Dinamica de sistemas complejos

DIN ´ AMICA DE SISTEMAS COMPLEJOS DYNAMICS OF COMPLEX SYSTEMS TRABAJO DE FIN DE GRADO FACULTAD DE F´ ISICA Francisco Javier Mart´ınez Fab´on Grado en F´ısica Curso acad´emico 2022-2023 Tutora: Mar´ıa del Carmen Lemos Fern´andez Agradecimientos A Sevilla, a Lisboa y a Elena. 1 ´ Indice Resumen 3 1. Introducci´on a los sistemas complejos 4 2. Ecuaciones diferenciales para describir la din´amica de sistemas 6 2.1. Definicionesiniciales ............................... 6 2.2. Clasificaci´on de puntos fijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3. Particularidades en sistemas no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3. Ecuaciones en diferencias para describir la din´amica de sistemas 18 4. Bifurcaciones 21 5. Sistemas complejos en la naturaleza 28 5.1. Modelo log´ıstico de poblaciones y caos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5.2. Modelo econ´omico de la telara˜na . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.3. Reacciones qu´ımicas oscilantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 6. Conclusiones 39 Referencias 41 Ap´endice 43 2 Resumen En el presente trabajo se pretende realizar una introducci´on al vasto campo de los sistemas complejos, abordando su din´amica mediante modelos matem´aticos deterministas, concretamente mediante sistemas de ecuaciones diferenciales y sistemas de ecuaciones en diferencias. Para ello se muestran m´etodos de identificaci´on y clasificaci´on de puntos fijos y ´orbitas peri´odicas, as´ı como la forma en que estos interact´uan, se crean y se destruyen: las bifurcaciones. Finalmente se aportan algunos ejemplos de inter´es de sistemas complejos reales y se analiza su din´amica haciendo uso de las herramientas matem´aticas expuestas en los apartados anteriores. Abstract This paper intends to be an introduction to the vast field of complex systems, approaching their dynamics by means of deterministic mathematical models, specifically by means of systems of differential equations and systems of difference equations. For this purpose, methods of identification and classification of fixed points and periodic orbits are shown as well as the way in which they interact, are created and destroyed: bifurcations. Finally, some interesting examples of real complex systems are given and their dynamics are analyzed using mathematical tools presented in previous sections. 3 1. Introducci´on a los sistemas complejos ’Sistema’, del griego s´ystema, se define como ((conjunto de cosas que relacionadas entre s´ı ordenadamente contribuyen a determinado objeto)) seg´un la Real Academia Espa˜nola. ’Complejo’, del lat´ın complexus, por su parte, significa ((que se compone de elementos diversos)) o ((complicado)). As´ı pues, ’sistemas complejos’ es un concepto bastante amplio que puede designar a cualquier conjunto de elementos de diversa ´ındole. El cerebro humano, formado por neuronas; un determinado mercado, formado por empresas y consumidores; o los distintos animales y plantas que componen un ecosistema natural son ejemplos de sistemas complejos. La disciplina cient´ıfica asociada al t´ermino ’sistemas complejos’, en ocasiones denominada ’ciencia de la complejidad’, hace referencia a un novedoso campo de conocimiento que tiene como objetivo estudiar c´omo las partes de un sistema interaccionan entre s´ı y c´omo estas interacciones influyen en el comportamiento del sistema completo y en la relaci´on de ´este con el ambiente [1]. Sin embargo, para abordar de una manera cient´ıfica el concepto es preciso acotar el significado del t´ermino ’sistemas complejos’ definiendo una serie de par´ametros objetivos seg´un los cuales pueda determinarse si un sistema cualquiera es o no complejo. Para ello es necesario introducir un nuevo concepto, la ’emergencia’. Se dice que un sistema presenta un comportamiento emergente cuando el conjunto posee propiedades que no pueden inferirse directamente de las propiedades de sus componentes. Y pueden distinguirse dos tipos de comportamientos emergentes: local y global. Un ejemplo de propiedad emergente local es la temperatura en un gas ideal. La temperatura es una caracter´ıstica emergente del gas, pues no puede deducirse del comportamiento primario (posici´on y velocidad) de los componentes del gas (part´ıculas). Ahora bien, si una parte del gas es retirada del conjunto y aislada, tanto en la parte separada como en la original se mantiene el mismo valor de temperatura. 4 En un sistema con comportamiento emergente global eso no es posible. En ellos todas las partes de un sistema se encuentran en relaci´on de interdependencia y el aislamiento de una parte afecta al comportamiento de dicha parte y al del conjunto. Son estos ´ultimos los sistemas que se entienden por complejos. Una vez convenido cualitativamente el significado de ’sistema complejo’ surge la necesidad de cuantificar la complejidad, es decir, determinar qu´e hace que un sistema pueda considerarse m´as complejo que otro. Coloquialmente puede decirse que un sistema es m´as complejo cuanta m´as informaci´on se precisa para describir su comportamiento. Esto, llevado a los t´erminos utilizados en los p´arrafos anteriores, puede traducirse de la siguiente forma: la complejidad de un sistema es mayor cuanto menor es el tama˜no de las partes que deben ser descritas para comprender el comportamiento del conjunto. En otras palabras, la complejidad de un sistema aumenta cuando para describir su comportamiento es necesario reducir la escala en la que se observa este [2]. El estudio de los sistemas complejos y su din´amica abarca un vasto campo de conocimien- to y resulta esencial para comprender fen´omenos f´ısicos, qu´ımicos y biol´ogicos, adem´as de elaborar modelos extrapolables a las ciencias sociales, especialmente en los ´ambitos de la econom´ıa y la sociolog´ıa. Para describir su comportamiento existen varios m´etodos. En este trabajo se aborda la din´amica de sistemas complejos mediante modelos matem´aticos y computacionales, centr´andose en el an´alisis de fen´omenos no lineales. Un ejemplo de este tipo de fen´omenos emergentes no lineales se encuentra en la formaci´on de patrones de ondas espirales en sistemas con interacciones locales. En la d´ecada de 1960, los cient´ıficos sovi´eticos B. Belousov y A. Zhabotinsky descubrieron que, en contra de las creencias de la ´epoca, algunas reacciones qu´ımicas bajo ciertas condiciones generaban comportamientos distintos al esperado estado simple homog´eneo de equilibrio. Estos comportamientos iban desde un cambio crom´atico oscilante hasta la formaci´on de espirales. Este tipo de reacci´on (fig. 1), que recibi´o el nombre de reacci´on BZ en honor a los cient´ıficos 5 Figura 1: Patrones en la reacci´on BZ. Fotograf´ıa tomada por M. Rogers y S. Morris en la Universidad de Toronto [3]. que la observaron por primera vez, abri´o un interesante campo de investigaci´on en la qu´ımica. Sin embargo, no es esta la ´unica disciplina en la que puede hallarse esta clase de patrones emergentes. Ondas espirales similares pueden ser observadas en medios granulares bajo la acci´on de pulsos mec´anicos, la actividad el´ectrica del coraz´on o en din´amicas de poblaciones humanas y animales [4]. 2. Ecuaciones diferenciales para describir la din´amica de sistemas 2.1. Definiciones iniciales Dado un sistema S, de car´acter ya sea f´ısico, biol´ogico, econ´omico, etc, descrito por una serie finita de variables de estado x= (x1, x2, ... xn) que toma en los instantes t0yt1los valores x(t0) = (x1(t0), x2(t0), ... xn(t0)) y x(t1) = (x1(t1), x2(t1), ... xn(t1)), se considera que evoluciona en el tiempo si x(t0)=x(t1). Se define como ’espacio de fases’ o ’espacio de estados’ al conjunto de todos los posibles valores de las variables de estado (x1, x2, ... xn). Para estudiar la din´amica de un sistema, adem´as de definir un espacio de fases, es nece- 6 sario establecer una ecuaci´on de evoluci´on. El modo m´as habitual de hacerlo es mediante sistemas de ecuaciones diferenciales. Sea f(x, t) una funci´on continua y definida en un conjunto abierto U×Ide Rn×R, se define un sistema de ecuaciones diferenciales: dx dt =f(x, t) (1) Donde x= (x1, x2, ... xn)∈Rn,t∈I⊂Ry, por tanto, f(x, t) = (f1(x, t), f2(x, t), ... fn(x, t) : Rn×R→Rn. Rnes el espacio de fases, Rn×Rel llamado ’espacio de fases extendido’, las componentes del vector x∈Rnson las variables dependientes y t, la variable independiente. Una soluci´on de esta ecuaci´on diferencial es ϕ:I→Usi cumple, para todo t∈I: dϕ dt =f(ϕ(t), t) (2) Si dicha funci´on cumple adem´as que f(x+y, t) = f(x, t) + f(y, t) para cualquier x, y ∈Rn yt∈R, y ϕ1yϕ2son soluci´on de (1), entonces ψ(x) = ϕ1+ϕ2es tambi´en soluci´on de (1). En este caso se dice que el sistema de ecuaciones es lineal. Otro caso de inter´es es el de los sistemas aut´onomos, aquellos en los que la funci´on fno depende expl´ıcitamente del tiempo t. La imagen de una soluci´on ϕ(t) en el espacio de fases recibe el nombre de ’curva de fases’ y se conoce como ’curva integral’ al grafo asociado a dicha soluci´on. Adem´as, ϕsatisface una condici´on inicial (t0, x0) si y s´olo si la curva integral asociada pasa a trav´es del punto (t0, x0)∈Rn×R. Un sistema de ecuaciones diferenciales define un campo de vectores Xen el espacio de fases, que recibe el nombre de ’flujo de fases’, y cuyas ´orbitas son llamadas ’curvas de fase’ o ’trayectorias’. 7 Para este flujo de fases se define como ’punto fijo’ (tambi´en ’punto de equilibrio’, ’punto cr´ıtico’ y otros) a un punto pque cumple: dx dt (p) = 0 (3) Estos son, por tanto, soluciones particulares de ecuaciones diferenciales definidas para todo t∈Iy, a la vez, estos puntos pueden considerarse curvas de fase del flujo. Para definir la din´amica de sistemas complejos suele recurrirse al estudio de sistemas matem´aticos no lineales. Mientras los sistemas lineales pueden dividirse y el an´alisis de sus partes por separado, recombinado, se corresponde al an´alisis del sistema completo, los sistemas matem´aticos no lineales, de la misma manera que los sistemas complejos presentes en la naturaleza que pretenden representar, no pueden ser estudiados rotos en partes. En este tipo de sistemas, adem´as de los puntos cr´ıticos, existe otro elemento que perturba el flujo de fases: las ’´orbitas peri´odicas’ u ’´orbitas cerradas’, aquellas ´orbitas en las que, para una constante T > 0, ocurre que ϕ(t) = ϕ(t+T) para todo t∈R. Tanto la existencia de puntos fijos como de ´orbitas peri´odicas condiciona el comportamiento de las curvas de fase de un sistema de ecuaciones diferenciales en sus entornos. Estudiando, pues, los campos de vectores y sus puntos fijos es posible extraer conocimiento, aunque sea meramente cualitativo, de las distintas variedades topol´ogicas de las curvas de fase [5]. Al respecto de esto, el teorema de existencia y unicidad b´asica local nos dice: Teorema 2.1.1 Dado un conjunto abierto U⊂Rn, dado x0∈Uy dada una funci´on f: U→Rnlocalmente Lipschtiziana, esto es, |f(x)−f(y)|< k|x−y|para todo x, y ∈Uy una constante de Lipschtiz k < ∞. Puede afirmarse que existe cierta constante c > 0y una soluci´on ´unica ϕ(x0):(−c, c)→Uque satisface la ecuaci´on diferencial ˙x=f(x)con la condici´on inicial x(0) = x0[6]. Este teorema tiene como consecuencia la posibilidad de determinar soluciones locales apro- 8 Figura 6: Esquema de la distribuci´on de puntos fijos en el espacio de los par´ametros traza y determinante de A. y el resto. La curva detA =(trA)2 4representa a los nodos degenerados y marca tambi´en la frontera entre el ´area de los nodos no degenerados y el ´area de las espirales. Para dimensiones superiores a 2, los puntos fijos de un sistema pueden clasificarse en funci´on de combinaciones de los tipos de puntos vistos en dimensi´on 1 y dimensi´on 2 [8]. 2.3. Particularidades en sistemas no lineales Si bien es cierto que, para analizar la topolog´ıa de sistemas no lineales, la aproximaci´on mediante matriz jacobiana ofrece unos resultados muy satisfactorios en la mayor´ıa de los casos, en algunos de ellos peque˜nas variaciones no lineales pueden provocar cambios cualitativos en la estructura del campo de fases del sistema. Concretamente, la relaci´on entre las soluciones del sistema no lineal y el sistema lineal asociado en torno del punto fijo x0viene dada por el teorema de Grobman-Hartman: Teorema 2.3.1 Si la matriz jacobiana Df(x0)no tiene valores propios nulos ni imaginarios puros existe un homeomorfismo hdefinido en un entorno abierto Ude x0tal que las ´orbitas del sistema no lineal son topol´ogicamente equivalentes a las ´orbitas del sistema lineal [9]. Es decir, el an´alisis del sistema linealizado puede fallar cuando se predice la existencia de puntos con comportamiento l´ımite tales como centros, estrellas, nodos degenerados y casos 15 no aislados. Los centros son especialmente delicados, pues su estabilidad neutra se rompe f´acilmente en favor de bien una estabilidad asint´otica, bien una inestabilidad. Por esto, un error al predecirlos puede ocultar una estructura topol´ogica completamente distinta del sistema. No sucede lo mismo con las estrellas o los nodos degenerados, cuya predicci´on puede ocultar un comportamiento del sistema ligeramente distinto en su entorno, pero nunca un tipo diferente de estabilidad. Por esta raz´on, la manera de afrontar la clasificaci´on de los puntos cr´ıticos de este tipo de sistemas a menudo var´ıa con respecto a la que se realiza, m´as precisa, en los sitemas lineales. Se distinguen aquellos puntos de cuya forma exacta se tiene certeza realizando un an´alisis de estabilidad mediante aproximaci´on lineal, a los que se les llama ’puntos hiperb´olicos’, de aquellos otros en los que no. Los segundos, centros y puntos no aislados, reciben el sobrenombre de ’casos marginales’. Son los casos en que al menos uno de los autovalores tiene parte real nula. Los primeros se dividen a su vez en ’atractores’ o ’sumideros’, en los que las partes reales de los autovalores son ambas negativas, ’repelentes’ o ’fuentes’, en los que las partes reales de los autovalores son ambas positivas y, por ´ultimo, con valores propios de signo distinto, los puntos de silla [8]. En estos sistemas existe un segundo elemento que distorsiona el flujo de fases en dimen- si´on n≥2: las ´orbitas peri´odicas. Estas pueden ser descritas tambi´en como ’trayectorias cerradas aisladas’ o, en el caso de los sistemas descritos por ecuaciones diferenciales, ’ciclos l´ımite’. A diferencia de las ´orbitas que se generan alrededor de un punto centro, los ciclos l´ımite pueden ser atractores (asint´oticamente estables), repelentes (asint´oticamente inestables), o medio estables a la manera de los puntos de silla. En los siguientes sistemas pueden hallarse ejemplos de ciclos l´ımite sencillos, estable e inestable respectivamente: 16    ˙r=r−r3 ˙ θ= 1    ˙r=−r+r3 ˙ θ= 1 (11) Figura 7: Campo de vectores asociado al primer sistema de (11) (ciclo l´ımite estable en r= 1 con punto fijo inestable en r= 0) en a) y al segundo sistema (ciclo l´ımite inestable en r= 1 con punto fijo estable en r= 0) en b). Debido a su car´acter estrictamente no lineal existe una dificultad para hallar e identificar este tipo de trayectorias mucho mayor de la que existe en el an´alisis de puntos fijos. Al respecto de esto, el ´unico criterio que existe para confirmar la existencia de ciclos l´ımite viene dado por el teorema de Poincar´e-Bendixson: Teorema 2.3.1 Dado un campo de vectores diferenciable ˙x=f(x)en un conjunto abierto D y dado un subconjunto cerrado K∈Ddel plano, si Kno contiene puntos cr´ıticos y existe una trayectoria Cconfinada en K, entonces o bien Ces una ´orbita cerrada o bien tiene forma de espiral atra´ıda por una ´orbita cerrada que se encuentra dentro de K[6]. Es preciso a˜nadir que, debido a que una ´orbita peri´odica aislada siempre encierra un punto fijo, la regi´on del plano Kdebe tener forma de rosquilla. 17 3. Ecuaciones en diferencias para describir la din´amica de sistemas Una ecuaci´on en diferencias es una equivalencia matem´atica que involucra las diferencias entre valores sucesivos de una cierta variable discreta [10]. En otras palabras: dado un n´umero natural ntal que el n´umero en´esimo de una sucesi´on es funci´on de ny existen los t´erminos sucesivos xn+1, xn+2... recibe el nombre de ecuaci´on en diferencias toda ecuaci´on que relaciona el t´ermino xn, la sucesi´on inc´ognita xn=x(n) y los t´erminos siguientes de dicha sucesi´on [11]. Las ecuaciones en diferencias, tambi´en conocidas como funciones iterativas, surgen como un m´etodo alternativo a las ecuaciones diferenciales para expresar matem´aticamente una evoluci´on temporal de variables, pero esta vez en saltos discretos de tiempo. Es por esto ´ultimo que, en el estudio de din´amica de sistemas, son de un especial inter´es en el modelado computacional o cuando se tratan datos estad´ısticos discretos. Un ejemplo simple es el siguiente: xn+1 =axn(12) Y por inducci´on, la soluci´on a la ecuaci´on (12): xn=anx0(13) Este ejemplo sirve para introducir el concepto de punto fijo adaptado a este tipo de sistemas y la clasificaci´on que se hace de ellos. As´ı, dado un sistema de ecuaciones en diferencias xn+1 =f(xn), donde f:I→Ies una funci´on continua y Iun subconjunto de R, y dada fk(x) la funci´on iterada de orden kdel punto x∈I, se considera que un punto p∈Ise trata de un punto peri´odico de orden ksi: 18 fk(p) = p(14) Y, particularmente, se habla de ’punto fijo’ o ’punto de equilibrio’ si k= 1. La ´orbita de un punto peri´odico pde orden kes el conjunto finito p, f(k), ... fl−1(k)y recibe el nombre de ’ciclo de fde longitud k’ [12]. Por otra parte, en este tipo de sistemas el teorema de Grobman-Hartman se mantiene v´alido, lo que permite estudiar el comportamiento de sistemas en diferencias no lineales a partir de sus matrices de linealizaci´on cuando los puntos de equilibrio a analizar no se encuentran en escenarios l´ımite. Volviendo a la ecuaci´on (12), pues ´esta se corresponde con el sistema de ecuaciones en diferencias lineal y homog´eneo de dimensi´on 1, se tiene que si a=±1 la ecuaci´on tiene un ´unico punto fijo en x= 0. Para a= 1, todos los puntos del espacio de fases son puntos de equilibrio de periodo 1, mientras que para a=−1, todos los puntos son de equilibrio de periodo 2. Adem´as, con a < −1 y a > 1 el punto es inestable (fig. 2b), mientras que con −1< a < 1 el punto es estable (fig. 2a) a excepci´on del caso a= 0, en que la sucesi´on colapsa en su origen. En dos dimensiones se tiene el sistema   xn+1 yn+1  =A  xn yn  (15) donde Aes la misma matriz que en el apartado anterior (ecuaci´on (6)). As´ı pues, sus posibles soluciones son las siguientes:    xn=λ1nx0 yn=λ2ny0 (16) 19    xn=λnx0+nλn−1y0 yn=λny0 (17) Y con autovalores complejos:    zn=z0(α2+β2)neiθn θ=arctg(−β α) (18) Figura 8: Sistema con autovalores |λ1|,|λ1|>1(nodo inestable) en a), autovalores |λ1|<1 y|λ2|>1(punto silla) en b), |λ1|=|λ2|<1(nodo impropio estable) en c), |λ1,2|<1 (espiral estable) en d), |λ1,2|= 1 (centro) en e) y |λ1|= 1 y|λ2|<1(caso no aislado) en f). Im´agenes extraidas de [13]. Las soluciones del sistema (15) son semejantes a las representadas en las figuras 3, 4 y 5, con la diferencia de que las ´orbitas de fase no son trayectorias continuas, sino secuencias de puntos con una estructura topol´ogica equivalente a las soluciones del caso continuo. 20 En la figura 8 se muestran algunos ejemplos de representaciones de ´orbitas en torno a puntos de equilibrio de este tipo de sistemas. Aqu´ı, el c´ırculo de radio λ= 1 en el plano complejo desempe˜na el mismo papel que el eje imaginario en el an´alisis de sistemas de ecuaciones diferenciales, siendo el interior del c´ırculo la ’zona estable’ y hall´andose nodos y espirales inestables en el exterior [13]. Al igual que con los sistemas continuos, puede realizarse un diagrama de estabilidad basado en la relaci´on de la traza trA y el determinante detA de la matriz Adel sistema. En este nuevo esquema los puntos estables se encuentran en el interior del ´area delimitada por la recta detA = 1 y la curva detA =trA2 2−1, y es en el contorno de dicha ´area donde se hallan los centros, haciendo de frontera con el ´area de los puntos inestables. Figura 9: Esquema de la distribuci´on de puntos fijos en el espacio de los par´ametros traza y determinante de A, caso discontinuo. 4. Bifurcaciones Si por algo se caracterizan los sistemas din´amicos complejos, adem´as de por el hecho de ser definidos mediante ecuaciones no lineales, es porque a menudo dependen de distintos par´ametros que pueden modificar su valor. 21 Estos par´ametros definen la estructura topol´ogica de un sistema y variando su valor num´erico se propicia la aparici´on o desaparici´on de puntos cr´ıticos u ´orbitas peri´odicas y cambios en el comportamiento de estos, ya sea desplaz´andolos en el espacio de fases o incluso modificando su estabilidad. En la din´amica de sistemas los valores parametrales para los que se produce un cambio cualitativo en la estructura de un sistema reciben el nombre de ’puntos de bifurcaci´on’ o de ’bifurcaciones’ a secas. En funci´on del tipo de transformaci´on topol´ogica que produce cada uno de estos puntos pueden distinguirse varios tipos de bifurcaciones. Aquellas bifurcaciones en las que dos o m´as puntos fijos colisionan cuando alguno de los autovalores de la matriz que define el sistema se hace nulo reciben el nombre de ’bifurcaciones de autovalor cero’. Estas bifurcaciones, que pueden hallarse en sistemas de dimensi´on 1 y superiores, son habitualmente asociadas a las llamadas ’formas normales’. La forma normal de un tipo concreto de bifurcaci´on es el ejemplo algebraicamente m´as simple de sistema en el que se produce dicha bifurcaci´on. A su vez, las bifurcaciones de autovalor cero pueden dividirse en tres subgrupos principales. El primero, las ’bifurcaciones silla-nodo’. Estas se dan cuando, al variar un par´ametro, dos puntos fijos (un punto de silla y un nodo en dos dimensiones) se acercan hasta que colisionan en el punto de bifurcaci´on y finalmente desaparecen. La forma normal en dos dimensiones de este tipo de bifurcaciones es:    ˙x=a−x2 ˙y=−y (19) En este ejemplo, para a > 0 el sistema presenta dos puntos fijos: un nodo estable en (√a, 0) y un punto de silla en (−√a, 0). Aproximando el valor de aa 0 ambos puntos se acercan a la coordenada (0,0) hasta que entran en contacto (un ´unico punto fijo en a= 0) y desaparecen para valores negativos de a. 22 Figura 10: Flujo de fases asociado al sistema (19) con a= 1 en a), a= 0 en b) y a=−1en c). El siguiente tipo de bifurcaciones a rese˜nar es el de las ’bifurcaciones transcr´ıticas’. Su forma normal viene dada por:    ˙x=ax −x2 ˙y=−y (20) Figura 11: Flujo de fases asociado al sistema (20) con a=−1en a), a= 0 en b) y a= 1 en c). Para valores negativos de aaparece un punto fijo estable en (0,0) y uno inestable en (a, 0), mientras que para valores positivos el punto de (0,0) se hace inestable y el punto (a, 0), que pasa al lado diestro del eje x, se convierte en un punto estable. 23 En tercer lugar las ’bifurcaciones de horca’, que se dividen entre las ’bifurcaciones de horca supercr´ıticas’ y las ’bifurcaciones de horca subcr´ıticas’. En las supercr´ıticas (forma normal asociada en el primer sistema de (21)), para valores negativos de aexiste un ´unico punto fijo estable en (0,0) que empieza a dividirse en tres cuando a= 0. Conforme el valor de aaumenta alej´andose de 0 se separan tambi´en los dos nuevos puntos fijos, estables y en (±√a, 0), mientras el punto fijo del centro de coordenadas adquiere un car´acter inestable. Las ’bifurcaciones de horca subcr´ıticas’ (forma normal asociada en el segundo sistema de (21)) siguen un proceso opuesto: un ´unico punto cr´ıtico inestable para valores positivos de a pasa a estable y da lugar a dos nuevos puntos fijos inestables cuando a < 0.    ˙x=ax −x3 ˙y=−y    ˙x=ax +x3 ˙y=−y (21) Representaci´on en la figura 12. Al contrario que las bifurcaciones de autovalor cero, las ’bifurcaciones de Hopf’ son propias de sistemas cuya matriz jacobiana presenta valores propios con parte imaginaria no nula y de dos o m´as dimensiones. Las ’bifurcaciones de Hopf supercr´ıticas’ son aquellas que se dan cuando una espiral estable da lugar a una espiral inestable rodeada por un peque˜no ciclo l´ımite el´ıptico. Por ejemplo, en su forma normal:    ˙r=ar −r3 ˙ θ= 1 (22) En la versi´on subcr´ıtica de este tipo de bifurcaciones las diferencias con sus hom´onimas supercr´ıticas son an´alogas a las diferencias entre los dos tipos de bifurcaciones de horca: una espiral inestable se hace estable y a su alrededor aparece una ´orbita peri´odica inestable. La forma normal correspondiente al segundo caso: 24 Figura 17: Sucesi´on de xncon un s´olo atractor en el origen (µ= 0,8) en a), con un atractor en x= 1 −1/µ (µ= 2,9) en b), con una ´orbita de periodo 2 (µ= 3,1) en c), una ´orbita de periodo 4 (µ= 3,5) en d), una ´orbita de periodo 8 (µ= 3,56) en e) y comportamiento ca´otico (µ= 3,9) en f). una ´orbita de periodo 4. En intervalos cada vez m´as peque˜nos de µvan sucedi´endose nuevas bifurcaciones de vuelta hasta que, aproximadamente en µ≃3,57, las iteradas xndejan de seguir cualquier tipo de patr´on reconocible en lo que puede interpretarse como una ´orbita de periodo infinito. Este fen´omeno, que muestra la emergencia de un comportamiento aleatorio e impredecible desde un modelo matem´atico determinista, es conocido como ’caos topol´ogico’ y resulta de un inter´es cient´ıfico excepcional por la manera en que conecta dos ´areas del 31 conocimiento y dos concepciones del universo (el determinismo y la estad´ıstica) que pueden parecer antag´onicas e irreconciliables. Para examinar con mayor claridad la din´amica de un sistema unidimensional en funci´on de cierto par´ametro es habitual recurrir a los llamados ’diagramas de bifurcaciones’, representaciones gr´aficas de los elementos atractores (esto es, puntos fijos y ciclos l´ımite estables, as´ı como la cantidad de periodos que posee una ´orbita peri´odica estable) presentes en dicho sistema para cada valor de dicho par´ametro. Figura 18: Diagrama de bifurcaciones a distintas escalas de la ecuaci´on log´ıstica (28) en a), b) y d), y sucesi´on de xncon una ´orbita de periodo 3 (µ= 3,83) en c). Como puede apreciarse en las figuras 18a) y 18b), las bifurcaciones suceden donde el an´alisis matem´atico y las simulaciones computacionales predec´ıan. No obstante, se exponen algunas particularidades que a˜naden complejidad a la din´amica del sistema. 32 La primera, la ´orbita de periodo 3 que aparece en torno a µ≃3,8 y se representa en la figura 18c). La emergencia de este tipo de ´orbitas recibe el nombre de ’bifurcaci´on tangente’, una clase de bifurcaci´on silla-nodo caracter´ıstica de sistemas ca´oticos. Esta relaci´on entre el caos topol´ogico y las ´orbitas de periodo 3 queda certificada por el teorema de Li y Yorke: Teorema 5.1.1 Si una funci´on iterativa continua G: [a, b]→[a, b]posee un ciclo de un periodo que no es potencia de 2, entonces esta exhibe una topolog´ıa ca´otica [17]. Por otra parte, como queda a la vista en la comparativa entre las figuras 18b) y 18d), la forma en que los periodos orbitales se multiplican en funci´on del par´ametro µse reproduce de forma id´entica a diferentes escalas. En otras palabras, el diagrama de bifurcaciones de la aplicaci´on log´ıstica es autosimilar, propiedad intr´ınseca de los fractales. Estos dos fen´omenos combinados, las bifurcaciones tangentes y la autosemejanza, provoca una intermitencia entre intervalos de comportamiento ca´otico e intervalos de periocidad m´ultiple de 3 que es conocida como ’ruta intermitente hacia el caos’ [8] [14]. 5.2. Modelo econ´omico de la telara˜na El ´ambito econ´omico es, sin duda, uno de los campos que mejor se ajusta al objeto de estudio de los sistemas complejos y donde puede resultar de mayor utilidad aplicar modelos de din´amica de sistemas. El modelo de la telara˜na aborda el an´alisis de la din´amica del precio de un producto en cierto mercado medido anualmente. Primero define la variable ’precio esperado’ πn, el precio que adquirir´a el producto el a˜no nseg´un las estimaciones del productor en el a˜no n−1, y del cual depende la oferta del producto S(πn). Despu´es define la variable independiente pn, el precio real del producto durante el a˜no ny del cual depende la demanda D(pn). Se supone la funci´on demanda D(pn) continua, estrictamente decreciente y lineal, mientras que la funci´on oferta S(πn) se da como continua, estrictamente creciente y con gr´afica 33 en forma de S. Esto ´ultimo tiene sentido, pues es de suponer que si los precios son bajos la oferta debe crecer lentamente debido a unos costes de producci´on fijos, mientras que si los precios son altos la oferta tambi´en crece lentamente debido a limitaciones de capacidad. Por ´ultimo, se asume que el precio esperado viene dado por una media ponderada de los precios esperados y los precios en el pasado, y se supone cierta una ley b´asica de la ciencia econ´omica: para cada periodo de tiempo nla oferta y la demanda acaban por alcanzar un equilibrio temporal. Todas estas suposiciones se expresan matem´aticamente de la siguiente forma:                πn+1 = (1 −w)πn+wpn pn=D−1S(πn) D(pn) = a−bpn S(πn) = 1 1+e2λ(1−πn) (29) Donde w∈(0,1) es una constante de ponderaci´on y a,byλ, constantes de ajuste de las funciones oferta y demanda. Simplificando el anterior sistema de ecuaciones en diferencias al m´aximo surge el enunciado: πn+1 =πn+α−1 1 + e2λ(1−πn)(30) Con los par´ametros λ < 0 y 0 < α < 1. Dada la dependencia del sistema de no uno sino dos par´ametros, la manera m´as efectiva de estudiar su din´amica consiste en representar varios diagramas de bifurcaciones de xen funci´on de uno de los par´ametros para distintos valores del segundo. As´ı, tomando αcomo par´ametro de referencia, puede observarse un diagrama simple, sin bifurcaciones y con un s´olo punto fijo que var´ıa su posici´on dibujando una curva en forma de Sinvertida para todo valor de λmenor que 4. Para λ > 4 surge en el centro del diagrama una ´orbita de periodo dos, el punto de bifurcaci´on se aleja del centro del diagrama conforme se 34 Figura 19: Diagrama de bifurcaciones de xen funci´on de αpara λ= 3,5en a), λ= 5 en b), λ= 7 en c), λ= 7,1en d), λ= 7,8en e) y λ= 9 en f). incrementa λy una nueva bifurcaci´on de duplicaci´on de periodo aparece en torno a λ≃6,25. Si se contin´ua aumentando λse observan cada vez m´as bifurcaciones, de vuelta de la misma manera que en la ecuaci´on log´ıstica, hasta que en ciertas regiones del diagrama aparecen zonas ca´oticas. Sin embargo, existe una diferencia notable con el diagrama de la aplicaci´on log´ıstica: en este caso toda aparici´on de una bifurcaci´on de duplicaci´on de periodo viene 35 acompa˜nada de una bifurcaci´on de efecto inverso. Estas bifurcaciones se disponen en el diagrama siguiendo un patr´on sim´etrico y pueden ser referidas como ’bifurcaciones de reducci´on de periodo’. El comportamiento ca´otico comienza a mostrarse a partir de λ≃7,05 y en λ=≃7,85 pueden apreciarse ya las caracter´ısticas ´orbitas de periodo impar. Con λ→ ∞ el caos se hace inevitable para todo α, cuya incidencia en el diagrama pasa a ser ´unicamente la de definir los l´ımites m´aximo y m´ınimo del intervalo unitario de posibles x. Figura 20: Diagrama de bifurcaciones de xen funci´on de αpara λ= 102en a) y λ= 106en b). El modelo de la telara˜na es un modelo determinista fundamental en un ´area de investigaci´on, el financiero, en el que prima el uso de la probabilidad y la estad´ıstica. En su versi´on no lineal, expuesta en este apartado, la telara˜na ofrece una herramienta significativamente m´as potente que otros modelos lineales para comprender las fluctuaciones de precios en mercados independientes y abre la puerta a una mayor utilizaci´on de la matem´atica determinista en el ´ambito econ´omico, tendencia actualmente al alza [18]. 5.3. Reacciones qu´ımicas oscilantes Este trabajo introduce en sus primeras p´aginas la reacci´on Belusov-Zhabotinsky, descubrimiento fundamental en la qu´ımica del siglo XX y clave en el desarrollo de los sistemas complejos como ´ambito de investigaci´on. Sin embargo, el comportamiento crom´atico oscilan- 36 te que caracteriza la reacci´on BZ no es exclusivo de esta. Un ejemplo alternativo de reacci´on qu´ımica que puede describirse mediante un modelo sencillo de ecuaciones diferenciales no lineales es el de la reacci´on de di´oxido de cloro con yodo en un medio de ´acido mal´onico. Este sistema se demuestra emp´ıricamente compuesto por las tres reacciones b´asicas siguientes:          MA +I2→IMA +I−+H+ ClO2+I−→ClO2 −+1 2I2 ClO2 −+ 4I−+ 4H+→Cl−+ 2I2+ 2H20 (31) Dado que los reactivos MA,IyClO2var´ıan mucho m´as lentamente que I−yCl02 −, pueden aproximarse como constantes y el sistema simplificado expresarse como el sistema bidimensional:    ˙x=a−x−4xy x2+1 ˙y=bx(1 −y x2+1) (32) Donde xeyson las concentraciones de I−yCl02 −respectivamente y las constantes a, b > 0 dependen de las concentraciones de los reactivos lentos y de otras propiedades qu´ımicas obtenidas experimentalmente. Mediante c´alculos matem´aticos triviales y siguiendo los criterios de clasificaci´on expuestos en el segundo apartado puede deducirse que existe un punto fijo, asint´oticamente estable cuando se cumple la condici´on b > 3a/5−25/a =bce inestable cuando b < bc. Gracias al teorema de Poincar´e-Bendixson (expuesto tambi´en en el apartado 2.3) es posible confirmar lo previsible a la vista del cambio en el comportamiento del punto cr´ıtico: en b=bcse da una bifurcaci´on de Hopf supercr´ıtica, esto es, en torno al punto fijo aparece un ciclo l´ımite atractor cuando b < bc. Debido a lo ’cerrada’ que es la espiral antes de la aparici´on de la ´orbita peri´odica resulta 37 Figura 21: Flujo de fases asociado al sistema (32) con a= 10 yb= 4 en a), a= 10 yb= 2 en b) y representaciones esquem´aticas equivalentes en c) y d) extraidas de [8]. complicado representar la bifurcaci´on de manera que quede claramente visible. Pese a que en la figura 21b) puede apreciarse sutilmente que el punto fijo se ha convertido en un repelente, en las figuras 21c) y 21d) se incluyen dibujos a mano alzada de ciertas trayectorias del flujo de fases que muestran las diferencias en la estructura topol´ogica del sistema antes y despu´es de la bifurcaci´on. Aun sutil, la existencia del ciclo l´ımite para unas concentraciones concretas de los reac- 38 tivos lentos es responsable de que la reacci´on acabe mostrando un comportamiento oscilante que tiende al infinito en lugar de estabilizarse en un estado homog´eneo de equilibrio [19]. Modelizar matem´aticamente la reacci´on BZ es una tarea notablemente m´as complicada, pues involucra m´as de veinte reacciones elementales, y son numerosos los intentos realizados durante las ´ultimas d´ecadas de definir un sistema matem´atico que describa la din´amica de esta reacci´on en funci´on de ciertas condiciones iniciales y ambientales. Uno de los modelos m´as sencillos propuestos hasta la fecha es el llamado ’Oregonator’ (debido a que fue publicado por tres cient´ıficos de la Universidad de Oreg´on [20]). Este, bajo unas condiciones espec´ıficas y realizando simplificaciones similares a las del modelo de la reacci´on que se expresa en (31), reduce la din´amica de la reacci´on BZ a un elegante sistema de ecuaciones diferenciales de tan s´olo dos dimensiones y tres par´ametros:    ε˙x=x(1 −x) + yq−x q+xf ˙y=x−y (33) Lo que se descubre analizando el sistema (33) es que la mec´anica detr´as del comportamiento de la reaci´on BZ es la misma que produce las oscilaciones crom´aticas de la reacci´on de di´oxido de cloro con yodo en ´acido mal´onico. F´acilmente puede hallarse un punto fijo que, para combinaciones concretas de los tres par´ametros f,qyε, sufre una bifurcaci´on de Hopf supercr´ıtica [21]. 6. Conclusiones ’Sistemas complejos’ es un concepto amplio, incluso ambiguo, y abordar el estudio de la manera en que estos evolucionan resulta una labor, valga la redundancia, compleja. Mostrar una imagen completa de tan grande campo de conocimiento es un objetivo inalcanzable para un trabajo de estas caracter´ısticas y no es en ning´un caso su motivaci´on. A menudo la din´amica de los sistemas complejos se describe mediante m´etodos estad´ısticos o procedimientos que desbordan la matem´atica cl´asica como la l´ogica o la simulaci´on 39 computacional. Incluso ci˜n´endose a los modelos matem´aticos deterministas, la rigurosidad y profundidad con que pueden tratarse cuestiones como la estrcutra topol´ogica que el espacio de fases puede adoptar para un n´umero de dimensiones superiores a dos o la forma en que el caos puede manifestarse en diversos sistemas supera por mucho las posiblidades de estas cuarenta p´aginas. As´ı pues, el presente proyecto surge con el ´animo de servir de introducci´on a los sistemas complejos y de dotar a uno de ciertas herramientas, b´asicas y ajustadas a los contenidos estudiados durante el Grado en F´ısica, que habiliten para describir y analizar de una manera sencilla din´amicas altamente complejas. Las herramientas matem´aticas son aportadas en el segundo, tercer y cuarto apartado, que versan principalmente sobre puntos de equilibrio, ´orbitas peri´odicas y bifurcaciones en sistemas de ecuaciones diferenciales y de ecuaciones en diferencias no lineales. Como elemento vertebrador se incluyen, a lo largo de todo el texto, representaciones elaboradas con el software Mathematica que corroboran visualmente los fen´omenos expuestos en lenguaje algebraico. Por ´ultimo se describen tres modelos matem´aticos que demuestran las dos tesis fundamentales del trabajo. La primera, que es posible analizar de un modo determinista la din´amica de ciertos sistemas complejos a partir ´unicamente de sistemas de ecuaciones y de an´alisis de estabilidad de los campos vectoriales asociados. La segunda, que la din´amica de sistemas complejos est´a presente en una enorme variedad de ´areas cient´ıficas y que modelos muy similares pueden ser utilizados para explicar realidades extremadamente diferentes. 40 100]]]; mm = Flatten[Table[ff[r], {r, 0, 1, 0.001}], 1]; ListPlot[mm, PlotStyle -> AbsolutePointSize[.00015], Axes -> True, FrameLabel -> {"\[Alpha]", "x"}, PlotRange -> Full, ImageSize -> {500, 500}, Frame -> True] ff = Compile[{{r, _Real}}, ({r, #} &) /@ Union[Drop[NestList[# + r - 1/(1 + Exp[14.2 (1 - #)]) &, .1, 300], 100]]]; mm = Flatten[Table[ff[r], {r, 0, 1, 0.001}], 1]; ListPlot[mm, PlotStyle -> AbsolutePointSize[.00015], Axes -> True, FrameLabel -> {"\[Alpha]", "x"}, PlotRange -> Full, ImageSize -> {500, 500}, Frame -> True] ff = Compile[{{r, _Real}}, ({r, #} &) /@ Union[Drop[NestList[# + r - 1/(1 + Exp[15.6 (1 - #)]) &, .1, 300], 100]]]; mm = Flatten[Table[ff[r], {r, 0, 1, 0.001}], 1]; ListPlot[mm, PlotStyle -> AbsolutePointSize[.00015], Axes -> True, FrameLabel -> {"\[Alpha]", "x"}, PlotRange -> Full, ImageSize -> {500, 500}, Frame -> True] ff = Compile[{{r, _Real}}, ({r, #} &) /@ Union[Drop[NestList[# + r - 1/(1 + Exp[18 (1 - #)]) &, .1, 300], 100]]]; mm = Flatten[Table[ff[r], {r, 0, 1, 0.001}], 1]; ListPlot[mm, PlotStyle -> AbsolutePointSize[.00015], Axes -> True, FrameLabel -> {"\[Alpha]", "x"}, PlotRange -> Full, ImageSize -> {500, 500}, Frame -> True] ff = Compile[{{r, _Real}}, ({r, #} &) /@ 47 Union[Drop[NestList[# + r - 1/(1 + Exp[200 (1 - #)]) &, .1, 300], 100]]]; mm = Flatten[Table[ff[r], {r, 0, 1, 0.001}], 1]; ListPlot[mm, PlotStyle -> AbsolutePointSize[.00015], Axes -> True, FrameLabel -> {"\[Alpha]", "x"}, PlotRange -> Full, ImageSize -> {500, 500}, Frame -> True] ff = Compile[{{r, _Real}}, ({r, #} &) /@ Union[Drop[NestList[# + r - 1/(1 + Exp[2000000 (1 - #)]) &, .1, 300], 100]]]; mm = Flatten[Table[ff[r], {r, 0, 1, 0.001}], 1]; ListPlot[mm, PlotStyle -> AbsolutePointSize[.00015], Axes -> True, FrameLabel -> {"\[Alpha]", "x"}, PlotRange -> Full, ImageSize -> {500, 500}, Frame -> True] 48