Modelización estadística de mercados bursátiles

FACULTAD DE MATEMÁTICAS GRADO EN MATEMÁTICAS Modelización estadística de mercados bursátiles Trabajo Fin de Grado presentado por María Ortega Valladares, siendo el tutor del mismo José Luis Pino Mejías. Vº. Bº. del Tutor/a/es/as: Alumno/a: D. José Luis Pino Mejías Dª María Ortega Valladares Sevilla, Junio de 2016 Grado en Matemáticas Facultad de Matemáticas. Universidad de Sevilla Modelización estadística de mercados bursátiles I GRADO EN MATEMÁTICAS. FACULTAD DE MATEMÁTICAS TRABAJO FIN DE GRADO. CURSO ACADÉMICO 2015-2016 TÍTULO: MODELIZACIÓN ESTADÍSTICA DE MERCADOS BURSÁTILES AUTOR: MARÍA ORTEGA VALLADARES TUTOR: JOSÉ LUIS PINO MEJÍAS DEPARTAMENTO: DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA E INVESTIGACIÓN OPERATIVA. RESUMEN: En este trabajo se busca el modelo que mejor se ajusta a los datos de los índices bursátiles IBEX35 y DOW-JONES en un periodo de tiempo seleccionado, empleando técnicas paramétricas y no paramétrica, y se evidencia que se deben utilizar distribuciones con colas más pesadas que las de la distribución Normal. Lógicamente, al ser muchas las variables que influyen en los rendimientos diarios de los índices bursátiles, nuestros resultados no pueden usarse por sí solos para recomendar comportamientos inversores. PALABRAS CLAVE: Curtosis, Modelos de colas pesadas, Rendimientos financieros, Modelo estable   , IBEX35. ABSTRACT: In this work we seek for the best model which fits the data of the stock market indices IBEX35 and DOW-JONES in a selected time period, using parametric and nonparametric techniques, and we evidence that it is necessary to use heavy tailed distributions. Logically, there are a lot of variables that influence the daily returns of stock market indices, so our results cannot be used to recommend investors behavior. KEYWORDS: Curtosis, Heavy tailed models, Financial returns, estable   Model, IBEX35. María Ortega Valladares II ÍNDICE 1. Introducción ................................................................................................................................................................................................................................................ 3 2. Los índices bursátiles. El Ibex 35 ......................................................................................................................................................................... 5 3. El modelo de Black-Scholes. Movimiento Browniano Geométrico ........................................................... 10 4. Modelos probabilísticos de colas pesadas........................................................................................................................................ 13 4.1. Modelo t-Student generalizado...................................................................................................................................................... 14 4.2. Modelo α-estable ................................................................................................................................................................................................... 17 5. Datos utilizados. Análisis gráfico y descriptivo .......................................................................................................................... 21 6. Ajuste del modelo probabilístico. ....................................................................................................................................................................... 23 7. Comparación con el Dow Jones ........................................................................................................................................................................ 31 8. Estimación no paramétrica........................................................................................................................................................................................... 38 8.1. Estimación no paramétrica de tipo núcleo .............................................................................................................. 39 9. Conclusiones ....................................................................................................................................................................................................................................... 42 Bibliografía ....................................................................................................................................................................................................................................................... 44 Anexo: Instrucciones del software Mathematica usadas................................................................................................... 47 Modelización Estadística de mercados bursátiles 3 1. INTRODUCCIÓN La humanidad, desde su origen, ha estado bastante interesada en el hecho de predecir el futuro y de anticiparse a los cambios. Se piensa que si fuésemos capaces de conocer el futuro, conoceríamos los riesgos a los que vamos a estar sometidos y podríamos actuar para minimizar los efectos de dichos riesgos. En los mercados financieros, tanto las instituciones financieras como los inversores particulares, necesitan modelos lo más exactos y flexibles posible con los que valorar los activos financieros y el riesgo adheridos a ellos. Estos modelos pueden ayudar a minimizar el efecto de crisis financieras tal y como la que comenzó en 2007 con la quiebra de Lemahn Brothers con medidas proactivas, o incluso prevenirlas. Un modelo de valoración cuyo uso está muy generalizado es el modelo de Black- Scholes. El objetivo de nuestro trabajo, está centrado precisamente, en la idea general del conocido modelo Black-Scholes, una de cuyas hipótesis implica que los rendimientos de un índice bursátil siguen una Distribución Normal, (Benth, 2002). Pero en la práctica, se observa que este ajuste falla en las colas, ya que estos datos suelen presentar colas más pesadas que en el caso del modelo Normal. Esta propiedad es conocida como uno de “los hechos estilizados de los rendimientos financieros” (Alonso y Arcos, 2006). El peso de las colas se mide mediante el coeficiente de curtosis y en el modelo Normal la curtosis vale 3. Debido a esto, en nuestro trabajo usaremos modelos de mayor curtosis tales como el estable   y el t Student generalizado. Estos modelos de mayor curtosis son conocidos como modelos de colas pesadas. También usaremos la estimación no paramétrica para ver como se afrontaría el caso hipotético en el que ni el modelo Normal, ni el estable   ni el t Student generalizado hubiesen ajustado bien a los datos. En este tipo de estimación, se obtiene el modelo que mejor se ajusta a los datos a través de estos, en vez de ver si un modelo conocido se ajusta bien a los datos como se hace en la estimación paramétrica. El trabajo está organizado por secciones: la primera, en la cual nos encontramos, contiene la introducción. En la segunda, definiremos un concepto básico de los mercados financieros; el concepto de índice bursátil y su valor. Se hará también una explicación en términos generales del IBEX35, qué es, como se calcula, su importancia, María Ortega Valladares 4 etc. En la tercera, se explica el modelo de Black-Scholes que se basa en la hipótesis de que el precio de las acciones sigue un movimiento browniano geométrico, de lo que se deduciría, que las tasas de crecimiento logarítmicas seguirían un modelo Normal. En la cuarta, se explicarán los modelos que se van a usar para realizar este estudio. Además del modelo Normal, se consideraran dos modelos de colas pesadas, el modelo estable   y el t Student generalizado. En la quinta, nos centramos en la obtención de los datos empíricos que utilizaremos para un periodo de tiempo seleccionado y calcularemos los rendimientos de los datos, mediante la aproximación logarítmica. Sobre estos datos, realizaremos un análisis descriptivo básico y representaciones gráficas, que se llevarán a cabo con el software Mathematica. En la sexta, empezaremos explicando el contraste de Kolmogorov-Smirnov y a continuación, tendremos que realizar la elección del modelo probabilístico que mejor se ajusta a los datos del IBEX35. Para ello, con el software Mathematica, se ajustará a los rendimientos los modelos Normal, t Student y estable   . Para llevar a cabo la elección del modelo más adecuado, se realizarán gráficas de cada modelo para ver cómo se ajustan a los rendimientos, los diagramas Q-Q y también haremos el contraste de Kolmogorov- Smirnov. A través de estos criterios, elegiremos cuál es el modelo que mejor se ajusta a los rendimientos diarios del IBEX35 y se comprobará cómo en la práctica no siempre se cumple el modelo de Black-Scholes. Por último, calcularemos la probabilidad de ganar entre [x%,y%] si invertimos en el IBEX35 utilizando los modelos normal, t Student y estable   . En la séptima, introduciremos el índice DOW-JONES y veremos cuál es el modelo que mejor se ajusta a los rendimientos diarios del DOW-JONES Industrial Average para el mismo periodo de tiempo que seleccionamos en el IBEX35. Para ello, llevaremos a cabo los mismos criterios que utilizamos para elegir el modelo que mejor se ajustaba a los rendimientos del IBEX35. También obtendremos las probabilidades calculadas en la sección 5 para el IBEX35 y haremos comparaciones entre los índices IBEX35 y DOW-JONES. En la octava, haremos una breve explicación de la estimación no paramétrica centrándonos en la de tipo núcleo y a través del software Mathematica realizaremos las gráficas del ajuste no paramétrico tanto del IBEX35 como del DOWJONES. Por último, obtendremos las probabilidades calculadas en las secciones anteriores usando la estimación no paramétrica y compararemos el IBEX35 y el DOWJONES a través de los resultados obtenidos. Modelización Estadística de mercados bursátiles 5 2. LOS ÍNDICES BURSÁTILES. EL IBEX 35 Definición 1: Un índice bursátil es un promedio calculado de precios de acciones seleccionadas que representan un mercado o un sector concreto. Un índice puede pensarse como una 'cesta' de acciones que proporciona una amplia muestra de una industria, sector o economía nacional. El rendimiento colectivo de estas acciones proporciona una buena indicación de las tendencias en el mercado global que representan. Los índices bursátiles sirven para permitir que los inversores hagan un seguimiento de los cambios en el valor de un mercado de acciones. Además, los índices también proporcionan un punto de referencia útil para medir el éxito de medios de inversión tales como fondos y carteras de acciones. El índice bursátil más antiguo que sigue actualizándose a día de hoy es el DOW-JONES Trasportation Average, compuesto por 11 empresas de transporte, 9 de ellas de ferrocarriles. Este índice fue creado el 3 de Julio de 1.884 por Charles Dow, el histórico periodista y fundador del Wall Street Journal que ayudó a forjar los mercados tal y como los entendemos hoy en día. Existe un índice prácticamente para cada sector imaginable de la economía y del mercado de acciones. Algunos se conocen como “índices mayores”, como el Down Jones Industrial Average, el FTSE 100, el S&P 500 o el Nikkei 225. Los índices principales los proporcionan empresas financieras líderes. Por ejemplo, el FTSE 100 es propiedad de la Bolsa de Londres y del Financial Times, mientras que el S&P 500 está operado por el peso pesado financiero de Standard & Poor's. Los índices mayores proporcionan la mejor forma de evaluar el rendimiento de una industria, de un sector o de todo el mercado de acciones de un país. En España, el IBEX35 es el índice bursátil de referencia para la economía nacional y reúne los principales valores del mercado bursátil español. Podemos distinguir diferentes tipos de indicadores. María Ortega Valladares 6 Índices mundiales. Estos incluyen algunas de las mayores empresas mundiales. Por ejemplo, el índice MSCI World mide 1500 valores extraídos de cada uno de los mercados desarrollados del mundo (tal y como lo define el proveedor, MSCI). Con frecuencia, este índice se utiliza como un punto de referencia para fondos. Índices nacionales. Estos índices muestran el rendimiento del mercado de renta variable de un país concreto, reflejando las opiniones de los inversores sobre las acciones incluidas en ese mercado. Por ejemplo, el FTSE 100 representa las 100 (o aproximadamente 100) mayores empresas del Reino Unido tal y como se incluyen en la Bolsa de Londres (LSE). En España el IBEX35 es el principal índice bursátil, cotiza en las cuatro bolsas del país y está formado por las empresas españolas de mayor liquidez. A diferencia de otros índices como el DOW-JONES, el IBEX35 es un índice de capitalización bursátil, donde todas las empresas no tienen el mismo peso para su ponderación. Índices sectoriales. Estos son índices más especializados, diseñados para hacer el seguimiento del rendimiento de sectores o industrias específicas. El índice Morgan Stanley Biotech, por ejemplo, hace un seguimiento de 36 empresas estadounidenses de la industria biotecnológica. Otros índices. Además de índices de acciones, hay indicadores bursátiles para los demás mercados financieros que afectan a la economía. Entre ellos se incluyen: Índices de divisas. El 'US Dollar Index' (índice del dólar de EEUU) mide el valor del dólar sobre otras divisas extranjeras. Índice de materias primas. El 'Continuous Commodity Index' incluye 17 futuros de materias primas que se equilibran continuamente. Modelización Estadística de mercados bursátiles 7 Índice de sentimientos de mercado. El 'CBOE (VIX) Index' mide las expectativas de volatilidad en el corto plazo. Las medidas se derivan de los precios de las acciones del S&P 500. Para operar sobre índices bursátiles, los inversores utilizan derivados, opciones o futuros. No es posible operar directamente sobre los índices bursátiles, dado que no son productos por derecho propio. Existen únicamente para proporcionar información, por lo que no se puede comprar ni vender una parte de un índice como tal. El objetivo principal del trabajo es identificar los modelos estadísticos que mejor se ajustan al comportamiento de las series largas de rendimientos del IBEX35, por lo tanto, pasemos a conocer los aspectos fundamentales de este índice. El IBEX35 se puso en marcha el 14 de enero de 1992. Pero existen valores históricos desde el año 1989 gracias a una estimación del índice que se hizo con posterioridad. El IBEX35 es el principal índice bursátil de referencia de la bolsa española elaborado por Bolsas y Mercados Españoles (BME). Está formado por las 35 empresas con más liquidez que cotizan en el Sistema de Interconexión Bursátil Electrónico (SIBE) en las cuatro bolsas españolas (Madrid, Barcelona, Bilbao y Valencia). Es un índice ponderado por capitalización bursátil; es decir, no todas las empresas que lo forman tienen el mismo peso. Las empresas que conforman el IBEX35 no tienen por qué ser las de mayor dimensión económica, pero si las de mayor liquidez del mercado español independientemente del sector al que pertenezcan. Este índice se revisa cada seis meses por el Comité Asesor Técnico (CAT), que está formado por un grupo de expertos que determinan los valores que forman parte de este IBEX35. Este comité es el que decide qué valores son los que se incorporan y cuáles salen del índice. Para realizar esta función, el Comité Asesor Técnico atenderá durante el llamado período de control (plazo comprendido por los seis meses contados a partir del mes anterior al semestre natural) a factores de liquidez tales como el volumen negociado en el mercado principal; las suspensiones de negociación que pudiera haberse producido; la calidad del volumen de contratación atendiendo al volumen negociado, características y cuantía de las operaciones… María Ortega Valladares 14   3 3 13 () () E Y E Y Y E Y gE        . Definición 4: El coeficiente de curtosis de una variable aleatoria Y es:   4 4 24 () () E Y E Y Y E Y gE        . La curtosis de una variable aleatoria normal es 3. El valor más pequeño posible de la curtosis es 1, que se alcanza en una variable aleatoria que toma sólo dos valores, cada una con probabilidad de 1/2 . Las distribuciones con probabilidades en las colas más altas que en la distribución normal, se llaman distribuciones de colas pesadas. Debido a que la curtosis es particularmente sensible a las colas pesadas, una curtosis alta es casi sinónimo de tener una distribución de cola pesada. Las distribuciones de colas pesadas son modelos importantes en finanzas, porque los rendimientos de capital y otros cambios en los precios de mercado por lo general tienen colas pesadas. En las aplicaciones de finanzas, hay una preocupación especial cuando la distribución del retorno tiene colas pesadas debido a la posibilidad de un retorno negativo extremadamente grande, lo que podría, por ejemplo, agotar las reservas de capital de una empresa en su totalidad. Si uno vende poco, entonces grandes rendimientos positivos también son preocupantes. 4.1 Modelo t-Student generalizado La distribución t Student ha jugado un papel importante en la estadística clásica debido a su uso en los test y en los intervalos de confianza cuando los datos se modelan siguiendo una distribución normal. Más recientemente, la distribución t Student ha cobrado más importancia como modelo para la distribución de los fenómenos de colas pesadas, como los datos de los mercados financieros (Ruppert y Matteson, 2015). Modelización Estadística de mercados bursátiles 15 Definición 5: Si Z es   0,1N , W es chi-cuadrado con  grados de libertad, y Z y W son independientes, entonces la distribución de Z W  se llama distribución t Student con  grados de libertad y denotada t  . El cuantil  superior de la t distribución   es denotado por , t  y es usado en los test e intervalos de confianza sobre medias de la población, coeficientes de regresión, y parámetros en modelos de series temporales. En las pruebas y en la estimación del intervalo, el parámetro  generalmente toma sólo valores enteros positivos, pero cuando la t Student es usada como un modelo para datos,  se restringe solo a ser positivo. La densidad de la t distribución   es       ,( 1)/2 1/2 2 1 / 2 1 () ( ) ( / 2) 1 ( / ) t fy y              (1) Donde  es la función gamma definida por 1 0 ( ) exp( ) , 0 t t x x dx t       La cantidad entre corchetes en (1) es una constante. La varianza de t  es finita e igual a /( 2) si 2     . Si 01   , el valor esperado de la t distribución   no existe y la varianza no está definida. Si 12   , el valor esperado es 0 y la varianza es infinita (Johnson y otros, 1995). En cuanto a la distribución t Student generalizada se define de la siguiente manera: ( , )tt       donde t  es una t Student con  grados de libertad. María Ortega Valladares 16 Las propiedades son similares pero se va a destacar la media y la varianza de una t Student generalizada. La media se calcula de la siguiente forma:     ( , )E t E t       y puesto que   0Et   resulta que la media queda   ( , )Et     . A continuación se puede mostrar que la varianza de una t Student generalizada se calcula de la siguiente manera:     22 ( , ) 2 Var t Var t          Por lo tanto, una t Student generalizada tendrá una mayor flexibilidad para adaptarse a los datos. La función de densidad de la distribución t Student es similar en su forma a la de la distribución Normal, pues es campaniforme y simétrica. No obstante, la curtosis es superior, lo que se traduce en mayor apuntamiento en la zona central y en colas más pesadas (“más altas”) que las de la distribución Normal. Este hecho puede apreciarse en las Figuras 1 y 2 en las que se ofrece las funciones de densidad de una distribución Normal estandarizada y una distribución   40,1 2t (se ha elegido el valor 12   para que la distribución tenga desviación típica unitaria y facilitar la comparación). Fig.1 Función de densidad modelos N(0,1) y   4 t 0,1 2 t Student Normal Modelización Estadística de mercados bursátiles 17 Fig.2 Colas positivas de los modelos N(0,1) y   4 t 0,1 2 Señalemos que la curtosis de la distribución t Student generalizada coincide con la de la distribución sin generalizar, puesto que la curtosis es invariante ante cambios de origen y escala; el valor de la curtosis depende sólo del parámetro  y viene dada por   2 2 34 404 g             . Así, la curtosis es siempre mayor que 3 (valor de la curtosis en la distribución Normal) y se aproxima a tres a medida que aumentan los grados de libertad. De hecho, sabemos que la distribución t Student converge en ley a la distribución Normal cuando   . 4.2 Modelo α-estable Por lo general, los datos financieros presentan un grado de impulsividad mayor que el que la distribución normal es capaz de describir; la distribución estable   ha sido usada en la literatura para describir este tipo de fenómenos. La teoría de las distribuciones estables fue desarrollada por primera vez en los años veinte del siglo pasado por Paul Lévy y Aleksandr Khintchine. Desde entonces, esta distribución ha sido aplicada en diferentes áreas de conocimiento, tales como la economía. La distribución estable   se popularizó con los trabajos de Mandelbrot en economía en la década de los sesenta; este especialista propuso una revolucionaria teoría basada en dicha distribución para resolver el problema de la fluctuación de los t Student Normal María Ortega Valladares 18 precios, más tarde se demostró que muchas otras variables en economía siguen una distribución estable   . Cabe resaltar que la distribución estable   cumple con el teorema central del límite y la propiedad de estabilidad, además, contiene a la distribución normal como caso particular de ésta. Por otro lado, hay que tener en cuenta que resulta muy complicado trabajar con este tipo de distribuciones ya que carecen, en general, de una expresión analítica y hay que utilizar la función característica. Pasaremos a definir la distribución estable   , usaremos la presentada por Nolan (2005), la cual caracteriza a las distribuciones estable   por cuatro parámetros (localización, escala, asimetría y curtosis) que se encuentran especificados en la siguiente definición: Definición 6: Una variable aleatoria W tiene distribución estable   si tiene la siguiente función característica   exp 1 ( ) tan , 1 2 (w) 2 exp 1 ( ) log , 1 w i sign w i w w i sign w w i w                                          (2) Donde () w sign w w  si 0w y (0) 0sign  . Los parámetros significan lo siguiente: (0,2]   representa el peso de las colas de la distribución. Cuanto menor es  más pesada es la cola (es decir, más alta). [ 1,1]   controla la asimetría de la distribución ( 0   , para la distribución estable   simétrica, 0   y 0   para las familias de distribuciones estable   asimétricas a la derecha y a la izquierda, respectivamente). 0   es la dispersión y regula la concentración de la distribución alrededor de un valor determinado. Valores de  más grandes corresponden con una mayor dispersión de la distribución estable. Modelización Estadística de mercados bursátiles 19  es el parámetro de posición. Hay que destacar que si en la expresión de la función característica el parámetro  es igual a 2, el parámetro  pierde el significado, ya que   tan 0   . Entonces la función característica queda definida de la siguiente manera:   2 ( ) expw w i w       La expresión anterior es la función característica de una variable aleatoria gaussiana con media  y varianza 22 2   . Por ello, la distribución normal es un caso particular de la distribución estable   , por lo tanto, el rango de aplicación de las distribuciones estables   es más amplio que el de la distribución normal. La función de densidad de probabilidad estable   existe y es continua pero, salvo en algunas excepciones, no puede expresarse de manera compacta. Dicho de otro modo, la integral respecto a ( w ) de la función característica (2) sólo tiene solución analítica en ciertos casos. Denotando a la distribución estable   por cuatro parámetros ( ; , , , )fx     (Nolan, 2005), una distribución estable   con parámetros ( ;2,0, , )fx  , es una distribución normal con media  y varianza 2 2  :   2 2 2 1 ( ;2,0, , ) ( ; ,2 ) exp 4 2 x f x N x               . Señalemos también que si   0,1   la cola es tan pesada que la distribución estable   no tiene esperanza (el valor es infinito). Cuando   1,2   existe la esperanza, pero no la varianza. Por tanto, para   0,2   la curtosis de la distribución es infinita. En las figuras 3 y 5 se muestra la función de densidad del modelo estable haciendo variar el parámetro  (siendo uno de los casos el modelo normal) y haciendo variar el parámetro de asimetría. En estas gráficas se ha tomado 0   y 12   (estos valores hacen que en el caso 2   y 0   estemos representando en realidad una distribución Normal tipificada). María Ortega Valladares 20 Fig.3 Función de densidad modelo estable   β = 0,γ = 1 2 ,δ = 0 Fig.4 Colas positivas densidad modelo estable   β = 0,γ = 1 2 ,δ = 0 Fig.5 Función de densidad modelo estable   α = 1.5,γ = 1 2 ,δ = 0 2 Normal 1.5 1 2 Normal 1.5 1 1 1 Modelización Estadística de mercados bursátiles 21 5. DATOS UTILIZADOS. ANÁLISIS GRÁFICO Y DESCRIPTIVO Los datos empíricos utilizados de aquí en adelante son los del selectivo de la bolsa española IBEX35 para el periodo que va desde el 29 de noviembre de 2005 hasta el 26 de noviembre de 2015 (series diarias, obtenidas de la base de datos de El economista), en la que sólo se incluyen los días laborales de este período. Para todas las pruebas estadísticas necesarias en nuestro trabajo, usaremos el software Mathematica. En la Figura 6 podemos observar la evolución del IBEX35 desde finales de 2005 hasta finales de 2015. Podemos observar como a finales de 2007 comienza la gran crisis económica que alcanza su punto más bajo a principios de 2009. Tras un periodo de recuperación vuelve a caer en enero de 2010 obteniendo su punto crítico a finales de 2012 comenzando a recuperarse nuevamente hasta el fin del periodo seleccionado. Fig.6 Serie diaria IBEX35 (Enero 2005 – Noviembre 2015) En los mercados financieros es frecuente el uso de retornos logarítmicos en lugar de los retornos o tasas de variación de los precios. Su uso está justificado en el hecho de que si María Ortega Valladares 22 los precios no son excesivamente volátiles, las diferencias entre ambos son prácticamente inapreciables. Además, los retornos logarítmicos presentan la ventaja de ser aditivos (por ejemplo, el rendimiento logarítmico semanal es la suma de los rendimientos logarítmicos diarios, propiedad que no se verifica con las tasas de variación). En la Figura 7 se representa los retornos de los rendimientos del IBEX35 para los datos seleccionados. Para el cálculo de dichos retornos se ha usado la aproximación logarítmica usual en este tipo de análisis (Benth, 2002). Podemos observar en el gráfico que los rendimientos logarítmicos presentan muchas fluctuaciones. Los abundantes picos son los responsables de la elevada curtosis de los rendimientos, lo que hace que el modelo normal no sea un buen modelo para ajustar los rendimientos. 500 1000 1500 2000 2500 0.04 0.02 0.02 0.04 Fig.7 Retornos logarítmicos de la serie diaria IBEX35 A continuación, realizaremos un análisis descriptivo básico de dichos rendimientos utilizando el Software Mathematica. Modelización Estadística de mercados bursátiles 23 Retornos Media −0.00000942 Desviación Típica 0.01572938 Simetría 0.11180670 Curtosis 8.86870321 Valor Máximo 0.13483635 Valor Mínimo −0.09585865 Tabla.1 Cálculos Descriptivos IBEX35 Podemos observar que la media es prácticamente cero, que hay una ligera asimetría a la derecha y una curtosis muy superior a la de la distribución normal (que es igual a 3) Destaquemos también que los valores máximos son 0.13483635, 0.10117626, 0.090024811. Por lo tanto, 0.13483635 es un caso atípico. El máximo se produjo el 10 de Mayo del 2010 como consecuencia del paquete de ayudas de 750.000 millones de euros aprobado por la Unión Europea y el Fondo Monetario Internacional. 6. AJUSTE DEL MODELO PROBABILÍSTICO Ahora vamos a pasar a la elección del modelo probabilístico que mejor se ajusta a los datos. Para dicha elección, primeramente, usaremos un histograma de los rendimientos y lo compararemos con el modelo normal, el t Student y por último el estable   y veremos cuál de dichos modelos ajusta mejor los datos. Después, realizaremos los denominados diagramas Q-Q. Finalmente, para comprobar si el modelo que mejor se ajusta a los datos es el que nos ha mostrado el análisis gráfico, llevaremos a cabo el contraste de Kolmogorov-Smirnov. El contraste de Kolmogorov-Smirnov compara los valores de una distribución empírica con los que se derivan de la distribución supuesta como hipótesis nula. En el contraste de Kolmogorow-Smirnov las hipótesis a contrastar son: María Ortega Valladares 30 Luego, gráficamente, llegamos a la conclusión de que el modelo que mejor se ajusta a los datos es el modelo t Student . Comprobemos, a través del contraste de Kolmogorov-Smirnov, que efectivamente el modelo que mejor se ajusta a los datos es el t Student . Estadístico P-Valor Distribución Normal 0.0654653 10 6.11562 10  Distribución estable   0.0232527 0.125447 Distribución t Student 0.0182239 0.361991 Tabla.2 Contraste de Kolmogorov-Smirnov para el IBEX35 En la tabla 2, podemos observar los estádisticos y los P-Valores de Kolmogorov- Smirnov para cada distribución. Si observamos los estadísticos, vemos que el valor más cercano a 0 es el de la Distribución t Student . Si observamos los P-valores, vemos claramente que en el caso de la distribución normal, rechazamos la hipótesis nula 0 H pues el P-valor es 10 6.11562 10 0.05   , por tanto, los datos observados no siguen una distribución Normal. En el caso de las distribuciones estable   y t Student aceptaríamos la hipótesis nula 0 H pues los P-valores son 0.05 , por tanto, no podrían descartarse las hipótesis de que los datos observados siguen una distribución α-estable y t Student No obstante, el P- valor de la t Student es mayor que el de la estable   , por lo tanto, concluímos que la distribución t Student es la que mejor se adapta a los datos analizados. Una de las utilidades de hacer el ajuste es calcular la probabilidad de ganar entre [x%,y%] si invertimos en el IBEX35 utilizando los modelos normal, t Student y estable   Modelización Estadística de mercados bursátiles 31 Normal t Student estable   [10%, ) 10 1.01286 10  0.000721001 0.00223866 [5%,10%) 0.000736405 0.0060877 0.0056677 [1%,5%) 0.261496 0.2048 0.206056 [-1%,1%) 0.475144 0.59107 0.578178 [-5%,-1%) 0.261884 0.19079 0.196881 [-10%,-5) 0.000739454 0.00582632 0.00783812 ( , 10%]  10 1.02079 10  4 7.04885 10  0.00314001 Tabla.3 Probabilidades IBEX35 para los diferentes modelos Las conclusiones que obtenemos de la siguiente tabla son las siguientes: a) La probabilidad de grandes pérdidas según el modelo Normal es muy inferior a la que estiman tanto el t Student como el α-estable. b) El modelo t Student y el α-estable estiman también mayor probabilidad de resultados moderados que la Normal 7. COMPARACIÓN CON EL DOW-JONES El índice bursátil Dow Jones es cualquiera de los 130,000 índices bursátiles elaborados por la empresa Dow Jones Indexes, LLC, originalmente propiedad de la empresa Dow Jones & Company. Por su importancia a veces se denomina índice bursátil Dow Jones al más importante de ellos, cuyo nombre real es Promedio Industrial Dow Jones (DJIA); pero es una forma incorrecta de expresarlo, ya que Dow Jones genera una diversidad de índices. Los índices Dow Jones fueron creados por dos periodistas norteamericanos, Charles Dow y Edward Jones, los cuales fundaron en 1882 la empresa Dow Jones & Company. Entre los diferentes índices bursátiles del Dow Jones se encuentran cuatro principales: 1) El Promedio Industrial Dow Jones también conocido como Dow Jones Industrial Average (DJIA) es el más importante de todos y refleja el comportamiento del precio de la acción de las 30 compañías industriales más importantes y representativas de Estados Unidos. María Ortega Valladares 32 2) El Promedio de Utilidades Dow Jones conocido como Dow Jones Utility Average (DJUA) donde se reflejan los títulos valores de las quince mayores corporaciones de mercados como el gas o la energía eléctrica. 3) El Promedio de Transportes Dow Jones conocido como Dow Jones Transportation Average (DJTA), que incluye las veinte mayores empresas de transporte y distribución. 4) El Promedio Compuesto Dow Jones conocido como Dow Jones Composite Average (DJCA) es el índice que mide el desempeño de las acciones de 65 compañías miembros de cualquiera de estos tres índices principales anteriores. Las empresas que componen el Promedio Compuesto Dow Jones pueden variar dependiendo de ciertos criterios, pero la mayoría de ellas son de gran capitalización. 56 de sus 65 componentes se negocian en la bolsa de valores de Nueva York (NYSE) y otras nueve son operadas en el NASDAQ. En nuestro trabajo, hemos utilizado los datos del Dow Jones Industrial Average. El Dow Jones Industrial Average es el índice bursátil de referencia de la bolsa de valores de Nueva York. Este índice refleja la evolución de las 30 empresas industriales con mayor capitalización bursátil que cotizan en este mercado. Las empresas que componen el Dow Jones Industrial Average son elegidas con un criterio distinto al que habitualmente se establece en otros índices bursátiles, es decir, en el Dow Jones el peso que se le asigna a cada valor está muy relacionado con su volumen de negociación, mientras que, normalmente, en otros índices estadounidenses y de los principales países europeos el peso que tiene una empresa en los índices depende de su capitalización (como vimos en el caso del IBEX35). Este índice bursátil fue el primer indicador creado en el mundo para conocer la evolución de un mercado de valores. Entre las empresas que forman parte de este índice, se encuentran algunas como, por ejemplo, Microsoft, Hewlett Packard, Bank of America, Coca Cola o McDonalds. Ahora vamos a ver cuál es el modelo que mejor se ajusta a los Datos del DOW-JONES Industrial Average durante el mismo periodo de tiempo que hemos cogido para el IBEX35 Modelización Estadística de mercados bursátiles 33 Ajuste mediante el modelo normal Fig.19 Ajuste del modelo Normal Fig.20 Ajuste en las colas del modelo Normal Ajuste mediante el modelo estable   Fig.21 Ajuste del modelo α-estable ˆ1.43419 ˆ0.138427 ˆ0.000834 ˆ0.005217         ˆ0.000196 ˆ0.011958     María Ortega Valladares 34 Fig.22 Ajuste en las colas del modelo α-estable Ajuste mediante el modelo t Student Fig.23 Ajuste mediante el modelo t-Student Fig.24 Ajuste en las colas mediante el modelo t-Student Representemos un gráfico con los tres modelos ajustado al histograma de los datos, donde podremos observar mejor las diferencias de los ajustes de un modelo a otro. ˆ0.000652 ˆ0.006219 ˆ2.2504 m s n    Modelización Estadística de mercados bursátiles 35 Fig.25 Ajuste de todos los modelos Fig.26 Ajuste de las colas de todos los modelos Representaremos a continuación los gráficos Q-Q Fig.27 Gráfico Q-Q de los rendimientos-normal Normal Estable t Student Normal Estable t Student María Ortega Valladares 36 Fig.28 Gráfico Q-Q de los rendimientos-distribución α-estable Fig.29 Gráfico Q-Q de los rendimientos-distribución t-student Luego, gráficamente, llegamos a la conclusión de que tanto el modelo estable   como el modelo t Student se ajustan muy bien a los datos aunque parece que se ajusta un poco mejor el estable   . Comprobemos, a través del contraste de Kolmogorov-Smirnov, que modelo se ajusta mejor a los datos. Estadístico P-Valor Distribución Normal 0.110397 27 4.12091 10  Distribución estable   0.0226026 0.151369 Distribución t Student 0.0230553 0.136414 Tabla.4 Contraste de Kolmogorov-Smirnov para el DOW-JONES Modelización Estadística de mercados bursátiles 37 Si observamos los estadísticos, vemos que el valor más cercano a 0 es el de la Distribución estable   pero de forma insignificante con respecto al de la t Student . Observando los P-valores, tanto para la distribución estable   como para la t Student aceptamos la hipótesis nula 0 H pues los P-valores son 0.05 . El P-valor de la estable   es el mayor de todos, por tanto, el modelo estable   es el que mejor ajusta a mis datos del DOW-JONES. Calculemos, al igual que antes, la probabilidad de ganar entre [x%,y%] si invertimos en el DOW-JONES utilizando los modelos normal, t Student y estable   . Normal t Student estable   [10%, ) 0 0.00115181 0.00278906 [5%,10%) 5 1.5577 10  0.00429171 0.00504034 [1%,5%) 0.206133 0.123643 0.111197 [-1%,1%) 0.596923 0.763552 0.765541 [-5%,-1%) 0.196914 0.10222 0.105292 [-10%,-5) 5 1.34848 10  0.00402191 0.00647911 ( , 10%]  17 2.67103 10  0.00111867 0.00366181 Tabla.5 Probabilidades DOW-JONES para los diferentes modelos Hagamos ahora una tabla de comparación entre el IBEX35 y el DOW-JONES. Para el IBEX35 utilizamos el modelo t Student y para el DOW-JONES utilizaremos el modelo estable   ya que son los modelos que mejor se ajustan a los datos respectivamente. IBEX35 DOW-JONES [10%, ) 0.000721001 0.00278906 [5%,10%) 0.0060877 0.00504034 [1%,5%) 0.2048 0.111197 [-1%,1%) 0.59107 0.765541 [-5%,-1%) 0.19079 0.105292 [-10%,-5) 0.00582632 0.00647911 ( , 10%]  4 7.04885 10  0.00366181 Tabla.6 Probabilidades IBEX-35 vs DOW-JONES María Ortega Valladares 38 Los datos anteriores, se muestran en el gráfico 30 Fig.30 Comparación Probabilidades IBEX35 vs DOW-JONES Podemos observar que el DOW-JONES tiene una probabilidad más alta de grandes pérdidas o grandes ganancias (fuera del intervalo [-10%,10]) y también de obtener pérdidas o ganancias cercanas a cero que el IBEX35. Sin embargo, el IBEX35 tiene mayor probabilidad de obtener ganancias o pérdidas “moderadas”. Ante esta observación, podemos concluir que si no queremos arriesgarnos es mejor invertir en el IBEX35. 8. ESTIMACIÓN NO PARAMÉTRICA En este capítulo nos planteamos el problema siguiente: Si ninguno de los modelos anteriores hubiesen ajustado bien mis datos, ¿cómo buscamos un modelo que me los ajuste? La posibilidad alternativa es no predeterminar a priori ningún modelo para la distribución de probabilidad de la variable y dejar que la función de densidad pueda adoptar cualquier forma, sin más límites que los impuestos por las propiedades que se exigen a las funciones de densidad para ser consideradas como tales. Este enfoque, es el que denominaremos estimación no paramétrica de la densidad. En cierta manera el Modelización Estadística de mercados bursátiles 39 enfoque no paramétrico permite que los datos determinen de forma totalmente libre, sin restricciones, la forma de la densidad que los ha de representar. Existen varias formas de hacer una estimación no paramétrica pero nosotros en nuestro trabajo utilizaremos la estimación no paramétrica de tipo núcleo. 8.1. Estimación no paramétrica de tipo núcleo. Como puede verse en Miñarro (1998), dada la muestra de n observaciones reales 1,..., n XX definimos la estimación tipo Núcleo de función núcleo K como 1 1 ˆ() ni ni nn xX f x K nh h       donde ()Kx es una función, denominada función Kernel, función núcleo o función peso, que satisface ciertas condiciones de regularidad, generalmente es una función de densidad simétrica como por ejemplo la de la distribución normal, y   n h es una secuencia de constantes positivas conocidas como ancho de ventana, parámetro de suavización o bandwith. En la Tabla 2 mostramos algunas de las funciones núcleo univariantes más comunes. El estimador núcleo puede interpretarse como una suma de protuberancias (del inglés bump situadas en las observaciones). La función núcleo K determina la forma de las protuberancias mientras que el parámetro n h determina su anchura. Al igual que en el histograma, n h también determina la cantidad de suavización de la estimación, también puede interpretarse como una transformación en continua de la función de distribución empírica de acuerdo a la función ()Kx que se encarga de redistribuir la masa de probabilidad 1n en la vecindad de cada punto muestral. Un inconveniente de la estimación núcleo es que al ser el parámetro de ventana fijo a lo largo de toda la muestra, existe la tendencia a presentarse distorsiones en las colas de la estimación. María Ortega Valladares 46 http://www2.ulpgc.es/hege/almacen/download/5/5015/Complemento_3_Prueba_de_Bo ndad_de_Ajuste_de_Kolmogorov_Smirnov.pdf Wikipedia, IBEX35. Disponible en: https://es.wikipedia.org/wiki/IBEX_35 Wikipedia, Índice Bursátil DOW-JONES. Disponible en: https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%8Dndice_burs%C3%A1til_Dow_Jones Modelización Estadística de mercados bursátiles 47 Anexo INSTRUCCIONES DEL SOFTWARE MATHEMATICA USADAS. En este anexo, incluimos las instrucciones del software Mathematica utilizadas en el trabajo (para el caso del IBEX35). (* Listado de datos (copiado-pegado de archivo de texto *) datos={10583,10540.5,...,10332.3} (* Gráfico de los datos*) ListPlot[datos,Joined->True] (* Cálculo de los retornos logarítmicos *) retornos=Table[Log[datos[[t]]]-Log[datos[[t- 1]]],{t,2,Length[datos]}] (* Gráfico de los retornos e histograma *) ListPlot[retornos] hist=Histogram[retornos,{-0.095,0.095,0.01},"PDF"] (* Estadísticos descriptivos *) Mean[retornos] StandardDeviation[retornos] Skewness[retornos] Kurtosis[retornos] Max[retornos] Min[retornos] (* Ajuste de los modelos Normal, Estable y t-Student *) estim1=FindDistributionParameters[retornos,NormalDistributi on[μ,σ]] μe=μ/.estim1[[1]] σe=σ/.estim1[[2]] estim2=FindDistributionParameters[retornos,StableDistributi on[0,α,β,δ,γ]] María Ortega Valladares 48 αe=α/.estim2[[1]] βe=β/.estim2[[2]] δe=δ/.estim2[[3]] γe=γ/.estim2[[4]] estim3=FindDistributionParameters[retornos,StudentTDistribu tion[m,s,n]] me=m/.estim3[[1]] se=s/.estim3[[2]] ne=n/.estim3[[3]] (* Obtención de la función de densidad no paramétrica *) K=SmoothKernelDistribution[retornos] (* Gráficos de las funciones de densidad obtenidas *) graf1=Plot[PDF[NormalDistribution[μe,σe],x],{x,- 0.095,0.095},PlotStyle->Gray] graf2 = Plot[PDF[StableDistribution[0, αe,βe, δe,γe], x], {x, -0.095, 0.095},PlotStyle->Dashed] graf3=Plot[PDF[StudentTDistribution[me,se,ne],x],{x,- 0.095,0.095},PlotStyle->Black] graf4=Plot[{PDF[NormalDistribution[μe,σe],x],PDF[StableDist ribution[0, αe,βe, δe,γe], x],PDF[StudentTDistribution[me,se,ne],x]},{x,- 0.095,0.095},PlotStyle- >{Gray,{Dashed,Blue},Black},PlotLegends- >{"Normal","Estable","t-Student"}] graf5=Plot[PDF[K,x],{x,-0.095,0.095},PlotRange->{{- 0.095,0.095},{0,40}}] (* Gráficos de las funciones de densidad junto con los histogramas *) (* En todo el rango y en las colas *) Show[hist,graf5] Modelización Estadística de mercados bursátiles 49 Show[hist,graf1] Show[hist,graf1,PlotRange->{{-0.095,-0.04},{0,1.75}}] Show[hist,graf1,PlotRange->{{-0.04,0.04},{0,35}}] Show[hist,graf1,PlotRange->{{0.04,0.095},{0,1.75}}] Show[hist,graf2] Show[hist,graf2,PlotRange->{{-0.095,-0.04},{0,1.75}}] Show[hist,graf2,PlotRange->{{0.04,0.095},{0,1.75}}] Show[hist,graf2,PlotRange->{{-0.04,0.04},{0,35}}] Show[hist,graf3] Show[hist,graf3,PlotRange->{{-0.095,-0.04},{0,1.75}}] Show[hist,graf3,PlotRange->{{0.04,0.095},{0,1.75}}] Show[hist,graf3,PlotRange->{{-0.04,0.04},{0,35}}] Show[hist,graf1,graf2,graf3] Show[hist,graf1,graf2,graf3,PlotRange->{{-0.095,- 0.04},{0,1.75}}] Show[hist,graf1,graf2,graf3,PlotRange- >{{0.04,0.095},{0,1.75}}] Show[hist,graf1,graf2,graf3,PlotRange->{{- 0.04,0.04},{0,35}}] Show[hist,graf4] Show[hist,graf4,PlotRange->{{-0.095,-0.04},{0,1.75}}] Show[hist,graf4,PlotRange->{{0.04,0.095},{0,1.75}}] (* Cálculo de las probabilidades de los intervalos*) valores={-Infinity,-0.1,-0.05,- 0.01,0.01,0.05,0.1,Infinity}; Table[CDF[NormalDistribution[μe,σe],valores[[i]]]- CDF[NormalDistribution[μe,σe],valores[[i- 1]]],{i,2,Length[valores]}] Table[CDF[StudentTDistribution[me,se,ne],valores[[i]]]- CDF[StudentTDistribution[me,se,ne],valores[[i- 1]]],{i,2,Length[valores]}] Table[CDF[StableDistribution[0, αe,βe, δe,γe],valores[[i]]]-CDF[StableDistribution[0, αe,βe, δe,γe],valores[[i-1]]],{i,2,Length[valores]}] María Ortega Valladares 50 Table[CDF[K,valores[[i]]]-CDF[K,valores[[i- 1]]],{i,2,Length[valores]}] (* Gráficos Q-Q *) QuantilePlot[retornos,NormalDistribution[μe,σe]] QuantilePlot[retornos,StableDistribution[0, αe,βe, δe,γe]] QuantilePlot[retornos,StudentTDistribution[me,se,ne]] (* Contrastes de Kolmogorov-Smirnov *) KolmogorovSmirnovTest[retornos,NormalDistribution[μe,σe],"T estDataTable"] KolmogorovSmirnovTest[retornos,StableDistribution[0, αe,βe, δe,γe],"TestDataTable"] KolmogorovSmirnovTest[retornos,StudentTDistribution[me,se,n e],"TestDataTable"]