El problema de la braquistócrona discreta

Trabajo Fin de Grado: EL PROBLEMA DE LA BRAQUISTÓCRONA DISCRETA Silvia Marrero Hernández Grado en Óptica y Optometría – Curso 2021/2022 Facultad de Farmacia 1 Trabajo Fin de Grado: El problema de la braquistcrona discreta. Autor: Silvia Marrero Hernández Titulacin: Grado en Óptica y Optometra Lugar y fecha de presentacin: Facultad de Farmacia, 6 de julio de 2022. Departamento/rea: Ecuaciones Diferenciales y Anlisis Numrico/Anlisis Matemtico. Tutor: Manuel Luna Laynez. Tipologa: Revisin bibliogrfica. UNIVERSIDAD DE SEVILLA FACULTAD DE FARMACIA 2 3 RESUMEN En 1696 Johann Bernoulli planteó un problema a la comunidad científica: Dados dos puntos a distintas alturas, ¿qué recorrido debe seguir un móvil que se deja caer desde el punto más alto para llegar al más bajo en el menor tiempo posible afectado sólo por la gravedad? La solución, conocida como curva braquistócrona, es la cicloide, y a ella llegaron las mentes más destacadas del momento. Este reto, así como las herramientas desarrolladas para su resolución, dieron lugar a la rama de las Matemáticas conocida como Cálculo de Variaciones. En la presente memoria estudiamos un problema relacionado: el de la braquistócrona discreta. En él también deseamos obtener la trayectoria de descenso más rápido, pero buscando exclusivamente entre las curvas con forma poligonal formada por varias rampas. Una de las motivaciones es que la construcción en el mundo real de un trazado poligonal es más simple que el de otras curvas, y las poligonales que resuelven el problema discreto se va ajustando cada vez más a la cicloide. La primera parte de este trabajo se destinada a la formulación y a la solución del problema de Johann Bernoulli, y a relatar el desafío que creó en la comunidad matemática de finales del siglo XVII. La segunda está dirigida a la versión discreta del problema. Se formula matemáticamente el problema y se estudian sus propiedades. Se trata de resolver directamente y se muestran las dificultades que se presentan cuando el número de rampas es elevado. Se plantea un algoritmo alternativo que cosiste en abordar el problema no como un problema de minimización, sino construyendo la poligonal a partir de sus propiedades. Se recogen los programas informáticos que nos proporcionan las soluciones al problema original así como de su versión discreta, que permiten una comparativa entre ambos. Palabras claves: Braquistócrona, aproximación poligonal, optimización, tiempo de mínimo descenso. 4 5 ÍNDICE INTRODUCCIÓN ……………………………………………………………………………………….…………..………………… 9 OBJETIVOS …………………………………………………………………………………………………………………………... 10 METODOLOGÍA ……………………………………………………………………………………………………………………. 11 RESULTADOS Y DISCUSIÓN ……………………………………….………………………………………………………..… 12 1-El problema de la curva de tiempo ms breve (braquistcrona) …………………..………. 12 1.1-Un planteamiento novedoso …………………………………………………………………. 12 1.2-El desafo de Bernoulli a los matemticos ………………..………………..…………. 13 1.3-Los intentos galineanos ………………………………………….…………………………….. 15 1.4-Personalidades clebres involucradas …………………………………………………… 15 2-La ecuación de la cicloide ………………………………………………………………………….………….. 17 3-La ecuacin de la braquistcrona …………………………………………………………………………. 19 3.1- Resolucin efectiva de la braquistcrona …………………………..………………… 20 3.2-Tiempo empleado en recorrer un tramo de la braquistcrona ………….…. 21 4-El problema de la braquistcrona discreta ………………………………………………….………... 22 4.1-Planteamiento del problema a travs de dos rampas ……………………..……. 23 4.2-El caso de un número de planos inclinados (N RAMPAS) ………..…………….. 25 4.3-Solucin efectiva mediante rampas ………………………………………………………. 26 4.3.1-Solucin efectiva para dos rampas ……………………………………...… 26 4.3.2-Solucin efectiva para cuatro rampas ………………………….………… 27 4.3.3-Limitaciones de MATLAB ante un número x de rampas ……….… 29 4.4-Propiedades de la braquistcrona discreta ……………………………………………. 29 4.5-Algoritmo alternativo para resolver el problema de la braquistócrona discreta.....................................................................................31 4.5.1 solución efectiva con el nuevo algoritmo ……………………………..… 33 CONCLUSIONES ……………………………………………………………………………………………………..…………….. 35 BIBLIOGRAFÍA ………………………………………………………………………………………………………………………. 36 6 7 ÍNDICE FIGURAS Figura 1. Representacin socorrista ante ahogado ………………………….…………………………………….13 Figura 2. Curva de descenso en menor tiempo ……………………………………………..……….……………..13 Figura 3. Representacin del problema de Bernouilli ……………………………………….……………..…… 14 Figura 4. Curva de brevissimo tempore Galileana ………………………………………………………..……….. 15 Figura 5. Curva dibujada por una circunferencia ……………………………………………………..………..…..18 Figura 6. Circunferencia generatriz de la cicloide …………………………………………………………………..18 Figura 7. Cicloide que une origen con B (9,-3) ………………………………………………………………………..21 Figura 8. Cicloide que une origen con B (3,-4) ………………………………………………………..…………….. 21 Figura 9. Cicloide que une origen con B (8,-1) ………………………………………………………………………..21 Figura 10. Sistema de descenso por dos rampas ……………………………..………………..…………………. 23 Figura 11. Representación del sistema 𝐴𝑅 ……………………………………..……………………………..…….. 23 Figura 12. Representación del sistema 𝑅𝐵 ………………………………………………..…………………………. 24 Figura 13. Sistema de referencia con N rampas ……………………………………………………………………. 25 Figura 14. Expresin grfica del programa para dos rampas ………………………….………………………27 Figura 15. Expresin grfica del programa para cuatro rampas …………………………………………..…28 Figura 16. Expresin grfica fallida del programa para seis rampas ……………………….…………….. 29 Figura 17. Extensión de la Ley de Snell ………………………………………………………………………………..…30 Figura 18. Tabla de valores proporcionados por MATLAB …………………………………………………….. 30 Figura 19. Expresión gráfica del programa para seis rampas ………………………………………………… 34 14 “Dados dos puntos A y B en un plano vertical, determínese una trayectoria AMB al cuerpo M que se desplaza, tal que el cuerpo llegue al punto B, cayendo por su propia gravedad desde el punto A en el menor tiempo”. (Johann Bernoulli, 1696). Figura 3. Representación del problema de Bernouilli Como aclaración, Bernoulli advierte que la solución no se resume en una simple línea recta, como se podría pensar apresuradamente. En caso de que nadie fuera capaz de hallar la solución a finales de ese mismo año, él mismo presentaría la solución a tal enigma. Durante 6 meses no se recibió solución apropiada alguna, fue entonces cuando Leibniz alega que ya tiene una solución posible y requiere que el plazo de presentación se exceda hasta pascua. Este también requiere que el problema fuese republicado en Francia e Italia. El tiempo de silencio existente entre junio y diciembre fue interpretado por Bernoulli y Leibniz como una derrota a Newton, pretendiendo estos, a través de sus propias soluciones, demostrar su superioridad ante el matemático más reconocido del momento. Este afán por avergonzar a Newton públicamente derivaba de una anterior disputa entre Leibniz y Newton, por la atribución del descubrimiento del cálculo infinitesimal. Por esta misma razón, se deduce que el problema que nos acontece iba dirigido principalmente a Newton, pues Bernoulli siempre apoyó a Leibniz ante la anterior disputa. En mayo de 1697, se publica de forma anónima en el Acta Eruditorum Lipsiae un fragmento de un paper ( publicado anteriormente en enero en Inglaterra ) con una posible solución al problema de Bernoulli. Al leer el artífice del problema la nueva solución anónima, enseguida se percat de su firma implcita alegando: “Reconozco al león por su garra” (1697, Bernoulli). Esto volvía a colocar a Newton en la cúspide matemática, pues se bastó de una sola noche en resolver el problema, mientras que Bernoulli necesitó dos semanas. Finalmente, acabaron respondiendo cinco matemáticos a través de sus soluciones: Gottfried Leibniz, Newton, Jakob Bernoulli, Ehrenfried Walther von Tschirnhaus y Guillaume de l’ Hôpital. Estas soluciones (excluyendo la de l´Hôpital) fueron públicadas en la misma edicin de la revista que la de Johann Bernoulli. (Efrén and Rocha, 2020; Icaza Herrera, 1994) 15 1.3. LOS INTENTOS GALINEANOS Remontándonos más atrás en el tiempo, ya en 1638 podemos encontrar algunas referencias similares a las planteadas por Bernoulli. El mismísimo Galileo Galilei en su obra Discursos y demostraciones matemáticas en torno a dos nuevas ciencias, creyó dar una respuesta correcta al presente problema, por medio de la curva de brevissimo tempore. Galileo se había cuestionado la forma que debería tener un canal que une dos puntos, para que el tiempo que tarde en llegar una bola de un punto al otro fuese el menor posible. Este se había percatado que una bola que rueda por el arco de una circunferencia alcanza antes la meta que aquella que lo realiza en la recta correspondiente que une los puntos de referencia. La solución galineana por tanto, es resumida de forma que el camino más rápido de todos se corresponde con el arco que conforma un círculo y no por por la línea más corta (línea recta). (Lima Zempoalteca and Rivera Figueroa, 2020; Pérez Sanz, 2006) Figura 4. Curva de brevissimo tempore Galileana 1.4. PERSONALIDADES CÉLEBRES INVOLUCRADAS Con el objetivo de cerrar este primer capítulo, en este epígrafe trataremos una breve descripción sobre algunos de los involucrados en los hechos históricos del problema que nos acontece, cuyos nombres nos resultaran familiares de las secciones anteriores. JOHANN BERNOULLI Johann Bernoulli, matemático, médico y filólogo suizo nacido en Basilea en julio de 1667 y fallecido en enero de 1748. Fue considerado el más célebre de los geómetras de su época. Comenzó a estudiar medicina, al mismo tiempo que se adentraba en el terreno matemático junto a uno de sus hermanos mayores, Jakob. Su primer desafío matemático se desarrollo en 1690, en el halló la ecuación de la catenaria, que había sido formulada por su hermano. Raudo y veloz descifró el problema y obtuvo el reconocimiento de la comunidad científica europea, aunque nunca reconoció las enseñanzas que su hermano le había brindado, generándose así un conflicto fraternal. 16 En 1961 Johann viaja a París, donde su reputación le abrió las puertas del elitista Círculo de Malebranche (foco de la intelectualidad francesa). All estableci relacin con L’Hôpital, quien le contrató como maestro para que le transmitiera las nuevas técnicas matemáticas. También forjó una gran amistad con Leibniz, junto al cuál descubrió la técnica de la diferenciación parcial, la cual mantuvieron años en secreto con el objetivo de utilizarla como arma secreta ante la resolución de problemas relacionados con curvas. En 1705 acepta ocupar la cátedra matemática de la universidad de Basilea, cargo que ostentó hasta su muerte en 1748. Johann Bernoulli yace bajo el epitafio: “Aqu yace el Arqumedes de su tiempo” (Tovar Lopez, 2017) JAKOB BERNOULLI Jakob Bernoulli, afamado matemático y científico suizo, nacido en Basilea en 1654. Graduado en teología en 1676, durante ese periodo se dedicó de forma autodidacta al estudio de sus verdaderos intereses: matemáticas, física y astronomía. Desde 1687 y hasta su muerte, ocupa la cátedra de matemáticas en la Universidad de Basilea. Junto a su hermano Johann Bernoulli comienzan a estudiar los nuevos cálculos propuestos por Leibniz, dándose lugar a una relación entre los tres que sentaría las bases del nuevo cálculo ante el tratamiento de los problemas geométricos y mecánicos. Este y su hermano Johann, conformarían los pilares de la dinastía Bernoulli, caracterizada por la producción de matemáticos y científicos de gran prestigio. (Gutiérrez, 2006) GALILEO GALILEI Galileo fue un astrónomo y físico, nacido en Italia en 1564 y fallecido en 1642. Sus hazañas más épicas se resumen en: -Utilización y contribución al desarrollo del telescopio en la observación de manchas solares y montañas lunares. -Descubrimiento de los cuatro satélites mayores de Júpiter y las fases de venus -Apoyo incondicional por la teoría de Copérnico (la tierra gira alrededor del sol) (Moreno, 2005) ISAAC NEWTON Newton fue un físico, teólogo, inventor, alquimista y matemático inglés. Nacido en diciembre de 1642 y fallecido en 1727. La contribución de Newton a la ciencia es incalculable, destacando: 17 -La demostración de que las leyes que rigen los movimientos de la Tierra y las de los cuerpos celestes son las mismas. -Las denominadas las tres leyes de Newton: ley de la inercia, ley de la dinámica y ley de la acción y reacción. -El descubrimiento de la ley de la gravitación universal.(Weigandt Beckrnann, 2005) GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ Fue un filósofo, físico y matemático alemán, nacido en 1646 y fallecido en 1716. A él se le atribuyen aportaciones en una amplia variedad de campos (historia, derecha, física, química o geología); realizó destacables descubrimientos científicos como el cálculo infinitesimal o la aportación de la energía cinética a la mecánica. (Leibniz, 2016) GUILLAUME FRANCOIS ANTOINE L’HÔPITAL Nació en Paris en 1661 y ostentó el título de marqués de Saint-Mesme. Fue militar y matemático, mostrando interés por el nuevo cálculo presentado por Newton y Leibniz. El afán que mostraba por este cálculo, se transformó en el primer libro de cálculo Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes (1696), libro que muestra las influencias de sus profesores: Johann Bernoulli, Jakob Bernoulli y Leibniz. (Alvarado et al., 2005) 2. LA ECUACIÓN DE LA CICLOIDE El primero en utilizar el término cicloide para la curva que nos ocupa fue Galileo, a el también le debemos los primeros estudios exhaustivos de la misma. La cicloide es una curva descrita por un punto fijo situado en una circunferencia que rueda (sin resbalar) a lo largo de un plano recto. Esta curva fue apodada como la Helena de las matemáticas, tanto por las controversias que causó, a lo largo del siglo XVII, como por la belleza matemática que encerraba. Tal apelativo fue otorgado en relación con Helena de Troya conocida por su inquebrantable hermosura y por ser el motivo principal por el cual dio comienzo a través de su rapto la conocida guerra de Troya, narrada en la “Ilíada” de Homero. A lo largo de la historia pocas curvas han tenido un papel tan trascendental como la que nos acontece. A la cicloide le debemos el origen y el desarrollo del cálculo infinitesimal, cierto es que en el presente la curva cicloide carece del gran interés de su época frente a otras curvas trigonométricas (hiperbólicas, logarítmicas, exponenciales…). (Hernández Abreu, 2007) 18 Figura 5. Curva dibujada por una circunferencia Debido a su importancia histórica, en esta sección deduciremos las ecuaciones paramétricas de una cicloide. Como sabemos, una cicloide es la curva plana generada por la trayectoria de un punto fijo perteneciente a una circunferencia, al rodar ésta sobre una línea recta horizontal sin deslizamiento. Vamos a continuación a describir esta curva de una manera más precisa con ayuda de las Matemáticas. Fijamos un plano vertical, y en el consideramos un sistema de referencia, de origen en un punto 𝑂, con un eje horizontal (eje 𝑂𝑋), con valores positivos dispuestos hacia la derecha, y un eje vertical (eje 𝑂𝑌), con valores positivos dispuestos hacia arriba. Denotaremos por 𝑅 el radio de la circunferencia. Supondremos que la circunferencia rueda sobre el eje de abscisas (eje 𝑂𝑋) en un plano vertical, y que lo hace de izquierda a derecha (entonces la circunferencia girará en el sentido de las agujas del reloj). Supondremos que inicialmente la circunferencia descansa sobre 𝑂 el origen de nuestro sistema de referencia. De esta manera las coordenadas de su centro serán (0,𝑅). Nos dedicaremos a determinar la trayectoria trazada por el punto de la circunferencia que en el instante inicial se encuentra en el origen (es decir, en contacto con la recta horizontal). Nos referiremos a este punto por 𝑃. Para describir la trayectoria, vamos a utilizar como parámetro la medida del ángulo 𝜃 que describe el giro realizado por la circunferencia. Comenzamos describiendo la trayectoria del centro de la circunferencia en función de 𝜃. Obviamente el centro describirá una trayectoria rectilínea, paralela al eje 𝑂𝑋. Más concretamente, se moverá a lo largo de la recta 𝑦=𝑅. Cuando la circunferencia haya rodado un ángulo 𝜃, la distancia que habrá recorrido la circunferencia será igual a 𝑅𝜃. Por tanto las coordenadas del centro serán (𝑅𝜃,𝑅). Figura 6. Circunferencia generatriz de la cicloide 19 Ahora consideramos el movimiento de rotación del punto 𝑃 alrededor del centro de la circunferencia. Inicialmente, el radio que une el centro con el punto 𝑃 forma un ángulo con la horizontal que mide 3𝜋/2 radianes (2700). Cuando la circunferencia gira un ángulo 𝜃 radianes, puesto que la circunferencia gira en sentido de las agujas del reloj, el radio hasta 𝑃 pasa a formar un ángulo de 3𝜋/2−𝜃 . Por tanto, las coordenadas del punto 𝑃 vienen dadas por: {𝑥(𝜃)=𝑅𝜃+𝑅cos(3𝜋 2−𝜃) 𝑦(𝜃)=𝑅+sin(3𝜋 2−𝜃) Teniendo en cuenta que cos(3𝜋 2−𝜃)=−sin(𝜃) y que sin(3𝜋 2−𝜃)=−cos(𝜃), podemos reescribir las ecuaciones anteriores como: {𝑥(𝜃)=𝑅 (𝜃−𝑠𝑖𝑛(𝜃)) 𝑦(𝜃)=𝑅 (1−𝑐𝑜𝑠(𝜃)) Las anteriores se conocen como las ecuaciones paramétricas de la cicloide. Observar que si la circunferencia rodara estando en contacto con el eje 𝑂𝑋, pero colocada por debajo de este (o equivalentemente, si rodara sobre la recta de ecuación 𝑦=−2𝑅), por simetría las ecuaciones de la cicloide serían: {𝑥(𝜃)=𝑅 (𝜃−𝑠𝑖𝑛(𝜃)) 𝑦(𝜃)=−𝑅 (1−𝑐𝑜𝑠(𝜃)) Por este sistema deducimos que la curva cicloide no dependerá de la masa del cuerpo ni de la constante gravitacional. En los próximos apartados trabajaremos con estas ecuaciones, que son las que nos interesarán en nuestro problema, además de hallarla por medio del programa informático MATLAB. 3. LA ECUACIÓN DE LA BRAQUISTÓCRONA El objetivo de este capítulo ahora es, dados dos puntos 𝐴 y 𝐵, determinar la ecuación de la cicloide que pasa por 𝐴 y 𝐵. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que el punto 𝐴 coincide con el origen de nuestro sistema de referencia (0,0). El haber supuesto en la construcción realizada en el apartado anterior para obtener la ecuación de la cicloide que inicialmente el punto 𝑃 coincidía con el origen, nos garantiza que las curvas obtenidas pasan todas por 𝐴. Esto se prueba inmediatamente tomando 𝜃=0 en las ecuaciones. {𝑥(0)=𝑅 (0−𝑠𝑖𝑛(0))=0 𝑦(0)=−𝑅 (1−𝑐𝑜𝑠(0))=0 20 Si denotemos por (𝑏1,𝑏2) las coordenadas del punto 𝐵, con 𝑏1>0 y 𝑏2≤0, para que la cicloide llegue hasta 𝐵 debemos determinar el valor de 𝑅 (radio de la circunferencia que genera la cicloide) y un valor de 𝜃 de manera que se tenga: {𝑥(𝜃)=𝑅 (𝜃−𝑠𝑖𝑛(𝜃))=𝑏1 𝑦(𝜃)=−𝑅 (1− 𝑐𝑜𝑠(𝜃))=𝑏2 Si dividimos las dos ecuaciones anteriores, la incógnita 𝑅 desaparece, y resulta que 𝜃 debe ser solución de la ecuación: 1−cos(𝜃) 𝜃−sin(𝜃)+𝑏2 𝑏1=0 Una vez calculado el valor de 𝜃, de la ecuación para 𝑦(𝜃) se deduce que el valor de 𝑅 viene dado por: 𝑅= −𝑏2 1−cos(𝜃) A partir de estos valores de 𝑅 y de 𝜃 tendremos que la curva braquistócrona que se inicia en 𝐴 y llega hasta 𝐵 viene dada por : {𝑥(𝜃)=𝑅 (𝜃−𝑠𝑖𝑛(𝜃)) 𝑦(𝜃)=−𝑅 (1−𝑐𝑜𝑠(𝜃)) 𝑐𝑜𝑛 𝜃∈[0,𝜃] 3.1. RESOLUCIÓN EFECTIVA DE LA BRAQUISTÓCRONA En esta sección presentaremos el programa elaborado a través del paquete informático MATLAB para dar una solución real a la braquistócrona, siendo B un punto concreto y A coincidiendo con el origen, además este programa nos permitirá una representación gráfica de la curva cicloide que pasa por el origen y un punto dado. Serán presentados como solución a ejercicios, dando valores reales, pudiendo ser modificado para la adaptación de nuevos datos o situaciones similares. % Obtención de la cicloide que pasa por AB % Dadas las coordenadas de un punto B(b1,b2), con b1>0 y b2<=0, % En este mfichero determinamos la cicloide que pasa por A(0,0) y por B. b1=9; b2=-3; % fecu=@(tita) (1-cos(tita))/(tita-sin(tita)) + b2/b1; titaG=fzero(fecu,pi); titaGgrados=titaG*180/pi R=-b2/(1-cos(titaG)) % vtita=linspace(0,titaG); vx=R*(vtita-sin(vtita)); vy=-R*(1-cos(vtita)); 21 plot(vx,vy,'b') hold on plot(b1,b2,'.r',0,0,'.r','MarkerSize',20) axis equal %grid on title(['R = ',num2str(R),', Tita= ',num2str(titaG)]) hold off shg %programa finalizado %Al ejecutarlo obtenemos la cicloide AB de forma grafica Figura 7. Cicloide que une origen con B (9,-3) Cambiando en el anterior programa de MATLAB los datos de b1 y b2, podemos obtener diferentes cicloides que unen A y B. 3.2. TIEMPO EMPLEADO EN RECORRER UN TRAMO DE LA BRAQUITÓCRONA Sabemos que la cicloide es la curva braquistócrona que une 𝐴 con 𝐵, es decir la que hace que un móvil que, partiendo del reposo, se desliza sobre ella sometida exclusivamente a la acción de la gravedad (en ausencia de rozamiento) llegue de 𝐴 hasta 𝐵 en el menor tiempo Figura 8. Cicloide que une origen con B (3,-4) Figura 9. Cicloide que une origen con B (8,-1) 22 posible. Pero, ¿cuál es el valor de ese tiempo mínimo? Es decir, ¿cuánto tiempo tarda un móvil en llegar de 𝐴 hasta 𝐵 deslizándose por la cicloide que los une? El responder a esta cuestiones y otras relacionadas es el objetivo de esta sección. Si suponemos que el nivel de energía potencial en el punto 𝐴 es nulo, como el móvil parte del reposo, tendremos que el valor de la energía potencial inicial es cero. Por el principio de conservación de la energía, cuando la partícula se encuentra en el punto (𝑥(𝜃),𝑦(𝜃)), se tendrá 12𝑚𝑣(𝜃)2+𝑚𝑔𝑦(𝜃)=0, donde 𝑣(𝜃) es la velocidad en dicho punto, 𝑚 es la masa del móvil y 𝑔 es la aceleración de la gravedad. De esta relación se deduce 𝑣(𝜃)2=−2𝑔𝑦(𝜃)=2𝑔𝑅(1−cos(𝜃)). También podemos calcular el valor de la velocidad como sigue. Teniendo en cuenta que el vector de posición de la partícula viene dado por 𝑟(𝜃)=( 𝑅(𝜃− sin(𝜃)) ,𝑅(1 − cos(𝜃)) ). Derivando respecto del tiempo 𝑡 obtenemos que el vector velocidad viene dado por 𝑣(𝜃)=( 𝑅𝜃′(1−cos(𝜃)) ,𝑅𝜃′sin(𝜃)) ). Si calculamos el módulo de este vector obtenemos una nueva expresión para 𝑣(𝜃): 𝑣(𝜃)2=|𝑣(𝜃)|2=2𝑅2(𝜃′)2(1−cos(𝜃)). Igualando ambas expresiones de 𝑣(𝜃), y usando que 𝜃=0 en el instante 𝑡=0, deducimos que (𝜃′)2=𝑔𝑅 ⇒ 𝜃′=√𝑔𝑅 ⇒ 𝜃=√𝑔𝑅 𝑡 ⇒𝑡= √𝑅𝑔 𝜃 . Luego el tiempo que tarda el móvil en deslizar desde 𝐴 hasta el punto (𝑥(𝜃),𝑦(𝜃)) es 𝑡= √𝑅𝑔 𝜃 . En particular, el tiempo mínimo en deslizar desde 𝐴 hasta 𝐵 es 𝑡= √𝑅𝑔 𝜃 . 4. EL PROBLEMA DE LA BRAQUISTÓCRONA DISCRETA Como comentábamos al inicio de este dosier, el comprobar que la cicloide que une dos puntos dados es la curva braquistócrona es un asunto complicado. Por si fuera poco, construir tal cicloide en la vida real, parece una tarea difícil. La complejidad rudimentaria de conseguir dar a un material una curvatura exactamente igual a la de una concreta cicloide, es casi 23 imposible. Sin embargo, podríamos conseguir generar una estructura lo más similar posible a la cicloide que nos ocupa a través de un número finito de rectas (rampas). En este capítulo, trataremos de dar una solución a esta variante del problema de la braquistócrona que se nos presenta, además hallaremos algunas de sus propiedades y obtendremos sus datos a través de programas específicos en MATLAB. Por medio de estos programas, también obtendremos su representación gráfica a través de rampas, pudiendo compararla con su cicloide correspondiente. 4.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA A TRAVÉS DE DOS RAMPAS Consideramos un sistema de referencia como el que se indica en la Figura 10. Denotamos por A el origen (0,0) y suponemos un punto B (b1,b2) con b1>0 y b2 ≤0. Fijamos un tercer punto R (x1,y1) con x1 ∈ (0, b1), y1<0, vamos a calcular el tiempo que emplearía una partícula en llegar hasta B (b1,b2), asumiendo que parte del reposos desde A (0,0), y se desliza sin rozamiento (únicamente por la acción de la gravedad) a lo largo de dos planos inclinados, el primero uniendo A con R y el segundo uniendo R con B. Figura 10. Sistema de descenso por dos rampas Comenzamos calculando el tiempo empleado en recorrer el plano 𝐴𝑅. En ausencia de rozamiento, las fuerzas que actúan sobre la partícula son el peso 𝑃 󰇍  y la reacción del plano inclinado 𝑁 󰇍 󰇍  . Descomponiendo en la dirección del plano y en la dirección normal a éste, se deduce que la aceleración tangencial es 𝑎𝑡=𝑔cos(𝜃). Figura 11. Representación del sistema 𝑨𝑹 30 denominaremos como la braquistócrona discreta de 𝑁 rampas (o segmento, o planos inclinados). La braquistócrona discreta de 𝑁 rampas verifica las siguientes propiedades: 1. Si denotamos por 𝑡1,𝑡2,…,𝑡𝑁 los tiempos que tarde el móvil en recorrer cada una de las 𝑁 rampas, se tiene que todos ellos son iguales, es decir 𝑡1=𝑡2=⋯=𝑡𝑁 2. Si denotamos por 𝜃1,𝜃2,…,𝜃𝑁 los ángulos que forman cada rampa con la vertical, y por 𝜈1,𝜈2,…,𝜈𝑁 la velocidad media del móvil en cada rampa, entonces se cumple la relación sin𝜃1 𝜈1=sin𝜃2 𝜈2=⋯=sin𝜃𝑁 𝜈𝑁 Figura 17. Extensión de la Ley de Snell La demostración rigurosa de estas propiedades no es simple, y escapa a los objetivos de la presente memoria. Aquí nos limitaremos a justificarlas comprobando que se verifican en los distintos casos que resolveremos numéricamente. La propiedad 2 nos recuerda a la Ley de Snell de la refracción, que como sabemos se puede deducir a partir del Principio de Fermat, como la solución también de un problema de tiempo mínimo. Número Rampas Tiempo cicloide Tiempo rampas t1 t2 t3 t4 t5 2 1,3884 1,4775 0,7388 0,7388 - - - 3 1,3884 1,4247 0,4749 0,4749 0,4749 - - 4 1,3884 1,4081 0,3520 0,3520 0,3520 0,3520 - 5 1,3884 1,4009 0,2802 0,2802 0,2802 0,2802 0,2802 Figura 18. Tabla de valores proporcionados por MATLAB 31 De la tabla ilustrada en la figura 18, se puede apreciar claramente como los tiempos empleados en recorrer cada rampa del mismo sistema son iguales. También se observa que cuantas más rampas tengamos, más conseguimos acercarnos al tiempo mínimo que tarda el móvil en recorrer la cicloide. 4.5. ALGORITMO ALTERNATIVO PARA RESOLVER EL PROBLEMA DE LA BRAQUISTÓCRONA DISCRETA Hemos podido comprobar en la sección 4.3.3, que un intento de resolver el problema de la braquistócrona discreto con ayuda del comando fminsearch de Matlab sólo funciona para los casos de dos, tres, cuatro y cinco rampas. A partir de seis rampas la dificultad del problema se incrementa y el problema se hace intratable por este medio. En esta sección vamos a dar un procedimiento alternativo para la resolución numérica de nuestro problema con ayuda de Matlab, basado en explotar adecuadamente las interesantes propiedades de la braquistócrona discreta destacadas en la sección 4.4, y que hemos podido constatar en nuestros experimentos numéricos. Con la notación de esa sección, y por la Propiedad 2, sabemos que existe una constante, que denotaremos por 𝑉0 tal que sin𝜃1 𝜈1=sin𝜃2 𝜈2=⋯=sin𝜃𝑁 𝜈𝑁=𝑉0 y por consiguiente se tiene la siguiente relación para las velocidades media a lo largo de las distintas rampas 𝜈1=𝑉0 sin𝜃1 , 𝜈2=𝑉0 sin𝜃2 ,… 𝜈𝑁=𝑉0 sin𝜃𝑁 Por la Propiedad 1, sabemos que existe una constante 𝑡0 tal que 𝑡1=𝑡2=⋯=𝑡𝑁=𝑡0 Si denotamos por 𝑢0=0 la velocidad del móvil en el punto 𝐴, 𝑢1 la velocidad en el punto 𝑅1, 𝑢2 la velocidad en el punto 𝑅2, ..., 𝑢𝑁−1 la velocidad en el punto 𝑅𝑁−1, 𝑢𝑁 la velocidad en el punto 𝐵, se tienen las siguientes relaciones 𝑢𝑖=𝑢𝑖−1+𝑔cos𝜃𝑖 𝑡0 , 𝑢𝑖+1=𝑢𝑖+𝑔cos𝜃𝑖+1 𝑡0 para todo 𝑖. A partir de las relaciones anteriores, y teniendo en cuenta que 𝜈𝑖=𝑢𝑖+𝑢𝑖−1 2, 𝜈𝑖+1=𝑢𝑖+1+𝑢𝑖 2 se deducen las relaciones {𝑢𝑖=𝜈𝑖+12𝑔cos𝜃𝑖𝑡0 𝑢𝑖=𝜈𝑖+1−12𝑔cos𝜃𝑖+1𝑡0 32 Igualando ambas relaciones, y usando la expresión obtenida para las velocidades medias 𝜈𝑖= 𝑉0 sin𝜃𝑖, 𝜈𝑖+1=𝑉0 sin𝜃𝑖+1, se prueba sin𝜃𝑖+1− sin𝜃𝑖=𝑔𝑡0 2𝑉0(cos𝜃𝑖+1+cos𝜃𝑖) con ayuda de las bien conocidas fórmulas trigonométricas, de esta expresión se llega a tan𝜃𝑖+1−𝜃𝑖 2=𝑔𝑡0 2𝑉0 es decir, la diferencia entre dos ángulos consecutivos 𝜃𝑖+1−𝜃𝑖 es constante. Entonces los ángulos se pueden determinar por las fórmulas 𝜃1=tan−1𝑔𝑡0 2𝑉0, 𝜃2−𝜃1 2=tan−1𝑔𝑡0 2𝑉0=𝜃1→𝜃2=𝜃1+2𝜃1=3𝜃1 𝜃3−𝜃2 2=tan−1𝑔𝑡0 2𝑉0=𝜃1→𝜃3=𝜃2+2𝜃1=3𝜃1+2𝜃1=5𝜃1 … 𝜃𝑁−𝜃𝑁−1 2=tan−1𝑔𝑡0 2𝑉0=𝜃1→𝜃𝑁=𝜃𝑁−1+2𝜃1=(2𝑁−1)𝜃1 Es decir, cada ángulo 𝜃𝑖 se obtiene del anterior sumándole 2𝜃1. Por otra parte, si denotamos por 𝑙1,𝑙2,…,𝑙𝑁 las longitudes de las distintas rampas, entonces se verifican las relaciones {𝑙1=𝜈1𝑡0=𝑉0sin𝜃1 𝑡0 𝑙𝑖=𝜈𝑖𝑡0=𝑉0sin𝜃𝑖 𝑡0 → 𝑙𝑖=𝑙1sin𝜃𝑖 sin𝜃1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑖. A partir de estas igualdades se obtiene fácilmente 𝑏1=∑𝑙𝑖 sin𝜃𝑖 𝑁 𝑖=1 =𝑙1 sin𝜃1∑sin((2𝑖−1)𝜃1)2 𝑁 𝑖=1 =𝑙1 sin𝜃1 P𝑋(𝜃1) −𝑏2=∑𝑙𝑖 cos𝜃𝑖 𝑁 𝑖=1 =𝑙1 sin𝜃1∑sin((2𝑖−1)𝜃1) 𝑁 𝑖=1 cos((2𝑖−1)𝜃1)=𝑙1 sin𝜃1 𝑃𝑌(𝜃1) Dividiendo ambas expresiones, eliminamos el parámetro 𝑙1 y obtenemos una ecuación donde sólo interviene la incógnita 𝜃1: 𝑏1 −𝑏2=P𝑋(𝜃1) 𝑃𝑌(𝜃1) Una vez calculado 𝜃1, ya podemos calcular todos los ángulos 𝜃𝑖=(2𝑖−1)𝜃1 y a partir de ellos las longitudes de todas las rampas mediante las fórmulas 𝑙1= 𝑏1 sin𝜃1 P𝑋(𝜃1),𝑙2=𝑙1sin𝜃2 sin𝜃1,𝑙3=𝑙1sin𝜃3 sin𝜃1,… 𝑙𝑁=𝑙1sin𝜃𝑁 sin𝜃1 Las coordenadas de los puntos 𝑅1,𝑅2,…,𝑅𝑁−1 se calculan mediante las expresiones 33 {𝑥1=𝑙1sin𝜃1 𝑦1=−𝑙1cos𝜃1 , {𝑥𝑖=𝑥𝑖−1+𝑙𝑖sin𝜃𝑖 𝑦𝑖=𝑦𝑖−1−𝑙𝑖cos𝜃𝑖 , 𝑖=2,3,…,𝑁− 1. Destacar que el nuevo algoritmo diseñado para obtener la solución del problema de la braquistócrona discreto, ya no pasa por resolver un problema de mínimos (ya no hace uso del comando fminsearch), sino que en su lugar explota sus notables propiedades. La dificultad matemática se limita a resolver la ecuación que nos proporciona el valor de 𝜃1, todo lo que sigue después es un cálculo simple. La experiencia numérica demuestra la eficiencia del algoritmo, que permite tratar el caso general de 𝑁 rampas. 4.5.1. SOLUCIÓN EFECTIVA CON EL NUEVO ALGORITMO % Datos b1=5; b2=-1; g=9.8; N=6; %--- % Calculo de theta1: funecu=@(theta) sum(sin((1:2:2*N-1)*theta).^2)/... sum(sin((1:2:2*N-1).*theta).*cos((1:2:2*N-1).*theta))+b1/b2; theta1=fzero(funecu,0.1); %--- % Calculo de todos los angulos: vectheta=(1:2:2*N-1)*theta1; %--- % Calculo de las longitudes de las rampas: long1=b1*sin(theta1)/sum(sin((1:2:2*N-1).*theta1).^2); veclong=long1*sin(vectheta)/sin(theta1); %--- % Calculo de las coordenadas de los puntos de union: vecX=zeros(1,N-1); vecY=zeros(1,N-1); vecX(1)=long1*sin(theta1); vecY(1)=-long1*cos(theta1); for i=2:N-1 vecX(i)=vecX(i-1)+veclong(i)*sin(vectheta(i)); vecY(i)=vecY(i-1)-veclong(i)*cos(vectheta(i)); end %--- % Graficas % 1) Cicloide % fecu=@(tita) (1-cos(tita))/(tita-sin(tita)) + b2/b1; titaG=fzero(fecu,pi); R=-b2/(1-cos(titaG)); % vtita=linspace(0,titaG); vx=R*(vtita-sin(vtita)); vy=-R*(1-cos(vtita)); plot(vx,vy,'r') hold on 34 % 2) Planos inclinados plot([0,vecX,b1],[0,vecY,b2],'.b-','MarkerSize',12) hold off axis equal grid on %--- % Tiempos en recorrer cicloide y rampas Tc=titaG*sqrt(R/g) t1=2*sqrt(vecX(1)^2+vecY(1)^2)/sqrt(-2*g*vecY(1)) Tr=N*t1 Al ejecutar el anterior programa obtenemos los siguientes resultados: - Tiempo en recorrer las rampas 1,2,3,4 : t1= t2 = t3 = t4 = t5 = t6 = 0.2328 - Tiempo total en recorrer las cuatro rampas: Tr = 1.3970 - Tiempo en recorrer la cicloide: Tc = 1.3884 Figura 19. Expresión gráfica del programa para seis rampas 35 CONCLUSIONES A través de la realización de esta memoria hemos llegado a varias conclusiones: - El papel fundamental de las Matemáticas como herramienta para la formulación y resolución de problemas complejos, como el de la braquistócrona discreta. - La importancia de la discretización de un problema, es decir, la formulación de problemas aproximados de menor dificultad (de dimensión finita) en los que las soluciones son más fáciles de obtener y/o de manipular, y que por tanto constituyen una alternativa más simple que el tratar de construir directamente la solución del problema de partida. Este es el caso de la aproximación por poligonales de la curva cicloide. - El valor del conocimiento de la historia de las ciencias, y en particular, de lo problemas más destacados en el desarrollo de las Matemáticas, como fuente de inspiración para nuevos retos y avances. Un claro ejemplo el reto formulado por Johann Bernoulli en 1696 sobre la curva de descenso más rápido. - Las ventajas que aportan las herramientas informáticas de cálculo científico para la realización de cálculos complejos, el desarrollo gráfico y la resolución efectiva de los problemas. Este trabajo no hubiera sido posible en su forma actual sin la ayuda del paquete MATLAB® (marca registrada por la compaa TheMath Works). 36 BIBLIOGRAFÍA Agmon D, Yizhaq H. The remarkable properties of the discrete brachistochrone 2019. Alvarado EC, Gomez Dvora MC, Gonzlez Martnez IY, Gonzlez Vara MI. La regla de L’Hôpital y una controversia a su alrededor. vol. 12. 2005. Broer HW. Bernoulli’s light ray solution of the brachistochrone problem through Hamilton’s eyes 2014. Díaz N. Historia de matemáticas, http://historiasdematematicas.blogspot.com Echevarría R, Apuntes de Matlab, https://personal.us.es/echevarria/docencia.html Efrén C, Rocha V. El problema de la curva braquistócrona. 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