Un episodio de la crisis de fundamentos: 1904

“historia72” — 2004/6/2 — 20:55 — page 449 — #1 LAGACETA DE LA RSME,Vol. 7.2 (2004), P´ ags. 449–467 449 HISTORIA Secci´on a cargo de Jos´e Ferreir´os Dom´ınguez1 Un episodio de la crisis de fundamentos: 1904 por Jos´e Ferreir´os La c´elebre crisis de fundamentos a principios del siglo XX es un aspecto bien conocido de la historia de la matem´atica, pero hay que decir que –como tantas veces sucede– en la mayor parte de las exposiciones no suele encontrarse el desarrollo real de la cuesti´on. La presentaci´on habitual nos habla de c´omo el descubrimiento de las antinomias hacia 1900 supuso una grave crisis para la concepci´on conjuntista de los fundamentos, que entonces estaba perfectamente asentada; a partir de ah´ısurgir´ıan los diversos intentos de clarificar los fundamentos, que –seg´un esta versi´on simplista– se reducen a tres: logicismo, intuicionismo, formalismo; y el debate m´as intenso tendr´ıa lugar en los a˜nos 1920, con los desarrollos enfrentados del programa de Hilbert y la matem´atica intuicionista, hasta llegar al sorprendente desenlace de los teoremas de incompletitud de G¨odel. Poni´endonos un tanto estrictos, habr´ıa que decir que todas las afirmaciones anteriores son falsas, o cuando menos muy sesgadas. El debate sobre fundamentos surgi´o en realidad durante los a˜nos 1870, sobre todo a prop´osito de la fundamentaci´on del an´alisis y las definiciones de los n´umeros reales, pero tambi´en con motivo de la disputa entre la teor´ıa de funciones riemanniana y weierstrassiana, y las publicaciones de Dedekind sobre teor´ıa de n´umeros algebraica2. Fue sobre todo un debate alem´an (al menos en esta primera parte, ampliado durante los a˜nos 1890 al resto del mundo matem´atico) y se consolid´o una divisi´on entre los partidarios m´as radicales de los m´etodos modernos, aglutinados en torno a la Universidad de G¨ottingen, 1Los interesados en colaborar con esta secci´on pueden dirigir sus contribuciones a la siguiente direcci´on: Jos´e Ferreir´os Dom´ınguez; Departamento de Filosof´ıa y L´ogica, Universidad de Sevilla; C/ Camilo Jos´e Cela, s/n; 41018 – Sevilla; Correo electr´onico: [email protected] 2Sobre este tema pueden verse los primeros cap´ıtulos de mi libro [1999], o mi art´ıculo [1998] en esta misma revista. “historia72” — 2004/6/2 — 20:55 — page 450 — #2 450 HISTORIA yloscr´ıticos de dichos m´etodos, centrados en la universidad m´as importante hasta los a˜nos 1890, Berl´ın, que tend´ıan de forma m´as o menos acusada al constructivismo. La disputa tuvo que ver sobre todo con la cuesti´on de qu´e metodolog´ıa puede admitirse, y con la aceptaci´on de ciertos axiomas fundamentales: fue m´as que nada un debate entre modernos yconstructivistas.Ahora bien, si hay que citar posiciones importantes, deber´ıamos mencionar del lado “moderno” el logicismo, el platonismo (Cantor, G¨odel) y el formalismo (en varias versiones), y del lado constructivista el intuicionismo, el predicativismo (Poincar´e, Weyl) y varios otros enfoques constructivistas (Skolem, etc.)3. Encuantoalacuesti´on de cu´ando se dieron las discusiones m´as intensas, lo cierto es que hubo varios per´ıodos calientes:losa˜nos en torno a 1870, con las discusiones citadas m´as arriba, interviniendo personajes como Riemann, Weierstrass, Kronecker, Cantor y Dedekind; los a˜nos intermedios de la d´ecada de 1880, momento en el que ya hay una conciencia precisa de las posiciones en disputa (articulada por du Bois-Reymond, Cantor, Kronecker y Dedekind en diversos trabajos) y en el que la teor´ıa de conjuntos adquiere protagonismo; los a˜nos 1900-1905, en los que no s´olo se discuti´oaprop´osito de las antinomias, sino por el axioma de elecci´on y el problema del continuo; o los a˜nos en torno a 1921, donde la idea de la crisis se present´o de un modo especialmente dram´atico. En la presente ocasi´on, me gustar´ıa discutir con detalle lo que suced´ıa hace exactamente 100 a˜nos. Y es que la segunda mitad de 1904 fue un momento ´algido, casi dir´ıamos que dram´atico, en el desarrollo de los acontecimientos. Los sucesos que nos van a interesar estuvieron directamente relacionados con la celebraci´on del 3er Congreso Internacional de Matem´aticos en Heidelberg (Alemania), del 8 al 13 de agosto. All´ı fue donde Hilbert expuso un primer germen de las ideas que dar´ıan lugar a su c´elebre programa de fundamentaci´on, pero sobre todo donde J. K¨onig present´o una demostraci´on muy cuidadosa de que la cardinalidad del continuo no puede ser un alef. Esta conferencia de K¨onig caus´o sensaci´on: el propio Cantor estaba presente, y la reacci´on fue de gran intensidad; hubo despu´es una reuni´on informal de varios matem´aticos donde el problema fue discutido en detalle. Finalmente, al mes siguiente, Zermelo dio consudemostraci´on del teorema del buen orden y Hausdorff encontr´o el fallo de la prueba de K¨onig en un lema debido a Bernstein. Todos estos desarrollos estuvieron muy relacionados con el grupo de matem´aticos de G¨ottingen y con la inspiraci´on de David Hilbert (1862-1943). 3Una visi´on muy similar de la crisis se ofrece en el libro de De Lorenzo [1998]. Sobre las distintas posiciones en fundamentos, por desgracia no hay ning´un libro muy bueno en nuestro idioma; pueden consultarse Fraenkel, Bar-Hillel y Levy [1973] o Feferman [1998], entre otras obras. “historia72” — 2004/6/2 — 20:55 — page 451 — #3 LAGACETA 451 1.HILBERT, LOS PRIMEROS ICM YLAIMPLANTACI ´ ON DE LA MATEM´ ATICA MODERNA Los primeros Congresos Internacionales tuvieron mucho que ver, precisamente, con la pol´emica entre modernos y constructivistas, contribuyendo de manera importante a la difusi´on de las nuevas ideas y la teor´ıa de conjuntos que serv´ıa para codificarlas. Ya el primero, en 1897, sirvi´o para refrendar las nuevas ideas a trav´es de las conferencias plenarias de Adolf Hurwitz (18591919) sobre desarrollos recientes en la teor´ıa general de las funciones anal´ıticas, y de Jacques Hadamard (1865-1963) sobre aplicaciones posibles de la teor´ıa de conjuntos (donde apuntaba hacia el estudio de conjuntos de funciones en abstracto). Vale la pena indicar que, al celebrarse el Congreso en Zurich, donde Hurwitz era profesor, los matem´aticos de G¨ottingen tuvieron la ocasi´on de imponer su orientaci´on; recordemos que Hurwitz era disc´ıpulo del poderoso y muy influyente Felix Klein (1849-1925), el “ministro de exteriores” de la matem´atica alemana4,adem´as de amigo ´ıntimo de Hilbert. El segundo congreso fue otro asunto, ya que se celebr´oenPar´ıs, y los franceses –con la excepci´on de Hadamard– manten´ıan cierta distancia con respecto a las pol´emicas fundacionales, y actitudes metodol´ogicas m´as bien tradicionales. Este era el caso desde luego de todo un decano de la matem´atica francesa como Charles Hermite (1822-1901), pese al papel que desempe˜n´oen la transmisi´on de ideas alemanas a Francia. El modo de trabajo de Hermite estaba lejos de los m´etodos modernos: trabajaba con expresiones anal´ıticas conocidas, y la b´usqueda de principios fundamentales no era lo suyo; se interes´o especialmente por las ideas de Weierstrass, mientras que los nuevos enfoques de Dedekind y Cantor le resultaron totalmente ajenos5. Sin duda, algunas de las contribuciones francesas avanzaban ideas importantes para la matem´atica moderna, pero lo hac´ıan de una manera relajada, sin la radicalidad de un Riemann, Dedekind, Cantor o Hilbert. En todo caso, muchos de ellos mostraban simpat´ıa por las tesis cr´ıticas de Kronecker, como se hab´ıa demostrado en los art´ıculos filos´oficos de Henri Poincar´e (1854-1912) desde 1894, y como se demostrar´ıa en las discusiones de Baire, Borel, Lebesgue y Hadamard sobre el axioma de elecci´on en 1905. Claro est´a que nuestra memoria es siempre muy parcial, y el congreso de 1900 se recuerda sobre todo por la conferencia que imparti´o Hilbert6.Conviene aclarar que no se trat´o de una conferencia plenaria, sino de una comunicaci´on en la Secci´on de “Bibliograf´ıa e Historia” (!); pero en la publicaci´on final de las 4La frase, muy apropiada, es de Fraenkel [1967], 152. Klein era tambi´en importante como “ministro del interior”, gracias a sus relaciones con el verdadero Ministro, a su papel en la DMV, etc. 5Ver por ejemplo los comentarios de M. Noether [1902], 384. 6Ver Gray [2003]. “historia72” — 2004/6/2 — 20:55 — page 452 — #4 452 HISTORIA actas del congreso, se decidi´o incluir el texto de Hilbert junto a las conferencias plenarias “dada su gran importancia”. El vivaz y atrevido Hilbert, siempre activo y original, decidi´o hacer un intento de “levantar el velo” de lo que el futuro deparaba a las matem´aticas. Naturalmente, su verdadera intenci´on era contribuir a determinar ese futuro, como tambi´en estaba haciendo entonces, con otros medios, su mentor y aliado Felix Klein. De los 23 problemas que hab´ıa seleccionado, Hilbert s´olo tuvo tiempo para discutir 10, pero en todo caso decidi´oempezarconelproblema del continuo de Cantor. No era una decisi´on casual, sino toda una declaraci´on de intenciones y una apuesta sobre d´onde estar´ıa el futuro de las matem´aticas: ¡el futuro pertenec´ıa a los modernos! Hilbert mostraba sus afinidades de la manera m´as radical, poni´endose del lado de Cantor, de sus n´umeros transfinitos y de sus ideas m´as especulativas. Georg Cantor David Hilbert (1845-1918) (1862-1943) Vale la pena comentar un par de detalles al respecto, por la importancia que tienen para lo que sigue. Adem´as de recordar el principal problema pendiente de la teor´ıa cantoriana, que el propio Cantor –sumido ahora en crisis mentales– llevaba a˜nos sin mencionar p´ublicamente7, Hilbert dedicaba la mitad de su discusi´on a un segundo problema, el del buen orden. Un conjunto ordenado [de n´umeros] est´a dotado de un buen orden cuando “no s´olo en 7De todos modos, Hilbert y sus colaboradores sab´ıan muy bien que Cantor llevaba a˜nos planeando un art´ıculo donde discutir´ıa las antinomias y dar´ıa una interesante “demostraci´on” del teorema de buen orden. Ver Purkert & Ilgauds [1987]. Tambi´en lo sab´ıan otros, como Dedekind [Cantor 1932], o Hausdorff [Purkert 2002], a trav´es de sus contactos con el propio Cantor. “historia72” — 2004/6/2 — 20:55 — page 453 — #5 LAGACETA 453 el propio conjunto, sino tambi´en en cada uno de sus subconjuntos, existe un primer n´umero [elemento]”. Obviamente, el conjunto de los n´umeros reales en su orden habitual no est´a bien ordenado, y surge la pregunta de si es posible reordenarlos de manera que se les dote de un buen orden, cuesti´on que en opini´on de Cantor debe contestarse afirmativamente. Me parece sumamente deseable que obtengamos una demostraci´on directa de esta notable afirmaci´on de Cantor, digamos, mediante la determinaci´on real [y concreta] de un tal ordenamiento de los n´umeros reales... (Hilbert 1900, 299). Hoy sabemos que Hilbert estaba pidiendo algo imposible, al menos con los m´etodos y los axiomas de la teor´ıa de conjuntos tal como hoy la conocemos. Y es que su formulaci´on, curiosamente, parece pedir una determinaci´on constructiva del buen orden en cuesti´on. Lo cual nos recuerda que, pese a ser el autoproclamado palad´ın de los m´etodos modernos en matem´aticas, Hilbert a menudo recurri´o a la utilizaci´on de elementos kroneckerianos o constructivos (como sucede, por cierto, en su famoso programa fundacional basado en la teor´ıa de la demostraci´on). Tambi´en nos interesa mencionar algo del segundo problema presentado por Hilbert. De nuevo, estaba elegido estrat´egicamente para enfatizar la importancia de los m´etodos modernos: se trata del problema de la consistencia de los axiomas de la aritm´etica [de R], lo que serv´ıa para llamar la atenci´on hacia la nueva axiom´atica de inspiraci´on conjuntista. Y de nuevo hay una ´ultima parte en la discusi´on de este problema que apunta a los sucesos que nos van a interesar. Hilbert destacaba la importancia de la demostraci´on de consistencia al establecer la c´elebre y pol´emica tesis de que tal demostraci´on basta para afirmar la “existencia matem´atica” de los n´umeros reales en tanto concepto matem´atico y, m´as concretamente, en tanto conjunto infinito (el continuo). Y pasaba a decir que exactamente en el mismo sentido existen tambi´en: las clases de n´umeros [ordinales transfinitos] y las potencias [o cardinales transfinitos] superiores de Cantor. Pues tengo la convicci´on de que tambi´en la existencia de estos ´ultimos podr´aserdemostrada en el sentido que acabo de indicar, igual que la del continuo, y contrariamente a lo que sucede con el conjunto de absolutamente todas las potencias o alefs de Cantor; conjunto para el cual, como puede mostrarse, no es posible establecer un sistema de axiomas consistente, en el sentido que establecido por m´ı, y que por tanto resulta ser, en mi terminolog´ıa, un concepto que no existe matem´aticamente. (Hilbert 1900, 301). Tenemos aqu´ı la primera indicaci´on publicada de la existencia de antinomias en la teor´ ıa de conjuntos, pero era una indicaci´on tan vaga que probablemente no fue comprendida. El caso es que Hilbert y los matem´aticos de G¨ottingen conoc´ıan, gracias a cartas de Cantor fechadas en 1897 y 1899, las antinomias “historia72” — 2004/6/2 — 20:55 — page 454 — #6 454 HISTORIA del “conjunto” de todos los ordinales (habitualmente llamada de Burali-Forti) y el “conjunto” de todos los cardinales (de Cantor)8. A esto precisamente se refiere Hilbert en su ´ultima frase, en lo que parece ser una dudosa aplicaci´on inversa de su principio sobre la existencia matem´atica, ya que de la inexistencia como conjunto demostrada por Cantor concluye la inexistencia de un sistema axiom´atico consistente. El genial Cantor, arrollador tanto por su personalidad impetuosa como por su capacidad creativa en matem´aticas, vio enseguida grandes posibilidades en las antinomias. En primer lugar, demostraban que las ideas logicistas de Dedekind y otros no eran sostenibles, y por tanto le parec´ıa que ven´ıan en apoyo de su visi´on metaf´ısica de la teor´ıa de conjuntos. En segundo lugar, pronto comprendi´o que la antinomia de los ordinales transfinitos pod´ıa dar rendimientos matem´aticos (v´eanse las cartas a Hilbert y a Dedekind de 1899, en los trabajos citados en la nota anterior). La idea era la siguiente: supongamos que un conjunto Cno tiene por cardinal un alef, entonces debe ser posible establecer una biyecci´on entre sus elementos y los ordinales, pero no s´olo con un segmento de los ordinales (lo que har´ıa del cardinal de Cun alef), sino con todos los ordinales. Ahora bien, un conjunto equipotente con un “conjunto inconsistente” debe ser tambi´en inconsistente, y lo mismo debe suceder con C, por contener un subconjunto inconsistente. Pero este razonamiento intuitivo deb´ıa ser precisado, y los principios no estaban claros para Cantor. Por eso busc´o la ayuda de matem´aticos de orientaci´on m´as l´ogica como Dedekind y Hilbert, pero tampoco aqu´ıencontr´o la ayuda necesaria. Finalmente, tras a˜nos planeando una tercera parte de sus Contribuciones a la fundamentaci´on de la teor´ıa de conjuntos transfinitos (publicados en 1895 y 1897 por los Mathematische Annalen), la cuesti´on se qued´oenel tintero. Sin embargo, el mismo argumento intuitivo fue publicado en nuestro famoso a˜no de 1904 por el ingl´es Philip Jourdain (1879-1921), quien sostuvo correspondencia con Cantor, Frege y Russell, y ser´ıa luego el primero en escribir sobre la historia de la teor´ıa de conjuntos (v´ease Jourdain 1904). Volviendo a Hilbert, con lo anterior habr´a bastado para entender la naturaleza de su apuesta y el gran papel que desempe˜n´o con sus intervenciones y escritos en la difusi´on de los m´etodos modernos y la teor´ıa de conjuntos. Pero hay que acordarse tambi´en y sobre todo de su influencia directa sobre el amplio grupo de matem´aticos que se reun´ıa en G¨ottingen. Felix Bernstein (1878-1956), por ejemplo, hab´ıa estudiado en Halle con Cantor, pero escribi´osutesisbajo la direcci´on de Hilbert9;elt´ıtulo era Investigaciones en teor´ıa de conjuntos,y 8Cantor encontr´o estos argumentos en 1896, mientras trabajaba en su presentaci´on sistem´aticadelateor´ıa de conjuntos transfinitos. Ver Cantor [1932], Cantor [1991], Dedekind [1932], vol. 3, Purkert & Ilgauds [1987]. 9Una direcci´on nunca muy atenta, fuera de la asignaci´on del tema y las orientaciones iniciales: en el mismo a˜no se presentaron ¡ocho tesis bajo su direcci´on! S´olo volvemos a encontrar tesis sobre temas de conjuntos y fundamentos en 1910 con K. Grelling, y en 1918 con H. Behmann (Hilbert [1935], 431-33). “historia72” — 2004/6/2 — 20:55 — page 455 — #7 LAGACETA 455 la fecha de la defensa marzo de 1901. En este trabajo, Bernstein ofrec´ıa una demostraci´on de la siguiente ecuaci´on entre alefs -que como veremos traer´ıa secuelas-: ℵℵα µ=ℵµ·2ℵα(Bernstein 1901, 50). Tambi´en Ernst Zermelo (18711953) ha dejado escrito que fue precisamente la influencia decisiva de Hilbert lo que le condujo de la matem´atica aplicada en que trabaj´o al habilitarse (hidrodin´amica, mec´anica estad´ıstica) a la teor´ıa de conjuntos y la l´ogica10. Ya en el invierno de 1900-1901 Zermelo impart´ıa en G¨ottingen un curso sobre teor´ıa de conjuntos, que parece haber sido el primero sobre la materia en cualquier universidad, y enseguida descubri´o la antinomia del conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a s´ı mismos (habitualmente llamada de Russell). Tambi´en Hilbert hab´ıa buscado su propio camino en el campo de las antinomias, llegando a formular una que a su entender era “puramente matem´atica”, pero que resulta sin duda menos relevante que las habituales11. As´ı pues, en G¨ottingen era bien conocido el problema de las antinomias antes de que tuviera lugar el notable intercambio de cartas entre Russell y Frege, y la publicaci´on de los libros de ambos que dieron a conocer la cuesti´on a bombo y platillo en 1903: respectivamente, The Principles of Mathematics12 y el segundo volumen de Grundgesetze der Arithmetik.Esm´as, Bernstein (que conoci´o el asunto de primera mano) nos informa de que la cuesti´on hab´ıa sido discutida, sin llegar a un resultado claro, en varias de las Naturforscherversammlungen alemanas, esto es, los congresos de cient´ıficos, en los cuales hab´ıa siempre una secci´on de matem´aticas (Bernstein 1905, 187). Pero quiz´alosde G¨ottingen no supieron reflexionar con suficiente profundidad sobre la naturaleza del problema planteado. Hilbert cre´ıa poder responder al desaf´ıo de las antinomias mediante demostraciones de consistencia que emplear´ıan “m´etodos de demostraci´on conocidos” (1900, 300). Zermelo no parece haberse preocupado en exceso a la vista de su antinomia, que sin embargo era toda una demostraci´on de contradicci´on para las ideas habituales –las de Dedekind, Frege, el primer Hilbert, y Russell– acerca de los conjuntos13. Todo parece indicar que fue la respuesta inequ´ıvoca de Frege, secundada por Russell, lo que finalmente les hizo conscientes del alcance de la situaci´on. Como dir´ıa el propio Hilbert retrospectivamente, la antinomia de ZermeloRussell tuvo “un efecto realmente catastr´ofico en el mundo matem´atico” (Hilbert 1927, 169). Por cierto tiempo, el propio Hilbert crey´oqueKronecker estaba en lo cierto al exigir una restricci´on radical de los m´etodos y axiomas admitidos14. Pero su confianza en la matem´atica moderna, su fecundidad de 10Peckhaus [1990]. 11Sobre Zermelo, ver Rang & Thomas [1981], y sobre Hilbert, Peckhaus & Kahle [2002]. 12No confundir con los Principia Mathematica de 1910-1913, escritos por Whitehead y Russell. 13Hay que insistir en que Cantor no era defensor de la llamada teor´ıa ”ingenua” de conjuntos -basada en el axioma de comprehensi´on-, raz´on por la cual las antinomias no le afectaban a´el sino a Dedekind; sobre este tema, vease Purkert & Ilgauds [1987], o mi [1999]. 14Reminiscencias de Paul Bernays en Reid [1970]. “historia72” — 2004/6/2 — 20:55 — page 456 — #8 456 HISTORIA ideas y su optimismo natural acabaron imponi´endose. La reacci´on fue presentada precisamente en la conferencia plenaria que imparti´o, ya como gran figura consagrada de la matem´atica a nivel mundial, en el Congreso Internacional de 1904. Esta reacci´on consisti´o en desarrollar su idea de 1900 sobre las demostraciones de consistencia como garantes de la existencia de conjuntos. Para ello, modific´o sensiblemente sus planteamientos con respecto al tipo de m´etodos que ser´ıa necesario aplicar, recurriendo a m´etodos propios del constructivismo de Kronecker a fin de establecer una demostraci´on de consistencia puramente sint´actica. En 1900 Hilbert esperaba resolver la cuesti´on aplicando m´etodos conocidos de la teor´ıa de los irracionales, con lo que seguramente quer´ıa referirse sin m´as am´etodos conjuntistas habituales, como el de las cortaduras de Dedekind o el de las sucesiones fundamentales de Cantor15. Esta primera reacci´on consist´ıa, pues, en intentar demostrar la consistencia de los axiomas elaborando un modelo mediante m´etodos conjuntistas, justamente a la manera c´omo Dedekind hab´ıa mostrado (1888) que hab´ıa modelos de sus axiomas para la aritm´etica. Pero era una reacci´on ingenua, al no advertir todav´ıa el alcance del desaf´ıo que las antinomias planteaban. Por cierto, es importante tener en cuenta que durante los a˜nos 1890 Hilbert fue un seguidor del logicismo de Dedekind. Todav´ıa en 1899, en la introducci´on de su curso sobre geometr´ıa euclidea que acab´o de preparar las famosas ideas de Grundlagen der Geometrie,leemosque “las leyes de la l´ogica pura” incluyen a “toda la aritm´etica”, respecto a lo cual remite al libro de Dedekind, donde se explican “las relaciones entre l´ogica y aritm´etica”16 . Tras la antinomia de Zermelo-Russell, y los an´alisis ofrecidos por Frege y el propio Russell, quedaba claro que el problema exig´ıa un tratamiento m´as profundo: las paradojas de la teor´ıa de conjuntos [...] muestran, a mi parecer, que las concepciones y medios de investigaci´on prevalentes en la l´ogica, entendida en el sentido tradicional, no est´analaalturade las rigurosas exigencias que impone la teor´ıa de conjuntos... La aritm´etica es considerada a menudo como una parte de la l´ogica [...]. Pero, si observamos con atenci´on, advertimos que en la exposici´on tradicional de las leyes l´ogicas se emplean ya ciertos conceptos fundamentales aritm´eticos, por ejemplo el concepto de conjunto [!] y hasta cierto punto tambi´en el de n´umero. As´ı nos encontramos 15A favor de esto habla el contenido del curso impartido en 1897-1898, y de nuevo en 18991900, sobre Zahlbegriff und Quadratur des Kreises [El concepto de n´umero y la cuadratura del c´ırculo]. Agradezco a W. Sieg, que se encarga de editar el futuro volumen de Springer conteniendo estas lecciones, su amabilidad al poner el manuscrito a mi disposici´on. Ver tambi´en Sieg [1999] y Sieg [2002]. 16Ver el trabajo todav´ıa in´edito de M. Hallett (borrador de 1996), y la edici´on de este curso que se publicar´a en breve en Springer. “historia72” — 2004/6/2 — 20:55 — page 457 — #9 LAGACETA 457 movi´endonos en c´ırculos, y por ello es necesario un desarrollo parcialmente simultaneo de las leyes de la l´ogica y de la aritm´etica, si es que pretendemos evitar las paradojas. (Hilbert 1904, 130-31) Este comentario sobre el concepto de conjunto indica que las antinomias han forzado a Hilbert a cambiar radicalmente su opini´on acerca de los conjuntos: si todav´ıa en 1899 eran “l´ogica pura”, de acuerdo con Dedekind, ahora son un concepto matem´atico, y en particular “aritm´etico” (lo cual debe entenderse en el contexto de la idea amplia –conjuntista– de aritm´etica que surgi´o durante la aritmetizaci´on del an´alisis y la matem´atica pura). Resulta t´ıpico de Hilbert el hablar de esta cuesti´on como si los cambios de enfoque no le hubieran afectado a´el mismo ´ıntimamente. El desarrollo planteado en esta conferencia, publicada al a˜no siguiente, empleaba ideas l´ogicas muy rudimentarias, tomadas sobre todo de la l´ogica proposicional y la l´ogica de la identidad, para con ellas formular simb´olicamente los axiomas aritm´eticos de Dedekind sin incluir el axioma de inducci´on (Hilbert 1904, 133). A continuaci´on, una investigaci´on combinatoria de las igualdades derivables a partir de estos principios formales mostraba que no es posible deducir una contradicci´on. De aqu´ı, Hilbert (1904, 134) extra´ıa la consecuencia de que “la afirmaci´on de la existencia del infinito”, o sea, de un conjunto infinito, “est´a justificada”. Esta consecuencia se basaba en que los axiomas tratados exigen un dominio infinito para cumplirse; como puede verse, a estas alturas la demostraci´on de consistencia segu´ıa siendo un medio para establecer la existencia de conjuntos. Luego, se promet´ıa una prueba de consistencia para el sistema axiom´atico completo, con axioma de inducci´on. En resumen, la conferencia que comentamos constitu´ıa un avance significativo en la direcci´on del programa que se desarrollar´ıa a partir de 1920, pero todav´ıa muy lejos de advertir las dificultades implicadas, y lejos sobre todo de contar con un an´alisis satisfactorio de los principios l´ogicos necesarios. A este respecto, la influencia de Whietehead y Russell en los a˜nos 1910 fue muy importante para los de G¨ottingen, y el curso impartido por Hilbert en 1917-1918 supuso un avance muy notable17. Por su novedad, las ideas planteadas por Hilbert en esta conferencia atrajeron la atenci´on de autores importantes como Poincar´e en 1905 y 1908, Mario Pieri en 1906, y L. E. J. Brouwer en 1907 y 1908. El primero y el ´ultimo no dejar´ıan de se˜nalar deficiencias que Hilbert acab´o por aceptar y solventar en su teor´ıa de la demostraci´on madura, desarrollada junto a Paul Bernays en los a˜nos 1920. Como ha indicado Sieg, es probable que la certera cr´ıtica de Henri Poincar´e (1854-1912) haya retrasado mucho el desarrollo de la teor´ıa de la demostraci´on. Poincar´einsisti´o una y otra vez en que s´olo es posible dar una demostraci´on sint´actica de consistencia empleando la inducci´on matem´atica sobre las f´ormulas del sistema: 17Sobre este tema debe consultarse Sieg [1999], que puede complementarse con Mancosu [1999]. “historia72” — 2004/6/2 — 20:55 — page 464 — #16 464 HISTORIA paradojas; esto fue uno de los motivos por los que Zermelo ofrecer´ıa otra demostraci´on m´as completa y elegante del resultado en 1908. En tercer lugar, Bernstein ofrec´ıa sus reflexiones en el sentido de que el conjunto de todos los ordinales es admisible, pero es un conjunto que no admite un buen orden. La idea de admitir conjuntos no bien-ordenables iba directamente en contra del trabajo de Zermelo, pero parad´ojicamente Bernstein no ten´ıa problemas en admitir el axioma de elecci´on24 . En cuarto y ´ultimo lugar ven´ıa el corto pero muy interesante art´ıculo de ´ Emile Borel (1871-1956), quien reconoc´ıa haberlo escrito directamente a invitaci´on de Hilbert, y que est´a fechado el 1 de diciembre de 1904. Borel volv´ıa a plantear el contenido del trabajo de Zermelo bajo una forma condicional: antes de Zermelo era conocido que, dado un conjunto Cbien ordenado, se puede asignar un elemento distinguido a cada subconjunto de C;Zermelohab´ıa obtenido el resultado novedoso de que, inversamente, la soluci´on al problema de asignar un elemento distinguido entra˜na la existencia de un buen orden para el conjunto. Pero Borel enfatizaba que esto no constituye una soluci´on completa del problema, ya que todav´ıa es necesario “dar un medio cuando menos te´orico para determinar el elemento distinguido mde un subconjunto cualquiera” de C.Yestoleparec´ıa sumamente dif´ıcil en casos como el de C igualalconjuntodelosn´umeros reales (Borel 1905, 194). En resumen, Borel se negaba a aceptar la validez general del axioma de elecci´on y ped´ıa alg´un reemplazo para el mismo de naturaleza constructiva. En apoyo de su punto de vista citaba una carta de Baire, en la que ´este dec´ıa: “dudo que se pueda jam´as encontrar una medida com´un entre el continuo... y los conjuntos bien ordenados; tenemos ah´ı, en mi opini´on, dos cosas cada una de las cuales no est´a definida m´as que virtualmente, y hay posibilidades de que estas dos virtualidades sean irreductibles” (Borel 1905, 195). 3.CONCLUSI´ ON A partir de estos art´ıculos publicados en 1905, el debate dej´odeserprimordialmente entre autores alemanes, y pas´o definitivamente a internacionalizarse (proceso que hab´ıa empezado, como hemos dicho, en los a˜nos 1890). Hubo una intensa discusi´on en Francia, pero tambi´en en Inglaterra, etc. De lo que se trataba, a fin de cuentas, era de entender las implicaciones metodol´ogicas de la matem´atica moderna, y de alcanzar un acuerdo sobre la admisibilidad de sus m´etodos. El axioma de elecci´on fue el tema central porque contradec´ıa muy directamente las preferencias vagamente constructivistas de la mayor´ıa de los matem´aticos. De modo que la nueva discusi´on que hubo a partir de 1905, aunque complicada con la inmiscusi´on de cuestiones sobre l´ogica y sobre 24Uno se pregunta si los diversos errores cometidos en sus trabajos no habr´an sido la causa por la cual Bernstein se dedic´o, a partir de este momento, a cuestiones bien alejadas de la teor´ıa de conjuntos, sobre todo de matem´atica aplicada. “historia72” — 2004/6/2 — 20:55 — page 465 — #17 LAGACETA 465 las paradojas, no era a fin de cuentas sino una versi´on ampliada y refinada del viejo debate que ven´ıa existiendo desde 1870. Como previ´o Steinitz en su c´elebre trabajo de 1910 sobre teor´ıa general de cuerpos, el axioma de elecci´on fue siendo aceptado cada vez m´as,alirseadvirtiendo su importancia y la imposibilidad de reducirlo a algo m´as elemental. Tambi´en es cierto lo que dir´ıa G¨odel muchos a˜nos despu´es: que dif´ıcilmente puede encontrarse un principio que refleje mejor el esp´ıritu de la teor´ıa de conjuntos, con su insistencia desde la primera hora en los subconjuntos arbitrarios, que aquel axioma. El desarrollo de la teor´ıa de conjuntos axiom´atica y la l´ogica mostr´oc´omo evitar las viejas antinomias, y puso de relieve la plena aceptabilidad del axioma. Con esto quedan indicadas las respuestas principales a la mayor parte de las cuestiones que se pusieron sobre el tapete en aquel agitado a˜no de 1904. Queda el problema del continuo como ´ultimo elemento pendiente. Todos sabemos que el m´etodo del forcing de Cohen estableci´o la independencia de la hip´otesis de Cantor con respecto a los axiomas conjuntistas, y muchos han visto en esto la soluci´on al primer problema de Hilbert. Pero esta idea no deja de ser parad´ojica, pues el papel fundamental y b´asico que desempe˜nan los n´umeros reales contrasta con nuestra incapacidad de responder con s´ı o no a la sencilla pregunta de Cantor: ¿es todo subconjunto de Robien enumerable, o bien equipotente a R? Si consideramos que esta pregunta no admite respuesta un´ıvoca, parece que estamos dando la raz´on, a fin de cuentas, a Baire con su idea del continuo como virtualidad irreductible (ver el final de la secci´on anterior). Una vez m´as, y como advirti´oLeibnizhaceyatressiglos, el laberinto del continuo nos confunde. REFERENCIAS [1] F. Bernstein, Untersuchungen zur Mengenlehre. Tesis doctoral. G¨ottingen & Halle, 1901. [2] –¨ Uber die Reihe der transfiniten Ordnungszahlen, Math. Ann. 60 (1905), 187– 193. [3] E. Borel, Quelques remarques sur les principes de la th´eorie des ensembles, Math. Ann. 60 (1905), 194–195. [4] G. Cantor, Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts, 1932. Reimpreso en G. 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Jos´e Ferreir´os Dom´ınguez Deprtamento de Filosof´ıa y L´ogica Universidad de Sevilla C/ Camilo Jos´eCela,s/n 41018 – Sevilla Correo electr´onico: [email protected]