Teoría del grado y aplicación a la resolución de ecuaciones diferenciales

Universidad de Sevilla Facultad de Matem´aticas Trabajo Fin de Grado: Teor´ıa del Grado y aplicaci´on a la resoluci´on de Ecuaciones Diferenciales Autor: Esperanza MaZambrano Monge Tutor: Juan Casado D´ıaz 18 de junio de 2018 Resumen El objetivo de la presente memoria es introducir los elementos b´asicos de la teor´ıa del grado en espacios de dimensi´on finita (grado de Brouwer) e infinita (grado de Leray-Schauder). Nos centramos especialmente en mostrar su relaci´on con la existencia de soluci´on y la dependencia respecto de los datos para sistemas de ecuaciones no lineales. Muy especialmente consideramos las aplicaciones a la resoluci´on de problemas diferenciales. En este sentido, usamos la teor´ıa en dimensi´on finita para probar la existencia de soluciones peri´odicas y de puntos de equilibrio para sistemas ordinarios. La teor´ıa infinito-dimensional es usada para obtener un resultado bastante general de existencia de soluci´on local para un problema de Cauchy correspondiente a un Sistema Diferencial Ordinario y para probar la existencia de soluci´on d´ebil para el sistema de Navier-Stokes. 3 4 Abstract The goal of the present work is to introduce the basic elements of the degree theory in spaces of finite (Brouwer theory) and infinite (Leray-Schauder theory) dimension. We are mainly interested in showing the relationship with the existence of solution and the dependence with respect to the data for systems of non-linear equations. Specially, we consider the application to the resolution of differential problems. Namely, the finite-dimensional theory is used to show the existence of periodic solutions and critical points for ordinary differential systems. The infinite-dimensional theory is used to get a very general result about the existence of local solution for a Cauchy problem relative to an ordinary differential system and to show the existence of weak solution for the Navier-Stokes system. 5 6 ´ Indice general 1. Introducci´on 9 2. Notaciones 13 3. Grado Topol´ogico en Dimensi´on Finita 15 3.1. Unicidad del Grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.1.1. De C(Ω) a C∞(Ω) ...................... 16 3.1.2. De valores singulares a valores regulares . . . . . . . . . . 17 3.1.3. De aplicaciones de clase C∞a aplicaciones lineales . . . . 18 3.1.4. Algebra lineal puede ayudar . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2. Construcci´on del Grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2.1. CasoRegular......................... 22 3.2.2. De valores Regulares a valores Singulares . . . . . . . . . 23 3.2.3. De C2(Ω) a C(Ω)....................... 24 3.3. Otras Propiedades de el Grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.3.1. Consecuencias de (d1), (d2), d(3) . . . . . . . . . . . . . . 25 3.3.2. Teorema de Brouwer y consecuencias . . . . . . . . . . . . 25 3.4. TeoremadeBorsuk.......................... 34 3.5. La F´ormula Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4. Grado Topol´ogico en Dimensi´on Infinita 37 4.1. Aplicaciones compactas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.1.1. Propiedades de aplicaciones compactas. . . . . . . . . . . 38 4.1.2. El grado Leray-Schauder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.1.3. Propiedades del grado Leray-Schauder. . . . . . . . . . . . 41 7 ´ Indice general 4.1.4. Teorema del Punto Fijo de Schauder. . . . . . . . . . . . 42 5. Aplicaciones del grado en dimensi´on finita. 45 5.1. Ejemplo1................................ 45 5.2. Ejemplo2............................... 52 8 Cap´ıtulo 1 Introducci´on La teor´ıa del grado fue establecida por Luitzen Egbertus Jan Brouwer en 1912 en el caso de funciones continuas fdefinidas en la clausura de un abierto Ω de Rn, con valores en Rn. Se trata de una herramienta topol´ogica relacionada con la existencia de soluci´on y su dependencia respecto a los datos para sistemas de ecuaciones no lineales del tipo f(x) = y. En su origen la idea es generalizar al menos en cierto sentido el resultado cl´asico para una funci´on anal´ıtica en un dominio del plano complejo que nos dice que si tenemos una curva continua cerrada Γ contenida en un abierto conexo Ω ⊂Cy una funci´on anal´ıtica fen Ω entonces para todo a∈C\Γ se tiene 1 2πi ZΓ f0(z) f(z)−adz =X k ω(Γ, zk)αk∈Z, donde los valores zkson las ra´ıces de la ecuaci´on f(z) = a,ω(Γ, zk) el n´umero de giros que describe Γ en torno a ayαksu multiplicidad. Varios resultados acerca de la dependencia continua de este valor con respecto a f,ay Γ son conocidos y han sido estudiados en la asignatura Funciones de una Variable Compleja de tercer curso del grado de Matem´aticas. La teor´ıa del grado va a proporcionar una herramienta similar pero en abiertos de Rny para funciones que s´olo necesitan ser continuas. Dados un conjunto abierto y acotado Ω ⊂Rn, una funci´on continua en Ω y un valor y /∈f(∂Ω), el grado d(f, Ω, y) es un valor entero asociado a la tripleta (f, Ω, y) relacionado con el n´umero de soluciones de la ecuaci´on y=f(x) y que depende de forma continua con respecto a fey, m´as concre- 9 Cap´ıtulo 3. Grado Topol´ogico en Dimensi´on Finita (d3) d(h(t, .),Ω, y(t)) es independiente de t∈J= [0,1] si h:J×Ω→Rn continua, y:J→Rncontinua e y(t)/∈h(t, ∂Ω),∀t∈J. A fin de demostrar el Teorema 3.1, la idea es definir primero ´este para funciones fm´as regulares que s´olo continuas y puntos yde Rn\f(Ω) con propiedades especiales. El resultado general se muestra posteriormente mostrando como las definiciones correspondientes a casos especiales se extienden por continuidad. El proceso correspondiente es llevado a cabo a trav´es de una serie de resultados que presentamos a continuaci´on. 3.1.1. De C(Ω) aC∞(Ω) El primer paso de esta reducci´on es probar que dya est´a determinada de manera ´unica por sus valores en funciones de clase C∞. Para ello, usamos Proposici´on 3.1. Sea A⊂Rncompacto y f:A→Rncontinua. Entonces fpuede ser extendida continuamente a Rn, es decir, ∃∼ f:Rn→Rntal que ∼ f(x) = f(x)para x∈A. Proposici´on 3.2. 1. Sea A⊂Rncompacto, f∈C(A)yε > 0. Entonces existe una funci´on g∈C∞(Rn)tal que |f(x)−g(x)| ≤ εen A. 2. Sean f∈C1(Ω), ε > 0yδ > 0tal que Ωδ:= {x∈Ω : %(x, ∂Ω) ≥δ6=∅}, entonces existe g∈C∞(Rn)tal que |f−g|0+ m´ax Ωδ |f0(x)−g0(x)| ≤ ε. Demostraci´on: Sea e funa extensi´on continua de fen Rny sea fα(x) = ZRne f(ξ)ϕα(ξ−x)dξ, x ∈Rn, α > 0, donde (ϕα)α>0es la familia de “mollifiers” ϕα:Rn→Rdefinida por ϕ1(x) =    c·exp −1 1−|x|2si |x|<1 0 si |x| ≥ 1 con c > 0 tal que ZRn ϕ1(x)dx = 1, y ϕα(x) = α−nϕ1(x/α). Entonces, tenemos 16 Cap´ıtulo 3. Grado Topol´ogico en Dimensi´on Finita ϕα∈C∞(Rn), ZRn ϕα(x)dx = 1 y Bα(0) es el soporte de ϕα, i.e. sop(ϕα) = {x∈Rn:ϕα(x)6= 0}=Bα(0), α > 0 Por lo tanto, fα∈C∞(Rn) y l´ımα→0fα(x) = f(x). Finalmente, g=fαcon αsuficientemente peque˜na prueba el primer apartado. El segundo apartado sigue por la diferenciaci´on de fα(x) = ZRn f(ξ+x)ϕα(ξ)dξ para x∈Ωδyα < δ. Sean ahora f∈C(Ω) e y∈f(∂Ω). Entonces α=%(y, f(∂Ω)) >0 y por tanto existe g∈C∞(Ω) tal que |f−g|0< α. La funci´on h: [0,1] ×Ω→Rn, definida por h(t, x) = (1 −t)f(x) + tg(x) es continua y verifica |h(t, x)| ≥ |f(x)−y| − |f−g|0>0, para todo t∈[0,1], x∈∂Ω. Por lo tanto, si existe el grado, aplicando (d3) con y(t)≡yse debe tener d(f, Ω, y) = d(g, Ω, y) Basta entonces definir el grado para funciones en C∞(Ω) 3.1.2. De valores singulares a valores regulares Definici´on 3.1. Sea f∈C1(Ω), un punto y /∈f(∂Ω) se dice regular si para todo x∈Ω tal que f(x) = yse tiene Jf(x)6= 0. Sean f∈C∞(Ω) e y /∈f(∂Ω). Si yes un valor regular de fentonces f(x) = y tiene a lo sumo un n´umero finito de soluciones. Para ver esto, recordamos: Proposici´on 3.3 (Teorema de la funci´on inversa).Sea f∈C1(Ω) yJf(x0)6= 0 para alg´un x0∈Ω. Entonces existe un entorno abierto Ude x0tal que f|Ues un difeomorfismo en un entorno abierto de f(x0). Si yes regular entonces, por definici´on, Jf(x)6= 0 para todo x∈Ω con f(x) = y. La Proposici´on 3.3 implica entonces que estas soluciones son aisladas, es decir, para x0∈f−1(y) existe U(x0) entorno abierto de x0tal que f−1(y)∩ 17 Cap´ıtulo 3. Grado Topol´ogico en Dimensi´on Finita U(x0) = {x0}. En consecuencia, f−1(y) es un conjunto finito. En caso contrario, habr´ıa un punto de acumulaci´on x0∈Ω de soluciones, por la compacidad de Ω. Ya que fes continua esto implicar´ıa f(x0) = yy por lo tanto x0∈Ω ya que y /∈f(∂Ω). Pero entonces x0es aislado, lo cual contradice la existencia de soluciones de f(x) = yconvergiendo a x0. Ahora, sea y0/∈f(∂Ω) cualquier punto. Entonces, para α=%(y0, f(∂Ω)) se tiene Bα(y0)∪f(∂Ω) = ∅. Por tanto, (d3) con h(t, x) = f(x), y(t) = ty0+(1−t)y yy∈Bα(y0) implicar´ıa d(f, Ω, y) = d(f, Ω, y0) para cada y∈Bα(y0). Ya que la siguiente proposici´on garantiza en particular que Bα(y0) contiene valores regulares de f, ser´a suficiente definir el grado para valores regulares. Proposici´on 3.4. Sea Ω⊂Rnabierto y f∈C1(Ω). Entonces µn(f(Sf)) = 0. Observamos que la Proposici´on 3.4 es un caso especial del Lema de Sard : Si Ω ⊂Rnes abierto, f∈C1(Ω) y Ω∗⊂Ω medible, entonces f(Ω∗) es medible yµn(f(Ω∗)) ≤ZΩ∗ |Jf(x)|dx. 3.1.3. De aplicaciones de clase C∞a aplicaciones lineales En esta secci´on solo necesitamos considerar f∈C∞(Ω) e y /∈f(∂Ω∪Sf). Supongamos f−1(y) = ∅. A partir de (d2) con Ω1= Ω y Ω2=∅obtenemos d(f, ∅, y) = 0. Por lo tanto d(f, Ω, y) = d(f, Ω1, y) si Ω1es un subconjunto abierto de Ω tal que y /∈ f(ΩΩ1). En particular, esto implica que si f−1(y) = ∅, entonces d(f, Ω, y) = d(f, ∅, y) = 0. En el caso de que f−1(y) = {x1, . . . , xn}, elegimos entornos disjuntos Uide xiy a partir de (d2) obtenemos d(f, Ω, y) = n X i=1 d(f, Ui, y). Ahora, calculamos d(f, Ui, y): Sea A=f0(xi), se tiene f(x) = y+A(x−xi) + o(|x−xi|) cuando |x−xi| → 0 18 Cap´ıtulo 3. Grado Topol´ogico en Dimensi´on Finita Supongamos detA 6= 0, sabemos entonces que A−1existe y por lo tanto |z|= |A−1Az|≤|A−1||Az|, es decir, |Az| ≥ c|z|en Rnpara alg´un c > 0. A trav´es de esta estimaci´on, vemos que y(t) = ty yh(t, x) = tf(x) + (1 −t)A(x−xi) satisface: |h(t, x)−y(t)|=|A(x−xi) + t·o(|x−xi|)| ≥ c|x−xi| − o(|x−xi|)>0 para todo t∈[0,1] siempre que |x−xi| ≤ δcon δ > 0 suficientemente peque˜no. Por lo tanto d(f, Bδ(xi), y) = d(A−Axi, Bδ(xi),0) por (d3). Como f(x)6=yen Ui\Bδ(xi), se tiene adem´as d(f, Ui, y) = d(f, Bδ(xi), y) por (d2), y por lo tanto d(f, Ui, y) = d(A−Axi, Bδ(xi),0). Por otra parte, como xies la ´unica soluci´on de Ax −Axi= 0, (d2) implica d(A−Axi, Bδ(xi),0) = d(A−Axi, Br(0),0) para Br(0) ⊃Bδ(xi) tomando adem´as h(t, x) = A(x−txi)6= 0 en [0,1] ×∂Br(0) podemos aplicar (d3) para obtener finalmente d(f, Ui, y) = d(f0(xi), Br(0),0). 3.1.4. Algebra lineal puede ayudar Vamos a probar ahora que d(A, Br(0),0) est´a determinada de manera inequ´ıvoca si Aes una aplicaci´on lineal con detA6= 0. De hecho se tiene para todo abierto Ω⊂Rncon 0 ∈Ω d(A, Ω,0) = sgn(detA). Sea Auna matriz real n×ncon detA6= 0, sean λ1, . . . , λmlos autovalores negativos de A y α1, . . . , αmsus multiplicidades como ceros de det(A−λid). An´alogamente tomamos µ1, . . . ,µl; los autovalores positivos y β1. . . βl; su multiplicidad. Sabemos que podemos descomponer Rncomo Rn=N⊕Msiendo N,Msubespacios de Rntales que 1. NyMson invariantes bajo A. 19 Cap´ıtulo 3. Grado Topol´ogico en Dimensi´on Finita 2. A|Ntiene solo los autovalores λ1, . . . , λmyA|Mlos autovalores β1, . . . , βk. 3. dim N= m X k=1 αk Se tiene detA= (−1)α m Y k=1 |λk|αk n Y j=1 µβj jcon α= m X k=1 αk= dimN. Por tanto sgndetA = (−1)α. Consideremos el caso N6={0}ya que en el caso de que As´olo tenga autovalores positivos det(tA + (1 −t)id)6= 0 en [0,1] y por (d3) y (d1) se tiene d(A, Br(0),0) = d(id, Br(0),0) = 1 = sgndetA. Sea α=dimN. Para cada x∈Rnse tiene una ´unica representaci´on x=P1x+ P2xcon P1x∈NyP2x∈M. Definimos las proyecciones lineales P1:Rn→N yP2=id −P1:Rn→M. Entonces A=AP1+AP2es descomposici´on directa de Aya que A(N)⊂NyA(M)⊂Mpor a). Ahora vamos a probar h(t, x) = tAx + (1 −t)(−P1x+P2x)6= 0 en [0,1] ×∂Br(0) (3.1) En primer lugar, vemos que h(0, x) = 0 implica P1x=P2xy por lo tanto P1x=P2x∈N∩M={0}yx= 0. Por otra parte H(t, x) = 0 con t6= 0 significa AP1x=λP1x∈NyAP2x=−λP2x∈Mcon λ=t−1(1 −t)>0 lo cual solo es posible para P1x=P2x= 0, por la observaci´on sobre los autovalores de AP1yAP2. Por lo tanto, (3.1) y (d3) implica d(A, Br(0),0) = d(−P1+P2, Br(0),0). A partir de este resultado, nuestro problema ahora es probar d(−P1+P2, Br(0),0) = (−1)α.(3.2) Usando una homotop´ıa es f´acil comprobar que podemos siempre suponer P1x= (x1,· · · , xα,0,· · · ,0), P2x= (0,· · · ,0, xα+1,· · · , xn), 20 Cap´ıtulo 3. Grado Topol´ogico en Dimensi´on Finita de forma que (−P1+P2)x= (−x1,· · · ,−xα, xα+1,· · · , xn). Vamos a probar (3.2) por inducci´on en α. Si α= 0 ya sabemos que el resultado es cierto. Supongamos entonces el resultado cierto para un cierto α∈N∩ {0} y probemos que entonces tambi´en es cierto para {α+ 1}. Definimos H[0,1] ×B1(0) →RNpor H(x, t)=(−x1,· · · ,−xα,x2 α+1 −1 2+t, xα+2,· · · , xn). Como H(x, t)6= 0 para todo (x, t)∈∂B2(0) ×[0,1] tenemos entonces d(H(1,·), B2(0),0) = d(H(0,·), B2(0),0), pero la ecuaci´on H(1, x) = 0 no tiene soluci´on de forma que d(H(1,·), B2(0),0) y por tanto tenemos tambi´en d(H(0,·), B2(0),0) = 0. Por otra parte, la ecuaci´on H(0, x) = 0, x ∈B2(0) tiene por soluciones x=±eα+1 con eα+1 el vector cuya componente α+ 1 es uno y las dem´as nulas. Por lo ya probado, deducimos entonces que para todo r > 0, se tiene 0 = d(H(0,·), B1(0),0) =d(DxH(0, eα+1), Br(0),0) + d(DxH(0,−eα+1), Br(0),0), (3.3) donde DxH(0, eα+1)(x) = (−x1,· · · ,−xα, xα+1, xα+2,· · · , xn), 21 Cap´ıtulo 3. Grado Topol´ogico en Dimensi´on Finita DxH(0,−eα+1)(x)=(−x1,· · · ,−xα, xα+1, xα+2,· · · , xn). Como (3.3) prueba d(DxH(0,−eα+1), Br(0),0) = −d(DxH(0, eα+1), Br(0),0), y la hip´otesis de inducci´on se deduce entonces que (3.2) es cierto para α+ 1. Los resultados expuestos anteriormente prueban Teorema 3.2. Sea M={(f, Ω, y) Ω ⊂RNabierto y acotado, f ∈C(Ω), y ∈Rn\f(∂Ω)} Entonces existe a lo sumo una funci´on d:M→Zcon las propiedades (d1)-(d3). 3.2. Construcci´on del Grado Al estudiar la unicidad del grado hemos visto como debe definirse. Los resultados en esta secci´on muestran que la correspondiente definici´on es correcta. 3.2.1. Caso Regular Definici´on 3.2. Sea Ω ⊂Rnabierto y acotado, f∈C1(Ω) e y∈Rn\f(∂Ω∪ Sf). Entonces definimos d(f, Ω, y) = X x∈f−1(y) sgnJf(x).(3.4) La primera dificultad ser´a deshacernos de la suposic´on y /∈f(Sf). Ya sabemos que f(Sf) tiene medida nula y por tanto las integrales en este conjunto se anulan. La idea va a ser remplazar la definici´on 3.2 por una integral. Se prueba Proposici´on 3.5. Sea Ω∈Rnabierto y acotado, f∈C1(Ω) , y∈Rn\f(∂Ω∪Sf)y sea (ϕε)ε>0los mollifiers de la prueba de la proposici´on 3.2 . Entonces existe ε0=ε0(y, f)tal que d(f, Ω, y) = ZΩ ϕε(f(x)−y)Jf(x)dx para 0< ε ≤ε0.(3.5) 22 Cap´ıtulo 3. Grado Topol´ogico en Dimensi´on Finita 3.2.2. De valores Regulares a valores Singulares Consideramos f∈C2(Ω) e y0/∈f(∂Ω). Sea α=%(y0, f(∂Ω)) y supongamos y1, y2∈Bα(y0) dos valores regulares de f. Sea δ=α−m´ax{|yi−y0|:i= 1,2}. Por la Proposici´on 3.5 encontramos ε<δ tal que d(f, Ω, yi) = ZΩ ϕε(f(x)−yi)Jf(x)dx para i= 1,2. Ahora, vamos a probar que d(f, Ω, y1) = d(f, Ω, y2). Una vez probado el resultado podemos definir d(f, Ω, y0) como d(f, Ω, y1) ya que sabemos que existe alg´un valor regular y1en Bα(y0). Para probar que la diferencia de las integrales que definen d(f, Ω, y1), d(f, Ω, y2) es cero, primero usamos ϕε(z−y2)−ϕ(z−y1) = div w(z) para w(z) = (y1−y2)Z1 0 ϕε(z−y1+t(y1−y2))dt. Adem´as sop w⊂Br(y0) para r=α−(δ−ε)< α, ya que sop ϕε=Bε(0). Esto implica que f(∂Ω)∩sop w=∅. Esta propiedad nos permite encontrar una aplicaci´on v∈C1(Rn) tal que sop v⊂Ω y [ϕε(f(x)−y2)−ϕε(f(x)−y1)]Jf(x) = div v(x) en Ω de forma que por el teorema de la divergencia se tiene d(f, Ω, y1)−d(f, Ω, y2) = RΩdiv v(x)dx = 0 Para definir vusamos Proposici´on 3.6. Sea Ω⊂Rnabierto, f∈C2(Ω) ydij el cofactor de ∂fj(x)/∂xi en Jf(x), entonces n X i=1 ∂dij(x) ∂xi = 0 para j= 1, . . . , n. Ahora, definimos vi(x) = n X j=1 wj(f(x))dij(x) en Ω y vi(x) = 0 en Rn\Ω para 23 Cap´ıtulo 3. Grado Topol´ogico en Dimensi´on Finita i= 1, . . . , n. Entonces sop w⊂Br(y0)⊂Bα(y0) implica sop v⊂Ω y se tiene ∂ivi(x) = n X j,k=1 dij(x)∂kwj(f(x))∂ifk(x) + n X j=1 wj(f(x))∂idij(x). Lo que usando n X i=1 dij(x)∂ifk(x) = δjkJf(x) con δjk de Kronecker, junto con la Proposici´on 3.6 nos proporciona div v(x) = n X k,j=1 ∂kwj(f(x))δjkJf(x) = div w(f(x))Jj(x) En consecuencia hemos justificado la siguiente definici´on. Definici´on 3.3. Sea Ω ⊂Rnabierto y acotado, f∈C2(Ω) y y∈f(∂Ω). Entonces definimos d(f, Ω, y) = d(f, Ω, y1), donde y1es cualquier valor regular de ftal que |y1−y|< %(y, f(∂Ω)). 3.2.3. De C2(Ω) aC(Ω) En esta seci´on mostramos que el grado de la Definici´on 3.3 coincide para toda funci´on de clase C2(Ω) suficientemente cerca a una aplicaci´on continua dada. Usamos la proposici´on siguiente que damos sin demostrar. Proposici´on 3.7. Sea f∈C2(Ω),y /∈f(∂Ω). Entonces, para g∈C2(Ω) existe δ=δ(f, y, g)>0tal que d(f+tg, Ω, y) = d(f, Ω, y)para |t|< δ. Sea entonces f∈C(Ω), y /∈f(∂Ω) y α=%(y, f(∂Ω)). Consideremos dos funciones g, eg∈C2tal que |g−f|0< α y|eg−f|0< α, y tomamos h(t, x) = g(x) + t(eg(x)−g(x)), ϕ(t) = d(h(t, ·),Ω, y) para t∈[0,1]. Ya que h(t, ·) = h(t0,·)+(t−t0)(eg−g), la Proposici´on 3.7 nos dice que es localmente constante. Como ϕ([0,1]) es un intervalo cerrado se tiene entonces que ϕ([0,1]) se reduce a un punto y por tanto d(g, Ω, y) = d(eg, Ω, y). Definici´on 3.4. Sea f∈C(Ω) e y∈Rn\f(∂Ω). Entonces definimos d(f, Ω, y) := d(g, Ω, y) donde g∈C2(Ω) es cualquier aplicaci´on tal que |g−f|0< %(y, f(∂Ω)) yd(g, Ω, y) viene dado por la Definici´on 3.3. 24 Cap´ıtulo 3. Grado Topol´ogico en Dimensi´on Finita 3.3. Otras Propiedades de el Grado 3.3.1. Consecuencias de (d1), (d2), d(3) Las propiedades b´asicas (d1)-(d3) implica algunas consecuencias importantes que vamos a enumerar como (d4)-(d7) en el siguiente teorema. Teorema 3.3. Sean M={(f, Ω, y):Ω⊂Rnabierto y acotado, f∈C(Ω), y /∈f(∂Ω)}yd:M→Zel grado topol´ogico definido por la Definici´on 3.4. Entonces dtiene las propiedades siguientes. (d4) d(f, Ω, y)6= 0 implica f−1(y)6= 0 (d5) d(·,Ω, y)yd(f, Ω,·)son constantes en {g∈C(Ω) : |g−f|0< r}y Br(y)⊂Rn, respectivamente, donde r=%(y, f(∂Ω)). Adem´as, d(f, Ω,·)es constante en cada componente conexa de Rn\f(∂Ω). (d6) d(g, Ω, y) = d(f, Ω, y)si g|∂Ω=f|∂Ω (d7) d(f, Ω, y) = d(f, Ω1, y)para cada subconjunto abierto Ω1de Ωtal que y /∈f(Ω\Ω1) Demostraci´on: Al comienzo de la Subsecci´on 3.1.3 vimos que (d2) implica (d7) yd(f, Ω, y) = 0 si f−1(y) = ∅lo que tambi´en prueba (d4). Por otra parte, (d6) resulta de (d3) con y(t)≡yyh(t, ·) = tf +(1−t)g. La primera de las dos partes de (d5) se deduce tambi´en usando (d3). Para la ´ultima parte , recordamos que las componentes conexas de Rn\f(∂Ω) son abiertas y que los conjuntos conexos y abiertos de Rnson conexos por arcos. Por lo tanto, si Ces una componente de Rn\f(∂Ω) e y1, y2son dos puntos de C, entonces existe una curva continua y: [0,1] →Ccon y(0) = y1ey(1) = y2. Por lo tanto, el resultado es nuevamente consecuencia de (d3).  Vamos a estudiar ahora varios resultados relacionados con la existencia de soluci´on de ecuaciones no lineales que se deducen de la teor´ıa del grado. 3.3.2. Teorema de Brouwer y consecuencias Una de las aplicaciones m´as importantes de la teor´ıa del grado es que permite obtener una demostraci´on simple del teorema del punto fijo de Brouwer, herramienta b´asica para demostrar la existencia de un punto fijo para una funci´on no lineal en RN. Se recuerda, 25 Cap´ıtulo 3. Grado Topol´ogico en Dimensi´on Finita a la bola unidad cerrada en R2, i.e. Cdebe tener alg´un “agujero”. Observaci´on 3.4. En los teoremas 3.6 y 3.7 hemos hablado por fijar ideas de conjuntos positivamente invariantes. Claramente los resultados son tambi´en ciertos para conjuntos negativamente invariantes. Relacionado con la existencia de soluci´on de una ecuaci´on no lineal en Rn podemos ahora probar como consecuencia de la teor´ıa del grado los siguientes resultados. Teorema 3.8. Sea Ωun conjunto abierto de clase C1tal que Ωes homeomorfo a una bola en Rny sea f: Ω →Rncontinua tal que f(x)·ν(x)≥0,∀x∈∂Ω,(3.10) con νla normal exterior unitaria a Ω. Entonces existe x0∈Ωtal que f(x0)=0 Demostraci´on: Por la proposici´on 3.1 podemos suponer que fest´a en realidad definida en todo Rn. Supongamos primero que fes localmente Lipschitziana en Rny que se verifica f(x)·ν(x)>0,∀x∈∂Ω. En este caso, es f´acil probar que Ω es positivamente invariante para la ecuaci´on u0=−f(u) y por tanto el resultado es consecuencia del Teorema 3.6. Consideremos ahora el caso general. Primero observemos que gracias a la proposici´on 3.1 existe una extensi´on de νque seguimos denotando por νa una funci´on definida en todo Rn. En este caso, tomando fn=f+ν/n, se tiene que fnverifica fn(x)·ν(x) = f(x)·ν(x) + 1 n|ν(x)|2≥1 n,∀x∈∂Ω. Como fn∈C0(Ω), existen ahora gn∈C∞(Rn) tales que kgn−fnk0<1 2n. 32 Cap´ıtulo 3. Grado Topol´ogico en Dimensi´on Finita Se tiene entonces gn(x)·ν(x) = fn(x)·ν(x)+(gn(x)−fn(x)) ·ν(x)≥1 2n,∀x∈Ω. Por tanto, por lo ya probado existe xn∈Ω tal que gn(xn) = 0. Como Ω es compacto, extrayendo una subsucesi´on si es necesario, podemos suponer que xn converge a un punto x0∈Ω, se tiene entonces f(x0) = l´ım n→∞ f(x0)−f(xn) + g(xn)−f(xn)= 0.  Observaci´on 3.5. Como caso particular del Teorema 3.8 se tiene el bien conocido Teorema de Bolzano. Observar que si f: [a, b]→Res continua y es tal que f(a)≤0, f(b)≥0 entonces [a, b] es homeomorfo a [−1,1] y teniendo en cuenta que ν(a) = −1, ν(b) = 1, se tiene que se cumple (3.10), por tanto el Teorema 3.8 da la existencia de un punto x0∈[a, b] tal que f(x0) = 0. En el caso en que f(a)≥0, f(b)≤0 basta con aplicar el resultado a −f. Podemos tambi´en usar el Teorema 3.5 para obtener alg´un resultado de sobreyectividad para una funci´on en Rny por tanto de la existencia de soluci´on de la ecuaci´on f(x) = ypara todo y∈Rn. Se tiene por ejemplo Teorema 3.9. Sea f:Rn→Rncontinua, tal que l´ım ´ınf x→∞ f(x)·x |x|=∞,(3.11) entonces f es sobreyectiva. Demostraci´on: Sea y∈Rn. Gracias a (3.11), existe R > 0 tal que f(x)·x |x|≥ |y|,∀x∈Rn,|x| ≥ R. Sea entonces g=f−ydefinida en BRy observamos que para todo x∈∂BR, se tiene g(x)·ν=g(x)·x |x|=f(x)·x |x|−y·x |x|≥0. Aplicando el Teorema 3.8 se tiene la existencia de x0∈Brtal que g(x0) = 0 o 33 Cap´ıtulo 3. Grado Topol´ogico en Dimensi´on Finita equivalentemente f(x0) = x0. 3.4. Teorema de Borsuk Si queremos probar mediante la teor´ıa del grado que f(x) = ytiene una soluci´on en Ω, tenemos que verificar que d(f, Ω, y)6= 0. El siguiente resultado de Borsuk ayuda mucho. Recordamos que Ω es sim´etrico con respecto al origen si Ω = −Ω, y una aplicaci´on fen Ω es impar si f(−x) = −f(x) para todo x∈Ω. Teorema 3.10. Sea Ω⊂Rnabierto, acotado, sim´etrico con 0∈Ω. Sea f∈ C(Ω) impar y 0/∈f(∂Ω). Entonces d(f, Ω,0) es impar. Corolario 3.1. Sea Ω⊂Rnabierto, acotado, sim´etrico y 0∈Ω. Sea f∈C(Ω) tal que 0/∈f(∂Ω) yf(−x)6=λf(x)en ∂Ωpara todo λ≥1. Entonces d(f, Ω,0) es impar. Como aplicaci´on se tiene Teorema 3.11. Sea Ω⊂Rnabierto y f: Ω →Rncontinua y localmente inyectiva. Entonces fes una aplicaci´on abierta. Demostraci´on: Basta probar que para todo x0∈Ω existe Br(x0) tal que f(Br(x0)) contiene una bola con centro f(x0). Pasando a Ω−x0ye f(x) = f(x+x0)−f(x0) para x∈Ω−x0, si es necesario, podemos suponer x0= 0 y f(0) = 0. Elegimos r > 0 tal que f|Br(0) es inyectiva y consideramos h(t, x) = f1 1 + tx−f−t 1 + txpara t∈[0,1], x ∈Br(0). Tenemos que hes continua en (t, x), h(0,·) = fyh(1, x) = f(1 2x)−f(−1 2x) es impar. Si h(t, x) = 0 para alg´un (t, x)∈[0,1] ×∂Br(0), entonces x1 1 + t=−xt 1 + t ya que fes inyectiva, i.e. x= 0, lo cual es una contradicci´on. Por lo tanto, d(f, Br(0), y) = d(h(1,·), Br(0),0) 6= 0 para cada yen Br(0).(3.12) 34 Cap´ıtulo 3. Grado Topol´ogico en Dimensi´on Finita Entonces se tiene Br(0) ⊂f(Br(0)). Como consecuencia se tiene Corolario 3.2. Un conjunto abierto de Rnno puede ser homeomorfo a un abierto de RKsi K6=n. 3.5. La F´ormula Producto En esta secci´on mostraremos una f´ormula que relaciona el grado de una aplicaci´on compuesta f◦ga partir de gyf. Por medio de esta f´ormula es f´acil probar por ejemplo el teorema de la curva de Jordan. Sea Ω ⊂Rnabierto y f∈C(Ω). Por (d5) sabemos que d(f, Ω, y) es el mismo entero para cada yen una componente conexa Kde Rn\f(∂Ω). Usaremos entonces la notaci´on d(f, Ω, K). Ya que f(∂Ω) es compacto, tenemos una componente ilimitada k∞de Rn\f(∂Ω) si n > 1 y dos si n=1. En estel caso k∞ denotar´a la uni´on de estas dos. Se tiene Teorema 3.12. Sea Ω⊂Rnabierto y acotado, f∈C(Ω),g∈C(Rn)yKilas componentes conexas acotadas de Rn\f(∂Ω). Supongamos que y /∈(g◦f)(∂Ω). Entonces d(g◦f, Ω, y) = X i d(f, Ω, Ki)d(g, Ki, y) donde solo un n´umero finito de t´erminos son distintos de cero. Recordamos el teorema de la Curva de Jordan, el cual dice que una curva simple y cerrada Cen el plano lo divide en dos regiones G1yG2tales que C=∂G1=∂G2yG2=R2\G1. Ya que tal curva es homeomorfa a una circuferencia unidad ∂B1(0), y ya que B1(0) y R2\B1(0) son componentes de R2\∂B1(0), el teorema de la curva tambi´en puede formularse de la siguiente manera: si C⊂R2es homeomorfa a ∂B1(0), entonces R2\Ctiene precisamente dos componentes. Esta versi´on puede extenderse a Rn, es decir, tenemos Teorema 3.13. Sean Ω1⊂RnyΩ2⊂Rnconjuntos compactos, los cuales son homeomorfos . Entonces Rn\Ω1yRn\Ω2tiene el mismo n´umero de componentes conexas. 35 Cap´ıtulo 3. Grado Topol´ogico en Dimensi´on Finita 36 Cap´ıtulo 4 Grado Topol´ogico en Dimensi´on Infinita En este cap´ıtulo veremos el grado en un espacio de dimensi´on infinita. Introducimos sus propiedades y varios resultados fundamentales. 4.1. Aplicaciones compactas. Vamos a extender la teor´ıa del grado a funciones definidas en espacios normados. Estas funciones ser´an de la forma I−Fcon Fcompacta. Sean XeYdos espacios de Banach, Ω un subconjunto de XyFuna aplicaci´on de Ω en Y. Definici´on 4.1. Fse dice compacta si Fes continua y F(A) es relativamente compacto para todo A⊂Ω acotado. H(Ω, Y ) denotar´a la clase de las aplicaciones compactas de Ω en Y y escribiremos H(Ω) en vez de H(Ω, X). Una propiedad importante de las aplicaciones compactas es como se comportan respecto a la composici´on. El resultado correspondiente viene recogido por la siguiente proposici´on. Proposici´on 4.1. Sean X, Y, Z tres espacios de Banach, Ω⊂X,Θ⊂Y, F: Ω →Θ,G: Θ →Z. Si Fes compacta y Ges continua entonces G◦Fes 37 Cap´ıtulo 4. Grado Topol´ogico en Dimensi´on Infinita compacta. Si Fes continua y transforma acotados en acotados y Ges compacta entonces G◦Fes compacta. Definici´on 4.2. Si F(Ω) est´a contenido en un subespacio finito dimensional de Y, entonces diremos que Fes finito dimensional. F(Ω, Y ) denotar´a la clase de las aplicaciones compactas finitamente dimensionales y escribiremos F(Ω) en vez de F(Ω, X). En el caso de aplicaciones lineales se tiene que si F:X→Yes lineal y compacta entonces es continua, y si es finito dimesional entonces es compacta. 4.1.1. Propiedades de aplicaciones compactas. La siguiente proposici´on junto con el grado para espacios de dimensi´on finita ser´a muy ´util para obtener un grado para perturbaciones compactas de la identidad. Proposici´on 4.2. Sean XeYdos espacios de Banach y B⊂Xcerrado y acotado. Entonces, 1. F(B, Y )es denso en H(B, Y )con respecto a la norma del supremo, es decir, para F∈ H(B, Y )yε > 0existe Fε∈ F(B, Y )tal que sup B |Fx − Fεx| ≤ ε. 2. Si F∈ H(B)entonces I−Fes propia, es decir la imagen inversa de un compacto es compacta. Demostraci´on: 1. Dado F∈ H(B, Y ) y ε > 0, consideramos y1,· · · , yptales que F(B)⊂ p [ i=1 Bε(yi).Sea ϕi(y) = m´ax{0, ε − |y−yi|},ψi(y) = ϕi(y) Pp j=1 ϕj(y)para y∈F(B). Definimos Fε(x) = Pp i=1 ψi(Fx)yipara x∈B. Entonces Fεes continua, Fε(B)⊂span{y1,· · · , yn},Fεrelativamente compacta y supB|Fεx−Fx| ≤ ε. 2. Sea {xn} ⊂ (I−F)−1(K). Como {F(xn)} ⊂ F(B) que es relativamente compacto, existe una subsucesi´on {xnk}de {xn}tal que F(xnk) es convergente. Como xn−F(xn)∈KyKes compacto, tambien podemos 38 Cap´ıtulo 4. Grado Topol´ogico en Dimensi´on Infinita suponer xnk−F(xnk) convergente, entonces xnk= (x−F(xnk)) +F(xnk) es convergente.  Proposici´on 4.3. Sean XeYdos espacios de Banach, Ω⊂Xabierto, F∈ H(Ω, Y )yFdiferenciable en x0∈Ω. Entonces F0(x0)es compacta. Proposici´on 4.4. Sean X,Yespacios de Banach, A⊂Xacotado, cerrado y F∈ H(A, Y ). Entonces Ftiene una extensi´on e F∈ H(X, Y )tal que e F(X)⊂ conv F(A). 4.1.2. El grado Leray-Schauder. Sea Xun espacio de Banach, Ω ⊂Xabierto y acotado, F∈ H(Ω) e y /∈ (I−F)(∂Ω). En estas tripletas (I−F, Ω, y) queremos definir una funci´on Dcon valores Zque satisface las condiciones correspondientes a (d1)-(d3) del grado de Brouwer, esto es, (D1) D(I, Ω, y) = 1 para y∈Ω; (D2) D(I−F, Ω, y) = D(I−F, Ω1, y)+D(I−F, Ω2, y) si Ω1y Ω2son subcojuntos abiertos disjuntos de Ω tales que y /∈(I−F)(Ω\(Ω1∪Ω2)); (D3) D(I−H(t, ·),Ω, y(t)) es independiente de t∈[0,1] si H: [0,1] ×Ω→X es compacto, y: [0,1] →Xes continuo e y(t)/∈(I−H(t, ·))(∂Ω) en [0,1]. Vamos a reducir el problema al caso de aplicaciones finitamente dimensionales en lugar de las diferenciables como en el cap´ıtulo anterior. En primer lugar, como G=I−Fes propia e y /∈G(∂Ω), tenemos %(y, G(∂Ω)) >0, y si elegimos F1∈ F(Ω) tal que sup{|F1x−F x|:x∈Ω}< %, entonces H(t, x) = Fx +t(F1x−Fx) satisface (D3) con y(t) = y, y por tanto D(I−F, Ω, y) = D(I−F1,Ω, y). Luego, como F1(Ω) esta contenido en un subespacio finitamente dimensional, elegimos un subespacio X1con dim X1<∞tal que y∈X1yF1(Ω) ⊂X1. Entonces x−F1x=ypara x∈Ω implica que xest´a en Ω ∩X1y esto indica que D(I−F, Ω, y) ya est´a determinada por el grado de Brouwer de (I−F)|Ω∩X1 con respecto a Ω ∩X1ey. En particular, por (D2) se tiene que Ω ∩X1=∅ 39 Cap´ıtulo 4. Grado Topol´ogico en Dimensi´on Infinita implica D(I−F, Ω, y) = D(I−F1,Ω, y) = 0. Ahora obeservamos que existe una proyecci´on continua de XaX1. Entonces X=X1⊕X2, donde X2=P2(X), P2=I−P1yX2es cerrado ya que P2es continua. Sea Ω1= Ω ∩X16=∅ye F:X1→X1cualquier extensi´on continua de F1|Ω1. Entonces por medio de (D3) aplicado a H(t, x) = tF1x+ (1 −t)e F1P1xe y(t) = yse tiene D(I−F1,Ω, y) = D(I−e F1P1,Ω, y). Pero todas las soluciones en Ω de x−e F1P1x=ypertenecen a Ω1y por lo tanto (D2) nos indica que podemos reemplazar Ω por cualquier conjunto abierto y acotado, el cual contiene a Ω1, por ejemplo Ω1+B1(0), donde B1(0) es la bola unidad de X2. Por lo tanto, tenemos D(I−F, Ω, y) = D(I−F1,Ω, y) = D(I−e F1P1,Ω1+B1(0), y) =D(I−F1P1,Ω1+B1(0), y). (4.1) Ahora, dado cualquier conjunto abierto acotado Ω1⊂X1,f∈Ω1→X1conti- nua e y∈X1\f(∂Ω1) definimos d0(f, Ω1, y) = D(I−(I−f)P1,Ω1+B1(0), y) =D(fP1+P2,Ω1+B1(0), y). Entonces (D1)-(D3) implica que d0satisface (d1)-(d3), y por tanto d0es el grado de Brouwer para X1. En particular, eligiendo f= (I−F1)|Ω∩X1obtenemos D(I−F1,Ω, y) = d0((I−Fi)|Ωi,Ωi, y). Teorema 4.1. Sea Xun espacio real de Banach y M={(I−F, Ω, y) : Ω ⊂Xabierto y acotado, F ∈ H(Ω), y /∈(I−F)(∂Ω)}. Entonces existe exactamente una funci´on D:M→Z, el grado Leray-Schauder 40 Cap´ıtulo 4. Grado Topol´ogico en Dimensi´on Infinita satisfaciendo (D1)-(D3). El entero D(I−F, Ω, y)viene dado por d((I−F1)|Ω1,Ω1, y), donde F1es una aplicaci´on en F(Ω) tal que sup Ω |F1x−Fx|< %(y, (I−F)(∂Ω)), Ω1= Ω ∩X1yX1es cualquier subespacio de Xtal que dimX1<∞,y∈X1, F1(Ω) ⊂X1ydes el grado de Brouwer de X1. 4.1.3. Propiedades del grado Leray-Schauder. El siguiente teorema proporciona otras propiedades importantes del grado. Teorema 4.2. Adem´as de (D1)-(D3), el grado Leray-Schauder tiene las siguientes propiedades (D4) D(I−F, Ω, y)6= 0 implica (I−F)−1(y)6=∅; (D5) D(I−G, Ω, y) = D(I−F, Ω, y)para G∈ H(Ω) ∩Br(F)yD(I−F, Ω,·) es constante en Br(y), donde r=%(y, (I−F)(∂Ω)). A´un m´as, D(I−F, Ω,·)es constante en cada componente conexa de X\(I−F)(∂Ω); (D6) D(I−G, Ω, y) = D(I−F, Ω, y)si G|∂Ω=F|∂Ω; (D7) D(I−F, Ω, y) = D(I−F, Ω1, y)para cada subconjunto abierto Ω1de Ω tal que y /∈(I−F)(Ω\Ω1). Se tienen tambi´en las siguientes extensiones de los resultados que vimos para el grado de Brouwer. Teorema 4.3. (Borsuk) Sea Ω⊂Xabierto, acotado y sim´etrico con respecto a0∈Ω,F∈ H(Ω),G=I−F,0/∈G(∂Ω) yG(−x)6=λGx en ∂Ω,∀λ≥1. Entonces D(I−F, Ω,0) es impar. En particular, esto es cierto si F|∂Ωes impar. Teorema 4.4. Sea Ω⊂Xabierto, F: Ω →Xcontinua y I−Flocalmente inyectiva. Entonces I−Fes abierta. Teorema 4.5. Sean Ω⊂Xabierto y acotado, F0∈ H(Ω) yF=I−F0, G0:X→Xcontinua y G=I−G0,y /∈G◦F(∂Ω) y(Kλ)λ∈Λlas componentes 41 Cap´ıtulo 5. Aplicaciones del grado en dimensi´on finita. la equicontinuidad tomemos δ > 0 tal que para todos x, x0∈Kcon d(x, x0)< δ y para todo i∈Ise tiene (5.2). En particular, tomando i=ky haciendo k converger a infinito, se tiene tambi´en |F(x)−F(x0)| ≤ ε 3. Tomando este δ > 0 y usando que Kes compacto, tomemos z1, . . . , zntales que K⊂ n [ j=1 B(zj, δ). Para cada j∈ {1, . . . , n}existe ahora mj∈Ntal que si k≥mjentonces |Fk(zj)−F(zj)| ≤ ε. Sea m= m´ax{mj}y consideremos x∈K,k∈Ntal que k≥m. Tomando zj tal que d(x, zj)< δ, se tiene entonces |Fk(x)−F(x)| ≤ |Fk(x)−Fk(zj)|+|Fk(zj)−F(zj)|+|F(zj)−F(x)|< ε, lo que prueba que Fkconverge uniformemente a F. Vamos a estudiar la existencia de soluci´on local de un sistema de Cauchy    y0=f(t, y) y(t0) = y0, (5.3) donde dado un conjunto Ω ⊂RN+1 abierto , se supone que (t0, y0) es un punto de Ω y que f: Ω →RNverifica: Sea (t, y)∈Ω y consideramos ρ, r > 0 tales que [t−ρ, t +ρ]×B(y, r)⊂Ω, entonces se tiene f(t, ·)∈C0(B(y, r); RN),e.c.t t∈(t−ρ, t +ρ),(5.4) f(·, y)∈L1(t−ρ, t +ρ;RN),∀y∈B(y, r),(5.5) sup y1,y2∈B(y,r) |f(·, y1)−f(·, y2)| ∈ L1(t−ρ, t +ρ;RN),(5.6) 48 Cap´ıtulo 5. Aplicaciones del grado en dimensi´on finita.          ∀ε > 0,∃δ > 0 tal que Zt+ρ t−ρ sup y1,y2∈B(y,r) |y1−y2|≤δ |f(t, y1)−f(t, y2)|dt < ε. (5.7) La definici´on de soluci´on local de (5.3) es la siguiente Definici´on 5.2. Se dice que una pareja (I, ϕ) es una soluci´on local de (5.3) si Ies un intervalo de Rque contiene a ycomo punto interior, ϕes una funci´on continua de Ien RNy se verifica (t, ϕ(t)) ∈Ω,∀t∈I. (5.8) ϕ(t) = y0+Zt t0 f(s, ϕ(s))ds, ∀t∈I. (5.9) Observaci´on 5.2. Teniendo en cuenta las propiedadades (5.4), (5.5), (5.6) y (5.7), se deduce que si ϕ∈C0(I;RN) verifica (5.8), entonces la funci´on s∈I→ f(s, ϕ(s)) est´a en L1(I;RN) con lo cual la integral en (5.9) est´a bien definida. Adem´as, sabemos de la asignatura de An´alisis Funcional y EDP que la condici´on (5.9) es equivalente al hecho de que se verifica la ecuaci´on ϕ0=f(t, ϕ) en el sentido de las distribuciones en el intervalo int(I). Las condiciones (5.4), (5.5) y (5.7) se cumplen en particular si fes una funci´on continua de Ω en RN. En ese caso, el teorema de existencia que presentamos a continuaci´on es lo que se conoce como teorema de Peano. Suponiendo f continua, las soluciones locales de (5.3) son funciones de clase uno en su intervalo de definici´on. Nuestro resultado generaliza el teorema de Peano permitiendo considerar funciones f=f(t, y) que no son continuas respecto a t. A diferencia del Teorema de Picard que se establece en la asignatura de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, las hip´otesis anteriores no implican la unicidad de soluci´on de (5.3). Para ello es necesario introducir alguna hip´otesis de Lipschitzianidad respecto de y. En este sentido podr´ıamos haber sustituido (5.6), (5.7) por una hip´otesis m´as restrictiva como es la existencia de una constante Lque depende de t, y, ρ yrtal que |f(t, y1)−f(t, y2)| ≤ L|y1−y2|,∀y1, y2∈B(y, r),e.c.t t∈(t−ρ, t +ρ). Como ejemplo que muestra que la unicidad no se tiene en general con las hip´ote- 49 Cap´ıtulo 5. Aplicaciones del grado en dimensi´on finita. sis (5.4),(5.5),(5.6) y (5.7) o incluso suponiendo fcontinua en Ω, podemos considerar el problema y0=p|y|, y(0) = 0. Claramente, una soluci´on viene dada por la funci´on nula pero tambi´en cualquier funci´on del tipo ϕ(t) =          0 en (α, β) 2 3p(t−β)3en [β, ∞) −2 3p(α−t)3en (−∞, α] con α, β ∈R,α≤0≤β, es una soluci´on del problema. Aunque en la definici´on anterior y en el teorema que viene a continuaci´on s´olo nos referimos a soluciones locales, se puede tambi´en probar la existencia de soluciones maximales. El resultado principal que obtenemos relativo a la existencia de soluci´on para (5.3) es el siguiente Teorema 5.2. Dados Ω⊂RN+1 abierto, (t0, x0)∈Ωyf: Ω →RNverificando (5.4),(5.5),(5.6) y(5.7), existe al menos una soluci´on local de problema (5.3). Demostraci´on: Consideremos ρ, r > 0 tales que [t−ρ, t+ρ]×B(y, r)⊂Ω. Vamos a buscar τ≤ρtal que definiendo K={ϕ∈C0([t0−τ, t0+τ]; RN),|ϕ−y0|0≤r}, se tiene que la aplicaci´on F:ϕ→y0+Zt t0 f(s, ϕ(s))ds tiene un punto fijo, lo que teniendo en cuenta la Definici´on 5.2 implicar´a que este punto fijo es una soluci´on local de (5.3). Con este fin vamos a aplicar el teorema de Schauder. Teniendo en cuenta que Kno es otra cosa que la bola cerrada de centro la funci´on constante y0y radio r, tenemos que Kes convexo y cerrado sea quien sea τ. Por tanto para aplicar el teorema de Schauder nos basta probar que Faplica Ken Ky es compacta. 50 Cap´ıtulo 5. Aplicaciones del grado en dimensi´on finita. Vamos a escoger τde forma que Faplique Ken K. Observamos que si ϕ∈K, entonces para todo t∈[t0−τ, t0+τ], se tiene |F(ϕ)(t)−y0|=Zt t0 f(s, ϕ(s))ds ≤Zt0+τ t0−τf(s, y0)+f(s, ϕ(s)) −f(s, y0)ds ≤Zt0+τ t0−τf(s, y0)+ sup |y−y0|≤rf(s, y)−f(s, y0)ds. (5.10) Por otra parte, como la funci´on s→f(s, y0)+ sup |y−y0|≤rf(s, y)−f(s, y0)(5.11) es integrable, se tiene l´ım τ→0Zt0+τ t0−τf(s, y0)+ sup |y−y0|≤rf(s, y)−f(s, y0)ds = 0, y por tanto podemos escoger τsuficientemente peque˜no para que Zt0+τ t0−τf(s, y0)+ sup |y−y0|≤rf(s, y)−f(s, y0)ds ≤r. En este caso la desigualdad (5.10) prueba que F(ϕ)∈Kpara toda ϕ∈K. Vamos ahora a probar que Fes compacta, i.e. que es continua y que la imagen de Kpor Fes un conjunto relativamente compacto en C0(K;RN). Para la continuidad, tomemos una sucesi´on ϕn∈Kque converge a una funci´on ϕen C0([t0−τ, t0+τ]; RN). Tenemos que probar que F(ϕn) converge a F(ϕ) en C0([t0−τ, t0+τ]; RN). Tomemos ε > 0 y usando (5.7) consideremos δ > 0 tal que Zt0+τ t0−τ sup y1,y2∈B(y0,r) |y1−y2|≤δ |f(t, y1)−f(t, y2)|dt < ε. Como ϕnconverge uniformemente a y0podemos ahora tomar m∈Ntal que |ϕn(t)−ϕ(t)| ≤ δ, ∀t∈[t0−τ, t0+τ],∀n≥m. 51 Cap´ıtulo 5. Aplicaciones del grado en dimensi´on finita. Para todo t∈[t0−τ, t0+τ] y para todo n≥m, se tiene entonces |F(ϕn)(t)−F(ϕ)(t)|=Zt t0f(s, ϕn(s)) −f(s, ϕ(s))ds ≤Zt0+τ t0−τf(s, ϕn(s)) −f(s, ϕ(s))ds ≤Zt0+τ t0−τ sup y1,y2∈B(y0,r) |y1−y2|≤δ |f(t, y1)−f(t, y2)|dt < ε. Esto prueba que F(ϕn) converge a F(ϕ) en C0([t0−τ, t0+τ]; RN) y por tanto la continuidad de F. Veamos por ´ultimo que F(K) es relativamente compacto en C0([t0−τ, t0+ τ]; RN). Por el teorema de Ascoli-Arzel`a basta ver que F(K) es acotado y equicontinuo. Como ya sabemos que F(K)⊂KyKes acotado se tiene que F(K) es acotado. Para la equicontinuidad, tomemos ε > 0 y usando que la funci´on definida por (5.11) es integrable, consideremos δ > 0 tal que para todos t1, t2 con t0−τ≤t1≤t2≤t0+τ,t2−t1< δ, se tenga Zt2 t1|f(s, y0)|+ sup |y−y0|≤r |f(s, y)−f(s, y0)|ds < ε. Se tiene entonces, para toda funci´on ϕ∈Ky para todos t1, t2en las condiciones anteriores |F(ϕ)(t1)−F(ϕ)(t2)|=Zt2 t1 f(s, ϕ(s))ds ≤Zt2 t1|f(s, y0)|+|f(s, ϕ(s)) −f(s, y0)|ds < ε. lo que prueba la equicontinuidad de F(K).  5.2. Ejemplo 2 Como segundo ejemplo vamos a considerar el sistema de Navier-Stokes estacionario incompresible en un conjunto abierto, acotado, conexo y regular Ω⊂RNcon N= 2 ´o 3, i.e. del sistema de EDP 52 Cap´ıtulo 5. Aplicaciones del grado en dimensi´on finita.          −ν∆u+ρ(u· ∇)u+∇p=fen Ω divu= 0 en Ω u= 0 sobre ∂Ω. (5.12) Este sistema modela el movimiento de un l´ıquido que se encuentra confinado en Ω y que ha alcanzado una posici´on de equilibrio. Recordamos que u=u(x) es una funci´on con valores en RNque nos proporciona la velocidad de la part´ıcula que en el instante considerado se encuentra en la posici´on x. La funci´on p=p(x) es una funci´on escalar que representa la presi´on del fluido en el punto x. La funci´on f=f(x) es una funci´on con valores en RNque representa la fuerza exterior que se est´a aplicando a la part´ıcula que en el instante considerado ocupa la posici´on x. La constante ρ > 0 es la densidad del fluido y la constante ν > 0 es la constante de viscosidad del fluido. El t´ermino (u· ∇)uest´a definido como el vector [(u· ∇)u]i=u· ∇ui,1≤i≤N, o equivalentemente por (u· ∇)u= (Du)u, donde Du representa la matriz jacobiana de u. Decimos que el fluido ha alcanzado un equilibrio en el sentido de que las funciones uypno dependen de la variable temporal. Observar que esto no significa que el fluido no se est´e moviendo (lo que equivaldr´ıa a unula) sino tan s´olo que la velocidad que tiene la part´ıcula que en un determinado instante se encuentra en la posici´on xno depende del instante, tan solo de xy an´alogamente para la presi´on. En (5.12) tenemos un sistema N+1 ecuaciones y N+1 inc´ognitas (u1, . . . , uN) yp. De hecho, la primera ecuaci´on en (5.12) corresponde a las Necuaciones escalares −ν∆ui+ρ N X j=1 (uj∂jui) + ∂ip=fien Ω,1≤i≤N. Vamos a buscar uen el espacio H1 0(Ω; RN) y pen L2(Ω) donde recordamos que H1(Ω; RN) representa el espacio de funciones L2(Ω; RN) tales que su deri- 53 Cap´ıtulo 5. Aplicaciones del grado en dimensi´on finita. vada distribucional est´a en L2(Ω; RN×N). Se trata de un espacio de Hilbert con la norma kukH1(Ω;RN)=qkuk2 L2(Ω;RN)+kDuk2 L2(Ω;RN).(5.13) El espacio H1 0(Ω; RN) se define como el cierre en H1(Ω; RN) del espacio de funciones de clase infinito con soporte compacto en Ω que notamos por D(Ω; RN) y una norma equivalente a la de H1(Ω; RN) en este espacio viene dada por kukH1 0(Ω;RN)=kDukL2(Ω;RN).(5.14) El espacio dual de H1 0(Ω; RN) se denota por H−1(Ω; RN). Recordar que al considerar que la funci´on use encuentra en el espacio H1 0(Ω; RN) ya estamos diciendo que la funci´on se anula en la frontera de Ω (por ejemplo en el sentido de que su traza es nula). Otras propiedades del espacio H1 0(RN) que ser´an importantes para estudiar la existencia de soluci´on de (5.12) se encuentran contenidas en el siguiente resultado que resulta de unir el teorema de inyecci´on de Sobolev y el teorema de compacidad de Rellich-Kondrachov. Teorema 5.3. Si N= 2 el espacio H1 0(Ω; R2)se inyecta de forma compacta en Lp(Ω; R2)para todo p∈[1,∞). Si N= 3 el espacio H1 0(Ω; R3)se inyecta de forma continua en L6(Ω; R3). La inyecci´on es compacta sobre Lp(Ω; R3)para todo p∈[1,6). El sistema (5.12) deber´a verificarse en el sentido de las distribuciones, para ello m´as generalmente que tomar fcomo una funci´on podremos tomar f simplemente como una distribuci´on en el espacio H−1(Ω; RN). Observamos que escribir la primera ecuaci´on en el sentido de las distribuciones es equivalente a ZΩ (νDu :Dϕ +ρ[(u· ∇)u]·ϕ−pdiv ϕ)dx =hf, ϕi ∀ϕ∈ D(Ω; RN),(5.15) donde dadas las matrices A, B ∈RN×Nde coeficientes aij ybij definimos A:B por P1≤i,j≤Naijbij. Teniendo en cuenta que D(Ω; RN) es denso en H1 0(Ω; RN) tenemos que la igualdad anterior implica que de hecho u, p deben verificar ZΩ (νDu :Dv +ρ[(u· ∇)u]·v−pdiv v)dx =hf, vi ∀v∈H1 0(Ω; RN).(5.16) 54 Cap´ıtulo 5. Aplicaciones del grado en dimensi´on finita. Para ello observar que [(u· ∇)u]·v= N X i,j=1 uj∂juivi donde gracias al Teorema 5.3, en cada uno de los sumandos las funciones uj,vi pertenecen a Lp(Ω) con p < ∞si N= 2, L6(Ω) si N= 2. Usando tambi´en que ∂juipertenece a L2(Ω), podemos aplicar la desigualdad de H¨older para deducir: Si N= 2, la igualdad 1 p+1 2+1 p=4 + p 2p, implica tomando ptan grande como queramos que [(u· ∇)u]·vpertenece a Lq(Ω) para todo q∈[1,2). Si N= 3, la igualdad 1 6+1 2+1 6=5 6 implica que [(u· ∇)u]·vpertenece a L6 5(Ω). En particular, tenemos en cualquier caso que [(u·∇)u]·vpertenece a L1(Ω)N lo cual implica que la integral de la funci´on [(u· ∇)u]·vque aparece en (5.16) est´a bien definida. De hecho el Teorema 5.3 y la desigualdad de H¨older prueban que existe una constante C > 0 tal que   (u·∇)u·v  L1(Ω) ≤Ckuk2 H1 0(Ω;RN)kvkH1 0(Ω;RN),∀u, v ∈H1 0(Ω; RN).(5.17) Como consecuencia, se deduce que fijado u∈H1 0(Ω; RN), la aplicaci´on v∈H1 0(Ω; RN)7−→ ZΩ [(u· ∇)u]·v dx (5.18) define un elemento de H−1(Ω; RN), resultado que hemos usado cuando hemos dicho que pod´ıamos pasar de (5.15) a (5.16) por densidad. Resultados similares se usan para pasar al l´ımite por densidad en los distintos t´erminos que aparecen en (5.15) aunque son algo m´as f´aciles al tratarse de t´erminos que est´an definidos como productos de dos factores y no de tres. Tomando en (5.16) la funci´on vcon divergencia nula, tenemos que si (u, p) es soluci´on de (5.12) entonces se debe cumplir 55 Cap´ıtulo 5. Aplicaciones del grado en dimensi´on finita.          u∈H1 0(Ω; RN),div u= 0 en Ω ZΩνDu :Dv +ρ(u· ∇)u·vdx =hf, vi ∀v∈H1 0(Ω; RN),div v= 0 en Ω, (5.19) lo que proporciona una ecuaci´on variacional para la velocidad uen la cual no aparece la presi´on p. Vamos a comenzar por tanto probando la existencia de una soluci´on para (5.19). Necesitaremos antes el siguiente resultado Teorema 5.4. Para cada g∈H−1(Ω; RN)existe una ´unica soluci´on del problema          u∈H1 0(Ω; RN),div u= 0 en Ω νRΩDu :Dvdx =hg, vi ∀v∈H1 0(Ω; RN),div v= 0 en Ω, (5.20) Adem´as la aplicaci´on g∈H−1(Ω; RN)7−→ u∈H1 0(Ω; RN) soluci´on de (5.20) es lineal y continua. Demostraci´on: Definimos Vpor V={v∈H1 0(Ω; RN) : divv= 0 en Ω}.(5.21) Teniendo en cuenta que la divergencia es un operador continuo en el espacio de distribuciones y por tanto en H1 0(Ω; RN) se tiene que V(n´ucleo del operador divergencia) es un subespacio cerrado de H1 0(Ω; RN) y por tanto un espacio de Hilbert si lo dotamos de la misma topolog´ıa que H1 0(Ω; RN), i.e. del producto escalar (u, v)V=ZΩ Du :Dvdx, ∀u, v ∈V. (5.22) Por otra parte, como ges un elemento de H−1(Ω; RN), entonces su restricci´on a Vdefine un elemento de V0. En particular g/ν es un elemento de V0. Observando entonces que (5.20) se puede escribir como    u∈V (u, v)V=h1 νg, vi,∀v∈V (5.23) el teorema es una simple consecuencia del teorema de Riesz (tambi´en se puede 56 Cap´ıtulo 5. Aplicaciones del grado en dimensi´on finita. usar Lax-Milgram) que prueba que dado g/ν ∈V0existe un ´unico elemento u∈Vverificando (5.23). Adem´as la aplicaci´on g∈V07−→ u∈Ves lineal y continua. De hecho, se tiene kukv=1 νkgkV0.(5.24)  Estamos en posici´on de probar Teorema 5.5. El problema (5.19) admite al menos una soluci´on. Demostraci´on: Para Vdado por (5.21) definimos F:V→Vpor F(u) = zcon zsoluci´on del problema      z∈V νZΩ Dz :Dvdx =hf, vi − ρZΩ [(u· ∇)u]·vdx, ∀v∈V, (5.25) donde observamos que zexiste y es ´unica gracias al Teorema 5.4 aplicado a g=f−ρ[u· ∇]u, el cual es un elemento de H−1(Ω; RN). Tenemos por tanto que Fest´a bien definida. Adem´as, teniendo en cuenta su definici´on tenemos que las posibles soluciones de (5.19) son puntos fijos para F. Nuestro problema consiste por tanto en probar la existencia de un punto fijo para F. Para este fin vamos a aplicar el Teorema 4.9 con Ω reemplazado por la bola de centro cero y radio R en V, i.e. B={u∈V:kvk< R} con R > 0 a elegir. Tenemos que probar que Fes compacta en B. Para ello observamos que si u,vtiene divergencia nula, entonces integrando por partes se tiene 57