Causalidad en variedades de Lorentz teoremas de singularidad

Universidad de Sevilla Facultad de Matem´ aticas Dpto. de Geometr ´ ıa y Topolog ´ ıa Causalidad en Variedades de Lorentz Teoremas de Singularidad Manuel Francisco Ruiz-Herrera Bernal Doble Grado en F´ısica y Matem´aticas Tutorizado y dirigido por Dr. Alfonso Carriazo Rubio 2020 - 2021 Resumen En este trabajo se realizar´a un primer acercamiento a la teor´ıa de Causalidad en variedades de Lorentz enfocada al estudio de los teoremas de singularidad en un marco f´ısico-matem´atico. Se comenzar´a introduciendo el concepto de variedad diferenciable y, a partir de este, se ir´an generando nuevas estructuras cada vez m´as complejas con las ideas que se desarrollar´an a lo largo de los cap´ıtulos. En primer lugar, las variedades diferenciables se equipar´an con un tensor m´etrico que permitir´a definir el concepto de variedad semi-Riemanniana gener´andose un modo general de medir longitudes, ´angulos, curvaturas, etc. Posteriormente, se destacar´a el estudio de un tipo particular de estas variedades: las variedades de Lorentz; se dotar´a a estas de una orientaci´on temporal construy´endose la idea general de espacio-tiempo. En este punto, se estudiar´a brevemente la Teor´ıa General de la Relatividad y algunos de sus modelos m´as simples sirviendo de nexo natural entre las ideas matem´aticas previas — sustent´andose en ellas — y las posteriores, introduciendo el concepto de singularidad y motivando el estudio de la teor´ıa de Causalidad. En este sentido, el ´ultimo cap´ıtulo estar´a enfocado en los conceptos m´as b´asicos de la teor´ıa de la Causalidad — relaciones causales, hipersuperficies de Cauchy, etc. — gener´andose un formalismo que culminar´a con la construcci´on de los teoremas de singularidad que permitir´an abordar de un modo m´as general la idea de singularidad en cualquier espacio-tiempo bajo determinadas condiciones. Abstract This project consists in a first approach to the theory of Causality in Lorentz manifolds aimed at the study of the singularity theorems from a physical-mathematical perspective. New increasingly complex structures will be generated from a very first introduction to the concept of smooth manifold and the different ideas developed throughout the chapters. First of all, smooth manifolds will be equipped with a metric tensor which will make the definition of semi-Riemannian manifold possible, generating a general way of measuring lengths, angles, curvature, etc. Afterward, a particular type of semi-Riemannian manifolds will be outlined: Lorentz manifolds; the general idea of space-time will be built equipping them with the concept of time orientation. At this point, General Relativity Theory and some of its simplest models will be studied briefly providing a natural connection between the previous mathematical ideas — as this theory relies on them — and the subsequent ones, introducing the concept of singularity and motivating the study of Causality theory. In this sense, the last chapter of the project will focus on the most basic concepts of Causality theory — causal relations, Cauchy hypersurfaces, etc. — generating a formalism that will culminate with the construction of the singularity theorems which will generalize the idea of singularity in any space-time under certain conditions. ´ Indice general Introducci´on 3 1. Pre´ambulo: Variedades diferenciables y tensores 7 1.1. Variedades diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Aplicaciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3. Espacio tangente. Aplicaci´on Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4. Campos vectoriales. Curvas integrales y flujos . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5. 1-Formas................................... 17 1.6. Campos de tensores. Formas bilineales sim´etricas y producto escalar . . 19 2. Elementos principales de la teor´ıa de variedades semi-Riemannianas 27 2.1. Variedades semi-Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2. La conexi´on de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3. Transporte paralelo. Geod´esicas y aplicaci´on exponencial . . . . . . . . 37 2.4. Tensor de curvatura Riemanniano. Curvatura seccional . . . . . . . . . 42 2.5. Tensor de Ricci y curvatura escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3. Variedades de Lorentz: El espacio-tiempo 51 3.1. Espacio-tiempo. Orientabilidad temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.2. Geometr´ıa extr´ınseca. Segunda forma fundamental. . . . . . . . . . . . 57 3.3. Variaciones de longitud. Campos de Jacobi y puntos focales . . . . . . 61 4. Introducci´on a la Teor´ıa General de la Relatividad 71 4.1. Fundamentos f´ısicos. Materia, gravedad y curvatura . . . . . . . . . . . 72 4.2. Ecuaci´on de campo de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.3. Motivaci´on para el estudio de la Causalidad: El Modelo FLRW y las singularidades................................ 82 5. Causalidad en Variedades de Lorentz 95 5.1. Relaciones y condiciones de causalidad. Separaci´on temporal . . . . . . 96 5.2. Conjuntos acronales. Hipersuperficies de Cauchy . . . . . . . . . . . . . 106 5.3. Dominios de dependencia y horizontes de Cauchy . . . . . . . . . . . . 111 5.4. Teoremas de singularidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Bibliograf´ıa 127 Introducci´on Los conceptos de espacio y tiempo han sido siempre intr´ınsecos a la forma de entender el mundo que tienen los seres humanos. Es por ello que el entendimiento de la naturaleza de ambos ha generado gran controversia, debate y, consecuentemente, producci´on cient´ıfica a lo largo de la historia, constituyendo a trav´es de la geometr´ıa una de las mayores intersecciones de las disciplinas f´ısicas y matem´aticas. Aunque el concepto de tiempo siempre ha sido m´as complicado de entender debido a sus propiedades, en concreto su irreversibilidad, el espacio siempre fue una entidad bien conocida tanto desde el punto de vista f´ısico a trav´es del espacio absoluto de Newton — interpret´andose como un simple contenedor de objetos, es decir, como aquello que resta en el mundo si desapareciera todo lo dem´as — como desde el punto de vista matem´atico a trav´es de la geometr´ıa cl´asica de Euclides. En este contexto, el tiempo en ambos marcos era considerado un simple n´umero, un par´ametro capaz de encapsular nuestra idea de movimiento y cambio dentro de este concepto de espacio. Este mundo cl´asico que, a priori, podr´ıa parecer s´olido y verdadero ya que est´a basado en nuestra intuici´on geom´etrica m´as b´asica de la realidad, ya presentaba problemas en el siglo XVII cuando el propio Newton se enfrentaba a Leibniz por su interpretaci´on del espacio como una abstracci´on de las relaciones existentes entre objetos en lugar de algo absoluto existente independientemente de los objetos que contenga. A pesar de que la balanza hist´orica cay´o hacia el lado de Newton, la brecha conceptual debida a la naturaleza del espacio sigui´o abierta y, en el siglo XVIII, en esta l´ınea de espacio absoluto, s´olido e inmutable apareci´o la figura del fil´osofo alem´an Immanuel Kant (1724 - 1804) quien en su obra Cr´ıtica a la raz´on pura estableci´o que el espacio y el tiempo solo son construcciones mentales que nos permiten estructurar los elementos de nuestra experiencia. En palabras del propio Kant: “El espacio y el tiempo son el marco dentro del cual la mente se ve obligada a construir su experiencia de la realidad”. Paralelamente a esta revoluci´on del pensamiento en el ´ambito filos´ofico, el mundo de las matem´aticas tambi´en se desarroll´o y la geometr´ıa fue evolucionando con las ideas del matem´atico alem´an Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855). Gauss, con su desarrollo del an´alisis intr´ınseco de superficies — esto es, independientemente del espacio ambiente donde se encuentre la superficie — construy´o conceptos como la curvatura o la medida de longitudes, ´angulos y ´areas en superficies, alejando al mundo de la idea de espacio 1 2 inmutable, s´olido y absoluto, planteando con fuerza por primera vez si el espacio f´ısico podr´ıa ser curvo. En esta misma ´epoca, el surgimiento de las geometr´ıas no eucl´ıdeas — hip´erbolica y el´ıptica — fueron difuminando cada vez m´as las ideas cl´asicas y permitieron superar el jaque mate conceptual que hab´ıa supuesto la Cr´ıtica a la raz´on pura de Kant en el siglo anterior. El culmen de esta revoluci´on lleg´o con Bernhard Riemann (1826 - 1866), disc´ıpulo de Gauss, que en su tesis de habilitaci´on Sobre las hip´otesis en que se funda la geometr´ıa elevaba las ideas de su maestro a dimensiones superiores, generalizando toda la geometr´ıa previa y dando un estocazo final al mundo geom´etrico cl´asico o, mejor dicho, incluy´endolo en un nuevo mundo geom´etrico inmenso lleno de posibilidades. Realmente, este estocazo nunca lleg´o de parte de Riemann, quien a pesar de construir una obra que ven´ıa como anillo al dedo para el momento hist´orico en el que vivi´o, colapsando ideas filos´oficas profundas con el desarrollo de una nueva matem´atica, fue completamente incomprendido debido a la oscuridad con la que transmit´ıa sus ideas y la dificultad de estas. Los conceptos Riemannianos no fueron accesibles hasta final de siglo gracias al trabajo de los matem´aticos italianos Tullio Levi-Civita (1873-1941) y Gregorio Ricci- Curbastro (1853-1925) quienes usando de hilo conductor el trabajo del matem´atico Elwin Cristoffel formalizaron la matem´atica iniciada por Riemann y Gauss dando lugar al c´alculo diferencial general y a la geometr´ıa diferencial tal y como la conocemos hoy. La revoluci´on m´as tard´ıa lleg´o de manos de la f´ısica; al no haberse realizado experimentos que rompieran con las ideas cl´asicas de espacio y de tiempo, estas se segu´ıan manteniendo intactas. La historia cambi´o con la aparici´on de las ecuaciones de Maxwell (1865) — ecuaciones que reg´ıan la teor´ıa electromagn´etica — que no se mostraban invariantes bajo las transformaciones relativistas de Galileo lo que significaba que la teor´ıa electromagn´etica era incompatible con la idea de espacio de Newton. Tras diversos experimentos, la balanza cay´o del lado del electromagnetismo ya que se demostr´o que experimentalmente la velocidad de la luz ten´ıa que ser constante y adem´as, ten´ıa que ser una cota m´axima de velocidad. La mec´anica cl´asica de Newton fue generalizada a la Teor´ıa de la Relatividad Especial de Albert Einstein en 1905, teor´ıa que insertaba la idea de espacio-tiempo de cuatro dimensiones equipado con un nuevo tipo de transformaciones: las transformaciones de Lorentz, que s´ı manten´ıan la velocidad de la luz constante y que eran compatibles con las ecuaciones de Maxwell. De este modo, las ideas cl´asicas de espacio y tiempo se intercambiaron con el concepto de espacio-tiempo en el que el tiempo era una nueva dimensi´on m´as, solo que con caracter´ısticas especiales. El caracter cl´asico y absoluto se perd´ıa, pues las tranformaciones de Lorentz implicaban que el espacio se contra´ıa y que el tiempo se dilataba pasando m´as lento para aquellos observadores que se movieran m´as r´apido. Aunque la mayor parte de estas ideas se le deben a Einstein, otros muchos matem´aticos y f´ısicos trabajaron en la formalizaci´on geom´etrica de estas ideas como fueron el propio Lorentz, Minkowski o Poincar´e. Este ´ultimo manten´ıa gran debate con Einstein acerca de la interpretaci´on de estas nuevas ideas; Einstein, interesado en la filosof´ıa del espacio e incluso en las ideas de Kant, pensaba que con la Teor´ıa de la Relatividad Especial 3 se hab´ıa demostrado la falsedad de estas ideas puesto que la teor´ıa probaba cu´al era la geometr´ıa y la naturaleza “real” del espacio. Sin embargo, Poincar´e manten´ıa una idea completamente opuesta y defend´ıa que la geometr´ıa “real” del espacio no pod´ıa determinarse experimentalmente. En este punto, cuestiones filos´oficas aparte, parec´ıa que la f´ısica volv´ıa a ser consistente. Sin embargo, faltaba una cuesti´on por resolver, puesto que si la velocidad de la luz era m´axima, la gravitaci´on tal y como la hab´ıa explicado Newton era incompatible con la nueva mec´anica. Hac´ıa falta una nueva teor´ıa de la gravedad. Inspirado por su amigo matem´atico Marcel Grossman, Einstein comenz´o a leer las matem´aticas de Levi- Civita y Ricci-Curbastro de las que hablamos previamente, proporcion´andole las ideas matem´aticas perfectas para el desarrollo de sus ideas f´ısicas. En 1915, Einstein public´o la Teor´ıa General de la Relatividad en la que unificaba las ideas de la Teor´ıa Especial con una nueva forma de entender la gravitaci´on. La gravedad dejaba de ser una fuerza para ser simplemente la manifestaci´on de una propiedad del espacio-tiempo, en concre- to, su geometr´ıa o curvatura en cierto sentido que ya estableceremos: el espacio-tiempo se convirti´o en una variedad semi-Riemanniana curvada por la presencia de energ´ıa haciendo que las trayectorias sobre ´el de los cuerpos libres fueran las geod´esicas de esta variedad, claramente curvas como lo son las ´orbitas reales. La Teor´ıa de la Relatividad General fue probada experimentalmente en m´ultiples ocasiones, afianzando esta nueva idea de espacio-tiempo mutable y moldeable. El ´exito de la teor´ıa llev´o a gran parte de la comunidad cient´ıfica a querer resolver las ecuaciones de Einstein — ecuaciones por las que se rige la teor´ıa — siendo especialmente relevantes las soluciones encontradas por Schwarzschild sobre la gravedad alrededor de un cuerpo esf´erico como una estrella y las debidas a Friedmann, Lemaˆıtre, Robertson y Walker que trataban el universo como un todo din´amico. Ambas soluciones, a pesar de ser claramente diferentes, ten´ıan en com´un la aparici´on de puntos que desquiciar´ıan a Einstein, puntos donde la teor´ıa fallaba y donde el espacio-tiempo dejaba de tener sentido: las singularidades. En el caso de Schwarzschild su soluci´on llev´o a lo que hoy conocemos como agujeros negros y en el caso de Friedmann, Lemaˆıtre, Robertson y Walker a conceptos como el Big Bang y el estudio del final cosmol´ogico del universo; puntos de densidad y curvatura infinita donde el cosmos se rompe. Durante muchos a˜nos los f´ısicos, y en particular Einstein, se mantuvieron reticentes a que estas soluciones fueran f´ısicamente plausibles, y argumentaban que eran matem´aticamente posibles debido a la gran simetr´ıa supuesta en los modelos para resolver las ecuaciones de campo. Con el paso del tiempo, la experimentaci´on y ciertos desarrollos te´oricos, empezaron a sostener la idea de que la formaci´on de agujeros negros como los que predec´ıa la soluci´on de Schwarzschild eran posibles en el colapso de ciertas estrellas como argumentaban Oppenheimer y Snyder en su art´ıculo de 1939. Sin embargo, el hecho de que existieran las singularidades de forma f´ısica y solo bajo condiciones de alta simetr´ıa segu´ıa siendo un enigma. La mayor parte de la comunidad f´ısica sigui´o abordando el problema buscando soluciones detalladas de las ecuaciones de campo de Einstein, y en 1963 los cient´ıficos rusos Lifshitz y Khalatniikov afirmaron haber demos- 4 trado que este tipo de soluciones solo pod´ıan obtenerse bajo distribuciones de energ´ıa y velocidades muy concretas. El paradigma no cambi´o hasta que posteriormente (1965) el matem´atico brit´anico Roger Penrose (1931-Presente) y el f´ısico brit´anico Stephen Hawking (1942-2018) abordaron el problema de una forma mucho m´as general y matem´atica. Penrose y Hawking tuvieron la perspicacia de percatarse de que las singularidades estaban estrechamente relacionadas con el hecho de que las geod´esicas de la variedad est´en incompletas en cierto sentido que ya precisaremos y que, por ello, en estos puntos no tiene sentido hablar de espacio-tiempo. Ambos aplicaron las herramientas de la teor´ıa matem´atica de Causalidad para estudiar las relaciones causa-efecto entre diferentes puntos de la variedad espacio-temporal con la finalidad de encontrar qu´e condiciones suficientes debe de cumplir esta para que se produzcan singularidades. Como veremos, estas condiciones son simples e intuitivas, y es muy factible que nuestro universo las cumpla. Hemos viajado hist´oricamente desde un espacio tridimensional inmutable y r´ıgido en que el tiempo no era m´as que un par´ametro, a un mundo en cuatro dimensiones en el que una de esas dimensiones es el tiempo y que es completamente moldeable y cambiante, llegando incluso a puntos donde este no tiene sentido y donde ser´ıa necesaria una nueva definici´on de espacio-tiempo o una nueva forma de entender la gravedad; preguntas que a´un a d´ıa de hoy siguen abiertas. En este documento se abordar´an las teor´ıas geom´etricas desarrolladas por Gauss, Riemann, Levi-Civita, Cristoffel y Ricci en los dos primeros cap´ıtulos, haciendo una introducci´on a la idea de variedad diferenciable y posteriormente de variedad semi- Riemanniana al equipar esta con un tensor m´etrico. En el tecer cap´ıtulo se introducir´a la idea de orientaci´on temporal definiendo el concepto de espacio-tiempo a trav´es de un tipo especial de variedad semi-Riemanniana, las variedades de Lorentz, estudi´andose adem´as con m´as profundidad la geometr´ıa en ellas centr´andonos en particular en las geod´esicas. En el cuarto cap´ıtulo se introducir´a la Teor´ıa de la Relatividad General y los modelos de Schwarzschild y Friedmann, Lemaˆıtre, Robertson y Walker, cuyo formalismo se basa en toda esta geometr´ıa previa sirvi´endonos de nexo perfecto entre estas ideas matem´aticas y la teor´ıa de la Causalidad a trav´es del concepto de singularidad. Finalmente, en el quinto cap´ıtulo desarrollaremos la teor´ıa de la Causalidad construyendo los teoremas de singularidad debidos a Hawking y Penrose, estableciendo unas condiciones causales y energ´eticas sobre el espacio-tiempo suficientes para la aparici´on de singularidades. Destacamos que el car´acter de este texto ser´a principalmente matem´atico aunque se traten conceptos con finalidad f´ısica buscando un equilibrio entre ambas disciplinas. Es por ello que el cap´ıtulo cuatro, en el que principalmente se tratar´a una teor´ıa f´ısica, se desarrollar´a desde un punto de vista formal y f´ısico-matem´atico, y aquellos cap´ıtulos matem´aticos, ir´an acompa˜nados de intuiciones f´ısicas e ideas que se relacionar´an con conceptos que se mostrar´an m´as adelante. Destacamos adem´as en este punto que, al principio de cada cap´ıtulo, aparecer´an introducciones conectando con la historia aqu´ı 5 presentada para dotar de contexto a las ideas planteadas y, adem´as, se mostrar´a la literatura usada para el cap´ıtulo en cuesti´on con el fin de dejar claro que la mayor parte de las demostraciones pertenecen a dichos textos y para que el lector tenga una bibliograf´ıa propia de cada cap´ıtulo si necesitara profundizar en los conceptos tratados. A pesar de esto ´ultimo, recalcamos que el desarrollo general del cocumento est´a basado en [18] y [24]. Recalcamos adem´as la excesiva extensi´on del documento para un trabajo de este tipo. Debido a la necesidad de recopilar todos los resultados de Variedades Diferenciables y de Geometr´ıa semi-Riemanniana como pre´ambulo para poder realizar el desarrollo posterior, las dimensiones del documento son excesivas. Sin embargo, no exist´ıa otra manera de agrupar todo este contenido haciendo un documento autocontenido de menor extensi´on. En relaci´on a esto ´ultimo, en el desarrollo del trabajo se ha dedicado una mayor profundidad a aquellos conceptos m´as cercanos a los tratados en las asignaturas del Grado en Matem´aticas de la Universidad de Sevilla, y se han desarrollado de forma m´as escueta aquellas ideas m´as complejas, que simplemente son necesarias para alcanzar los resultados deseados. Por ello, se podr´a apreciar quiz´as un mayor detalle a la hora de desarrollar las ideas en los Cap´ıtulos 1,2 y 4, mientras que los Cap´ıtulos 3 y 5 — m´as cercanos a asignaturas de M´aster — aparecen tambi´en con profundidad, pero de forma menos detallada. Para acabar esta introducci´on, me gustar´ıa agradecer a todas las personas que han estado a mi lado estos cinco a˜nos de carrera, que en alg´un momento despertaron en m´ı curiosidad o que simplemente estuvieron ah´ı cuando lo necesit´e. En primer lugar, quiero mostrar mis m´as sinceros agradecimientos a mi tutor Alfonso Carriazo por haberme apoyado desde el segundo a˜no de carrera, por la motivaci´on y curiosidad que ha despertado en m´ı y por haberme dado un hueco en su tiempo para poder aprender todas las matem´aticas que siempre hab´ıa querido, echando un primer vistazo formal a una de mis teor´ıas f´ısicas favoritas como es la Relatividad General. Me gustar´ıa agradecer tambi´en en el ´ambito acad´emico al profesor Jos´e O˜norbe por haberme dedicado tanto tiempo este ´ultimo a˜no de carrera permiti´endome aplicar todos los conocimientos que he adquirido estos a˜nos a la disciplina que siempre me hab´ıa apasionado: la cosmolog´ıa. Aprovecho tambi´en para agredecer a mis compa˜neros tanto del Doble Grado en F´ısica y Matem´aticas como de los grados separados por el apoyo que nos hemos dado y el grupo que hemos creado durante estos cinco a˜nos. Finalmente, en un plano m´as personal, me gustar´ıa dedicar este trabajo a mis profesores del instituto Arroyo Hondo en Rota, en especial a Carlos V´azquez, Regli Ni˜no y Marta Cirilo, por despertar en m´ı una curiosidad implacable por la f´ısica, la filosof´ıa y las matem´aticas; a mis amigos de siempre (BdD) y a mi familia, en especial a mi madre y a mis abuelos. Para acabar, y aunque es algo clich´e, me gustar´ıa dejar aqu´ı esta frase que, adem´as 6 de otras muchas experiencias, creo que condensa muy bien el sentimiento de peque˜nez que podemos tener al acabar el grado ante el mundo de conocimiento que se nos ha planteado, pero, a su vez, la fuerza, el saber y la curiosidad con la que nos hemos cargado estudiando estos cinco a˜nos: El aleteo de una mariposa puede ser la causa de un hurac´an en la otra punta del mundo Con afecto, el autor. 13 En particular, dada una funci´on f∈ F(N)su derivada parcial en pser´a: ∂f ∂xi(p) := ∂(f◦ϕ−1) ∂ui(ϕ(p)) para todo i= 1, ..., n siendo uilas funciones coordenadas naturales. Lema 1.3.3 En las condiciones de la definici´on anterior las derivadas parciales ∂i|p son vectores tangentes a la variedad Nnen p. N´otese que hemos conseguido lo que quer´ıamos, pues basta ver que, a trav´es de la Definici´on 1.3.1 de vector tangente, el objeto que acabamos de construir tiene las caracter´ısticas de una derivada parcial en el sentido usual de forma local. Adem´as, no solo tenemos que las derivadas parciales sean vectores tangentes, sino que tenemos un resultado mucho m´as fuerte pues constituir´an una base de la estructura de espacio vectorial que tiene el espacio tangente en cada punto. Teorema 1.3.1 (Teorema de la Base) Dados una variedad Nn, una carta (U, ϕ = (x1, ..., xn)) y un punto p∈U, el conjunto {∂i|p}ies una base de Tp(M)pudi´endose escribir cualquier v∈Tp(M)como v=v(xi)∂i|p, donde se ha usado el convenio de sumaci´on de Einstein e i= 1, ..., n. Recordamos que el convenio de sumaci´on de Einstein consiste en omitir un sumatorio sobre la dimensi´on tratada que se considera impl´ıcito cuando se repiten ´ındices arriba y abajo — contravariante y covariante como ya estableceremos m´as adelante en el documento. Recalcamos adem´as en todo el desarrollo anterior la importancia de diferenciar objetos y esos mismos objetos en un punto. Intentaremos mantener esta notaci´on a lo largo del documento por evitar confusi´on aunque cuando la notaci´on se haga pesada y se sobrentienda el sentido por contexto la omitiremos. Para acabar este apartado, en el mismo sentido que nos preguntabamos tras la Secci´on 1.1 c´omo son las aplicaciones entre variedades, ahora nos podemos preguntar c´omo se relacionan los espacios tangentes a trav´es de aplicaciones. Definici´on 1.3.5 (Aplicaci´on diferencial) Sea f:N→Muna aplicaci´on diferenciable. Definimos la aplicaci´on diferencial de fen ppara cada p∈Mcomo: dfp:Tp(N)→Tp(M) v7→ dfp(v) defini´endose dfp(v)como dfp(v)(g) = v(g◦f)para toda g∈ F(M). 14 N´otese que la aplicaci´on diferencial es lineal y podemos calcular su matriz jacobiana del siguiente modo: Lema 1.3.4 Dados un punto p∈Nn,f:Nn→Mmuna aplicaci´on diferenciable, (U, ϕ = (x1, ..., xn)),(V, ψ = (y1, ..., yn)) cartas de NnyMmrespectivamente con p∈U yf(p)∈V, se tiene que: dfp∂ ∂xjp=∂(yi◦f) ∂xj(p)∂ ∂yif(p) con i= 1, ..., n yj= 1, ..., m. En particular, estamos estableciendo que la matriz de dfp respecto a las bases de Tp(U)yTf(p)(V)que nos da el Teorema de la Base es la matriz de la aplicaci´on f=ψ◦f◦ϕ−1. Esto es, la matriz jacobiana de fen prelativa a las cartas previas es Jp(f) := ∂(yi◦f) ∂xj(p) = dfp. El lema previo nos permite definir qu´e significa que una variedad sea orientable, concepto que ser´a necesario diferenciar del concepto de orientaci´on temporal que aparecer´a en el cap´ıtulo tres. Definici´on 1.3.6 (Variedad orientable) Diremos que una variedad Nes orientable si existe un conjunto Rde cartas cuyos dominios recubran Ny tal que para cada par de cartas el determinante de la matriz jacobiana introducida en el Lema 1.3.4 sea positivo. Acabemos la secci´on introduciendo el Teorema de la Funci´on Inversa que ser´a necesario en resultados posteriores: Teorema 1.3.2 (Teorema de la funci´on inversa) Dadas dos variedades NyMy una funci´on f∈ F(N), la aplicaci´on diferencial dfpcon p∈Nes un isomorfismo lineal si y solo si existe un entorno Ude pen Ntal que frestringida a dicho entorno sea un difeomorfismo sobre su imagen f(U)entorno de f(p)en M. 1.4. Campos vectoriales. Curvas integrales y flujos Continuando con nuestro desarrollo de conceptos, en esta secci´on vamos a dotar de mayor complejidad al concepto de vector tangente previo introduciendo la idea de campo vectorial. Los campos vectoriales se pueden interpretar de tres maneras diferentes como veremos a continuaci´on. Definici´on 1.4.1 (Campo vectorial (1)) Un campo vectorial sobre una variedad N es una aplicaci´on V:N→T(N)que a cada punto p∈Nle asocia un vector tangente Vp∈Tp(N)verificando que π◦V=id con πla proyecci´on can´onica. 15 Definici´on 1.4.2 (Campo vectorial (2)) Un campo vectorial sobre una variedad N es una aplicaci´on V:F(N)→ F(N)definida como (V f)(p) = Vp(f)para todo p∈N, con f∈ F(N)y con Vp(f)∈Tp(N). Las dos definiciones anteriores son equivalentes. Las introducimos por separado pues en ocasiones nos ser´a ´util pensar en un campo vectorial como un objeto que a cada punto de la variedad le asocia un vector pero, en otras ocasiones, ser´a mucho m´as intuitivo pensar en un campo vectorial en el sentido de la segunda definici´on. N´otese que la segunda definici´on es una generalizaci´on mucho m´as directa del concepto de vector tangente ya que cumple exactamente las condiciones de la Definici´on 1.3.1 solo que ahora tenemos una apliaci´on de F(N) en s´ı mismo. A este tipo de objetos se les conoce como derivaciones. As´ı, podemos pensar — sin ser formales — que cuando “aplicamos” un campo vectorial en cierto sentido estamos derivando; de hecho, en el sentido de la segunda definici´on V f ser´ıa la derivada de fen la direcci´on del campo V. Recalcamos adem´as que aunque el concepto de derivaci´on es una abstracci´on mayor, se puede probar que toda derivaci´on proviene de un campo vectorial [18]. Podemos extender el concepto de diferenciabilidad a los campos tal y como sigue: Definici´on 1.4.3 (Campo vectorial diferenciable) Diremos que un campo vectorial Vsobre Nes diferenciable si para toda f∈ F(N)se tiene que V f es diferenciable. Notaremos el conjunto de campos vectoriales diferenciables sobre Npor X(N). Este conjunto tiene la siguiente estructura: Lema 1.4.1 Dada una variedad N, el conjunto de los campos vectoriales diferenciables sobre ella X(N)es un espacio vectorial sobre Ry un m´odulo sobre F(N). Al igual que ocurr´ıa antes con los vectores y el Teorema de la Base, el hecho de que X(N) sea un espacio vectorial nos permite dar una forma general de escribir los campos vectoriales diferenciables: Lema 1.4.2 Dada una carta (U, ϕ = (x1, ..., xn)) de NyV∈ X(U)se tiene que el conjunto {∂i}ies una base de X(U). Adem´as, podemos expresar cualquier V∈ X(U) como: V= (V xi)∂i para i= 1, ..., n. N´otese que en el lema anterior estamos viendo ∂icomo campos vectoriales, esto es: en las condiciones del lema anterior ∂i:U→T(U) con ∂i(p) = ∂i|p. 16 Adem´as de las formas anteriores, como anunci´abamos al inicio de la secci´on, podemos pensar en campos vectoriales de un tercer modo. Podemos introducirlos como ecuaciones diferenciales que tienen una soluci´on particular. Esta soluci´on la introducimos con la idea de curva integral. De aqu´ı en adelante Idenotar´a un intervalo abierto de Ry la definici´on de curva es la misma que para superficies, pero en nuestro formalismo. Una curva en una variedad Nes una aplicaci´on diferenciable α:I→Mque tendr´a un vector velocidad en cada punto pdado por α0(t) = dα(d du p) — n´otese que tes el par´ametro y ula coordenada asociada en R. Definici´on 1.4.4 (Curva integral) Una curva αen una variedad Nser´a una curva integral de V∈ X(N)si α0(t) = Vα(t)para todo t∈I. Podemos pensar en cierto modo que el campo le proporciona a la curva la velocidad de una especie de flujo a trav´es de la variedad. Al estar tratando, en cierta manera, con ecuaciones diferenciales sobre N, tenemos los siguientes resultados de unicidad para curvas integrales: Proposici´on 1.4.1 Dado V∈ X(N)para todo p∈Nexiste un intervalo Ialrededor del 0y una ´unica curva integral αcon α(0) = p. Corolario 1.4.1 Sean αyβcurvas integrales de Vtales que existe t∗∈Ipara el que α(t∗) = β(t∗)entonces α=βpara todo t∈I. Las curvas integrales podr´an estar definidas en todo Ro no, esto nos lleva a la siguiente definici´on: Definici´on 1.4.5 (Campo vectorial completo) Diremos que un campo vectorial V∈ X(N)es completo si todas sus curvas integrales est´an definidas en todo R. En este caso concreto, como esbozamos antes, podemos colapsar todas las curvas integrales de un campo vectorial en una sola aplicaci´on que puede interpretarse como un flujo movi´endose en el tiempo. Definici´on 1.4.6 (Flujo de un campo vectorial) Dado un campo vectorial completo V∈ X(N)llamaremos flujo a la aplicaci´on ψ:N×R→Ncaracterizada por ψ(p, t) = αp(t)con αpla curva integral de Vque empieza en ppara todo p∈Ny t∈I. 17 Para acabar la secci´on introducimos el corchete de Lie que ser´a una operaci´on que usemos con regularidad en el siguiente cap´ıtulo. Definici´on 1.4.7 (Corchete de Lie) Llamaremos corchete de Lie en una variedad diferenciable Na la aplicaci´on: [·,·] : X(N)×X(N)→ X(N) (X, Y )7→ [X, Y ] = XY −Y X N´otese que el corchete de Lie cumple las propiedades usuales de un ´algebra de Lie [18]. 1.5. 1-Formas Antes de centrarnos en la ´ultima secci´on del cap´ıtulo, que estar´a enfocada en tensores, tenemos que introducir el concepto de 1-forma. Las 1-formas son los objetos duales a los campos vectoriales. Por ello, para introducirlos tendremos que repetir el desarrollo previo pero de forma dual. Definici´on 1.5.1 (Espacio cotangente) Dada una variedad Ny un punto p∈N, llamaremos espacio cotangente de Nen pal dual del espacio tangente en dicho punto: Tp(N)∗={ω:Tp(N)→R|ωes lineal} Tambi´en podemos construir el fibrado, pero de forma dual. Definici´on 1.5.2 (Fibrado cotangente) Dada una variedad Nllamaremos fibrado cotangente de Nal conjunto T(N)∗=∪p∈NTp(N)∗. Al igual que ocurr´ıa antes, el fibrado cotangente y la variedad estar´an conectados de manera natural a trav´es de la proyecci´on can´onica π∗:T(N)∗→Ncaracterizada como π∗(ωp) = ppara cualquier p∈Nyωp∈T(N)∗. Una vez construidas las estructuras duales podemos establecer el objeto dual al campo vectorial. Como ocurr´ıa con los campos vectoriales, podemos definir de dos maneras equivalentes las 1-formas solo que sobre los espacios duales. Definici´on 1.5.3 (1-forma (1)) Una 1-forma sobre una variedad Nes una aplicaci´on θ:N→T(N)∗que a cada punto p∈Nle asocia un elemento del espacio cotangente ωp∈Tp(N)∗verificando que π∗◦θ=id con π∗la proyecci´on can´onica. 18 Definici´on 1.5.4 (1-forma (2)) Una 1-forma sobre una variedad Nes una aplicaci´on ω:X(N)→ F(N)definida como (ωV )(p) = ωp(Vp)para todo p∈N, con V∈ X(N)y con ωp∈Tp(N)∗. De nuevo, nos centramos en la segunda definici´on para establecer la diferenciabilidad. Definici´on 1.5.5 (1-forma diferenciable) Diremos que una 1-forma ωsobre Nes diferenciable si para todo V∈ X(N)se tiene que ωV es diferenciable. Notaremos el conjunto de 1-formas diferenciables sobre Npor X(N)∗. Este conjunto tiene la siguiente estructura: Lema 1.5.1 Dada una variedad N, el conjunto de las 1-formas diferenciables sobre ella X(N)∗es un espacio vectorial sobre Ry un m´odulo sobre F(N). Finalmente, el hecho de que X(N)∗sea un espacio vectorial nos permite dar una manera general de escribir las 1-formas diferenciables. A diferencia de antes, la base no vendra dada por las ∂i,sino que tenemos que encontrar la base dual. Para ello, definimos la diferencial — no debe confundirse con la aplicaci´on diferencial definida previamente. Definici´on 1.5.6 (Diferencial) Llamaremos diferencial a la aplicaci´on dque lleva cada funci´on diferenciable fa la 1-forma df verific´andose que (df)(V) = V f para todo campo vectorial diferenciable V. Podemos ahora acabar la secci´on con el resultado dual que busc´abamos: Lema 1.5.2 Dados una carta (U, ϕ = (x1, ..., xn)) de NyV∈ X(N)se tiene que el conjunto {dxi}ies una base de X(N)∗, es decir, es la base dual de {∂i}icumpliendo que dxi(∂j) = δij siendo δij la delta de Kroenecker para i, j = 1, ..., n.. Adem´as, podemos expresar cualquier ω∈ X(N)∗como ω= (ω∂i)dxi para i= 1, ..., n. N´otese que en el sentido del lema anterior podemos expresar la diferencial de cualquier funci´on f∈ F(N) como: df =∂f ∂xidxi. 19 1.6. Campos de tensores. Formas bilineales sim´etricas y producto escalar Para acabar el cap´ıtulo generalizaremos los objetos previamente definidos — las 1-formas y los campos vectoriales — a trav´es del concepto de tensor. Los tensores jugar´an un papel esencial a lo largo del documento ya que ser´an los que nos permitan dotar de mayor estructura a la variedad diferenciable definiendo nuevos objetos con determinadas caracter´ısticas como veremos en el cap´ıtulo siguiente. Esta secci´on estar´a dividida en dos partes bien deferenciadas. Primero desarrollaremos la idea de tensor de un modo general tal y como hemos hecho antes con las 1-formas y los campos vectoriales: estudiaremos su estructura, las operaciones que podemos realizar con ellos y c´omo generalizan toda la teor´ıa ya desarrollada. En la segunda parte de la secci´on, nos centraremos en un tipo concreto de tensor: las formas bilineales sim´etricas; en concreto, generalizaremos la idea que tenemos de producto escalar. Esto ser´a esencial en el siguiente cap´ıtulo a la hora de definir las variedades semi-Riemannianas ya que necesitaremos un objeto que genere cierta noci´on de medida dentro de la variedad. Adelantamos adem´as que, durante toda la secci´on, se seguir´a un formalismo puramente matem´atico bastante alejado de la idea de tensor que se tiene en f´ısica. En f´ısica se suele definir un tensor como la generalizaci´on de un vector en el sentido de que toma determinada forma en una base y la mantiene “bien” bajo transformaciones (cambios de base o sistema de referencia). Aunque esta idea es completamente compatible con el desarrollo que aqu´ı realizamos, no nos detendremos en estos aspectos ni partiremos de ellos para nuestras definiciones pues se aleja de nuestros objetivos principales. Comencemos pues definiendo qu´e es un tensor sobre un K-m´odulo V. Definici´on 1.6.1 (Tensor) Dado un K-m´odulo Vcon Kun anillo, llamaremos tensor de tipo (r,s) a toda aplicaci´on K-multilineal T: (V∗)r×Vs→Kcon (r, s)∈N×N no simult´aneamente nulos. N´otese que si rysson cero a la vez simplemente tendr´ıamos un objeto de K. Seguidamente generalizamos esta definici´on a la de campo tensorial sobre una variedad. Definici´on 1.6.2 (Campo tensorial) Un campo tensorial Tde tipo (r, s)sobre una variedad Nes un tensor de tipo (r, s)sobre el F(N)-m´odulo X(N). De este modo, un campo tensorial no es m´as que una “m´aquina” a la que damos r1-formas θiyscampos vectoriales Vj, y que nos devuelve una funci´on diferenciable que depende de ellos: T(θ1, ..., θr, V1, ..., Vs)∈ F(N). 20 Sin embargo, a´un no es claro el sentido que tenemos que darle a esta funci´on, puesto que no sabemos c´omo se comporta en cada punto. Solucionemos esto con el siguiente resultado. Lema 1.6.1 Todo campo tensorial Tde tipo (r, s)sobre una variedad Ndevuelve en cada punto p∈Nun tensor τpde tipo (r, s)sobre el m´odulo Tp(N), esto es, τp: (Tp(N)∗)r×Tp(N)s→R. De esta manera, nuestra funci´on anterior T(θ1, ..., θr, V1, ..., Vs)∈ F(N), nos devolver´a en cada punto p∈Nun tensor que nos llevar´a a un elemento de R. Este tensor ser´a simplemente la funci´on evaluada en los vectores y elementos del cotangente que devuelven las 1-formas y los campos vectoriales en dicho punto, esto es: T(θ1, ..., θr, V1, ..., Vs)(p) = τp(ω1, ..., ωr, v1, ..., vs) con ωi=θi|pyvj=Vj|ppara todo i= 1, ..., r yj= 1, ..., s. Podemos, por tanto, interpretar un campo tensorial en cierto modo como una generalizaci´on del campo vectorial — como un campo propiamente dicho — ya que en cada punto de la variedad nos devuelve un tensor tal y como hemos establecido. De aqu´ı en adelante, notaremos el conjunto de los tensores de tipo (r, s) sobre N como Λr sy por simplicidad hablaremos indistintamente de tensores o campos tensoriales. Adem´as, se puede probar (es directo por todo lo anterior) que Λr ses un F(N)-m´odulo. A continuaci´on, caracterizaremos los tensores en funci´on de “sobre qu´e objeto act´ua”, es decir, los caracterizaremos en funci´on de si act´uan sobre el m´odulo en s´ı — ´ındices abajo — o sobre su dual — ´ındices arriba —. Definici´on 1.6.3 (Contravariante y covariante) Diremos que un tensor es contravariante si es de tipo (r, 0) y diremos que es covariante si es de tipo (0, s); en cualquier otro caso diremos que es un tensor mixto. Una vez caracterizados los tensores y fijada la notaci´on, veamos c´omo recuperamos los conceptos de 1-forma y campos vectoriales a trav´es del concepto de tensor. Las 1-formas son tensores covariantes de tipo (0,1), es decir, Λ0 1=X(N)∗. Recu´erdese que las 1-formas llevan campos vectoriales a funciones diferenciables asociadas que en cada punto estar´an evaluadas sobre un vector y nos dar´an un escalar. Los campos vectoriales son tensores contravariantes de tipo (1,0), es decir, Λ1 0= X(N). N´otese que los campos vectoriales llevan 1-formas a funciones diferenciables asociadas que en cada punto estar´an evaluadas sobre un elemento del cotangente y nos dar´an de nuevo un escalar. 21 Por uniformidad con lo que acabamos de mencionar, llamaremos a los vectores usuales contravariantes y a los elementos del espacio cotangente vectores covariantes. Otro tipo de “tensor” que ser´a de gran utilidad m´as adelante es aquel que surge de la siguiente construcci´on. Si consideramos una aplicaci´on F(N)-multilineal T:X(N)s→ X(N) podemos construir un tensor (1, s)τ:X(N)∗×X(N)s→ F(M) caracterizado del siguiente modo: τ(θ, V1, ..., Vs) = θ(T(V1, ..., Vs)). Tras haber visto c´omo los tensores engloban todos los objetos previos, la idea ahora es desarrollar una notaci´on en componentes para los tensores de modo que se puedan escribir en bases como ocurre en los casos particulares de 1-forma y campo vectorial. Para ello, simplemente estudiemos c´omo vienen dadas las componentes de un tensor y definamos la operaci´on de producto tensorial que nos permitir´an extrapolar las bases que ya conocemos a bases m´as complejas y generales. Definici´on 1.6.4 (Componentes de un tensor) Dada una carta (U, ϕ = (x1, ..., xn)) de una variedad Nnlas componentes de un tensor T∈Λr s(N)relativas a dicha carta ser´an las funciones: Ti1,...,ir j1,...,js=T(dxi1, ..., dxir, ∂xj1, ..., ∂xjs)i1, ..., ir, j1, ..., js∈{1, ..., n} N´otese como hemos dicho antes que estas expresiones con consistentes con los Lemas 1.4.2 y 1.5.2. Pasemos a continuaci´on a definir las operaciones. La suma de tensores se realizar´a en un sentido natural siendo el tensor resultante el formado por la suma de las componentes de la definici´on anterior. Centr´emonos en el producto de tensores. Definici´on 1.6.5 (Producto tensorial) Dados dos tensores A∈Λr s(N)yB∈Λr0 s0(N) definimos el producto tensorial de AyBcomo el tensor T1⊗T2: (X(N)∗)r+r0× X(N)s+s0→ F(N)caracterizado como: (T1⊗T2)(θ1, ..., θr+r0, V1, ..., Vs+s0) = T1(θ1, ..., θr, V1, ..., Vs)T2(θr+1, ..., θr+r0, Vs+1, ..., Vs+s0). En particular, la relaci´on en la expresi´on coordenada es: (T1⊗T2)i1,...,ir+r0 j1,...,js+s0=Ti1,...,ir 1j1,...,jsTir+1,...,ir+r0 2js+1,...,js+s0 Podemos finalmente escribir los tensores de forma general: Lema 1.6.2 Dada una carta (U, ϕ = (x1, ..., xn)) de Ncualquier tensor T∈Λr sse puede escribir como: T=Ti1,...,ir j1,...,js∂i1⊗... ⊗∂ir⊗dxj1⊗... ⊗dxjs 22 Para acabar con la primera parte de la secci´on presentamos dos operaciones tensoriales m´as que nos ser´an de utilidad: la contracci´on y el pullback. Definici´on 1.6.6 (Contracci´on) Dada una carta (U, ϕ = (x1, ..., xn)) de Ny un tensor T∈Λr s(U), llamaremos contracci´on (i, j) del tensor Tal tensor Ci j(T)∈Λr−1 s−1(U) que cumple que Ci j(T)(θ1, ..., θr−1, V1, ..., Vs−1) = T(θ1, ..., θi−1, dxk, θi, ..., θr−1, V1, ..., Vj−1, ∂k, Vj, ..., Vs−1), donde n´otese que se esta usando el convenio de sumaci´on de Einstein sobre k. Definici´on 1.6.7 (Pullback) Dados dos variedades NyM,f∈ F(N, M), un punto p∈NyT∈Λ0 s(M)llamamos pullback de Ta trav´es de fen pal siguiente tensor: (f∗T)p(v1, ..., vs) = Tf(p)(dfpv1, ..., dfpvs) para todos vi∈Tp(N)con i= 1, ..., s. Adem´as, el pullback tambi´en es de tipo (0, s). A continuaci´on, como dijimos al principio de la secci´on, nos dedicaremos a estudiar un tipo particular de tensor, las formas bilineales sim´etricas que nos permitir´an llegar al concepto de producto escalar y con ´el al de medida en una variedad como veremos en el Cap´ıtulo 2. Comencemos definiendo qu´e es una forma bilineal sim´etrica. La idea de tensor como generalizaci´on del concepto de 1-forma nos permite definir las formas bilineales sim´etricas de forma trivial como tensores de tipo (0,2) que son sim´etricos en el siguiente sentido: Definici´on 1.6.8 (Forma bilineal sim´etrica) Dados un R-espacio vectorial Vllamaremos formas bilineales sim´etricas a los tensores b∈Λ0 2cumpliendo que b(u, v) = b(v, u)para todo u, v ∈V. N´otese que en la definici´on hemos concretado que hablamos de un R-espacio vectorial debido a nuestros prop´ositos. La definici´on podr´ıa darse para un cuerpo Ken general de acuerdo con la idea previa de tensor. Caractericemos ahora las formas bilineas sim´etricas. Definici´on 1.6.9 (Formas bilineales definidas y semidefinidas) Dado un espacio vectorial Vy una forma bilineal sim´etrica bdiremos que: bes definida positiva (resp. negativa) si b(u, u)>0(resp. b(u, u)<0) para todo u∈V−{0}. En ambos casos diremos que la forma bilineal sim´etrica es definida. 29 — es usual en la literatura llamar a gij coeficientes m´etricos. En este sentido, gracias al Lema 1.4.2 de representaci´on de campos vectoriales podemos representar la actuaci´on de gsobre campos X=Xi∂i, Y =Yj∂j∈ X(N) como: g(X, Y ) = g(Xi∂i, Y j∂j) = XiYjg(∂i, ∂j) = gijXiYj N´otese que todo lo anterior es v´alido tanto para gtensor m´etrico como para gpproducto escalar inducido. En esta ´ultima expresi´on simplemente introducir´ıamos vectores del espacio tangente usando el Teorema de la Base y el resultado ser´ıa an´alogo — pudi´endose interpretar, en este caso, esta ´ultima expresi´on como un producto de matrices y vectores en el sentido usual. Siguiendo con el recorrido de resultados de la ´ultima secci´on del Cap´ıtulo 1 en el caso concreto del tensor m´etrico, al igual que a toda forma bilineal sim´etrica al producto escalar inducido le podemos asociar una forma cuadr´atica como en la Definici´on 1.6.10. Definici´on 2.1.2 (Elemento de l´ınea) Dada una variedad Ncon un tensor m´etrico gllamaremos elemento de l´ınea qg:= ds2a la forma cuadr´atica asociada al producto escalar inducido por g. N´otese que el nombre de elemento de l´ınea se debe a que este objeto en cierto modo representa un infinit´esimo de longitud tal y como se puede notar en su representaci´on fijada una carta (U, ϕ = (x1, ..., xn)): ds2=gijdxidxj. Para acabar con nuestro estudio del tensor m´etrico, vemos que, por ser no degenerado, tenemos a trav´es del Lema 1.6.3 que: Corolario 2.1.1 Dada una variedad Ncon un tensor m´etrico gy dada una carta (U, ϕ) la representaci´on matricial de ges invertible en todo punto de U, es decir, tiene una inversa que notaremos g−1≡(gij). En este punto, una vez tenemos bien caracterizado el tensor m´etrico podemos introducir el concepto clave de todo el documento: la variedad semi-Riemanniana. Definici´on 2.1.3 (Variedad semi-Riemanniana) Una variedad semi-Riemanniana es un par (N, g)donde Nes una variedad diferenciable y gun tensor m´etrico sobre N De aqu´ı en adelante abreviaremos el par (N, g) y nos referiremos a una variedad semi-Riemanniana como N, omitiendo la m´etrica. Ha de tenerse en cuenta sin embargo, que la m´etrica es esencial en la variedad semi-Riemanniana ya que es el objeto 30 que eleva la estructura de variedad diferenciable como venimos diciendo. As´ı pues, a partir de una misma variedad diferenciable se pueden generar diferentes variedades semi-Riemannianas al equiparla con diferentes m´etricas. En la pr´actica, sobre todo en el Cap´ıtulo 4 cuando introduzcamos las ecuaciones de campo, estaremos interesados en variedades semi-Riemannianas que sean isom´etricas, esto es, que haya una funci´on entre ambas que no las deforme — difeomorfismo — y que preserve el tensor m´etrico en el sentido que presentamos a continuaci´on. El motivo de esta tecnicidad es que, aunque no sea determinante, cuando resolvamos las ecuaciones de campo de Einstein las soluciones no ser´an ´unicas, en el sentido de que habr´a varias variedades semi-Riemannianas “diferentes” con la misma geometr´ıa, es decir, el espacio-tiempo — cuya definici´on precisaremos en el Cap´ıtulo 3 — no es ´unico. La soluci´on a este problema es tomar como espacio-tiempo — ya que f´ısicamente s´ı es ´unico — la clase de equivalencia a trav´es de la relaci´on inducida por la isometr´ıa, esto es, “colapsamos” todos los espacios-tiempo posibles a uno ´unico que represente la geometr´ıa general. Definici´on 2.1.4 (Isometr´ıa) Diremos que dos variedades semi-Riemannianas (N, g) y(M, h)son isom´etricas si existe una isometr´ıa entre ellas, esto es, si existe un difeomorfismo f:N→Mtal que el pullback del tensor m´etrico en Msea el tensor m´etrico de N:f∗h=g. A continuaci´on, caracterizamos dos tipos de variedades semi-Riemannianas en funci´on de su ´ındice — n´otese que, una vez m´as, abusamos del lenguaje y llamamos ´ındice de una variedad semi-Riemanniana al de su tensor m´etrico que, como sabemos, por definici´on es constante en toda la variedad. Definici´on 2.1.5 (Variedades Riemannianas y Lorentzianas) Sea Nnuna variedad semi-Riemanniana. Diremos que: Nnes Riemanniana si su ´ındice ν= 0. Nnes Lorentziana si n > 1y tiene ´ındice ν= 1. As´ı pues, las variedades Riemannianas son aquellas que heredan la geometr´ıa Eucl´ıdea generalizada puesto que al tener ´ındice nulo, el producto escalar inducido ser´a definido positivo, como ocurre usualmente. En el documento nos centraremos en las variedades Lorentzianas, pues el hecho de que el ´ındice sea uno ser´a nuestra manera de introducir el tiempo como una dimensi´on m´as, generando as´ı la idea primigenia de espacio-tiempo. En este sentido, la dimensi´on de la variedad a la que vaya asociado el signo negativo de la signatura ser´a por convenio el tiempo. Aunque en el Cap´ıtulo 3 estudiaremos todo esto con m´as detalle, puede entenderse ya por qu´e el ´ındice debe ser constante, ya que de no serlo, en cierta manera estar´ıamos diciendo que, en funci´on del punto de la variedad donde nos encontremos, habr´ıa m´as o menos dimensiones con caracter temporal, hecho que — al menos actualmente — no es cierto. 31 Para acabar la secci´on, introducimos dos variedades semi-Riemannianas que usaremos a lo largo del documento. En primer lugar presentamos el espacio semi-Eucl´ıdeo. Definici´on 2.1.6 (Espacio semi-Eucl´ıdeo) Llamaremos espacio semi-Eucl´ıdeo a la variedad semi-Riemanniana Rn ν= (Rn, g)con g=−δijdxi⊗dxj+δkjdxk⊗dxj con j= 1, ..., n,i= 1, ..., ν,k=ν+ 1, ..., n yν∈[1, n]. A la m´etrica anterior la denominaremos m´etrica Lorentziana generalizada. Es claro que el espacio semi-Eucl´ıdeo no es m´as que el espacio Eucl´ıdeo equipado con el producto escalar usual, solo que cambiamos los signos positivos por negativos en las primera νcomponentes. Finalmente, retomemos la idea de variedad producto introducida en el Lema 1.1.1. En el Cap´ıtulo 4 veremos que en el modelo cosmol´ogico actual, debido a varias razones experimentales, el espacio-tiempo se modela como una variedad semi-Riemanniana cuya variedad diferenciable es una variedad producto y cuyo tensor m´etrico precisamos en la siguiente definici´on: Definici´on 2.1.7 (Producto deformado) Dadas dos variedades semi-Riemannianas (B, g)y(F, h), y una funci´on a∈ F(B)positiva, llamamos producto deformado a la variedad semi-Riemanniana B×aF= (B×F, ga)con ga=π∗(g)+(a◦π)2σ∗(h), donde πes la proyecci´on de la variedad producto a Byσla proyecci´on de la variedad producto a F. Hemos decidido usar el nombre de producto deformado al traducir directamente del ingl´es warped product. Sin embargo, en la literatura es com´un llamar a la estructura anterior producto alabeado oproducto warped. Adem´as, aunque pueda resultar extra˜no, usaremos usualmente la letra apara denotar la funci´on de los productos deformados como es usual en la literatura relativista (ver Cap´ıtulo 4). En la definici´on anterior se suele llamar a Bbase y a Ffibra puesto que la idea detr´as del producto deformado es “pegar” en cada punto de la base una copia de la fibra que se ver´a deformada a trav´es de la funci´on a. As´ı pues, la geometr´ıa en cada copia de la fibra se ver´a alterada a trav´es de dicha deformaci´on de acuerdo con el factor (a◦π)2 de la m´etrica. Aquellos lectores que est´en familiarizados con ideas cosmol´ogicas como la expansi´on del espacio-tiempo, podr´an intuir ya que nuestra idea en el Cap´ıtulo 4 ser´a coger la l´ınea del tiempo como base y el espacio tridimensional como fibra, teni´endose una rodaja de espacio en cada instante de tiempo que se ver´a expandida o contra´ıda a trav´es de la funci´on aque depender´a del tiempo. 32 2.2. La conexi´on de Levi-Civita Una vez definidas las variedades semi-Riemannianas nuestro objetivo es construir en ellas objetos que nos caractericen la curvatura en un cierto sentido que ya estableceremos m´as adelante. Para hablar de curvatura, necesitamos generalizar la idea de derivada en una variedad semi-Riemanniana en analog´ıa con el caso en superficies. De este modo, como vimos antes, la geometr´ıa de una variedad viene dada esencialmente por su espacio tangente, que ir´a cambiando punto a punto. Necesitaremos, por tanto, un objeto que relacione las geometr´ıas locales de diferentes puntos de la variedad d´andonos una idea de c´omo cambia el espacio tangente, o lo que es lo mismo, ver c´omo var´ıan — idea de derivada — los campos vectoriales tangentes en direcciones determinadas por otros campos tangentes — transportar vectores de punto a punto. El objeto que englobar´a estas ideas ser´a la conexi´on que generalizar´a la idea de derivada covariante en superficies. Definici´on 2.2.1 (Conexi´on) Una conexi´on Dsobre una variedad Nes una aplicaci´on D:X(N)× X(N)→ X(N)tal que para X, Y ∈ X(N)cumple las siguientes propiedades: 1. DY(X)es F(N)-lineal en Y. 2. DY(X)es R-lineal en X. 3. DY(fX)=(Y f)X+fDY(X)para toda f∈ F(N). En particular a cada campo DY(X)∈ X(M)lo llamaremos derivada covariante de X con respecto a Ypara la conexi´on D. N´otese que las conexiones no son tensores debido a la propiedad 3 — no son F(N)- lineales en X. De todas las conexiones sobre una variedad nos interesar´a una que cumplir´a unas propiedades particulares: la conexi´on de Levi-Civita. Llegaremos a ella a trav´es del Teorema Fundamental de la Geometr´ıa semi-Riemanniana. Para probar este, necesitamos el siguiente resultado, an´alogo al teorema de representaci´on de Riesz del An´alisis Funcional pero en el ´ambito de la geometr´ıa semi-Riemanniana, estableciendo que el espacio de las 1-formas es isomorfo al de los campos vectoriales. Teorema 2.2.1 Dados una variedad semi-Riemanniana NyX∈ X(N), si llamamos X∗a la 1-forma que cumple que X∗=g(X, Y )para todo Y∈ X(N), entonces la aplicaci´on fque lleva XaX∗es un isomorfismo F(N)-lineal entre X(N)yX(N)∗. Los campos vectoriales y 1-formas relacionadas por este isomorfismo se dir´an m´etricamente equivalentes. 33 Demostraci´on: La F(N)-linealidad es directa pues ges F(N)-lineal en sus dos componentes y consecuentemente tenemos que X∗es una 1-forma pues tambi´en es F(N)- lineal. As´ı, solo tenemos que probar que es isomorfismo. Para ello, tenemos que ver que dada una 1-forma θ∈ X(N) existe un ´unico campo vectorial X∈ X(N) tal que θ(X) = g(X, Y ) para todo Y∈ X(N). Para probar la existencia, tomemos una carta (U, ϕ = (x1, ..., xn)) de Nque nos permite escribir localmente la 1-forma θcomo θ=θidxi. Veamos que el campo vectorial X=gijθi∂jcumple lo que queremos. Lo vemos aplicando gsobre ´el y sobre ∂k teni´endose el resultado inicial por F(N)-linealidad para todo Y∈ X(N): g(X, ∂k) = gijθig(∂j, ∂k) = θigijgjk =θiδi k=θk=θ(∂k). La unicidad del campo anterior es directa pues, supongamos que existe otro campo Z que cumple lo mismo que X. Entonces, tendr´ıamos que g(X, Y ) = g(Z, Y ) para todo Y∈ X(N) pero, por linealidad, esto es equivalente a que g(X−Z, Y ) = 0. Basta recordar ahora la no degeneraci´on de la m´etrica que implica que, en cada punto, si g(Xp−Zp, Yp) = 0 entonces Xp=Zpy, consecuentemente, X=Zconcluyendo la demostraci´on.  En estas condiciones podemos introducir el Teorema Fundamental de la Geometr´ıa semi-Riemanniana y la conexi´on de Levi-Civita. Teorema 2.2.2 (Teorema Fundamental de la Geometr´ıa semi-Riemanniana) Dada una variedad semi-Riemanniana Nexiste una ´unica conexi´on ∇tal que para cada X, Y, Z ∈ X(N)cumple que: 1. Es libre de torsi´on, esto es: ∇ZX−∇XZ−[Z, X] = 0. 2. Es compatible con la m´etrica, esto es: Zg(X, Y ) = g(∇ZX, Y ) + g(X, ∇ZY). Denominaremos conexi´on de Levi-Civita a dicha conexi´on ∇que queda caracterizada por la siguiente f´ormula llamada f´ormula de Koszul: 2g(∇ZX, Y ) = Zg(X, Y )+Xg(Y, Z)−Y g(Z, X)−g(Z, [X, Y ])+g(X, [Y, Z])+g(Y, [Z, X]). Demostraci´on: La existencia y la unicidad de la conexi´on de Levi-Civita se demuestran de forma an´aloga a la demostraci´on del teorema previo. Llamando F(X, Y, Z) al lado derecho de la f´ormula de Koszul, fijamos X, Z ∈ X(N) y consideramos la funci´on que lleva cada Y∈ X(N) a F(X, Y, Z), es directo ver que dicha funci´on es F(N)-lineal y por tanto, como ocurr´ıa antes, es 1-forma. Aplicando ahora directamente el Teorema 2.2.1, deducimos que existe un ´unico campo que denotaremos ∇ZXque cumpla que 2g(∇ZX, Y ) = F(X, Y, Z) teni´endose la f´ormula de Koszul y la existencia y unicidad de la conexi´on de Levi-Civita. 34 A continuaci´on, tendremos que probar que el objeto antes caracterizado es conexi´on, es decir, tenemos que ver que se cumplen las propiedades de la Definici´on 2.2.1. Adem´as, tendremos que ver que dicha conexi´on cumple las propiedades del Teorema. Todo ello lo podemos probar trabajando con la f´ormula de Koszul. En toda la demostraci´on consideramos X, Y, Z ∈ X(N) y f∈ F(N). La F(N)-linealidad (la R-linealidad es an´aloga) se puede probar del siguiente modo: 2g(∇fZX, Y ) = fZg(X, Y ) + Xg(Y, fZ)−Y g(fZ, X)− −g(fZ, [X, Y ]) + g(X, [Y, fZ]) + g(Y, [fZ, X]) = =fZg(X, Y )+(Xf)g(Y, Z) + fXg(Y, Z)−(Y f)g(Z, X)−fY g(Z, X)− −fg(Z, [X, Y ]) + g(X, (Y f)Z+f[Y, Z]) + g(Y, −(Xf)Z+f[Z, X]) = = 2g(f∇ZX, Y ). La tercera propiedad de las conexiones se prueba como sigue: 2g(∇ZfX, Y ) = Zg(fX, Y ) + fXg(Y, Z)−Y g(Z, fX)− −g(Z, [fX, Y ]) + g(fX, [Y, Z]) + g(Y, [Z, fX]) = = (Zf)g(X, Y ) + fZg(X, Y ) + fXg(Y, Z)−(Y f)g(Z, X)−fY g(Z, X)− −g(Z, (Xf)Y+f[X, Y ]) + fg(X, [Y, Z]) + g(Y, (Zf)X+f[Z, X]) = = 2g(f∇ZX+ (Zf)X, Y ). Finalmente, una vez que hemos probado que es conexi´on, veamos que cumple las condiciones del teorema. Comencemos viendo que es libre de torsi´on: 2g(∇ZX−∇XZ, Y ) = Zg(X, Y ) + Xg(Y, Z)−Y g(Z, X)− −Xg(Z, Y )−Zg(Y, X) + Y g(X, Z)− −g(Z, [X, Y ]) + g(X, [Y, Z]) + g(Y, [Z, X])+ +g(X, [Z, Y ]) −g(Z, [Y, X]) −g(Y, [X, Z]) = = 2g([Z, X], Y ). Acabemos la demostraci´on viendo la compatibilidad con la m´etrica: 2(g(∇ZX, Y ) + g(X, ∇ZY)) = Zg(X, Y ) + Xg(Y, Z)−Y g(Z, X)+ +Zg(Y, X) + Y g(X, Z)−Xg(Z, Y )− −g(Z, [X, Y ]) + g(X, [Y, Z]) + g(Y, [Z, X])− −g(Z, [Y, X]) + g(Y, [X, Z]) + g(X, [Z, Y ]) = = 2Zg(X, Y ). Concluyendo as´ı la demostraci´on.  A partir de este punto, todo nuestro desarrollo se enfocar´a en la conexi´on de Levi- Civita y, siempre que consideremos una conexi´on, ser´a esta cumpliendo las propiedades del Teorema Fundamental. 35 En este punto, tal y como adelant´abamos al principio de la secci´on, hemos generalizado la noci´on de derivada covariante. De hecho, podemos introducir la derivada covariante de un tensor que ser´a esencial en las secciones posteriores. Definici´on 2.2.2 (Derivada Covariante tensorial) Dados un tensor T∈Λ1 s(N)y un campo vectorial X∈ X(N), definimos la derivada covariante de Ten la direcci´on de Xcomo el tensor ∇XT∈Λ1 scaracterizado por: (∇XT)(V1, ..., Vs) = ∇X(T(V1, ..., Vs)) −X i T(V1, ..., Vi−1,∇XVi, Vi+1, ..., Vs) para cada Vi∈ X(N)con i= 1, ..., s. Adem´as, podemos crear un objeto que condense todas las derivadas covariantes. Definici´on 2.2.3 (Diferencial Covariante) Dado un tensor T∈Λ1 s(N)definimos la diferencial covariante de Tcomo el tensor ∇T∈Λ1 scaracterizado por: (∇T)(V1, ..., Vs, X)=(∇XT)((V1, ..., Vs) para todos Vi, X ∈ X(N)con i= 1, ..., s. N´otese que en la definici´on hemos hecho uso de la interpretaci´on ex´otica que hicimos en el Cap´ıtulo 1 de los tensores tipo (1, s), pero todo lo anterior es tambi´en v´alido para tensores puramente covariantes. En este sentido, la definici´on anterior no es m´as que una generalizaci´on de la diferencial que vimos en la Definici´on 1.5.6 — si s= 0 recuperamos su definici´on para funciones escalares. Recalcamos adem´as que, al igual que la conexi´on, la diferencial y la derivada covariante tienen caracter local; basta ver que solo dependen del valor en un punto de los campos. As´ı, fijada una carta podremos representar de nuevo estos tensores por sus componentes siguiendo por convenio la notaci´on: ∇T≡Ti1,...,is;k indicando con “;” que se est´a “derivando” respecto a esa componente. Destacamos adem´as que, a trav´es de las definiciones previas, podemos darle un sentido m´as claro a la segunda condici´on del Teorema Fundamental de la geometr´ıa semi-Riemanniana, pues que la conexi´on es compatible con la m´etrica es completamente equivalente a que ∇g= 0. Se suele decir que ges paralelo respecto a la conexi´on de Levi-Civita. Para acabar la secci´on, a pesar de que es claro, a trav´es del Teorema Fundamental, que no podr´ıamos haber caracterizado la conexi´on de Levi-Civita sin introducir las variedades semi-Riemannianas, esto es, sin haber introducido la noci´on de m´etrica, podemos preguntar c´omo determina la m´etrica la conexi´on o, siendo m´as claros, qu´e dependencia expl´ıcita con la m´etrica tiene la expresi´on de la conexi´on de Levi-Civita. 36 Para resolver esta cuesti´on vamos a expresar la conexi´on localmente por componentes a trav´es de los llamados s´ımbolos de Christoffel — n´otese que estos objetos son componentes pero no de un tensor ya que, como dijimos antes, la conexi´on no es un tensor. Definici´on 2.2.4 (S´ımbolos de Christoffel) Dada una carta (U, ϕ = (x1, ..., xn)) de una variedad Nllamaremos s´ımbolos de Christoffel a las funciones componentes Γk ij ∈ F(U)de ∇∂i∂jen la base de X(N): ∇∂i∂j= Γk ij∂k. Corolario 2.2.1 Los s´ımbolos de Christoffel son sim´etricos respecto a sus sub´ındices: Γk ij = Γk ji. Demostraci´on: Es directo de la definici´on sin m´as que tener en cuenta que la conexi´on de Levi-Civita es libre de torsi´on y que el corchete de Lie de los elementos de la base de X(N) es nulo  N´otese c´omo la simetr´ıa de los s´ımbolos de Christoffel nos da una intuici´on de qu´e significa que la conexi´on sea libre de torsi´on — en particular por qu´e usamos la palabra torsi´on — ya que esta simetr´ıa nos indica que en nuestra variedad la variaci´on de un campo de la base ∂ien la direcci´on de cualquier otro campo de la base ∂jes equivalente a la variaci´on del segundo campo en la direcci´on del primero, d´andonos cierta noci´on de uniformidad en el sentido de que la variedad no est´a torcida — pues si lo estuviera y hubiera torsi´on habr´ıa alguna direcci´on de la base privilegiada siendo las variaciones diferentes. Veamos a continuaci´on c´omo est´an relacionados los s´ımbolos de Christoffel con la m´etrica: Proposici´on 2.2.1 Dada una carta (U, ϕ = (x1, ..., xn)) de una variedad Nlos s´ımbolos de Christoffel vienen dados por: Γk ij =1 2gkm ∂gjm ∂xi+∂gim ∂xj−∂gij ∂xm. Demostraci´on: La demostraci´on es por computaci´on directa; primero a trav´es de la f´ormula de Koszul: 2g(∇∂i∂j, ∂m) = ∂gjm ∂xi+∂gim ∂xj−∂gij ∂xm. Aplicando ahora la definici´on de los s´ımbolos al primer t´ermino de la f´ormula de Koszul: 2g(∇∂i∂j, ∂m)=2g(Γl ij∂l, ∂m) = 2Γl ijglm. 37 Finalmente, sin m´as que igualar ambas expresiones y multiplicar por la inversa del tensor m´etrico gkm tenemos lo que quer´ıamos.  Adelantamos, en relaci´on a lo que comentamos al inicio de esta secci´on, la gran importancia que tendr´an los s´ımbolos de Christoffel a la hora de hablar de curvatura en una variedad. Del lema anterior podemos ver ya la directa relaci´on que tienen estos objetos con la variaci´on de la m´etrica que, como dec´ıamos, estar´a intr´ınsecamente relacionado con la noci´on de curvatura, ya que si, por ejemplo, la m´etrica — la geometr´ıa — no var´ıa de punto a punto, los s´ımbolos de Christoffel son nulos, pudi´endose intuir que la variedad ser´a en cierto sentido llana — n´otese por ejemplo que es exactamente esto lo que ocurre para Rnque sabemos de antemano que es llano. Finalicemos pues la secci´on viendo expl´ıcitamente c´omo expresamos en general la conexi´on en componentes determinando, como quer´ıamos, la forma en que la m´etrica caracteriza la conexi´on. Proposici´on 2.2.2 La m´etrica caracteriza la conexi´on de Levi-Civita a trav´es de los s´ımbolos de Christoffel, esto es, dada una carta (U, ϕ = (x1, ..., xn)) de Ny un campo vectorial V=Vi∂i∈ X(N)se tiene: ∇∂jV=∂V k ∂xj+ Γk ijVi∂k. Demostraci´on: Es directo que ∇∂j(Vi∂i) = (∂jVi)∂i+ViΓk ij∂k=∂V k ∂xj+ Γk ijVi∂k, donde simplemente hemos aplicado la tercera propiedad de las conexiones.  2.3. Transporte paralelo. Geod´esicas y aplicaci´on exponencial Como venimos diciendo, nuestro prop´osito esencial dentro de las variedades semi- Riemannianas es llegar a la noci´on de curvatura. La manera de introducir la curvatura, una vez vista la conexi´on de Levi-Civita, no es ´unica, pues sus interpretaciones son varias. En nuestro desarrollo usaremos la idea de transporte paralelo que, tal y como su propio nombre indica, ser´a un objeto que nos permita transportar vectores de forma paralela a la variedad en un sentido que ya precisaremos. El motivo principal por el que elegimos esta formulaci´on y no otra es que nos va a permitir generalizar la idea cl´asica de l´ınea recta a trav´es del concepto de geod´esica que ser´a clave en el formalismo de la Teor´ıa General de la Relatividad. 38 Para empezar a formalizar estas ideas, lo primero ser´a determinar c´omo var´ıan los vectores, o mejor dicho, campos de vectores a lo largo de una curva. Dada una curva α dentro de una variedad N— tal y como introducimos en el Cap´ıtulo 1 — denotaremos el conjunto de todos los campos vectoriales tangentes a αcomo X(α). Proposici´on 2.3.1 Sea αuna curva en una variedad semi-Riemanniana N. Entonces existe una ´unica funci´on de X(α)en X(α)que lleva cada Ven V0:= DV dt llamada derivada covariante inducida y que cumple las siguientes propiedades para todos V, W ∈ X(α): 1. (aV +bW)0=aV 0+bW0para todo a, b ∈R. 2. (fV )0=df dt V+fV 0para toda f∈ F(N). 3. (V|α)0=∇α0(t)Vpara todo t∈I. 4. d dt g(V, W) = g(V0, W) + g(V, W0). Demostraci´on: Comencemos con la unicidad. Para ello consideremos una aplicaci´on que cumpla 1, 2 y 3, y una carta (U, ϕ = (x1, ..., xn)) o conjunto de cartas (si es necesario) tal que su dominio contenga a α. Podemos ver c´omo V0es ´unico, ya que queda completamente determinada por la conexi´on de Levi-Civita ∇, pues, a trav´es de las propiedades y expresando Ven una base V=V xi∂i:= Vi∂i, podemos escribir: V0=dV i dt ∂i|α+Vi(∂i|α0)0=dV i dt ∂i+Vi∇α0∂i.(2.1) Para la existencia, no tenemos m´as que definir localmente en subintervalos Jdel dominio de αel campo V0con la expresi´on de arriba — recu´erdese que dichos subintervalos deben quedar dentro de las cartas. Probar que cada uno de estos campos V0 cumple las propiedades de la proposici´on es una computaci´on directa. Finalmente, tendremos el campo V0deseado ya que, por la unicidad, cada uno de estos campos locales ser´a el ´unico V0que buscamos.  N´otese que los objetos previos no son m´as que generalizaciones de los conceptos de velocidad y aceleraci´on, aunque en cualquier direcci´on, no solo en aquella en que se mueve la curva. Es trivial ver que si en la proposici´on anterior tomamos concretamente V=α0— la velocidad de la curva — entonces V0=α00 — su aceleraci´on. A trav´es de los s´ımbolos de Christoffel podemos encontrar una expresi´on coordenada para la derivada covariante inducida: Corolario 2.3.1 En las condiciones de la proposici´on anterior, dada una carta (U, ϕ = (x1, ...xn)) podemos expresar V0como: V0=dV k dt + Γk ij d(xi◦α) dt Vj∂k. 45 En la secci´on previa adelant´abamos que los s´ımbolos de Christoffel jugar´ıan tambi´en un papel importante en la noci´on de curvatura. Estudiemos la expresi´on por componentes del tensor de Riemann para ver esta relaci´on. Lema 2.4.2 Dada una carta (U, ϕ = (x1, ..., xn)) de una variedad N, su tensor de curvatura de Riemann Rse expresa localmente en coordenadas como R∂k∂l∂j=Ri jkl∂i, donde las componentes del tensor de Riemann vienen dadas a trav´es de los s´ımbolos de Christoffel como Ri jkl =∂ ∂l Γi kj −∂ ∂k Γi lj + Γi lmΓm kj −Γi kmΓm lj . Demostraci´on: La demostraci´on consiste en una computaci´on directa del tensor de Riemann R∂k∂l∂j=∇∂l∇∂k∂j− ∇∂k∇∂l∂j, ya que los corchetes de la base son nulos como sabemos. Desarrollemos uno de estos t´erminos: ∇∂k(∇∂l∂j) = ∇∂k(Γr lj∂r) = = (∂kΓr lj)∂r+ Γr lj∇∂k∂r= = (∂kΓi lj + Γr ljΓi kr)∂i. Del mismo modo: ∇∂l(∇∂k∂j)=(∂lΓi kj + Γr kjΓi lr)∂i. Sin m´as que restarlas tenemos la expresi´on del lema.  Vemos por tanto, como intu´ıamos en la secci´on anterior, que la curvatura viene determinada por los s´ımbolos de Christoffel y por la m´etrica a trav´es de ellos. As´ı pues, como ya adelant´abamos, aquellas variedades con s´ımbolos de Christoffel nulos ser´an llanas como los espacios Eucl´ıdeo y semi-Eucl´ıdeo — al tener m´etrica constante — ya que el tensor de Riemann se anula. Esto nos lleva a la siguiente noci´on: Definici´on 2.4.2 (Riemann llana) Diremos que una variedad Nes Riemann llana o, simplemente, llana, si su tensor de curvatura de Riemann es id´enticamente nulo. Para acabar la secci´on introduciremos una segunda noci´on de curvatura, la curvatura seccional, que ser´a de utilidad cuando estudiemos las fibras del producto deformado del universo en el Cap´ıtulo 4. La curvatura seccional, como veremos, es un intento de generalizaci´on de la curvatura gaussiana de las superficies. La idea ser´a considerar unas superficies concretas — los planos tangentes — y sobre ellas, estudiar el cociente del operador de curvatura, que har´a las veces de segunda forma fundamental — recalco una vez m´as que esto solo es una idea intuitiva, formalmente no es as´ı — sobre el determinante del tensor m´etrico, que como vimos se comporta igual que la primera forma fundamental. 46 Siguiendo la l´ınea del documento, pasemos ahora a formalizar estos conceptos. Comenzamos introduciendo la funci´on Q:Tp(N)×Tp(N)→Rdada por Q(u, v) = g(u, u)g(v, v)−g(u, v) para todo u, v ∈Tp(N) — n´otese, como se ha comentado antes, que esta funci´on no es otra cosa que el determinante de la matriz que representa el tensor m´etrico. A continuaci´on definimos las superficies donde introduciremos la curvatura seccional. Definici´on 2.4.3 (Secci´on plana) Dado p∈Nllamaremos secci´on plana a cualquier subespacio Πde dimensi´on 2 de Tp(N). Es com´un referirse a las secciones planas tambi´en como planos tangentes; usaremos ambas nomenclaturas indistintamente. Como hemos esbozado antes, vamos a querer definir la curvatura seccional como un cociente, as´ı que tendremos que asegurar que el denominador no se anule. Introducimos el siguiente resultado, que realmente es trivial puesto que, como Qes el determinante de la matriz asociada a gyges no degenerado, Qno puede anularse por el Lema 1.6.3 y, m´as directamente, por el Corolario 2.1.1. Corolario 2.4.1 Diremos que una secci´on plana Πes no degenerada si y solo si Q(u, v)6= 0para todo u, v ∈Π. Estamos ya en condiciones de introducir la curvatura seccional propiamente dicha. Definici´on 2.4.4 (Curvatura seccional) Dada una secci´on plana no degenerada Π con base {u, v}llamaremos curvatura seccional de Πa κ(Π) = g(Ruvu, v) Q(u, v). N´otese que la curvatura seccional es intr´ınseca a la secci´on plana: Lema 2.4.3 La curvatura seccional de una secci´on plana Πno depende de la base elegida. Demostraci´on: Si tomamos otra base de Π aparte de {u, v}, llam´emosla {u0, v0}, deben existir escalares a, b, c, d ∈Rcon u=au0+bv0yv=cu0+dv0con ad −bc 6= 0. As´ı pues, computando Q(u, v) en la nueva base tenemos: Q(u, v) = g(au0+bv0, au0+bv0)g(cu0+dv0, cu0+dv0)−g(au0+bv0, cu0+dv0)=(ad−bc)2Q(u0, v0). 47 Del mismo modo, computando el operador curvatura en la nueva base y usando las propiedades del tensor de curvatura: g(Ruvu, v)=(ad −bc)2g(Ru0v0u0, v0). Sin m´as que hacer el cociente teniendo en cuenta que ad−bc es distinto de cero tenemos el resultado.  En nuestro desarrollo nos interesar´an aquellas variedades que tenga curvatura seccional constante. Definici´on 2.4.5 (Curvatura seccional constante) Diremos que una variedad N tiene curvatura seccional constante si κ(Π) es independiente de la secci´on plana Πque tomemos en N. En este caso, notaremos la curvatura seccional de la variedad por κ. En particular nos interesar´an tres variedades con curvatura seccional constante (que adem´as son las simplemente conexas). El espacio Eucl´ıdeo con el producto escalar usual, que tendr´a κ= 0. La n-esfera unidad, con el pullback de la m´etrica Eucl´ıdea de Rn+1 a trav´es de la inclusion, que notaremos como Sny que tendr´a κ= 1. Y, por ´ultimo, el n-espacio hiperb´olico, con la m´etrica inducida del espacio semi-Eucl´ıdeo Rn+1 1, que notaremos como Hny que tendr´a κ=−1. 2.5. Tensor de Ricci y curvatura escalar Aunque en la secci´on anterior hemos llegado a la noci´on de curvatura m´as general a trav´es del tensor de curvatura de Riemann, para nuestros prop´ositos necesitamos introducir otras ideas de curvatura que son las que aparecer´an en las ecuaciones de campo de la Teor´ıa de la Relatividad General. Una pregunta obvia que surge es por qu´e esto es as´ı y no pueden construirse a trav´es del tensor de Riemann. Aunque al nivel del documento, y en el punto en que nos encontramos — a´un no hemos hablado de la Teor´ıa de la Relatividad — nuestra respuesta no pueda ser del todo satisfactoria, la idea clave es que buscamos objetos invariantes a trav´es de isometr´ıas, y aunque el tensor de Riemann lo es — recu´erdese que viene determinado por la m´etrica a trav´es de los s´ımbolos de Christoffel — se pueden generar invariantes m´as simples y pr´acticos en el sentido que veremos a continuaci´on. Estos nuevos objetos ser´an el tensor de Ricci yla curvatura escalar. Como venimos diciendo, ambos se construir´an como “simplificaciones” del tensor de Riemann; siendo m´as precisos, a trav´es de contracciones de este. Ahora bien, dicha contracci´on no ser´a la introducida en el Cap´ıtulo 1 para la curvatura escalar, sino que ser´a una contracci´on inducida por la m´etrica de la variedad semi-Riemanniana. Para definir este tipo de contracci´on, primero tenemos que definir c´omo podemos cambiar el tipo de un tensor: 48 Definici´on 2.5.1 (Subir ´ındices) Dada una variedad Ny dados a, b, r, s ∈Z+con a∈[1, r]yb∈[1, s], llamaremos operaci´on subir ´ındices ofunci´on sostenido a la aplicaci´on ↑a b: Λr s(N)→Λr+1 s−1(N)dada por: (↑a bT)(θ1, ..., θr+1, V1, ..., Vs−1) = T(θ1, ..., θa−1, θa+1, ..., θr+1, V1, ..., θ∗ a, ..., Vs−1) donde θ∗ aes el campo vectorial m´etricamente equivalente a θaseg´un el Teorema 2.2.1 y ocupa la entrada bque pasar´a a la a. De hecho, la operaci´on inversa viene dada por el propio Teorema 2.2.1: Corolario 2.5.1 (Bajar ´ındices) En las condiciones del apartado anterior, la funci´on subir ´ındices es un isomorfismo F(N)-lineal cuya inversa es la funci´on bajar ´ındices ofunci´on bemol ↓a b: Λr s(N)→Λr−1 s+1(N)dada por: (↓a bT)(θ1, ..., θr−1, V1, ..., Vs+1) = T(θ1, ..., V b ∗, ..., θr−1, V1, ..., Vb−1, Vb+1, ..., Vs+1) donde Vb ∗es la 1-forma m´etricamente equivalente a Vbseg´un el Teorema 2.2.1 y ocupa la entrada aque pasar´a a la b. A trav´es de la idea de contracci´on del Cap´ıtulo 1 y las operaciones que acabamos de introducir, podemos definir como quer´ıamos la noci´on de contracci´on m´etrica que nos permitir´a contraer ´ındices arriba o abajo a trav´es del propio tensor m´etrico. Definici´on 2.5.2 (Contracci´on m´etrica) Dados una variedad N, un tensor T∈ Λr s(N)ya, b, r, s ∈Z+con a∈[1, r]yb∈[1, s], definimos la contracci´on m´etrica covariante como CabT=Ca b(↑a aT)∈Λr s−2. Equivalentemente, definimos la contracci´on m´etrica contravariante como CabT=Ca b(↓a aT)∈Λr−2 s. En estas condiciones, antes de introducir el tensor de Ricci, es destacable que, a pesar de que introducimos las componentes del tensor de Riemann como un tensor (1,3) en el Lema 2.4.2, es m´as usual trabajar con sus componentes en forma (0,4) a trav´es de la contracci´on m´etrica: Rijkl =girRr jkl. Pudi´endose escribir las simetr´ıas de curvatura de forma compacta como Rijkl =−Rjikl = −Rijlk =Rklij. Aprovechamos tambi´en esta introducci´on t´ecnica para definir la divergencia de un tensor sim´etrico que usaremos m´as adelante en la secci´on. Definici´on 2.5.3 (Divergencia) Dados una carta (U, ϕ = (x1, ..., xn)) de una variedad Ny un tensor sim´etrico T∈Λ0 2(N), definimos la divergencia de Tcomo divT = C13(∇T) = C23(∇T)∈ X(N)∗que en coordenadas ser´a (divT)i=gjkTij;k=Tk i;k. 49 N´otese que tanto la contracci´on m´etrica 13 como la 23 nos producen el mismo resultado por ser Tsim´etrico — dicha contracci´on est´a relacionada con la traza de la representaci´on matricial del tensor. Tras esta introducci´on podemos introducir el tensor de Ricci y la curvatura escalar. Definici´on 2.5.4 (Tensor de Ricci) Dada una carta (U, ϕ =x1, ..., xn)) de una variedad Ncon tensor de curvatura de Riemann R, llamaremos tensor de Ricci,Ric, a la contracci´on C1 3(R)que localmente podr´a expresarse como: Ricij =Rk ijk. Definici´on 2.5.5 (Curvatura escalar) Dada una carta (U, ϕ =x1, ..., xn)) de una variedad Ncon tensor de Ricci Ric, llamaremos curvatura escalar Ra la ´unica contracci´on m´etrica del tensor de Ricci, C13(Ric)∈ F(N), que localmente podr´a expresarse como: R=gijRicij. Recalcamos que notaremos a la curvatura escalar con la letra Ral igual que al tensor de Riemann, como es com´un en textos sobre Teor´ıa de la Relatividad. Ambos se diferenciar´an f´acilmente por el contexto, y porque, en general, usaremos notaci´on indexada en la que aparecer´a el tensor de Riemann con ´ındices y la curvatura escalar sin ellos. N´otese que es directo probar que el tensor de Ricci es sim´etrico — lo hereda de las propiedades del tensor de Riemann. Adem´as, podemos dar una nueva noci´on de ser llano en el mismo sentido que con el tensor de Riemann. Definici´on 2.5.6 (Ricci llana) Diremos que una variedad Nes Ricci llana si su tensor de Ricci, Ric, es id´enticamente nulo. Para acabar la secci´on y el cap´ıtulo, presentamos el siguiente resultado, que ser´a esencial a la hora de definir el tensor de Einstein en el Cap´ıtulo 4. Proposici´on 2.5.1 Dada una variedad N, su tensor de Ricci, Ric, y su curvatura escalar Rcumplen la siguiente expresi´on: dR = 2divRic. 50 Demostraci´on: Recu´erdese que dR =∇Rpor ser Rfunci´on escalar y, por tanto, es equivalente demostrar que ∇R= 2divRic . Para demostrar la expresi´on, consideremos la segunda identidad de Bianchi aplicada sobre elementos de la base ∂i: Ri jkl;r+Ri jlr;k+Ri jrk;l= 0. Intercambiando rcon ken el ´ultimo t´ermino, generando un signo menos, y contrayendo en el sentido usual icon r: Rr jkl;r+Rr jlr;k−Rr jrk;l=Rr jkl;r+Rjl;k−Rjk;l= 0. Contrayendo m´etricamente jcon k: gjkRr jkl;r+gjkRjl;k−R;l= 0. El segundo t´ermino es por definici´on divRic y el ´ultimo t´ermino es ∇R. Por tanto, si probamos que el primer t´ermino es tambi´en divRic, tenemos la expresi´on que busc´abamos. Trabajemos con el primer t´ermino usando las simetr´ıas de la curvatura. Consider´emoslo sin derivar: gjkRr jkl =gjkgirRijkl =gjkgirRjilk =girRil. Recuperando la diferencial covariante: gjkRr jkl;r=girRil;r=Rr l;r= (divRic)l. Por lo que concluye el resultado.  Cap´ıtulo 3 Variedades de Lorentz: El espacio-tiempo El ´ultimo paso para poder llegar a la definici´on de espacio-tiempo consistir´a en tomar una variedad Lorentziana y equiparla con una ´ultima estructura: la orientaci´on temporal. En el cap´ıtulo previo explicamos que, dentro de las variedades semi-Riemannianas, aquellas que nos permitir´ıan modelar un espacio-tiempo ser´ıan las variedades de Lorentz, puesto que el hecho de que tengan ´ındice uno nos proporciona la condici´on id´onea para identificar el tiempo con esta dimensi´on an´omala en la que el producto escalar deja de tener sentido cl´asico y pasa a ser definido negativo. A pesar de que, tal y como hemos dicho, dentro de estas variedades ya se pueda hablar de tiempo como una dimensi´on m´as, necesitamos caracterizar dicha dimensi´on con las propiedades intr´ınsecas del tiempo f´ısico o real. En este sentido, dotaremos a la variedad de una orientaci´on temporal, es decir, introduciremos un objeto que nos permita equipar la dimensi´on temporal con la irreversibilidad que la caracteriza o, equivalentemente, que nos permita formalizar las ideas de presente, pasado y futuro. Dedicaremos la primera secci´on del cap´ıtulo a realizar el desarrollo que hemos descrito en el p´arrafo anterior. Las dos secciones posteriores constituir´an desarrollos t´ecnicos de conceptos y resultados que necesitaremos invocar en numerosas demostraciones cuando estudiemos la causalidad en las variedades de Lorentz en el ´ultimo cap´ıtulo. As´ı pues, enfocaremos estas secciones en hacer una breve introducci´on a la geometr´ıa extr´ınseca de una variedad semi-Riemanniana y a la variaci´on de longitudes de geod´esicas. Los resultados de estas dos ´ultimas secciones son generales, no se dan solo para espacios-tiempo. Sin embargo, los incluimos en este cap´ıtulo pues constituyen un paso previo y natural para pasar de los conceptos desarrollados en la primera secci´on y en los cap´ıtulos previos a la teor´ıa que se desarrollar´a en los dos ´ultimos cap´ıtulos. 51 52 Las ideas expuestas en este cap´ıtulo siguen directamente la l´ınea argumental de [24] complementada con ideas y demostraciones de [18]. 3.1. Espacio-tiempo. Orientabilidad temporal Para la construcci´on del espacio-tiempo nos restringimos, como venimos diciendo, a variedades de Lorentz. En particular, para poder formalizar la idea de orientaci´on temporal que hemos esbozado, tendremos que imponer condiciones sobre los vectores tangentes a la variedad, es decir, realizaremos nuestras construcciones sobre espacios vectoriales y, para nuestros propositos, particularizaremos los resultados para el espacio tangente a nuestra variedad en cada punto. Al tratar con variedades de Lorentz, notemos que los espacios tangentes y, en general, todos los espacios vectoriales de nuestras definiciones, ser´an de Lorentz en el sentido de que ser´an espacios vectoriales de dimensi´on mayor o igual que dos y equipados con un producto escalar de ´ındice uno. Antes de comenzar a formalizar la idea de orientaci´on temporal, veamos primero c´omo afecta a los vectores tangentes el hecho de que el tensor m´etrico tenga ´ındice uno. Hasta ahora, hab´ıamos comentado que la dimensi´on en que el producto escalar se vuelve definido negativo era perfecta para modelar nuestra idea de tiempo. Sin embargo, en ning´un momento hemos formalizado esta idea. La siguiente clasificaci´on de vectores pone de manifiesto esta noci´on de tiempo como una dimensi´on m´as. Definici´on 3.1.1 (Car´acter causal de vectores) Dado un espacio vectorial de Lorentz (V, g)diremos que un vector v∈Ves temporal si qg(v)<0, luminoso o nulo si qg(v)=0pero v6= 0, espacial si qg(v)>0, causal si es temporal o luminoso, donde qges la forma cuadr´atica asociada a g. Denominaremos car´acter causal de un vector al car´acter que tenga seg´un la definici´on anterior. El hecho de que esta clasificaci´on de vectores est´e relacionada con la causalidad en la variedad — relaciones causa-efecto entre diferentes puntos — se har´a m´as evidente al final de la secci´on cuando estudiemos esta para un tipo concreto de espacio-tiempo. 53 Notemos adem´as, en relaci´on a la definici´on previa, que esta no solo aplica a los vectores, es decir, dicha definici´on se extiende de forma natural a cualquier objeto que est´e relacionado con vectores de un car´acter causal concreto. En este sentido, diremos que un subespacio vectorial (por ejemplo, una hipersuperficie) tiene determinado car´acter causal cuando todos sus vectores tienen dicho car´acter, o lo que es lo mismo, que el producto escalar restringido a dicho espacio tenga las caracter´ısticas asociadas a cada tipo causal — si es espacial (resp. temporal) definido positivo (resp. negativo), etc. Equivalentemente, si un espacio est´a generado por un vector, su car´acter causal ser´a el del vector. En el mismo sentido, diremos que una geod´esica tiene el car´acter causal de su vector velocidad — recu´erdese (ver cap´ıtulo previo) que el comportamiento del vector velocidad de las geod´esicas estaba restringido y, por ello, su car´acter causal no puede cambiar y est´a bien definido. Extendiendo esta idea, tambi´en podremos restringir propiedades ligadas a las geod´esicas, como por ejemplo la completitud, a tipos de geod´esicas diferentes en funci´on de su car´acter causal (podremos hablar de completitud temporal, causal, etc.). Una vez hemos visto c´omo el ´ındice introduce el tiempo como una dimensi´on m´as en la variedad generando una estructura causal (que concretaremos m´as adelante), podemos comenzar a construir la idea de orientaci´on temporal. Para ello, introducimos primero los conceptos de cono temporal y causal. En el resto de la secci´on llamaremos T(V) al conjunto de todos los vectores temporales de un espacio vectorial de Lorentz VyC(V) al conjunto de todos sus vectores causales. Definici´on 3.1.2 (Cono temporal) Dados un espacio vectorial de Lorentz (V, g)y v∈T(V), llamaremos cono temporal de val conjunto: C+(v) = {u∈T(V)|g(v, u)<0} Definici´on 3.1.3 (Cono causal) Dados un espacio vectorial de Lorentz (V, g)yv∈ C(V), llamaremos cono causal de val conjunto: C+(v) = {u∈ C(V)|g(v, u)<0} De la propia definici´on es f´acil ver que ambos conos son convexos y que dos vectores pertenecen al mismo cono temporal si y solo si su producto escalar es negativo. N´otese adem´as, que para cada vector no hay un ´unico cono temporal (causal) sino que hay dos. Es claro que podemos definir el cono temporal (causal) opuesto como C−(v) := C+(−v) = −C+(v) (idem para el causal) sin m´as que exigir ahora la condici´on g(v, u)> 0 sobre los vectores temporales (resp. causales). Es esta dualidad la que nos permitir´a modelar las ideas de pasado y futuro. En estas condiciones podemos introducir la orientaci´on temporal. 54 Definici´on 3.1.4 (Orientaci´on temporal) Dada una variedad de Lorentz N, llamaremos orientaci´on temporal a una aplicaci´on τ+−que a cada punto pde Nle asigna un cono temporal de Tp(N)y que es diferenciable, en el sentido de que, para cada punto pexiste un campo vectorial diferenciable Vque en cada punto qde un entorno de p pertenece al cono temporal asignado a dicho punto q. Diremos que Nes temporalmente orientable si admite una orientaci´on temporal. En vistas de la definici´on, podemos ver ahora que si exigimos que nuestra variedad sea temporalmente orientable, adem´as de tener una dimensi´on temporal, vamos a tener bien definido en cada punto un par de conos temporales (causales) con orientaciones opuestas. Estos conos, dado que la orientabilidad es diferenciable, nos van a permitir definir de forma correcta una orientaci´on que llamaremos futuro y otra que llamaremos pasado. Recopilando las construcciones de estos tres primeros cap´ıtulos, hemos construido un objeto que generaliza nuestra noci´on m´as b´asica de espacio — variedad diferenciable — dentro de la cual podemos medir longitudes, ´angulos y curvaturas — variedad semi-Riemanniana — que engloba nuestra idea de tiempo como una dimensi´on m´as — variedad Lorentziana — y que, si adem´as, equipamos con una orientaci´on temporal, nos permite asignarle al tiempo su caracter irreversible a trav´es de una correcta definici´on de pasado y futuro. En resumen, hemos llegado a la idea de espacio-tiempo. Definici´on 3.1.5 (Espacio-tiempo) Dada una variedad de Lorentz (M, g)m-dimen- sional y una orientaci´on temporal τ+−llamaremos espacio-tiempo a la terna (M, g, τ+−). Arbitrariamente llamaremos futuro a la orientaci´on temporal positiva, pasado a la negativa y denominaremos a los puntos de Msucesos o eventos. En el sentido de esta definici´on, una vez hayamos fijado una orientaci´on temporal, diremos que una curva apunta al futuro (resp. pasado) si su vector velocidad est´a en el cono con orientaci´on futuro (resp. pasado). Esta nomenclatura se extender´a de forma equivalente cuando hablemos de geod´esicas, o extensi´on de geod´esicas. Recalcamos que en la definici´on previa hemos dicho que la variedad es m-dimensional. Sin embargo, en el siguiente cap´ıtulo nos restringiremos a un espacio-tiempo de 4 dimensiones, pues es el que tiene sentido f´ısico (3 dimensiones espaciales + 1 temporal). En el Cap´ıtulo 5, aunque nuestro desarrollo se centrar´a en objetivos f´ısicos y querremos particularizar para el caso 4-dimensional, lo presentaremos para el caso m-dimensional por generalidad matem´atica. De aqu´ı en adelante reservaremos la letra Mpara los espacios-tiempo y seguiremos notando con Na las variedades que tratemos de un modo general. Antes de introducir un ejemplo de espacio-tiempo para acabar la secci´on, introducimos el siguiente lema que, en relaci´on a lo que acabamos de decir, nos permitir´a estudiar siempre los espacio-tiempo de 4-dimensiones como un espacio usual de 3 dimensiones que va avanzando en el tiempo (llamaremos a esta idea descripci´on 3+1). 61 De hecho, siendo concisos, no ser´a exactamente la curvatura media la que estar´a relacionada con dichas regiones sino su “proyecci´on” sobre determinados vectores en el sentido de la siguiente definici´on (concretaremos todo esto desde un punto de vista f´ısico en el Cap´ıtulo 5). Definici´on 3.2.7 (Convergencia) Dadas una variedad semi-Riemanniana Ny una subvariedad semi-Riemanniana Ncon curvatura media ~ H, llamaremos convergencia de Na la funci´on real kdefinida sobre el fibrado normal como k(v) = g(v, ~ Hp)para todo v∈Tp(N)⊥. 3.3. Variaciones de longitud. Campos de Jacobi y puntos focales En esta ´ultima secci´on nos dedicaremos al estudio de las variaciones de longitud, esto es, medir el cambio de la longitud de arco de curvas dentro de la variedad para peque˜nas variaciones o desplazamientos. Esta disciplina concreta se aleja en cierta medida del desarrollo central de este tex- to aunque obviamente est´en estrechamente relacionados como veremos. La raz´on por la que comentamos esto es, esencialmente, porque usaremos esta disciplina como una pura herramienta intermedia para poder demostrar los resultados que nos aparecer´an en el Cap´ıtulo 5 y, por tanto, no entraremos en detalle en la teor´ıa subyacente a los resultados de esta secci´on — esencialmente por autocontenci´on del documento y exten- si´on. De este modo, introduciremos la notaci´on, los conceptos b´asicos y los resultados que necesitaremos para el desarrollo posterior, algunos de ellos con demostraci´on con el fin de que el lector tenga una primera toma de contacto con esta teor´ıa, y otros sin demostraci´on debido, como decimos, a su extensi´on y a la falta de relaci´on directa con el contenido central del documento. Para esta secci´on seguiremos esencialmente la l´ınea argumental seguida en [24], recomend´andose este texto para las demostraciones que no a˜nadimos. En toda la secci´on estaremos trabajando con una variedad Ny curvas definidas sobre cierto intervalo de la recta real. Como hemos comentado justo al iniciar, nuestra tarea ser´a estudiar variaciones de longitud para peque˜nas perturbaciones de una curva. En concreto, variaciones del funcional longitud definido para una curva γen una variedad Ncomo: L(γ) = Rb a|γ0(s)|ds donde ses el par´ametro del intervalo donde tengamos definida la curva y ayblos extremos del arco de longitud que consideremos. La definici´on de este funcional puede hacerse de modo general sobre curvas diferenciables a trozos que, en el sentido usual, no son mas que curvas diferenciables en determinadas particiones de un intervalo pero no en los extremos de dichos intervalos 62 — que llamaremos saltos o roturas — donde solo admiten la derivada a derecha e izquierda y cuyo salto de valor se denotar´a como ∆γ0(ti) siendo tiel punto de salto. Esta idea nos permite definir las geod´esicas rotas que ser´an de utilidad m´as adelante: Definici´on 3.3.1 (Geod´esica rota) Diremos que una curva diferenciable a trozos es una geod´esica rota cuando su restricci´on a cada uno de los intervalos donde es diferenciable sea geod´esica. Una vez conocido el funcional que queremos variar, veamos qu´e es una variaci´on: Definici´on 3.3.2 (Variaci´on) Llamaremos variaci´on de un segmento de curva γ: [a, b]→No simplemente variaci´on a la apliaci´on x: (−δ, δ)×[a, b]→Ntal que x(0, t) = γ(t)para todo ten el intervalo [a, b]con a, b, δ reales. La idea esencial es por tanto que variaremos de forma infinitesimal una curva moviendo sus extremos o dej´andolos fijos. N´otese adem´as que la variaci´on tambi´en es diferenciable a trozos en el sentido de que ser´a diferenciable en los intervalos producto del tipo (−δ, δ)×[ti−1, ti], siendo estos ´ultimos los intervalos donde es diferenciable la curva inicial con tilos saltos o roturas. En todo lo que sigue llamaremos wal primer par´ametro del que depende la variaci´on ytal segundo. Tendremos tambi´en la siguiente definici´on: Definici´on 3.3.3 (Curvas longitudinales y transversales) Llamaremos curvas longitudinales a aquellas curvas con wconstante y transversales a aquellas con tconstante. Finalmente, nuestro ´ultimo objeto previo ser´a el campo vectorial de variaci´on o variacional: Definici´on 3.3.4 (Campo vectorial variacional) Llamaremos campo vectorial variacional al campo diferenciable a trozos Vdado por V(t) = xw(0, t). Adem´as, en todo lo que sigue usaremos prima para denotar cualquier derivada total (incluso si es covariante) y para las derivadas parciales de la variaci´on usaremos sub´ındices para referirnos a la variable con respecto a la cual estamos derivando — n´otese que las derivas cruzadas son intercambiables siempre que derivemos solo dos veces xtw =xwt debido a la simetr´ıa de la conexi´on de Levi-Civita. Finalmente, en todo lo que sigue usaremos curvas γde Ndiferenciables a trozos, definidas en un intervalo [a, b] de velocidad |γ0(t)|:= cconstante y de signo dado por el car´acter causal de γ0 salvo que se indique lo contrario. 63 Comenzaremos estudiando la primera variaci´on del funcional: L0 x(0) := ∂ ∂wL(x(w, t))|w=0. y posteriormente estudiaremos la segunda variaci´on L00 x(0) := ∂2 ∂2wL(x(w, t))|w=0. Para la primer variaci´on tendremos la siguiente f´ormula que nos servir´a tanto para variaciones con extremos fijos como sueltos: Teorema 3.3.1 Dada una curva γcon velocidad estrictamente positiva, para cualquier variaci´on xde un campo variacional Va lo largo de γse tiene que: L0 x(0) = cZb a g(γ0, V 0)ds =− c Zb a g(γ00, V )ds + k−1 X i=1 g(∆γ0(ti), V (ti)) −g(γ0, V )|b a!. Demostraci´on: Tendremos que probar ambas igualdades. N´otese que la segunda es directa probando la primera, pues bastar´ıa tener en cuenta que por linealidad g(γ0, V 0) = d dt g(γ0, V )−g(γ00, V ) e integrar esta primera igualdad. Probemos la primera. Al ser la velocidad estrictamente positiva, podemos tomar nuestro δlo peque˜no que queramos con el fin de asegurar que g(xt, xt)6= 0. Podemos escribir por tanto L0 x(w) = Zb a ∂ ∂wp(g(xt, xt))dt =Zb a g(xt, xwt) |xt|dt, donde hemos usado que xwt =xtw que, como dijimos, se tiene por la simetr´ıa de la conexi´on de Levi-Civita. Basta evaluar esta ´ultima expresi´on en w= 0 para tener el resultado que buscamos.  El resultado previo nos permite obtener los siguientes resultados sobre las geod´esicas rotas que ser´an de gran utilidad en demostraciones de causalidad: Corolario 3.3.1 Una curva γde velocidad constante estrictamente positiva es una geod´esica que no est´a rota si y solo si la primera variaci´on de la longitud es cero para toda variaci´on con extremos fijos. 64 Demostraci´on: Centr´emonos en la implicaci´on a izquierda pues, a derecha es trivial usando la expresi´on obtenida para la primera variaci´on. Para esta implicaci´on busquemos una contradicci´on. Supongamos que la derivada segunda de la curva no se anula si tomamos tk−1< s < tk— seguimos con la misma notaci´on para las roturas — y tomemos un vector vdel tangente a lo largo de la curva en el punto Tγ(s)Nque cumpla que g(γ00(s), v)>0. Consideremos adem´as el transporte paralelo Vasociado a vtomando un δpositivo tal que g(γ00, Y )>0 en todo t∈(s−δ, s +δ) y un campo vectorial variacional X=fV siendo funa funci´on no negativa que se anula fuera del intervalo previo y que es estrictamente positiva en s. En estas condiciones, si aplicamos la f´ormula de primera variaci´on llegamos a contradicci´on pues: L0 x(0) = − cZs+δ s−δ fg(γ00, Y )dt > 0. Deducimos por tanto que γes una geod´esica rota teni´endose el resultado — n´otese que la diferenciabilidad se prueba de modo an´alogo sin m´as que considerar los saltos y buscar un campo variacional que asegure que el producto a trav´es de gde los saltos y el campo variacional sea distinto de cero dentro del intervalo en consideraci´on pero se anule fuera de este.  Realmente, el resultado que usaremos no ser´a este sino una consecuencia directa de ´el. Para enunciarlo primero consideramos el espacio de todas las curvas diferenciables que parten de una subvariedad no degenerada Q⊂Nhasta un punto q∈Nque notaremos como Ω(Q, q). Aunque el espacio Ω(Q, q) no ser´a considerado como variedad propiamente dicha, introducimos un modo de definir un espacio tangente para su estructura que nos ayudar´a m´as adelante a introducir la forma indexada de una geod´esica. Definimos este espacio tangente de modo que cada uno de sus elementos sea un campo vectorial variacional asociado a cierta variaci´on de una geod´esica. Definici´on 3.3.5 (Espacio tangente de Ω(Q, q))Dados una geod´esica γdefinida sobre un intervalo [a, b]y el conjunto Ω(Q, q), definimos el espacio tangente a este conjunto TγΩcomo el conjunto de todos los campos vectoriales diferenciables a trozos a lo largo de γque cumplan que V(b) = 0 yV(a)∈Tγ(a)Q. Tras este inciso, enunciemos el resultado que adelant´abamos. Corolario 3.3.2 Sea γ∈Ω(Q, q)con velocidad constante y estrictamente positiva. Entonces su primera varaci´on es nula para toda variaci´on de γsi y solo si γes una geod´esica que no est´a rota y que es normal a Q. 65 Demostraci´on: La demostraci´on a derecha es directa a trav´es de la f´ormula de la primera variaci´on sin m´as que tener en cuenta que el campo variacional en aes tangente aQ. La demostraci´on a izquierda tambi´en es directa pues, a trav´es del Corolario 3.3.1 tenemos asegurado que γes geod´esica y, de nuevo, con la f´ormula de la primera variaci´on tenemos asegurada la ortogonalidad a Qya que L0 x(0) =  cg(γ0(a), v) = 0 habiendo considerado v∈Tγ(a)Qy un campo variacional Vcon V(a) = v. Una vez estudiada la primera variaci´on, estudiemos la segunda e introduzcamos la forma indexada de una geod´esica a trav´es del tangente a Ω(Q, q) como coment´abamos previamente. Teorema 3.3.2 Dada una geod´esica γcon velocidad constante estrictamente positiva yxuna variaci´on de γse tiene que: L00 x(0) =  cZb ag((V0)⊥,(V0)⊥)−g(Rγ0VV, γ0)ds +g(γ0,xww(0, t))|b a. Demostraci´on: Sabemos que la longitud de cada curva variada es Rb a|xt(w, t)|dt y tengamos en cuenta que |xt(w, t)|w=g(xtw,xt) |xt(w,t)|. Mediante un c´alculo directo tenemos que: L00 x(0) = Zb a|xt(w, t)|ww(0, t)dt = = |xt(w, t)|Zb ag(xtw, xwt) + g(xt, xtww)− |xt(w, t)|2|g(xt, xtw)2dt = = cZb ag(V0, V 0)−g(Rγ0VV, γ0) + g(γ0, x0 ww(0, t)) − c2g(γ0, V 0)2dt, donde en la ´ultima igualdad se ha tenido en cuenta la conmutatividad de las derivadas cruzadas y que la p´erdida de conmutatividad se cuantifica a traves del tensor de curvatura R. Finalmente, tengamos en cuenta que g(γ0, x0 ww(0, t)) = d dt g(γ0, xww(0, t)) ya que γes geod´esica y que V0= c2g(V0, γ)γ0+ (V0)⊥. Sustituyendo e integrando en la expresi´on previa tenemos el resultado.  Definici´on 3.3.6 (Forma indexada) Llamaremos forma indexada de una geod´esica no luminosa γ∈Ω(Q, q)a la ´unica forma bilineal y sim´etrica IQ γ:TγΩ×TγΩ→R definida como IQ γ(V, V ) = L00 x(0) para todo V∈TγΩ. Si la subvariedad Qse limita a un punto escribiremos simplemente Iγ. A continuaci´on introducimos los campos de Jacobi, los puntos conjugados y los puntos focales, que ser´an los conceptos centrales de la secci´on en relaci´on a la causalidad. 66 Estos conceptos nos permitir´an encontran resultados acerca de curvas con determinadas caracter´ısticas que unan puntos en nuestra variedad — relaciones causa-efecto — estando estas caracter´ısticas ´ıntimamente relacionada con la longitud de las curvas y con su caracter causal como veremos en los ´ultimos resultados de la secci´on. Adem´as, a trav´es de estos conceptos entenderemos mejor por qu´e hemos introducido la forma indexada; a trav´es de esta construiremos un resultado que nos permita entender de forma muy geom´etrica qu´e significan los puntos focales. Comencemos pues introduciendo los campos de Jacobi. Estos campos ser´an aquellos campos vectoriales diferenciables a lo largo de geod´esicas generados por variaciones en las que toda curva longitudinal es una geod´esica. Definici´on 3.3.7 (Campo de Jacobi) Dado un campo vectorial diferenciable Ja lo largo de una geod´esica γdefinida en un intervalo [a, b], decimos que es un campo de Jacobi si satisface la ecuaci´on diferencial: J00 +RJγ0γ0= 0. En el mismo sentido que antes, podemos definir del mismo modo los Q-campos de Jacobi como aquellos campos de Jacobi cuyas geod´esicas longitudinales parten ortogonalmente de Q. Definici´on 3.3.8 (Q-campo de Jacobi) En las condiciones de la definici´on previa, si tenemos adem´as una subvariedad Qortogonal a γen a, diremos que Jes un Q- campo de Jacobi si J(a)es tangente a Qy si la parte tangente a Tγ(a)Qde su derivada cumple que tan(J0(a)) = ∇J(a)γ0(a). Una vez definidos los campos de Jacobi podemos definir los puntos conjugados y los puntos focales. Ambos, en cierto sentido, estar´an asociados a variaciones de geod´esicas que unan a primer orden un punto qy un punto p, siendo la ´unica diferencia entre ambos que los puntos conjugados estar´an asociados a campos de Jacobi en general, mientras que los puntos focales est´an asociados a Q-campos de Jacobi y, en consecuencia, a geod´esicas que partan normalmente de la subvariedad Q. Definici´on 3.3.9 (Puntos conjugados y puntos focales) Dada una geod´esica γdefinida en un intervalo [a, b], diremos que un punto r∈(a, b]es un punto conjugado si existe un campo de Jacobi J6= 0 a lo largo de γcon J(a) = J(r)=0. Adem´as, si existe una subvariedad Qortogonal a γen adiremos que res un Q-punto focal si existe un Q-campo de Jacobi J a lo largo de γcon J(r) = 0. Recalcamos que se ha abusado de la notaci´on en la definici´on previa pues suele llamarse en la literatura valor conjugado (focal) ary a γ(r) punto conjugado (focal). 67 En el documento utilizaremos ambos nombres para ambos conceptos pues no lleva a confusi´on. Para introducir el resultado prometido que relacione los puntos focales y conjugados con la forma indexada necesitamos hacer la siguiente definici´on previa: Definici´on 3.3.10 (Geod´esica coespacial) Dada una variedad semi-Riemanniana Ndiremos que una geod´esica es coespacial si el subespacio ortogonal a la geod´esica es definido positivo. N´otese que si Nes Riemanniana toda geod´esica ser´a coespacial, mientras que si N es Lorentziana toda geod´esica temporal ser´a coespacial. Enunciemos ahora el resultado (como coment´abamos al principio del cap´ıtulo este teorema ser´a uno de los que presentemos sin demostraci´on). Teorema 3.3.3 Dada una geod´esica coespacial γ∈Ω(Q, q)con signo , entonces: Si no existen Q-puntos focales de γ(a)a lo largo de γla forma indexada IQ γ restringida a los campo vectoriales ortogonales a γes definida. Si existe Q-punto focal ra lo largo de γcon r∈(a, b)entonces IQ γno es semidefinida. Con el Teorema 3.3.3 en mano, es f´acil ver ahora que el significado geom´etrico de los puntos focales es el siguiente: habiendo fijado un signo para la geod´esica, por ejemplo, positivo — para el caso negativo simplemente habr´ıa que cambiar m´aximo por m´ınimo en lo que sigue — la inexistencia de puntos focales implica que la geod´esica en consideraci´on es la curva de longitud m´ınima de entre todas las curvas cercanas a ella — variaciones — que une nuestra subvariedad con el punto asociado al extremo derecho del intervalo. En caso de que no existan puntos focales tendremos que existen curvas de mayor y menor longitud que la geod´esica y que tambi´en unan la subvariedad con el punto. Para acabar la secci´on introducimos varias aplicaciones de los resultados previos que nos ser´an de utilidad como venimos comentando. Estos resultados ponen de manifiesto la estrecha relaci´on que existe entre la curvatura de la variedad y la existencia de puntos focales que, a su vez, estar´a directamente relacionada con la existencia de geod´esicas de m´axima o m´ınima longitud que unan determinados puntos lo cual, a˜nadiendo un caracter causal a dicha geod´esica, nos ser´a de gran utilidad a la hora de estudiar las relaciones de causalidad entre diferentes puntos del espacio. Como veremos a continuaci´on, tanto la curvatura media como la convergencia juegan un papel importante. Estos conceptos, como ya ven´ıamos adelantando, y como volveremos a estudiar en los Cap´ıtulos 4 y 5, estar´an ligados al hecho de que determinadas 68 zonas queden atrapadas debido a lo fuerte que es la gravedad d´andonos una primera pista de c´omo la causalidad y la gravedad deben estar relaciondas. Presentaremos el primer resultado con demostraci´on y los dos posteriores, que est´an relacionados entre s´ı, sin ella, pudi´endose encontrar esta en [24] como dijimos al inicio de la secci´on. Teorema 3.3.4 Sean Quna hipersuperficie espacial en una variedad de Lorentz Ny γuna geod´esica coespacial normal a Qen el punto p=γ(0) ∈N. En estas condiciones si suponemos que k(γ0(0)) = g(γ0(0),~ Hp)>0yRic(γ0, γ0)>0entonces existe un punto focal γ(t)de γcon t∈(0,1/k(γ0(0))] siempre que la curva est´e definida en dicho intervalo. Demostraci´on: Sin p´erdida de generalidad supongamos que la velocidad de la curva es uno y, para aliviar la notaci´on, escribamos k:= k(γ0(0)). Consideremos una base ortonormal eide TpQy sus transportes paralelos Eia lo largo de γ— en toda la demostraci´on i= 1, ..., n −1. Definamos f(t) = 1 −kt en el intervalo [0,1/k] de modo que fEi∈TγΩ para todo iy consecuentemente: IQ γ(fEi, fEi) = k−Z1/k 0 f2g(REiγ0Ei, γ0)dt −g(γ0(0), II(ei, ei)). Teniendo en cuenta que los transportes paralelos son espaciales sumando para cada i la expresi´on previa tendremos: X i IQ γ(fEi, fEi)=(n−1)k−Z1/k 0 f2Ric(γ0, γ0)dt −g(γ0(0),(n−1) ~ Hp). De esta expresi´on deducimos que IQ γ≤0 ya que el primer y el ´ultimo t´ermino de la expresi´on anterior se cancelan y sabemos que el tensor de Ricci es positivo, por hip´otesis. En virtud del Teorema 3.3.3, en concreto su primer punto, deducimos que debe existir un Q-punto focal en el intervalo (0,1/k].  El resultado previo puede extenderse de hipersuperficies a subvariedades con dimen- si´on n−2, siendo la demostraci´on completamente an´aloga salvo detalles que pueden consultarse en la referencia mencionada anteriormente. Proposici´on 3.3.1 Dados una variedad de Lorentz Ny dos puntos pyqque pueden unirse a trav´es de una curva causal diferenciable a trozos γque no es pregeod´esica causal, entonces existe una variaci´on xde γcon extremos fijos tal que todas las curvas longitudinales son temporales menos la propia γ. En concreto existen curvas temporales uniendo ambos puntos arbitrariamente cerca de γ. 69 Teorema 3.3.5 Dada una subvariedad espacial Qde una variedad de Lorentz N, si γ∈Ω(Q, q)es causal entonces existe una curva temporal arbitrariamente cerca de γ en Ω(Q, q)a no ser que γsea una geod´esica nula Q-normal en la cual no hay puntos focales de Qantes que q. 70 77 objeto de nuestro bolsillo y lo solt´aramos en el ascensor, este empezar´ıa a caer a la vez que nosotros, qued´andose “est´atico” en el lugar donde lo soltamos. Para nosotros, al menos en nuestro entorno m´as cercano (localidad), no “existe” campo gravitatorio. Desde el punto de vista contrario, sup´ongase que ahora llevamos el ascensor a un punto suficientemente alejado de todo en el espacio de modo que no hay campo gravitatorio. Si ahora se colocase algun tipo de mecanismo en la parte superior del ascensor que tirara de este hacia arriba con una fuerza constante, es claro que si volvemos a soltar ahora el mismo objeto este s´ı cae. Ahora s´ı “existir´ıa” campo gravitatorio para nosotros. Del experimento mental podemos concluir nuestra incapacidad para distinguir entre un campo gravitatorio y estar uniformemente acelerados o en reposo. Por tanto, el campo gravitatorio es relativo, extendi´endose de este modo el principio de relatividad a la teor´ıa gravitatoria tal y como necesitaba la f´ısica desde la ruptura entre la teor´ıa de Newton y la RE. Ahora bien, la pregunta que surge naturalmente es c´omo podemos relacionar esta implicaci´on con el modelado de la gravedad a trav´es de la geometr´ıa del espacio-tiempo. La respuesta es directa, pues, si seg´un el principio de equivalencia somos incapaces de diferenciar entre los estados anteriormente expuestos, por ser estos experimentalmente indistinguibles, podemos afirmar que toda ca´ıda libre ser´a una geod´esica. Recordemos que, en la teor´ıa cl´asica de Newton, al desarrollarse sobre el espacio Eucl´ıdeo, las geod´esicas eran l´ıneas rectas y correspond´ıan a las curvas de las part´ıculas que se mov´ıan libremente sin estar sujetas a una fuerza o aceleraci´on — n´otese que las geod´esicas, tal y como recalcamos en su definici´on (Definici´on 2.3.3), son en cierto modo curvas con aceleraci´on nula. La idea esencial es por tanto que, en RG, las part´ıculas sometidas a un campo gravitatorio — en ca´ıda libre — se mover´an tambi´en a trav´es de las geod´esicas — puesto que para un observador que cae con la part´ıcula su aceleraci´on es nula — solo que ahora, en lugar de ser rectas, ser´an curvas determinadas por c´omo la materia — la fuente de gravedad — curve el espacio-tiempo en el que se encuentran. Para resumir todas las ideas expuestas en el p´arrafo anterior volvamos a nuestro experimento mental. Supongamos ahora que tenemos nuestro ascensor con dos observadores A y B en las siguientes situaciones: A estar´a cayendo en ´angulo hacia el Sol por su campo gravitatorio y, como ocurr´ıa antes, B estar´a en un punto del espacio alejado sin campo gravitatorio. Al igual que antes, ambas situaciones son indistinguibles por el principio de equivalencia. Y, adem´as, podemos ver c´omo ambos se mover´an sobre geod´esicas. Para B, el movimiento es recto — tanto para ´el como para un observador que lo mire desde fuera — pues no hay presencia de gravedad; sin embargo, en el caso de A, el movimiento es curvo visto desde fuera pues el Sol curva el espacio-tiempo haciendo que la geod´esica por la que se mueve el ascensor sea curva, aunque, para el propio A, la sensaci´on sea la de estar movi´endose sobre una recta al ser su situaci´on indistinguible de la de B. En vista de estas ideas planteamos la siguiente definici´on que sustituye la idea inicial de ca´ıda libre: 78 Definici´on 4.1.5 (Ca´ıda libre) Una part´ıcula ρ(t)en un espacio-tiempo sufre una ca´ıda libre si ρ(t)es geod´esica, equivalentemente; si Dρ0 dt = 0. Esta relaci´on entre ca´ıda libre y geod´esica se puede probar directamente a trav´es del principio de equivalencia como hizo Weinberg en [26]; sin embargo, hemos preferido realizar esta discusi´on de forma cualitativa por su car´acter ilustrativo. Hemos llegado por tanto, como hab´ıamos adelantado, a que en RG la gravedad es la curvatura del espacio-tiempo generada por la energ´ıa-momento (generalizaci´on de la masa). Nos queda pues un ´unico problema en el aire; entender c´omo la materia puede provocar la curvatura del espacio-tiempo. N´otese que esta dificultad surge, como ya destacamos, del modo en que definimos part´ıcula. El hecho de a˜nadir a posteriori la idea de masa — impl´ıcitamente la energ´ıa-momento — no define como tal la materia ni le da significado f´ısico a la masa en relaci´on al espacio-tiempo en el que esta se encuentra. Necesitamos por tanto definir un objeto matem´atico que modele la materia y que le permita perturbar de alg´un modo la geometr´ıa del espacio-tiempo: un tensor energ´ıamomento. Tomando una vez m´as un observador instant´aneo (p, V ), es l´ogico esperar que, en la parte espacial de su descomposici´on ortogonal, este tensor se comporte como el tensor tensi´on-energ´ıa cl´asico [13], [14] por lo que, en analog´ıa, podemos plantear el tensor energ´ıa-momento como un tensor sim´etrico (0,2) — n´otese que esta idea tambi´en es consistente con el hecho de que este tensor est´e relacionado con el tensor m´etrico (geometr´ıa de M) que tambi´en es (0,2). En base a esta analog´ıa cl´asica planteamos la siguiente definici´on: Definici´on 4.1.6 (Tensor energ´ıa-momento) Un tensor energ´ıa-momento Ten un espacio-tiempo Mes un campo tensorial (0,2) sim´etrico cumpliendo que: 1. T(u, u)≥0para todo vector causal u∈Tp(M)en todo p∈M. 2. divT = 0. Las dos condiciones impuestas en la definici´on son mero producto de la observaci´on experimental y el significado f´ısico del tensor. As´ı, la condici´on 1 solo nos indica la positividad de toda forma de energ´ıa, de acuerdo con todas las experiencias realizadas hasta el presente, y la condici´on 2 es la generalizaci´on en forma tensorial de la conservaci´on de la energ´ıa. 4.2. Ecuaci´on de campo de Einstein Hasta este momento hemos desarrollado todos los conceptos b´asicos y los principios generales de la RG llegando a la idea esencial de la teor´ıa: la gravedad es la curvatura del 79 espacio-tiempo Mproducida por la energ´ıa-momento. En este contexto, hemos llegado tambi´en a la idea de tensor energ´ıa-momento Tcon la finalidad de modelar la materia a trav´es de un objeto matem´atico que pueda perturbar la geometr´ıa del espacio-tiempo. Llegados a este punto, para cerrar la teor´ıa, solo nos falta encontrar el modo en que este tensor se relaciona con la geometr´ıa de M, esto es, con su tensor m´etrico g. Es decir, al igual que ocurr´ıa en la teor´ıa de Newton con la Ley de Gravitaci´on Universal o la ecuaci´on de Poisson, necesitamos una ecuaci´on que nos permita describir la gravedad a trav´es de la relaci´on entre Tyg— n´otese que nos referimos a la ecuaci´on de Poisson puesto que g, en cierto modo, actuar´ıa como el potencial gravitatorio cl´asico. La existencia de esta ecuaci´on en RG no est´a asegurada. De hecho, no hay un m´etodo directo de derivaci´on de esta ecuaci´on como ocurre con sus an´alogas en la teor´ıa cl´asica. Esto confiere de una gran dificultad al problema de encontrar qu´e ecuaciones son las correctas para la RG. Einstein, en su carrera con Hilbert para encontrar una ecuaci´on de campo v´alida [4], propuso de forma heur´ıstica una serie de caracter´ısticas principales que ten´ıa que cumplir esta ecuaci´on. Su idea principal era la existencia de un tensor que cumpliera, por simplicidad, una cierta relaci´on de proporcionalidad con T. Este tensor, por motivos de predictibilidad, determinismo y por analog´ıa con la ecuaci´on de Poisson (antecedente cl´asico), no deber´ıa de contener derivadas del tensor m´etrico de orden superior a dos y deber´ıa de depender linealmente de las derivadas segundas del tensor m´etrico, lo cual nos puede llevar a la intuici´on de que pueda construirse como alguna variaci´on del tensor de Ricci. Por otro lado, por estar relacionado con T, debido a la conservaci´on de la energ´ıa, debemos de exigirle a Gque tenga divergencia nula y adem´as que sea sim´etrico y de tipo (0,2). En vista de estas ideas, y teniendo en cuenta todo el formalismo ya expuesto en los primeros cap´ıtulos, un buen candidato para Ges el tensor que proponemos en la siguiente definici´on, que, de hecho fue el que propuso Einstein en su d´ıa: Definici´on 4.2.1 (Tensor de Einstein) Llamaremos tensor de Einstein en un espaciotiempo Mal campo tensorial: G=Ric −1 2Rg. N´otese que este Ges una buena propuesta porque, en vista de la Proposici´on 2.5.1, sabemos que 2 div Ric =dR por lo que la combinaci´on de la Definici´on 4.2.1 entre el tensor de Ricci Ric y la curvatura escalar Rdeber´ıa de proporcionar un tensor con las caracter´ısticas adecuadas. En cualquier caso, en la siguiente proposici´on probamos que el tensor de Einstein cumple todas las caracter´ısticas que hab´ıamos exigido: Proposici´on 4.2.1 El tensor de Einstein es un campo tensorial sim´etrico, de tipo (0,2) y con divergencia nula. Adem´as, contiene la misma informaci´on que el tensor de Ricci pues podemos expresar este ´ultimo como: Ric =G−1 2C(G)g. 80 En concreto, el tensor de Ricci y el tensor de Einstein tienen la misma expresi´on formal en t´erminos del otro. Demostraci´on: El hecho de que Gsea sim´etrico y (0,2) es consecuencia directa de que tanto gcomo Ric tambi´en lo sean. Para probar que tiene divergencia nula, la computamos directamente a partir de las divergencias de sus componentes por linealidad div G =div Ric −1 2div(Rg) = 1 2(dR −div(Rg)) = 1 2(dR −dR)=0, donde se ha tenido en cuenta que 2 div Ric =dR por la Proposici´on 2.5.1 y que div(Rg) = dR. Probemos esto ´ultimo realizando tambi´en un desarrollo directo de la divergencia de Rg: div(Rg) = C23(∇(Rg)) = C23((∇R)g+R(∇g)) = C23((dR)g)≡ ≡(C23((dR)g))α=gµνgαµR;ν=δν αR;ν=R;α≡dR. Finalmente, veamos la expresi´on para Ric. Trabajemos a la inversa y veamos qu´e es C(G). A partir de la Definici´on 4.2.1: C(G) = C(Ric)−1 2RC(g)≡R−1 2Rgµνgµν =R−4 2R=−R. N´otese que, por definici´on, la contracci´on del tensor m´etrico ser´a siempre la dimensi´on de la variedad donde este se define. Despejando directamente de la Definici´on 4.2.1 y sustituyendo el resultado: Ric =G+1 2Rg =G−1 2C(G)g. Adem´as, la equivalencia formal de las expresiones es directa pues, teniendo en cuenta que el valor de la contracci´on del tensor de Ricci es R: G=Ric −1 2C(Ric)g. Concluy´endose as´ı el resultado.  Una vez construido el tensor Gdeseado, solo requerimos encontrar su relaci´on de proporcionalidad con T. Tal y como comentamos antes, no hay ninguna manera de demostrar formalmente o derivar esta relaci´on; simplemente podemos basarnos en la experiencia para encontrar el valor adecuado de la constante de proporcionalidad. Esto es exactamente lo que hizo Einstein, realizar varias pruebas comparando con la realidad experimental y as´ı determinar tanto la forma de Gcomo la constante de proporcionalidad entre este y T, dando lugar a las ecuaciones de campo: 81 Definici´on 4.2.2 (Ecuaci´on de campo de Einstein) En un espacio-tiempo Mcon materia modelada por un tensor energ´ıa-momento T, la relaci´on entre este tensor y el tensor de Einstein Gviene dada por la ecuaci´on de campo de Einstein: G=Ric −1 2Rg = 8πT. O equivalentemente, en notaci´on indexada Gµν =Rµν −1 2Rgµν = 8πTµν, con µyνvariando de 0 a 3. Estas ecuaciones — y decimos ecuaciones, puesto que a pesar de la simplicidad que puedan aparentar y parecer una sola ecuaci´on, la notaci´on indexada nos indica el n´umero de ecuaciones — modelan exactamente lo que quer´ıamos: la energ´ıa-momento a traves del tensor Tprovoca una curvatura en el espacio-tiempo modelada a trav´es de G. La gravedad, a trav´es de todos los objetos infinitesimales e instant´aneos que hemos desarrollado, ha pasado de ser una fuerza a convertirse en una consecuencia intr´ınseca de la geometr´ıa del espacio-tiempo donde se produce el movimiento. La constante de proporcionalidad propuesta, a pesar de no poder ser comprobada exactamente, ha sido validada a trav´es de numerosas comprobaciones experimentales como el perihelio de la ´orbita de Mercurio o la desviaci´on de rayos de luz por objetos masivos (lentes gravitacionales) — n´otese que la luz es afectada por la gravedad ya que aunque no tenga masa tiene energ´ıa-momento. Adem´as, esta constante se consolid´o forzando a que la RG en su l´ımite en gravedad d´ebil y velocidades peque˜nas respecto a cfuera equivalente a la teor´ıa de Newton. Recalcamos adem´as que, aunque como hemos dicho estas ecuaciones no puedan derivarse de ning´un principio, la forma de introducirlas no es siempre la que aqu´ı se ha elegido. Es com´un en la literatura que las ecuaciones de Einstein, en vez de presentarse como una definici´on, sean derivadas a trav´es del Principio de M´ınima Acci´on. Esto puede parecer contradictorio con lo que acabamos de comentar. Sin embargo, el Principio de M´ınima Acci´on, como su propio nombre indica, se basa en buscar m´ınimos de un funcional llamado acci´on, de modo que para poder buscar dichos m´ınimos primero debemos de construir este funcional. Es aqu´ı donde vuelve nuestro problema, puesto que, al igual que no hay un camino ´unico y formal para llegar a las ecuaciones de Einstein tal y como las hemos presentado en este documento, no existe tampoco dicho camino para construir este funcional — funcional de Einstein-Hilbert [4] — de modo que tendremos que volver a recurrir a la experiencia y a t´ecnicas heur´ısticas para determinar dicho objeto. Para acabar con la secci´on, haremos una breve discusi´on de c´omo funciona la ecuaci´on de campo y algunas implicaciones que podemos deducir de la misma. A trav´es de la ecuaci´on de campo se genera una retroalimentaci´on din´amica entre materia y espacio-tiempo. En este sentido, la materia le dice al espacio-tiempo c´omo curvarse 82 y el espacio-tiempo le dice a la materia c´omo moverse. Obs´ervese que este es el sentido natural en que las ecuaciones de Einstein deben usarse; construimos un tensor energ´ıa-momento que introducimos en la ecuaci´on de campo que nos devuelve c´omo el espacio-tiempo se curva y a trav´es de la condici´on div T = 0 deducimos c´omo el espacio-tiempo le dice a la materia c´omo moverse. Si se intentara usar la ecuaci´on de campo en sentido contrario, pr´actica no tan poco com´un en art´ıculos actuales (v´ease [1]), tenemos que percatarnos siempre de que el tensor energ´ıa-momento resultante tenga sentido f´ısico, pues no tiene por qu´e tenerlo en general. Sin embargo, siempre que esto se tenga en cuenta, este segundo m´etodo de proponer una m´etrica y encontrar un tensor energ´ıa-momento compatible es plausible 2. Finalmente, recalcamos que las ecuaciones de campo nos permiten entender mejor el significado f´ısico de Ty nos proporcionan un modo de definir el vac´ıo: Definici´on 4.2.3 (Vac´ıo) Diremos que un espacio-tiempo Mes un vac´ıo (o que est´a vac´ıo) cuando es Ricci llano; equivalentemente, cuando T≡0. A partir de esta definici´on, podemos ver que aunque no consideremos materia el espacio-tiempo presentar´a curvatura, puesto que ser´a Ricci llano — n´otese que si Tes cero lo ser´a Gy en consecuencia por la Proposici´on 4.2.1 lo ser´a Ric — pero esto no implica que Msea llano. En ocasiones, el concepto de vac´ıo se usa en la ecuaci´on de campo para determinar la geometr´ıa del espacio-tiempo “fuera” del objeto que genera la gravedad, como por ejemplo en la soluci´on de Schwarzschild para una estrella aislada que comentaremos muy brevemente en la siguiente secci´on. Podemos ver adem´as c´omo en Tes despreciable la contribuci´on de las part´ıculas cuyo movimiento es determinado a trav´es de las ecuaciones previas. 4.3. Motivaci´on para el estudio de la Causalidad: El Modelo FLRW y las singularidades Para acabar el cap´ıtulo, introducimos esta secci´on sobre modelos soluci´on de las ecuaciones de campo que nos permitir´an hacer un primer acercamiento a la idea de singularidad. Presentaremos esencialmente un desarrollo del modelo Friedmann-Lemaˆıtre- Robertson-Walker (FLRW) aunque haremos tambi´en una breve menci´on al modelo de Schwarzschild. Ambos modelos, a pesar de su gran importancia y uso en la f´ısica actual, son dos de las soluciones m´as simples de las ecuaciones de campo. Adem´as, aunque son soluciones completamente diferentes — la soluci´on FLRW modela el universo como un todo mientras que la soluci´on de Schwarzschild modela el campo gravitatorio producido 2N´otese adem´as que aunque no sea del todo relevante en nuestro desarrollo, tal y como adelant´abamos en el Cap´ıtulo 2, las ecuaciones de campo no tienen soluci´on ´unica. Por ello en el fondo estamos trabajando con clases de equivalencia a trav´es de isometr´ıas como en la Definici´on 2.1.4. V´ease [20] 83 por un cuerpo esf´erico masivo — ambas se encuentran directamente ligadas a trav´es del concepto de singularidad. Adelant´andonos un poco en nuestro desarrollo, podemos entender, por ahora, una singularidad como un punto donde el espacio-tiempo deja de tener sentido y en cierto modo la RG se rompe, i.e. las singularidades constituyen los l´ımites de la teor´ıa. As´ı, como veremos, en estas primeras soluciones simples de las ecuaciones de campo aparecen este tipo de anomal´ıas que limitan el uso de la RG a ciertas regiones del espacio-tiempo. Este hecho particular, que podr´ıamos permitirnos catalogar incluso de sorprendente, ser´a la motivaci´on esencial del desarrollo de la Teor´ıa de la Causalidad enfocado a los Teoremas de Singularidad y el nexo puro entre esta teor´ıa de car´acter puramente matem´atico y la propia f´ısica de la Relatividad General. El modelo FLRW, tal y como hemos adelantando, es un modelo cosmol´ogico, esto es, modela el universo como un todo. Adem´as, es un modelo cosmol´ogico din´amico, indic´andonos que el espacio-tiempo no es est´atico sino que podr´ıa sufrir expansiones o contracciones. Esta idea iba completamente en contra de las intuiciones que tuvo Einstein al trabajar inicialmente con la ecuaci´on de campo con un enfoque cosmol´ogico. A pesar de la forma de las ecuaciones de campo que hemos introducido en la Definici´on 4.2.2, Einstein pensaba que el universo deb´ıa de ser completamente est´atico en el tiempo, lo que le llev´o a incluir en sus ecuaciones la llamada constante cosmol´ogica Λ, resultando Rµν −1 2Rgµν + Λgµν = 8πTµν, con µyνde 0 a 3 como en la ecuaci´on que presentabamos inicialmente. Paralelamente, primero Friedmann entre 1922 y 1924, e independientemente, Lemaˆıtre en 1927, publicaban sus soluciones din´amicas a las ecuaciones de campo. Estas soluciones no fueron validadas hasta 1929, cuando el astr´onomo estadounidense Edwin Hubble prob´o experimentalmente la expansi´on del universo a trav´es del corrimiento al rojo de las galaxias. Fue en este a˜no cuando Einstein, seg´un la literatura, admiti´o haber cometido el mayor error de su vida y desech´o la constante cosmol´ogica3. Posteriormente, en los a˜nos 30, los matem´aticos Robertson y Walker consolidaron te´oricamente el modelo, dando lugar a lo que hoy conocemos como modelo Friedmann-Lemaˆıtre- Robertson-Walker debido a sus cuatro contribuidores. Para construir estas soluciones din´amicas del universo, tendremos que usar uno de los procedimientos de resoluci´on de las ecuaciones de campo que comentabamos en la Secci´on 4.2. As´ı pues, o construimos un tensor energ´ıa-momento y determinamos la geometr´ıa, o proponemos una geometr´ıa y determinamos si el tensor energ´ıa-momento es compatible f´ısicamente. En el caso del modelo FLRW hay cierto paralelismo entre ambos m´etodos como veremos seguidamente. 3En cosmolog´ıa actual la constante cosmol´ogica ha sido recuperada en las ecuaciones de campo con el fin de modelar lo que se conoce como energ´ıa oscura, tipo de energ´ıa ex´otica a la que se le atribuye la expansi´on del universo. Este modelo se conoce actualmente como modelo ΛCMD puesto que es un modelo FLRW pero con constante cosmol´ogica Λ y materia oscura fr´ıa (cold dark matter) [6]. 84 La idea esencial del modelado en la soluci´on FLRW se basa en el principio cosmol´ogico, principio experimentalmente confirmado que nos indica que el universo a gran escala es homog´eneo e is´otropo y que, por tanto, la forma en que se distribuyen las galaxias es en cierto modo uniforme. Este principio, junto con otras experiencias, nos permite proponer modelos simples tanto para la forma de la variedad espacio-temporal como para la materia que haya en ella. As´ı, la materia se puede modelar esencialmente como un fluido ideal cuyas “part´ıculas” ser´ıan las galaxias y cuyo flujo (velocidad) vendr´ıa dado por un campo vectorial temporal U. En cuanto a la variedad, se propone lo que se conoce como un universo bloque, esto es, un producto I×Scon Iun intervalo abierto de Rque representa el tiempo y Suna variedad tridimensional conexa que representa el espacio — recu´erdese el an´alisis del movimiento en 3 + 1 dimensiones que hicimos en la Secci´on 4.1. De este modo, parametrizando las galaxias como curvas en el tiempo, es decir, en la forma I×pcon p∈S, dado que U— n´otese que U=∂tpuesto que es d/dt en I pero visto en I×S— representa su velocidad, es claro que las galaxias son las curvas integrales de Uy que el tiempo definido a trav´es de Irepresenta el tiempo propio de las galaxias (observadores), de modo que Udebe ser unitario. Adem´as, por el principio cosmol´ogico, podemos suponer que el espacio en reposo de todas las galaxias es el mismo, Ues perpendicular a S(t) para cada t∈I, puesto que su movimiento a gran escala es despreciable; adem´as, buscaremos que Stenga curvatura kconstante y que cada aplicaci´on inyectiva de SaS(t) con t∈Ifijo sea una homotecia con escala a(t) — v´ease [18] para un an´alisis m´as detallado de estas ´ultimas ideas. Todas estas condiciones nos conducen a la idea de que el objeto matem´atico m´as adecuado para describir el espacio-tiempo bloque del modelo FLRW es un producto deformado (Definici´on 2.1.7). Esto nos lleva a la siguiente definici´on: Definici´on 4.3.1 (Espacio-tiempo de Robertson-Walker) Dada una variedad Riemanniana conexa tridimensional Scon curvatura (seccional) constante κ∈ {−1,0,1} y dada una funci´on diferenciable a > 0definida en un intervalo abierto I⊆R1 1, llamaremos espacio-tiempo de Robertson-Walker al producto deformado: M(κ, a) = I×aS. N´otese por tanto que la idea de universo bloque es exactamente la interpretaci´on 3 + 1 dimensional que hac´ıamos sobre I×Ssolo que tendremos que considerar esta variedad con elemento de l´ınea −dt2+a(t)2dσ2donde hemos denotado por dt2ydσ2a los elementos de linea de cada variedad por separado. Entendemos por tanto el universo como una sucesi´on de secciones espaciales a trav´es del tiempo solo que la geometr´ıa en cada secci´on espacial queda engarzada con el tiempo a trav´es de la funci´on a(t). En este sentido, la funci´on a(t) modela la expansi´on o contracci´on del universo con el tiempo, es decir, su din´amica, por lo que la llamaremos factor de escala. Su interpretaci´on es directa: a(t) valdr´a exactamente uno en el instante actual, un medio cuando el universo 85 era la mitad de grande, etc. Diremos adem´as que Ies maximal cuando ano pueda extenderse a una funci´on diferenciable en un intervalo m´as grande. En cuanto a la variedad S(la fibra), que en general se llamar´a espacio, suelen tomarse de forma est´andar R3,S3yH3debido a que son los simplemente conexos y a que tienen curvatura constante, 0, 1 y -1 respectivamente (Definici´on 2.4.5). Recalcamos finalmente que para que el espacio-tiempo de la Definici´on 4.3.1 sea en rigor un espacio-tiempo, en las condiciones del modelo FLRW que describ´ıamos antes, el flujo de las galaxias U tendr´a que estar dirigido al futuro. Recapitulando, podemos ver que en nuestro proceso de construcci´on de la soluci´on para las ecuaciones de campo, hemos propuesto el espacio-tiempo, en concreto el de Robertson-Walker, y adem´as hemos propuesto que la materia tiene que ser un fluido perfecto. Ahora bien, puede parecer que estamos siguiendo los dos procesos de resoluci´on de la ecuaci´on de campo a la vez. Sin embargo, no es esto lo que ocurre. Estamos siguiendo concretamente la ruta de proponer la geometr´ıa y deducir la compatibilidad f´ısica del tensor energ´ıa-momento, solo que estamos exigiendo que el tensor energ´ıa-momento tenga la “forma” de un fluido perfecto, pero no estamos construyendo o proponiendo expl´ıcitamente un tensor energ´ıa-momento concreto. Veamos exactamente qu´e entendemos en este contexto por fluido ideal para entender mejor lo que est´a ocurriendo. Definici´on 4.3.2 (Fluido ideal o perfecto) Un fluido ideal operfecto en un espaciotiempo Mes una terna (U, ρ, P)cumpliendo: Ues un campo vectorial temporal unitario en Mque apunta al futuro y que denominaremos campo vectorial de flujo o simplemente flujo cuando no conduzca a confusi´on. ρyPson funciones diferenciables en Mque denominaremos densidad de energ´ıa y presi´on, respectivamente. Denotando por U∗a la 1-forma metricamente equivalente a U, la terna de fluido ideal induce un tensor energ´ıa-momento de la siguiente forma: T= (ρ+P)U∗⊗U∗+Pg. Es claro que el flujo de la definici´on anterior es exactamente igual al que propon´ıamos durante toda la secci´on. Por otro lado, podemos interpretar f´ısicamente la forma del tensor energ´ıa-momento anterior. N´otese que la forma del tensor nos da tres propiedades esenciales que caracterizan un fluido ideal — si un tensor cumple estas propiedades tendr´a la forma de la Definici´on 4.3.2. Si tomamos un observador que se mueva con el flujo, este medir´a la densidad de energ´ıa T(U, U) = (ρ+P)U∗⊗U∗(U, U) + Pg(U, U) = (ρ+P)−P=ρ, 86 donde hemos usado la definici´on de U∗y que Ues temporal y unitario. Por otro lado, si tomamos campos vectoriales XeYperpendiculares a U,T(X, Y ) nos dar´a la componente Yde la presi´on a trav´es de la direcci´on X, T(X, Y ) = (ρ+P)U∗⊗U∗(X, Y ) + Pg(X, Y ) = Pg(X, Y ), donde hemos usado la ortogonalidad. Finalmente, si consideramos uno de estos campos y el propio U, obtendremos con T(U, X) la densidad de energ´ıa en direcci´on Xy con T(X, U) la densidad de la componente Xdel momento. Sin m´as que considerar la ortogonalidad: T(U, X) = (ρ+P)U∗⊗U∗(U, X) + Pg(U, X)=0, T(X, U) = (ρ+P)U∗⊗U∗(X, U) + Pg(X, U) = 0. Resultado completamente consistente con el hecho de que estemos considerando un fluido ideal — recordamos que en f´ısica cl´asica un fluido ideal se caracteriza por ser no viscoso, estacionario, incompresible y sin vorticidad. Una vez caracterizado el fluido ideal podemos volver a la resoluci´on de las ecuaciones de campo. Podemos ver ahora que, cl´aramente, como dec´ıamos, estamos introduciendo en la ecuaci´on de campo una m´etrica concreta y a partir de ella vamos a determinar un tensor energ´ıa-momento que tenga sentido f´ısico y, adem´as, le vamos a exigir que tenga la forma del tensor asociado a un fluido ideal de la Definicion 4.3.2. En este sentido, nuestra tarea ser´a encontrar qu´e funciones de densidad de energ´ıa y presi´on son compatibles con la m´etrica de Robertson-Walker y una vez consigamos esto tendremos el modelo soluci´on: espacio-tiempo y tensor energ´ıa-momento. Para demostrar esto ´ultimo usaremos el siguiente lema cuya demostraci´on podemos encontrar en [2]: Lema 4.3.1 En un espacio-tiempo de Robertson-Walker M(κ, a)con flujo U=∂t: Dados XeYcampos vectoriales ortogonales a U, el tensor de Ricci vendr´a dado por: •Ric(U, U) = −3a00/a, •Ric(U, X)=0, •Ric(X, Y ) = [2(a0/a)2+ 2κ/a2+a00/a]g(X, Y ). La curvatura escalar vendr´a dada por: R= 6[(a0/a)2+κ/a2+a00/a]. 93 dΩ2=dθ2+ sin2(θ)dϕ2el elemento de l´ınea angular. En esta expresi´on podemos observar dos singularidades, una en el cero y otra en el radio de Schwarzschild. La singularidad del radio de Schwarzschild, como se demuestra en [9], no es m´as que una singularidad coordenada, no es real, y est´a directamente relacionada con el hecho de que la soluci´on de Schwarzschild divida el espacio-tiempo en dos regiones: la regi´on exterior a la estrella y una zona interior que suele interpretarse como un primer modelo de agujero negro4. Siendo concretos, la soluci´on de Schwarzschild proporciona un espacio-tiempo con una zona exterior P1×rS2llamada espacio-tiempo de Schwarzschild y, una zona interior, P2×S2llamada agujero negro de Schwarzschild donde P1yP2denotan los semiplanos de R×R+de r > 2My 0 < r < 2M respectivamente. As´ı pues, la singularidad real es la que se encuentra en el cero, esto es, en el centro del agujero negro. De hecho, el significado f´ısico del radio de Schwarzschild es la m´axima distancia a la que un fot´on — part´ıcula de luz con masa cero y en ca´ıda libre — puede acercarse al agujero negro sin que este lo atrape; m´as all´a de esta frontera, que tambi´en suele conocerse como horizonte de sucesos del agujero negro, los fotones, y en consecuencia cualquier part´ıcula — recu´erdese que la velocidad de la luz es un l´ımite superior de velocidad — caer´an dentro del agujero negro sin poder escapar debido al poder gravitatorio de este, hasta caer inevitablemente a la singularidad (de aqu´ı el nombre de agujero negro). De hecho, esto no es m´as que una consecuencia de la perturbaci´on de la causalidad en el entorno del agujero negro; si recordamos los conos de luz del espacio-tiempo de Minkowski, el poder gravitatorio del agujero negro es tan grande que los curva en direcci´on a la singularidad. Al igual que ocurr´ıa en el modelo FLRW, la singularidad de la soluci´on de Schwarschild es, a priori, propia del modelo. Sin embargo, el hecho de que aparezcan singularidades en dos modelos tan diferentes y simples, nos puede dar un indicio de que las singularidades son algo mucho m´as general y com´un en la RG, y que no son una casualidad ligada a las m´ultiples suposiciones que se realizan en estos modelos. Adem´as, el hecho de que las singularidades est´en tan relacionadas con puntos donde convergen las trayectorias de las part´ıculas — en el modelo FLRW a trav´es del l´ımite a cero del factor de escala, y en el modelo de Schwarzschild, a trav´es del destino inevitable de todas las part´ıculas de caer a la singularidad — nos indica que la soluci´on a nuestra cuesti´on debe estar relacionada con un estudio de la forma en que se unen entre s´ı diferentes puntos del espacio-tiempo a trav´es de estas trayectorias o curvas con caracter causal, esto es, con la causalidad. Como veremos en el siguiente cap´ıtulo, la Teor´ıa de Causalidad resolver´a este enigma a trav´es de los Teoremas de Singularidad: el Teorema de Hawking, asociado a soluciones del tipo FLRW, y el Teorema de Penrose, asociado a soluciones del tipo Schwarzschild. 4En la actualidad el modelo de Schwarschild est´a obsoleto y pr´acticamente no se usa puesto que la suposici´on de m´etrica est´atica es muy poco realista. N´otese que todos los cuerpos rotan. Por ello, hoy en d´ıa hay mejores soluciones relacionadas con este fen´omeno como aquellas asociadas a los agujeros negros de Kerr o agujeros negros en rotaci´on [11]. 94 Cap´ıtulo 5 Causalidad en Variedades de Lorentz En las condiciones del final del cap´ıtulo previo, tal y como comentamos al inicio del documento, se gener´o gran controversia en el mundo de la f´ısica ligada a la verdadera posibilidad f´ısica de las singularidades. En la ´epoca en la que aparecieron las soluciones FLRW y de Schwarzschild, parec´ıa que nadie quer´ıa creer en la realidad f´ısica de estos objetos, incluso el padre de la teor´ıa, Albert Einstein, se mostraba reticente a aceptar que en el mundo real se produjeran dichos fen´omenos, y defend´ıa, al igual que la mayor parte de la comunidad, que dichas singularidades eran aberraciones matem´aticas debidas a las condiciones ideales impuestas en los modelos. En los a˜nos posteriores, gran parte de la comunidad abord´o el problema de las singularidades con el fin de demostrar precisamente este hecho, que las singularidades solo se produjeran en sistemas con alta simetr´ıa o condiciones especiales. En este contexto hist´orico, los f´ısicos norteamericanos Oppenheimer y Snyder publicaron su famoso art´ıculo On Continued Gravitational Contraction [19], en el que probaban que el colapso de determinadas estrellas podr´ıa provocar situaciones parecidas a las singularidades en el sentido de la soluci´on de Schwarzschild. Este hecho, que parec´ıa decantar la balanza hacia el lado contrario de lo que se cre´ıa hasta entonces, no hizo que los f´ısicos dejaran de buscar soluciones de las ecuaciones de campo con el fin de probar lo opuesto. De hecho, como comentamos en la introducci´on, se dieron casos, como el de los f´ısicos rusos Lifshitz y Khalatniikov, que incluso afirmaron haber probado que las singularidades solo se produc´ıan bajo distribuciones de energ´ıa y velocidades muy concretas. La situaci´on de crisis parec´ıa haber concluido con este ´ultimo resultado. Sin embargo, la desmotraci´on dada por estos cient´ıficos era, cuanto menos, dudosa. A priori, ya era dif´ıcil de esperar que se obtuviesen resultados generales en la forma en que se estaba abordando el problema desde la comunidad f´ısica: buscando m´as y m´as soluciones concretas de las ecuaciones de campo. En este tira y afloja conceptual, aparecieron las 95 96 figuras de Roger Penrose y Stephen Hawking, quienes, haciendo una abstracci´on mucho mayor del problema y atac´andolo con t´ecnicas m´as generales, consiguieron enunciar una serie de teoremas puramente matem´aticos que aseguraban la existencia de las singularidades bajo determinadas condiciones: los Teoremas de Singularidad. La l´ınea que siguieron Hawking y Penrose, como esboz´abamos en la secci´on previa, est´a basada en la causalidad. N´otese, como dijimos, la intuici´on detr´as de esta idea, pues es l´ogico abordar los problemas expuestos previamente estudiando c´omo se afectan causalmente, esto es, a trav´es de relaciones causa-efecto, diferentes eventos. Matem´aticamente, la manera de modelar c´omo se influencian entre s´ı diferentes puntos del espacio-tiempo es estudiar de forma general c´omo se unen diferentes puntos de la variedad espacio-temporal a trav´es de curvas con determinado car´acter causal. En este sentido, podremos entender una singularidad como un punto al que no “llegan” este tipo de curvas, es decir, un espacio-tiempo con singularidades — como veremos — ser´a una variedad geod´esicamente incompleta, ya sea en el sentido luminoso o en el sentido temporal — observadores o rayos de luz que no acaban debido a estos “fallos” en la estructura del espacio-tiempo. En este cap´ıtulo abordaremos la Teor´ıa de la Causalidad de una forma puramente matem´atica — directamente relacionada con la geometr´ıa — pero destinada a resolver el problema f´ısico de las singularidades llegando a los Teoremas de Singularidad. As´ı, aunque esta teor´ıa, de un modo exclusivamente matem´atico, ya sea rica y profunda, nuestro desarrollo estar´a enfocado en esta linea uniendo todas las ideas f´ısicas expuestas con estos resultados matem´aticos. En este sentido, denotaremos de aqu´ı en adelante por Ma un espacio-tiempo mdimensional — dejamos de restringirnos a 4 dimensiones por hacer un desarrollo lo m´as general posible — que ser´a la variedad a la que nos restringiremos en nuestro estudio de la causalidad. El cap´ıtulo se basar´a en los textos [5], [17], [18], [24]. 5.1. Relaciones y condiciones de causalidad. Separaci´on temporal En esta primera secci´on desarrollaremos los elementos b´asicos de la Teor´ıa de Causalidad, realizando una introducci´on lo m´as exhaustiva posible de todos los conceptos que necesitaremos posteriormente. Primero, estudiaremos las estructuras causales b´asicas que surgen de tomar las relaciones simples de conexi´on por curvas de diferentes caracter causal comentadas en la introducci´on. Posteriormente, introduciremos la separaci´on temporal que har´a las veces de distancia, permiti´endonos ver c´omo est´an separados los puntos del espacio-tiempo. Finalmente, caracterizaremos diferentes tipos de espaciotiempo en funci´on de las condiciones causales que cumplan, permiti´endonos establecer diferentes “grados” de causalidad en funci´on de lo fuertes o d´ebiles que sean estas condiciones. 97 Comencemos introduciendo las relaciones de causalidad en funci´on de c´omo se conectan entre s´ı los diferentes puntos del espacio-tiempo. Recu´erdese, tal y como vimos en el Cap´ıtulo 4, que los observadores en un espacio-tiempo se mueven a trav´es de curvas temporales dirigidas hacia el futuro y los rayos de luz no son m´as que geod´esicas luminosas. Por tanto, viendo c´omo se unen diferentes puntos a trav´es de curvas con diferentes caracter causal — curvas temporales y causales — estamos viendo exactamente c´omo dichos puntos se pueden influir entre s´ı de un modo f´ısico; esto es, estamos determinando su pasado y su futuro a trav´es de qu´e eventos le han sido o le ser´an accesibles a trav´es de relaciones causa-efecto. Tenemos por tanto la siguiente definici´on: Definici´on 5.1.1 (Relaciones de causalidad) Dados dos puntos pyqde un espaciotiempo M, diremos que: pest´a en el pasado cronol´ogico de q— de forma equivalente, qest´a en el futuro cronol´ogico de p— si existe una curva temporal dirigida al futuro empezando en p y acabando en q; denotaremos est´a relaci´on como p << q y el pasado cronol´ogico (resp. el futuro cronol´ogico) de un punto qcomo I−(q)(resp. I+(q)). pest´a en el pasado causal estricto de q—qest´a en el futuro causal estricto de p— si existe una curva causal dirigida al futuro empezando en py acabando en q; denotaremos est´a relaci´on como p<q. pest´a en el pasado causal de q—qest´a en el futuro causal de p— si p≤q, es decir, o p<q, o bien p=q. Denotaremos al pasado causal (resp. futuro causal) de un punto qcomo J−(q)(resp. J+(q)). Figura 5.1: Ejemplo: Futuros y pasados causales y cronol´ogicos de un conjunto Adel espacio de Minkowski bidimensional. N´otese que la definici´on anterior puede extenderse de forma trivial a un conjunto A sin m´as que considerar la uni´on de todos los pasados (futuros) cronol´ogicos o causales de cada punto de A. En este sentido, el conjunto I+(A) (I−(A)) ser´a el subconjunto de Mde los puntos que se relacionan temporalmente en el sentido de la definici´on anterior 98 con alg´un punto de A— con los conjuntos causales es exactamente igual. Recalcamos adem´as que es directo de la definici´on que I+(A)∪A⊂J+(A). T´engase en cuenta de aqu´ı en adelante que, debido a la simetr´ıa entre pasado y futuro, las demostraciones se har´an indistintamente para uno de los dos, teni´endose la demostraci´on equivalente sin m´as que revertir el tiempo. Recordando la Proposici´on 3.3.1 podemos establecer adem´as una estrecha relaci´on entre los conjuntos previos ya que: Corolario 5.1.1 Dados p, q, r ∈Msi p << q,q≤p(o p≤q) y q << r entonces p << r. Equivalentemente, dado un subconjunto Ade Mentonces I+(A) = I+(I+(A)) = I+(J+(A)) = J+(I+(A)) ⊂J+(J+(A)) = J+(A). Haciendo referencia una vez m´as al Cap´ıtulo 3, si recordamos la estructura que se generaba en el espacio de Minkowski R4 1debido al caracter causal de los vectores, podemos ver ahora que los conjuntos que all´ı interpret´abamos como futuro y pasado son exactamente los futuros y pasados temporales y causales en el sentido de la definici´on anterior. La causalidad en el espacio de Minkowski, como vimos, es bastante sencilla y, adem´as, sabemos como hemos recalcado varias veces en el documento que todo espaciotiempo puede aproximarse localmente por el espacio de Minkowski (en la dimensi´on adecuada). El siguiente resultado nos va a permitir sacar provecho de estas circunstancias pues, si consideramos un subconjunto abierto de Mcon sus relaciones de causalidad intr´ınsecas, estas relaciones determinar´an la causalidad en M. En particular, si el subconjunto tomado es convexo (en el sentido usual), tendremos unas relaciones de causalidad tan simples como en el espacio de Minkowski. De aqu´ı en adelante llamaremos ~pq a la ´unica geod´esica que une los puntos p, q ∈ C⊂Mcon Cabierto y convexo, y tal que dicha geod´esica est´e contenida en C. Adem´as, cuando tratemos la causalidad de forma local ser´a usual la notaci´on I+(A, U) = I+(A)∩Udonde U⊂A⊂M. Lema 5.1.1 Dado un subconjunto convexo abierto C⊂M, entonces: 1. Para p6=q∈C,q∈J+(p, C)(tambi´en se da para el futuro temporal) si y solo si ~pq es causal y apunta al futuro. 2. I+(p, C)es abierto en Cy, por tanto, en M. 3. J+(p, C)es la clausura de I+(p, C)en C. 4. La relaci´on ≤es cerrada en Csi dadas {pn} → py{qn} → qcontenidas en C con qn∈J+(pn, C)para todo n, entonces q∈J+(p, C). 5. Una curva causal αen un compacto K⊂Ces extendible (de forma continua). 99 Demostraci´on: Las tres primeras propiedas no las probamos pues dependen de resultados acerca de la aplicaci´on exponencial que se alejan bastante del contenido del documento y alargar´ıan mucho su extensi´on. Estas propiedades y una demostraci´on de estos puntos se pueden encontrar en [24]. Para la cuarta propiedad solo tenemos que considerar la aplicaci´on que va de C× C→TM que lleva cada par (p, q) al vector ~pq0(0) que claramente (es una comprobaci´on directa) es continua. Aplicando 1 tenemos el resultado. Probemos la quinta propiedad. Para ello, supongamos que el dominio de αes de la forma [0, t) con tpudiendo ser infinito. Para probar que es extendible, dada cualquier sucesi´on {sn}que tienda a t, toda sucesi´on {α(sn)}tiene que converger al mismo punto p∈K. La existencia de estas sucesiones es clara, pues Kes compacto. Veamos que todas tienden al mismo p. Supongamos que una de ellas tiende a un q6=p. Esto significar´ıa que, en cierto modo, αse mover´ıa de paqyendo y volviendo al ser ambos l´ımites. Ahora bien, si aplicamos el punto 4 tendr´ıa que cumplirse q∈J+(p, C) y que p∈J+(q, C), pero es claro, aplicando 1 que entonces ~pq tendr´ıa que apuntar al futuro y al pasado lo cual es imposible.  En general, a diferencia de como ocurr´ıa en el espacio de Minkowski, J+(A) no es cerrado. Sin embargo, s´ı podemos generalizar el punto 2 del lema anterior viendo que I+(A) es siempre abierto. Adem´as podemos asegurar que J+(A) es cerrado si Aes compacto. De hecho tenemos los siguientes resultados generales que nos permiten comparar la causalidad de Minkowski con una general: Lema 5.1.2 Dado un conjunto A⊂Mcompacto en el que ≤es cerrada, entonces J+(A)es cerrado. Demostraci´on: Sea {qn}nuna sucesi´on en J+(A) que converge a q∈M. Por definici´on, existir´a una ´unica sucesi´on {pn}nen Atal que pn≤qnpara todo n. Como Aes compacto, cogiendo una subsucesi´on convergente es directo que la sucesi´on de pn converge a un p∈A. Ahora bien, como ya hemos probado, la relaci´on ≤es cerrada y, consecuentemente, p≤q. As´ı, hemos probado que J+(A) es cerrado pues qest´a en ´el con lo que concluye la demostraci´on.  Lema 5.1.3 Dado un espacio-tiempo M: 1. La relaci´on << es abierta. Dados dos puntos p, q ∈Mcon p << q entonces para puntos p0yq0en entornos de pyqrespectivamente se tiene que p0<< q0. 2. int(J+(A)) = I+(A)para cualquier A⊂M. 100 3. J+(A)⊂I+(A)d´andose la igualdad si y solo si J+(A)es cerrado para cualquier A⊂M. Demostraci´on: Comencemos probando el primer punto. Sea αuna curva temporal de paq. Si Ces un entorno convexo de q, tomemos un punto q−de Csobre αprevio aq. Del mismo modo, dado un entorno convexo C0de p, tomemos un punto p+de C0 sobre αentre pyq−. Aplicando el Lema 5.1.1 tenemos que I+(q−, C) y I−(p+, C) son abiertos en My por tanto son los entornos de pyqcon las caracter´ısticas que queremos. Para la demostraci´on de 2 usemos doble inclusi´on. Ya sabemos que I+(A) es abierto por 1 y ya sab´ıamos que est´a contenido en J+(A) y consecuentemente en int(J+(A)). Tomemos ahora un q∈int(J+(A)). Si consideramos un entorno convexo Cde qentonces es claro que I−(q, C) contiene un punto de J+(A) y consecuentemente q∈I+(J+(A)) ⊂ I+(A). Finalmente, probemos 3. Veamos la contenci´on (nos basta considerar un ´unico pun- to). Es claro que p∈I+(p); por tanto tomemos p<q. Si consideramos ahora una curva αcausal y apuntando al futuro de paqy tenemos un entorno Cde qconvexo, tomemos un punto q−de αen J−(q, C). Aplicando ahora de nuevo el Lema 5.1.1 la cadena de inclusiones es clara pues q∈J+(q−, C)⊂I+(q−, C) pero I+(q−, C)⊂I+(J+(p)) ⊂I+(p) y por tanto q∈I+(p). Tenemos as´ı el resultado pues la condici´on de igualdad es directa ya que ten´ıamos que I+(A)⊂J+(A).  Podemos concluir junto con el siguiente resultado — consecuencia directa del Teorema 3.3.5 — que J+(A) es una uni´on de Acon su futuro temporal y, en ocasiones, de curvas luminosas de A. Corolario 5.1.2 Si αes una curva causal que apunta al futuro de A⊂Ma un punto q∈J+(A)−I+(A), entonces es una geod´esica luminosa que no interseca a I+(A)y que no tiene puntos focales antes que q. Una vez vista la estructura causal general de un espacio-tiempo necesitamos un objeto que nos permita caracterizar de alg´un modo la separaci´on entre puntos dentro de este, es decir, una especie de generalizaci´on de distancia. Definici´on 5.1.2 (Separaci´on temporal) Dado un espacio-tiempo Mllamaremos separaci´on temporal odistancia Lorentziana entre dos puntos pyqa la aplicaci´on τ:M×M→[0,+∞]definida como: τ(p, q) =    0si Cc pq =∅, sup L(α), α ∈Cc pqsi Cc pq 6=∅, donde Cc pq denota el conjunto de todas las curvas causales diferenciables a trozos y dirigidas al futuro que unen pyq. 101 Si recordamos el tiempo propio de un observador que introdujimos en el Cap´ıtulo 4, podemos interpretar la separaci´on temporal — cuando se toma el supremo — como el tiempo m´aximo que tarda un observador en un viaje de paq. En este sentido, haciendo una comparaci´on entre este objeto m´etrico o pseudodistancia con la distancia que solemos considerar de forma cl´asica (no hemos introducido una distancia Riemanniana pero la generalizaci´on es directa) podemos ver que, mientras la distancia usual se minimiza, la separaci´on temporal se maximiza. N´otese que la separaci´on temporal no es sim´etrica debido al hecho de estar relacionada con una orientaci´on temporal. Proposici´on 5.1.1 Dados tres puntos p,qyrde un espacio-tiempo M. Entonces: 1. τ(p, q)>0⇔p << q. 2. τ(p, p) = ∞si existe una curva temporal diferenciable a trozos que una a pconsigo mismo y, en caso contrario, valdr´a cero. 3. τno es sim´etrica, es decir, si 0< τ(p, q)<∞entonces τ(q, p) = 0. 4. τcumple la desigualdad triangular inversa: si p≤q≤r, entonces τ(p, q) + τ(q, r)≤τ(p, r). Demostraci´on: El primer punto es directo de la propia definici´on de I+(p) (resp. I−(p)). Para el segundo, supongamos que existe una curva temporal diferenciable a trozos dirigida hacia el futuro αque una pcon p. A partir de ella, dado que por ser temporal su longitud es siempre estrictamente positiva, podemos crear otras k∈Ncurvas αkque unan pcon pcumpli´endose que τ(p, p)≥L(αk) = kL(α)→+∞(ya que las estamos concatenando entre s´ı). En el caso de que no existiera dicha curva temporal pueden darse dos casos: o no existe ninguna curva causal dirigida al futuro que una pcon p y por tanto la separaci´on temporal es cero o, si existe dicha curva causal debido a la Proposici´on 3.3.1 no puede ser temporal en alg´un punto y por tanto la separaci´on vuelve a ser cero. Para ver que τno es sim´etrica, basta usar el resultado previo ya que si se da la condici´on del punto 3 no puede existir ninguna curva causal dirigida al futuro que una qcon pporque, de ser as´ı, podr´ıamos concatenar dicha curva con otra temporal que fuera de paqy la separaci´on temporal entre estos ser´ıa infinita. Probemos finalmente la desigualdad triangular. Si existen curvas causales dirigidas al futuro αque une pcon qyβque una qcon r, podemos tomar un  > 0 tal que las longitudes de αyβest´en entre /2τ(p, q) y /2τ(q, r). Tenemos entonces que τ(p, r)≥L(α+β)≥τ(p, q) + τ(q, r)−, 102 teni´endose el resultado. En el caso de que no existan dichas curvas la separaci´on temporal es claramente cero y el resultado se da trivialmente.  N´otese c´omo, aunque no hayamos introducido ya condiciones de causalidad sobre el espacio-tiempo, las propiedades de τpr´acticamente nos lo exigen, pues van en contra de muchas intuiciones f´ısicas. Por ejemplo, el hecho de que la separaci´on temporal entre un punto y ´el mismo sea infinita es completamente il´ogico desde un punto de vista f´ısico, pero n´otese que estamos diciendo que se puede unir consigo mismo a trav´es de una curva temporal lo cual tambi´en es bastante problem´atico desde el punto de vista f´ısico pues nos podr´ıa llevar a paradojas causales. Otra propiedad importante de la separaci´on temporal es que no es continua en general; solo podemos asegurar que es semi-continua por debajo (inferiormente). Proposici´on 5.1.2 La separaci´on temporal τes una funci´on semi-continua inferiormente. Demostraci´on: Nos centramos en el caso en que la separaci´on temporal es positiva pues si es cero no hay nada que probar. Dada una curva causal dirigida al futuro αque una pcon qtenemos que probar que l´ım infk→∞ τ(pk, qk)≥L(α). Sin p´erdida de generalidad supongamos que |α0|<1, cojamos un ∈(0, L/2) donde Ldenota el extremo superior del dominio de αy consideremos p=α(/2) y q=α(L−/2). Como {pk}tender´a a p∈I−(p) y {qk}aq∈I+(q), recordando que los futuros y pasados cronol´ogicos son abiertos, podemos deducir que pk∈I−(p) yqk∈I+(q) para todo kmayor igual que cierto k. Por tanto, para m≥m L(α)≤τ(p, q) + ≤τ(pk, p) + τ(p, q) + τ(qk, q) +  ≤+τ(pk, qk), donde hemos usado la desigualdad triangular para deducir la ´ultima desigualdad. Tomando l´ımite inferior tenemos el resultado.  Llegados a este punto, presentaremos los diferentes tipos de condiciones de causalidad que le podemos pedir al espacio-tiempo. La motivaci´on de estas condiciones suele nacer de ideas puramente l´ogicas o intuiciones f´ısicas como que no puedan existir curvas temporales o causales cerradas. Sin embargo, como veremos a continuaci´on, estas condiciones pueden ser mucho m´as complicadas y antintuitivas. Definici´on 5.1.3 (Condiciones de causalidad) Dado un espacio-tiempo Mdiremos que es: cronol´ogico, si no existe ninguna curva temporal cerrada en M. 109 disjuntos y por tanto la frontera es acronal; n´otese que hemos probado que I+(p)⊂F y equivalentemente I−(p)⊂M−F. Nos queda probar que es hipersuperficie topol´ogica. De esta misma deducci´on, podemos ver c´omo la frontera (que es cerrada) tiene borde vac´ıo pues I+(p)⊂int(F) y I−(p)⊂int(F) para todo punto de la frontera. Vamos a probar pues que un conjunto es hipersuperficie topol´ogica cerrada si y solo si su borde es vac´ıo. La implicaci´on a derecha es clara pues por la Proposici´on 5.2.1 nos dice que si A es hipersuperficie topol´ogica entonces es disjunta de su borde pero, al ser cerrada, la clausura est´a contenida en el conjunto (y los bordes en la clausura) por tanto, el borde es vac´ıo. Para la implicaci´on a izquierda, como la clausura tambi´en es acronal, si tomamos un punto que pertenezca a la clausura de Asin el propio Aes claro que una curva que pase por ´el nunca cortar´a a Ateniendo que pertenecer al borde de A. Por tanto A−A est´a contenido en el borde y Aes cerrado.  El resultado previo vuelve a asegurarnos, como ya sab´ıamos, que los conos de luz en el espacio de Minkowski son hipersuperficies topol´ogicas (no diferenciables) acronales y cerradas, ya que son la frontera del futuro (o del pasado) causal. Llegados a este punto podemos introducir las hipersuperficies de Cauchy. Definici´on 5.2.5 (Hipersuperficie de Cauchy) Dado un espacio-tiempo M, una hipersuperficie de Cauchy es un subconjunto Sque es intersecado exactamente una vez por toda curva temporal inextendible de M. Destacamos que una hipersuperficie de Cauchy viene a ser, desde un punto de vista f´ısico, como la mayor abstracci´on de la idea de “instante de tiempo”; esto es, podemos estudiar la evoluci´on temporal en un espacio-tiempo pasando de una superficie de Cauchy a otra. En este sentido, al igual que antes, las rodajas de espacio a tiempo constante en el espacio de Minkowski son hipersuperficies de Cauchy; sin embargo el cono de luz que tambi´en era acronal e hipersuperficie no lo es. De hecho, aunque parezca completamente il´ogico, como veremos m´as adelante, no todo espacio-tiempo incluye una hipersuperficie de Cauchy. Antes de continuar con el desarrollo introducimos el concepto de retracci´on a una hipersuperficie de Cauchy a trav´es de un campo vectorial, que ser´a de utilidad en la demostraci´on del Teorema de Penrose. Definici´on 5.2.6 (Retracci´on) Dados una hipersuperficie de Cauchy Sy un campo vectorial temporal Xcuya curva integral m´axima toca a Sen un ´unico punto, llamaremos retracci´on sobre la hipersuperficie de Cauchy Sasociada al campo vectorial Xa la aplicaci´on ρ:M→Sque es continua, deja Sinvariante punto a punto y que definimos 110 como ρ:π◦ψ−1siendo π:R×S→Sla proyecci´on natural y ψ−1la inversa del flujo de Xrestringido a S×R. Al principio de la secci´on adelant´abamos que las hipersuperficies de Cauchy ser´ıan acronales. Sin embargo, no lo hemos explicitado en la definici´on. De hecho, las hipersuperficies de Cauchy ser´an hipersuperficies topol´ogicas cerradas y reforzaremos su caracterizaci´on viendo que no solo son intersecadas por curvas temporales sino causales. Para probar esto nos valdremos del siguiente lema t´ecnico, conocido como Lema de la evasi´on, cuya demostraci´on puede encontrarse en [24], [18]. Lema 5.2.1 (Lema de la evasi´on) Sea Cun conjunto cerrado y αuna curva causal inextendible hacia el pasado que empieza en un punto p∈My que no corta a C. Entonces: Dado q∈M, si q∈I+(p, M −C)entonces existe una curva temporal inextendible hacia el pasado que empieza en qy que no corta a C. Si αes una geod´esica nula sin puntos conjugados, existe una curva temporal inextendible hacia el pasado que empieza en α(0) y que no corta a C. Proposici´on 5.2.2 Una hipersuperficie de Cauchy Ses una hipersuperficie topol´ogica acronal y cerrada que es cortada por todas las curvas causales inextendibles. Demostraci´on: La demostraci´on es directa usando el Corolario 5.2.1 y d´andonos cuenta de lo siguiente: de la propia definici´on de Spodemos deducir trivialmente que M debe estar constituido por uniones disjuntas de hipersuperficies de Cauchy, sus futuros y sus pasados cronol´ogicos. As´ı pues, como cualquier curva temporal que pase por S va a pasar tambi´en por su futuro y su pasado cronol´ogico, podemos deducir que Ses la frontera com´un a ambos concluy´endose que Ses hipersuperficie topol´ogica acronal cerrada. Veamos finalmente que es intersecada exactamente una vez por toda curva causal. Trabajando por reducci´on a la absurdo, supongamos que existe una curva causal αque no interseca a Sy supongamos, sin p´erdida de generalidad, que empieza en un punto de I+(S). Por el lema de la evasi´on, debe existir una curva temporal inextendible hacia el pasado γque empieza en I+(S) y evade S. La contradicci´on ahora es clara, pues basta coger cualquier curva temporal que apunte al futuro (que debe quedarse para siempre en I+(S)) y concaten´andola con γtenemos una curva temporal inextendible que no corta a S, lo cual es totalmente incompatible con la definici´on de superficie de Cauchy con lo que se concluye la demostraci´on.  A pesar de que al principio de la secci´on adelant´abamos que las hipersuperficies de Cauchy nos permitir´ıan dar una caracterizaci´on de los espacios globalmente hiperb´olicos, damos por concluida la secci´on con el resultado previo, pues, para llegar a dicha 111 caracterizaci´on necesitamos construir nuevas estructuras causales que presentaremos en la siguiente secci´on. 5.3. Dominios de dependencia y horizontes de Cauchy En la l´ınea de la secci´on previa, en este apartado del documento seguiremos introduciendo nuevas estructuras causales que nos permitir´an, en primer lugar, llegar a la caracterizaci´on de la hiperbolicidad global que promet´ıamos antes y, en segundo lugar, conseguir todos los resultados expl´ıcitamente necesarios en las demostraciones de los Teoremas de Singularidad. Podemos interpretar el desarrollo de esta pen´ultima secci´on como un preludio a dichos teoremas. Comenzaremos definiendo los dominios de dependencia que constituir´an el paso intermedio entre las hipersuperficies de Cauchy y la caracterizaci´on de la hiperbolicidad global a trav´es de estas. Definici´on 5.3.1 (Dominio de dependencia) Dado un subconjunto acronal Ade un espacio-tiempo Mllamaremos dominio de dependencia futuro D+(A)(resp. pasado D−(A)) de Aal conjunto de los puntos pde Mtales que toda curva causal inextendible hacia el pasado (resp. futuro) que pasa por ellos corta a A. Llamaremos dominio de dependencia del conjunto Aa la uni´on de los dominios de dependencia futuro y pasado: D(A) = D−(A)∪D+(A). La interpretaci´on f´ısica de los dominios de dependencia es bastante clara de su propia definici´on — y de su propio nombre — ; simplemente tenemos que percatarnos de que el propio Aest´a contenido en su dominio de dependencia futuro (o pasado). De este modo, es claro que ninguna curva temporal o causal inextendible hacia el pasado puede llegar al dominio de dependencia sin antes haber pasado por A, es decir, ning´un observador o rayo de luz puede llegar a este conjunto sin pasar por Aestableci´endose una dependencia causal directa entre Ay este conjunto. As´ı pues, el dominio de dependencia no es m´as que el conjunto de eventos que estar´an en el futuro (causal) de Ay que son predecibles f´ısicamente desde A. Figura 5.2: Ejemplos de dominios de dependencia. 112 Notemos adem´as, despues de est´a definici´on, por qu´e las hipersuperficies de Cauchy son tan importantes. Recordando la caracterizaci´on previa de las hipersuperficies de Cauchy como hipersuperficies topol´ogicas acronales cerradas que son intersecadas por toda curva causal, podemos deducir inmediatamente que, debido a esta ´ultima propiedad, el dominio de dependencia de una hipersuperficie de Cauchy es el espacio-tiempo completo. Este hecho nos permite formalizar la idea que adelant´abamos cuando explic´abamos la intuici´on f´ısica detr´as de las hipersuperficies de Cauchy ya que, formalmente, podemos predecir cualquier evento en el espacio-tiempo coloc´andonos sobre una hipersuperficie de Cauchy (en un instante de tiempo). Dualmente, podemos interpretar el dominio de dependencia de un conjunto Acomo el conjunto m´as grande donde Ase comporta como una hipersuperficie de Cauchy. En relaci´on a todo lo que estamos comentando, podemos deducir — directamente de la definici´on — algunas igualdades conjuntistas para los dominios de dependencia que ponen de manifiesto estas propiedades. As´ı pues, si intersecamos los dominios de dependencia futuro y pasado, el resultado ser´a el propio conjunto, ya que solo el mismo es predecible desde ´el hacia el futuro y el pasado: D+(A)∩D−(A) = A— esta igualdad se deduce de forma directa, tanto de la idea comentada, como del hecho de que D+(A)⊂ A∪I+(A)⊂J+(A) y que Aes acronal. Otra propiedad interesante en el mismo sentido es que si al dominio de dependencia futuro le quitamos el propio conjunto Asolo nos queda la parte del dominio de dependencia que interseca al futuro cronol´ogico. Los dominios de dependencia nos proporcionan el siguiente resultado que nos dar´a la caracterizaci´on de espacios globalmente hiperb´olicos. Teorema 5.3.1 Si Aes un conjunto acronal, entonces int D(A)es globalmente hiperb´olico (siempre que no sea vac´ıo). La demostraci´on del teorema, aunque interesante, ya que usa todos los conceptos que hemos desarrollado hasta ahora, es excesivamente larga para la extensi´on de un documento de este tipo y no aporta nada nuevo en relaci´on a las demostraciones que estamos realizando. Puede consultarse en los textos indicados al comienzo del cap´ıtulo. A partir del teorema, sin m´as que tener en cuenta la relaci´on previa entre hipersuperficies de Cauchy y dominios de dependencia, nos da la siguiente caracterizaci´on — n´otese que si Ses hipersuperficie de Cauchy, D(S) = M, como ya hemos dicho y, trivialmente, intD(S) = M, pudi´endose aplicar el teorema. Corolario 5.3.1 Si un espacio-tiempo Mtiene una hipersuperficie de Cauchy entonces es globalmente hiperb´olico. El resultado previo puede extenderse a un si y solo si a trav´es de t´ecnicas bastantes m´as complejas que pueden consultarse en [7]. 113 Podemos concluir por tanto que un espacio es globalmente hiperb´olico si y solo si contiene una hipersuperficie de Cauchy. A trav´es de esta caracterizaci´on podemos volver a ver c´omo es bastante l´ogico, desde un punto de vista f´ısico, que nuestro espacio-tiempo sea globalmente hiperb´olico ya que, como es usual, suponemos que al fijar un instante de tiempo (una rodaja de espacio) podemos predecir todos los eventos en el futuro, es decir, existe una hipersuperficie de Cauchy. La discusi´on que aqu´ı realizo no es en absoluto formal. Sin embargo, a trav´es de resultados posteriores podremos asegurar que un espacio de Robertson-Walker — que suponemos que modela bastante bien nuestro universo — contiene una hipesuperficie de Cauchy y es, por tanto, globalmente hiperb´olico. Antes de adentrarnos en estos resultados, veamos un teorema sobre dominios de dependencia que ser´a esencial en la demostraci´on del Teorema de Singularidad de Hawking. Para la demostraci´on del teorema necesitamos dos lemas previos. Presentamos uno con demostraci´on y otro sin ella una vez m´as debido a su extensi´on — cons´ultese la bibliograf´ıa recomendada. Lema 5.3.1 Dado un conjunto acronal A, si ppertenece a intD(A)−I−(A), entonces J−(p)∩D+(A)es compacto. Demostraci´on: Si ppertenece a A, el conjunto se reduce solo al propio p, as´ı que supongamos que p∈I+(A)∩intD(A). Dentro de J−(p)∩D+(A) consideremos una sucesi´on {xn}y, para cada n,αnuna curva causal apuntando al pasado que una xn con p. En estas condiciones, por la Proposici´on 5.1.3 sabemos que existe una sucesi´on l´ımite de la sucesi´on generada por dichas curvas. En particular, si dicha sucesi´on es finita podemos concluir que {xn}converge y hemos acabado en virtud del Lema 5.1.4 — n´otese que es directo que el l´ımite debe estar en el conjunto que queremos. Si la sucesi´on es infinita, el cuasi-l´ımite asociado es inextendible y tocar´a a Aen alg´un punto, pudi´endose deducir que xnpara alg´un nest´a en I−(A) por lo que se llega a contradicci´on — ya que podemos construir una subsucesi´on adecuada que corte a A m´as de una vez — con el hecho de que Aes acronal.  Lema 5.3.2 Dado un espacio-tiempo M, si Ses una hipersuperficie topol´ogica acausal, entonces D(S)es abierto y, consecuentemente globalmente hiperb´olico. Una vez vistos los lemas, enunciemos y probemos el teorema. Recalcamos que el desarrollo aqu´ı seguido no es ´unico; de hecho, para la demostraci´on del Teorema de Hawking pueden seguirse pasos parecidos a los que estamos realizando sin tener que entrar en estructuras causales m´as all´a de la hipersuperficie de Cauchy — a trav´es del Teorema de Avez-Seifert [24]. La l´ınea argumental seguida en el documento se debe a que estos conjuntos tienen una mayor riqueza desde un punto de vista f´ısico, sin perder el inter´es matem´atico, mientras que la otra l´ınea tiene un dificil acercamiento desde la f´ısica. 114 Teorema 5.3.2 Dada una hipersuperficie espacial acronal cerrada Sen un espaciotiempo M, si qpertenece a D+(S), entonces existe una geod´esica γde Saqde longitud τ(S, q)y consecuentemente γes normal a Sy no tiene puntos focales en Sprevios a q. Demostraci´on: Antes de comenzar la demostraci´on n´otese que γes temporal excepto en el caso trivial de que q∈S; adem´as debido a la simetr´ıa temporal tendremos tambi´en el resultado en el caso dual extendi´endose a todo el dominio de dependencia. Para la demostraci´on, del lema anterior podemos deducir directamente que D(S) es abierto y globalmente hiperb´olico. Adem´as del Lema 5.3.1 podemos deducir que J−(q)∩Ses compacto (ya que lo es J−(q)∩D+(S)). Adem´as, como tenemos que es globalmente hiperb´olico, sabemos que la separaci´on temporal es continua (Lema 5.1.5) y por el Teorema de Weierstrass alcanza un m´aximo que es exactamente τ(S, q). La existencia de la geod´esica con esta longitud nos la proporciona la Proposici´on 5.1.4. La normalidad y la imposibilidad de que haya puntos focales nos la dan el Corolario 3.3.2 y el Teorema 3.3.4 respectivamente — t´engase en cuenta, como aclaramos al principio, que si qno est´a en Sentonces p << q y tenemos que la curva es temporal.  Para acabar la secci´on, introducimos la ´ultima estructura causal que nos ser´a necesaria: el horizonte de Cauchy. Relacionando este objeto con los dominios de dependencia obtendremos un resultado de vital importancia en la demostraci´on del Teorema de Hawking. Adem´as, esta estructura nos permitir´a determinar que el espacio de Robertson- Walker es, como adelant´abamos, globalmente hiperb´olico. El horizonte de Cauchy, hablando burdamente, no es m´as que el l´ımite en el futuro del dominio de dependencia, es decir, si el horizonte de Cauchy (futuro) no es vac´ıo entonces existe una zona a partir de la cual el futuro del conjunto no es predecible desde el propio conjunto. Formalmente, como veremos de la propia definici´on, el horizonte de Cauchy (futuro) no es m´as que la frontera futura del dominio de dependencia. Figura 5.3: Ejemplo de una hipersuperficie espacial Σ con su dominio de dependencia y su horizonte de Cauchy. Definici´on 5.3.2 (Horizonte de Cauchy) Dado un conjunto acronal A, llamaremos horizonte de Cauchy futuro de Aal conjunto H+(A) = D+(A)−I−(D+(A)) = np∈D+(A)tal que I+(p)interseca con D+(A)o. 115 De forma dual, definimos exactamente igual el horizonte de Cauchy pasado de A, H−(A)y llamaremos horizonte de Cauchy de Aa la uni´on de ambos H(A) = H−(A)∪ H+(A). Seguidamente presentamos los resultados necesarios anteriormente mencionados con sus demostraciones. Lema 5.3.3 Dado un conjunto acronal cerrado A, la clausura de su dominio de dependencia futuro D+(A)coincide con el conjunto formado por todos los puntos ptales que toda curva temporal inextendible hacia el pasado que pasa por ellos corta al conjunto A. Demostraci´on: Llamemos al conjunto del enunciado By procedamos por doble inclusi´on. Veamos primero que la clausura est´a en B. Para ello tomemos un p∈D+(A)−B y busquemos una contradicci´on. En estas condiciones, existe una curva temporal inextendible hacia el pasado que empieza en py que evade a Apor lo que pno pertenece aAy existir´a un entorno convexo Cde dicho punto que no interseque con A. Si nos movemos hacia atr´as en la curva sin salirnos de Chasta un punto tes claro que I+(t, C) contiene a py que por tanto q∈D+(A). Veamos que esto ´ultimo es imposible pues si tomamos una geod´esica que una qcon tdentro del convexo y la concatenamos con el resto de la curva inicial tendremos una nueva curva temporal inextendible hacia el pasado que no toca a A. Para la segunda inclusi´on veamos que si un punto pno pertenece a la clausura entonces no pertenece a B. Esto tambi´en es directo por resultados previos pues, si tomamos t∈I−(p, M −D+(A)), existe una curva causal inextendible hacia el pasado que empieza en py que no toca a A. El resultado se sigue trivialmente del Lema de la evasi´on.  Proposici´on 5.3.1 Sea Aun conjunto acronal cerrado. Entonces ∂D+(A) = A∪ H+(A). Demostraci´on: Demostramos de nuevo por doble inclusi´on. La inclusi´on a la izquierda es trivial por definici´on del horizonte de Cauchy sin m´as que considerar que Aes acronal. Para la siguiente inclusi´on trabajaremos como en la demostraci´on del lema previo suponiendo que p∈∂D+(A)−A−H+(A) y llegando a contradicci´on. Si ppertenece a este conjunto, en particular pertenece a ∂D+(A)−Ay a ∂D+(A)−H+(A), pudi´endose deducir de lo primero (por el Lema 5.3.3) que p∈I+(A), y de lo segundo que existe un q∈I+(p)∩D+(A). Sin m´as que tener en cuenta que I+(A)∩I−(q) es un entorno de p, tirando hacia detr´as, llegamos a contradicci´on con el hecho de que pest´e en ∂D+(A). Concluy´endose as´ı la demostraci´on.  116 A trav´es de estos resultados intermedios llegamos a la proposici´on que nos interesa para el Teorema de Singularidad. Proposici´on 5.3.2 Sea Suna hipersuperficie topol´ogica acausal cerrada. Entonces: H+(S) = I+(S)∩∂D+(S) = D+(S)−D+(S). En particular, H+(S)ySson disjuntos. Demostraci´on: Abordemos el problema por doble inclusi´on. La inclusi´on hacia la izquierda es m´as sencilla; comencemos con la primera y dejemos esta para el final. En primer lugar, por el Lema 5.3.3 tenemos la inclusi´on H+(S)⊂D+(S)⊂S∪I+(S). Adem´as H+(S) no toca a D+(S) pero I+(S) s´ı, ya que, por el Lema 5.3.2 el dominio de dependencia de Ses abierto y si p∈D+(S)⊂Sentonces I+(p) toca a D(S) pero no su parte pasada. Finalmente, recordando que un conjunto siempre est´a en su dominio de dependencia, podemos deducir que H+(S)⊂I+(S) e intersecando este ´ultimo con los conjuntos de la Proposici´on 5.3.1 tenemos que I+(S)∩∂D+(S) = H+(S) deduci´endose lo que quer´ıamos: H+(S)⊂D+(S)−D+(S). Para la inclusi´on contraria tomemos un punto pde D+(S)−D+(S). Veamos que dado un punto q∈I+(p) este no puede pertenecer al dominio de dependencia futuro de Sy por tanto pest´a en el horizonte de Cauchy. Para ello, si tomamos este qsabemos que existe una curva temporal hacia el pasado que une pyqque no toca a Sya que p no pertenece ni a Sni a su pasado cronol´ogico. Deducimos el resultado ya que tambi´en existe una curva causal inextendible hacia el pasado que empieza en py que tampoco toca a S. Finalmente, introduzcamos las ideas que nos permiten probar que el espacio de Robertson-Walker es globalmente hiperb´olico. Proposici´on 5.3.3 Sea Suna hipersuperficie topol´ogica acausal cerrada. Entonces existen geod´esicas luminosas inextendibles hacia el pasado sin puntos conjugados empezando en cada punto de H+(S)y que est´an completamente contenidas en ´el. Llamaremos a este tipo de geod´esicas las generadoras del horizonte de Cauchy. Demostraci´on: La idea detr´as de que estas curvas sean generadoras es que se extienden lo m´aximo posible hacia el futuro en el horizonte. Para demostrar su existencia, tomemos un punto pdel horizonte del cual puede partir (por la proposici´on anterior) una curva causal inextendible hacia el pasado que no toca a Sy, que, de hecho, no puede ser temporal por el Lema 5.3.3 y por tanto, ser´a, en virtud del Lema de evasi´on, una geod´esica luminosa sin puntos conjugados. Para acabar la demostraci´on solo tenemos que demostrar que dicha curva no sale del horizonte. En primer lugar, es directo (ya que no toca a S) que la curva no toca a su dominio de dependencia futuro. Por tanto, para concluir la demostraci´on solo tenemos que ver que la curva siempre pertenece a la clausura del dominio de dependencia futuro. 117 Si esto no fuera as´ı, es decir, existe un punto de la curva que no pertence a D+(S) entonces existir´ıa otra curva temporal apuntando al pasado e intextendible hacia el pasado que empezar´ıa en dicho punto y que tampoco tocar´ıa a S. Este resultado, usando una vez m´as el Lema de evasi´on, en este caso sobre una concatenaci´on adecuada de las dos curvas anteriores — basta tomar la inicial restringida a [0, t] siendo tel par´ametro del punto en que la curva se sale de D+(S) — nos lleva a contradicci´on con el hecho de que la curva empiece en p∈D+(S).  Lema 5.3.4 Una hipersuperficie topol´ogica acausal cerrada es una hipersuperficie de Cauchy si y solo si H(S)es vac´ıo. Demostraci´on: El enunciado es equivalente a probar que H(S) es vac´ıo si y solo si D(S) = M. Por tanto, nos basta probar que ∂D(S) = H(S). Prob´emoslo por doble inclusi´on. La inclusi´on a izquierda es trivial. Para ver la inclusi´on a derecha, nos basta usar la Proposici´on 5.3.1, a trav´es de la cual deducimos que ∂D(S)⊂S∪H(S) pero, como D(S) es abierto y contiene a Sse tiene que ∂D(S)⊂H(S).  N´otese que la conclusi´on previa es l´ogica en concordancia con lo que significan f´ısicamente tanto la hipersuperficie de Cauchy como el horizonte. Si la hipersuperficie de Cauchy es aquella desde la que podemos predecir cualquier evento del espacio-tiempo completo es necesario que el horizonte sea vac´ıo pues, en caso contrario, existir´ıa un l´ımite a partir del cual no podr´ıamos predecir nada desde la hipersuperficie. Corolario 5.3.2 Una hipersuperficie topol´ogica acausal cerrada Ses una hipersuperficie de Cauchy si toda geod´esica luminosa inextendible corta a S. Demostraci´on: Para probarlo solo tenemos en cuenta el lema previo y demostramos que H(S) es vac´ıo. Trabajando por reducci´on al absurdo, supongamos que en las condiciones del corolario existe un punto pen el horizonte. Entonces, por la proposici´on anterior las curvas generadores del horizonte a trav´es de pno tocan a Sy, tampoco podr´an tocarlo al extenderse ya que Ses acronal y el punto inicial est´a en su futuro cronol´ogico lleg´andose a contradicci´on.  En particular, el corolario fundamenta de forma s´olida nuestra suposici´on de que nuestro universo es globlamente hiperb´olico puesto que demuestra que el espacio de Robertson-Walker lo es (siempre que su fibra sea completa como ya adelantamos). En concreto, basta tomar cualquier rodaja del espacio-tiempo a tiempo constante, esto es, t×Scon Sla fibra del espacio de Robertson Walker. Es claro que t×Ses una hipersuperficie cerrada y acausal y, adem´as, por construcci´on — recu´erdese el Cap´ıtulo 4 — toda geod´esica luminosa corta dicha hipersuperficie aplic´andose el lema previo. Por tanto, el espacio de Robertson-Walker contiene una hipersuperficie de Cauchy y, en virtud, del teorema de caracterizaci´on, es globalmente hiperb´olico. 118 5.4. Teoremas de singularidad Concluimos el documento llegando — al fin — a nuestros ansiados Teoremas de Singularidad. Como venimos explicando a lo largo de todo el texto, estos teoremas dar´an unas condiciones generales para asegurar la aparici´on de singularidades en el espaciotiempo independientemente de las caracter´ısticas del modelo que estemos usando sobre las ecuaciones de campo de Einstein. En este sentido, presentaremos dos teoremas, el Teorema de Hawking que generalizar´a el Teorema 4.3.2 sobre singularidades en el espacio-tiempo de Robertson-Walker (modelo FLRW), y el Teorema de Penrose que demostrar´a que la singularidad en el modelo de Schwarzschild no est´a ligada a la simetr´ıa de este. Antes de comenzar a introducir los teoremas en s´ı mismos, tenemos que formalizar la idea de singularidad que introducimos en el Cap´ıtulo 4 tal y como adelantamos en la introducci´on a este cap´ıtulo. Definici´on 5.4.1 (Espacio-tiempo singular) Diremos que un espacio-tiempo Mes singular o que contiene singularidades si Mes geod´esicamente incompleto. En particular, diremos que Mes singular en el sentido temporal (resp. nulo) si es geod´esicamente incompleto temporal (resp. nulo), es decir, si el car´acter causal de las geod´esicas asociadas a su incompletitud es temporal (resp. nulo). La definici´on anterior a´un puede concretarse m´as indicando en qu´e direcci´on temporal es incompleto el espacio-tiempo. As´ı, diremos que un espacio-tiempo es singular en el futuro si es geod´esicamente incompleto en el futuro (resp. pasado), es decir, si sus geod´esicas no est´an definidas en todo su intervalo hacia el futuro (resp. pasado). La motivaci´on de la definici´on es clara en este punto del documento, pues las singularidades pueden interpretarse como puntos aislados a los que no llega informaci´on o puntos que no est´an en cierto sentido en el espacio-tiempo — puntos fuera del modelo relativ´ıstico — ya que impiden que las geod´esicas maximales puedan definirse en la l´ınea real completa teniendo que “detenerse” debido a la existencia de estas anomal´ıas. As´ı, la idea es detectar las singularidades viendo que las geod´esicas (rayos de luz, observadores) no pueden extenderse indefinidamente — consid´erese, por ejemplo, las singularidades del modelo de Robertson-Walker en que todas las curvas convergen a un punto determinado. Con estas ideas en mente, la estructura de los Teoremas de Singularidad ser´a siempre la misma, necesitaremos tres condiciones: una condici´on sobre la energ´ıa del espaciotiempo, una condici´on sobre la causalidad global del espacio-tiempo y una condici´on que nos asegure que la gravedad es lo suficientemente fuerte como para colapsar, en un sentido que precisaremos a continuaci´on, una regi´on del espacio-tiempo. La condici´on de causalidad global ser´a la misma en ambos teoremas por todo lo 125 la convergencia, en este caso hacia el pasado, ya que es equivalente a que el universo se expanda debido a la constante de Hubble. Concluimos por tanto que, tanto si nuestro universo es del tipo FLRW como si no lo es, es bastante l´ogico que se cumplan las condiciones del Teorema de Hawking implicando que nuestro universo naci´o de una singularidad. Concluimos el documento con los resultados que promet´ıamos. Hemos estudiado la naturaleza del espacio y el tiempo a trav´es de la teor´ıa de variedades diferenciables y variedades semi-Riemannianas, pasando de nuestra idea de espacio absoluto tridimensional con un par´ametro que modela el cambio llamado tiempo, a la construcci´on de una entidad conjunta llamada espacio-tiempo, mutable y din´amica en la que el tiempo es solo una dimensi´on m´as con caracter´ısticas peculiares. Adem´as, hemos analizado c´omo el espacio-tiempo es el objeto clave en la f´ısica actual a gran escala, constituyendo el coraz´on de la Teor´ıa de la Relatividad General y modelando la gravedad y la f´ısica de nuestro cosmos a trav´es de su geometr´ıa. Finalmente, hemos concluido, a trav´es de los Teoremas de Singularidad, que en espacios-tiempo de caracter´ısticas similares al nuestro — desde el punto de vista f´ısico y causal — se producen singularidades, puntos donde el espacio-tiempo se rompe y la Teor´ıa de la Relatividad General no funciona. Estas singularidades — a grosso modo el Big Bang y los agujeros negros — son limitaciones actuales de la f´ısica a gran escala. Son puntos externos al espacio-tiempo que usamos y no forman parte de la teor´ıa f´ısica en s´ı misma. Actualmente, desde el mundo f´ısico dichas singularidades no son aceptadas como realidades f´ısicas — hablando burdamente, en f´ısica no se aceptan los infinitos —; es por ello que gran parte de la comunidad trabaja arduamente hoy en d´ıa con el objetivo de extender la teor´ıa a dichos puntos problem´aticos y entender mejor tanto el inicio como el fin del tiempo. Las teor´ıas de mayor renombre actualmente que consiguen esta extensi´on, al menos a nivel te´orico, son La teor´ıa de cuerdas yLa teor´ıa cu´antica de bucles, que pretenden unir el mundo de la f´ısica cu´antica — peque˜nas escalas — con la cosmolog´ıa — grandes escalas — dando lugar a una teor´ıa unificada con gravedad cu´antica. Sin embargo, ninguna de ellas cuenta con un apoyo experimental consistente. As´ı pues, este problema sigue quedando abierto, esperando que la perspicacia de f´ısicos y matem´aticos en la intersecci´on de sus disciplinas — F´ısica Cu´antica y An´alisis Funcional, Relatividad General y Geometr´ıa Diferencial, An´alisis Num´erico y simulaciones, Geometr´ıa Discreta etc. — junto con un profundo conocimiento filos´ofico de la realidad sea capaz de resolverlo. 126 Bibliograf´ıa [1] Alcubierre, M. y Lobo, F. Warp drive basics. arXiv preprint arXiv:2103.05610 (2021). [2] Chen, B.-Y. Pseudo-Riemannian geometry,[delta]-invariants and applications. World Scientific, Singapur, 2011. [3] Clarke, C.J.S. The Analysis of Space-Time singularities. Cambridge University Press, Cambridge, 1994. [4] Ebner, D. How Hilbert has found the Einstein Equations before Einstein and forgeries of Hilbert’s page proofs. arXiv preprint arXiv:physics/0610154 (2006). [5] Galloway J. G. Notes on Lorentzian Causality. ESI-EMS-IAMP Summer school on Mathematical Relativity. Department of Mathematics. University of Miami, 2014. [6] Garc´ıa, J. Cosmology and Astrophysics. arXiv preprint arXiv:astro-ph/0502139 (2005). [7] Geroch, R. What is a singularity in General Relativity. Ann. Phys., 48. 1968. [8] Griffiths, D. J. Introduction to Electrodynamics. Prentice-Hall, New Jersey, 1999. [9] Hawking, S. W. y Ellis, G. F. The large scale structure of space-time. Cambridge University Press, Cambridge, 1973. [10] Hawking, S.W. and Penrose, R. La naturaleza del espacio y el tiempo. Debolsillo, 2018. [11] Hooft, G. Introduction to the theory of Black Holes. Institute for Theoretical Physics Utrecht University and Spinoza Institute. Postbox 80.195. 3508 TD Utrecht, the Netherlands, 2009. [12] Jackson, N. The Hubble Constant. University of Manchester, Jodrell Bank Centre for Astrophysics. arXiv preprint arXiv:0709.3924. (2007). [13] Landau, L. D. y Lifshitz. E. M. Fluid Mechanics. Vol. 6 (1st ed.). Pergamon Press, 1959. 127 128 [14] Landau, L. D. y Lifshitz. E. M. Mechanics. Vol. 1 (1st ed.). Pergamon Press, 1960. [15] Landau, L. D. y Lifshitz. E. M. The Classical Theory of Fields. Vol. 2 (2nd ed.). Pergamon Press, 1959. [16] Lee, J. M. Introduction to Smooth Manifolds. Springer, Nueva York, 2013. [17] N´atario, J. y Godinho, Leonor. An Introduction to Riemannian Geometry with Applications to Mechanics and Relativity. Springer, 2014. [18] O’Neill, B. Semi-Riemannian geometry with applications to relativity. Academic Press, Londres, 1983. [19] Oppenheimer, J.R. and Snyder, H. On Continued Gravitational Contraction. Physical Review Letters, 54, 455-459. 1939. [20] Pooley, O. The Hole Argument. arXiv preprint arXiv:2009.09982 (2020). [21] Quintero, A. Apuntes de Variedades Diferenciables. Departamento de Geometr´ıa y Topolog´ıa. Facultad de Matem´aticas. Universidad de Sevilla, 2020. [22] Romero, A. Geometr´ıa de Lorentz: de lenguaje a herramienta b´asica en Relatividad General. Facultat de Matem`atiques i Estad´ıstica. Universitat Polit`ecnica de Catalunya. [23] Sachs, R.K. y Wu, H. General Relativity for Mathematicians. Graduate Texts in Mathematics (1st ed). Springer, 1977. [24] S´anchez, M. y Javaloyes, M. An introduction to Lorentzian Geometry and its applications. Departamento de Geometria y Topologia. Facultad de ciencias. Universidad de Granada. [25] Senovilla, J. y Garfinkle, D. The 1965 Penrose singularity theorem. arXiv preprint arXiv:1410.5226v1 (2014). [26] Weinberg, S. Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity. Wiley, 1972. Las im´agenes usadas para las figuras del Cap´ıtulo 1, 3 y 5 pertenecen a los textos [24], [8] y [5], respectivamente.