Física de Partículas en 3 créditos

Cubierta Joaquín Gómez Camacho Física de Partículas en 3 créditos Física de Partículas en 3 créditos Portadilla Joaquín Gómez Camacho Física de Partículas en 3 créditos Sevilla 2025 Portada Página de créditos Colección: Manualesuniversitarios Núm.: 109 Editorial Universidad de Sevilla 2025 c/ Porvenir, 27 - 41013 Sevilla. Tlfs.: 954 487 447; 954 487 451 Correo electrónico: inf[email protected] Web: https://editorial.us.es Joaquín Gómez Camacho 2025 DOI: https://dx.doi.org/10.12795/9788447227891 Maquetación:JoaquínGómezCamacho Diseño de cubierta y edición electrónica: Editorial Universidad de Sevilla Comité editorial de la Editorial Universidad de Sevilla: Araceli López Serena (Directora) Elena Leal Abad (Subdirectora) Concepción Barrero Rodríguez Rafael Fernández Chacón MaríaGraciaGarcíaMartín MaríadelPópuloPablo-RomeroGil-Delgado ManuelPadillaCruz MartaPalenque MaríaEugeniaPetit-BreuilhSepúlveda MarinaRamosSerrano José-Leonardo Ruiz Sánchez Antonio Tejedor Cabrera Esta obra se distribuye con la licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-SinDerivadas 4.0 Internacional (CC BY-NC-ND 4.0) Prefacio Este manual surge de la docencia del autor en Física de Partículas en la Facultad de Física de la Universidad de Sevilla, durante 30 años, desde 1992. Se partía de una asignatura cuatrimestral optativa de Física de Partículas, que duraba cuatro meses. Posteriormente, el cambio de los planes de estudio con el Plan Bolonia, redujo la licenciatura de 5 años a un grado de 4 años, y la asignatura optativa de Física de Partículas del quinto curso quedó integrada en una asignatura troncal, obligatoria, de 6 créditos, titulada Física Nuclear y de Partículas. Esto requirió la adaptación del material para que se impartiera en la mitad de tiempo, unos dos meses, que corresponde a tres créditos, y que fuera adecuado para la generalidad de los alumnos de la titulación, en lugar del grupo selecto que elegía la optativa. El manual era, inicialmente, un conjunto de apuntes del profesor, complemento a las clases de pizarra, que permitía a los alumnos atender a la clase sin tener que copiar frenéticamente sus propios apuntes. Gradualmente, la pizarra fue dando paso a presentaciones del ordenador, de forma que las clases se impartían usando transparencias más visuales, aunque también más esquemáticas. No obstante, el manual se mantenía como una referencia en la que pudieran darse argumentaciones y razonamientos que los alumnos, idealmente, pudieran leer y comprender. El manual tiene una componente práctica: hay una serie de ejercicios propuestos, en cada tema, en la que los alumnos pueden aplicar los conocimientos adquiridos. Estos ejercicios propuestos son similares a las preguntas de los exámenes, con lo que dan una guía clara de lo que el profesor pretende que los alumnos conozcan. El manual pretende dar una visión histórica, pero, sobre todo, acompañar al alumno, que parte de unos conocimientos de física cuántica y de física nuclear, para que vaya descubriendo nuevas partículas, y nuevas interacciones, y nuevos formalismos, conforme son necesarios para describir las evidencias experimentales que fueron apareciendo en física de partículas. En este contexto, es muy relevante el concepto de Paradigma. Se parte del Paradigma de la Física Moderna, que es esencialmente la situación en torno a 1930, ya hace cien años. Es un punto de partida en el que el estudiante debe sentirse razonablemente 1 Prefacio Física de Partículas en tres créditos cómodo, al hablar de protones, neutrones y electrones, junto con sus interacciones, en el marco de una teoría cuántica no relativista. A continuación, se evoluciona gradualmente hacia lo que llamamos un Paradigma de Transición, que sería la situación en torno a 1960, con múltiples partículas, bariones, mesones y leptones, y con interacciones descritas por lagrangianos en teoría cuántica de campos. Es esperable que el estudiante se encuentre incómodo, con esta compleja descripción de la naturaleza, y espere un cambio de paradigma. Esto se consigue en la parte final, con la introducción del Paradigma Actual, el Modelo Estándar, establecido en torno a 1975. Todos los resultados experimentales obtenidos en los últimos 50 años, son consistentes con el modelo estándar. Se explican con 6 quarks, 6 leptones, 4 tipos de bosones gauge y el Higgs. Todas las interacciones surgen, de forma conceptualmente muy simple, aunque formalmente compleja, a parir de unos grupos de simetría, SU(3) ×SU(2) ×U(1). Una brevísima guía al contenido del manual es el esquema siguiente: Paradigma Física Moderna Transición Modelo Estándar (∼1930) (∼1960) (∼1975) Partículas Protón, neutrón Hadrones 6 Quarks Electrón, neutrino Leptones 6 Leptones Interacciones Fuerte Mesones. QCD SU(3) 8 gluones Electromagnética Fotones EW SU(2) ×U(1) Débil Bosones W W±,Z 0,γ 1 Higgs Marco Mecánica cuántica Teoría Cuántica de campos Teoría Gauge El ideal del autor es que los alumnos vean el desarrollo de la asignatura como el melómano que se enfrenta a un concierto. El primer movimiento (paradigma de la física moderna) tiene compases familiares, que se complican gradualmente. El segundo movimiento (paradigma de transición) desarrolla una variedad de nuevos compases, que se perciben como complejos y disonantes. El tercer movimiento (modelo estándar) resuelve las disonancias en una armonía bellísima, rotunda e inesperada. Con respecto a la bibliografía, el manual pretende ser razonablemente autocontenido, para que los estudiantes pueden seguirlo sin tener que recurrir a referencias externas. La principal referencia que se da a lo largo del texto es a los datos experimentales del Particle Data Group https://pdg.lbl.gov/, que están en constante actualización. El manual contiene la información experimental disponible en 2023. Una bibliografía adicional recomendada para profundizar en los diferentes temas es la siguiente: 2 Física de Partículas en tres créditos Física Nuclear y de Partículas. Ferrer Soria, Antonio. 2015. Universitat de València. ISBN: 9788437096452 Quarks & Leptons: An Introductory Course In Modern Particle Physics. F. Halzen, A.D. Martin. 1984. John Wiley and Sons. ISBN: 9780471887416 Introduction to elementary particle physics. Alessandro Bettini. 2014. Cambridge University Press ISBN: 9781107050402 Particles and Nuclei. An introduction to the physical concepts. Povh, Rith, Scholz, Zetsche. 2006. Publicación: Springer. ISBN: 978-3-540-36683-6 Nuclear and Particle Physics. B.R. Martin. 2012. Publicación: John Wiley. ISBN: 9780470742747 Introduction to Elementary Particles. David Griffiths. 2011. Wiley-VCH Verlag. ISBN: 9783527406012 Subatomic Physics. Ernest M. Henley, Alejandro García. 2015. World Scientific. ISBN: 9789812700568 The ideas of Particle Physics. An introduction for scientists. G.D. Coughlan, J.E. Dodd, B.M. Gripaios. 2006. Cambridge University Press. ISBN: 9780521677752 Introduction to high energy physics. D.H. Perkins. 2001. Cambridge University Press ISBN: 0521621968 Este manual se ha beneficiado de la contribución de todos los compañeros del departamento de FAMN con los que, a lo largo de los años, he compartido la docencia de las partículas elementales: Maribel Gallardo, Juan Antonio Caballero, Antonio Moro, Jose Antonio Lay, Miguel Cortés, Manuela Rodríguez y Mario Gómez Todos ellos han contribuido a detectar las múltiples erratas y errores, y han motivado a la actualización las notas. El autor agradece especialmente la lectura detallada de Antonio Pich, de la Universidad de Valencia, que ha servido para corregir errores y afinar conceptos para, finalmente, hacer público este trabajo de muchos años. Joaquín Gómez Camacho. Sevilla, Abril de 2024 3 El paradigma de la física moderna espín 1/2, el espín total puede ser St=0oSt=1. En general, para partículas con espines JayJb, el espín total puede tomar todos los valores |Ja−Jb|≤St≤|Ja+Jb|, donde Sttoma valores enteros o semienteros, según sea |Ja−Lb. Los estados con espín total definido vienen dados por una combinación de los estados con proyecciones del espín de cada partícula definidos determinada por los coeficientes de Clebsch-Gordan. |a, b;φ;Stmt= ma,mbJama,J bmb|Stmt|a, b;φ;mamb(1.5) Además, la función de onda del movimiento relativo φpuede tener un momento angular orbital determinado L, M. Ello implica que φ(r )=R(r)YLM (θ,φ). En este caso, es conveniente acoplar el momento angular orbital con el espín total para dar el momento angular total del sistema Jt. Este puede tomar valores |L−St|≤Jt≤|L+St|, de forma que los estados con momento angular total definido vienen dados por |a, b;φ, L;St;JMJ= M,mtLM, Stmt|JMJ|a, b;φ, L, M;Stmt(1.6) 1.2.4. Evolución de un sistema: El operador Hamiltoniano En mecánica cuántica todas las magnitudes observables corresponden a operadores. Los operadores actúan sobre los estados del espacio de Hilbert y dan otros estados. De todos los operadores, uno especialmente relevante es el hamiltoniano H. El hamiltoniano, cuando actúa sobre un estado cualquiera, nos dice cómo cambia en el tiempo dicho estado. id dt|Ψ(t)=H|Ψ(t)(1.7) Si un estado cuántico cambia debe haber un término del hamiltoniano que produce dicho cambio. El cambio de un estado puede corresponder a un cambio en el estado de movimiento orbital de una partícula, a un cambio en los espines, o incluso a un cambio en la naturaleza de la partícula. Un hamiltoniano puede contener términos que induzcan estos tres tipos de cambio. Por ejemplo, cuando un neutrón decae a un protón, un electrón y un neutrino, significa que existen términos en el hamiltoniano que conectan el estado de un neutrón, con el estado que corresponde a un sistema protón-electrón-neutrino. 1.3. Interacciones Vamos a describir las características cualitativas de las interacciones: 10 1.2.4. Evolución de un sistema: El operador Hamiltoniano 1.3. Interacciones El paradigma de la física moderna 1.3.1. Interacción electromagnética Ocurre entre partículas cargadas eléctricamente, y tiene un largo alcance, que se hace infinito si no hay efectos de apantallamiento. La parte dominante a energías bajas de la interacción electromagnética es la interacción electrostática. El potencial electrostático entre dos partículas de carga eviene dado por la expresión V(r)= e2 4π0r(1.8) donde e2/4π0=1.44 MeV fm. Para distancias típicas de 1 fm, la interacción entre dos partículas de carga unidad es del orden de 1 MeV. Así, podemos expresar Hem∼1MeV, como una medida del orden de magnitud de la interacción electromagnética, a distancias de 1 fm. Este valor, con dimensiones de energía, será una referencia para comparar otras interacciones. La interacción electrostática puede expresarse en términos de una constante adimensional, llamada constante de estructura fina. α=e2 4π0c≃1 137 (1.9) La constante adimensional αes otra referencia para comparar interacciones. El potencial que describe la interacción electrostática puede expresarse, en términos de la constante de estructura fina, como V(r)=αZ1Z2 c r(1.10) 1.3.2. Interacción fuerte Ocurre entre protones y neutrones, es una interacción atractiva, y es responsable de que protones y neutrones formen núcleos atómicos. La interacción fuerte tiene un alcance del orden de 1 fm. La interacción fuerte tiene una dependencia complicada con la distancia, depende de la orientación de los espines, de la energía y del momento angular. No obstante, en muchos casos, pueden utilizarse parametrizaciones simples de la interacción fuerte. Por ejemplo, puede usarse un pozo cuadrado, Vs(r)=−V0r<R ;Vs(r)=0 r > R, (1.11) o bien una forma de tipo Yukawa: Vs(r)=−V0 exp(−r/R) r/R .(1.12) 11 1.3.1. Interacción electromagnética 1.3.2. Interacción fuerte El paradigma de la física moderna V(r) r Figura 1.1: Potenial de la interacción fuerte entre dos protones. Se muestran como potenciales esquemáticos el potencial de pozo cuadrado y el potencial de Yukawa. También se muestra un potencial realista, que muestra una atracción y una repulsión a corto alcance. Como comparación se muestra la repulsión electromagnética, muy inferior a la interacción fuerte. Los parámetros RyV0se obtienen ajustando datos experimentales, tales como la energía de ligadura y el radio del deuterón, que es un estado ligado de protón y neutrón. El parámetro R es del orden de 1 fm, y V0es del orden de 100 MeV. La comparación de los potenciales de pozo cuadrado, Yukawa y un potencial realista se presentan en la figura 1.1 Por tanto, podemos concluir que los elementos de matriz de la interacción fuerte son típicamente Hf∼100 MeV, a distancias del orden de 1 fm. En este sentido, la interacción fuerte es más "fuerte"que la electromagnética Hem∼1MeV. La interacción fuerte puede expresarse en términos de una constante adimensional αs, de forma que Vs(r)=−αs c rexp(−r/R).(1.13) El parámetro αs≃0.5(a escalas de energías del orden del MeV-GeV) es considerablemente más grande que la constante α≃1 137 de la interacción electromagnética, por lo que también vemos que a interacción fuerte es más "fuerte"que la electromagnética. 1.3.3. Interacción débil La interación débil es la responsable del decaimiento de un neutrón libre: n→p+e−+¯ν. La partícula ¯ν, o antineutrino, es una partícula sin carga y con masa en reposo muy 12 1.3.3. Interacción débil El paradigma de la física moderna pequeña, que se mueve con una velocidad muy próxima a la de la luz. El neutrino, y su antipartícula, el antineutrino, fueron postulados para que se cumpliera la conservación de la energía, y se detectó experimentalmente muchos años después. Otros procesos posibles debidos a la interacción débil son: n+ν→p+e−(interacción de neutrinos), p+e−→n+ν (captura electrónica), p→n+e++ν(emisión β+). Este último proceso no puede darse para un protón libre, porque no se conservaría la energía, pero sí puede ocurrir en un protón que se halla dentro de un núcleo atómico. Estos procesos pueden describirse en la teoría de Fermi de la interacción débil introduciendo un término en el hamiltoniano que se expresa como Hw=GFδ3(r )(τ++τ−),(1.14) donde τ+es un operador que transforma un neutrón en protón, y crea o aniquila electrones y neutrinos conservando la carga eléctrica y el número leptónico, que veremos posteriormente. τ−es el operador conjugado. Explícitamente, se tiene p|τ+|n, e+,ν=p, ¯ν|τ+|n, e+=p, e−|τ+|n, ν=p, e−,¯ν|τ+|n=1 (1.15) y el resto de los elementos de matriz son nulos. El operador τ±es independiente del espín. Sólo conecta estados en los que mp=mn.1 La constante de Fermi GFtoma el valor de 89.62·10−6MeV fm3. Con mejor precisión, GF/(c)3=1.1663787(6)×10−5−GeV−2. La función δindica que la interacción débil solamente actúa si las cuatro partículas participantes (p, n, e, ν) están en la misma posición. En realidad, la expresión anterior es una aproximación, que indica que la interacción débil tiene un alcance mucho más corto incluso que la interacción fuerte. Una estimación de la intensidad de la interacción débil se obtiene promediando su efecto sobre un volumen de 1 fm3, con lo cual se tiene Hw≃10−4MeV. Ello indica que la interacción débil es mucho más “débil” que la interacción electromagnética. 2 1Aquí sólo consideramos el operador de Fermi, en el que τ±actúa sobre los bariones de forma análoga a los operadores de isospín I±que se introducen más adelante. También existe el operador de GamowTeller, que puede cambiar la proyección del espín. La dependencia del espín de la interacción débil es crucial, cuando se formula en una teoría cuántica de campos 2No obstante, tal como se indica en el ejercicio 9, la constante de acoplo de la interacción débil no es necesariamente inferior al de la interacción electromagnética. Lo que realmente ocurre es que su alcance es mucho más corto, lo cual es debido a que se produce por el intercambio de una partícula pesada, el bosón W. 13 El paradigma de la física moderna Problemas 1. Demostrar que, para que exista un estado ligado protón-neutrón con un potencial de interacción de tipo pozo cuadrado, V(r)=−V0,r<R ;V(r)=0,r>R siendo µla masa reducida protón-neutrón, debe cumplirse que V0R2≥π22 8µ. Nota: La función de onda radial φl(r)puede escribirse como ul(r)/r, donde ul(r) debe satisfacer la ecuación: −2 2µ d2 dr2+V(r)+2l(l+ 1) 2µr2ul(r)=−Bul(r). Considerar el caso l=0yBV0. 2. Para dos partículas idénticas, la función de onda completa debe ser antisimétrica si son fermiones y simétrica si son bosones. Teniendo en cuenta que los fermiones tienen espín semientero, y que los bosones tienen espín entero, y que la función de onda total es el producto de la función de onda orbital por la función de onda de espín, demostrar que ha de cumplirse, tanto para bosones como para fermiones, que siempre L+Stha de ser par. Nota: Para una función de onda orbital φ(r ), donde r es el vector que va de la partícula 1a la 2, cambiar la partícula 1por la 2es equivalente a cambiar r por −r . Si la función de onda orbital tiene un momento angular definido L, entonces φ(−r )=(−1)Lφ(r ). Para la función de onda de espín, cambiar la partícula 1por la 2afecta solamente el orden en el que se acoplan los espines para dar el espín total. Puede utilizarse la propiedad de los coeficientes de Clebsch-Gordan: Jama;Jbmb|Stmt=(−1)St−Ja−JbJbmb;Jama|Stmt 3. Considere un sistema formado por dos partículas, con espines JAyJB, que se mueven con un momento angular orbital relativo L. 14 Problemas El paradigma de la física moderna (a) Obtener los valores del espín total al que se pueden acoplar las partículas. (b) Obtener los valores del momento angular total que puede tener el sistema. (c) Desarrolle el estado |JAMA;JBMB;LMLen términos de estados con espín total y momento angular total bien definidos. Casos particulares: (i)JA=1/2;MA=1/2;JB=1;MB=0;L=1;ML=0. (ii)JA=1/2;MA=−1/2;JB=1/2;MB=1/2;L=2;ML=1. (iii)JA=1/2;MA=−1/2;JB=1;MB=1;L=1;ML=−1. 4. Considere un ion de berilio-7 (7Be) con un sólo electrón, en su estado fundamental. (a) Evalúe el elemento de matriz de la interacción electromagnética entre el electrón y el núcleo. (b) Evalúe el elemento de matriz de la interacción débil para un proceso de captura electrónica en el que se produce 7Li y un neutrino. Nota: Considerar que en el estado inicial, el electrón está en su estado ligado con n=1, mientras que en el estado final, el neutrino viene dado por una onda plana normalizada en el volumen Ω=1fm3. 5. Considere un protón con una energía cinética de 1500 MeV. (a) Cuál es su energía total. (b) Cuál es su momento. (c) Cuál es su velocidad. (d) Cuál es su energía en reposo. Nota: Tener en cuenta las expresiones relativistas E2=(m0c2)2+(cp)2. Conviene dar el momento en las unidades de MeV/c y la velocidad en unidades de c. 6. Una partícula cuya energía en reposo es de 2500 MeV, e inicialmente en reposo, se desintegra en dos partículas que tienen, respectivamente, energías en reposo 1000 MeV y de 500 MeV. (a) Cuál es la energía cinética de cada una de las partículas que se producen. (b) Cuál es el momento de cada una de las partículas que se producen. 15 El paradigma de la física moderna (c) Cuál es la velocidad de cada una de las partículas que se producen. (d) Cuál es la velocidad relativa de las partículas que se producen. 7. Consideremos un sistema cuántico, que puede estar, entre otros posibles estados, en dos estados |ay|b. Estos estados son autoestados del Hamiltoniano Hdel sistema, correspondientes a energías eayeb. Consideremos también los estados |c= (|a+|b)/√2,y|d=(|a−|b)/√2. (a) Si en el instante inicial t=0el sistema está en el estado |φ(0)=|a, ¿cuál será el estado |φ(t)en un instante t? (b) Si en el instante inicial t=0el sistema está en el estado |φ(0)=|c, ¿cuál será el estado |φ(t)en un instante t? (c) ¿Cuál es la probabilidad de que el estado |ase transforme en el estado |b, cuando transcurre un tiempo t? (d) ¿Cuál es la probabilidad de que el estado |cse transforme en el estado |d, cuando transcurre un tiempo t? (e) De los estados descritos, cuáles son estacionarios, y por qué. 8. Expresar la interacción fuerte en función de una constante adimensional αsy una escala de energía Es Vs(r)=αs c rexp(−rEs/c) Determinar los valores de αsyEs, a partir de los parámetros del potencial de Yukawa. 9. Expresar la dependencia radial de la interacción débil en función de una constante adimensional αwy una escala de energía Ew Vw(r)=αw c rexp(−rEw/c) Determinar la relación de los valores de αwyEw, de forma que la integral de volumen de Vw(r)sea igual a la constante de Fermi. Si αwfuera igual a la constante de estructura fina, cuánto valdría la escala de energía Ew. 16 Capítulo 2 Decaimiento y Colisiones de partículas 2.1. Transiciones en mecánica cuántica Consideremos un átomo de hidrógeno en el primer estado excitado n=2. Este estado es un autoestado del Hamiltoniano del átomo de hidrógeno. Por tanto es (o debería ser) un estado estacionario, que debería evolucionar en el tiempo permaneciendo inalterado, salvo una fase. Es obvio que esto no ocurre. El estado excitado acaba decayendo al estado fundamental, y se produce un fotón que se lleva la energía. Ello ocurre porque el Hamiltoniano completo no es sólo el Hamiltoniano del átomo de hidrógeno, ya que hay que incluir el hamiltoniano que acopla el átomo con la radiación. En mecánica cuántica, una partícula inestable, dos partículas que colisionan, o un sistema compuesto que tenga una energía suficiente, puede descomponerse o decaer, produciendo varios fragmentos (partículas o fotones). Para describir este proceso, se descompone el hamiltoniano H=H0+H.H0es la parte del hamiltoniano que define la partícula o el sistema, de forma que es un autoestado de H0.Hes la parte del hamiltoniano que produce el decaimiento. En general, Hpodrá expresarse como una suma de contribuciones de la interacción fuerte, la electromagnética y la débil H=Hf+Hem +Hd, cuyos órdenes de magnitud se obtuvieron anteriormente. La probabilidad por unidad de tiempo de que se produzca el decaimiento viene dada por la regla de oro de Fermi: Wi,f =2π |i|H|f|2ρ(E)(2.1) 17 2. Decaimiento y Colisiones de partículas 2.1. Transiciones en mecánica cuántica Decaimiento y colisiones de partículas donde i|H|fes el elemento de matriz de la parte del hamiltoniano responsable del decaimiento, entre el estado inicial iy el estado final fen el que se ha emitido los fragmentos, yρ(E)es la densidad de auto-estados de H0que pueden producirse tras el decaimiento, es decir, el número de estados finales entre EyE+dE, dividido por dE. Nótese que si un sistema puede decaer a varios estados finales, la probabilidad total de decaimiento por unidad de tiempo será Wi=fWi,f . Por ello, si en el instante inicial tenemos una probabilidad Pi(0) = 1, de tener el estado |i, en un instante posterior tendremos Pi(t) = exp(−Wit). La probabilidad de que el sistema decaiga entre tyt+dt es −dPi(t)/dt. La vida media τ=∞ 0 dt t(−dPi(t)/dt)=1/Wi(2.2) Un estado cuántico con una vida media finita tiene una indeterminación en su energía. Esa indeterminación corresponde a una anchura en la energía del estado cuántico, que vale Γ=/τ =Wi(2.3) 2.1.1. Densidad de estados: Decaimiento en dos partículas. Caso general Consideremos una partícula o sistema de partículas A que se desintegra en B + C. En el proceso se libera una energía total E=M(A)c2, y una energía cinética Ec= (M(A)−M(B)−M(C))c2. Sea  Pes el momento de B, que es igual y de signo contrario al de C, en el sistema centro de momentos. Nótese que si se especifica el valor de  P, se determina el estado tanto de B como de C. Supongamos que B y C se confinan a un volumen V=L3(L se tomará posteriormente como 1 fm). B y C se toman como partículas libres, descritas por ondas planas Ψ(x, y, z)= 1 √Vexp ipxx exp ipyy exp ipzz (2.4) Si se imponen condiciones de contorno periódicas, Ψ(x, y, z) = Ψ(x+L, y +L, z +L). Los valores de las componentes px,pyypzestán cuantizadas de forma que px=nx2π/L. Los estados que cumplen que el módulo de su momento es inferior a Pvienen dados por los posibles valores enteros de nx,nyynztales que: n2 x+n2 y+n2 z≤PL 2π2 (2.5) 18 2.1.1. Densidad de estados: Decaimiento en dos partículas Decaimiento y colisiones de partículas Cada uno de estos estados ocupa un volumen unidad en la representación cartesiana (nx,n y,n z). La condición anterior corresponde a los puntos contenidos dentro de una esfera de radio PL 2π. El número de estos estados viene determinado a partir del volumen de la esfera, como: N(P)=4π(Pc)3L3 3(2πc)3(2.6) En general, Pc es una función de E. Si se deriva N(P), se obtiene la densidad de estados ρ(2)(E;BC)=dN(P) dE =4πV (Pc)2 (2πc)3 dPc dE (2.7) La expresión concreta de la densidad de estados depende de la relación entre Pc yE. En el caso general de que B y C sean partículas relativistas, la conservación del cuadrivector energía-momento lleva a: E=M(A)c2=(M(B)c2)2+(Pc)2+(M(C)c2)2+(Pc)2(2.8) Finalmente, se obtiene la expresión: ρ(2)(E;BC)= 4πV (2πc)3 PcE(B)E(C) E,(2.9) donde E(B)=(M(B)c2)2+(Pc)2;E(C)=(M(C)c2)2+(Pc)2(2.10) Decaimiento en dos partículas no relativistas Supongamos que la energía cinética Ec=M(A)c2−M(B)c2−M(C)c2es considerablemente menor que las energías en reposo de B y C, EcM(C)c2,EcM(B)c2con lo que ambas se moverán de forma no relativista. Entonces Ec=(Pc)2/(2µc2), donde µ es la masa reducida de B y C, y ρ(2)(E;BC)= 4πV (2πc)3(Ec)1/2(µc2)3/2√2(2.11) Decaimiento en una partícula ultrarelativista y una partícula no relativista Consideremos que EcyM(C)c2EcM(B)c2Este es el caso cuando un núcleo emite un fotón. En ese caso, la partícula C se lleva prácticamente toda la energía cinética, y se cumple (límite ultrarrelativista) Ec=M(A)c2−M(B)c2=Pc y ρ(2)(E;BC)= 4πV (2πc)3(Ec)2.(2.12) 19 Decaimiento y colisiones de partículas Figura 2.3: Esquema de un experimento de dispersión. Las partículas incidentes provienen de la fuente (source), que determina el momento incidente  ki. Las partículas del blanco (target), y las particulas salientes, que se detectan en un detector, determinan el momento saliente  kf. El ángulo de dispersión θes el que forman las direcciones  kiy kf. donde EC,E Dson las energías de las partículas finales en el sistema centro de momentos, yE=EC+EDes la energía total. Sin embargo, el elemento de matriz del hamiltoniano depende, en general, del valor del momento  kf. Por tanto, consideraremos solo los estados finales en los que las partículas que salen en un cono estrecho de ángulo sólido dΩen torno a la dirección  kf, de forma que los elementos de matriz del hamiltoniano son iguales, dentro del cono. La densidad de estados correspondiente se obtiene multiplicando ρf(E)por la fracción de ángulo sólido, que es dΩ/4π: ρf(E, kf,dΩ) = dΩV (2πc)3 ECED(ckf) E.(2.37) No podemos hacer un experimento en el que fijemos las partículas AyBdentro de un volumen V. Sin embargo, sí podemos hacer colisionar un haz de partículas de A, caracterizados por un flujo ΦA, con un cierto número de partículas de B,N(B), tal como se indica en la figura 2.3. Si a cada partícula de Bla rodeamos por un volumen V, dentro del cual actúa la interacción H, la probabilidad de que una partícula de Aesté dentro del volumen Vviene dada por P(A)=Φ AV/vi, donde vies la velocidad relativa de AyB. En este caso, el número de partículas Cproducidas por unidad de tiempo, I(C), dentro de un cono de ángulo sólido dΩen torno a la dirección  kfes I(C)=N(B)P(A)WIF =N(B)ΦAV vi 2π |I|H|F|2dΩV (2πc)3 ECED(ckf) E(2.38) 26 Decaimiento y colisiones de partículas El valor de I(C)puede obtenerse experimentalmente. Sin embargo, depende de las condiciones experimentales, tales como N(B)yΦA. Se define la sección eficaz diferencial: dσif dΩ=I(C) ΦAN(B)dΩ Esta magnitud, independiente de las condiciones experimentales, nos dice cómo de probable es una colisión determinada. Sus dimensiones son de una superficie. El nombre “sección eficaz”, evoca la idea de que cada partícula Btendría un cierto área efectiva a su alrededor, tal que si una partícula Alo atravesara, se producirían partículas CyD, en torno a la dirección  kf. Teniendo en cuenta la expresión anterior, obtenemos que la seccion eficaz viene dada por dσif dΩ=kf ki V2|I|H|F|2 (2π)2(c)4 EAEBECED E2(2.39) Interacción fuerte Esta expresión puede utilizarse para estimar las secciones eficaces características de las distintas interacciones. Consideremos un neutrón, con energía de 100 MeV, que colisiona con un protón en reposo, y se dispersan elásticamente. En el sistema centro de momentos, la energía inicial y final de protón y neutrón es de 963 MeV, y sus momentos inicial y final son iguales. La interacción responsable del decaimiento es la interacción fuerte, cuyo orden de magnitud es de 100 MeV. El volumen de integración, consistente con la estimación anterior de la interacción, es V=1fm3. El resultado para la seccion eficaz diferencial es de 0.0387fm2/sr, con unidaddes de Fermi cuadrado por estereoradián (sr). La sección eficaz total correspondería a integrar esta cantidad para todos los ángulos sólidos. Suponiendo que esta magnitud sea aproximadamente independiente del ángulo de dispersión, la sección eficaz total sería 4πpor la sección eficaz diferencial, lo cual da 0.48fm2. Interacción electromagnética Para la interacción electromagnética consideraremos una colisión electrón-protón a 100 MeV. El sistema centro de masas difiere poco del sistema laboratorio, por lo que, con buena aproximación, la energía del electrón, antes y después de la colisión es de 100 MeV, mientras que la energía del protón es 938 MeV. La interacción relevante es la electromagnética, cuya estimación es de 1 MeV, para un volumen de integración de 1fm3. 27 Decaimiento y colisiones de partículas El valor de la seccion eficaz diferencial resulta 0.137·10−6fm2/sr. Esta estimación es válida cuando el electrón cambia sustancialmente su momento, de forma que  ki− kf≃1fm−1. No es válida para dispersión a ángulos pequeños, para los que el largo alcance de la interacción resulta muy relevante, y las secciones eficaces diferenciales son mucho más grandes. Interacción débil Para la interacción débil consideraremos un proceso neutrinoneutrón para dar electrón y protón, producida por un neutrino de 100 MeV. La energía del neutrino, tanto en laboratorio como en centro de masas, es de 100 MeV, aproximadamente. La energía del electrón saliente es también de unos 100 MeV, ya que la diferencia de masa entre electrón y neutrino por un lado, y neutrón y protón por otro, es despreciable. La energía de neutrón y protón es de 938 MeV. La interacción relevante es la débil, cuya estimación es de 10−4MeV para el volumen de integración de 1fm3. Así, todos los factores energéticos son idénticos al caso anterior, salvo el elemento de matriz de la interacción. El resultado de la sección eficaz diferencial es de 0.137 ·10−14fm2/sr, ocho órdenes de magnitud menos que en el caso anterior. La sección eficaz total, integrando para todos los ángulos, es equivalente a multiplicar por 4π, y resulta 1.7·10−14fm2. Esta sección eficaz tan pequeña hace que los neutrinos sean muy difíciles de detectar, aunque pueden medirse, con un detector muy grande, y esperando mucho tiempo. 2.4.1. Interacción de Yukawa Vamos a considerar un caso de interacción analítica, que permite evaluar la sección eficaz, y su dependencia con la energía y el ángulo de dispersión. Además, nos permite tratar, como casos límite, la interacción fuerte, electromagnética y débil: H=τc 4πre−βr (2.40) Aquí, τes un operador que conecta las partículas iniciales con las finales. No tiene dimensiones, y el valor de sus elementos de matriz determina la intensidad de la interacción. Para la interacción fuerte, los elementos de matriz de τ, por ejemplo pn|τ|pnson del orden de la unidad. Para que la interacción de Yukawa produzca un estado ligado, correspondiente al deuterón, debe cumplirse pn|τ|pn>2.72 2µnp 4πβ2 c=7.2(2.41) 28 2.4.1. Interacción de Yukawa Decaimiento y colisiones de partículas Para la interacción electromagnética, actuando sobre dos partículas de carga unidad, como electrón y protón, pe|τ|pe=e2 0c=4π 137 =0.092.(2.42) Para la interacción débil los elementos de matriz (curiosamente) son similares a los de la interacción electromagnética. pe|τ|nν=GFβ2 c=0.075 (2.43) El parámetro βdetermina el rango de la interacción. Dentro de una teoría cuántica de campos, βestá relacionado con la masa mde la partícula que se intercambia en la interacción, a través de la expresión β=mc/. Para la interacción electromagnética, β=0, ya que la masa del fotón es cero, y la interacción tiene un rango infinito. Para la interacción fuerte, β≃1fm−1, lo que sugiere que debe existir una partícula de masa mc2≃200 MeV, que se intercambia en la interacción. Para la interacción débil, el rango de la interacción es muy corto, β≃400fm−1, lo que sugiere una partícula muy pesada, de masa mc2≃80 GeV, que se intercambiaría en la interacción. El elemento de matriz de Hpuede evaluarse analíticamente, en función del momento transferido q = kf− ki: i|H|f=AB|τ|CDc Vd3r e i q ·r e−βr 4πr =AB|τ|CDc V 1 β2+q2(2.44) Esta expresión puede introducirse en la sección eficaz, para dar: dσif dΩ=kf ki |AB|τ|CD|2 (2πc)2 EAEBECED E2 1 (β2+q2)2(2.45) Nótese que esta expresión es independiente del volumen de integración, como debe ser 1. 1El acoplamiento producido por el operador τse describe, en el marco de una teoría cuántica de campos, como la creación, por parte de la partícula A, de la partícula Cjunto con una partícula virtual M, de masa m, seguida por la absorción de la partícula virtual Mpor la partícula B, para producir la partícula D. Así, AB|τ|CD=g(A;CM)g(BM;D).(2.46) Además, la sección eficaz depende de la masa de la partícula intercambiada a traves de la expresión (β2+q2)−2. Esto está intimamente relacionado con el concepto de propagador de partícula virtual, que se verá más adelante. 29 Decaimiento y colisiones de partículas Para la interacción electromagnética, β=0, con lo que la sección eficaz diferencial es proporcional a q−4. Si, como en la dispersión elástica, ki=kf, entonces q=2kisin(θ/2), con lo que la sección eficaz depende fuertemente del ángulo de dispersión, como sin−4(θ/2). Para la interacción fuerte, cuando el momento transferido q1fm−1, la sección eficaz se hace independiente del ángulo. Para la interacción débil, βes tan grande que, salvo a energías de la colisión de decenas de GeV, la sección eficaz es independiente del ángulo. Para energías inferiores, la sección eficaz puede ponerse en función de la constante de Fermi dσif dΩ=kf ki G2 F (2π)2(c)4 EAEBECED E2(2.47) 30 Decaimiento y colisiones de partículas Problemas 1. Demostrar que la densidad de estados correspondientes a una única partícula relativista de masa mcon una energía total Een un volumen Ωviene dada por ρ(1)(E)= 4πΩ (2πc)3E(E2−m2c4)1/2 Obtener como casos límite la expresión ultrarrelativista Emc2y la no relativista Ec=E−mc2mc2. 2. Demostrar la expresión de la densidad de estados para la emisión de dos partículas relativistas a partir del decaimiento de una partícula de masa M(A)en otras dos de masas M(B)yM(C) 3. Obtener la expresión de la densidad de estados para la emisión de tres partículas B, C, D en el límite no relativista Ec=E−M(B)c2−M(C)c2−M(D)c2M(B)c2,M(C)c2,M(D)c2 4. Obtener la expresión de la densidad de estados para la emisión de tres partículas B, C, D en el límite ultrarelativista Ec=E−M(B)c2−M(C)c2−M(D)c2M(B)c2,M(C)c2,M(D)c2 5. Obtener la densidad de estados correspondiente al decaimiento del K+en a) π++π0, b) µ++ν. Teniendo en cuenta que la vida media del K+es 1.2386 ·10−8s, y que el proceso a) ocurre en el 21.16 %, y el b) en el 63.51 % de los casos, obtener las probabilidades de decaimiento de los dos procesos por unidad de tiempo. Obtener, a partir de la regla de oro de Fermi, los elementos de matriz de la interacción que generan estos decaimientos. Inferir qué interacción (fuerte, electromagnética o débil) es responsable del decaimiento. 6. Obtener la densidad de estados y el elemento de matriz del hamiltoniano correspondiente al decaimiento π+→µ++νµ. Nota: Buscar las vidas medias y las masas relevantes en pdg.lbl.gov. Inferir qué interacción (fuerte, electromagnética o débil) es responsable del decaimiento. 31 Problemas Decaimiento y colisiones de partículas 7. Obtener la densidad de estados y el elemento de matriz del hamiltoniano correspondiente al decaimiento π0→γ+γ. Nota: Buscar las vidas medias y las masas relevantes en pdg.lbl.gov. Inferir qué interacción (fuerte, electromagnética o débil) es responsable del decaimiento. 8. Estimar la sección eficaz que corresponde a la colisión π−+p→π−+ppara una energía cinética del pion de 500 MeV, sabiendo que la interacción relevante es la fuerte. Nota: Buscar las masas relevantes en pdg.lbl.gov. Para evaluar la densidad de estados, utilizad la energía disponible en el sistema Centro de Momentos. 9. Estimar la sección eficaz que corresponde a la colisión µ−+p→µ−+ppara una energía cinética del muon de 500 MeV, sabiendo que la interacción relevante es la electromagnética. Nota: Buscar las masas relevantes en pdg.lbl.gov. Para evaluar la densidad de estados, utilizad la energía disponible en el sistema Centro de Momentos. 10. Considera las resonancias ∆++. Es una partícula inestable que decae en p+π+. Su masa es de 1242 MeV y su anchura es de 153 MeV. (a) Calcular la vida media de esta partícula. (b) Calcular el momento y la energía del protón y el pion salientes. (c) Calcular la densidad de estados finales para este decaimiento. (d) Obtener el elemento de matriz del hamiltoniano que produce el decaimiento. (e) Explicar qué tipo de interacción (fuerte, electromagnética o débil) produce el decaimiento. 32 Capítulo 3 Propiedades de las partículas elementales 3.1. Introducción Una descripción plenamente consistente con la relatividad de las interacciones, en el marco de la teoría cuántica de campos, implica que cada interacción lleva asociada el intercambio de una partícula, que debe ser un bosón. En el caso de la interacción electromagnética, la partícula intercambiada es el fotón. En general, el alcance de la interacción está asociada con la masa de la partícula intercambiada. Puede demostrarse que, si una interacción entre partículas de masa M, está generada por el intercambio de una partícula de masa mM, la interacción puede describirse en el límite no relativista como un potencial de la forma V(r)=V0exp(−r/λ) r/λ , donde λ= mc. Esta expresión, que se demuestra estrictamente en Teoría Cuántica de Campos, puede interpretarse de la forma siguiente. Para crear una partícula de masa m, se necesita una energía ∆E=mc2. De acuerdo con el principio de indeterminación entre energía y tiempo, esta energía puede crearse durante un tiempo suficientemente corto, ∆t=/∆E, y durante este tiempo, la partícula puede viajar una distancia dada por λ=∆tc = (c)/(mc2), que es el alcance de la interacción. Como la interacción fuerte tiene un alcance λ≃1fm, debe llevar asociada una partícula de masa mc2=c/λ ≃200 MeV. Este argumento, planteado por Yukawa, llevó a la búsqueda de partículas de masa intermedia entre el protón y el electrón. Esta búsqueda se llevó a cabo primeramente analizando los rayos cósmicos, ya que en aquellas fechas (1940-1950) no se habían desarrollado aceleradores de partículas con energía suficiente. El estudio de los rayos cósmicos se realizaba en las cámaras de niebla, en las que las 33 3. Propiedades de las partículas elementales 3.1. Introducción Propiedades de las partículas elementales Figura 3.1: Imagen de una cámara de niebla. Se ven las trayectorias de diferentes partículas, que se curvan debido a campos eléctricos y magnéticos. Conforme pierden energía, las trayectorias dan lugar a espirales. El análisis detallado de la trayectoria permite obtener la energía y el momento de la partícula, y a partir de ellas, su masa. Los vértices en los que aparecen nuevas trayectorias pueden asociarse a las interacciones. partículas que componen los rayos cósmicos atraviesan un volumen con vapor de agua sobresaturado. La imagen de la cámara de niebla se muestra en la figura 3.1. Las partículas con carga eléctrica producían una cierta ionización del aire, lo cual provocaba la condensación del vapor de agua a lo largo de la trayectoria. Situando la cámara de niebla en campos eléctricos y magnéticos, y estudiando la curvatura de las trayectorias, podía conocerse la carga eléctrica, la energía y la masa de las partículas. Por otro lado, muchas de las partículas así detectadas eran inestables, y se descomponen en otras partículas. Estudiando la longitud de las trazas que dejaban las partículas en la cámara de niebla, podía deducirse su vida media. La primera partícula que se detectó de esta forma fue el muon µ, cuya masa (105.6 MeV) podía ser compatible con la de la partícula predicha por Yukawa. No obstante, se encontró que la forma en la que interactuaba con las partículas de la cámara de niebla indicaba que las secciones eficaces no eran consistentes con la interacción fuerte. Esto es incompatible con que fuera la partícula de Yukawa. El muon µtiene carga eléctrica negativa, (su antipartícula µ+tiene carga positiva), y se comportaba a todos los efectos 34 Propiedades de las partículas elementales como un electrón de masa más grande. Por otro lado, el muon es inestable, y se descompone en un tiempo de 2.2·10−6s en un electrón y dos partículas indetectables (neutrinos). El tiempo de vida del muon sugería que su decaimiento se produce por la interacción débil. Posteriormente, se descubrió el pion, que aparecía con carga eléctrica positiva π+, negativa π−o neutra π0. La masa del pion es de 139.6 MeV para π+yπ−, y de 135.0 MeV para π0. El pion sí interactuaba fuertemente con protones y neutrones, por lo que correspondía a la partícula de Yukawa. La vida de π+yπ−es de 2.6·10−8s, descomponiéndose principalmente en un muon (o anti-muon) y un neutrino, mediante la interacción débil. El π0se descompone en dos fotones en un tiempo de 8.4·10−17 s, por la interacción electromagnética. Los piones se producen en las colisiones protón-núcleo, o núcleo-núcleo, cuando las colisiones tienen energía suficiente. De la misma forma que pueden producirse fotones cuando colisionan partículas cargadas, también se producen piones en las colisiones que sienten la interacción fuerte. En los núcleos atómicos, hay evidencias de que aparecen los piones como partículas virtuales, asociadas a las fuerzas que unen protones y neutrones en un núcleo. Más adelante se encontraron los kaones K+,K−,K0,¯ K0, cuya masa es de 493.7 MeV para K+,K−, y de 497.7 para K0,¯ K0.K+yK−se descomponen principalmente en muon y neutrino, o en dos piones, con un tiempo de vida de 1.2·10−8s, mientras que los kaones neutros decaen en dos o tres piones, con semividas de 0.89 ·10−10sy5.2·10−8s. Estos decaimientos ocurren por la interacción débil. Nótese que resultaba paradójico que los kaones, que sienten la interacción fuerte, tal como se deduce de sus secciones eficaces, decaen en piones (que también sienten la interacción fuerte) mediante la interacción débil. Por ello, a los kaones se les consideró partículas “extrañas”. Con masas superiores a la del protón, se encontraron partículas, llamadas hiperones. Entre estas partículas está la Λ, de masa 1115.7 MeV y vida 2.6·10−10 s, que decae principalmente en nucleón (proton o neutrón) y pion, por interacción débil. Esta es también una partícula “extraña”. La Σ+, de masa 1189.4 MeV y vida 2.6·10−10 s, que decae principalmente en nucleón y pion, por interacción débil. La Σ−, de masa 1197.4 MeV y vida 1.5·10−10 s, que decae principalmente en nucleón y pion, por interacción débil. La Σ0, de masa 1192.6 MeV y vida 7.4·10−20 s, decae en Λy fotón por interacción electromagnética. Las “cascadas” Ξ0, de masa 1314.9 MeV y vida 2.90 ·10−10 syΞ−, de masa 1321.3 MeV y vida 1.60 ·10−10 s, decaen en Λy pion, por interacción débil. Estas, junto con el protón, neutrón, electrón y neutrino, y sus antipartículas, eran las partículas conocidas en 1956. Posteriormente, con el advenimiento de los aceleradores, se descubrieron otras muchas partículas, por lo cual se vio la necesidad de clasificarlas. 35 Propiedades de las partículas elementales 3.4. Conservación de números cuánticos Conservación del cuadrivector energía-momento En una reacción entre partículas, o en el decaimiento de una partícula, se debe conservar siempre la energía y el momento. Por ejemplo, un fotón aislado no puede crear un par e−e+, o viceversa. Estas leyes de conservación están asociadas a la invariancia del sistema frente a traslaciones temporales y espaciales, respectivamente. Conservación del momento angular También debe conservarse el momento angular total. Ello hace que en el decaimiento de un fermión, con espín semientero, deban aparecer un número impar de fermiones, mientras que en el decaimiento de un bosón deban aparecer un número par (incluido el cero) de fermiones. Estas leyes de conservación están asociadas a la invariancia del sistema frente a rotaciones. Conservación de la carga eléctrica También debe conservarse siempre la carga eléctrica Q. Esta ley de conservación está relacionada con la invariancia del sistema frente a unas transformaciones internas (transformaciones gauge) que son la explicación de la interacción electromagnética. En cierto sentido, la existencia de la interacción electromagnética implica que la carga debe conservarse estrictamente, y viceversa. Conservación del número bariónico La conservación del número bariónico Bes un hecho empírico. No hay razones, asociadas a la existencia de simetrías, que justifiquen dicha conservación. No obstante, no hay evidencias experimentales actuales que indiquen la violación del número bariónico. Según las teorías actuales, el protón tiene una vida muy larga, pero no infinita. Por ello, puede haber una violación del número bariónico, pero es extremadamente pequeña. Los límites experimentales actuales para la vida del protón son τp>9·1029 años. Conservación de los números leptónicos La conservación de los números leptónicos Le,L µ,L τson hechos empíricos, que describen con muy buena precisión los procesos de colisión y decaimiento de leptones. No obstante, las oscilaciones de neutrinos indican que los números leptónicos Le,L µ,L τno se conservan estrictamente, aunque sí lo hace su suma L=Le+Lµ+Lτ. Cabe decir que la conservación de los números leptónicos es perfectamente válida en la escala de tiempos de los procesos de colisión y decaimiento producidas por la interacción débil, pero no lo es en la escala de tiempos que corresponde a neutrinos que viajan largas distancias. 42 3.4. Conservación de números cuánticos Propiedades de las partículas elementales Conservación de la extrañeza Los procesos que ocurren por interacción fuerte o electromagnética conservan la extrañeza. Ello hace que la suma de los valores de S de las partículas iniciales en una reacción debe ser igual a la de las partículas finales (los leptones y los fotones se toman con S=0). Los procesos débiles pueden cambiar (o no) la extrañeza. Se observa empíricamente que los procesos que ocurren por la interacción débil, en primer orden, cumplen que ∆S=±1,0.1 Números cuánticos en mecánica cuántica Formalmente, los números cuánticos aditivos están asociados a operadores que actúan en el espacio de Hilbert de los vectores estado. Por ejemplo, cuando decimos que la partícula Λtiene extrañeza S=−1, y el neutrón tiene extrañeza S=0, eso significa que existe un operador S, que cumple que S|Λ; p ;m=(−1)|Λ; p ;m, mientras que S|n;p ;m=0|n;p ;m. El operador Ses aditivo. Esto significa que, cuando actúa sobre el vector estado de un sistema de partículas, da como autovalor la suma de las extrañezas de las partículas: S|n, Λ=(−1+0)|n, Λ2. Cuando un número cuántico se conserva, el hamiltoniano conmuta con el operador asociado. Así, la conservación de la carga implica que [H, Q]=0. La conservación del número bariónico implica que [H,B]=0. La extrañeza se conserva en procesos fuertes y electromagnéticos. Eso implica que el operador Sconmuta con el hamiltoniano fuerte [Hf,S]=0y electromagnético [Hem,S]=0. No obstante, el hamiltoniano débil no conmuta con S:[Hd,S]=0. Los hadrones son autoestados de Scorrespondientes a un autovalor S. Como el operador Ses aditivo, un sistema de hadrones es un autoestado de Scuyo autovalor es la suma de los valores de S de los hadrones. Por ello, el hamiltoniano fuerte y el electromagnético sólo conectan estados (sistemas de partículas) con la misma extrañeza. 3.5. Isospín. Se introduce a partir del hecho de que los hadrones aparecen en grupos de partículas, llamados multipletes, con masa muy parecida, y con propiedades muy similares (mismo espín, paridad, número bariónico, extrañeza), excepto que tienen carga eléctrica que varía de uno en uno. Por ejemplo, están el protón y el neutrón, los piones (π+,π0,π−), etc. Cabe visualizar las transformaciones de isospín, considerando un núcleo atómico, compuesto de N neutrones y Z protones. Si en este núcleo ignoramos las fuerzas coulombianas, 1Esto se explica en el modelo de quarks. 2En la notación del vector estado, se omiten los índices asociados al movimiento y al espín, ya que no son modificados por el operador. 43 3.5. Isospín Propiedades de las partículas elementales y la pequeña diferencia de masa entre protón y neutrón, tenemos que el nucleo es un sistema en el que tenemos N fermiones de un tipo, y Z fermiones de otro tipo. Podríamos realizar una transformación en la que cada protón se convierte en una combinación de protón y neutrón, |p→α|p+β|n, mientras que el neutrón se convierte en otra combinación, |n→−β∗|p+α∗|n, manteniendo la norma (|α|2+|β|2= 1) y la ortogonalidad de los estados. Esta transformación sigue manteniendo N fermiones de un tipo, y Z fermiones de otro tipo, de forma que, bajo condiciones muy generales, el núcleo mantendría su misma energía. Este tipo de transformaciones son las transformaciones unitarias, en dos dimensiones, con determinante unidad, y vienen descritas por el grupo SU(2). El grupo SU(2) es muy similar al grupo O(3) que describe las rotaciones en tres dimensiones 3. Para describir el grupo SU(2), se definen tres operadores, I+,I−,I3, mientras que para el grupo O(3) los operadors son las componnetes del momento angular L+,L−,L3. Ambos conjuntos de operadores cumplen las mismas reglas de conmutación. I3está relacionado con la carga eléctrica, y puede escribirse como I3=−Y/2+Q/e, donde Y es una constante para cada multiplete llamada hipercarga, que es dos veces la carga media del multiplete. Gell-Mann y Nishijima encontraron empíricamente que la hipercarga estaba relacionada con la extrañeza y el número bariónico a través de la relación Y=B+S4. Las partículas de un multiplete son autoestados de I3. Así, para los nucleones, Y=1, I3|p=1/2|pI3|n=−1/2|n. Para los piones, Y=0, I3|π+= +1|π+I3|π0=0|π0I3|π−=−1|π−. El operador I+actuando sobre una partícula, la convierte en otra de carga superior perteneciente al mismo multiplete: I+|n=|p,I+|p=0. Análogamente, el operador I−disminuye la carga de la partícula. Por analogía con el momento angular, todas las partículas del multiplete son autoestados del operador I2=1 2(I+I−+I−I+)+I32correspondientes a un autovalor I(I+1). El número cuántico I, que es el isospín del multiplete, está relacionado con el número de partículas en el multiplete, que es 2I+1. 3El término correcto en teoría de grupos es que SU(2) y O(3) son localmente isomorfos. Las transformaciones infinitesimales, cercanas a la unidad, son equivalentes en ambos casos. Los generadores de ambos tienen relaciones de conmutación idénticas. No obstante, el rango de variación de los parámetros no es el mismo. Por ello, en O(3) las rotaciones pueden hacerse hasta un ángulo de 2π, mientras que las “rotaciones” de SU(2) llegan hasta 4π. 4Esto se explica en el modelo de quarks. 44 Propiedades de las partículas elementales La introducción del isospín permite considerar que las partículas de un multiplete son, a todos los efectos, partículas idénticas, que, además de venir caracterizadas por su función de onda orbital y su función de onda de espín, tienen una función de onda de isospín. Así, el protón es un estado del nucleón tal que su función de onda de isospín es autoestado del operador I3correspondiente al autovalor I3=1/2, y el neutrón es un estado del nucleón cuyo autovalor es I3=−1/2. Si una partícula A tiene unos valores del isospín y su tercera componente dados por IA,I 3A, el vector estado de la partícula Apuede escribirse como |A=|αIAI3A, donde α caracteriza los números cuánticos necesarios para caracterizar el multiplete de partículas al que pertenece A, y I3Aespecifica qué partícula es Adentro de su multiplete, determinando su carga eléctrica. Nótese que omitimos la caracterización del momento y el espín en el vector estado, para simplificar la notación. La masa de una partícula, o, estrictamente hablando, su energía en reposo, es igual al elemento de matriz del hamiltoniano en el estado que describe a la partícula en reposo: m(A)c2=A|H|A. El hamiltoniano tiene contribuciones de la interacción fuerte, electromagnética y débil H=Hf+Hem +Hd Como las partículas de un multiplete tienen masas parecidas, se considera que, del hamiltoniano total que describe las partículas (H=Hf+Hem +Hd) cumple [Hf, I]=0, indicando que la interacción fuerte conmuta con todas las componentes del isospín. Esto hace que αIAI3A|Hf|αIAI3A=αIA||Hf||αIA, es decir, que la contribución de la interacción fuerte a la masa de las partículas no depende de I3A, y por tanto es la misma para todas las partículas de un multiplete. Por otro lado, las diferencias de masas entre las partículas de un multiplete son del orden del MeV, lo cual indica que la interacción electromagnética no conmuta con los operadores I±. Sin embargo, sí conmuta con I3, ya que conserva la carga eléctrica, el número bariónico y la extrañeza. La interacción débil no conserva ninguna de las componentes del isospín. En general, si sólo existiera la interacción fuerte, los hadrones de un mismo multiplete tendrían exactamente la misma masa, y corresponderían a autoestados degenerados del hamiltoniano. La interacción electromagnética rompe esta degeneración, desdoblando las masas del multiplete en función del valor de I3. La interacción débil tiene un efecto mínimo sobre las masas, siendo responsable de los decaimientos. 45 Propiedades de las partículas elementales 3.5.1. Isospín de sistemas de partículas El isospín total de dos partículas A y B se obtiene de la forma siguiente: la partícula A tiene unos valores del isospín y su tercera componente dados por IA,I 3A. Por tanto, el ket que caracteriza el estado interno de la partícula Apuede escribirse como |A=|αIAI3A, donde αdenota los números cuánticos necesarios para caracterizar el multiplete de partículas al que pertenece A, y I3Aespecifica qué partícula es Adentro de su multiplete, determinando su carga eléctrica. Análogamente, |B=|βIBI3B. El sistema AB puede describirse como el producto de una función de onda que describa el movimiento de A y B, por una función de onda que describa sus espines, por una función de onda interna, Esta última puede escribirse como |A, B=|αIAI3A,βIBI3B= IT,I3TIT,I 3T|IAI3A,I BI3B|αIA,βIB;IT,I 3T(3.1) Por tanto, el sistema AB viene descrito por una combinación de valores de ITque van de |IA−IB|aIA+IB. Esta combinación viene determinada por los coeficientes de ClebschGordan. Si las partículas pertenecen al mismo multiplete de isospín, entonces los valores del isospín total quedan restringidos por la exigencia de que la función de onda debe ser simétrica frente al intercambio de todas las variables de las partículas, en el caso de bosones, y antisimétrica en el caso de fermiones. Sea un sistema de dos partículas A y B, pertenecientes a un multiplete α, con espín S e isospín I. Las partículas tienen un momento angular orbital relativo L, y un espín total ST, y consideramos la componente de su estado en la que su isospín total es IT. Frente al intercambio de las partículas, la función de onda orbital se modifica en un factor (−1)L. La función de onda de espín, por las propiedades de los coeficientes de Clebsch-Gordan, se modifica en un factor (−1)(ST−2S). La función de onda de isospín, análogamente, se modifica en un factor (−1)(IT−2I). El producto de todos estos factores debe ser +1 para bosones y −1para fermiones. Teniendo en cuenta que Ses semientero para fermiones y entero para bosones, resulta que, en ambos casos, debe cumplirse que L+ST+IT−2I sea par. 3.5.2. Conservación del isospín Los procesos que ocurren por interacción fuerte conservan el isospín. Eso quiere decir no sólo que conservan I3, sino que conservan el isospín total I. Para que una partícula C pueda decaer el A y B conservando el isopín total, debe ocurrir que los isospines de A y B puedan acoplarse al de C, o sea, que |IA−IB|≤IC≤ 46 3.5.1. Isospín de sistemas de partículas 3.5.2. Conservación del isospín Propiedades de las partículas elementales (IA+IB). Por otro lado, para que de la colisión de A y B puedan surgir las partículas C y D conservando el isospín total debe haber al menos un valor de ITque pueda obtenerse acoplando tanto IAeIB, como ICeID. Los procesos que ocurren por interacción electromagnética conservan I3, pero no conservan I. En los procesos en primer orden en la interacción electromagnética, ∆I=±1,0. En los procesos débiles, no se conserva I3ni I. No obstante, para los hadrones de energía baja, como los que se describen en las tablas 5, se encuentra que, en los procesos en primer orden en la interacción débil, si ∆S=±1,∆I=±1/2,ysi∆S=0,∆I=±1,0. 3.5.3. Relación entre las probabilidades de decaimiento La conservación del isospín permite relacionar las probabilidades de los procesos que ocurren por interacción fuerte entre partículas que pertenecen a multipletes determinados. Si una resonancia C, descrita por |C=|γICI3Cdecae en dos hadrones A y B por interacción fuerte, la probabilidad de decaimiento por unidad de tiempo puede escribirse como P(C→A+B)=|C|Hf|AB|22π ρAB(E)(3.2) El elemento de matriz del hamiltoniano puede expresarse usando el desarrollo del estado |AB, de forma que: C|Hf|AB= IT,I3TIT,I 3T|IAI3A,I BI3BγICI3C|Hf|αIA,βIB;IT,I 3T(3.3) La conservación del isospín implica que IC=IT,I3C=I3T. Por otro lado, como [Hf,I ±]= 0, los elementos de matriz deben ser independientes de I3. Por tanto, resulta C|Hf|AB=IC,I 3C|IAI3A,I BI3BγIC||Hf||αIA,βIB;IC(3.4) La doble barra es una notación que se introduce para indicar que no es necesario especificar I3C, porque el elemento de matriz es independiente de él. Por otro lado, la densidad de estados depende de la energía cinética de A y B, que, a su vez, depende de las masas de A, B y C, pues Ec=m(C)−m(A)−m(B). Como las masas de las partículas del multiplete son muy parecidas, puede escribirse ρAB(E)≃ραβ(E), donde ραβ(E)es una densidad de estados promedio para todas las partículas del multiplete. Por tanto, la probabilidad de decaimiento puede escribirse como: P(C→A+B)=|IC,I 3C|IAI3A,I BI3B|2|γIC||Hf||αIA,βIB;IC|22π ραβ(E)(3.5) 5aquí sólo consideramos hadrones compuestos de los quarks ligeros u, d, s 47 3.5.3. Relación entre las probabilidades de decaimiento Propiedades de las partículas elementales Esta expresión indica que la probabilidad de decaimiento de las resonancias Cde un multiplete γen distintas partículas Ade un multiplete αyBde β, es proporcional al coeficiente de Clebsch-Gordan al cuadrado. 3.5.4. Relación entre secciones eficaces En un proceso de colisión que ocurre por la interacción fuerte, por el cual A+B→ D+E, la sección eficaz viene dada por σ(A+B→D+E)=2πΩ v|AB|H|DE|2ρDE(E)(3.6) ρDE(E)depende de la energía cinética final de D y E, en su sistema centro de masas, que viene dada por Ec=E−m(D)−m(E). Sustituyendo ρDE(E)por un promedio para las partículas del multiplete, la sección eficaz depende del cuadrado del elemento de matriz del hamiltoniano. Los estados |ABy|DEpueden desarrollarse en función de estados con isopín total IT,I 3T. Los elementos de matriz del hamiltoniado son diagonales en IT,I 3T, y por otro lado son independientes de I3T. Por tanto, resulta AB|Hf|DE= IT,I3TIT,I 3T|IAI3A,I BI3BIT,I 3T|IDI3D,I EI3E αIA,βIB;IT||Hf||δID, IE;IT(3.7) A partir del conocimiento de unos pocos elementos de matriz reducidos, correspondientes a los valores de ITa los que pueden acoplarse tanto IAeIBcomo IDeIE, pueden obtenerse todas las secciones eficaces de las colisiones de partículas del multiplete αcon las del βpara dar partículas del δy el . Cuando la energía total en el sistema centro de masas está cercana a la masa de una resonancia C, el proceso ocurre de forma secuencial según A+B→C→D+E. En este caso, la contribución correspondiente a IT=ICes dominante, y la sección eficaz aumenta considerablemente. 48 3.5.4.Relaciónentreseccioneseficaces Propiedades de las partículas elementales Problemas 1. Considerar las siguientes reacciones, que ocurren con secciones eficaces compatibles con la interacción fuerte: (a)π−+p→Λ+K0(b)π0+p→Λ+K+ (c)π−+p→Σ0+K0(d)π−+p→Σ−+K+ (e)π++p→Σ++K+(f)π−+p→Ξ−+K0+K+ (g)π−+p→Ξ0+K0+K0(h)π++p→Ξ0+K++K+ (i)π−+p→n+K++K−(j)π−+p→n+K0+¯ K0 Partiendo de que, por convenio, se toma que S(p)=S(n)=S(π)=0,yS(K+)=1, deducir los valores de la extrañeza de las otras partículas. Obtener la energía cinética mínima inicial en el sistema centro de masas para que pueda producirse la reacción en cada caso. 2. Considera las reacciones siguientes: (a)¯p+p→π++π−+π0(b)p+K−→Σ++π−+π0 (c)p+K−→n+K++π−(d)¯νµ+p→µ++n (e)¯νe+p→e++Λ (f)τ−→ντ+K− (g)π0→γ+γ(h)e++e−→π++π− Comprobar si se conservan los números cuánticos aditivos relevantes. Indicar si es posible la reacción, y qué interacción (fuerte, electromagnética o debil) la produce. 3. Demostrar que si el hamiltoniano conmuta con el operador extrañeza, entonces los elementos de matriz del hamiltoniano entre estados con extrañeza diferente son idénticamente nulos. Aplicarlo al caso de la transición Λ→p+π−. Nota: Evaluar el elemento de matriz del conmutador entre el Hamiltoniano y el operador S, entre estados con diferente extrañeza.. 4. Demostrar que si el hamiltoniano conmuta con los operadores I+eI−, entonces las masas de partículas que pertenezcan al mismo multiplete de isospín son iguales. Nota: Evaluar el elemento de matriz del conmutador [H,I+]entre estados del mismo multiplete y con diferentes valores de I3. 49 Problemas Propiedades de las partículas elementales 5. Obtener los estados de isospín de los pares de partículas siguientes: π+p,π+n,π0p, π0n,π−p,π−n. Comprobar que estos estados son ortogonales, y que forman una base de los estados |(πN)II3. 6. Obtener la expresión de las secciones eficaces siguientes en términos de los elementos de matriz reducidos relevantes. Deducir las expresiones que relacionan las secciones eficaces. Si la energía total en el sistema centro de masas es cercana a 1230 MeV (resonancia ∆), ¿como serían estas relaciones? a)π++p→π++pb)π++n→π++n c)π++n→π0+pd)π0+p→π++n e)π0+p→π0+pf)π0+n→π0+n g)π0+n→π−+ph)π−+p→π0+n i)π−+p→π−+pj)π−+n→π−+n 7. Obtener la expresión de las secciones eficaces siguientes en función de los elementos de matriz reducidos, y la relación entre ellos. a)π0+p→Λ+K+b)π++n→Λ+K+ c)π0+n→Λ+K0d)π−+p→Λ+K0 e)π−+n→Λ+K− 8. El principio de Pauli generalizado puede enunciarse diciendo que un sistema de nucleones (protones y neutrones) viene descrito por una función de onda que sea antisimétrica frente al intercambio de las variables orbitales, de espín y de isospín de dos nucleones cualesquiera. Partiendo de ello, deducir que el deuterón (Jπ=1 +) tiene I=0. 9. Obtener la función de onda de isospín de un sistema π+π−con un momento angular relativo L. Hacer lo propio para un sistema π0π0con momento angular L. ¿ Son posibles todos los valores de L? 10. Considera un sistema de tres piones π+π−π0yπ0π0π0con momento angular total interno 0. Obtener la función de onda de isospín. Nota: El momento angular total 50 Propiedades de las partículas elementales interno es la composición del momento angular relativo de dos piones (por ejemplo, π+π−)L12, con el del tercero con respecto al centro de masas de los otros dos L3. 11. Evalúa las probabilidades por unidad de tiempo de los procesos siguientes, a partir de la conservación del isospín. Las resonancias ∆tienen todas ellas una anchura de 153 MeV. ∆++ →p+π+ ∆+→p+π0 ∆+→n+π+ ∆0→p+π− ∆0→n+π0 ∆−→n+π− 51 Simetrías discretas Figura 4.1: Experimento de Wu que muestra la violación de la paridad. Loe electrones se emiten con menor probabilidad en la dirección del campo magnético. Ello no sería posible si se conservara la paridad. https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=30232669 inversión espacial invierte el momento de los electrones, pero no el campo magnético, por lo que la emisión de electrones en ambas direcciones debe tener la misma probabilidad. Esta asimetría se explica debido a que los anti-neutrinos tienen helicidad positiva. El electrón y el antineutrino neutrino se emiten con mayor probabilidad en direcciones opuestas, ya que esto deja menos momento al protón final y favorece el elemento de matriz de la interacción débil. Los espines de electrón y antineutrino son preferentemente paralelos, y van dirigidos preferentemente en la dirección del campo magnético, para compensar la diferencia de proyección del mometo angular entre el núcleo inicial y el final. Como el anti-neutrino tiene helicidad positiva, se emite en la dirección paralela al campo magnético, por lo que el electrón se emite en la dirección opuesta al campo magnético. Esto se ilustra con la figura 4.2. El hecho de que los neutrinos tengan helicidad definida, y los antineutrinos la opuesta, implica que no pueden tener paridad intrínseca ni conjugación de carga definida. Para un neutrino con momento p y helicidad h=−1 2, la acción de los 58 Simetrías discretas sv se pe pv pe sesvpv 60 60 υ BCo Ni + e + P4+ 5+ e J= OBSERVED NOT OBSERVED Figura 4.2: Ilustración del efecto de la inversión espacial en el experimento de Wu, teniendo en cuenta la orientación de los espines de los anti-neutrinos emitidos operadores PyC, P|ν;p ;h=−1 2=ηP|ν;−p ;h=1 2(4.14) C|ν;p ;h=−1 2=ηC|¯ν;p ;h=−1 2(4.15) produciría, respectivamente, neutrinos con helicidad positiva o antineutrinos con helicidad negativa. Como los neutrinos con helicidad positiva y los antineutrinos con helicidad positiva no existen, o al menos no se producen mediante la interacción débil, podemos concluir que la interacción débil no conserva la invariancia frente a inversión espacial ni la invariancia frente a conjugación de carga. 59 Simetrías discretas Problemas 1. Establecer cómo se transforman bajo las operaciones P, C y T las siguientes magnitudes clásicas: Posición r , momento p , momento angular  L, carga eléctrica q, momento dipolar eléctrico  D, momento magnético µ , densidad de carga ρ, densidad de corriente j, campo eléctrico  E, campo magnético  B, potencial vector  A, potencial escalar V. 2. Demostrar que las ecuaciones de Maxwell son invariantes frente a las operaciones C, P y T:  ∇· E=ρ  ∇· B=0  ∇× E+∂t B=0  ∇× B+∂t E/c2= j 3. Demostrar que el operador paridad P conmuta con el operador que produce rotaciones en torno al eje x, Rx(φ) = exp(−iLxφ). Demostrar que el operador conjugación de carga C no conmuta con el operador que produce transformaciones gauge asociadas a la carga eléctrica, U(φ) = exp(−iQφ). 4. Obtener los valores de P, C y PC de un sistema de π+π−con momento angular L. Hacer lo propio para un sistema π0π0. 5. Obtener los valores de P, C y PC para un sistema de π+π−π0con momento angular J=0. Hacer lo propio para un sistema π0π0π0. Nota: el momento angular J del sistema se obtiene del acoplamiento del momento angular de dos piones L12 con el momento angular del tercero con respecto al centro de masas de los otros dos L3. 6. Obtener los valores de P, C y PC para un sistema e−e+con momento angular orbital L, espín S y momento angular total J. Deducir los valores de L, S y J permitidos para que el sistema e−e+provenga de la aniquilación de un fotón virtual 3 7. Considera que una partícula |A, jm, en reposo, decae y produce otras partículas a, b, .... Nos fijamos en una de ellas a, que sale con un momento  kay una helicidad sa. A partir de la regla de oro de Fermi, demuestra que la conservación de la paridad por la interacción que produce el decaimiento implica que: 3Un fotón virtual, a diferencia de un fotón real, puede tener momento cero, y energía arbitrariamente grande 60 Problemas Simetrías discretas (a) La probabilidad de detectar la partícula con momento  kay helicidad haes la misma que la probabilidad de detectar la partícula con momento − kay helicidad −ha (b) La probabilidad de detectar la partícula con momento  kaes la misma que la probabilidad de detectar la partícula con momento − ka, si no se observa la helicidad. (c) El valor esperado de ha, integrado para todos los momentos  ka, es nulo. 8. El momento dipolar eléctrico de una partícula d(A), o un sistema de partículas, es igual al valor esperado de la componente z del operador dipolar eléctrico Dz= iqizipara el estado con m=j:d(A)=A, jj|Dz|A, jj. Demostrar que tanto si P se conserva, como si T se conserva, entonces d(A)debe anularse. No obstante, si P y T se violan, pero PT se conserva, entonces puede ocurrir que d(A)sea no nulo. 9. Cuando un pión negativo interacciona con un deuterón, que tiene J=1 y paridad positiva, se forma un “átomo piónico”, y el pión decae hasta el estado más bajo, con L=0. Entonces, reacciona por interacción fuerte con el deuterón, y se producen dos neutrones. Demostrar que, para que esto ocurra conservándose la paridad, el pión debe tener paridad intrínseca negativa. Nota: considerar la conservación del momento angular, y el carácter fermiónico de los neutrones. 10. Obtener los valores de P, C, PC y el isospín para un sistema p¯pcon momento angular orbital L, espín S y momento angular total J. Deducir los valores de L,Sy Jpermitidos para que el sistema p¯pprovenga de la aniquilación de un pion neutro virtual 4 11. Considera un sistema protón-antiprotón con momento angular orbital L=1, espin total S=1y momento angular total J=0. Considera también un sistema π+π− con momento angular total J=0, y un sistema π0π0con momento angular total J=0. a) Obtener los valores de P, C y el isospín del sistema p¯p. b) Obtener los valores de P, C y el isospín del sistema π+π−y del sistema π0π0. c) Determinar si el sistema p¯ppuede descomponerse por interacción fuerte o electromagnética en π+π−oenπ0π0. 4Un pion virtual, a diferencia de un pion real, puede tener momento cero, y energía arbitrariamente grande 61 Simetrías discretas 12. Considera un sistema electrón-positrón (positronio) con momento angular orbital relativo L, espín total Sy momento angular total J. (a) Obtén los valores posibles de LyScompatibles con que el momento angular total del sistema sea J=1. (b) Obtén los valores de la paridad P, y la conjugación de carga C del sistema para los casos anteriores. (c) Determina, para los casos anteriores, si el sistema decaerá produciendo dos o tres fotones. ¿Por qué no puede producirse el decaimiento emitiéndose un único fotón? 62 Capítulo 5 Un paradigma de transición (∼1960) 5.1. Partículas: Hadrones y leptones Tal como se ha visto en la sección anterior, las partículas que aparecen en la naturaleza pueden dividirse en leptones, que no sienten la interacción fuerte, y hadrones, que sí la sienten. Los leptones son seis (electrón, muon, tau y sus correspondientes neutrinos), y sus propiedades son consistentes con que estas partículas sean realmente elementales. Los hadrones pueden ser bariones o mesones. Existe un número muy alto (varios centenares) de hadrones, y además las propiedades de los hadrones indican que tienen una estructura interna. 5.2. Marco teórico: Teoría cuántica de campos Los campos Para cada tipo de partícula, existe un campo asociado. Estos campos φ(x),ψ(x),W µ(x) son funciones de las coordenadas y el tiempo xµ=(x0,x 1,x 2,x 3)=(c t , r ).xµes un cuadrivector contravariante. Intimamente relacionado está el cuadrivector covariante xµ= (x0,x 1,x 2,x 3)=(ct, −r ). El paso de magnitudes covariantes a magnitudes contravariantes se realiza con el tensor métrico de las transformaciones de Lorentz, que es gµν =    1000 0−10 0 00−10 00 0−1     .(5.1) 63 5.Unparadigmadetransición(~1960) 5.1. Partículas: Hadrones y leptones 5.2.Marcoteórico:Teoríacuánticadecampos Un paradigma de transición Así, en general, para cualquier cuadrivector covariante Aµ, se cumple que Aµ=gµνAν es el vector contravariante correspondiente, donde el índice repetido implica una suma de las componentes. Los campos φ(x),ψ(x),W µ(x), corresponden a operadores que aniquilan partículas o crean antipartículas, respectivamente, de espín 0, 1/2, 1. El carácter de los campos, descrito en la tabla siguiente, nos indica si estos campos son invariantes frente a transformaciones de Lorentz (escalares), si se comportan como el cuadrivector xµ (cuadrivectores), o si se comportan como una partícula de espín 1/2 (espinores). Campo Acción Carácter Crea antipartículas J=0 Escalar φ(x)Aniquila partículas J=0 Crea partículas J=0 Escalar φ∗(x)Aniquila antipartículas J=0 Crea antipartículas J=1/2 Espinor 4×1 ψ(x)Aniquila partículas J=1/2 Crea partículas J=1/2 Espinor 1×4 ¯ ψ(x)Aniquila antipartículas J=1/2 Crea antipartículas J=1 Cuadrivector Wν(x)Aniquila partículas J=1 Crea partículas J=1 Cuadrivector W∗ ν(x)Aniquila antipartículas J=1 Nótese que cuando se trata de partículas totalmente neutras, en las cuales no sólo la carga eléctrica, sino también todos los números cuánticos aditivos son cero, dichas partículas coinciden con sus antipartículas. Para las partículas totalmente de espín cero, como el caso del pion neutro, el campo φπ0(x)=φ∗ π0(x)es real. Igualmente, para partículas totalmente neutras de espín uno, como es el caso del fotón, Wν(x)=W∗ ν(x)es real. No consideraremos partículas totalmente neutras de espín 1/2, ya que estas llevan asociadas números cuánticos no nulos como el número bariónico o los números leptónicos 1. La densidad lagrangiana En una teoría cuántica de campos, la evolución en el espacio y en el tiempo de los campos que describen las partículas se describen a partir de la densidad lagrangiana L. La densidad lagrangiana es función de los campos, φ(x),ψ(x),W ν(x), y de sus derivadas con respecto a las coordenadas y el tiempo ∂µφ(x),∂ µψ(x),∂ µWν(x). En esta notación, 1Es teóricamente posible la existencia de partículas de espín 1/2 que coinciden con sus antipartículas, Son los fermiones de Majorana, que no consideramos aquí 64 Un paradigma de transición ∂µ=∂ ∂xµes un operador que tiene carácter de cuadrivector covariante. Análogamente, ∂µ=∂ ∂xµes un operador que tiene carácter de cuadrivector contravariante. En teoría cuántica de campos, la densidad lagrangiana debe ser invariante frente a transformaciones de Lorentz. Ello es necesario para que la teoría sea plenamente consistente con la relatividad. Esto condiciona la forma que debe tener la densidad lagrangiana, en función de los campos. Estos campos deben combinarse de forma que den lugar a un escalar, o sea, un invariante de Lorentz. En general, si AµyBµson cuadrivectores, contravariantes y covariantes respectivamente, la combinación AµBµes invariante de Lorentz. La evolución de los campos en el espacio y en el tiempo viene determinada por la densidad lagrangiana, a través de las ecuaciones de Euler-Lagrange. Así, para cada campo φ, se cumple ∂µ∂L(φ, ∂µφ) ∂(∂µφ)=∂L(φ, ∂µφ) ∂φ (5.2) La forma de la densidad lagrangiana sin interacción, es la siguiente: Bosones de espín 0 (piones, kaones). El campo asociado a una partícula de espín cero φ(x)es una función escalar (invariante de Lorentz) de x. La densidad lagrangiana para estas partículas viene dada por: L=(c)∂µφ(x)∗∂µφ(x)−m2c4 cφ(x)∗φ(x)(5.3) Es destacable que la masa aparece en la densidad lagrangiana como el coeficiente del término que multiplica al campo al cuadrado, a diferencia del término que depende de las derivadas de los campos. El análisis dimensional lleva a que la densidad lagrangiana tiene dimensiones de energía partido por volumen, [L]=EL−3. Como c= 197.3MeV fm, tiene dimensiones de energía por distancia, resulta que el campo escalar φ(x)tiene dimensiones [φ]=L−1, lo cual es consistente con la expresión de la dependencia radial del potencial de Yukawa exp(−βr)/r. Si se usan unidades naturales, tomando =c=1, entonces la distancia adquiere dimensiones de inversa de la energía, y 1fm−1se hace equivalente a 197.3 MeV. Con estas unidades, L=∂µφ(x)∗∂µφ(x)−m2φ(x)∗φ(x)(5.4) y las dimensiones resultan [L]=E4y[φ]=E. En concreto, φ(x)aniquila mesones de espín cero, o crea sus anti-partículas, y φ(x)∗ hace lo contrario. Nótese que la densidad lagrangiana es un invariante de Lorentz. 65 Un paradigma de transición Fermiones de espín 1/2 (leptones, bariones). El campo asociado a una partícula de espín 1/2 ψ(x)es un espinor de cuatro componentes. La densidad lagrangiana para estas partículas viene dada por: L=¯ ψ(x)(icγµ∂µ−mc2)ψ(x),(5.5) Aquí de nuevo se ve que la masa es el coeficiente que multiplica al cuadrado de los campos. El análisis dimensional lleva a que la densidad lagrangiana tiene dimensiones de energía partido por volumen, [L]=EL−3. El campo espinorial ψ(x)tiene dimensiones [ψ]=L−3/2, lo que permite la conexión de este campo, en el límite no relativista, con la función de onda normalizable de una partícula, cuyo cuadrado puede integrarse en un volumen para dar la unidad. Si se usan unidades naturales, =c=1resulta L=¯ ψ(x)(iγµ∂µ−m)ψ(x).(5.6) y las dimensiones resultan [L]=E4y[ψ]=E3/2. ψ(x)aniquila fermiones de espín 1/2, o crea sus anti-partículas, y ¯ ψ(x)hace lo contrario. Las matrices γµ, con µ=0,1,2,3son matrices 4×4que actúan sobre las componentes de los espinores, y tienen la propiedad de que ¯ ψ(x)γµψ(x)se comporta como un cuadrivector contravariante frente a transformaciones de Lorentz. Como el operador ∂µse comporta como un cuadrivector covariante, ¯ ψ(x)γµ∂µψ(x)es un invariante Lorentz, lo mismo que L. Bosones de espín 1 (fotones, bosones W, ciertos mesones). El campo asociado a una partícula de espín 1, junto con su antipartícula, es un cuadrivector complejo de cuatro componentes, Wµ(x). La densidad lagrangiana para estas partículas viene dada por: L=−c 2(∂µWν(x)∗−∂νWµ(x)∗)(∂µWν(x)−∂νWµ(x)) −m2c4 cWµ(x)∗Wµ(x),(5.7) El análisis dimensional lleva a que la densidad lagrangiana tiene dimensiones de energía partido por volumen, [L]=EL−3. El campo cuadrivectorial Wµ(x)tiene dimensiones [Wµ]=L−1, lo cual es consistente con que, en las teorías Gauge, pueda modificarse el operador derivada ∂µpara añadirle un término Wµ(x). Si se usan unidades naturales, resulta L=−1 2(∂µWν(x)∗−∂νWµ(x)∗)(∂µWν(x)−∂νWµ(x)) −m2Wµ(x)∗Wµ(x),(5.8) 66 Un paradigma de transición y las dimensiones resultan [Wµ]=E, La densidad lagrangiana del campo electromagnético se obtiene poniendo m=0, ya que la masa del fotón es cero, y substituyendo W∗ µ(x)=Wµ(x)=Aµ(x)/√2. El operador Aµ(x), por tanto, crea y aniquila fotones, y corresponde clásicamente al cuadripotencial del campo electromagnético Aµ(x) = (Φ(x)/c, − A(x)). El operador contravariante correspondiente es Aµ(x) = (Φ(x)/c,  A(x)). La densidad lagrangiana del campo electromagnético L=−1/4(∂µAν(x)−∂νAµ(x))(∂µAν(x)−∂νAµ(x)) (5.9) que, teniendo en cuenta las definiciones del campo eléctrico  E=− ∇Φ−d/dt  Ay B=  ∇× Ada lugar a L=1 2 E2 c2− B2(5.10) que corresponde a la expresión clásica de la densidad lagrangiana del campo electromagnético en el sistema internacional, si se introduce la permeabilidad magnética con el factor 1 µ0. Este factor no altera las ecuaciones de movimiento. Teniendo en cuenta que la permitividad eléctrica y la permeabilidad magnética están relacionadas por 0µ0=1/c2, se obtiene para la densidad lagrangiana L=0 2 E2−1 2µ0  B2,(5.11) que permite obtener las ecuaciones de Maxwell usando las ecuaciones de Euler-Lagrange. A partir de la densidad lagrangiana, se obtiene la densidad hamiltoniana que es la densidad de energía del campo eletromagnético, como H=0 2 E2+1 2µ0  B2.(5.12) Las interacciones: Diagramas de Feynman Las interacciones en teoría cuántica de campos vienen descritas por términos en la densidad lagrangiana en los que aparecen productos de campos asociados a diferentes partículas, multiplicados por unas constantes, denominadas constantes de acoplo. Estos términos deben ser necesariamente invariantes frente a transformaciones de Lorentz. Para calcular las amplitudes de probabilidad de distintos procesos en teoría cuántica de campos, se construyen los diagramas de Feynman correspondientes. En estos diagramas, 67 Un paradigma de transición y luego la partícula W−se convierte en electrón y antineutrino, por el término Ld=gw √2(Wµ(x))∗j−el µ(x)(5.25) La constante GF, en unidades naturales =c=1vale 1.1663787(6) ·10−5GeV −2,y es única para todos los procesos débiles. La relación de GFcon gwviene dada por GF √2=g2 w 8m2 W .(5.26) El bosón vectorial W±ha sido detectado, y su masa es de 80.377(12) GeV. Por tanto gw= 0.6531 >e. Podría decirse que la interacción débil es más “fuerte” que la electromagnética, pero se ve reducida por el hecho de que su bosón intermediario (el W±) es mucho más masivo que el fotón. No obstante, en procesos que ocurren a energías altas, la interacción débil compite con la electromagnética, y los neutrinos interaccionan con la materia tanto o más que los electrones. 74 Un paradigma de transición Problemas 1. Considerar las siguientes reacciones, que ocurren con secciones eficaces compatibles con la interacción fuerte: (a)π−+p→Λ+K0(b)π0+p→Λ+K+ (c)π−+p→Σ0+K0(d)π−+p→Σ−+K+ (e)π++p→Σ++K+(f)π−+p→Ξ−+K0+K+ (g)π−+p→Ξ0+K0+K0(h)π++p→Ξ0+K++K+ (i)π−+p→n+K++K−(j)π−+p→n+K0+¯ K0 Obtener los diagramas de Feynman más simples para los procesos anteriores debidos a la interacción fuerte. Evaluar los valores de las constantes de acoplo de los vértices atendiendo a la conservación del isospín. 2. Considera las reacciones siguientes: (a)¯p+p→π++π−(b)p+K−→Σ++π− (c)p+K−→n+¯ K0(d)¯νµ+p→µ++n (e)¯νe+p→e++Λ (f)τ−→ντ+e−+¯νe (g)e++e−→µ++µ− (a) Indicar qué procesos ocurren por interacción fuerte, electromagnética y débil. (b) Obtener en cada caso el diagrama de Feynman más simple que contribuye a la reacción, identificando la partícula virtual. 3. Considera las reacciones siguientes: ¯p+p→π++π− p+K−→Σ++π− p+K−→n+¯ K0 ¯νµ+p→µ++n ¯νe+p→e++Λ e++e−→µ++µ− (a) Obtener cuál es la energía cinética mínima de las partículas iniciales en el sistema centro de masas para que ocurra la reacción. 75 Problemas Un paradigma de transición (b) Para este caso, obtener las energías y momentos de las partículas finales. (c) Considerando la conservación de energía y momento en cada vértice, obtener la energía y el momento de la partícula virtual. Obtener el valor del propagador de la partícula virtual ∆2=(E2−m2c4−c2p2)−1 4. En unidades naturales, todas las magnitudes pueden expresarse dimensionalmente como una potencia de la energía, multiplicando o dividiendo por la potencia adecuada de y de c. Demostrar que [r]=E−1,[t]=E−1,[m]=E,[p]=E. Demostrar que la densidad lagrangiana (lagrangiano por unidad de volumen) tiene dimensiones de [L]=E4. Deducir que las dimensiones de los campos son [φ]=[A]=E para los campos escalares y vectoriales y [ψ]=E3/2para los espinores. Comprobar que las expresiones de las densidades lagrangianas que se dan en este capítulo son dimensionalmente correctas. 5. Expresar en unidades naturales, tomando como unidad de energía el GeV, las siguientes cantidades: a) 1 fm; b) 10−22 s ; c) La constante de Fermi GF= 89.62 · 10−6MeV ·fm3; d) e=1.609 ·10−19 C. 6. Representa el diagrama de Feynman del proceso µ−→e−+¯νe+νµ, indicando los términos de la densidad lagrangiana que actúan en los vértices. ¿ Cuál es la partícula virtual? 7. Para el proceso π−+p→K0+Λ, obtenga el diagrama de Feynman más sencillo que describe la reacción. ¿Cuál es la partícula virtual? Expresa los términos del lagrangiano de interacción que aparecen en cada vértice, considerando la conservación del isospín. 76 Capítulo 6 Modelo de Quarks 6.1. Los quarks u, d, s y el modelo SU(3)Fpara los hadrones Los experimentos de la cámara de niebla y de aceleradores mostraron que aparecían en la naturaleza una gran variedad de hadrones. Inmediatamente, se buscó alguna forma de ordenar sus propiedades, de manera análoga a la tabla periódica de Mendeleyev. Se observó que los valores del isospín y la hipercarga de los hadrones no aparecían de manera arbitraria, sino de manera correlacionada, de forma que los hadrones (mesones y bariones) aparecían en grupos, con el mismo espín y paridad y masas similares, denominados singletes (una partícula), octetes (ocho partículas) y decupletes (diez partículas). En las figuras 6.1 y 6.2 se muestran los mesones y bariones de masa más pequeña que aparecen en la naturaleza. La teoría de grupos, en concreto el grupo SU(3), podía describir la aparición de estos singletes, decupletes y octetes, si se suponía que las partículas estaban constituídas por entes más fundamentales denominados los quarks. La hipótesis fundamental del modelo de quarks es que existe una partícula, llamada quark, con tres estados internos o “sabores”, llamados u,dys, que generan la representación fundamental del grupo SU(3)F. Estos tres estados, por tanto, son autoestados de I3eY, correspondiente a los autovalores mostrados en la tabla. Por la relación de Q=I3+Y/2, se tiene que los estados u,dystienen carga fraccionaria. quarks I3I Y Q BS u 1/2 1/2 1/3 2/3 1/3 0 d -1/2 1/2 1/3 -1/3 1/3 0 s 0 0 -2/3 -1/3 1/3 -1 77 6.ModelodeQuarks 6.1.Losquarksu;d;syelmodeloSU(3)Fparaloshadrones Modelo de Quarks Figura 6.1: Octete de mesones, que corresponden a los mesones de masas más pequeñas que aparecen en la naturaleza con Jπ=0 −. Figura 6.2: Octete y Decuplete de bariones. Corresponden a los bariones con masa más bajas que aparecen en la naturaleza con Jπ=1/2+yJπ=3/2+, respectivamente. 78 Modelo de Quarks La antipartícula del quark, el antiquark, tiene tres estados o “sabores”, ¯u, ¯ d, ¯s, cuyos números cuánticos aditivos son los opuestos a los de los estados u, d, s. En lo que sigue, se hablará de quarks u, d y s, aunque el concepto correcto es que se trata de estados o “sabores” u, d, s del quark. En el modelo de quarks, los mesones son sistemas quark-antiquark. Por tanto, su número bariónico es 0. Los bariones están formados por tres quarks. Su número bariónico es 1. Los anti-bariones están formados por tres antiquarks. Su número bariónico es -1. La extrañeza de los hadrones se obtiene a partir del número de antiquarks ¯s(S=1) y del de quarks s(S=-1). La tercera componente del isospín de los hadrones se obtiene a partir del número de quarks u(I3=1/2), y del de quarks d(I3=−1/2), así como de los antiquarks respectivos. El isospín de los hadrones se obtiene del acoplamiento de los isospines de los quarks u ydo de los antiquarks ¯u, ¯ dque los componen. Mesones quarks S I3I π+u¯ d0 +1 1 π0u¯u,d¯ d00 1 π−d¯u0 -1 1 η u¯u,d¯ d,s¯s00 0 K+u¯s+1 +1/2 1/2 K0d¯s+1 -1/2 1/2 ¯ K0s¯ d-1 +1/2 1/2 K−s¯u-1 -1/2 1/2 Bariones quarks S I3I p uud 0 +1/2 1/2 n udd 0 -1/2 1/2 Σ+uus -1 +1 1 Σ0uds -1 0 1 Σ−dds -1 -1 1 Λuds -1 0 0 Ξ0uss -2 +1/2 1/2 Ξ−dss -2 -1/2 1/2 ∆++ uuu 0 +3/2 3/2 ∆+uud 0 +1/2 3/2 ∆0udd 0 -1/2 3/2 ∆−ddd 0 -3/2 3/2 Ωsss -3 0 0 79 Modelo de Quarks 6.1.1. Propiedades de los hadrones en el modelo de quarks Los quarks son fermiones. Los quarks, si realmente corresponden a partículas físicas, deben ser fermiones, ya que tres de ellos forman un fermión, y una pareja quark-antiquark forma un bosón. Por tanto, para los tres quarks que forman un barión, su función de onda debe ser totalmente antisimétrica frente al intercambio de cualquier pareja de quarks. Intercambiar los quarks es equivalente a intercambiar todas sus variables. Éstas son, en principio, las variables orbitales, las de espín y las de sabor. La función de onda de un hadrón (barión o mesón) puede caracterizarse a partir del producto de una función de onda orbital, por una función de onda de espín, por una función de onda de sabor. El sabor: Isospín y extrañeza. La función de onda de sabor caracteriza el tipo de quarks (u, d, s) que constituyen el hadrón. La función de onda de sabor viene caracterizada por el isospín y la extrañeza del hadrón. El isospín del hadrón se obtiene acoplando los isospines de los quarks, teniendo en cuenta que el isospín de u, d, ¯u, ¯ des I=1/2y el isospín de s, ¯ses I=0. Para los bariones formados por el mismo tipo de quarks, como el Ω−, la función de onda de sabor es totalmente simétrica. Función de onda orbital de los hadrones. La función de onda orbital caracteriza el movimiento de los quarks dentro del hadrón. Esta función viene descrita por un momento angular orbital L, que corresponde, en el caso de los bariones, al momento angular orbital de los 3 quarks, y en el caso de los mesones, al momento angular relativo quark-antiquark. Para los hadrones de energía más baja (que son todos los que hemos visto en las tablas) se cumple que L=01. No obstante, existen resonancias que tienen valores de L=0. La paridad del movimiento relativo, para el caso de los mesones, corresponde a (−1)L. Para el caso de los bariones de energía más baja, con L=0, la paridad del movimiento relativo es +1, y la función de onda orbital es totalmente simétrica frente al intercambio de cualquier pareja de quarks. Espín de los hadrones. La función de onda de espín caracteriza el estado de espín de los quarks que constituyen el hadrón. Esta función viene descrita por el espín total al que se acoplan los espines de los quarks. Se considera que el espín de cada quark es 1Esto se debe a que un estado con L=0estñá caracterizado por una función de onda orbital que varía en función de la dirección, mientras que un estado con L=0es isótropo. A priori, cabe pensar que los estados con L=0, al tener mayor variabilidad espacial, tienen mayor energía cinética que aquellos con L=0. 80 6.1.1.Propiedadesdeloshadronesenelmodelodequarks Modelo de Quarks s=1/2, por analogía con los leptones. En un mesón, el espín del quark y el del antiquark pueden acoplarse a S=0oaS=1. En un barión, los tres espines de los quarks pueden acoplarse a S=1/2oaS=3/2. Para el caso de S=3/2, la función de onda de espín es totalmente simétrica. Momento angular total, paridad P y paridad C. Los mesones pseudoescalares se caracterizan por tener momento angular J=0y paridad negativa. Son los piones, los kaones y los mesones neutros ηyη. La función de onda orbital y de espín de todos los mesones pseudoescalares es la misma, y viene dada en la tabla. Los mesones vectoriales tienen J=1y paridad negativa. Son los mesones ρ, las resonancias de los kaones K∗, y los mesones neutros ω,φ. Nótese que la paridad de los mesones viene dada por el producto de la paridad orbital (−1)Lpor la paridad intrínseca, que es −1para un sistema fermión-antifermión. Además, los mesones totalmente neutros son sistemas quark-antiquark, que tienen una paridad-C bien definida, que viene dada por (−1)L+S, que vale +1 para los mesones pseudoescalares neutros y −1para los mesones vectoriales neutros. Los bariones pueden que aparecen a energía más bajas (p, n, Σ,Λ,Ξ) forman una estructura denominada octete. Sus funciones de onda orbitales y de espín son idénticas, y vienen dadas en la tabla. Lo mismo ocurre para las partículas del decuplete (∆,Σ∗,Ξ∗,Ω). Hadrones L S (Espín) J P C (Sólo Neutros) Mesones Pseudoescalares 0 0 0 -1 +1 Mesones Vectoriales 0 1 1 -1 -1 Bariones del Octete 0 1/2 1/2 +1 Bariones del Decuplete 0 3/2 3/2 +1 6.1.2. Color de los quarks Si consideramos las variables orbitales, de espín y de sabor, la función de onda del decuplete es totalmente simétrica. Por tanto, aparentemente, no se cumpliría el principio de Pauli. Para resolver esta paradoja, se introduce un nuevo grado de libertad, el color. Existen tres estados de color para los quarks, llamados arbitrariamente, en español, rojo, verde y azul, r, v, a. Se exige que en los bariones, la función de onda de color debe ser totalmente antisimétrica frente al intercambio de los colores de los quarks. La función de onda de color de un barión cualquiera viene dada por |Ψc(B)=A123|rva=1/6(|rva−|rav+|var−|vra+|arv−|avr)(6.1) 81 6.1.2.Colordelosquarks Modelo de Quarks Así, para caracterizar la función de onda de los quarks en los bariones, hay que especificar la función de onda orbital, de espín, de sabor y de color. Por tanto, para las permutaciones de todas las variables, la función de onda de los quarks en el decuplete es totalmente antisimétrica, y es, por tanto, consistente con el principio de Pauli. Para el octete, ocurre que las funciones de onda de espín y de sabor se combinan para dar una función totalmente simétrica frente al intercambio simultaneo de variables de espín y de sabor. Como la función de onda orbital es simétrica y la de color es antisimétrica, la función de onda total es antisimétrica. Los antiquarks tienen tres estados de color, que pueden denominarse, arbitrariamente, antirrojo, antiverde, antiazul, caracterizados por estados ¯r, ¯v,¯a, que son las combinaciones antisimétricas de los colores originales. Así, ¯r=1/2(va −av),¯v=1/2(ar −ra),¯a= 1/2(rv −vr),. En el caso de los mesones, la función de onda de color viene dada por |Ψc(M)=1/3(|r¯r+|v¯v+|a¯a)(6.2) 6.1.3. Masas de los quarks Los quarks no se han encontrado nunca aislados, y hay razones teóricas profundas para que esto sea así. Es lo que se denomina el confinamiento2. Por ello, no puede medirse directamente la masa de los quarks. Puede hacerse una primera estimación de la masa de los quarks considerando que la masa de un hadrón se obtiene como la suma de las masas de los quarks que los constituyen. Las masas así obtenidas incluirían el efecto de la interacción y de la energía cinética de los quarks dentro del hadrón. Se denominan masas constituyentes, y dependen no sólo del quark, sino del hadrón en que el quark se encuentre inmerso. Según esta estimación, la masa de los quarks uyd, para los bariones sería m(u, d)≃0.3GeV , y para el quark ssería m(s)≃0.5GeV. No obstante, para los mesones pseudoescalares la masa de los quarks uydsería m(u, d)≃0.07 GeV y para el quark sm(s)≃0.4GeV. Las masas corrientes pueden obtenerse sustrayendo el efecto de la energía cinética y de la interacción entre quarks en las masas de los hadrones. Este procedimiento da un valor para la masa que es dependiente del modelo, y es tanto más impreciso cuanto menor sea la masa del quark. Así, se obtiene: 2Como hemos visto, los quarks tienen una propiedad que llamamos color. Es realmente el color lo que está confinado, y por ello, los quarks, y otras partículas con color, como son los gluones, aparecen confinados en la naturaleza. 82 6.1.3.Masasdelosquarks Modelo de Quarks Quarks (2010) Carga Masa(GeV) u 2/3 0.0015-0.0033 d -1/3 0.0035-0.006 s -1/3 0.090-0.130 c 2/3 1.16-1.34 b -1/3 4.13-4.37 t 2/3 171.3±1.1±1.2 6.1.4. Momento magnético Como vimos en el caso de los leptones, el momento magnético es un criterio adecuado para considerar si una partícula es elemental. Si los quarks son realmente elementales y tienen s=1/2, su momento magnético viene determinado por la ecuación de Dirac µ(q)=q,+|µz|q,+=Z(q)e/2m(q)c. Usaremos la notación |q,+para caracterizar que tenemos un quark de tipo qcon un estado de espín dado por s=1/2,m=1/2. Podemos estimar que la masa de los quarks uyd, dentro de un barión vienen dadas por mu=md≃mp/3. La masa del quark s es superior, y puede estimarse como ms≃5/9mp. En unidades del magnetón nuclear µN=e/2mpc, tenemos que µ(u)=2µN,µ(d)=−µNyµ(s)=−3/5µN. A partir de estos valores, pueden calcularse los momentos magnéticos de algunos hadrones. Quarks Carga Masa Constituyente Mom. Magnetico µ u 2/3 1/3 mp2µN d -1/3 1/3 mp-1 µN s -1/3 5/9 mp-3/5 µN Para calcular el momento magnético de un sistema de partículas (quarks en nuestro caso), hay que considerar la contribución del momento angular orbital y del momento angular intrínseco de cada partícula. Para los bariones del octete con J=1/2+, y para los del decuplete con J=3/2+, y para los mesones pseudoescalares y vectoriales, el momento angular orbital es cero, por lo que S=Jy sólo hay que considerar el momento angular intrínseco de los quarks. Por tanto, el momento magnético del sistema A(barión o mesón), viene dado por: µ(A)=A;J, M =J|µz|A;J, M =J=A;S, M =S| i µz(i)|A;S, M =S,(6.3) 83 6.1.4.Momentomagnético Modelo de Quarks Figura 6.6: Descripción de la interacción fuerte en términos de quarks. Interacción de color. Los quarks interaccionan entre ellos como resultado de su carga de color. De la misma forma que la interacción electromagnética está asociada a la carga eléctrica, la interacción entre quarks está asociada a su color. En la interacción electromagnética, cargas del mismo signo se repelen mientras que las cargas de distinto signo se atraen. En la interacción de color, las combinaciones de quarks simétricas frente al intercambio de colores se repelen, mientras que las combinaciones antisimétricas se atraen. Ello hace que los hadrones sean siempre combinaciones antisimétricas de colores. Sistema Estado de color Interaccion q−q(|rv−|vr)/√2Atractiva q−q(|rv+|vr)/√2Repulsiva q−¯q(|r¯r+|v¯v+|a¯a)/√3Atractiva q−¯q|r¯vRepulsiva q−q−q A123|rvaAtractiva q−q−q(|rva+|rav)/√2Repulsiva 90 Modelo de Quarks Figura 6.7: Descripción de un neutrón en términos de quarks y gluones. Se representan los colores posibles de los quarks, no así los de los gluones, que también serían coloreados. Gluones La interacción de color se debe al intercambio de ocho partículas, denominadas gluones. Los gluones pueden ser absorbidos o emitidos por cualquier partícula que tenga la propiedad del color. Ello incluye los quarks, los antiquarks y los propios gluones. Cuando un quark absorbe o emite un gluon, puede modificar su color. En la figura 6.7 se hace una presentación esquemática que indica cómo, en un protón, los quarks modifican sus colores mediante elintercambio de gluones, aunque en todo momento, el estado de color de los quarks y los gluones que constituyen el protón corresponde al estado singlete de color. No obstante, los gluones no modifican el sabor de los quarks. Los gluones tienen carga de color, por lo que interactúan entre sí, y producen que la interacción aumente con la distancia entre quarks. Esto provoca el confinamiento de los quarks, que deben aparecer siempre como bariones o como mesones. Hay 8 gluones, que corresponden a los posibles estados color-anticolor, excluyendo la combinación “singlete” o “incolora” (|r¯r+|v¯v+|a¯a)/√3, que describe el estado de color de los mesones. Así, los ocho gluones tienen los siguientes estados de color: |r¯v,|r¯a,|v¯a,|v¯r,|a¯r,|a¯r,|r¯r−|v¯v √2,|r¯r+|v¯v−2|a¯a √6(6.10) 91 Modelo de Quarks Así, cuando un quark en el estado |q;rabsorbe un gluon en el estado |g;v¯r, se produce un quark en el estado |q;v. Los gluones, además de cambiar el estado de color de los quarks, pueden generar parejas quark-antiquark. Por ejemplo, un gluón en el estado |g;v¯r, puede dar lugar a un quark |q;vy a un antiquark |¯q;¯r. No obstante, el estado de color del sistema quarks-gluones siempre se conserva. 6.3.2. Interacción electromagnética. La interacción electromagnética entre quarks es básicamente igual a la interacción electromagnética entre hadrones, en la que simplemente hay que considerar el valor fraccionario de la carga de los quarks. En la figura 6.8 se muestra cómo la interacción electromagnética de un protón con un electrón puede describirse como una suma de las interacciones electromagnéticas de cada uno de los quarks con el electrón. Cada quark o antiquark puede acoplarse al campo electromagnético, con una intensidad de acoplamiento que depende de la carga del quark. Así, la corriente electromagnética hadrónica puede expresarse como una suma de las contribuciones de la corrientes de los diferentes quarks j=(u, d, s, c, b, t), que llevan asociadas sus cargas correspondientes q(j). jhad µ= j q(j)¯ ψj(x)γµψj(x)(6.11) La contribución al diagrama de Feynman de cualquier proceso electromagnético en el que intervinieran hadrones puede evaluarse sumando las amplitudes en las que el fotón es absorbido o emitido por cada uno de los quarks que forman el hadrón. Para ello, habría que conocer la descripción de los hadrones en términos de quarks. El modelo de quarks permite, en principio, calcular el decaimiento de π0→2γcomo un proceso de aniquilación quark-antiquark, o el decaimiento de Σ0→Λ+γcomo una transición en la que los espines de los quarks uydpasan de estar acoplados a S=1en la Σ0a estar acoplados a S=0 en la Λ. 6.3.3. Interacción débil. Ángulo de Cabibbo. Matriz CKM. Los procesos de interacción débil pueden describirse en el modelo de quarks mediante diagramas de Feynmann en los que los quarks cambian su sabor, absorbiendo o emitiendo los bosones W±. El diagrama relevante se representa en la figura 6.9. Existen procesos débiles en los que no cambia la extrañeza de los hadrones, y procesos débiles con cambio de extrañeza. 92 6.3.2.Interacciónelectromagnética 6.3.3.Interaccióndébil.ÁngulodeCabibbo.MatrizCKM Modelo de Quarks Figura 6.8: Interacción electromagnética entre un protón y un electrón, descrita en términos de las interacciones de los quarks. Solamente se represneta la contribución de uno de los quarks. Figura 6.9: Interacción débil descrita en términos de hadrones y leptones, y en términos de quarks y leptones. Sólo se considera el efecto de uno de los quarks. 93 Modelo de Quarks Los procesos débiles sin cambio de extrañeza pueden describirse mediante una corriente que aniquila un quark d y crea un quark u: j+had µ(∆S= 0) = cos(θc)¯ ψu(x)γµ 1−γ5 2ψd(x)(6.12) Los procesos débiles con cambio de extrañeza pueden describirse mediante una corriente que aniquila un quark s y crea un quark u: j+had µ(∆S= 1) = sin(θc)¯ ψu(x)γµ 1−γ5 2ψs(x)(6.13) Estas expresiones son idénticas a las de las corrientes débiles de los leptones, salvo por los factores cos(θc), cuando no cambia la extrañeza y sin(θc)cuando sí cambia. θces el ángulo de Cabibbo. Es útil describir los procesos débiles como procesos en los que puede cambiar el sabor de los quarks. Como describimos previamente, un quark ligero puede tener tres estados de sabor, que describimos como |u,|d,|s. La interacción débil conecta el estado |u, de carga 2/3, con una combinación de los estados |d,|s, de carga -1/3, dada por cos(θc)|d+ sin(θc)|s. Glashow, Iliopoulos y Maiani dedujeron que debería existir otro estado, |c, de carga 2/3que se conectara con la combinación ortogonal −sin(θc)|d+ cos(θc)|s. Esto llevó a la predicción del quark c. Los procesos de interacción débil conectan los quarks ligeros con los quarks pesados c,byt. Para describir este acoplamiento, se definen unos estados |d,|s,|b, de carga -1/3, que estarían acoplados exclusivamente con los estados de sabor |u,|c,|t, de carga 2/3 . Estos estados son una combinación de los estados de sabor |d,|s,|b, dadas por una matriz 3×3, llamada matriz CKM (Cabibbo-Kobayashi-Maskawa), |d=Vud|d+Vus|s+Vub|b |s=Vcd|d+Vcs|s+Vcb|b(6.14) |b=Vtd|d+Vts|s+Vtb|b Los términos diagonales de la matriz CKM son dominantes. Ello implica que la interacción débil conecta principalmente al quark u con el d, al quark c con el s y al quark t con el b. No obstante, existen términos no diagonales, que son responsables de que los quarks vayan decayendo para acabar en quarks uyd, que son los componentes de la materia ordinaria. La matriz CKM es unitaria, y puede expresarse en términos de cuatro parámetros. Uno de estos parámetros es el ángulo de Cabibbo, que vale sin θC=0.2252(9) = Vus 94 Modelo de Quarks La interacción débil queda totalmente determinada por el valor de la constante de acoplo de la interacción débil gw, la masa de los bosones W±, y los cuatro parámetros que determinan la matriz CKM. 6.4. Evidencias experimentales de los quarks Los quarks no se han detectado nunca aislados, y ello está relacionado con el hecho de que el color, bien sea de quarks o de gluones, debe aparecer siempre en el estado llamado singlete. Es el llamado “confinamiento”. En el caso de bariones, compuestos de tres quarks, el estado singlete se obtiene mediante una combinación totalmente antisimétrica. En el caso de los mesones, compuestos de un quark y un antiquark, el estado se obtiene con la combinación de colores descrita anteriormente. No obstante, existen evidencias experimentales indirectas, basadas en colisiones de leptones a alta energía, que avalan la existencia de los quarks. 6.4.1. Experimentos de análisis Son experimentos en los que se dispersa una partícula muy energética con energía E, típicamente un electrón, por un protón o un neutrón. Se observa el electrón saliente con energía E<E, y a partir de éste se infiere la energía y el momento que se ha transferido al nucleón. Este proceso se analiza considerando que el nucleón está compuesto por una serie de fragmentos (partones) que interactúan individualmente con el electrón. El objetivo del análisis es obtener las propiedades de estos partones, y su distribución de momentos dentro del nucleón. Los experimentos de dispersión de electrones indican que los partones que constituyen los protones y neutrones son partículas elementales, sin estructura interna, y tienen espín 1/2. Los experimentos de dispersión de electrones no son capaces de determinar si el partón corresponde a un quark o a un antiquark, ya que las secciones eficaces dependen del cuadrado de la carga eléctrica. No obstante, la dispersión de neutrinos para dar leptones sí permite esa diferenciación, ya que, por ejemplo, puede ocurrir νµd→µ−upero no νµ¯ d→µ−¯u. Del análisis de estos experimentos se encuentra que para valores del momento pequeños, existen en los nucleones una fracción importante de antiquarks, pero para valores del momento grandes predominan los quarks. Puede evaluarse una regla de suma, que corresponde a la integral para todos los valores del momento, que indica que el número de quarks menos el número de antiquarks es consistente con 3 95 6.4.Evidenciasexperimentalesdelosquarks 6.4.1.Experimentosdeanálisis Modelo de Quarks Por otro lado, si se integra el valor del momento de todos los partones, no se obtiene el momento total del nucleón. Ello lleva a considerar que existen componentes en el nucleón que no interaccionan con los electrones o los neutrinos, pero que contribuyen al momento total. Estos son precisamente los gluones que son las partículas intermediarias de la interacción fuerte, pero que no tienen carga eléctrica ni débil. La conclusión de los experimentos de análisis es que, dentro del protón y del neutrón, hay partículas elementales que se comportan como los quarks, partículas elementales que se comportan como antiquarks, y debe haber otras partículas, que no interaccionan con electrones y neutrinos, pero que contribuyen al momento total del nucleón. El número de quarks menos el número de antiquarks es 3. Así que hay 3 quarks “de valencia”, un número variable de parejas quark-antiquark, y gluones. 6.4.2. Experimentos de síntesis En la colisión de un electrón y un positrón a alta energía, se producen muchas partículas. No obstante, podemos separar los sucesos en los que se producen leptones, como µ+µ−, y los procesos en los que se producen hadrones. En ambos casos, e+ye−se aniquilan para producir un fotón virtual. Este fotón puede producir µ+µ−, o bien producir q¯q, en cuyo caso se observarán hadrones. El cociente R entre la probabilidad de producir hadrones y la probabilidad de producir µ−µ+es igual a la suma de los cuadrados de las cargas eléctricas de los quarks que pueden producirse (supuesto que se ignoran las correcciones que provienen de la interacción fuerte entre quark y antiquark, y el efecto de la diferencia de masa entre hadrones y muones). R=σ(e−e+→hadrones) σ(e−e+→µ−µ+)≃ j q(j)2(6.15) Así, para energías superiores a 10 GeV, pueden producirse parejas quark-antiquark de los quarks u,d,s,c,b. Además, hay que considerar que existen tres tipos de colores para cada quark, con lo que R=11/3. La figura 6.10 muestra el acuerdo del valor experimental de R con la estimación del modelo de quarks. Los procesos descritos anteriormente se basan en el análisis de las secciones eficaces totales de distintas colisiones. No obstante, las propiedades de los quarks pueden estudiarse en mayor detalle ya que, en los procesos de colisión a altas energías, se producen chorros de partículas que se mueven en la misma dirección. Estos chorros de partículas provienen de un proceso elemental en el que se producen quarks (o gluones) a energías altas. El momento total de las partículas del chorro está relacionado con el momento que tenía 96 6.4.2.Experimentosdesíntesis Modelo de Quarks Figura 6.10: Relación R en función de la energía. Se puede observar cómo, una vez traspasados los umbrales de energía para la formación de las diferentes parejas quark-antiquark, el valor de R es consistente con la suma de las cargas de los quarks al cuadrado. originalmente el quark. Los procesos más importantes son los de dos jets, en los que se considera que se ha producido una pareja q¯q, y los de tres jets, en los que se produce además un gluon. Las correlaciones angulares en estos sucesos de tres jets confirman que el espín del gluon es 1. En la figura 6.11 se muestra un suceso de tres jets. 97 Modelo de Quarks Figura 6.11: Suceso de 3 jets en una colisión ee+, medido en el anillo de almacenamiento PETRA, del laboratorio DESY, Hamburgo en 1979. Se considera una evidencia directa de la producción de una pareja quark-antiquark y un gluon. Problemas 1. Considera un modelo en el que la masa de los bariones p,nyΛse expresa como suma de las masas de los quarks constituyentes. a) Obtener las masas constituyentes de los quarks u,dys. b) Obtener las masas del resto de los bariones del octete como suma de las masas de los quarks que los componen. Σ+,Σ0,Σ−,Ξ−,Ξ0. Comparar con los valores experimentales. 2. Considera un modelo en el que la masa de los mesones K+,K0yπ+se expresa como suma de las masas de los quarks y antiquarks constituyentes. a) Obtener las masas constituyentes de los quarks u,dys. b) Obtener la masa del resto de los mesones pseudoescalares K−,¯ K0,π−,π0,η, η, considerando que la masa de los anti-quarks deben ser las mismas que las de los quarks. Comparar con los valores experimentales. 98 Problemas Modelo de Quarks 3. Teniendo en cuenta que un protón tiene un radio cuadrático medio de 0.8 fm, estimar el valor del cuadrado del momento lineal de los quarks dentro de los bariones. Considerando que los valores obtenidos en 1a) para las masas de los quarks corresponden a la energía total de los quarks, obtener qué energía tendrían si estuvieran en reposo. Obtener la energía cinética de los quarks en los bariones. Discutir la validez de la aproximación no relativista en un modelo de quarks. 4. Obtener el valor del momento magnético de la partícula Λ. Nota: Los quarks uy den la Λse acoplan a isospín cero, por lo que su función de onda de sabor es antisimétrica. Por tanto, los quarks uydse acoplan a espín 0. 5. Explicar, utilizando el modelo de quarks, cuál es el momento angular orbital y el espín al que se acoplan los quarks que forman los mesones pseudoescalares J= 0,P =−1y los vectoriales J=1,P =−1. Deducir el valor que tiene la paridad C de los mesones pseodoescalares neutros π0,η,ηy la de los mesones vectoriales neutros ρ0,ω,φ. 6. Explicar, en el modelo de quarks, por qué la interacción débil, en primer orden, solamente produce procesos en los que la extrañeza cambia en una unidad. Explicar por qué cuando ∆S=±1, el isospín cambia en ∆I=±1/2mientra que si ∆S=0, ∆I=±1,0. 7. Describe cómo es la función de onda de sabor de la ∆+en el modelo de quarks. Explica cuál es la diferencia entre esta función de onda y la del protón. 8. Describe cómo se comporta la función de onda orbital, de espín y de sabor del la ∆− frente al intercambio de los quarks. Justifica en este caso la necesidad de introducir el color. 9. Describe el π+el modelo de quarks. ¿Cómo se describe en este modelo que el isospín sea I=1,I 3= +1, momento angular del pión sea J=0y la paridad-P sea negativa? 10. Expresa el diagrama de Feynman que describe el decaimiento del π+→µ++νµ, en el modelo de quarks. Expresa el término de la densidad lagrangiana de interacción que actúa en cada vértice. 11. Para el proceso π−+p→K0+Λ, describe las partículas participantes en términos de quarks. Expresa el diagrama de Feynman que describe la reacción en términos de quarks. 99 El paradigma de la física actual: Modelo Estándar Los fermiones que sienten la interacción forman una representación irreducible del grupo. Eso quiere decir que las transformaciones del grupo pueden cambiar unas partículas en otras, pero no hay ningun estado (combinación de partículas) que permanezca invariante frente a las transformaciones del grupo. La interacción se produce por el intercambio de partículas, llamadas bosones gauge, de los que hay uno por cada generador del grupo. Los generadores del grupo son los operadores que describen las transformaciones del grupo próximas a la identidad. Los bosones gauge tienen siempre espín uno, y masa cero, aunque pueden adquirir masa por el mecanismo de Higgs de ruptura espontánea de la simetría. La intensidad de la interacción viene determinada por una o varias constantes de acoplo, que constituyen los únicos parámetros libres de la teoría. El acoplamiento de los bosones gauge con los fermiones que sienten la interacción viene determinado a través del acoplamiento del campo asociado a los bosones gauge con la corriente asociada a los fermiones. La corriente asociada a los fermiones, para cada campo gauge, viene determinada por la matriz que caracteriza al generador en la representación del grupo. Los términos de interacción de los bosones gauge entre sí aparecen si el grupo no es abeliano, es decir, si los generadores del grupo no conmutan. 106 El paradigma de la física actual: Modelo Estándar Teoria Gauge QED QCD EW Grupo U(1) SU(3) SU(2)×U(1) Transformación feiqφf(r, v, a)(e, ν)[2 ×2](e, ν) [3 ×3](r, v, a) (u, d)[2 ×2](u, d) Generador Q λa(8) I,σ1,σ 2,σ 3 Campos Gauge AµAµ a(8) Cµ,Wµ 1,Wµ 2,Wµ 3 Constantes de acoplo e gsg,g Campos (tras Higgs) Aµ,Wµ,(Wµ)∗,Zµ Constantes (tras Higgs) e, gw,g z Bosones gauge γ(fotón) gluones (8) γ,W+,W−,Z0 Corrientes jµja µjµ,j+ µ,j− µ,j0 µ Interacciones ejµAµgsaja µAµ aejµAµ+ gw √2(j+ µWµ+j− µ(Wµ)∗) +gzj0 µZµ 7.3. Interacciones 7.3.1. Cromodinámica Cuántica La interacción de color está descrita por la cromodinámica cuántica (QCD). La QCD es una teoría gauge local que proviene de exigir que el lagrangiano sea invariante frente a transformaciones gauge locales del grupo SU(3). Estas transformaciones cambiarían el campo correspondiente a un quark de cada color determinado en combinaciones de campos de los tres colores. 107 7.3. Interacciones 7.3.1. Cromodinámica Cuántica El paradigma de la física actual: Modelo Estándar   r v a   αβγ δρ µνψ    r v a (7.13) La matriz de la transformación es una matriz 3·3, que debe ser unitaria y con determinante 1. Estas son las características del grupo SU(3). Las matrices del grupo SU(3) pueden expresarse en función de ocho generadores, que pueden tomarse como las matrices siguientes, llamadas matrices de Gell-Mann:   010 100 000  ,  001 000 100  ,  000 001 010  ,  00i 0 00 −i00  ,  000 00i 0−i0 ,   0i0 −i00 0 00  ,  100 0−10 000  , 1/30 0 01/30 00−4/3 (7.14) El lagrangiano de interacción entre los quarks y los gluones viene dado por: Lc=gs a ja µ(x)Aµ a(x)(7.15) donde gses una constante que da la intensidad de la interacción de color; Aµ a(x)es el campo que crea o aniquila gluones de tipo a. Hay ocho tipos de gluones, por lo que a toma valores desde 1 hasta 8. El campo Aµ a(x)es un cuadrivector. Por tanto, los gluones son partículas de espín uno. La corriente ja µ(x)es un operador que cambia el color de los quarks, pero no modifica su sabor. Su expresión es ja µ(x)=1 2 ijk ¯ ψik(x)γµψjk(x)(λa)ij (7.16) donde i, j son los colores de los quarks, por lo que toman los valores r, v, a,ykindica el sabor de los quarks, que puede ser u, d, s, c, b, t. El operador ψjk(x)aniquila un quark de color jy sabor k, o bien crea un antiquark de color ¯ jy sabor ¯ k. El operador ¯ ψik(x)crea un quark de color iy sabor k, o bien aniquila un antiquark de color ¯ iy sabor ¯ k.λason ocho matrices 3×3, llamadas matrices de Gell-Mann, que corresponden a la representación fundamental de los generadores del grupo SU(3). El único parámetro de la cromodinámica cuántica es el valor de la constante gs. Esta “constante”, debido al efecto de la renormalizacion, toma valores efectivos que dependen de 108 El paradigma de la física actual: Modelo Estándar la energía. A energías bajas, del orden del MeV, la constante αs=g2 s 4πse hace comparable con la unidad, con lo que su valor no puede determinarse con precisión por procedimientos perturbativos. A energías del orden de la masa de la partícula τ(1.777 GeV), αs≃0.35, con lo cual gs≃2.1. Sin embargo, a energías del orden de la masa de la Z0(90 GeV), αs=0.1184(8), con lo que gs=1.22. El hecho de que la constante gsaumente su valor conforme disminuye la energía está relacionado con que la interacción fuerte aumenta conforme aumenta la distancia de las partículas coloreadas. Esto lleva al confinamiento del color. Los gluones interactúan entre sí, debido a que el grupo SU(3) no es abeliano. Esta interacción provoca el confinamiento del color, por el que sistemas coloreados (quarks o gluones) no pueden aparecer libremente en la naturaleza. Solamente bariones y mesones pueden aparecer en la naturaleza, aunque también se ha predicho que podrían existir sistemas formados sólo por gluones (glueballs). La QCD es la responsable de las propiedades de los hadrones, y de las interacciones fuertes entre ellos. No obstante, la no validez del tratamiento perturbativo para la QCD a energías bajas (1 GeV) dificulta la predicción de las propiedades de los hadrones a partir de la QCD. No obstante, los cálculos no perturbativos de QCD en un espacio-tiempo discretizado, llamados QCD en el retículo o "Láttice QCD", avanzan en la descripción de las masas y otras propiedades de los hadrones. 7.3.2. Teoría Electrodébil La teoría electrodébil (EW) unifica la interacción electromagnética y la interacción débil. La EW es una teoría gauge local que proviene de exigir que el lagrangiano sea invariante frente a transformaciones del gauge locales del grupo SU(2)L×U(1)Y. El grupo SU(2) actúa solamente sobre los fermiones que tienen quiralidad negativa, por lo que se representa por SU(2)L. Por ejemplo, cambiaría un electrón con quiralidad negativa por una combinación de electrón con quiralidad negativa y un neutrino con quiralidad negativa. Igualmente, cambiaría un quark ucon quiralidad negativa por una combinación de quarks uydcon quiralidad negativa. Las transformaciones de SU(2)Lno modifican electrones o quarks con quiralidad positiva. El grupo U(1)Yactúa sobre quarks y leptones, induciéndoles una fase exp(iY θ), donde la hipercarga Yes un número cuántico que depende de cada partícula y de su quiralidad. En términos generales, las transformaciones de SU(2)L×U(1)Ypueden describirse por e ν→αβ δ e ν.(7.17) Las matrices del grupo SU(2)L×U(1)Ypueden expresarse en función de cuatro gene109 7.3.2. Teoría Electrodébil El paradigma de la física actual: Modelo Estándar radores, que pueden tomarse como las matrices siguientes, que son la unidad para U(1)Y y las tres matrices de Pauli para SU(2): 10 01 ,01 10 ,0i −i0,10 0−1.(7.18) La interacción electrodébil viene determinada por dos constantes de acoplo gyg. Esto ocurre porque el generador de U(1)Y, conmuta con los generadores de SU(2)L. En la EW aparecen cuatro campos gauge, asociados a los generadores anteriores. Estos campos, Cµ,Wµ 1,Wµ 2,Wµ 3inicialmente, tienen espín 1 y masa cero. Los campos Gauge se acoplan al campo de Higgs, y como efecto de dicho acoplamiento, aparecen, a energías bajas, en las que el campo de Higgs toma un valor de expectación en el vacío no nulo φ(x)=η, términos cuadráticos en los campos Cµ,Wµ 1,Wµ 2,Wµ 3.Sise diagonalizan estos términos cuadráticos, aparecen nuevos campos gauge, combinaciones de los anteriores, cada uno con su término cuadrático, que corresponde a una masa efectiva debidas al acoplamiento con el valor de expectación del campo de Higgs. Estos nuevos campos gauge son: Un campo sin masa, representado por Aµ, que se identifica con el campo electromagnético. Este campo lleva asociada una constante de acoplo gg/g2+g2, que se identifica con la constante e. La partícula asociada con este campo es el fotón. La interacción de este campo con los fermiones viene dada por la densidad lagrangiana Lem =ejµ(x)Aµ(x)(7.19) donde la corriente electromagnética jµ(x)es la suma de una corriente electromagnética leptónica y una hadrónica (asociada a los quarks). Dos campos conjugados Wµ,(Wµ)∗, con una masa dada por m(W)=gη/2, que se asocian a los bosones vectoriales W+yW−. Estos campos llevan asociadas una constante de acoplo g, que se identifica con la de la interacción débil gw. La interacción de estos campos con los fermiones viene dada por la densidad lagrangiana Lw=gw √2Wµ(x)j+ µ(x)+(Wµ(x))∗j− µ(x)(7.20) donde las corrientes débiles cargadas j± µ(x)son la suma de una corriente leptónica (que convierte, por ejemplo, electrón en neutrino) y una corriente hadrónica (que convierte, por ejemplo, quarks u en quarks d). 110 El paradigma de la física actual: Modelo Estándar Un campo Zµ, con una masa dada por m(Z)=g2+g2η/2, al que se asocia una nueva partícula neutra Z0. Este campo lleva asociada una constante de acoplo gz=g2+g2, que se identifica con una nueva interacción débil asociada a corrientes neutras. Esta interacción viene dada dada por la densidad lagrangiana de interacción: Lw0=gzj0 µ(x)Zµ(x)(7.21) donde la corriente débil neutra es una suma de corrientes debidas a los quarks, a los leptones cargados y a los neutrinos. La corriente neutra debida a los neutrinos da la contribución principal del decaimiento de la Z0. A partir de la anchura de esta partícula, puede deducirse el número de neutrinos que existen en la naturaleza, y este resulta que es 3. Este argumento indica que no se esperan nuevas generaciones de quarks y leptones, que contengan partículas ligeras, con masa inferior a la mitad de la Z0. La interacción electrodébil viene determinada por dos constantes g,g. Los valores de estas constates, evaluados para E≃100GeV , son g=0.65185 yg=0.35744. A partir de estas constantes puede obtenerse la constante electromagnética e, la constante de la interacción débil con corrientes cargadas gw, y la constante de la interacción débil con corrientes neutras gz. 7.4. El bosón de Higgs Las Teorías Gauge locales no permiten que los bosones gauge tengan una masa intrínseca. No pueden introducirse términos cuadráticos en el lagrangiano de los campos gauge, ya que esto violaría la simetría gauge local. No obstante, si todo el espacio estuviera ocupado por un campo escalar, que, a diferencia de los campos habituales, no tendiera a anularse a energía baja, las interacciones gauge de este campo con los bosones gauge, generarían términos que, a baja energía, darían una masa efectiva a los campos gauge. El mecanismo de Higgs de ruptura espontánea de la simetría implica que los bosones gauge se acoplan a un campo escalar φ(x), que tiene la propiedad de que su energía es mínima cuando el campo escalar toma un valor diferente de cero φ(x)|min =η. Los términos de acoplamiento del campo de Higgs con el campo escalar aparecen, de forma efectiva a bajas energías, como términos cuadráticos que dan lugar a la masa de los bosones gauge, de forma que dejan ssin masa a uno (el fotón) y dan masa a los otros tres, de forma que m(W±)=gη/2,m(Z0)=g2+g2η/2. El valor del campo escalar ηque 111 7.4. El bosón de Higgs El paradigma de la física actual: Modelo Estándar hace mínima la energía viene completamente determinado por la constante de Fermi, GF, y corresponde a η= 246 GeV. A partir de aquí, pueden obtenerse los valores de las masas de los bosones W±yZ0, que están en muy buen acuerdo con los valores experimentales m(W±)c2= 80.377(12) GeV y m(Z0)c2= 91.1876(21) GeV. No obstante, si este mecanismo es correcto, debe aparecer una nueva partícula de espín cero, llamada bosón de Higgs, descrita por un campo que describe las desviaciones del campo escalar con respecto al valor esperado en el vacío, h(x)=φ(x)−η. Esta partícula, que debe ser neutra y tener espín cero, es necesaria para que tenga sentido el mecanismo de Higgs, que es el que dota de masa a los bosones W±yZ0. El 14 de abril de 2013), se anunció en el CERN el descubrimiento de una nueva partícula neutra, de masa 125,09 GeV, con las propiedades del bosón de Higgs. Se confirmó posteriormente que esta partícula tiene espín cero. Las medidas actuales (2023) indican un valor de la masa de 125,25(17) GeV. En la figura 7.1 se muestra la evidencia del bosón de Higgs en el canal de dos fotones. Se ha comprobado que el bosón de Higgs se acopla con los quarks más pesados (top y bottom), según predice el modelo estandar. También se acopla, de la forma prevista por el modelo estándar, a los bosones W±yZ0, y al leptón τ. Incluso hay evidencias de acoplamientos al quark charm y al muón, consistentes con el modelo estándar. 112 El paradigma de la física actual: Modelo Estándar Figura 7.1: Evidencias del bosón de Higgs en el canal de dos fotones. Los resultados son de la colaboración CMS en 2020, con dos procedimientos para el filtrado de datos. 113 Epílogo Este libro enfatiza el modelo estándar, como una descripción consistente, hermosa y precisa de la naturaleza, que explica un gran número de resultados experimentales obtenidos en los últimos 100 años. No obstante, el modelo estándar no pretende ser la teoría final de la naturaleza. El modelo estándar es, más bien, una base sólida, de la cual puede partirse para profundizar en el conocimiento de la naturaleza. Mostramos aquí algunas preguntas que el lector de este libro puede plantearse, aunque la respuesta exceda de su contenido. Hemos visto que QCD es la teoría básica de la interacción fuerte. ¿Qué fenómenos surgen de la QCD, en el régimen no perturbativo? ¿Por qué protones y neutrones tienen una masa grande, aún estando compuestos de quarks muy ligeros? ¿Existen estados de la materia, compuestos de quarks y gluones, diferentes a los bariones y mesones conocidos? ¿Cómo es la estructura del vacío, cuando se tienen campos de quarks y gluones fuertemente interaccionantes? ¿Se rompen en el vacío simetrías presentes en el lagrangiano de la QCD? El modelo estándar incluye seis tipos de quarks, y seis tipos de leptones. Quarks y leptones sienten todos la interacción electrodébil, que es universal, y tienen diferentes masas. ¿Por qué los quarks y leptones, que aparecen en la naturaleza con masas definidas, no corresponden a los autoestados de la interacción electrodébil? ¿Cuál es el origen de la matriz de Cabibbo-Kobayashi-Maskawa que da esta relación? ¿De dónde salen los cuatro parámetros de esta matriz, cuyos valores no explica el modelo estándar? ¿De dónde salen los valores de las masas de los seis quarks y los tres leptones cargados? ¿Pueden estas masas aparecer como resultado del acoplamiento del campo de Higgs, como es el caso de las masas de los bosones gauge? ¿Puede el modelo estándar explicar la violación de CP que sugiere nuestro universo, dominado por la materia? El modelo estándar, en su formulación canónica, contiene solamente neutrinos con quiralidad negativa, y por tanto, sin masa. No obstante, sabemos que los neutrinos tienen masa, aunque muy pequeña. ¿Por qué los neutrinos tienen masa? ¿Por qué esa masa es tan pequeña? ¿Por qué los neutrinos libres son diferentes a los que se acoplan a los leptones cargados e, µ, τ? ¿Son los neutrinos partículas de Dirac, o partículas de Majorana, que no 114 Epílogo Epílogo conservan el número leptónico? ¿Pueden existir neutrinos de quiralidad positiva? La estructura del modelo estándar, SU(3) ×SU(2) ×U(1), no predice una relación entre las cargas eléctricas de quarks y leptones. ¿Por qué las cargas de los leptones son multiplos de las cargas de los quarks, permitiendo que los átomos sean estrictamente neutros? ¿Pueden unificarse las interacciones fuerte y electrodébil, de la misma forma que se unificaron la débil y la electromagnética? ¿Podría estar descrita la naturaleza por una simetría gauge más amplia, de la que SU(3) ×SU(2) ×U(1) fuera un subgrupo? ¿Podrían ser los bosones gauge que conocemos un subconjunto de un sistema de bosones, generadores del grupo más amplio? ¿Podrían los quarks convertirse en leptones, y viceversa? ¿Podría no conservarse, por separado, el número bariónico y el leptónico? ¿Podría el protón ser inestable? La evidencia cosmológica indica que existe materia oscura, que no siente la interacción fuerte o electromagnética. ¿Podría haber otras partículas estables, diferentes a las predichas por el modelo estándar? ¿Cómo se extendería el modelo estándar para acomodar estas partículas? Finalmente, queda el sueño de encontrar una descripción unificada para todas las interacciones, incluida la gravitatoria. ¿Puede unificarse la interacción gravitatoria, con las demás (fuerte y electrodébil)? No es este epílogo el lugar para responder estas preguntas, pero sí puede ser un lugar idóneo para de dejarlas planteadas. Esto delimita para el lector el perímetro de conocimiento que este libro aporta, así como el intrigante y fascinante panorama que queda más allá. 115