Análisis con elementos finitos de ejes con cambio de sección sometidos a momento flector

Equation Chapter 1 Section 1 Proyecto Fin de Carrera Grado en Ingeniería de las Tecnologías Industriales Análisis con Elementos Finitos de Ejes con Cambio de Sección Sometidos a Momento Flector Autor: Antonio Collado Rodríguez Tutor: Alfredo de Jesús Navarro Robles Dpto. Ingeniería Mecánica y Frabricación Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2020 2 Proyecto Fin de Carrera Ingeniería en Tecnologías Industriales Análisis con Elementos Finitos de Ejes con Cambio de Sección Sometidos a Momento Flector Autor: Antonio Collado Rodríguez Tutor: Alfredo de Jesús Navarro Robles Catedrático Dpto. de Ingeniería Mecánica y Fabricación Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2020 4 Proyecto Fin de Carrera: Análisis con Elementos Finitos de Ejes con Cambio de Sección Sometidos a Momento Flector Autor: Antonio Collado Rodríguez Tutor: Alfredo de Jesús Navarro Robles El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Acuerdan otorgarle la calificación de: 6 Sevilla, 2020 El Secretario del Tribunal A mi familia A mis maestros 8 Resumen El objetivo de este Trabajo de Fin de Grado es analizar un eje circular con cambio de sección sometido a un momento flector mediante un programa de Elementos Finitos (EF). Tras esto, comparar los resultados con las tablas de concentradores de tensiones del libro Peterson’s stress Concentration Factors Segunda edición, W.D Pilkey,1997. Índice de Tablas 16 ÍNDICE DE FIGURAS Figura 2-1 Lineas del campo de tensiones que atraviesan una placa plana con un agujero. [1] 3 Figura 2-2 “Relief Groove” [3] 4 Figura 2-3 Factor de concentración de tensiones para una barra plana con entallas opuestas en forma de U. [3] 5 Figura 3-1 Esquema eje con cambio de sección sometido a flexión. [3] 11 Figura 3-2 Geometría del SOLID187. [4] 12 Figura 3-3 Sección transversal del eje. 13 Figura 3-4 Volumen completo del eje. 13 Figura 3-5 Esquema dimensiones del eje. 14 Figura 3-6 Distancia “A” a la que empieza el radio de acuerdo para el caso r>h. 14 Figura 3-7 Mallado completo del eje. 15 Figura 3-8 Mallado del radio de acuerdo. 16 Figura 3-9 Montaje del experimento a torsión, [4] 17 Figura 3-10 Nodos de la cara fija con las restricciones de movimiento. 17 Figura 3-11 Fuerzas en el extremo del eje. 18 Figura 3-12 Fuerza distribuida. 19 Figura 3-13 Forma deformada del eje. 20 Figura 3-14 Tensiones en la cara donde se aplican las fuerzas. 21 Figura 3-15 Tensiones en la cara fija. 21 Figura 4-1 Gráfica de factores de concentración de esfuerzos para ejes con cambio de sección sometidos a momento flector, [2]. 23 Figura 4-2 Esquema de modelado, [7] 24 Figura 4-3 Ecuación de Rolovic. 25 Figura 4-4 Comparación de K_σ para el caso D/d=1.02. 28 Figura 4-5 Comparación de K_σ para el caso D/d=1.05. 29 Figura 4-6 Comparación de K_σ para el caso D/d=1.1. 30 Figura 4-7 Comparación de K_σ para el caso D/d=1.2. 31 Figura 4-8 Comparación de K_σ para el caso D/d=1.5. 32 Figura 4-9 Comparación de K_σ para el caso D/d=2. 33 Figura 4-10 Comparación de K_σ para el caso D/d=3. 34 Índice de Figuras 18 NOTACIÓN EF Elementos Finitos Kt Factor de concentración de tensiones teórico Kσ Factor de concentración de tensiones σmax Tensión máxima σnom Tensión nominal τmax Tensión cortante máxima τnom Tensión cortante nominal S1 Tensión principal 1 S3 Tensión principal 3 D/d Cociente entre el diámetro grande y el pequeño r/d Cociente entre el radio de acuerdo y el diámetro pequeño Notación 20 1 INTRODUCCIÓN Y MOTIVACIÓN El cálculo y diseño de máquinas es una disciplina clave en la industria actual, conocer como se transmiten las fuerzas y como éstas afectan al funcionamiento, mantenimiento y duración de las piezas son aspectos muy importantes que hay que tener en cuenta durante todo el proceso de creación de una máquina. Un ingeniero que diseñe una máquina tiene que conocer las distribuciones de las tensiones en los distintos puntos de ésta, ya que unas tensiones muy altas pueden provocar el fallo de la máquina, pero esto es una tarea para nada sencilla, hay muchos factores que afectan a la distribución de las tensiones. Por ejemplo, las zonas en las que hay cambios de geometría, las tensiones nominales pueden verse incrementadas varias veces por efecto de los concentradores de tensiones, de los que hablaré más tarde. En la actualidad tenemos la suerte de que, gracias a los programas de Elementos Finitos, podemos hacer simulaciones que nos otorgan resultados muy parecidos a los de la realidad. El objetivo de este trabajo es crear un archivo en uno de estos programas, en el que puedas introducir los datos de la geometría deseada y obtener sin esfuerzo una solución de las tensiones a lo largo de la pieza. En realidad, es una parte de un proyecto en el que varios alumnos aportarán una geometría, en concreto se quiere ofrecer las geometrías que aparecen en el libro Peterson’s stress Concentration Factors Segunda edición, W.D Pilkey,1997. Con estas aportaciones se pretende crear una web “Open Source” donde quien quiera pueda acceder, descargarse el fichero de la geometría que le interese y poder analizarla desde su ordenador con los parámetros que quiera. Durante muchos años se han usado distintas tablas de concentradores de tensiones como guía para el diseño de distintas piezas y con este trabajo se pretende que se sustituyan por estos archivos de programas de EF. La mayoría de invenstigaciones de este tipo ofrecen solo la solución, una ecuación actualizada con la que calcular Kt, pero con el resultado de este trabajo se ofrecerá el código entero. De esta forma, se podrá usar en docencia para que los alumnos visualicen las distribuciones de tensiones y puedan “jugar” con los distintos parámetros e incluso usarse en investigación o diseño de piezas. Yo me basaré en el TFG de Fernando Pascual Numerical investigation through Finite Elements of Neuber’s and Molski-Glinka’s rules for calculation of elastoplastic stress and strain in notched elements, en el que analiza placas planas con distintas entallas. En mi caso voy a analizar ejes circulares con cambio de sección sometidos a momento flector e intentaré seguir la estructura del trabajo de Fernando Pascual. Mi trabajo puede servir de base para otros muchos proyectos similares, ya sea con la misma geometría, pero con otro tipo de cargas u otras geometrías. El placer más noble es el júbilo de comprender. - Leonardo da Vinci - Introducción y motivación 2 3 3 Análisis con Elementos Finitos de Ejes con Cambio de Sección Sometidos a Momento Flector 2 CONCENTRADOR DE TENSIONES Un concentrador de tensiones es una parte de un sólido en la que las líneas del campo de tensiones se concentran. Estas zonas se generan en las zonas en las que hay un cambio de la geometría de la pieza, como pueden ser agujeros, cambios de sección, esquinas, chaveteros, etc. Figura 2-1 Lineas del campo de tensiones que atraviesan una placa plana con un agujero. [1] En los puntos en los que las líneas están más juntas y tengan un mayor gradiente, el esfuerzo interno es mucho mayor que el que produce la fuerza aplicada en el resto de la pieza, como se puede ver en la figura 2-1. Esto es importante para el cálculo de la carga máxima que puede soportar y de la vida a fatiga. Una gran parte de la disciplina del Diseño de Máquinas se ocupa de intentar disminuir estas tensiones localizadas mediante distintas técnicas. El principal objetivo es suavizar estas líneas de tensión, en el caso de este trabajo, un eje con cambio de sección, se usa un radio de acuerdo para que no sea tan brusco el cambio. Cuanto mayor sea el radio de acuerdo, mejor se adaptan las líneas al cambio de sección y producen un esfuerzo menor. Otro factor que influje es como de grande es el cambio de sección, cuanto más se parezcan ambos diámetros, menos le “cuesta” a las líneas de tensión adaptarse. [2] Otra técnica que se usa, aunque no es tan común, es la llamada “relief Groove” que se rata de hacer una pequeña entalla antes del cambio de sección (Figura 2-2) que hace que las líneas empiecen a adaptarse antes al salto. Concentrador de tensiones 4 Figura 2-2 “Relief Groove” [3] Se define como factor de concentración de tensiones de una región de una pieza al cociente de la tensión máxima en esta región dividido por la tensión nominal. 𝐾𝜎=𝜎𝑚𝑎𝑥 𝜎𝑛𝑜𝑚 (Para flexión, tracción y compresión) 𝐾𝜎=𝜏𝑚𝑎𝑥 𝜏𝑛𝑜𝑚 (Para torsión) 2.1 Cálculo de factores de concentración de tensiones Tradicionalmente se calculaban analíticamente en laboratorios con métodos como la fotoelasticidad que son muy caros y consumidores de tiempo. Al tener recursos limitados, solo podían hacer un número limitado de experimentos con una serie de combinaciones de parámetros y con estos hacer tablas y buscar ecuaciones que se ajustasen a los resultados para obtener resultados con otras geometrías. En la actualidad, existen varias gráficas realizadas por científicos, como Peterson o I. M. Allison entre otros, con los que se pueden obtener resultados bastante fiables y útiles de una serie de geometrías y cargas concretas. Un ejemplo de esto es la figura 2-3, donde introducimos el radio de la entalla y el ancho máximo y mínimo de la placa y sacamos el concentrador de tensión en la zona de la entalla para una carga axial. También se ha usado la teoría de la elasticidad y distintas analogías para calcular el factor de concentración de tensiones teórico, pero este método solo se podía aplicar a geometrías muy sencillas. 5 5 Análisis con Elementos Finitos de Ejes con Cambio de Sección Sometidos a Momento Flector Figura 2-3 Factor de concentración de tensiones para una barra plana con entallas opuestas en forma de U. [3] 2.2 Cálculo con elementos finitos Como se ha comentado antes, las tablas disponibles son limitadas en cuanto a la geometría de las piezas y están hechas a base de promedios de distintos experimentos. Con el poder computacional disponible actualmente para prácticamente cualquiera que tenga un ordenador, conviene más hacer los cálculos mediante un programa de elementos finitos. Con ellos se puede modelar la pieza que se desee y analizarla bajo las condiciones que uno quiera. Esto último es lo más importante y la mayor ventaja del cálculo con elementos finitos, el no estar limitado en la geometría y las cargas, tener infinidad de combinaciones de diámetros, radios de acuerdo, grosores, etc. Un programa de elementos finitos calcula mediante las ecuaciones de la teoría de la resistencia de materiales las tensiones en todo el sólido que previamente es mallado, dividiéndolo en muchos elementos y nodos. Hay que tener en cuenta que estos programas suelen usar sólidos ideales, pero en la práctica, las piezas tienen pequeños defectos que pueden aumentar la diferencia entre las tensiones obtenidas en ambos casos. Para este trabajo se usará el Programa ANSYS®, que servirá tanto para modelar las piezas como para la solución y posterior análisis. Con un programa de EF podremos ver las tensiones en cualquier parte de la pieza, por lo que podremos saber el punto exacto en el que se produce la tensión máxima, dato muy importante en el diseño de máquinas. Modelado y Análisis 16 16 Figura 3-8 Mallado del radio de acuerdo. 3.4 Condiciones de contorno Las condiciones de contorno son lo último que queda por definir para realizar la simulación. Es muy importante que sean las adecuadas para que el comportamiento de la pieza sea lo más parecido a los experimentos con los que comprararemos los resultados. Primero hay que definir la “sujeción” de la pieza, es decir, qué grados de libertad restringimos y en qué parte de la pieza lo hacemos y esto es relativamente sencillo de hacer. En el artículo The Elastic Stress Concentration Factors in Shouldered Shafts Part III: Shafts Subjected to Torsion , Allison, 1961, [5] se muestra en una figura (Figura 3-9), y es explicado en el texto, que el extremo del diámetro pequeño acaba ensanchándose en forma cónica y esta es pegada a un soporte fijo, para que se mueva lo menos posible. Este montaje lo he trasladado al programa de modo que toda la cara final del eje, por la parte del diámetro pequeño, quede fija, es decir, restringir todos sus grados de libertad. Esto se lleva a acabo primero seleccionando todos los nodos que estén situados en la coordenada x=L, con el comando NSEL, y después restringiendo todos los grados de libertad con el comando D, con lo que queda toda la cara fija (figura 3-10). 17 17 Análisis con Elementos Finitos de Ejes con Cambio de Sección Sometidos a Momento Flector Figura 3-9 Montaje del experimento a torsión, [4] Figura 3-10 Nodos de la cara fija con las restricciones de movimiento. Modelado y Análisis 18 18 Hice pruebas con otras dos formas de restricción de grados de libertad. La primera es bloqueando los grados de libertad de la línea neutra y aplicar las fuerzas simétricamente en ambas caras de manera que estén equilibradas. La segunda es simplemente aplicando fuerzas simétricas en ambas caras para que estén equilibradas, más tarde hablaré de la aplicación de las fuerzas en otro apartado. Para los 3 casos los resultados fueron prácticamente idénticos, ya que en el fondo son sistemas equivalentes, pero quería comprobar que el programa de elementos finitos lo trataba de la misma forma. Las siguientes condiciones de contorno que hay que aplicar son las fuerzas y aquí surge un pequeño problema, ANSYS® no deja aplicar momentos flectores con los elementos tipo SOLID187, ya que éstos no tienen grados de libertad de rotación. Es por esto que para generar un momento flector hay que aplicar un par de fuerzas que sea equivalente al momento flector. En este caso he aplicado en los extremos del diámetro grande dos fuerzas, paralelas al eje de la pieza, y opuestas entre sí (figura 3-11). He realizado este paso seleccionendo el nodo deseado, con el comando NSEl y las coordenadas donde se encuentra, y aplicando la fuerza con el comando F. Para hacer las cosas más sencillas, he mantenido siempre el diámetro grande en 20 mm y he ido cambiando el diámetro pequeño para generar los distintos ratios de D/d. De esta forma también puedo aplicar siempre la misma fuerza y tener un momento constante en todos los análisis, en mi caso he aplicado 5000 N en ambos extremos para tener así un momento flector de 100 N/m. Figura 3-11 Fuerzas en el extremo del eje. También en los experimentos de I.M Allison se aplica la fuerza de una forma similar. Como podemos ver en la figura 3-9, el momento torsor se genera con dos fuerzas puntuales, con un sistema de poleas, en ese caso perpendiculares al eje. Aunque no se muestra ningún esquema de cómo era el montaje para el caso de momento flector, indica que se usó un montaje muy similar al caso de torsión. Como comenté antes, probé varias formas de aplicar las condiciones de conotrno, con respecto a las fuerzas lo más importante era si aplicarlas de forma puntual o distribuida. Hice la prueba con las fuerzas distribuidas a lo largo de 8 nodos de la línea media del extremo del eje por el diámetro grande, y al comparar los resultados observé que la varación en los resultados era despreciable, por lo que decidí aplicarla de forma puntual para simplificar un poco el código y ser más fiel a los experimentos de I.M Allison. En la figura 3-12 se puede observar la fuerza distribuida que, aunque las flechas aparezcan del mismo tamaño, la fuerza aplicada en cada nodo es proporcional a la distancia al centro del diámetro. 19 19 Análisis con Elementos Finitos de Ejes con Cambio de Sección Sometidos a Momento Flector Es sencillo adaptar el código para las cargas de torsión y tracción, usando el código para el caso que yo he estudiado y únicamente cambiar el sentido de las fuerzas. Esto podría ser interesante y sencillo de estudiar para algún futuro trabajo que continue con este proyecto. Figura 3-12 Fuerza distribuida. 3.5 Análisis y solución Cuando toda la parte del modelado esta terminada, solo queda realizar el análisis y generar una solución. Para esto hay que cambiar del procesador “Preprocessor”, con el que se hace el modelado, al procesador “Solution” y realizar el análisis, en este caso de tipo estático (se define con el comando ANTYPE), y generar la solución con el comando SOLVE. En este caso interesa encontrar las tensiones máximas en la zona del cambio de sección para poder calcular más tarde el factor de concentración de esfuerzos, El programa te da dos opciones para calcular las tensiones, en los elementos o en los nodos, y son estos últimos los que usaré para el análisis. Esto se debe a que la solución real de las ecuaciones de la teoría de resistencia de materiales es en los nodos, la solución en los elementos es un promedio de los nodos que pertecen a cada elemento mediante unas funciones de forma. En los extremos del eje, las tensiones en los nodos pueden ser muy altas por la aplicación puntual de las fuerzas y de las restricciones de grados de libertad (Figura 3-14 y 3-15), por lo que centraré la solución en el radio de acuerdo, seleccionando solo los nodos ahí situados, que es donde nos interesan Modelado y Análisis 20 20 las tensiones máximas. Tras esto solo hay que obtener la tabla de las tensiones y guardar la tensión máxima y el nodo en el que se encuentra. El programa deja elegir entre varias tensiones, como pueden ser las tensiones principales, Tensión equivalente de Von Misses y muchas más. Para este análisis me centraré en la primera tensión principal S1, aunque la tensión S3 es la misma, pero con signo opuesto. En este caso solo se le aplica un momento flector al eje, pero si se combinaran varias cargas a la vez sería conveniente buscar la tensión de Von Misses máxima. Figura 3-13 Forma deformada del eje. 21 21 Análisis con Elementos Finitos de Ejes con Cambio de Sección Sometidos a Momento Flector Figura 3-14 Tensiones en la cara donde se aplican las fuerzas. Figura 3-15 Tensiones en la cara fija. Modelado y Análisis 22 22 23 23 Análisis con Elementos Finitos de Ejes con Cambio de Sección Sometidos a Momento Flector 4 RESULTADOS Y COMPARACIÓN Con el modelado terminado, ya se puede pasar a obtener los resultados y comprobar que son correctos. Esto último es muy importante, ya que compararlo con otros resultados de otros autores es una forma fiable de que no has tenido errores. En este caso se compararán los resultados con la tabla del libro de Pilkey (Figura 4-1), una gráfica en la que se muestra el factor de concentración de tensiones frente al cociende r/d para distintas ratios de D/d. He obtenido la solución para esos valores de D/d a lo largo del rango de valores de r/d, unos 10 puntos por cada D/d. Figura 4-1 Gráfica de factores de concentración de esfuerzos para ejes con cambio de sección sometidos a momento flector, [2]. Resultados y comparación 24 24 Estos Kt los saca a partir de los experimentos de Leven y Hartman [6] y Wilson y White [7], en los que hacen sus análisis en placas planas y con estos resultados hacer estimaciones para el caso 3-D, los trabajos de I.M Allison si que son en modelo 3-D, pero fueron escasos. Por comodidad, las distintas soluciones las he pasado a un documento Excel® el cual para cada caso calcula la tensión nominal, el valor de r/d en el que r es igual a H y finalmente introduciendo el valor de tensión máxima calculaba Kσ. Como mencioné anteriormente, se pueden elegir todo tipo de tensiones, pero en mi caso usé la tensión principal máxima S1. Es importante cambiar de código cuando se llegue al valor límite de r/d y calcular el parámetro necesario con el programa auxiliar de Matlab anteriormente mencionado, ya que en caso contrario el resultado será muy diferente al real e incluso el código no compilará bien. Tras recoger los resultados en el Excel®, éstos se pasan a un código de Matlab® que cree, el cual lo inserta en una gráfica junto con los resultados de Peterson. Para más claridad, hice una curva que se ajustara a los resultados obtenidos para poder apreciar mejor las diferencias. Solo hay que indicar los valores de los factores de concentración de esfuerzos y en qué valores de r/d y D/d los has calculado y automáticamente hace la gráfica. El tipo de curva que he elegido para ajustarse a los datos es exponencial, ya que las polinómicas les costaba más adaptarse y se desviaban mucho de la tendencia sobretodo al principio y final de la curva, y son del tipo 𝑎 ∗ 𝑥𝑏+ 𝑏. Aunque la intención principal de este trabajo era comparar los resultados de mi programa de EF con los del libro de Pilkey, resultaba interesante compararlo también con otros trabajos en EF de otros autores. Los métodos experimentales como la fotoelasticidad usada en las gráficas del libro de Pilkey son muy diferentes a una simulación en un ordenador, por lo que mis resultados podrían variar bastante de los obtenidos con esos métodos. Esto hace que compararlo con otros trabajos en EF pueda darte una idea de si tus resultados van bien encaminados. En mi caso he usado los resultados de Rolovic, Tipton y Sorem en su artículo Multiaxial Stress Concentration in Filleted Shafts,2001 [8], en el que afirma que los resultados experimentales de algunos autores, entre ellos los de Peterson, tienen una diferencia de hasta el 21% en el caso de momento flector con los resultados de distintos análisis con EF. En el artículo explica que muchas de las gráficas están hechas a partir de datos de experimentos anticuados y de estimaciones con casos parecidos en 2-D y 3-D. Finalmente propone su propia ecuación para los K para tracción, flexión y torsión. En su análisis usan también Ansys® pero cambian el modo de aplicar las condiciones de contorno, en concreto el modo de aplicar el momento. Usan dos fuerzas perpendiculares al eje como se muestra en la figura 4-2. En principio no debería de alterar el resultado ya que el momento resultante es el mismo. Figura 4-2 Esquema de modelado, [7] 25 25 Análisis con Elementos Finitos de Ejes con Cambio de Sección Sometidos a Momento Flector Otra diferencia es que ellos dejan fija la cara del diámetro grande mientras que yo fijo la del diámetro pequeño, pero esto no debería afectar mucho a los resultados. En la Figura 4-3 y las Tablas 4-1 y 4-2 se muestras la ecuación de Rolovic y sus parámetros. Para cada tipo de carga (tracción, flexión y torsión) hay unos parámetros distintos, incluso se puede elegir el concentrador de tensiones teniendo en cuenta la tensión principal máxima o la tensión equivalente de Von Misses. En la tabla 4-3 podemos ver los parámetros de las ecuaciones de las curvas que se ajustan a mis resultados para cada caso de D/d, que como comenté anteriormente son del tipo 𝑎 ∗ 𝑥𝑏+ 𝑏. Finalmente, inserté en la misma gráfica los tres resultados para así tener una visión mejor de las diferencias entre los tres modelos. Como se pueden ver en las figuras del siguiente apartado, los resultados en las tres son bastante parecidos, con la misma tendencia general, pero con algunas diferencias que comentar. Figura 4-3 Ecuación de Rolovic. Tabla 4-1 Parámetros para la ecuación de Rolovic para la tensión principal. Tabla 4-2 Parámetros para la ecuación de Rolovic para la tensión equivalente de Von Misses. Resultados y comparación 32 32 Figura 4-8 Comparación de K_σ para el caso D/d=1.5. 33 33 Análisis con Elementos Finitos de Ejes con Cambio de Sección Sometidos a Momento Flector Figura 4-9 Comparación de K_σ para el caso D/d=2. Resultados y comparación 34 34 Figura 4-10 Comparación de K_σ para el caso D/d=3. 35 35 Análisis con Elementos Finitos de Ejes con Cambio de Sección Sometidos a Momento Flector 4.2 Comentarios sobre los resultados. Algunos comentarios en general sobre los resultados: • Los resultados que he obtenido con mi modelado son en general bastante parecidos a los de Rolovic para todos los casos, en ningún caso se nota una diferencia preocupante. Esto sugiere que el modelado es correcto y se comporta bien. En la investigación de Rolovic contaban con más recursos que yo y podían hacer muchas más simulaciones, en los artículos hablan de miles, por ejemplo, cambiando los valores de los diámetros, pero manteniendo la relación entre ellos, esto hace que puedan obtener resultados más precisos. Aun así, se puede observar que la mayoría de los valores de mi modelo son ligeramente mayores que los de Rolovic, lo que indica que las diferencias en el modelado y mallado entre los dos hace que los resultados difieran. • Las curvas que ofrece Pilkey en su libro difieren en muchos de los casos de los obtenidos con mi modelo y el de Rolovic, sobre todo para valores de r/d bajos. Esto indica que probablemente los experimentos con los que sacaron las tablas no eran precisos y tenían algún problema. Que las mayores diferencias sean a r/d bajos posiblemente tenga que ver con problemas en la creación de los modelos. Los experimentos de estas investigaciones tuvieron lugar hace decenas de años, probablemente no tendrían acceso a técnicas de fabricación muy precisas y esto introdujo errores en los radios de acuerdo tan pequeños o puede que el método de la fotoelasticidad fuera menos preciso en radios de acuerdo pequeños. También influiría seguramente, como comenta Rolovic, que los ensayos se hacían en placas planas y después se hacía una conversión de 2-D a 3-D y podría ser que estas conversiones dieran valores erróneos para pequeños radios de acuerdo. Un aspecto muy importante de comentar es que los valores de las curvas de Pilkey son por lo general menores que las de las obtenidas con Elementos Finitos, con un error bastante grande en algunos casos (de hasta 14%). Esto es un problema en la práctica, ya que si diseñabas un eje guíandote con esos valores y el concentrador de tensiones que has tenido en cuenta es mucho menor que el que hay realmente, podrías acabar con una pieza que puede fallar mucho antes de lo que pensabas. Tipton comenta en su artículo que un error del 10% en el concentrador de tensiones, puede conllevar a cálculos de vida a fatiga erróneos por un factor de 5 o más [9] . Para valores de D/d muy bajos y r/d altos pasa lo contrario, el concentrador de tensiones que te da la curva es mucho mayor de lo que en realidad es, lo que conllevaría un sobrecoste en el diseño de la pieza. A partir de valores de D/d de 1.05, para r/d altos los valores los resultados son relativamente parecidos a los que dan los programas de Elementos Finitos. En estos rangos parece que los modelos experimentales y las conversiones 2-D a 3-D funcionan mejor. Resultados y comparación 36 36 37 37 Análisis con Elementos Finitos de Ejes con Cambio de Sección Sometidos a Momento Flector 5 CONCLUSIÓN Las tablas de concentradores de tensiones se han usado durante muchos años como punto de partida en el diseño de distintas piezas y para la docencia, pero como se ha comprobado en este trabajo, han quedado un poco desfasadas. Los valores que se ofrecen en el Libro de Pilkey, sacados de investigaciones y costosos experiementos de Peterson, Leven, Hartman, Allison y muchos más, se alejan de la realidad por un margen importante, además, estas tablas te dan poca libertad de elección de geometrías. En un mundo en el que los programas de elementos finitos son cada vez más accesibles e intuitivos, usar este tipo de tablas queda un obsoleto. Cada vez se exige más precisión en los diseños de las piezas para mejorar el comportamiento en servicio y reducir costes y coeficientes de seguridad y esas tablas no son suficientemente precisas. Poder modelar tu propia pieza con las medidas y cargas que necesitesCon el proyecto conjunto de la web que comentaba al principio del trabajo, pretendemos que estos modelos sean accesibles para cualquier persona, ya que modelar y analizar todas las geometrías que se presentaban en esas tablas es un trabajo tedioso. Futuros estudiantes podrán continuar y profundizar con mi trabajo y el de Fernando Pascual, incluyendo más geometrías, otro tipo de cargas e incluso mejorando los modelos que hemos creado. Estos resultados pueden ser útiles para la docencia, aprender el extenso y complicado mundo de la elasticidad y resistencia de materiales y del cálculo, diseño y ensayo de máquinas con herramientas como las de este trabajo, ayudando a visualizar las tensiones y deformaciones, puede ser de gran ayuda a los alumnos. Conclusión 38 38 39 39 Análisis con Elementos Finitos de Ejes con Cambio de Sección Sometidos a Momento Flector 6 BIBLIOGRAFÍA [1] F. Pascual Goce, Numerical investigation through Finite Elements of Neuber’s and Molski- Glinka’s rules for calculation of elastoplastic stress and strain in notched elements, Sevilla: ETSI, 2019. [2] M. Abasolo, S. Navalpotro, E. Iriondo y J. Corral, Diseño de máquinas, OpenCourseWare, ISSN 2255-2316, Universidad el País Vasco. [3] W. D. Pilkey, Peterson’s Stress Concentration Factors, Segunda Edición, JOHN WILEY & SONS, INC., 2008. [4] ANSYS, ANSYS modeling and meshing guide, 2004. [5] I. M. Allison, The Elastic Stress Concentration Factors in Shouldered Shafts PART I: Shafts Subjected to Torsion, Aeronautical Q.,VoI. 12, p. 189., 1961. [6] L. Hartman, FACTORS OF STRESS CONCENTRATION FOR THE BENDING CASE OF FILLETS IN FLAT BARS AND SHAFTS WITH CENTRAL ENLARGED SECTION, Proc. SESA, Vol. 19, No. 1, p. 53., 1951. [7] I. H. Wilson y D. J. White, «STRESS-CONCENTRATION FACTORS FOR SHOULDER FILLETS AND GROOVES IN PLATES,» 1973. [8] R. Rolovic, S. M. Tipton y J. R. Solem, «Multiaxial Stress Concentration in Filleted Shafts,» 2001. [9] S. M. Tipton, J. R. Sorem y R. D. Rolovic, «Updated Stress Concentration Factors for Filleted Shafts in Bending and Tension,» 1996. [10] I. M. Allison, «The Elastic Stress Concentration Factors in Shouldered Shafts PART II: Shafts Subjected to Bending,» Aeronautical Q., , vol. 12, nº 219, 1961. [11] I. M. Allison, «The Elastic Stress Concentration Factors in Shouldered Shafts PART III: Shafts Subjected to Tension,» Aeronautical Q, vol. 13, nº 129, 1962. [12] A. J. Muminovic, I. Saric y N. Repcic, «Numerical Analysis of Stress Concentration Factors,» ScienceDirect, 2014. Bibliografía 40 40 41 41 Análisis con Elementos Finitos de Ejes con Cambio de Sección Sometidos a Momento Flector 7 ANEXO: CÓDIGOS 7.1 Código Ansys: caso R menor que H /BATCH /PREP7 D = 20e-3 dp = D/(2) r = (dp)*(0.15) L = 50e-3 Eyoung=202375000000 Poisson = 0.33 Carga = 5000 et,1,187 MP,EX,1,Eyoung MP,EY,1,Eyoung MP,EZ,1,Eyoung MP,PRXY,1,Poisson MP,PRXZ,1,Poisson MP,PRYZ,1,Poisson K,,0,0,0, K1=KP(0,0,0) K,,0,D/2,0, K3=KP(0,D/2,0) K,,L,0,0, K4=KP(L,0,0) K,,L,dp/2,0, K5=KP(L,dp/2,0) K,,-L,0,0, K6=KP(-L,0,0) K,,-L,D/2,0, K7=KP(-L,D/2,0) K,,0,(dp/2)+r,0, Anexo: Códigos 48 48 D = 20*(1e-3) dp = D/(1.2) r = (dp)*0.26 L = 50e-3 Eyoung=202375000000 Poisson = 0.33 Carga = 5000 A=(3.415650255319866)*(1e-3) H=(D-dp)/2 et,1,187 MP,EX,1,Eyoung MP,EY,1,Eyoung MP,EZ,1,Eyoung MP,PRXY,1,Poisson MP,PRXZ,1,Poisson MP,PRYZ,1,Poisson K,,0,0,0, K1=KP(0,0,0) K,,0,D/2,0, K3=KP(0,D/2,0) K,,L,0,0, K4=KP(L,0,0) K,,L,dp/2,0, K5=KP(L,dp/2,0) K,,-L,0,0, K6=KP(-L,0,0) K,,-L,D/2,0, K7=KP(-L,D/2,0) K,,A,dp/2,0, K9=KP(A,dp/2,0) K,,A,(dp/2)+r,0, K10=KP(A,(dp/2)+r,0) K,,A,0,0, K11=KP(A,0,0) K12=KP(-1e-3,0,0) K,,-1e-3,D/2,0, K13=KP(-1e-3,D/2,0) K,,r+1e-3,0,0, 49 49 Análisis con Elementos Finitos de Ejes con Cambio de Sección Sometidos a Momento Flector K15=KP(r+1e-3,0,0) K,,r+1e-3,dp/2,0, K16=KP(r+1e-3,dp/2,0) LARC,K9,K3,K10,r, *GET,Fillet,LINE,,NUM,MAX L,K13,K7 *GET,L1,LINE,,NUM,MAX L,K13,K12 *GET,L2,LINE,,NUM,MAX L,K12,K6 *GET,L3,LINE,,NUM,MAX L,K6,K7 *GET,L4,LINE,,NUM,MAX AL,L1,L2,L3,L4 !Area *GET,A1,AREA,,NUM,MAX L,K3,K13 *GET,L5,LINE,,NUM,MAX L,K3,K1 *GET,L7,LINE,,NUM,MAX L,K1,K12 *GET,L8,LINE,,NUM,MAX AL,L2,L5,L7,L8 *GET,A2,AREA,,NUM,MAX L,K9,K11 *GET,L10,LINE,,NUM,MAX L,K11,K1 *GET,L11,LINE,,NUM,MAX AL,Fillet,L10,L11,L7 *GET,AFillet,AREA,,NUM,MAX L,K9,K16 *GET,L12,LINE,,NUM,MAX L,K15,K16 *GET,L9,LINE,,NUM,MAX L,K15,K11 *GET,L13,LINE,,NUM,MAX AL,L10,L12,L9,L13 *GET,A3,AREA,,NUM,MAX L,K16,K5 Anexo: Códigos 50 50 *GET,L14,LINE,,NUM,MAX L,K5,K4 *GET,L15,LINE,,NUM,MAX L,K4,K15 *GET,L16,LINE,,NUM,MAX AL,L9,L14,L15,L16 *GET,A4,AREA,,NUM,MAX LESIZE,Fillet,,,7,,,,,, LESIZE,L5,,,1,,,,,, !LESIZE,L12,,,3,,,,,, LESIZE,L14,,,8,6,,,,, LESIZE,L1,,,7,4,,,,, LESIZE,L4,,,3,,,,,, LESIZE,L15,,,2,,,,,, EXTOPT,ON VROTAT,AFillet,,,,,,K6,K4,360,60 VROTAT,A3,,,,,,K6,K4,360,18 VROTAT,A2,,,,,,K6,K4,360,18 VROTAT,A1,,,,,,K6,K4,360,16 VROTAT,A4,,,,,,K6,K4,360,16 VADD,ALL SMRTSIZE,3 MSHKEY,0 VMESH,ALL NSEL,S,LOC,X,L,L D,ALL,ALL,0 ALLSEL NSEL,S,LOC,X,-L,-L,, NSEL,R,LOC,Y,D/2,D/2, NSEL,R,LOC,Z,0,0 F,ALL,FX,Carga ALLSEL NSEL,S,LOC,X,-L,-L,, NSEL,R,LOC,Y,-D/2,-D/2, NSEL,R,LOC,Z,0,0 F,ALL,FX,-Carga ALLSEL /Sol 51 51 Análisis con Elementos Finitos de Ejes con Cambio de Sección Sometidos a Momento Flector ANTYPE,0 Solve /POST1 NSEL,S,LOC,X,0,A,, PRNSOL,S,PRIN 7.4 Código Matlab: cálculo del parámetro para el caso de R mayor que H. clc clear all format long D=20; dd=1.2; d2=D/dd; rd=0.26; h=(D-d2)/2; r=d2*rd; A=sqrt((r^2)-((r-h)^2)) 7.5 Código Matlab: Gráficas clc clear all DD=0.02; d=[0.0066,0.01,0.0133,0.0166,(0.02/1.1),(0.02/1.05),(0.02/1.02)]; D_d=[3,2,1.5,1.2,1.1,1.05,1.02]; t=(DD-d)/2; rd2=[0.03:0.03:0.3]'; rdrolo=linspace(0.03,0.3,500); Anexo: Códigos 52 52 rd3=[0.04,0.05,0.06,0.09,0.12,0.15,0.18,0.21,0.24,0.27,0.3]'; rd1_5=[0.02,0.03,0.05,0.08,0.12,0.15,0.18,0.21,0.24,0.3]'; rd1_2=[0.01,0.02,0.03,0.04,0.05,0.07,0.09,0.13,0.15,0.17,0.2,0.23,0.26,0.3]'; rd1_1=[0.005,0.01,0.02,0.03,0.04,0.05,0.06,0.07,0.08,0.09,0.1]'; rd1_05=[0.007,0.01,0.02,0.025,0.03,0.04,0.05,0.06,0.07,0.08,0.09,0.1]'; rd1_02=[0.005,0.01,0.02,0.03,0.04,0.05,0.06,0.07,0.08,0.09,0.1]'; rd(1,:)=linspace(0.04,0.3,300); rd(2,:)=linspace(0.03,0.3,300); rd(3,:)=linspace(0.02,0.3,300); rd(4,:)=linspace(0.01,0.3,300); rd(5,:)=linspace(0.005,0.1,300); rd(6,:)=linspace(0.007,0.1,300); rd(7,:)=linspace(0.005,0.1,300); for i=1:length(d) for j=1:(length(rd(i,:))) Ktrolo(i,j)=0.632+0.377*(D_d(i)^(-4.4))+(rd(i,j)^(-0.5))*sqrt((-0.14- 0.363*((D_d(i))^2)+0.503*(D_d(i))^4)/(1-2.39*((D_d(i))^2)+3.368*(D_d(i))^4)); end end Kt2=[2.98 2.255859875 1.922851054 1.747510914 1.63794787 1.547823431 1.493140083 1.446310718 1.388093079 1.351081191]'; Kt3=[2.63 2.45745, 2.2728, 1.9328, 1.7468, 1.63 2, 1.5535, 1.4831, 1.4333, 1.3926, 1.34773]'; Kt1_5=[3.39 2.87 2.33 1.99 1.75 1.64 1.56 1.45 1.43 1.29]'; Kt1_2=[4.1 3.11 2.67 2.37 2.21 1.98 1.81 1.61 1.56 1.51 1.45 1.41 1.37 1.33]'; Kt1_1=[4.25 3.34 2.65 2.17 2.03 1.94 1.9 1.79 1.7 1.64 1.61]'; Kt1_05=[3.08 2.59 2.19 2.07 1.9 1.83 1.74 1.67 1.6 1.57 1.52 1.5]'; Kt1_02=[2.465 1.997 1.759 1.62 1.55 1.503 1.45 1.41 1.38 1.35 1.34]'; for j=1:length(d) r(j,:)=rd(j,:).*d(j); for i=1:(length(rd(j,:))) if 0.5<=(t(j)/r(j,i))<2 C1=0.947+1.206*sqrt(t(j)/r(j,i))-0.13*t(j)/r(j,i); C2=0.022-3.405*sqrt(t(j)/r(j,i))+0.915*t(j)/r(j,i); 53 53 Análisis con Elementos Finitos de Ejes con Cambio de Sección Sometidos a Momento Flector C3=0.869+1.777*sqrt(t(j)/r(j,i))-0.555*t(j)/r(j,i); C4=-0.810+0.422*sqrt(t(j)/r(j,i))-0.260*t(j)/r(j,i); end if 2<=(t(j)/r(j,i))<=20 C1=1.232+0.832*sqrt(t(j)/r(j,i))-0.008*t(j)/r(j,i); C2=-3.813+0.968*sqrt(t(j)/r(j,i))-0.260*t(j)/r(j,i); C3=7.423-4.868*sqrt(t(j)/r(j,i))+0.869*t(j)/r(j,i); C4=-3.839+3.070*sqrt(t(j)/r(j,i))-0.600*t(j)/r(j,i); end Kt(j,i)=C1+C2*(2*t(j)/DD)+C3*((2*t(j)/DD)^2)+C4*((2*t(j)/DD)^3); end end figure(1) int1=fit(rd3,Kt3,'power2'); plot(int1,rd3,Kt3) title('D/d=3') hold on plot(rd(1,:),Kt(1,:),'b--') hold on plot(rd(1,:),Ktrolo(1,:),'k-.') grid on grid minor xlabel('r/d') ylabel('K') legend('Datos','Interpolación','Pilkey','Rolovic') axis([0.03 0.3 1.2 2.8]) figure(2) int2=fit(rd2,Kt2,'power2'); plot(int2,rd2,Kt2) title('D/d=2') hold on plot(rd(2,:),Kt(2,:),'b--') hold on plot(rd(2,:),Ktrolo(2,:),'k-.') Anexo: Códigos 54 54 grid on grid minor xlabel('r/d') ylabel('K') legend('Datos','Interpolación','Pilkey','Rolovic') figure(3) int3=fit(rd1_5,Kt1_5,'power2'); plot(int3,rd1_5,Kt1_5) title('D/d=1.5') hold on plot(rd(3,:),Kt(3,:),'b--') hold on plot(rd(3,:),Ktrolo(3,:),'k-.') grid on grid minor xlabel('r/d') ylabel('K') legend('Datos','Interpolación','Pilkey','Rolovic') figure(4) int4=fit(rd1_2,Kt1_2,'power2'); plot(int4,rd1_2,Kt1_2) title('D/d=1.2') hold on plot(rd(4,:),Kt(4,:),'b--') hold on plot(rd(4,:),Ktrolo(4,:),'k-.') grid on grid minor xlabel('r/d') ylabel('K') legend('Datos','Interpolación','Pilkey','Rolovic') figure(5) int5=fit(rd1_1,Kt1_1,'power2'); plot(int5,rd1_1,Kt1_1) title('D/d=1.1') 55 55 Análisis con Elementos Finitos de Ejes con Cambio de Sección Sometidos a Momento Flector hold on plot(rd(5,:),Kt(5,:),'b--') hold on plot(rd(5,:),Ktrolo(5,:),'k-.') grid on grid minor xlabel('r/d') ylabel('K') legend('Datos','Interpolación','Pilkey','Rolovic') figure(6) int6=fit(rd1_05,Kt1_05,'power2'); plot(int6,rd1_05,Kt1_05) title('D/d=1.05') hold on plot(rd(6,:),Kt(6,:),'b--') hold on plot(rd(6,:),Ktrolo(6,:),'k-.') grid on grid minor xlabel('r/d') ylabel('K') legend('Datos','Interpolación','Pilkey','Rolovic') figure(7) int7=fit(rd1_02,Kt1_02,'power2'); plot(int7,rd1_02,Kt1_02) title('D/d=1.02') hold on plot(rd(7,:),Kt(7,:),'b--') hold on plot(rd(7,:),Ktrolo(7,:),'k-.') grid on grid minor xlabel('r/d') ylabel('K') legend('Datos','Interpolación','Pilkey','Rolovic')