Regularidad anisótropa de un problema de Ecuaciones Primitivas

XX Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones X Congreso de Matem´ atica Aplicada Sevilla, 24-28 septiembre 2007 (pp. 1–8) Regularidad anis´otropa de un problema de Ecuaciones Primitivas. D. Bresch1, F. Guill´ en-Gonz´ alez2, M. A. Rodr´ ıguez-Bellido2 1Laboratoire de Mod´elisation et Calcul, Universit´e Joseph-Fourier, Grenoble (France) E-mail: [email protected]. 2Dpto. E.D.A.N., Universidad de Sevilla, Aptdo. 1160, E-41080 Sevilla. E-mails: [email protected], [email protected]. Palabras clave: Regularidad, flujos geof´ısicos, hip´otesis de techo r´ıgido, ecuaciones hidrost´aticas. Resumen En este trabajo estudiamos la regularidad de las Ecuaciones Primitivas (EP) del Oc´eano, con condici´on de contorno sobre ∂zven el fondo, siendo vla velocidad horizontal y zla variable de espacio vertical. Dicha condici´on no es est´andar cuando el fondo no es plano, ya que entonces ∂zvno coincide con la derivada normal asociada al operador de segundo orden de (EP) que es de tipo Laplaciano. En primer lugar demostramos que, para determinadas configuraciones del fondo del dominio, hay existencia de soluci´on d´ebil global en tiempo. En segundo lugar, reformulando el problema con las nuevas inc´ognitas ∂zvy¯ v(siendo ¯ vla media vertical de v), demostramos de manera simult´anea que ∂zvy¯ vposeen regularidad H2en espacio para datos peque˜nos. Finalmente, analizamos la regularidad de orden superior para ambas velocidades, obteniendo que (∂zv,¯ v) poseen regularidad de tipo H3en espacio, lo que a nuestro conocimiento son los primeros resultados de regularidad superior a H2para (EP). 1. Introducci´on y resultados Las Ecuaciones Primitivas (EP) son un sistema en velocidad-presi´on que modelan gran cantidad de flujos geof´ısicos 3D, en particular el movimiento del agua en el Oc´eano inducido por la velocidad del viento en superficie y las fuerzas centr´ıpetas y de Coriolis. Se obtienen a partir de las ecuaciones de Navier-Stokes (NS) con viscosidad anis´otropa (turbulenta), suponiendo dos simplificaciones importantes: la presi´on hidrost´atica y la hip´otesis de techo r´ıgido (superficie del agua fija) [6, 5]. 1 D. Bresch, F. Guill´en-Gonz´alez, M. A. Rodr´ıguez-Bellido Supongamos T > 0 el instante final de tiempo y Ω ⊂R3el dominio oce´anico Ω = {(x, z)∈R3:x∈S, −h(x)< z < 0}, donde S⊂R2es el dominio de la superficie y h:S→Res la funci´on que determina el fondo. La frontera de Ω es ∂Ω=Γs∪Γb∪Γlsiendo Γsla superficie del oc´eano, Γbel fondo y Γllas paredes laterales (talud oce´anico). Un problema modelo que retenga las principales dificultades anal´ıticas se reduce a encontrar una velocidad horizontal v= (v1, v2) : (t;x, z)∈(0, T)×Ω→R2y una presi´on superficial p: (t;x)∈(0, T)×S→R, tales que: (EP)          ∂tv−∆v+v· ∇xv+v3∂zv+∇xp=fen (0, T)×Ω, ∇x· hvi= 0 en (0, T)×S,v|t=0 =v0en Ω, ∂zv|Γs∪Γb=0,v|Γl=0en (0, T), siendo v3(x, z) = R0 z(∇x·v)(x, s)ds la velocidad vertical. Denotamos por ∇xel gradiente horizontal y por ∆ el laplaciano tridimensional. con hvi(x) = R0 −h(x)v(x, z)dz. Finalmente, hvi(x) = R0 −h(x)v(x, z)dz La regularidad de este sistema presenta dificultades debido a la singularidad de la convecci´on vertical v3∂zv. Son varios los autores que han estudiado la regularidad d´ebil (v∈L2(0, T;H1(Ω))) de (EP) (ver p.e. [5]), la regularidad fuerte para el sistema lineal estacionario ([7]), o la regularidad fuerte (v∈L2(0, T;H2(Ω))) del sistema no lineal (ver p.e. [3]). En [3, 4] se usan ”estimaciones anis´otropas”, aprovechando la particular estructura de las (EP), donde ∂zv3es regular pero no ∇xv3. En este trabajo estudiamos la regularidad de las Ecuaciones Primitivas (EP) con la condici´on de contorno sobre ∂zven el fondo. Dicha condici´on no es est´andar cuando el fondo no es plano, ya que entonces ∂zvno coincide con la derivada normal asociada al operador de segundo orden de las (EP) que es de tipo Laplaciano. Sin embargo, estas condiciones de contorno sobre ∂zvson usadas por varios autores para la implementaci´on de esquemas num´ericos (p.e. [2]). En §2 demostramos que, para determinadas configuraciones del dominio, hay existencia de soluci´on d´ebil global en tiempo. En §3, vemos que la derivada vertical de v,∂zv, es f´acil demostrar que posee regularidad d´ebil gracias a las condiciones de contorno consideradas. Como consecuencia, en §4.3 y reformulando el problema con las nuevas inc´ognitas ∂zvy¯ v(siendo ¯ vla media vertical de v), demostramos simult´aneamente que ∂zvy¯ v poseen regularidad L2(0, T;H2(Ω)) para datos peque˜nos. Finalmente, en §4.4 analizamos la regularidad de orden superior para ambas velocidades, (∂zv,¯ v)∈L2(0, T;H3(Ω)), lo que a nuestro conocimiento son los primeros resultados de regularidad superior a H2(Ω) para (EP). 2. Regularidad d´ebil del sistema Teorema 1: Sea f∈L2(0, T;L2(Ω)). Supongamos que, o bien h∈W2,3(S)y se verifica la condici´on de disipaci´on (2), o bien h∈H2(S)y se verifica la condici´on de 2 Regularidad anis´otropa de un problema de Ecuaciones Primitivas. disipaci´on (3) junto con ∇xh·n∂S = 0. Entonces, el Problema (EP)posee soluci´on d´ebil v∈L∞(0, T;L2(Ω)) ∩L2(0, T;H1(Ω)). Si consideramos una funci´on hm´as regular, h∈W2,q(S) para q > 2, tambi´en podemos concluir el mismo resultado sin imponer condiciones adicionales de disipaci´on. Sin embargo, en ese caso, el sistema no es f´ısicamente aceptable al no ser disipativo. Esquema de la prueba: Tomando ϕ=vcomo funci´on test para (EP), obtenemos: 1 2 d dtkvk2 L2(Ω) +k∇vk2 L2(Ω) =ZΩ f·vdΩ− h∂j(v|Γb), ∂jhv|ΓbiH−1/2(S),H1/2(S).(1) Para obtener la acotaci´on en las normas d´ebiles, la principal dificultad est´a en la estimaci´on del ´ultimo t´ermino. Podemos optar por dos opciones: 1) acotar directamente de la forma: h∂j(v|Γb), ∂jh(x)v|ΓbiH−1/2(S),H1/2(S)≤ k∂j(v|Γb)kH−1/2(S)k∂jh(x)v|ΓbkH1/2(S) ≤Ckv|Γbk2 H1/2(S)k∇xhkW1,3(S)≤Ckvk2 H1(Ω) k∇xhkW1,3(S) donde para obtener una desigualdad de energ´ıa de tipo disipativo impondremos la condici´on de disipaci´on: k∇xhkW1,3(S)<<; (2) o bien 2) integrar por partes el t´ermino en dualidad (usando resultados de [3, 4] y teniendo en cuenta que H1/2(Ω) ,→L4(∂Ω)), obteniendo: |−h∂j(v|Γb), ∂jhv|ΓbiH−1/2(S),H1/2(S)|=ZS |v|Γb|2∆xh dx≤ kv|Γbk2 L4(S)k∆xhkL2(S) ≤Chk∇xvk2 L2(Ω) +(1+2k∇xhk2 L∞(S))k∂zvk2 L2(Ω)ik∆xhkL2(S) e imponiendo la otra condici´on de disipaci´on: k∆xhkL2(S)<< . (3) 3. Regularidad d´ebil de ∂zv Teorema 2: Supongamos ∂zf∈L2(0, T ;H−1(Ω)) y la siguiente condici´on de peque˜nez sobre la velocidad inicial: k∂zv(0)kL2(Ω) < M0=M 2e−A,(4) siendo A > 0una constante suficientemente grande y M > 0una constante (M < 1) suficientemente peque˜na y Ck∂zfkH−1(Ω) < M0,(5) Entonces, ∂zvposee regularidad d´ebil, es decir, ∂zv∈L∞(0, T;L2(Ω))∩L2(0, T;H1(Ω)). 3 D. Bresch, F. Guill´en-Gonz´alez, M. A. Rodr´ıguez-Bellido Esquema de la prueba: La particular estructura de las condiciones de contorno facilita el estudio de la regularidad en la direcci´on vertical, esto es, de ∂zv. Para ello, elegimos una base especial como funciones test. Aunque un estudio m´as riguroso se puede ver en [1], razonando formalmente corresponde a tomar funciones del tipo −∂2 zzvdonde: −∂2 zzv=λiven Ω, v|Γl=0, ∂zv|Γs∪Γb=0. Estimando convenientemente, usando las desigualdades anis´otropas de [3, 4], obtenemos: d dtk∂zvk2 L2(Ω) +2− k∂zvk2/3 L2(Ω)k∂zvk2 H1(Ω) ≤Ck∂zfk2 H−1(Ω) +k∇xvk2 L2(Ω)k∂zvk2 L2(Ω)(6) Llamando y(t) = k∂zv(t)k2 L2(Ω), usando que ∂zf∈L2(0, T;H−1(Ω)) y la regularidad ya conocida de ∇xv∈L2(0, T;L2(Ω)), escribimos para a(t) = Ck∇xv(t)k2 L2(Ω),b(t) = Ck∂zf(t)k2 H−1(Ω): y0(t) + (2 −y(t)1/3)k∂zv(t)k2 H1(Ω) ≤a(t)y(t) + b(t). Es f´acil demostrar que si se verifica (4) y A=kakL1(0,T)(en (4)), entonces la hip´otesis (5) implica que k∂zv(t)kL2(Ω) < M, para todo t∈[0, T]. Usando que ∂zven L2(Ω) es una cantidad suficientemente peque˜na, concluimos la regularidad de ∂zven L2(0, T;H1(Ω)). 4. Regularidad fuerte y “muy fuerte” La obtenci´on de regularidad superior para el sistema (EP) con las condiciones de contorno no est´andar sobre ∂zvplantea un problema a la hora de elegir convenientemente la base de funciones test. Normalmente, se consideran las autofunciones del problema de Stokes asociado, del que se conoce la existencia de soluci´on al ser un operador lineal autoadjunto. En el caso de las condiciones de contorno consideradas en este trabajo, la existencia de dichas autofunciones no est´a garantizada, de manera que debemos buscar un m´etodo de resoluci´on alternativo. Bas´andonos en que, gracias al tipo de condiciones de contorno consideradas ∂zves una derivada “especial”, nos planteamos el estudio del problema verificado por vcomo suma de dos: uno que capturar´ıa “la parte vertical”de v, y otro que capturar´ıa “la parte horizontal”. A continuaci´on describimos dicha descomposici´on. 4.1. Descomposici´on del sistema Las ecuaciones que satisface “la parte horizontal”¯ v(x) = 1 h(x)hv(x, z)ison:          ∂t(h¯ v)− ∇x·(h∇x¯ v)+(∇xh· ∇x)¯ v+∇x·(h¯ v⊗¯ v) + h∇xp =hfi−∇x· he v⊗e vi − (∇xh· ∇x)(e v|Γb)− ∇x·(e v|Γb⊗ ∇xh),en S×(0, T), ∇x·(h¯ v) = 0,en S×(0, T), ¯ v|∂S = 0,¯ v|t=0 =¯ v0,en Ω. (7) 4 Regularidad anis´otropa de un problema de Ecuaciones Primitivas. La parte vertical tiene como soluci´on ω=ω(x, z) = ∂ze v(x, z) siendo e v(x, z) = v(x, z)− ¯ v(x) la soluci´on del sistema:          ∂tω−∆xω−∂2 zzω+ (v· ∇x)ω+v3∂zω=∂zf+ (∇x·v)ω −(ω· ∇x)ven Ω ×(0, T), ω|∂Ω= 0 en (0, T), ω|t=0 =∂zv0en Ω. (8) Observemos que v=e v+¯ vdonde he vi= 0, siendo e v(x, z) = −R0 zω(x, s)ds +A(x) para A(x) = 1 h(x)R0 −h(x)(z+h(x)) ω(x, z)dz yv3(x, z) = R0 z∇x·v(x, s)ds. Para justificar que la descomposici´on presentada aqu´ı es v´alida, en [1] hacemos una identificaci´on de vy¯ v+e v(desde el punto de vista d´ebil) demostrando que las formulaciones variacionales de ambas funciones son la misma. 4.2. Regularidad d´ebil de ¯ v y ω Aunque gracias a la identificaci´on entre vy¯ v+e veste resultado ya ha sido demostrado, el hecho de estudiar la regularidad d´ebil a trav´es de la descomposici´on introduce algunas diferencias que comentamos aqu´ı. Para dicho estudio, tomamos como funciones test ¯ ven (7) y ωen (8) con idea de obtener desigualdades de energ´ıa para ambas funciones. Debido a la aparici´on de t´erminos en ωen la desigualdad para ¯ vy de t´erminos en ¯ ven la desigualdad para ω, no podemos obtener la regularidad de ambas funciones separadamente sino que tenemos que sumar ambas desigualdades. Adem´as, el tipo de desigualdad obtenida no es acotable sin imponer hip´otesis de peque˜nez sobre los datos. Concretamente, obtenemos ¯ v∈L∞(0, T;L2(S)) ∩ L2(0, T;H1(S)) y ω∈L∞(0, T;L2(Ω)) ∩L2(0, T;H1(Ω)), imponiendo que las siguientes normas son peque˜nas: k¯ v(0)kL2(S)=k1 hhv0ikL2(S),kω(0)kL2(Ω) =k∂ze v0kL2(Ω),khfikL2(S),k∂zfkL2(Ω).(9) Observemos que la hip´otesis (9), relativa a la peque˜nez de datos, reemplaza a las hip´otesis del Teorema 1, correspondientes a una determinada forma de la funci´on profundidad h. 4.3. Regularidad fuerte de ¯ v y ω Teorema 3: Bajo hip´otesis de peque˜nez para k∂zfkL2(Ω),khfikL2(S),k¯ v(0)kH1(Ω) y kω(0)kH1(Ω), las funciones (¯ v,ω)verifican la llamada regularidad fuerte, es decir, ¯ v∈L∞(0, T;H1(S)) ∩L2(0, T;H2(S)),∂t¯ v∈L2(0, T;L2(S)) yω∈L∞(0, T;H1(Ω)) ∩ L2(0, T;H2(Ω)),∂tω∈L2(0, T;L2(Ω)). Esquema de la prueba: Para estudiar la regularidad fuerte de ω, estudiamos el problema: {−∆ω=λωen Ω, ω= 0 sobre ∂Ω, (10) El operador asociado verifica la hip´otesis del teorema de Hilbert-Schmidt, luego podemos encontrar una base de autofunciones. Buscamos entonces una desigualdad que garantice la 5 D. Bresch, F. Guill´en-Gonz´alez, M. A. Rodr´ıguez-Bellido acotaci´on de ωen las normas fuertes L∞(0, T;H1(Ω))∩L2(0, T;H2(Ω)), para lo que elegimos entonces −∆ωcomo funciones test en la formulaci´on variacional de (8). Conseguimos una desigualdad del tipo: d dtk∇ωk2 L2(Ω) +k∆ωk2 L2(Ω) ≤C(h)k∇ωkL2(Ω)k∆ωk2 L2(Ω) +ak¯ vk2 H1(S),kωk2 H1(Ω)k∇ωk2 L2(Ω) +Ck∂zfk2 L2(Ω) +ZΩ (∇x·v)ω·∆ωdΩ (11) Para controlar el primer t´ermino a la derecha de (11) necesitamos imponer peque˜nez sobre los datos, y el ´ultimo no es controlable sin conocer una mayor regularidad de ¯ v. Por tanto, como en §4.2, parece l´ogico buscar una desigualdad para las normas fuertes de ¯ v. Para ello, consideramos el problema de tipo Stokes:    −∇x·(h∇x¯ v) + h∇xp=gen S, ∇x·(h¯ v) = 0 en S, ¯ v= 0 sobre ∂S, (12) que nos ayudar´a a considerar adecuadas funciones test para (7) en dicho empe˜no. Llamaremos Bal operador que resuelve el problema (12), tal que a cada g∈L2(S) le asocia la soluci´on de (12), ¯ v∈D(B)⊆H2(S). El operador B:H → D(B) se inyecta de manera compacta en H, siendo H={g/ h g∈L2(S),∇x·(hg) = 0, h g·n∂S = 0}, es decir, H={g:hg∈H(S)}dotado del producto escalar: (f,g)h=ZS hf·gdx, siendo h=h(x) la funci´on profundidad. Para una funci´on udefinimos su proyecci´on sobre Hrespecto a (·,·)hcomo: PH,h(u) = v⇔ {∇x·(hv) = 0,(u−v,w)h= 0,∀w∈ H} Bajo las hip´otesis del Teorema de Hilbert-Schmidt, Hes un espacio separable y, en consecuencia, podemos obtener una base espectral. Una vez demostrada dicha existencia, consideraremos como funciones test para (7) aquellas del tipo PH,h(−1 h∇x·(h∇x¯ v)). Observemos que (ver detalles en [1]) gracias a que PH,h(h¯ v) = ¯ v: ZS ∂t(h¯ v)·PH,h(−1 h∇x·(h∇x¯ v)) dx=1 2 d dtkh1/2∇x¯ vk2 L2(S). Por otra parte, gracias a las propiedades del operador proyecci´on: −ZS ∇x·(h∇x¯ v)·PH,h(−1 h∇x·(h∇x¯ v)) dx=kh1/2PH,h(−1 h∇x·(h∇x¯ v))k2 L2(S) La presi´on desaparece gracias a: ZS h∇xp·PH,h(−1 h∇x·(h∇x¯ v)) dx=−ZS p∇x·(h PH,h(−1 h∇x·(h∇x¯ v))) dx +Z∂S phPH,h(1 h∇x·(h∇x¯ v)) ·ndσx= 0 6 Regularidad anis´otropa de un problema de Ecuaciones Primitivas. El resto de los t´erminos en Ω son f´aciles de acotar teniendo en cuenta que las normas k¯ vkH2(S)ykPH,h(−1 h∇x·(h∇x¯ v))kL2(S)son equivalentes; y si adem´as hmin ≤h≤hmax, entonces kh1/2PH,h(−1 h∇x·(h∇x¯ v))kL2(S)es tambi´en equivalente a k¯ vkH2(S). Para los t´erminos en S, usamos adem´as resultados de Teor´ıa de Interpolaci´on en espacios de Sobolev junto con estimaciones hechas en [3, 4]. Todo ello nos lleva a una desigualdad del tipo: d dtkh1/2∇x¯ vk2 L2(S)+kh1/2PH,h(−1 h∇x·(h∇x¯ v))k2 L2(S) ≤C a k¯ vkH1(S),∇xhk∇x¯ vk2 L2(S)+C b ke vkH2(Ω),∆xh, khfik2 L2(S), (13) en las que hay t´erminos a la derecha que dependen de la regularidad fuerte de e v(que a´un no conocemos). Sumando entonces (11) y (13), obtenemos una desigualdad que bajo las hip´otesis del Teorema 3 permite obtener estimaciones en normas fuertes para ωy¯ v. La regularidad para las derivadas en tiempo ∂tω∈L2(0, T;L2(Ω)) y ∂t¯ v∈L2(0, T;L2(S)) se obtiene directamente de las ecuaciones (8) y (7), respectivamente, usando la regularidad fuerte obtenida. 4.4. Regularidad muy fuerte de ¯ v y ω Teorema 4: Suponiendo m´as regularidad para los datos, las funciones (¯ v,ω)verifican la llamada regularidad muy fuerte, es decir, ¯ v∈L∞(0, T;H2(S)) ∩L2(0, T;H3(S)), ∂t¯ v∈L∞(0, T;L2(S)) ∩L2(0, T;H1(S)) yω∈L∞(0, T;H2(Ω)) ∩L2(0, T;H3(Ω)),∂tω∈ L∞(0, T;L2(Ω)) ∩L2(0, T ;H1(Ω)). Esquema de la prueba: Esta vez, empezaremos obteniendo la regularidad para ∂tω y¯ vusando las estimaciones de tipo Ladyzhenskaya. Para ello, derivaremos los sistemas (8) y (7) respecto del tiempo, y tomaremos ∂tωy∂t¯ vcomo funciones test, respectivamente en sus formulaciones variacionales correspondientes. Como antes, la obtenci´on de desigualdades que permitan concluir la regularidad no es posible separadamente en ωy¯ v, sino sumando las desigualdades obtenidas en cada caso. De ese modo, para a, b ∈L1(0, T) funciones que dependen de la regularidad de ωy¯ vconocida hasta el momento, obtenemos: d dt k∂tωk2 L2(Ω) +kh1/2|∂t¯ v|k2 L2(S)+k∂tωk2 H1(Ω) +kh1/2|∇x(∂t¯ v)|k2 L2(S) ≤(a1(t) + a2(t)) k∂t¯ vk2 L2(S)+k∂tωk2 L2(Ω)+b(t), lo que permite concluir gracias al Lemma de Gronwall la regularidad deseada. Notemos que, en este caso, la regularidad se obtiene sin hip´otesis de peque˜nez para los datos (adicionales a las ya necesarias para regularidad inferior). Para demostrar que ω∈L2(0, T;H3(Ω)), tomamos ∆2ωcomo funci´on test en (8), siendo ωla soluci´on del problema: ∆2ω=λ2ωen Ω, ω|∂Ω=0,∆ω|∂Ω=0.(14) Observemos que las autofunciones del problema: ∆ω=λωen Ω, ω|∂Ω=0. 7 D. Bresch, F. Guill´en-Gonz´alez, M. A. Rodr´ıguez-Bellido verifican, en particular, (14). De ese modo conseguimos demostrar que k∇(∆ω)k2 L2(Ω) ∈ L1(0, T), lo que gracias a las condiciones de contorno permite concluir que ω∈L2(0, T;H3(Ω)). La regularidad ω∈L∞(0, T;H2(Ω)) se deduce del siguiente hecho: d dtk∆ωk2 L2(Ω) = 2h∆ω,∆(∂tω)i=−2h∇(∆ω), ∂t(∇ω)i para cada elemento ωde la base espectral de (14), junto con la acotaci´on: ZT 0 |h∇(∆ω), ∂t(∇ω)i|dt ≤CZT 0 kωkH3(Ω)k∂tωkH1(Ω) dt ≤ kωkL2(H3(Ω))k∂tωkL2(H1(Ω)). La regularidad de ¯ ven L∞(0, T;H2(S)) se demuestra de forma similar a la obtenci´on de ¯ v∈L∞(0, T;H1(S)) ∩L2(0, T ;H2(S)): tomamos PH,h(−1 h∇x·(h∇x¯ v)) como funci´on test en (7), pero esta vez tratamos de forma distinta el t´ermino en ∂t(h¯ v), que se estima directamente aprovechando la regularidad ya conocida para ∂t¯ v. De ese modo, conseguimos demostrar que k¯ vk2 H2(S)est´a acotada en L∞(0, T ) y, gracias a las condiciones de contorno, que ¯ v∈L∞(0, T;H2(S)). La obtenci´on de ¯ ven L2(0, T;H3(S)) sigue de reescribir el sistema (7) como el siguiente problema de Stokes 2D:    −∆x(h¯ v) + ∇x(h p) = Fen (0, T)×S, ∇x·(h¯ v) = 0 en (0, T)×S, ¯ v=0sobre (0, T)×∂S, donde: F=hfi+p∇xh−2(∇xh· ∇x)¯ v−(∆xh)¯ v− ∇x·(h¯ v⊗¯ v)− ∇x· he v⊗e vi −(∇xh· ∇x)(e v|Γb)− ∇x·(e v|Γb⊗ ∇xh) As´ı, si probamos que F∈L2(0, T;H1(S)), los resultados de regularidad para el problema de Stokes permiten concluir que ¯ v∈L2(0, T;H3(S)). Para ello, imponemos hfi ∈ L2(0, T;H1(S)), junto con ∇xh∈L∞(S), D2h∈L4(S) y que gracias a la regularidad ya conocida para v, sabemos que p∈L∞(0, T;H1(S)). Agradecimientos Los autores han sido parcialmente financiados por el proyecto MTM2006-07932. Referencias [1] D. Bresch, F. Guill´en-Gonz´alez & M. A. Rodr´ıguez-Bellido, Vorticity formulation for Primitive Equations: strong regularity and asymptotic behavior.. En preparaci´on. [2] V Casulli & E. Cattani, Stability,Accuracy and Efficiency of a Semi-Implicit Method for ThreeDimensional Shallow Water Flow. Computers Math. Applic., 27-4 (1994), 99-112. [3] F. Guill´en-Gonz´alez, N. Masmoudi & M. A. Rodr´ıguez-Bellido, Anisotropic estimates and strong solutions of the Primitive Equations. Differential Integral Equations, 14-11 (2001), 1381-1408. [4] F. Guill´en-Gonz´alez & M. A. Rodr´ıguez-Bellido, On the uniqueness and regularity of the Primitive Equations imposing additional anisotropic regularity. Appl. Math. Lett, 18 (2005) 783-789. [5] J. L. Lions, R. Temam & S. Wang, On the equations of the large scale Ocean. Nonlinearity, 5 (1992), 1007-1053. [6] J. Pedlosky, Geophysical fluid dynamics, Springer-Verlag, 1987. [7] M. Ziane, Regularity Results for Stokes Type Systems, Applicable Analysis, 58 (1995), 263-292. 8