Modelado paramétrico de edificios en el aula de matemáticas

Modelado paramétrico de edificios en el aula de matemáticas edmetic, 1 (2), 2012, E-ISSN: 2254-0059; pp. 7-30  edmetic, Revista de Educación Mediática y TIC Modelado paramétrico de edificios en el aula de matemáticas Parametric modelling of buildings in the mathematics classroom Fecha de recepción: 01/01/2012 Fecha de revisión: 07/01/2012 Fecha de aceptación: 10/01/2012 Falcón Ganfornina, Raúl Manuel edmetic, 1 (2), 2012, E-ISSN: 2254-0059; pp. 7-30  edmetic, Revista de Educación Mediática y TIC 8 Modelado paramétrico de edificios en el aula de matemáticas Parametric modelling of buildings in the mathematics classroom Raúl Manuel Falcón Ganfornina1 Resumen: El estudio analítico de curvas y superficies adquiere una importancia significativa en estudios universitarios asociados a Arquitectura y Edificación, si bien suele desarrollarse en el aula de Matemáticas únicamente a nivel teórico. No obstante, cualquier herramienta informática de diseño gráfico que utilice el alumnado a lo largo de su vida académica y profesional a la hora de modelar proyectos arquitectónicos se basa internamente en una computación matemática de todos y cada uno de los elementos que intervienen en el mismo, si bien el usuario no llega a vislumbrar el vínculo existente entre su proyecto y la base matemática en la que se fundamenta. El uso de herramientas informáticas que permitan modelar curvas y superficies a partir de sus ecuaciones paramétricas se convierte por tanto en un nexo de unión, que se potencia aún más en cuanto se procede a modelar construcciones arquitectónicas reales. En este sentido, el presente artículo muestra cómo, haciendo uso de su conocimiento matemático y de la información disponible en internet, el alumnado de la asignatura de Matemática Aplicada a la Edificación en el Grado de Ingeniería de Edificación de la Universidad de Sevilla ha realizado como experiencia docente el modelado matemático de un conjunto de edificios de estructura no trivial. La mejora del rendimiento académico es también analizada. Palabras claves: uso didáctico del ordenador; geometría; arquitectura; modelado. Abstract: The analytical study of curves and surfaces is of significant importance in both Architecture and Building Engineering Degrees, although it is usually taught in the Mathematics classroom only from a theoretical point of view. Nevertheless, although students do not discern the existing link between both fields, any Computer Aided Design system which they use in their academic and professional life to model architectonical projects is implicitly based on a mathematical computation of each and every element which takes part in it. The use of software which can model curves and surfaces starting from their parametric equations is therefore an important nexus which can be bette Modelado paramétrico de edificios en el aula de matemáticas edmetic, 1 (2), 2012, E-ISSN: 2254-0059; pp. 7-30  edmetic, Revista de Educación Mediática y TIC r exploited when real architectonical constructions are considered. In this regard, the current paper shows how, by using their mathematical knowledge and the information available on the internet, the students of Applied Mathematics for Building Construction in the Building Engineering Degree of the University of Seville have developed, within a teaching experience, the mathematical modelling of a set of buildings with a non-trivial structure. The improvement of the academic performance is also analyzed. Keywords: didactic use of computer; geometry; architecture; modelling. ____________________________________________ 1 Universidad de Sevilla. [email protected] Falcón Ganfornina, Raúl Manuel edmetic, 1 (2), 2012, E-ISSN: 2254-0059; pp. 7-30  edmetic, Revista de Educación Mediática y TIC 8 1. Introducción Dentro de las posibles categorías en las que se engloban las distintas aplicaciones TIC que pueden llegar a utilizarse en el aula de Matemáticas se encuentran las herramientas informáticas de diseño y construcción (Rubin, 2000). En esta línea se encuentran los sistemas informáticos de Geometría Dinámica como Cabri, Cinderella o GeoGebra, cuyo uso se está potenciando en los últimos años en todos los niveles educativos. Con ellos se pueden representar de forma dinámica e interactiva objetos geométricos basados en construcciones de regla y compás, pudiéndose modificar sus parámetros en cualquier momento, con la inmediata reconstrucción de todos y cada uno de los elementos asociados a los mismos en la pantalla de trabajo en cuestión. Actualmente, el verdadero potencial de este tipo de herramientas se alcanza al trabajar con geometría en el plano, quedando la geometría espacial relegada hasta un mejor desarrollo de las versiones tridimensionales de dichos sistemas informáticos, que aún están a gran distancia de las herramientas de diseño asistido por ordenador como AutoCAD, ArchiCAD o Rhinoceros (denominadas CAD, siglas derivadas del inglés Computer Aided Design), utilizadas sobre todo por el sector de la Ingeniería y la Arquitectura y por el del Diseño Gráfico. Uno de los aspectos que más interesa a los estudiantes universitarios de Arquitectura y Edificación es el diseño y modelado de edificios y estructuras arquitectónicas (Banerjee y De Graaf, 1996). El uso de herramientas informáticas de diseño asistido por ordenador les posibilita reconstruir informáticamente hasta el más mínimo detalle de cualquier tipo de vivienda a partir de una interfaz intuitiva que le permite elegir entre una cierta variedad de formas geométricas con las que proceder a diseñar el modelo arquitectónico en cuestión. El interés puede verse acrecentado si se tiene en cuenta que existen actualmente en la red proyectos cooperativos a nivel internacional tales como Google Earth que están promoviendo el uso de CADs Modelado paramétrico de edificios en el aula de matemáticas edmetic, 1 (2), 2012, E-ISSN: 2254-0059; pp. 7-30  edmetic, Revista de Educación Mediática y TIC por parte de todo tipo de usuarios, no sólo estudiantes o profesionales del sector de la construcción o del diseño gráfico. En particular, gracias a la puesta en común de los modelos diseñados por personas de todo el mundo se está logrando reconstruir virtualmente pueblos y ciudades de nuestro entorno. Cabe indicar que la programación interna de este tipo de herramientas informáticas está basada en una importante computación matemática. Sin embargo, ésta no es mostrada de forma explícita al usuario, quien a la hora de modelar una determinada forma geométrica no tiene más que realizar una serie de operaciones intuitivas con el ratón e introducir a lo más unos ciertos parámetros con ayuda del teclado. Desde el punto de vista de la enseñanza de las Matemáticas en Arquitectura y Edificación es interesante no obstante hacer ver al alumnado el fuerte vínculo que tiene esta disciplina con los programas de diseño gráfico (Falcón, 2011). Basta ver en la red por ejemplo cualquier galería de imágenes elaboradas por el software libre Surfer (Instituto Matemático de Oberwolfach, 2008), el cual representa tridimensionalmente con alta resolución cualquier superficie asociada a una determinada ecuación implícita en tres variables (x, y, z), siendo de hecho precisamente dicha calidad de imagen una de las características que lo distingue de otros programas matemáticos (Figura. 1). Figuraura 1: Superficies diseñadas con Surfer y Maple basadas en x + y2 z - x z = 2 Fuente: Elaboración propia Falcón Ganfornina, Raúl Manuel edmetic, 1 (2), 2012, E-ISSN: 2254-0059; pp. 7-30  edmetic, Revista de Educación Mediática y TIC 10 El uso didáctico de Surfer se está potenciando de hecho en la exposición itinerante Imaginary, creada originalmente con motivo del Año de las Matemáticas en Alemania (2008) y actualmente en gira por distintas ciudades españolas con motivo del centenario de la Real Sociedad Matemática Española. Desde el punto de vista arquitectónico, la galería interna con la que cuenta, englobando todas las superficies elementales junto a sus respectivas ecuaciones implícitas, permite al alumnado iniciarse en el modelado matemático de cúpulas y bóvedas (Figura. 2). Figuraura 2: Cúpula semiesférica [x2 + y2 + z2 = 1; z > 0] y bóvedas de arista [(x2 + z2 - 1) · (y2 + z2 -1) = 0] y de paraboloides hiperbólicos [(x2 - y2 – z) · (y2 – x2 – z) = 0]. Fuente: Elaboración propia. No obstante, la incorporación de un mayor número de elementos estructurales requiere usar ecuaciones parámetricas con las que no trabaja Surfer, pero sí otros programas matemáticos como Maple, Mathematica o Maxima. Con ellos pueden controlarse todas las medidas que sean necesarias en el modelo, al mismo tiempo que puede ajustarse de manera exacta la unión de las distintas superficies que intervienen en el mismo (figuraura. 3). Modelado paramétrico de edificios en el aula de matemáticas edmetic, 1 (2), 2012, E-ISSN: 2254-0059; pp. 7-30  edmetic, Revista de Educación Mediática y TIC Figuraura 3: Detalle de la bóveda superior del Auditorio de Santa Cruz de Tenerife, como intersección de dos conos dentro de una sección poliédrica. Fuente: Elaboración propia. Hay que tener en cuenta que la belleza de toda construcción arquitectónica se basa fundamentalmente en la armonía de su forma geométrica, que debe ser acorde al mismo tiempo con la funcionalidad de la estructura en sí. En este sentido, la arquitectura tradicional presenta siempre diseños que obedecen reglas matemáticas que simulan proporciones naturales, en una búsqueda de unas normas de equilibrio y simetría asociados a ciertos principios estéticos (Alsina, 2005; Salingaros, 1999; von Mies, 1991). Sin embargo, a la hora de modelar construcciones arquitectónicas desde el punto de vista matemático conviene dirigir la atención a la arquitectura moderna, la cual se caracteriza por incorporar complejos sistemas estructurales para cuyo diseño se requiere de hecho del uso de herramientas CADs (Freiberger, 2007). Además, al tradicional carácter artístico se ha añadido en los últimos años la necesidad de realizar construcciones sostenibles que permitan optimizar los recursos de edificación, minimizar el impacto ambiental y aprovechar las condiciones naturales del entorno de emplazamiento. La complejidad de cumplir con todos estos requisitos es tal que cualquier estructura arquitectónica que satisfaga los mismos adquiere una importante presencia en los medios de información, promovida además por el Falcón Ganfornina, Raúl Manuel edmetic, 1 (2), 2012, E-ISSN: 2254-0059; pp. 7-30  edmetic, Revista de Educación Mediática y TIC 12 hecho de que este tipo de construcciones están vinculadas a arquitectos de reconocido prestigio. Así, por ejemplo, es destacable la presencia en la red de fotografías e información de edificios sostenibles ya construidos o en proyecto, como pueden ser el Centro de ocio Khan Shatir en Astana, la cúpula del Reichstag en Berlín, el Ayuntamiento y el Edificio Guerkin en Londres o la Isla de Cristal en Moscú, todos ellos diseñados por Foster. Otras construcciones a destacar son la Aguja de Chicago y el Museo del Mañana en Río de Janerio (ambos de Calatrava), la Torre Mayor en Ciudad de México (de Reichmann), las oficinas administrativas de Expodach en Hannover (de Herzog) o la Torre Shanghai (de Gensler). Desde un punto de vista geométrico, merecen citarse también aquellas construcciones arquitectónicas que destacan por la aplicación artística y funcional de superficies no usadas tradicionalmente. Así tenemos por ejemplo construcciones en forma de hiperboloides de una hoja como la Torre de Shújov en Moscú, la Sagrada Familia de Gaudí en Barcelona, la Catedral de Niemeyer en Brasilia o el depósito de agua de Torroja en Fedala. Estructuras en forma de paraboloides hiperbólicos son el Restaurante Los Manantiales de Candela en Ciudad de México, las cubiertas de la Villa Olímpica de Behmisch y Otto en Munich, el Palacio de Justicia de Rogers en Amberes o el Oceanogràphic de Candela en Valencia. Cualquier construcción arquitectónica similar a las citadas merece pues ser tratada desde un punto de vista matemático en el aula. El presente artículo muestra la experiencia docente que lleva desarrollándose en este sentido desde el Curso Académico 2009-2010, dentro de la asignatura Matemática Aplicada a la Edificación II del Grado de Ingeniería de la Edificación de la Universidad de Sevilla. La actividad consiste en modelar matemáticamente una serie de edificios haciendo uso exclusivo de ecuaciones paramétricas que posteriormente son introducidas en el software Maple V Release 5.1 para realizar el diseño de los mismos. Si bien cada estudiante desarrolla su propio modelo, el trabajo se realiza de forma cooperativa, siendo supervisado en Modelado paramétrico de edificios en el aula de matemáticas edmetic, 1 (2), 2012, E-ISSN: 2254-0059; pp. 7-30  edmetic, Revista de Educación Mediática y TIC cada momento por el profesorado y permitiéndose la puesta en común y el trabajo colectivo para el modelado de superficies comunes a los distintos edificios. Si bien al comienzo de la experiencia, el propio alumnado suele ser reacio a embarcarse en el proyecto, dada la dificultad del mismo, hay que decir que el resultado final es de gran calidad, lográndose una motivación creciente de los estudiantes a medida que los modelos van tomando forma. Además, el hecho de trabajar de forma continuada con las ecuaciones paramétricas de curvas y superficies conlleva a una mejora de los resultados académicos del correspondiente bloque temático, en comparación con cursos académicos anteriores y con grupos que no realizan dicha actividad. 2. Materiales y método La asignatura de Matemática Aplicada a la Edificación II (6 créditos ECTS) del Grado de Ingeniería de Edificación en la Universidad de Sevilla se imparte durante el segundo cuatrimestre del primer curso de la titulación y en ella se trabajan los bloques temáticos de cálculo de derivadas e integrales, dedicando una primera parte (1,2 créditos ECTS) al estudio de curvas y superficies. En el programa de la asignatura se establece que el 25 por ciento de las clases presenciales se llevan a cabo con subgrupos reducidos (tres desdobles de unos 25 alumnos cada uno) haciendo uso del ordenador. En concreto, en dichas clases prácticas de informática se enseña al alumnado a utilizar el software Maple V Release 5.1 con vistas a su uso y aplicación en cálculo, siguiendo una línea de actuación ya iniciada con anterioridad en la asignatura Fundamentos Matemáticos de la Arquitectura Técnica del anterior plan de estudios (Arriola, Barrena et al., 2010). Cabe indicar además que, desde la implementación del Grado en el Curso Académico 2009-2010, la Universidad de Sevilla ha apostado por una política de enseñanza bilingüe, debido a la cual se oferta la posibilidad de cursar la asignatura en inglés en un Falcón Ganfornina, Raúl Manuel edmetic, 1 (2), 2012, E-ISSN: 2254-0059; pp. 7-30  edmetic, Revista de Educación Mediática y TIC 20 Figuraura 8: Atomium Fuente: Trabajo de clase de María Díaz de la Torre (Curso 2011-2012) 3.4. Palacios, panteones y catedrales Los elementos estructurales que destacan en estas construcciones arquitectónicas son las cúpulas, las cuales no sólo están compuestas por simples semiesferas, sino que o bien comprenden otros elementos como paraboloides y conos (figuras 9 y 10) o bien se debe jugar con los intervalos de definición en coordenadas esféricas para lograr efectos como el ojo del Panteón de Roma (figura 11). En todo caso, no todas las cúpulas siguen el mismo estilo arquitectónico, tal y como puede observarse por ejemplo con la de la Catedral de Brasilia (figura 12). Modelado paramétrico de edificios en el aula de matemáticas edmetic, 1 (2), 2012, E-ISSN: 2254-0059; pp. 7-30  edmetic, Revista de Educación Mediática y TIC Figura9: Taj-Mahal. Fuente: Trabajo de clase de María del Rosario Hernández (Curso 2010-2011). Figura 10: Detalle de la cúpula central del Taj-Mahal Fuente: Trabajo de clase de María del Rosario Hernández (Curso 2010-2011) Falcón Ganfornina, Raúl Manuel edmetic, 1 (2), 2012, E-ISSN: 2254-0059; pp. 7-30  edmetic, Revista de Educación Mediática y TIC 22 Figura 11: Panteón de Roma Fuente: Trabajo de clase de Antonio García Palomo (Curso 2010-2011) Figura 12: Catedral de Brasilia Fuente: Trabajo de clase de Álvaro Rodríguez Martínez (Curso 2011-2012) 3.5. Museos Los museos constituyen una fuente importante de posibles modelados a desarrollar, debido a sus peculiares estructuras, compuestas por lo general de superficies geométricas de muy diversa índole, como el complejo mosaico de Modelado paramétrico de edificios en el aula de matemáticas edmetic, 1 (2), 2012, E-ISSN: 2254-0059; pp. 7-30  edmetic, Revista de Educación Mediática y TIC planos de distinta inclinación del Museo Porsche (figura. 13) o la composición de esferas, cilindros y planos del Museo Guggenheim de Nueva York (figura. 14). Figura 13: Museo Porsche Fuente: Trabajo de clase de Carlos Palacios Gil (Curso 2011-2012) Figura 14: Museo Guggenheim de Nueva York Fuente: Trabajo de clase de Miguel González de Boado Borrero (Curso 2011-2012) 3.6. Otras construcciones arquitectónicas En realidad, tal y como se ha indicado en la Introducción, la gran variedad de edificios factibles de ser modelados desde un punto de vista matemático hace Falcón Ganfornina, Raúl Manuel edmetic, 1 (2), 2012, E-ISSN: 2254-0059; pp. 7-30  edmetic, Revista de Educación Mediática y TIC 24 difícil poder englobarlos todos en pocas categorías. Si bien las citadas son las que más influencia han tenido en nuestra experiencia docente, cabe mencionar el modelado de otras construcciones arquitectónicas como son, por ejemplo, el Coliseo de Roma (figura. 15), la Torre Triana de Sevilla (figura. 16) o L’Hemisfèric de Valencia (figura. 17). Como curiosidad y para mostrar la aceptación e interés que ha ido alcanzando esta actividad entre los estudiantes, finalizamos la presente exposición con el modelado que hizo un alumno de la estación espacial de la película 2001: Una odisea en el espacio (figura. 18). Figura 15: Coliseo Fuente: Trabajo de clase de Antonio García Palomo (Curso 2011-2012) Figura 16: Torre Triana Fuente: Trabajo de clase de Francisco Naranjo Martell (Curso 2010-2011) Modelado paramétrico de edificios en el aula de matemáticas edmetic, 1 (2), 2012, E-ISSN: 2254-0059; pp. 7-30  edmetic, Revista de Educación Mediática y TIC Figura 17: L’Hemisfèric Fuente: Trabajo de clase de Ana Martínez Alvarado (Curso 2010-2011) Figura 18: Estación espacial de 2001: Una odisea en el espacio. Fuente: Trabajo de clase de Antonio García Palomo (Curso 2010-2011). 4. Discusión La actividad docente expuesta en las secciones precedentes logra captar la atención de un alumnado que, si bien está predispuesto en sus estudios de Ingeniería de Edificación a trabajar en el modelado de construcciones arquitectónicas haciendo uso de CADs, desconoce en cambio la conexión existente de los mismos con las Matemáticas. En este sentido, los estudiantes se ven gratamente sorprendidos cuando, partiendo únicamente de las ecuaciones que han ido apareciendo en las clases teóricas, van construyendo ellos mismos las distintas formas geométricas que componen la estructura arquitectónica que han seleccionado previamente. Dicha composición no es automática y requiere modificar con paciencia y de forma exacta los distintos Falcón Ganfornina, Raúl Manuel edmetic, 1 (2), 2012, E-ISSN: 2254-0059; pp. 7-30  edmetic, Revista de Educación Mediática y TIC 26 parámetros asociados a cada superficie en cuestión. Como contrapartida a todo este exhaustivo trabajo, el alumnado comprueba con satisfacción que puede llegar a realizar por sí mismo modelos con un alto grado de realismo, tal y como ha quedado reflejado en la segunda sección del presente artículo. Cabe destacar además una mejora sustancial en el rendimiento académico de aquellos estudiantes que participan en esta experiencia docente. Así, por ejemplo, la figura 19 muestra las tasas de abandono, rendimiento y éxito de los distintos grupos de la asignatura Matemática Aplicada a la Edificación II, durante el Curso Académico 2010-2011, siendo el grupo 11 el grupo experimental en cuestión. En concreto, en comparación con el resto de grupos, puede observarse que tanto la tasa de rendimiento (nº aprobados / nº matriculados) como de éxito (nº aprobados / nº presentados) es superior a la del resto de grupos, llegando esta última a alcanzar el cien por cien de aprobados por presentados. Interesante es además el hecho de que el número de abandonos sea sustancialmente menor que la media, la cual se sitúa a un 53 por ciento. Estos datos certifican que la actividad de modelado matemático contribuye favorablemente tanto al desarrollo de la asignatura como a los resultados académicos de los estudiantes. Este hecho nos anima por tanto a seguir trabajando en esta línea, si bien aún quedan aspectos que pueden ir mejorando en posteriores cursos académicos. Cabe citar por ejemplo una mayor integración de los programas CADs en las clases de Matemáticas, que permitiesen una línea de trabajo común y transversal con otras asignaturas de la titulación. Está pendiente asimismo una integración en la red de los modelos virtuales realizados. Sería interesante, al igual que ocurre por ejemplo con Google Earth, poder subir a la red estos modelos de tal forma que el internauta pueda manipularlos, ya sea visualizándolos en el espacio o modificando los parámetros que determinan los mismos. Para ello será necesario comenzar a trabajar con programas matemáticos que permitan desarrollar por ejemplo applets en Java. Modelado paramétrico de edificios en el aula de matemáticas edmetic, 1 (2), 2012, E-ISSN: 2254-0059; pp. 7-30  edmetic, Revista de Educación Mediática y TIC Figura 15: Resultados académicos durante el Curso Académico 2010-2011 Fuente: Elaboración propia Referencias bibliográficas ALSINA I CATALÀ, C. (2005). Los secretos geométricos en diseño y arquitectura (pp. 339-352). En M. I. Marrero y J. Rocha (coord.). Horizontes matemáticos. La Laguna. Servicio de Publicaciones de la Universidad de la Laguna. ARRIOLA, R., BARRENA, E. et al. (2010). Aprendizaje autónomo en Matemáticas Aplicadas a la Edificación: Simbiosis entre WebCT y Software Matemático. Números, 74, 45-56. BANERJEE, H.K. y DE GRAAF, E. (1996). Problem-based learning in Architecture: Problems of integration of technical disciplines. European Journal of Engineering Education, 21(2), 185-196. FALCÓN, R. M. (2011). Integration of a CAS/DGS as a CAD system in the mathematics curriculum for architecture students.International. 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