Estudio micromecánico de despegues en la interfase entre fibra y matriz en materiales compuestos

320 ANALES DE l iECANICA DE LA FRACTURA Vol. 12 ESTUDIO MICROMECANICO DE DESPEGUES EN LA INTERFASE ENTRE FIBRA Y MATRIZ EN MATERIALES COMPUESTOS J.C. del Caño , J. Cañas:j:, F. Pa ís:j:, V. Man ic:j:, J. Sánchez:j: E.T.S.I. Indus iales; Dp o. Resis encia de Ma e iales, Pº del Cauce s/n, 47011 Valladolid :j: E.T.S.I. Indus iales; Dp o. Mecánica Medios Con inuos, A . Reina Me cedes s/n, 41012 Se illa Resumen. Se p esen a un es udio numé ico basado en el Mé odo de los Elemen os de Con o no del p oblema mic omecánico de despegue pa cial en e ib a y ma iz en ma e iales compues os e o zados con ib a, bajo acción de ca gas ans e sales. El análisis con empla la posible p esencia de zonas de con ac o sin icción en la po ción despegada de la in e ase. Se iden i ica ca ác e singula de algunas componen es de ensión en la p oximidad del in del pegado, y se calculan numé icamen e pa áme os asociados a la singula idad median e un p oceso de ex apolación. La compa ación de los pa áme os conocidos analí icamen e con los alo es ob enidos esul a sa is ac o ia. Se sugie e la u ilidad po encial de es e ipo de análisis pa a de e mina p opiedades ísicas de la in e ase con el apoyo de da os expe imen ales. Abs ac . A nume ical s udy on he míc omechanícal p oblem o pa ially debonded ibe and ma ix in ans e sely loaded ibe - ein o ced composi es is p esen ed. The analysis accoun s o he possibili y o ic ionless con ac wnes along he debonded wne o he in e ace. The Bounda y Elemen Me hod is used h ough. The singula na u e o so ne s ess componen s nea he end o he bonded wne is íden i ied, and pa ame e s ela ed o he singula i y a e nume ically calcula ed by using an ex apola ion p ocedu e. Compa ison o heo e ically known pa ame e s agains i s calcula ed alues is sa is ac o y. The po en ial use ulness o his kind o nume ical analysis oge he wi h expe imen al da a in o de o de e mine physícal p ope ies o he in e ace is sugges ed. l. INTRODUCCION La obse ación median e mic oscopio de g ie as ans e sales en ma e iales e o zados con ib a, e ela que el p oceso de ag ie amien o comienza po despegues en la in e ase ib a-ma iz, pa a ni eles ela i amen e bajos de la ca ga ans e sal. Pa a ni eles supe io es de ca ga, es os despegues se conec an a a és de la ma iz o mando una mac og ie a. Po an o, las p opiedades y mecanismos de allo de la in e ase juegan un papel dominan e en el compo amien o· del ma e ial bajo ca ga ans e sal. El obje i o úl imo que anima la ealización del p esen e abajo es el es ablecimien o de un p ocedimien o pa a la cuan i icación de las p opiedades esis en es a ac u a de la in e ase. Ello pod ía se lle ado a cabo ealizando el mejo ajus e posible de los pa áme os de un c i e io de esis encia dado, al compo amien o obse ado en la expe imen ación. La dis ibución de ensiones y/o desplazamien os, que in e end á de una u o a mane a en el c i e io de esis encia, debe se pues conocida. En esumen, se ía necesa io con a con: -in o mación p ecisa ace ca del es ado ensional en condiciones de despegue de la in e ase. -da os expe imen ales ace ca de las condiciones en que se inicia y p opaga dicho despegue. El p esen e abajo se dedica al p ime o de los pun os an e io es, es udiándose la iabilidad de ob ene numé icamen e de modo su icien emen e p eciso el es ado ensional en el ipo de p oblemas conside ado, u ilizando disc e izaciones basadas en écnicas de con o no, más en ajosas que las écnicas de dominio en el ipo de p oblemas en elas icidad lineal que se es udian. En la sección 2 se expone el p oblema a analiza . Su elección esponde al c i e io de acilidad de ma e ialización y obse ación en labo a o io, si bien es os aspec os no son abo dados en es e a ículo. Las secciones 3 y 4 desc iben b e emen e las p incipales ca ac e ís icas de la écnica numé ica que se ha implemen ado pa a ob ene los esul ados que se p esen an en la sección 5. En la sección 6 se esumen las conclusiones del es udio. ealizado. ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA Vol. 12 (1995) 321 2. DESCRIPCION DEL PROBLEMA El p esen e análisis se ealiza bajo hipó esis de de o mación plana en elas icidad lineal. El p oblema p opues o· es mos ado en la Fig. l. Consis e en una ib a única; cuyas p opiedades co esponden a una ib a de id io, odeada po una ma iz de dimensiones su icien emen e g andes como pa a pode se conside ada in ini a. Las p opiedades de la ma iz co esponden a una esina epoxy. Se asumi á un ángulo de despegue 2a o ien ado simé icamen e espec o a la di ección de la ca ga, y sepa ación nula en la zona despegada cuando no ac úan ca gas ex e io es. Es conocido, e po ejemplo [1], que es e ipo de p oblemas es independien e de la ca ga, en el sen ido de que las zonas de sepa ación y con ac o (y la posible pa ición de es a úl ima en zonas de adhesión y deslizamien o, en el caso de que exis a icción), no dependen del ni el de ca ga, suponiendo que e ec i amen e se aplique alguna acción no nula de la ca ga. El alo de la acción ex e io no iene po an o una signi icación ele an e en es e es udio, pues o que odas las ensiones se án p opo cionales al ni el de ca ga; no obs an e, en la igu a 1 se indica un alo ipo cómodo pa a la obse ación du an e la expe imen ación. Solamen e se analiza á la mi ad supe io del p oblema, ap o echando la sime ía del mismo. 3. EL METODO DE LOS ELEMENTOS DE CONTORNO EN PROBLEMAS DE CONTACTO Los undamen os del Mé odo de los Elemen os de Con o no en elas icidad lineal es án bien desc i os en la li e a u a [3,4], y no se án comple amen e desa ollados aquí. Pa a el p opósi o de es a exposición considé ese un . sólido bidimensional elás ico sin ca gas de olumen. Pode nos usa el segundo eo ema de Be i pa a gene a an as ecuaciones co no necesi emos pa a calcula los pa áme os inde e minados de la solución ap oximada que hayamos plan eado p e iamen e. To na emos siemp e la solución undamen al de Kel in pa a un medio in ini o co no solución auxilia , aunque son posibles o as elecciones. Las ecuaciones que se ob ienen son de la o ma : ciJ (x)u/x)+ JaDT¡)l' (x,y)uj(y)d5(y) = = lw 'Jiij(x,y)TJ(y)d5(y) (1) dónde an es el con o no del dominio D que ocupa el sólido, "y" simboliza gené icamen e un pun o del sólido (siemp e en su con o no en es a ecuación), "x" es la posición de la ca ga unidad de la solución auxilia , "i","j" son índices que a ían de 1 a 2 en p oblemas bidimensionales, uj(y), Tj(y) son los 35x10"6 Pa zona pegada = 2n: - 2a ma iz J E=2.8 x1 0"9 Pa l Poiss=0.33 zona no pegada = 2a línea de sime ía Fig. l. P oblema a analiza y di ecciones locales de las componen es de ensión y desplazamien o. A p ime a is a pod ía pensa se que si a es pequeño no hab ía zona de con ac o, pe o en odo caso pa ece cla o que pa a a g ande, digamos 90º, exis i á una zona de con ac o en e las supe icies despegadas de la ib a y la ma iz en las ce canías de a. El es udio numé ico debe, po an o, se capaz de modela es as zonas de con ac o, lo que po o a pa e cons i ui á la apo ación más impo an e espec o a las soluciones analí ic¡iS disponibles [2], al como se comen a en la sección4. ec o es de desplazamien o y ensión en , y '! ¡j(x.y), T¡jW(x,y) son los ec o es desplazamien o y ensión de la solución auxilia , ac uando su ca ga unidad en di ección "i". Se en iende suma o io de 1 a 2 en índices que, co no "j", se epi en en el mismo é mino. Si "x" se si úa en el con o no del sólido los dos ín eg andos de (1) son singula es: la in eg al izquie da exi_s e en el sen ido del alo p incipal de Cauchy, mien as la de echa con iene sólo una singula idad débil, in eg able ·en el sen ido con encional. Adicionalmen e, si "x" es á en el con o no, depende de la geome ía local del con o no en pun o. Si "x" es á ue a o den o del 322 ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA Vol. 12 sólido, los dos in eg andos son egula es. Si "x" es á ue a es cij=O, y si es á den o, es c¡j=Oij· La écnica de con o no más popula consis e en esc ibi la ecuación (1) con el pun o uen e "x" si uado en cada una de las posiciones nodales yP (p= l...n) de una disc e ización habi ual en elemen os de con o no. Es a es la écnica empleada p incipalmen e en es e abajo, aunque ambién se usan ecuaciones ob enidas con "x" ue a del sólido pa a p opósi os pa icula es que se indica án más adelan e. La solución ap oximada, cuyos pa áme os se p e ende de e mina , se plan ea del modo habi ual, exp esando las ensiones y los desplazamien os como combinación lineal de p- unciones NP(y), no nulas en pequeñas po ciones del con o no (elemen os). Cada una de es as unciones ale 1 en un pun o pa icula del con o no (el nodo p, que se aSQGia a esa unción), y ce o en las demás posiciones nodales. Con es a elección, los pa áme os a de e mina son p ecisamen e las· componen es del desplazamien o y ensión en los nodos. La ap oximación esul a: uj(y) = í:NP(y)uj(yP) p (2) p La sus i ución de (2) en (l) pa a el pun o uen e en xq conduce a: "H'l:Pu.(yP)="G'l:P .(yP) (3) .1:,.,¡ IJ J .1:,.,¡ IJ j p p donde: si p = :. q (4) Se ha elegido ap oxima ensiones y desplazamien os en base a es posiciones nodales yP en cada elemen o: un nodo (compa ido po dos elemen os) en cada ex emo del elemen o y o o en algún pun o in e medio. Habi ualmen e se denominan elemen os pa abólicos con inuos en la li e a u a. En cuan o a la geome ía, el p oblema con iene sólo con o nos ci cula es y ec os, que pueden se desc i os exac amen e, no siendo necesa io ecu i a in e polación. Po ello se ha implemen ado geome ía exac amen e ci cula pa a los elemen os de la in e ase. La ecuación (3) plan eada pa a an os pun os xq como nodos yP engamos cons i uye un sis ema de ecuaciones algeb aicas que pe mi i ía calcula las ensiones y desplazamien os desconocidos en p oblemas de un solo cue po con condiciones de con o no co ec amen e de midas. En un p oblema de con ac o en e dos sólidos A y B (Figu a 2), las condiciones de con o no en la zona de con ac o in oluc an a iables de ambos sólidos, po lo que las ecuaciones (3) plan eadas pa a los sólidos A y B, y las ecuaciones de con ac o deben esol e se conjun amen e. Sólido A Fig. 2. Zona de con ac o y de mición de ejes locales. Las mencionadas condiciones de con ac o, pa a el caso sin icción que nos ocupa, deben ga an iza el equilib io, la ausencia de in e pene aciones, y que no haya acciones en la zona despegada (aunque puede habe las en lazona pegada). Así, pa a un pun o M en la zona pegada end emos: u (M)+ u~ CM:)= O, i=l,2 T¡A(M)=T¡B(M), i=l,2 (5) y pa a M en la zona despegada, pe o en con ac o: u~(M)+u~(M)=O T1 A (M)= T1 B (M)~ 0 Ti' (M)= T:(M) =O (6) Finalmen e, en la zona de sepa ación de la zona despegada se iene u~ (M)+ u~ (M) ~O T¡A (M)= T¡B (M)= 0, i= 1,2 (7) En los p oblemas sin icción, la solución no depende de la his o ia de ca ga, no siendo po an o necesa io plan ea la aplicación inc emen al de la misma. Po an o, la es a egia de solución se ha basado en la de e minación i e a i a de las zonas de con ac o y sepa ación. Pa a ello se pa e de una es imación de la zona de con ac o, se esuel e el conjun o de ecuaciones o mado po (3), plan eado pa a A y B, jun o a las ecuaciones de con ac o, y se comp ueba si hay iolaciones de la 2ª de las ecs. (6) o de la 1 ª de las (7). Si es así, se modi ican algunas de las condiciones de ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA Vol. 12 (1995) 323 con ac o supues as y se einicia el p oceso. La solución se alcanza cuando no se iolan las ecuaciones mencionadas. Es e p ocedimien o es una pa icula ización del algo i mo más gene al que se desc ibe en [5]. En cuan o a la esolución conjun a de las ecuaciones (3) pa a los sólidos A y B y las de con ac o, que debe ealiza se en cada i e ación del p oceso an e io , se ha implemen ado una esolución a su ez i e a i a. Se comienza esol iendo las ecuaciones (3) del sólido ma iz suponiendo desplazamien os nulos en las zonas pégadas y de con ac o. Las ensiones ob enidas son aplicadas a la ib a median e las condiciones de con ac o. Se ob iene la solución pa a la ib a bajo es as condiciones, y los desplazamien os ob enidos se aplican, nue amen e a a és de las condiciones de con ac o, al sólido ma iz. El p oceso con inúa has a que los desplazamien os de la in e ase se es abilizan con un ni el de ole ancia ela i a global p ede e minado (0.0002 en los casos p esen ados). Pa a es e ipo de p oblemas de con ac o, en los que uno de los sólidos es mucho más ígido que el o o, el p ocedimien o desc i o suele esul a en ajoso en e a la esolución conjun a de odas las ecuaciones del p oblema, po que los eque imien os de memo ia y el núme o de ope aciones suele se meno (el p oceso con e ge en dos o es i e aciones en los casos es Udiados). Adicionalmen e, es e p ocedimien o no impide ealiza una condensación p e ia ( écnica desc i a en [6]) de los g ados de libe ad que pe manecen pasi os. Ha.y que no a , sin emba go que pa a p oblemas con ma e iales de igidez simila , el p oceso con e ge más len amen e, pe diendo así su a ac i o. 4. CONSIDERACIONES ACERCA DEL ESTADO TENSIONAL EN EL BORDE DE GRIETA Si los sólidos uesen del mismo ma e ial, y el ángulo a de despegue uese muy pequeño, el p oblema p esen a ía la ípica singula idad de ensión (asociada al modo I) en el lado pegado. Sin emba go, los ma e iales son dis in os y a puede ene cualquie alo , lo que hace di ícil an icipa el ca ác e de la solución de ensiones pa a la con igu ación gene al. En e o os au o es, England [7] obse ó que la aplicación de la eo ía lineal de la elas icidad a un p oblema análogo al de la Fig.l, conside ando bo des de g ie a lib es, conduce a soluciones oscilan es ce ca del in del pegado, mani es ando es e au o que dichas soluciones son ísicamen e inco ec as, pues o que implican in e pene aciones en e los sólidos. Comninou [8-10] ha plan eado la esolución de p oblemas de g ie as ec as admi iendo zonas de con ac o, no p esen ando sus soluciones el inacep able ca ác e oscilan e an es desc i o. En [8] se mues a que con acción ans e sal a la g ie a, si uación asimilable a nues o p oblema si a es pequeño, la zona de con ac o es pequeñísima. Sin emba go, bajo ca ga combinada [9], si uación más pa ecida a la que se da en nues o p oblema en la ecindad del in del pegado si a no es pequeño, la zona de con ac o cub e buena pa e de la longi ud de la g ie a. Lo an e io sugie e que eó icamen e end emos siemp e zona de con ac o, lo que hace espe a un papel impo an e del allo po co an e en la p opagación de la g ie a [8, 10], con independencia de la o ien ación de la misma espec o de las ca gas ex e io es. En o o o den de cosas, la modelización numé ica de la discon inuidad de ¡ en el in del pegado usando el ipo de elemen o e e ido en la sección 3, equie e alguna ac uación especial. Se ha implemen ado una écnica de nodo doble, que pa a un sólido A consis e en coloca dos nodos en la misma posición geomé ica, jus o en el pun o de discon inuidad, eniendo cada nodo (lA, 2A en la ig.3) de mida su unción de ap oximación N1A(y), N2A(y), sob e un elemen o dis in o. La Fig.3. mues a la disposición de nodos dobles, lA, 2A, lB, 2B, en un p oblema de con ac o, asi como los elemen os adyacen es. sólido A lA 2A ~$~ _y~ sólido B lB 2B Fig. 3. Nodos dobles en el in del pegado. En nues o caso, lA y lB es a án siemp e pegados, siéndoles de aplicación las ecuaciones (5). Los nüQos 2A y 2B pueden es a , en la solución numé ica, en con ac o o bien en sepa ación, aplicándose las ecuaciones (6) o (7). En odo caso, enemos 16 incógni as en la discon inuidad (cua o po nodo), y ocho ecuaciones de con ac o. Las o as ocho ecuaciones que p ecisamos se han ob enido median e una de las dos opciones siguien es: 1 ª, plan eando la ecuación (3) pa a cada sólido. con xP en lá discon inuidad (4 ecuaciones), y u¡(IA)=u¡(2A), u¡(1B)=ui(2B) (o as 4 ecuaciones), o bien 2ª, plan eando dos ecuaciones del ipo (3) en cada sólido, con xP en el ex e io de los mismos (8 ecuaciones). En la Fig.3. se indican con aspas, a escala o ien a i a, las posiciones que se han usado en es e abajo. La opción 1 ª, más simple, es ap opiada sólo si 2A y 2B es án en 324 ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA Vol. 12 (1995) sepa ación, ya que en o o caso, la p ime a de las ecuaciones (6) esul a edundan e. En odo caso, se ob iene, como debe ocu i , el mismo desplazamien o en los cua o nodos, sal o e o es numé icos inhe en es a la e aluación de las in eg ales en (4), y de la esolucióñ del sis ema lineal de ecuaciones. S. RESULTADOS Las disc e izaciones se ealizan de modo que la p ime a dis ancia en e nodos desde el in del pegado sea pequeña ( ípicamen e 0.001 º), siendo cada in e alo nodal sucesi o el doble que el an e io . En odos los casos analizados se encuen an oscilaciones de la solución numé ica, que a ec an únicamen e a los es o cua o nodos más p óximos a a, con independencia de ló ce cano que se si úe el nodo más p óximo. Es as oscilaciones se a ibuyen al hecho de que en los nodos en e=a. la ensión es eó icamen e in ini a, y no puede ep esen a se numé icamen e. Los esul ados en los nodos a ec ados po es a ines abilidad simplemen e se han desca ado. 72 o ~ M ~ 00 ~ M M M Wº ~~~~~~~=n==~e -5 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 Fig. 4. Tensiones calculadas pa a el caso a = 80º El ca ác e singula de cada componen e de ensión se ha iden i icado, además de po simple inspección, median e dos p ocedimien os: a) compa ando la e olución al a ina la disc e ización, usando disc e izacíones con su nodo más p óximo á a a 0.01º, 0.001º, y 0.0001º y, b) comp obando la apa ición de un segmen o casi ec o en g á icos análogos a la Fig.6, que ep esen an log(T¡) en e a -log 1 a-e l. La Fig. 4. mues a la dis ibución de ensiones no males y angenciales pa a despegue a = 80º, como ejemplo. Se ap ecia e olución singula de la ensión angencial T2 en la zona pegada (9>a), y de la ensión no mal T 1 en la zona de con ac o (Eka). La ensión no mal T 1 en la zona pegada no p esen a ca ác e singula . Pa a a = 60º (Fig.5) se ap ecia el mismo ca ác e de cada componen e de ensión. 59.5 10 60.5 61 61.5 o~~~~~~==~~ -10 e -20 -30 -40 -50 -60 -70 -80 T(xlOA-7) Pa Fig. 5. Tensiones calculadas pa a el caso a= 60º Pa a a mayo que unos 40º, las disc e izaciones empleadas de ec an alguna zona de con ac o, y las soluciones p esen an el aspec o de las Figs.4 y 5. Es no o io que pa a a meno que unos 75º coexis an una acción (no singula ) en la zona pegada con una inmedia a zona de con ac o en la zona despegada. Si a es meno de ap oximadamen e 40º, la zona de con ac o no es cap ada po las disc e izaciones empleadas, aba cando po an o menos de 0.0001 º· Pa ece cla o que la solución pa a bo des lib es (numé ica o analí ica) pod ía aplica se pa a p opósi os p ác icos en es os casos sin e o ap eciable. 2.5 Log( T2 x 10"-7 Pa) 2 -·- a=60º ---{j;-- a=80 º 1.5 / -Log ( (9-a) ad ) o 2 3 Fig. 6. T 2 en e a (9--a.), a escala loga í mica. La apa ición de una zona ec a en las p oximidades de 9=a en g á icas loga í micas de ensión en e a dis ancia al in del pegado, es mos ada en la Fig.5 pa a dos casos ep esen a i os. La pendien e de es os segmen os ec os es el o den de la singula idad, mien as que su o denada en el o igen es ácilmen e elacionable .con el ac o de in ensi icación. El o den de la singula idad así calculado se mues a en la Tabla 1, jun o con el coe icien e de co elación 2 ob enido en el ajus e po mínimos cuad ados de los segmen os "casi ec os" iden i icados. Se han usado seis pun os pa a cada ajus e. ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA Vol. 12 (1995) 325 Pa a juzga la p ec1s1on de los esul ados, cabe compa a el o den calculado de las singula idades con el del p oblema, localmen e simila , de in e ase ec a, con zona pegada y subsecuen e zona de con ac o. Es e o den se calcula exac amen e a pa i de las exp esiones dadas en [11], demos ándose que pa a el caso sin icción, ale 0.5, y que no depende de las cons an es elás icas. La compa ación con los ó denes de singula idad ob enidos e ela una di e encia meno del 1%. Adicionalmen e, exis e una conco dancia excelen e en e los esul ados ob enidos cuando no se cap a zona de con ac o (a<40º; no se mues an es os. esul ados po que su in e és es anecdó ico disponiéndose de solución analí ica) y la co espondien e solución analí ica [2]. Tabla 1. O denes de singula idades calculados numé icamen e, y con ac o de ec ado. Zona pegada Con ac o a ¡ 2 o den 60º , 0.9998 0.505 0.1º 80º , 0.9996 0.504 7º 6. CONCLUSIONES Se ha econocido, en base a los esul ados numé icos y a soluciones analí icas ya disponibles, que la p esencia de ma e iales di e en es en el p oblema de despegue pa cial en e ib a y ma iz implica la p esencia de zonas de con ac o en la zona despegada. Se ha mos ado que la ensión no mal en la zona pegada no es singula , dándose la so p enden e posibilidad de que sea de acción, a pesa de la p esencia inmedia a de lá zona de con ac o. La comp esión en la zona de con ac o y la ensión angencial en la zona pegada se han iden i icado como singula es. Es e ca ác e de las soluciones es aco de con el p esen ado en [8,9] pa a g ie as ec as. Cuando la zona de con ac o es muy pequeña, la disc e ización puede no cap a la. En es os casos pa ece cla o que la solución analí ica disponible se pod ía aplica sin e o ap eciable, al como se hace en [2]. De la p ecisión ob enida en el es udio numé ico ealizado, cabe conclui la alidez del mé odo seguido pa a ob ene el es ado de ensión de modo su icien emen e p eciso, jus amen e en los casos en que la aplicación de la solución analí ica mencionada p oduci ía e o es impo an es. Desde un pun o de is a p ác ico, el pa áme o de in e és se á el ac o de in ensi icación, o el p opio es ado de . ensiones y desplazamien os ce ca del bo de de g ie a. La p ecisión ob enida pa a el o den de la singula idad, pe mi e es ima la p ecisión ob enida en o as a iables del p oblema. Ag adecimien o. El apoyo económico apo ado po la Caja de Aho os de Salamanca bajo su P oyec o pa a Jó enes In es igado es es co dialmen e ag adecido. REFERENCIAS [1] Gladwell G.M.L., "Con ac p oblems in he classical heo y o elas ici y", Sij hoo & Noo dho In . Publ., Ge man own, Ma yland, USA (1980). [2] Toya M. "A c ack along he in e ace o a ci cula inclusion embedded in an in ini e so lid", J. Mech. Phys. Solids, VoL 22,325-348 (1973). [3] B ebbia C.A., Telles J.C.F. and B owen L.C., "Bounda y Elemen Techniques", Sp inge - Ve lag, Be lin,(l984). [4] Hall W.S. "The bounda y Elemen Me hod", Kluwe Academic Publishe s, Do d e ch, (Holanda) (1994) [5] Pa ís F. & Ga ido J.A., "An inc emen al p ocedu e o ic ion con ac con ac p oblems wi h he B.E.M.", In . J. o Enginee ing Analysis wi h Bounda y Elemen s, Vol 6, nº 4, 202-213 (1989). [6] Pa ís F. & Ga ido J.A., "Aspec os numé icos de la aplicación del M:E:C: al p oblema de con ac o", Re . 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