Interacción débil en procesos de dispersión neutrino-leptón

Universidad de Sevilla Doble Grado en Física e Ingeniería de Materiales Trabajo Fin de Grado Interacción débil en procesos de dispersión neutrino-leptón Miguel Prats Garrido Tutores: Guillermo Daniel Megías Vázquez Juan Antonio Caballero Carretero Departamento de Física Atómica, Molecular y Nuclear Facultad de Física Resumen Este trabajo es un estudio teórico de los procesos de dispersión entre neutrinos y leptones cargados. Tras realizar una breve revisión de las propiedades del neutrino, se introduce el formalismo de la teoría cuántica de campos para la interacción electrodébil y se analizan procesos de dispersión mediados por corrientes cargadas y neutras. Estos procesos son de relevancia actual debido al desarrollo de experimentos que intentan medir con precisión las oscilaciones de los neutrinos. Experimentos actuales como MINERvA, o futuros como DUNE, utilizan el conocimiento preciso de las secciones eficaces de dispersión entre neutrinos y leptones para reducir la incertidumbre en el flujo de neutrinos experimental. Abstract This work is a theoretical study of the scattering processes between neutrinos and charged leptons. After a brief review of the neutrino properties, the formalism of quantum field theory for electroweak interaction is introduced, and scattering processes mediated by charged and neutral currents are analyzed. These processes are currently relevant due to the development of experiments that attempt to measure neutrino oscillations precisely. Current experiments like MINERvA, or future ones like DUNE, use precise knowledge of the scattering cross-sections between neutrinos and leptons to reduce uncertainty in the experimental neutrino flux. i Índice general 1. Motivación 1 2. Introducción 2 2.1. LahipótesisdePauli.............................. 2 2.2. Descubrimiento experimental del neutrino . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.3. Propiedades del neutrino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.3.1. Saboryhelicidad............................ 5 2.3.2. Las oscilaciones de neutrinos y su masa . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.4. Lateoríaelectrodébil.............................. 8 2.4.1. Corrientes cargadas (CC) y corrientes neutras (NC) . . . . . . . . . 10 2.4.2. Interacción elástica neutrino - leptón . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.5. Interés de la interacción neutrino-leptón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3. Dispersión elástica neutrino - leptón 19 3.1. Definición de la matriz de interacción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.2. Sección eficaz diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.3. Descripción cinemática del proceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.4. Cálculo de la matriz de interacción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.5. Cálculo de la sección eficaz diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.6. Desarrollo de la amplitud de transición invariante . . . . . . . . . . . . . . 26 3.6.1. Amplitud de transición para procesos de corrientes cargadas . . . . 28 3.6.2. Amplitud de transición para la colisión antineutrino - leptón . . . . 29 3.6.3. Amplitud de transición total para procesos que pueden darse por corrientes cargadas y neutras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.7. Sección eficaz diferencial y total para procesos NC . . . . . . . . . . . . . . 30 3.7.1. Colisión antineutrino - leptón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.8. Sección eficaz diferencial y total para procesos CC . . . . . . . . . . . . . . 32 ii 4. Análisis de los resultados 34 4.1. Procesos mediados por corrientes neutras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.2. Procesos mediados por corrientes cargadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.2.1. Comparación entre secciones eficaces CC y NC . . . . . . . . . . . 39 4.2.2. Secciones eficaces CC para dispersión de neutrinos y antineutrinos . 40 4.3. ProcesosNC+CC............................... 43 4.3.1. Análisis del término de interferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.3.2. Diferencias entre colisiones de neutrinos y antineutrinos . . . . . . 45 5. Conclusiones 46 Anexos 48 A. La ecuación de Dirac 48 A.1. Soluciones libres de la ecuación de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 B. Cálculos de la sección eficaz 51 B.1. Desarrollo de la delta de Dirac al cuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 B.2. Integración de la sección eficaz diferencial respecto a los momentos . . . . 51 B.3. Términos de la amplitud de transición al cuadrado . . . . . . . . . . . . . 54 B.4. Evaluación de los sumatorios para todas las polarizaciones de espín . . . . 55 C. Cálculo de la amplitud de transición invariante 57 C.1.Teoremasdetrazas............................... 57 C.2. Cálculo de la contracción de los tensores leptónicos . . . . . . . . . . . . . 58 D. Cociente de secciones eficaces 64 iii Capítulo 1 Motivación La comprensión de la interacción débil ha estado históricamente muy unida al estudio del neutrino, una partícula elemental cuyo descubrimiento ha enriquecido enormemente el desarrollo de la física moderna. El neutrino ha sido considerado durante muchos años como una partícula de masa nula, pero las investigaciones más recientes indican que los neutrinos sí tienen masa, en contra de lo establecido en el Modelo Estándar. Esto ha sido descubierto a partir del fenómeno de las oscilaciones de los neutrinos, que solo pueden explicarse si los neutrinos tienen masa. Las oscilaciones de neutrinos fueron estudiadas y descubiertas en experimentos como Super-Kamiokande o SNO, que detectaban neutrinos solares y atmosféricos. Sin embargo, los nuevos experimentos, algunos en marcha y otros en fase de diseño, buscan principalmente estudiar las oscilaciones utilizando haces de neutrinos producidos en aceleradores. El conocimiento teórico preciso de los procesos de dispersión entre neutrinos y leptones cargados es utilizado por estos experimentos para conocer con precisión el flujo experimental de neutrinos que producen estos aceleradores. Dado que el análisis de las oscilaciones se realiza a través del estudio de la variación del flujo de neutrinos de un sabor leptónico concreto, el conocimiento preciso del flujo inicial producido en el acelerador es indispensable. En este trabajo dedicamos el capítulo 2 a una introducción donde se revisan las propiedades del neutrino y se describe el formalismo de la teoría electrodébil. En el capítulo 3 se calculan las secciones eficaces de interacción para procesos de dispersión entre neutrinos y leptones cargados. Finalmente, en el capítulo 4 analizamos las expresiones teóricas obtenidas y comparamos sus predicciones con resultados experimentales relevantes. 1 Capítulo 2 Introducción 2.1. La hipótesis de Pauli Tras la publicación de J. Chadwick en 1914 de nuevas medidas precisas del espectro de energía del decaimiento β[1], se produjo un gran desconcierto en la comunidad científica provocado por los problemas que presentaba la interpretación teórica del continuo de energía (ver Figura 2.1) con la que salían emitidos los electrones. En aquellos momentos se pensaba que el decaimiento βera un proceso por el que un núcleo decaía en otro más ligero con la emisión de un electrón (A→B+e−), lo que significaba que la energía de las partículas finales estaba completamente definida a partir de las tres masas involucradas. Tras la confirmación de que los electrones emitidos durante el proceso primario del decaimiento eran los responsables del continuo de energía que aparecía en el espectro, dos propuestas distintas emergieron como soluciones al problema [2]. Niels Bohr sostenía Figura 2.1: Espectro continuo del decaimiento beta del 210Bi [3]. 2 Capítulo 2. Introducción 3 que la conservación de la energía no debía verificarse estrictamente en este proceso, y estaba dispuesto a renunciar a este principio esencial en el desarrollo de la física hasta ese momento. Wolfgang Pauli, en cambio, propuso la existencia de una nueva partícula neutra que era emitida en el decaimiento junto al electrón [2], permitiendo la verificación del principio de conservación de la energía y, además, manteniendo un acuerdo con los nuevos descubrimientos relacionados con el espín y la conservación del momento angular. La introducción de esta nueva partícula, de masa muy pequeña (durante muchos años se pensó que era nula) y de espín 1 2(en el sistema de unidades naturales, i.e., ~≡1), como producto del decaimiento β, permitió la explicación del continuo de energía al comprender que son tres cuerpos los que resultan del decaimiento. Con esta nueva descripción del proceso, n→p+e−+¯νe, la energía puede repartirse entre el electrón y el recién introducido neutrino (antineutrino hoy en día, aunque se desconocía esta diferencia en la época de la hipótesis de Pauli), dando lugar a diferentes energías para los electrones emitidos. 2.2. Descubrimiento experimental del neutrino Enrico Fermi fue uno de los principales físicos que apoyó la hipótesis de Pauli (de hecho, fue él quién acabó poniéndole nombre a la partícula). En 1934 [4], Fermi desarrolló una teoría para describir el proceso de decaimiento β. Esta sería la primera teoría de la interacción débil, que es la responsable de que ocurra este proceso. En la teoría de Fermi, la interacción entre los cuatro fermiones era puntual y estaba descrita por un lagrangiano del tipo: L=−GF √2φpγµφnφeγµφν.(2.1) El lagrangiano descrito (2.1) involucra a las corrientes φpγµφnyφeγµφν, donde aparecen las funciones de onda de las partículas interaccionantes φp,φn,φeyφν. La expresión previa 2.1 no tenía en consideración la posible estructura interna del protón y del neutrón, no conocidas en esa época. La teoría debía ser relativista, dado que trataba con partículas de masa despreciable (el neutrino), o con masa pequeña frente a la energía cinética (electrones). Esto implicaba que las funciones de onda debían ser soluciones de la ecuación de Dirac (ver el apéndice A). El acoplamiento que eligió Fermi para este lagrangiano de interacción fue de tipo “vector” (aquel que acopla las funciones de onda a través de un término γµ[4]). La constante GFes conocida como constante de Fermi, y da una medida de la intensidad de la interacción débil. Actualmente, su valor medido a través del 42.2. Descubrimiento experimental del neutrino Figura 2.2: Diagrama del experimento Savannah River, en el que Cowan y Reines detectaron el antineutrino por primera vez en la historia. El antineutrino producido en el reactor de fisión interacciona con un protón generando un neutrón y un positrón. El positrón se aniquila con un electrón generando dos fotones que se detectan en el centelleador. El neutrón es capturado por un núcleo de cadmio y emite fotones, detectados también en el centelleador [7]. decaimiento del muon, resulta [5]: GF= 1,1663788(6) ×10−5GeV−2.(2.2) La teoría de Fermi fue bastante exitosa y convenció a gran parte de la comunidad científica de la existencia del neutrino, pero no fue hasta los años 50 cuando se consiguió la primera evidencia experimental de su existencia. Los físicos H. Bethe y R. Peierls habían predicho la intensidad de las interacciones y habían enfatizado la posibilidad de que jamás se observara la interacción débil [6]. Sin embargo, F. Reines y C.L. Cowan, pusieron todos sus esfuerzos en intentar diseñar un experimento donde se pudiera observar el decaimiento βinverso, de forma que esto pusiera en evidencia la existencia del neutrino. La reacción que Cowan y Reines pretendían observar era ¯νe+p→e++n(téngase en cuenta que en aquel momento no se conocía que existiese diferencia entre neutrino y antineutrino o entre neutrinos de distintos sabores). En un inicio, la preocupación de Reines, tal y como le expresó a Fermi en Los Alamos (1951), era el desconocimiento sobre cómo fabricar un detector del tamaño que era necesario para llevar a cabo dicho experimento [7]. Un detector de gran tamaño en aquella época era aproximadamente del volumen de un litro. En el experimento Savannah River, como fue denominado, los Capítulo 2. Introducción 5 neutrinos iban a ser generados en el decaimiento beta de fragmentos de fisión en una reacción nuclear. El detector que utilizaron finalmente fue un centelleador líquido. Se esperaba que los neutrinos, al atravesar el centelleador, interaccionaran con los protones, convirtiéndose estos en neutrones y emitiendo un positrón (ver Figura 2.2) [8]. El positrón emitido se aniquilaría con un electrón, emitiendo dos fotones, mientras que el neutrón, al ser capturado por un núcleo de cadmio, también daría lugar a la emisión de fotones. El lapso de tiempo entre los dos procesos de emisión de fotones podría ser medido con gran precisión. El experimento fue todo un éxito, siendo 1956 el año a partir del cual se tuvo evidencia experimental de la existencia del neutrino. Tras los resultados positivos de Cowan y Reines, Davis y Harmer plantearon la cuestión de si el neutrino y el antineutrino eran la misma partícula. Los resultados experimentales del experimento Savannah River habían verificado la existencia de la reacción: ¯νe+p→e++n. (2.3) Esto significaba que la reacción νe+n→e−+ptambién era posible. La pregunta que se hizo Davis fue: ¿puede provocarse esta reacción utilizando antineutrinos [9]? Es decir, ¿es posible ¯ν+n→e−+p? Davis descubrió que esta reacción no ocurría experimentalmente, y concluyó que el neutrino y el antineutrino eran partículas distintas. A día de hoy, las diferencias entre neutrino y antineutrino no están completamente definidas y se sigue especulando si son distintos (partículas de Dirac) o si son la misma partícula (partículas de Majorana) [9]. 2.3. Propiedades del neutrino 2.3.1. Sabor y helicidad Entre los años 50 y 60 se introdujeron dos conceptos muy relevantes para la descripción de los neutrinos, para entender los procesos de interacción mediados por la interacción débil y para el desarrollo posterior del modelo estándar. Estos fueron la atribución de distintos sabores a los neutrinos en función de a qué familia leptónica pertenecen, y la introducción de una nueva ley de conservación: la conservación del número leptónico. Esta nueva ley atribuye a cada leptón un número L=±1, dependiendo de si consideramos la partícula (+1) o la antipartícula (−1), que debe conservarse estrictamente a la hora de producirse una reacción. Además, esta ley de conservación se verifica estrictamente 12 2.4. La teoría electrodébil Figura 2.4: Acoplamientos generados por los términos del lagrangiano NC (ecuación 2.13) [6]. isospín (If 3), de su carga (qf) y del ángulo de Weinberg (θw) [6]: gf V=If 3−2qfsen2(θw), gf A=If 3.(2.12) La expresión 2.11 también mantiene la conservación del número leptónico para cada sabor de forma independiente, como ya habíamos visto en las corrientes cargadas. La conservación del número leptónico se asocia, a través del teorema de Noether, con la invariancia gauge del lagrangiano [6]. El término del lagrangiano responsable de la interacción débil mediada por corrientes neutras es: −g 2cosθω jµ ZZµ.(2.13) Este término produce acoplamientos como los que se presentan en la Figura 2.4. El ángulo de Weinberg conecta las constantes de acoplamiento débil y electromagnética de la siguiente manera [6]: gw=ge senθw .(2.14) 2.4.2. Interacción elástica neutrino - leptón La interacción del neutrino con la materia involucra procesos diversos cuya descripción es muy compleja. En esta sección centramos nuestra atención en el proceso de interacción elástica neutrino-leptón. La restricción al caso elástico y considerar partículas sin estructura simplifica considerablemente la descripción de la reacción. El análisis se puede realizar, en muy buena aproximación, utilizando el orden más bajo de teoría de perturbaciones, donde los leptones son tratados como partículas libres. En el orden más bajo de teoría de perturbaciones, representamos gráficamente los procesos a través de los respectivos diagramas de Feynman en primer orden. En general, Capítulo 2. Introducción 13 Z να να lβ lβ (a) Proceso NC W να lα lβ νβ (b) Proceso CC Figura 2.5: (a) Diagrama de Feynman de primer orden para el proceso de dispersión να+lβ→ να+lβ, donde αyβpueden ser los sabores e, µ, τ. Si α6=βel proceso es puramente NC. Si α=βel diagrama representa la contribución NC de un proceso que también puede darse por CC. (b) Diagrama de Feynman de primer orden para el proceso de dispersión να+lβ→νβ+lα, donde αyβpueden ser los sabores e, µ, τ. Si el proceso es puramente CC, α6=β. En caso de que también pueda ocurrir por corrientes neutras α=β. podemos distinguir entre procesos de interacción que solo pueden producirse mediados por corrientes neutras (NC), solo por corrientes cargadas (CC), y aquellos que pueden producirse mediados por ambas (CC + NC). Los procesos de interacción neutrino-leptón que solo pueden ser mediados por corrientes neutras están descritos por reacciones del tipo: να+lβ−→ να+lβ, ¯να+lβ−→ ¯να+lβ. (2.15) Donde αyβpueden ser e, µ, τ, pero con α6=β. Estos procesos se representan en diagramas de Feynman como el de la Figura 2.5a. La descripción de estos procesos vendrá dada por un lagrangiano como el de la ecuación 2.8, prescindiendo del término que involucra a las corrientes cargadas. Los procesos que solo pueden ser mediados por el bosón Wse describen a través de diagramas de Feynman como los de la Figura 2.5b, con α6=β. Estos procesos involucran la transformación de los leptones incidentes en otros de la misma familia, de forma que su carga se vea incrementada o disminuida en una unidad. En cada vértice debe conservarse el número leptónico. La descripción de estos procesos vendrá dada por un lagrangiano como el de la ecuación 2.8, prescindiendo del término que involucra a 14 2.4. La teoría electrodébil las corrientes neutras. A continuación, se muestran algunos procesos puramente CC: νµ+e−−→ νe+µ−, νe+µ−−→ νµ+e−. (2.16) Existen, además, procesos que pueden producirse a través de corrientes cargadas y corrientes neutras. Uno de los más relevantes, que trataremos con extensión en este trabajo, es la colisión entre un neutrino electrónico y un electrón: νe+e−−→ νe+e−.(2.17) En general, cualquier proceso que involucre una colisión entre un leptón y un neutrino de su misma familia leptónica podrá producirse a través de corrientes cargadas o neutras. Estos procesos vendrán descritos por los dos diagramas que aparecen en la Figura 2.5, teniendo en cuenta que, en la notación del diagrama, α=β. El lagrangiano de interacción incluye las dos contribuciones (2.8). En este trabajo, analizaremos los resultados de experimentos que involucren energías mucho menores que las masas de los bosones W yZ, es decir, energías mucho menores que 100 GeV. En estos casos, la expresión de los propagadores de la interacción se simplifica y se pueden construir lagrangianos efectivos que describen las interacciones neutrino-leptón en el régimen elástico a bajas energías. Vamos a analizar esto a continuación. Por un lado, los propagadores de la interacción vienen descritos, en general, por las siguientes expresiones [6]: G(W) µν (X−X0) = l´ım →0iZd4Q (2π)4−gµν +QµQν M2 W Q2−M2 W+ie−iQ(X−X0), G(Z) µν (X−X0) = l´ım →0iZd4Q (2π)4−gµν +QµQν M2 Z Q2−M2 Z+i Gµν (Q) e−iQ(X−X0). (2.18) Estas expresiones dependen del propagador en el espacio de momentos, que se ha denotado como Gµν(Q). Si trabajamos a energías mucho menores que las masas de los bosones W yZ, esto es, |Q|2<< M2 W, M2 Z, las expresiones de los propagadores en el espacio de momentos se reducen a: G(W) µν (Q)≈igµν M2 W , G(Z) µν (Q)≈igµν M2 Z .(2.19) Capítulo 2. Introducción 15 Figura 2.6: Contracción del propagador del bosón W en un proceso CC genérico. El caso para procesos NC es idéntico, siendo el propagador que se contrae aquel asociado al bosón Z y sustituyendo los factores en cada vértice por −ig 2 cos θw. En ambos casos la interacción efectiva es puntual a bajas energías. La figura está tomada de [6]. Esto implica que las líneas internas asociadas a los bosones gauge en los diagramas de Feynman se pueden contraer a un punto [6]. La interacción puede considerarse como puntual si trabajamos con esta aproximación. Esto se puede ver en detalle en la Figura 2.6. En la expresión del lagrangiano (2.8) vemos que aparecen los propagadores Wµ,Zµ. Al sustituir la expresión aproximada de estos propagadores (2.19) en los lagrangianos, surgen los siguientes lagrangianos efectivos [6], definidos en función de las corrientes cargadas y neutras (ecuaciones 2.9 y 2.11): L(CC) eff =−GF √2j† Wµjµ W,(2.20) L(NC) eff =−GF √2jµ ZµjZµ.(2.21) La intensidad de la interacción (para energías por debajo de los valores de las masas de los bosones propagadores) viene representada por la constante de Fermi (ver ecuación 2.2), que está relacionada con la constante de acoplamiento gdel Modelo Estándar (ver la ecuación 2.22). Esto solo es así en la aproximación que estamos considerando, siendo necesaria la consideración de las expresiones generales (2.18) en el caso de que trabajemos en otros regímenes de energía, GF √2=g2 8M2 W .(2.22) Para un proceso como el representado en 2.17, que es el caso más general, ya que involucra corrientes cargadas y neutras, el lagrangiano efectivo puede escribirse sumando 16 2.5. Interés de la interacción neutrino-leptón las contribuciones CC y NC [6]: Leff =−GF √2{Ψνeγµ(1 −γ5)ΨeΨeγµ(1 −γ5)Ψνe +Ψνeγµ(1 −γ5)ΨνeΨeγµ(gl V−gl Aγ5)Ψe}. (2.23) Cada uno de los corchetes que aparecen en el lagrangiano (ecuación 2.23) describen un vértice del diagrama de Feynman, donde ΨyΨhacen referencia a las funciones de onda de la partícula final e inicial, respectivamente. Los subíndices ναylαdescriben la partícula considerada y su sabor. La expresión 2.23 se puede reescribir, utilizando una transformación de Fierz [6], de forma que el término asociado a las corrientes cargadas tenga la misma forma que el asociado a las corrientes neutras. De esta forma, el lagrangiano efectivo puede escribirse, finalmente, como [6]: Leff =−GF √2Ψνeγµ(1 −γ5)ΨνeΨeγµ((1 + gl V)−(1 + gl A)γ5)Ψe.(2.24) Esto equivale a considerar el lagrangiano efectivo para corrientes neutras y redefinir los coeficientes: gl V→1 + gl V, gl A→1 + gl A.(2.25) Es importante notar que, experimentalmente, es imposible distinguir entre las contribuciones CC y NC de un proceso de dispersión neutrino-leptón que puede ocurrir mediado por ambas. Lo único que es posible medir es la sección eficaz total del proceso, que incluye ambas contribuciones. La sección eficaz total de un proceso NC + CC viene dada por el módulo al cuadrado de la suma de todas las amplitudes (representadas por diagramas de Feynman) compatibles con el proceso. En el caso considerado, además de las contribuciones por separado de cada una de las amplitudes correspondientes a procesos CC y NC, tenemos un término de interferencia que produce un efecto apreciable en la sección eficaz. Esto se analiza en detalle en el capítulo siguiente y en el capítulo 4, donde se discuten los resultados del experimento LAMPF [19], en el que se midió este término de interferencia. 2.5. Interés de la interacción neutrino-leptón La interacción entre neutrinos y leptones ha tenido y sigue teniendo un papel relevante en la experimentación dentro del campo de la física de partículas. Históricamente, estos Capítulo 2. Introducción 17 procesos han permitido verificar directamente la estructura V−Ade la interacción débil, como discutiremos más adelante en el capítulo 4, donde se analizarán las diferencias entre procesos CC que involucran la dispersión de neutrinos y antineutrinos. La estructura V−Atiene consecuencias directas sobre las secciones eficaces de interacción que pueden utilizarse para verificar experimentalmente la teoría [16]. Una de estas consecuencias es el resultado que se obtiene para la relación entre secciones eficaces de interacción CC a altas energías, que se discutirá con más detalle en el capítulo 4: σCC(¯νee−) = 1 3σCC(νee−).(2.26) Por otro lado, los procesos de interacción entre neutrinos y leptones puramente NC han sido muy importantes en la segunda mitad del s. XX a la hora de comprobar experimentalmente la validez del Modelo Estándar de la física de partículas. Este fue el caso de la primera observación en 1973 de la interacción entre neutrinos muónicos y electrones en el experimento Gargamelle [18], así como posteriores estudios de estos procesos para determinar los parámetros gA,gVy el ángulo de Weinberg. Durante el final del s. XX y principios del XXI se han realizado una serie de experimentos muy relevantes que han utilizado la interacción neutrino-electrón (entre otras) para detectar neutrinos solares y estudiar las oscilaciones de neutrinos. Estos son Kamiokande, Super-Kamiokande y SNO ([20], [21], [6]). Estos experimentos hacían uso de detectores de radiación Cherenkov para detectar eventos de dispersión entre neutrinos y electrones. El detector de radiación Cherenkov utiliza un fenómeno físico que aparece cuando un leptón cargado atraviesa un medio con un cierto índice de refracción a muy altas velocidades (ultrarrelativistas). En esta situación, el leptón emite fotones entre 300 y600 nm de longitud de onda, que pueden detectarse a través de fotomultiplicadores [6]. Esto permite la detección de leptones que han sido dispersados en procesos de interacción con neutrinos. Observando los fotones emitidos es posible identificar el lugar de la interacción del neutrino con el leptón, la dirección de la trayectoria del leptón y su energía. Actualmente, la interacción entre neutrinos y electrones se utiliza para controlar y conocer con precisión el flujo de neutrinos producido en aceleradores en los experimentos que estudian las oscilaciones de neutrinos [22]. El conocimiento con precisión del flujo de neutrinos presente en el haz experimental es crítico cuando se quiere estudiar las oscilaciones, ya que las mayores fuentes de incertidumbre de estas mediciones están fundamentalmente asociadas a un conocimiento preciso de la distribución de energía de los 18 2.5. Interés de la interacción neutrino-leptón Figura 2.7: Esquema del experimento DUNE, todavía en fase de construcción. El haz de neutrinos se producirá a partir de un acelerador de protones. El flujo de neutrinos producido en el acelerador debe medirse con precisión utilizando un detector cercano al acelerador. El detector lejano se coloca a una distancia suficientemente grande como para que la probabilidad de oscilación de los neutrinos sea alta. Figura tomada de [25]. neutrinos y de la detección de los productos de su reacción con la materia, para así poder reconstruir la energía de los neutrinos que han provocado los eventos detectados. En el experimento MINERvA [22], el haz de neutrinos es producido a través de la colisión de un haz de protones de alta energía con un blanco estacionario de grafito. Esto desencadena la producción de distintos hadrones que se redirigen utilizando campos magnéticos y que producen neutrinos cuando decaen (por ejemplo, a través de la producción de otros leptones, como muones). Algunos experimentos donde se usan haces de neutrinos producidos en aceleradores son [23]: T2K, NOνA y MicroBooNE. Otros experimentos, que todavía no están en marcha, como DUNE [24], también estudian la posibilidad de controlar el flujo de neutrinos a través de este método implementado por el experimento MINERvA. En la Figura 2.7 se muestra el esquema general de funcionamiento del futuro experimento DUNE, donde se utilizará un acelerador de protones para generar el haz de neutrinos. La técnica desarrollada en el experimento MINERvA utiliza los conocimientos precisos de las secciones eficaces de interacción entre neutrinos y electrones para reducir la incertidumbre del valor del flujo de neutrinos que proporciona el reactor. Existen otros métodos para reducir esta incertidumbre, pero tienen errores mayores (por ejemplo, a través del estudio de la interacción neutrino-nucleón [22, 26]). Es común utilizar una combinación de varios de ellos, como se hace en MINERvA [23]. Los últimos resultados proporcionados por el experimento MINERvA apuntan a un gran avance en la reducción de la incertidumbre para bajas energías y energías medias de los neutrinos producidos [27, 28, 23, 22]. La referencia [22] indica que los flujos de neutrinos y antineutrinos muónicos han visto su incertidumbre reducida desde un 7,6% y7,8% a un 3,3% y 4,7%, respectivamente. Capítulo 3 Dispersión elástica neutrino - leptón En este capítulo aplicaremos el formalismo de la Teoría Cuántica de Campos en la representación de interacción, concretamente para el hamiltoniano de la interacción débil, y calcularemos las secciones eficaces de diferentes procesos de dispersión entre neutrinos y leptones mediados por corrientes neutras (NC) y corrientes cargadas (CC). La distinción entre procesos de interacción débil mediados por corrientes cargadas y corrientes neutras ya se ha realizado en el capítulo anterior. El cálculo de la sección eficaz de interacción, medida de la probabilidad de ocurrencia de un proceso, puede particularizarse para un proceso puramente CC, un proceso puramente NC, o para un proceso en el que intervienen ambas, donde el lagrangiano será la suma de las dos contribuciones. Las expresiones explícitas de los lagrangianos (CC, NC y NC + CC) pueden encontrarse en el capítulo 2 (2.7, 2.23, 2.24). En las siguientes secciones trataremos con un hamiltoniano definido a partir del lagrangiano NC para un proceso de dispersión elástica neutrino - leptón. Para lagrangianos de interacción que no dependen explícitamente de la derivada de los campos, como es el lagrangiano NC que estamos considerando, el hamiltoniano asociado es HI=−LNC eff (ver [29]): HI=GF √2Ψναγµ(1 −γ5)ΨναΨlγµ(gl V−gl Aγ5)Ψl,(3.1) donde αpuede ser distinto de l. Calcularemos la sección eficaz del proceso NC a partir de este hamiltoniano. La ventaja de usar este hamiltoniano es que podremos particularizar los resultados a procesos puramente CC (bastará con sustituir los coeficientes gVygApor 19 20 3.1. Definición de la matriz de interacción 1) o a procesos que involucran CC y NC (en los que se puede hacer la sustitución 2.25 en el cálculo realizado con el lagrangiano NC). Esto se discutirá detalladamente en secciones posteriores. 3.1. Definición de la matriz de interacción En la representación de interacción, el Hamiltoniano de un sistema puede escribirse como la suma de un Hamiltoniano libre y un Hamiltoniano de interacción: H=H0+HI.(3.2) Nuestro objetivo es estudiar procesos de dispersión entre partículas. En estos problemas podemos considerar que el estado inicial estará definido a partir de una serie de partículas, que tendrán sus respectivos momentos, espines y polarizaciones, y que estarán suficientemente alejadas entre sí como para no interaccionar. Cuando estas partículas se acerquen e interaccionen, el estado inicial evolucionará hacia un estado final que, para un tiempo suficientemente largo, volverá a involucrar a una serie de partículas alejadas que no interaccionan entre sí [29]. Esto es lo que se conoce como hipótesis adiabática. La matriz de colisión establece una relación entre el estado inicial del sistema y otro estado determinado en t→ ∞ tras la interacción. La colisión puede llevar a diferentes posibles estados finales, todos ellos contenidos en |φ(+∞)i[29]. Matemáticamente, la relación entre los estados inicial y final del sistema puede escribirse de la siguiente forma: |φf(+∞)i=Sfi |φ(−∞)i,(3.3) siendo Sfi: Sfi = ∞ X n=0 (−i)n n!Z∞ −∞ . . . Z∞ −∞ d4X1d4X2. . . d4XnP{HI(X1)HI(X2). . . HI(Xn)},(3.4) donde Pdenota el producto cronológico de Dyson [29]. La expresión de la matriz de colisión (3.4) es únicamente válida cuando el hamiltoniano de interacción es suficientemente débil, esto es debido a que la ecuación 3.4 es una solución obtenida a partir de la teoría de perturbaciones [29]. En el caso que nos ocupa, para la interacción débil, esta solución es completamente válida. En este trabajo estudiaremos los procesos de interacción teniendo en cuenta únicamente el primer orden de teoría de perturbaciones, en el que la matriz de Capítulo 3. Dispersión elástica neutrino - leptón 21 colisión tiene la siguiente forma [30]: Sfi =−iZd4XHI(X).(3.5) 3.2. Sección eficaz diferencial Una de las magnitudes más relevantes a la hora de estudiar procesos de interacción es la sección eficaz. Esta magnitud nos da una medida de la probabilidad de que este proceso tenga lugar. Es medible experimentalmente y tiene usos en experimentos actuales, donde su conocimiento preciso para ciertos procesos permite reducir la incertidumbre en el flujo de neutrinos incidente (ver la sección 2.5). Para introducir la sección eficaz conviene dar algunas definiciones previas. Se define la probabilidad de transición del sistema hacia un estado final, dW, como el producto de la matriz de colisión al cuadrado |Sfi|2y la densidad de estados finales, dNf [30]: dW =|Sfi|2dNf, dNf=Y f V (2π)3d3pf,(3.6) donde la densidad de estados finales está definida en función de los diferenciales de momentos de las partículas finales. A partir de estas expresiones se puede definir la probabilidad de transición por partícula y por unidad de tiempo [30]: dR =dW T.(3.7) La sección eficaz diferencial viene expresada como el cociente de la probabilidad de transición por partícula y unidad de tiempo entre la corriente o flujo inicial de partículas Jinc. Para un proceso de colisión entre dos partículas la corriente puede definirse de la siguiente forma: Jinc =|v1−v2| V=p(P1·P2)2−m2 1m2 2 E1E2V.(3.8) La demostración de 3.8 puede encontrarse en [30]. La expresión de la sección eficaz diferencial viene dada por la ecuación 3.9, que, finalmente, depende de la matriz de colisión, de la densidad de estados finales, del flujo de partículas iniciales y del tiempo de interacción 28 3.6. Desarrollo de la amplitud de transición invariante Q W+ να(1) lα(3) lβ(2) νβ(4) Figura 3.2: Diagrama de Feynman para el proceso de dispersión να+lβ→νβ+lα, donde αy βpueden ser los sabores e, µ, τ. Si el proceso es puramente CC, α6=β. posibilidad de particularizar esta expresión para procesos mediados por corrientes cargadas, procesos que involucran antineutrinos, o procesos que pueden ocurrir por corrientes cargadas y neutras, se discute en la siguiente sección. 3.6.1. Amplitud de transición para procesos de corrientes cargadas Sea un proceso de dispersión elástica entre un neutrino y un leptón mediado por corrientes cargadas que viene descrito por un diagrama de Feynman en primer orden como el de la Figura 3.2. Podemos particularizar el resultado 3.30 para procesos de este tipo imponiendo que las constantes gVygAsean iguales a 1. El segundo y tercer sumando de la expresión desaparecen y la expresión que resulta es: Mfi2= 4G2 F{(P1·P2)(P3·P4)}.(3.31) Hay que tener en cuenta que, en el proceso NC tal y como nosotros lo habíamos definido, al neutrino inicial se le asociaba P1y al final P3. Ahora, en cambio, el neutrino final tiene asociado el cuadrimomento P4y el leptón final P3. Esto no es un problema puesto que en el cálculo de la sección eficaz que hemos realizado previamente la única consideración que hemos hecho es que el sistema de referencia sea el sistema centro de momentos, no hemos considerado m1=m3= 0. Por tanto, este resultado podemos incorporarlo en 3.21 y proceder con los cálculos cuando definamos P1,P2,P3,P4adecuadamente. Capítulo 3. Dispersión elástica neutrino - leptón 29 Z ¯να ¯να lβ lβ (a) Corrientes neutras (NC). W ¯να lα lβ ¯νβ (b) Corrientes cargadas (CC). Figura 3.3: Diagramas de Feynman para procesos de dispersión entre antineutrinos y leptones. La notación es idéntica a la seguida en los diagramas anteriores. 3.6.2. Amplitud de transición para la colisión antineutrino - leptón También es posible modificar las expresiones 3.30 y 3.31 para describir el caso en el que las partículas incidentes sean antineutrinos (ver la Figura 3.3). Un antineutrino entrante en un vértice puede verse como un neutrino saliente de ese mismo vértice con energía negativa. Esto permite obtener el resultado que queremos mediante un simple intercambio entre las variables P1yP3(en el caso NC), y P1yP4(en el caso CC). Véanse las Figuras 3.1 y 3.2 para entender la notación. De esta forma, para la amplitud NC del proceso ¯νl, obtenemos: Mfi2=G2 F{(gV+gA)2(P3·P2)(P1·P4)+(gV−gA)2(P2·P1)(P3·P4) −m2m4(g2 V−g2 A)(P1·P3)}. (3.32) Se puede observar inmediatamente que el intercambio que hemos hecho es análogo a modificar gA→ −gA. Por tanto, si realizamos los cálculos para el proceso ναl, tendremos los resultados para el caso de antineutrinos modificando el signo de gA. Esto es así porque, para antineutrinos, el término 1−γ5pasa a ser 1 + γ5, verificando que los antineutrinos presentan helicidad positiva. La amplitud CC para el proceso ¯νl resulta: Mfi2= 4G2 F{(P1·P3)(P2·P4)}.(3.33) 30 3.7. Sección eficaz diferencial y total para procesos NC 3.6.3. Amplitud de transición total para procesos que pueden darse por corrientes cargadas y neutras Como se ha discutido en el capítulo 2 y en la introducción de este capítulo, el lagrangiano (o hamiltoniano) efectivo que considera las contribuciones NC y CC es idéntico al hamiltoniano NC realizando una modificación en los coeficientes gVygA(ver ecuación 2.25). Esto nos lleva a que la amplitud de transición es idéntica a la obtenida para procesos puramente NC si realizamos esta transformación en los coeficientes: Mfi2=G2 F{[(1 + gV)+(1+gA)]2(P1·P2)(P3·P4) + [(1 + gV)−(1 + gA)]2 ×(P2·P3)(P1·P4)−m2m4(1 + gV)2−(1 + gA)2(P1·P3)}. (3.34) En las siguientes secciones obtenemos las expresiones finales de la sección eficaz para procesos NC y CC. No dedicaremos una sección completa a los procesos NC + CC ya que es posible obtener sus expresiones a partir de las calculadas para un proceso NC realizando la sustitución descrita en 2.25. Esto se ha discutido cuando introdujimos la expresión 2.24 en el capítulo 2. 3.7. Sección eficaz diferencial y total para procesos NC Si introducimos el cuadrado de la amplitud de transición 3.30 en la expresión de la sección eficaz diferencial 3.21, la expresión que resulta es: dσ dΩ=1 (2π)2(E1+E2)2|pf| |pi|G2 F{(gV+gA)2(P1·P2)(P3·P4)+(gV−gA)2(P2·P3)(P1·P4) −m2m4(g2 V−g2 A)(P1·P3)}. (3.35) A continuación, evaluamos las contracciones entre cuadrimomentos en el sistema centro de momentos. Tenemos en en cuenta que m1=m3= 0 dado que representan a neutrinos. De esta forma, E1=|pi|, E2=qE2 1+m2 2, E3=|pf|, E4=qp2 f+m2 4. (3.36) Capítulo 3. Dispersión elástica neutrino - leptón 31 A partir de B.18 y utilizando m1=m3= 0: |pf|=1 2(E1+E2)(E1+E2)2−m2 4.(3.37) De manera que todas las variables quedan definidas en función de la energía E1=Eν, que es la energía del neutrino incidente. Mostramos a continuación las contracciones de los cuadrimomentos: P1·P2=E1E2−p1p2=E1E2+|pi|2=E1E2+E2 1, P3·P4=E3E4−p3p4=E3E4+|pf|2, P2·P3=E2E3−p2p3=E2E3+pipf=E2E3+E1|pf|cos θ, P1·P4=E1E4−p1p4=E1E4+pipf=E1E4+E1|pf|cos θ, P1·P3=E1E3−p1p3=E1E3−|pi||pf|cos θ=E1E3−E1|pf|cos θ. (3.38) Sustituyendo 3.38 en 3.35 llegamos a: dσ d(cos θ)=G2 F|pf|2 2π(E1+E2)2{(gV+gA)2(E2+E1)(E4+|pf|) + (gV−gA)2(E2+E1cos θ)(E4+|pf|cos θ)−m2m4(g2 V−g2 A)(1 −cos θ)}. (3.39) La expresión previa muestra la sección eficaz diferencial respecto al coseno del ángulo de dispersión. Es fácil ver que la expresión solo depende de E1y del cos θ. Todas las demás variables cinemáticas se escriben en función de estas dos. Si integramos la expresión para todos los ángulos, obtenemos la sección eficaz diferencial total: σNC =G2 F|pf|2 π(E1+E2)2{(gV+gA)2(E2+E1)(E4+|pf|) + (gV−gA)2(E2E4+1 3E1|pf|)−m2m4(g2 V−g2 A)}. (3.40) Es común (ver [4, 9, 6]), en el caso de la colisión neutrino - electrón, despreciar la masa del electrón frente a la energía del neutrino incidente. Podemos hacer esta aproximación y estudiar su validez en función del rango de energías que consideremos y en el caso de 32 3.8. Sección eficaz diferencial y total para procesos CC otros leptones. Tomando m2, m4→0, llegamos a: σNC(approx) =4G2 FE2 1 3π{g2 V+g2 A+gAgV}.(3.41) Expresión cuyo comportamiento puede compararse con la ecuación 3.40 para la colisión entre neutrinos y los distintos leptones e, µ yτen procesos NC. 3.7.1. Colisión antineutrino - leptón La sección eficaz en este caso se obtiene simplemente reemplazando gA→ −gAen las expresiones 3.40 y 3.39. La sección eficaz total, resulta, σNC(¯ν)=G2 F|pf|2 π(E1+E2)2{(gV−gA)2(E2+E1)(E4+|pf|) + (gV+gA)2(E2E4+1 3E1|pf|)−m2m4(g2 V−g2 A)}. (3.42) En el siguiente capítulo analizaremos las diferencias existentes entre ambos procesos a través del estudio de las secciones eficaces. 3.8. Sección eficaz diferencial y total para procesos CC Procediendo de la misma forma que en la sección anterior, introducimos 3.31 en 3.21: dσ dΩ=1 (2π)2(E1+E2)2|pf| |pi|4G2 F(P1·P2)(P3·P4).(3.43) Si definimos las variables cinemáticas tal y como están presentadas en la Figura 3.2, con m1=m4= 0 ya que representan a neutrinos. De esta forma, E1=|pi|, E2=qE2 1+m2 2, E4=|pf|, E3=qp2 f+m2 3. (3.44) A partir de B.18 y utilizando m1=m4= 0: |pf|=1 2(E1+E2)(E1+E2)2−m2 3.(3.45) Capítulo 3. Dispersión elástica neutrino - leptón 33 Mostramos a continuación las contracciones de los cuadrimomentos: P1·P2=E1E2−p1p2=E1E2+|pi|2=E1E2+E2 1, P3·P4=E3E4−p3p4=E3E4+|pf|2. (3.46) Sustituyendo 3.46 en 3.43 llegamos a: dσ d(cos θ)=2G2 F|pf|2 π(E1+E2) 2  (E2+E1)(E3+|pf|),(3.47) que es la expresión de la sección eficaz diferencial respecto al coseno del ángulo de dispersión. Es inmediato ver que la expresión no depende del ángulo θen el sistema centro de momentos. Tras integrar para todos los ángulos se obtiene inmediatamente, σCC =4G2 F|pf|2 π(E1+E2)(E3+|pf|).(3.48) Si consideramos la aproximación ultrarrelativista para el leptón inicial, es decir, despreciamos la masa del leptón incidente m2frente a su momento (discutiremos esta aproximación cuando presentemos los resultados), la expresión 3.48 se reduce a: σCC(rel) =4 πG2 FE2 11−m2 3 4E2 12 .(3.49) Expresión a la que se llega sin más que hacer m2→0en las expresiones 3.44, 3.45, 3.38. Capítulo 4 Análisis de los resultados El objeto de este capítulo es analizar los procesos de dispersión elástica entre neutrinos y leptones de distintos sabores a partir de las expresiones analíticas para la sección eficaz obtenidas en el capítulo 3. 4.1. Procesos mediados por corrientes neutras En esta sección analizamos procesos que pueden ser mediados por el bosón Z. Una característica importante es que, a diferencia de los procesos CC, no presentan una energía inicial del neutrino mínima para que la reacción ocurra. Esto se debe a que el estado inicial y final del proceso es el mismo, solo existe una redistribución de energías y momentos durante la reacción [6]. En la Figura 4.1 podemos ver la representación de la sección eficaz total frente a la energía del neutrino inicial Eνen el sistema COM para distintos procesos de dispersión puramente NC (ecuación 3.40). Estos procesos involucran a leptones cargados y neutrinos de un sabor distinto. La representación en distintos rangos de energía permite visualizar el rápido crecimiento de la sección eficaz a medida que Eνaumenta (en la zona de bajas energías), para posteriormente crecer cada vez más lentamente a medida que la energía del neutrino incidente aumenta. Es interesante notar que, además de crecer más lentamente, a altas energías las secciones eficaces correspondientes a procesos que involucran leptones cargados de distintos sabores (e, µ, τ) presentan una diferencia mucho menor entre ellas. Si evaluamos, por ejemplo, el cociente entre las secciones eficaces de los procesos νµ,τ e− yνe,µ τ−(en realidad, el sabor del neutrino no influye a la hora de considerar procesos NC, pero elegimos los sabores distintos al del leptón cargado para evitar la ambigüedad 34 Capítulo 4. Análisis de los resultados 35 (a) Eνhasta 200 MeV. (b) Eνhasta 5GeV. (c) Eνhasta 30 GeV. (d) Eνhasta 200 MeV. Figura 4.1: Sección eficaz total en función de la energía del neutrino incidente en el sistema COM. Representación de procesos puramente NC. (a), (b) y (c) corresponden a diferentes rangos de energías. (d) Comparación entre la expresión general (3.40) y la aproximación únicamente válida para altas energías en la que se desprecian las masas de los leptones inicial y final (3.41). con el caso de procesos que también pueden ser CC), para distintas energías, obtenemos: E≈100 MeV −→ R=σ(νµ,τ e−) σ(νe,µ τ−)≈0,513, E≈16,5GeV −→ R=σ(νµ,τ e−) σ(νe,µ τ−)≈0,997. (4.1) Por otro lado, la Figura 4.1d muestra la comparación entre la expresión general (3.40) y la aproximación 3.41 que desprecia las masas de los leptones (aproximación que aparece en muchas referencias y es válida para altas energías [9, 4]). Obsérvese que esta aproximación no es adecuada para bajas energías, sobre todo para las curvas del muon y del tauón, cuyas masas son mayores que la del electrón. 36 4.1. Procesos mediados por corrientes neutras (a) Eνhasta 20 GeV. (b) Eνhasta 200 MeV. (c) Cociente teórico de las secciones eficaces mostradas en la Figura 4.2a y la Figura 4.2b. Figura 4.2: (a) y (b): Sección eficaz total NC en función de la energía del (anti)neutrino incidente en el sistema centro de momentos. Representación para diferentes rangos de energías. (c) Cociente teórico de las secciones eficaces NC de procesos que involucran a neutrinos y antineutrinos. En la Figura 4.2 podemos observar la comparación entre procesos puramente NC que involucran a neutrinos y aquellos en los que participan antineutrinos (ecuación 3.42). En concreto, los procesos representados son colisiones neutrino-electrón y antineutrinoelectrón. Es notable que un mismo proceso producido por antineutrinos presenta una sección eficaz menor (ver Figura 4.2). Esto se debe a las diferencias que existen entre las dos expresiones de la sección eficaz total (ecuaciones 3.40, 3.42), ya que la expresión para la colisión de antineutrinos es idéntica a la de los neutrinos sustituyendo gA→ −gA. La diferencia entre las secciones eficaces es mayor a bajas energías (ver Figura 4.2b). Si representamos el cociente entre ambas secciones eficaces frente a distintos valores de la Capítulo 4. Análisis de los resultados 37 energía del (anti)neutrino incidente (ver la Figura 4.2c), podemos observar que la diferencia aumenta a medida que la energía aumenta, estabilizándose para el valor del cociente R≈0,8604. Esta diferencia no es solamente interesante desde un punto de vista teórico, sino que históricamente se ha utilizado para realizar una medida experimental precisa del ángulo de Weinberg. Esto es relevante dado que el Modelo Estándar de Glashow-Weinberg- Salam no proporciona una manera de predecir el valor de este parámetro ([6]). Existen una gran cantidad de medidas experimentales de las secciones eficaces de los procesos de colisión entre neutrinos o antineutrinos muónicos y electrones (en los experimentos CHARM, LAMPF, Gargamelle, LSND). Dado que el cociente Rentre las secciones eficaces de estos procesos (νµe−)y(¯νµe−) depende (ver la ecuación 4.2), exclusivamente, del seno del ángulo de Weinberg (sin θw) para energías mucho mayores que la masa del electrón (donde el cociente de las secciones eficaces es estable), una medida experimental del mismo es posible si conocemos los valores experimentales de estas secciones eficaces [32]. La deducción de la ecuación 4.2, únicamente válida en el rango de energías en el que la masa del electrón es despreciable, se encuentra en el apéndice D. Entre todos los cocientes experimentales que involucran colisiones neutrino-leptón, y no otras colisiones como neutrino-nucleón, R=σνµe− σ¯νµe−permite una medida del ángulo de Weinberg con mayor precisión, ya que muchas de las incertidumbres sistemáticas se cancelan [5]. Un valor experimental del ángulo de Weinberg medido tal y como acabamos de describir se encuentra en [32] (sin2θw= 0,2324 ±0,0058(stat)±0,0059(syst)). R= 31−4 sin2θw+16 3sin4θw 1−4 sin2θw+ 16 sin4θw .(4.2) La dependencia del cociente Rcon el ángulo de Weinberg (ecuación 4.2) se muestra en la Figura 4.3. En ella se ha señalado el valor del sin2θwempleado en este trabajo para la representación de las secciones eficaces. Este valor ha sido tomado de la referencia [5]. El cociente Res σ(νµe−)≈1,1623σ(¯νµe−), tal y como se señala en la Figura 4.3, para el sin2θwconsiderado ([5]). Este resultado conecta con el de la Figura 4.2c a altas energías. Es importante notar que el valor del sin2θque proporciona la referencia [5] no ha sido medido de la forma que hemos descrito en esta sección. De esta consideración se deduce que es razonable que los valores que proporcionan [5] y [32] difieran ligeramente. 44 4.3. Procesos NC + CC de Weinberg, por lo que el valor a una cierta energía está completamente definido [19]. Conocidas las supuestas contribuciones NC y CC solo queda medir experimentalmente la sección eficaz total del proceso de dispersión νee−y calcular: cI=σT−σCC −σNC .(4.10) La medida experimental de la sección eficaz total en el experimento LAMPF ([19]) es: σT= 3,15 ×10−43cm2.(4.11) El valor previo corresponde a una energía media del neutrino inicial de < Eνe>= 31,7MeV en el sistema laboratorio. Dado que esta sección eficaz viene dada en el sistema laboratorio no la podemos comparar directamente con nuestros resultados, expresados en el sistema COM. No obstante, podemos determinar el siguiente cociente, que muestra la intensidad de la interferencia destructiva: Rexp =σT σCC +σNC = 0,52.(4.12) Las predicciones teóricas para la sección eficaz total, la contribución únicamente de las amplitudes asociadas a CC y NC y la contribución de interferencia son, para Eνe= 31,7MeV y en el sistema COM: σT= 3,5740 ×10−41 cm2, σNC +σCC = 7,0658 ×10−41 cm2, cI=−3,4918 ×10−41 cm2, (4.13) donde se ve claramente que la sección eficaz total es menor que la suma de las contribuciones NC y CC. Por lo que el cociente teórico queda: Rteo =σT σCC +σNC = 0,51.(4.14) Nótese que a altas energías las secciones eficaces son bastante estables, luego las diferencias entre el sistema COM y laboratorio son pequeñas y podemos dar un resultado acorde al experimental previo. También es relevante notar que la contribución del término de interferencia CC-NC en la amplitud es del mismo orden que la sección eficaz total. Los Capítulo 4. Análisis de los resultados 45 datos experimentales se han tomado del artículo [19] y los valores teóricos se han obtenido de las expresiones 3.48, 3.40 y de la expresión 3.40 tomando gA= 1 −gA, gV= 1 −gV. Podemos ver un buen acuerdo con el experimento, sobre todo teniendo en cuenta que la precisión con la que el experimento mide la sección eficaz total es de un 17,5 % [19]. Además, como ya hemos comentado, no estamos considerando las correcciones a las secciones eficaces que surgen al considerar los diagramas de orden superior. 4.3.2. Diferencias entre colisiones de neutrinos y antineutrinos En la Figura 4.7b está representada la sección eficaz total para los procesos de colisión (NC + CC) νee−y¯νee−. Como vemos, existe una diferencia notable entre las secciones eficaces que presentan ambos procesos para los distintos valores de la energía inicial del (anti)neutrino. Los procesos de colisión que involucran antineutrinos tienen una probabilidad menor de ocurrencia. Concretamente, para una energía del (anti)neutrino muy superior a la masa del electrón, el cociente teórico de las secciones eficaces para estos procesos es estable y apenas presenta variación con la energía: R=σ(νee−) σ( ¯νee−)= 0,4198.(4.15) Podemos realizar una comparación general, tomando el proceso νee−como referencia, de las secciones eficaces de los distintos procesos que hemos analizado en este capítulo. Los resultados que obtenemos (R=σ((−) ναe−) σ(νee−)) concuerdan con el análisis que se realiza en [6]: σνe:σ¯νe:σνµ:σ¯νµ = 1 : 0,4199 : 0,1642 : 0,1413 (4.16) Los dos primeros procesos νee−y¯νee−presentan contribuciones CC y NC, incluyendo el término de interferencia CC-NC, como hemos analizado en esta sección. En cambio, νµe− y¯νµe−son procesos puramente NC, analizados en la primera sección de este capítulo. Los resultados indican que los procesos de colisión neutrino-electrón puramente NC presentan una sección eficaz mucho menor que aquellos que cuentan con ambas contribuciones. Capítulo 5 Conclusiones El objetivo de este trabajo ha sido estudiar en detalle, aplicando el formalismo de la teoría cuántica de campos, procesos de dispersión elástica entre neutrinos y leptones a través de sus secciones eficaces. El análisis y la comprensión de estas secciones eficaces ha sido muy relevante en el desarrollo del Modelo Estándar de la Física de Partículas, sobre todo, por la introducción por parte de la teoría de Glashow-Weinberg-Salam de un nuevo bosón mediador, el bosón Z, cuya evidencia experimental quedó probada algunos años más tarde. Además, el Modelo Estándar presenta una serie de parámetros libres cuyos valores no vienen dados por la teoría, siendo necesaria una medida experimental de los mismos. En la teoría electrodébil, uno de los parámetros libres es el ángulo de Weinberg, cuya medida ha estado ligada históricamente a la experimentación con procesos de dispersión entre neutrinos y leptones (entre otros). El trabajo ha abarcado el análisis de la interacción débil mediada por los dos bosones propagadores de la interacción (WyZ), desarrollando el formalismo para calcular secciones eficaces NC y obteniendo, posteriormente, las ecuaciones para procesos con corrientes cargadas (CC) o procesos en los que contribuyen ambos tipos de corriente (NC + CC). El estudio de procesos puramente NC ha sido una parte muy importante de este trabajo. El cálculo analítico de las secciones eficaces se ha realizado tomando el lagrangiano NC, donde hemos discutido el comportamiento a bajas y altas energías de la secciones eficaces (ver el capítulo 4). Se ha estudiado (entre otras) la dispersión νµe−, mediada por corrientes neutras, que fue detectada por el experimento Gargamelle en el CERN ([18]), dando lugar a la primera evidencia experimental de la existencia de corrientes neutras. Por otro lado, hemos discutido la posibilidad de medir el valor del ángulo de Weinberg a través del cociente entre secciones eficaces para procesos que involucran a neutrinos o antineutrinos 46 Capítulo 5. Conclusiones 47 (ecuación 4.2), y lo hemos comparado con los datos del experimento CHARM ([32]), en el que se hizo un análisis similar. En cuanto a los procesos CC, hemos puesto en evidencia que nos proporcionan una manera sencilla de verificar la estructura V−Ade la teoría de la interacción débil. La isotropía de la sección eficaz diferencial respecto al coseno del ángulo del leptón dispersado en el sistema COM para la dispersión de neutrinos contrasta con la dependencia que existe con el ángulo para procesos de dispersión de antineutrinos. Si consideramos únicamente la dispersión a altas energías, esto se traduce en una diferencia notable en la sección eficaz total del proceso (para más detalle se puede consultar el capítulo 4). Por otro lado, la diferencia de magnitud entre las secciones eficaces de procesos CC y NC permite entender las dificultades históricas que existieron a la hora de ser capaces de detectar los procesos NC experimentalmente. La parte final del trabajo se enfoca en el análisis de los procesos en los que intervienen ambas corrientes, NC + CC, que son de gran interés teórico ya que existe un término de interferencia cuya contribución es del mismo orden que la suma de las contribuciones a la sección eficaz NC y CC por separado. En el capítulo 4, hemos cuantificado este término y lo hemos comparado con los resultados experimentales que se midieron en el experimento LAMPF ([19]). Dejando a un lado los aspectos de este trabajo relacionados con la verificación experimental del Modelo Estándar, hemos discutido la importancia que tiene el conocimiento de estos procesos en los nuevos experimentos que pretenden estudiar las oscilaciones de neutrinos. En el experimento MINERvA ([22, 23, 28, 27]) se ha desarrollado un procedimiento que permite reducir la incertidumbre en el flujo de neutrinos que produce un acelerador de protones, haciendo uso del conocimiento actual de las secciones eficaces de los procesos de dispersión neutrino-electrón (entre otros). Se espera que los nuevos experimentos que pretenden medir las oscilaciones con un haz proveniente de un acelerador (como DUNE [25]) utilicen este método desarrollado en MINERvA. El estudio que hemos realizado en este trabajo podría mejorarse mediante el análisis de los diagramas de orden superior en la teoría de perturbaciones, que añadirían correcciones a las secciones eficaces teóricas y permitirían obtener predicciones más próximas a los valores experimentales. Por otro lado, este trabajo constituye un punto de partida para estudiar procesos más complejos, como la interacción neutrino-nucleón o neutrino-núcleo, donde es necesario definir la estructura interna del nucleón y la dinámica nuclear. Apéndice A La ecuación de Dirac Los leptones son partículas elementales de espín 1 2y su comportamiento libre vendrá dado por una función de onda solución de la ecuación libre de Dirac: i/ ∂−MΨ = 0.(A.1) La expresión A.1 es la ecuación de Dirac en su formulación completamente covariante utilizando la notación slash de Feynman. Conviene introducir esta notación, ya que es utilizada con frecuencia en este trabajo. Sea un cuadrivector Aµcualquiera y las matrices de Dirac γµ= (γ0,~γ), la notación slash se introduce de la siguiente forma: / A=γµAµ=γµAµ.(A.2) Por tanto, el término / ∂es equivalente a escribir explícitamente la contracción γµ∂µ. Las matrices de Dirac satisfacen las siguientes relaciones de hermiticidad, de unitariedad y de anticonmutación: (γ0)†= (γ0)−1=γ0, (γi)†= (γi)−1=γi, (A.3) {γµ, γν}= 2gµν1.(A.4) Además, definimos la matriz γ5=iγ0γ1γ2γ3=γ5, que cumple las siguientes propiedades: γ5γ5=1,(A.5) 48 Capítulo A. La ecuación de Dirac 49 {γµ, γ5}= 0.(A.6) Las matrices de Dirac, γµpertenecen a un espacio de matrices dimensión 4. En la representación de Dirac, que no es más que una elección concreta, se definen a partir de las matrices de Pauli, σi, de la siguiente forma: γ0= 10 01 , γi= 0σi −σi0 .(A.7) Las matrices de Pauli se definen como: σx= 0 1 1 0 , σy= 0−i i0 , σz= 1 0 0−1 .(A.8) A.1. Soluciones libres de la ecuación de Dirac Las funciones de onda soluciones de la ecuación de Dirac libre son soluciones de cuatro componentes con momento y proyección de espín bien definidos. Es habitual expresar las soluciones en función de los espinores u(p, s)yv(p, s)que, a su vez, dependen de los espinores de Pauli χs. Una de las características relevantes de la ecuación de Dirac es que sus soluciones pueden tomar energías positivas o negativas (±E), de manera que la descripción de partículas viene dada por las soluciones de energía positiva (+E), y la descripción de antipartículas por las soluciones de energía negativa (−E). Las funciones de onda libres y los espinores tienen la siguiente forma: Para E > 0: Ψ(+) =r1 2EV u(p, s)e−iPµXµ.(A.9) Para E < 0: Ψ(−)=r1 2EV v(p, s)eiPµXµ.(A.10) Espinores pertenecientes a soluciones de energías positivas, u(p, s), y negativas, v(p, s): u(p, s) = √E+M χs σp E+Mχs  , v(p, s) = √E+M  σp E+Mχs χs  .(A.11) 50 A.1. Soluciones libres de la ecuación de Dirac Con los espinores de Pauli: χ+1/2 1 0 , χ−1/2 0 1 .(A.12) Se definen la función de onda adjunta de Dirac y el espinor adjunto como Ψ = Ψ†γ0y u(p, s) = u(p, s)†γ0, respectivamente. Una relación importante para el desarrollo de los cálculos de este trabajo es el valor de la suma sobre todas las direcciones posibles del spin del producto de dos espinores: X s uα(p, s)uβ(p, s) = (/ P+M)αβ, X s vα(p, s)vβ(p, s) = (/ P−M)αβ. (A.13) Apéndice B Cálculos de la sección eficaz B.1. Desarrollo de la delta de Dirac al cuadrado Para obtener una expresión desarrollada de |Sfi|2necesitamos evaluar la delta de Dirac al cuadrado que aparece en la ecuación 3.16. Este cálculo se detalla a continuación. (2π)4δ4(P4+P3−P2−P1)2.(B.1) Hacemos uso de la relación 3.13 para reescribir una de las deltas en forma de integral: (2π)4δ4(P4+P3−P2−P1) (2π)4Zd4X  (2π)4ei(P4+P3−P2−P1)X.(B.2) Teniendo en cuenta que δ4(P4+P3−P2−P1)impone que P4+P3=P2+P1, la integral anterior se reduce a Rd4X, que es el producto del volumen por el tiempo: (2π)4δ4(P4+P3−P2−P1)2 = (2π)4V Tδ4(P4+P3−P2−P1) (B.3) B.2. Integración de la sección eficaz diferencial respecto a los momentos Para encontrar la expresión de la sección eficaz diferencial respecto al ángulo sólido es necesario integrar la ecuación 3.20, que es la sección eficaz diferencial respecto a los momentos de las partículas finales. Los resultados estarán particularizados para el sistema 51 52 B.2. Integración de la sección eficaz diferencial respecto a los momentos COM, en el que p1=−p2=piyp3=−p4=pf. Como la energía del neutrino (masa aproximadamente nula) satisface: E1=qp2 1+  m2 1 Y, por tanto E1=p1=pi. El producto P1·P2puede escribirse de la siguiente forma: P1·P2=E1E2−p1p2=E1E2+|pi| =E1E2+E2 1= (E1+E2)pi (B.4) Se puede demostrar (ver [30]) que, incluso tomando el flujo incidente como la expresión 3.8, esto es, sin particularizar para la masa del neutrino inicial igual a cero, es posible escribir el término p(P1·P2)2−m2 1m2 2como (E1+E2)pien el sistema COM. Por otro lado, la delta de Dirac puede desarrollarse de la siguiente forma: δ4(P4+P3−P2−P1) = δ(E4+E3−E2−E1)δ3(p4+p3−p2−p1 = 0 ) =δ(qp2 4+m2 4+qp2 3+m2 3−E2−E1)δ3(p4+p3) (B.5) Donde δ3(p4+p3)asegura que p4=−p3en el sistema COM. A continuación, evaluaremos la integral sin particularizar para el caso descrito en la Figura 3.1 (m1=m3= 0). De este modo será más sencillo particularizar para otros casos posteriormente. dσ =1 (2π)2(E1+E2)piZ∆p4 δpp2 4+m2 4+pp2 3+m2 3−E2−E1δ3(p4+p3) pp2 3+m2 3pp2 4+m2 4 ×Mfi2d3p3d3p4 (B.6) Resolviendo la integral a través de la delta de Dirac (p4→p3): dσ =1 (2π)2(E1+E2)pi δpp2 3+m2 4+pp2 3+m2 3−E2−E1 pp2 3+m2 3pp2 3+m2 4 ×Mfi2d3p3 (B.7) El diferencial se puede reescribir teniendo en cuenta que θes el ángulo que forman p1yp3(ángulo de scattering) y utilizando coordenadas esféricas. Haciendo coincidir el Capítulo B. Cálculos de la sección eficaz 53 ángulo θen esféricas con el ángulo de scattering previamente definido: d3p3=|p3|2d|p3|senθdθdϕ (B.8) Integrando, obtenemos la sección eficaz diferencial respecto al ángulo sólido: dσ dΩ=1 (2π)2(E1+E2)piZ∆|p3| δpp2 3+m2 4+pp2 3+m2 3−E2−E1 pp2 3+m2 3pp2 3+m2 4 ×Mfi2|p3|2d|p3| (B.9) Introducimos un cambio de variable para resolver la integral: r=qm2 3+p2 3+qm2 4+p2 3(B.10) dr d|p3|=|p3| pm2 3+p2 3 +|p3| pm2 4+p2 3 = r qm2 4+p2 3+qm2 3+p2 3 pm2 3+p2 3pm2 4+p2 3|p3|(B.11) Por lo que: |p3|d|p3| pm2 3+p2 3pm2 4+p2 3 =dr r(B.12) Que, multiplicando por |p3|en ambos miembros se transforma en: |p3|2d|p3| pm2 3+p2 3pm2 4+p2 3 =dr r|p3|(B.13) Utilizando este resultado, la integral se puede escribir como sigue: dσ dΩ=1 (2π)2(E1+E2)|pi|ZMfi2δ(r−(E1+E2))|p3|dr r(B.14) Evaluamos la integral utilizando la delta de Dirac (r=E1+E2): dσ dΩ=1 (2π)2(E1+E2)|pi|Mfi2|p3| (E1+E2)(B.15) Agrupando términos y escribiendo la expresión de forma compacta, la sección eficaz 60 C.2. Cálculo de la contracción de los tensores leptónicos 4.Tr(δ) = m1m3Tr γµγν−γµγ5γν−γµγνγ5+γµγ5γνγ5 =m1m3  Tr(γµγν) +  Trγ5γµγν−  Trγµγνγ5−  Tr(γµγν)= 0 De esta forma, se obtiene que, la primera traza que aparece en la expresión C.1 es: I. Tr γµ(1 −γ5)( / P1+m1)γν(1 −γ5)( / P3+m3) = 8 Pµ 1Pν 3−gµνP1P3+Pµ 3Pν 1−iµανβP1αP3β(C.15) A continuación, procedemos de la misma forma con el segundo término de C.1: II. Tr γµ(gV−gAγ5)( / P2+m2)γν(gV−gAγ5)( / P4+m4) = Tr γµ(gV−gAγ5)/ P2γν(gV−gAγ5)/ P4 A + Tr B γµ(gV−gAγ5)/ P2γν(gV−gAγ5)m4 + Tr γµ(gV−gAγ5)m2γν(gV−gAγ5)m4 C + Tr D γµ(gV−gAγ5)m2γν(gV−gAγ5)/ P4 (C.16) En este caso, no se anularán tres de los términos como en el caso anterior, sino solamente dos de ellos. Los términos Tr [B]yTr [D]se anulan por los mismos argumentos que Tr [β]yTr [γ], respectivamente: 1.Tr(B) = m4Tr g2 Vγµ/ P2γν−gVgAγµ/ P2γνγ5−gVgAγµγ5/ P2γν+g2 Aγµγ5/ P2γνγ5= 0 (C.17) 2.Tr(D) = m2Tr g2 Vγµγν/ P4−gVgAγµγνγ5/ P4−gVgAγµγ5γν/ P4+g2 Aγµγ5γνγ5/ P4= 0 (C.18) Para evaluar la siguiente traza utilizamos el teorema C.5: Capítulo C. Cálculo de la amplitud de transición invariante 61 3.Tr(C) = m2m4Tr g2 Vγµγν−gVgAγµγνγ5−gVgAγµγ5γν+g2 Aγµγ5γνγ5 =m2m4Trg2 Vγµγν((((((( ( −gVgAγµγνγ5+  gVgAγµγνγ5+g2 Aγµγ5γνγ5 =m2m4(g2 V−g2 A) Tr [γµγν] = 4m2m4(g2 V−g2 A)gµν (C.19) La Tr(A)contiene términos idénticos, salvo un signo, a la Tr(α). Mostramos el cálculo de forma más directa: 4.Tr(A) = Tr g2 Vγµ/ P2γν/ P4−gAgVγµγ5/ P2γν/ P4−gAgVγµ/ P2γνγ5/ P4+g2 Aγµγ5/ P2γνγ5/ P4 = (g2 V+g2 A) Tr [γµ/ P2γν/ P4]+2gVgATr γ5γµ/ P2γν/ P4 = 4(g2 V+g2 A) [P2µP4ν−gµνP2P4+P4µP2ν]+8gVgA[iµλνσP2λP4σ] (C.20) Esto significa que el segundo término de C.1 da como resultado: II. Tr γµ(gV−gAγ5)( / P2+m2)γν(gV−gAγ5)( / P4+m4) = 4(g2 V+g2 A) [P2µP4ν−gµνP2P4+P4µP2ν]+8gVgA[iµλνσP2λP4σ] + 4m2m4(g2 V−g2 A)gµν (C.21) Incorporando C.15 y C.21 en la expresión C.1 obtenemos: Mfi2=G2 F 2{Pµ 1Pν 3−gµνP1P3+Pµ 3Pν 1−iµανβP1αP3β} ×{(g2 V+g2 A) [P2µP4ν−gµνP2P4+P4µP2ν]+2gVgA[iµλνσP2λP4σ] +m2m4(g2 V−g2 A)gµν} (C.22) El siguiente paso es evaluar el producto que aparece en C.22. El cálculo es bastante extenso y se muestra a continuación detalladamente. En primer lugar, multiplicamos los términos entre llaves. 62 C.2. Cálculo de la contracción de los tensores leptónicos Mfi2=G2 F 2{(g2 V+g2 A)(Pµ 1Pν 3P2µP4ν−Pµ 1Pν 3gµν(P2·P4) + Pµ 1Pν 3P4µP2ν −gµν(P1·P3)P2µP4ν+gµν(P1·P3)gµν(P2·P4)−gµν(P1·P3)P4µP2ν+Pµ 3Pν 1P2µP4ν −Pµ 3Pν 1gµν(P2·P4) + Pµ 3Pν 1P4µP2ν−iµανβP1αP3βP2µP4ν +iµανβP1αP3βgµν(P2·P4)−iµανβP1αP3βP4µP2ν)+2gVgA(Pµ 1Pν 3iµλνσP2λP4σ −gµν(P1·P3)iµλνσP2λP4σ+Pµ 3Pν 1iµλνσP2λP4σ−i2µλνσP2λP4σµανβP1αP3β) +m2m4(g2 V−g2 A)(Pµ 1Pν 3gµν −gµν(P1·P3)gµν +Pµ 3Pν 1gµν −iµανβP1αP3βgµν)} (C.23) A continuación, evaluamos las distintas contracciones entre cuadrivectores, entre cuadrivectores y tensores métricos, y entre el tensor métrico y el tensor de Levi-Civita. En el siguiente paso utilizaremos las siguientes relaciones gµνµανβ =gµνµλνσ = 0. Mfi2=G2 F 2{(g2 V+g2 A)(P1·P2)(P3·P4)−(P1·P3)(P2·P4)+(P1·P4)(P3·P2) −(P1·P3)(P2·P4) + 4(P1·P3)(P2·P4)−(P1·P3)(P4·P2)+(P3·P2)(P1·P4) −(P1·P3)(P2·P4)+(P3·P4)(P1·P2)−iµανβP1αP3β(P2µP4ν+P4µP2ν) + 2gVgAiµλνσP2λP4σ(Pµ 3Pν 1+Pµ 1Pν 3) + µλνσµανβP2λP4σP1αP3β +m2m4(g2 V−g2 A)(P1·P3−4P1·P3+P1·P3)} (C.24) Para continuar desarrollando la expresión C.24 hacemos uso de la relación C.10 y del carácter antisimétrico del tensor de Levi-Civita. Capítulo C. Cálculo de la amplitud de transición invariante 63 Mfi2=G2 F 2{(g2 V+g2 A)(P1·P2)(P3·P4)((((((((( ( −(P1·P3)(P2·P4)+(P1·P4)(P3·P2) ((((((((( ( −(P1·P3)(P2·P4) +((((((((( ( 4(P1·P3)(P2·P4)((((((((( ( −(P1·P3)(P4·P2)+(P3·P2)(P1·P4) ((((((((( ( −(P1·P3)(P2·P4)+(P3·P4)(P1·P2)−iµανβP1αP3β(P2µP4ν+P4µP2ν) = 0  + 2gVgAiµλνσP2λP4σ(Pµ 3Pν 1+Pµ 1Pν 3) = 0 −2(δα λδβ σ−δβ λδα σ)P1αP3βPσ 2Pλ 4 −2m2m4(g2 V−g2 A)(P1·P3)} (C.25) Mfi2=G2 F{(g2 V+g2 A)(P1·P2)(P3·P4)+(P1·P4)(P3·P2) +gVgA−2(δα λδβ σ−δβ λδα σ)P1αP3βPσ 2Pλ 4 −m2m4(g2 V−g2 A)(P1·P3)} (C.26) Desarrollando los productos: Mfi2=G2 F{g2 V(P1·P2)(P3·P4) + g2 V(P1·P4)(P2·P3) + g2 A(P1·P2)(P3·P4) +g2 A(P1·P4)(P2·P3)+2gVgA(P1·P2)(P3·P4)−2gVgA(P1·P4)(P2·P3) −m2m4(g2 V−g2 A)(P1·P3)} (C.27) Agrupando los términos, el cuadrado de la amplitud de transición invariante para un proceso NC viene descrita por la siguiente expresión: Mfi2=G2 F{(gV+gA)2(P1·P2)(P3·P4)+(gV−gA)2(P2·P3)(P1·P4) −m2m4(g2 V−g2 A)(P1·P3)} (C.28) Apéndice D Cociente de secciones eficaces En este apéndice calculamos el cociente Rentre las secciones eficaces de los procesos (νµe−)y(¯νµe−) para energías mucho mayores que la masa del electrón. El resultado se obtiene a partir de la ecuación 3.41. Solo es necesario sustituir gA→ −gA, como hemos discutido a lo largo del trabajo, para describir el caso de antineutrinos, y hacer el cociente entre ambas expresiones. Es decir, tenemos: σνµe−=4G2 FE2 1 3π{g2 V+g2 A+gAgV}, σ¯νµe−=4G2 FE2 1 3π{g2 V+g2 A−gAgV}. (D.1) De modo que Rresulta: R=σνµe− σ¯νµe− =g2 V+g2 A+gAgV g2 V+g2 A−gAgV .(D.2) Los coeficientes gAygVse sustituyen por sus expresiones en el Modelo Estándar (2.12, quedando, para nuestro caso: g2 V=1 4+ 4 sin4θw−2 sin2θw, g2 A=1 4, gAgV=1 4−sin2θw. (D.3) Sustituyendo en la ecuación D.2 y operando, llegamos inmediatamente al resultado: R= 31−4 sin2θw+16 3sin4θw 1−4 sin2θw+ 16 sin4θw .(D.4) 64 Bibliografía [1] J. Chadwick. The intensity distribution in the magnetic spectrum of beta particles from radium (B + C). Verh. Phys. Gesell., 16:383–391, 1914. [2] K. Winter, editor. Neutrino physics (2nd Edition), volume 14. Cambridge University Press, 2000. [3] K. S. Krane. 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