Dimensionamiento óptimo y automático de trazados planos

Re is a in e nacional de mé odos numé icos pa a cálculo y diseño en ingenie ía, Vol. 2, 2, 149-164 (1986) DIMENSIONAMIENTO 0PTI:MO Y AUTOMATIC O DE TRAZADOS PLANOS JUAN JOSE SENDRA SALAS P o eso i ula de Cons uccioi zes A qui ec ónicas de la E. T.S.A. de ,k illa RESUMEN Se p esen a en es e abajo un p ocedimien o au ojmá ico pa a di nensionamien o óp imo po o denado de azados de esquemas de dis ibución de edi icios en plan a. SUMMARY In his pape an au oma ic p ocedu e o op i nal design o wo dimensional building dis ibu ion plans is p esen ed. El abajo que aquí desa ollamos p e ende se i de apo ación a las o mulaciones eó icas necesa ias pa a la e isión de la u ilidad del o denado en el diseño a qui ec ó- nico. Se cen a á en la búsqueda de un p ocedimj.en o au omá ico pa a el dimensiona- mien o óp imo de azados de esquemas de dis ibución de edi icios en plan a a pa i de di e sas condiciones, unas de i adas de la p opia na u aleza de los azados planos adimensionales, y o as, de ca ac e ís icas bien di e en es, impues as po el diseñado . Tan o los espacios componen es y el p opio con o no del azado en plan a esul an e, ya dimensionado, end án o ma ec angula . OPTIMIZACION DIMENSIONAL DIE TRAZADOS PLANOS DESCRIPCION DEL PROBLEMA T abajos e in es igaciones ealizados has a la echia La mayo ía de los in es igado es a an el p oblema del dimensionamien o de azados en plan a como un p oblema de op imización: K ejci ikg Mi chell, S eadman y ~igge )' Mi chell?' Ea l y ~a ch) Sca ano14 y ~lemming:" es á i en e ellos. La o mulación gene al de un p oblema de op imización iene dada,po el es able- cimien o de una unción-obje i o y unas es icciones a cumpli po las a iables que en ella in e ienen. En los casos que nos ocupan, es as a iables son esencialmen e la longi ud y anchu a de cada uno de los espacios, y el con o no del conjun o. Casi odos Recibido: Mayo 1985 @ Uni e si a Poli ecnica de Ca alunya (España) ISSN 0213-1315 150 J.J. SENDRA SALAS los in es igado es abajan con esquemas ec angula es y con o no asimismo ec angu- la ; a lo sumo, in oducen el concep o de " ec ángulo ic icio" pa a pode emplea ambién espacios con plan a en T, en L, o en U, e c., y con o no gene al de simila es ca ac e ís icas. Pa a el dimensionamien o de esquemas se han es ablecido di e en es ipos de uncio- nes obje i o, los más usuales minimizan las dimensiones del con o no del azado en plan a: su longi ud o su anchu a, su pe íme o o su supe icie. Unas unciones-obje i o se án, pues, lineales y o as no-lineales. En cuan o a las es icciones, un p ime g upo lo cons i uyen las de i adas de la p opia na u aleza del azado en plan a adimensional; un segundo ipo ecoge á los equisi os de comunicación en e espacios; y un e ce y úl imo g upo limi a á, in e io o supe io men e, la longi ud, anchu a y supe icie de los,espacios componen es y del con o no. Igualmen e, odos es os equisi os pueden exp esa se unos lineal y o os no-linealmen e. La na u aleza, lineal o no-lineal, de las unciones-obje i o y de.las es icciones de e - mina á el mé odo de esolución a emplea en el dimensionamien o. A con inuación se enume an y desc iben los más comunes: -- P og amación lineal. Es una écnica muy pode osa que ga an iza una solución óp ima con g an e icacia. Tan o la unción-obje i o como las es icciones han de es a exp esadas en o ma lineal. - P og amación cuad á ica. Técnica usada con meno ecuencia. Pe mi e que, siendo lineales las es icciones a que deben de es a suje as las a iables, la unción-obje i o pueda adop a o ma cuad á ica. -- P og amación no-lineal. Se aplica es a écnica cuando las es icciones como la unción-obje i o pueden eni exp esadas en o ma no-lineal. Se han desa ollado a ios mé odos con es a écnica: algunos son udimen a ios y ap opiados sólo en cie os casos -po ejemplo, los mé odos de linealización-; o os u ilizan algo i mos más so is icados y de mayo aplicabilidad. - P og amación dinámica. Se pueden esol e con es a écnica an o p oblemas lineales como no-lineales. La solución inal se alcanza median e una secuencia de decisiones. Hipó esis de abajo y al e na i a a dichas in es igaciones El p ocedimien o que p oponemos pa a el dimensionamien o de azados de dis i- buciones en plan a se puede subdi idi en las siguien es e apas: 1. Sus i ución del azado adimensional po dos g a os di igidos, uno ccho izon al" y o o " e ical". 2. De inición de las condiciones de accesibilidad en e locales. 3. Condiciones mé ico-geomé icas que deben cumpli los espacios componen es y el con o no. 4. Exp esiones lineales o no-lineales co espondien es a odo ipo de equisi os. 5. De e minación de la unción-obje i o. 6. Resolución del p oblema po p og amación lineal o no-lineal, según su na u aleza. El p oceso e mina con el dibujo au omá ico clel esquema de dis ibución, ya dimen- sionado. El con o no y odos los espacios compoi~en es end án o ma ec angula . Como puede obse a se, se ha conside ado la op imización como mé odo idóneo pa a esol e el p oblema del dimensionamien o, y emplea emos la p og amación lineal y no-lineal como écnicas de esolución adecuadas a esa o mulación. No aplica emos, sin emba go, la p og amación dinámica, po que su u ilidad depende en g an medida de la habilidad del usua io pa a descompone la es uc u a del p oblema. El p ocedimien o comple o queda ecogido e i un p og ama en lenguaje FORTRAN IV pa a un o denado Hewle Packa d de la se ie 1000-M con un sis ema ope a i o RTE-IVB. El p og ama, ope ando de o ma in e ac i a, esuel e el p oblema del dimen- sionamien o óp imo de esquemas de dis ibucikln de edi icios en plan a a pa i del azado adimensional. Pa a ello, pe mi e la ealización au omá ica de cada una de ,las ope aciones necesa ias pa a cumplimen a odas las e apas señaladas en dicho p oce- dimien o, y di ige los in e cambios de in o mación en e o denado y usua io, de o ma que és e sólo in e iene en el p oceso cuando aqu5l se lo equie e. ALGORITMOS PARA EL DIMENSIONAMIENTO AUTOMATICO Y OPTIMO DE TRAZADOS PLANOS En el apa ado an e io queda some amen e desc i o el p ocedimien o a segui pa a el dimensionamien o de azados, y su subdi isibn en dis in as e apas. A con inuación, en amos a de alla las ope aciones y algo i mos que se desa ollan en cada una de ellas. Sus i ución del azado plano adimensional po dos g a os di igidos El azado plano adimensional se sus i uye pa dos g a os di igidos, uno " e ical" y o o "ho izon al". Los é ices del g a o " e ical" ep esen an a los segmen os e icales del azado, que son ce amien os y pa iciones pa alelos en e sí. Figu a 1. La egión ex e io y los dis in os locales son eemplazados cada uno po un a co. Dichos a cos es a án siemp e o ien ados, pa a los locales, desde el é ice que suple al segmen o e ical que limi a al espacio po la izquie da, hacia el é ice que ealiza las mismas unciones po la de echa. Pa a la egión ex e io , sin emba go, se adop a la o ien ación opues a. Figu a 1. DIMENSIONAMIENTO OPTIMO DE TRAZADOS PLANOS 151 Fig. 1 Fig. 2 152 J. J. SENDRA SALAS Un p ocedimien o análogo se segui á pa a la cons ucción del g a o "ho izon al": se ep esen a án po é ices los segmen os ho izon ales del azado, se eemplaza án po a cos los locales y la egión ex e io , y se o ien a án de a iba abajo los a cos que suplen a los locales, y en sen ido con a io el que hace las eces de egión ex e io , Figu a 2. Cuando se desee que los lími es de dos espacios adyacen es es én en p olongación, los segmen os e icales que los ep esen an se iden i ica án po un único é ice en el g a o que p oceda. Figu a 3. Es o es especialmen e impo an e a la ho a de de ini el con o no del azado en plan a. Figu a 4. + 2 1 k3 Fig. 3 Lj 12 12 Fig. 4 Los dos g a os ci ados pueden no se simples, po ene a cos pa alelos o múl iples. Sí se án ue emen e conexos. Ambos g a os di igidos end án de inidos po su co es- pondien e ma iz de incidencia B (bil), cuyas dimensiones son el núme o de a cos IAl -igual en ambos g a os- y el núme o de é ices 1 VI -dis in o, en gene al, en los dos g a os. Sus é minos se án: bi1=o si el a co i no incide en el e ice j, blj=l si el é ice j es o igen del a co i, y b,,=-1 cuando el é ice j sea el ex emo del a co i. De inición de la ma iz de adyacencia Una de las elaciones que hay que de ini pa a un p oblema de dimensionamien o es la de adyacencia en e locales, especialmen e en cuan o sean elaciones de acceso. Se ha conside ado que dos espacios pueden comunica se en e sí cuando ienen al menos 1 m. de con o no común (hueco de paso). Es e concep o de adyacencia, en endido como accesibilidad, iene de inido en la co espondien e ma iz A (a,,) de dimensión ([Al , )A 1 ). Sus é minos se án: a,,=O si no se es ablece comunicación en e los locales i y j y a,,=l en caso de que se es a- blezca. Como el acceso es simé ico. all=al1, y A (a,,) se á una ma iz simé ica. DIMENSIONAMIENTO OPTIMO DE TRAZADOS PLANOS Res icciones mé ico-geomé icas Las limi aciones más usuales que en la p ác ica se imponen a los locales de una dis i- bución en plan a suelen se las dimensiones 1ine:ales y supe icies, mínimas o máximas, que cada espacio deba ene . Las dimensiones mínimas y máximas de los dis in os locales y del pe íme o de la plan a son es icciones lineales. Si se in oduce11 equisi os de supe icies de los locales y del o al del azado en plan a, las es icciones se án no-lineales. Exp esiones que aducen las es icciones Como ya hemos mencionado con an e io idad, son es los ipos de es icciones que limi an el p oblema de op imización dimensional del azado en plan a. - Limi aciones dimensionales de i adas de la nalu aleza del p opio azado. - Relaciones de accesibilidad o comunicación en e espacios. - Res icciones mé ico-geomé icas impues as ii los di e sos locales y al con o no de la supe icie en plan a. La na u aleza del azado en plan a, ep esen ado po los g a os di igidos " e ical" y "ho izon al", da á o igen a una se ie de equisi os dimensionales que se aducen en un sis ema de ecuaciones lineales. Dichas ecuaciones se ob ienen aplicando la p ime a ley de Ki chho pa a edes eléc icas a ambos g a os di igidos. Como es sabido, po es a ley se puede es ablece que, en cada nudo de la ed, la suma algeb aica de las in en- sidades de co ien e concu en es es nula. La aplicación de es a ley a los dos g a os nos pe mi e a i ma que la suma de los alo es dimensionales (longi ud y anchu a de los locales y del con o no) a ibuidos a los a cos que se di igen hacia un é ice es igual a la suma de los que pa en de él. Figu a 5. Fig. 5 De es e modo, en el g a o "ho izon al" se ha á: B1.XT= O donde B1 (bij) ep esen a a la ma iz ob enida ansponiendo la de incidencia, a la que p e iamen e se ha sup imido la úl ima columna -combinación lineal de las demás-; y X es una ma iz- ila, cuyos é minos X1, X2 ,.. ., X, indican las longi udes de cada local y del con o no. Análogamen e, en el g a o " e ical" se ha á: B2 YT= O siendo B2 (b; ) la ma iz ob enida a pa i de la de incidencia del g a o " e ical" po el mismo p ocedimien o que se siguió pa a Bl ; e Y es una ma iz- ila cuyos é minos son las anchu as de los locales y del con o no. El siguien e ipo de es icciones lo cons i uyen las condiciones de accesibilidad en e locales. Las inecuaciones lineales que exp esan dichos equisi os se elabo an pa a el g a o " e ical" u "ho izon al", según la posición ela i a exis en e en el azado de los dos locales en e los que se quie e es ablece comunjcación. Sólo apa ece á es a limi ación, pues, si los a cos que ep esen an a dichos espacios en e1 ga o di igido co es- pondien e, son concu en es en un mismo é ice w, incidiendo uno po el ex e io y o o po el in e io ( é mino posi i o y nega i o, espec i amen e, en la ma iz de incidencia). Si denominamos local i a aquél cuyo cen o geomé ico en el azado en plan a(*) iene mayo o denada que el de o o local j con el que se quie e es ablece acceso, es e equisi o se e leja, en el g a o "ho izon al", si se e i ican las dos inecuaciones siguien es: donde Xi, Xj indican las longi udes de los locales i y j; y .Z Xsupi, .Z Xsupj quie en signi- ica las longi udes de dos g andes espacios que engloban a un conjun o de locales. Dichos locales se ca ac e izan po es a ep esen ados po a cos que inciden po el in e io sob e el é ice w, y sus cen os geomé icos ienen abcisa mayo que la del local i ( Z XSUPi), O inciden po el ex e io sob e el mismo é ice, y sus cen os geomé- ico~ ienen abcisa mayo que la del local j (ZXSUpj) Figu a 6. L_ _ ._ .. I Fig. 6 (*) Ci a la abcisa u o denada del cen o geomé ico de un local en el azado en plan a adimensional no supone un con asen ido, pues sólo se i á pa a si ua ' ela i amen e' unos espacios espec o de o os. DIMENSIONAMIENTO OPTIMO DI3 TRAZADOS PLANOS 155 El é mino independien e 1 indica la anchu <a del hueco de paso mínimo.(*) Es as mismas es icciones elabo adas en el g a o " : ical" pa a dos locales i y j, siendo i aquél local cuyo cen o geomé ico iene mayo abcisa que el de o o j, se exp esa ían análogamen e: donde Y,, Yj indican las anchu as de los locales i y j; y ZYsupi, ZYsupj son las anchu- as de dos g andes espacios que comp enden a un conjun o de locales. Dichos locales se ca ac e izan po es a ep esen ados po a cos que inciden po el in e io sob e el é ice w, y sus cen os geomé icos ienen o denada mayo que la del local i (CYsupi), .o inciden po el ex e io sob e el mismo é ice, y sus cen os geomé icos ienen o denada mayo que la del local j (EXSUPj). Figu a 7 En un azado en plan a de espacios y con o no ec angula es, es as inecuaciones e lejan siemp e las condiciones de accesibilidad en e dos locales. En e ec o, podemos en ende la p ime a exp esión, pa a el g a o "ho izon al", conside ando sólo dos g andes espacios: uno el que comp ende al local i y al denominado SUPi, y o o el SUPj. Figu a 8.a. con la segunda inecuación, en el mismo g a o, con emplemos la o a posibili- dad: uno que hemos llamado SUPi, y o o que e igloba al local j y a SUPj. Figu a 8.b. X Fig .7 Fig. 8.a Fig. 8.b (*) Si se emplea como é mino independien e 1, las longi udes y anchu as de los locales y del con o - no end án dadas en me os. 156 J.J. SENDRA SALAS La misma lec u a puede hace se, de o ma análoga, en el g a o " e ical". Es as inci- dencias pueden o mula se de dis in a o ma ya que, pa a el g a o "ho izon al" (Figu a 8), se cumple: donde L indica la longi ud del con o no del azado en plan a, y C XINFi, Z XINFj ienen el mismo signi icado que ,Z XsUPi y ZXSUPj, espec i amen e, pe o los cen os geomé- ico~ de los espacios que engloban ienen abcisa meno , y no mayo , que la del local i (EXINFi) y la del local j (,ZXmFj). Sus i uyendo los alo es de Z Xsupi y ZXSUPj en las inecuaciones que, pa a el g a o "ho izon al", e lejan los equisi os de comunicación de los espacios i y j, se ob en- d ía : Igualmen e pod íamos exp esa es as inecuaciones pa a el o o g a o di igido. Unas y o as, como puede o'ose a se, son simila es. El e ce y úl imo ipo de es icciones co esponde a limi aciones dimensionales y de supe icie impues as a los locales y al con o no del azado en plan a. Podemos clasi- ica las así: a) Res icciones pa a el p oblema lineal. - Aco ación supe io e in e io de las a iables longi ud y anchu a de los locales y del con o no: Si alguna a iable no es á aco ada in e io men e se le asigna á un alo mínimo igual a 1 m. b) Res icciones pa a el p oblema no-lineal. - Aco ación in e io de la longi ud y anchu a de cada local y del con o no En ealidad es as inecuaciones p e enden ija las dimensiones mínimas de locales y del con o no, sólo que dicho alo , si se quie e, puede se dis in o en una di ección que en o a. Al igual que en el caso an e io , si una a iable no es á limi ada in e io men e, se le asigna á un alo mínimo. - Aco ación in e io de la supe icie de locales y con o no Todas las es icciones impues as, lineales y no-lineales, igu a án en una ma iz de es icciones de dimensión ( 1 R 1 , 2 1 A 1 ). Donde 1 R1 indica el núme o de es icciones y IAJ ep esen a el núme o de locales más uno (co espondien e al con o no). Los é minos independien es de cada una de las limi aciones y su ipo (*) se locali- za án en sendas ma ices-columna. Na u aleza y cos es de la unción-obje i o La op imización dimensional se lle a a cabo con las siguien es unciones-obje i o: a) Funciones-obje i o lineales: - Minimiza la longi ud y anchu a -X, - del co~i o no del azado en plan a. - Con una longi ud o anchu a del con o no de e minada, ob ene es as mismas a ia- bles pa a cada uno de los locales. Pa a ello, si: ha de ija la impo ancia " ela i a" que se le da al amaño de cada uno de los espacios que componen el azado. La exp esión de es a unción-obje i o se á: m-1 min Z CimXi i= 1 donde Xi ep esen a la longi ud o anchu a de los locales exclusi amen e; y el cos e C, indica la impo ancia " ela i a" del local i. Po a a se de un p oblema de minimi- zación, al cos e se le asigna á un alo nega i o. b) Funciones-obje i o no-lineales: - Minimiza la supe icie -X, .Y, - del con o no del azado en plan a. - Con una longi ud y anchu a del con o no de e minada -y po an o una supe icie ija- calcula esas mismas a iables pa a odos y cada uno de los espacios, según la impo ancia " ela i a" que se con ie e a su supe icie den o del azado. La o mu- lación de es a unción-obje i o adop a la o ma m-1 min Z C,Xi-Yi i= 1 donde Xi, Y, ep esen an la longi ud y anchu a de los locales, espec i amen e, y el cos e Ci iene una lec u a simila a la explicada e i 1;s unción-obje i o li ieal. (*) El ipo de una es icción se e ie e a su o ma de exp esión, según se a e de ecuación o inecua- ción y, den o de es a úl ima, si es del géne o mayo o :igual; o meno o igual. 164 J.J. SENDRA SALAS CONCLUSIONES La posibilidad eó ica de dimensiona de o ma óp ima esquemas de dis ibución de espacios ha sido el pun o de pa ida de nues o es udio, posibilidad o mulada con an e io idad po di e sos au o es. T as el análisis igu oso de los p ocesos suge idos po las in es igaciones sob e el ema y su c í ica en unción de los obje i os, el abajo que p esen amos consis e, esencialmen e, en la p opues a de un p ocedimien o de op imización dimensional de azados en plan a, comple o y cohe en e, que emplea écnicas clásicas de la p og a- mación lineal y no-lineal, según la na u aleza del p oblema. El mé odo sólo es aplicable a azados en plan a donde, an o los espacios compo- nen es como el con o no, engan o ma ec angula . Las condiciones de accesibilidad en e locales ienen exp esadas po inecuaciones pa a cuya elabo ación se p opone un algo i mo nue o. Los es an es equisi os o bien se o mulan di ec amen e o se es ablecen po algo i mos ya conocidos. Se ha o mulado ambién un p ocedimien o i e a i o, basado en los es udios de Polak, pa a la esolución de p oblemas median e p og amación no-lineal, que dimen- siona e icazmen e los esquemas de dis ibución, con ajus e pos e io del mismo pa a consegui así un azado au omá ico más exac o. Con es e abajo p e endemos o ece una apo ación a odas aquellas o mulaciones des inadas a in oduci el o denado en el campo del diseño y, más conc e amen e, del diseño a qui ec ónico. REFERENCIAS 1. P.R. B yan , "G aph Theo y and elec ical ne wo ks". En applica ions o g aph heoy, (R. J. Wilson y L. W. Beineke ed.) Academic P ess, Lond es, pp. 17-57, (1979). 2. J. Cea, Op imisa ion heo ie e algo i hmes, Ed. Dunod, col. Mé hodes Ma héma iques de l'in o ma ique, Vol. 2, Pa ís, (1971). 3. C. Cha alambous, "Non linea leas p h. op imiza ion and non linea p ~~ amming" En ma he- ma ical p og amming, Vol. 12, pp. 195-225, (1977). 4. C.F. Ea l y L.J. Ma ch, "A chi ec u al applica ions o g aph heo y". 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