Una solución numérica eficiente para problemas dinámicos de mecánica de la fractura

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[email p o ec ed] Los p oblemas de Mecánica de la F ac u a pued :n esllldia se usando la o mulación clásica de elemen os de con o no combinada con la subdi isión del dominio po medio de con o nos in e nos a i iciales que no es án únicamen e de inidos. La necesidad de emplea sub egiones desapa ece cuando se combinan la ecuación in eg al clásica y la ecuación in eg al en acciones. Una de las p incipales di icul ades que se de i an del uso de la ep esen ación in eg al de las acciones es la e aluación de las in eg ales hipe singula es. En es e abajo las in eg ales hipe singula es se ans o n1an analí icamen e en in eg ales egula es que pueden e alua se numé icamen e. Se p esen a la o mulación e implemen ación e ec i a de es a onnulación mix a pa a p oblemas dinámicos annónicos idimensionales de Mecánica de la F ac u a. Se u iliza po p ime a ez la ep esen ación in eg al idimensional de las accione, pa a p oblemas de es e ipo. Los ejemplos numé icos mues an la e icacia del modelo p opues o. Los esul ados se compa an con los ob enidos po o os au o es u ilizando di e en es p ocedimien os. 1.- INTRODUCCIÓN. Las Ecuaciones In eg ales de Con o no Hipe singula es han apa ecido como una buena alle na i a a la o mulación clásica de Elemen os de Con o no (EC) pa a el análisis de p oblemas de ac u a. En es e abajo se ans o ma la ep esen ación in eg al de las acciones pa a p oblemas elás icos idimensionales en el dominio de la ecuencia de o ma que puedan e alua se numé icamen e sin di icul ades especiales. Es e abajo es una ex ensión a p oblemas dinámicos de uno an e io de Domínguez e al. (2000) en el que se p esen ó la o mulación pa a p oblemas elas os á icos idimensionales de g ie as. 2.- ECUACIÓN INTEGRAL DE CONTORNO EN TRACCIONES EN ELASTICIDAD. La ep esen ación in eg al clásica de los desplazamien os pa a un pun o in e no y de un cue po elás ico O cuyo con o no es una supe icie egula í con no mal ex e io uni a ia n(x) bajo condiciones de ue zas de olumen nulas, puede esc ibi se como: 1481 u,(y )+ P,: (x,y )u* (x)d -Ju: (x,y )p* (x)d = O (1) pa a /, k = 1, 2, 3; donde uk y Pk ep esen an la componen e k de los ec o es de desplazamien os y acciones, espec i amen e, y u,/, pi/ son los enso es de desplazamien os y acciones de la solución undamen al, espec i amen e. Las ensiones en pun os in e nos pueden ob ene se de i ando los desplazamien os en un pun o y e in oduciendo las de o maciones co espondien es en la elación ensión-de o mación. La ep esen ación in eg al de las componen es de las acciones se ob iene de i ando la ecuación ( 1 ), haciendo uso de la ley de Hooke y las componen es del ec o de acciones. /1 1 (y)+ s ,,k (x,y )N,,, (y )u, (x)dI- - d,;,,* (x,y )N,,, (y )p* {x)d = O (2) En el caso de p oblemas es á icos, después de a ias ans o maciones de la ecuación (2), se ob iene une EIC gene al en acciones en é minos de in eg ales egula es y débilmen e singula es únicamen e: 1 P, (y)+ J ,,,,kN,,,[u* (x)-11, (y )-u u. (y X-• 1 -Y 1 )]-d,;,,,N,,,[p, (x)- P (y )] (3) ) 1, (y)!,* +u 1 (y )1,,,k + P (y )K,* ]= O 4; 1- donde I 1k , J 1 h k y K 1k se dan en Domínguez e al. (2000) pa a p oblemas es á icos. En el caso de una exci ación dinámica la p ime a in eg al en la ecuación (3) pe manece igual i.e., és a con iene la o ma egula izada de los núcleos es á icos, los é minos I 1 k , J 1 hk y K1k ambién pe manecen como en el caso es á ico, y el único cambio en la ecuación (3) es la suma de dos in eg ales de con o no egula es y débilmen e singula es con eniendo la di e encia en e los núcleos dinámicos y es á icos. Es as in eg ales se e alúan numé icamen e en odos los casos. 3.- FORMULACIÓN DE ELEMENTOS DE CONTORNO La p esen e écnica de EC, basada en el uso de la EIC en acciones en combinación con la EIC clásica, iene algunas ca ac e ís icas en común con el Mé odo Dual de Elemen os de Con o no p esen ado po Mi y Aliabadi (] 992) pa a p oblemas es á icos y po Wen e al. ( 1998) pa a el es udio de p oblemas dinámicos 1482 usando la ans o mada de Laplace. En el p esen e abajo se empica una o mulación en el dominio de la ecuencia en combinación con elemen os cuad á icos a un cua o. Pa a p oblemas en los que la geome ía co esponde a una o a ias g ie as incluidas en un medio in ini o, solo se u iliza la EIC en l acciones en una ca a de la g ie a y se elige como a iable básica la Ape u a de G ie a. Pa a p oblemas de cue pos in ini os con g ie as in e nas, se esc ibe la EIC en acciones pa a una de las ca as de la g iela y la EIC clásica pa a el con o no ex e io . La a iable b,ísica en la g ie a es la Ape u a de G ie a , mien as que las a iables del con o no ex e io son acciones y desplazamien os. En los casos en los que exis en g ie as ex e io es, los desplazamien os en la in e sección e111 e la g ie a y el con o no ex e io son incógni as del sis ema; sin emba go se necesi an los desplazamien os en ambas supe icies de la g ie a. En es os casos se esc ibe la EIC en acciones pa a una supe icie de la g ie a y la EIC es ánda pa a la o a. Hay una di e encia impo an e en la colocación en e la EIC en acciones y la EIC clásica. En la EIC en acciones, el desplazamien o en el con o no debe sa is ace la condición de con inuidad de Holde . u k E c 1 .o. en el pun o de colocación. Como consecuencia de es o no puede u iliza se en los nodos si uados en el con o no del elemen o la colocación es ánda . Siguiendo la idea de Gallego y Domínguez ( 1996) pa a dos dimensiones, el con o no se disc e iza con elemen os de supe icie cuad á icos es ánda . Sin emba go, no se coloca en los nodos del con o no, sino en cie os pun os ce ca de los nodos en el in e io de los elemen os. Es e mé odo de Colocación Múl iple ha sido u ilizado con éxi o pa a p oblemas es á icos po Domínguez e al. (2000). 4.- EJEMPLOS NUMÉRICOS Han sido analizados a ios p oblemas dinámicos de g ie as que mues an la p ecisión y sencillez de es e mé odo. El p ime p oblema que se es udia co esponde a una g ie a ci cula en un medio in inilo. Sob e la g ie a se p opaga un onda longi udinal a lo la go de la di ección pe pendicula a la supe icie de la g ie a. El coe icien e de Poisson del ma e ial es =0.25. En la igu a 1 se mues a la malla de EC, los elemen os si uados en el en e de la g ie a ienen sus nodos in e medios a un cua o de su longi ud. 1483 Fig. l. Disc e ización de EC pa a g ie a ci cula en medio in ini o. En la igu a 2 se ep esen a la ampli ud de la Ape u a de G ie a pa a di e en es posiciones a lo la go del adio pa a a ios alo es del pa áme o ak=aw/c1; donde, a es el adio de la g ie a, w es la ecuencia de exci ación y c 1 es la elocidad de onda longi udinal del ma e ial. Los alo es de la Ape u a de G ie a se no malizan con el desplazamien o del pun o cen al pa a una ca ga es á ica de igual ampli ud. Los alo es calculados se compa an con los ob enidos po B ud cck y Achenbach ( 1988), Mal ( 1970) y Sáez y Domínguez ( 1999). Los cua o g upos de esul ados p esen an un g an acue do. 2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 O.O 0.2 0.4 ·--BEM X Mal (1970) o Bud eck& Achenbach (1988) · - - - - · Saez & Dominguez (1999) X 0.6 0.8 ia Fig. 2. Ape u a de G ie a no malizada. 1484 1.0 La igu a 3 mues a los acLO es de in ensidad de ensión K 1 ob enidos a pa i de la Ape u a de G ie a de los nodos a un cua o pa a un ango de ecuencias O aw/c 1 1.5 y dis in os alo es del módulo de Poisson; siendo K1 Ji /c K 1 = 2(1- ) Llu. L (4) donde L es la longi ud del elemen o y Llu la Ape u a de G ie a de los nodos a un cua o. Los esul ados mues an un buen acue do con los ob enidos po Pa LOn (1989). 16,···-···-···········-·---·········-·-·-············-·--·-·············-···-···········-·········--····························-···········--, 1.4 1.2 08 0.25 --Pa on (1989) --B.E.M. 05 0.75 o,a/c1 1.25 1.5 Fig. 3. Fac o de in ensidad de ensión de ape u a pa a una onda de p esión. En la con e encia se discu i án o os dos ejemplos numé icos. Uno co esponde a una g ie a elíp ica en medio in ini o some ida al e ec o de ondas longi udinales a mónicas. El úl imo ejemplo co esponde a una g ie a semielíp ica de bo de con enida en una ba a p ismá ica some ida a acción a mónica uni o me en las ca as pa alelas a la g ie a. 5.- CONCLUSIONES En es e abajo se ex iende a p oblemas dinámicos idimensionales en el dominio de la ecuencia una o mulación que pe mi e a a la EIC en acciones sin g andes di icul ades. Las in eg ales hipe singula es se ans o man pa a da luga a in eg ales de supe icie egula es o débilmen e singula es que pueden in eg a se numé icamen e. 1485 El p ocedimien o de in eg ación es an gene al que pe mi e ans o ma la o mulación hipe singula de EC en algo an cla o, gene al y ácil de maneja como la o mulación clásica. Los elemen os a un cua o se emplean pa a p oblemas de g ie as sin ninguna di icul ad. Los esul ados numé icos ob enidos pa a g ie as con geome ías di e en es mues an que el mé odo es p eciso y obus o. 6.· AGRADECIMIENTOS Los au o es desean ag adece a la Di ección Gene al de Enseñanza Supe io del Minis e io de Educación y Cul u a el apoyo económico ecibido a a és de los p oyec os PB96-l 380 y PB96-l 322-C03-01. 7 .- REFERENCIAS l. BUDRECK, O.E. y J.D. ACHENBACH (1988) "Sca c ing om Th ee- Dimensional Plana C acks by he Bounda y In eg al Equa ion Me hod", In . J. Nume . Me h. Eng., 55, pp. 405-412. 2. DOMÍNGUEZ, J., M.P. ARIZA y R. GALLEGO (2000) .. Flux and T ac ion Bounda y Elemen s wi hou Hype singula o S ongly-singula In eg als", In . J. Nume . Me h. Eng., 48. pp. 111-135. 3. GALLEGO, R. Y J. DOMÍNGUEZ (1996) .. Hype singula BEM o T ansien Elas odynamics". ln . J. Nume . Me h. Eng., 39, pp. 1681-1705. 4. MAL, A.K. (1970) ·'Jn e ac ion o Elas ic Wa es wi h Penny Shape C ack", In . J. Eng. Sci., 8, pp. 381-388. 5. MI, Y. y M.H. 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