Hipersuperficies isoparamétricas en el espacio hiperbólico complejo CHn

XI Encuentro Andaluz de Geometría IMUS (Universidad de Sevilla), 15 de mayo de 2015, págs. 4146 Hipersupercies isoparamétricas en el espacio hiperbólico complejo CHn Víctor Sanmartín López Resumen. Se presenta la clasicación de las hipersupercies isoparamétricas del espacio hiperbólico complejo CHn , siguiendo el trabajo realizado en [2]. 1. Introducción Desde sus comienzos, el desarrollo de la geometría de Riemann ha estado ligado al estudio de la geometría de subvariedades. En nuestro caso, hemos centrado nuestra atención en un tipo concreto de las mismas, las hipersupercies isoparamétricas. Estos objetos matemáticos han sido estudiados por prestigiosos matemáticos tales como Segre, Cartan o Levi-Civita. Para consultar los avances protagonizados por cada uno de ellos puede consultarse [3]. Ya con sus trabajos pudo adivinarse que estas hipersupercies conectaban diferentes campos dentro de las matemáticas, pues aparece no solo involucrada la geometría de Riemann, sino que de manera natural surgen también conexiones con la topología algebraica, la geometría algebraica, la teoría de grupos de Lie o la teoría de ecuaciones diferenciales. Con todo, el origen de las hipersupercies isoparamétricas surge en el seno de la óptica geométrica, cuando el matemático italiano Carlo Somigliana se encontraba estudiando un problema de ondas, que pasamos a exponer muy brevemente a continuación. Si bien allí se aborda tal problema utilizando tres variables espaciales, esto es, R3 , aquí lo presentaremos generalizándolo a una variedad riemanniana ¯ M . Se comienza considerando una onda, que se dene como una aplicación diferenciable ϕ:¯ M×R→R , (x, t)→ϕ(x, t), solución de la ecuación de onda ∆ϕ=∂2ϕ ∂t2, donde ∆ denota el operador de Laplace-Beltrami respecto de x , t∈R representa la variable temporal y x∈¯ M representa la variable espacial que, como hemos Víctor Sanmartín López, [email protected] Departamento de Geometría y Topología, Universidade de Santiago de Compostela. El autor ha sido nanciado por los proyectos EM2014/009, GRC2013-045, el programa de Formación del Profesorado Universitario (FPU) y la Fundación Barrié de la Maza. 42 Víctor Sanmartín-López dicho, en el problema inicial vivía en R3 . Se denen como frente de onda cada uno de los conjuntos formados por puntos en el mismo estado de fase en el instante de tiempo t0∈R . Expresado en otros términos, si para cada t0∈R denimos la aplicación ft0:¯ M→R mediante ft0(x) = ϕ(x, t0) , los frentes de onda en el instante t0 son precisamente los conjuntos de nivel de la función ft0 . En este punto, se imponen dos condiciones sobre ϕ . En primer lugar, supondremos la onda estacionaria, es decir, asumiremos que los frentes de onda no dependen del tiempo. Esto se traduce en que el laplaciano de f , ∆f , es constante a lo largo de los conjuntos de nivel de f . La otra condición consiste en imponer que la norma del gradiente, ||∇f|| , sea constante a lo largo de los conjuntos de nivel de f . Ello puede interpretarse, de un modo informal, como exigir que los conjuntos de nivel sean equidistantes entre si, donde aquí al hablar de distancia nos referimos a longitudes de geodésicas ortogonales a la hipersupercie. Como conclusión podemos extraer que las ondas estacionarias con frentes de onda equidistantes permiten determinar una función diferenciable f veri- cando que tanto ||∇f|| como ∆f son constantes a lo largo de sus conjuntos de nivel. Pues bien, una función diferenciable no constante f:¯ M→R se dice isoparamétrica precisamente cuando su laplaciano y la norma de su gradiente son constantes a lo largo de los conjuntos de nivel de f . Asimismo, una colección de conjuntos de nivel de una función isoparamétrica f , {f−1(c)}c∈R , se dice una familia isoparamétrica de hipersupercies. Por otra parte, una hipersupercie se dice isoparamétrica si ella y sus hipersupercies equidistantes tienen curvatura media constante. El siguiente teorema expresa de forma precisa la relación entre función isoparamétrica e hipersupercie isoparamétrica. Teorema 1.1. Sea ¯ M una variedad riemanniana. Sea f:¯ M→R una función isoparamétrica y c∈R un valor regular de f . En estas condiciones, M=f−1(c) es una hipersupercie isoparamétrica de ¯ M . Recíprocamente, si M es una hipersupercie isoparamétrica de ¯ M , entonces, para cada p∈M , podemos escoger un entorno abierto U de p en M tal que U es un conjunto de nivel regular de una función isoparamétrica f:V→R , para algún abierto V en ¯ M . Uno de los problemas centrales de la geometría de Riemann es precisamente el de la clasicación de las hipersupercies isoparamétricas de una variedad riemanniana. Sin ir más lejos, por ejemplo, en el caso euclídeo fue Segre el que, tras las clasicaciones de Somigliana y Levi-Civita en R3 , completó la clasicación en Rn , demostrando que cada hipersupercie isoparamétrica tendría una o dos curvaturas principales y sería una parte abierta de un hiperplano Rn−1 de Rn , o de una esfera Sn−1 , o, por último, de un cilindro generalizado Sk×Rn−k−1 , donde k∈ {1, . . . , n −1} . Otro ejemplo notable es el del caso hiperbólico real, RHn , resuelto por Cartan, que probó que aquí las hipersupercies isoparamétricas eran partes abiertas Hipersupercies isoparamétricas 43 o de una horosfera, o de una esfera geodésica, o de un hiperespacio hiperbólico totalmente geodésico RHn−1 de RHn , o de una de sus hipersupercies equidistantes, o de un tubo alrededor de un subespacio hiperbólico real RHk , con k∈ {1, . . . , n −2} . Para nalizar esta primera sección, y dado que hemos estado hablando de tubos alrededor de subvariedades, explicamos brevemente este concepto, que será de gran importancia en posteriores secciones. Dada una subvariedad de codimensión mayor que uno M⊂¯ M , denominamos el tubo Mr de radio r alrededor de M a los puntos de ¯ M que se encuentran todos a la misma distancia r de M . Matemáticamente, Mr={exp(rξ)|ξ∈ν1M} , donde ν1M denota el brado normal unitario de M . La subvariedad de partida recibe el nombre de subvariedad focal. 2. Hipersupercies isoparamétricas en el espacio hiperbólico complejo CHn En las siguientes líneas construiremos, omitiendo algunos detalles, el espacio hiperbólico complejo CHn , deteniéndonos posteriormente en los aspectos de su estructura necesarios para la comprensión de los ejemplos de hipersupercies isoparamétricas involucrados en el Teorema Principal. Comenzamos deniendo sobre el espacio vectorial complejo Cn+1 la métrica hz, wi= Re (−z0¯w0+Pn k=1 zk¯wk), donde z, w ∈Cn+1 . Se dene el espacio anti- De Sitter de radio r como H2n+1 1(r) = {z∈Cn+1 | hz, zi=−r2} . Se trata de una variedad lorentziana de curvatura negativa constante. Por ello, puede entenderse como el análogo Lorentziano del espacio hiperbólico real. Sobre el espacio de anti-De Sitter puede denirse una relación de equivalencia que identique aquellos puntos que dieren en un elemento de la circunferencia unitaria, S1 . Pasando al cociente, obtenemos la aplicación de Hopf π:H2n+1 1→CHn , asociada al espacio hiperbólico complejo n -dimensional. La terna (H2n+1 1, π, CHn) constituye un S1 -brado principal, lo cual permite identicar el subespacio del tangente al espacio de anti-De Sitter ortogonal a la bra con el tangente al espacio hiperbólico complejo, pudiendo de esta manera denir una métrica en CHn , la que convierte a π en una sumersión semi-riemanniana, así como introducir una estructura compleja J para el espacio hiperbólico complejo. Además, este puede ser descrito como el espacio simétrico CHn=SU(1,n) S(U(1)×U(n)) . En este punto, y de cara a una mejor comprensión de los ejemplos que aparecen en la clasicación, identicaremos CHn con un grupo de Lie. Para ello, consideramos el álgebra de Lie g=su(1, n) de la componente conexa de la identidad del grupo de isometrías del espacio hiperbólico complejo, G= SU(1, n) . 44 Víctor Sanmartín-López En este sentido, si jamos o∈CHn , podemos considerar el subgrupo de isotropía de o , K⊂G . Ahora bien, en este caso g se descompone de manera natural como suma directa de espacios vectoriales g=k⊕p , donde k es el álgebra de Lie de K (pensada como espacio vectorial) y p su complemento ortogonal en g con respecto a la forma de Killing B de g , que resulta ser denida positiva en p y denida negativa en k ; luego con un cambio de signo obtenemos un producto interior para g , producto interior respecto al cual la anterior descomposición es ortogonal. En este punto, escogemos a⊂p un subespacio abeliano maximal, que resulta ser 1 -dimensional. Por ello, los operadores del conjunto { ad (H)|H∈a} conmutan. Además, son autoadjuntos respecto al producto interior inducido por la forma de Killing. Luego todos ellos diagonalizan simultáneamente. Como consecuencia, g puede descomponerse como suma directa de estos autoespacios comunes gλ={X∈g=su(1, n)| ad (H)X=λ(H)X, ∀H∈a}, con λ∈a∗ . En este caso particular obtenemos la descomposición g=g−2α⊕g−α⊕g0⊕ gα⊕g2α, cuyos elementos están sujetos a la relación [gγ,gβ]⊂gγ+β . Además, puede comprobarse que gα es un espacio vectorial complejo ( n−1 )- dimensional, isomorfo por tanto a Cn−1 . En este punto, podemos denir un álgebra de Lie nilpotente n=gα⊕g2α , que es de hecho isomorfa al álgebra de Heisenberg de dimensión 2n−1 . Pues bien, el teorema de descomposición de Iwasawa [1, Proposición 6.43], arma que podemos escribir g como la suma directa g= k⊕a⊕n . Ahora bien, si uno se restringe a a⊕n , resulta que el subgrupo conexo de G asociado a este álgebra de Lie, AN , actúa libre y transitivamente en el espacio hiperbólico complejo, lo cual permite denir un difeomorsmo entre AN y CHn , pudiendo entonces entender este último como un grupo de Lie. De hecho, un grupo de Lie resoluble con métrica invariante a la izquierda. Esto nos permite reescribir toda la geometría de CHn en términos de álgebras de Lie. 3. Teorema Principal Comenzamos esta sección enunciando el Teorema de Clasicación y, a continuación, pasamos a explicar la construcción de los ejemplos involucrados en el mismo. Teorema Principal. Sea M una hipersupercie conexa real en el espacio hiperbólico complejo CHn , n≥2 . Entonces, M es una hipersupercie isoparamétrica si y solo si M es congruente a una parte abierta de: ( i ) un tubo alrededor de un espacio hipérbolico complejo totalmente geodésico CHk , k∈ {0, . . . , n −1} , ( ii ) un tubo alrededor de un espacio hiperbólico real totalmente geodésico RHn , Hipersupercies isoparamétricas 45 ( iii ) una horosfera, ( iv ) una hipersupercie de Lohnherr reglada minimal homogénea W2n−1 , o alguna de sus hipersupercies equidistantes, ( v ) un tubo alrededor de una subvariedad reglada minimal homogénea W2n−k ϕ , construida por Berndt-Brück, para k∈ {2, . . . , n −1} , ϕ∈(0, π/2] , ( vi ) un tubo alrededor de una subvariedad reglada minimal homogénea Ww , para algún subespacio propio w de gα∼ =Cn−1 tal que w⊥ , el complemento ortogonal de w en gα , tiene ángulo de Kähler no constante. Los ejemplos ( i ), ( ii ), ( iii ) del Teorema Principal se corresponden con los ejemplos de la lista de Montiel, que son ejemplos de hipersupercies Hopf y por tanto homogéneas. Nótese que, con la notación del Teorema, de manera natural, podemos pensar en Ck+1 incluido en Cn+1 (respectivamente Rn+1 ⊂Cn+1 ); luego también es natural pensar en CHk como subvariedad de CHn (respectivamente RHn⊂CHn ). De esta manera, construyendo tubos alrededor de estas dos subvariedades obtenemos ejemplos de hipersupercies isoparamétricas. Así quedan descritos los ejemplos ( i ) y ( ii ) del Teorema Principal. Las horosferas, ( iii ), se construyen haciendo actuar N , el subgrupo de Lie asociado al álgebra de Lie n de la descomposición de Iwasawa. Ahora, teniendo en cuenta las consideraciones de la sección anterior, pasamos a introducir un método para construir otros ejemplos de hipersupercies isoparamétricas en CHn . Escogemos para ello w⊂gα un subespacio real, pensando gα como espacio vectorial real de dimensión 2n−2 . A continuación, construimos el álgebra de Lie sw=a⊕w⊕g2α y pasamos a considerar el subgrupo conexo Sw⊂G asociado al álgebra de Lie sw . En este punto, denimos Ww como la órbita de Sw a través del punto o∈CHn escogido para inducir la anterior descomposición de Iwasawa. Esta subvariedad Ww es una subvariedad homogénea minimal. Pues bien, los tubos alrededor de esta subvariedad son ejemplos de hipersupercies isoparamétricas. Esta técnica sirve para construir los ejemplos ( iv ), ( v ) y ( vi ). La primera de estas tres familias, que está formada por hipersupercies homogéneas, ( iv ), se obtiene cuando tomamos w un hiperplano real en gα . Sin embargo, para distinguir las dos familias restantes de ejemplos, se hace necesario introducir la noción de ángulo de Kähler. Para ello, es crucial que la estructura compleja J de CHn , expresada en términos de álgebras de Lie, constituye una estructura compleja hermitiana para gα . Por tanto, si ahora, tal y como se hace en el Teorema Principal, consideramos w⊥ el complemento ortogonal de w en gα , es posible, para cada elemento ξ∈w⊥\{0} , medir el ángulo entre Jξ y el subespacio w⊥ . Pues bien, este ángulo entre 0 y π/2 es lo que se conoce como ángulo de Kähler de ξ con respecto a w⊥ . Por otra parte, diremos que w⊥ tiene ángulo de Kähler constante cuando todos 46 Víctor Sanmartín-López sus elementos no nulos tengan el mismo ángulo de Kähler. Ahora, atendiendo a la constancia o no del ángulo de Kähler en w⊥ , podemos distinguir las familias ( v )y( vi ) de hipersupercies isoparamétricas. Cuando w⊥ tiene ángulo de Kähler constante, entonces obtenemos ejemplos de hipersupercies isoparamétricas homogéneas y por tanto, con curvaturas principales constantes. Por otro lado, cuando w⊥ tiene ángulo de Kähler no constante, obtenemos las únicas familias de hipersupercies isoparamétricas no homogéneas y además, con curvaturas principales no constantes. De hecho, pese a que todas las subvariedades focales de los ejemplos ( iv ), ( v ) y ( vi ) son homogéneas, solo en los casos ( iv ) y ( v ) son homogéneos los tubos alrededor de las mismas. 4. Consecuencias del Teorema Principal Dedicamos la presente sección a exponer algunas consecuencias del Teorema Principal. En primer lugar, y atendiendo a que en el ámbito de las hipersuper- cies la propiedad de ser homogénea implica la propiedad de ser isoparamétrica, se obtiene como corolario de este resultado la clasicación de hipersupercies homogéneas en espacios hiperbólicos complejos. Por contra, examinando la otra implicación, es evidente que no es cierta, pues se han hallado ejemplos de hipersupercies isoparamétricas no homogéneas ( vi ). Sin embargo, se tiene: Corolario 4.1. Una hipersupercie isoparamétrica de CHn tiene curvaturas principales constantes si y solo si es una parte abierta de una hipersupercie homogénea de CHn . Para nalizar presentamos un caso curioso. Nótese que para CH2 , se tiene que gα es isomorfo a la recta compleja C . Por tanto, en este caso 06=w⊂gα es siempre un hiperplano. Como consecuencia: Corolario 4.2. Una hipersupercie isoparamétrica CH2 es parte abierta de una hipersupercie homogénea. Referencias [1] A. W. Knapp, Lie groups beyond an introduction , Second edition, Progress in Mathematics, 140 , Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2002. [2] J. C. Díaz-Ramos, M. Domínguez-Vázquez, V. Sanmartín-López, Isoparametric hypersurfaces in complex hyperbolic spaces , Adv. Math. 314 (2017), 756805. [3] G. Thorbergsson, A survey on isoparametric hypersurfaces and their generalizations, Handbook of dierential geometry , Vol. I, 963995, North- Holland, Amsterdam, 2000.