Federici Commandini ... Liber de centro grauitatis solidorum

FEDERICI COMMANDINI VRBINATIS LIBER DE CENTRO gravitatis SOI. IDORVM. CVM PRIVILEGIO IN ANNOS X. BON O NIAE, Ex Officina Alexandri Bcnacii . MDLXV ALEXANDRO FARNESIO CARDINALI AMPLISSIMO, et optimo. VM miiltte res in mathematicis difciplinis nequaquam fatis adhuc explicata: fint, tum perdit ficilis, &c perobfcura quarftio eftde centro grauitatis corporum folidorum ;qua:, &adeognofccndum pulcherrima cfi:, &ad multa,qua: ^mathematicis proponuntur ,pra:- clarc intelligenda maximum affert adiumentum. de qua neminem ex matheraaticis,neque noftra,neque patrum noftrorum memoria feriptum reliquifle feimus.Sc quamuis in earum monumentis literariim no nulla rcperiantur,cx quibus in hanc fententiam addu ci polTumus, vt cxiflimcrnus hanc remab ijfde vberrime tradfatam effe •, tamen nefeio quo fato adhuc in ciufmodi librorum ignoratione verfamur .Archimedes quidem mathcmaticoru princeps in libello, cuius inferiptio cA,n<irfxf,iif!ot de centro planorum copiorifsime,atque acutifsimc confcripfit:3c in eo explicando fummaingeniij&fcicntix gloria eft cofcciitus.Sed de cognitione ectri grauitatis corporu folidoru nulla in cius libris litera inuenitur. non raul tos abhinc annos Marcellvs iI. Pont.Max. 2 ;FED. COMMANDINI tesijsqucpdftderantes ipfam cliiiidet . sPrifmatis, cylindri ,Sc portionis cylindri axem appello redam lineam ,qua: oppofitoriim planorum centra grauitatis coniungit . 5Pyramidisiconi, Sc portionis coni axem dico li neam ,qua:auerticead centrum grauitatis balis ^pwdrrcitut. ’'' 4Si pyramis,comiSj portio coni,uelconoidisfc- Cctur plano bafi arquidiftantc, pars,qu;B eftad bafnmfruidum pyramidis, coni, portionis coni ,ucl corioidis dicdur; quorum plana ^quidiftantia , qyic opponuntur fnnilia funt, &inarqualia :axes ner-o funt' axium figurarum partes ,qu* in ipfis «comprehenduntur. •P-E TITIONES. /^1', •_ I;:SolidaJ^um.figiirariumfimilium centra grauitatis fimiliter funt pofita. 3Solidis figuris limilibus ,&aqualibus inter fe aptatis, ceatra quoque grauitatis iplarum ijiter fc aptata trimt . THEOREMA I. PROPOSITIO I. Omnis figur* rcdilincie in circulo deferipta , qua aqualibus lateribus ,3c angulis contine- DE CENTRO GRAVIT. SCLID. i tur, centrum grauitatiseft idem, quod circuli ceu» trum sit primo triangulum squilaterum abc in circulo dw fcriptunu& diuifa aq bifariam in d, ducatur bd.eritin lu nea bd centrum grauitatis triaguli abc, ex tertia decima primi libri Archimedis de centro gtauitatis planorum .Et quoniam linea ab eft squalis linea: bc;& ad ipH dc; eftq; bd utrique communis:triangulum ab dsquale erit triaq gulo cbdi&anguli angulis squalcSiqui squalibus lateribus fubteiiduntur .ergo augu Ii ad dutriq; redii fuut .quod cum linea bdfecet a c bifariam, &ad angulos redtos ;in ipla b d eft centrum circuli , quare iu eadem bdlinea erit centrum grauitatis triangHli,& circuli centrum,. Similiter diuifa ab bifariam in CiScdiuSa ce,oftendcturinipfiiutrui que centrum contineri .ergo ca erunt in puni3:o,,in quo lines bd,c ecomieniuut.trianguli igitur abc centrum gr» uitatis eft idem, quod circuli centrum . Sit quadratum abcdin circulo deferiptum ;®£ ducantur ac,b d,qus conueniantin e.ergo pundtiun ecft centrum gra uitatis quadrati, exdecjma eiuf dem libri Archimedis.Sed cum omnes anguli ad abcdredii fmt ;erit abc femicirenius : itemq; bed,- &: propterca linea ac, bd diametri ciccuU; 1) S.pnmI. sj.priinlo corol.p^ nix terui Ji.tertif. •FED. COMMANDrNI quidciiiin centro conueniiiiit.idem igitur efl centrum gniuitatis qiiadradj &circuli centrum. Sitpcntagonum n;qiii]ateriin)j& xquiangiilum in circu- Iq^defcriphnw abcder&iiinfta 'bd> bifairiamqj-iii^Fdiui/ii; du’eatur'c f, &prodriica^nr ad d^culi-‘drcnmfereniiam.in'' g; quxlineam ac in hfccet: deh indeiungantur ac,ce.Eodeirt. inodo ,.q’uo Aipra demonftra- ; hi':’:.- bimiw angulum bcfxqualcm)^ ‘ clfe 'angulo def; &angulos ad fi utrofquc redeos :&idcir- - .„•) .•i'?.;,* co Irneam cfgper circuli ceii' trumtranfirc. Qjioniam igitur latera cb,b a,& cd^d e«qualia fiint ;&arquales anguli cba, ede: erit bafis ea bafi-ceS &l angulus bea: angulo dee «qualis, ergo &reliquus' acli ,reliquo cch .cfl autem. ch utrique triangulo a'ph'5ec'Ii communis* quare 6dfis'yrv«c(djili^‘HtBalrIl'i::’<^iiilguli>quJad' hirqftbru '»f>pnmi. interfesfe iquidifiant. Ita^uc<^yiVi’ii‘^'eiEfi ab'd’e latera bd^ at«quidiftantia aU dea Ffi birarlaiiVdiitidantlir eC^enttHihi grauitatisipfius erit fj-Archi- in linea fhjcx ultima feitil<l^ libr-iAr«hitncdis. Sedrrianaicdis .gyii 1) cdcentrum granitati^bftlh^iheb,' cfi ergo in eadem linea cheft ccntrumjgraui^iiVii ttbpGzij abde, &trianguli bcd:hoc cft pentagoni' ipHiis centrum :&ccntnirn circuli. Rurfusfiiuneta adibifatiamqj feefain k,“ducatur ekl: dcmonftrabimus in ip/a utrumque centrum in ede. Sequiturcrgo,utpun(5tum,m quo linc« cg,cl conueniuntjidcm fit centrum eirculi 3¢rum grauitatis “’pentagoni .;.1 •1 Sit hexagonum ab cdef«quilaterum,& arquiangulum IQ drculo dc/igiucum iiunganturq; bd^ac; &bifariam fcda DE CENTRO GRAVIT. SOLID. 5 fta bdin gpundo,diicamr cg; &protrahatur ad circuli ufquc circumferentiamiquic fecet aciu h. Similiter conchi demus cgper centrum circuli tranfirc :&bifariam fccarc lineam ae;itemq-> lineas bdjae interfeaquidiftantcsciTe, Cumigitur cgper centrum circuji tranfeat ;&ad pun<3:u fpcrucniatneccflecft^qudd edeffit dimidium circumlc rentia: circu!i.Q_iiarc in cadem diametro cferunt centra gra iiitatis triangulorum bcd, afe, Scquadrilaterl abde, cx quibus conftat hexagonum ab cdcf perfpiciium eftigiturin ipfa cfelTc circuli centrum ,& centrum grauitatis hexagoni , Rurfus diida altera diametro adjcifdem rationibus oRcndemusin ipfi utrumque tetrum inciTc .Centrum ergo grauitatishexagoni5& centrum circuli idem erit. Sit hcptagoniim abcdefg gulum in circulo deferiptum: &iungantur cc ,bf, ag .• diuilaautcm ccbifiriam in pii «flo h:&iiinda dh producatur in k.non aliter demonftrabimusin Uncad kefle cen trum circuli ,¢rum graiiitatis trianguli cde,trapcidorum bcef, abfg,hoc cR centrum totius heptago- ni ;&rurfus eadem centra in jcquilatcrum atque rqman i 1 alia diametro cl limiliterdu- Ij. Arclii medis. . If. ciUfdi’ da contineri .Qiiarc ¢rum grauitatis heptagoni, & centrum circuli in idcmpundumconucniunt. Eodemmo FED. COMMAN.D INI. ito in reliquis figuris ®quilateris,& ;rquiangulis,qua? in circulo defcribuiitur ,probabimus cetrum grauiratis carum , ¢rum circuli idem elie .quod quidem dcmonllrare oportebat . Ex ejuibus apparet cuiuslibet figur* rei5tiline* in circulo plane deferiptx centrum grauitatis ide efle, quod &circuli centrum . 7v«fiV‘!r Figuram in circulo plane deferiptam appellamus,cuiufmodi cft ca,qutc in duodecimo clemcn torum libro, propofitionc fecunda deferibitur. ex lequalibus enim lateribus ,&angulis conflare perfpicuum eft . THEOREMA II. PROPOSITIO II. Omnis figura: redilinea; in ellipfi plane deferipta: centrum grauitatis cft idem ,quod cllipfis centrum. Quo modo figura redtilinea in ellipfi plane deferibatur , docuimus in commentarijs in quintam propoficionem libri Archimedis de conoidibusj&fphfcroidibus. Sitellipfis abcdjcuiusniaioraxis ac, minor bd; iungaiiturq; a b, bc,ccl ,da:&bifariam djiiidanrur in piin- 6i:is cfgli. acentro autem, quod fit kdudie line<T kc,k/i kg , k h urqiie ad rc(!il;ioncm in punda 1mnoprotrahan- tur :&iungantur Jm,mn,no, o1,ita ut acfccct lineas Io, mn,in z0piindtis ,Se b d fccct Im, onin v. ''k* erunt 1k,k n linea una ,itemque linea una ipfc mk,ko: &linea; ba, cd aquidifiabunt liiicjc mo;& bc , ad ipli 111 .rurfiis 1o,mnaxi bdiuquidifhibunt :&!m, oa DE CENTRO GRAVIT. SOLID. 4 onipfi ac.Quoniam enim triangulorum abJc^a dk,latus bk ellieqiialc lateri kcl,& ak iitriquecommiincjangiiliq,' ad krc(5ti bafis ab bafi areliqui anguli reliquis ans. prliui gulisarquales erunt.eadcm quoqueratione oEeiidctur bc jcqualis cd; &abipl3 bc. quare omnes a b, p*!_ y bc,cd,da func.-cqua- les. &quoniam anguli ^® ad axqiiales funtangu j\ /k lis ad c; erunt anguli bfi ^)\ \/- ac,acd coaltcrni inter ^ fejEqualesjitemqi dac, // /\\\ // \)| acb.ergo cdipE ba;\Y_^:.y.. _fi' ^ &adipR bcjequidif^'//\\^ '1 Eat, Atuero cum linere /7 \\ /Jf ab, cd interfe arqiiidi- ^^7 flantes bifariam fecen- \A /\// turin pLindis egicritli \/^\/ -V \/‘‘' w nea lekgn diameter fc «Rionis, &linea una, ex demondratis in uigcllmaoiffaua fecundi coni p fl \A'»7 -\- 7 m eorum. Etcadem rationclincanna mfle ho.Suntaute ad, bc interfcleajquales, ^;equididantcs .quare carum dimidia: ah,briitemq; hd,fe;& quajipfasconiimguntrcftac 55-vrimi; line.T aequales, &a:quidi/lantcs criint.a:quidijQat igitur ba, cddiametro mo:& pariter ad,b cipfi 1narquidi/lare oficndcmus.Siigiturmancrcdiamctro ac intelligatur abe portio ellipfis ad portionem ade nioueri,cumprimum b applicuerit ad d,c6gruct totaportio toti portioni, lincaq; ba linea; ad;& bcipfi cd congruet: pun(fi:uiiiucro ecadetin hjfin g:& linea ke inlincam kli:& kfin kg.qua rc& el in ho,ct fm in gn.Atipfa It. in zoi et n\<p intfiii x:adet.congructigitiir triangulum Ikz triangulo okzset FEi>. COMMANDINI 15. Archi !lii*dis . Vitini.T. traiiguluin mkfp tmngulo nkrf.crgoanguli 1zk ,oz k, DKfjkj n'j> karqnalcs funt, ac rcAi .quod cum etiam rccH fine, qui ad k^rfquididabiint linex 10,ni naxi bd,Ik ira dcniondrabuntur hn,o nipfi ac xqiiididarc .lUirfus fi iungantur al, Ib, bm, mc, en, nd, do, oa: &bifariam di uidantuna centro autem kaddiuifioiiesdudtxlinea: protrahantur urqucadicdionem in puiitila pqrs tuxy;& po flrcmo py,q x,r n,s tjq r,p s,y r,x uconiunganrur .Similiter ofieiuicnnis liiicas py,qx,rUjSt axi bdxquidifiantes effe :5: qr, ps,ytjX u xquidifiantcsipfi ac. Itaque dico harum figurarum in cllipfi dcfcripraruni cenrrum grauitatis elicpudum kjideni quod ck cl lipfis centrum .quadrilatcri enim abcdcentrum efi kjcx dccimaciufdcm libri Archimedis, quippe eu in eo om lies diametri 'c5ueniat, Sedin figura albmen do, quoniam trianguli alb centrum grauitatis cfiin linea lc;trapc2ijq; abmo centrum in linea ek.-trapc zij omed in kg;& trianguli end inipla gii:[critmagnitii dinis ex bis omnibus confiantisjindcliccttotius figurx cen trurn grauitatis in linea ,1 n:&ob eandem caufiam in linea om.cfi enim trianguli a6dcentrum in linea oh:trai^ezij’ aln din hkitrapezij 1ben in ki:&trianguli bmc in f'm. cum ergo figurx albmen do centrum grauitatis fitinlir Jicaln,& in linea omjeritccacrum ipfiuspunftiim k,in quo t) ECENTRO ORAVIT. SOLID. y quo fdlicet In, oin coiiucniunt .PoRrcmoin Egiira ap1qbriTi sctnu d Xoycciimini gi-aaitatis triaii giili pay, &trapezii p1oy eftin linea az.- trapeziorum liero lqxo,qbdx centrum eftin linea zk:6e trapezioru brudpimn u in kc{) :&denique trapezii mstn; &triangii li sctin ^c. quare magnitudinis exhis compontit centru in linea acconfiftit.RuiTus trianguli qbr, ^trapezii ql mrcentrum cft in linea b:trapeziorum lpsm,pacs, aytc,yont in linea cp :trapcziiqj oxun, &trianguli xdu centrum in 4^ d. totius ergo magnitudinis centrum eftin linea bd. ex quo iequitur, centrum grauitatis figur» ap1qbrmsctnu d Xoyefle pun<ftu K,lineis fcilicct ac, bdcommune,qu£ omnia demonftrare oportebat. THEOREMA IIR PROPOSITIO HI. Cuiuslibet portionis circuli, 8c cllipfis, qua.’ dimidia non fit maior, centrum graui tatis in portionis diametro confiftit. HOC codemprorftis modo dcnionftrabitur , quo in libro de centro gra uitatis planorum ab Archimede dcmoiiftratii eft, in portione cotentareda linea, &redanguli coni fe dionc grauitatis cetrum efle in diametro portionis. Etita dcmonftrari po sp.«iuinti apud Ca FED. COMMANDINI tcflin portione, qu,T: refla linea &ol>tufianguli coni feftione ,fcu hyperbolacontinetur . THEOREMA IIII. PROPOSITIO IIII. INcirculo Sc ellrpfi idem eft figura: Sr grauitatis centrum . SIT circulus,iiel ellipfis,cuius centrum a.Dico agrauitatis quoque ccnttum elVe. Si enim fieri poceft, fic bcentrum graiiitatis :&iunda abextra figuram in cproduca tiir: quamuero proportionem habet linea ca ad ab, habeat circulus aad alium'circulum,in quo d;uel ellipfis ad aliam cllipfim:&incirculo,ueI cllipfi figura redilinea plane deferibatur adeo, ut tandem relinquantur portiones quordam minores circulo,uel ellipfidjqujE figura fit cfg hklmri .Illud uero in circulo fieri polle cx duodecimo elementorum libro,propolirioiic fecunda manifefic confiat; at in cllipfi nos dcmonftraninms in commentariis in quintam propofitionem Archimedis de conoidibus, &fpharroidibus. erit igitur acentrum graiiitatis ipfius figuriE,quod proxime ofte tliiTiiis.l taque quoniam circulus aad circulum d;uel ellipfis aad cllipfim deandemproportione habet, quam linea c aad ab ; portiones uero funt minores cir culo ucl cllipfi d; habebit circiilLis,!^'] ellipfis ad portiones maiorem proportionem, quam ca ad ab: &tfiiiidendo figura redilinea cfghmnad portiones habebit DE CENTRO GRAVIT.SOLID. 6 habebit maiorem proportione , quam cb ad b a.fiat obad ba , ut figura redrilinea ad portiones .cum igitur acirculo ,uel ellipfi, cuius grauitatis centrum eft b,auferatur figura reftilinea efghklm UjCnius centrum a; reliqu® magnitudinis ex portio nibus compofitce centrum graui tatis erit in linea abproduila, &in punfio o, extra figuram po lito, quod quidem fieri nullo mo do poffe perlpicuum eft .fequitur ergo, ut circuli &ellipfis cen trum grauitatis fit pumftum a, idem quod figurx centrum . ALITER. Sit circulus, uel ellipfis abcd, cuius diameter db,& centrum e;ducaturq; per erefla !£ nea ac, fccans ipPam dbaJ reflos angulos .erunt a dc , abccirculi ,uel ellipfis dimidi.T portiones .Itaque quoniam por tiois adc cetru grauitatis eft in diametro de:& portionis ab ccentrum eft I ipfaeb:ro tius circu Ii,ucl ellipfis grauitatis centrum eritin diametro db, Sitauteimpordonis adccetrumgrauitatisif;&fumatur £> 6. Arch^- FED. COMMA NDiNr SIT cyliiidrusjucl cylindd portio ac: apiano per a" xcin diido fecetur icuius fedio Ci tparallelugrammuim ab ed:&bifariam diuifis ad,b eparallclogrammi lateribus, per diiiifionum puncta efplanum bafi jEqiiidiftans ducatur jquod faciet fciflioiicmdi^cylindro quidem circulum Kqiialcm iis, qui funtiii bafibus ,ut demonftraiiit Serenus in iibro cy]indricorum,propofirione quintadn cylindri liero portione ellipfim aqualem ,&fimilcm eis ,qua; fuiit in oppofitis planis, quod nos demonftrauimus in commen tariis in librum Archimedis de conoidibus ,&/pha^roidibus .Dico centrum grauitatis cylindri ,uel cylindri portionis effein plano ef. Si en? iicri porc/t, Hteentrumg; & ducatur ghipfi adaqiiidiftans, ufquc ad efplanum . Itaque linea aecontinenter diuifa bifariam ,erit tandem pars aliqua ipfius ke,rninor gh.Diuidantiir ergo lincjc ae, edin partes xquolcs ipfi /^e:& per diuifiones planaba fibus ajquidifiantia ducatur, chintiam fedlionesjhgura! requales,&fimiles cis,qu;e funt in bafibus :atque erit cylindr^^s in cylindros dinifus :&cy Ihidri portio in portiones aquales, &flniilcs ipfi kf. reliqua funiliterj ut fiiperius in prifmate concludentur .. THEO- DE CENTRO GRAVIT.S.OLID- io THEOREMA VIII. PROPOSITIO VIII. Cuiuslibet prifmatis,&: cuiuslibet cylindri,uel cylindri portionis grauitatis centrum in medio jpfius axis confidit. Sit primum afprifma sequicliflantibiis planis contentu» quod Iblidum parallclepipcdiim appellatur :&oppolito-. rum planorum cf,a h,a a, fglatera bifariam diuidaiitur in pimdis klmnopqrstiix; &per diuifiones ducantur plana k_ n, or, sx. communes autem eorum planorum fed:ionesfintIinc2Ey z, qnreinpimdto i^conueniat, erit ex decima ciufdcm libri Archimedis parallelogrammt Cfccutrum grauitatis punflum yiparaUcIogrammi ah «huius J.liuius FE D. CO VM AND INI ccntinim 2:parallelo^rain miiei,-': paralldogrammi fgjf : parallclograinmi dh ,^^ parallelogra^himi egeentru 4: atque ciit r/pundtum me dium uniufcuiurqiic axis, iii dclicct cius linejE, qua: oppo fitorum planoru centra coii iiingit .Dico ce centrum efle grauitatis ipfiiis folidi .cft enim ,ut dcmonftraiiimus , folidi afccntrum grauitatis in plano Kniquod oppofitis planis ad,g frcquidilbns reliquorum, ]>Ianorum latera bifariam diuidic :&/imili ratione idem centrum cdin plano orjxqiudiflantcplanis ac,b rop]K>fitis .ergo in communi ipfbrum fcdione ;iiidclicctinlincay z. Sed cft etiam iiiplano tu, quodquidc y2fecatin 01. Conftatigitur centrum grauitatis folidi effe punitum e?, medium fcilicetaxiiim ,hoc eft linearum, qu» planotuniGppofitorumictiiTtracODitogtfnt». 'd Sit aliud primaa fi&in eopIana,qiicE opponuntur,tri- ^igiita aba,d q;ybiferi'am.'pat^ldqgi:^AmmdriUm lateribus ad,b e, e f in punitis gh^,pcr'diuiftones planu ducatur,quod'dp[T(i>fitis planis squidiftans faciet feitione triangulum gliK ecquale, &fimileipfis abe, def. Rurfiis {.(iuidatiir ab bifariam in 1: &iundla cl pcripfam, &per eKf' planum ducatur prifma fecans, cuius, ¶llelogra mi -a. ecommunis fedtio ftt 1mn.diuidet punitum mlin?am gh bifariam ita ndiuidctlincam de: quoniam triangula,aefgic ni,dfn a:qualia,funt,&fimilia,utfupra dcmon.ftrauinuis .iani Cx iis,qun: tradita funt, conftat cen ttum greiiitatisprirmatisin plano gh kcontineri.Dico dic ia linea hm. Si enim fieripoccft,fit 0centrum 5, &pcr y/a \ ie -L .X- l Y3C 11 1,/'^ t r)E CENTKO GRAVIT.SOIID. ix ^peroducatur op adkmipfi hg ccquididans. Itaque Ii nea hmbifaria ufque c6 diuidatur, quoad reliqua fic pars qu.tdam qm, minor op. deinde hmjmg diuidaiitiir in partes «quales ipfi mq: &per diuifiones lineor ipfi ni IC «qiiidiftantes ducantur .punda uero, in quibus h« triangulorumlatera recantjconiungantur diidis lineis rs,tu, xyjqunrbafi gh «quidiftabimt. Quoniain enimlincitgZj Ji «runt«quales:itemqi «quales gm,mh :ut mg ad gz, ita critm hjad Ii «i &diuidendo,ut mzad zgdta in «ad tfb.Sedutmzad 2g,ita kr ad rg;d:utm aad «h,itaks ad sb .quare ut A, rad rg,ita Ksadsh .«quidibantigitur ijitcrfelc rs^gh. eadem quoque ratione demon,(inibimus 2-f.ixtf; i.lcxti . h> Texti i: tiel 1 1 ', quinti. FEB. COMMANDINI tiijxy ipfi ghxqiiidiftare. Et quoniam triangula ,qiix fiunt aiincis Ky,yu,us,sh;Eqnali?.fiintinterfc,&fimilia triangulo Kmh: habebit triangulmn Kmh ad triangulii Kfy duplam proportionem ciiis,qu;i: eftlinex kh ad iC y. fcd khpofitaeft Cjuadntplaiplius ky. ergo trianguUiiu Ht.m hadtriangulum Kycadem proportionem habebit, quamfcxdccimadunu: &ad qrtatiior triangula kJ'y, yu, us,s» hhabtbireandem,quamfcxdccimadquatuor,hoc eft qtrant hKad /v.y .& firrrilitcr eandemhabere demorriira bittir trianrit hmad m q.Si igitur in triangulis ab c,d cfdcrcribairtur figurafimilcs ci,qa,v defcriptatftin gh Ktriangulo :&pcrlineas fihirdjtondentesplaira ducantur .-totum prifiria afditiifum critin tria folidaiiaralick-pipcda y7,u ^sz,quorum baresfrmtxqua lc.s &fimilcs ipli.s parallclogramtnis y7,u(?., sz;&in odio prifina ta g2r, rt, 17x, xJ' K, /t.cC y, yti.tr s,s «h;quorum itctir bafes xqualc-s,& fimilcs firirt didtis triangulis ;altitudo autem iri omnibus,totiusprifmatis altitudini squalis . DE CENTRO GRAVIT. SOLID. iz Ifaquefolidiparallelepipedi yy centrum graiiitatiscft iii linea J\'c.‘folidiuj?= centrum eftin linea int&folidi szinii nea «m,quje quidem lineae axes funt, cum planorum oppo litorum centraconiungant. ergo magnitudinis ex his foli dis compofitcC centrum grauitatis ellin linea l' m,qiiod Iit ei&iunda f) oproducatur :apun^fio autem hducatur hn ipfi m/;.a:quidiftanS;,quceciim 9oin pconueniat.triangu Ium igitur gh/^ ad omnia triangula gzrji-fltjtoXjXtMc, y,y u,u S5Saheandem habet proportionem.,quam hni ad mq;hoceft,quam (j.9 adfl A:namfi hm,uO produci in telliganturjquoufque coeant; erit ob linearum qy,m quklidantiam,uthqadqm,ita(jt AadadA9 :&:coinponen do ,ut hmad mq, ita p9ad t) a.linea uero ?omaior cli, quam 9Athabebit igitur p9ad 9Amaiorem proportioncm,quam ad 9o.quare triangulum etiam ghkad omnia iam dida triangulamaioremproportionehabebit, quam p9ad9o.feduttriangiiiri ghx adomniatnangiila>itatotuprifma afadoinniaprirmatag 2r,r^t,t7X,xc!'K,K J^y, yu,u SjS ah :quoniam enim folidaparallelcpipedaxqueal ta,candem inter fc proportionem habent, quam bafes ;ut ex trigefimafccunda undecimi elementorum condat, funt uutem folidaparaUc-lcpipcdaprifinatum triangulares bales habentium dupla -fequitur,iit etiam huiufmodi pridmatainter fc hntjicut eorum bafes. ergo totum prilhia ad omnia prilinata maiorem proportioiiem habet ,quam p9 ad 9o: &diuidendo folidaparallelepipcday 7,11 jbjS zad omniaprifinataproportionem habent maiorenisquam po ado liat V oado yjUtfolidaparalicIcpipeday^jU ^jS 2ad omniaprifmata. Itaque cum aprifmatc af, cuius cetram grauitatis ell o,aiifcratur magnitudo exfolidis parallcicpx pedis y^ ,u (l.,s zconflans :atque ipfius grauitatis cendrutu Iit 9:reliquaiinagnitiidinis, qujecx omnibus prifinatibus conflat, grauitatis centrum critin linea 9oprodu6ta:& inpuncio y,cxodaua propoiitione eiufdtm libriArdiis.cjuinti. 18- iim!e cimi 35-.(iuinti io.qtiititf apud Ca panum . FED. COMMANUINI medis .ergo pimdhum vextra prifma afpofitum, centrii erit magnitudinis copolite ex omnibus prifinatibiis gzr, rfi t,t rx,x fk,k Sy,y u,n s,s uii, quodfieri nullo modo po tdl. efc enim ex diffinitione cent iurn grauitatis folid^ figii ra: intraiplam poli tum,non extra. quare rdinq^uitur,ut ce triim grauitatis prifmatis fit in linea Km. Rurlus bcbifariam in fdiuidatur ;&duvfia as,periplam ,&per lineam agdplan um ducatur ;quod prifma lecet :fkciatq; in paral lelogrammo faffeflionem Itt diuidetpmidlum-Tr lineam quoque cfbifariam :&erit plani eius ,&trianguli ghK communis fedlio gujquodpudlumiriumedio lineic liK pofitum fi t.Similiter demoufirabimus centrum grauitatisprirmatisinipfa gu inelfe. fitautem planorum cfn 1, ad X/communis feriio linea po-TjquK quidem prifinatis axis erit, cum tran/eatpcr centra grauitatis triangulorum a b c,ghK, def,cx quartadccima ciufdem .ergo centrum grauitatis prifinaris afeft pundlum u,centrum fcilicet trianguli 15 DE CENTRO ORAVIT. SOLI D. trianguli ghK, &ipiius ptaxis medium . Sit prilma ag, cuius oppofita planaiint quadrilatera abed, efgh;fecenturqiae, bf, cg, dh bilariam:&perdidifiones planum ducaturjquod feiiioncm faciat quadrilaterum K1mn.Deindeiuncla acper lineas_a c, aeducatur planum fecas prifma,quodipfumdiuidctin duoprifmata triangulares bafeshabentiaabcefg, adcehg; Sintautetrian gulorum abc,efggrauitatis centra op;&triangulorum adc,ehgcentra qr:^ iunganturq; op, qr; qua: plano yni noccurrant in punflis st.erit ex iis,qua: demon ftraiiimuSjpundlum sgrauita tis centrum trianguli k1m; & ipfius prifmatis abcef'g:pun dtum uero tcentrum grauita k tis trianguli Knra, &prifinatis ade, ehg. iumftis igitur oq, pr, st, eritinlincao qce trum grauitatis quadrilateri abcdjqiiodfitu: &inlinca prcctrum quadrilateri cfg h^ fit autem x. denique iungatur ux, qua: fccetiincam ftin y.fe cabit enim cum fint in eodem plano:atqi erit ygrauitatis centrum quadrilateri Klmn. Dico idem pundlum ycentrum quoquegrauitatis dfe totius prifmatis .Quoniam enim quadri lateri k1mngraui- tatis centrum eft y: linea syad yteandem proportionem habebitjquam triangulum ic nmad triangulum kl m,ex S Archimedis de centro grauitatis planorum. Vtautem tria gulum Knmad ipfum x1m,hoc eil ut triangulum adcad triangulum abcjxqualia enim funt, ita prilma adcehg- D FED. COMMANDINI adprifinaab cefg. quare lmeasyad3rteandem proportionem habctjouain prifina adcehgad prilina ab cefg . Sedprirmatis ab ce tg centrum grauitatis efts :&prifmatis adcehgcentnimt. magnitudinis igitur ex his compo fit-Ejhoc eft totius prifinatis ag centrum grauitatis eft pun Cium y;mediumfcilicct ^xis ux, qui oppofitorum planorum eentraconiungit. , , Kurfus fit prifma bafim habens pentagonum abcde : &quod ei opponitur fit fgh£l:fec enturq; af,bg,ch, dit» e1birariam;& per diiufiones dudlo plano, feaio fit pe tagonu ni nopq.deinde iumSa ebper lineas 1e,ebaliud planum ducatur, diuidesprif nia a1{ in dno prifinatapn prif mafcilicet al, cuius plana oppofitafinttriangulaabc fgl: &in prima bcuius plana op > pofitafintquadrilatcrabcd e ghlth Sinthutem triangulo-. rumabe,rgl centra grauita-; tis piihSa rf: &bcde,ghy quadrilaterorum centra tu iunganturqj rs, tuoccurrentes plano mnop q in punftis > xy .&itidem iungatur rt, fu,- Xy. erit in linea rtcetrum gra lutatis pentagoni abede; quod fit i: &in linea fucentrum pentagoni fg h Khfitau tem j;&ducatur zj,:, qua: diiio plano in 4occurrat. Itaq; pundumXeft centrum graui tatis trianguli mnq, acprii^ matis a1:&ygrauitatis centrum quadrilateri nopq,ac : prifinatis bk. quarey centrum erit pentagoni mnopq.6c, fiinilitcr DE CENTRO GRAVIT-SOLlDi 14 (imiliterdemonflrabitur totius prilmatisa Kgrauitatis e'f fe centrum .Simili ratione &in aliis prifmatibus illud idem lacile demonftrabitur .Quo autem padlo in omni figura reftilinea centrum grauitatis inueniatur,docuimus in commentariis in fextam propolitioucm Archime^s de quadratura parabola. Sit cylindrus,uel cylindri portio cecuius axis ab;fece* turqi plano per axem duilo ;quod feaionem faciat paral- Iclogrammum cdef:&diuifis cf, debifariam in puiifliis gh, per ea ducatur planum ba(i squidifiaiis .erit CeStlo g'h circulujjuel ellipfis,centrum habens in axcjquod fit Kiat-. queeruntexiis, qu® demonfirauimus ,centra grauitatis' planorum oppolltorum punSaab: &plani gh ipfum quo quidem plano eft centrum grauitatis cylindri ,uel cylindri portionis. Dico pundlum Kcylindri quoque,ud cy lindri portionis grauitatis centrum elfe. Si enim fieri po*. teft, fit 1centrum: ducaturq; kl, Sc extra figuram in mpro-, ducatur .quam ucro proportionem habctlinca mii ad W D» FED. COMM ANDINI pirtes d.in pyramide igitur in fcripta erit qusedani figura, ex prifmatibus aqualem altitudinem habentibus coftans , ad partes e: &altera circumfcripta ad partes d.Sed unumquodque eorum prifmatum,qu:i; in figurainfcripta contiiientur,xquale eftprifiuathquodab eodem fit triangulo in figura circumfcripta: nam prifinap qprifmati poeft squale ;prifma staqualeprifmati sr;prifina xyprifmati Xujprifma «Jprifinati »z‘;prifma pvprifmati (i A;prifma'|i of prifinati fTiq-St prifma a: prifmati 41 taquale, relinquitur ergo, ut circumfcripta figura exuperet infcripta prirmate,quodbalim habet abc triangulum,&axem eC illud uero minus eftfolida magnitudine propofita. Eade ratione infcribetiir,& circumfcribeturfolida figurain pyramide,qus quadrilateram, uel plurilatera bafim habeat. PROBLEMA II. PROPOSITIO XI. Dato cono, fieri poteft, ut figura folida inferibatur, 8c altera circumferibatur ex cylindris aequalem habentibus altitudinem, ita ut circumfcripta fuperet infcriptam,iwagnitudine, quai folida magnitudine propofita fit minor . SIT conus,cuius axis bd:&fecetur plano per axem dHa:o,'utfe(Tlo fit triangulum abc.-inteliigatiirq; cyliiidrus,qui bafim eandem,& eundem axem habeat.Hocigitur cylindro continenter bifaiuam fedfo.relinquetur cpiUti drus minor folida magnitudine jiropofi ta .Sjt autemis cy. lindrus,qui bafim habet circulum circa diametrum ac, & axem de. Itaque diiiidatur bdin partes squales ipfi de in pundiis fghKlm:&pereadiicantiirplanacomimfecantia ;qiis bali squidiftent .eruntledliones circuli ,cen, train axi habentes,ut in primo libro comcorum,propofitione DE CENTRO GRAVIT. SOXID. i» tione quarta ApQlloniusdemonftraiiit. Si igitqra fingulis horuju circulorum,duo cjiliudri fiant ;unus quidera.adi bafis partes ;alter adpartes uerdeis :inferipta erit in cono folida qua-dam figura ,&altera circumferipta ex cjiliudris aqualem altitudinem habentibus conftans ;quorum unufquifque, qui in figura inferipta continetur aqualis eft ei, qui ab eodem fit circulo in figura circuferipta. Itaque cjlin drus opaqualis eft cylindro o n ;cylindrus rscylidro rq ; cylindrus uxcylindro uteft aqualis ; &alii aliis fimiliter . quare conftat circuferiptam figuram fuperare inlcriptam cy Jiiidro,ciiius bafis eil: circulus circa diametrum ac,&:axls de.atque hic eft mi- nor folida magnitudine propofita. , PROBLEMA III. PROPOSITIO XII. Data coni portione, poteft folida quxdam figiira inferibi ,&altera circumferibi ex cylindri portionibus xqualem altitudinem habentibus; ita ut cireumicripta infcrip.tatn exuperet, inagni tudine ,qux minor fit folida magnitudine pro. pofita . E1 FED. COMMANDINI Figuram ciiiftnodt, &infcribemus ,&circufcribemus, ita «tin corio diftum eft. PROBLEMA IIII. PROPOSITIO XIII. Data fphgerse' portione ,dimidia fpha:- ra rnaior non fitipoteft folida cpiatdam portio infcribi &< altera circumfcribi ex cylindris arqualem altitudinem habentibus ,ita ut circumfcripta infcriptam excedat magnitudine, qua: folida magnitudine prdpofira (it minor. HOC etiam eodem' prorfus mado fiet: atqtie Ut ab Archimedetraditum eftin conoidum, &iphOToidum por tionibus,propofltione uigefimaprima libri de conoidibiiSjScfphsrojdibus, THEO DE CENTRO GRAVIT. S.OLID. 19 hn — /r Lpi\i 7^^^ TL_i7 'i YQp J^ M»1- u ft dc THEOREMA X. PROPOSITIO XIIII. Cuiuslibet pyramidis ,8c cuiuslibet coni ,uel coni portionis,centrumgrauitatisinaxeco(iftit. SIT p3iramis,cuiiis bafis triangulum abc:&axis de* Dico in linea deipliusgrauiratisccntrumineire.Sieniru fieri poteil:, fit centrum f: &ab fducatur ad bafimpyrami dis linea f g,axiarquidifians :iun^taq; egad latera trianguli ab cproducatur in h.quam iicro proportionem habet linea head eg, habeat pyramis ad aliud folidiun, in quo K: inicribaturq; in pyramide folida figura, &altera cir cumrcribatiir cx prifmatibus aequalem habentibus altitudinem,ita ut circumficripta inferiptam exuperet magnitudincjqiixfolido /^fit minor. Et quoniam in pyramidcpla num bafi cBquidiftans dutfliim redtionem facit figuram fimilem ci, qu« eft bafis ;centrumqj grauitatis in axe haben tem: eritprifinatis s t grauitatis cenrru in linea rqiprifmaris ux centruminlineaqp iprifinacisy z in linea po; prifimatis h3in Imea onjprifinatis A(i in linea ninjprif* madsv 7i iam li&deniqueprifmatis per in 1e. quare to- FED. COMMANDINI tius figura infcripra centrum graiiitatis eft in linea re: quodiit t;uiftaque tf, & producta ,i puniSo hducatur linea axi pyramidis sequidiftans , qus cu linea 7fconueniat in <p . habebit (ji Tad rfeandem proportionem ,qua head cg . Quoniam igi tiir exceiTus , quo circiifcri pta figura in- Icriptam fupe rat, minor eft folido K;pyramis ad eunde excefsu ma iore proportione habet , quam ad Kfo lidum ;uideli cet maiorem, quam linea h cad eg;hoc cft quam 41 T ad Tf:&proptereamulto maiorem habet ad partem cxcclTuSiqus intrapjjramidem comprehenditur .Itaque habeat DE CENTRO GRAVIT. SOLID. 20 beateam, quam tad tf. erit diuidendo ut f ad fT,ita fi gurafolidainfcripta ad partem exceffus,qux eft intra pjra midem.Cum ergo apjramide, cuius grauitatis cetrum eft puurium fifolidafigurainfcripta .auferatur, cuius centru T:reliqus magnitudinis conflantis ex parte excefliiSjqu® efl intra pjiramidem, centrum grauitatis erit in iiuea tf produfl:a,& in pundto .quod fieri non poteft. Sequitur igitur, utcentrum grauitatis pjiramidis mlinea de; hoc eftineiusaxe confiiiat. Sit conus,ucl coni portio, cuius axis bd:&fecetur plano per axem,utfeftio fit triangulum abc.Dico centrum gra nitaris ipfius cfle in linea bd. Sit enim,li fieri poteft,centrii c:perq; educatur efaxi squidiftans :&quam projior- , tionemhabet cd ad dfihabeat conus, uel coni portio ad. folidiim g.infcribatur ergo in cono,uel coniportionefoli , FED. COMMANDI NI da figura, &altera circumftribattir ex qdindris ,uel cylindri portionibus,ficuti diaum efl,ita ut cxccflus,qiio figuracircumfcriptainfcriptamfuperatjfitfolido gminor. Itaque centrum grauitatis cylindri ,uel cylindri portionis qrcftinUneapo; cylindri,uelc^lindriportionis st centrum in linea on;centrum u xin linea nm;y zin mb;»< in 1iti Apin Kh;&denique vncentrumin hd. ergo figura: inicripta centrum eftin linea pd. Sit autem p: Sciundta peprotcndatur,utcumIinea,qua:apufl:o cdudia luerit axi iquidiftans ,conueniat in c.erit ir fad pe,ut cd ad df:& conus,feu coni portio ad exceflum,quo circiimferipta figurainrcriptamfupcrat,habcbitmaiorem proportionein,qu.im ad pe. ergo ad partem exceirus,qiia: intraipfiusfuperficicm comprehenditur,mnlto maiorem proportionemhabebit, habeat eam,quam rpad pe. erit ditiidendo t)E CENTRO GRAVIT.SOLID. at diuidendo figura folidainfcriptaaddi.3:am excefTus partem, ut Tead ep.&quoniam acoiio ,feu coni portione, cuius grauitatis centrum ell c,aufertur figura infcripta , cuius centrum p:refidus magnitudinis compolir® ex par te cxceflus,quE intra coni ,uel coni portionis fuper/iciem continetui',centrum grauitatis erit in linea jeprotraSa, atque in pundo t. quodeft abfurdum .coftat ergo cen tru grauitatis coni,uel coniportionisjcfleinaxc bd;quod de inonftrandum propofuimus. THEOREMA XI. PROPOSITIO XV. Cuiuslibet portionis fpha:r£e uel ipharroidis ^ c|U3E dimidia maior non fitritemq; cuiuslibet por tionis colloidis,uel abfcilfe plano ad axem refto , uel non redo ,centrum grauitatis in axe confiftit. ^ Demonflratio fiinilis erit ei,quam fupraiii cono,uel co niportione attulimus, ne toties eadem firuftra iterentur. ?)cr i.pC' titioncn 4.Arch llKlilS. FED. COMMANDINI 'THEOREMA XII. PROPOSITIO XVI. .Iii fpIi.xrajSd rpliai.roiclc idem eftgrauitatis ,.8c^ flgiirx centrum i Sccctur fphxta, uellpha^roides plano perasietoduOro ; quod fcftionem faciat circulum, ud cllipfim abcd, cuius diameter,&fphxrsjucl fplixroidis axis db;¢rum e . Dico egraiiitatis etiam ccnwum effc.-f€ccti(r enim altero plano per c,ad planum (ecans redto ,cuius ledlio Iit circulus citiadiametrum ac, ertuU'adc,a ttcdimidixpqrtiones fj>lia:ra-,uel fph.Troidis.& quoniam portionis a dcgra uitatis centrum efiiii linea djA' centrum portionisab cin iplli be; totius /jihair® ,ticl (idixtoidisgrauiratis centrum in Axed bconliftcr.<.^iiod /1 portionis adccentrum grani’ tacis poliatur cUctlik liat ipli l',e .-eqttalis eg:puncKi gpor. -tionis abccentrum erit .Iblidis enim figinis limilibus & 'xqralibus inter fc aptatis, ¢ra g. auitatis ipfatuni in- -ter fe aptentur necclle cft .ex quo fit, ut magnitudinis,quo: ex uti iIque c5flat,hoceflipfiiis (jihxi x, iiel fjihxroidis gra uitatis centrum fit in medio lineafg.uidelicct in e. Splieera igitur, ucl fph.eroidis giauitatis centrum eilidem,quod ccntium figurs. Ex DE CENTRO GRAVIT.SOLID. u "Hilemonftratisperfpicue apparet, portioni fphacra; uel rpiix’roit!is,qucc dimidia maior ctt, ce ttum graiiitatis iti axe coufiltere. Data enim tjualibct inaio riporti6e,(:>tio ' Ilia totius fph® rr-j, iitlipliEtoi dis graiiitatis centrum cft in axe ;eft autem &in axe cen- ' trum portionis minoris : reliqusportionis uidelicet mworis centriim in axe neceP- fario cqnfiftct .. ' THEOREMA XIII. PROPOSITIO XVII. C.uiuslibet pyramidis tria giilarcmbanm habetis gra uitatis centrum cll in piindlojin quo ipfuis axes coaucniunt. Sit pyramis,cuius bafis trian giilu ni abc,axis dc;fi tcj; triao giilibdcgraiiitatis centrpra f:,' &iinigatur aficrit &alaxis eiiif d, dem pyramidis ex tertia diffinitioncmiius. Itaque quoniam centruin grauitatis eftin axe dcicft autem &in axe af; quod pro.ximc dcmonftraui' Fa FED. COMMANDINI cnintcacli!mrationcprifiiiataa Cjfminterre a-' ijiiaJia. quiare fiinilftcr lEabiturprilma f'm ad prifmaf 1 eaiicicm habere proportionem , <.)nam prirmatis fmaltitudoad ** °ji-. irjw .i ^ altitudinem ip- ' ' , lius fl.ergo&pri/ina aeadpriihia fl tancfdmp^bpot'- tionem habebit, quam altitudo ad altitudinein^fequitur igitur ut &pyramides,qua; in ii^qualibus bafibiis conftitiiui rur, eandem inter feie, quam altitudines,propartioncni habcanc. . . , Sint deinde priiinata ae,afin eadem bafi ab cd; quoru axes cumbaribusafqtialts angulos contineant :&iit priP matis Ei E:CE NTROGRA' VIT. SOXI D. «latis aeaxis gli ;&pri&atis afaxis. IIr. 'Dico pri(i»,t aead prifma afeam proportionem haberiji|uam -g hadii 1. ducantur apundlis g1perpendiculares ad bafis num gK, Im ;&iungantur h, h m. itaque quoniam angtili gh.. 1l> 1hai funt xquales,fimiijtcr ut iiipra demoTiflrabimus,triangula ghK, 1hmfimilia effe ;&ut g Kadlm,ita gh ad hl.habetau tem prifma aead prifma a f ean dem proportionem,quam altitu do gK ad altitudinem lm,l5cuti dcmonflratum cfl. ergo &eandem habebit, quam gh,ad hl.py ramis igitur abcd gad pyramidem abcd1eandem proportiooera habebit,quamaxis gh ad hl axem, y!-..,.j: £ h. Denique fiutpri/iriata ae,K 0in*;qualibu.sbafibtisa b cd,/tlmn coliflifuta; quorum axes cum bafibus, aquales iaciautanguIos;fitq;pri(inatis aeaxis fg,&altitiido fhr prifmatis autem koaxis pq, &altitudo pr.Dico prifma aeadprifma koitaefld, ut fg adpq. iundtisenim gh, Ga FEn.COMMANDINI:i ^r,eodem,quo/upra,modo6ftencieirms’fg'adpq,ut ffi ad.p r. fedprifma aeadipfum ico cll,iitfh adpr. ergo &ucfgaxissdaxemp q. ex quibus iit, iic pyramis abtdf adpyramidexlmiip r.:«• eandemdia beat pro - portione , quaaxis ad axe .quod demojnftra diifuferat, /I Simili.r^ ’ tione in aliisprifma-- tibus &py ramidibiis eadem dcmonftfabuntur.. THEOllEMA XVII. PROPOSITIO XXI. Prifrriata omnia, 8c ji5(ramiclcs inter fe propor tionem habent cpmpoGtam ex proportione bafium ,&proportione altitudinum. Sintduoprifmataa e,gm:fitq;pri(Inatis aebaiis qua drilaterum ab cd,& altitudo efipriiinatisuero ginbafis quadrilaterumgh K],& altitudo mn.Dicoprifma ae adptifma gm proportionem habere compofiram ex pro portione baiis abed adbafim gh /t,I, &ex proportione altitudinis 'e ij ad altitudinem inn. Sint enim primum ef, mn a-quales ;& ut baiis abcd adbafimgh Kl,itjiiatlinea,inqija oad lineam, in qua p: ut autem et'ad mn,italinea pad lineam q. erunt linea: pqinter fe squales .Itaqueprilina aeadprifma gmea pro DE CENTRO GRAVIT. SOLID. proportionem habet, quam bafis abcd adbafimghKl: fi enim intelJigantur duse pyramides abcdc,ghklm,habebunthreinter ie proportionemeandem,quam ipfarnm bafes exfexta duodecimi elementorum.Sed ut bafis abcd ad ghK1bafim,ita linea oad lineam p;hoceft ad lineam q ei squalem. ergo ptiima aeadprifina jjm efl:,ut linea o adlineam q.proportio autem oad qcqpofita eft ex proportione oad p,& ex proportione pad q.quare prifma aeadprifma gm,&idcirco pyramis ab ede, ad pyramidemg hKlmproportionemliabet ex eifdem proportionibus compofitam,uidelicetexproportione bafis abcd ad bafim ghjf 1,& ex proportione altitudinis efad mnal titudinem .Quodfi lines eijm niosquales ponantur, fit efminor ;&ut efad mn,ita fiat linea pad Uneam u:dc inde ab ipfamnabfcindatnrrn,squalis ef:&pcr rdneatur planum, quod oppofitis planis squidiftans laciat fedtionemst.eritprifma ae,ad prifma gt,utbafis abcd ad bafim ghk1ihoc eft ut oad p:ut autem prilma gtad prifma gm,ita altitudo rn;hoc eft efad altitudine mn ; uidelicetlinea padlineam u. ergo ex .squali prilma aead prifina gmeft,utlinca oad ipfam u.Sed proportio oad ucopolicaeft ex proportione oadp,quie eft bafis abcd ad bafim ghk1;&ex proportione pad u,qus eft altitudinis Cfad aititudiiieiji mn.prifina igitur aead prifina gra 10, Imius FED. COMMANDINI compofitam proportionem habet.exproportionc bafiu j, &proportione altitudinum .Quare &pyramis, cuius ba- Cs eft quadrilaterum a b cd,& altitudo efadpyramidem. cuius bafis quadrilatefum gh KI,& altitudo mn,compo(i tam habetproportionem ex proportione bafium abc d, gli ft,l,& ex proportione altitudinum ef, mn.quod quidem demonftrafle oportebat . EXiam demonftratis perfpjtUum eft,prifffla ta omnia,8c pyramides ,in quibms axes cum bafibus «quales angulos continent, proportionem habere compofitam ex bafium proportione ,8c proportione axium .demonftratum cftenim ,axes inter fe eandem proportionem habere,quam ipfa; altitudines. THEOREMA XVIII. PROPOSITIO XXII. CVIV5LIBEtpyramidis,5£ cuiuslibet coni, uel DE CENTRO GRAVIT. SOLID. zS uel coni portionis axis acentro granitatis ira dini, ditnr ,ut pars, qua: terminatur ad uerticcrn reliqua: partis, qua: ad bafimjfit tripla . Sit i^yramiSjCuius bafis triangulum abc; axis de; &gra uitatis centrum K. Dico lineam dkip/ius Ketriplam eHe , trianguli enim bdccentrum grauitatis fit punifhim tria guli adccentrii g;&trianguli adbfit h:&iungatitur af, bg,c h,Quoniamigitur centru grauitatis pyramidis in axe cofiiUtiruntq; de,af^bg,ch eiurdepyramidisaxesiconue nient omnes in idepunftu quod ell grauitatis centrum. Itaque animo concipiamus hanc pyramidem diiii/am in quatuor pyramides ,quarum bales fint ipfa pyramidis triangula; Sc axis pun- (5t:um kquje quidem pyramides infer fe aquales firnt ,ut demoflrabitur . Ducatur eni per lineas dCjdeplanumfecas, ut fitipfiiis,&: bafis ab cco munis fectio redalinea ceI:eiufde nero &triaguliadb fitlineadhl. erit linea al leqiialis ipfi 1b: nam centrum graiiitatis trianguli confilHc in linea ,qiije ab angulo ad dimidiam bafim perducitur, ex tertia decima Archimedis ,quare triangulum aci xquale eft triangulo bcl ;&proptereapyramis,Cuius bafis tria nguliiiTiacl,uertexd,efIjEqualis pyramidi, cuius bafis bcl triangulum^& idem uertex. pyramides cnim^qua; ab code 17.I1UIUS I. fexti. f.duodflcimi. FED. COMMANDINI funtucrtice, eandem proportionem habent, quam ipfai-u bafes .eadem ratione pyramis acIJc pyi'amidi bc1k:&py ramis ad1kipfi bdIkpyramidi squalis erit.Itaque ii apy ramide ac1dauferanturpyramides ac1k, ad1k:&apyra mide bc1dauferaturpyramides bcIk, db1K: qus relinquuntureruntsqiialia. squalis igitur eftpyramis ac d,K pyramidi bcdK.Rurfus fi per lineas ad,tke ducaturplanum quodpyramidemfeeet ;fitq; eius &bafis communis feflio ae m:fimiliteroftendeturpyramis ab dKsqualis pyramidiacdx .dufto denique alio plano per lineas ca, af: ut cius ,&trianguli cdbcommunis fedlio fit cfn ,py-: ramis abckpyramidi acdksqualis demonftrabitur .cu ergo tres pyramides bcdl^, abdk,abck nui, &eidem py ramidi acdkfint squales, omnesinter/e fe squales erut . Sed utpyramis abcdadpyramidem abcic,itadeaxisad axem ke, exuigefimapropofitione huius ;funtenimhs pyramides in eadem bafi, &axes cum bafibus squales con tinent angulos ,quodin eadem reftalinea coniHtuantur . quarediuidendo,nttrespyramidesacdk, bcdK,a bdK ad pyramidem ab cK, ita dk, ad Ke,confiat igitur lineam dKipfius Sctriplameffe.fed&ax tripla eft Kfiitemque bKipfius Kg :&CKipfius k1tripla, qnodeodem modo demonftrabimus , Sit pyramiSjCuius bafis quadrilaterum abcd; axis ef: &diuidatur efin g, ita ut egipfius gffit tripla .Dico centrum grauitatis pyramidis eliepundlum g. ducatur enim: lineabddiuidensbafimiiiduotriangulaabd, bcd; ex quibus iutelligatiir coftitui dua? pyramides ab d e,b cde: . fitqiie pyramidis abde axis eh; &pyramidisbcdeaxis eK: &iungatiirh Xjqua; per ftranfibit:eft enim in ipla hK . centrum graiiitatismagnitudinis compofitx ex triangulis abd, bcd,hoc cfi ipfius quadrilatcri .Itaque centrum gra uitatis pyramidis abdefit pundtum1;&pyramidis bcde n.fexti. ficni.ductaigiturlmipfihmiiucsxqsiidiftabkniamel ad Ih DE CENTRO GRAVIT.SOLID. 39 Iheaiideiii'habetproportionem,(jiiain etti ad mk, iiideli-i, cet triplam. quare lincalmipfam ef fgcabitiapunapgi (Itenim egad gf^jUt el .ad 1h.praeterea quoniam li: k, Im spqiiidiftant,erunt triaijgu.la.h ef, 1egfimilia.: itemq; inter, fciimilia.fe.K ,g.em ;ut efad e.g, ita h fad 1g: &ita fKadi gm. ergo ut.h fadlg.itafK ad gin; &permutando uthf adfK,italgadgm..ledcumhEtcentrum trianguliab d> St .K triaguli bcd:p.unia:u uero .f totius quadrilateri abcd centrum :erit exS.Archimedis de centro grauitati? plano, rumh fad Fk, ut triangulum bed ad triangulum abd:ut. autem bed triangulum ad triangulum ab.d, itapjramis bede adp3iraniidem,abde.ergo linea Ig ad gm eritjUtpjramis .b,’c dpadpjiramide ab de.ex qud fcquitur ,,ut totius pjramidis abede pundlum gfitgraujtatis eentrum.. .Rutius ut pyramis ,ba- . Emhabens pentagonum abede: &axem fg: diuidaturq; axisiii pu dto h, ita ut fh ad hgtriplam habe at proportionem.Dico hgrauiratis eentru clfe pyramidis abcdef. iungaturcniin cb :intelligatiirq; pyramis ,ciiiiis uertex f, &bafis triangiilnm abe :&aliajiyramis intelligatur eundem uerticem har.'. bens.& bafim bcd.e qiudrilater.fi: fit alitent gjifamidis db e/axis Fk, &grauitaHS centrum 1:pc pyrami? dis bcdefaxis frn, &ceutru mgra uitatis.n! iuiigaiVturq; Krujln! .xjiia: per puntSa gh irahfibunt 1 iturfuscodcnvmodojquo fiip la, .dcmonlkabimUs lineas Kgm,J.h nfibi ipfisa:quidifiare H FEI). CaMMANDIN"! &c!cniquepunifhmi It pjiraraidis ab£dcfgi-auitatis efle centrum, &rtain aliis. Sit conus,uel coni portio axem habeiis b'd ;fecetufque' {flano per axem, quod feiSioflem faciat triangulum abc: &bd axisdiuidaturin e, ita tit be ipfius ed fit tripla. 'Dico punftum econi', uel coni partionis ,'grauitatis cffccentrum. Sienimfieripoirefti iitcenrrum 1'; &producatur efextra fignramin g,quam uero proportionem iiabcfg ead ef, habeat bafis conii uel 'coni portionis, hoc cft circulus ,uel cllipfis circa diametrum ac ad aliud fpacium ,iii quo h.Itaque in circulo ,uel ellipfi plane defcri-i batur rciSilinea figura ak1mcnop,ita ut quatrelinquutur portiones fintminores/pacioh ;&intelligatur pj'ra-' mis bafim habens reftilincam figuram aKlmcnop,Sc axem bd; cuius quidem grauitatis centrum eritpundium C, utiamdcmonftrauimns. Et quoniam portiones fiint minores Ipacio h, circulus, uel cllipfisadportiones majorem pTOportionettfhabet,quamgeadc f. fedntcircn- Ius ,uel cllipfis ad figuram reflilineam fibi inferiptam ,ita conus,uel coniportio ad pjramidenjjqua: figuram rcftilintamprobali habet;& altitudineqi squalem: etenim fii- DE CENTRO GRAVrT.SOtito. 50 pra deHionftratum eft ,ita efle ylindrum.uel cjlindri por- Shuino tionein ad prifina, cuius bafis redUlinca figura, &ieqiialis altitudo .ergo per conuetfionem rationis ,ut circulus, peleliipfisad portiones, ita conus,uel coniportio adportionesfolidas. quare conus ucl coni portio ad portiones Iblidas maiorem habet proportionem', quam gead ef: & diuidencto, pyraitiisad portiones fblidas maiorem proportionem habet, quam gfad fc. fiatigitur qfad fe utpyramis ad didtas portiones .Itaque quoniam icono uel coniportione, cuius grauitatis centrum eft f, aufertur pyramis, cuius pentrum e;reliqua: magnitudinis , qua; ex foIidiS portionibus confiat ,centrum griuiitatis erit in linea cfprotrafla ,&ifi pundio q.quod fieri nonpoteft :eft enim centrum grauitatis intra. Conflat igitur toni,uel coni portionis graiiitatis centrum effe pun (Sum e.qu.u omnia demonftrare oportebat , THEOREMA XjIX.: PROPOSITIO XX!!!, Q^vodubet fruftum hpyramide ,qua: triangularern bafim habeae, abfeiflum, diuiditur iii tres pyramides proportionales,in ea proportio iie, qua: eft lateris maioris bafis ad latus minoris ipfi refpondcns . Hoc dcmonftrauit tconarduS Pifanns in libro ,qui de- ' praxi geometria; inferibitur. Sed quoniam is adliuciniprefliis non eft ,nos ipfius dcmonftrationcm breuiter pcrftringeinus ,remiplam feputi, non uerba. Sit fniihim pyramidis abedef, cuius maior bafis triangulum abe, minor def; Aiuniftisae, ec, cd, per, lineas ap, ec ducaturplanum, iecans.frnftumritemquc per lihcas ec, cd; &per cd, da alia pJa.na ducantur ,qua; diuident ftuftura in tres pyramides 'aTa cc,adce,defc, 'Hi FED; COMMANDI NX prodiTcannir. Qjioiii;uri igitur pyramis fecatur planis bafi J.liuiin *qiiidiflantibns,4'i-T:ionesfimileserunr:atqu’eeflintqua- ,drata,uel reflangula circa circulos ,irel ellipies defcripta, .quemadmodum &in ipfabafi. Sed cumcirculiinter fcea jaliiodcproportionem habeanr, quam diametrorum quadrata : itemq; ellipfes eam quam reflangulaex ip&cuni diametris 7, <lc coconflantia :&fit circulus, uel ellipfis circa diametrum e£ noidibus &fphre- i'oiclibu9 fropoifiotialfe iiitef efrcfllaS ,tiefellipres ai>,c d'; erit rd* 'tflailgiilUKi efetiam inter retoftgula-aibi C'dproportioaiate Cpei redtaiignliinV-enifll ntinc breuitatis caufa etia ipdiim quadratum ihttlligeBlus-. quare 'ex iis ,qiip: proxime 'didta fiunt,pyramis'bafim habens iqtfaierti dictisreflangH dis,& altitudinem edtideifl’, quam fruftum ad, ipfi' 'frufto' a pyrainide abficiflb' aJqualis probabitur, utatttem rediangU Ium cdadrcftanguluefiira circulus, uel ellipfiscdad e'f circulum,ttcl tllipfim :compouendoq; utrediangula cd , cfiad efrcdtangulum,ita circuli,iicl cHipiesed,efiad ef: &utrcdiangulum efaclrcdtangulum ab,ita'eit£Hlus, ucl ellipfis cfad abcirclilum,uclellipfimi ergo cx squali, & componendo,ut rc-(aaguia.cd,efia badipfiuni ab,ita circuli, DE:CENTR0GRIAVIT. SiOOD. 34. cali,udellipresci,efab adeirculumjuclellipfimab.ln-^ teUigatur pyramis qbaiimbabciisjcqiialcmtribusredaa gulis ab,e^cd;^ altitudinem cadiJm,quam fruftum ad. intelligatiiretiainconusjuelconiportio qjcadem altitudi nc,cuius bafis fit tribus circulis ,uel tribus ellipfibiis ab,’ ' ef-jcd jequalis.pofiremointcIJigaturpyrainis alb, cuius bafis fic-rcftaiigiilum in no p> &altitudo eadem, qua? frufli :itemq, intelligapur.conjis» iiel coiiiportio a1b,cuius bafis circulus,uclellipfis circ^ diametrum ab,&: eadem al titudo .utigitur redrangu^aabje i^edad redanguluin ab, »0 ita pyramis qadpyramidem aIbj&iir circuli, ucl diipiisab,ef,cdad abcirculum,uelel]ipfim,ita conus, uel co ni portio adeonum, uel coni portionem a1b. conus igitur, dei c<jnl‘portib qad coniun ,-ueI Coni portionem a1b'eft,iitpyi*amjs qad pyramidem a1'b.ied pyramis qlb adpyramidem agbeftjiitaltitudo ad altitudinem,ex 20. huius :&ita cft cphusjuel coniportio al 'b ad coiium, nel coni portionem agbcx 14. duodecimi elempntorum , 6ccx iis,qiice nos demonfirauimus iii commentariis in undecimam d^‘ conoidibus ,/jiharroidibws ,propofitione quarta, pyramis autem ag bad pyramidem cgdproportionemliabet conlpofitam cx proportione bafiutn& pro portionealtitudinUtn,exiugefiina-f5rimahuius :£c fiijiiU- t;er cpnus,u.cl cpni portio agbad conum,ucl coni portionem cgd proportionem habet compofitacxcifdem proportionibus per ea, qiuc in didis commentariis demonfirauimus,prppofitione quinta,&Texta :altitudo ciiim ia utrifq.up eadem eij, &bafesintcrTc Te candemjiabept proportionem. ergontpyramisagbadpyramidem cgdjita efteonus, uel coniportio agb ad agd conum, uel coni portionem:&percpnucrlionerationis,utpyramis agb adfruftu apyramide ahTci/Tum, ita conus nelconi poftio agb adTrumim ad.exa:qualiigitur,utpyramisq adfruftum ii pyramide abTcifliim, ita conus ucl coni portio qad Iz FED. COMMANDirNI fruffum ad. Sed pyramis q.-equaiis eft frufto apyramide abfciiibjUt demoiillraiiimus .ergo &con us, uel coni portioeijCiiius bafis ex tribus circiilis,uelellipfibus ab,ef;cd coni}at,&; altitudo eadem, qua; frufti :ipli iriifio adeft sbqualis .atque illud eft, quod dcmouftrare oportebat. THEOREMA XXI. PROPOSITIO XXVI, C.V IV511BETfrufti Spyramide ,ucl cono,, uel coni portione abfcisfi, centrum grauitatiseft in axe ,ita iiteo primum in duas portiones diuifo,portio fuperior,qu:c minorem bafim attingit ad portionem reliquam eam habeat proportionem,quam duplum lateris; uel diametri rnaioris bafis, vn ii cum larere, uel diametro minoris,ipfi refpondente,haberad duplum lateris, uel diametri minoris bafis vna cu latere ,uel diametro maioris ;deinde apunfto diuifionis quarta parte fu perioris portionis inipfa ffimpta.- acfurfiishb interioris portionis termino,qiu eft ad'bafim maio rem,fiimpta quarta parte totius axis: centrum fit in linea,quae his finibus continetur, atque in eoli nciEpun<3:o,qiio fic diuiditur,uc rota linea ad par tem propinquiorem minori bafi, eadem proportionem habeat, quam fruftum ad pyramide ,uel Conum ,uel coni portionem ,cuius bafis fit eadem,qua: bafis maior,&: altitudo frufti altitudini icquaiis . DE CENTRO ORAVIT.S OLID. Sit frufttim ae apyrimide,quc triangularem bafim habeat abfalfum :cuius maior bafis triangulum abc, minor def; &axis gh.dudo autem plano per axem &per linea da, quodfciflionem faciat dax 1quadrilaterum *, punfta Kllineas bc, efbifariam fecabunt. nam cum gh fit axis frufti: erit hcentrum grauitatis trianguli abc; &g centrum trianguli def: centrum uero cuiuslibet triangu li etl: in reila linea ,quje ab angulo ipfius ad dimidia bafim ducitur ex decimatertia primi libri Archimedis de cetro gra uitatis planorum, quare centru grauitatis trapezii bcfc eft in linea Xl, quod fitm :&a piindom adaxemdinSa mn ipfi ak, iiel dl ^quidiftante; erit axis gh diuifus in portiones gn,nh, quas diximus.-ean dem enim proportionem habet gn ad nh, qua Imad mki. At 1madm Khabet eam, qua SX duplum' lateris maioris baiis bc una cum latere minoris ef ad duplum lateris efuna cum latere bc, ex ultima eiufdem libri Archimedis .Itaque alinea Jig abfeindatur 3quarta pars ,qux fit np:&ab axe hgabfeindatur itidem quarta pars ho: &quam proportionem habet fruftum ad pyramidem,cuius maior bafis eft triangulum abc,&altitudo ipli jcqiialis; habeat opad pq.Dico centrum grauitatis fruftiefie in lineapo, &inpun61:oq. namqucipfum cflein linea ghmanifefie confiat.protradis enim £'ulli pii ius . Vln’iTia eitiTile libri Archimedis. FED.COMANDINI «is, qnoufque in unum pundlum rconueniant ;critpyramidis abcr5&pyramkiis dcFr graiiitatis centrum in linea rh.ergo 5creliquit magnitudinis, uiddicet Irufti ccntrumin cadcmlineaneceifario comperietur. lungantur db,dc,dhjdm:&pcrlineas db, dc dud:o altero plano intelligatnr friiftiun itJ duas pyramides diuiiiun :in pyra-^ midem quidem,cuius baiis cd triangulum abc,uertex d : &in eanijCiiius idem uertexj^ baiis trapezium bc fe .erit igitur pyramidis abcdaxis dh, &pyramidis bcfedaxis dm:atque erunt tres axes gh,dh,dmin eodem plano da K1.ducatur prjttcrca per blinea ftipii aKjcquidiftas, qu{Blineamdhiiiiirecec:pei* pnero ducatur xy squidiT- rians eidem ,iecansquc dmin .2 :&iiingatLir zii ,qiix fccct ghin (p. tranfibiteaper q;& erunt (pq unum., atqueidem plinthum iutinferias apparc/- bit. Quoniam igitur linea uo ?..fexti. jBqiiidiftatipfi dg, critduad 11 h, ut go ad o h.Sed gotriplaeftoh. quare &duipiius uh eft tripla: &ideo pyramidis abcdcentrum grauitatis cTtt puinSum ti .Rurfiis quoniamzyipfi dl .'Equidiilat, d2 adx meft, ucl yady m: eftqiie lyadym,utgp adpn. ergo dz ad zm eft, ut gp ad pn.. J<5 l Q^uod cum gp iit tripla pn ; erit etiam dzipilus zm tripla .atque ob eandem cauF- iam punctum zeft centrfi gra-^ uitaris pyramidis bcfcd.iim ^ dtaigitur zu,in ea erit cetrum DE CENTKO GRAVIT. SOLI D. griuitatis magnitudinis ,qiis ex utrifqnc pyramidil)us o> ftar 5hoc eft ipliiis Irufti .Sed fru/li centrum eft etiam in axcgh.ergoinpufivSiocp,in quo linea: 3u,gh coniieiiiiint. Itaque u1;zeam proportionem habet,quam pyramis t bcf ed adpyramidem abcd.&componendouz ad z eainhabet,quamfruftumadpyramidema bcd.- Vtuero ^\s citro uz ad z,?,ita opad pcp obhmilitudinen^triang-iiloruni,. gr-mita. uo^',zp^'. quare op ad p4)eftntfriillumadpyramidem abcd.fed ira erat op adp q. jcqualcs igitur (uiitp rt,p q : qunum atqueidem piuiviiiim.cx quibus Icquitur lineam ^ 2ulecare opin q;&propterea piictum qipfius frufti graiiitatis centrum efle Sitfrufliimag apyramide,qUarqiiadrangularent bafiin habeatablciirumjCiiiusmaiorbafis abcd>,minor cfgh,. &axis KLdiuidaturaiiremprimu /^Ijitaiitquamproportionem habet duplum lateris abuna cumlatere ei’ad du pium lateris efuna cum abjhabcat km adml. deinde a piidlom ad kfumatur qiiartaparsiplius mK,qiKxlitmn. &rurhis ab 1fumatur quarrapars totius axis 1k, qua: Iit 1o.poflrcmofiat o n ad np,utfruftnm a-g ad pyramide, cuius balisfiteadent,qU?5 frufli,'^ altitudo xqualis. Dico pundum pfrtifti aggrauitatis centrum cHe .ducantur enim ac,eg.'& intelliganturduo frufta triangulares ba-' fes habentia,quorum alterum If cxbafibus abc,c fgeoftet ialterum 1hex bafibiis a c d,e gh.Sitq; frudi 1faxis qriinquograuitatiscentrnm s:frudi ucro Ihaxis tu,&: Xgrauitatis centrum :deinde fungantur ur,t q,x s.trandbit urper 1:quoniam 1ed centrum grauitatis quadranguli ab cd: &punda rugrauitatiscentratrianguloriim ab'C, a c djin qiUE qiiadrangukimipfurrvdiiuditur. eadem quoqueratione tqperpundiim/{,trandbit^Atuero pro portiones, ex quibus frudorumgrauitatis centrainquiri:- iiins,eoEdcmfuntintotofrudoa g,&in frudis If^ih. Sunt enim per o6laiiam huius i^uadrilatcra abcd>c fg hllmilia: FED. COMMANDINI- itemq;(imilia triangula abn, erg:&ac d, egh .Udr-. eoqilareiafibiipfisrefpondentia eandem inter ie(e pro-, portionem feruant. Vt igitur duplum lateris ab uni cum latere efadduplmnlaterke 5'undcum.a b^ita eli, duplum adlateris uni cum latete eh ad duplum ehuuacum ad: &ita in aliis . Rurfus frudum agad pyramide, cuius eadem eft bafis ,&Kqualis, altitudo eandem proportione ha, bct,quam frudu lif ad pyramide, quK eft eads bafi, &aquali altitudine; &iimiliter quam 1hfru-; fium ad pyrami-- dem,, qUK ex eadebafi, Sttequali altitudine conflat, nam fi inter ipfas bafes me-, dia: proportionales conftituan tur, tres bafes fimiil fiimpta ad maioren» bafim in omnibus eodem inpdo rehabebunc. Vnde fit, ut axes Kl, qr,t uipundtis psxin eandem proportionem fecenfexti .tnr .crgo.linea xsper ptranfibit :&linea rii,s x, qtinter fc aqiiidiftantes erunt.Itaque cum frufti aglatera produdla de centro GRAVIT.SOLID. 37 dufla fuerint, ita ut in unumpunSumycoeant, erunt tria gala 11 yl,x yp, ty^inter fe fimilia :&fimilia etiam triangu lalyr,pys,/i,yq.quareutiii ip huius, demonftrabitur xp,adpS:itemq;tK ad fqeandem habere proportione, quam u1ad 1r.Sed ut uIad 11,itaeft triangulum a b cad triangulum acd:&ijt tkad Kq,ita triangulum efgad triangulum egh. Vtautem triangulum abcadtrianguluma cdjitapyramis abcy adpyrainidera a c dy.&ut triangulum cfg ad triangulum egh, ita pyramis cfg y ad pyramidem eghyjergo utpyramis abcyad pyramide acdy,i£apyramisefgy ad pyramidem eghy. reliquum igitur frultu Ifadreliquumlruftulheftutpyramis abey. ad pyramidem acdy, hoc ed ut u1ad 1r, &ut xpad ps. Quodeum frulH 1fcentrum grauitatis fit s:&frufti 1hfit centrum x: conftatpunftum ptotius irufti aggrauitatis elfe centrum .Eodem modo fiet demonftratio etiam in aliis pyramidibus . Sitfi-ufium ad acono,ueI coni portione abfcilTum, cuius maior bafis circulus, uel ellipfis circa diametrum ab ; minor circa diametrum cd;&axis ef. diuidaturaute ef ing,itsut egad gfeandem proportionem habeat, quam duellum diametri abuna cum diametro cdad duplum cd una cum ab.sitq; ghquarta pars linea; gc;&fit fKitem quartapars totius feaxis, Kurfusqiiamjjroportionein habet fiiiftum adad conum,uel toni portionem,in cade bafi,& lequali altitudine, habeat linea Khad hl.Dico punftura 1Irufti ad grauitatis centrum efic. Si enim fieri potcft.fir mcentrum .-producatiirq; 1mextra fruftum in n : &ut n1ad Im, ita fiat circulus, uel ellipfis circa diametrit abad aliud Ipaciura ,in quo lito. Iraquein circulo, uel ellipfi circa diametrum abreflilinea figura plane delcribatur,itaut qiuE relinquuntur portiones fint ofj^acio minores :&intelligatur pyramis ap b,bafim habens reftilineam figuram in circulo ,uel ellipfi abcieferiptam ;aqua ip.quinti ff. Arcliimedu. &Z.huIU8' jp.qulnt) FED. COMMANDINr frurtiim p^iramidis fit abfciflum .erit ex iis qusproxime tradidimus,friifti pyramidis adcentrum grauitatis l.Quo tiiam igitur portiones ijiacio ominores funtidiabebit cir culus ,iid cilipfis a b ad portiones didas maiore proportionem, quam n1 ad 1m,fed ut drculus,uel ellipfis abad portiones,- ita apbconus ,uel coni portio ad folidas portio-* nes, id quod /iipra demon Aratum cft ;&ut circulus uel ellipfis cdad portiones,qujEipfiinfunr, ita conus,ucl coni portio cpd ad folidas ipiius portiones. Quodeum figurjEin circulis, ticfellipribus ab' <;d defcriptJE fimilesfint,- erit proportio circuli, uel ellipUs abadfiias portio Bcs ,eade ,qiia? circuli ucl. cilipfis cdad luas ,ergo' conus,ueI coni portio ap had portiones folidas eadem habet proportione, quam conus, uel conipor tio cp d ad ibiidas ipiius portiones. reliquum igitur coni, uclconiportionisfrufiuj/cilicet ad ad reliquas portiones folidas in ipfo contentas eandem proportione nabet,quam conusjuel coni portio ap bad folidas portio Hes:hocefl:eandem,qiiamcircuJus,iieIellipfis abadpor tiones planas. quarciruAum coni,iielconiportionis ad ad *DE CENTRO GRAVIT, SOIID. 38 adportiones folidas maiorem habet proportione, quam nIad 1m:&diiiidendo frudum pjramidis ad dittasportiones maiorem proportionem habet ,quam nmad m1. fiat igitur ut frudum pyramidis ,ad portiones, ita qmad ml.,Itaquequoniamafrudoconi,Helconiportionis ad, cuius grauitatis centrum edm.auferturiruftum pjrramidis habens centrum 1;erit reliqua; magnitudinis ,qua: ex portionibus folidis condat ;grauitatis cetrumin linea 1m produda,atqueinpun(3;o q, extra figuram pofitorquod fieri nullo modopotcd .relinquitur ergo,utpiuiaum 1fit frudi adgrauitatis centrum .qus otnhia demondranda proponebantur, THEOREMA XXII. PROPOSITIO XXVII. OMNIVMfolidorum in fphxra defcriptorum, squalibus ,Sc fimilibus bafibus continentur,centrum grauitatis efl: idem, quod Iphsrs centrum , Solida einfinodi corpora regularia appellare folent, de quibus agitur in tribus ultimis libris elementorum :funt aiitcmnumcro qiunque,tetrahedrum,ud p)iramis, hexahedrnm,uel cubus,odlahedrumjdodecahedrum ,&icofahedrum . Sitprimo abed p3jramisllpha:radcrcn'pta,cuius(jih® ra: centrum fit e.Dico epyramidis abcdgrauitatis efie centrum .Si eniin iunfta dcproducatur ad bafim abcin f; exiis,qu* demonftrauit Campanus in quartodecimo li bro elementorutij,propolitie-ne decima quinta,&decima feptima,erit fcentrum circuli circa triangulum abcdeferipti: atque erit effextaparsipfiiis fphierre axis. quare ex primahuius condat trianguli abc grauitatis centrum cffepundumfi&idcirco lineam dfellepjiramidisaxcm, Ki FED. COMMANDINI tlonem cadet :Itaque cum aportioiic conoidis,cuius grauitatiscciitnim eauferatur iuicripta figura, centrum habens p:&fit 1ead ep,utfigura inferipta ad portiones reli quas :erit magnitudinis,qua; ex reliquis portionibus coii ifat, centrum grauitatispuniftuml, extra portionem cadens .quod fieri nequit .ergo linea peminor cftipfa glineapropofita. £x quibus per/picuum efteentrum grauitatis figiirxinfcriptx, 8c circumfcripttEco magis acce dere ad portionis centrum, quo pluribus cylindris, uel cylindri portionibus conltet :fiatq; figu rainfcrjpta maior, 8c circumicripta minor. 6£ quanquam continenter ad portionis centru propius admoneatur nunquam tamen adipfumper ueniet .fequeretur enim figuram irilcripram ,no iblum portioni, fed etiam circumfcriptaefigurx squalem effe .quod cfl: abfurdum. THEOREMA xxin. PI^OPQSITIO XXIX. CVIVsLIB'E.T portionis conoidis recflanguli axisa cctro grauitatis ita ditiiditur, utparsqus terminatur ad uerticem,reliqu.T partis, qua; ad ba fim fit dupla. SIT portio conoidis red-angiili iicl abfcifTaplano ad axem reL-to,uel non redo;& fctila ipfa altero plano per axe ’litrnperficieiTecSioab cre<5i:angi]liconirc(5tio,iielparabo le; plani abfeindentis portionem fedio fit re<5ta lineaac: axis portionis ,&fecTionis diameter b d .Sumatur autem in linea bdpunitum Cj ita ut befitiplius eddupla .Dko epor- 4^DE CENTRO GRA VIT.SOilD. cportionis ab cgrauitatis effe centrum .Diuidatur enim b d bifariam in in : &rurfus dm, in bbifariam diuidantur in punais n, p; inferibaturq; portio- ni figura; folida, &altera circum feribatur ex cylindris squalem altitudinem habentibus, utfuperius diiia eft’. Sit autem primum figura inferipta cylidrus fg:&circiiicripta ex cylindris ah, K1 confiet, pundlum nerit centrum grauitatis figurs infcriptffi ,medifi fcilicet ipfius d maxis atq; ide erit centrum cy lindri ah ;& cylindri KIcentru o,axis bmmedium .quare fi li r.huius L» FED. COMMANDINI primf libri Archimedis 5r. duo* decimi. jj.^uinu 1.duodecimi . neam on ita di lii/erirntasili pj ut qua proportione habet;cylindrus ahad ' cylindrum k1^ habeatlineaop adp 11: centrufn grauitatis totius figura circiiferiptx erit pun- £tum p.Sed cylindri, qfui funt aquali altitudine, eandem inter fe feVqitani bafe-s prcJpor — tionem habcilt: €flq;iitlin'eadb ad bm,ka quadratu linea ad adquadratu ipfiiis K. m,ex uige fimapriitii libri ’conicofui&ita quadratum ac ad quadratu K g: hoc eft circulus circa diame trum ac ad circulum circa dia mctanim kg. du pia ekautvm linea dblines DE CENTKO GRAVlT.SOtll^. bm. ergo circulus a c circuli ^g: Sc idcirco cjHndri/s ahcylindri 1diiplus erit, quare t5:linea opdupla iplius pn.Deindeinrcripta& circumfcriptaporrioiri alia figura, ita ut infcripta coniHtuatur ex tribus cylindris qr,sg, tU: circumfcriptaueroexqaatuor ax,yz, Ki‘, aA:diuidaiitur bo,om,mn,ndbifariam in puiif^is {i VTT p.Itaque cylindri ^Acentrum grauitatis eft pun«Jlum p: &cylindri khcentrum v. ergo fi linea pv diiiidatiirin tf, itaiitp/jadtfvproportioneealiabeat, quanTcylindrus Ka adcylindrumd A, uidelicet quam quadratum li mad quadratum 5o,hoceft, quam linea mbadbo': erit acentrum primi magnitudinis compofitjE ex cylindris kr, 9A.cum linea mbfi tdupla bo, eri t&pipfius (X vdupla, praiterea quo,- iiiam cylindri yzcentrum grauitatis cfi: TTilinca atita diui iain T,Ut rf 7adTTT eam habeat proportionem,quam cyliii drus yzad duos cylindros K?A: erit tcentrummagnitk diniSjqu.-s ex di<5tis tribus cylindris confiat' .cylindrus aiite yz ad cylindrum? AeftjUtIinea nbadbo^hoceftutj ad I;&ad cylindrum kh,ut nbad bm,uidelicet ut 3ad s . quare yz cyljdrusdiiobuscylindriski’,? Aftqualis cric.&: proptcrca linea tf txqiialisipfiT tt. denique c)/lindri ax centrum graiuratis’'efipun(5lum p.^^cum tfdiuifafuerk in ea proportionem,quam habet cylindrus axad trescylindrosyz, 9A:ericin eo pundoccnrnim grauitatis totius figurcE circufcriptx .Sed cylindrus ax ad ipfumy 2 cfiutlineadbad bn:hoc efi ut 4ad 3: &duo cylindri 0Acylindro yzruhtxquales.cylindrnsigituf axad tres iam didlos cylindros efi ut sad3 .Sed quoiiia prf efi duarum partiiim,& rfv unius,qualiump 7rcfi fex; erit rfvr partium quatiior:proptercaq; TTT duarum,&v7r,hocefi ^p trium .quare feqiutiir ut pundum -n totius figunt circum feripta; fit centrum.Itaque fiat vvad »7r5uc po’ ad rf v. &up bifariam diuidatur in $.Similiter.utin circumfeript.! figii ra oficudetur centrum magnitudinis compoiita; ex cylm- FED. CO MMANDINI dris sg,tu effe piinilum v: Sc totius figura in fcripte,qusc6- flat ex cylindris . qr,fg,tn effe c> centrum. Sunt enim hi cylindri rcquales&fimilescylindrisyz, K»,9^,figurs circumfcripte . Quonia igitur ut bead e d, ita cft opad ph ; utraq; enim utriufque .cft dupla: erit compo nendo,ut bdad de, ita onad n p;&perniutan do ,ut b d ad b n.itadead np. Sed bddupla eft on.ergo & cdipfius npdu pia erit, quod fi edbifariam diuidaturi j;,erit j; d,uel ea:- quaVis np;& fublatacn,qnx eft comunis utrique cpreliil- DE CENTRO GRAVIT.SOLID. 44. relinqueturpe ipfi nctqiialis, cum autem be fit dupla edj& op dupla pii,hocc/iipfius c^i^jR^rdiquiim, uideli- ,y cet b o una cum peipfius reliqui dduplum erit .eftque bo dupla i>d. ergop e,hoceftn ipfius Pdupla. fed dn dupla eft n^. reliqua igitur di^diiplareliqiia: ij^n.runtaiitcm dxi pninter fe jequales dtemqj aequales o<;n,p e. quarcconfUt np ipfius peduplam effe-^ idcirco pe ipfi cn arqiialcm. RuiTus cumfit uv duplaoi'3&: po" dupla tfvierin etiam reliqua v?reliqua? tf odupIa.Eadcni quoqueratione cocludctur TT udupla um. ergo iit vaad &o,ita /r vad um: componcndoq;,tkpermutando,ut voad-/rm,ita oa" ad mv: &funt^Eqiiales vo,7r m. quare &ocTjm vajquales .pree terea tf tt dupla eft '7rTj& v^ipfius tt m. reliqua igitur <t v re liquceniTdupla.atqueerat vtf dupla (jo.ergo mT,tfO x~ quales fiint :&ita a;quales mr, ntf) .at oa- ,efi arqualis mi’. Sequinirigitur, utomnes oa-, mr, nn*, ntf) inter fefint xqnalcs.Sed ut p-II ad TT Tjhocefluts ad a, ita nd ad dpermutadoop ut pvr ad ndjita tt tad dfut requa les f'ff ,n d.crgo d>,hoc efi; np,&- 7r tctqiiales.Sed etiam aequales nTT, 71 m. reliqua igitur xpreliqu.re mTjhoc efi: ipfi n$) jEqiKilis erit.quarc dempta pir cx pcp ndempta cx nc,rclinqiiiturp exqualis ep. Icaqiie -u >4 centra figtiraru fecundo locodcTcriptarum aprimis centris pnaequali interuallo recedunt, quod fi rurflis alin? figura: deferibantur, eodem modo demonfirabimus earum centra aequaliter ab his recedere,&adporrioais conoidis centrum propius ad moneri .Ex quibus confiat lineam tt cp .1 centro grauitatis portionis diuidiin partes aquales.Si enim fieri potefi,non lir centrum in ptinilo e,qiiod efi linea ir tf) medium ;fcd in 4:&ipfi '« 4<'^q^^^fisfiattf).'y. Cumigiturinportionefolida quadam figurainferibiposfit, ita ut linea, qua inter centrum grauitatisportionis, &inrcriptafigurainteriicitur, qualibet liiieaproporitafitminor,qiiodproximcdemoniirauimusrperucnict tandem 4centrum inferipta figura DE CENTRO GKAV1'T.'S0I.ID. 45 id punitum w. Sed quoniam tcireumferipta itidem *alia figura a:quaiiintcnialloadportionis centrum accedit, ubi primum ^applicuerit fead», &TradpunitU'J.,hoceftad portionis centrum fc applicabit .quod fieri Jiullo modo poffe perfpicuum ell: .non aliter idem abfiirdiim fequetur, li ponamus centrum portionis recedere amedio ad partes ili effet enim aliquando centrum figura; inferipta: idem quod portionis centru .ergo punitum ecentrum erit gra uitatis portionis abc. quod demoiiflrarc oportebat .; Qiiod antciii fiipra dcinoftratum eftinportione conoidis rcila per figuras, qus ex c}’Iindris Equalcm altitudir diucm habentibus confiant, idem fimiliter demonftrabimus per figuras ex cylindri portionibus confiajites.in e* portione, qua: plano nonad axem reito afifcinditur.ut enim tradidimus in commentariis in undecimampropoli tionem libri Archimedis de conoidibus'5c Iphsroidibiis . portiones cylindri, qua: a;quali funt altitudine.eam inter fa feproportionem habent, quam iplarum bafes ;bales aute quxfunt ellipres liijiiles eandem proportionem habere, corol. r; quam quadrata diametrorum eiurdem rationis ,excorold^conoilario feptima: propofitionis libri de copoidibus ,&Ipha:- f roidibn3,manifefte apparet. ifibus. THEOREMA XXmi. PROPOSITIO XXX. St^portione conoidis redanguli alia portia abfeindatur ,plano bafi iequidiftante *, habebit portio tota ad eam ,qu* abfcilla eft, 'duplam pro portionem eius ,qua: eft bafis maioris portionis ad bafi mminoris ,uel quie axis maioris ad axetri minoris. , .V” ; FED. COMMANDINI 'ABSCIN1>ATVR .i portione conoidisrcdangiili ab caliaportio ebf, plano bafi£quidiftantc:& eadem portio fecetur aJio plano per axem jut fuperficiei fedHo iit parabole abe :plaiioru portiones abfeindencium iinece ac> ei: axis autem portionis >&reftioius diameter bdiquam lineae fin pundo gfecet .Dico porrioncni colloidis abcad portionem ebfduplam proportionem habere cius, qujBcftbafis ac adhafim cfi uclaxisdbad bg nxem. Intclligantur cniin duo coni^Teu coni portiones abc,e beadem bafim,quam portiones conoidis,&: o^qua Icm habentes altitudinem .&quoniam ab eportio conoi disfefquialteraeft coni, feu portionis coni ab cj&portio ebf conifeu portionis coni ebfeftrcfquialccraj quod demonfkauitArchimedesinpropofitionibusij, 14 libri deconoidibusj &iphjcroidibus :erit conoidis portio ad conoi dis portionem,ut conus ad conum,ucl ut coni portio ad coni portionem^ Sed conus,uel coni portio abe ad conum, ucl coni portionem e;bfcompofitam proportior nem habet ex proportione bafis a cad bafim ef,’& cx proportione altitudinis coni ,uei coni portionis abcad altitudinem ipfius ebf, ut nos deniondrauimiis in com mentariis ili undecimam propolitionemeiufdem libri Archiincdis;altitiido autem ad altitudinem eB, ut axis ad axem . quod quidemin conis redis perlpicuum cd ,infcalenis ue I>E CENTRO GRAVIT.SOLID. 4« ro ita demonftrabitur. Ducatur apundo bad planum ba-; fis a c perpendicularis linea b h ,qux ipfam cfin Kfecet . eritbh altitudo coni, iiel coniportiomsabc; &b Kaltitu do efg. Qtiod cum linex ac,efinterlcxquidiftent, funt enim planorum xquidiftantium feSioiies ;habebit d b ad b gproportionem eandera,quam h b ad b k.quareportio conoidis abcad portionem efg proportionem habet compofitam exproportione bafisa cadbafim ef; &ex proportione d b axis ad axem bg.Sed circulus ,uel ellipfis circa diametrum acad circulum ,ucl ellipfim circa cf, cft ut quadratum acad quadratum ef;hoc eft ut quadratuad ad quadratu eg.&quadratum adad quadra tum egeft, ut linea dbadlineam bg. circulus igitur,uel el lipfis circa diametrum acad circulu,uel ellipfim circa ef, hoc eft bafis adbafim eandem proportionem habet, qua dbaxis ad axem bg.ex quibus fequitur portionem abc ad portionem ebi' habere proportionem duplam eius , qua’ eft bafis a c ad bafim ef: uelaxis db ad b gaxem.quod dernonftrandum proponebatur . THEOREMA XXV. PROPOSITIO XXXI. Cuiuslibet frufti aportione rcdanguli conoi dis abfcisfi, centrum grauitatis efi: in a.xe ,ita ut demptis primum aquadrato, quod fit c.\ diametro maioris bafis., tertia ipfius parte, 8c duabus tertiis quadrati,quod fit cx diametro bafis minoris ;deinde 3tertia parte quadrati maioris bafis rurfus dempta portione, ad quam reliquum qua drati bafis maioris.und cum di<9:a portione dupla proportionem habeat.eius,.qiia: clt quadrati ma- M1 iif.uncftfcimi. 4fexti* 1. cluode cimi y. de conoidibus &iphiB- voidibus Ij-.quinti xo. pnmi conicoru