Aspectos Discretos de la Segunda Forma Fundamental de Subvariedades

FACULTAD DE MATEM´ ATICAS DEPARTAMENTO DE GEOMETR´ IA Y TOPOLOG´ IA Aspectos Discretos de la Segunda Forma Fundamental de Subvariedades Realizado por: Antonio Ram´ırez de Arellano Marrero VºBºy dirigido por: Dr. Alfonso Carriazo Rubio Dr. Luis Manuel Fern´andez Fern´andez Sevilla, Junio de 2021 Resumen En este trabajo estudiamos un tema que conecta elementos de dos ´areas de las Matem´aticas a priori separadas: estructuras combinatorias de la Matem´atica Discreta y las subvariedades de la Geometr´ıa Diferencial. Para ello, analizamos una serie de art´ıculos en los que se desarrolla la teor´ıa de subvariedades asociadas a grafos. Ampliamos con un nuevo m´etodo de representaci´on de subvariedades mediante una estructura combinatoria y estudiamos la forma de la misma adem´as de clasificar subvariedades us´andola como herramienta. Finalmente planteamos c´omo encontrar una relaci´on entre ambas representaciones. Abstract In this work we study a subject which conect elements of two different brunches in Mathematics: combinatory structures from Discrete Mathematics and submanifolds from Differential Geometry. To do this, we focus on some articles where submanifolds theory asociated with graphs is developed. In addition, we present a new method of submanifolds representation with a combinatory structure and we study how can them be and we use them to classify submanifolds. Finally, a relation between the two ways of representation is proposed. ´ Indice general Introducci´on 7 1. Preliminares 11 1.1. Geometr´ıa Riemanniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.1. Conexi´on Riemanniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2. Subvariedades isom´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.1. La Segunda Forma Fundamental . . . . . . . . . . . . 15 1.2.2. Subvariedades Totalmente Geod´esicas . . . . . . . . . . 18 1.2.3. Subvariedades Totalmente umbilicales . . . . . . . . . . 18 1.3. Geometr´ıa casi-Herm´ıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.1. Subvariedades Slant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.2. Subvariedades Bi-slant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2. Subvariedades Asociadas a grafos 25 2.1. Representaci´on Gr´afica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2. Subvariedades d´ebilmente asociadas a grafos . . . . . . . . . . 31 3. Nueva representaci´on de Subvariedades 41 3.1. Representaci´on Combinatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2. Resultados generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2.1. Subvariedades Totalmente Umbilicales . . . . . . . . . 44 3.2.2. Subvariedades Lagrangianas . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2.3. Subvariedades M´ınimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.3. Dimensiones Inferiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.3.1. Superficies en f M4..................... 53 3.3.2. Curvas en R3....................... 58 3.4. Un nuevo tipo de subvariedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5 6´ INDICE GENERAL Bibliograf´ıa 65 Introducci´on El estudio de la Teor´ıa de Subvariedades surgi´o como extensi´on natural del estudio cl´asico de las curvas y superficies en el espacio eucl´ıdeo tridimensional, aplicando m´etodos de c´alculo diferencial. Desde principios de siglo XX, esto ha evolucionado en uno de los pilares fundamentales dentro de la geometr´ıa diferencial con diversas ramas, entre ellas podemos encontrar las dos que estudiaremos en este trabajo, el estudio de comportamiento de la Segunda Forma Fundamental y la Geometr´ıa casi-Herm´ıtica. El concepto de conexi´on y curvatura de la Segunda Forma Fundamental aparecieron primero con los trabajos de J. Weingarten, G. Darboux y E. Cartan, pero no fue hasta iniciados los sesenta cuando se profundiz´o en el estudio de la Segunda Forma Fundamental como tensor m´etrico con el trabajo inicial de P.J. Erard. A˜nos m´as tarde ya surgieron escritos recopilatorios y m´as generales de entre los que se encuentra el libro de J.M. Lee [11]. La comprensi´on del comportamiento de una subvariedad bajo la acci´on de una estructura casi compleja Jde una variedad casi-Herm´ıtica se ha convertido en un tema de investigaci´on interesante. Dentro de este ´ambito, las subvariedades complejas y las subvariedades totalmente reales son bien conocidas y fueron generalizadas por B.Y. Chen definiendo las inmersiones slant [6]. M´as tarde, N. Papaghiuc introdujo una noci´on a´un m´as general, las subvariedades semi-slant [13], que tambi´en incluye a la clase de subvariedades CR. Por ´ultimo, A. Carriazo defini´o una mayor generalizaci´on que inclu´ıan a todas las anteriores, las subvariedades bi-slant [2]. Adem´as en este mismo art´ıculo, mostr´o una representaci´on gr´afica (mediante grafos), a partir de la estructura casi-compleja de la variedad. De esta representaci´on podemos encontrar una asociaci´on entre grafos y subvariedades como ya hicieron los autores A. Carriazo y L.M. Fern´andez en [5], la cual surge del estudio de las superficies slant. Dada una superficie M2 θ-slant propia en una variedad casi-Herm´ıtica (f M4, J, g), Chen demostr´o que 7 8INTRODUCCI ´ ON podemos considerar una referencia local ortonormal especial, las referencia slant adaptada [6], {e1, e2, e3, e4}de forma que e1, e2son tangentes a M,e3, e4 normales a M, y verifican las siguientes igualdades: g(Je1, e2) = −g(Je3, e4) = cos θ, g(Je1, e3) = −g(Je2, e4) = −sin θ, g(Je1, e4) = g(Je2, e3) = 0. De aqu´ı podemos sacar una representaci´on gr´afica del comportamiento de del operador casi-complejo Jen M. Definimos pues, un grafo aplicando el siguiente m´etodo: 1. Consideremos un v´ertice por cada campo de la referencia, etiquetado con su sub´ındice natural. 2. Diremos que la arista {i, j}existe si y solamente si g(JXi, Xj)6= 0. 3. A cada arista le asignamos el peso dado por g2(JXi, Xj). 4. Finalmente, para obtener informaci´on visual adicional, pondremos los v´ertices correspondientes a los campos tangentes en una linea inferior imaginaria y a los correspondientes a los campos normales en una l´ınea superior. Figura 1: Grafos asociados a una superficie slant INTRODUCCI ´ ON 9 En la Figura 1, el Grafo 1 corresponde al aplicar los pasos 1,2 y 4. Mientras que el Grafo 2 realizamos tambi´en el paso 3. Esta diferencia nos da un grafo ponderado y uno que no. De aqu´ı tambi´en surge el estudio de una asociaci´on d´ebil donde los grafos no est´en ponderados, como hicieron A. Carriazo, L. M. Fern´andez y A. Rodr´ıguez-Hidalgo en [4]. Todas estas asociaciones nos construye un puente entre dos ´areas de las matem´aticas tradicionalmente separadas, la Matem´atica Discreta y la Geometr´ıa Diferencial, convirti´endose en una ´util herramienta para la clasificaci´on de subvariedades. Viendo todos los buenos resultados y la utilidad que se consigui´o con esta relaci´on, cabe preguntarse si se puede buscar relaciones o representaciones parecidas pero con otro tipos de estructuras que no sea la del operador casi-complejo. Esta ya lo hicieron los autores L. Boza, A. Carriazo y L. M. Fern´andez [3]. En este trabajo, daremos una nueva representaci´on combinatoria a partir del comportamiento de la Segunda Forma Fundamental de la subvariedad respecto de la variedad ambiente. Tomando una superficie como la anterior podemos aplicar el siguiente m´etodo: 1. Consideremos un v´ertice por cada campo de la referencia, etiquetado con su sub´ındice natural. 2. Para i, j ∈ {1,2}con i≤jyk∈ {3,4}tenemos que: a) Si i=j, diremos que la arista {i, k}existe si y solamente si g(h(Xi, Xi), Xk)6= 0. b) Si i6=j, diremos que el tri´angulo {i, j, k}existe si y solamente si g(h(Xi, Xj), Xk)6= 0. 3. A cada arista {i, k}le asignamos el peso g(h(Xi, Xi), Xk) = hk ii y a cada tri´angulo {i, j, k}le asignamos el peso g(h(Xi, Xj), Xk) = hk ij. 4. Finalmente, para obtener informaci´on visual adicional, pondremos los v´ertices correspondientes a los campos tangentes en una linea inferior imaginaria y a los normales en una l´ınea superior. 16 CAP´ ITULO 1. PRELIMINARES Definici´on 1.2.13 Se define la Segunda Forma Fundamental de la inmersi´on hcomo: h(X, Y ) := (e ∇e Xe Y)⊥,para todo, X, Y ∈X(M), siendo e X, e Y∈X(f M) las extensiones de X, Y respectivamente. Observaci´on 1.2.14 Usando la Proposici´on anterior, llegamos a que: h(X, Y ) = e ∇e Xe Y−∇XY. Observaci´on 1.2.15 La definici´on anterior no depende de las extensiones de campo elegidas. Nota 1.2.16 Realmente, podemos expresar ahora la conexi´on ambiente de la siguiente forma: sea {e1, . . . , em, em+1, . . . , eem}una referencia local de campos ortonormal. De la igualdad anterior tenemos la F´ormula de Gauss, e ∇XY=∇XY+h(X, Y ) Igualando esta expresi´on con (1.1.2) llegamos a que ∇XY+h(X, Y ) = m X i=1 g(e ∇XY, ei)ei+ em X i=m+1 g(e ∇XY, ei)ei =∇XY+ em X i=m+1 g(e ∇XY, ei)ei, h(X, Y ) = em X i=m+1 g(e ∇XY, ei)ei. Llamando ahora hk ij =g(h(ei, ej), ek) = g(e ∇eiej, ek) llegamos a la siguiente f´ormula, h(ei, ej) = em X k=m+1 hk ijeki, j = 1, . . . , m, (1.2.1) que usaremos m´as adelante. Lema 1.2.17 (Ecuaci´on de Weingarten) Sea Muna subvariedad, teniendo los campos X, Y ∈TM yV∈TM⊥, se cumple que: g(e ∇XV, Y ) = −g(V, h(X, Y )).(1.2.2) 1.2. SUBVARIEDADES ISOM ´ ETRICAS 17 Definici´on 1.2.18 Sea Muna subvariedad, para cada campo V∈TM⊥se define el Operador Forma AVcomo el campo tensorial caracterizado por : g(X, AVY) = h(X, Y ),para todo X, Y ∈TM. Lema 1.2.19 (F´ormula de Weingarten) Sea Muna subvariedad. Para cada campo normal V∈TM⊥se cumple la siguiente igualdad: e ∇XV=−AVX+∇⊥ XV, para cualquier campo tangente X∈TM. Nota 1.2.20 Como hes sim´etrica, AVes un endomorfismo autoadjunto de TM para cada vector normal V, es decir, g(AVX, Y ) = g(X, AVY),para todo, X, Y ∈TM. Adem´as, sabemos que cada matriz inducida por los AVson matrices sim´etricas y, por tanto, todos sus autovalores son reales. Definici´on 1.2.21 Se dice que una subvariedad Mes austera [10] si para cada campo normal V, el conjunto de autovalores de AVes invariante salvo multiplicaci´on por −1, es decir, son de la forma: (λ1,··· , λp)=(a, −a, b, −b, ··· , c, −c, 0,0,··· ,0). Definici´on 1.2.22 Se define la Segunda Forma Fundamental evaluada en un punto pcomo hp:TpM×TpM→(TpM)⊥ hp(u, v) := (h(X, Y ))p siendo X, Y ∈Xtal que Xp=u, Yp=v. Proposici´on 1.2.23 La segunda forma fundamental evaluada en (h(X, Y ))p s´olo depende de los valores XpeYp. Como consecuencia, para todo p∈Mla segunda forma fundamental evaluada en pest´a bien definida. Proposici´on 1.2.24 Para todo p∈M,hp:TpM×TpM→(TpM)⊥es bilineal y sim´etrica. 18 CAP´ ITULO 1. PRELIMINARES Definici´on 1.2.25 Sea {e1,··· , em, em+1,··· , eem}una referencia local de campos ortonormal de la variedad ambiente en la que los mprimeros campos corresponden al espacio tangente a la subvariedad. Se define la curvatura media de la subvariedad como: H=1 m m X i=1 h(ei, ei). Definici´on 1.2.26 Se dice que una subvariedad es m´ınima si su curvatura media es id´enticamente nula. 1.2.2. Subvariedades Totalmente Geod´esicas Definici´on 1.2.27 Llamamos a una subvariedad isom´etrica Mde una variedad Riemanniana (f M, eg) totalmente geod´esica si cualquier geod´esica de la subvariedad Mcon su m´etrica inducida ges tambi´en una geod´esica de la variedad ambiente. Proposici´on 1.2.28 Sea una subvariedad Riemanniana (M, g)de una variedad Riemanniana (f M, eg). Los siguientes resultados son equivalentes: 1. (M, g)es totalmente geod´esica. 2. La segunda forma fundamental es nula, es decir, h= 0. La demostraci´on de esta proposici´on la encontramos en [15]. 1.2.3. Subvariedades Totalmente umbilicales Definici´on 1.2.29 Llamamos a una subvariedad isom´etrica Mde una variedad Riemanniana (f M, eg) totalmente umbilical si h(X, Y ) = g(X, Y )·H, (1.2.3) para todo X, Y ∈Tp(M), donde Hes la curvatura media de Men f M. Nota 1.2.30 Una subvariedad totalmente umbilical y m´ınima es una subvariedad totalmente geod´esica. 1.3. GEOMETR´ IA CASI-HERM´ ITICA 19 1.3. Geometr´ıa casi-Herm´ıtica La teor´ıa de subvariedades de variedades casi-Herm´ıtica hoy en d´ıa es una de las ´areas m´as trabajadas en la Geometr´ıa Diferencial y, adem´as, va a ser una herramienta fundamental para esta memoria. Por eso la introducimos aqu´ı adem´as de una serie de resultados ´utiles para m´as adelante. Estos conceptos los podemos encontrar en [6]. Definici´on 1.3.1 Sea f Mes una variedad diferenciable de dimensi´on par con Jun campo tensorial del tipo (1,1) tal que J2=−Id (llamado estructura casi compleja (f M, J)) y guna m´etrica Riemanniana sobre f M. Se dice que la terna (f M, J, g) es una variedad casi-Herm´ıtica si ges compatible con J, es decir: g(JX, JY ) = g(X, Y ), para todos X, Y ∈f M Nota 1.3.2 De la igualdad anterior deducimos que g(JX, Y ) = −g(X, JY ) y, por tanto, g(JX, X) = 0, para todos X, Y ∈f M. Definici´on 1.3.3 En el caso particular en el que e ∇J= 0, se dir´a que la terna (f M, J, g) es una Variedad de Kaehler. Nota 1.3.4 En el caso de las variedades de Kaehler, al tener e ∇J= 0, realmente lo que nos dice es que para todos X, Y ∈X(f M), (e ∇XJ)Y= 0, es decir que e ∇XJY −Je ∇XY= 0,y, por tanto, e ∇XJY =Je ∇XY, (1.3.1) Esto nos servir´a de gran utilidad en las caracterizaciones futuras. Tambi´en se pueden diferenciar distintos tipos de subvariedades inmersas en variedades casi-Herm´ıticas. Uno de ellas es mediante el comportamiento del espacio tangente respecto de la estructura casi compleja Jcorrespondiente. Nota 1.3.5 Sea Muna subvariedad de una variedad casi-herm´ıtica f MyX un campo de vectores tangente a M. Podemos expresar JX de la siguiente forma JX =TX +FX, donde TX es la parte tangente a MyFX la normal a M. 20 CAP´ ITULO 1. PRELIMINARES Definici´on 1.3.6 Sea Muna subvariedad de una variedad casi-herm´ıtica f M. Se dir´a que Mes una subvariedad totalmente real si J(TpM)⊆T⊥ pM para todo punto p∈M. Es decir, para cada campo no nulo X, tangente a Men un punto cualquiera p, el ´angulo entre JX yTpMes π/2. Definici´on 1.3.7 Sea Muna subvariedad de una variedad casi-herm´ıtica f M. Se dir´a que Mes una subvariedad compleja si J(TpM)⊆TpMpara todo punto p∈M. Es decir, para cada vector no nulo X, tangente a Men un punto cualquiera p, el ´angulo entre JX yTpMes cero. Definici´on 1.3.8 Se dice que una subvariedad n-dimensional es Lagrangiana cuando sea totalmente real y su variedad ambiente sea 2n-dimensional y Kaehler. Nota 1.3.9 Se puede encontrar una referencia local de campos ortonormal para una subvariedad Lagrangiana n-dimensional de la siguiente forma: B={X1,··· , Xn, JX1,··· , JXn}.(1.3.2) Gracias a que es totalmente real sabemos que los campos JXison normales a la subvariedad y ortonormales entre s´ı. A esta referencia la llamaremos referencia de campos Lagrangiana adaptada. Definici´on 1.3.10 Se dice que una subvariedad Mes una subvariedad Lagrangiana especial [10] si es Lagrangiana y m´ınima. Definici´on 1.3.11 Se dice que una subvariedad lagrangiana de dimensi´on ncon referencia de campos lagrangiana adaptada es H-umbilical [7] si la segunda forma fundamental cumple que h(X1, X1) = λJX1, h(X2, X2) = ··· =h(Xn, Xn) = µJX1, h(X1, Xj) = µJXj, h(Xj, Xk)=0, j 6=k, j, k ∈ {1,··· , n}(1.3.3) para λ, µ dos funciones locales. 1.3.1. Subvariedades Slant En esta parte veremos algunas f´ormulas elementales adem´as de definiciones sobre subvariedades slant en Geometr´ıa Compleja. Para m´as detalle se recomienda utilizar el libro que aparece en la referencia [6]. 1.3. GEOMETR´ IA CASI-HERM´ ITICA 21 Sea Muna subvariedad de una variedad casi-Herm´ıtica (f M, J, g) y sea gtambi´en la m´etrica inducida en M. Entonces, Mse dice que es una Subvariedad Slant si para cualquier p∈My para cada vector no nulo Xp∈ TpM, el ´angulo θ(Xp) entre el campo JpXpy el espacio tangente TpM, con 0≤θ(Xp)≤π/2, es una constante θllamada ´angulo slant de la subvariedad. En este caso diremos que Mes una subvariedad θ-slant. En particular, est´a claro que toda una subvariedad compleja (respectivamente, subvariedad totalmente real) es slant con ´angulo slant θ= 0 ( respectivamente, θ=π/2). Si Mes una subvariedad θ-slant tal que θ∈(0, π/2), entonces diremos que es una subvariedad slant propia. Sabemos gracias a la referencia [6] que Mes θ−slant si y solamente si T2X=−cos2θX (1.3.4) Adem´as m´as adelante daremos uso a otra caracterizaci´on de las subvariedades slant, que podemos encontrar en la referencia [12]: Lema 1.3.12 Sea Muna subvariedad de una variedad casi-herm´ıtica f M con B={X1, . . . , Xm}una referencia local de campos ortonormal de TM. Entonces Mes θ−slant si y solamente si m X i=1 g(JXj, Xi)g(JXk, Xi) = δjk cos2θ para cualesquiera j, k = 1, . . . , m. Tambi´en el autor en el art´ıculo [8] defini´o un tipo particular de superficies slant: Definici´on 1.3.13 Sea Muna superficie slant en una variedad Kaehler f M4. Se dice que Mes slant especial si, respecto de una referencia ortonormal adaptada B={e1, e2, e3, e4}, los operadores forma de Mtoman los siguientes valores: Ae3=cλ 0 0λ, Ae3=0λ λ0(1.3.5) para alguna constante c. Ahora bien, sea D[6] una distribuci´on diferenciable sobre M. De forma an´aloga a la Definici´on 1.3.7, se dice que Des complejo (resp. totalmente 22 CAP´ ITULO 1. PRELIMINARES real) si J(D) = D(resp. J(D)⊆T⊥M). Por otro lado, diremos que Des una distribuci´on slant [6] si para cualquier p∈My para cada Xp∈ Dp,Xp6= 0, el ´angulo θD(Xp),0≤θD(Xp)≤π/2, entre JpXpyθDes una constante llamada ´angulo slant de D. De hecho, θD(Xp) es el ´angulo entre JpXpy (PT)pXp donde Pdenota el operador proyecci´on de TM en D. Encontramos tambi´en la siguientes relaciones entre estas nociones (demostradas en la referencia [2]): Lema 1.3.14 En las condiciones anteriores, se tiene: Des una distribuci´on compleja si y solo si es una distribuci´on slant con ´angulo slant θD= 0. Des una distribuci´on totalmente real si y solo si es una distribuci´on slant con ´angulo slant θD=π/2. Si Des una distribuci´on θ−slant, se puede probar tambi´en que (PT)2X=−cos2θX. (1.3.6) A continuaci´on veamos algunos tipos de subvariedades que se puede sacar con este concepto de distribuci´on diferenciable. Sea f Muna variedad Kaehler de dimensi´on compleja nyMuna subvariedad Riemanniana m−dimensional inmersa en f M. Supongamos ahora que en Mtenemos una distribuci´on diferenciable D de manera que sea consistente con la estructura casi-compleja en f M, es decir, J(D)⊂ D. Es m´as, de forma complementaria, la distribuci´on ortogonal D⊥ supondremos que es totalmente real, es decir que J(D⊥)⊂(TpM)⊥. Llamaremos a la distribuci´on D(respectivamente, D⊥) la distribuci´on horizontal (respectivamente, vertical) en M. Definici´on 1.3.15 A la subvariedad Mdotada con las distribuciones mencionadas arriba (D,D⊥) se llama subvariedad CR en f M. Tambi´en podemos sacar otro tipo de subvariedad modificando un poco la definici´on anterior. Definici´on 1.3.16 Si Des una distribuci´on compleja pero esta vez D⊥es una distribuci´on slant con ´angulo slant θ6= 0, entonces se dice que Mes una subvariedad semi-slant [13]. En la siguiente secci´on introduciremos una generalizaci´on de estos tipos de subvariedades ya mencionados como podemos ver en [2]. 1.3. GEOMETR´ IA CASI-HERM´ ITICA 23 1.3.2. Subvariedades Bi-slant Supongamos ahora que existen dos distribuciones ortogonales D1yD2 sobre Mtales que TM =D1⊕ D2. En esta situaci´on, denotaremos por Pi al operador proyecci´on de TM sobre Diy haremos Ti=Pi◦T, i = 1,2. Se tiene: Si D1es una distribuci´on totalmente real y D2es una distribuci´on slant con ´angulo slant θ6=π/2, entonces diremos que Mes una subvariedad anti-slant. Si D1es una distribuci´on θ1−slant y D2es una distribuci´on θ2−slant, entonces diremos que Mes una subvariedad bi-slant. En tal caso, nos referiremos a los ´angulos usando la notaci´on (θ1, θ2). Veamos con el siguiente teorema c´omo est´an relacionados todos los distintos tipos de subvariedades mencionadas. Teorema 1.3.17 Sea Muna subvariedad de una variedad casi-herm´ıtica f M. Mes una subvariedad CR si y solo si es bi-slant con θ1= 0,θ2=π/2. Mes una subvariedad semi-slant si y solo si es bi-slant con θ1= 0, θ2∈(0, π/2]. Si Mes una subvariedad anti-slant entonces es bi-slant con θ1=π/2, θ∈[0, π/2). Mes una subvariedad semi-slant y anti-slant a la vez si y solo si es slant o CR. Pero tambi´en se puede ver qu´e condiciones son suficientes para que una subvariedad bi-slant sea slant. Sea Muna subvariedad bi-slant (θ1, θ2) de una variedad casi-herm´ıtica f M. Dado un campo tangente XaM, usando la ecuaci´on (1.3.6), T2X=−cos2θ1P1X+P2TP1TP1X+P1TP2TP1X+P2TP2TP1X+ +P1TP1TP2X+P2TP1TP2X+P1TP2TP2X−cos2θ2P2X, (1.3.7) Si Mes una subvariedad θ−slant, como se tiene que dar la igualdad de la ecuaci´on (1.3.4), tenemos entonces que el primer miembro debe ser igual a −cos2θX. El siguiente teorema nos muestra las condiciones que debe verificar el segundo miembro: 24 CAP´ ITULO 1. PRELIMINARES Teorema 1.3.18 Sea Muna subvariedad (θ1, θ2)−slant. Dado θ∈[0, π/2], Mes θ−slant si y solo si se cumplen las siguientes ecuaciones: P2TP1TP1X+P2TP2TP1X= 0 (1.3.8) P1TP1TP2X+P1TP2TP2X= 0 (1.3.9) P1TP2TP1= (cos2θ1−cos2θ)P1(1.3.10) P1TP1TP2= (cos2θ2−cos2θ)P2(1.3.11) Tambi´en podemos relacionarlos pidiendo una hip´otesis m´as fuerte: Teorema 1.3.19 Sea Muna subvariedad bi-slant con θ1=θ2=θ. Entonces Mes θ−slant si y solo si g(JX, Y ) = 0 (1.3.12) Para todo X∈ D1y todo Y∈ D2. Por ´ultimo nos cuestionamos si podemos encontrar una subvariedad bislant con dimD1=d1=d2=dimD2yθ16=θ2de manera que sea slant. La respuesta es negativa: Teorema 1.3.20 Sea Muna subvariedad (θ1, θ2)bi-slant. Si d1=d26= 0 y Mes una subvariedad slant, entonces θ1=θ2. Cap´ıtulo 2 Subvariedades Asociadas a grafos En este cap´ıtulo introduciremos dos formas distintas de asociar grafos a subvariedades. 2.1. Representaci´on Gr´afica En esta secci´on introduciremos un procedimiento de representaci´on gr´afica [2] para poder comprender mejor las caracter´ısticas de una subvariedad M bajo la acci´on de una estructura casi compleja J. Los pasos son los siguientes: 1. Si denotamos por n(respectivamente, m) a la dimensi´on de la variedad ambiente f M(respectivamente, a la subvariedad M), entonces elegimos una referencia local de campos ortonormal B={X1, . . . , Xn}, de manera que X1, . . . , Xmson tangentes a MyXm+1, . . . , Xnson normales aM. 2. Consideremos un v´ertice por cada campo de B, etiquetado con su sub´ındice natural. 3. Diremos que la arista {i, j}existe si y solamente si g(JXi, Xj)6= 0. 4. A cada arista le asignamos el peso dado por g2(JXi, Xj). 5. Finalmente, para obtener informaci´on visual adicional, pondremos los v´ertices correspondientes a los campos tangentes en una linea inferior 25 32 CAP´ ITULO 2. SUBVARIEDADES ASOCIADAS A GRAFOS 1. {X1, . . . , Xn}son tangentes a My{Xn+1, . . . , Xn}son normales a M. 2. Para cualquier q∈U, el grafo GB,q es isomorfo (resp. d´ebilmente isomorfo) a G. Nota 2.2.3 Tal y como pasaba en la definici´on anterior, la asociaci´on depende de la referencia ortonormal elegida. Para solucionar esto encontramos una relaci´on de equivalencia natural en la clase de grafos asociados con subvariedades como se puede ver en [5]: Definici´on 2.2.4 Dos grafos GyG0se dicen equivalentes, si para cualquier subvariedad Masociada con G,Mest´a asociada con G0y para cualquier subvariedad M0asociada a G0,M0est´a asociada con G. Vayamos ahora con algunos resultados que podemos conseguir en a partir de esa asociaci´on d´ebil. Teorema 2.2.5 Dada una subvariedad Mde una variedad casi-herm´ıtica, existe un una subvariedad abierta de Mla cual est´a d´ebilmente asociada a un grafo. Demostraci´on: Sea Mmuna subvariedad de una variedad casi-herm´ıtica (f Mn, J, g) y B={X1,··· , Xn}una referencia local de campos ortonormal definida en una abierto Ude forma que los mprimeros campos son tangentes aMy los n−mrestantes normales a M. Llamemos fij =g(JXi, Xj),con i<j. Es directo demostrar que fij es una funci´on diferenciable en U. Recordemos que en nuestro grafo para que la arista {i, j}exista, debemos tener que fij 6= 0, as´ı que para demostrar que est´a bien definida en el abierto necesitamos que fij ≡0, o bien fij(q)6= 0, para todo punto qdel abierto. Fijando ahora los ´ındices {(i, j)|i, j = 1,··· , n, i < j}={(i1, j1),..., (ir, jr)}, donde ir=n−1 y jr=n. Estos est´an bien elegidos puesto que, para i=jtenemos que fii =g(JXi, Xi) = 0 y adem´as, si i6=jsabemos tambi´en que fij =−fji. Vayamos con el proceso de construcci´on del abierto: Llamamos U0=U. Para cada k= 1,...r, si fikjk= 0 en Uk−1, entonces fijamos Uk=Uk−1. En caso contrario, existe un punto p∈Uk−1tal que fikjk(p)6= 0. Aplicando propiedades de continuidad, sabemos que existe Up entorno abierto de pde forma que Up⊆Uk−1y tal que fikjk(q)6= 0, para cualquier q∈Up. Hacemos ahora Uk=Up. Repitiendo este paso llegaremos a que, o bien fij(q) = 0, o bien fij(q)6= 0 para todo q∈Ur. 2.2. SUBVARIEDADES D ´ EBILMENTE ASOCIADAS A GRAFOS 33 Figura 2.6: Proceso de construcci´on del abierto Ur. Concluimos que, si podemos construir los grafos GB,p para cualquier p∈ Ur, todos ellos son d´ebilmente isomorfos con los dem´as, finalmente llegamos a que la subvariedad abierta Urest´a d´ebilmente asociada con estos grafos. Aunque este resultado es importante, puesto que nos asegura la asociaci´on en cualquier subvariedad de manera local, en esta secci´on estudiaremos la asociaci´on de forma global. Veamos algunos ejemplos: Ejemplo 2.2.6 Observando la Figura 2.5 del Ejemplo 2.17, nos damos cuenta de que realmente, el grafo 1 es equivalente al grafo 2 gracias al cambio de referencia que hicimos en la Nota 2.1.8. Aunque en el art´ıculo [5] no se consideraba una asociaci´on d´ebil, de aqu´ı se pueden sacar informaci´on para encontrar asociaciones d´ebiles, puesto que, una subvariedad est´a asociada a un grafo implica directamente que estar´a d´ebilmente asociada a un grafo. Vayamos ahora con algunos resultados generales: Lema 2.2.7 Sea Muna subvariedad asociada con un grafo G. Entonces la suma de los pesos de las aristas incidentes con cada v´ertice de Ges igual a 1. Demostraci´on: Esta demostraci´on es directa gracias a la compatibilidad de la m´etrica y la estructura casi compleja en una variedad casi-herm´ıtica.  Lema 2.2.8 Sea Muna subvariedad asociada con un grafo G. Entonces G no tiene v´ertices aislados. 34 CAP´ ITULO 2. SUBVARIEDADES ASOCIADAS A GRAFOS Demostraci´on: Puesto que J2=−Id en una variedad casi-herm´ıtca, concluimos que JX 6= 0 para todo vector no nulo X, as´ı que llegamos al resultado.  Proposici´on 2.2.9 Sea Muna subvariedad asociada con un grafo G. Entonces Gno tiene tri´angulos aislados. Demostraci´on: Supongamos que Gcontiene un tri´angulo aislado con v´ertices k1, k2, k3. Sea Ala matriz con componentes (g(JXi, Xj)), donde {X1,··· , Xn} es una referencia dada por la asociaci´on entre MyG. Entonces, como J2=−Id, llegamos a que A2= (aij ) = −Idonde Ies la matriz identidad. En particular ak1k2= 0 = n X i=1 g(JXk1, Xi)g(JXi, Xk2) = g(JXk1, Xk3)g(JXk3, Xk2). Esto nos lleva a una contradicci´on puesto que no tendr´ıamos al menos una arista del tri´angulo.  Proposici´on 2.2.10 Sea Muna subvariedad asociada con un grafo G. Si existe un vv´ertice de Gde grado 1, entonces la componente conexa que contiene a ven Ges un K2. Demostraci´on: Sea p∈M, consideremos la referencia {X1,··· , Xn}en un entorno de pdado por la definici´on de asociaci´on entre MyG. Podemos suponer que el v´ertice itiene grado 1 y es adyacente a jcon j6=i. Usando ahora el Lema 2.2.7 sabemos que el peso de la arista {i, j}es 1.Por tanto, no hay m´as v´ertices adyacentes a j, como quer´ıamos demostrar.  Teorema 2.2.11 Una subvariedad est´a asociada con un bosque si y solamente si es una subvariedad CR. En tal caso, cada ´arbol es un K2. Demostraci´on: Supongamos que una subvariedad Mest´a asociada al bosque G. En virtud de la Proposici´on 2.2.10, cada componente de Gtiene que ser un K2puesto que cada ´arbol tiene v´ertices de grado 1. Entonces podemos suponer que tenemos el grafo que podemos ver en la Figura 2.7, reordenando la referencia local ortonormal si fuese necesario, donde d1+d2=m. Ahora, dado p∈M, podemos definir D1=Span(X1,···Xd1) yD2=Span(Xd1+1,··· , Xd1+d2) en un entorno de p. Se sigue que D1y D2son dos distribuciones diferenciables bien definidas en Mde forma que 2.2. SUBVARIEDADES D ´ EBILMENTE ASOCIADAS A GRAFOS 35 TM =D1⊕D2. Es m´as, D1(resp., D2) es una distrbuci´on compleja (resp., totalmente real) y, por tanto, Mes una subvariedad CR. La implicaci´on contraria se consigue simplemente desarrollando el m´etodo de representaci´on. Figura 2.7: Subvariedad CR. Teorema 2.2.12 Sea M2una superficie inmersa isom´etricamente en una variedad casi-herm´ıtica. Entonces, Mes slant si y solamente si existe un grafo Gde manera que Mest´a asociado a G. Demostraci´on: Sabemos ya que una superficie slant est´a asociada con un grafo. Para la implicaci´on contraria, supongamos que una superficie Mest´a asociada con un grafo G. Sea i, j los v´ertices tangentes de G. Si esos v´ertices no son adyacentes, entonces tenemos que es una superficie totalmente real. Ahora, supongamos que iyjson adyacentes. Si no, hay otros v´ertices adyacentes a ioj; entonces el peso de {i, j}de ser 1 y Mes una subvariedad compleja. En otro caso, llamemos µal peso de {i, j}, con 0 <µ<1. En este caso, tenemos que P2=−µId, as´ı que Mes una subvariedad slant con ´angulo slant θde forma que cos2θ=µ. Lema 2.2.13 Sea iun v´ertice de Gde grado 2y llamemos j, k a los v´ertices adyacentes. Entonces jykno pueden ser v´ertices adyacentes. Es m´as, si existe otro v´ertice l, diferente a iyk, tal que les adyacente a j, entonces l tambi´en es adyacente a k. 36 CAP´ ITULO 2. SUBVARIEDADES ASOCIADAS A GRAFOS Figura 2.8: Representaci´on del Lema 2.2.13. Demostraci´on: Primero, de A2= (ars) = −Id conseguimos que, al ser i6=j, sacamos: aij = n X h=1 g(JXi, Xh)g(JXh, Xj)=0. Ahora, si h6=j, k entonces, g(JXk, Xj) = 0, es decir, los v´ertices jykno son adyacentes. Por orto lado, como i6=l, an´alogamente tenemos que ail = n X h=1 g(JXi, Xh)g(JXh, Xl)=0. Usando que g(JXi, Xh) = 0 (h6=j, k) una vez m´as, obtenemos: g(JXi, Xj)g(JXj, Xl) + g(JXi, Xk)g(JXk, Xl) = 0. As´ı que, si kylno son v´ertices adyacentes, entonces g(JXk, Xl) = 0 y por tanto, g(JXi, Xj)g(JXj, Xl) = 0, que es absurdo puesto que g(JXi, Xj)6= 0 yg(JXj, Xl)6= 0. Nota 2.2.14 Este lema generaliza la Proposici´on 2.2.9, es decir, si existe un tri´angulo en un grafo d´ebilmente asociado a una subvariedad, entonces todos sus v´ertices deben tener un grado mayor o igual que 3. 2.2. SUBVARIEDADES D ´ EBILMENTE ASOCIADAS A GRAFOS 37 Lema 2.2.15 Sea iun v´ertice de Gde grado 3y llamemos j, k, l a los v´ertices adyacentes. Se cumple que: 1. Si j, k son adyacentes, entonces les adyacentes a ambos. 2. Si existe otro v´ertices h, diferente a i, k, l que sea adyacente a j, entonces htambi´en es adyacente a kol. Figura 2.9: Representaci´on del Lema 2.2.15. Demostraci´on: Primero, de A2= (ars) = −Id, como i6=j, tenemos que aij = n X h=1 g(JXi, Xh)g(JXh, Xj)=0. Pero sabemos que g(JXi, Xk) = 0 si h6=j, k, l y, a partir, de la igualdad anterior, g(JXi, Xk)g(JXk, Xj) + g(JXi, Xl)g(JXl, Xj) = 0. Como consecuencia, deducimos que los v´ertices jyldeber´ıan ser adyacentes porque, en caso contrario, llegar´ıamos a que g(JXl, Xj) = 0 y, por tanto, 38 CAP´ ITULO 2. SUBVARIEDADES ASOCIADAS A GRAFOS g(JXi, Xk)g(JXk, Xj) = 0, lo cual es una contradicci´on. De forma similar conseguimos tambi´en que los v´ertices kylson tambi´en adyacentes usando la siguiente igualdad aik = n X h=1 g(JXi, Xh)g(JXh, Xk) = 0. Por otra parte, para probar la segunda parte del lema usaremos de nuevo que A2=−Id y como i6=h, llegamos a que aih = n X s=1 g(JXi, Xs)g(JXs, Xh)=0. A continuaci´on, como ies de grado 3, tenemos que j, k, l son sus v´ertices adyacentes, de esta ´ultima igualdad vemos que g(JXi, Xj)g(JXj, Xh) + g(JXi, Xk)g(JXk, Xh) + g(JXi, Xl)g(JXl, Xh) = 0. Si suponemos que g(JXk, Xh) = 0 y g(JXl, Xh) = 0, entonces g(JXi, Xj)g(JXj, Xh)=0, lo cual es una contradicci´on. El primer punto de este lema nos viene a decir que, si tenemos un tri´angulo en el grafo asociado a una subvariedad y uno de sus v´ertices es de grado 3, entonces el tri´angulo est´a en un tetraedro. Ahora veamos una generalizaci´on de estos dos lemas anteriores con v´ertices de cualquier grado. Proposici´on 2.2.16 Sea iun v´ertice de Gde grado t≥3yj1,··· , jtsus v´ertices adyacentes. Si dos de esos v´ertices, jryjs,1≤r, s ≤t, son adyacentes, entonces jr(respectivamente js) es tambi´en adyacente a un v´ertice distinto jr0(respectivamente js0). Demostraci´on: Como i6=j, usando que A2= (akh) = −Id, tenemos que aijr= n X h=1 g(JXi, Xh)g(JXh, Xjr) = 0.(2.2.1) 2.2. SUBVARIEDADES D ´ EBILMENTE ASOCIADAS A GRAFOS 39 Figura 2.10: Representaci´on de la Proposici´on 2.2.16. Si suponemos que, a excepci´on del v´ertice js, ninguno de los v´ertices jk, 1≤k≤t, es adyacente a jr, entonces (2.2.1) se reduce a g(JXi, Xjs)g(JXjs, Xjr) = 0, lo cual es una contradicci´on. De forma an´aloga, usando el elemento aijs, deducimos el mismo resultado para el v´ertice js. Ahora hemos conseguido que, en las condiciones de la proposici´on anterior, los v´ertices jryjsse encuentran, al menos, en dos tri´angulos con v´ertices i, jr, jso bien i, jr, jr0, 1 ≤r0≤t, y r06=r,soi,js,js0, 1 ≤s0≤tys06=r, s, respectivamente. Si adem´as r0=s0entonces tenemos que el tri´angulo i, jr, js se encuentra en el tetraedro determinado por los v´ertices i, jr, js, jr0. Proposici´on 2.2.17 Sea iun v´ertice de Gcon grado t≥2yj1,··· , jtsus v´ertices adyacentes. Si existe otro v´ertice h, diferente al resto, tal que este sea adyacente a cualquiera de los v´ertices jr,1≤r≤t, entonces hes adyacente, al menos, a otro de los v´ertices jk,1≤k≤tcon k6=r. Demostraci´on: Como i6=j, usando una vez m´as que A2=−Id, tenemos que aih = n X s=1 g(JXi, Xs)g(JXs, Xh) = 0.(2.2.2) Supongamos que ninguno de los v´ertices adyacentes a i, excepto para los v´ertices jr, es adyacentes a h, esto es que, g(JXjl, Xh) = 0, 1 ≤l≤t, l 6=r. 40 CAP´ ITULO 2. SUBVARIEDADES ASOCIADAS A GRAFOS Figura 2.11: Representaci´on de la Proposici´on 2.2.17 Entonces, g(JXi, Xjr)g(JXjr, Xh)6= 0, lo cual es una contradicci´on con (2.2.2).  A partir de estos resultados, los autores de [4] consiguieron clasificar diferentes familias relevantes de grafos dando referencias locales de cada uno en caso de dimensi´on 4 y 6. Por ejemplo, llegaron a conseguir los 3 grafos que pueden asociarse con subvariedades de dimensi´on 4: Figura 2.12: Grafos asociados a subvariedades de dimensi´on 4. Cap´ıtulo 3 Nueva representaci´on de Subvariedades Tal y c´omo hemos visto en los preliminares, comparar c´omo act´ua la conexi´on de Levi-Civita de una subvariedad Mcon la conexi´on de la variedad ambiente f Mestar´a basado en la Segunda Forma Fundamental. Adem´as, esta nos aporta una forma de caracterizar a las subvariedades seg´un el comportamiento de la misma (subvariedades m´ınimas, totalmente umbilicales, totalmente geod´esicas, etc.). Por ello, en este cap´ıtulo estudiaremos c´omo obtener informaci´on de la Segunda Forma Fundamental mediante una representaci´on parecida a la del cap´ıtulo anterior. 3.1. Representaci´on Combinatoria En esta secci´on daremos un nuevo procedimiento para la representaci´on de subvariedades mediante una estructura combinatoria, adem´as acompa˜naremos este procedimiento con algunos ejemplos. Sea Mmuna subvariedad de una variedad ambiente f Mn. Los pasos son los siguientes: 1. Elegimos una referencia local de campos ortonormal B={X1,··· , Xm} de manera que X1,···Xmson tangentes a MyXm+1,···Xmson normales a M. 2. Consideremos un v´ertice por cada campo de B, etiquetado con su sub´ındice natural. 3. Para i, j ∈ {1,··· , m}con i≤jyk∈ {m+ 1,··· , n}tenemos que: 41 48 CAP´ ITULO 3. NUEVA REPRESENTACI ´ ON DE SUBVARIEDADES Demostraci´on: Sea hk0 ij , tenemos que hk0 ij =g(h(Xi, Xj), Xk0) = =g(e ∇XiXj, JXk) = =−g(Je ∇XiXj, Xk) = =−g(e ∇XiJXj, Xk) = =g(JXj,e ∇XiXk) = =hj0 ik, gracias a que estamos en una variedad de Kaehler y aplicando la antisimetr´ıa del operador casi complejo J. Usando ahora que la segunda forma fundamental es sim´etrica tenemos que hk0 ij =hj0 ik =hj0 ki =hi0 kj =hi0 jk, como quer´ıamos demostrar. Corolario 3.2.6 Si en la representaci´on lagrangiana no hay tri´angulos, entonces s´olo posee aristas paralelas. Demostraci´on: Supongamos que la representaci´on no tiene tir´angulos, es decir, hk0 ij = 0, para todo idistinto de j. Aplicando el Lema anterior tenemos que 0 = hi0 ik =hk0 ii , as´ı que las ´unicas aristas que pueden ser no nulas son las de la forma hi0 ii, las cuales en la representaci´on son aristas paralelas.  Es conocido el resultado de que una subvariedad lagrangiana y totalmente umbilical es totalmente geod´esica. Veamos a continuaci´on una nueva versi´on de la demostraci´on mediante este m´etodo de representaci´on: Teorema 3.2.7 Sea Mmuna subvariedad lagrangiana y totalmente umbilical, entonces es una subvariedad totalmente geod´esica. Demostraci´on: Sea una la referencia de campos lagrangiana adaptada B= {X1,··· , Xm, X10=JX1,··· , Xm0=JXm}y supongamos que Mno es totalmente geod´esica, es decir, existen Xi, Xjtangentes a Mtales que h(Xi, Xj) es no nulo. Por tanto, existe al menos un k∈ {1,··· , m}de forma que hk0 ij es distinto de cero. Gracias al Lema 3.2.1, sabemos que la subvariedad no tiene tri´angulos en su representaci´on y aplicando ahora el Corolario 3.2.6 llegamos a que s´olo hay rectas paralelas. 3.2. RESULTADOS GENERALES 49 Entonces el vector curvatura media queda de la forma: H=1 m m X i=1 h(Xi, Xi) = 1 m m X i=1 hi0 iiXi0. Aplicando ahora que la subvariedad es totalmente umbilical, sabemos que h(ei, ei) = g(eiei)H, luego h(e1, e1) = h10 11e10=g(e1, e1)H=H, igualando coordenada a coordenada sacamos que hi0 ii = 0, para cualquier i distinto de 1. Pero claro, an´alogamente tenemos que h(e2, e2) = h20 22e20=g(e2, e2)H=H. Por tanto, h10 11 = 0, concluimos que la subvariedad es totalmente geod´esica. 3.2.3. Subvariedades M´ınimas En esta secci´on estudiaremos algunas propiedades que pueden tener las subvariedades m´ınimas con el sistema de representaci´on. Proposici´on 3.2.8 Una subvariedad Mes m´ınima si y solamente si toda representaci´on cumple que los pesos de las aristas incidentes a cada v´ertice de los campos normales a la subvariedad suman 0. Demostraci´on: Por definici´on, una subvariedad es m´ınima si y solamente si el vector curvatura media es id´enticamente nulo, es decir, 0 = 1 m m X i=1 h(Xi, Xi) = 1 m m+n X k=m+1 ( m X =1 hk ii)Xk. Por tanto, m X =1 hk ii = 0 para todo k. Esto quiere decir que en cualquier referencia local de campos ortonormal, nuestra representaci´on cumple que para cada v´ertice kla suma de los pesos de sus aristas incidentes es nula. Corolario 3.2.9 Si la representaci´on s´olo tiene tri´angulos, la subvariedad es m´ınima. 50 CAP´ ITULO 3. NUEVA REPRESENTACI ´ ON DE SUBVARIEDADES Demostraci´on: Si solo tenemos tri´angulos en la representaci´on llegamos a que hk ii = 0, para todo iy para todo k, luego la suma de los pesos de las aristas es nula para cada v´ertice kcorrespondiente a campos normales a la subvariedad. Por la proposici´on anterior obtenemos el resultado. A continuaci´on estudiaremos un tipo de subvariedad muy importante dentro de las subvariedades m´ınimas, las subvariedades austeras [6]. Veamos como se comporta el operador forma y si podemos extraer informaci´on expl´ıcita de la segunda forma fundamental Sea que Mmes una subvariedad austera, es decir, que para cada campo normal V∈TM⊥, los autovalores del operador forma AVson: (λ1,··· , λm)=(µ1,−µ1,··· , µm1,−µm1,0,··· ,0). Fijando {em+1,··· , en}una referencia normal a la subvariedad, sea el campo normal V=ekcon k∈ {m+1, . . . , n}. Sabiendo que los autovalores del operador forma AV, son como los mencionados anteriormente, podemos aplicar el teorema espectral para matrices sim´etricas, el cual nos dice que, tomando como base del espacio tangente la base de autovectores de AV, llegamos a la siguiente matriz diagonal AV:              µ1 −µ1... µm1 −µm1 0 ... 0              , teniendo la referencia local mencionada de autovectores {e1,··· , e2m1, em1+1,··· , em}donde los 2m1primeros campos son los autovectores asociados a los autovalores no nulos. Aplicando ahora la f´ormula de Weingarten 1.2.19 para los campos X=ei eY=ejcon i, j ∈ {1,··· , m}, g(h(ei, ej), ek) = g(Aekei, ej) = g(λiei, ej) = δijλi, as´ı obtenemos informaci´on s´olo de la componente eken la subvariedad bajo esta referencia local tan espec´ıfica. 3.2. RESULTADOS GENERALES 51 No obstante, tambi´en es cierto otro resultado sobre las superficies austeras: Nota 3.2.10 Sea Muna superficie. Entonces Mes austera si y solamente si es m´ınima.[6] Veamos ahora c´omo va a ser su representaci´on. Para el caso de superficies, gracias a la Nota 3.2.10, tenemos los resultados generales de subvariedades m´ınimas. Para cualquier otro caso, vamos a usar la referencia local que hemos visto en la proposici´on anterior. De aqu´ı surgen dos problemas principales: 1. La base del espacio tangente escogida depende del operador forma que escojamos Aek. 2. S´olo sabemos c´omo se comporta el operador forma Aeken la segunda forma fundamental, no podemos obtener de forma expl´ıcita los dem´as coeficientes. Estos problemas los podemos solventar para el caso de las hipersuperficies. Sea Mmuna subvariedad austera de f Mm+1 cuya referencia normal a la subvariedad es {em+1}. Estudiando el operador forma Aem+1 , podemos aplicar el teorema espectral de matrices sim´etricas. Sea {e1, . . . , em}una base ortonormal de autovectores de Aem+1 , llegamos a la siguiente matriz diagonal: AV:              µ1 −µ1... µm1 −µm1 0 ... 0              , Aplicando ahora la f´ormula de Weingarten llegamos a que: g(h(ei, ej), em+1) = g(Aem+1 ei, ej) = g(λiei, ej) = δij λi. Concluimos que h(ei, ej) = δijλiem+1. La representaci´on respecto a esta base la podemos ver en la Figura 3.7. 52 CAP´ ITULO 3. NUEVA REPRESENTACI ´ ON DE SUBVARIEDADES Figura 3.7: Representaci´on hipersuperficie austera. Teorema 3.2.11 Una hipersuperficie Mmes austera si y solamente si posee una representaci´on como la de la Figura 3.7. Demostraci´on: Una implicaci´on la acabamos de demostrar. Fijando la referencia local de campos ortonormales de Mm{e1, . . . , em, em+1}, cuya representaci´on es la de la Figura 3.7. Sea (λ1, . . . , λ2m1) = (µ1,...,−µm1), aplicando la f´ormula de Weingarten tenemos que g(Aem+1 ei, ej) = g(h(ei, ej), em+1) = g(λiδijem+1, em+1) = δijλi, donde ei, ejson campos tangentes de la base ortonormal, as´ı que el operador forma Aem+1 resulta en la siguiente matriz Aem+1 :              µ1 −µ1... µm1 −µm1 0 ... 0              . Al ser una matriz diagonal, es directo observar que los autovalores de la matriz son µ1,−µ1,...,−µm1. Por otro lado, al ser una hipersuperficie cualquier campo normal ser´a de la forma V=a·em+1, aplicando una vez m´as la f´ormula de Weingarten: g(Aaem+1 ei, ej) = g(h(ei, ej), aem+1) = g(λiδij em+1, aem+1) = aλiδij, 3.3. DIMENSIONES INFERIORES 53 donde ei, ejson campos tangentes de la base ortonormal, concluimos entonces que Aaem+1 =aAem+1 , luego sus autovalores son aµ1,−aµ1,...,−aµm1. Por tanto, cualquier campo normal a la subvariedad cumple la condici´on de austeridad. 3.3. Dimensiones Inferiores En esta secci´on daremos algunos resultados de la representaci´on al trabajar en superficies y curvas. 3.3.1. Superficies en f M4 En esta subsecci´on representaremos algunas de las superficies m´as caracter´ısticas en la teor´ıa de subvariedades. Comencemos con las superficies lagrangianas. Usando la referencia de campos lagrangiana adaptada, tenemos que gracias al Lema 3.2.5: h10 12 =h20 11, h20 12 =h10 22 y, por tanto, su representaci´on es como podemos ver en la Figura 3.8. Figura 3.8: Superficies lagrangianas. Si pensamos ahora en superficies m´ınimas, para una referencia local de campos ortonormal B={X1, X2, X3, X4}con X1, X2tangentes a la superficie 54 CAP´ ITULO 3. NUEVA REPRESENTACI ´ ON DE SUBVARIEDADES yX3, X4normales, sabemos que deben cumplir que 0 = H=1 2(h(X1, X1) + h(X2, X2)). Desglosando esta suma tenemos que: 0 = h(X1, X1) + h(X2, X2) = =h3 11X3+h4 11X4+h3 22X3+h4 22X4= = (h3 11 +h3 22)X3+ (h4 11 +h4 22)X4. En consecuencia, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: h3 11 +h3 22 = 0 h4 11 +h4 22 = 0 Concluimos que h3 11 =−h3 22 yh4 11 =−h4 22 y, por tanto, su representaci´on es la que podemos ver en la Figura 3.9. Figura 3.9: Superficies m´ınimas. As´ı que, en la representaci´on de una superficie Lagrangiana especial (Lagrangiana y m´ınima), combinando los resultados anteriores llegamos a que −h10 11 =h10 22 =h20 12, −h20 22 =h20 11 =h10 12, que tendr´a la representaci´on que podemos ver en la Figura 3.10. Veamos ahora las superficies lagrangianas H-umbilicales. Particularizando las ecuaciones (1.3.3) para esta dimensi´on tenemos, h10 11 =λ, h20 11 = 0, h10 12 = 0, h20 12 =µ, h10 2,2=µ, h20 2,2= 0, 3.3. DIMENSIONES INFERIORES 55 Figura 3.10: Superficies Lagrangianas especiales. luego la representaci´on resulta lo que podemos observar en la Figura 3.11. Figura 3.11: Superficies lagrangianas H-umbilicales. A continuaci´on veamos lo sencillas que salen las representaciones de las superficies totalmente umbilicales. Gracias al Teorema 3.2.3 sabemos que existe una referencia local de campos ortonormales de forma que la representaci´on sea la mostrada en la Figura 3.12. Sigamos con una superficie slant cuyos operadores forma cumplen una condici´on que ya vimos en el Cap´ıtulo 1: Las superficies slant especiales. Tomando B={e1, e2, e3, e3}una referencia ortonormal que cumpla la condici´on (1.3.5), obtenemos la representaci´on de la Figura 3.13. Veamos ahora un ejemplo cl´asico de subvariedad austera (que podemos 56 CAP´ ITULO 3. NUEVA REPRESENTACI ´ ON DE SUBVARIEDADES Figura 3.12: Superficies totalmente umbilicales. Figura 3.13: Superficies slant especiales. ver en el art´ıculo [16]). Ejemplo 3.3.1 El toro de Clifford es una subvariedad austera. Sea f:R2→ R4dado por f(θ, φ) = 1 √2(cos θ, sin θ, cos ϕ, sin ϕ),(θ, ϕ)∈R2. La aplicaci´on fes una inmersi´on de R2en la esfera unidad S3(1) ⊂R4, donde la imagen f(R2) es el “toro plano”. Los vectores e1= (−sin θ, cos θ, 0,0) e2= (0,0,−sin ϕ, cos ϕ) forman una base ortonormal del espacio tangente Tf(θ,ϕ)Imf y los vectores 3.3. DIMENSIONES INFERIORES 57 normales e3=1 √2(cos θ, sin θ, cos ϕ, sin ϕ) e4=1 √2(−cos θ, −sin θ, cos ϕ, sin ϕ) forman una base ortonormal del espacio normal. Los operadores forma vendr´an dados por las matrices Ae3yAe4que con respecto a la base {e1, e2}resultan Ae3= −1 √20 0−1 √2!, Ae4= 1 √20 0−1 √2!. Como podemos observar, Tf(θ,ϕ)Imf ⊕Re4=Tf(θ,ϕ)S3(1) y Tf(θ,ϕ)S3(1) ⊕ Re3=Tf(θ,ϕ)E4. Los autovalores son 1 √2y−1 √2y, por tanto, el toro de Clifford es una subvariedad austera de la esfera unidad S3(1). Veamos su representaci´on seg´un esta base, h(e1, e1) = −1 √2e3+1 √2e4, h(e2, e2) = −1 √2e3−1 √2e4, h(e1, e2)=0. As´ı que la representaci´on resulta la que podemos ver en la Figura 3.14. (a) Representaci´on del toro de Clifford como subvariedad de R4. (b) Representaci´on del toro de Clifford como subvariedad de S3(1). Figura 3.14: Representaciones del toro de Clifford. Observamos entonces que la Figura 3.14b cumple las condiciones del Teorema 3.2.11 y, por tanto, es austera como hab´ıamos confirmado ya. 64 CAP´ ITULO 3. NUEVA REPRESENTACI ´ ON DE SUBVARIEDADES Bibliograf´ıa [1] K. Arslan, A. Carriazo, B.-Y. Chen, C. Murathan. On slant submanifolds of neutral Kaehler manifolds. Taiwanese J. Math. 14 (2010), 561-584. [2] A. Carriazo, Bi-slant inmersions, Proceedings ICRAMS 200 (India) (2000) [3] A. Carriazo, L. Boza, L. M. Fern´andez, Graphs with vector spaces of even dimension: A link with differential geometry, Linear Algebra Appl. 437 (2012), 60-76. [4] A. Carriazo, L. M. Fern´andez, A. Rodr´ıguez Hidalgo, Submanifolds weakly associated with graphs, Proc. Indian Acad. Sci. Math. Sci. 119(3) (2009), 297-318. [5] A. Carriazo, L. M. Fern´andez, Submanifolds associated with graphs, Proc.Amer.Math.Soc. 132(11) (2004), 3327-3336. [6] B.Y. Chen, Geometry of Slant Submanifolds, Katholieke Universitien Leuven, Leuven, 1990. [7] B.Y. Chen, Interaction of Legendre curves and Lagrangian submanifolds, Israel Journal of Mathematics,99(1) (1997), 69–108. [8] B.Y. Chen, On Slant SUrfaces, Taiwanese J. Math.,3(2) (1999), 163179. [9] Reinhard Diestel, Graph Theory, Grad. Texts in Math. Heidelberg, New York, 173, 2017. [10] R. Harvey, H. Blaine Lawson , Calibrated Geometries, Acta Math. 148 (1982), 47–157. [11] J.M. Lee, Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature, Grad. Texts in Math. 176, 1997. [12] S. Maeda, Y. Ohnita, y S. Udagawa. On slant inmersions into Kahler manifolds. Kodai Math. J 16 (1993), 205-219. [13] N. Papaghiuc. Semi-slant submanifolds of a Kaehlerian manifold.An. Stiint. Al. I. Cuza. Univ. Iasi. 40 (1994), 55-61. [14] B. O’Neill, Elementary Differential Geometry, Pure Appl. Math., Cambridge, (1966). [15] B. O’Neill, Semi-Riemannian geometry. With applications to relativity., Pure and Appl. Math., New York, 1983. [16] Bogdan D. Suceava, Some theorems on austere submanifolds.Balkan J. Geom. Appl. 2(1) (1997), 109-115.