Hiperciclidad de operadores shifts. Algunos problemas relacionados

UNIVERSIDAD DE SEVILLA Facultad de Matem´aticas Departamento de An´alisis Matem´atico HIPERCICLICIDAD DE OPERADORES SHIFTS. ALGUNOS PROBLEMAS RELACIONADOS. V◦B◦ de la Directora Memoria presentada por Jos´e Antonio Prado Bassas para optar al grado de Licenciado en Matem´aticas. Fdo. Madel Carmen Calder´on Moreno Profesora asociada del Dpto. An´alisis Matem´atico de la Universidad de Sevilla Doctora en Matem´aticas Sevilla, Enero de 2001 2 Contents Introducci´on i 1 Preliminares 1 1.1 Algunos espacios de Banach cl´asicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 ElTeoremadeBaire................................. 4 1.3 Espacios vectoriales topol´ogicos y F-espacios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 EspaciosdeFr´echet................................. 5 1.5 EspaciosdeHilbert. ................................ 7 1.6 Conceptos generales sobre hiperciclicidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Hiperciclicidad en espacios de Banach 17 2.1 Un ejemplo de operador hiperc´ıclico en espacios de Banach . . . . . . . . . . 18 2.2 Hiperciclicidad en espacios de dimensi´on infinita . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 Hiperciclicidad en espacios de Hilbert 27 3.1 Condiciones suficientes de hiperciclicidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.2 Un ejemplo de operador hiperc´ıclico en espacios de Hilbert. . . . . . . . . . . 35 3.3 El criterio de Hiperciclicidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4 Hiperciclicidad de operadores weighted shifts en espacios de Hilbert 45 4.1 Resultados preliminares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.2 WeightedShifts. .................................. 47 4.3 Unilateral Backward Weighted Shifts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.4 Resultadosfinales. ................................. 67 5 Hiperciclicidad de operadores weighted shifts en espacios de Fr´echet 71 5.1 UnespaciodeFr´echet................................ 72 5.2 Hiperciclicidad de operadores weighted shifts en el espacio de las funciones enteras. ....................................... 75 Bibliograf´ıa 79 3 Introducci´on En 1929 C. D. Birkhoff [Bir] prob´o la existencia de una funci´on entera g(z) cuyo conjunto de trasladadas {g(z+a) : a∈C}es denso en H(C). Posteriormente, en 1952, MacLane [McL] construy´o una funci´on entera cuya sucesi´on de derivadas aproxima uniformemente en compactos de Ca cualquier otra funci´on entera. Estos dos teoremas, ya cl´asicos, se consideran el punto de partida de una l´ınea de investigaci´on dentro del An´alisis: la Hiperciclicidad, que en las ´ultimas d´ecadas, y gracias a t´ecnicas de An´alisis Funcional, ha adquirido una identidad propia. Dado un espacio topol´ogico X, una aplicaci´on continua T:X−→ Xse dice hiperc´ıclica si existe un elemento x∈Xtal que su ´orbita {Tnx:n∈N}es densa en X. Es evidente que un elemento x∈Xes hiperc´ıclico para Tsi y s´olo si no existe ning´un subconjunto propio de Xcerrado e invariante por Tque contenga a x. Por tanto el estudio de la hiperciclicidad est´a directamente relacionado con la existencia de subconjuntos cerrados e invariantes. En 1969, S. Rolewicz [Rol] abord´o el problema de la existencia de operadores hiperc´ıclicos (aunque sin utilizar la notaci´on ni la nomenclatura actual) en los espacios ℓpcon 1 ≤p < ∞yc0, planteando como problema el estudio de la existencia de operadores hiperc´ıclicos en cualquier espacio de Banach. Desde entonces han sido muchos los autores que han estudiado esta cuesti´on, resuelta de manera positiva, muy recientemente, por Bernal [Ber] y Ansari [An2] de manera independiente. En el mismo trabajo, Rolewicz planteaba otra importante cuesti´on, la hiperciclicidad de los operadores del tipo Shift. Estos dos aspectos han supuesto la base de muchas investigaciones sobre hiperciclicidad, i ii INTRODUCCI ´ ON alguno de los cuales recogeremos en esta Memoria. Por otra parte en 1987 R. M. Gethner y H. J. Shapiro [GeS] y C. Kitai [Kit] ofrecen, por primera vez, un criterio bastante ´util que nos permite asegurar la hiperciclicidad de operadores. Este Criterio de Hiperciclicidad ha sido generalizado posteriormente por estos y otros autores (ver por ejemplo [GE1], [GoS], [An2], [Ber]). En esta Memoria pretendemos recopilar algunos de los resultados obtenidos dentro de estas dos l´ıneas de trabajo, relacion´andolos con otros problemas importantes dentro de la Hiperciclicidad. Sin embargo, no s´olo se trata de un trabajo de recopilaci´on de datos, sino que se ha pretendido unificar las distintas notaciones utilizadas por los autores, adaptando, en determinados casos, las demostraciones originales y completando y/o mejorando en otros las pruebas no recogidas en los diversos art´ıculos. Para que esta Memoria sea autocontenida y con el fin de facilitar la comprensi´on de las pruebas, recordamos en el Cap´ıtulo 1 algunos resultados cl´asicos sobre An´alisis Funcional y Teor´ıa de Operadores que se utilizar´an posteriormente. Adem´as, en su ´ultima Secci´on introducimos las definiciones iniciales sobre hiperciclicidad, as´ı como consecuencias inmediatas que de ellas se deducen. De este modo establecemos un primer contacto con el concepto central de esta Memoria. En el Cap´ıtulo 2 recogemos algunos resultados de Rolewicz [Rol] en los cuales se nos presenta un primer ejemplo de operador hiperc´ıclico sobre los espacios de Banach cl´asicos ℓp, con 1 ≤p < ∞, y c0. Aparece por primera vez un operador del tipo (weighted) backward shift que ser´an el eje principal de los Cap´ıtulos sucesivos. Posteriormente hacemos una breve incursi´on en el estudio de condiciones suficientes y/o necesarias sobre un espacio topol´ogico Xpara la existencia de operadores hiperc´ıclicos en ´el. Veremos que el espacio debe ser separable y de dimensi´on infinita, siendo estas condiciones suficientes en el caso en que Xsea un espacio de Banach o de Fr´echet. En el Cap´ıtulo 3 incluimos uno de los primeros criterios suficientes sobre hiperciclicidad que se obtuvieron [GeS], para lo que se recurre a resulta- INTRODUCCI ´ ON iii dos cl´asicos de An´alisis Funcional como es el Teorema de Baire. Asimismo, aprovechamos este criterio para obtener, de manera directa, los teoremas, cl´asicos en hiperciclicidad, de Birkhoff y MacLane. En la misma l´ınea estudiaremos algunas aplicaciones de este criterio a la Teor´ıa de Operadores, como es la hiperciclicidad de operadores backward shift en espacios de Hilbert de tipo Bergman [GeS]. En el Cap´ıtulo 4 recogemos algunos resultados [Sa2] que caracterizan la hiperciclicidad de los operadores bilaterales weighted backward (y forward) shifts sobre espacios de Hilbert, as´ı como de los operadores backward shifts unilaterales. Veremos que en el caso forward la hiperciclicidad nunca es posible. Veremos c´omo, gracias a estos resultados sobre operadores unilaterales, se puede cerrar el estudio de la hiperciclicidad en espacios de Hilbert de tipo Bergman, el cual fue abordado anteriormente por Gethner y Shapiro [GeS] (ver Cap´ıtulo 3) y completado por H. Salas [Sa2]. Asimismo, definiremos el concepto de suma directa de dos operadores y estudiaremos la relaci´on entre la hiperciclicidad del operador suma directa y los operadores sumandos, deteni´endonos con especial inter´es en el caso de los operadores de desplazamiento. Finalmente concluiremos el Cap´ıtulo estudiando el concepto de multihiperciclicidad y su relaci´on con el de hiperciclicidad. Por ´ultimo, en el Cap´ıtulo 5, abordaremos el estudio de la hiperciclicidad de operadores bilaterales weighted shifts en el espacio de Fr´echet de las funciones enteras H(C). Aprovecharemos para ello algunos de los resultados recogidos en el Cap´ıtulo 3, en particular el Criterio de Hiperciclicidad, y en el Cap´ıtulo 4, en particular la caracterizaci´on de la hiperciclicidad de operadores bilateral weighted shifts. iv INTRODUCCI ´ ON Chapter 1 Preliminares A lo largo de las primeras Secciones de este Cap´ıtulo recogeremos algunos resultados cl´asicos dentro de la Teor´ıa de Espacios y el An´alisis Funcional, con vistas a incluir en este trabajo todos los conceptos necesarios para la comprensi´on de los Cap´ıtulos posteriores. Hemos de decir que las demostraciones se pueden consultar en [Ru1], [Ru2] y [Brb] entre otros. En la ´ultima Secci´on introduciremos los conceptos de hiperciclicidad y universalidad, sobre los que se basan las investigaciones posteriores, adem´as deduciremos algunas observaciones sobre hiperciclicidad que permiten un primer acercamiento a esta teor´ıa. 1.1 Algunos espacios de Banach cl´asicos. En primer lugar, en esta Secci´on, vamos a recordar algunos espacios cl´asicos de Banach que aparecer´an en resultados posteriores, as´ı como alguna de las propiedades que verifican. Denotaremos por Kal cuerpo de los n´umeros reales Ro al cuerpo de los n´umeros complejos C. Sea Xun espacio topol´ogico. Denotamos por C(X, K), o de forma m´as abreviada C(X), al espacio de las funciones continuas de Xen K. En particular, 1 2PRELIMINARES si X= [0,1], tenemos C[0,1] = {f: [0,1] −→ K:fes continua}. Para cada f∈ C[0,1], definimos la norma infinito de fcomo: ∥f∥∞= sup{|f(x)|:x∈[0,1]}. Proposici´on 1.1.1 La aplicaci´on ∥·∥∞es una norma en C[0,1]; y (C[0,1],∥·∥∞) es un espacio de Banach separable. Denotamos por c0al espacio de las sucesiones de escalares convergentes a cero, es decir, c0={(xn)n∈N∈KN: lim n→∞ xn= 0}. Para cada (xn)n∈N∈c0definimos la norma infinito de (xn)n∈Ncomo: ∥(xn)n∈N∥∞= sup{|xn|:n∈N}. Proposici´on 1.1.2 La aplicaci´on ∥·∥∞define una norma en c0; y el par (c0,∥ · ∥∞)es un espacio de Banach separable. Para cada p∈[1,+∞), se define el espacio ℓpcomo el conjunto de sucesiones p-sumables, es decir, ℓp={(xn)n∈N∈KN: ∞ ∑ n=1 |xn|p<+∞}. Si x= (xn)n∈N∈ℓp, se define la norma-pde xcomo ∥x∥p=(∞ ∑ n=1 |xn|p)1/p . PRELIMINARES 9 Teorema 1.5.2 Sea Hun espacio de Hilbert y (xi)i∈Iun sistema ortonormal en H. Son equivalentes: (a) (xi)i∈Ies un sistema ortonormal maximal: el ´unico elemento x∈Hque es ortogonal a todos los elementos del sistema es x= 0. (b) (xi)i∈Ies completo: H=span{xi:i∈I}. (b) (xi)i∈Ies una base de H: para todo x∈Hse tiene que x=∑ i∈I ⟨x, xi⟩xi. (d) Para todo x, y ∈Hse tiene que ⟨x, y⟩=∑ i∈I ⟨x, xi⟩⟨y, xi⟩. (e) (Identidad de Parseval). Para todo x∈Hse tiene que ∥x∥2=∑ i∈I |⟨x, xi⟩|2. Ejemplos 1.5.3 Sea Iun conjunto, denotamos por ℓ2(I) al espacio formado por las familias x={xi}i∈Ide escalares tales que ∑ i∈I |xi|2<∞. Si para cada x={xi}i∈Iy cada y={yi}i∈Idefinimos su producto escalar como ⟨x, y⟩=∑ i∈I xiyi, entonces ℓ2(I) se convierte en un espacio de Hilbert. Para cada i∈Idenotamos por eial elemento de ℓ2(I) definido por ei={xij}j∈I,donde xi,j ={0si i =j 1si i =j. Entonces el sistema {ei:i∈I}forma una base ortonormal del espacio ℓ2(I). En particular, si I=No si I=Z, tenemos el espacio de las sucesiones unilaterales o bilaterales de cuadrado sumable respectivamente, es decir, ℓ2(N) = ℓ2={x= (xn)n∈N: ∞ ∑ n=1 |xn|2<∞} 10 PRELIMINARES y ℓ2(Z) = {x= (xn)n∈Z: +∞ ∑ n=−∞ |xn|2<∞}. Proposici´on 1.5.4 Todo espacio de Hilbert tiene una base. M´as a´un, todas las bases de un espacio de Hilbert tienen el mismo cardinal. Definici´on 1.5.5 Al cardinal de una base de un espacio de Hilbert Hlo llamaremos dimensi´on hilbertiana de H. En el caso de dimensi´on finita, la dimensi´on hilbertiana coincide con la dimensi´on lineal de H. Proposici´on 1.5.5 Dos espacios de Hilbert son isomorfos si y s´olo si tienen la misma dimensi´on hilbertiana. M´as a´un, si Ies un conjunto cuyo cardinal coincide con la dimensi´on hilbertiana de un espacio de Hilbert X, entonces X es isomorfo a ℓ2(I). Proposici´on 1.5.6 Un espacio de Hilbert Hes separable si y s´olo si tiene una base, a lo sumo, numerable. Corolario 1.5.7 Todo espacio de Hilbert de dimensi´on infinita y separable es isomorfo a ℓ2. Sean XeYdos espacios normados. Denotaremos por L(X, Y ) al conjunto formado por todas las aplicaciones lineales y continuas de Xen Y. Si X=Y, entonces denotaremos simplemente L(X). PRELIMINARES 11 Proposici´on 1.5.8 L(X, Y )es un espacio vectorial que se convierte en espacio normado si definimos la norma de operadores T∈ L(X, Y )como ∥T∥= min{M≥0 : ∥Tx∥ ≤ M∥x∥para todo x∈H}= sup{∥Tx∥:∥x∥ ≤ 1}= sup {∥Tx∥ ∥x∥:x= 0}. Proposici´on 1.5.9 Sean H1yH2dos espacios de Hilbert, y T∈ L(H1, H2). Entonces existe un ´unico operador T∗∈ L(H2, H1)tal que ⟨Tx, y⟩=⟨x, T∗y⟩,para todo x∈H1y todo y∈H2. A tal operador se le llama operador adjunto de T. Nota 1.5.10 Sean H1yH2dos espacios de Hilbert, y T∈ L(H1, H2). Entonces es claro que la operaci´on “tomar adjunto” es involutiva, es decir, T∗∗ = (T∗)∗=T. Sea Xun espacio de Hilbert separable y sea {en}n∈Nuna base ortonormal. Se define el operador forward shift T(resp. backward shift S) como como aqu´el que verifica Ten=en+1 para cada n∈N(resp. Sen+1 =enpara cada n∈N ySe1= 0). Si existe una sucesi´on de escalares {an}n∈Ntal que se verifica Ten=an+1en+1 (resp. Sen+1 =anen) se dice que T(resp. S) es un operador weighted forward (resp. backward) shift con sucesi´on de pesos {an}n∈N. En particular, si X=ℓ2(N) el operador T(resp. S) se denomina unilateral forward (resp. backward) shift. Ahora bien, si X=ℓ2(Z) definimos el operador bilateral forward shift (resp. backward shift) como aqu´el que verifica Ten=en+1 para cada n∈Z(resp. Ten=en−1para cada n∈Z). 12 PRELIMINARES Proposici´on 1.5.11 Sea Hun espacio de Hilbert separable y Tun operador weighted backward (resp. forward) shift. Entonces el operador T∗es un operador weighted forward (resp. backward) shift. Demostraci´on. Por la Nota 1.5.10 basta probar el caso en que Tes un operador weighted forward shift con sucesi´on de pesos {an}n∈N. Sean x, y ∈Hy sea {en}n∈Nuna base ortonormal de H. Se verifica que x= ∞ ∑ n=1 ⟨x, en⟩eney= ∞ ∑ m=1 ⟨y, em⟩em. Pero por la linealidad y continuidad de Ty del producto escalar, y por la definici´on de operador weighted forward shift ⟨Tx, y⟩= ∞ ∑ n=1 ⟨x, en⟩⟨an+1en+1, y⟩= ∞ ∑ n,m=1 ⟨x, en⟩⟨y, em⟩an+1⟨en+1, em⟩= ∞ ∑ m=1 ⟨x, em−1⟩⟨y, em⟩am= ⟨x, ∞ ∑ m=1 am⟨y, em⟩em−1⟩. Luego, por la unicidad del operador adjunto, T∗y= ∞ ∑ m=1 am⟨y, em⟩em−1para cada y∈H. En particular para y=en+1 T∗en+1 =an+1en de donde T∗es el operador weighted backward shift con sucesi´on de pesos {bn=an+1}n∈N.• PRELIMINARES 13 1.6 Conceptos generales sobre hiperciclicidad. En los siguientes Cap´ıtulos vamos a estudiar la hiperciclicidad de operadores siempre definidos entre, al menos, espacios de Fr´echet. En general este concepto, y el m´as general de universalidad, se pueden dar para espacios topol´ogicos cualesquiera. Definici´on 1.6.1 Sean XeYdos espacios topol´ogicos y sea {Tn:X→Y}n≥0 una sucesi´on de aplicaciones continuas. Se dice que un elemento x∈Xes universal respecto de la sucesi´on {Tn}n≥0si su ´orbita O({Tn}:x) = {T0x, T1x, . . . , Tnx, . . .} es densa en Y. En tal caso se dice que {Tn}es una sucesi´on universal. Denotaremos por U({Tn})al subconjunto de elementos de Xque son universales respecto de {Tn}. Elijamos en particular X=Yy{Tn}la sucesi´on de iteradas de una sola aplicaci´on continua T:X→X, es decir, T0=T0=Id,T1=T,T2= T2=T◦Ty en general para cada n∈NTn=Tn=T◦(n) · · · ◦T. En estas condiciones, si la ´orbita O(T:x) = {Tnx:n≥0}de un elemento x∈X, es densa en Xse dice que xes hiperc´ıclico respecto de Ty la aplicaci´on T se dice hiperc´ıclica. El conjunto de elementos hiperc´ıclicos respecto de Tlo notaremos por U(T). Nota 1.6.1 Observemos que para que una sucesi´on de aplicaciones de un espacio topol´ogico Xen otro espacio topol´ogico Ysea universal, es necesario que el espacio de llegada Ysea separable. A lo largo de este trabajo nos vamos a centrar en resultados de hiperciclicidad y por tanto consideraremos el caso en que tengamos una sola aplicaci´on T(y sus iteradas) sobre un espacio topol´ogico Xseparable. 14 PRELIMINARES El primer resultado elemental que damos nos garantiza que, con unas condiciones m´ınimas sobre X, la existencia de un solo elemento T-hiperc´ıclico implica la de todo un conjunto denso de elementos hiperc´ıclicos para T. Lema 1.6.2 Sea Xun espacio topol´ogico T1sin puntos aislados. Entonces cada subconjunto finito de Xtiene interior vac´ıo. Demostraci´on. Como Xno tiene puntos aislados, tiene, al menos, dos puntos; y por ser T1, cada subconjunto unitario {x}es cerrado y de interior vac´ıo, luego cada subconjunto finito tambi´en es cerrado. Supongamos, por reducci´on al absurdo, que existe un subconjunto finito Fde Xde interior no vac´ıo. Tenemos que int(F) es abierto, finito (luego cerrado) y posee, al menos, dos puntos. Escogemos un subconjunto Babierto, no vac´ıo y minimal de int(F). Entonces Btiene, al menos, dos puntos ayb. Por ser X T1, existe un abierto Ude Xtal que a∈Uyb /∈U. Sea C=B∩U. Entonces Ces un subconjunto abierto no vac´ıo de int(F) y es un subconjunto propio de B, lo que contradice la elecci´on del conjunto B.• Teorema 1.6.3 Sea Xun espacio topol´ogico T1, separable sin puntos aislados. Si una aplicaci´on T:X→Xes hiperc´ıclica, entonces el conjunto U(T)de elementos hiperc´ıclicos respecto de Tes denso en X. Demostraci´on. Por hip´otesis, existe un elemento x∈ U(T) y por lo tanto O(T:x) es densa en X. Pero para cada m∈Nse verifica O(T:Tmx) = O(T:x)\F donde F={x, Tx, · · · , Tm−1x}. Entonces int(F) es vac´ıo por el Lema 1.6.2, as´ı que O(T:Tmx) es densa en Xy, en consecuencia, cada elemento Tmxde la ´orbita de xes hiperc´ıclico respecto de T. As´ı O(T:x)⊂ U(T) y U(T) es denso en X.• PRELIMINARES 15 Nota 1.6.4 Observemos que este resultado no es cierto para sucesiones de aplicaciones continuas Tn:X→X.En efecto, sea Xun espacio de Hilbert bidimensional, sea {e1, e2}una base ortonormal de Xy sea {xn:n∈N}un subconjunto denso de X. Para cada n∈N, sea yn∈Xun elemento ortogonal axny de norma n. Definamos ahora la sucesi´on {Tn}n∈Nde operadores lineales sobre Xdada por Tn(ae1+be2) = axn+byn(a, b ∈K). Entonces cada elemento de la forma ae1con a= 0 es universal para {Tn}, pero cualquier otro elemento ae1+be2con b= 0 verifica ∥Tn(ae1+be2)∥≥|b|∥yn∥=|b|n, luego no es universal. En consecuencia U({Tn}) = {ae1:a= 0}y por tanto no es denso en X. El siguiente resultado nos muestra una condici´on necesaria muy sencilla para que se d´e la hiperciclicidad de un operador Ten un espacio normado X. Teorema 1.6.5 Sea Tun operador lineal y continuo sobre un espacio normado X. Si Tes hiperc´ıclico, entonces ∥T∥>1. Demostraci´on. Supongamos que ∥T∥ ≤ 1. Entonces ∥Tx∥≤∥T∥ · ∥x∥ ≤ ∥x∥para cada x∈X, luego para cada n∈Ny cada x∈Xse tiene que ∥Tnx∥≤∥x∥. Por lo tanto la ´orbita de cada elemento xest´a acotada, y por consiguiente no puede haber ning´un elemento hiperc´ıclico respecto de T.• Durante los ´ultimos a˜nos muchos autores han estudiado los operadores hiperc´ıclicos sobre espacios de Hilbert y espacios de Banach. Para cualquier consulta sobre estos resultados referimos al lector interesado al excelente survey sobre el tema realizado por K. G. Grosse-Erdmann [GE2]. 16 PRELIMINARES Chapter 2 Hiperciclicidad en espacios de Banach Sea Xun espacio normado y Tun operador lineal y continuo de Xen s´ı mismo. Recordemos que la ´orbita de un elemento xde Xrespecto del operador Tes el conjunto O(T:x) = {Tnx:n∈N}. En 1969 Rolewicz, bas´andose en resultados de L. S. Pontryagin [Pon] adelant´o que si Xes un espacio de dimensi´on finita y x∈X, las im´agenes de sus iteradas por Ttan s´olo verifican las siguientes tres posibilidades autoexcluyentes: (1) lim n→∞ Tnx= 0. (2) lim n→∞ ∥Tnx∥= +∞. (3) El cierre de O(T:x) es compacto y 0 /∈ O(T:x). De donde se deduce f´acilmente que la ´orbita de un elemento xde Xnunca puede ser densa en Xy por tanto Tno ser´a un operador hiperc´ıclico. M´as adelante, en la Secci´on 2, ofreceremos una demostraci´on algebraica de este hecho, en s´ı mismo bastante intuitivo, debida a C. Kitai [Kit, Theorem 1.2]. 17 18 HIP. ESP. BANACH Lo anterior concluye el estudio de la hiperciclicidad en espacios de dimensi´on finita. Ahora bien, en el caso infinito-dimensional no ocurre as´ı; como vamos a mostrar en la siguiente Secci´on, dado X=ℓp´o c0podemos encontrar que, para ciertos operadores Ty para ciertos elementos x∈X, la ´orbita O(T:x) es densa en la totalidad del espacio, es decir, Tser´a hiperc´ıclico en X. Por ´ultimo, dedicaremos la Secci´on 2 al estudio de la existencia de operadores hiperc´ıclicos en un espacio de Banach Xgeneral. Aunque los resultados que enunciaremos no son indispensables en lo que constituye nuestra principal l´ınea en este trabajo: el estudio de la hiperciclicidad de operadores weighted shifts, consideramos que su inclusi´on facilita la comprensi´on de la importancia de dichos operadores en la teor´ıa de la hiperciclicidad. 2.1 Un ejemplo de operador hiperc´ıclico en espacios de Banach En 1969 Rolewicz [Rol, Theorem 1] proporcion´o el primer ejemplo de operador hiperc´ıclico entre espacios de Banach. Su resultado, ya cl´asico, nos muestra que ciertos m´ultiplos del operador backward shift B, son hiperc´ıclicos. Teorema 2.1.1 Sea Xel espacio ℓp, con 1≤p < ∞, o bien el espacio c0; y sea Bel operador backward shift en X. Entonces para cada n´umero real a > 1, el operador T=aB es hiperc´ıclico en X. Demostraci´on. Sea Xel espacio ℓp(1 ≤p < ∞) o el espacio c0. Tenemos que demostrar que existe un elemento x0∈Xtal que {Tnx0:n∈N}es denso en X. (1) Recordemos que el operador backward shift Bviene dado por B(x1, x2, x3, . . .)=(x2, x3, . . .). HIP. ESP. BANACH 25 Demostraci´on. Supongamos que Tes un operador hiperc´ıclico sobre X, y que dim(X) = n∈N. Existe una base de Xcon respecto a la cual Ttiene una matriz triangular superior A= (aij)1≤i,j≤n. Llamemos a=ann. Entonces para cada entero positivo k≥0, el elemento que ocupa el lugar (n, n) de la matriz Akes ak. Supongamos, por reducci´on al absurdo, que existe un elemento (x1, . . . , xn) de Xque es hiperc´ıclico respecto de T. Entonces el conjunto {akxn:k≥0} tiene que ser denso en C, lo que es claramente imposible. • Una segunda condici´on para que un espacio topol´ogico admita operadores hiperc´ıclicos es, trivialmente, la separabilidad de dicho espacio. En 1969 Rolewicz [Rol, Problem 1] plante´o la siguiente cuesti´on. Si Xes un espacio de Banach separable y de dimensi´on infinita, ¿existe alg´un operador en Xque sea hiperc´ıclico? Observemos que Rolewicz estudi´o el caso en que X=ℓp(1 ≤p < ∞) o c0, recogido en la Secci´on anterior. En particular, si consideramos X=ℓ2, por el Corolario 1.5.7 tendremos que el problema anterior ya estar´ıa resuelto para espacios de Hilbert separables y de dimensi´on infinita. El problema en espacios de Banach ha permanecido abierto hasta hace muy pocos a˜nos. A finales de los 90, S. I. Ansari [An2] y L. Bernal [Ber] proporcionaron, de manera independiente, una respuesta afirmativa. Teorema 2.2.2 En todo espacio de Banach separable y de dimensi´on infinita existe un operador hiperc´ıclico. Aunque no daremos las demostraciones, hemos de decir que se inspiran en un resultado anterior de Salas [Sa2] sobre hiperciclicidad de operadores shifts sobre ℓ2, el cual ser´a la base del Cap´ıtulo 4. En particular, la prueba de Ansari permite extender el resultado a clases m´as amplias de espacios vectoriales 26 HIP. ESP. BANACH topol´ogicos. De hecho, ella muestra que cualquier espacio de Fr´echet con un sistema biortogonal equicontinuo admite un operador hiperc´ıclico [An2, Theorem 1(c)]. En 1998 J. Bonet y A. Peris [BoP] consiguieron eliminar esta ´ultima restricci´on. Teorema 2.2.3 Todo espacio de Fr´echet separable de dimensi´on infinita admite un operador hiperc´ıclico. Por ´ultimo digamos que sigue abierto el problema de la existencia de operadores hiperc´ıclicos en espacios m´as generales como F-espacios separables y de dimensi´on infinita. Chapter 3 Hiperciclicidad en espacios de Hilbert En la primera Secci´on de este Cap´ıtulo vamos a ofrecer una condici´on suficiente que nos garantice la hiperciclicidad de un operador T(Teorema 3.1.6). La prueba de este resultado principal est´a basada en el Teorema de Baire (Teorema 1.2.2), y nos proporcionar´a todo un conjunto Gδ-denso de elementos hiperc´ıclicos. Sin embargo esto no nos resultar´a sorprendente, ya que en la Proposici´on 3.1.1 veremos que si un operador Tposee un elemento hiperc´ıclico, entonces posee un conjunto Gδ-denso de ellos. El Teorema 3.1.6 permite unificar, extender y completar diversos resultados de la literatura cl´asica de funciones y de la Teor´ıa de Operadores. En particular deduciremos a partir de ´el los dos primeros resultados conocidos sobre universalidad: el teorema de Birkhoff [Bir] Existen funciones enteras f cuyas trasladadas aproximan uniformemente en compactos cualquier funci´on entera, es decir, tales que el conjunto {τaf:a∈C}es denso en H(C), donde τaf(z) = f(z+a) (z∈C); y el teorema de MacLane [McL, Theorem 7] Existe una funci´on entera fcuya sucesi´on de derivadas {f(n):n≥0}es densa en H(C). En definitiva, estos teoremas aseguran la hiperciclicidad en el espacio de las funciones enteras H(C) del operador traslaci´on τay del operador derivada Ddefinido para cada f∈H(C) como Df(z) = f′(z). 27 28 HIP. ESP. HILBERT En la siguiente Secci´on del Cap´ıtulo, incluiremos aplicaciones a la Teor´ıa de Operadores. Definiremos los operadores backward shift sobre ciertos espacios de Hilbert y apoy´andonos en el Teorema 3.1.6, daremos condiciones necesarias y suficientes que caracterizar´an su hiperciclicidad. Por ´ultimo, en la Secci´on cuarta introducimos uno de los problemas cl´asicos dentro de la hiperciclicidad. Problema que tiene su origen en el Teorema 3.1.6 y que volveremos a encontrar en el Cap´ıtulo 4. 3.1 Condiciones suficientes de hiperciclicidad. A lo largo de toda la Secci´on, Xser´a un F-espacio separable, y Tun operador lineal y continuo de Xen s´ı mismo; la separabilidad viene impuesta como condici´on necesaria para que pueda hablarse de hiperciclicidad. Recordemos que para un F-espacio X, la topolog´ıa viene dada por una distancia invariante por traslaciones d. Para cualquier x∈X, cualquier y∈Xy cualquier ε > 0, notaremos ∥x∥=d(x, 0) y B(y, ε) = {x∈X:∥y−x∥< ε}. Definici´on 3.1.1 Sea Xun F-espacio. Para cada elemento y∈X, cada n´umero natural N∈Ny cada n´umero positivo ε > 0, denotaremos por F(y, N, ε)al conjunto F(y, N, ε) = {x∈X:∥Tnx−y∥< ε para alg´un n≥N}. Lema 3.1.1 Para cada elemento y∈X, cada n´umero natural N∈Ny cada n´umero positivo ε > 0, el conjunto F(y, N, ε)es abierto. Demostraci´on. Por la continuidad de la aplicaci´on Tbasta probar que F(y, N, ε) = ∪ n≥N T−n(B(y, ε)) , HIP. ESP. HILBERT 29 donde por T−nse entiende la aplicaci´on inversa T−1compuesta nveces. La igualdad es inmediata por la siguiente cadena de equivalencias: x∈F(y, N, ε)⇐⇒ existe n≥Ntal que ∥Tnx−y∥< ε ⇐⇒ existe n≥Ntal que Tnx∈B(y, ε)⇐⇒ existe n≥Ntal que x∈T−n(B(y, ε)) ⇐⇒ x∈∪ n≥N T−n(B(y, ε)) . • Proposici´on 3.1.2 Si un operador T posee un elemento hiperc´ıclico, entonces tiene un conjunto Gδ-denso de elementos hiperc´ıclicos. Demostraci´on. Sea Uel conjunto de elementos hiperc´ıclicos para T. En primer lugar observemos que, por el Teorema 1.6.3, si Ues no vac´ıo, entonces es denso en Xy adem´as {Tnx:n∈N} ⊂ U para todo x∈ U.(1) Por otra parte, dado que Xes separable, existe un conjunto denso y numerable en X. Fijamos {yk}k∈Nuna sucesi´on densa en X. Veamos que Use puede expresar como una intersecci´on numerable de abiertos F(y, N, ε). En concreto U=∩ j,N,k∈N F(yj, N, 1/k).(2) Sea xun elemento de U. Por (1) sabemos que para todo N∈N,TNxes hiperc´ıclico para T, de donde para cada k∈Ny cada j∈Ntenemos que existe un n´umero natural m∈Ntal que ∥Tm(TNx)−yj∥<1 k, o lo que es igual, x∈F(yj, N, 1/k). Por lo tanto, U ⊂ ∩ j,N,k∈N F(yj, N, 1/k). 30 HIP. ESP. HILBERT Sea ahora x∈∩ j,N,k∈N F(yj, N, 1/k). Hay que demostrar que la ´orbita de x es densa en X, es decir: Dado ε > 0,y dado y∈X, existe n∈Ntal que ∥Tnx−y∥< ε. (3) Fijamos ε > 0 e y∈X. Por ser la sucesi´on {yk}k∈Ndensa, existe un n´umero natural mde modo que ∥y−ym∥<ε 2. Pero x∈∩ j,N,k∈N F(yj, N, 1/k), luego para cualquier terna de n´umeros naturales j, N, k se tiene que ∥Tnx−yj∥<1 kpara alg´un n≥N. Tomando en particular j=myktal que 1 k<ε 2, obtenemos ∥Tnx−ym∥<ε 2.(4) Y usando (3),(4) y la desigualdad triangular, nos queda que ∥Tnx−y∥ ≤ ∥Tnx−ym∥+∥ym−y∥< ε, lo que demuestra que ∩ j,N,k∈N F(yj, N, 1/k)⊂ U, con ello tenemos (2) y la prueba concluye. • Nota 3.1.3 Este resultado tan s´olo es v´alido si hablamos de hiperciclicidad. En el caso de tener una sucesi´on de operadores {Tn:n∈N}el razonamiento falla, pues en la prueba juega un papel fundamental el hecho de que la composici´on sea una operaci´on interna en la familia {Tn:n∈N}. Una consecuencia curiosa de la Proposici´on 3.1.2 y del Teorema de Baire es la siguiente. HIP. ESP. HILBERT 31 Corolario 3.1.4 Sea {Tn}n∈Nuna sucesi´on de operadores lineales y continuos. Si para cada n∈Nexiste un elemento Tn-hiperc´ıclico, entonces existe un elemento Tn-hiperc´ıclico para todo n∈N Demostraci´on. Para cada n∈Ndenotemos por Unel conjunto de elementos hiperc´ıclicos para Tn. Por hip´otesis, cada Unes no vac´ıo, luego por la Proposici´on 3.1.1 cada Unes un conjunto Gδ-denso en X. As´ı, el Teorema de Baire nos garantiza que ∩ n∈N Unes denso y, en particular, no vac´ıo, es decir, existe un elemento x∈∩ n∈N Un, y por tanto xes un elemento Tn-hiperc´ıclico para todo n∈N.• Nota 3.1.5 Teniendo en cuenta este resultado y los teoremas de MacLane y Birkhoff, podemos encontrar una funci´on entera hiperc´ıclica respecto del operador traslaci´on y del operador diferenciaci´on a la vez. Pasemos a demostrar a continuaci´on el resultado principal de esta Secci´on, el cual nos proporcionar´a condiciones suficientes para la hiperciclicidad de un operador T. Este resultado fue dado, de manera independiente, por Gethner y Shapiro en [GeS, Theorem 2.2] y por Kitai en [Kit, Theorem 1.4]. En ambos casos su enunciado y demostraci´on se inspira en el resultado de Rolewicz (Teorema 2.1.1) visto en el Cap´ıtulo anterior. Teorema 3.1.6 Sea Xun F-espacio separable y T:X→Xun operador lineal y continuo. Supongamos que existe un subconjunto denso Dde Xy una aplicaci´on S:X→X, tales que: (a) T◦S=Id en X. (b) lim n→∞ ∥Tnx∥= 0 ylim n→∞ ∥Snx∥= 0 para todo x∈ D. Entonces el conjunto U:= U(T)es no vac´ıo. 32 HIP. ESP. HILBERT Demostraci´on. En la demostraci´on de la Proposici´on 3.1.2 hemos visto que Upuede expresarse como una intersecci´on numerable de conjuntos abiertos F(y, N, ε). As´ı, por el Teorema de Baire, es suficiente probar que para cada y∈X, N ∈Nyε > 0, el conjunto F(y, N, ε) es denso en X. Fijamos y∈X, N ∈N, ε > 0, z ∈Xyδ > 0. Tenemos que probar que F(y, N, ε)∩B(z, δ)=∅, es decir, existe x∈Xtal que ∥Tnx−y∥< ε para alg´un n≥N(1) y ∥x−z∥< δ. (2) Como Des denso en X, existen unos elementos y0, z0∈ D tales que ∥z−z0∥<δ 2y∥y−y0∥<ε 2. Por la hip´otesis (b), tenemos que TnySnconvergen puntualmente a 0 en D, luego existe n≥Ntal que se verifican, simult´aneamente, las dos condiciones siguientes: ∥Tnz0∥<ε 2 y ∥Sny0∥<δ 2. Consideremos x=Sny0+z0. Se verifica que: ∥x−z∥≤∥x−z0∥+∥z0−z∥= ∥Sny0∥+∥z0−z∥<δ 2+δ 2=δ, por tanto xcumple (2). Adem´as, por la hip´otesis (a), es inmediato que para cualquier n´umero natural n∈Nse tiene que Tn◦Sn=Id en X, y por la linealidad del operador Ty la desigualdad triangular ∥Tnx−y∥=∥Tn◦Sny0+Tnz0−y∥= HIP. ESP. HILBERT 33 ∥y0−y+Tnz0∥ ≤ ∥y0−y∥+∥Tnz0∥<ε 2+ε 2=ε As´ı x∈Xcumple (1) y (2), y con ello F(y, N, ε) es denso en X.• Nota 3.1.7 Observemos que en realidad, hemos demostrado algo m´as fuerte que la hiperciclicidad del operador T. La prueba nos muestra que para cualquier sucesi´on {nj}j∈Nestrictamente creciente a +∞, existe todo un conjunto Gδdenso de elementos x∈Xtales que {Tnjx:j≥0}es denso en X, o lo que es igual, se tiene que Tes hereditariamente hiperc´ıclico para {nj}. De hecho, un razonamiento parecido puede seguirse para obtener el siguiente criterio suficiente de universalidad, an´alogo al del Teorema 3.1.6. Teorema 3.1.8 Sea Xun F-espacio y sea Dun subconjunto denso de X y{Tn}n∈Nuna sucesi´on de operadores lineales y continuos en Xtales que Tn→0 (n→ ∞)puntualmente en D. Supongamos que para cada n≥0 el operador Tnposee un inverso a la derecha Sny que Sn→0 (n→ ∞) puntualmente en D. Entonces existe un conjunto Gδde elementos x∈Xtales que {Tnx:n∈N}es denso en X. Ya comentamos anteriormente (Nota 3.1.5) que pueden conseguirse funciones universales en el sentido de Birkhoff y de MacLane al mismo tiempo. Veamos ahora c´omo podemos deducir estos dos primeros resultados sobre universalidad a partir del Teorema 3.1.6. Corolario 3.1.9 (Teorema de Birkhoff) Para cada α∈Cexiste un conjunto Gδ-denso de funciones enteras f, tales que el conjunto de sus trasladadas {f(z+nα) : n∈N}es denso en H(C). Demostraci´on. Vamos a aplicar el Teorema 3.1.6 con X=H(C), Tel operador traslaci´on por α(Tf(z) = f(z+α) para cada f∈H(C)) y Sel 34 HIP. ESP. HILBERT operador traslaci´on por −α. El problema consiste en encontrar un conjunto denso en H(C) tal que las sucesivas potencias de TySconverjan puntualmente a cero en ´el. Para ello, podemos suponer, sin p´erdida de generalidad, que αes real. Entonces, para cada par de n´umeros enteros k > 0 y m≥0, definimos la funci´on entera fm,k como fm,k(z) = zm·[sin(z/k) (z/k)]m+1 (z∈C). Si fijamos m, se comprueba f´acilmente que fm,k(z)→zm(k→ ∞) uniformemente en compactos de C. Tambi´en se verifica que: Tnfm,k = (z+nα)m  sin (z+nα k) z+nα k  m+1 −→ 0 (n→ ∞) en H(C) y Snfm,k = (z−nα)m  sin (z−nα k) z−nα k  m+1 −→ 0 (n→ ∞) en H(C). Y por tanto {Tn}n∈Ny{Sn}n∈Nconverjen puntualmente a cero en el subespacio vectorial Dgenerado por todas las funciones {fm,k :k > 0, m ≥0}. Finalmente, Des denso en H(C), ya que por (1) cualquier polinomio est´a en el cierre de Dy los polinomios son densos en H(C). • Corolario 3.1.10 (Teorema de MacLane) Existe un conjunto Gδ-denso de funciones enteras ftales que el conjunto de todas sus derivadas {f(n):n≥0} es denso en H(C). Demostraci´on. Las hip´otesis del Teorema 3.1.6 se satisfacen para X= H(C), Del conjunto de todos los polinomios, Tel operador diferencial y Sel operador integraci´on definido como Sf(z) = ∫z z0 f(t)dt (f∈H(C), z ∈C), HIP. ESP. HILBERT 41 Sea L2(β), el correspondiente espacio de las series formales de Laurent. Redefinamos adecuada y naturalmente los operadores forward shift y backward shift sobre el espacio L2(β). Sea f(z) = +∞ ∑ −∞ ˆ f(k)zk∈L2(β), entonces Bf(z) = +∞ ∑ −∞ ˆ f(k+ 1)zk y Uf(z) = +∞ ∑ −∞ ˆ f(k)zk+1. Se comprueba f´acilmente, mediante un c´alculo an´alogo al realizado en el Teorema 3.2.2, que estos operadores son lineales y continuos y que ∥B∥L2(β)=σ2 y ∥U∥L2(β)=σ1. En estas condiciones, aplicando el Teorema 3.1.6 como se ha hecho en la demostraci´on del Teorema 3.2.3, se prueba el siguiente resultado. Teorema 3.2.5 Sea β={β(k); k∈Z}una sucesi´on bilateral de n´umeros positivos tal que: (a) σ1:= sup {β(k+ 1) β(k):k∈Z}<+∞. (b) σ2:= sup {β(k) β(k+ 1) :k∈Z}<+∞. Entonces si lim k→+∞β(k) = 0 (resp. lim k→−∞ β(k) = 0),L2(β)posee elementos hiperc´ıclicos respecto del operador backward shift B(resp. forward shift U). 42 HIP. ESP. HILBERT 3.3 El criterio de Hiperciclicidad. Diversos autores (ver, por ejemplo, [GE1], [GoS], [An2], [Ber]) han ido mejorando el resultado de Gethner y Shapiro y de Kitai enunciado como Teorema 3.1.6, aunque siempre manteniendo una base com´un. Enunciamos a continuaci´on la forma m´as d´ebil de este criterio debida a B`es y Peris [BeP]. Teorema 3.3.1 (Criterio de Hiperciclicidad) Sea Xun F-espacio separable y Tun operador lineal y continuo en X. Supongamos que existen dos subconjuntos densos X0eY0en X, una sucesi´on creciente {nk}k∈Nde enteros positivos y aplicaciones (que pueden ser no lineales y discontinuas) Snk: Y0−→ Xtales que: (i) Tnk−→ 0puntualmente en X0. (ii) Snk−→ 0puntualmente en Y0. (iii) Tnk◦Snk−→ IdY0puntualmente en Y0. Entonces Tes hiperc´ıclico. Si un operador Tcumple las hip´otesis del teorema anterior, se dice que satisface el criterio de hiperciclicidad (para {nk}). Trivialmente se tiene que si Tcumple el Criterio de Hiperciclicidad, entonces Tes hiperc´ıclico. En cuanto al rec´ıproco, podemos asegurar lo siguiente. En 1991 Salas [Sa1, Remark 2(b)] y D. A. Herrero [He1] han proporcionado ejemplos de operadores en espacios de Hilbert que son hiperc´ıclicos pero que no satisfacen el Criterio de Hiperciclicidad para la sucesi´on completa, es decir, nk=k. Sin embargo, no se conocen ejemplos para el Criterio de Hiperciclicidad en su forma general. En 1999 B`es y Peris [BeP] plantean el siguiente problema. Si Tes un operador hiperc´ıclico sobre un espacio de Hilbert (o sobre un espacio de Banach), ¿satisface Tel Criterio de Hiperciclicidad? HIP. ESP. HILBERT 43 En el mismo trabajo [BeP, Theorem 2.14] consiguen probar que la respuesta es afirmativa para operadores sobre espacios de Fr´echet que sean ca´oticos, es decir, hiperc´ıclicos y con un conjunto denso de puntos peri´odicos. Adem´as relacionan dicha cuesti´on con otro problema cl´asico en hiperciclicidad y del cual hablaremos en el Cap´ıtulo siguiente. 44 HIP. ESP. HILBERT Chapter 4 Hiperciclicidad de operadores weighted shifts en espacios de Hilbert En el Cap´ıtulo anterior hemos estudiado un criterio suficiente sobre hiperciclicidad de un operador Tdebido a Gethner y Shapiro, y como consecuencia hemos deducido los cl´asicos teoremas de Birkhoff y MacLane. Gracias a este criterio tambi´en se obten´ıan condiciones suficientes para la hiperciclicidad de operadores backward shift entre espacios de Hilbert de tipo “Bergman”. En este Cap´ıtulo veremos c´omo se puede cerrar de manera positiva el resultado de Gethner y Shapiro para weighted backward shifts. De hecho, esto no ser´a m´as que una consecuencia del estudio de la hiperciclicidad de dichos operadores en espacios de Hilbert generales. Dicho estudio ser´a relacionado (Secciones 3 y 4) con algunos problemas cl´asicos en hiperciclicidad. A partir de ahora vamos a trabajar con espacios de Hilbert separables y de dimensi´on infinita. Recordemos que, en el marco de la hiperciclicidad, estas ´ultimas condiciones son m´ınimas. 45 46 HIP. OP. WEIGHTED SHIFTS EN ESP. HILBERT 4.1 Resultados preliminares. Sean H1yH2dos espacios de Hilbert separables y de dimensi´on infinita. Se define la suma directa de ambos espacios, y la notaremos por H=H1⊕H2, como H=H1⊕H2: = {(x1, x2) : xj∈Hjj= 1,2}. Es f´acil comprobar que este nuevo espacio es de Hilbert si lo dotamos de la siguiente norma ∥(x1, x2)∥H= (∥x1∥H1+∥x2∥H2)1/2. An´alogamente, si tenemos dos operadores Tj:Hj−→ Hjcon j= 1,2, se define la suma directa de ambos, y la notaremos por T=T1⊕T2, como T=T1⊕T2:H1⊕H2−→ H1⊕H2 (x1, x2)7−→ (T1x1, T2x2). Claramente la continuidad y linealidad de T1yT2se transmiten a T1⊕T2. As´ı, T1⊕T2es un operador en H1⊕H2. Traslad´andonos al marco de la hiperciclicidad, la primera pregunta que nos surge es si existe alguna relaci´on entre la hiperciclicidad de T1,T2yT1⊕T2. Como nos muestra la siguiente proposici´on, se tiene que la hiperciclicidad de T1⊕T2implica la de T1yT2. Proposici´on 4.1.1 Si x= (x1, x2)es un elemento hiperc´ıclico para el operador T=T1⊕T2, entonces cada elemento xj, con j= 1,2, es Tj-hiperc´ıclico. Demostraci´on. Sea j= 1,2. Vamos a probar que la ´orbita de xjrespecto de Tjes densa en Hj, es decir, dado yj∈Hjy dado ε > 0, existe un n´umero natural Nj, tal que ∥TNj jxj−yj∥Hj< ε. Sea y1∈H1,y2∈H2yε > 0. Como xes hiperc´ıclico para TyTkx= (Tk 1x1, Tk 2x2) para todo k∈N, entonces existe N∈Ntal que: ∥(TN 1x1, TN 2x2)−(y1, y2)∥H< ε, HIP. OP. WEIGHTED SHIFTS EN ESP. HILBERT 47 y teniendo en cuenta la definici´on de norma en H, ∥TN jxj−yj∥Hj< ε j = 1,2. As´ı, x1yx2son T1yT2-hiperc´ıclicos respectivamente. • Sin embargo el rec´ıproco no es cierto en general. En 1991, Salas [Sa1] proporcion´o un ejemplo de un operador Ttal que tanto ´el como su adjunto T∗ son hiperc´ıclicos. Adem´as, a partir de un resultado no publicado de Deddens (ver [HeW]) se tiene que su suma T⊕T∗no es hiperc´ıclica. Es claro que, de esta manera, se consiguen dos operadores T1yT2hiperc´ıclicos con T1⊕T2no hiperc´ıclico y T1=T2. En 1992 Herrero [He2] plantea, entre otros, el siguiente problema. Si Tes hiperc´ıclico, ¿es T⊕Thiperc´ıclico? En 1995, Salas [Sa2] resuelve afirmativamente esta cuesti´on para el caso de los operadores bilateral forward and backward weighted shifts y los operadores unilateral weighted backward shifts. Recogemos sus resultados en la Secci´on siguiente. 4.2 Weighted Shifts. Recordemos en primer lugar que sobre el espacio de Hilbert ℓ2(Z), si {en}n∈Z es su base can´onica, se dice que un operador Tes del tipo bilateral weighted forward shift (o m´as brevemente bilateral weighted shift) si verifica Ten=anen+1 para todo n∈Z, donde la sucesi´on de pesos {an}n∈Zes un conjunto acotado de C. Observemos tambi´en que podemos suponer, sin p´erdida de generalidad, que los pesos son reales y positivos. El primer teorema es b´asico para el desarrollo resto de la Secci´on, ya que nos caracterizar´a la hiperciclicidad de dichos operadores. Dado un operador T bilateral weighted shift que es hiperc´ıclico, podemos obtener condiciones sobre 48 HIP. OP. WEIGHTED SHIFTS EN ESP. HILBERT los pesos con s´olo observar la acci´on de las potencias de Tsobre el subespacio generado por {ek:a≤k≤b}. Por otro lado, si las condiciones sobre los pesos se satisfacen, se pueden obtener elementos hiperc´ıclicos construy´endolos “pieza a pieza”. Damos primero un resultado auxiliar. Lema 4.2.1 Sea Tun operador bilateral weighted shift. Si dados ε > 0, q ∈N y dos vectores g, h ∈span{ej:|j| ≤ q} existe un n´umero n∈Ny un vector u∈span{ej:|j| ≤ q+n} tales que: (i) ∥u∥< ε, (ii) ∥Tnu−g∥< ε, (iii) ∥Tnh∥< ε, entonces el operador Tes hiperc´ıclico. Demostraci´on. Vamos a construir un vector fque sea hiperc´ıclico para T. Veamos, en primer lugar, que ∥T∥>1. Supongamos que ∥T∥ ≤ 1; entonces para nsuficientemente grande tenemos, por (i)y(ii), ε > ∥Tnu−g∥ ≥ |∥Tnu∥−∥g∥| ≥ ∥g∥−∥Tnu∥ ≥ ∥g∥−∥T∥n∥u∥>∥g∥−∥T∥n·ε Luego ∥g∥< ε (1 + ∥T∥n)≤2ε, y esto es v´alido para cualquier ε > 0. As´ı, ∥g∥= 0, lo que lleva a contradicci´on, y por tanto debe ser ∥T∥>1. Sea G=   gk=∑ |j|≤k ⟨gk, ej⟩ej:k∈N   un subconjunto denso de ℓ2(Z) (por ejemplo, aquellos elementos de ℓ2(Z) con una cantidad finita de coeficientes no nulos y racionales). HIP. OP. WEIGHTED SHIFTS EN ESP. HILBERT 49 Vamos a encontrar fde la forma f= ∞ ∑ k=1 fk, donde lim k→∞ ∥Tnkfk−gk∥= 0 y {nk}k∈Nes una sucesi´on estrictamente creciente a especificar. Procedamos por inducci´on sobre k∈N. Sea n1= 0 y f1=g1. Supongamos que para 1 ≤j≤ktenemos elegidos los n´umeros nj, tales que n1< n2<· · · < nk, y los vectores fj∈span{ei:|i| ≤ 2 + n1+n2+· · · +nj}.(1) Apliquemos la hip´otesis del lema con los siguientes valores: ε=M−nk·2−k−1donde M=∥T∥, g=gk+1 y h=f1+· · · +fk. Es evidente por (1), que h∈span{ej:|j| ≤ 2 + n1+n2+· · · +nk}; y como la sucesi´on {nk}k∈Nes estrictamente creciente, tambi´en se tiene que g=gk+1 ∈span{ej:|j| ≤ k+ 1} ⊆ span{ej:|j| ≤ 2 + n1+n2+· · · +nk}. Elegimos, pues, q= 2 + n1+n2+· · · +nk. Obtenemos, de esta forma, un n´umero n∈Nsuficientemente grande (con n > nk) y un vector u∈span{ej;|j| ≤ q+n}. Tomamos nk+1 =nyfk+1 =u. De la tesis del lema se sigue que ∥fk+1∥< M−nk·2−k−1,(2) ∥Tnk+1 fk+1 −gk+1∥< M−nk·2−k−1(3) y      Tnk+1   k ∑ j=1 fj       < M−nk·2−k−1.(4) 50 HIP. OP. WEIGHTED SHIFTS EN ESP. HILBERT Veamos, por ´ultimo, que f= ∞ ∑ k=1 fkes hiperc´ıclico. Como el conjunto Ges denso en H, basta probar que lim k→∞ ∥Tnkf−gk∥= 0.(5) Fijemos k∈N. Por ser M=∥T∥>1 y por (2), (3) y (4) se tiene que       Tnk  ∞ ∑ j=1 fj −gk      ≤       Tnk  k−1 ∑ j=1 fj       +∥Tnkfk−gk∥+ ∞ ∑ j=k+1 ∥Tnkfj∥ ≤ M−nk−12−k+M−nk−12−k+ ∞ ∑ j=k+1 Mnk∥fj∥ ≤ M−nk−12−k+1 + ∞ ∑ j=k+1 Mnk−nj−12−j≤ 2−k+1 + ∞ ∑ j=k+1 2−j= 2−k+1 + 2−k≤2−k+2. Luego tenemos (5) y con ello la demostraci´on del Lema. • Teorema 4.2.2 Sea Tun operador bilateral (forward) weighted shift con sucesi´on de pesos positivos {an}n∈Z. Entonces Tes hiperc´ıclico si y s´olo si para cada ε > 0y cada q∈Nexiste un n´umero natural n∈N, suficientemente grande, tal que para todo |j| ≤ qse verifica n−1 ∏ s=0 as+j< ε y n ∏ s=1 aj−s>1/ε. Demostraci´on. Supongamos, en primer lugar, que Tes hiperc´ıclico y sea U el conjunto de elementos hiperc´ıclicos para T. Por el Teorema 1.6.3 sabemos que Ues un conjunto denso. Fijemos ε > 0, q∈N. Sea δ∈(0,1) tal que δ 1−δ< ε. Entonces existe un elemento xde Utal que       x−∑ |j|≤q ej      < δ. (1) HIP. OP. WEIGHTED SHIFTS EN ESP. HILBERT 57 que a0a1· · · an−1< ε ya−1· · · a−n>1/ε, es decir, tal que se tengan las dos desigualdades del Teorema 4.2.2 para j= 0. Entonces, como ak=a−k, se tiene que ∥T∥ ≥ an=anan−1· · · a1 an−1· · · a1 =a−n· · · a−1 an−1· · · a1a0 ·a0>a0 ε2. Luego ε2>a0 ∥T∥y no puede ser arbitrariamente peque˜no. As´ı por el Teorema 4.2.2, Tno puede ser hiperc´ıclico. • Los argumentos seguidos para probar el Teorema 4.2.2, se pueden adaptar al caso de una suma directa de un n´umero finito de operadores bilateral weighted shift no necesariamente iguales. Veamos el caso forward. Teorema 4.2.7 Sea m∈N, y sean Ticon 1≤i≤moperadores bilateral weighted (forward) shifts (en ℓ2(Z)) de modo que Tien=an,ien+1 para todo n∈Z. Entonces el operador suma directa T= m ⊕ i=1 Ties hiperc´ıclico si y s´olo si para cada ε > 0y cada q∈Nexiste un n´umero n∈Nsuficientemente grande tal que para todo |j| ≤ qse tiene que max {n−1 ∏ k=0 aj+k,i : 1 ≤i≤m}< ε y min {n ∏ k=1 aj−k,i : 1 ≤i≤m}>1 ε. Demostraci´on. Por simplicidad de notaci´on supondremos que m= 2. Supongamos primero que T=T1⊕T2es hiperc´ıclico. Fijamos q∈Nyε > 0. Consideramos δ > 0 tal que δ 1−δ< ε. Del mismo modo que en la demostraci´on del Teorema 4.2.2, podemos encontrar un elemento x= (x1, x2)∈H1⊕H2 hiperc´ıclico respecto de Ttal que,       x− ∑ |j|≤q ej,∑ |k|≤q ek       < δ. 58 HIP. OP. WEIGHTED SHIFTS EN ESP. HILBERT Y teniendo en cuenta que ∥(y1, y2)∥=√∥y1∥2+∥y2∥2llegar´ıamos a que: (1) Si i= 1,2   |⟨xi, ej⟩| >1−δsi |j| ≤ q |⟨xi, ej⟩| en otro caso. (2) Existe un n´umero suficientemente grande n∈N, con n > 2q, tal que       Tnx− ∑ |j|≤q ej,∑ |k|≤q ek       < δ. Basta ahora operar igual que en el Teorema 4.2.2 para obtener que, para i= 1,2 y |j| ≤ q, n−1 ∏ s=0 aj+s,i <δ |⟨xi, ej⟩| yn ∏ s=1 aj−s,i >1−δ |⟨xi, ej−n⟩|. Y usando las desigualdades de (1) conseguimos max {n−1 ∏ k=0 aj+k,i :i= 1,2}< ε y min {n ∏ k=1 aj−k,i :i= 1,2}>1 ε. Para ver el rec´ıproco, debemos probar un lema equivalente al Lema 4.2.1. Lo enunciamos para el caso general, aunque veremos la demostraci´on para m= 2. Lema 4.2.8 Sea m∈Ny sea T= m ⊕ i=1 Ticon Ti,1≤i≤m, operadores bilateral weighted (forward) shift (en ℓ2(Z)). Si para cada ε > 0, cada q∈Ny cada dos vectores g, h ∈span{(ej1, . . . , ejm) : |j1|,...,|jm| ≤ q} HIP. OP. WEIGHTED SHIFTS EN ESP. HILBERT 59 existe un n´umero n∈Nsuficientemente grande y existe un vector u∈span{(ej1, . . . , ejm) : |j1|,...,|jm| ≤ n+q} de manera que: (i) ∥u∥< ε, (ii) ∥Tnu−g∥< ε, (iii) ∥Tnh∥< ε, entonces Tes hiperc´ıclico. Demostraci´on. En primer lugar, sea G={(gj, gk) : j, k ∈N}donde    gj=∑ |s|≤j ⟨gj, es⟩es:j∈N   es denso en ℓ2(Z). Se puede conseguir una enumeraci´on de los elementos de G,{Gn:n∈N}, de forma que Gn∈ span{(ej, ek) : |j|,|k| ≤ n}. Por ejemplo, basta considerar: G1= (g1, g1) G2= (g1, g2)G3= (g2, g1) G4= (g1, g3)G5= (g2, g2)G6= (g3, g1) · · · es decir, ordenamos en primer lugar los pares seg´un la suma de sus sub´ındices, y dentro de los que suman igual ordenamos seg´un el sub´ındice de la primera componente del par. Hacemos ahora una construcci´on an´aloga a la realizada en el Lema 4.2.1, es decir, buscamos un vector f= ∞ ∑ k=1 fktal que lim k→∞ ∥Tnkfk−Gk∥= 0, donde {nk}k∈Nes una sucesi´on estrictamente creciente a elegir. De nuevo las condiciones (i) y (iii) implican que ∥T∥>1. Procedamos por inducci´on sobre k. Tomamos n1= 0 y f1=G1y suponemos construidos n1, . . . , nkyf1, . . . , fktales que n1< n2<· · · < nky fj∈span{(es, et) : |s|,|t| ≤ 2 + n1+n2+· · · +nj}. 60 HIP. OP. WEIGHTED SHIFTS EN ESP. HILBERT Sean: ε=M−nk2−k−1donde M=∥T∥>1, q= 2 + n1+n2+· · · +nk, g=Gk+1 ∈span{(es, et) : |s|,|t| ≤ k+ 1} y h=f1+···+fk∈span{(es, et) : |s|,|t| ≤ 2 + n1+n2+· · · +nk}. Es claro que g, h ∈span{(es, et) : |s|,|t| ≤ q}. As´ı obtenemos un n´umero n∈Nsuficientemente grande (con n>nk) y un vector u∈span{(es, et) : |s|,|t| ≤ q+n}cumpliendo (i), (ii) y (iii). Basta tomar ahora nk+1 =ny fk+1 =u. Razonando como en la demostraci´on del Lema 4.2.1, se sigue que el vector f= ∞ ∑ k=1 fk, de nuevo construido “pieza a pieza”, es hiperc´ıclico para T.• Para completar la demostraci´on del Teorema 4.2.7, basta aplicar el Lema 4.2.8 de manera completamente an´aloga a como se hizo en la demostraci´on del caso m= 1 (Teorema 4.2.2). Simplemente tendremos que tener en cuenta que para g= (g1, g2) =  ∑ |j|≤q ⟨g1, ej⟩ej,∑ |k|≤q ⟨g2, ek⟩ek ∈span {(ej, ek) : |j|,|k| ≤ q}, ahora se verifica ∥Tng∥ ≤ max {n−1 ∏ s=0 aj+s,i :|j| ≤ q, i = 1,2}∥g∥. Con esto concluimos la demostraci´on. • HIP. OP. WEIGHTED SHIFTS EN ESP. HILBERT 61 Nota 4.2.9 Resaltamos que para obtener el caso m= 2 ha sido fundamental dar una ordenaci´on de G. En general, para el caso m≥2hay que dar una ordenaci´on de G={(gj1, . . . , gjm) : j1, . . . , jm∈N}tal que Gn∈span {(ej1, . . . , ejm) : |j1|, . . . , |jm| ≤ n}. Una tal ordenaci´on est´a tambi´en impl´ıcitamente considerada en el caso m= 1. Observemos que con este ´ultimo resultado podemos proporcionar muchos ejemplos de operadores TySdistintos entre s´ı e hiperc´ıclicos tales que su suma T⊕Sno es hiperc´ıclica. Corolario 4.2.10 Existen operadores hiperc´ıclicos SyTtales que S⊕Tno es hiperc´ıclico. Demostraci´on. Elegimos dos sucesiones {ak:k∈Z}y{bk:k∈Z}, de forma que cada una de ellas satisfaga la condici´on del Teorema 4.2.2, pero no verifiquen juntas la condici´on del Teorema 4.2.7. En particular, podemos construir {ak}k∈Zy{bk}k∈Zde manera que max {s ∏ k=0 ak, s ∏ k=0 bk}>1 para cualquier n´umero natural s∈N. En estas condiciones, si SyTson los correspondientes operadores weighted shifts, basta aplicar el Teorema 4.2.7 para obtener el resultado. • 4.3 Unilateral Backward Weighted Shifts. En esta Secci´on pretendemos obtener la versi´on unilateral del Teorema 4.2.7. Recordemos que un operador unilateral weighted backward shift Tse define como Ten=anen−1si n > 0 y por Te0= 0 si n= 0, donde {en:n∈Z+} es la base can´onica de ℓ2(Z+). De nuevo podemos suponer que los pesos son positivos. 62 HIP. OP. WEIGHTED SHIFTS EN ESP. HILBERT Antes de continuar debemos comentar que, as´ı como el estudio de la hiperciclicidad de los operadores unilaterales backward weighted shift ha sido y sigue siendo de gran inter´es de cara a la resoluci´on de problemas m´as generales, el caso de los operadores unilaterales forward weighted shifts puede ser cerrado r´apidamente. Proposici´on 4.3.1 Un operador unilateral weighted forward shift (en ℓ2(Z+)) nunca es hiperc´ıclico. Demostraci´on. Sea Tel operador sobre ℓ2(Z+) definido por Ten=anen+1 para todo n∈Z+. Este operador, lineal y continuo, es el que llamamos weighted forward shift. Sea xun elemento arbitrario de ℓ2(Z+), xpuede escribirse de la forma x= ∞ ∑ k=0 ⟨x, ek⟩ek. Por tanto, para cada m∈Nse verifica, por la linealidad y continuidad de T, Tmx= ∞ ∑ k=0 (m−1 ∏ s=0 ak+s)⟨x, ek⟩ek+m. As´ı, fijado un n´umero natural n∈N, para cada m≥n,Tmxes de la forma Tmx=∑ k≥m αkek, de donde la proyecci´on ortogonal de la ´orbita de xsobre span{ek:k < n} posee, a lo sumo, nelementos. Ahora bien, supongamos que xes T-hiperc´ıclico y llamemos M=span{ek: k < n}. Entonces, para todo ε > 0 y todo y∈Mexiste un n´umero natural m∈Ntal que ∥Tmx−y∥< ε. Y considerando las proyecciones ortogonales sobre MyM⊥, obtenemos ∥proyM(Tmx)−y∥ ≤ ∥Tmx−y∥< ε. Por tanto se verifica que la proyecci´on ortogonal de la ´orbita de xes densa en M, pero ya vimos que esta proyecci´on posee a lo sumo nelementos, luego no puede ser densa en M. De donde Tno puede ser hiperc´ıclico. • HIP. OP. WEIGHTED SHIFTS EN ESP. HILBERT 63 Proposici´on 4.3.2 Sea Tun operador hiperc´ıclico en un espacio de Hilbert H. Supongamos que Bes un subespacio de Hque es invariante por el adjunto T∗de T. Entonces la compresi´on de TaBes hiperc´ıclica en H. Demostraci´on. Recordemos que dado un espacio de Hilbert Hy un subespacio Bde ´el, la compresi´on de un operador Ten HaBse define como la restricci´on del operador PTP aB, donde Pes la proyecci´on ortogonal en B. Supongamos que Bes invariante por T∗. Sea x∈B⊥. Tenemos que para todo b∈B ⟨Tx, b⟩=⟨x, T∗b⟩= 0. Luego Tx ∈B⊥yB⊥es invariante por T. En otras palabras PT(I−P)≡0 y (I−P)T(I−P)≡T(I−P). Para todo n∈Nse tiene Tn= (PTP)n+ n ∑ k=1 ((I−P)T)k(PT)n−kP+ ((I−P)T(I−P))n. Ve´amoslo por inducci´on en n. Caso n= 1: PTP + (I−P)TP + (I−P)T(I−P) = =TP +T(I−P) = T(P+I−P) = T Supongamos el caso n. Veamos n+ 1. Se tiene •(PTP)n+1 =PT(PTP)n(porque P2=P). • n+1 ∑ k=1 ((I−P)T)k(PT)n+1−kP= (I−P)T(PT)nP+ n+1 ∑ k=2 ((I−P)T)k(PT)n+1−kP= 64 HIP. OP. WEIGHTED SHIFTS EN ESP. HILBERT n ∑ k=1 ((I−P)T)k+1(PT)n−kP+ (I−P)T(PT)nP= (I−P)T(n ∑ k=1 ((I−P)T)k(PT)n−kP)+ (I−P)T(PT)nP. •((I−P)T(I−P))n+1 = (I−P)T((I−P)T(I−P))n. Por otra parte, en la f´ormula de inducci´on es claro que de los tres sumandos, el primero siempre da un elemento de By los otros dos dan un elemento de B⊥. Luego por la linealidad y por ser B⊥invariante por T, se cumple Tn+1 =T((PTP)n+ n ∑ k=1 ((I−P)T)k(PT)n−kP+ ((I−P)T(I−P))n)= PT(PTP)n+ (I−P)T(PTP)n+ +(I−P)T(n ∑ k=1 ((I−P)T)k(PT)n−kP)+ (I−P)T((I−P)T(I−P))n. Basta observar ahora los tres puntos anteriores para obtener trivialmente el caso n+ 1. Es m´as, seg´un la observaci´on hecha antes, obtenemos que PTn= (PTP)n. Fijemos x∈Hyb∈B. Entonces, ∥Tnx−b∥=∥PTnx+ (I−P)Tnx−b∥= (∥PTnx−b∥2+∥(I−P)Tnx∥2)1/2≥ ∥(PTP)nx−b∥=∥(PTP)nPx −b∥. En particular si ues un elemento hiperc´ıclico para T, obtenemos que Pu es un elemento hiperc´ıclico para PTP en B.• Teorema 4.3.3 Sea Tun operador unilateral weighted backward shift con sucesi´on de pesos positivos {an:n≥0}. Entonces Tes hiperc´ıclico si y s´olo si sup {n ∏ s=1 as:n∈N}=∞. HIP. OP. WEIGHTED SHIFTS EN ESP. HILBERT 65 Demostraci´on. Consideremos Sel operador bilateral weighted shift sobre ℓ2(Z) cuyos pesos son bn={ansi n∈N0 1 2si −n∈N. Trivialmente se tiene (a) Tes la compresi´on a ℓ2(Z+) de S. (b) Para todo j∈Z, salvo constantes que no afectan al l´ımite, podemos escribir n ∏ s=1 bj−s= n ∏ s=1 1 2= 2−n−→ 0 (n→ ∞). (c) Para todo j∈Zy, de nuevo, salvo ciertas constantes que no influyen, tenemos que existe una sucesi´on estrictamente creciente de enteros positivos {nk}k∈Ntal que nk ∏ s=1 bs+j= nk ∏ s=1 an+j−→ ∞ (k→ ∞). Basta aplicar ahora el Teorema 4.2.4 y la Proposici´on 4.3.2 para concluir la demostraci´on. • Nota 4.3.4 Del mismo modo se podr´ıa haber enunciado “Sean Ti,i= 1,· · · , m operadores unilateral (backward) weighted shifts con sucesiones de pesos positivos {an,i :n∈N}. Entonces m ⊕ i=1 Ties hiperc´ıclico si y s´olo si sup {min {n ∏ s=1 as,i : 1 ≤i≤m}:n∈N}=∞.” Para terminar con la Secci´on damos una aplicaci´on del Teorema 4.3.3 a los espacios de Hilbert de tipo Bergman dados en el Cap´ıtulo anterior. Sea β={β(k) : k≥0}una sucesi´on de n´umeros positivos tal que sup {β(k) β(k+ 1) :k≥0}<∞. 66 HIP. OP. WEIGHTED SHIFTS EN ESP. HILBERT Ahora no vamos a exigir ninguna monoton´ıa a la sucesi´on β. Recordemos que por H2(β) entend´ıamos el espacio de las funciones holomorfas en el disco unidad D,f(z) = ∞ ∑ k=0 ˆ f(k)zk, tales que ∥f∥2 β= ∞ ∑ k=0 |ˆ f(k)|2β(k)2<∞. Recordemos tambi´en, que el operador backward shift Bse defin´ıa para cada f(z) = ∑∞ k=0 ˆ f(k)zk∈H2(β) como, Bf(z) = ∞ ∑ k=0 ˆ f(k+ 1)zk. Adem´as este operador es lineal, ya que los “pesos” β(k) β(k+1) , est´an acotados. En estas condiciones tenemos el siguiente resultado. Corolario 4.3.5 Sea Bun operador (weighted) backward shift como el anterior. Entonces Bes hiperc´ıclico si y s´olo si lim inf k→∞ β(k) = 0. Demostraci´on. Es f´acil comprobar que {zk}k≥0es una base ortogonal de H2(β), por lo tanto {ek=zk β(k)}k≥0es una base ortonormal. As´ı, Bek=B(zk β(k))=zk+1 β(k)=β(k+ 1) β(k)·ek+1 de donde Bes un realidad un operador unilateral weighted backward shift cuya sucesi´on de pesos es {ak=β(k+1) β(k)}k≥0. Aplicando ahora el Teorema 4.3.3 y teniendo en cuenta que n ∏ s=1 as=β(n+ 1) β(1) , obtenemos la caracterizaci´on de la hiperciclicidad de B.• Con este ´ultimo Corolario, Salas [Sa2, Corollary 9] generaliza a cualquier sucesi´on βel Teorema 3.2.3 dado en el Cap´ıtulo anterior y que recog´ıa un resultado de Gethner y Shapiro [GeS, Theorem 4.1]. Recordemos que en aquel caso, la sucesi´on βera decreciente. HIP. ESP. FR ´ ECHET 73 En 1948, V. Ganapathy Iyer proporcion´o (ver [Gan]) la siguiente definici´on. Definici´on 5.1.1 Sean f(z) = ∞ ∑ n=0 anznyg(z) = ∞ ∑ n=0 bnzndos funciones enteras. Entonces definimos d(f, g)como d(f, g) = sup {|a0−b0|,|an−bn|1/n :n≥1}.(1) En el mismo art´ıculo, Ganapathy Iyer prob´o que realmente ddefine una m´etrica en el conjunto de las funciones enteras. Es m´as, H(C) con esta m´etrica es un espacio m´etrico completo y separable; y la topolog´ıa generada en H(C) por des equivalente a la topolog´ıa usual en H(C), es decir, la topolog´ıa de la convergencia uniforme en compactos de C(ver [Gan, Theorems 1-3]). A lo largo de todo este Cap´ıtulo supondremos que H(C) est´a dotado de la topolog´ıa inducida por la m´etrica (1). Del mismo modo que en el marco de los espacios de Hilbert surgen de manera natural los operadores weighted shifts, tambi´en va a ocurrir lo mismo en H(C). Veamos c´omo. Definici´on 5.1.2 Se define el operador backward shift Bsobre H(C)como B:H(C)−→ H(C) f(z) = ∞ ∑ n=0 anzn7−→ Bf(z) = ∞ ∑ n=1 anzn−1. Es claro que Best´a bien definido y es lineal y continuo. Ahora bien, si queremos que el operador de desplazamiento Btambi´en asigne unos ciertos pesos ωn∈C, tendremos que imponer alguna condici´on que nos asegure que ∞ ∑ n=1 ωnanzn−1sea siempre una funci´on entera. Teorema 5.1.1 Sea {ωn}n∈Nuna sucesi´on de n´umeros complejos tales que M: = sup {|ωn|1/n :n∈N}<∞. 74 HIP. ESP. FR ´ ECHET Para cada funci´on f(z) = ∞ ∑ n=0 anzn∈H(C)definimos: Bf(z) = ∞ ∑ n=1 ωnanzn−1= ∞ ∑ n=0 ωn+1an+1zn, es decir B(a0, a1, a2, . . . , an, . . .) = (ω1a1, ω2a2, . . . , ωnan, . . .). Entonces Best´a bien definido y es lineal y continuo en H(C). A dicho operador Bsobre H(C) se le llama weighted backward shift con pesos {ωn}n∈N. Demostraci´on. Sea f(z) = ∞ ∑ n=0 anzn∈H(C). Entonces lim n→∞ |an|1/n = 0 y |ωn+1an+1|1/n ≤Mn+1 n|an+1|1/n (para cada n≥0). As´ı, Bf(z)∈H(C). Trivialmente Bes lineal. Veamos la continuidad de B. Recordemos que si f(z) = ∞ ∑ n=0 anzn∈H(C), entonces ∥f∥=d(f, 0) = sup{|a0|,|an|1/n :n∈N}. Como Bf(1) = ∞ ∑ n=0 ωn+1an+1 ∈C, se tiene que lim n→+∞|ωn+1an+1|= 0. Luego existe un n´umero natural n0∈Ntal que |ωn+1an+1|<1 (para cada n≥n0), y por tanto |ωn+1an+1|1/n ≤ |ωn+1an+1|1/n+1 (para cada n≥n0). As´ı, existe una constante C > 0 de forma que |ωn+1an+1|1/n ≤C· |ωn+1an+1|1/n+1 (para cada n≥0). De donde, ∥f∥= sup {|ω1a1|,|ωn+1an+1|1/n :n∈N}≤ HIP. ESP. FR ´ ECHET 75 C·sup {|ω1a1|,|ωn+1an+1|1/n+1 :n∈N}≤ C·M·sup {|a1|,|an+1|1/n+1 :n∈N}≤ M·C·sup {|a0|,|an|1/n :n∈N}=M·C· ∥f∥. Luego Bes continuo y concluye la demostraci´on. • Nota 5.1.2 An´alogamente, si {ωn}n∈N⊂Ccon sup {|ωn|1/n :n∈N}<∞, se define el operador weighted forward shift Scon pesos {ωn}n∈Nsobre H(C) como Sf(z) = ∞ ∑ n=0 ωn+1anzn+1, es decir, S(a0, a1, . . . , an, . . .) = (0, w1a0, w2a1, . . . , wn+1an, . . .). Entonces S est´a bien definido y es lineal y continuo. 5.2 Hiperciclicidad de operadores weighted shifts en el espacio de las funciones enteras. Una vez introducida la topolog´ıa de H(C) y los operadores ByS, estamos en condiciones de estudiar la hiperciclicidad de dichos operadores. El resultado que veremos a continuaci´on fue dado en 1994 por Mathew [Mat, Theorem 2.2]. Teorema 5.2.1 Sea {ωn}n∈Nuna sucesi´on de n´umeros complejos no nulos cumpliendo las dos siguientes condiciones (i) lim n→+∞ωn=∞. (ii) ω= sup {|ωn|1/n :n∈N}<+∞. Entonces el operador weighted backward shift Bcon pesos {ωn}n∈Nes hiperc´ıclico. 76 HIP. ESP. FR ´ ECHET Demostraci´on. Para obtener la hiperciclicidad de Bvamos a aplicar el criterio suficiente dado en el Teorema 3.1.6. Consideremos Del conjunto de los polinomios con coeficientes racionales. Entonces Des denso en H(C) (ver [Gan, Theorem 1]). Tenemos que demostrar que (a) Bnconverge puntualmente a cero en D(n→ ∞). (b) Existe un operador S:H(C)→H(C) tal que B◦S=Id en H(C). (c) Snconverge puntualmente a cero en D(n→ ∞). Es trivial que, si p(z) es un polinomio, entonces Bnp= 0 para todo n > grado(p(z)). As´ı tenemos (a). Como ωn−→ ∞ (n→ ∞), la sucesi´on {(1 |ωn|)1/n}n∈Nest´a acotada, y podemos considerar Sel operador weighted forward shift con pesos {1 ωn}n∈N. Con ello obtenemos trivialmente la condici´on (b). Por ´ultimo veamos (c). Fijamos p(z)∈ D. Entonces existe un n´umero natural m∈Ntal que p(z) = m ∑ k=0 ckzk. Sea n∈N. Es f´acil comprobar que Snp(z) = m ∑ k=0 ck ωk+1 · · · wk+n zk+n. Luego ∥Snp∥= sup {(an,k)1 n+k: 0 ≤k≤m}, donde an,k : = |ck| |wk+1 · · · wk+n|(0 ≤k≤m). Se tiene que an,k ≥0 para todo n∈Ny para todo k= 0, . . . , m. M´as a´un, ck= 0 ⇐⇒ an,k = 0 para todo n∈N. As´ı, si k∈ {0, . . . , m}es tal que ck= 0 obtenemos lim n→∞(an,k)1 n+k= lim n→∞ 0=0, HIP. ESP. FR ´ ECHET 77 y si es tal que ck= 0, lim n→∞ an+1,k an,k = lim n→∞ 1 |ωk+1+n|= 0, porque lim n→∞ ωn=∞. Ahora bien, lim n→∞ an+1,k an,k = lim n→∞(an,k)1 n+k(ver [Ru3, Theorem 3.37]) y por tanto lim n→∞(an,k)1 n+k= 0 para todo k= 0, . . . , m, y por (1), ∥Snp∥ −→ 0 (n→ ∞). Con ello tenemos (c) y como observamos anteriormente, por el Teorema 3.1.6, el operador Bposee elementos hiperc´ıclicos. • 78 HIP. ESP. FR ´ ECHET Bibliography [An1] S. I. Ansari, Hypercyclic and cyclic vectors, J. Funct. Anal. 128 (1995), 374-383. 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