Estudio del predistorsionador óptimo en amplificadores de potencia para distintos puntos de operación

Proyecto Fin de Carrera Ingeniería de Telecomunicación Formato de Publicación de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería Autor: F. Javier Payán Somet Tutor: Juan José Murillo Fuentes Dep. Teoría de la Señal y Comunicaciones Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2013 Trabajo Fin de Grado Grado en Ingeniería de las Tecnologías de Telecomunicación Estudio del predistorsionador óptimo en amplificadores de potencia para distintos puntos de operación Autor: Marina Amor Sánchez Tutor: Elías Marqués Valderrama Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2025 Trabajo Fin de Grado Grado en Ingeniería de las Tecnologías de Telecomunicación Estudio del predistorsionador óptimo en amplificadores de potencia para distintos puntos de operación Autor: Marina Amor Sánchez Tutor: Elías Marqués Valderrama Profesor Sustituto de Universidad Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2025 Trabajo Fin de Grado: Estudio del predistorsionador óptimo en amplificadores de potencia para distintos puntos de operación Autor: Marina Amor Sánchez Tutor: Elías Marqués Valderrama El tribunal nombrado para juzgar el trabajo arriba indicado, compuesto por los siguientes profesores: Presidente: Vocal/es: Secretario: acuerdan otorgarle la calificación de: El Secretario del Tribunal Fecha: Agradecimientos E n primer lugar, quiero dar las gracias a mis padres, que han sido mi base y mi mayor apoyo en todo este camino. Sin ellos, nada de esto tendría sentido. Gracias por estar siempre, por creer en mí incluso cuando yo dudaba, y por enseñarme con el ejemplo el valor del esfuerzo y la constancia. Quiero hacer una mención especial a mi familia y a esos veranos en Galicia, que siempre han sido mi mayor motivación. Durante estos cinco años de esfuerzo y dedicación, pensar en ese reencuentro con todos vosotros, en esos días de descanso y alegría, me daba la fuerza necesaria para seguir adelante. Gracias por ser ese impulso constante que me hacía aguantar el año entero con la ilusión de volver a ese lugar que tanto significa para mí. Y no puede faltar una mención a mi perrita Luna, que fue parte esencial de esa felicidad y cuya presencia me acompañó durante gran parte de este camino. Siempre te recordaré con cariño. También quiero dar las gracias a mis compañeros de esta larga, pero a la vez fugaz, etapa. Ha sido una auténtica montaña rusa de emociones, pero todo lo vivido a vuestro lado ha hecho que este camino sea inolvidable. En especial, quiero mencionar a Paula, Nuria, Sixto, Ignacio, Jaime y María Jesús, y dedicar unas palabras muy especiales a Victoria y María: sin vosotras, no habría llegado hasta aquí. Quiero hacer también una mención a mis amigos de siempre. Sois muchos y no podría nombraros a todos, pero gracias por estar ahí, en cada etapa, en cada llamada, en cada celebración. Toda la vida se dice pronto. Tampoco puedo olvidarme de la suerte que tuve de vivir un año en Roma. Aunque fue el más duro de la carrera, mereció la pena por todo lo que me llevé, especialmente por vosotras, Reinonas. Por supuesto, también quiero dar las gracias a mi tutor Elías, con quien cierro este último escalón académico. Gracias por tu cercanía, por hacer este tramo final mucho más fácil y por acompañarme con paciencia en este proceso. Asimismo, extiendo mi gratitud al resto de profesores, cuyo esfuerzo, dedicación y enseñanzas han sido fundamentales para llegar hasta aquí. Y por último, hacer una mención especial a Rafa, el mayor regalo que me llevo de esta etapa. Tu apoyo incondicional, tu paciencia y tu forma de estar han hecho que este camino sea aún más bonito. Marina Amor Sánchez Sevilla, 2025 I Resumen E n este trabajo se propone una estrategia para modelar y compensar el comportamiento no lineal y con memoria de un amplificador de potencia (PA) utilizado en sistemas de comunicaciones 5G. El enfoque se basa en la aplicación del algoritmo Iterative Learning Control (ILC) para generar señales predistorsionadas capaces de corregir la distorsión introducida por el PA. Posteriormente, se emplea un modelo basado en series de Volterra y se aplica el algoritmo Reduced-Complexity Doubly Orthogonal Matching Pursuit (RCDOMP) para seleccionar el conjunto óptimo de regresores, minimizando así la complejidad del modelo sin comprometer el rendimiento. Las medidas experimentales han sido realizadas sobre un banco de pruebas que incluye una señal OFDM 5G-NR de 30 MHz de ancho de banda y una cadena de transmisión compuesta por un generador de señal, un preamplificador, un PA y un analizador vectorial. Los resultados muestran que es posible identificar un conjunto reducido de regresores, constante para todo el rango de potencias analizado, y que la inclusión de términos conjugados resulta beneficiosa en escenarios reales. Estas conclusiones abren la puerta a propuestas futuras de ajuste dinámico de coeficientes en función de la potencia de entrada, optimizando la predistorsión en tiempo real. III XÍndice 6.3.1 Evaluación del Impacto sobre el NMSE 41 6.3.2 Interpretación del orden de selección 44 6.3.3 Selección óptima mediante el criterio BIC 45 6.3.4 Relevancia de los términos conjugados 46 7 Conclusiones y líneas futuras 47 Índice de Figuras 49 Índice de Códigos 51 Bibliografía 53 1 Introducción L a evolución hacia la quinta generación de comunicaciones móviles (5G) ha introducido requisitos mucho más exigentes que en generaciones previas, particularmente en términos de capacidad, cobertura, latencia y eficiencia espectral. Aunque estas necesidades ya eran importantes en generaciones anteriores, es con el 5G donde adquieren una relevancia crítica, estableciendo objetivos tales como alcanzar velocidades de transmisión ultraelevadas (hasta 20 Gbps en enlaces descendentes para escenarios de banda ancha mejorada, eMBB), reducir la latencia hasta valores cercanos a 1 ms (fundamental en aplicaciones de tipo comunicaciones ultra fiables y baja latencia, uRLLC), y soportar un gran número de dispositivos conectados simultáneamente, esencial en escenarios de comunicaciones masivas máquina a máquina (mMTC). Para satisfacer estos requisitos, el estándar 5G New Radio (5G-NR) ha adoptado tecnologías avanzadas como la multiplexación por división ortogonal de frecuencias (OFDM) y sistemas multiantena como MIMO masivo (Multiple Input Multiple Output). Estas técnicas ofrecen un mayor ancho de banda y una notable mejora en la eficiencia espectral [ 1 ]. Sin embargo, presentan nuevas complejidades técnicas, particularmente relacionados con la amplificación de señales. Las señales OFDM poseen una elevada relación pico a potencia media (PAPR, Peak-to-Average Power Ratio), que resulta en un reto considerable para mantener una amplificación lineal y eficiente. En este contexto, los transmisores deben operar a elevados niveles de potencia con el objetivo de compensar las pérdidas inherentes a la propagación de la señal, tales como la atenuación en el espacio libre, la absorción atmosférica, el bloqueo por obstáculos, o las complicadas condiciones de propagación en entornos urbanos densos. Para conseguir que los sistemas transmisores sean energéticamente sostenibles, es fundamental que todos sus bloques aprovechen al máximo la energía que necesitan para funcionar. En ese sentido, el amplificador de potencia (PA) se convierte en un bloque crítico en la cadena de RF debido a sus alto consumo, cuya zona de máxima eficiencia energética se alcanza cuando se opera cerca de la región de saturación. En este punto de operación, el compromiso entre eficiencia y linealidad se vuelve especialmente crítico, ya que el PA tiende a introducir distorsiones no lineales y efectos de memoria que degradan significativamente la calidad de la señal transmitida, afectando tanto al canal de interés como a los canales adyacentes. Para corregir estas distorsiones se han desarrollado diversas técnicas avanzadas de linealización digital, entre las que destaca la predistorsión digital (DPD). El objetivo principal del presente trabajo es determinar el conjunto óptimo de regresores que permita modelar el comportamiento del bloque predistorsionador óptimo para un PA comercial a distintos niveles de potencia de entrada. Para ello, se emplea una señal óptima —generada mediante control por aprendizaje iterativo (ILC) —sobre la que se aplica el algoritmo RC-DOMP (Reduced-Complexity Doubly Orthogonal Matching Pursuit) en el marco de un modelo basado en la serie de Volterra, en concreto, la estructura GMP (Generalized Memory Polynomial). A través de este estudio se analiza cómo varía la selección de regresores en función de la potencia, con el propósito de identificar configuraciones que permitan, en el futuro, implementar un sistema de predistorsión digital robusto y adaptativo. Todo el análisis se ha llevado a cabo en un entorno experimental realista, en el que se ha evaluado la capacidad del modelo para capturar con precisión el comportamiento no lineal del PA (en su bloque predistorsionador óptimo) en distintos puntos de operación, así como su viabilidad desde el punto de vista computacional. La estructura del documento se organiza de la siguiente manera: En el Capítulo 2 se introducen y analizan las principales limitaciones del amplificador de potencia, haciendo énfasis en el comportamiento no lineal y sus efectos sobre la calidad de la transmisión. En el Capítulo 3 se presentan los fundamentos teóricos necesarios para modelar y compensar el comportamiento no lineal 1 2Capítulo 1. Introducción del amplificador, desde la serie de Volterra hasta modelos avanzados como el GMP. A continuación, en el Capítulo 4 se introduce el enfoque de predistorsión digital mediante ILC y se describe el procedimiento experimental seguido para generar la señal óptima. El Capítulo 5 está dedicado al algoritmo RC-DOMP, explicando detalladamente su funcionamiento, formulación matemática y criterios utilizados para la selección de regresores. El capítulo 6 recoge los resultados experimentales obtenidos, acompañados de un análisis detallado a partir del cual se extraen las conclusiones más relevantes del estudio. Finalmente, en el capítulo 7 se presenta la conclusión general del trabajo y se plantean posibles líneas futuras de investigación. 2 El papel del PA en sistemas de comunicación digital E nlos sistemas de comunicación inalámbrico , el amplificador de potencia constituye un bloque fundamental dentro del transmisor, ya que es el encargado de amplificar la señal de radiofrecuencia (RF) hasta un nivel de potencia adecuado para su propagación a través del canal inalámbrico (Figura 2.1). Su función es crucial para garantizar que la señal transmitida llegue al receptor con una relación señal a ruido (SNR) suficiente que permita el establecimiento de la comunicación. Sin embargo, es el propio PA el principal componente limitante en el diseõ del transmisor, debido a la necesidad de alcanzar una alta eficiencia energética, que persigue la sostenibilidad de las telecomunicaciones. Este punto de máxima eficiencia se alcanza cuando el PA opera cerca de su región de saturación, donde puede entregar una elevada potencia de salida, aprovechando así la energía invertida en su polarización. No obstante, operar en esta región implica alejarse del régimen lineal del amplificador. En estas condiciones, el PA introduce distorsión no lineal y con memoria que alteran la forma original de la señal transmitida, generando recrecimiento espectral y comprometiendo la calidad de la comunicación tanto en el canal de interés como en los canales adyacentes. Este compromiso entre eficiencia y linealidad convierte al PA en un elemento crítico en la cadena de RF convirtiéndose en un cuello de botella del transmisor y consolidándose como un bloque clave a optimizar en los sistemas de comunicación modernos. Figura 2.1 Diagrama de bloques general de un sistema de comunicaciones digitales de RF [2]. 2.1 Modulación OFDM y su paso a través del PA La modulación OFDM se define tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia. De manera que, desde la perspectiva temporal, la transmisión se organiza en intervalos de tiempo llamados períodos de símbolo, durante los cuales cada subportadora transmite un único símbolo que permanece 3 4Capítulo 2. El papel del PA en sistemas de comunicación digital constante durante ese intervalo. Mientras que, en el dominio frecuencial, el ancho de banda total disponible se divide en múltiples subportadoras ortogonales (Figura 2.2) separadas entre sí por un intervalo fijo ( ∆f ). La ortogonalidad entre subportadoras implica que, aunque exista solapamiento espectral, las señales no interfieren entre ellas en el receptor, facilitando así su separación efectiva y optimizando el uso del espectro disponible. Por lo tanto, cada símbolo OFDM está compuesto por una combinación lineal de estas subportadoras, transmitidas simultáneamente durante un mismo período de símbolo. 012345678 Índice de frecuencia -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 |X(f)| Subportadora 1 Subportadora 2 Subportadora 3 Subportadora 4 Subportadora 5 Subportadora 6 Subportadora 7 Figura 2.2 Espectro de una señal OFDM con 7 subportadoras. Con el objetivo de mitigar los efectos adversos del canal, particularmente aquellos generados por propagación multitrayecto que pueden introducir interferencia intersimbólica (ISI) y pérdida de ortogonalidad entre subportadoras, OFDM emplea dos estrategias que tienen que aplicarse simultáneamente: • El prefijo cíclico (CP): Consiste en añadir una copia de la última parte del símbolo transmitido al principio del mismo. Este prefijo proporciona un intervalo de protección que mantiene la ortogonalidad entre subportadoras, previniendo la aparición de interferencia entre símbolos (ISI). • La ecualización por subportadora: Técnica que ajusta de manera independiente la ganancia y fase en cada subportadora en el receptor, permitiendo compensar selectivamente las distorsiones inducidas por el canal en el dominio frecuencial. Figura 2.3 Representación del CP en la modulación OFDM. 2.2 Estudio del comportamiento no lineal y con memoria del PA 5 A diferencia de generaciones anteriores, el estándar 5G-NR introduce una numerología flexible. Esta funcionalidad permite adaptar la separación entre subportadoras ( ∆f ), así como variar la duración de los símbolos y el tamaño del prefijo cíclico en función del tipo específico de servicio y las condiciones del entorno de propagación. De esta forma, 5G-NR puede adecuarse tanto a entornos de alta movilidad, que requieren robustez ante desvanecimientos rápidos, como a aplicaciones críticas que exigen latencias ultrabajas. Desde el punto de vista de implementación física, la señal OFDM se genera mediante una transformada rápida de Fourier inversa (IFFT), la cual sintetiza en el dominio temporal la información de todas las subportadoras moduladas. La forma en la que la información de las distintas subportadoras se combina en esta operación IFFT, provoca que, en ciertos instantes de tiempo, se generen valores de amplitud muy superiores al valor medio de la señal. Esto se traduce en una alta relación potencia pico a potencia promedio (PAPR). 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 Muestras 104 -50 -40 -30 -20 -10 0 Amplitud [dB] data1 Media Máximo Figura 2.4 Envolvente de una señal OFDM. Estos picos instantáneos de potencia de la señal provocan que el PA trabaje durante ciertos instantes de tiempo en la zona de saturación, generando así distorsiones no deseadas en la señal transmitida. Una posible solución para evitar esta situación sería el uso de un margen de seguridad ("back-off") respecto al punto de saturación del amplificador, evitando así que la potencia máxima de la envolvente de la señal (PEP), alcance el régimen de saturación. Sin embargo, esta condición impediría que el PA opere en su punto de máxima eficiencia energética. En concreto, aunque el PA no consuma más por operarlo a menor potencia de entrada, sí se hace menos eficiente. Esto se mide con la eficiencia de potencia añadida (PAE), definida como: PAE(%) = Pout −Pin Psupply ×100,(2.1) donde Pout es la potencia promedio de salida del amplificador, Pin la potencia promedio de entrada y Psupply la potencia que se invierte en el circuito de polarización para poder alimentar al PA. Por tanto, al operar con un "back-off", aunque el consumo del amplificador se mantenga constante, se reduce significativamente la eficiencia global del sistema transmisor. El reto del DPD en este ámbito consiste en conseguir que el PA mantenga una PAE elevada manteniendo la integridad de la señal a transmitir. 2.2 Estudio del comportamiento no lineal y con memoria del PA Una vez comprendida la importancia de operar cerca de la máxima potencia con señales OFDM en sistemas 5G, resulta esencial analizar en profundidad cómo se comporta realmente el PA en estas condiciones. El PA puede considerarse como un sistema que responde linealmente hasta cierto punto de operación; más allá de este umbral, su comportamiento es inherentemente no lineal y se ve acompañado además por efectos de memoria. Conocer en detalle estos efectos es fundamental para poder diseñar estrategias de linealización y 6Capítulo 2. El papel del PA en sistemas de comunicación digital mitigar así las distorsiones generadas por el amplificador cuando trabaja en zonas próximas a la saturación. Por lo tanto, en esta sección se estudian los efectos físicos clave asociados a esta no linealidad, con el propósito de entender su impacto y establecer métodos adecuados para su compensación. Desde un punto de vista teórico, un sistema se considera lineal si cumple el principio de superposición: αx1(k)+βx2(k)−→αy1(k)+βy2(k),(2.2) siendo y1(t) la salida del sistema cuando la entrada es x1(t) , y α y β los coeficientes que ponderan cada suma. Sin embargo, todos los dispositivos activos, como los PA basados en transistores (BJT, FET u otras tecnologías), presentan comportamientos no lineales al superar cierta potencia de entrada. Una forma habitual de caracterizar este comportamiento innato del PA es mediante pruebas experimentales diseñadas para observar cómo varía su respuesta ante señales de entrada controladas. En concreto, nos centraremos en dos de ellas: la prueba de un tono y la prueba de dos tonos, que permiten identificar distintas manifestaciones de la no linealidad y cuantificarlas mediante figuras de mérito específicas. 2.2.1 Prueba de un tono Por un lado, la prueba de un tono, donde se aplica una señal sinusoidal a la entrada del PA. A medida que se incrementa la potencia de entrada, la salida del amplificador deja de crecer de forma proporcional, entrando en una región conocida como zona de saturación. Para caracterizar este fenómeno, se emplea como figura de mérito el punto de compresión de 1 dB. Este punto se define como el nivel de potencia de entrada para el cual la ganancia del amplificador cae 1 dB respecto al valor lineal nominal. De este modo, el punto de compresión de 1 dB actúa como un umbral práctico que delimita el inicio del régimen no lineal del PA. Figura 2.5 Respuesta no lineal de un PA: Zona lineal, Pi,1y zona de saturación [2]. 2.2 Estudio del comportamiento no lineal y con memoria del PA 7 2.2.2 Prueba de dos tonos Esta prueba se emplea para caracterizar los efectos de intermodulación generados por la no linealidad del PA cuando se aplican múltiples señales de forma simultánea. En concreto, se introducen dos tonos sinusoidales de distinta frecuencia, f1 y f2 . Como resultado de la respuesta no lineal del PA, además de las componentes fundamentales, aparecen nuevas componentes espurias en la salida, denominadas productos de intermodulación. Entre ellos, destacan los de tercer orden (IM3), situados en las frecuencias 2f1−f2 y 2f2−f1 (Figura 2.6), ya que se encuentran muy próximas a los tonos originales y no pueden eliminarse fácilmente mediante filtrado. Estos productos son especialmente críticos en aplicaciones de comunicaciones, al poder interferir con canales adyacentes. Para caracterizar este efecto, se utiliza como figura de mérito el punto de intercepción de tercer orden (IP3). Este punto se define teóricamente como el valor de potencia donde se cruzan las extrapolaciones lineales de la potencia de las componentes fundamentales (que crecen 1 dB por cada dB de incremento en la entrada) y de los productos de intermodulación de tercer orden (que crecen 3 dB por cada dB de entrada). Aunque dicho punto no se alcanza en la práctica, ya que el amplificador entra en saturación antes, su estimación proporciona una medida indirecta del grado de no linealidad del dispositivo: cuanto mayor es el IP3, menor es la distorsión por intermodulación y mayor la linealidad del sistema. I3(dBm) = 3Po(dBm)−2IPo 3(dBm),(2.3) donde Po representa la potencia de salida de los tonos fundamentales e IPo 3 es el valor estimado del punto de intercepción. Esta fórmula permite obtener una estimación del IP3 a partir de mediciones reales de potencia, asumiendo un comportamiento ideal en el crecimiento de los productos IM3. Figura 2.6 Punto de intercepto de orden 3 ( IPo 3) [3]. 2.2.3 Comportamiento del PA ante señales moduladas A pesar de que ambas pruebas nos permiten entender de forma básica cómo se comporta el amplificador frente a señales simples, en la realidad, los PAs procesan señales moduladas complejas que presentan una 8Capítulo 2. El papel del PA en sistemas de comunicación digital elevada variación tanto en amplitud como en fase, además de ocupar un determinado ancho de banda. Por tanto, a partir de este momento, nos centraremos en el estudio del comportamiento del PA ante este tipo de modulaciones digitales. Además de las no linealidades ya introducidas, el PA presenta también efectos de memoria que hacen que su respuesta instantánea no dependa únicamente del valor actual de la señal de entrada, sino también de valores anteriores. Estos efectos no se deben únicamente a elementos discretos externos, como condensadores o inductores en el camino RF, sino que son consecuencia de fenómenos intrínsecos al propio transistor. Por un lado, los circuitos de adaptación y polarización modifican la impedancia que se ve desde el transistor y pueden ser responsables de memoria a largo plazo [ 4 ]. Por otro lado, entre los efectos producidos por el propio transistor se encuentran la acumulación de carga en las junturas semiconductoras, fenómenos térmicos dependientes del tiempo (como el calentamiento y enfriamiento progresivo del dispositivo), y efectos capacitivos e inductivos parasitarios ligados a la estructura física interna del transistor. Por tanto, nncluso si se eliminasen las redes de adaptación externas del circuito, estos efectos seguirían presentes debido a su carácter intrínseco en el dispositivo activo. Este comportamiento puede caracterizarse mediante las curvas AM-AM (Amplitude Modulation to Amplitude Modulation) y AM-PM (Amplitude Modulation to Phase Modulation). La curva AM-AM describe cómo varía la amplitud de la señal de salida en función de la amplitud de entrada. En la Figura 2.7 se observa esta relación, mostrando cómo el amplificador mantiene una tendencia lineal hasta que, a partir de una potencia, comienza a aparecer un comportamiento de compresión de la ganancia. Esta misma figura también muestra los mencionados efectos de memoria. A diferencia de una distorsión meramente no lineal, en la que los puntos se alinearían sobre una única curva, aparece una dispersión considerable de puntos formando una nube alrededor de la curva ideal, indicando que la respuesta del PA depende no solo del valor instantáneo, sino también de valores anteriores de la señal. Este efecto de memoria se observa para todo el rango de entrada. Por otra parte, la curva AM-PM refleja las distorsiones en fase que experimenta la señal al pasar por el PA, poniendo en manifiesto que la no linealidad también afecta a la estabilidad de fase del sistema. Figura 2.7 Característica AM-AM del PA. Además, es importante destacar que el comportamiento no lineal y los efectos de memoria mencionados no permanecen constantes con la variación del nivel de potencia de entrada. A medida que aumenta esta potencia, el amplificador se acerca progresivamente a su región de saturación, intensificándose las distorsiones no lineales y amplificándose simultáneamente los efectos de memoria. En la práctica, este fenómeno implica que la respuesta del PA varía notablemente según el punto de operación elegido, afectando tanto a la magnitud como a la naturaleza de las distorsiones generadas. Esta sensibilidad al nivel de potencia es crucial, ya que condiciona de forma directa la efectividad y precisión de cualquier técnica posterior orientada a compensar tales distorsiones, además de dificultar enormemente los sistemas adaptativos, que suelen requerir variaciones en la potencia. 2.2 Estudio del comportamiento no lineal y con memoria del PA 9 La combinación de esta no linealidad y los efectos de memoria genera una distorsión compleja que impacta negativamente sobre la señal transmitida en varios aspectos. Para cuantificar de manera objetiva esta degradación, se recurre a tres figuras de mérito complementarias que analizan distintos tipos de distorsión: NMSE, EVM y ACPR. Degradación de toda la señal: NMSE El error cuadrático medio normalizado (NMSE) es una métrica que se utiliza para evaluar, de forma global, cuánto difiere la señal obtenida a la salida del PA respecto a la señal que se quería transmitir. Para ello, compara la señal de salida modelada yd(n) con la señal medida a la salida del amplificador y(n) , teniendo en cuenta tanto los errores que se producen dentro de la banda como aquellos que se extienden fuera de ella. Su valor se calcula en el dominio temporal a partir de la siguiente expresión[5]: NMSE =∑N−1 n=0|yd(n)−y(n)|2 ∑N−1 n=0|yd(n)|2(2.4) Cuanto menor es el valor de NMSE, menor es el error. Efectos en banda: EVM La magnitud del vector error (EVM) es una métrica utilizada para evaluar la calidad de la modulación digital recibida. Su objetivo es cuantificar cuánto se desvían los símbolos recibidos respecto a sus posiciones ideales dentro de la constelación. Estas desviaciones suelen estar causadas por distintos factores como ruido, distorsiones introducidas por el PA o errores de fase y ganancia, y su efecto se traduce en una mayor dispersión de los puntos de la constelación. Cuanto más alejados estén los puntos reales de los ideales, mayor será el valor del EVM, lo que implica una peor calidad de transmisión. Desde el punto de vista matemático, el EVM se calcula como el cociente entre la energía del error (la diferencia entre símbolo recibido y símbolo ideal) y la energía total de la señal ideal. La fórmula se expresa del siguiente modo [3]: EVM [%] = s∑L l=1|ˆyl−ˆxl|2 ∑L l=1|ˆxl|2×100 (2.5) Efectos fuera de banda: ACPR Cuando una señal modulada atraviesa un amplificador de potencia no lineal, no solo sufre distorsión en banda, sino que también se generan componentes adicionales fuera del canal asignado. Este fenómeno se conoce como recrecimiento espectral, y provoca que parte de la energía de la señal se propague hacia canales adyacentes, lo que puede generar interferencias no deseadas en sistemas cercanos. Para medir este tipo de distorsión, se utiliza la métrica de relación de potencia en el canal adyacente (ACPR), que cuantifica la relación entre la potencia que permanece en el canal principal y la que se dispersa en los canales adyacentes. Su valor se expresa generalmente en decibelios referidos a canal (dBc), y se calcula como: ACPR =Pcanal adyacente Pcanal principal (2.6) donde Pcanal adyacente es la potencia total medida en el canal adyacente que se evalúa, y Pcanal principal , la potencia contenida en el canal asignado. Cuanto mayor es este valor, mayor es la energía que se está emitiendo fuera de banda, lo que supone un problema tanto desde el punto de vista normativo, por superar los límites permitidos de emisiones fuera de banda (OOB), como desde el punto de vista práctico, ya que puede comprometer la calidad del sistema y afectar a otros usuarios. En la Figura 2.8 puede observarse este efecto de forma clara: el espectro de la señal a la salida del PA presenta un ensanchamiento respecto al espectro original, con un incremento notable de potencia en las bandas laterales. 16 Capítulo 3. Modelado basado en series de Volterra reducción específica de la complejidad computacional como el RC-DOMP, que aprovechan la ortogonalidad para eliminar la necesidad del cálculo explícito de la pseudoinversa, reduciendo considerablemente el coste computacional asociado [ 17 , 18 ]. En el Capítulo 5 se profundiza en dicho método, evaluando su impacto en la selección efectiva de regresores para la modelización precisa del amplificador de potencia. 4 Predistorsión Digital U no de los métodos más extendidos para compensar la distorsión introducida por los amplificadores de potencia es la predistorsión digital. Esta técnica consiste en insertar un bloque digital previo al PA, cuya función es aplicar una transformación inversa al comportamiento no lineal del amplificador. De esta manera, tras la amplificación, la señal quedaría amplificada linealmente, evitando el efecto de la distorsión que introduce el PA. La implementación del DPD se suele abordar mediante soluciones como las arquitecturas de aprendizaje que se expondrán a continuación, que suelen constar de un camino directo y un camino de observación. Para ilustrar el objetivo de este proceso, en la Figura 4.1 se muestra un esquema representativo del sistema completo, en el que se observa cómo el bloque de predistorsión actúa en cascada con el PA, con el fin de linealizar su respuesta. Figura 4.1 Esquema representativo del sistema DPD en cascada con el PA. 4.1 Arquitectura de aprendizaje indirecto (ILA) En este enfoque, el proceso comienza con la identificación de un modelo que represente el comportamiento del PA. Para ello, se parte de la observación de la salida del PA frente a una señal de entrada conocida, y mediante una regresión se estima un sistema que relacione esa salida con su correspondiente entrada. Este modelo actúa como un post-inverso, ya que se entrena para predecir la señal de entrada que debió haberse aplicado al PA para obtener la salida observada. Durante la fase de entrenamiento, el bloque de predistorsión aún no modifica la señal, por lo que la entrada al PA es simplemente la señal original, es decir, x=u . A partir de la salida del PA, y tras normalizarla por la ganancia objetivo G0 , se construye una matriz de regresores Y que recoge la información necesaria para ajustar el modelo. Con esta matriz, se estiman los coeficientes del modelo mediante: w=Y†u,(4.1) 17 18 Capítulo 4. Predistorsión Digital siendo Y†la pseudoinversa de Moore-Penrose (como se comentó en la ecuación (3.11)). Una vez estimado w , se copia directamente al bloque DPD, que comienza a actuar sobre la señal de entrada original. A partir de ese momento, el sistema genera una señal predistorsionada x que, al atravesar el PA, permite obtener una salida más lineal. Este funcionamiento puede visualizarse en la Figura 4.2, donde se muestran tanto el camino directo, desde el bloque DPD al PA, como el camino de observación que se emplea para estimar los coeficientes. Figura 4.2 Esquema de la arquitectura de aprendizaje indirecto. Una de las decisiones clave en este enfoque es la elección de la ganancia objetivo G0 , que puede ser la ganancia promedio del PA ( Gavg ) o su ganancia comprimida ( Gc ). Dependiendo de cual se utilice, el sistema pondrá el foco en diferentes zonas del comportamiento del PA: o bien en su zona más lineal, o bien en condiciones de compresión, con mayor eficiencia, pero también más distorsión. El problema que presenta esta arquitectura es que depende en gran medida de la calidad del modelo estimado. Aunque teóricamente el modelo obtenido durante la etapa de posdistorsión debería ser suficiente para aplicar la predistorsión, en la práctica no siempre logra adaptarse correctamente a las no linealidades reales del PA. Una de sus principales limitaciones es, precisamente, su menor capacidad de adaptación práctica frente a otros esquemas. 4.2 Arquitectura de aprendizaje directo (DLA) En esta arquitectura no es necesario modelar explícitamente el comportamiento interno del PA. En su lugar, se realiza una estimación de la forma óptima que debería tener la señal de entrada para compensar las no linealidades del amplificador. Esta estimación se basa en un modelo estructurado que permite ajustar directamente la entrada en función del error observado en la salida. La idea es bastante simple: si conocemos la salida ideal que debería generar el PA, podemos compararla con la salida real obtenida y, a partir de esa diferencia, ir corrigiendo progresivamente la señal aplicada, hasta lograr linealizar el sistema. Este proceso se repite de forma iterativa. En cada paso, se calcula un nuevo conjunto de coeficientes wi para el bloque DPD, cuyo objetivo es reducir el error entre la salida real del PA y la señal ideal deseada. Estos coeficientes permiten estimar la señal de distorsión d=Uwi , que debe restarse a la señal original de entrada u para generar la señal predistorsionada x=u−Uwi . Esta es la señal que finalmente se aplica al PA. Una vez aplicada la señal predistorsionada al PA, se obtiene una salida y , que se escala dividiéndola por la 4.3 Integración de ILC como estrategia de DPD 19 ganancia objetivo G0 . Esta salida se compara con la entrada original para obtener el error e=y G0−u . Con ese error, se actualizan los coeficientes utilizando una tasa de aprendizaje µ , que toma valores entre 0 y 1, siguiendo la expresión: wi+1=wi+µU†e.(4.2) donde U†representa la pseudoinversa de Moore-Penrose. Este funcionamiento se puede ver de forma clara en la Figura 4.3, donde se representa el camino directo, desde la generación de la señal predistorsionada hasta la salida del PA, y el camino de observación, que permite ajustar los coeficientes a partir del error observado. Es importante destacar que el DLA no genera directamente la señal óptima, sino que estima su forma ideal a partir de un modelo estructurado, y, para ello, ajusta los coeficientes wide forma progresiva en cada iteración. Figura 4.3 Esquema de la arquitectura de aprendizaje directo [19]. A diferencia del aprendizaje indirecto, aquí el ajuste se realiza directamente sobre el bloque DPD, sin necesidad de estimar ni invertir el modelo del PA. Por tanto, ofrece mayor robustez frente a errores debido a su adaptación iterativa y resulta más adecuada para sistemas reales con características difíciles de capturar analíticamente. En este trabajo se adopta la modificación de DLA propuesta en [5] implementando el algoritmo ILC. 4.3 Integración de ILC como estrategia de DPD A diferencia del enfoque clásico del aprendizaje directo, que se centra en identificar directamente los parámetros del predistorsionador, el algoritmo ILC busca determinar de manera iterativa la señal óptima de entrada al PA que logra que su salida sea lo más cercana posible a la respuesta lineal deseada. Concretamente, la señal de referencia deseada, yd(n) , se obtiene simplemente amplificando la señal original u(n) por una ganancia objetivo predefinida. Así, en cada iteración del algoritmo, se ajusta la señal de entrada al PA basándose en el error obtenido en la interación anterior. Este error se define como la diferencia observada entre la salida real obtenida yk(n)medida en cada iteración ky esta referencia deseada: ek(n) = yd(n)−yk(n),(4.3) 20 Capítulo 4. Predistorsión Digital A partir de este error, la señal de entrada al PA se actualiza iterativamente mediante la siguiente expresión: uk+1(n) = uk(n)+γek(n),(4.4) donde γ es la ganancia de aprendizaje, que determina tanto la velocidad como la estabilidad del proceso de convergencia del algoritmo. Tal y como se describe en [ 5 ], existen tres casos posibles de definir esta ganancia: una ganancia constante (lineal), que utiliza un valor constante durante todas las iteraciones; una basada en la ganancia instantánea del PA, que utiliza el inverso de la ganancia instantánea del PA en cada instante de tiempo; y una dependiente del Jacobiano del sistema, que calcula directamente el inverso del Jacobiano del sistema. En el presente trabajo se ha optado por el caso más simple: una ganancia lineal , que reduce la complejidad computacional y ha demostrado ofrecer buenos resultados en los experimentos del artículo original. La arquitectura general del algoritmo ILC se ilustra en la Figura 4.4. Aquí se observa cómo, tras cada iteración, la señal se optimiza mediante un bucle cerrado de aprendizaje iterativo, obteniendo finalmente una señal predistorsionadora óptima xILC(n) que, al atravesar el PA, consigue la salida lineal, logrando minimizar la distorsión introducida por el amplificador. Figura 4.4 Esquema general del algoritmo ILC aplicado al diseño de una señal óptima. Aunque la explicación anterior del algoritmo ILC se ha basado en la formulación propuesta por ChaniCahuana [ 5 ], cabe destacar que la implementación empleada en este trabajo sigue en mayor medida la metodología propuesta por Yu [ 20 ]. En su propuesta, se mantiene exactamente la misma estructura del esquema DLA mostrado en la Figura 4.3, salvo que existe una diferencia significativa en la forma en que se aprende y genera la señal predistorsionadora. En lugar de estimar el vector de coeficientes w , se calcula directamente la señal de distorsión, representada por el producto Uw , que ahora es tratado como una variable independiente y no como la multiplicación explícita de dos elementos separados. Esto hace que la señal resultante del algoritmo de Yu no dependa directamente de un modelo paramétrico (no existe un conjunto explícito de regresores multiplicado por coeficientes), sino que constituye una señal vectorial óptima en sí misma, ajustada iterativamente a partir del error observado (equivalente a la propuesta de Chani-Cahuana). Concretamente, en la implementación 4.3 Integración de ILC como estrategia de DPD 21 propuesta por Yu, la actualización iterativa se realiza siguiendo la ecuación: Uwi+1=Uwi+U(U†e) = Uwi+e.(4.5) La clave aquí reside en que el término UU† que se simplifica en la identidad, dejando directamente la señal de error e en la ecuación de actualización. De este modo, la estructura del algoritmo queda intacta, pero cambia radicalmente el enfoque del aprendizaje: ahora se obtiene directamente la señal óptima que compensa la distorsión, sin la necesidad de recurrir explícitamente a un modelo paramétrico. Es importante resaltar que, aunque esta metodología tiene la ventaja de proporcionar una señal predistorsionadora óptima directamente, también presenta la limitación de ser específica para la señal de entrada utilizada durante el proceso de aprendizaje. Por ello, para poder utilizar esta señal predistorsionadora óptima con otras señales distintas, sería necesario modelar posteriormente un bloque DPD específico. Por tanto, aunque la lógica de aprendizaje del enfoque de Yu difiere conceptualmente de la del DLA tradicional, ambos comparten una misma arquitectura, lo que permite implementar el algoritmo ILC sin modificar la topología del sistema. Una vez obtenida la señal optimizada xILC(n) , el siguiente paso consiste en seleccionar el conjunto óptimo de coeficientes capaces de representar correctamente al bloque predistorsionador óptimo. Esta fase resulta fundamental no solo para garantizar la fidelidad del modelo, sino también para evitar el sobreajuste al caso xILC(n). En particular, el modelo adoptado en este trabajo es el GMP, explicado en la sección 3.4.2. La señal xILC(n) se expresa así mediante una combinación lineal de múltiples regresores, representando las diversas manifestaciones de la no linealidad y los efectos de memoria del PA. Dado que el modelo GMP completo puede llegar a contener cientos de términos, se aplica el algoritmo RC-DOMP para reducir la complejidad computacional y seleccionar únicamente aquellos regresores con mayor relevancia. Este algoritmo identifica iterativamente los regresores más importantes, utilizando el criterio de información bayesiana (BIC), asegurando cumplir con el compromiso entre precisión y complejidad del modelo resultante. Entraremos más en detalle en el próximo capítulo. Finalmente, la integración del modelo optimizado dentro de una arquitectura completa de predistorsión digital se representa en la Figura 4.5. Esta figura describe cómo, una vez obtenido el conjunto óptimo de regresores, el modelo entrenado se emplearía en un sistema DPD real, ofreciendo una solución efectiva y práctica para mitigar la distorsión introducida por el PA. Figura 4.5 Arquitectura completa del sistema de predistorsión digital haciendo uso del ILC. Cabe destacar que la implementación física completa del bloque DPD queda fuera del alcance de este trabajo. El objetivo aquí es el análisis detallado, la identificación y la selección óptima de regresores en un escenario de barrido de potencia a partir de las señales obtenidas mediante el algoritmo ILC, como paso esencial y previo al diseño efectivo de un sistema DPD implementable. 5 Selección de coeficientes E l uso de modelos como el GMP para describir el comportamiento de PAs implica la generación de matrices de regresores que suelen contener términos altamente correlacionados entre sí. Esta alta correlación puede generar redundancia en el modelo, dificultar la interpretación de los coeficientes obtenidos y comprometer la estabilidad numérica, además de incrementar significativamente la complejidad computacional en el ajuste del modelo. Para resolver este inconveniente, es fundamental aplicar técnicas de selección de regresores que permitan identificar los términos más relevantes, eliminando aquellos redundantes, y así preservar la capacidad de representación del sistema con el menor número de regresores posibles. En este trabajo se ha elegido el algoritmo RC-DOMP como algortimo de selección de coeficientes. 5.1 Fundamentos del algoritmo RC-DOMP El algoritmo RC-DOMP [ 9 , 21 ] es un método iterativo que selecciona de forma progresiva los regresores con el objetivo de construir un modelo sparse, es decir, un modelo en el que únicamente se incluyan aquellos regresores estrictamente necesarios para una correcta representación de la señal objetivo. El término "Doubly Orthogonal" hace referencia a una de las claves del algoritmo: cada nuevo regresor seleccionado es ortogonal tanto al conjunto de regresores previamente elegido como al residuo actual, es decir, la parte de la señal objetivo que aún no ha sido explicada por el modelo en esa iteración. Esta doble ortogonalidad es la que garantiza una selección robusta y no redundante de regresores, mejorando así la estabilidad del modelo resultante. Para llevar a cabo esta selección, en cada iteración, RC-DOMP selecciona el regresor que presenta la mayor correlación cruzada normalizada con la salida del sistema. En concreto, el procedimiento del algoritmo se recoge en el pseudocódigo 1 que va a ser explicado paso a paso a continuación. Paso 0. Inicialización del algoritmo Antes de comenzar con la selección iterativa de regresores, es necesario realizar un paso inicial fundamental: la normalización de los regresores. El proceso comienza con un conjunto inicial de regresores, representados en una matriz X= [ξ1,ξ2,···,ξN] , donde cada regresor es normalizado individualmente para evitar sesgos en la selección debido a diferencias en sus magnitudes. Esta normalización se realiza mediante un escalado, dividiendo cada regresor entre su propia norma. ¯ X= [ξ1,¯ ξ2,..., ¯ ξM],con ¯ ξi=ξi ∥ξi∥2 ,con i=1,2,...,M.(5.1) ¯ ξirepresenta el regresor normalizado, ξiel regresor original, y Mes el número total de regresores. Además, se define la matriz Z , que irá evolucionando a lo largo del algortimo mediante ortogonalizaciones acumulativas. Inicialmente, Zcoincide con la matriz normalizada ¯ X: 23 24 Capítulo 5. Selección de coeficientes Z(0)= [φ1,φ2,...,φN] = ¯ X.(5.2) En el fondo, la idea del algoritmo es ir seleccionando los regresores más relevantes a partir del proceso de ortogonalización. Por tanto, se busca construir esta matriz ortonormal Z para que, en el proceso, salga a la luz el orden de importancia. A partir de esta matriz, se definen dos elementos clave que guiarán la selección iterativa de regresores: la matriz de autocorrelación muestral y el vector de correlación cruzada muestral. La matriz de autocorrelación muestral inicial se obtiene como: RZ(0)=ZHZ∈Cn×n,(5.3) cuyos elementos se denotan por ρi j. Por otro lado, el vector de correlación cruzada muestral se define inicialmente como: RZ(0)y=ZHy∈Cn×1,(5.4) cuyos elementos se denotan por γi, y miden la correlación entre cada regresor y la salida deseada. En esta etapa, además, se inicializan los siguientes elementos: •El residuo inicial, definido como la señal objetivo original: r(0)=y.(5.5) Este residuo irá almacenando la diferencia entre la señal de salida observada y la señal estimada hasta el momento. •El conjunto de regresores seleccionados que comienza vacío: S(0)=/0.(5.6) Aquí quedarán almacenados los índices de los regresores que se van seleccionando, y se llamará "support set". •La estimación inicial de la señal modelada, que inicialmente no contiene ningún regresor: y(0) est =0.(5.7) A lo largo del algoritmo, se irá actualizando iterativamente con las contribuciones de los regresores seleccionados. Inicialmente no contiene ningún regresor. Paso 1. Selección del regresor más relevante En cada iteración del algoritmo, se evalúan todos aquellos regresores que aún no han sido incorporados al support set S(k). Esta evaluación se basa en calcular la correlación cruzada entre cada regresor disponible y el residuo actual, normalizada por la autocorrelación del propio regresor. Esto permite comparar el aporte relativo de cada regresor sobre el residuo, evitando que los regresores con mayor norma dominen únicamente por su potencia. El regresor con la máxima correlación cruzada normalizada se incorpora al modelo. s(k)=arg m´ ax i/∈s(k)|γi| √ρii ,(5.8) donde ρii representa la autocorrelación del regresor i consigo mismo, y γi mide la contribución del regresor i respecto a la señal objetivo y. Paso 2. Ortogonalización 5.1 Fundamentos del algoritmo RC-DOMP 25 Algorithm 1 RC-DOMP pseudocode Input: X,y Output: S(end),h(end) 1: Initialization:r(0)←y,S(0)←/0,Z(0)=¯ X,ˆ y(0)←0, RZ(0)=ZHZ,RZ(0)y=ZHy 2: for k=1till stopping criterion is met do 3: s(k)=argm´ axi/∈S(k)γ(k−1) i √ρii 4: S(k)=S(k−1)∪s(k) 5: T(k)=t(k) i j =           −ρi j ρii i=s(k),j/∈S(k) 1 √ρii i=j=s(k) 1i=j=s(k) 0elsewhere 6: Z(k)=Z(k−1)T(k) 7: γ(k) i=γ(k−1) i−ρs(k)i ρs(k)s(k)∗γ(k−1) s(k),i/∈S(k) 8: γ(k) i=γ(k−1) i √ρii ,i=s(k) 9: RZ(k)=T(k)HRZ(k−1)HT(k) 10: h(k)=γS(k) 11: r(k)=r(k−1)−Zk s(k)γs(k) 12: ˆ y(k)=ˆ y(k−1)+Zk s(k)γs(k) 13: end for Para asegurar que cada regresor nuevo incorporado en el support set S(k) aporte información diferente a la ya explicada por los regresores seleccionados anteriormente, el algoritmo RC-DOMP aplica una ortogonalización basada en el método de Gram-Schmidt heredada del algoritmo DOMP original. En cada iteración, se construye la matriz de transformación T(k) específica, que sirve para ortogonalizar simultáneamente todos los regresores disponibles con respecto al regresor recién seleccionado s(k). T(k)=t(k) i j ,donde: t(k) i j =                −ρi j ρii ,si i=s(k),j/∈S(k) 1 √ρii ,si i=j=s(k) 1,si i=j=s(k) 0.en otro caso (5.9) El elemento diagonal de esta matriz ( i=j=s(k) ) normaliza el regresor seleccionado, mientras que la fila correspondiente al regresor seleccionado ajusta todos los regresores aún no elegidos, eliminando cualquier información redundante relacionada con este regresor. Una vez construida, la matriz T(k) se aplica directamente sobre la matriz de regresores ortogonalizados de la iteración anterior Z(k−1) , generando así una nueva matriz Z(k) que incluye la ortogonalización correspondiente a la iteración actual. Z(k)=Z(k−1)·T(k).(5.10) De esta forma, se mantiene una base ortogonal entre los regresores seleccionados, eliminando redundancias sin necesidad de recalcular desde cero las pseudoinversas en cada iteración. Adicionalmente, se va construyendo una matriz acumulativa de transformaciones, T(k) acc , que recoge todas las transformaciones aplicadas hasta el momento: T(k) acc =T(k−1) acc ·T(k).(5.11) 32 Capítulo 6. Diseño experimental y resultados en una carga adaptada de 50 Ω tras pasar por un atenuador de 40 dB. Esta combinación de atenuador y carga adaptada tiene como objetivo evitar reflexiones y proteger el sistema ante posibles sobrecargas. Por otro lado, el puerto acoplado del acoplador dirige parte de la señal hacia el analizador vectorial de señal (VSA) Keysight PXA-N9030A, donde se capturan las muestras de la envolvente compleja en banda base de la señal de salida. Estas muestras son almacenadas y procesadas posteriormente en MATLAB®, permitiendo así calcular las figuras de mérito tales como el NMSE, ACPR y EVM para caracterizar la calidad de la señal de salida y observar cómo responde el amplificador ante distintas condiciones operativas. De esta manera, ha sido posible la implementación del ILC, donde se requiere repetir iterativamente un proceso de generación y captación de señales que pasan a través del PA. A partir de estas señales capturadas, se aplica el algoritmo RC-DOMP con el objetivo de identificar el conjunto de regresores más relevantes que permiten modelar el comportamiento no lineal del bloque DPD óptimo para este PA de forma precisa y compacta. Este análisis lo vemos en detalle en el próximo apartado. Figura 6.1 Foto del montaje. 6.2 Contexto experimental y justificación del barrido de potencia Una vez descrito el banco de medidas empleado, resulta necesario contextualizar el procedimiento seguido para la toma de datos y justificar el rango de potencias utilizado. Durante la fase experimental, se realizaron mediciones sobre el circuito descrito previamente (Figura 6.1), utilizando como estímulo una señal OFDM generada en MATLAB ® , con las características detalladas en el apartado anterior. En particular, se aplicaron 25 iteraciones del algoritmo ILC para distintos niveles de potencia de entrada, abarcando un rango desde Pgen =−33,5 dBm hasta Pgen =−27,5 dBm en incrementos de 0,5 dBm, donde Pgen es la potencia de salida del VSG. Cabe destacar que estos valores de potencia mencionados corresponden específicamente a la potencia promedio de salida del generador vectorial y no directamente a la potencia de entrada al PA. El objetivo final de estas iteraciones fue obtener una señal de entrada optimizada xILC(n) que compensara de forma eficaz la distorsión introducida por el amplificador de potencia para cada nivel de entrada. 6.2 Contexto experimental y justificación del barrido de potencia 33 Figura 6.2 Diagrama de bloques. El objetivo de obtener estas señales era poder aplicar, en una etapa posterior, el algoritmo RC-DOMP en MATLAB ® empleando como base un modelo GMP. A partir de este análisis, se pretende identificar y seleccionar los regresores más adecuados para modelar el comportamiento no lineal del amplificador. Todo este análisis se desarrolla a lo largo de los siguientes subapartados. Cabe destacar que, aunque inicialmente las mediciones se realizaron en todo el rango definido, el análisis final se ha centrado únicamente en el subconjunto comprendido entre −33,5 dBm y −29,5 dBm. Esta decisión se basa en ciertas observaciones realizadas durante la fase preliminar de experimentación. En concreto, al intentar modelar el bloque DPD óptimo, definido por la pareja de señales (u(n),xILC(n)) , utilizando la señal de mayor potencia ( −27,5 dBm), mediante un procedimiento GMP con selección ad hoc (ajustando memoria y orden según la respuesta del sistema), los resultados obtenidos fueron insatisfactorios. Este comportamiento fue analizado mediante la representación de la característica AM-AM del PA (Figura 6.3), donde la curva azul representa la respuesta original del amplificador (sin linealización), la roja corresponde a la señal optimizada obtenida mediante el algoritmo ILC, y la negra representa la respuesta final tras aplicar la predistorsión digital. En concreto, durante la ejecución del algoritmo ILC, se había establecido un límite de seguridad (hard clipping) de 16 dB sobre la PAPR para no exceder la PEP máxima del amplificador. Como resultado, en este nivel de potencia, la curva roja obtenida mostraba un corte horizontal claro en sus muestras más altas, convirtiéndose en una discontinuidad que complica demasiado el modelado del bloque DPD óptimo. Este fenómeno, lejos de ser un error, es coherente y esperable, dado que, al incrementar la potencia promedio, las muestras que exceden dicho límite de PAPR son recortadas durante el proceso iterativo del ILC, provocando así esta ligera saturación horizontal en la señal optimizada. Además, durante el proceso ILC se fijó una ganancia objetivo situada en un punto intermedio entre la ganancia lineal y la ganancia de compresión del amplificador. Esta elección responde a la necesidad de mantener una alta potencia de entrada al sistema sin sacrificar en exceso la ganancia global, lo cual permite preservar el margen dinámico del transmisor evitando retrocesos innecesarios (back-off). En este contexto, al analizar la curva resultante tras aplicar el bloque DPD (representada en negro en la Figura 6.3), se aprecia una ligera compresión en la zona final, lo que llevó a concluir que la ganancia objetivo establecida era algo 34 Capítulo 6. Diseño experimental y resultados Figura 6.3 Característica AM-AM para Pin =−27,5dBm. elevada. Este efecto es completamente normal, ya que refleja el comportamiento típico del PA cuando se opera cerca de su límite de potencia de salida, especialmente al seleccionar una ganancia objetivo distinta de la ganancia de compresión. Se trata de una saturación residual esperada que, en ningún caso, compromete la calidad de la linealización, como demuestran los resultados experimentales, los cuales confirman que el sistema sigue cumpliendo con los requisitos del estándar 5G-NR, al mantener niveles de ACPR por debajo de -45 dBc en el primer canal adyacente. Por este motivo, se considera que el sistema ha sido correctamente linealizado. Por otro lado, cabe destacar que en las medidas obtenidas se ha visto beneficiosa la inclusión de los términos conjugados lineales con memoria, dando un aporte crítico, por lo que ha sido necesaria su inclusión en el modelo GMP implementado. Figura 6.4 Comportamiento general del sistema en función de distintas potencias de entrada.. 6.3 Análisis del conjunto de regresores óptimos 35 Finalmente, analizando cómo evoluciona el comportamiento del sistema conforme aumenta la potencia promedio de salida del generador mediante las curvas AM-AM correspondientes, se concluye que, a partir de la potencia de entrada de −29,5 dBm (Figura 6.4), es cuando el efecto del hard clipping apenas se manifiesta, reflejando una distorsión poco acusada en la señal optimizada. Esta observación respalda la decisión de establecer −29,5 dBm como el límite superior del rango de potencia considerado para el análisis detallado del comportamiento del PA. En definitiva, este análisis experimental ha permitido delimitar un rango de potencias en el que el comportamiento del amplificador puede caracterizarse de forma precisa y fiable. A partir de estas condiciones, se ha obtenido las respectivas señales xILC(n) que servirán como base para aplicar el algoritmo RC-DOMP. Esto permitirá analizar con mayor precisión qué regresores resultan más representativos para modelar el comportamiento no lineal del PA en un entorno experimental controlado y coherente con las condiciones reales en las que opera el amplificador. 6.3 Análisis del conjunto de regresores óptimos En este apartado se presenta un análisis detallado del conjunto de regresores óptimos obtenidos tras aplicar el algoritmo RC-DOMP sobre las señales predistorsionadas generadas con ILC, vistas anteriormente. Para determinar el número adecuado de regresores que representan de forma precisa el comportamiento no lineal del PA, se ha utilizado el criterio del BIC, que permite alcanzar un equilibrio entre precisión del modelo y complejidad computacional. El modelo GMP utilizado en este trabajo se ha configurado siguiendo una estructura específica, determinada mediante la selección cuidadosa de varios parámetros clave: órdenes polinómicos y profundidades de memoria asociadas. En particular, se ha establecido una configuración con parámetros Ka , La , Kb , Lb , Mb , Kc , Lc y Mc . Concretamente, se ha elegido para el término lineal principal ( Ka ) un rango desde 0 hasta 6, acompañado por profundidades de memoria decrecientes definidas como La = [5,3,2,1,1,1,1] . Por otra parte, para los términos de segundo orden relacionados con la envolvente de la señal ( Kb ) y para los términos de tercer orden ( Kc ), se han seleccionado valores desde 1 hasta 5, ambos acompañados por profundidades de memoria fijas unitarias (Lb = Lc = [1,1,1,1,1]) y desfases unitarios (Mb = Mc = [1,1,1,1,1]). Además, se ha considerado explícitamente la inclusión de términos conjugados lineales con memoria (model.cs = 1), ante la posible presencia de imperfecciones I/Q observadas en las señales medidas. Código 6.1 Configuración del modelo GMP utilizado en el estudio. %% Configuración del modelo model.type = ’GMP’; model.extension_periodica = 0; model.pe = 0; model.grafica = 0; model.h = []; model.Ka = 0:1:6; % Órdenes del término principal model.La = [5 3 2 ones(1,length(model.Ka)-3)]; model.Kb = [1:5]; % Órdenes de los términos de segundo orden model.Lb = ones(size(model.Kb)); model.Mb = ones(size(model.Kb)); model.Kc = [1:5]; % Órdenes de los términos cruzados model.Lc = ones(size(model.Kb)); model.Mc = ones(size(model.Kb)); model.calculo = ’pinv’; model.dc = 0; model.cs = 1; % Inclusión de términos conjugados model.pe = 1; model.nmax = 200; 36 Capítulo 6. Diseño experimental y resultados Una vez definido el espacio de regresores a partir de esta configuración, se procede a analizar el orden en que estos términos han sido seleccionados por el algoritmo RC-DOMP en cada nivel de potencia. A partir de la tabla de resultados (Figura 6.9, Figura 6.10 y Figura 6.11) obtenida para los niveles de potencia comprendidos entre −29,5 dBm y −33,5 dBm, se observa claramente una tendencia común: el primer regresor seleccionado de forma sistemática es siempre el término lineal x(n) , lo cual resulta lógico dado que debe ser la componente más fuerte del sistema a la salida. Este primer regresor aporta una reducción significativa del error NMSE, y da cuenta de cuan no lineal es el sistema. Observando detenidamente, podemos notar que si se utilizara únicamente este término lineal para describir el modelo, el NMSE sería de aproximadamente −23,5 dB para la potencia más alta ( −29,5 dBm), mientras que para la potencia más baja medida ( −33,5 dBm) el NMSE mejoraría a −25 dB. Esta primera observación sugiere claramente que, a mayor potencia, el sistema introduce más no linealidades que este término por sí solo no es capaz de capturar, lo que incrementa significativamente el error del modelo. En particular, el término x(n)|x(n)| es consistentemente el segundo regresor seleccionado para todas las potencias analizadas, reflejando su importancia en la corrección de las primeras desviaciones no lineales del sistema. Este término representa la primera contribución no lineal al modelo y resulta especialmente relevante en las regiones donde el amplificador empieza a abandonar su comportamiento lineal, mostrando los primeros signos de compresión. A medida que se incorporan nuevos regresores al modelo, se sigue observando una mejora progresiva en el NMSE, lo que pone de manifiesto la necesidad de incluir términos más complejos que capturan adecuadamente tanto las no linealidades de orden superior ( x(n−0)|x(n−0)|4 ) como los efectos de memoria presentes en el comportamiento del PA. Regresores como x(n−1) o x(n)|x(n−2)| reflejan cómo se captura la dependencia temporal del sistema, permitiendo modelar convenientemente la memoria de corto plazo que afecta la señal. Además, resulta interesante la aparición de términos conjugados como x∗(n−0) y x∗(n−1) que, en algunos casos, son seleccionados en posiciones muy tempranas del algoritmo RC-DOMP. Este hecho subraya la influencia de fenómenos relacionados con desajustes I/Q y otras asimetrías del transmisor. Si se hace una observación general de cómo varía el orden de aparición de los regresores en función del nivel de potencia de entrada, se ve que, a partir del tercer o cuarto regresor, comienza a apreciarse una mayor variabilidad. Esta variación en el orden de selección puede deberse a que el comportamiento no lineal del PA no se manifiesta de forma uniforme en todo el rango de potencias; por tanto, su bloque DPD óptimo, tampoco. En condiciones más exigentes, como −29,5 dBm, el amplificador opera más cerca de su zona de compresión, lo que intensifica los efectos no lineales. Como consecuencia, el algoritmo prioriza términos más complejos que permiten enfocarse en esta mayor distorsión. Por ejemplo, el regresor x(n−1)|x(n)|4 aparece en la posición 7 para −29,5 dBm y −30 dBm, mientras que para −31 dBm desciende a la posición 13 y, a medida que disminuye la potencia, se selecciona aún más tarde. Este tipo de diferencias ilustra cómo la estructura del modelo se adapta a la severidad de las distorsiones que introduce el PA en cada punto de operación. En definitiva, sugiere que las no linealidades más complejas no aparecen con la misma intensidad en todos los casos, por lo que el modelo debe ajustarse dinámicamente en función del nivel de potencia aplicado. Al profundizar en el análisis del conjunto óptimo seleccionado mediante el criterio BIC, queda claro que, aunque inicialmente la incorporación de nuevos regresores genera grandes mejoras en el NMSE, a partir de cierto punto la contribución marginal de cada nuevo regresor se reduce notablemente. Esta observación refuerza la utilidad del BIC como criterio de parada para limitar la cantidad de regresores, evitando así sobreajustes innecesarios y asegurando una buena generalización del modelo. En los próximos apartados se profundizará en algunos de los aspectos observados durante este análisis. 6.3 Análisis del conjunto de regresores óptimos 37 Figura 6.5 Selección de regresores para las potencias: −29,5a−30,5dBm. 38 Capítulo 6. Diseño experimental y resultados Figura 6.6 Selección de regresores para las potencias: −31 a−32 dBm. 6.3 Análisis del conjunto de regresores óptimos 39 Figura 6.7 Selección de regresores para las potencias: −32,5a−33,5dBm. A continuación, se muestra el script principal (Código 6.2) utilizado para la obtención del conjunto óptimo de regresores. Este código carga y prepara las señales medidas, genera la matriz de regresores correspondiente al modelo GMP generado en el Código 6.1, y ejecuta el algoritmo RC-DOMP (código 6.3) para obtener los regresores ordenados por relevancia según el criterio BIC. Código 6.2 Script principal para la obtención del conjunto óptimo de regresores.. % main_regresores.m clearvars; clc; close all; nmse = @(ymod,y) 20*log10(norm(ymod-y)/norm(y)); dBm = @(x) 10*log10(rms(x).^2/100)+30; scale_dBm = @(x,P) x*10^((P-dBm(x))/20); PAPR = @(x) 20*log10(max(abs(x))/rms(x)); dBminst = @(x) 10*log10(abs(x).^2/100)+30; 40 Capítulo 6. Diseño experimental y resultados info.fc = 2140e6; info.Gin = 22.5; info.Lout = 20.9; info.RMSin_max_dut = -25; info.gDUT = 32; info.gen_out = 1; RMSin = linspace(-33.5,-27.5,13); info.nmeas = 1; info.nave = 100; Niter = 25; mus = (1/3)*ones(1,Niter); config_signal [~, ~, info_signal_id] = genera_5GNR_multicarrier_v5(info_signal); info.fs = info_signal_id.fsovs; load("measurements\medida_RMSin_29p5_id.mat") u = medida_out(end).u; x_ILC = medida_out(end).x; indices = sel_indices(u,u,0.1); conf_Sky_caso1 [U, ~, Rmat] = model_gmp_generate_X_v2(x_ILC, u, model); [hopt, s, nopt, h, Tacc] = RCDOMP(U(indices,:), x_ILC(indices), Rmat, length( Rmat)); Código 6.3 Implementación del algoritmo RC-DOMP en MATLAB. function [hopt, s, nopt, h, Tacc] = RCDOMP(X, y, Rmat, Ncoef) [~,N] = size(X); for in=1:N normX(in)=norm(X(:,in)); end Xn=X*diag(normX.^-1); Zn = Xn; h = zeros(N, 1); ve2 = zeros(1, min(Ncoef,N)); r = y; yest = zeros(size(y)); s = []; Tacc = eye(N); RZ = Zn’*Zn; Ry = Zn’*y; for k = 1:min(Ncoef,N) tic; [caux,saux]=sort(abs(Ry./sqrt(diag(RZ))),’descend’); aux2 = setxor(saux,s,’stable’); s(k) = aux2(1); T = eye(N); T(s(k), setxor(s,1:N)) = -RZ(s(k),setxor(s,1:N))/(RZ(s(k),s(k))); T(s(k), s(k)) = 1/sqrt(RZ(s(k),s(k))); Ry(setxor(s,1:N)) = Ry(setxor(s,1:N)) - ... (RZ(s(k),setxor(s,1:N))/RZ(s(k),s(k)))’ * Ry(s(k)); Ry(s(k)) = Ry(s(k))/sqrt(RZ(s(k),s(k))); RZ = T’*RZ*T; 6.3 Análisis del conjunto de regresores óptimos 41 Zn = Zn*T; r = r - Zn(:,s(k))*Ry(s(k)); ve2(k) = var(y-yest); nmse(k)=20*log10(norm(r,2)/norm(y,2)); if(rem(k,5)==0) RZ = Zn’*Zn; Ry = Zn’*y; end h(s,k) = diag(normX(s).^-1)*Tacc(s,s)*Ry(s); yest = yest + Zn(:,s(k))*Ry(s(k)); Tacc = Tacc*T; t_exec(k) = toc; if(k==1 || k==5 || k==20) figure(1); clf; imagesc(abs(RZ)); colorbar; axis square; colormap(flipud(hot)); set(gca,’YTickLabel’,[]); set(gca,’XTickLabel’,[]); drawnow; title(’Matriz de correlación’) end fprintf(’%d | %d | %s | %4.1f\n’,k,s(k),Rmat{s(k)},nmse(k)); end M = length(y); BIC = 2*M*log(ve2)+2*(1:min(Ncoef,N))*log(2*M); [~, nopt] = min(BIC); figure; clf; plot(t_exec); title([’Execution time’]); xlabel(’Iteration’); ylabel(’Running time (sec)’) figure; clf; plot(nmse,’b’,’linewidth’,2); hold on; plot(nopt,nmse(nopt),’ro’); legend(’NMSE’,’Optimum’); xlabel(’Number of coefficients’); ylabel(’NMSE (dB)’) figure; clf; plot(BIC,’g’,’linewidth’,2); hold on; plot(nopt,BIC(nopt),’ro’); legend(’BIC’,’Optimum’); xlabel(’Number of coefficients’); ylabel(’BIC’) fprintf(’Number of coefficients of the complete model: %d\n’, N); fprintf(’Last NMSE: %4.2f dB. Number of coefficients: %d\n’, nmse(end), min( Ncoef,N)); fprintf(’RC-DOMP NMSE: %4.2f dB. Number of coefficients: %d\n’, nmse(nopt),nopt ); hopt = h(:,nopt); end 6.3.1 Evaluación del Impacto sobre el NMSE Una vez analizados los regresores seleccionados para cada nivel de potencia, resulta imprescindible evaluar su impacto sobre el ajuste del modelo. Para ello, se estudia la evolución del NMSE a medida que se incor- 48 Capítulo 7. Conclusiones y líneas futuras Entre las posibles técnicas para este ajuste adaptativo, se propone como trabajo futuro el estudio y aplicación de algoritmos clásicos de seguimiento de coeficientes como: •Least Mean Squares (LMS) •Recursive Least Squares (RLS) Estos métodos, ampliamente utilizados en sistemas adaptativos, podrían integrarse dentro del sistema de predistorsión para actualizar los coeficientes en tiempo real, en función del nivel de potencia instantáneo. Finalmente, cabe destacar que este planteamiento ha sido explorado también en otros trabajos recientes mediante enfoques basados en redes neuronales. Un ejemplo relevante es el artículo [ 23 ], donde se propone un sistema basado en Artificial Neural Networks (ANN) capaz de estimar los coeficientes de un modelo Volterra (GMP) en función de la potencia de entrada del PA. Índice de Figuras 2.1 Diagrama de bloques general de un sistema de comunicaciones digitales de RF [2] 3 2.2 Espectro de una señal OFDM con 7 subportadoras 4 2.3 Representación del CP en la modulación OFDM 4 2.4 Envolvente de una señal OFDM 5 2.5 Respuesta no lineal de un PA: Zona lineal, Pi,1y zona de saturación [2] 6 2.6 Punto de intercepto de orden 3 ( IPo 3) [3] 7 2.7 Característica AM-AM del PA 8 2.8 Recrecimiento espectral producido por la distorsión no lineal del PA 10 4.1 Esquema representativo del sistema DPD en cascada con el PA 17 4.2 Esquema de la arquitectura de aprendizaje indirecto 18 4.3 Esquema de la arquitectura de aprendizaje directo [19] 19 4.4 Esquema general del algoritmo ILC aplicado al diseño de una señal óptima 20 4.5 Arquitectura completa del sistema de predistorsión digital haciendo uso del ILC 21 5.1 Representación gráfica simplificada del proceso iterativo RC-DOMP 27 5.2 Curva de convergencia del NMSE en función de los regresores añadidos durante la ejecución del RC-DOMP 28 5.3 Curva del BIC en función de los regresores añadidos durante la ejecución del RC-DOMP 29 6.1 Foto del montaje 32 6.2 Diagrama de bloques 33 6.3 Característica AM-AM para Pin =−27,5dBm 34 6.4 Comportamiento general del sistema en función de distintas potencias de entrada. 34 6.5 Selección de regresores para las potencias: −29,5a−30,5dBm 37 6.6 Selección de regresores para las potencias: −31 a−32 dBm 38 6.7 Selección de regresores para las potencias: −32,5a−33,5dBm 39 6.8 Evolución del NMSE para todas las potencias en estudio 42 6.9 LeyendaNMSE 42 6.10 Evolución del NMSE para todas las potencias en estudio - Ampliado para la selección desde el regresor 1 hasta el 10 42 6.11 Evolución del NMSE para todas las potencias en estudio - Ampliado para la selección desde el regresor 5 hasta el 47 43 6.12 Comparativa del valor de NMSE según nuevo regresor incorporado 44 6.13 Comparativa del valor de NMSE según nuevo regresor incorporado 45 49 Índice de Códigos 6.1 Configuración del modelo GMP utilizado en el estudio 35 6.2 Script principal para la obtención del conjunto óptimo de regresores. 39 6.3 Implementación del algoritmo RC-DOMP en MATLAB 40 6.4 Evolución del NMSE en función del número de regresores para las distintas potencias 43 6.5 Cálculo y representación del criterio BIC para la selección óptima de regresores 46 51 Bibliografía [1] X. Miao and G. Liu, “Research on linearization technology of power amplifier based on digital predistortion,” in 2022 IEEE 5th International Conference on Electronic Information and Communication Technology, ICEICT 2022, 2022, pp. 370–374. [2] Apuntes de la asignatura Fundamentos de Radiocomunicación . Grado en Ingeniería de las Tecnologías de Telecomunicación (ETSI). Departamento de Teoría de la Señal y Comunicaciones.: Universidad de Sevilla, Jun. 2022. [3] E. M. Valderrama, “Esquema de linealización con arquitectura de aprendizaje directo y regularización de Ridge,” Available: https://idus.us.es/handle/11441/126234, Jul. 2021. [4] J. Vuolevi and T. Rahkonen, Distortion in RF power amplifiers, 1st ed. Boston: Artech House, 2003. [5] J. Chani-Cahuana, P. N. Landin, C. Fager, and T. Eriksson, “Iterative learning control for RF power amplifier linearization,” IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, vol. 64, pp. 2778– 2789, Sep. 2016. [6] P. Celka, N. J. Bershad, and J.-M. Vesin, “Stochastic gradient identification of polynomial Wiener systems: Analysis and application,” IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 49, no. 2, pp. 301–313, Feb. 2001. [7] P. Valet, D. Schwingshackl, U. Gaier, and D. Giotta, “Digital pre-distortion for CS-DACs based on inverse modelling of Volterra series expansion,” in 2022 Austrochip Workshop on Microelectronics (Austrochip), Villach, Austria, 2022, pp. 1–6. [8] C. Crespo-Cadenas, M. J. Madero-Ayora, J. Reina-Tosina, and J. A. Becerra-González, “Formal deduction of a Volterra series model for complex-valued systems,” Signal Processing, vol. 131, pp. 245–248, Feb. 2017. [9] M. J. Madero-Ayora, J. A. Becerra, E. Marqués-Valderrama, and C. Crespo-Cadenas, “Sparse Volterrabased models for I/Q impairments and nonlinear distortion of power amplifiers,” in Proc. Int. Workshop on Integrated Nonlinear Microwave and Millimetre-Wave Circuits (INMMiC), 2025, pp. 1–4. [10] J. Kim and K. Konstantinou, “Digital predistortion of wideband signals based on power amplifier model with memory,” IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 37, no. 23, pp. 1417–1418, Nov. 2001. [11] D. R. Morgan, Z. Ma, J. Kim, M. G. Zierdt, and J. Pastalan, “A generalized memory polynomial model for digital predistortion of rf power amplifiers,” IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 54, pp. 3852–3860, Oct. 2006. [12] J. A. Becerra, M. J. Madero-Ayora, E. Marqués-Valderrama, M. Nogales, and C. Crespo-Cadenas, “Preconditioning the regression of power amplifier behavioral models and digital predistorters,” 2022 IEEE Topical Conference on RF/Microwave Power Amplifiers for Radio and Wireless Applications (PAWR), pp. 58–61, 2022. [13] J. A. Becerra, M. J. Madero-Ayora, J. Reina-Tosina, C. Crespo-Cadenas, J. García-Frías, and G. Arce, “A doubly orthogonal matching pursuit algorithm for sparse predistortion of power amplifiers,” IEEE Microwave and Wireless Components Letters, vol. 28, pp. 726–728, 2018. 53 54 Bibliografía [14] A. Barry, W. Li, J. A. Becerra, and P. L. Gilabert, “Comparison of feature selection techniques for power amplifier behavioral modeling and digital predistortion linearization,” Sensors, vol. 21, Sep. 2021. [15] C. Crespo-Cadenas, M. J. Madero-Ayora, J. A. Becerra, and S. Cruces, “A fast sparse bayesian pursuit approach for power amplifier linearization,” in 2021 IEEE MTT-S International Wireless Symposium, IWS 2021 - Proceedings. Institute of Electrical and Electronics Engineers Inc., 2021. [16] A. Abdelhafiz, A. Kwan, O. Hammi, and F. M. Ghannouchi, “Digital predistortion of LTE-A power amplifiers using compressed-sampling-based unstructured pruning of Volterra series,” IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, vol. 62, no. 11, pp. 2583–2593, 2014. [17] J. A. Becerra, M. J. Madero-Ayora, J. Reina-Tosina, and C. Crespo-Cadenas, “Sparse identification of Volterra models for power amplifiers without pseudoinverse computation,” IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, vol. 68, no. 11, pp. 4570–4578, 2020. [18] J. A. Becerra, M. J. Madero-Ayora, and C. Crespo-Cadenas, “A reduced-complexity doubly orthogonal matching pursuit algorithm for power amplifier sparse behavioral modeling,” in IEEE Topical Conference on RF/Microwave Power Amplifiers for Radio and Wireless Applications (PAWR), 2019, pp. 1–3. [19] C. Crespo-Cadenas, M. J. Madero-Ayora, and J. A. Becerra, Transmisión por radio, 6th ed. Ed. Ramón Areces, 2008. [20] C. Yu, K. Tang, and Y. Liu, “Adaptive basis direct learning method for predistortion of rf power amplifier,” IEEE Microwave and Wireless Components Letters, vol. 30, pp. 98–101, 2020. [21] E. Marqués-Valderrama, M. J. Madero-Ayora, and J. A. Becerra, “Strategies for tackling numerical issues in coefficient selection algorithms for Volterra models,” in 2025 IEEE Topical Conference on RF/Microwave Power Amplifiers for Radio and Wireless Applications (PAWR), 2025, pp. 20–25. [22] J. A. Becerra, M. J. Madero-Ayora, R. G. Noguer, and C. Crespo-Cadenas, “On the optimum number of coefficients of sparse digital predistorters: A bayesian approach,” IEEE Microwave and Wireless Components Letters, vol. 30, no. 12, pp. 1117–1120, 2020. [23] Y. Zhang, Q. Chen, K. Gao, X. Liu, W. Chen, H. Feng, Z. Feng, and F. M. Ghannouchi, “A novel digital predistortion coefficients prediction technique for dynamic pa nonlinearities using artificial neural networks,” IEEE Microwave and Wireless Technology Letters, vol. 34, pp. 1115–1118, 2024.