Agrupaciones de modelos locales con descripción externa. Aplicación a una planta de frío solar

http://www.revista-riai.org Agrupaciones de modelos locales con descripci´ on externa. Aplicaci´ on a una planta de fr´ ıo solar Manuel R. Arahal ∗Amparo N´u˜ nez-Reyes ∗Ignacio Alvarado Aldea ∗ Francisco Rodr´ıguez ∗∗ ∗Dpto. Ingenier´ ıa de Sistemas y Autom´ atica, Universidad de Sevilla, Camino de los Descubrimientos, s/n, 41092, Espa˜ na, (dt: [email protected]) ∗∗ Dpto. de Lenguajes y Computaci´ on, Universidad de Almer´ ıa, La Ca˜ nada de San Urbano, 04120, Espa˜ na. Resumen: En este art´ıculo se presenta y analiza un m´etodo de creaci´on de modelos formados por agrupaciones de submodelos locales lineales. La principal novedad es que la ponderaci´on empleada con los submodelos no es la habitual, basada en el estado o parte del mismo sino que se toman exclusivamente se˜nales instant´aneas de entrada y salida del sistema. Esta elecci´on simplifica algunos aspectos de la creaci´on del modelo, manteniendo intacta la capacidad de representaci´on, siendo ´esta comparada con otras t´ecnicas. La simplificaci´on aludida es importante pues acerca el m´etodo a la pr´actica industrial del control de procesos. La t´ecnica de identificaci´on resultante se ilustra mediante dos casos pr´acticos: un sistema simulado propuesto por Narendra y el sistema de captaci´on de una planta real de producci´on de fr´ıo a partir de energ´ıa solar. En ambos casos se muestran los errores de generalizaci´on para la predicci´on a un paso y para la simulaci´on usando gran cantidad de situaciones. Los resultados indican que es factible el uso del m´etodo propuesto como t´ecnica simplificada aplicable en la industria. Copyright c 2009 CEA. Palabras Clave: agrupaciones de modelos locales, identificaci´on, planta solar de producci´on de fr´ıo 1. INTRODUCCI ´ ON Las agrupaciones de modelos locales lineales (en adelante AMLL) aparecen por primera vez en (Johansen and Foss, 1993) como un medio para describir din´amicas no lineales mediante el uso de un conjunto de submodelos lineales. La idea del m´etodo es interpolar entre submodelos en funci´on del punto de operaci´on del sistema. La salida proporcionada por el modelo es una suma ponderada de las salidas de cada submodelo. Los pesos de ponderaci´on no son fijos sino que var´ıanenfunci´on del punto de funcionamiento. La funci´on que proporciona el valor de los pesos en cada instante es est´atica, pero no lineal, por lo que el modelo resultante tampoco lo es. Los submodelos lineales representan el comportamiento del sistema con cierta bondad en torno a un punto de funcionamiento y por ello se les llama modelos locales lineales (MLL). El modelo que resulta de la ponderaci´on de los MLL es global, queriendo con esto decir que tiene validez en todos los puntos de operaci´on. Las AMLL han sido aplicadas a procesos (Foss et al., 1995; Johansen et al., 2000; Hunt et al., 2000) utiliz´andose en la mayor´ıa de los casos la ponderaci´on de submodelos en funci´on del estado o de algunas componentes de ´este (Johansen and Foss, 1995; Murray and Johansen, 1997) (el lector interesado puede acceder a una biblioteca de funciones para MATLAB que ayudan en el dise˜no de este tipo de modelos (Johansen and Foss, 1998)). El uso de AMLL mediante descripciones externas no est´a tan extendido existiendo alg´un trabajo de corte te´orico como (Bontempi and Birattari, 2005). En este art´ıculo se mostrar´a que el uso de la descripci´on externa conforma un entorno m´as cercano a la idea de identificaci´on autom´atica, permitiendo la creaci´on de un algoritmo para ser usado en la pr´actica industrial. Otra ventaja del m´etodo propuesto es que sistematiza la selecci´on de regiones de operaci´on. La t´ecnica de identificaci´on resultante se ilustra mediante dos ejemplos, uno de ellos es un sistema propuesto por Narendra (Narendra and Parthasarathy, 1990), monovariable y simulado, el otro es el sistema de captaci´on de una planta real de producci´on de fr´ıo a partir de energ´ıa solar con una salida y varias entradas. En ambos casos la din´amica observada depende en gran medida del punto de funcionamiento por lo que demuestran la posibilidad de usar el m´etodo como t´ecnica simplificada aplicable en la industria de procesos. Existen evidentes conexiones entre las AMLL y otros medios de identificaci´on como los conjuntos borrosos. Esta cuesti´on se trata brevemente en el siguiente resumen del estado del arte. 1.1 Motivaci´ on y estado del arte Los modelos lineales son ampliamente usados en la industria debido, entre otras razones, a la facilidad de obtenci´on a partir de datos experimentales. Cuando se controla un proceso en torno a un punto de funcionamiento la aproximaci´on ofrecida por el modelo lineal puede ser suficiente para los prop´ositos pr´acticos de control. Esta elecci´on conlleva un menor tiempo de puesta en marcha del lazo de control, proporcionando adem´as resultados aceptables en muchos casos. Hay situaciones en las que las desviaciones del modelo lineal con respecto a la din´amica observada no son desde˜nables. En tales casos puede ser conveniente una mayor inversi´on en modelado, pasando del simple modelo lineal a otro tipo de modelo m´as complejo en la esperanza de poder dise˜nar mejores controladores. Una opci´on atractiva en estos casos es la de usar un ISSN: 1697-7912. Vol. 6, Núm. 1, Enero 2009, pp. 51-62 controlador basado en modelo como los controladores predictivos (CPBM) (Camacho and Bordons, 2004), en particular en entornos donde se pretende llevar a cabo la automatizaci´on total (de Prada, 2004), (Rivera, 2007), (Sarabia et al., 2006), (Rodriguez et al., 2007), (Ghraizi et al., 2007) pues los beneficios obtenibles mediante optimizaci´on justifican el gasto adicional invertido en modelado. En el camino que lleva de los modelos lineales a los que no lo son hay un primer paso que consiste en a˜nadir no linealidades est´aticas como saturaciones, zonas muertas etc. Los modelos resultantes son llamados modelos con no linealidades concentradas y tienen la ventaja de aunar la simplicidad de los modelos lineales con la validez global de los modelos obtenidos a partir de leyes fundamentales. Su campo de aplicaci´on es muy amplio, requiriendo un peque˜no esfuerzo adicional con respecto al modelado lineal. El an´alisis de este tipo de modelos ha dado lugar a numerosos estudios (Alamo et al., 2006) que proporcionan fundamentos te´oricos s´olidos para su aplicaci´on. La principal desventaja es que son modelos poco flexibles en el sentido de que no son capaces de acomodar distintas din´amicas como tiempos caracter´ısticos de respuesta, tiempos muertos, etc. en funci´on del punto de operaci´on. El siguiente paso en complejidad son las AMLL. Su funcionamiento consiste en combinar las salidas de varios submodelos lineales locales. Estas agrupaciones de submodelos dan lugar a modelos globales, es decir, con validez en un espacio de trabajo amplio, no s´olo en torno a un punto de trabajo particular. Adem´as el modelo resultante es no lineal pues la combinaci´on de los submodelos lineales se basa en funciones de ponderaci´on que no son lineales. Los modelos que integran la agrupaci´on son obtenidos mediante identificaci´on en torno a puntos de trabajo; es decir, cada modelo es local pues constituye una aproximaci´on adecuada en torno a un punto de trabajo particular. De este modo las t´ecnicas de selecci´on e identificaci´on para modelos lineales pueden aplicarse por lo que el incremento de complejidad pr´actico no es elevado, de hecho se incrementa linealmente con el n´umero de submodelos. Adem´as, el orden de los submodelos lineales afecta de una manera suave a los requisitos pr´acticos de la identificaci´on (excitaci´on y n´umero de datos) y no se produce la temida explosi´on dimensional (Bellman, 1957) que afecta a las series de funciones como por ejemplo las redes de neuronas de una capa oculta (Moody and Darken, 1989). Finalmente es de se˜nalar que el modelo global resultante admite hasta cierto punto un an´alisis frecuencial. An´alisis que puede obtenerse de manera m´as simple que en el caso de modelos con no linealidades concentradas y much´ısimo m´as que en el caso de redes de neuronas. La formulaci´on presentada en este art´ıculo consiste en agrupaciones de submodelos que usan la descripci´on externa del sistema y que usan exclusivamente valores instant´aneos de entrada y de salida. En el apartado siguiente, se presentan las ideas de los MLL que sirven de base para dise˜nar un algoritmo de creaci´on de AMLL mostrado en el punto tercero. Este algoritmoom´etodo sistem´atico requiere ´unicamente datos medidos experimentalmente del sistema aunque permite igualmente la incorporaci´on de conocimiento previo. Se mostrar´aadem´as que las capacidades representativas de las AMLL son superiores a las de los modelos con no linealidades concentradas y similares a las de las redes de neuronas artificiales y los modelos borrosos. En el punto cuarto se presentan resultados pr´acticos obtenidos al aplicar el algoritmo a dos plantas. 2. AMLL EN EL ESPACIO DE ENTRADA-SALIDA Los modelos locales usados habitualmente consisten en descripciones internas. Este tipo de descripci´on no siempre es de f´acil utilizaci´on debido a la posible existencia de componentes del estado no medibles. En este trabajo se utilizan exclusivamente las se˜nales de entrada y de salida, las cuales se suponen accesibles. Se persigue de este modo poner a disposici´on de la pr´actica industrial un algoritmo capaz de proporcionar modelos de sistemas con posible comportamiento no lineal a partir de datos obtenidos de ensayos experimentales. A fin de presentar el m´etodo se considera un sistema monovariable que exhibe un comportamiento alejado de la linealidad cuya entrada es una se˜nal escalar uΣy la salida es otra se˜nal escalar yΣ. No existe problema alguno para extender los resultados al caso de m´ultiples entradas y salidas aparte del aumento de complejidad de la notaci´on. Para cada punto de funcionamiento dado por el par z=(uf Σ,yf Σ)se va a considerar un modelo de entrada salida en las variables y=yΣ−yf Σy u=uΣ−uf Σque representan variaciones en torno al punto de funcionamiento. Se est´a suponiendo aqu´ı que para una entrada dada uf Σexiste un ´unico valor de r´egimen permanente yf Σtal que |yf Σ|<∞, los casos en que esto no se cumple son los comportamiento integradores y con hist´eresis y se tratar´an en el punto tercero. Como modelo correspondiente al punto de funcionamiento se propone una expresi´on de tiempo discreto en la forma: y(k)=mt(k−1)θ(1) que contiene un vector de medidas m(k−1) = (y(k− 1),···y(k−na),u(k−d−1) ···u(k−d−nb))t, donde d representa el retardo puro en ese punto de funcionamiento y θ=(a1,··· ,a na,b 1,··· ,b nb)tun vector de par´ametros que contiene los coeficientes ai∈IR i∈{1,···,na}ybj∈IR , j∈{1,··· ,nb}del modelo de ´ordenes na ∈IN ynb ∈IN . Si se enumeran los puntos de funcionamiento mediante pvariando en [1,np]se tiene que cada modelo local corresponde a un valor del ´ındice p. De este modo la ecuaci´on (1) puede particularizarse para cada punto de funcionamiento. A fin de marcar la diferencia entre la salida del sistema y la salida de cada modelo se denotar´aa´estas mediante ˆyp. La predicci´on a un paso dada por cada submodelo queda descrita mediante ˆyp(k)=mt p(k−1)θp,p=1,···,np (2) Obs´ervese que se contempla la posibilidad de que cada submodelo local tenga retardos dpy´ordenes napynbpdiferentes a los otros submodelos. El caso m´as simple consiste en que nap=nbp=1∀p. Este caso corresponde a usar modelos locales lineales de primer orden m´as tiempo muerto. Como es sabido este tipo de modelos son habitualmente usados en la pr´actica industrial entre otros motivos por la sencillez de identificaci´on usando la curva de reacci´on (Camacho and Bordons, 2004). Para este caso simple se tiene adem´as que los distintos vectores mppara p=1,··· ,npcolapsan en el mismo vector m(k−1) = (y(k−1),u(k−1−d))t. La ecuaci´on (2) puede usarse para realizar la predicci´on local aunpasoydeestemodoobtenerˆyΣ,p(k)=ˆyp(k)+yf Σ,p. Por otra parte, la predicci´on a un paso para el modelo global se 52 Agrupaciones de Modelos Locales con Descripción Externa. Aplicación a una Planta de Frío Sola r denota mediante ˆyΣy se obtiene como media ponderada de las predicciones locales, de manera que ˆyΣ(k)= np  p=1 ωpˆyΣp(k)(3) Los pesos de ponderaci´on ωpse calculan a partir del punto de operaci´on usando unas funciones de pertenencia (n´otese la analog´ıa con los conjuntos borrosos). Las funciones de pertenencia ρ(z)se eval´uan en el espacio (Z)de los puntos de funcionamiento z=(uf Σ,yf Σ)seg´un la expresi´on: ρ(z)= nz  j=1 σj(z)(4) siendo σ(z)una funci´on meseta que vale uno si zest´aenel interior de un conjunto Rque contiene al punto de funcionamiento zfy que cae suavemente al valor cero a medida que z se aleja de dicha regi´on. En notaci´on matem´atica se tiene que σj(z)=1,si z<z j< z ψ(zj−z),si zj<z ψ(zj−z),si zj> z (5) siendo z=zf−Δj,z=zf+Δ j.Eltama˜no de la meseta en la cual la funci´on σvale uno viene dado por 2Δj. La funci´on ψ(x)=e−βx2cae suavemente hacia cero con una pendiente que depende del par´ametro β. A partir de las funciones de pertenencia para cada punto de operaci´on se obtienen los pesos de ponderaci´on ωpsimplemente normalizando las funciones de pertenencia mediante ωp(z)= ρp(z) np h=1 ρh(z)(6) de este modo se cumple que ωp(z)<1para todo zypara todo p=1,··· ,np,adem´as la suma de las funciones de ponderaci´on vale np p=1 ωp(z)=1para todo z. Una vez obtenidos los par´ametros de los submodelos mediante identificaci´on en torno a cada punto de operaci´on considerado, se puede utilizar las ecuaciones (1)-(6) para obtener la predicci´on a un paso ˆyΣ(k).Obs´ervese que basta con conocer la entrada y la salida de la planta en algunos instantes anteriores dependiendo de los ´ordenes nap,nbpy los retardos puros dp. Debido a la elecci´on de la funci´on de ponderaci´on la salida de cada submodelo ptiene un peso mayor sobre una regi´on del espacio Rp⊂Zpr´oxima al punto de operaci´on zf p. La predicci´on multipaso con horizonte Himplica obtener las predicciones del modelo global ˆyΣ(k+j)con j=1hasta j=Husando las predicciones anteriores en lugar de los valores futuros, y por tanto desconocidos, de y. 3. ALGORITMO DE CREACI ´ ON DE AMLL A continuaci´on se presenta el algoritmo propuesto para la creaci´on de AMLL. La versi´on que se muestra contempla el caso m´as general posible que es el que requiere menor intervenci´on por parte del usuario. Hay que tener presente que algunos de los pasos del algoritmo pueden realizarse de forma diferente a la indicada si se dispone de informaci´on previa. Surgen de este modo atajos que pueden ahorrar tiempo al usuario y que permiten adem´as la incorporaci´on de conocimiento a priori. 3.1 Algoritmo b´ asico Se supone que se dispone de un conjunto de medidas realizadas sobre el sistema que se quiere modelar. Sean estas medidas los puntos (uΣ(t),y Σ(t)) con t=1,··· ,nm. Aunque resulte obvio conviene recordar que es preciso asegurarse de que el n´umero de medidas nm es suficientemente alto comparado con el n´umero de par´ametros que se van a identificar. En un apartado posterior se discutir´a la influencia de las se˜nales de entrada aplicadas al sistema. En particular interesa realizar un tratamiento de las mismas para eliminar falsas medidas, para acondicionar la media y varianza de las distintas se˜nales, etc. Una vez satisfechos estos requisitos se puede utilizar el algoritmo que consta de los siguientes pasos: Definir el espacio de los puntos de funcionamiento. En el caso simplificado que se est´a presentando z=(y,u). En el caso de sistemas multivariable con ne entradas y ns salidas es preciso construir ns modelos de una sola salida teniendo cada uno de ellos un espacio zj(k)= (yj,u 1,···une),paraj=1,··· ,ns. Decidir el n´umero de puntos de operaci´on np. Fijar los valores correspondientes a los puntos de operaci´on y sus regiones asociadas. De este modo se obtienen zf p=(uf p,yf p)para p=1,··· ,np. Es interesante hacer notar que los puntos zf pdeben caer sobre la caracter´ıstica est´atica ye=f(ue)del sistema. Construir las funciones de pertenencia. Estas funciones tendr´an la forma general dada por la ecuaci´on (4). Los detalles particulares dependen de la forma en que se dividan las regiones del espacio Z. Por ahora se va a indicar un m´etodo simple dejando para m´as adelante las posibles variaciones. La divisi´on en regiones se realiza indicando para cada una un centro y la anchura de la regi´on asociada (par´ametros Δde las funciones σ). Conviene definir las siguientes variables auxiliares: •Anchura de las regiones. A partir de la localizaci´on de los centros se pueden obtener los incrementos posibles Δu,p yΔy,p aceptables para cada regi´on asociada a cada punto de operaci´on. Una vez hecho esto la regi´on puede representarse mediante la caja [uf p−Δu,p,u f p+Δ u,p]×[yf p−Δy,p,yf p+Δ y,p] •Par´ametro β.Estepar´ametro permite que la funci´on de pertenencia decrezca con mayor o menor rapidez a medida que el punto de trabajo se aleja del pun- to considerado para derivar el submodelo local. Es conveniente que exista cierto solape entre funciones de pertenencia de regiones adyacentes pues de este modo se consigue una interpolaci´on suave entre modelos. Fijar los ´ordenes de los submodelos locales. Calcular los retardos para cada submodelo. La forma m´as adecuada consiste en realizar experimentos especiales destinados a obtener estos valores como por ejemplo ensayos en escal´on. En algunos casos los retrasos debidos al transporte pueden ser estimados mediante consideraciones f´ısicas calculando el tiempo de residencia de fluidos. En ´ultimo lugar, esta tarea puede realizarse a partir de los datos usando t´ecnicas de correlaci´on. Sea cual sea el m´etodo empleado el resultado de este paso es el conjunto de retardos para cada modelo local dp. Identificar los submodelos locales obteniendo los vectores de par´ametros θpcorrespondientes a cada submodelo. M. R. Arahal, A. Núñez-Reyes, I. Alvarado, F. Rodríguez 53 Mediante este algoritmo quedan fijados todos los par´ametros de la AMLL. Por otra parte el algoritmo necesita ciertos valores que el usuario debe proporcionar. Estos valores son llamados hiperpar´ametros o par´ametros del algoritmo como np yβ.El resto de valores pueden obtenerse a partir de los datos aunque tambi´en existe la posibilidad de que el usuario desee fijar alguno de ellos como se comenta a continuaci´on. 3.2 Variantes del algoritmo Ya se indic´o anteriormente que el algoritmo admite variaciones en algunos de sus pasos incluyendo entre ´estas la posibilidad de usar atajos. Se van a comentar en este punto algunas de las m´as interesantes. N´umero de puntos de funcionamiento. En lugar de fijar np es posible determinar el error m´aximo admisible para el modelo global y a partir de ah´ı obtener np mediante aproximaciones sucesivas. Esto es posible en cualquier dispositivo de c´alculo num´erico actual. Es conveniente tener en cuenta que dadas unas medidas y un valor de np el error t´ıpico obtenido en la predicci´on con un modelo formado por agrupaci´on de MLL es (np). La funci´on (np)decrece siempre a medida que np aumenta. Por este motivo es preciso fijar un l´ımite al n´umero de modelos locales. Alternativamente es posible utilizar un conjunto de medidas no usadas por el algoritmo y contrastar el error obtenido por el modelo con este nuevo conjunto con el previsto por (np). Este procedimiento habitual en el entrenamiento de redes de neuronas es una forma simple de validaci´on (Reed and Marks, 1998). Selecci´on de regiones. La forma habitualmente usada en identificaci´on neuronal y borrosa consiste en la partici´on del espacio en regiones. Esta forma de proceder conlleva un n´umero excesivamente alto de regiones pues algunas de las particiones nunca son visitadas en la evoluci´on de la planta. Con respecto a este problema ha de tenerse en cuenta que la formulaci´on externa conlleva una disminuci´on de la dimensi´on del espacio a dividir, lo cual es una ventaja considerable. El algoritmo presentado es la m´as simple de varias opciones posibles. Consiste en dividir el intervalo de variaci´on de la se˜nal de entrada en segmentos similares, calcular el valor de r´egimen permanente de la salida que le corresponde a cada extremo del segmento y considerar las regiones resultantes. Cabe indicar que, debido a que la ganancia est´atica del sistema no es necesariamente constante en el espacio de trabajo, el procedimiento indicado puede dar lugar a regiones muy disimilares. Esto da lugar a la primera variante que pretende dividir m´as finamente las zonas en las que la ganancia est´atica var´ıa m´as acusadamente. Una forma de solucionar el problema consiste en dividir directamente la caracter´ıstica est´atica en np regiones similares del espacio Z, asignando los centros de tales regiones a los valores zf p. Esta variante reduce adem´as en cierta medida el problema de considerar regiones en las que nunca hay muestras. En efecto, al disponer las regiones sobre la caracter´ıstica est´aticaseest´a favoreciendo las regiones donde hay m´as densidad de muestras. El problema sin embargo no desaparece del todo y queda abierta la puerta a nuevas mejoras. En particular, las t´ecnicas de agrupamiento permiten seleccionar un n´umero predeterminado np de puntos del espacio Ztales que representen la distribuci´on observada en las medidas (Principe et al., 1998). Estos puntos seleccionados pueden utilizarse como puntos de funcionamiento zf p,ladivisi´on en regiones se lleva a cabo posteriormente por crecimiento de regiones de Voronoi (Fritzke, 1994) tomando como centros los puntos de funcionamiento. La figura 1 ilustra los tres procedimientos considerados. Se ha utilizado como ejemplo un hipot´etico sistema din´amico de una entrada y una salida. En cada gr´afica el eje horizontal corresponde a la entrada (e) y el eje vertical a la salida (s). Se ha trazado con l´ınea discontinua la caracter´ıstica est´atica obtenida de observaciones experimentales. Para cada m´etodo de selecci´on de regiones se muestra la frontera de cada regi´on. Dicha frontera se ha calculado de forma que la zona interior produzca un valor mayor o igual al 90 % para la funci´on de pertenencia. De arriba a abajo se tienen los resultados obtenidos por divisi´on homog´enea, por divisi´on basada en la caracter´ıstica est´atica y mediante regiones de Voronoi obtenidas por t´ecnicas de agrupamiento y realizadas mediante politopos. T´engase en cuenta que al n´umero de regiones mostrado no es indicativo de los m´eritos relativos de cada m´etodo. En general cabe esperar que los m´etodos m´as elaborados produzcan menor n´umero de regiones proporcionando la misma capacidad de representaci´on, pues eviten las zonas no visitadas del espacio Z. En el ejemplo mostrado no se aprecia bien este hecho pues se trata de un caso con dimensi´on m´ımima. Forma de las regiones. En el algoritmo se ha considerado que las regiones son cajas en el espacio de puntos de funcionamiento. No existe ninguna restricci´on para considerar otro tipo de forma para las regiones, como elipsoides o politopos. Tales regiones vendr´ıan descritas por (z− zf)TM(z−zf)n<Δsiendo nel ´ındice de la norma utilizada n∈[1,∞)yMuna matriz de transformaci´on definida positiva. Funciones de ponderaci´on. El valor de βafecta a la forma de la funci´on de pertenencia. Interesa que las funciones de pertenencia correspondientes a regiones adyacentes tengan cierto grado de solape. Solamente de este modo es posible producir ponderaciones de los submodelos locales que por un lado tengan en cuenta el punto de operaci´on y por otro lado consigan un cambio suave de las contribuciones de cada submodelo a medida que el punto de funcionamiento var´ıa. Los resultados obtenidos por el algoritmo no cambian significativamente siempre y cuando los valores fijados para βno se acerquen a valores extremos que den como resultado regiones que no solapan o que solapan totalmente. Identificaci´on. La identificaci´on de los submodelos locales puede llevarse a cabo utilizando cualquiera de las t´ecnicas que se emplean normalmente en aplicaciones industriales: curva de reacci´on ante escal´on o impulso, m´ınimos cuadrados, o estad´ısticamente m´as elaborados como la identificaci´on con regularizadores (Tikhonov and Arsenin, 1977). De hecho cada uno de los modelos locales puede dise˜narse con criterios distintos y luego agruparse con los dem´as en la forma ya indicada. Otra posibilidad consiste en la identificaci´on simult´anea de todos los par´ametros de los modelos de forma similar a los sistemas neuroborrosos. 54 Agrupaciones de Modelos Locales con Descripción Externa. Aplicación a una Planta de Frío Sola r ´ Ordenes de los modelos locales. Estos ´ordenes pueden fijarse de varios modos: si se dispone de conocimiento a priori es conveniente utilizarlo, por ejemplo, en la industria de procesos es frecuente que la din´amica se pueda describir mediante un modelo de primer orden m´as retardo. En un caso general la mejor opci´on es realizar la selecci´on de ´ordenes al mismo tiempo que la identificaci´on usando para ello un criterio como el AIC de Akaike (Akaike, 1974). En cualquier caso es aconsejable fijar un valor m´aximo om´ ax para los ´ordenes para evitar en lo posible problemas de sobreparametrizaci´on. Este l´ımite se convierte entonces en un nuevo hiperpar´ametro del algoritmo. e s e s e s Figura 1. Resultados t´ıpicos al aplicar diversos m´etodos de selecci´on de regiones a un sistema de una entrada y una salida. 3.3 Capacidad de representaci´ on de las AMLL Resulta interesante comparar las capacidades representativas de las AMLL frente a otro tipo de modelos. Modelos con no linealidades concentradas Los modelos de Hammerstein, de Wiener y de Volterra son casos particulares de estos modelos de no linealidades concentradas, los cuales se componen de bloques lineales unidos a no linealidades concentradas en determinados puntos del modelo (entrada, salida, realimentaci´on) y es com´un que puedan caracterizarse por funciones lineales a trozos. Por ello conviene analizar cada tipo de no linealidad de forma separada. Zona muerta La zona muerta se representa f´acilmente mediante un punto de operaci´on cuyo modelo asociado tiene ganancia nula. La amplitud de la zona muerta se hace corresponder con la extensi´on en el eje zude la regi´on asociada al modelo. Surge el problema de calcular la extensi´on seg´un el eje zyde dicha regi´on.Porunladolasalidaenr´egimen permanente vale cero para valores de la entrada dentro de la zona muerta, este valor sin embargo conducir´ıa a Δy,p =0y a una regi´on con volumen cero lo cual producir´ıa una ponderaci´on nula. Es preciso modificar el algoritmo de construcci´on de modelos para tener en cuenta este caso de forma separada y proporcionar un valor adecuado para Δy,p, por ejemplo Δy,p = 0,5(m´ax(y)−m´ın(y)). Saturaci´ on La saturaci´on se representa tambi´en con facilidad si se escogen las regiones de modo que el valor de uque marca el comienzo de la saturaci´on sea el punto de separaci´on entre dos submodelos locales, uno de ellos previo a la saturaci´on es un submodelo normal mientras que el otro tiene una regi´on asociada infinita (no acotada por uno de los extremos) y representable por un modelo con ganancia nula. Es preciso nuevamente elegir un valor de Δy,p =0para evitar que la regi´on tenga un volumen nulo. Para tratar adecuadamente las regiones infinitas es preciso modificar la forma de las funciones de pertenencia de modo que contemplen condiciones asim´etricas por encima o por debajo del punto de operaci´on. Cambios de pendiente Si la no linealidad se representa mediante una funci´on lineal a trozos con cambios bruscos de pendiente es posible obtener un submodelo lineal local cuya regi´on asociada coincida con cada uno de los trozos lineales. De este modo la agrupaci´on de modelos locales puede representar con bastante exactitud modelos de este tipo. Es conveniente sin embargo modificar las funciones de pertenencia para que el cambio entre modelos sea abrupto, reflejando de este modo el cambio abrupto de pendiente. Para ello el solape entre regiones ha de tener un valor nulo lo cual se consigue con un valor de β infinito. Transformaciones de Volterra Los modelos de Volterra usan no linealidades en la entrada (Gruber and Bordons, 2007). Es habitual que estas no linealidades sean funciones polin´omicas como productos de variables, cuadrados, cubos, ra´ıces cuadradas y sus combinaciones lineales. En ambos casos el tipo de no linealidad y su situaci´on (entrada, salida, realimentaci´on) viene sugerido por el conocimiento de los procesos que tienen lugar en la planta. Por ejemplo si se sabe que la salida ydepende del cuadrado de la entrada entonces conviene introducir u2 como variable de entrada del modelo. Este tipo de modelos pueden reproducirse mediante AMLL utilizando submodelos lineales en los par´ametros, como los representados por la ecuaci´on (1), e incorporando en el vector regresor mvariables que son valores pasados de la entrada y la salida y tambi´en productos de ellos como por ejemplo y(k− 1) ·u(k−1),(u(k−3))2,etc. Hist´ eresis Para poder representar correctamente los sistemas con hist´eresis es preciso usar una variable wque indique cual de las varias ramas marca la evoluci´on del sistema en un instante dado. Esta variable que depende de la historia pasada de la planta ha de ser identificada convenientemente mediante experimentos dise˜nados a tal efecto. La variaci´on de esta variable puede expresarse mediante condiciones del tipo: w(k)=w(k−1),si H(x(k−1)) = 0 H(x(k−1)),en caso contrario siendo la funci´on H discontinua dependiendo de un vector x que contiene un n´umero de valores pasados de ueyadecuado. La hist´eresis m´as simple queda descrita de este modo utilizando la variable x=yy la funci´on M. R. Arahal, A. Núñez-Reyes, I. Alvarado, F. Rodríguez 55 H(x)=+1 si x>y m´ax −1si x<y m´ın 0en caso contrario Una vez obtenida, la variable wpuede incorporarse al vector que define el punto de operaci´on de modo que z(k)= (u(k),y(k),w(k)). Conviene adem´as modificar las funciones de pertenencia para dar cabida a regiones infinitas. Para ello basta con considerar condiciones asim´etricas por encima o por debajo del punto de operaci´on. Gracias a la inclusi´on de la variable wlos modelos locales se pueden desarrollar de forma independiente para cada una de las ramas de la hist´eresis. Aproximadores est´ aticos Las representaciones neuronales est´aticas y las proporcionadas por los conjuntos borrosos son equivalentes y por tanto pueden considerarse como dos formas distintas de formular y usar una clase superior dada por series truncadas de funciones base. Desde este punto de vista existen semejanzas entre las AMLL y dichas series que conviene analizar. La diferencia fundamental estriba en que las AMLL combinan la salida de elementos din´amicos como son los submodelos locales, mientras que las representaciones neuronales y borrosas se obtienen como combinaci´on de elementos est´aticos actuando sobre el estado o sobre un vector de entrada que permite reconstruir la din´amica (Weigend and Gershenfeld, 1994). Las series utilizan el mismo vector de entrada para realizar dos funciones diferentes: como regresor y como vector que define el punto de funcionamiento. Esta diferencia no es balad´ı pues el vector de entrada, como regresor que es, debe acomodar na +nb se˜nales. Este n´umero es la dimensi´on del espacio que se divide en regiones lo cual conduce a un n´umero potencial de regiones muy alto lo cual hace necesario introducir mecanismos simplificadores para la creaci´on de funciones de pertenencia en los conjuntos borrosos y de selecci´on de bases en las redes de neuronas. Las ventajas de las AMLL son varias: en primer lugar una may- or sencillez de uso pues incorporan muy pocas modificaciones al caso del modelado lineal ejemplificado por el modelo de primer orden m´as tiempo muerto obtenido a partir de la curva de reacci´on. Como consecuencia de lo anterior las AMLL plantean menores requisitos en t´erminos de cantidad de datos necesarios. La posibilidad de incorporar con facilidad conocimiento a priori sobre la planta es otra gran ventaja, conviene resaltar que este conocimiento a priori en un ambiente industrial puede referirse a ganancias, tiempos de respuesta, tipos de amortiguaci´on de la respuesta, etc. que son f´acilmente interpretables en t´erminos de los par´ametros de los MLL. Adem´as de estas ventajas obvias las AMLL sobresalen en un aspecto: su capacidad para utilizar submodelos de distintos ´ ordenes y retardos para cada punto de funcionamiento. El paradigma neuronal/borroso en estos casos postula la necesidad de incluir como entradas potenciales del modelo todos los valores pasados que puedan ser necesarios para todos los puntos de funcionamiento. En el caso de plantas que exhiben cambios en la din´amica (retardos, tiempos caracter´ısticos, etc.) se necesita que el vector de entrada del sistema neuronal o borroso tenga m´as de na +nb variables. Para justificar esta afirmaci´on baste pensar en un modelo que deba tener en cuenta unretardovariableentre1y5periodos de muestreo, las se˜nales a tener en cuenta en tal caso son na +nb +4.Eln´umero de par´ametros ajustables es proporcional al producto del n´umero de entradas por el n´umero de bases (Yuan and Fine, 1998), por lo que dicho n´umero resulta ser tambi´en elevado y de ah´ıla necesidad de un gran n´umero de datos para el entrenamiento. En el caso de las AMLL cada submodelo local puede ser tan simple como la situaci´on permita, utilizando ´ordenes y retardos propios, de este modo la agrupaci´on no se complica innecesariamente. Adem´as cada submodelo puede identificarse de forma separada utilizando una cantidad de datos moderada. La comparaci´on no ser´ıa justa si no se indicasen algunas desventajas de las AMLL. Es por ello preciso indicar que en situaciones donde la abundancia de datos no es un problema, las AMLL producen resultados inferiores a los aproximadores neuronales y borrosos. Esto es debido a que los grados de libertad que ponen a disposici´on del usuario son usualmente y conscientemente desaprovechados: por un lado para intentar escapar del fen´omeno de la sobreparametrizaci´on y por otro para facilitar la inclusi´on de conocimiento a priori y mantener cierta relaci´on entre los par´ametros ajustables y caracter´ısticas de la planta como retardos, ganancias, etc. Los sistemas con aprendizaje por su parte prescinden de mantener dicha relaci´on y optimizan durante el entrenamiento todos los par´ametros ajustables de forma que se produzca un mejor acuerdo entre observaciones y las salidas del modelo en el conjunto de entrenamiento. Redes recurrentes Las redes de neuronas artificiales que contienen lazos internos de realimentaci´on son sistemas din´amicos en s´ı mismos. Por este motivo la capacidad para representar din´amica es excelente y no sufren los inconvenientes citados en el punto anterior para las redes ac´ıclicas (est´aticas). La gran flexibilidad que poseen para representar din´amicas diversas es sin duda superior a la de cualquiera de los m´etodos anteriormente descritos, incluyendo las AMLL. Pero no todo son ventajas, como inconvenientes cabe citar que el entrenamiento requiere una mayor cantidad de datos y que no es f´acil incorporar conocimiento a prior´ıstico como: valores conocidos de ganancias, tiempos de residencia, constantes de tiempos, etc. 3.4 Consideraciones pr´ acticas A la hora de utilizar el algoritmo de identificaci´on propuesto es preciso tener en cuenta algunos factores que pueden tener gran influencia en el resultado. Integradores. Si se sospecha que la din´ amica que liga uey contiene integradores puros en serie con el bloque que contiene la din´amica no lineal conviene eliminarlos en primer lugar. Para ello basta con tomar como salida la se˜nal dvy dt en lugar de y, siendo vel n´umero de integradores puros colocados en serie. Retardos puros. Los retardos puros son tenidos en cuenta por los modelos locales lineales, pero han de ser identificados previamente. Existe la posibilidad de usar el algoritmo repetidamente variando en cada prueba el retardo puro y seleccionando el valor que proporciona mejores resultados. Esta pr´actica no se recomienda pues puede dar lugar a que se obtengan modelos demasiado ajustados a unos datos concretos y con escasa capacidad de generalizaci´on. Modelos multivariables. Los modelos multivariables pueden agruparse del mismo modo que los que constan de una sola entrada y una sola salida. La mayor complejidad proviene de la gesti´on de las regiones de operaci´on cuyo n´umero se 56 Agrupaciones de Modelos Locales con Descripción Externa. Aplicación a una Planta de Frío Sola r multiplica al incrementarse la dimensi´on de los espacios de entrada y/o salida. Para evitar que el n´umero de regiones de operaci´on sea excesivo se puede utilizar un algoritmo de agrupamiento. Este algoritmo proporciona los centros de las regiones a partir de datos tomados de la planta. Estos centros se sit´uan cerca de los datos observados, de forma que las zonas sin datos no reciben ning´un centro. De este modo se reduce bastante el n´umero de regiones. Selecci´ on de ´ ordenes. El criterio de Akaike permite seleccionar autom´aticamente los ´ordenes de los MLL a partir de datos observados de la planta. Es conveniente sin embargo poner l´ımite superior a los ´ordenes pues la selecci´on hecha por el algoritmo que usa el criterio de Akaike depende de los datos suministrados. En ocasiones estos datos son poco variados por lo que el criterio se ve empujado a seleccionar ´ordenes altos para ajustarse a la realizaci´on particular del ruido presente en dichos datos. Sobreparametrizaci´ on. Adem´as de los ´ordenes de los MLL es preciso tener en cuenta el n´umero de modelos que forman la agrupaci´on. Un gran n´umero de modelos puede dar como resultado una agrupaci´on sobreparametrizada cuya capacidad de generalizaci´on es pobre a pesar de que representa bien el comportamiento de la planta con los datos usados para identificar. Excitaci´ on de las se˜ nales. El desarrollo de los modelos agregados conlleva una identificaci´on en torno a un punto de trabajo para cada submodelo local. Esta identificaci´on utiliza datos obtenidos, en el mejor de los casos, en bucle abierto con una se˜nal suficientemente excitadora. El contenido en frecuencia de esta se˜nal afecta a los resultados obtenidos en la identificaci´on. De este hecho se derivan dos problemas potenciales: el primero consiste en garantizar que la excitaci´on es suficiente para los submodelos locales, el segundo surge en el uso posterior de los modelos que puede producirse en situaciones distintas, posiblemente en bucle cerrado, por lo que se ven sometidos a se˜nales de un contenido en frecuencia diferente. Regularizaci´ on. La regularizaci´on es una forma de introducir un sesgo en la identificaci´on. Frecuentemente se utiliza como una forma de evitar la sobreparametrizaci´on penalizando la complejidad de los modelos (Reed and Marks, 1998). En el contexto del control de procesos industriales la regularizaci´on puede tambi´en usarse para obtener modelos que proporcionan buenos resultados en la predicci´on multipaso oensimulaci´on. T´engase en cuenta que la t´ecnica habitual de identificaci´on consiste en seleccionar los par´ametros que minimizan el error a un paso. Este error en muchos casos es minimizado dando gran peso al t´ermino autorregresivo. Esto ocurre por ejemplo cuando los datos tienen poca variabilidad, o cuando el tiempo de muestreo es bajo respecto a los tiempos caracter´ısticos de la planta. Como consecuencia los modelos resultantes pueden ser poco adecuados para la predicci´on multipaso. En tales casos la adici´on de t´erminos regularizadores permite obtener submodelos m´as adecuados al uso posterior. Alternativamente se puede presentar este problema como un prefiltrado de los datos con relevancia para control (Rivera et al., 1992), (Schwartz and Rivera, 2006). Estas consideraciones han sido tenidas en cuenta a la hora de realizar las aplicaciones del m´etodo de creaci´on de AMLL que se muestran a continuaci´on. 4. CASOS PR ´ ACTICOS A fin de ilustrar la aplicaci´on del m´etodo propuesto y de analizar los resultados que produce se han seleccionado dos casos pr´acticos: un sistema simulado mediante una ecuaci´on en diferencias y el sistema de captaci´on de una planta real de producci´on de fr´ıo a partir de energ´ıa solar. Estos dos ejemplos prueban la posibilidad de usar el m´etodo como t´ecnica simplificada aplicable en la industria. 4.1 Planta de Narendra La llamada planta de Narendra ha sido usada como banco de pruebas de m´etodos de identificaci´on y control desde su publicaci´on en (Narendra and Parthasarathy, 1990). La din´amica es determinista y marcadamente alejada del caso lineal y viene dada por yk+1 =ykyk−1yk−2uk−1(yk−2−1) + uk 1+y2 k−1+y2 k−2 (7) donde yrepresenta la salida del sistema y ula entrada. Como ilustraci´on del comportamiento no lineal de esta planta v´ease la figura 2 que muestra la respuesta de la planta ante cambios en escal´on en la entrada. Puede observarse que de un punto de funcionamiento a otro hay cambios en la ganancia est´atica, en la rapidez de la respuesta y en la amortiguaci´on de la misma. 20 40 60 80 100 120 140 160 180 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 muestras u, y u y Figura 2. Entrada y salida de la planta de Narendra para un experimento en bucle abierto en el que se visitan distintos puntos de funcionamiento. Se˜ nales de entrada Se utilizan se˜nales del tipo u(t)= Aidsen(ωidt)una onda sinusoidal con una amplitud y frecuencia dada por la pareja (Aid,ωid). Un experimento de identificaci´on consistir´a en someter al sistema a varias se˜nales de este tipo tomando las parejas (Aid,ωid)mediante muestreo aleatorio con reemplazamiento del intervalo [0,1] ×[0,20].De este modo se asegura el barrido en frecuencia y amplitud que permite cubrir las posibles zonas de trabajo. Puntos de operaci´ on y regiones Para las pruebas se utiliza el algoritmo b´asico siendo el espacio de los puntos de funcionamiento es z=(u, y). Se va a considerar un n´umero np variable a fin de mostrar su efecto sobre el modelo obtenido. A partir de un np dado se emplear´aelm´etodo de selecci´on de M. R. Arahal, A. Núñez-Reyes, I. Alvarado, F. Rodríguez 57 regiones m´as simple posible consistente en la divisi´on a partir de la caracter´ıstica est´atica. A fin de ilustrar el proceso, en la figura 3 se muestra la superficie de ρm´ax(z)=m´ax ρi(z). Las mesetas que se observan corresponden a las regiones asociadas Rpde cada punto de operaci´on. Dichos puntos coinciden con los centros de las mesetas y se sit´uan sobre la caracter´ıstica est´atica de la planta. −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 0 0.5 1 y u max ρ −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 0 0.5 1 y u max ρ Figura 3. Superficie correspondientes a ρm´ax(z)obtenidas por el algoritmo de creaci´on de AMLL para np =3ynp =7 en la planta de Narendra. Identificaci´ on Por un procedimiento simple de m´ınimos cuadrados y utilizando datos obtenidos de la simulaci´on de la planta mediante la ecuaci´on (7) se obtienen modelos locales para distintos puntos de operaci´on. En cada caso los datos proporcionados se dividen en dos conjuntos: de entrenamiento (CE) y de prueba (CP). Se ha tomado d=0ynp variable a fin de estudiar la influencia de este hiperpar´ametro. Los valores na ynb que definen los ´ordenes de los submodelos se han estimado a partir de los datos usando el criterio de Akaike, aunque se ha impuesto la limitaci´on de un orden m´aximo (om´ ax). Resultados Para cada pareja de hiperpar´ametros (np,om´ ax) el algoritmo ha dado como resultado una colecci´on de MLL. A fin de poner a prueba la validez de la AMLL resultante se ha medido el error de generalizaci´on en la predicci´onaunpasoy en simulaci´on. Este error es la media cuadr´atica de los errores obtenidos en un conjunto de datos no usado previamente. La diferencia entre error de predicci´on y simulaci´on es que en el primer caso se usan las medidas reales de la salida disponibles hasta k−1para producir la predicci´on para el instante k.En el caso de la simulaci´on solamente se usan los valores iniciales de la salida, de manera que las sucesivas predicciones se van apoyando en predicciones pasadas. El conjunto de datos no utilizados previamente se ha seleccionado de forma que se visitan amplias zonas del espacio de trabajo y en particular zonas diferentes a las usadas en la identificaci´on. En la gr´afica superior de la figura 4 se muestra el error en la predicci´on a un paso. Puede verse que el menor error se obtiene para modelos generados por el algoritmo al utilizar om´ ax=3. En la parte inferior se muestra el error en simulaci´on. En este caso el fen´omeno de sobreparametrizaci´on se hace patente pues a partir de np =13las AMLL que usan modelos de orden mayor producen un error mayor. 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 0.022 Puntos de operación Error AMLL a un paso omáx=2 omáx=3 omáx=4 omáx=5 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 Puntos de operación Error AMLL simulación omáx=2 omáx=3 omáx=4 omáx=5 Figura 4. Error de generalizaci´on de las AMLL obtenidas con el algoritmo propuesto para la planta de Narendra en predicci´on a un paso (gr´afica superior) y en simulaci´on (gr´afica inferior). Los valores de los hiperpar´ametros se indican en el eje horizontal (np) y en las distintas curvas (om´ ax). Puede observarse la mejor adecuaci´on de los modelos locales para valores altos de np =5respecto a valores menores, como era de esperar debido a que la regi´on en la que operan es menor cuanto mayor es el n´umero de modelos locales. 4.2 Aplicaci´ on a una planta de fr´ ıo solar La planta de producci´on de fr´ıo mediante energ´ıa solar se encuentra situada en los laboratorios de la Escuela Superior de Ingenieros de la Universidad de Sevilla. Actualmente est´asiendo utilizada como banco de pruebas para investigaciones sobre control h´ıbrido dentro del marco de la Red de Excelencia HyCon. Adem´as ha sido objeto de estudios en diferentes investigaciones: (N´u˜nez-Reyes et al., 2005; N´u˜nez-Reyes, 2007; Zambrano, 2007). 58 Agrupaciones de Modelos Locales con Descripción Externa. Aplicación a una Planta de Frío Sola r C1 C2 D1 D2 C3 C4 tsc tec cau MA CGN irr tex Figura 5. Fotograf´ıa y diagrama simplificado de la planta de producci´on de fr´ıo mediante energ´ıa solar incluyendo los captadores (C1 a c4), los dep´ositos auxiliares (D1 y D2) y la m´aquina de absorci´on (MA). En el recuadro de l´ınea de trazos se ha enmarcado el circuito de captaci´on. La planta solar se puede analizar como una instalaci´on de aire acondicionado que usa energ´ıa t´ermica para producir aire fr´ıo. Los principales componentes son los siguientes: Sistema solar o de captaci´on de baja temperatura, compuesto por un conjunto de colectores solares (C1 a C4), con una superficie de captaci´on de 151 m2y una potencia nominal de 50 kW. Sistema de almacenamiento, compuesto por dos dep´ositos acumuladores (D1, D2) de 2,500 m3cada uno interconectados entre s´ı. Sistema de aporte auxiliar de energ´ıa, consistente en una calderadegasnatural(CGN). Sistema de refrigeraci´on, compuesto por una m´aquina de absorci´on (MA) de BrLi con una potencia de 35 kW La planta solar permite diferentes configuraciones en las que los sistemas que la componen pueden funcionar de manera independiente. A efectos de modelado puede dividirse en varios subsistemas: captaci´on, almacenamiento, aporte auxiliar de energ´ıa, m´aquina de absorci´on y carga. Cada subsistema puede modelarse separadamente pues se dispone de medidas de muchas variables intermedias: temperaturas y caudales fundamentalmente. De esta forma cada subsistema es tratado como un m´odulo independiente cuyo modelo puede ser creado y validado con mayor facilidad. Para las pruebas de las AMLL se va a considerar el sistema de captaci´on de energ´ıa solar. Es de resaltar que la construcci´on de modelos para este tipo de plantas tiene un gran inter´es pues mediante un control adecuado se pueden lograr mejoras en el rendimiento energ´etico de las mismas (Rubio et al., 2006). Una de las estrategias de control que mejor se adaptan a esta situaci´on es el control predictivo (Camacho and Bordons, 2004; Francisco and Vega, 2006; Garc´ıa-Nieto et al., 2008) pues permite optimizar las se˜nales de control o las consignas para los controladores locales (Cirre et al., 2004) de forma que se mejore el rendimiento final teniendo en cuenta al mismo tiempo restricciones de operaci´on. Descripci´ on La figura 5 muestra un diagrama simplificado de la planta de producci´on de fr´ıo. La zona dentro del recuadro es el circuito de captaci´on de calor, para el cual se han indicado las variables de inter´es: Caudal de agua que circula por los colectores en l/h.Se utilizar´a un valor normalizado obtenido dividiendo por 8000. Se emplea la abreviatura cau. Irradiaci´on solar en kW/m2. Se utilizar´a un valor normalizado obtenido dividiendo por 1000. Se emplea la abreviatura irr. Temperatura exterior en oC. Se utilizar´a un valor normalizado obtenido dividiendo por 100. Para nominar a este valor normalizado se utilizar´a la abreviatura tex. Temperatura de entrada de colectores en oC. Nuevamente se normaliza dividiendo por 100, emple´andose la abreviatura tec. Temperatura de salida de colectores en oC. Tambi´en se divide por 100 para normalizar y la abreviatura empleada es tsc. Incremento de temperatura en los colectores en oC. Esta variable no se mide directamente sino que ha de calcularse a partir de las temperaturas de entrada y salida de colectores. Se usar´a un valor normalizado obtenido como itc(k)=3(tsc(k)−tec(k−d)) siendo del n´umero de periodos de muestreo que tarda el agua en recorrer los colectores para un caudal medio. Datos Los datos consisten en la evoluci´on de las variables de inter´es tomadas en ensayos realizados durante la operaci´on normal de la planta m´as alg´un otro realizado a prop´osito para la identificaci´on. Estos ensayos incluyen condiciones de operaci´on diversas: en lazo abierto y cerrado y con la planta funcionando en distintos modos: recirculaci´on, producci´on directa, producci´on con dep´osito, etc. Los datos han sido normalizados, tratados para eliminar falsas medidas y remuestreados a 20s. La figura6muestralaevoluci´on t´ıpica de las variables en un d´ıa sin nubes correspondiente al 20 de Marzo de 2006. En total se ha contado con datos correspondientes a 42 d´ıas de Marzo a Octubre de 2006. Los d´ıas se han repartido de manera aproximadamente uniforme para dar lugar a tres conjuntos de datos habitualmente usados en identificaci´on. El conjunto de entrenamiento (CE) se utiliza para adaptar los modelos. El conjunto de prueba (CP) se utiliza para elegir los hiperpar´ametros. Finalmente el conjunto de validaci´on (CV) no es usado en modo alguno durante la construcci´on de modelos y sirve para calcular la capacidad de generalizaci´on de la AMLL resultante. Puntos de operaci´ on y regiones En primer lugar se procede a estimar los puntos de r´egimen permanente. Esta tarea no puede realizarse con experimentos de manera f´acil pues algunas variables no son manipulables como la irradiaci´on. En lugar de eso se ha utilizado un m´etodo para hallar puntos de r´egimen estacionario o cuasi-estacionario a partir de experimentos realizados en distintas condiciones de operaci´on. El m´etodo consiste M. R. Arahal, A. Núñez-Reyes, I. Alvarado, F. Rodríguez 59