Estudio asintótico de las vibraciones de un cuerpo con una masa concentrada en una superficie

XX Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones X Congreso de Matem´ atica Aplicada Sevilla, 24-28 septiembre 2007 (pp. 1–7) Estudio asint´otico de las vibraciones de un cuerpo con una masa concentrada en una superficie D. G´ omez1, M. Lobo1, E. P´ erez2 1Dpto. de Matem´aticas, Estad´ıstica y Computaci´on, Universidad de Cantabria, Av. de los Castros s/n, 39005, Santander. E-mails: [email protected], [email protected]. 2Dpto. de Matem´atica Aplicada y Ciencias de la Computaci´on, Universidad de Cantabria, Av. de los Castros s/n, 39005, Santander. E-mail: [email protected]. Palabras clave: masas concentradas, an´alisis espectral, bajas frecuencias, medias frecuencias, altas frecuencias Resumen El problema que aqu´ı consideramos es un modelo matem´atico sobre las vibraciones de un cuerpo que contienen en su interior una regi´on de peque˜no espesor O(ε) limitada por dos planos paralelos y en donde la densidad es de orden O(ε−m) con m > 1. Fuera de dicha regi´on, denominada masa concentrada sobre una superficie, la densidad es de orden O(1). En [4] describimos el comportamiento asint´otico, cuando εtiende a cero, de los valores propios de orden O(εm−1) del problema espectral asociado, bajas frecuencias. Aqu´ı, caracterizamos comportamientos l´ımites de frecuencias propias de otros ´ordenes de magnitud m´as grandes, las denominadas altas o medias frecuencias. 1. Introducci´on y planteamiento del problema Sea Ω un dominio acotado de R3con frontera lipschitziana ∂Ω. Supondremos que Ω queda dividido en dos partes Ω+y Ω−por la superficie γ, esto es, Ω = Ω+∪Ω−∪γ. Para simplificar, supondremos que el plano {x3= 0}corta a Ω y que γ= Ω ∩ {x3= 0}; tambi´en supondremos que Ω tiene forma cil´ındrica en un entorno de la secci´on γ. Sea ε un peque˜no par´ametro estrictamente positivo que haremos tender a cero. Denotaremos por ωεel entorno de γde espesor ε, esto es ωε= Ω ∩ {|x3|< ε}, y por Ωεel dominio Ωε= Ω \ωε(ver Figura 1). Denotaremos por ¯x= (x1, x2) las dos primeras componentes de un punto gen´erico x= (x1, x2, x3) de R3. Consideramos en Ω el problema de valores propios: ½−∆uε=λερεuεen Ω, uε= 0 sobre ∂Ω,(1) 1 D. G´omez, M. Lobo, E. P´erez Figura 1: Configuraci´on geom´etrica. donde ρεes la funci´on densidad ρε(x) = ½psi x∈Ωε, qε−msi x∈ωε, con mun par´ametro positivo, y pyqconstantes positivas. Este problema est´a asociado con las vibraciones de un sistema compuesto por un cuerpo que contiene en su interior una regi´on muy delgada donde la densidad es mucho mayor que en el resto, la denominada masa concentrada sobre una superficie. La formulaci´on variacional del problema (1) es: Hallar λεyuε∈H1 0(Ω), uε6= 0, verificando ZΩ ∇uε· ∇v dx =λε·ZΩε puεv dx +1 εmZωε quεv dx¸∀v∈H1 0(Ω).(2) Para cada ε > 0 fijo, el problema (2) es un problema de valores propios est´andar para un operador positivo, autoadjunto y con resolvente compacta. Sea 0< λε 1≤λε 2≤ · · · ≤ λε i≤ · · · i→∞ −−−−−→ ∞, la sucesi´on creciente de valores propios de dicho problema espectral con el convenio cl´asico de repetici´on de cada valor propio tantas veces como su multiplicidad. Sea {uε i}∞ i=1 la sucesi´on de las correspondientes funciones propias las cuales suponemos forman una base ortonormal de H1 0(Ω), es decir, ZΩ ∇uε i· ∇uε jdx =δi,j para i, j = 1,2, . . . . (3) A trav´es del principio del minimax se obtiene la siguiente acotaci´on de los valores propios. Para cada i= 1,2,3, . . . fijo se tiene que Cεm−1≤λε i≤Ciεm−1si m > 1 (4) donde CyCison constantes independientes de ε, y Ci→ ∞ cuando i→ ∞ (ver [2] para la demostraci´on en el caso de una membrana). 2 Vibraciones de un cuerpo con una masa concentrada en una superficie La estimaci´on anterior nos permite asegurar que existe un fen´omeno de concentraci´on espectral en el origen. De hecho, teniendo en cuenta la desigualdad (4) y la normalizaci´on de las funciones propias (3), podemos extraer una subsucesi´on, que seguiremos denotando por ε, tal que λε i/εm−1→λ∗ icuando ε→0 y uε i→u∗ id´ebilmente en H1 0(Ω) cuando ε→0 donde λ∗ ies cierto n´umero y u∗ ies cierta funci´on de H1 0(Ω). En [4] identificamos (λ∗ i, u∗ i) con un elemento propio de un problema de tipo de Steklov        ∆u= 0 en Ω+∪Ω−, [u] = 0,·∂u ∂x3¸+λ2qu = 0 sobre γ, u= 0 sobre ∂Ω, (5) donde los corchetes indican el salto de la funci´on y de la derivada en γ, es decir, [v] = v(¯x, 0+)−v(¯x, 0−) para ¯x∈γ. La formulaci´on d´ebil de (5) es: Hallar λyu∈H1 0(Ω), u6= 0, tal que ZΩ ∇u· ∇v dx =λ2Zγ quv d¯x∀v∈H1 0(Ω).(6) Dicho problema tiene un espectro real, positivo y discreto. Denotamos por 0< λ1≤λ2≤ · · · ≤ λi≤ · · · i→∞ −−−−−→ ∞, la sucesi´on creciente de valores propios de (6) con el convenio cl´asico de repetici´on de valores propios y por {ui}∞ i=1 las correspondientes funciones propias. Adem´as, se tiene el siguiente resultado que garantiza la convergencia de los valores propios del problema (2), en el rango de las bajas frecuencias, y sus correspondientes funciones propias al problema l´ımite (6); v´ease [4] para la demostraci´on: Teorema 1 Sean λε ilos valores propios del problema (2) yuε ilas correspondientes funciones propias tales que k∇uε ikL2(Ω) = 1. Si m > 1, para cada ifijo, la sucesi´on λε i/εm−1 converge, cuando ε→0, hacia λi,i-´esimo valor propio de (6). Adem´as, para cualquier valor propio λide (6) con multiplicidad κ(λi=λi+1 =· · · =λi+κ−1) y para cualquier funci´on propia ude (6) asociada a λital que k∇ukL2(Ω) = 1, existe una combinaci´on lineal ˜uεde funciones propias asociadas a {λε k}i+κ−1 k=ital que ˜uεconverge hacia uen H1(Ω). Asimismo, para cada sucesi´on uε ipodemos extraer una subsucesi´on, que seguiremos denotando por ε, tal que uε iconverge hacia u∗ ien H1 0(Ω), donde u∗ ies una funci´on propia de (6) asociada a λi, y {u∗ i}∞ i=1 forma una base ortonormal del complemento ortogonal de {v∈H1 0(Ω) : v|γ= 0}en H1 0(Ω). En la secci´on 3 caracterizamos los comportamientos l´ımites de frecuencias propias de otros ´ordenes de magnitud m´as grandes, i.e., λε i(ε)con i(ε)→ ∞ cuando ε→0. Dada la variedad de casos que se pueden presentar dependiendo del valor de m, nos centramos en el caso m= 3. 3 D. G´omez, M. Lobo, E. P´erez Diversos autores han abordado el comportamiento de sistemas vibratorios con masas concentradas en puntos (cf. [6] para una extensa bibliograf´ıa), mientras que s´olo tenemos referencia de los trabajos en [1], [2], [5], [4] y [8] relativos a masas concentradas sobre curvas o superficies. En [1]–[2] se analizan las vibraciones de una membrana cuando m= 3 mientras que en [5] se estudian problemas stiff y se utilizan t´ecnicas muy distintas. Asimismo, en [8] se trata el problema (1) para m= 1. Con motivo de dar una visi´on general del problema en distintas dimensiones, en la secci´on 2 exponemos los resultados para la dimensi´on dos del espacio. Estos resultados suponen una variante de los obtenidos en colaboraci´on con el Profesor Yu. D. Golovaty, relacionados con el comportamiento asint´otico de frecuencias propias medias y altas de una membrana con una masa concentrada a lo largo de una curva cuando m= 3 (v´ease [1] y [2] para m´as detalles). 2. Caso de una membrana Para simplificar, consideramos una membrana situada en el dominio rectangular R= (a, b)×(−L, L) de R2con a, b, L constantes reales tales que a < b yL > 0. Sea Sla curva {¯x= (x1, x2) : a < x1< b , x2= 0}que divide a Ren dos partes R+yR−(ver Figura 2). Figura 2: Configuraci´on geom´etrica. Consideramos el problema de valores propios (1) donde Ω = Ry la funci´on densidad ρεes ρε(¯x) = ½psi ¯x∈R\(a, b)×[−ε, ε], qε−3si ¯x∈(a, b)×(−ε, ε), con pyqconstantes positivas. Dicho problema est´a asociado con las vibraciones de una membrana que contiene en su interior una regi´on muy delgada y pesada alrededor de una curva. Para cada ε > 0, el problema anterior tiene un espectro real, positivo y discreto que denotamos por {λε i}∞ i=1. Adem´as, para ifijo, los valores propios λε i, bajas frecuencias, son de orden O(ε2). No obstante, como ocurre con otros problemas que contienen masas concentradas (v´ease, por ejemplo, [7], [3] y [2]), se puede probar que existen sucesiones 4 Vibraciones de un cuerpo con una masa concentrada en una superficie de valores propios λε i(ε)de otros ´ordenes de magnitud m´as grandes que convergen; denominamos altas frecuencias a los valores propios de orden unidad, λε i(ε)=O(1), y medias frecuencias a los valores propios de orden O(ε), λε i(ε)=O(ε). Describimos los problemas l´ımites asociados a dichas frecuencias. Las medias frecuencias est´an relacionadas con los valores propios del problema de Neumann        −d2y0 dξ2=λ0qy0si ξ∈(−1,1), dy0 dξ (1) = dy0 dξ (−1) = 0. (7) F´acilmente se comprueba que los valores propios de (7) son λ0,k =k2π2 4qpara k= 0,1,2, . . . y que las correspondientes funciones propias pueden ser elegidas de la forma y0,2s(ξ) = cos(sπξ) para s= 0,1,2, . . . y0,2s+1(ξ) = sin µ(2s+ 1)π 2ξ¶para s= 0,1,2, . . . Denotamos por σ+yσ−las constantes y0,k(1) e y0,k(−1) respectivamente. De cara a describir las funciones propias asociadas a las medias frcuencias es necesario introducir el problema de tipo de Steklov                ∆u= 0 en R+∪R−, σ+u|S−=σ−u|S+sobre S, σ2 + ∂u ∂x2¯¯¯¯S+ −σ+σ− ∂u ∂x2¯¯¯¯S− +λ1qu|S+= 0 sobre S, u= 0 sobre ∂R, donde f|S+(f|S−) denota la traza de la funci´on fdefinida en R+(R−) sobre la curva S. Dicho problema tiene un espectro real, positivo y discreto que converge a infinito. De hecho, los valores propios coinciden con los de                  ∆Φ = 0 en R+∪R−, [Φ] = 0 sobre S, σ2 + ∂Φ ∂x2¯¯¯¯S+ −σ2 − ∂Φ ∂x2¯¯¯¯S− +λ1qΦ|S+= 0 sobre S, Φ = 0 sobre ∂R, mientras que las funciones propias est´an definidas a trav´es de u(¯x) = (σ+Φ(¯x) si ¯x∈R+, σ−Φ(¯x) si ¯x∈R−. 5 D. G´omez, M. Lobo, E. P´erez En relaci´on con las altas frecuencias aparece el problema de Dirichlet (−∆u=λ pu en R+∪R−, u= 0 en ∂R ∪S. El espectro de dicho problema es la uni´on de los espectros de dos problemas de Dirichlet, uno planteado en R+y el otro planteado en R−. 3. Caso de un cuerpo La extensi´on de los resultados obtenidos para la membrana con una masa concentrada en una curva, tanto los relativos a las medias como a las altas frecuencias, al caso de un cuerpo con una masa concentrada a lo largo de una superficie ser´a objeto de una publicaci´on posterior. En este caso, obtenemos que las medias frecuencias est´an relacionadas con los valores propios del problema de Neumann (7), siendo necesario recurrir al problema                ∆u= 0 en Ω+∪Ω−, σ+u|γ−=σ−u|γ+sobre γ, σ2 + ∂u ∂x3¯¯¯¯γ+ −σ+σ− ∂u ∂x3¯¯¯¯γ− +λ1qu|γ+= 0 sobre γ, u= 0 sobre ∂Ω, para describir las correspondientes funciones propias; aqu´ı f|γ+(f|γ−) denota la traza de la funci´on fdefinida en Ω+(Ω−) sobre la superficie γ. Finalmente, las altas frecuencias, valores propios de (1) de orden unidad, est´an relacionadas con los elementos propios del problema de Dirichlet: (−∆u=λ pu en Ω+∪Ω−, u= 0 en ∂Ω∪γ. Agradecimientos Este trabajo ha sido financiado por el proyecto del MEC MTM2005-07720. Referencias [1] Yu. D. Golovaty, D. G´omez, M. Lobo, and E. P´erez. Asymptotics for the eigenelements of vibrating membranes with very heavy thin inclussions, C. R. Mecanique 330 (2002), 777–782. [2] Yu. D. Golovaty, D. G´omez, M. Lobo, and E. P´erez. On vibrating membranes with very heavy thin inclusions, Math. Models Methods Appl. Sci. 14 (2004), 987–1034. [3] D. G´omez, M. Lobo, and E. P´erez On the eigenfunctions associated with the high frequencies in systems with a concentrated mass. J. Math. Pures Appl. 78 (1999), 841–865. [4] D. G´omez, M. Lobo, and E. P´erez. Sobre vibraciones de baja frecuencia de un cuerpo con una masa concentrada sobre uns superficie, Actas del XIX CEDYA, Universidad Carlos III, 2006. [5] D. G´omez, M. Lobo, S. A. Nazarov, and E. P´erez. Spectral stiff ptoblems in domains surrounded by thin bands: asymptotic and uniform estimates for eigenvalues, J. Math. Pures Appl. 85 (2006), 598–632. 6 Vibraciones de un cuerpo con una masa concentrada en una superficie [6] M. Lobo, and E. P´erez. Local problems for vibrating systems with concentrated masses: a review, C.R. Mecanique, 331 (2003), 303–317. [7] J. Sanchez-Hubert and E. Sanchez-Palencia. Vibration and Coupling of Continuous Systems. Asymptotic Methods. Springer-Verlag, Heidelberg, 1989. [8] H. Tchatat. Perturbations Spectrales pour des Syst`emes avec Masses Concentr´ees, Th´ese 3eme cycle. Universit´e Pierre et Marie Curie, Paris VI. Paris, 1984. 7