆iL 2= (D+D1)∆iL 2.(6.43) 6.6.4 Corriente media de salida Se define la corriente media a la salida como: Io=1 TZT 0 iodt.(6.44) En este caso, haciendo uso de las expresiones de la corriente io en cada uno de los intervalos de funcionamiento del convertidor en MCD, introducidas en (6.16), (6.23) y (6.24), se tiene que: Io=1 TZT 0 iodt =1 TZT 0 (iL−iC)dt Una vez más, haciendo uso de que la integral en todo el periodo de trabajo de iCes cero: Io=1 TZT 0 iLdt =IL= (D+D1)∆iL 2.(6.45) 6.6.5 Corriente media de entrada Gracias a que se tienen las expresiones (6.12) , (6.18) y (6.22) , se puede calcular la corriente media de la fuente de entrada como: Is=1 TZT 0 isdt =1 TZDT 0 i1dt =1 TZDT 0 N2 N1 iLdt =N2 N1 D∆iL 2.(6.46) 6.6.6 Rizado de la tensión de salida Se define el rizado de tensión a la salida, en por unidad, como:
6.7 Balance de potencia 55 ∆vo Vo =∆Q CVo =δT(imax L−Io) 2CVo .(6.47) @T DT T (D+D1)T Figura 6.10 Evolución de la corriente por el condensador de salida del convertidor forward en MCD. Procediendo del mismo modo que en MCC, es decir, aplicando la propiedad de semejanza de triángulos entre el triángulo sombreado y el definodo por los vértices verdes, se puede obtener el valor de δcomo δT (D+D1)T=imax L−Io ∆iL ; δ=(imax L−Io) ∆iL (D+D1).(6.48) Y por lo tanto, el valor del rizado de tensión a la salida se podrá obtener como ∆vo Vo =(imax L−Io) 2CVo δT=(imax L−Io)2 2CVo∆iL (D+D1)T.(6.49) Como en este convertidor, en MCD, se cumple que Io=ILy que imax L=∆iL: ∆vo Vo =(∆iL−IL)2 2CVo∆iL (D+D1)T.(6.50) 6.7 Balance de potencia En el capítulo 1 se explicó el balance de potencia, obteniéndose la siguiente ecuación: VdIs=VoIo.(6.51) En MCC el convertidor forward cumple que Is=N2 N1DIL, por lo tanto: Vd N2 N1 DIL=VoIo.(6.52) Por otro lado, en MCD el convertidor forward cumple que: Vd N2 N1 D∆iL 2=VoIo.(6.53) En esta expresión, habrá que sustituir la corriente media Io que, en el convertidor Forward tanto en MCC como en MCD cumple que Io=IL , con la expresión correspondiente de IL para cada modo de funcionamiento en el que se encuentre el convertidor.
56 Capítulo 6. Convertidor Forward 6.8 Corrientes y tensiones máximas por los diodos y el interruptor de potencia A la vista de los circuitos de la fig. 2.3, se puede conocer la evolución de las corrientes y las tensiones por los diodos D1 y D2 y el interruptor de potencia (IGBT) que componen este convertidor. La evolución se observa en la fig. 6.11 DT (D+D1)TT t vak 1(t) - Vd-Vo - vak 2(t) --Vo vIGBT (t) Vd Vo+Vd iak2 (t) iL max iak1 (t) iL max iIGBT (t) iL max Figura 6.11 Evolución de las corrientes y tensiones por los diodos y el interruptor de potencia. De este modo, las tensiones y corrientes máximas por los diodos y por el interruptor de potencia son las siguientes: vmax ak1=−N2 N3 Vd−Vo(6.54) vmax ak2=−N2 N1 Vdimax ak1=imax L(6.55) imax ak2=imax L(6.56) vmax IGBT =N1 N2 Vo+Vd(6.57) imax IGBT =N1 N2 imax L.(6.58)
7 Problema Boost-1 Enunciado En el convertidor elevador de la figura, se tiene que Vd=5V , la tensión media de salida es Vo=15V y la corriente media en la carga es Io=0.5A . La frecuencia de conmutación es f=25kHz . Si L=150µH y C=220µF, determinar: •El valor de D. •El rizado de la corriente por la bobina. •Corriente de pico por la bobina. •Rizado de tensión a la salida. CR L v o (t) V d S iL(t) is(t) io(t) v L (t) iC(t) Figura 7.1 Esquema del convertidor elevador. Valor de D En primer lugar, tendremos que hallar si el convertidor se encuentra en Modo de Conducción Continua (MCC) o en Modo de Conducción Discontinua (MCD). Para ello, lo primero que se hará será suponer que se encuentra en MCC, en cuyo caso el valor de Dserá el siguiente: Vo=Vd 1−D; D=1−Vd Vo =1−5 15 =0.667. Con el valor de D, se puede determinar IoB: IoB = (1−D)ILB = (1−D)∆iL 2.(7.1) 57
58 Capítulo 7. Problema Boost-1 El valor del rizado de corriente por la bobina es: ∆iL=Vo−Vd L(1−D)T=15 −5 150 ·10−6(1−0.667)4·10−5=0.888A.(7.2) Nótese que se ha empleado que T=1 /f . Conociendo el valor del rizado se puede volver a la expresión (7.1): IoB = (1−0.667)0.888 2=0.148A(7.3) Como en el enunciado se da el valor de la corriente media a la salida, Io=0.5A , se puede afirmar que Io>IoB , y por lo tanto el convertidor se encuentra en MCC, cumpliéndose la suposición inicial y, por tanto, validando todos los cálculos realizados hasta ahora. El valor de Dserá pues el ya calculado, D=0.667. Rizado de corriente por la bobina El rizado de corriente por la bobina se ha calculado ya en la expresión (7.2), y resulta ser ∆iL=0.888A. Corriente de pico por la bobina La corriente de pico por la bobina es imax L, la cual se puede calcular con la expresión: imax L=IL+∆iL 2.(7.4) Para calcular imax L con la ecuación (7.4) es necesario conocer el valor del rizado ∆iL , así como la corriente media por la bobina IL, la cual habrá que calcular del siguiente modo: Io= (1−D)IL; IL=Io 1−D=0.5 1−0.667 =1.5A.(7.5) Volviendo a la ecuación (7.4), el valor de la corriente de pico será: imax L=IL+∆iL 2=1.5015 +0.888 2=1.9455A.(7.6) Rizado de tensión a la salida Para calcular el rizado de tensión a la salida de un convertidor elevador en por unidad en MCC, lo primero que hay que comprobar es el signo de la expresión imin L−Io para saber qué expresión utilizar. Así, se puede calcular lo siguiente: imin L=IL− ∆iL 2=1.5015 −0.888 2=1.055A.(7.7) imin L−Io=1.055 −0.5=0.55A(7.8) Por tanto, al cumplirse que (imin L−Io)>0, se puede obtener el rizado de tensión de salida como: ∆vo Vo =DTIo CVo =0.888 ·0.5 220 ·10−6·15 ·25 ·103=0.004 (7.9)
8 Problema Boost-2 Enunciado En el convertidor elevador de la figura, se tiene que Vd=5V , la tensión media de salida es Vo=10V y la corriente media en la carga es Io=0.3A . La frecuencia de conmutación es f=10kHz . Si L=100µH y C=500µF, determinar: •El valor de D. •El rizado de la corriente por la bobina. •Corriente de pico por la bobina. •Rizado de tensión a la salida. CR L v o (t) V d S iL(t) is(t) io(t) v L (t) iC(t) Figura 8.1 Esquema del convertidor elevador. Valor de D En primer lugar, hay que averiguar si el convertidor se encuentra en Modo de Conducción Continua (MCC) o en Modo de Conducción Discontinua (MCD). Para ello, lo primero que se hará será suponer que se encuentra operando en MCC, en cuyo caso el valor de Dse puede determinar del siguiente modo: Vo=Vd 1−D; D=1−Vd Vo =1−5 10 =0.5. Con el valor de D, se puede hallar IoB: IoB = (1−D)ILB = (1−D)∆iL 2.(8.1) 59
66 Capítulo 9. Problema Double-Boost IL1=Is=3.6A.(9.17) Valores de L1yL2para que los rizados de corriente en las bobinas sean inferiores al 30% Empezando por la bobina 1, imponer esta condición es decir que: ∆iL1 IL1 <0.3; (9.18) El rizado de corriente por la bobina L1se define como: ∆iL1=Vd L1 D1T;(9.19) Por lo que la expresión (9.18) queda como: ∆iL1 IL1 <0.3; VdD1T IL1L1 <0.3; L1>VL1D1T IL10.3; L1>10 ·(2/3)·0.001 3.6·0.3; L1>0.006173H.(9.20) Se procede de igual modo para la bobina L2: ∆iL2 IL2 <0.3; (9.21) El rizado de corriente por la bobina L2se define como: ∆iL2=Vo1 L2 D2T;(9.22) Por lo que la expresión (9.21) queda como: ∆iL2 IL2 <0.3; Vo1D2T IL2L2 <0.3; L2>Vo1D2T IL20.3; L2>30 ·(1/2)·0.001 1.2·0.3; L2>0.04167H.(9.23) Valor máximo y mínimo de las corrientes por las bobinas Se van a emplear en este apartado valores de las bobinas que cumplan con la restricción del apartado anterior, de tal modo que:
67 L1=8mH (9.24) L2=50mH.(9.25) El rizado de corriente por la bobina L1valdrá entonces: ∆iL1=Vd L1 D1T=10 8·10−3(2/3)·0.001 =0.8333A.(9.26) De tal modo que las corrientes máxima y mínima que circularán por la bobina L1son: imax L1=IL1+∆iL1 2=3.6+0.8333 2=4.017A.(9.27) imin L1=IL1− ∆iL1 2=3.6−0.8333 2=3.183A.(9.28) Del mismo modo, el rizado de corriente por la bobina L2valdrá: ∆iL2=Vo1 L2 D2T=30 50 ·10−3(1/2)·0.001 =0.3A.(9.29) De tal modo que las corrientes máxima y la mínima que circularán por la bobina L2son: imax L2=IL2+∆iL2 2=1.2+0.3 2=1.35A.(9.30) imin L2=IL2− ∆iL2 2=1.2−0.3 2=1.05A.(9.31) Tensiones máximas por los transistores y por los diodos En un convertidor elevador, la tensión máxima a la que se ve sometido el semiconductor de potencia es la tensión de salida. Por otro lado, la tensión máxima a la que se ve sometido el diodo en valor absoluto es también igual a la tensión de salida. Por ello: vmax T1=Vo1=30V.(9.32) vmax T2=Vo2=60V.(9.33) vmax d1=−Vo1=−30V.(9.34) vmax d2=−Vo2=−60V.(9.35) (9.36)
10 Problema Junio 2017 10.1 Enunciado Para el convertidor de la figura operando a f=1kHz se tienen las siguientes curvas de la tensión que soporta la bobina y la corriente que circula por el condensador de salida (donde se observa que imax C=10.2A , imin C=−4A,vmax L=100Vyvmin L=−50V): CR Lv o (t) V d S iL(t) iak(t) io(t) v L (t) iC(t) Figura 10.1 Esquema del convertidor. a) Indicar si el convertidor está trabajando en modo de conducción continua o discontinua y por qué. (1 PUNTO) b) Determinar la potencia media disipada por la carga resistiva así como el valor de R. (1 PUNTO) c) Determinar el valor de la corriente instantánea máxima por la bobina iLmax así como el rizado de corriente IL. (1 PUNTO) d) Calculando la corriente media suministrada por la fuente de entrada, calcular el valor de duty cycle D (1.5 PUNTOS) e) Gracias al cálculo de la corriente media disipada en la carga, calcular el tiempo que el diodo está conduciendo (1.5 PUNTOS) f) Calcular la corriente media por la bobina IL. (1 PUNTO) 69
70 Capítulo 10. Problema Junio 2017 -5 0 5 10 iC(A) -50 0 50 100 vL(V) Figura 10.2 Gráficas. g) Determinar el valor de la bobina L. (1 PUNTO) h) Calcular el valor de la capacidad de salida del convertidor para que el rizado de tensión a la salida sea menor de 0.7 voltios.(2 PUNTOS) 10.1.1 Modo de conducción del convertidor A la vista de las gráficas de la fig. 10.2, se puede observar que hay tres intervalos, por lo que el convertidor está trabajando en MCD. Asimismo, si se comparan estas gráficas con las del análisis del convertidor reductor-elevador en MCD, se puede apreciar que son las mismas. 10.1.2 potencia media disipada por la carga resistiva y valor de R Antes de proceder al cálculo de la potencia a la salida y de la carga resistiva, es necesario realizar un análisis de los intervalos de funcionamiento del convertidor, que por cierto, se trata de un reductor-elevador. En en intervalo de conducción ( 0≤t≤DT ) las ecuaciones que caracterizan a este convertidor, como se vio en su análisis, son las siguientes: vL=Vd;(10.1) iC=−Io.(10.2) Observando la fig. 10.2, observamos que en dicho intervalo (el cual necesariamente ha de ser el que tenga vLpositiva y iCnegativa y constante): vL=100V;(10.3) iC=−4A.(10.4) Volviendo a las ecuaciones (10.1) y (10.2): Vd=100V;(10.5) Io=4A.(10.6) Por su parte, en el intervalo de no conducción ( DT ≤t≤(D+D1)T ), las ecuaciones que caracterizan a este convertidor son las siguientes:
10.1 Enunciado 71 Vl=−vO;(10.7) iC=iL−Io.(10.8) Observando la fig. 10.2, observamos que en dicho intervalo (el cual necesariamente ha de ser el que tenga vLnegativa y iCdecreciente): vL=−50V;(10.9) imax C=10.2A.(10.10) Volviendo a las ecuaciones (10.7) y (10.8): Vo=50V;(10.11) imax L=imax C+Io=14.2A.(10.12) Sabiendo estos valores, se puede proceder al cálculo de la potencia de salida: Po=VoIo=50 ·4=200W.(10.13) Y conociendo la potencia de salida, puede calcularse el valor de la carga resistiva como: Po=IoVo=I2 oR;(10.14) R=Po I2 o =200 42=12.5Ω(10.15) 10.1.3 Valor máximo de la corriente por la bobina y rizado de corriente por la bobina El valor máximo de la corriente por la bobina ya se tiene del apartado anterior, y resulta ser: imax L=14.2A.(10.16) En cuanto al rizado de corriente por la bobina, como el convertidor se encuentra en MCD, se tiene que ∆iL=imax L, y por lo tanto: ∆iL=14.2A.(10.17) 10.1.4 Valor del duty cycle y corriente media por la entrada En primer lugar, se calculará la corriente media por la fuente de entrada, sabiendo que la potencia suministrada por esta ha de ser igual a la potencia de salida según el balance de potencias (Pd=Po): Pd=IdVd;(10.18) Id=Pd Vd =200 100 =2A.(10.19) Según la definición de la corriente media por la fuente de entrada:
72 Capítulo 10. Problema Junio 2017 Id=1 TZT 0 iddt =1 TZDT 0 iLdt =1 TDT ∆iL 2;(10.20) D∆iL 2=Id;(10.21) D=2Id ∆iL =2·2 14.2=0.2817.(10.22) 10.1.5 Tiempo que el diodo está conduciendo El tiempo que el diodo está conduciendo no es más que el tiempo que dura el intervalo de no conducción (del semiconductor de potencia, calaro), es decir, D1. Este puede hallarse con ayuda de la corriente a la salida: Io=IL D1 D+D1 .(10.23) La expresión de la corriente media por la bobina es: IL= (D+D1)∆iL 2.(10.24) Sustituyendo (10.24) en (10.23), se obtiene una expresión de la que se puede despejar D1: Io=D1 ∆iL 2;(10.25) D1=2Io ∆iL =2·4 14.2=0.5634.(10.26) A la vista de lo obtenido, es interesante comprobar si D+D1<1, puesto que si no, estaríamos haciendo algo mal, pero no es el caso, ya que 0.2817 +0.5634 =0.8451 <1. 10.1.6 Corriente media por la bobina Se puede obtener con la siguiente expresión: IL= (D+D1)∆iL 2= (0.2817 +0.5634)14.2 2=6A.(10.27) 10.1.7 Valor de la bobina L Se puede hallar gracias a la definición del rizado de corriente por la bobina, cuyo valor ya se conoce: ∆iL=Vd LDT;(10.28) L=VdDT ∆iL =100 ·0.2817 ·10−4 14.2=1983.4µH.(10.29) 10.1.8 Capacidad del condensador para que el rizado de tensión a la salida sea menor a 0.7 voltios En el convertidor reductor-elevador, en MCD, el rizado de tensión a la salida se calcula como: ∆vo=(∆iL−Io)2 2C∆iL D1T.(10.30) Como se desea que ∆vo<0.7V:
10.1 Enunciado 73 0.7>(∆iL−Io)2 2C∆iL D1T;(10.31) C>(∆iL−Io)2 2·0.7∆iL D1T;(10.32) C>(14.2−4)2 2·0.7·14.2·0.5634 ·10−4;(10.33) C>0.2948mF (10.34)
11 Problema Buck-1 Enunciado En el convertidor reductor de la figura, se tiene que Vd=10V , la tensión media de salida es Vo=50/13V y la corriente media en la carga es Io=8/9 . La frecuencia de conmutación es f=10kHz . Si L=100µH , C=500µFyD=1/3, determinar: •Corriente de pico por la bobina. •El valor de la corriente media por la bobina. •Rizado de tensión a la salida. CR L v o (t) V d S iL(t) iak(t) io(t) v L (t) iC(t) Figura 11.1 Esquema del convertidor reductor. Valor de la corriente de pico por la bobina En primer lugar, tendremos que hallar si el convertidor se encuentra en Modo de Conducción Continua (MCC) o en Modo de Conducción Discontinua (MCD). Para ello, se va a calcular el valor límite de la corriente de salida entre ambos modos de funcionamiento, IoB , suponiendo que el convertidor se encuentra en MCC. Posteriormente, se comparará IoB con la corriente de salida del convertidor, Io , comprobándose si esta suposición es o no correcta. IoB =ILB =∆iL 2.(11.1) El rizado de corriente por la bobina, en MCC, se puede calcular como: ∆iL=Vo L(1−D)T=10 100 ·10−6(1−1 3)·10−4=2.5641A.(11.2) De este modo, el valor límite de la corriente de salida será: IoB =ILB =2.5641 2=1.2821A.(11.3) Se puede afirmar, dado que Io<IoB, que el convertidor está operando en MCD. 75
82 Capítulo 13. Problema Buck-Boost-1 Io>IoB ;Io>(1−D)∆iL 2.(13.2) Sabiendo que en MCC el rizado de corriente por la bobina es: ∆iL=Vo L(1−D)T(13.3) Sustituyendo en la (13.2), la condición para que el convertidor funcione en MCC es: Io>(1−D)2VoT 2L; L>(1−D)2VoT 2Io (13.4) Utilizando la ecuación (13.4) y aplicándola a cada caso según los casos de la tabla 13.1, se obtiene el valor de L correspondiente a cada caso. De ellos, debemos quedarnos con el caso más restrictivo para asegurar que el convertidor funcione en MCC en todo el rango indicado de valores de Vd y de Io . Se obtienen los siguientes valores: a)L>49.383µH, b)L>16.461µH, c)L>74.380µH, d)L>24.793µH.(13.5) De todos ellos, como se ha dicho, se va a elegir el correspondiente al caso más desfavorable (c), de tal modo que se escoge L=75µH. Ahora, se va a escoger el valor de C para cumplir con la especificación de rizado de tensión a la salida. Hay que recordar que el valor del rizado se calculaba como: ∆vO Vo =∆Q CVo (13.6) Donde ∆Q puede calcularse como el área positiva o negativa en valor absoluto de la corriente iC . Este cálculo depende de que imin L−Io sea positivo o no. Por ello, hay que calcular el valor de imin L−Io , para cada uno de los casos de la tabla 13.1 para comprobar su signo. Para ello, habrá que calcular imin L para cada caso del siguiente modo: imin L=IL− ∆iL 2.(13.7) Como IL=Io/1−Dy∆iL= (Vo/L)(1−D)T, la ecuación (13.7) queda como: imin L=Io 1−D−Vo 2L(1−D)T.(13.8) Sustituyendo para cada uno de los 4 casos de este problema, se obtiene lo siguiente:
83 a)imin L−Io=1.25A, b)imin L−Io=3.75A, c)imin L−Io=0.833A, d)imin L−Io=2.5A.(13.9) Como se observa, para todos los casos el valor de imin L−Io es positivo, por lo que el valor del rizado de tensión en la salida se calculará con el área positiva de la curva de iC, del siguiente modo: ∆vO Vo =∆Q CVo =IoDT CVo .(13.10) Como se pide que este rizado sea inferior al 2%, se puede despejar Cde la ecuación (13.10): C≥100IoDT Vo·2.(13.11) Sustituyendo en la ecuación (13.11) para cada uno de los 4 casos de este problema, se obtiene lo siguiente: a)C≥556µF, b)C≥1667µF, c)C≥455µF, d)C≥1364µF.(13.12) A la vista de lo obtenido, nos quedaremos con el valor más restrictivo, es decir, aquel con el valor de capacidad mayor para que el valor del rizado de la tensión de salida sea inferior al 2% para todo el rango de valores considerado de Vdy de Io. Como la condición más restrictiva es C≥1667µF, nos quedaremos con un valor algo superior, tal como C=1800µF.
14 Problema Buck-Boost-2 Enunciado Para el convertidor reductor-elevador de la figura se tienen los siguientes datos: f=10kHz , Vd=15V . La corriente media que circula por el diodo es de 20A y la potencia media suministrada por la fuente de entrada es de 100W. a) Obtener el valor de la bobina mínimo para que el convertidor esté trabajando en modo de conducción continua. (2 PUNTOS) b) Calcular el valor de la bobina mínimo para que el rizado de corriente en la bobina sea menor de 2 amperios. (1 PUNTO) Imponer el valor de la bobina calculado en el apartado b) para el resto del problema. c) Demostrar si el convertidor está trabajando en modo de conducción continuo o discontinuo. (1 PUNTO) d) Calcular el valor de corriente media por la bobina (1 PUNTO) e) Calcular el valor de corriente media que circula por el IGBT (1 PUNTO) f) Calcular el valor de la capacidad de salida del convertidor para que el rizado de tensión a la salida sea menor de 0.5 voltios (2 PUNTOS) g) Calcular la frecuencia mínima de funcionamiento para que el convertidor esté funcionando en el límite entre el modo de conducción continuo y discontinuo (1 PUNTO) h) Calcular las tensiones y corrientes máximas que deben soportar el transistor y el diodo. (1 PUNTO) CR Lv o (t) V d S iL(t) iak(t) io(t) v L (t) iC(t) Figura 14.1 Esquema del convertidor reductor-elevador. Valor mínimo de la bobina para MCC En primer lugar, como se da como dato la corriente media por el diodo, se va a analizar el circuito en sus dos intervalos de funcionamiento en MCC, para conseguir pasar del dato de Iak (corriente media por el diodo) a ILo a Io. 85
86 Capítulo 14. Problema Buck-Boost-2 CR Lv o (t) V d S iL(t) iak(t) io(t) v L (t) iC(t) CR Lv o (t) V d S iL(t) iak(t) io(t) v L (t) iC(t) a b is(t) is(t) Figura 14.2 Intervalos de funcionamiento del convertidor reductor-elevador en MCC. Analizando primero el intervalo de conducción, es decir, la fig. 14.2a, se obtienen las siguientes ecuaciones: id=IL;(14.1) iak =0; (14.2) Asimismo, si se analiza el intervalo de no conducción, es decir, la fig. 14.2b, se obtienen las siguientes ecuaciones: id=0; (14.3) iak =iL;(14.4) La evolución de las corrientes por la fuente, por el diodo y por la bobina se presenta en la fig. 14.3. DT T i (t) iLmin Vd/L iLmax iL (t) iLmin Vd/L-Vo /L iLmax iak (t) iLmin -Vo /L iLmax Figura 14.3 Evolucion de corrientes en el circuito. A la vista de la fig. 14.3, se puede afirmar lo siguiente:
87 Iak =IL(1−D);(14.5) Id=ILD;(14.6) Si se suman las ecuaciones 14.5 y 14.6, se obtiene lo siguiente: Iak +Id=IL(1−D)+ILD=IL;(14.7) Ya se tiene una ecuación para hallar IL . Sin embargo, no se tiene el valor de Id , pero como se tiene la potencia y la tensión de la fuente de entrada, se puede calcular como: Id=Pd Vd =100 15 =6.667A.(14.8) De este modo, regresando a la ecuación (14.7), se obtiene: IL=6.667 +20 =26.667A.(14.9) Asimismo, se puede obtener ya el valor del dutycycle D: Id=ILD;D=Id IL =6.667 26.667 =0.25. Ya se puede proceder al valor de la bobina para que el convertidor funcione en MCC, para lo cual ha de cumplirse la siguiente condición: IL≥ ∆iL 2=Vd 2LDT; L≥Vd 2IL DT; L≥15 2·26.667 ·0.25 ·10−4; L≥7.03µH.(14.10) Valor de la bobina para que el rizado de corriente sea menor de 2A Se procede utilizando la fórmula del rizado de corriente por la bobina, del siguiente modo: ∆iL<2; Vd LDT <2 L>VdDT 2; L>15 ·0.25 ·10−4 2 L>187.5µH.(14.11) A partir de ahora, se utilizará el valor L=187.5µH.
88 Capítulo 14. Problema Buck-Boost-2 Demostrar en qué modo de funcionamiento está operando el convertidor Para averiguar en qué modo de funcionamiento se encuentra el convertidor, se supone que funciona en MCC y se comprueba si se cumple la condición del límite entre ambos modos de funcionamiento, es decir, la siguiente: IL≥ILB ∆iL 2.(14.12) El valor de IL ya se conoce, del apartado anterior, ya que éste no depende de L , sino solo de datos del enunciado que aplican a este apartado (concretamente, las corrientes medias por el diodo y por la fuente). IL=26.667A.(14.13) Por su parte, el valor del rizado de corriente, en MCC, es el siguiente: ∆iL=Vd LDT =15 187.5·10−6·0.25 ·10−4=2.(14.14) Volviendo a la ecuación (14.12): IL≥ ∆iL 2. 26.667 ≥1.(14.15) Se observa que la condición de MCC se cumple, por lo que es correcto afirmar que el convertidor se encuentra en MCC. Corriente media por la bobina Este valor ya se ha calculado previamente, pues hacía falta para los apartados anteriores, y resultó ser: IL=26.667A.(14.16) Corriente media por el IGBT Observando la fig. 14.2, es fácil observar que la corriente que circula por el IGBT (semiconductor de potencia), es siempre igual a la corriente suministrada por la fuente, en ambos intervalos de funcionamiento. Es por ello que: IIGBT =Id=6.667A.(14.17) Valor de la capacidad del condensador para que el rizado de la tensión de salida sea menor a 2.5V Hay que recordar que según el valor de imin L−Io , la expresión a utilizar para calcular el rizado de tensión a la salida es una u otra. Así, hay que calcular el valor de esta expresión. Para ello, imin L=IL− ∆iL 2=26.667 −1=25.667A.(14.18) Por otro lado, el valor de Iopuede hallar como:
89 Io= (1−D)IL= (1−0.25)·26.667 =20A.(14.19) Como imin L−Io=25.667 −20 =5.667A>0, el rizado de tensión a la salida se calculará como: ∆vo=DTIo C<0.5; C>DTIo 0.5; C>0.25 ·10−4·20 0.5; C>1mF.(14.20) Frecuencia mínima para que el convertidor esté en el límite entre MCC y MCD Para que el convertidor funcione en MCC, se tiene que cumplir que: IL≥ ∆iL 2; IL≥Vd LDT; IL VdD≥T; T≤26.667 ·187.5·10−6 15 ·0.25 ; T≤1.33335 ·10−3s.(14.21) Sabiendo que la frecuencia es la inversa del período de funcionamiento: f=1 T=1 1.33335 ·10−3=750Hz.(14.22) Como en la ecuación 14.21 se tenía el período T máximo, la frecuencia asociada a dicho período será la mínima. Es decir, para no superar dicho valor de T , debemos tener como mínimo una frecuencia de f=750Hz. Corrientes y tensiones máximas por el transistor y el diodo En el convertidor reductor-elevador, la tensión máxima para ambos dispositivos es, en valor absoluto: vmax ak =Vd+Vo,(14.23) vmax IGBT =Vd+Vo.(14.24) La tensión de salida Vodel reductor-elevador, en MCC, se puede calcular como: Vo=Vd D 1−D=15 0.25 1−0.25 =5V.(14.25) Sustituyendo en (14.23) y (14.24), se obtienen las siguientes tensiones: vmax ak =Vd+Vo=15 +5=20V.(14.26) vmax IGBT =Vd+Vo=15 +5=20V.(14.27) En cuanto a las corrientes máximas, en el convertidor reductor-elevador son las siguientes:
90 Capítulo 14. Problema Buck-Boost-2 imax ak =imax L,(14.28) imax IGBT =imax L.(14.29) El valor de imax Les fácilmente calculable como: imax L=IL+∆iL 2=26.667 +1=27.667A.(14.30) Sustituyendo en las ecuaciones (14.28) y (14.29): imax ak =27.667A,(14.31) imax IGBT =27.667A.(14.32)
15 Problema Flyback-1 Enunciado En un convertidor flyback, la tensión de la fuente de entrada Vd=60V y la potencia media suministrada por dicha fuente es 250W . La frecuencia de conmutación del convertidor es 10kHz . Teniendo en cuenta que durante la operación del convertidor se tienen las siguientes curvas con el convertidor operando en régimen permanente, calcular: 7 7.5 6.5 7.3062 6.5861 iL(A) iC(A) -1 0.19975 0.1998 0.19985 0.1999 0.19995 0.2 -0.5556 0 0.5 0.9115 Figura 15.1 Gráficas obtenidas en la operación del convertidor flyback. a) Indicar si el convertidor está funcionando en modo de conducción continua o no y por qué. (1 PUNTO) b) Valor de la corriente media en la bobina. (1 PUNTO) c) Valor de la corriente media en la carga. (1 PUNTO) d) Valor de la tensión media en la carga. (1 PUNTO) e) Determinar la relación de transformación N2/N1. (1 PUNTO) f) Valor de duty cycle aplicado. (1 PUNTO) 91
98 Capítulo 16. Problema Flyback-2 Corriente media por la bobina de magnetización Ya se ha calculado previamente, resultando su valor: IL=3.62325A.(16.18) Corriente máxima y mínima por la bobina de magnetización Como se conoce la corriente media por la bobina, así como su rizado: imax L=IL+∆iL 2=3.62325 +2.76 2=5.00325A.(16.19) imax L=IL− ∆iL 2=3.62325 −2.76 2=2.24325A.(16.20) Corriente media por la fuente de entrada y sus valores máximo y mínimo El valor de la corriente media por la fuente de entrada ya se ha calculado prevamente, y resulta ser: Is=0.72465A.(16.21) En cuanto a los valores máximo y mínimo, como se vio en el análisis de este convertidor, en el intervalo de conducción, la corriente que circula por la fuente es igual a la que circula por la bobina de magnetización. Por otro lado, en el intervalo de no conducción, la corriente por la fuente es nula (ya que el interruptor de potencia no conduce). Por ello, la corriente máxima será igual a la corriente máxima que circula por la bobina de magnetización, y la mínima será 0: imax s=imax L=5.00325A.(16.22) imin s=0A.(16.23) Valor de la capacidad de salida del convertidor para que el rizado de tensión a la salida sea menor del 0.5% Para calcular el rizado de tensión a la salida del convertidor, hay que elegir qué fórmula emplear, dependiendo de si iC2es mayor o menor que 0, es decir, de si (N1/N2)imin L−Ioes mayor o menor que 0. N1 N2 imin L−Io=1 2·2.24325 −1.4493 =−0.3277 <0.(16.24) Como ha resultado ser menor que 0, se empleará la siguiente fórmula para el rizado de tensión de salida: ∆vo Vo =(N1 N2imin L−Io)2 2CVo N1 N2 ∆iL (1−D)T(16.25) De este modo, como se desea que el rizado de tensión sea inferior al 0.5%: (N1 N2imin L−Io)2 2CVo N1 N2 ∆iL (1−D)T<0.005; (16.26) C>(N1 N2imin L−Io)2 2Vo·0.005 ·N1 N2 ∆iL (1−D)T;(16.27) C>(1 2·5.00325 −1.4493)2 2·690 ·0.005 ·1 2·2.76 (1−0.2)·10−4;(16.28) C>9.30µF(16.29)
99 Tiempo que conduce el diodo En MCC, el diodo conduce todo el intervalo de no condución del interruptor de potencia, es decir: (1−D)T= (1−0.2)·10−4=80µs.(16.30) Tensiones y corrientes máximas que deben soportar el transistor y el diodo En el convertidor flyback, las tensiones y corrientes máximas a soportar por estos dos elementos del circuito son las siguientes: vmax ak =−Vd−Vo N2 N1 =−1380 ·2−690 =−3450V.(16.31) imax ak =N1 N2 imax L=1 2·5.00325 =2.5016A.(16.32) vmax IGBT =Vd+N1 N2 Vo=1380 +1 2·690 =1725V.(16.33) imax IGBT =iLmax =5.00325A.(16.34) Cálculo de parámetros para una potencia media suministrada de 100W Corriente media de salida y tensión en la fuente de entrada Para hallar la corriente media de salida, se utiliza el balance de potencia: Po=Ps , y conociendo también el valor de la tensión de salida: Io=Po Vo =100 690 =0.14493A.(16.35) Como esta corriente es menor a la corriente justo en el límite entre ambos modos de conducción ( IoB ) que se había calculado antes, se puede afirmar que el convertidor esta trabajando en MCD. Para hallar la tensión en la fuente de entrada, se hará uso de tres ecuaciones, con 3 incógnitas: la ecuación que relaciona la tensión de entrada con la de salida, la definición de rizado de corriente por la bobina, y la ecuación que relaciona la corriente media de salida con la corriente media por la bobina: VdD=N1 N2 VoD1.(16.36) ∆iL=Vd LDT.(16.37) Io=N1 N2 D1 ∆iL 2.(16.38) Como se observa, es un sistema de tres ecuaciones con 3 incógnitas ( Vd , D1 y ∆iL ). Si se sustituye la ecuación (16.37) en (16.38), y se despeja D1, se obtiene lo siguiente: Io=N1 N2 1 2 Vd LDTD1;(16.39) D1=2IoN2L N1VdDT .(16.40) Si ahora se sustituye en (16.36):
100 Capítulo 16. Problema Flyback-2 Vd=N1 N2 Vo 1 D 2IoN2L N1VdDT ;(16.41) V2 d=Vo 1 D 2IoL DT =690 1 0.2 2·0.14493 ·10 ·10−3 0.2·10−4;(16.42) Vd=707.112V(16.43) Asimismo, se pueden otras dos incógnitas que componían el sistema, obteniendo así el valor de ∆iL y D1 . Volviendo a las ecuaciones (16.40) y (16.37): D1=2·0.14493 ·2·10 ·10−3 707.112 ·0.2·10−4=0.41.(16.44) ∆iL=707.112 10 ·10−30.2·10−4=1.4142A.(16.45) Rizado de corriente por la bobina de magnetización Su valor se ha obtenido ya, y resulta ser: imax L=∆iL=1.4142A.(16.46) Corriente media por la bobina de magnetización Como ya se tiene el valor del rizado de esta corriente, la corriente media puede hallarse del siguiente modo: IL= (D+D1)∆iL 2= (0.2+0.41)1.4142 2=0.4313A.(16.47) Corriente máxima y mínima por la bobina de magnetización La corriente mínima, al estar en MCD, será 0: imin L=0.(16.48) Por su parte, la corriente máxima será igual al rizado de corriente por la bobina: imax L=∆iL=1.4112A.(16.49) Corriente media por la fuente de entrada y sus valores máximo y mínimo En MCD, también se cumple que la corriente media por la fuente de entrada es: Is=D∆iL 2=0.21.1442 2=0.1414A.(16.50) Y sus valores máximo y mínimo, sabiendo que en el intervalo de conducción la corriente por la fuente es igual a la corriente por la bobina: imax s=imax L=1.4142A(16.51) imin s=0.(16.52) Valor de la capacidad de salida del convertidor para que el rizado de tensión a la salida sea menor del 2% Para calcular el rizado de tensión a la salida del convertidor, en MCD, hay que emplear la siguiente fórmula:
101 ∆vo Vo =(N1 N2imax L−Io)2 2CVo N1 N2 ∆iL D1T(16.53) Como se desea que el rizado de tensión sea inferior al 2%: (N1 N2imax L−Io)2 2CVo N1 N2 ∆iL D1T<0.02; (16.54) C>(N1 N2imax L−Io)2 2·0.02 ·Vo N1 N2 ∆iL D1T;(16.55) C>(1 2·1.4142 −0.14493)2 2·0.02 ·690 ·1 2·1.4142 ·0.41 ·10−4;(16.56) C>0.6639µF.(16.57) Tiempo que conduce el diodo En el convertidor Flyback, en MCD, el diodo conduce el tiempo correspondiente a D1: D1T=0.41 ·10−4=41µs(16.58) Tensiones y corrientes máximas que deben soportar el transistor y el diodo En el convertidor flyback, las tensiones y corrientes máximas a soportar por estos dos elementos del circuito son las siguientes: vmax ak =−Vd N2 N1 −Vo=−707.112 ·2−690 =−2104.224V.(16.59) imax ak =N1 N2 imax L=1 2·1.4142 =0.7172A.(16.60) vmax IGBT =Vd+N1 N2 Vo=707.112 +1 2·690 =1052.112V.(16.61) imax IGBT =iLmax =1.4142A.(16.62)
17 Problema Flyback-3 Enunciado Un convertidor Flyback (Tensión de entrada Vd de 15V, bobina de magnetización L de 1mH y potencia consumida en la carga Po =8W) se utiliza para obtener tensiones de salida Vo entre 5 y 36 voltios. El periodo de conmutación del convertidor Tes 250 microsegundos y la relación de transformación es N2 /N1=3 /2. Para una tensión de salida de 36 voltios calcular: a) Valor del duty cycle Da aplicar (1.5 PUNTOS). b) Rizado de corriente en la bobina (1 PUNTO). c) Corriente media por la bobina (1 PUNTO). Para una tensión de salida de 5 voltios calcular: d) Valor del duty cycle Da aplicar (1.5 PUNTOS). e) Rizado de corriente en la bobina (1 PUNTO). f) Corriente media por la bobina (1 PUNTO). Teniendo en cuenta los resultados anteriores, calcular: g) Valor del condensador de salida para que el rizado máximo de tensión a la salida sea de 0.5 voltios (2 PUNTOS). h) Valores máximos de tensión y corriente que deben soportar el transistor y el diodo. (1 PUNTO). S is(t) V d Figura 17.1 Esquema del convertidor flyback. 103
104 Capítulo 17. Problema Flyback-3 Cálculo de parámetros para una tensión de salida de 36V Valor el duty cycle a aplicar En primer lugar, habrá que averiguar en qué modo de funcionamiento está trabajando el convertidor. Se supone que funciona en MCC, y se verá si se cumple la condición de funcionamiento: IL>ILB =∆iL 2.(17.1) En MCC, el duty cycle puede calcularse del siguiente modo: Vo=N2 N1 D 1−DVd;(17.2) 36 =3 2 D 1−D·15; (17.3) D=0.6154.(17.4) El rizado de corriente por la bobina de magnetización sería: ∆iL=Vd LDT =15 10−3·0.6154 ·250 ·10−6=2.3078A.(17.5) En cuanto a la corriente media de salida, como se conoce la potencia consumida en la carga y la tensión en ella: Io=Po Vo =8 36 =0.2222A.(17.6) Y gracias a que se ya se conoce la corriente media de salida, puede calcularse la corriente media por la bobina: IL=Io N2 N1 1 1−D=0.2222 ·1.5·1 1−0.6154 =0.8666A.(17.7) Se comprueba la condición de funcionamiento en MCC, volviendo a la ecuación (17.1): 0.8666 <2.3078 2;(17.8) 0.8666 <1.1539 (17.9) Como se observa, no se cumple la condición, por lo que el convertidor está funcionando en MCD. Por ello, habrá que calcular de nuevo el duty cycle, para lo cual se utilizarán la ecuación del rizado de tensión en la bobina, la ecuación que relaciona las tensiones de entrada y salida, y la ecuación que da la tensión de salida en función del rizado de corriente. Cabe destacar que el valor de la corriente media de salida es el mismo que se ha calculado suponiendo MCC, pues este valor solo depende de Po y de Vo , los cuales son igual en MCC y MCD. ∆iL=Vd LDT (17.10) Vo=Vd N2 N1 D D1 (17.11) Io=N1 N2 D1 ∆iL 2(17.12)
105 Si se sustituye la ecuación (17.10) en (17.12), y se despeja D1: Io=N1 N2 D1Vd 2LDT;(17.13) D1=Io N2 N1 2L VdDT (17.14) Si se sustituye D1en la ecuación (17.11): Vo=Vd N2 N1 D1 Io N2 N12L VdDT =VdDVdDT Io2L;(17.15) D2=VoIo2L V2 dT=36 ·0.2222 ·2·10−3 152·250 ·10−6;(17.16) D=0.5333.(17.17) En cuanto al período D1, si se vuelve a la ecuación (17.12): D1=0.22223 2 2·10−3 15 ·0.5333 ·250 ·10−6=0.3334.(17.18) Rizado de corriente en la bobina En cuanto al rizado de tensión por la bobina de magnetización, volviendo a la ecuación (17.10): ∆iL=15 10−30.5333 ·250 ·10−6=2A.(17.19) Corriente media por la bobina Puede hallarse empleando la siguiente ecuación: IL= (D+D1)∆iL 2= (0.5333 +0.3333)2 1=0.8666A.(17.20) Cálculo de parámetros para una tensión de salida de 5V Valor el duty cycle a aplicar En primer lugar, habrá que averiguar en qué modo de funcionamiento está trabajando el convertidor. Se supone que funciona en MCC, y se verá si se cumple la condición de funcionamiento: IL>∆iL 2.(17.21) En MCC, el duty cycle puede calcularse del siguiente modo: Vo=N2 N1 D 1−DVd;(17.22) 5=3 2 D 1−D·15; (17.23) D=0.1818.(17.24) El rizado de corriente por la bobina de magnetización sería:
106 Capítulo 17. Problema Flyback-3 ∆iL=Vd LDT =15 10−3·0.1818 ·250 ·10−6=0.6818A.(17.25) En cuanto a la corriente media de salida, como se conoce la potencia consumida en la carga y la tensión en ella: Io=Po Vo =8 5=1.6A.(17.26) Y gracias a que se ya se conoce la corriente media de salida, puede calcularse la corriente media por la bobina: IL=Io N2 N1 1 1−D=1.6·1.5·1 1−0.1818 =2.9333A.(17.27) Se comprueba la condición de funcionamiento en MCC, volviendo a la ecuación (17.21): 2.9333 >0.6818 2;(17.28) 2.9333 >0.3409 (17.29) Se cumple la condición, por lo tanto, se puede afirmar que el convertidor está trabajando en MCC, y que su IL,∆iLyDson los que se acaban de calcular. Rizado de corriente en la bobina El rizado de corriente en la bobina ya se tiene del análisis del modo de funcionamiento del convertidor, y resulta ser: ∆iL=0.6818A.(17.30) Corriente media por la bobina La corriente media por la bobina ya se tiene del análisis del modo de funcionamiento del convertidor, y resulta ser: IL=2.9333A.(17.31) Teniendo en cuenta los resultados anteriores, calcular: Valor del condensador de salida para que el rizado máximo de tensión a la salida sea de 0.5 Se va a hallar el valor del condensador para cumplir esta especificación, en los dos casos que se han analizado previamente, para una tensión de salida de 36V y de 5V. En primer lugar, si la tensión de salida es de 36V, el rizado de tensión a la salida puede calcularse mediante la siguiente ecuación: ∆vo Vo = N1 N2imax L−Io)2 2CVo N1 N2 ∆iL D1T(17.32) Este rizado está en tanto por unidad, pero como la condición que se da es en voltios:
107 ∆vo= N1 N2imax L−Io)2 2CN1 N2 ∆iL D1T<0.5; (17.33) C>(N1 N2imax L−Io)2 2·0.5·N1 N2 ∆iL D1T=(2 3·2−0.2222)2 2·0.5·2 3·2·0.3334 ·250 ·10−6;(17.34) C>7.7179 ·10−6F.(17.35) Nótese que se ha empleado que imax L=∆iL, ya que el convertidor se encuentra en MCD. A continuación, se va a calcular el valor del condensador para el caso en el que la tensión de salida es de 5V. En este caso, como el convertidor está en MCC, hay que comprobar si N1/N2imin L−Io es mayor o menor que 0, para saber qué fórmula del rizado de tensión a la salida emplear. Primero, se halla la tensión mínima que circula por la bobina: imin L=IL− ∆iL 2=2.9333 −0.6818 2=2.5924A.(17.36) Y comprobamos: N1 N2 imin L−Io=2 3·2.5924 −1.6=0.1283 >0.(17.37) Como N1/N2imin L−Io es mayor que 0, lo fórmula más sencilla para calcular el rizado de tensión a la salida del convertidor es la siguiente: ∆vo Vo =DTIo CVo (17.38) Del mismo modo que antes, esta fórmula está en tanto por unidad, pero como la especificación se da en voltios: ∆vo=DTIo C<0.5; (17.39) C>DTIo 0.5=0.1818 ·250 ·10−6·1.6 0.5;(17.40) C>1.4544 ·10−4F.(17.41) Una vez analizados los dos casos distintos de la tensión de salida, se ha llegado a las siguientes restricciones para la capacidad del condensador de salida: C>7.7179 ·10−6F.(17.42) C>1.4544 ·10−4F.(17.43) Se elige la más restrictiva, para que se cumplan las dos, de modo que C>1.4544 ·10−6. Valores máximos de tensión y corriente que deben soportar el transistor y el diodo En el convertidor Flyback, tanto en MCC como en MCD, se cumple que las corrientes máximas por el diodo y por el transistor son las siguientes: imax ak =N1 N2 imax L,(17.44) imax IGBT =imax L(17.45)
19 Desarrollo de los modelos de simulación en PLECS En este apartado se explicará cómo incluir librerías en el software de simulación PLECS, con el fin de probar el funcionamiento de los distintos convertidores y observar cómo cambian los resultados en función de los parámetros empleados. En primer lugar, se deben extraer los archivos correspondientes a los convertidores en un directorio que tendremos que recordar más adelante. Estos archivos integran convertidores de potencia dc/dc que ya funcionan por sí solos, es decir, si se abren y se conectan los subsistemas a una fuente de entrada y a una resistencia de salida, se eligen los parámetros (bobina y condensador) y se le proporciona el duty cycle, se puede observar su comportamiento tras ejecutar la simulación. Para facilitar el proceso de simulación se van a incluir en este trabajo los archivos necesarios para integrar los convertidores en el catálogo de librerías de PLECS con el fin de poder utilizarlos fácilmente en futuros modelos más complejos de una forma rápida y sencilla. Convertidor Elevador L: 3e-6 C: 3e-3 V in+ V in- D V o+ V o- Figura 19.1 Esquema del convertidor elevador (desarrollado en PLECS). Una vez ubicados los archivos en el directorio deseado, se debe abrir el que se quiera incluir como librería en PLECS. Por ejemplo, si se abre el convertidor elevador, tendría que verse el esquema de la fig. 19.1 . En ella, se observa el subsistema correspondiente al convertidor elevador, que tiene como entradas la tensión de entrada (puertos Vin+ y Vin-) y el valor de duty cycle. Además, pueden definirse los parámetros físicos de este convertidor, que son el valor de la bobina y la capacidad del condensador de salida. Para ello, basta con hacer doble click e introducir los valores deseados, tal y como se observa en la fig. 19.2. Para incluir este esquema como librería, hay que pulsar en File/PLECS Preferences, y se abrirá una nueva ventana de diálogo. En ella, debemos ir a la pestaña Libraries. En Search path, se debe seleccionar el directorio donde previamente se han guardado los archivos, y en User libraries se debe seleccionar el convertidor que se desee agregar, nombrándolo con el nombre con el que se desea que aparezca en el catálogo de librerías. Una vez hecho esto, se pulsa en Apply, y ya aparecerá como librería en nuestra instalación de PLECS. 115
116 Capítulo 19. Desarrollo de los modelos de simulación en PLECS Figura 19.2 Ventana para introducir parámetros en los modelos de simulación de PLECS.
20 Anexos Modo de funcionamiento Relación entre tensiones Rizado de corriente por la bobina Corrientes máxima y mínima por la bobina Relación entre corrientes a la salida y por la bobina Corriente media por la fuente de entrada Rizado de tensión a la salida MCC MCD si , si no: Convertidor Elevador Figura 20.1 Formulario convertidor elevador. 117
118 Capítulo 20. Anexos Modo de funcionamiento Convertidor Reductor Relación entre tensiones Rizado de corriente por la bobina Corrientes máxima y mínima por la bobina Relación entre corrientes a la salida y por la bobina Rizado de tensión a la salida MCC MCD Corriente media por la fuente de entrada Figura 20.2 Formulario convertidor reductor.
119 Modo de funcionamiento Relación entre tensiones Rizado de corriente por la bobina Corrientes máxima y mínima por la bobina Relación entre corrientes a la salida y por la bobina Rizado de tensión a la salida MCC MCD Corriente media por la fuente de entrada si , si no: Convertidor Reductor-Elevador Figura 20.3 Formulario convertidor reductor-elevador.
120 Capítulo 20. Anexos Modo de funcionamiento Relación entre tensiones Rizado de corriente por la bobina Corrientes máxima y mínima por la bobina Relación entre corrientes a la salida y por la bobina Rizado de tensión a la salida MCC MCD Corriente media por la fuente de entrada si , si no: Convertidor Flyback Figura 20.4 Formulario convertidor flyback.
121 Modo de funcionamiento Relación entre tensiones Rizado de corriente por la bobina Corrientes máxima y mínima por la bobina Relación entre corrientes a la salida y por la bobina Rizado de tensión a la salida MCC MCD Corriente media por la fuente de entrada Convertidor Forward Figura 20.5 Formulario convertidor forward.
Índice de Figuras 2.1 Esquema del convertidor elevador 3 2.2 Intervalos de funcionamiento del convertidor elevador en MCC 3 2.3 Intervalos de funcionamiento del convertidor elevador en MCD 5 2.4 Curvas características del convertidor elevador en MCC 6 2.5 Curvas características del convertidor elevador en MCD 6 2.6 Corriente por la bobina en un convertidor elevador trabajando en el límite entre los modos MCC y MCD 7 2.7 Evolución de la corriente por el condensador de salida del convertidor elevador en MCC suponiendo que (imin L−Io)<010 2.8 Evolución de la corriente por el condensador de salida del convertidor operando en MCD 11 2.9 Evolución de las corrientes y tensiones por el diodo y el interruptor de potencia 12 3.1 Esquema del convertidor reductor 13 3.2 Intervalos de funcionamiento en MCC del convertidor reductor 14 3.3 Curvas características del convertidor reductor en MCC 15 3.4 Intervalos de funcionamiento del convertidor reductor en MCD 16 3.5 Curvas características del convertidor reductor en MCD 16 3.6 Evolución de la corriente por el condensador en el convertidor reductor en MCC 19 3.7 Evolución de la corriente por el condensador de salida con el convertidor operando en MCD 20 3.8 Evolución de la corriente por la bobina cuando el convertidor reductor está operando en el límite entre el MCC y el MCD 21 3.9 Evolución de las corrientes y tensiones por el diodo y el interruptor de potencia 22 4.1 Esquema del convertidor reductor-elevador 23 4.2 Intervalos de funcionamiento del convertidor reductor-elevador en MCC 24 4.3 Curvas características del convertidor reductor-elevador en MCC 25 4.4 Evolución de la corriente por el condensador de salida del convertidor reductor-elevador en MCC si imin L−Io<027 4.5 Evolución de la corriente por la bobina cuando el convertidor está operando en el límite entre MCC y MCD 28 4.6 Intervalos de funcionamiento del convertidor reductor-elevador en MCD 29 4.7 Curvas características del convertidor reductor-elevador en MCD 30 4.8 Evolución de la corriente por el condensador del convertidor reductor-elevador en MCD 31 4.9 Evolución de las corrientes y tensiones por el diodo y el interruptor de potencia 32 5.1 Esquema del convertidor Flyback 33 5.2 Intervalos de funcionamiento del convertidor flyback en MCC 34 5.3 Curvas características del convertidor flyback en MCC 36 5.4 Intervalos de funcionamiento del convertidor flyback en MCD 37 5.5 Curvas características del convertidor flyback en MCD 38 5.6 Corriente por la bobina de magnetización en un convertidor Flyback en el límite entre los modos MCC y MCD 38 5.7 Evolución de la corriente por el condensador de salida del convertidor elevador en MCC suponiendo que iC2<041 123