Métodos iterativos de resolución de algunos problemas de frontera libre en mecánica de fluidos

Re is a in e nacional de mé odos numé icos pa a cálculo y diseiio en ingenie ía, Vol. 1,3,73-84 (1985) METODOS ITERATIVOS DE RESOLUCION DE ALGUNOS PROBLEMAS DE FRONTERA LIBRE EN MECANICA DE FLUIDOS ENRIQUE FERNANDEZ CARA Dp o. de Ecuaciones Funcionales, Facul ad de Ma em' icas de la Uni e sidad de Se illa. c/ Tm ia s/n, 41 O1 2 SE VILLA RESUMEN P esen amos a ios mé odos i e a i os pa a la búsqueda de pun os c í icos de una clase pa icula de uncionales localmen e lipschi zianos no di e enciables. Los esul ados de con e gencia ambién p ueban la exis encia de pun os c í icos bajo hipó esis azonables. Es os mé odos son pos e io men e aplicados a la esolución de una amilia de p oblemas de on e a lib e que apa ecen en Mecánica de luidos: el equilib io de un anillo (o pa ) ó ice de pa áme m de lujo nulo en un luido ideal. Finalmen e, p esen amos un ejemplo numé ico. SUMMARY We p esen se e ai i e a i e me hods o mding c i ical poin s o a pa icula kind o nondi e en- iable locally Lipschi z unc ionals. The con e gen e esul s aiso p o ide he exis en e o cn ical poin s- unde ce ain easonable assump ions. The me hods a e applied below o a class o ee bounda y p oblems s em ning iom luid mechanics: he equilibnum o a o ex ing (o pai ) o ze o lux pa ame e in an ideal luid. Finally , a nume ical example is p esen ed. INTRODUCCION En es e abajo se es udian mé odos i e a i os pa a la búsqueda de pun os c í icos de una clase pa icula de uncionales no di e enciables: aquéllos que pueden esc ibi se como la di e encia de una o ma cuad á ica posi i a y una unción con exa con inua. Tal ipo de unciones apa ece en a iados con ex os, pe o nos concen a emos en la o mulación de algunos p oblemas de on e a lib e de la Mecánica de luidos (pa a o as aplicaciones6). Pa a mayo cla idad, es ablece emos p ime o algunos de los esul ados en un ma co uncional gene al. Después in oducimos la o mulación a iacional de cie os p oble- mas elacionados con el equilib io de los anillos ó ices. Con ap opiadas modi icacio- nes, los esquemas se aplican pos e io men e a es os casos pa icula es. Nues o obje i o es doble. En p ime luga , a amos de mos a cómo la in -con o- lución (cualquie p ocedimien o de egula ización exac a en gene al) puede se u ilizada pa a p oduci una sucesión con e gen e de ap oximaciones. En es e sen ido, los mé odos no son más que a ian es y gene alizaciones del céleb e algo i mo del pun o p óximo. En segundo luga , es in e esan e obse a que, en el con ex o Recibido: Oc ub e 1984 @ Uni e si a Poli icnica de Ca alunya (España) ISSN 0213-1315 74 E. FERNANDEZ CARA de los anillos ó ices (y en o os más gene ales5), los esquemas mejo an los algo i mos de ipo pun o ijo. Se e á más adelan e que es os p opósi os quedan alcanzados con la in oducción de un pa áme o a i icial (pequeño) X > O, de g an e ec o de egula ización. La idea cla e ue ya u ilizada po A. Be múdez & C. Mo eno4 en un con ex o simila y ha sido explo ada en5 po p ime a ez pa a es e ipo de p oblemas. El au o espe a que es e a ículo si a pa a in ensi ica el in e és en el es udio de p oblemas de op imización no di e enciable, así como pa a es imula a aquellos que abajen en es e campo. El ma co uncional. Algunos mé odos i e a i os Sean V, H dos espacios de Hilbe . Supond emos que V se inyec a en H de o ma densa y compac a. Iden i icando H con su dual, sabemos que ambién H se inyec a en el dual VQe V de o ma densa y compac a. Sean L:V+V' un isomo ismo au o- adjun o y g:H+IR una unción con exa con ínua. Conside emos el uncional sob e V donde <.,.> designa el p oduc o de dualidad en e V' y V. Reco demos que pa a cada yeH la subdi e encial es un conjun o con exo no acío débilmen e compac o. De inición 1. Se dice que uEV es un pun o c í ico de si Po ejemplo, odo ex emo local de es un pun o c í ico. Cuando g es di e enciable, es a De . se educe a la usual. Además, es bien sabido que, pa a g=gl , enemos ( éase112); po an o, la De . 1 es cohe en e y odos los pun os c í icos de sa is acen la p opiedad de egula idad LuEH. Obse ación- 1. Cuando es á aco ada in e io men e y sa is ace la condición gene alizada de Palais-Smale (i.e. si , es al que ( ,)i es á aco ada y M( ,) = min 1 wl w€a ( ,) 1 3 O, en onces , posee una subsucesión con e gen e), es bien sabido que el ín imo de en V es alcanzable y que los u que minimizan son pun os c í icos (pa a de alles2 ). Nó ese que u es un pun o c í ico de si 3peH al que Lu=p, peag(u). (5) La aplicación mul i- aluada ag:H+2H es maximal monó ona; es o jus i ica que, pa a cada DO, el ope ado Id.+hag es in e ible y que el esol en e Jh=(Id.+hag)-' METODOS ITERATIVOS EN PROBLEMAS DE FRONTERA LIBRE 75 es una aplicación con ac i a de H- H ( éase3). Una obse ación esencial (ya u iliza- da4) es que u es un pun o c í ico de y sólo si 3 peH al que Lu=p, p=(ag)X(u++p), DO. (6 Aquí, (ag)h es la egula izada Yosida de ag, i.e. 1 1 & -,(Id.-J A) = -(Id.-(Id.+hag)-l). h h (7) Es ela i amen e ácil p oba que (ag)h es la de i ada de una nue a unción con i- nuamen e di e enciable : (ag)h = Q(P) = in ] g(q)+/lpq/l; 12h 1 . qeH (8) Como en5, u iliza emos a con inuación (6) pa a gene a mé odos i e ados con e - gen es hacia pun os c í icos de (obsé ese que en5 se desc iben mé odos aplicables en si uaciones más gene ales). Un p ime algo i mo lo sugie e casi de o ma inmedia a: ALG 1 : a) Elegi po en H. b) Después, dados n>O y p, en H, oma Obse ación 2. Es ácil comp oba que, en su nésima e apa, ALG 1 se educe a: pn+i e a g(L-' pn +VP~ -PWI 11, (1 0) donde g* es la ans o mada de Leg ende de g, i.e. -Pa a la sucesión p, gene ada po ALG 1, enemos el siguien e Teo ema 1. Supongamos que es á aco ada in e io men e en V, ( )-++= si €V, IM~+Y En onces oda sucesión u, gene ada po ALG 1 posee una subsucesión que con e ge ue emen e en V hacia un pun o c í ico de . Además, el lími e de oda subsucesión con e gen e es un pun o c í ico y, si és e es único, oda la sucesión con e ge. Es e esul ado es á comple amen e. demos ado5. Po azones de espacio, nos limi a- !76 E. FERNANDEZ CARA mos a esumi su p ueba en el Apéndice. Nó ese sin emba go la impo an e consecuen- cia del Teo . 1 que sigue: bajo las hipó esis ( .1) y ( .2), posee al menos un pun o c í ico. Cuando L es Velíp ico (<L , >Zcoll 11 'P' EV, coa), el p oceso de egula i- zación que pe mi e pasa de ag a (ag)h puede hace se ex ensi o a L-l. Más p ecisa- men e, si A:V+V' es el isomo ismo canónico, de inido po en cnces AL'-': V'+V' es maximal monó ono, de o ma que iene sen ido habla del esol en e G = (Id. + /AL-' )-l pa a @O. Pa a (L-'),J = A-' (AL-' )E , se encuen- a que (6) equi ale a: Es o conduce a un segundo esquema i e ado: ALG 2: a) Elegi u0 en V y po en H. b) Después, dados n>O, u, en V y p, en H, oma Obse ación 3. Se p ueba ácilmen e que el (n+l)-ésimo i e an e un+, e i ica un+' = L-' (~n+~A(un un+^ ))a (17) Así, ALG 2 puede se pa icula men e ú il cuando la de e minación de pun os c í icos de sea un p oblema "s i ". El compo amien o de ALG 2 es análogo al de ALG 1. En pa icula , digamos que el esul ado de con e gencia p eceden e con inúa siendo álido pa a cualquie sucesión u, gene ada po ALG 2. Señalemos inalmen e que los esquemas p eceden es pueden se combihados pa a p oduci sucesiones a lo la go de las cuales los uncionales y j (de inido en el Apéndice) son dec ecien es. FORMULACION VARIACIONAL DE ALGUNOS PROBLEMAS DE FRONTERA LIBRE Sea S~CR~ un abie o aco ado de on e a egula aS2 (N-2,3). Conside amos el p oblema siguien e: Halla una unción u:S2+R al que IDO en S2 y - A u E ah(u-{(x)) pa a x c.p.d. en S2, (1 8) u =O sob e aS2. Aquí, &O es una cons an e dada, {eC0(Si) (po ejemplo), c>0 en Q y h es el ope a- do (maximal monó ono) de Hea iside, i.e. h(s) = O pa a s<O, h(s) = 1 pa a s>O, h(0) = [O,]]. METODOS lTERATIVOS EN PROBLEMAS DE FRONTERA LIBRE 77 La esolución de (1 8) equi ale a la búsqueda de pun os c í icos no i iales de cie o uncional , de inido sob e el espacio de Hilbe H$(R). Más p ecisamen e, pongamos go (y) =a Q (lY'I? h(s)ds)dx = .y(x)+dx pa a cada yeL2(a). Pa a g(y)Ggo(y-{), enemos que g:L2+R es con exa y con inua. Si L:HO + H-' es á de inido po LV = -A VVEH~, (21 la co espondien e unción oma los alo es y odo pun o c í ico de dis in o de O e i ica (18) (de acue do con el P incipio del Máximo, se iene que u>O). La unción (22) sa is ace ob iamen e ( .1)-( .2). Po an o, omando V=Hg y H=L2 en el pá a o que sigue al Teo . 1, deducimos la exis encia de un pun o c í ico de . En la Sec. siguien e se e á que és e no puede se 0, a condición de que po sea con enien emen e elegido. Supongamos que u esuel e (18) y {2{0>0 sob e un abie o de SZ que co a a la on e a (po ejemplo). La eo ía de egula idad elíp ica p ueba que ueC1(SZ) y u4 pun ualmen e sob e aa. Luego el p oblema (18) conduce implíci amen e a la exis encia de una on e a lib e, la on e a del conjun o A = 1 x/xe~, u(x) > { (x) 1 . El p oblema (18) modeliza el equilib io de un pa ó ice en un luido ideal6*'. Aquí, -{ es la unción de co ien e asociada a un lujo uni o me, u cons i uye una pe u bación de la misma debida al mo imien o u billona io y cu puede se in e - p e ado como un pa áme o de in ensidad de o icidad. Llamando $ y a la unción de co ien e y elocidad esp., enemos: - A $ =a en A ( egión de o icidad), (24) Una si uación más compleja apa ece cuando se es udian algunos p oblemas de elocidad de ó ice lib e, que pueden enuncia se como sigue: Halla u:Sl+R y DO ales que u>O en S2 y - A U E cuh(u-W{(X)) pa a x c.p.d. en SZ, u =O sob e al), (25) Aho a q>0 es un da o (q es, sal o un ac o cons an e, la ene gía ciné ica asociada al mo imien o u billona io), mien as que el pa ame o W (a p io i desconocido), da la elocidad del luido "en el in ini o". Tan o en (18) como en (25), el dominio 7 8 E. FERNANDEZ CARA o iginal (no aco ado) ha sido ap oximado po azones écnicas. En la eo ía de anillos ó ices, (25) co esponde al caso (lími e) de pa áme o de lujo nu10'*~*~ Obsé ese que UEH~ es solución de (25) si 3peL2 (a), 3W>O : P = Lu, peag(u-wS), (P,L-'P), 2 = 1)- (26) Pe o h( sFh(s) V >o. Po an o, pea g(u-w ) o 1ué a g*(p)+ W y es na u al in oduci la o mulación a iacional siguien e: Minimiza g*o(q)+( ,q), 2, suje o a qeK. Aquí, K es el conjun o de los q de L2 ales que (q,L-1q)L2 = . Teo ema 2. Supongamos que se e i ica la condición siguien e Sea ua al que - A ua =a en !2, ua = O sob e aS2. En onces (28) posee solución pELm(!2). Además, dada una solución p de (28), se iene pa a algún W>O, de donde u=LV1p es, jun o con W, solución de (25). La demos ación de es e esul ado no se á dada aquí. Digamos an sólo que se a a de una consecuencia del Teo ema gene alizado de los mul iplicado es de Lag ange, en el sen ido de 1. Ekeland O ( éase ambién''*12 ). Es ácil comp oba que (29) es, además, una condición necesa ia pa a la esolubi- lidad de (25). Físicamen e signi ica que el ni el de ene gía ciné ica puede se alcanzado pa a un mo imien o u billona io en !2 de in ensidad a. En o os con ex os apd ecen algunos p oblemas (esencialmen e elíp icos semi- lineales) elacionados con (1 8) y/ó (25). - en. Física de plasmas, en el es udio del equilib io de un plasma con inado en una ca idad o oidalla-l6 - en As o ísica, como modelos pa a es ellas au og a~i a o ias~'*~~ - en la eo ía de Thomas-Fe mi de á omos y molé~ulasl"~~ - en o G cues iones ela i as a la Mecánica de luidos no is~osos~'*~~ A "g osso modo", es e ipo de p oblemas apa ece cuando nos ocupa un enómeno de con inamien o en equilib io. ALGUNOS METODOS ITERATIVOS PARA PROBLEMAS DE ANILLOS VORTICES Comencemos en es a Sec. conside ando de nue o el p oblema (18). Con dacio po (22), ALG 1 se esc ibe como sigue: a) Elegi po en L2. b) Después, dados n>O y p, en L~, calcula u, y p,+, de acue do con: METODOS ITERATIVOS EN PROBLEMAS DE FRONTERA LIBRE 79 - A u, = p, en a, u, =O sob e aa, (31) En (32), P, : +[O,a] es la p oyección canónica (i.e. P,(s)=s si sE[O,a], P,(s)=O si s<O y P, (S)=, si SS). Una p ime a consecuencia de (3 1) (32) es que O<pn<ol. Así, p, es á uni o memen e aco ada en L" y, u ilizando esul ados de egula idad elíp ica se encuen a que (al menos) una subsucesión u con e ge uni o memen e en a,-jun o con sus p ime as P de i adas a un pun o c í ico .u de . Además, si p0(x)E[0p]c.p.d. y ~~$0, es ácil p oba que (u) = (L-lp) ( lim j(pn) < 0, n+* de donde u + O y es solución de (18). Obsé ese que cuando A+O , las ó mulas (3 1 ) (3 2) se con ie en en Luego en el lími e ALG 1 coincide o malmen e con un esquema de pun o ijo. Vol e emos más adelan e sob e es a cues ión. Conside emos de nue o el p oblema (25). De acue do con el Teo . 2, pa a encon a una solución bas a á con esol e (28). Más gene almen e, sólo necesi amos encon a un pun o c í ico del uncional J=J &, donde es deci , una unción p de K al que, pa a algún >O, Pues o que, en al caso, u=L-l p y W= -l e i ican cla amen e .(26). In oduciendo la egula izada de ag en (26), y po analogía con ALG 1, o mula- emos el siguien e ESQUEMA ITERADO: ALG 3: a) Elegi po en L2. b) Después, dados n>O y p, en L2, calcula u, ,pn+, y , de acue do con: - A u, = pn en a, u, = O sob e aS2, (37) Se puede p oba que bajo la hipó esis (29), ALG 3 es á bien de inido (i.e. pa a cada n>O la ecuación en posee al menos una solución n>O). Además, si X se elige su icien emen e pequeño, la sucesión n es á aco ada in e io men e po una cons an e posi i a. Las demos a- 80 E. FERNANDEZ CARA ciones de es os hechos son bas an e écnicas y no se da án aquí (pa a de alles5). U ilizando es a es imación uni o me de los u,, se deduce un esul ado de con e - gencia pa a ALG 3 del mismo ipo que el ob enido pa a la sucesión gene ada po (3 1) (32). El esquema desc i o po (37) (38) (39) es á de nue o elacionado con las écnicas de pun o ijo, ya in oducidas pa a es e ipo de p oblemas. En e ec o, pa a X4, (38) se educe o malmen e a En elación con algunos p oblemas simila es pa a los que la no-linealidad es di e en- ciable, po ejemplo en p oblemas de con inamien o de un plasma13*16 o bien en una p ime a ap oximación de (25) ( éa~e~l~~), algunos algo i mos i e ados del ipo (37), (41), (39) han sido es udiados en15*9*27, en e o os. Aquí, el empleo del pa áme o X soslaya la ambigüedad de (41) pa a go no di e enciable y pe mi e mejo a los esul ados de con e gencia. UN EJEMPLO NUMERICO En la p ác ica, ALG 3 no puede se implemen ado di ec amen e, sino as una disc e- ización de (25) u ilizando, po ejemplo, un esquema en elemen os ini os. En es a Sec. p esen amos los esul ados numé icos ob enidos al aplica las écnicas Figu a 1 . T iangulación del dominio (0 .,30 .)X(-50,,50 .). Núme o de iángulos: 1380. Núme o de nodos: 732. METODOS ITERATIVOS EN PROBLEMAS DE FRONTERA LIBRE 81 p eceden es al p oblema gene al (de pa áme o de lujo k no nulo; N=2) siguien e: Halla u: SZ+R y k>O ales que uX en SZy - A u e ah(u-Wxl -k) pa a x c.p.d. en SZ, u =O sob e an, uI2dx= l. Aho a el análogo de (37) (38) (39) es: -A U, =pn enla, u, =O sob e aSZ, (43 ) 1 Pn+l (x) = Pa pn(x) + (un(x)-Wxl -kn c.p.d., (44) Pn+l EK. (45 ) Pa a nues os esul ados, hemos elegido los da os siguien es en (42): S2=(0.,50.)X(-50.,5O.),oc=l., q=20., W =.7 Figu a 2. De alle de la iangulación de la Figu a 1: el subdominio supe io (O.,50.)X(0.,50).