Modelos cosmológicos derivados de la relatividad general

Modelos Cosmol´ogicos derivados de la Teor´ıa de la Relatividad General Universidad de Sevilla Falcultad de F´ısica Departamento de F´ısica de la Materia Condensada Trabajo de Fin de Grado en F´ısica Francisco Javier M´endez Corbacho Profesor tutor: Diego G´omez Garc´ıa 2 ´ Indice general 1. Introducci´on 5 2. Teor´ıa de la Relatividad 7 2.1. Apuntesobrenotaci´on ................................ 7 2.2. Transformaciones de Lorentz de la Teor´ıa de la Relatividad Especial y ecuaci´on delaenerg´ıa...................................... 8 2.3. EspaciodeMinkowski ................................ 10 2.4. Teor´ıa de la Relatividad General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4.1. Postulados de la Teor´ıa de la Relatividad General y movimiento de cuerpos 13 2.4.2. Tensor energ´ıa-impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4.3. Ecuaciones de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4.4. Peculiaridades del espaciotiempo y horizontes . . . . . . . . . . . . . . . 16 3. Cosmolog´ıa 19 3.1. El principio cosmol´ogico y el postulado de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2. M´etrica de Friedmann-Lemaˆıtre-Robertson-Walker . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.2.1. Propiedades particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.2.2. Modelos cosmol´ogicos basados en la m´etrica de FLRW . . . . . . . . . . 31 3.2.3. Modelo est´andar de la cosmolog´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3. Modelos cosmol´ogicos que no satisfacen el principio cosmol´ogico . . . . . . . . . 46 4. Conclusi´on 47 A. Herramientas matem´aticas 49 A.1. Coordenadas covariantes y contravariantes (vectores, bases y tensores) y espacios 49 A.2. Regla de derivaci´on de un vector en coordenadas curvil´ıneas . . . . . . . . . . . 53 A.3. Variedades, mapas y atlas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 A.4. Transporte paralelo de vectores y conexi´on de Livi-Civita . . . . . . . . . . . . . 54 A.5. Curvatura y tensores de curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 A.6. Geod´esicas y desviaci´on geod´esica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 B. ´ Algebra de tensores 57 C. C´aculo de w(x)para los distintos tipos de materia/energ´ıa 59 D. Algunos modelos cosmol´ogicos que no satisfacen el principio cosmol´ogico 61 D.0.1.UniversodeG¨odel .............................. 61 D.0.2.ModelosSzekeres ............................... 63 E. Script usado para trabajar con m´etricas 67 3 ´ Indice general 4 Cap´ıtulo 1 Introducci´on Desde tiempos inmemoriables la humanidad ha mirado al cielo y se ha preguntado qu´e lugar ocupa entre las estrellas. Numerosos han sido los que han tratado darle respuesta a esta pregunta, planteando un origen, una evoluci´on y un destino del inmenso cosmos en el que nos encontramos. Esta ha sido una materia de la filosof´ıa durante milenos y no fue hasta el siglo XX cuando la ciencia dio un gran paso y pudo tomar parte. Un paso con nombre propio: La Teor´ıa de la Relatividad General. La Teor´ıa de la Relatividad, desarrollada por Albert Einstein, rompe con la concepci´on cl´asica del espacio y el tiempo, sugiriendo que en realidad ambos son parte de un tejido ´unico que tiene la propiedad de curvarse ante la presencia de materia. Estas cualidades propias del mundo en el que vivimos hacen posible el estudio del universo como un todo, un ´unico ente, al relacionar la evoluci´on del espaciotiempo con su contenido material, naciendo as´ı la cosmolog´ıa f´ısica. Este es un trabajo te´orico en el que se expone la Teor´ıa de la Relatividad y c´omo a partir de esta es posible el estudio de nuestro universo. Adem´as se desarrollan numerosos modelos de universo que podr´ıan en mayor o menor medida asemejarse al nuestro, demostrando la posibilidad de colapso, finitud sin limites, expansi´on hasta una muerte t´ermica, o incluso comportamientos tan peculiares como los viajes en el tiempo para distintos observadores, y dejando la ´ultima palabra, como siempre, a la experimentaci´on y a la observaci´on. 5 Cap´ıtulo 1. Introducci´on 6 Cap´ıtulo 2 Teor´ıa de la Relatividad La Teor´ıa de la Relatividad de Albert Eistein se divide en dos teor´ıas, aunque la segunda es, como su propio nombre indica, una generalizaci´on de la primera: 1. Teor´ıa de la Relatividad Especial: se centra en el estudio del movimiento rectil´ıneo y uniforme de los cuerpos y en el campo electromagn´etico. 2. Teor´ıa de la Relatividad General: estudia todo tipo de movimiento de los cuerpos y ofrece una explicaci´on del campo gravitatorio. Considera que vivimos en un mundo curvo de 4 dimensiones, y que el efecto de dicha curvatura es lo que denominados gravedad. Para poder entender las bases de la cosmolog´ıa es necesario entender primero los postulados de la Relatividad General, y a su misma vez es de gran ayuda comprender antes la Teor´ıa de la Relatividad Especial. 2.1. Apunte sobre notaci´on En este escrito se emplear´a una notaci´on ´ampliamente empleada en los estudios realizados con la Teor´ıa de la Relatividad. - Las tres coordenadas espaciales y la temporal se representan con x, y, z yto con las etiquetas 1,2,3 y 0 respectivamente. Ejemplo: {x, y, z, ct}↔{x1, x2, x3, x0} - Los vectores se representan con letras en negrita. Ej: a. O mediante sus coordenadas: Ejemplo: aµ. - Se emplea el convenio de sumaci´on de Einstein: dos indices repetidos representan un sumatorio en ese ´ındice. Los ´ındices repetidos reciben el nombre de ´ındices mudos y el resto reciben el nombre de ´ındices libres. Puesto que los ´ındices mudos tan solo indican una suma, se les puede asignar cualquier etiqueta. Ejemplos: Piuixi↔uixi=ujxj1 PkMk jak↔Mk jak PkTkh jbk↔Tkh jbk 1Se puede hacer esta igualdad porque jes un ´ındice mudo y da igual como le designemos, con jo con k 7 Cap´ıtulo 2. Teor´ıa de la Relatividad 2.2. Transformaciones de Lorentz de la Teor´ıa de la Relatividad Especial y ecuaci´on de la energ´ıa En el estudio de la Teor´ıa de la Relatividad Especial o Restringida suponemos que: Nos movemos en regiones donde no hay campo gravitatorio o es despreciable. Los sistemas son inerciales, es decir, se mueven a velocidad constante (en m´odulo y direcci´on) los unos respecto a los otros. La Teor´ıa de la Relatividad Especial se basa en dos postulados: 1. Principio de Relatividad: las leyes de la F´ısica son las mismas para todos los observadores inerciales. 2. La velocidad de la luz en el vac´ıo (c) tiene el mismo valor para todos los sistemas de referencia inerciales. En la descripci´on de esta teor´ıa emplearemos las transformaciones de Lorentz. Dichas transformaciones permiten mantener invariante la velocidad de la luz para todos los observadores inerciales. Entendemos adem´as que, en el contexto de la Relatividad Especial, el espacio es homog´eneo (todos los puntos tienen las mismas propiedades) e is´otropo (todas las direcciones son equivalentes), y el tiempo es espacialmente homog´eneo (todos los relojes marchan con la misma cadencia independientemente del lugar en un sistema de referencia dado, en caso de no ser as´ı, ser´ıa afirmar que existen ciertos puntos o direcciones privilegiadas, pero esto es imposible pues contradir´ıa que el espacio es is´otropo y homog´eneo). Sean dos sistemas de referencia inerciales 2 R={x, y, z, ct};R0={x0, y0, z0, ct0}. Suponemos que los sistemas se encuentran en el vac´ıo. Las transformaciones que nos llevan de R aR0reciben el nombre de transfromaciones de Lorentz. Estas tranformaciones deben ser lineales, pues si no lo fuesen, no se ver´ıa a un sistema describiendo un movimiento rectil´ıneo uniforme respecto al otro. Por simplicidad y sin p´erdida de generalidad, escogemos los dos sistemas de referencia inerciales de modo que para t=t0= 0 ambos sistemas coinciden y que para todo instante tlos ejes coordenados de ambos sistemas son paralelos. Adem´as consideramos que el sistema primado se mueve respecto al no primado con velocidad 3uen la direcci´on positiva del eje x. Se hacen unas consideraciones que son en realidad consecuencia de los postulados de la Teor´ıa de la Relatividad Especial: Dado que el movimiento se produce solo en la direcci´on x, en caso de que inicialmente se hubiese colocado el origen de R0a una distancia y, esto no afectar´ıa a la componente z. Lo mismo ocurre con la componente y. Los sistemas son equivalentes, es decir, RyR0son intercambiables. No existe ning´un sistema privilegiado. 2Las tres coordenadas espaciales y la temporal se representan con x, y, z yto con las etiquetas 1,2,3 y 0 respectivamente. Ejemplo: {x, y, z, ct}↔{x1, x2, x3, x0} 3Los vectores se representan con letras en negrita. Ej: a. O mediante sus coordenadas: Ejemplo: aµ. 8 L´ımite newtoniano para |u|mucho menor que la velocidad de la luz 4. El cambio en la coordenada temporal no puede depender del giro que pueda realizar el sistema primado o el no primado. Pues si un sistema realiza un giro respecto al eje que tiene la misma direcci´on que la velocidad relativa entre ellos, este nuevo sistema es equivalente al anterior por las propiedades del espacio y el tiempo ya descritas. Un rayo de luz se observa con la misma velocidad en ambos sistemas de referencia. Teniendo en cuenta lo anterior, las transformaciones de Lorentz para dos sistemas de referencia RyR0tales que el sistema primado se mueve en el sentido positivo del eje xrespecto al no primado a velocidad utienen la forma x0=γ(x−ut),(2.2.1) y0=y, (2.2.2) z0=z, (2.2.3) t0=γt−β cx,(2.2.4) donde βes u/c y γ=p1−β2(2.2.5) es conocido como el factor de Lorentz. Estas transformaciones suponen una nueva concepci´on de la mec´anica. Siempre se hab´ıa tratado el tiempo como algo absoluto e independiente del espacio, pero la naturaleza revela que el tiempo y el espacio est´an estrechamente relacionados. F´ısicamente, estas transformaciones nos dicen que si un cuerpo se desplaza con respecto a un sistema de referencia, dicho cuerpo sufrir´a una contracci´on de su longitud en comparaci´on a su longitud en reposo (longitud propia) en tal sistema de referencia (este fen´omeno recibe el nombre de contracci´on de Lorentz), adem´as la cadencia con la que se mover´an las manecillas de un reloj situado en tal cuerpo ser´a menor que la de cualquier otro reloj en reposo respecto al sistema de referencia considerado (el intervalo temporal medido por el observador en reposo respecto al cuerpo se denomina tiempo propio) (este efecto se conoce como dilataci´on temporal por velocidad). Por otro lado, puesto que una part´ıcula no puede ser acelerada hasta una velocidad infinita al ser el l´ımite la velocidad de la luz, es necesaria otra expresi´on que relacione la fuerza aplicada con el cambio de velocidad de una part´ıcula. La fuerza se escribe ahora como F=dp dt ,(2.2.6) donde p=γm0ves el momento lineal de la part´ıcula, m0su masa en reposo (la masa inercial de una part´ıcula es m=γm0) y vsu velocidad. Definiendo la variaci´on de energ´ıa cin´etica E de la part´ıcula como el trabajo que realiza la fuerza Fa lo largo de una curva C: ∆E=ZC Fvdt, (2.2.7) se obtiene una nueva expresi´on para la energ´ıa de una part´ıcula: E=mc2=γm0c2=qm2 0c4+p2c2.(2.2.8) 4Con |u|ouse denota el m´odulo de la velocidad u 9 Cap´ıtulo 2. Teor´ıa de la Relatividad Aplicando por otra parte el l´ımite newtoniano (condici´on 5), se encuentra que κ=8πG c4.(2.4.12) Se obtiene al unirlo todo que las ecuaciones de Einstein tienen la forma: Rµν −1 2gµνR=8πG c4Tµν.(2.4.13) En caso de eliminar la condici´on 3, es decir, prescindir del espacio de Minkowski como soluci´on, la constante Λ vuelve a aparecer en la ecuaci´on: Rµν −1 2gµνR+ Λgµν =8πG c4Tµν.(2.4.14) La constante Λ recibe el nombre de constante cosmol´ogica y ser´a de suma importancia para la creaci´on de los distintos modelos cosmol´ogicos, tiene unidades de longitud−2. Cabe mencionar que otro m´etodo para llegar a las ecuaciones de Einsteins se basa en emplear la acci´on en Relatividad General, la cual recibe el nombre de acci´on de Einstein-Hilbert y tiene la forma S=1 2κZd4xp|g|R. (2.4.15) Las ecuaciones de Einstein son un sistema de 10 ecuaciones no lineales, acopladas y de segundo orden, y puesto que no se conoce ning´un m´etodo para resolverlas de forma general, obtener una soluci´on anal´ıtica es un ejercicio de mucha complejidad. Presentar distintas soluciones a estas ecuaciones y discutir sus implicaciones ser´a el objetivo principal de este escrito, ya que son dichas soluciones las que nos proporcionan los distintos modelos de universo. 2.4.4. Peculiaridades del espaciotiempo y horizontes Al igual que en el espacio de Minkowski, los eventos con los que un observador puede interactuar se describen mediante el cono de luz. Sin embargo, en un espacio curvo el cono de luz sufre constantes deformaciones debido a que la trayectoria de la luz va cambiando al verse afectada por la gravedad, es decir, lo que antes eran aristas fijas de un cono ahora cambian de direcci´on al moverse el observador de un punto a otro. El cono de luz est´a delimitado por geod´esicas nulas que parten de cada punto, que son las que siguen los rayos de luz al moverse. La relaci´on causal entre dos eventos viene ahora determinada por la geod´esica que los une. Un evento puede verse afectado por otro ´unicamente si la geod´esica que los une es de tipo temporal o nula (en este ´ultimo caso solo la informaci´on que se mueve a la velocidad de la luz podr´ıa viajar entre los eventos). As´ı mismo, en el estudio de la causalidad se pueden definir las superficies de Cauchy: sea Suna regi´on de la variedad, Ses una superficie de Cauchy si es atravesada por geod´esicas temporales de modo que cada una de ellas solo corta en un punto a la superficie. El estudio causal se hace de modo que podemos definir otra regi´on D+(S), conocida como desarrollo futuro de Cauchy, tal que un observador que alcance un evento (punto) de D+(S) ha tenido que pasar necesariamente por S. Tambi´en se puede definir el desarrollo pasado de Cauchy,D−(S), como una regi´on tal que un observador que salga de ella tendr´a que pasar por S. El hecho de que la causalidad est´e determinada por un objeto geom´etrico como el cono de luz, sometido a constantes variaciones, puede dar lugar a que en ciertas regiones del espacio la causalidad funcione de un modo muy diferente al que estamos acostumbrados (por ejemplo mediante la existencia de lineas temporales cerradas, de las que se habla en el Universo de 16 G¨odel) o que directamente haya zonas no conectadas casualmente con el resto del universo. Introducimos as´ı los horizontes, los cuales son unos l´ımites en el espaciotiempo a partir de los cuales el espaciotiempo tiene ciertas caracter´ısticas. La motivaci´on para estudiarlos es la presencia m´as o menos frecuente de dichos horizontes en los distintos modelos de universo. Los horizontes pueden ser absolutos, si son el mismo para todos los observadores, o relativos, si var´ıan dependiendo del observador. A su misma vez se clasifican en: Horizonte de sucesos. Es probablemente el tipo de horizonte m´as conocido y es claramente un horizonte absoluto. Supone el l´ımite exterior de una regi´on del espacio en la que la gravedad es tan fuerte que ni la luz puede escapar, y puesto que la velocidad de la luz supone el l´ımite m´aximo al que un cuerpo puede moverse, nada puede volver a salir de dicha regi´on una vez haya entrado. Estos horizontes aparecen en un agujero negro 7. Un agujero negro puede ser de distintos tipos seg´un su momento angular y su carga. El m´as sencillo de ellos, cuyo momento angular es cero y que carece de carga el´ectrica, se conoce como agujero negro de Schwarzchild. Estudiaremos el horizonte sucesos en este tipo de agujero negro para mostrar como trabajaremos con las m´etricas en los modelos de universo. Consideremos una de las soluciones a las ecuaciones de Einstein: la soluci´on de Schwarzchild. La soluci´on de Schwarzchild es una soluci´on exacta que describe como se curva el espacio en presencia de una masa puntual My se emplea adem´as en el estudio de planetas, estrellas... Se llega a ella proponiendo una soluci´on con simetr´ıa esf´erica y considerando que al alejarnos mucho de la masa debemos encontrarnos en el espacio de Minkowski. La soluci´on responde al elemento de l´ınea en coordenadas esf´ericas ds: ds2=−c21−2GM c2rdt2+1−2GM c2r−1 dr2+r2(dθ2+ sin2θdφ2).(2.4.16) Podemos observar dos singularidades en esta ecuaci´on, es decir, puntos en los que la m´etrica se anula total o parcialmente. Una se halla para r= 0 y la otra para r= 2GM/c2. Existen dos tipos de singularidades, las de coordenadas y las f´ısicas, las de coordenadas se deben al sistema de coordenadas empleado, son puramente matem´aticas, y las f´ısicas a que la curvatura se hace infinita en los puntos singulares. El modo de diferenciarlas es calculando alg´un invariante de curvatura (como R,RµνRµν, ...) y estudiando su valor en los puntos dudosos, si el invariante de curvatura diverge, estaremos ante una una singularidad f´ısica (no obstante, hay casos en los que un invariante en concreto es cero por construcci´on y no nos proporciona la informaci´on deseada, en estos casos es necesario calcular otro). El c´alculo de uno de dichos invariantes (no mostrado aqu´ı puesto que esta m´etrica se emplea ´unicamente como ejemplo para indicar como trabajaremos posteriormente) revelar´a que en r= 0 encontramos una singularidad f´ısica, mientras que en r= 2GM/c2estamos ante una singularidad de coordenadas. No obstante, cabe mencionar que en este caso, r= 2GM/c2s´ı afecta a la f´ısica del sistema aunque sea una singularidad de coordenadas, pues representa el horizonte de sucesos. Un horizonte de sucesos (o agujero negro) solo puede existir si el radio del cuerpo estelar es inferior a 2GM/c2, de modo que si algo se acerca a ese objeto a una distancia r < 2GM/c2no podr´a evitar ser arrastrado hacia la singularidad f´ısica en r= 0, matem´aticamente esto puede explicarse en tanto que el cono de luz se inclina de modo que el universo accesible del observador son ´unicamente trayectorias hacia la singularidad. Cabe mencionar, aunque no lo discutiremos aqu´ı, que 7Un agujero negro es una regi´on del espacio finita cuya masa est´a tan concentrada que crea un campo gravitatorio tan fuerte en las inmediaciones que una vez un cuerpo se acerca lo suficiente y atraviesa un l´ımite (horizonte de sucesos) no puede volver a salir. 17 Cap´ıtulo 2. Teor´ıa de la Relatividad las coordenadas esf´ericas empleadas en la m´etrica de Schwarzchild solo sirven para mostrar como se comportan los conos de luz en un regi´on r > 2GM/c2y que para la regi´on r≤2GM/c2se emplean unas coordenadas conocidas como coordenadas de EddingtonFinkelstein, o, de un modo a´un m´as completo, las coordenadas de Kruskal que llevan al estudio de puentes de Einstein-Rosen, un hipot´etico t´unel que conectar´ıa dos lugares diferentes del espaciotiempo y por el que la materia podr´ıa viajar. Horizonte de part´ıculas. En un universo pueden existir regiones desde las que la luz no ha tenido el tiempo suficiente para llegar a nosotros (o al observador al que nos refiramos). La distancia desde el observador a la que ocurre este fen´omeno se conoce como horizonte de part´ıculas. Debido a sus caracter´ısticas, se trata de un horizonte relativo. Aparecer´a en los modelos cosmol´ogicos que describiremos por lo que su tratamiendo matem´atico se har´a m´as adelante. Horizonte de Hubble. En un universo en expansi´on puede darse el caso de que la velocidad con la que se separan dos observadores sea tal que la luz emitida por uno no pueda nunca alcanzar al otro. La distancia a partir de la cual esto sucede recibe el nombre de horizonte de Hubble. Con esta definici´on se podr´ıa llegar a pensar que algo podr´ıa moverse m´as r´apido que la luz respecto a un observador, sin embargo recordemos que la velocidad relativa entre dos puntos diferentes de una variedad es algo de lo que ya no tiene sentido hablar. Al igual que el horizonte de part´ıculas, el horizonte de Hubble es un horizonte relativo. Horizonte de eventos c´osmico. Es la distancia m´axima a la que puede llegar una se˜nal emitida por nosotros. Este puede tener un valor finito o, por el contrario, puede darse que nuestra se˜nal contin´ue viajando y llegue a cualquier parte del universo. Horizonte de Cauchy. Ocurre cuando la uni´on de D−(S),SyD+(S) no cubre toda la variedad. Esto significa que existen regiones del espaciotiempo cuya informaci´on es independiente de la informaci´on en S. Este tipo de horizonte se encuentra en los agujeros negros de Reissner–Nordstr¨om (agujero negro con carga que no rota), en los agujeros negros de Kerr-Newmann (agujeros negros que rotan y tienen carga el´ectrica) y en el espacio de anti De-Sitter, Horizonte de Killing. Un vector de killing kes un vector que satisface la igualdad: ∇µkν+∇νkµ= 0.(2.4.17) Se emplean para expresar cantidades conservadas. Un horizonte de killing tiene lugar cuando la norma del vector de killing es cero. Los horizontes de killing se encuentran en la ergosfera de un agjero negro en rotaci´on, una zona externa al horizonte de sucesos en la que cualquier cuerpo que se encuentre en ella jam´as podr´a ser visto en reposo por un observador externo. 18 Cap´ıtulo 3 Cosmolog´ıa 3.1. El principio cosmol´ogico y el postulado de Weyl La cosmolog´ıa es el estudio del universo como un todo, su origen, su contenido, su evoluci´on y su destino. En dicho estudio se parte de considerar la totalidad del universo como un sistema sometido a las leyes de la F´ısica, y puesto que la Teor´ıa de la Relatividad nos ha brindado una herramienta con la que relacionar la materia/energ´ıa con la estructura del espaciotiempo, se abre la puerta a un estudio completo del cosmos mediante la ciencia. La ecuaciones de Einstein se emplean entonces para describir la configuraci´on de nuestro universo a gran escala en funci´on de la materia que lo constituye, es decir, considerando que construcciones menores, como las galaxias, son una serie de perturbaciones insignificantes, y poniendo el foco en superc´umulos gal´acticos. Adem´as al tratar el universo como un sistema din´amico y dado que la Teor´ıa de la Relatividad es una teor´ıa determinista, podemos conocer su evoluci´on. Para simplificar el estudio de esta rama del conocimiento y no llegar en la mayor´ıa de los casos a ecuaciones de la m´etrica con numerosas funciones desconocidas debido a la escasa informaci´on que podemos recopilar sobre el espacio exterior, dos pioneros en el campo de la cosmolog´ıa, Friedmann y Lemaˆıtre, hicieron dos hip´otesis sobre las que hoy se construye la mayor parte pero no la totalidad de esta disciplina: el Principio Cosmol´ogico. El principio cosmol´ogico establece que el universo es homog´eneo e is´otropo a grandes escalas (orden de Mpc 1) en cada instante. Homog´eneo significa que todos los puntos tienen las mismas propiedades e is´otropo significa todas las direcciones son equivalentes, no hay ninguna privilegiada. Se especifica que esto ocurre para cada instante porque la estructura del universo en general puede cambiar, pero en todo momento se mantendr´a homog´eneo e is´otropo. Describe el universo como una hipersuperficie de 3 dimensiones (espaciales) para un instante de tiempo concreto y traza su evoluci´on al considerar como cambia la hipersuficie cuando var´ıa el instante de tiempo considerado. Matem´aticamente, este principio implica que es posible llegar de un punto cualquiera a otro mediante una operaci´on de simetr´ıa (homogeneidad) y que las componentes del tensor m´etrico tienen simetr´ıa esf´erica (isotrop´ıa). Que el universo sea homog´eneo e is´otropo al mismo tiempo se traduce adem´as en que la curvatura de la variedad es constante. El principio tambi´en es responsable de que el tensor m´etrico, el tensor energ´ıa-impulso... tengan la misma forma ante un cambio de coordenadas. No obstante, no debemos creer err´oneamente que cualquier punto del universo puede elegirse como origen y que desde ´el el universo ser´a is´otropo. Aqu´ı es donde entra en juego el postulado de Weyl. El postulado de Weyl considera que toda la materia/energ´ıa del universo a grandes escalas se comporta como un fluido perfecto que se mueve siguiendo geod´esicas temporales que no se 1El p´arsec (pc) es una unidad de longitud ampliamente empleada en atronom´ıa que equivale aproximadamente a 3,086 ·1016 m. 19 Cap´ıtulo 3. Cosmolog´ıa intersectan salvo, quiz´as, en un ´unico punto en el pasado o en el futuro. A los observadores que siguen tal movimiento ´unicamente marcado por la evoluci´on del universo se les denomina observadores com´oviles. Definimos adem´as el tiempo cosmol´ogico como el tiempo que mide un observador com´ovil, este tiempo es el que aparece en el principio cosmol´ogico. Los observaciones llevadas a cabo parecen indicar en principio que estos dos axiomas son buenas aproximaciones de la realidad. La radiaci´on de fondo de microondas, que es una radiaci´on que llena todo el cosmos y corresponde a la radiaci´on de un cuerpo negro de temperatura 2,7K aproximadamente, es probablemente el argumento m´as fuerte a favor de la isotrop´ıa del universo, pues es bastante is´otropa, y, en el marco de la Teor´ıa del Big Bang 2, muestra al universo en una edad temprana. La mayor prueba a favor de la homogeneidad son observaciones llevadas a cabo con rayos X que mostrar´ıan que el universo es efectivamente homog´eneo en las escalas mencionadas. En cuanto al postulado de Weyl, es cierto que debido a la interacci´on gravitatoria se producen desplazamientos y colisiones de grandes estructuras como galaxias o c´umulos de estas, pero los datos reflejan que la velocidad con la que estos procesos ocurren son despreciables comparada con la de la evoluci´on del universo. No obstante, recientemente (a˜no 2010 en adelante) se han realizado observaciones que contradicen el principio cosmol´ogico. La Agencia Espacial Europea en su misi´on Planck concluy´o que las anisotrop´ıas del fondo de microondas son realmente significativas, y el descubrimiento de grandes estructuras como la Gran Muralla de H´ercules-Corona Boreal, un c´umulo gigante de galaxias con una longitud mayor de 3000 Mpc (recordemos que la escala cosmol´ogica es del orden de Mpc) han puesto en debate la homogeneidad del universo. Aqu´ı es donde aparece una fuerte motivaci´on por el estudio de m´etricas que no satisfagan el principio cosmol´ogico, aunque hay m´as razones, especialmente la de encontrar un modelo que quiz´as pueda explicar nuestro universo sin la necesidad de la materia y la energ´ıa oscura, dos fuentes de materia/energ´ıa del cosmos de naturaleza desconocida pero que ser´ıan las determinantes en los mecanismos de evoluci´on del universo actual, como veremos cuando estudiamos el modelo est´andar de la cosmolog´ıa. Un estudio completo se divide por tanto en dos, en el de m´etricas que cumplen el principio cosmol´ogico y en el de m´etricas que no. El modelo de universo actualmente m´as sencillo que est´a de acuerdo con las observaciones y es apoyado por un gran sector de la comunidad cient´ıfica, el est´andar, es el modelo ΛCDM , que se basa en la m´etrica de Friedmann-Lemaˆıtre-RobertsonWalker, una m´etrica que surge de forma natural al aplicar el principio cosmol´ogico y el principio de Weyl. Estudiaremos dicha m´etrica en primer lugar y estudiaremos otras posteriormente. Por comodidad, debido a la gran cantidad de ecuaciones con la que se trabaja y la complejidad de las mismas, es com´un en cosmolog´ıa emplear unas unidades en las que c= 1, estas unidades reciben el nombre de unidades naturales. As´ı, la coordenada x0pasa a escribirse como t. Todas las ecuaciones anteriores siguen siendo validas y tienen la misma forma salvo por el hecho de que la velocidad de la luz no aparecer´a expl´ıcitamente en ellas. Las c´alculos son m´as sencillos al escribir la coordenada como ty esto no supone un problema en la lectura final de la ecuaci´on siempre que tengamos presente las unidades del elemento considerado (longitud, tiempo, energ´ıa...). Con ello es posible volver r´apidamente a las unidades del sistema internacional si se desea. 3.2. M´etrica de Friedmann-Lemaˆıtre-Robertson-Walker La m´etrica de Friedmann-Robertson-Walker es una soluci´on exacta de las ecuaciones de Einstein que surge de partir de los axiomas del principio cosmol´ogico y del postulado de Weyl. 2La Teor´ıa del Big Bang sostiene que el universo naci´o de una singularidad f´ısica y que lleva expandi´endose desde entonces. 20 Como hemos mencionado, satisfacer el principio cosmol´ogico se traduce en que la curvatura del espacio es constante (curvatura del espacio, no del espaciotiempo, nos refer´ımos ´unicamente a las componentes espaciales). Esto implica que el tensor de Riemann que indica la curvatura del espacio formado por las coordenadas espaciales puede escribirse del siguiente modo: ˜ Rijkl =K(˜gil˜gjk −˜gik˜gjl),(3.2.1) donde Kes una constante y ˜gij son las componentes de la m´etrica del espacio tridimensional formado por las tres coordenadas espaciales. Adem´as es importante mencionar que el valor de Kser´a ´unico para cada espacio concreto 3. Centr´andonos ahora en el proceso de resoluci´on, la manera m´as com´un de resolver las ecuaciones de Einstein es plantear un ansatz (soluci´on estimada de la ecuaci´on que se pretende resolver). El ansatz debe mostrar lo que esperamos del resultado, por ejemplo simetr´ıas o comportaminetos en determinados l´ımites o puntos. Es muy com´un que el ansatz contenga par´ametros a determinar una vez se introduce en la ecuaci´on. Adem´as se consideran otra serie de condiciones en el problema, como condiciones iniciales o de contorno. Este m´etodo resulta satisfactorio si nuestra soluci´on o ansatz es ciertamente una soluci´on de las ecuaciones estudiadas. En el caso de la m´etrica de Friedmann-Lemaˆıtre-Robertson-Walker el ansatz planteado es ds2=−dt2+W2(t)˜gijdxidxj(3.2.2) donde dxihace alusi´on ´unicamente a las coordenadas espaciales. Este ansatz satisface el postulado de Weyl puesto que consideramos tcomo el tiempo propio del observador com´ovil, el tiempo cosmol´ogico. Se satisfacen la homogeneidad e isotrop´ıa universo en tanto que existe un factor W2(t) que multiplica a toda la secci´on espacial. Dicho factor vendr´ıa a indicar la expansi´on o contracci´on del universo y entraremos en m´as detalle sobre esto posteriormente. Por otra parte, esta funci´on depende ´unicamente de t, puesto que para cada instante la velocidad de contracci´on o dilataci´on puede cambiar, pero siempre ser´a la misma para todo el universo en ese preciso instante, es decir, no puede depender de las coordenadas espaciales debido a la homogeneidad. El siguiente paso es por tanto determinar los factores W2(t) y ˜gij de las ecuaciones 3.2.1 y 3.2.2. Centr´emonos primero en ˜gij. Puesto que el universo es is´otropo, debe presentar simetr´ıa esf´erica. El diferencial de l´ınea d˜sgeneral para un espacio con simetr´ıa esf´erica puede escribirse como d˜s2=f(˜r)d˜r2+ ˜r2(dθ2+ sin2θdφ2).(3.2.3) Hacemos ahora el cambio f(˜r) = e2C(˜r)(3.2.4) y tratamos de calcular C(˜r) empleando en tensor de Ricci, que tras considerar 3.2.1 puede escribirse como 4 ˜ Rij =−2K˜gij.(3.2.5) 3Las demostraciones de la ecuaci´on 3.2.1 y de la anterior afirmaci´on son puramente matem´aticas, muy largas y engorrosas, por lo que las omitiremos en este escrito. Si se desea puede consultarse en [2]. 43.2.2 implica 3.2.5 pero el contrario no es cierto. 21 Cap´ıtulo 3. Cosmolog´ıa Calculando ahora las componentes del tensor de Ricci, lo cual es posible obteniendo primero los s´ımbolos de Christoffel (en el ap´endice A se encuentran las ecuaciones necesarias para ello: A.5.5 y A.2.4), se obtiene: ˜ R˜r˜r=−2 ˜r dC d˜r,˜ Rθθ =e−2C1−˜rdC d˜r−1,˜ Rφφ = sin2θe−2C1−˜rdC d˜r−1. (3.2.6) Igualando 3.2.6 y 3.2.5 llegamos a las ecuaciones 1 ˜r dC ˜r=Ke2C,1−e−2C1−˜rdC d˜r= 2K˜r, (3.2.7) cuya soluci´on es e2C(˜r)=f(˜r) = 1 1−K˜r2.(3.2.8) Para interpretar esta m´etrica de un modo m´as sencillo se lleva a cabo el cambio de coordenadas r= ˜r(si K= 0), r = ˜rp|K|(si K6= 0),(3.2.9) k= 0 (si K= 0), k =K |K|(si K6= 0),(3.2.10) de modo que kpuede tomar los valores -1, 0 o 1. La m´etrica de la parte espacial queda por tanto como d˜s2=dr2+r2(dθ2+ sin2θdφ2) para k= 0,(3.2.11) d˜s2=1 |K|1 1−kr2dr2+r2(dθ2+ sin2θdφ2)para k6= 0.(3.2.12) Y la m´etrica total se puede escribir como ds2=−dt2+a2(t)1 1−kr2dr2+r2(dθ2+ sin2θdφ2),(3.2.13) donde a(t) toma los siguientes valores: a(t) = W(t) para k= 0,(3.2.14) a(t) = 1 p|K|W(t) para k6= 0.(3.2.15) El factor a(t) es el factor de escala con el que se expande o contrae el universo (siendo m´as formales, realmente corresponde al factor de escala con el que se expanden o se contraen las secciones espaciales cuya uni´on, forma el universo). Si a(t) fuese constante en el tiempo el universo ser´ıa est´atico. Por otro lado, el factor kdetermina, como veremos a continuaci´on, la curvatura del espacio. 1. Curvatura nula. k= 0. Si k= 0, podemos observar en 3.2.11 que la m´etrica del espacio se corresponde con la de un espacio plano euclideo. Es un universo en evoluci´on en el que todos los puntos se alejan o se acercan del mismo modo. El universo se expande o se contrae como si fuese una l´amina sobre la que hacemos zoom sobre cualquier punto con un factor de escala a(t). En este caso a(t) es adimensional. 22 2. Curvatura constante positiva. k= 1. En este caso empleamos el cambio de coordenadas r= sin ξen la ecuaci´on 3.2.12: d˜s2=1 Kdξ2+ sin2ξ(dθ2+ sin2θdφ2).(3.2.16) Esta m´etrica es an´aloga a la de una esfera de radio K−1/2en un espacio euclideo de cuatro dimensiones. Esto es visible al considerar las coordenadas: X1=K−1/2sin ξsin θcos θ, X2=K−1/2sin ξsin θsin θ, (3.2.17) X3=K−1/2sin ξcos θ, X4=K−1/2cos ξ, (3.2.18) que satisfacen la ecuaci´on (X1)2+ (X2)2+ (X3)2+ (X4)2=K−1(3.2.19) y la ecuaci´on d˜s2= (dX1)2+ (dX2)2+ (dX3)2+ (dX4)2.(3.2.20) Observando la ecuaci´on 3.2.13, concluimos que el universo tendr´ıa la forma de una esfera de tres dimensiones con radio a(t) = W(t)/√K(en este caso las unidades de a(t) ser´ıan de longitud). El universo se expande o se contrae seg´un la variaci´on del radio a(t) con el tiempo cosmol´ogico t. No estamos dotados para imaginar una circunferencia en cuatro dimensiones, pero un ejemplo ilustrativo ser´ıa el de imaginarse nuestro universo como la superficie de un globo esf´erico que crece si lo inflamos y decrece si le quitamos aire. Un universo de estas caracter´ısticas ser´ıa finito pero ilimitado, pues la superficie de la esfera es finita pero podemos movernos por ella sin que ninguna barrera nos lo impida. En este caso tambi´en se dice que el universo es cerrado. 3. Curvatura constante negativa. k=−1. Para este valor de kes conveniente hacer el cambio r= sinh ζ. (3.2.21) Sustituyendo en la ecuaci´on 3.2.12 llegamos a la m´etrica de un hiperboloide de tres dimensiones en un espacio de cuatro (aunque no eucl´ıdeo, sino con signatura (1,1,1,-1)): d˜s2=1 Kdζ2+ sinh2ζ(dθ2+ sin2θdφ2).(3.2.22) El hiperboloide es visible al considerar el cambio de coordenadas X1=K−1/2sinh ζsin θcos θ, X2=K−1/2sinh ζsin θsin θ, (3.2.23) X3=K−1/2sinh ζcos θ, X4=K−1/2cosh ζ, (3.2.24) pues satisface, en un espacio de signatura (1,1,1,-1) (espacio similar al espacio de Minkowski), la siguiente ecuaci´on −(X1)2−(X2)2−(X3)2+ (X4)2=K−1(3.2.25) y d˜s2= (dX1)2+ (dX2)2+ (dX3)2−(dX4)2.(3.2.26) 23 Cap´ıtulo 3. Cosmolog´ıa Podemos concluir tras este razonamiento y tras considerar de nuevo la ecuaci´on 3.2.13, que el universo tiene en este caso la forma de un hiperboloide de tres dimensiones que aumenta en tama˜no o decrece seg´un el factor a(t). La variaci´on de a(t) indica, al igual que en los casos anteriores, c´omo se alejan o acercan los puntos del espacio seg´un avanza el tiempo cosmol´ogico. En este caso se dice que el universo es abierto y a(t) tambi´en tendr´ıa unidades de longitud. Por otra parte, W(t) (o a(t)) viene determinado por el contenido de materia/energ´ıa del universo. Seg´un el postulado de Weyl suponemos que el universo a grandes escalas se comporta como un fluido perfecto, debemos entonces considerar las variables densidad ρy presi´on P(suma de las densidades de todos los tipos de materia/energ´ıa del universo ) y que el tensor de Riemann toma la forma 2.4.8. El modo de obtener ahora una ecuaci´on para a(t) es sustituir nuestro ansatz en las ecuaciones de Einstein. Empleamos el caso general con constante cosmol´ogica, ecuaci´on 2.4.14. Por otro lado, adem´as del sistema de ecuaciones que se obtenga, necesitamos tambi´en conocer como cambia a(t) con la presi´on y la densidad a medida que evoluciona el universo. Empecemos con las ecuaciones de campo de Einstein. Primero se calculan los s´ımbolos de Christoffel con el ansatz 3.2.2, los cuales toman la forma: Γtr r =−a(t)∂ a ∂t kr2−1,Γtθ θ =r2a(t)∂ a ∂t ,Γt φ φ =r2a(t) sin2(θ)∂ a ∂t ,Γrt r = ∂ a ∂t a(t), (3.2.27) Γrr r =−kr kr2−1,Γrθ θ =kr3−r, Γr φ φ =kr3−rsin2(θ),Γθt θ = ∂ a ∂t a(t), (3.2.28) Γθr θ =1 r,Γθ φ φ =−cos (θ) sin (θ),Γφ t φ = ∂ a ∂t a(t),Γφ r φ =1 r, (3.2.29) Γφ θ φ =cos (θ) sin (θ). (3.2.30) Y con ellos es posible calcular los tensores de curvatura: Rt t =−3∂2a ∂t2 a(t),(3.2.31) Rr r =−2∂ a ∂t 2+a(t)∂2a ∂t2+ 2 k kr2−1,(3.2.32) Rθ θ = 2 r2∂ a ∂t 2 +r2a(t)∂2a ∂t2+ 2 kr2,(3.2.33) Rφ φ = 2r2∂ a ∂t 2 +r2a(t)∂2a ∂t2+ 2 kr2!sin2(θ),(3.2.34) R= 6∂ a ∂t 2+a(t)∂2a ∂t2+k a2(t).(3.2.35) Se observa que las componentes correspondientes a la parte espacial del tensor de Ricci puede escribirse como Rij = ˜gij 2∂ a ∂t 2 +a∂2a ∂t2+ 2k!.(3.2.36) 24 Tambi´en calculamos el tensor energ´ıa impulso en sus coordenadas covariantes (al estar empleando coordenadas com´oviles tenemos que uµ= 1 para µ=ty cero para el resto): T=    ρ(t) 0 0 0 0−P(t)a2(t) kr2−10 0 0 0 r2P(t)a2(t) 0 0 0 0 r2P(t)a2(t) sin (θ)2sin (θ)2     .(3.2.37) Sustituyendo en las ecuaciones de Einstein llegamos a dos ecuaciones diferenciales no lineales en la variable a(t) conocidas como Ecuaciones de Friedmann: −8πGρ (t)−Λ + 3∂ ∂t a2(t) a2(t)+3k a2(t)= 0,(3.2.38) −12 πGP (t)−4πGρ (t)+Λ−3∂2 ∂t2a(t) a(t)= 0.(3.2.39) La primera ecuaci´on deriva de la componente 00 de las ecuaciones de campo de Einstein y se le suele llamar ecuaci´on de Friedmann, mientras que la segunda proviene de las componentes de la traza de la ecuaciones de campo junto con la ecuaci´on primera y se la conoce como ecuaci´on de aceleraci´on. Es posible eliminar los t´erminos con constante cosmol´ogica reescribiendo las variables como sigue: ρ=ρ+Λ 8πG, P =P−Λ 8πG.(3.2.40) F´ısicamente, esto significa considerar que la constante cosmol´ogica representa una forma de energ´ıa que posee una densidad Λ/8πG y una presi´on con magnitud −Λ/8πG, esta forma de energ´ıa recibe el nombre de energ´ıa de vac´ıo oenerg´ıa oscura. De modo que las ecuaciones de Friedmann pueden reescribirse como ˙a a2 +k a2=8πGρ 3(3.2.41) ¨a a=−4πG 3(3P+ρ) (3.2.42) Donde ˙ay ¨arepresentan las derivadas de a(t) respecto a la variable temporal tuna y dos veces respectivamente. Es importante recalcar que si en el proceso de obtenci´on de la ecuaci´on de evoluci´on no hubi´esemos empleado la ecuaci´on de Friedmann para realizar una sustituci´on, hubi´esemos llegado a la ecuaci´on ¨a a+1 2˙a a=−4πGP −k 2a2,(3.2.43) que se conoce como ecuaci´on de evoluci´on. Por otro lado, el modo de relacionar a(t) con el cambio de presi´on y densidad a medida que evoluciona el universo se hace con la ley de conservaci´on de la energ´ıa ∇µTµν = 0. La componente temporal nos proporciona la relaci´on deseada: ˙ρ+ 3 ˙a a(ρ+P) = 0,(3.2.44) o, multiplicando por a3(t) en ambos lados y reagrupando, podemos escribir d dt a3ρ=−Pd dta3.(3.2.45) 25 Cap´ıtulo 3. Cosmolog´ıa Es importante mencionar que dado que las ecuaciones de Friedmann son ecuaciones diferenciales no lineales puede darse el caso de que un cambio en las condiciones iniciales de allevase a comportamientos muy dispares. En la mayor´ıa de los modelos siguientes esto sin embargo no ocurre y escribiremos la soluci´on de la manera m´as sencilla posible de leer, pues una constante de integraci´on podr´ıa simplemente ser absorbida por una redefinici´on de la coordenada t. No obstante, en los modelos en los que las condiciones iniciales si repercutan en el comportamiento de la soluci´on, s´ı haremos un estudio diferenciador. Universo vac´ıo o de Milne Es un universo que carece de materia, de radiaci´on y de energ´ıa oscura (ρm=ρr=ρΛ= 0). La ecuaci´on de Friedmann y la ecuaci´on de acelaraci´on se escriben como ˙a a2 =−k a2,(3.2.77) ¨a a= 0.(3.2.78) Observado la ecuaci´on 3.2.77 vemos que las ´unicas posibilidades son k= 0 o k=−1, pues en la relatividad general trabajamos sobre el cuerpo de n´umeros reales, y una ra´ız negativa no lo es. Diferenciamos entonces dos casos: k= 0. En este caso estar´ıamos en una espacio plano y con a(t) = a0, es decir, estamos ante el espacio de Minkowski. k=−1. Obtenemos que a(t) = ty la soluci´on de la m´etrica se corresponde con el interior del cono de luz del espacio de Minkowski. Es decir que este universo no supone ninguna novedad pues en ambos casos se corresponde con el ya estudiado espacio de Minkowski. A´un en el caso de que en nuestro universo el densidad de materia y de radiaci´on fueran despreciables a muy grandes escalas y no existiese una constante cosmol´ogica, este modelo nunca fue aceptado por la comunidad cient´ıfica debido a sus grandes discrepancias con las observaciones. Universos dominados por materia fr´ıa Universo de Einstein-De Sitter (k= 0) Este modelo de universo carece de radiaci´on y de constante cosmol´ogica. El contenido ser´ıa ´unicamente materia fr´ıa con densidad cr´ıtica (Ω = Ωr= 1 y Ωr= ΩΛ= 0). El hecho de que el par´ametro de densidad total sea 1 implica que el universo debe ser plano (k= 0). Tomando la ecuaci´on de Friedmann para estas condiciones: ˙a a2 =8πGρm0a3 0 3a3,(3.2.79) obtenemos la soluci´on a(t) = 3 2Υt2/3 ,(3.2.80) siendo Υ = p8πGρm0a3 0/3 una constante con dimensiones de tiempo−1, que adem´as coincide con par´ametro de Hubble para t0(adem´as normalmente se hace la normalizaci´on 32 a0= 1 en los universos dominados por materia). Y puesto que el espacio es plano, la m´etrica se escribe de la siguiente forma: ds2=−dt2+3 2Υt4/3 δijdxidxj.(3.2.81) A partir de este resultado podemos calcular el par´ametro de deceleraci´on, cuyo valor resulta ser q= 1/2. Estamos por lo tanto ante un universo en expansi´on cada vez m´as lenta. Se observa que este modelo presenta una singularidad en t= 0 pues las componentes espaciales de la m´etrica se hacen cero. Para ver si la singularidad es matem´atica o f´ısica calculamos una contracci´on del tensor de curvatura, en este caso es suficiente con calcular el escalar de Ricci: R=4 3t2.(3.2.82) Se observa que para t= 0, Rdiverge, por lo que en t= 0 hay una singularidad f´ısica y la variable tsolo est´a definida en el intervalo (0,+∞). La singularidad en t= 0 recibe el nombre de Big Bang y es el origen del universo. En este modelo por tanto, la edad del universo es finita. Podemos calcular dicha edad empleando la ecuaci´on del factor de escala 3.2.80. Consideremos el valor del factor de escala en el presente a0, vendr´a dado por la expresi´on a0=3 2Υt02/3 ,(3.2.83) donde t0es el tiempo transcurrido hasta el presente, es decir, la edad de universo. Dividiendo el factor de escala general a(t) entre en factor de escala actual a0se obtiene: a(t) a0 =t t02/3 .(3.2.84) Diferenciando ahora ambos lados de la ecuaci´on respecto al tiempo tse obtiene que ˙a(t) a0 =2 3 1 t1 3t 2 3 0 .(3.2.85) Considerando ahora t=t0llegamos a ˙a0 a0 =H0=2 3 1 t0 ,(3.2.86) donde H0es la constante de Hubble actual. Reescribiendo obtenemos finalmente la edad del universo: t0=2 3 1 H0 .(3.2.87) Este modelo de universo fue considerado por la comunidad cient´ıfica como un modelo que se ajustaba bastante bien a nuestro universo hasta finales de la d´ecada de los 80. El principal problema radica en que predice una edad del universo muy corta comparada con la obtenida a trav´es de las observaciones, adem´as de que nuestro universo se encuentra en una expansi´on acelerada, no decelerada. 33 Cap´ıtulo 3. Cosmolog´ıa Universos dominados por materia fr´ıa con k=±1 Para poder resolver la ecuaci´on de Friedmann en estos casos emplearemos el siguiente cambio de coordenadas: dT =dt a(t)⇔dt =a(T)dT. (3.2.88) Tes conocido como tiempo conforme y las coordenadas que derivan de este se denominan coordenadas conformes. La m´etrica toma por tanto la forma ds2=a2(T)−dT2+ ˜gijdxidxj,(3.2.89) y las ecuaciones de Friedmann, de evoluci´on y de aceleraci´on pasan a escribirse como a0 a2 =8πG 3a2ρ−k=8πG 3a2 ρm0a a0−3 +ρr0a a0−4 +ρΛ!−k(3.2.90) a00 a+1 2a0 a2 =−4πGa2P−1 2k=−4πG 1 3ρr0a ar0−4 −ρΛ!−k 2a2(3.2.91) a00 a=4πG 3a2(3P+ρ) = 4πG 3a2 ρm0a a0−3 + 2ρr0a a0−4 −2ρΛ!,(3.2.92) donde a0ya00 indican las derivadas de a(T) respecto al tiempo conforme Tuna y dos veces respectivamente. Un c´alculo directo tambi´en revela que el escalar de Ricci y el tensor de Ricci en estas nuevas coordenadas se escribe como R= 6 a00 a3+k a2,(3.2.93) RTT =−3 a00 a−a0 a2!,(3.2.94) Rij = ˜gij 2k+a00 a−a0 a2!,(3.2.95) donde iyjcorren sobre las coordenadas espaciales. Estas expresiones nos ser´an ´utiles posteriormente para estudiar singularidades. Volviendo ahora a nuestro caso particular (ρm>0 y ρr=ρΛ= 0) podemos emplear la ecuaci´on de evoluci´on 3.2.91 y reescribirla considerando el par´ametro de Hubble en coordenadas conformes h=a0/a, llegando a 2h0+h2+k= 0.(3.2.96) De esta ecuaci´on es posible hallar el tiempo conforme integrando: T=−2Zdh h2+k.(3.2.97) Y estudiamos ahora que ocurre para k= 1 y k=−1.  k= 1. Se obtiene que T=−2Zdh h2+ 1 = 2arccoth→h= cot T 2(3.2.98) 34 o equivalentemente que a(T)=Υ0sin2T 2.(3.2.99) con Υ0= 8πGρm0a3 0/3 siendo una constante con unidades de longitud (Υ0= Υ2/c2 en SI). Para interpretar el resultado debemos volver a las coordenadas com´oviles. Sin embargo tan solo es posible escribir tcomo funci´on de Ty no al contrario: t=1 2Υ0(T−sin T).(3.2.100) A´un as´ı, las expresiones 3.2.99 y 3.2.100 nos permiten realizar una buena interpretaci´on de la forma de a(t) a trav´es de m´etodos m´as gr´aficos y computacionales, llegando a observar que la forma de a(t) es la de una cicloide (curva que describe un punto de una circunferencia cuando esta rueda sin deslizarse sobre una recta). Podemos observar adem´as singularidades en T= 2πn ≡t= Υπn que, para saber si son matem´aticas o f´ısicas debemos analizar con los invariantes de curvatura. El c´alculo del escalar de Ricci R=3 Υ02sin6(T/2) (3.2.101) arroja que en los puntos T= 2πn ≡t= Υ0πn con n∈N∪0 nos encontramos ante singularidades f´ısicas. Todo estas caracter´ısiticas nos permiten explicar el comportamiento de este universo: nace de una singularidad (Big Bang) en t= 0 expandi´endose muy r´apido cuando es joven, seg´un avanza el tiempo la expansi´on es cada vez m´as lenta hasta que llega un momento en el que la materia logra frenar la expansi´on e invertirla (instante t= Υ0π/2), provocando, tras el mismo periodo de tiempo que le llev´o a su expansi´on m´axima, un recolapso en t= Υ0π(fen´omeno conocido como Big Crunch). Es interesante mencionar que existen teor´ıas que defienden que un universo de tipo Big Bang-Big Crunch podr´ıa ser un universo c´ıclico, es decir, existir´a una cadena infinita de Big Bangs y Big Crunchs de modo de que el universo nacer´ıa y morir´ıa de forma c´ıclica.  k=−1. Se consigue que T=−2Zdh h2+ 1 = 2arccothh→h= coth T 2(3.2.102) y que a(T)=Υ0sinh2T 2.(3.2.103) Al igual que en caso anterior lo ´unico que podemos escribir es tcomo funci´on de T y no al contrario: t=1 2Υ0(sinh T−T).(3.2.104) Al calcular el escalar de Ricci R=3 Υ02sinh6(T/2),(3.2.105) observamos que en el puntos T= 0 ≡t= 0 existe una singularidad f´ısica, lo cual indica que este universo tambi´en naci´o de una singularidad (Big Bang). Adem´as las 35 Cap´ıtulo 3. Cosmolog´ıa expresiones 3.2.103 y 3.2.104 nos siguen permitiendo interpretar la forma de a(t): el factor de escala crece indefinidamente desde que nace el universo y para un Tmuy grande es posible aproximar tseg´un la funci´on t≈1 4Υ0eT,(3.2.106) o, lo que es lo mismo, a(t)≈t. (3.2.107) Es decir, este universo dominado por materia cuya densidad est´a por debajo de la densidad cr´ıtica se caracteriza por ser finito (nacer de una singularidad) y expandirse cada vez m´as hasta aproximarse, despu´es de mucho tiempo, al universo de Milne (para k=−1). Finalmente, para facilitar la visualizaci´on de estos modelos de universo dominados por radiaci´on se realiza una representaci´on gr´afica en la figura 3.1 de a(t) frente a tpara los distintos valores de kpara unas constantes Υ y Υ0elegidas arbitrariamente. Figura 3.1: Representaci´on de a(t) frente a ten un universo dominado por materia para los distintos valores de ky para unas constantes Υ y Υ0elegidas arbitrariamente. Se puede apreciar como el universo recolapsa para un valor de k= 1 y se expande hasta el infinito para k= 0 y k=−1, siendo la expansi´on m´as r´apida en el ´ultimo caso. (Gr´afica realizada con Python). Universos dominados por radiaci´on Un universo con ρr>0 y ρm=ρΛ= 0 admite los tres valores de k. Universo de Tolman o dominado por radiaci´on con k= 0 La ecuaci´on de Friedmann 3.2.74 queda como ˙a a2 =8πGρr0a4 0 3a4,(3.2.108) 36 cuya soluci´on es a(t) = (2Dt)1/2,(3.2.109) con D=p8πGρr0a4 0/3, una constante que tiene unidades de tiempo−1y que tambi´en coincide con el par´ametro de Hubble para t0(adem´as en este tipo de universos tambi´en suele escogerse a0= 1). En este caso estamos ante un universo plano dominado por radiaci´on, el factor a(t) crece proporcionalmente a t1/2. En t= 0 observamos una singularidad (se anular´ıa la parte espacial del diferencial de linea) cuya naturaleza, f´ısica o matem´atica, debemos determinar a trav´es de alg´un invariante de curvatura. En este caso, el escalar de Ricci no nos proporciona esa informaci´on porque es 0 en todos los puntos por construcci´on. En su lugar empleamos el invariante RµνRµν =3 4t,(3.2.110) observando que diverge para t= 0 y que este universo tambi´en nace de una singularidad. La edad de este universo puede obtenerse similarmente a como se obtuvo para un universo plano con materia, resultando en t0=1 2H0 .(3.2.111) Universos dominados por radiaci´on con k=±1 Para obtener las caracter´ısticas de estos modelos de universo es necesario volover a recurrir a las coordenadas conformes. De la ecuaci´on de Friedmann en coordenadas conformes 3.2.90 y con nuestras condiciones, ρr>0 y el resto de densidades cero, obtenemos que dT =da √D02−ka2.(3.2.112) con D0=p8πGρr0a4 0/3 siendo una constante con unidades de longitud (D0=D/c en SI). Haciendo el cambio de variable a2=D02x2podemos escribir la expresi´on anterior como T=Zdx √1−kx2.(3.2.113) Analizamos esta soluci´on para los dos valores de krestantes.  k= 1. Obtenemos que T= sin−1x, y deshaciendo el cambio y despejando conseguimos que a(T) = D0sin T. (3.2.114) Por otro lado, de la definici´on de tiempo conforme se sigue que t=D0(1 −cos T).(3.2.115) Estos dos resultados nos permiten conocer la forma de a(t) empleando una representaci´on param´etrica. Observamos singularidades en T= 0 ≡t= 0 y en T=π≡t= 2D0. El escalar de Ricci es cero por construcci´on, pero si calculamos el invariante RµνRµν =12 D04sin4(T),(3.2.116) revela que ambas son singularidades f´ısicas, pues diverge para esos valores. Este modelo de universo nace por tanto de una singularidad, a(t) crece hasta llegar a un valor m´aximo para T=π/2≡t=D0y se contrae hasta recolapsar en t= 2D0. 37 Cap´ıtulo 3. Cosmolog´ıa  k=−1. En este caso la soluci´on es T= sinh−1x, es decir, a(T) = D0sinh T(3.2.117) y t=D0(cosh T−1),(3.2.118) mostrando que a(t) crece para siempre cada vez m´as lentamente. El escalar de Ricci es tambi´en siempre cero en este caso, por lo que para estudiar la naturaleza de las singularidades calculamos RµνRµν =12 D04sinh4(T),(3.2.119) mostrando que en T= 0 ≡t= 0 existe una singularidad f´ısica. Por tanto, un universo abierto dominado por radiaci´on nacer´ıa de una singularidad y se expander´ıa para siempre, siendo esta expansi´on m´as r´apida en tiempos j´ovenes. Podemos observar una clara analog´ıa entre modelos de universo dominados por materia y por radiaci´on, aunque la evoluci´on siga funciones diferentes: todos nacen de una singularidad, se expanden para siempre para k= 0 y k=−1 y recolapsan para k= 1. En la figura 3.2 se muestra una representaci´on de de a(t) frente a ten los universos dominados por radiaci´on para los distintos valores de ky para unas constantes DyD0elegidas arbitrariamente. Figura 3.2: Representaci´on de a(t) frente a ten un universo dominado por radiaci´on para los diferentes valores de ky para unas constantes DyD0escogidas arbitrariamente. Al igual que en los universos dominados por materia, se puede observar que el universo recolapsa para un valor de k= 1 y se expande hasta el infinito para k= 0 y k=−1, siendo la expansi´on m´as r´apida para k=−1. (Gr´afica realizada con Python). Universos dominados por constante cosmol´ogica Universo con Λ positiva o de De Sitter Es un universo sin materia ni radiaci´on pero s´ı con costante cosmol´ogica positiva (ρm= ρr= 0, ρΛ>0). Este contenido permite los tres valores de k: 38  k= 0. Al emplear la ecuaci´on de Friedmann con estas condiciones en un universo plano obtenemos el factor de escala a(t) = eHt,(3.2.120) donde H= ˙a/a =pΛ/3 es la constante de Hubble en este universo (y se ha escogido a= 1 para t= 0). Es un universo plano en expansi´on exponencial infinita cuyo par´ametro de deceleraci´on es constante con valor q=−1, por lo que cada vez se expande m´as r´apido. Debido a la expansi´on acelerada, en este universo existe un horizonte c´osmico de eventos, que seg´un la ecuaci´on 3.2.62 se encuentra a Dg(hce)=e−Ht H,(3.2.121) es decir, el universo accesible decrece exponencialmente con el tiempo. Cada estado de este universo es un cambio en la escala de uno anterior, ha existido siempre y siempre existir´a.  k=±1. Un calculo directo da el valor del factor de escala: a(t) = cosh(Ht) H(3.2.122) para k= 1 y a(t) = sinh(Ht) H(3.2.123) para k=−1. Si ahora calculamos el tensor de Riemann obtendremos que para todos los casos de kse obtiene el mismo valor: Rµνλσ =H2(gρλgνσ −gρσgνλ).(3.2.124) Recordemos que el tensor de Riemann toma la forma 3.2.1 cuando la curvatura es contante (debemos tener presente sin embargo que Hno es el par´ametro de Hubble para k=±1). En este caso la curvatura no es solo constante a nivel espacial sino tambi´en a nivel temporal, siendo as´ı, el espacio de De Sitter, la m´axima expresi´on de la simetr´ıa en 4 dimensiones. Teniendo en cuenta adem´as que la forma 3.2.1 es ´unica para cada valor de Ky hemos obtenido el mismo valor para todos los k(3.2.124), observamos que el universo de De Sitter es el mismo para los distintos valores de k, solo que expresado en coordenadas diferentes, efectivamente la geometr´ıa se esta viendo afectada por el sistema de coordenadas empleado en este caso, haciendo que para el caso k= 1 se produzca un rebote, es decir, el universo decrece desde un valor infinito y rebota para crecer por siempre. Adem´as no existen singularidades f´ısicas en estos modelos. Aprovechamos tambi´en este modelo de universo para introducir lo que ser´ıa una extensi´on del principio cosmol´ogico, el principio cosmol´ogico perfecto. Seg´un este, el universo ser´ıa is´otropo y homog´eneo en el espacio y en el tiempo, lo cual puede traducirse matem´aticamente, entre otras cosas, en un par´ametro de Hubble constante, dando lugar a la m´etrica hallada en este modelo. Cabe mencionar que aunque este principio se haya cumplido de forma natural en universos dominados por una constante cosmol´ogica positiva, no significa que sea exclusivo de ellos, siempre podr´ıamos imponer el principio cosmol´ogico perfecto 39 Cap´ıtulo 3. Cosmolog´ıa y trabajar a partir de ah´ı. Por ejemplo, imponiendo dicha condici´on y suponiendo un universo dominado por materia en expansi´on llegar´ıamos a la conclusi´on de que en dicho universo es necesaria una creaci´on de materia constante (teor´ıa conocida como Teor´ıa del estado estacionario), pues el universo debe verse igual de homog´eneo e is´otropo a lo largo del tiempo, y esto solo es posible manteniendo la densidad de materia constante, incluso en caso de expansi´on, para lo cual se precisa de dicha creaci´on continua. No obstante, la evidencia observacional parece no estar de acuerdo con la Teor´ıa del estado estacionario. Universo con Λ negativa o de anti-De Sitter Observado la ecuaci´on de Friedmann puede verse que la ´unica curvatura compatible con este tipo de universo es la dada por k=−1. El valor del factor de escala es a(t) = sin(Jt) J(3.2.125) con J=p−Λ/3 Este universo ha existido desde siempre y siempre lo har´a, las singularidades presentes son solamente matem´aticas, indicando que no colapsa. En este espacio, dos part´ıculas se alejar´ıan primeramente la una de la otra para posteriormente ser frenadas y volver al lugar del que partieron. No obstante, no profundizaremos m´as en este universo, pues para hacer un completo tratamiento del mismo ser´ıa necesario emplear una quinta dimensi´on, adem´as de que considerar una constante cosmol´ogica negativa en el marco de la m´etrica de FLRW representa m´as un ejercicio matem´atico que f´ısico, pues va en contra de todas las observaciones. A´un as´ı, esta m´etrica se aplica en estudios en otras ramas de la f´ısica. Universo est´atico de Einstein Fue el primer modelo cosmol´ogico y fue propuesto por el propio Einstein. Einstein lleg´o a esta soluci´on considerando la constante cosmol´ogica e imponiendo que el universo deb´ıa ser est´atico (sin expandirse ni contraerse) como respuesta al pensamiento cient´ıfico de la ´epoca. Matem´aticamente un universo est´atico debe cumplir ˙a= ¨a= 0 y la ecuaci´on de aceleraci´on, al combinarla con las distintas ecuaciones de estado, toma la forma 0 = −4πG 3X (x) (3w(x)+ 1)ρ(x)→0 = ρm+ 2ρr−2ρΛ.(3.2.126) Hist´oricamente, Einstein ´unicamente deriv´o el modelo considerando que estaba dominado por materia y por la costante cosmol´ogica (ρr= 0) llegando a ρm= 2ρΛ.(3.2.127) Es decir, las densidades deber´ıan estar ajustadas exactamente como indica esta ecuaci´on, para lo cual no hab´ıa ninguna explicaci´on ni evidencia. Resolviendo ahora la ecuaci´on de Fridmann teniendo en cuenta 3.2.127 llegamos a a2=k 4πGρm =k Λ.(3.2.128) El ´unico valor posible de kes 1, pues -1 dar´ıa una ra´ız negativa y 0 significar´ıa que no hay universo. Es decir, el universo est´atico de Einstein tendr´ıa forma esf´erica y puesto que no se contrae ni se expande, un rayo de luz podr´ıa dar la vuelta al universo y volver a su punto de 40 partida (por ejemplo, no habr´ıa horizonte o corrimiento al rojo que lo impidiese como en otros casos). Este universo es, por tanto, finito, ilimitado y sin principio ni final. Las observaciones posteriores determinaron que nuestro universo est´a en expansi´on y el universo est´atico de Einstein fue rechazado. Adem´as, a˜nos m´as tarde se demostr´o que el universo est´atico presentado por Einstein es inestable, lo cual puede verse en los modelos a estudiar a continuaci´on: modelos de Lamaˆıtre y de Eddington-Lemaˆıtre. Modelo de Lemaˆıtre y modelo de Eddington-Lemaˆıtre El modelo de Lemaˆıtre supone un universo dominado por materia y por una constante cosmol´ogica positiva con k= 1. Para explicar este modelo es necesario calcular una cantidad en el universo est´atico de Einstein: ρma3. Esta cantidad indica la cantidad de materia/energ´ıa en un elemento de volumen a3, y es constante, lo cual se deduce de la ecuaci´on de conservaci´on 3.2.45, pues la materia fr´ıa carece de presi´on. En el universo est´atico de Einstein el valor de ρma3puede hallarse considerando las ecuaciones 3.2.127 y 3.2.128 (recordando que con k= 1): ρma3=1 4πG√Λ(3.2.129) Ahora bien, es posible establecer la evoluci´on general de un universo dominado por materia y por constante cosmol´ogica positiva en funci´on del valor de Λ. El valor que supone una ruptura es Λc, que viene de sustituir Λ en 3.2.129: Λc=1 4πGρma32 .(3.2.130) de modo que podemos clasificar tres evoluciones seg´un Λ sea mayor, igual o menor que Λc. Desafortunamente, puesto que en este modelo hay tres sumandos distintos de cero en la ecuaci´on de Friedmann, no podemos hallar una soluci´on anal´ıtica para a(t), pero s´ı llegar a conclusiones analizando la ecuaci´on de Friedmann 3.2.74 y aplicando lo que ya sabemos de modelos anteriores. Si Λ >Λctenemos que: 1. Inicialmente, puesto que la cantidad de materia es superior a la del universo est´atico de Einstein, el modelo se comportar´a de manera similar a un universo dominado por materia con k= 1, es decir, nace de una singularidad y en eras tempranas a(t) crece de manera aproximadamente proporcional a t2/3(en eras tempranas el comportamiento de a(t) en un universo dominado por materia es muy similar para los tres valores de k, como muestra la figura 3.1). 2. A medida que pasa el tiempo la velocidad con la que crece a(t) va decreciendo, pues la materia se va diluyendo y la densidad de constante cosmol´ogica, que es constante, comienza a ser comparable con la de materia. 3. Llega un momento en el se cumple la relaci´on necesaria entre la densidad de energ´ıa oscura y de materia estudiada en el universo est´atico de Einstein, de modo que alrededor de este punto, en un intervalo de tiempo conocido como coasting period, el universo parece ser est´atico. Este per´ıodo ser´a, como cabe esperar, mayor cuanto menor sea el valor de la constante cosmol´ogica. 4. Finalmente, al irse diluyendo a´un m´as la materia, el universo empieza a paracerse a uno dominado ´unicamente por una costante cosmol´ogica, de modo que tiende progresivamente al espacio de De Sitter y a una expansi´on acelerada. 41 Cap´ıtulo 4. Conclusi´on 48 Ap´endice A Herramientas matem´aticas A.1. Coordenadas covariantes y contravariantes (vectores, bases y tensores) y espacios La motivaci´on de introducir los conceptos de covarianza y contravarianza es poder definir propiamente el producto escalar y los elementos con los que se trabaja en la Teor´ıa de la Relatividad. Sea Aun punto de un espacio de Ndimensiones. Dado un sistema de referencia (un origen y una base ei), dicho punto viene dado por su vector de posici´on, a, seg´un sus coordenadas 1 en la base ei: r=xiei.(A.1.1) En vez de usar la base ei, se podr´ıa haber empleado una diferente como e0 i(pero el origen se mantiene por simplicidad). En dicho caso, el vector rvendr´a dado por una nuevas coordenadas, x0i: r=x0ie0 i.(A.1.2) Ambas bases se pueden relacionar mediante ej=∂r ∂xj=∂x0i ∂xje0 j,(A.1.3) donde ∂x0i/∂xjejes la componente Mi j(obs´ervese la equivalencia en la notaci´on de los ´ındices: Mi j=∂x0i/∂xj, arriba iy abajo jen ambos, esto ser´a usado siempre de ahora en adelante) de una matriz cuadrada M(N×N), conocida como matriz de cambio de base, una matriz tal que al aplicarla sobre los vectores de una base da otra. Se puede escribir: ej=Mi je0 i.(A.1.4) Una vez presentada esta matriz es importante diferenciar entre dos tipos de transformaciones: Una transformaci´on global es aquella en la que al cambiar de las coordenadas xµa unas coordenadas yν(xµ) las reglas de transformaci´on no cambian de punto a punto, en ellas, los elementos de la matriz Mson constantes. Por otra parte, se llama transformaci´on local a aquella en la que las reglas de transformaci´on si var´ıan de punto a punto, en ellas los elementos de la 1Los ejes del sistema de coordenadas no tienen por qu´e ser ortogonales entre ellos, es decir son coordenadas curvil´ıneas (ejemplo: coordenadas esf´ericas). Si los ejes fuesen ortogonales las coordenadas ser´ıan cartesianas, pero esto es solo un caso particular de coordenadas curvil´ıneas. 49 Ap´endice A. Herramientas matem´aticas matriz Mvar´ıan dependendiendo del punto en el que se realice la transfromaci´on, es decir, son funciones. Adem´as es posible relacionar las coordenadas del vector ren ambos sistemas de coordenadas mediante la matriz M: xi= (M−1)i jx0j=∂xi ∂x0jx0j,(A.1.5) donde M−1es la matriz inversa de M2. Por lo que tambi´en es v´alido escribir: x0i=Mi jxj.(A.1.6) Se puede observar que las coordenadas se transforman de manera inversa o contraria a como se transforma la base. Este tipo de coordenadas reciben el nombre de coordenadas contravariantes. Consideremos ahora una serie de aplicaciones qque al actuar sobre los vectores en sus coordenadas contravariantes dan lugar a un escalar (invariante sea cual sea el sistema de coordenadas). Una combinaci´on lineal de estas aplicaciones tambi´en ser´a una aplicaci´on, de modo que el espacio de estas aplicaciones lineales tiene la estructura de un espacio vectorial, y le denotaremos como espacio dual. Por tanto se puede considerar a qcomo vectores y crear una base eien la que puedan descomponerse en sus coordenadas, yi:3 q=yiei.(A.1.7) Puesto que estas aplicaciones act´uan para crear un escalar, se puede definir el producto de los vectores de la base del espacio y de su dual como: eiej.=δi j(A.1.8) Por la definici´on anterior, las componentes del vector qen la base eivienen dadas por yi=q·ei. Por tanto, las componentes del vector qen la base e0 ivienen dadas por y0 i=q·e0 i, es decir: y0 j=q·e0 j=q(M−1)i jei= (M−1)i jq·ei= (M−1)i jyi.(A.1.9) Se observa que las coordenadas de los vectores del espacio dual se transforman igual que los vectores de la base del espacio y de manera opuesta a las coordenadas contravariantes. Este nuevo tipo de coordenadas reciben el nombre de coordenadas covariantes. La aplicaci´on de un vector en sus coordenadas covariantes sobre uno en sus coordenadas contravariantes es lo que definiremos como producto escalar: bjaj. Los vectores de la base dual se tranforman seg´un e0i=Mi jej.(A.1.10) Por lo que el producto escalar es invariante ante el cambio de base. Cabe mencionar que normalmente no se habla de coordenadas covariantes y contravariantes porque en el cl´asico espacio eucl´ıdeo dichas coordenadas coinciden. Al haber introducido el espacio dual, es necesario describir claramente los elementos que nos sirven para trabajar tanto en un espacio como en su dual. En nuestro contexto: 2Es decir, (M−1)i jMj k=Mi j(M−1)j k=δi k, donde δi kes 1 si k=iy 0 si k6=i 3Obs´ervese que las coordenadas de los vectores del espacio dual se representan con un sub´ındice y no con un super´ındice 50 1. Un escalar es un elemento que se mantiene invariante sea cual sea el sistema de coordenadas. 2. Un vector es un elemento dado por coordenadas que se transforman de la siguiente forma: - Coordenadas contravariantes: x0i=Mi jxj=∂x0i ∂xjxj.(A.1.11) - Coordenadas covariantes: y0 j= (M−1)i jyi=∂xi ∂x0jyi.(A.1.12) 3. Un tensor es un elemento que se obtiene como el producto tensorial de dos o m´as vectores 4(pueden estar todos en sus coordenadas contravariantes, todos en sus coordenadas covariantes o unos en sus coordenadas contravariantes y otros en sus covariantes. Esto determinar´a el tipo de vector ante el que nos encontramos) Sean (xi)1,(xi)2, ..., (xi)lun conjunto de vectores en sus coordenadas contravariantes y (yi)1,(yi)2, ..., (yi)mun conjunto de vectores en sus coordenadas covariantes. Entonces: - Obtenemos un tensor contravariante Ai1...ilde rango lal realizar el producto tensorial de todos los vectores (xi)l. Es un objeto de RN×... ×RN(lveces). Tendiendo en cuenta las propiedades de covarianza y contravarianza antes decritas, este tipo de tensor viene dados sus coordenadas en la base primada e0 imediante la transformaci´on: A0i1...il=Mi1 k1...Mil klAk1...kl=∂x0i1 ∂xk1...∂x0il ∂xklAk1...kl.(A.1.13) - Obtenemos un tensor convariante Bi1...imde rango mal realizar el producto tensorial de todos los vectores (yi)m. Es un objeto de ∗RN×... ×∗RN(mveces)5. Se transforma seg´un: B0 i1...im= (M−1)k1 i1...(M−1)km imBk1...km=∂xk1 ∂x0i1...∂xkm ∂x0imBk1...km.(A.1.14) - Obtenemos un tensor mixto Ci1...il j1...jmde rango lcontravariante y mcovariante (o rango (l, m)) al realizar el producto tensorial de todos los vectores (xi)ly (yi)m. O, lo que es lo mismo, el producto tensorial de Ai1...ilyBi1...im. Es decir, el producto de tensores es tambi´en un tensor. Es un objeto de RN×... ×RN...∗RN×...×∗RN. Se transforma seg´un: C0i1...il j1...jm=Mi1 k1...Mil kl(M−1)n1 j1...(M−1)nm jmCk1...kl n1...nm=∂x0i1 ∂xk1...∂x0il ∂xkl ∂xn1 ∂x0j1...∂xnm ∂x0jmCk1...kl n1...nm. (A.1.15) Un tensor puede entenderse como una generalizaci´on de escalares y vectores, ya que un escalar es un tensor de rango 0 y un vector es un tensor de rango 1. Ahora se necesita un modo de relacionar las coordenadas covariantes con las contravariantes. Esto es posible gracias a la m´etrica,gij, la cual se define como una aplicaci´on que transforma las coordenadas contravariantes en coordenadas covariantes. Tambi´en existe la m´etrica inversa,gij 4Es decir, sus componentes ser´an el producto de cada una de las componentes de un elemento con todas las dem´as de los otros. Ejemplos: Gjk =ajbk,Ri jk =Gjkci=ajbkci. 5* representa el dual. 51 Ap´endice A. Herramientas matem´aticas (gijgjk =δk i), que transforma las coordenadas covariantes en coordenadas contravariantes. La m´etrica es un tensor dos veces contravariante ya que se transforma siguiendo las reglas descritas anteriormente 6, por lo que a veces nos referiremos a ella como tensor m´etrico. Aplic´andola sobre los vectores y las bases: Para un vector: xi=gijxj,(A.1.16) xi=gijxj.(A.1.17) Para las bases: ei=gijej,(A.1.18) ei=gijej.(A.1.19) Para un tensor ver ap´endice B. Se puede deducir a partir de las ecuaciones A.1.3, A.1.10, A.1.11 y A.1.12 que la m´etrica tendr´a la siguiente forma: gµν =∂xi ∂x0µ ∂xj ∂x0νδij =eµeν.(A.1.20) Considerando todo lo anterior, el producto escalar entre dos vectores puede escribirse como q·r=yixi=gijyixj,(A.1.21) podemos definir la norma de un vector rseg´un |r|: |r|2=xixi=gijxixj=gijxixj.(A.1.22) Tambi´en es posible definir el elemento de l´ınea ds como: ds2=gµνdxµdxν.(A.1.23) Para finalizar esta secci´on, es importante hacer una clasificaci´on de distintos espacios en base a su m´etrica: 1. Espacio eucl´ıdeo: se caracteriza por un m´etrica plana, es decir, gij es la matriz unidad. En ´el, la norma al cuadrado de un vector no nulo solo puede ser mayor que cero. 2. Espacio rimeniano: su m´etrica hace posible que la norma al cuadrado de un vector no nulo sea mayor o menor que cero. 3. Espacio semi-rimeniano: su m´etrica hace posible que la norma al cuadrado de un vector no nulo sea cero, mayor o menor que cero. 6Para saber las caracter´ısticas algebr´aicas de los tensores ver el ap´endice B 52 A.2. Regla de derivaci´on de un vector en coordenadas curvil´ıneas Sea un vector vdado por sus coordenadas contravariantes: v=vνeν.(A.2.1) Diferenci´andolo: ∂v ∂xµ=∂(vνeν) ∂xµ.(A.2.2) Cambiamos la notaci´on (∂/∂xµ=∂µ) y operamos: ∂µv=∂µvνeν+vν∂µeν= (∂µvρ+vνΓρ µν)eρ,(A.2.3) donde Γρ µν =∂µeνes la componente ρdel vector ∂µeνen la base eρy se conoce como conexi´on de Levi-Civita os´ımbolos de Christoffel. Este elemento no es un tensor, es sim´etrico en µyν, y puede escribirse en funci´on del tensor m´etrico como: Γρ µν =1 2gρλ(∂µgλν +∂νgµλ −∂λgµν).(A.2.4) Se conoce como derivada covariante ∇µ=∇/dxµde las coordenadas contravariantes del vector vµal elemento: ∇µvρ=∂µvρ+vνΓρ µν.(A.2.5) En el caso de un tensor Tµ1...µn ν1...νn, la derivada covariante toma la forma: ∇ρTµ1...µn ν1...νn=∂ρTµ1...µn ν1...νn+ Γµ1 ρλTλµ2...µn ν1...νn+... + Γµn ρλ Tµ1...µn−1λ ν1...νn−Γλ ρν1Tµ1...µn ν1...νn−... −Γλ ρν1Tµ1...µn ν1...νn−1λ. (A.2.6) Pudiendo observar que hay una conexi´on por cada ´ındice. A.3. Variedades, mapas y atlas La Teor´ıa de la Relatividad propone que vivimos en un universo curvo de 4 dimensiones, en matem´aticas este objeto se conoce como variedad. Una variedad de N-dimensiones VNes un espacio con aspecto de RNde forma local. Es posible encontrar un plano tangente Tp(V) en cada punto pde la variedad. El conjunto de todos los planos tangentes en todos los puntos recibe el nombre haz tangente T(V). Una parte de una variedad, junto con un sistema de coordenadas que la describe, recibe el nombre de mapa. Sea una regi´on de la variedad en la que dos mapas se solapan. En dicha regi´on es posible usar el sistema de coordenadas de uno y de otro sistema, por lo que debe existir una transformaci´on que lleve del sistema de coordenadas de un mapa al del otro y viceversa. Si todos los mapas tienen esta propiedad y cubren toda la variedad, el conjunto de todos los mapas recibe el nombre de atlas. En una variedad, el tensor m´etrico ha de ser tenido en cuenta en su elemento de volumen (dxdydz...). Para un variedad de N-dimensiones, el elemento de volumen toma la forma: p|g|dNx, (A.3.1) donde |g|es el determinante del tensor m´etrico. Ello se debe a que el producto A.3.1 es invariante bajo un cambio de coordenadas. 53 Ap´endice A. Herramientas matem´aticas A.4. Transporte paralelo de vectores y conexi´on de LiviCivita Es importante recalcar que los vectores no se encuentran en la variedad como tal, sino en los planos tangentes a ellas ya descritos. De modo que el transporte de un vector sobre una variedad no es algo trivial. Para empezar, supongamos que tenemos un vector en un punto ay otro en un punto b, es decir tenemos un vector que pertenece al plano Ta(V) y otro a Tb(V), dos espacios vectoriales distintos. En un espacio no curvo, relacionar el vector en ay el vector en b mediante operaciones comunes (sustracci´on, adici´on, productos...) no es posible, pues como se ha dicho, los vectores se encuentran en espacios vectoriales diferentes. En su lugar, para poder trabajar con los vectores por ejemplo en Tb(V) es necesario un vector que se encuentre en Tb(V), Aµ a(b), y tenga toda la informaci´on del vector en Ta(V), Aµ(a). Supongamos que el punto atiene coordenadas xµy el punto b xµ+δxµ. Para desplazamientos peque˜nos el transportado paralelo es el vector Aµ(a) m´as un t´ermino de correcci´on: Aµ a(b) = Aµ(a)−Ωµ νρδxνAρ(a),(A.4.1) donde Ωµ νρ expresa como cambia la coordenada µdel vector Aµ(a) cuando se transporta paralelamente. Es importante mencionar que el transportado paralelo depende de la curva que se haya seguido para ir de aaby la elecci´on de la conexi´on Ωµ νρ es arbitraria. Sin embargo, conocida la m´etrica, podemos calcular una conexi´on que nos ser´a de ayuda, ya que cumple ciertas caracter´ısticas f´ısicas, la conexi´on de Levi-Civita, ya introducida en el cap´ıtulo anterior (A.2.4), por lo que a partir de ahora siempre haremos la elecci´on Ωµ νρ = Γµ νρ,(A.4.2) lo cual simplificar´a en gran medida los resultados. La conexi´on de Levi-Civita Γµ νρ se caracteriza, como ya se ha dicho, por ser sim´etrica en ν yρy por hacer que la derivada covariante del tensor m´etrico ∇µgνρ sea cero. En el caso de tensores, un tensor Tµ1...µn ν1...νnes transportado paralelamente en una curva si se cumple: uρ∇ρTµ1...µn ν1...νn= 0,(A.4.3) donde uρ=dxµ/dτ es el vector tangente a la curva xµ(τ). En algunos textos, este producto del vector tangente a la curva uρen la direcci´on en la que se realiza la deriva covariante ∇ρ, recibe el nombre de derivada absoluta D/dτ, y ser´ıa una generalizaci´on de la derivada total: DTµ1...µm ν1...νn dτ =∇Tµ1...µm ν1...νn dxµ dxµ dτ .(A.4.4) A.5. Curvatura y tensores de curvatura Los seres humanos podemos visualizar espacios curvos de una y dos dimensiones, al verlos desde fuera, desde un espacio de tres. Pero cuando el n´umero de dimensiones aumenta dejamos de ser capaces de visualizarlos. Por tanto, es necesario una definici´on con la podamos establecer cu´ando un espacio es curvo. Si transportamos un vector de forma paralela en una curva cerrada y observamos que el vector resultante difiere del vector original, diremos que nos encontramos en una variedad curva. Para poder medir la curvatura se estudiar´a la diferencia entre dos vectores, que ser´an los transportados paralelos de un mismo vector a trav´es de dos caminos diferentes. 54 Esto se lleva a cabo empleando el conmutador de la derivadas covariantes en cada uno de los caminos escogidos sobre el vector: [∇µ,∇ν]Vλ= (∇µ∇ν−∇ν∇µ)Vλ.(A.5.1) Operando se llega a [∇µ,∇ν]Vλ=Rλ µνρVρ,(A.5.2) donde Rλ µνρ =∂µΓλ νρ −∂νΓλ µρ + Γλ µσΓσ νρ −Γλ νσΓσ µρ (A.5.3) se conoce como tensor de Riemann. Este tensor ser´a nuestra forma de medir la curvatura, de modo que si todas sus componentes son cero diremos que estamos en una variedad plana. As´ı, es un espacio eucl´ıdeo tanto las componentes del tensor de Riemann como los s´ımbolos de Christoffel tienen todas sus componentes nulas. El tensor de Riemann Rλ µνρ es antisim´etrico en µyν. Bajando su ´ındice contravariente llegamos al tensor de Riemann completamente covariante: Rµνρλ =gλσRσ µνρ,(A.5.4) este tensor es sim´etrico en el intercambio de µyνcon ρyλ. Otro tensor importante en la Teor´ıa de la Relatividad es el tensor de Ricci, que se obtiene al contraer el ´ındice contravariante con el segundo ´ındice covariante del tensor de Riemann: Rµν =Rρ µρν =∂µΓλ λν −∂λΓλ µν + Γλ µσΓσ λν −Γλ µνΓσ σλ.(A.5.5) Si contraemos los dos ´ındices del tensor de Ricci obtenemos el escalar de Ricci: R=gµνRµν.(A.5.6) A.6. Geod´esicas y desviaci´on geod´esica En nuestro estudio es muy importante el concepto de distancia. Es por ello que las geod´esicas tienen un papel fundamental. Una geod´esica es la curva xµ(τ) de m´ınima longitud que une dos puntos de una variedad. En A.1.23 definimos el elemento de l´ınea ds y la geod´esica hace que Zds = m´ınimo.(A.6.1) Aplicando el principio variacional y las ecuaci´ones de Euler-Lagrange llegamos a la ecuaci´on de la geod´esica: d2xµ dτ2+ Γµ νρ dxν dτ dxρ dτ = 0.(A.6.2) Las geod´esicas, en general, no se mantienen a la misma distancia las unas de las otras a medida de nos desplazamos por una variedad, sino que se acercan o se alejan. Este fen´omeno se describe mediante la desviaci´on geod´esica. Sea una curva geod´esica xµ(τ), dxµ/dτ el vector tangente a dicha geod´esica y δxµel desplazamiento hacia una geod´esica cercana. Entonces, calculando c´omo de r´apido se acerca una geod´esica a otra, si convergen o divergen se obtiene que ∇2δxλ dτ2=−Rλ µνρδxνdxµ dτ dxρ dτ .(A.6.3) Es de esperar, y as´ı se cumple, que para un espacio plano la desviaci´on geod´esica es cero. Adem´as es posible hacer una clasificaci´on de una geod´esica xµ(τ) que unen dos puntos seg´un el par´ametro χ=gµν dxµ dτ dxν dτ : 55 Ap´endice A. Herramientas matem´aticas Temporal: χ= 1. Nula: χ= 0. Espacial: χ=−1. Esto es de mucha utilidad para explicar las caracter´ısticas f´ısicas de un cuerpo en un espacio curvo. 56 Ap´endice B ´ Algebra de tensores Los tensores se caracterizan, adem´as de por lo que ya se ha estudiado, por: Si todas las componentes de un tensor son nulas en un sistema de coordenadas, tambi´en lo ser´an en todos los sistemas de coordenadas. Sean AyBdos tensores de rango (m, n), entonces su combinaci´on lineal ser´a un tensor Cde rango (m, n). Sean Aun tensor de rango (m, n) y Bun tensor de rango (p, q), entonces su producto tensorial es un tensor Cde rango (m+p, n +q). Un tensor Tij... es sim´etrico en iyjsi Tij... =Tji.... Si un tensor es sim´etrico en una base, lo ser´a en todas. Un tensor Tij... es antisim´etrico en iyjsi Tij... =−Tji.... Si un tensor es antisim´etrico en una base, lo ser´a en todas. El tensor m´etrico gij puede emplearse para ”bajar ´ındices”, es decir, si tenemos un tensor Ade rango (m, n) y realizamos el producto de gij por Aobtendremos un tensor Bde rango (m−1, n + 1). Del mismo modo, el tensor m´etrico inverso gij puede usarse para ”subir ´ındices”, es decir, si tenemos un tensor Tde rango (m, n) y realizamos el producto de gij por Tobtendremos un tensor Rde rango (m+ 1, n −1). Es posible reducir el rango de un tensor mediante un proceso llamado contracci´on. Sea un tensor Ade rango (m, n), mediante la contracci´on se puede obtener un tensor Bde rango (m−1, n −1). Esto se consigue sumando dos ´ındices: Bi1...im−1 j1...jn−1=Ai1...im−1k j1...jn−1k.(B.0.1) Tambi´en es posible contraer dos ´ındices del mismo tipo empleando el tensor m´etrico o su inverso, es decir, partir de un tensor de rango (m, n) y obtener un tensor (m−2, n) o (m, n −2): Di1...im−2 j1...jn=gklDi1...im−2kl j1...jn.(B.0.2) Di1...im j1...jn−2=gklDi1...im j1...jn−2kl.(B.0.3) Operador derivada con respecto a las coordenadas ∂: este operador es un vector que puede presentarse de manera covariante o contravariante, respectivamente: ∂ ∂xµ=∂µ.(B.0.4) ∂ ∂xν =∂ν.(B.0.5) 57 Ap´endice D. Algunos modelos cosmol´ogicos que no satisfacen el principio cosmol´ogico Adem´as llegamos a que el contenido de materia se relaciona con algunas de las funciones mediante ρm=∂(2Me3ν) ∂r /8πGe2β∂eβ ∂r .(D.0.28) Y es tambi´en posible obtener una funci´on para la variable temporal a partir de D.0.26: t−tB(r) = ZΦ 0 d˜ Φ q−k+ 2M/˜ Φ+Λ˜ Φ2/3 ,(D.0.29) donde tB(r) es una funci´on que aparece como constante de integraci´on y que recibe el nombre de momento del Big Bang. En estos universos, se puede demostrar tras un largo c´alculo, que el signo de g(r) proporciona la informaci´on de la geometr´ıa, y que, en el caso de Λ = 0, k(r) nos da la informaci´on sobre la evoluci´on. Si g > 0, la geometr´ıa del espaciotiempo es esf´erica. Si g= 0, la geometr´ıa es plana. Si g < 0, la geometr´ıa es hiperb´olica. Por otro lado, si Λ = 0, se cumple que Si k > 0 el universo nace de una singularidad (demostrable al calcular los invariantes de curvatura) en tBy se expande hasta volver a recolapsar. Si k < 0 el universo se expander´ıa (y se habr´ıa expandido) por siempre o bien ir´ıa hacia un colapso por siempre. Si k= 0 estar´ıamos ante el caso l´ımite de no recolapso, como en el universo plano dominado por materia de la m´etrica de FLRW. Puesto que estas dos funciones est´an relacionadas mediante una ecuaci´on el signo de una afecta a la otra (nos ocurri´o lo mismo en el caso de FLRW cuando no todas las fuentes de materia/energ´ıa admit´ıan todas las curvaturas). Observando D.0.27 y teniendo en cuenta que 1/h(r)2>0 siempre, obtenemos que Para g > 0, los tres valores de kson admitidos. Para g > 0, kpuede ser cero o menor que cero. Para g < 0, tan solo es posible que k= 0. Algo muy peculiar de esta m´etrica es que, dado que g(r) y k(r) son funciones de rlas distintas regiones del universo pueden tener evoluciones diferentes, as´ı por ejemplo unas pueden expandirse para siempre mientras que otras colapsan. No obstante, actualmente en investigaci´on se emplean m´as habitualmente los casos de g(r)>0 y Λ = 0. Los modelos Szekeres se han utilizado para tratar de dar explicaci´on a la evoluci´on del universo a partir del desacoplo de la materia y la radiaci´on (momento en el que se origin´o la radiaci´on de fondo de microondas), la formaci´on de c´umulos de galaxias y s´uper c´umulos, vac´ıos c´osmicos... Y algo muy relevante, que puede llegar a suponer un antes y un despu´es en el estudio de la cosmolog´ıa, es que algunos procesos asociados a la energ´ıa oscura pueden ser explicados en realidad por variaciones espaciales, por lo que abrir´ıa la puerta a prescindir de 64 de dicha energ´ıa de naturaleza desconocida para explicar el universo. No obstante esto es a´un campo de estudio. Unos modelos, subtipos de de Szekeres, que se han empleado precisamente en la investigaci´on de los fen´omenos mencionados anteriormente de modo m´as frecuente son los modelos de Lemaˆıtre-Tolman-Bondi, que estudiaremos a continuaci´on. Modelos de Lemaˆıtre-Tolman-Bondi La m´etrica de Lemaˆıtre-Tolman-Bondi es la de un universo is´otropo pero inhomog´eneo. Este universo poseer´ıa simetr´ıa esf´erica respecto al observador com´ovil y la fuente de energ´ıa/materia ser´ıa tambi´en materia pulverizada (tensor 2.4.6), adem´as contempla la existencia de la constante cosmol´ogica como posibilidad. Situ´andonos en el origen de coordenadas y empleando coordenadas esf´ericas el anstaz puede escribirse como ds2=−dt2+∂R(t,r) ∂r 2 1+2E(r)dr2+R(t, r)2dθ2+ sin2θdφ2,(D.0.30) donde E(r) es una funci´on arbitraria que aparece como constante de integraci´on al resolver las ecuaciones de Einstein y R(r, t) es una funci´on que cumple que ∂R(r, t) ∂t 2 = 2E(r)+2M(r) R(r, t)+1 3ΛR(r, t)2,(D.0.31) donde Λ es de nuevo la constante cosmol´ogica y M(r) es una funci´on que tambi´en aparace como constante de integraci´on al resolver las ecuaciones de Eisntein, y que debe tomar valores no negativos. Obs´ervese el parecido de D.0.31 con las ecuaciones de Friedmann, lo cual nos facilita realizar una interpretaci´on f´ısica de esta m´etrica. Adem´as esta ecuaci´on no puede resolverse de forma anal´ıtica si todos sus sumando son distintos de cero. Al depender la m´etrica de ty de rexhiben la inhomogeneidad pero isotrop´ıa propia de estos universos, pues gµν no tiene dependencia en θni φ. Tambi´en al resolver las ecuaciones de Einstein podemos relacionar M(r) con la densidad de materia mediante ρm= dM(r) dr 4πGR(r, t)2∂R(r,t) ∂r .(D.0.32) Asumiendo a partir de ahora que Λ = 0, es posible obtener una soluci´on anal´ıtica para D.0.31. Adem´as esta m´etrica admite distintos tipos de evoluci´on, que dependen de la funci´on E(r): Si E < 0, R(r, t) toma la forma (al resolver D.0.31) R(r, t) = −M 2E(1 −cos η),(D.0.33) donde ηes un par´ametro que satisface η−sin η=(−2E(r))3/2 M(r)(t−tB(r)) .(D.0.34) donde tB(r) es de nuevo el momento del Big Bang. 65 Ap´endice D. Algunos modelos cosmol´ogicos que no satisfacen el principio cosmol´ogico Si E= 0, R(r, t) toma la forma R(r, t) = 9 2M(r)(t−tB(r))21/3 .(D.0.35) Si E > 0, tenemos que R(r, t) = M 2E(cosh η−1) ,(D.0.36) con sinh η−η=(2E(r))3/2 M(r)(t−tB(r)) .(D.0.37) Analizando las evoluciones, se puede determinar que ´unicamente para el caso de E(r)<0 el universo puede recolapsar. En un universo de LTB general (como en los Szekeres en general), el signo de E(r) puede cambiar dependiendo de la regi´on, de modo que el comportamiento de la diferentes regiones puede ser muy distinto. Adem´as si tBy|E|3/2/M son constantes, recuperamos las soluciones halladas con la m´etrica de FLRW para materia fr´ıa, siendo estas un caso particular de la m´etrica de LTB. Si consideramos que M(r) = M0r3y que, por tanto E(r) = E0r2donde M0yE0son constantes arbitrarias, rser´ıa la coordenada radial empleada en la m´etrica de FLRW y E0=−k/2 donde kes la constante de curvatura de esa misma m´etrica ya estudiada. 66 Ap´endice E Script usado para trabajar con m´etricas Para realizar este trabajo se han empleado varios programas, tanto para la resoluci´on de algunos c´alculos como para el desarrollo de gr´aficas. A continuaci´on se expone el c´odigo que se ha empleado para obtener diversas propiedades de las m´etricas estudiadas usando el software SageMath: version() % display latex #Variables y variedad M = Manifold(4, ’M’, structure=’Lorentzian’) print(M) fr.<t,r,th,ph>= M.chart(r’t r:[0,+oo) th:[0,pi]:\theta ph:[0,2*pi): \phi’) (las coordenadas pueden elegirse as´ı, en esf´ericas, o del modo que se prefiera) var(’G, Lambda, k’, domain=’real’) a = M.scalar field(function(’a’)(t), name=’a’) rho = M.scalar field(function(’rho’)(t), name=’rho’) P = M.scalar field(function(’P’)(t), name=’P’) (pueden a˜nadirse m´as variables...) #Tensor m´etrico g = M.metric() g[0,0] = (a˜nadir...) g[1,1] = g[2,2] = g[3,3] = ... g.display() g[:] #S´ımbolos de Chrisstofel nabla = g.connection() g.christoffel symbols display() #Tensor de Ricci Ricci = nabla.ricci() Ricci.display comp() #Escalar de Ricci Ricci scalar = g.ricci scalar() Ricci scalar.display() 67 Ap´endice E. Script usado para trabajar con m´etricas #Tensor de energ´ıa-impulso u = M.vector field(’u’) u[0] = 1 u.display() g(u,u).expr() u.dot(u).expr() u form = u.down(g) u form.display() T = (rho+P)*(u form*u form) + P*g T.set name(’T’) print(T) T.display() T.display comp T[:] Para obtener las ecuaciones de Friedmann adem´as puede emplearse lo siguiente (siempre que g sea el de la m´etrica de FLRW): #Ecuaciones Ttrace = g.inverse()[’ˆ ab’]*T[’ ab’] Ttrace.display() E1 = Ricci – Ricci scalar/2*g + Lambda*g - (8*pi*G)*T print(”First Friedmann equation:\n”) E1[0,0].expr().expand() == 0 E2 = Ricci - Lambda*g - (8*pi*G)*(T - Ttrace/2*g) print(”Second Friedmann equation:\n”) E2[0,0].expr().expand() == 0 Si queremos calcular por ejemplo un invariante como RµνRµν podemos emplear la siguiente l´ınea de c´odigo: F=Ricci.down(g)[’ {ab}’] * Ricci.up(g)[’ˆ {ab}’] 68 Bibliograf´ıa [1] Janssen, B. (2013). Teor´ıa de la Relatividad General. Universidad de Granada. [2] Weinberg, S. (1972). 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