Diseño óptimo de múltiples amortiguadores de masa sintonizada sobre pasarelas peatonales

i Trabajo Fin de Máster Máster Universitario en Ingeniería de Caminos, Canales y Puertos Diseño óptimo de Múltiples Amortiguadores de Masa Sintonizada sobre pasarelas peatonales Autor: María Calero Moraga Tutores: Javier Fernando Jiménez Alonso Andrés Sáez Pérez Dep. de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2017 iii Trabajo Fin de Máster Máster Universitario en Ingeniería de Caminos, Canales y Puertos Diseño óptimo de Múltiples Amortiguadores de Masa Sintonizada sobre pasarelas peatonales Autor: María Calero Moraga Tutores: Javier Fernando Jiménez Alonso Andrés Sáez Pérez Dep. de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2017 v Trabajo Fin de Máster: Diseño óptimo de Múltiples Amortiguadores de Masa Sintonizada sobre pasarelas peatonales Autor: María Calero Moraga Tutores: Javier Fernando Jiménez Alonso, Andrés Sáez Pérez El tribunal nombrado para juzgar el Trabajo arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Acuerdan otorgarle la calificación de: Sevilla, 2017 El Secretario del Tribunal vii RESUMEN El control de las vibraciones en pasarelas peatonales es un tema que, actualmente, va cobrando importancia debido a la búsqueda de una mayor esbeltez en las estructuras de nueva construcción, con la finalidad de lograr un ahorro económico. La disposición de sistemas de amortiguamiento en las pasarelas para la reducción de las vibraciones hasta unos valores admisibles, en términos de confort de los peatones, requiere un estudio detallado de los principales factores que afectan a la dinámica de la estructura y del sistema conjunto formado por estructura y TMD (Tuned Mass Damper), siendo este último un dispositivo de disipación de energía con una determinada masa, amortiguamiento y rigidez que queda unido a la estructura. Este estudio se hace mucho más complicado para estructuras con comportamiento no lineal, donde la asunción de ciertas hipótesis clásicas para el diseño de TMD es inviable, o en estructuras cuyas propiedades dinámicas presentan una gran variabilidad debido, por ejemplo, a la carga actuante. Además de lo anterior, en el diseño de un TMD se debe tener en cuenta la forma del modo o modos de vibración que se ven excitados en la estructura con objeto de determinar su ubicación. En un modo de vibración con una forma modal en la que aparece un único punto de máximo valor modal o antinodo, la disposición del TMD es clara: el único punto de máximo valor modal; sin embargo, cuando la forma modal presenta varios antinodos, la disposición de un único TMD en el punto de máximo valor modal no es suficiente para paliar los problemas vibratorios, por lo que es necesario recurrir a un sistema de múltiples TMD (MTMDs) colocados estratégicamente en los diferentes antinodos del modo de vibración afectado. En el presente TFM se ha desarrollado una metodología para el diseño optimizado de MTMDs en una estructura con comportamiento no lineal geométrico. Para ello, se ha partido del estudio de la carga peatonal y de la interacción de ésta con la estructura. Tras ello, se ha realizado un análisis teórico de la respuesta de una estructura en la que se incluye un sistema de amortiguación (con objeto de visualizar el efecto del amortiguador), así como un estudio de las diferentes metodologías para el diseño optimizado de TMD en una estructura. Dichos estudios han permitido la elaboración de una metodología que combina el Criterio de Desempeño (diseñar una estructura de acuerdo a una restricción impuesta sobre una variable de desempeño), la minimización de la masa del sistema de MTMDs dispuesto y la utilización de algoritmos genéticos para dotar de versatilidad al proceso de optimización. La metodología desarrollada se ha validado sobre una pasarela peatonal suspendida de cables de acero situada en el municipio de Zuheros (provincia de Córdoba), cuyo modelo de cálculo numérico se ha actualizado de acuerdo a medidas de campo obtenidas mediante un ensayo de vibración ambiental. Dicha pasarela cumple con las hipótesis de comportamiento no lineal geométrico concebidas para el desarrollo de la metodología, habiéndose obtenido resultados satisfactorios tras el proceso de diseño de MTMDs, en el que se ha considerado un único modo de vibración afectado que posee tres antinodos. ix ÍNDICE DE CONTENIDOS RESUMEN ....................................................................................................................................VII ÍNDICE DE CONTENIDOS ............................................................................................................. IX ÍNDICE DE FIGURAS ..................................................................................................................... XI ÍNDICE DE TABLAS .................................................................................................................. XVII 1 INTRODUCCIÓN ......................................................................................................................... 1 1.1 Antecedentes .................................................................................................................. 1 1.2 Justificación y motivación del Trabajo .......................................................................... 1 1.3 Objetivos del Trabajo ..................................................................................................... 3 1.4 Metodología de Trabajo ................................................................................................. 4 1.5 Aproximación al Diseño óptimo de MTMD .................................................................. 5 2 ESTUDIO DE LA CARGA PEATONAL ......................................................................................... 9 2.1 Introducción ................................................................................................................... 9 2.2 Características de los flujos peatonales ........................................................................ 12 2.3 Interacción peatón – estructura .................................................................................... 13 2.4 Modelos de carga para grupos peatonales .................................................................... 15 2.5 Clases de confort .......................................................................................................... 19 3 REVISIÓN DE METODOLOGÍAS PARA EL DISEÑO ÓPTIMO DE TMD.................................... 21 3.1 Introducción ................................................................................................................. 21 3.2 Absorbedor de vibraciones de Frahm .......................................................................... 22 3.3 Ecuaciones del movimiento para un sistema amortiguado de 1 G.D.L con un TMD .. 26 3.4 Criterios clásicos de optimización de TMD ................................................................. 28 3.5 Sistema de 1 G.D.L. con TMD .................................................................................... 30 3.6 Sistema de múltiples grados de libertad con TMD ...................................................... 35 3.7 Caso de Estructuras no lineales .................................................................................... 38 4 DISEÑO DE MTMDS EN UNA ESTRUCTURA CON COMPORTAMIENTO NO LINEAL GEOMÉTRICO: CRITERIO DE DESEMPEÑO ............................................................................... 39 4.1 Variabilidad de las frecuencias en una estructura ........................................................ 39 4.2 Criterio de Desempeño ................................................................................................. 40 xvii ÍNDICE DE TABLAS Tabla 2.1. Densidad de peatones (p = peatón). Fuente: (Heinemeyer et al., 2009). .................... 14 Tabla 2.2. Clases de tráfico peatonal. Fuente: (Heinemeyer et al., 2009). .................................. 16 Tabla 2.3. Valor de la carga introducida por el peatón en cada dirección. Fuente: (Heinemeyer et al., 2009)...................................................................................................................................... 17 Tabla 2.4. Clases de confort en pasarelas. Fuente: (Heinemeyer et al., 2009). ........................... 19 Tabla 5.1. Características de los materiales implementados en el modelo. Fuente: Elaboración propia........................................................................................................................................... 53 Tabla 5.2. Tipos de elementos y secciones asignados en el modelo. Fuente: Elaboración propia. ..................................................................................................................................................... 55 Tabla 5.3. Frecuencias y modos propios numéricos verticales estimados inicialmente. Fuente: Elaboración propia. ..................................................................................................................... 58 Tabla 5.4. Frecuencias naturales experimentales (fEXP), desviación típica de las frecuencias naturales (σf,EXP) , factor de amortiguamiento experimental (ξEXP), desviación típica del factor de amortiguamiento (σξ,EXP), y modos de vibración experimentales obtenidos. Fuente: Elaboración propia........................................................................................................................................... 64 Tabla 5.5. Comparación pre-actualización entre valores experimentales y numéricos. Fuente: Elaboración propia. ..................................................................................................................... 65 Tabla 5.6. Valores mínimos y máximos establecidos para los parámetros de la actualización del modelo de elementos finitos. Fuente: Elaboración propia. ......................................................... 70 Tabla 5.7. Parámetros finales obtenidos tras la actualización del modelo. Fuente: Elaboración propia........................................................................................................................................... 72 Tabla 5.8. Comparación después de la actualización del modelo numérico entre valores experimentales (rojo) y numéricos (azul). Fuente: Elaboración propia. ..................................... 73 Tabla 6.1. Frecuencias naturales de la pasarela, en Hz, para diferentes densidades peatonales. Fuente: Elaboración propia. ........................................................................................................ 79 Tabla 6.2. Valores de amortiguamiento para cada frecuencia afectada. Fuente: Elaboración propia........................................................................................................................................... 81 Tabla 6.3. Valores máximos de aceleración y desplazamiento para los casos de carga que afectan al 2º modo de vibración vertical de la pasarela. Fuente: Elaboración propia. ................ 83 Tabla 6.4. Valores máximos de aceleración y desplazamiento para los casos de carga que afectan al 4º modo de vibración vertical de la pasarela. Fuente: Elaboración propia. ................ 84 Tabla 6.5. Valores máximos de aceleración en centro de vano con los MTMDs dispuestos de acuerdo a la estimación usando el criterio de Den Hartog para los modos originales. Fuente: Elaboración propia. ..................................................................................................................... 89 Tabla 6.6. Valores máximos de aceleración en centro de vano con los MTMDs dispuestos de acuerdo a la estimación usando el criterio de Den Hartog para los modos derivados. Fuente: Elaboración propia. ..................................................................................................................... 89 Tabla 6.7. Dominio de búsqueda en función de ms, cs y ks. Fuente: Elaboración propia. ........... 92 Tabla 6.8. Frecuencia de cada caso de carga crítico en Hz. Fuente: Elaboración propia. ........... 93 Tabla 6.9. Parámetros de los MTMDs obtenidos mediante la optimización. Fuente: Elaboración propia........................................................................................................................................... 99 Tabla 6.10. Variación de las frecuencias de vibración de la estructura como consecuencia de la disposición de MTMDs. Fuente: Elaboración propia. ................................................................ 99 -11 INTRODUCCIÓN 1.1 ANTECEDENTES El presente documento titulado Diseño óptimo de Múltiples Amortiguadores de Masa Sintonizada sobre pasarelas peatonales se enmarca dentro de la normativa referente al Trabajo Fin de Máster de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería de Sevilla (ETSI) para la obtención de los créditos de la asignatura Trabajo Fin de Máster, y así obtener el título de Máster Universitario en Ingeniería de Caminos, Canales y Puertos por la Universidad de Sevilla (Plan 2016/2017). El departamento adjudicador del Trabajo Fin de Máster ha sido el Departamento de Mecánica de los Medios Continuos y Teoría de Estructuras de la ETSI, siendo los tutores D. Javier Fernando Jiménez Alonso, profesor asociado del departamento de Estructuras de Edificación e Ingeniería del Terreno de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería de Edificación, y D. Andrés Sáez Pérez, catedrático de universidad del departamento de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería. 1.2 JUSTIFICACIÓN Y MOTIVACIÓN DEL TRABAJO La tendencia histórica cuando se aborda el diseño y la construcción de una estructura es garantizar una resistencia, una durabilidad y un servicio adecuados, pero empleando la mínima cantidad de material posible, fundamentalmente por motivos de ahorro económico. Este concepto toma especial importancia en la construcción de puentes, estructuras concebidas para salvar luces muy elevadas en muchos casos y sometidas a fuerzas de una magnitud importante. La reducción de la cantidad de material, y por tanto la búsqueda de una mayor esbeltez de la estructura, conllevan la pérdida inevitable de rigidez en la misma. Esta pérdida de rigidez provoca, a su vez, que la estructura posea unas frecuencias de vibración natural más reducidas, que en algunos casos pueden coincidir con las frecuencias de aplicación de las cargas y, por tanto, dar lugar a fenómenos dinámicos importantes que hay que tener en cuenta en el diseño. La búsqueda de una mayor esbeltez alcanza su máxima expresión en pasarelas peatonales, estructuras muy esbeltas por la reducida carga a la que se ven sometidas en relación a otras estructuras, pero cuyas frecuencias naturales de vibración suelen estar dentro del rango en el que actúa típicamente la carga peatonal. Dicha carga peatonal, una carga cíclica y móvil normalmente modelizada como armónica de acuerdo a una determinada frecuencia de paso, puede dar lugar a vibraciones excesivas en la estructura, no tanto a nivel de agotamiento de la misma, sino a nivel de comodidad de los usuarios; a tal efecto, uno de los puntos desarrollados en el presente trabajo es el estudio de la carga peatonal, con objeto de caracterizar su influencia en la respuesta estructural. Ante esta situación, resulta fundamental paliar de alguna forma las vibraciones en la estructura para garantizar un buen nivel de servicio para los usuarios. 2 INTRODUCCIÓN -2Históricamente, la reducción de vibraciones se ha conseguido con un incremento de la rigidez de la estructura; sin embargo, esto entra en conflicto con la tendencia de búsqueda de una mayor esbeltez y el consecuente ahorro económico, por lo que actualmente no suele ser la vía de actuación elegida. En este sentido aparece la posibilidad de amortiguar de forma adicional la estructura con unos dispositivos alternativos que se conectan a la misma; una de las opciones más usadas es el empleo de amortiguadores de masa sintonizada (TMD, del inglés Tuned Mass Damper). Estos dispositivos están caracterizados por una masa, una rigidez y un amortiguamiento, y su unión con la estructura permite la reducción de vibraciones en el sistema global a través de la disipación de energía con el movimiento del dispositivo. Este dispositivo es efectivo cuando se sitúa en las posiciones de máximo valor modal del modo vibración afectado o antinodos, por lo que si el modo de vibración posee varios antinodos es necesario recurrir a la colocación de múltiples TMD (MTMDs) en la posición de los antinodos (ver Figura 1.1). Figura 1.1. Disposición de un único TMD (izquierda) y de MTMDs (derecha) según la forma del modo de vibración. Fuente: Elaboración propia. El estudio adecuado del funcionamiento de un TMD, así como del sistema formado por TMD o MTMDs y estructura, resulta fundamental para establecer un diseño óptimo que garantice la eficiencia del sistema de amortiguamiento implementado. Lo anterior radica en la sensibilidad del comportamiento de la estructura a una variación en los parámetros definitorios del TMD, lo que puede causar que éste se desintonice del sistema, perdiendo su eficacia y resultando inútil de acuerdo a su concepción inicial para paliar las vibraciones. En este sentido existen varias metodologías que permiten establecer unos parámetros óptimos para el TMD, si bien la mayoría están indicadas para sistemas con comportamiento lineal y, en muchos casos, adoptan simplificaciones que limitan su rango de utilización en el diseño; por ello, el estudio de estas metodologías se conforma como uno de los puntos a desarrollar inicialmente en el presente trabajo, a modo de revisión de las metodologías de diseño actuales. Como se ha mencionado en el párrafo anterior, la mayoría de las metodologías para el diseño optimizado de TMD están concebidas para su uso en sistemas con un comportamiento lineal, en los que la superposición modal es una aproximación suficiente al fenómeno; éstos son los problemas que típicamente se han venido desarrollando hasta la actualidad, siendo su grado de avance bastante elevado. Sin embargo, existen estructuras cuyos elementos o cuyo esquema estructural completo no puede ser analizado bajo esta premisa de linealidad, por lo que la aplicación de estas metodologías puede ser puesta en entredicho. Además, el diseño se complica si existen varios modos de vibración a amortiguar y si la estructura presenta una gran variabilidad de sus propiedades dinámicas dependiendo del estado de carga. A tal efecto, la principal motivación y objetivo del presente trabajo es la implementación de una metodología de optimización de MTMDs (múltiples TMDs) en un sistema estructural con un comportamiento no lineal geométrico, partiendo de estudios ya realizados al respecto y adaptando las metodologías a un caso de estudio no lineal. Con esto, se pretende realizar un avance en el desarrollo de técnicas de optimización de TMD, concretamente para el caso de estructuras con comportamiento no lineal geométrico en las que resulta necesario, por la forma del modo de vibración afectado, disponer un sistema de MTMDs. Tal es el caso de la pasarela peatonal suspendida situada en Zuheros (provincia de Córdoba) que se ha utilizado como ejemplo de aplicación de la metodología desarrollada; en esta pasarela se ha observado, además, Diseño óptimo de Múltiples Amortiguadores de Masa Sintonizada sobre pasarelas peatonales 3 -3una gran variabilidad de las frecuencias naturales de vibración durante el episodio de carga peatonal debido al comportamiento no lineal de los cables que la sustentan. La variabilidad en los parámetros dinámicos de una estructura debido a las condiciones ambientales y a la carga aplicada (Hu, Caetano and Cunha, 2012) es un aspecto a tener en cuenta en el diseño de los MTMDs. 1.3 OBJETIVOS DEL TRABAJO Como ya se ha adelantado en el apartado anterior, el principal objetivo del presente trabajo es la implementación de una metodología de optimización de MTMDs en estructuras con un comportamiento no lineal geométrico en las que el modo de vibración afectado presenta varias posiciones de máximo valor modal. Como caso de aplicación práctico, se comprobará la efectividad de la metodología desarrollada sobre una pasarela peatonal real, cuyo modelo de cálculo numérico será debidamente actualizado de acuerdo a mediciones en campo para garantizar la bondad de los resultados obtenidos. Para conseguir el objetivo principal, resulta necesario establecer una serie de objetivos previos que permitan obtener los conocimientos adecuados para su realización. En primer lugar, es básico el estudio de la carga peatonal en pasarelas con objeto de determinar, por un lado, las características y parámetros que definen a la carga y, por otro, el rango de actuación en términos de frecuencia de paso que tiene la misma, pudiendo en este último caso determinar los modos de vibración de la estructura que se ven excitados por el flujo peatonal. En segundo lugar, es necesaria una revisión de las metodologías existentes para la optimización de TMD. Este estudio tiene su fin en dos aspectos: por un lado, el estudio de la influencia que posee la inclusión de un TMD en una estructura, pudiendo así identificar los parámetros esenciales en su diseño; y, por otro lado, el estudio de las metodologías de optimización, buscando las posibles limitaciones que puedan tener éstas en su uso para diferentes casos estructurales. Como objetivos previos al principal, establecidos a modo de herramienta, se tienen los siguientes:  Estudio de la carga peatonal en pasarelas, con objeto de conocer las características de la carga, su modelización y la posible interacción con los modos de vibración propios de la estructura.  Estudio del comportamiento de un TMD dentro de un sistema estructural y las metodologías existentes para la optimización de sus características, identificando los parámetros que caracterizan su comportamiento y las limitaciones en el uso de las metodologías actuales. Finalmente, tras la consecución de lo anterior, se persigue el objetivo principal:  Implementación de una metodología para el diseño óptimo de MTMDs en una pasarela peatonal con un comportamiento no lineal geométrico, en la que existe un modo de vibración afectado con varios antinodos. La pasarela será previamente medida en campo para lograr una actualización adecuada del modelo numérico con el que se realizará el diseño (para asegurar la bondad de los resultados obtenidos). 4 INTRODUCCIÓN -41.4 METODOLOGÍA DE TRABAJO La metodología de trabajo utilizada para la consecución de los objetivos marcados para el TFM ha sido la que se expone en el presente apartado. El documento se estructura de forma similar a la metodología implementada. En el presente Capítulo 1 Introducción se ha expuesto la justificación del trabajo realizado, así como la motivación que mueve su desarrollo. Además, se han descrito los objetivos principales que se busca alcanzar con la realización del trabajo. Posteriormente, dentro de este mismo capítulo, en el Apartado 1.5 Aproximación al Diseño óptimo de MTMD, se aporta una aproximación al trabajo realizado, que sirve como resumen de los principales aspectos desarrollados a lo largo del mismo. El estudio de la carga peatonal ha sido la primera tarea llevada a cabo, la cual se expone en el Capítulo 2 Estudio de la Carga Peatonal. Para ello se ha utilizado, fundamentalmente, la guía de recomendaciones para el diseño de pasarelas peatonales, conocida como SYNPEX (Heinemeyer et al., 2009). Posteriormente, se ha abordado el estudio del comportamiento de sistemas estructurales con TMD asociado, aspecto que se expone en los apartados iniciales del Capítulo 3 Revisión de Metodologías para el Diseño Óptimo de TMD. En el mismo capítulo también se incluye una revisión de metodologías para el diseño óptimo de TMD, lo cual ha permitido identificar los parámetros más sensibles del TMD y las limitaciones de las metodologías. Llevado a cabo lo anterior se ha estudiado el caso particular de aplicación a una estructura con comportamiento no lineal geométrico. La metodología escogida para el diseño de este caso particular, así como su justificación de elección y los parámetros y algoritmos numéricos que contempla, se describen detalladamente en el Capítulo 4 Diseño de MTMDs en una Estructura con Comportamiento no lineal geométrico: Criterio de Desempeño. La metodología se ha implementado en los software Matlab (versión 15b) y ANSYS (versión 16), utilizando una conexión entre ambos para la resolución del problema. La aplicación de la metodología implementada a un caso real parte de la generación de un modelo numérico de una pasarela, el cual debe ser debidamente actualizado basándose en mediciones de campo para garantizar un diseño adecuado de los MTMDs. Las características del modelo numérico y de los ensayos y análisis que permiten su actualización se muestran en el Capítulo 5 Caso de Estudio: pasarela suspendida en Zuheros (Córdoba), así como la justificación de los resultados y los parámetros de actualización obtenidos. Basándose en el modelo numérico actualizado, la metodología de optimización de MTMDs implementada se ha aplicado al caso de estudio concreto. Los resultados obtenidos al respecto se muestran en el Capítulo 6 Diseño Óptimo de MTMDs para el Caso de Estudio. Finalmente, en el Capítulo 7 Conclusiones y Trabajos Futuros se aportan las conclusiones obtenidas del trabajo realizado, así como posibles vías de desarrollo identificadas a lo largo del mismo en los diferentes aspectos estudiados. Como resumen a lo expuesto en el presente apartado, las ideas y tareas clave de cada uno de los pasos de ejecución del trabajo se muestran en la Figura 1.2. Diseño óptimo de Múltiples Amortiguadores de Masa Sintonizada sobre pasarelas peatonales 5 -5Figura 1.2. Metodología de trabajo llevada a cabo. Fuente: Elaboración propia. 1.5 APROXIMACIÓN AL DISEÑO ÓPTIMO DE MTMD Cuando se aborda el estudio de los fenómenos dinámicos en una pasarela peatonal esbelta, con objeto de diseñar un sistema de amortiguamiento que reduzca las vibraciones en la misma, el estudio de la carga peatonal resulta básico para entender los problemas vibratorios. En su movimiento, un peatón introduce una fuerza en la pasarela que depende de la frecuencia de paso; a su vez, el peatón tiende a sincronizar su paso con el del resto de peatones que le rodean, especialmente si la densidad del flujo peatonal es elevada, lo que lleva a que cada peatón introduzca una fuerza con la misma fase en la estructura, pudiendo incrementar los problemas vibratorios. Pero no sólo se puede producir una sincronización entre los diferentes peatones que forman el grupo, ya que los movimientos de la estructura pueden ocasionar que éstos adapten, involuntariamente, su movimiento al de la estructura, aumentando aún más los problemas vibratorios. Ante lo expuesto, queda patente la necesidad de realizar un estudio de la interacción del peatón y la estructura, con objeto de determinar qué tipos de flujos peatonales supondrán una afección, en forma de vibraciones indeseables, a la estructura. 6 INTRODUCCIÓN -6Identificados los problemas dinámicos que pueden aparecer en la estructura, particularizada en una pasarela peatonal en el presente TFM, el siguiente paso es determinar el sistema de amortiguamiento óptimo en la misma. En definitiva, se pretende diseñar un elemento que reduzca hasta un límite admisible las vibraciones que se producen en la pasarela: un TMD, definido por una masa, un amortiguamiento y una rigidez, y colocado en las posiciones donde se producen los máximos valores modales del modo de vibración afectado. Para ello, es fundamental estudiar el comportamiento del conjunto TMD-estructura. Desde el pasado siglo XX se viene estudiando el fenómeno dinámico que se produce en una estructura al incluir en ella un absorbedor de vibraciones, amortiguador o TMD. Para la mayoría de casos, los estudios se centran en casos simples, generalmente de un sólo grado de libertad, pero ayudan a comprender de forma teórica el fenómeno. Uno de los primeros en estudiar el tema fue Frahm, quien en 1911 propuso un modelo estructural formado por una estructura de un grado de libertad y un absorbedor unido a ella, ambos sin amortiguamiento asociado (Frahm, 1911). Las conclusiones obtenidas son muy prácticas, indicando, por un lado, que el absorbedor debe ser diseñado para que su frecuencia coincida, lo máximo posible, con la frecuencia excitada de la estructura, ya que de otro modo perdería su eficacia; y por otro lado, se demuestra la aparición de nuevas frecuencias en el sistema conjunto, desviadas respecto a la que originalmente se excitaba de forma proporcional a la masa del absorbedor dispuesto. Incorporando el amortiguamiento tanto de la estructura como del sistema de amortiguación al análisis, los resultados muestran las mismas pautas, básicas para entender el funcionamiento del sistema amortiguado. Tras el estudio de la interacción entre el TMD y la estructura, la siguiente tarea será la definición de un sistema de amortiguamiento óptimo, fundamentalmente por dos razones: la primera, asegurar que el amortiguador permita reducir las vibraciones, es decir, asegurar que se sincroniza con el modo de vibración más desfavorable que causa las mismas y amortigua los demás de manera satisfactoria; la segunda, el ahorro económico. Para ello, diversos autores han desarrollado multitud de metodologías a lo largo de los años: los métodos clásicos de Den Hartog, la norma H∞ (minimización de la amplitud máxima de la respuesta) o la norma H2 (minimización de la energía de vibración total del sistema); o el Criterio de Desempeño (Performance), más actual. Los métodos clásicos suponen, generalmente, simplificaciones sobre el problema real, tales como despreciar el amortiguamiento de la estructura; también, en muchos casos, están planteados para casos de un grado de libertad, casos con un único modo de vibración afectado o con modos afectados muy separados entre sí (en términos de frecuencia), estructuras con comportamiento lineal, etc. Esto los concibe, para problemas más complejos, como una forma de establecer un determinado orden de magnitud del diseño con el que comparar los resultados obtenidos mediante el uso de metodologías más avanzadas. El caso de estudio que se aborda en el presente TFM, una pasarela peatonal suspendida de cables, lo hace idóneo para desarrollar y comprobar una metodología de optimización de las características de los MTMDs dispuestos. Se trata de una estructura con un comportamiento no lineal geométrico, en la que su ligereza y esbeltez la hacen muy sensible a los cambios de masa y niveles de tensión de los cables que se producen debido a la carga peatonal, lo que determina un cambio en sus propiedades dinámicas; además, se trata de un caso en el que son múltiples los modos de vibración afectados por la carga peatonal, por lo que la concepción inicial parte de la paliación de las vibraciones para varios casos. Así, se plantea un nuevo problema: diseñar un sistema de amortiguamiento que permita reducir las vibraciones hasta niveles aceptables en un gran número de casos (varias cargas peatonales, varios modos afectados, e incluso variación de frecuencias de un mismo modo durante el episodio de carga). Para la solución del problema se ha aplicado el Criterio de Desempeño, el cual establece que, en el óptimo, el diseño del sistema de amortiguamiento debe ser tal que la variable de desempeño (variable de referencia cuyo valor se quiere limitar) no supere el valor máximo admisible. De esta forma se consigue ajustar el TMD o los MTMDs dispuestos en la estructura, fijados en las posiciones de máximo valor modal del modo afectado considerado en el diseño, Diseño óptimo de Múltiples Amortiguadores de Masa Sintonizada sobre pasarelas peatonales 7 -7de manera que se aproveche todo su potencial para reducir las vibraciones justo hasta el nivel asumible que se ha marcado en el diseño. La optimización de un TMD se consigue fundamentalmente, en términos económicos, minimizando su masa; por ello, a la restricción que supone en el diseño la limitación de la variable de desempeño, se le une la función de objetivo único: minimizar la masa. Con esto, queda definido el problema de optimización, consistente en determinar las variables de masa, amortiguamiento y rigidez de los MTMDs (cuya posición se ha fijado) que minimizan la masa de los mismos, de forma que se cumpla con la restricción fijada para la variable de desempeño. En una pasarela peatonal, la variable más comúnmente usada para la definición del confort de los peatones es la aceleración; por ello, dicha variable será la de desempeño utilizada en el proceso de optimización. Así, la restricción impuesta se cumplirá cuando el valor máximo de la aceleración en cualquier punto de la pasarela no sobrepase el límite fijado; sin embargo, en una estructura como la pasarela peatonal estudiada, donde la variación de frecuencias naturales debida a la masa añadida y al nivel de tensiones de los cables es elevada debido a la no linealidad geométrica, la solución obtenida a los parámetros de los MTMDs puede cumplir con la restricción para un determinado caso (siendo un caso el definido por una densidad peatonal y una frecuencia de paso), pero no para el resto; además, es necesario contemplar la variación de las características dinámicas de la pasarela tras la inclusión de los MTMDs en la misma, ya que puede variar la frecuencia del modo y quedar dentro del rango de influencia peatonal. A tal efecto, la optimización debe contemplar estos aspectos, con objeto de diseñar un sistema de amortiguamiento que sea lo más versátil posible para cumplir con la restricción en todos los casos analizados. Para aportar versatilidad a la optimización una buena opción es la utilización de algoritmos genéticos. Con ellos, se puede establecer un rango de búsqueda de los diferentes parámetros del TMD o MTMDs, rango establecido en función del estudio de modos y frecuencias de vibración realizado previamente sobre la estructura. De esta forma, desarrollando la implementación adecuada, se pueden evaluar un gran número de casos para varias combinaciones de las características del TMD, logrando determinar aquellas configuraciones válidas para todos los casos, y a partir de las cuales se podrá optimizar el diseño. Por lo tanto, la metodología desarrollada en el presente TFM para la optimización de MTMDs consiste en un algoritmo genético, el cual va generando diferentes propiedades de los MTMDs (masa, amortiguamiento y rigidez), evaluando la respuesta de la estructura (aceleraciones) y verificando que se cumple con la restricción impuesta. 14 ESTUDIO DE LA CARGA PEATONAL -14Tabla 2.1. Densidad de peatones (p = peatón). Fuente: (Heinemeyer et al., 2009). PEATONES INDIVIDUALES Y GRUPOS PEQUEÑOS  Número de peatones: 11  Tamaño del grupo: 1-2 p  Densidad: 0,02 p/m² TRÁFICO MUY LIGERO  Número de peatones: 25  Tamaño del grupo: 1-6 p  Densidad: 0,1 p/m² TRÁFICO LIGERO  Número de peatones : 60  Tamaño del grupo: 2-4 p  Densidad: 0,2 p/m² TRÁFICO EXCESIVAMENTE DENSO  Número de peatones: -  Tamaño del grupo: -  Densidad: > 1,5 p/m² Diseño óptimo de Múltiples Amortiguadores de Masa Sintonizada sobre pasarelas peatonales 15 -152.3.3 SINCRONIZACIÓN ENTRE PEATÓN - ESTRUCTURA El efecto conocido como lock-in es un fenómeno por el cual, cuando la estructura excede un determinado límite de desplazamiento (dependiendo de la dirección de vibración, tipo de actividad, etc.), el peatón (andando, corriendo o saltando) tiende a adaptarse y sincronizar su movimiento en frecuencia y en fase con la vibración del tablero, resultando en una mayor sincronización; este fenómeno se expone en la Figura 2.6. Figura 2.6. Efecto de sincronización de los peatones. Fuente: (Heinemeyer et al., 2009). El efecto lock-in en la dirección transversal es más probable que ocurra durante la sincronización lateral y es conocido por el nombre de Excitación Lateral Sincronizada (SLE – Synchronous Lateral Excitación). Esto es debido al hecho de que los peatones son mucho más sensibles a las vibraciones laterales que a las verticales. Un ejemplo de este fenómeno ocurrió en el puente del Milenio de Londres en su apertura en junio del 2000, cuando centenares de personas atravesaron la estructura. Según las investigaciones llevadas a cabo en el puente del Milenio de Londres, este fenómeno puede ocurrir en cualquier puente con una frecuencia lateral entre 0,50 y 1,20 Hz bajo la premisa de que un número suficiente de personas crucen el puente al mismo tiempo. Investigaciones posteriores revelaron que un ligero movimiento lateral del puente causa que los peatones ajusten su movimiento de manera involuntaria a la estructura, ocasionando que las vibraciones laterales aumenten. 2.4 MODELOS DE CARGA PARA GRUPOS PEATONALES Existen multitud de modelos para simular la carga peatonal, propuestos por diferentes normativas, recomendaciones y guías técnicas. Además, es necesario definir modelos para cargas debidas a peatones andando y para aquellas debidas a peatones corriendo, siendo fenómenos diferentes que se caracterizan de acuerdo a sus parámetros representativos. En los siguientes apartados se muestran dos modelos, uno para cada fenómeno. 2.4.1 MODELO PARA PEATONES ANDANDO Las pasarelas peatonales suelen están sometidas a cargas de grupos de personas, siendo un caso muy poco frecuente el paso de un único peatón; sin embargo, esta casuística puede ocurrir, por lo que no está de más tenerla en cuenta. Dentro de un grupo de peatones cada una de las personas que lo integran tiene sus propias características en cuanto a peso, velocidad, frecuencia de paso, localización en la pasarela, etc. Además, en función del número de personas que formen el grupo que pasa sobre una pasarela 16 ESTUDIO DE LA CARGA PEATONAL -16pueden aparecer fenómenos de sincronización más o menos fuertes entre los diferentes peatones, lo que hace que éstos comiencen a perder algunas de sus características individuales (como la velocidad, o la frecuencia de paso), pasando éstas a ser propias de todo el grupo. Este comportamiento es un aspecto muy difícil de modelar correctamente, por lo que se recurre, generalmente, a modelos simplificados. Una forma de tener en cuenta el grado de sincronización es analizando la densidad de peatones sobre la pasarela, lo que permite definir una clase de tráfico con las pautas características mostradas en la Tabla 2.2. Tabla 2.2. Clases de tráfico peatonal. Fuente: (Heinemeyer et al., 2009). CLASE DE TRÁFICO DENSIDAD DESCRIPCIÓN CARACTERÍSTICAS TC 1 < 0,2 p/m2 Tráfico muy ligero TC 2 0,2 p/m2 Tráfico ligero Los peatones andan de forma libre y cómoda, eligiendo libremente su camino y pudiendo adelantar a otros peatones. TC 3 0,5 p/m2 Tráfico denso Los peatones siguen andando de forma libre, aunque a veces el adelantamiento se puede ver imposibilitado. TC 4 1,0 p/m2 Tráfico muy denso El movimiento libre de los peatones es imposible, andando éstos en grupo y sin posibilidad de adelantamiento. TC 5 1,5 p/m2 Tráfico excepcionalmente denso El movimiento se hace incómodo, sin posibilidad de elegir un camino propio al andar en muchedumbre. Uno de los modelos más extendidos para peatones andando es el propuesto en (Heinemeyer et al., 2009), el cual supone que en un grupo de n peatones existen n peatones que caminan sincronizados. La expresión utilizada es la correspondiente a una carga vertical armónica uniformemente distribuida como la siguiente, que representa la carga equivalente p(t) del flujo peatonal: Diseño óptimo de Múltiples Amortiguadores de Masa Sintonizada sobre pasarelas peatonales 17 -17-       '2cos ntfPtp s (2.4) Dónde:  P es la fuerza ejercida por el paso del peatón en N, cuyo valor, en función de la dirección considerada, es el mostrado en la Tabla 2.3. Tabla 2.3. Valor de la carga introducida por el peatón en cada dirección. Fuente: (Heinemeyer et al., 2009). CARGA VERTICAL LONGITUDINAL LATERAL P (N) 280 140 35  fs es la frecuencia de paso en Hz, la cual se asume que es igual a la del modo de vibración de la pasarela identificado dentro del rango de la frecuencia de peatones andando.  n’ es el número equivalente de peatones, siendo éste una medida de los peatones cuyo paso se encuentra sincronizado; si se quiere analizar la fuerza de un único peatón, bastaría con eliminar este parámetro de la ecuación (2.4). Su valor se obtiene, en función de la clase de tráfico que se tenga y utilizando los valores del factor de amortiguamiento de la estructura ξ y de la superficie cargada S, según las siguientes expresiones:  Para una densidad menor a 1 p/m2 (clases TC1, TC2 y TC3): S n n   8,10 ' (2.5)  Para una densidad mayor a 1 p/m2 (clases TC4 y TC5): S n n 85,1 ' (2.6)  ψ es un coeficiente de reducción que tiene en cuenta la probabilidad de que la frecuencia de paso se aproxime al rango crítico de frecuencias. En función de la dirección considerada en el análisis, adquiere los valores que se muestran en la Figura 2.7. Figura 2.7. Coeficiente de reducción para peatones andando. Fuente: (Heinemeyer et al., 2009). En la figura anterior se introduce el concepto de “segundo armónico”. En su avance, los peatones transfieren una fuerza a la estructura que se puede descomponer en una serie de 18 ESTUDIO DE LA CARGA PEATONAL -18armónicos, que a medida que aumentan de orden comienzan a ser despreciables para las tipologías más comunes de pasarelas peatonales. El primer armónico supone la mayor transmisión de fuerza, si bien el segundo armónico aporta un cuarto de la fuerza del primero para el rango de frecuencias comprendido entre 2,5 Hz y 4,6 Hz (el doble del rango en el que se considera el primero). Así, la fuerza asociada al segundo armónico puede ser aún considerable, y para estructuras con frecuencias de vibración comprendidas entre el rango mencionado, se debe tener en cuenta en el análisis dinámico. Una vez obtenido el valor de la carga peatonal uniformemente distribuida según las indicaciones anteriores, su aplicación se realiza de acuerdo a la forma del modo que se haya identificado. Como ejemplo, se muestra la Figura 2.8. Figura 2.8. Forma de aplicación de la carga peatonal uniformemente distribuida en función de la forma del modo de vibración considerado. Fuente: (Heinemeyer et al., 2009). 2.4.2 MODELO PARA PEATONES CORRIENDO La fuerza de reacción debida al movimiento de humanos corriendo está caracterizada por una fase de levantamiento en la cual ningún pie se encuentra en contacto con la superficie. En comparación con la carga debida a peatones andando, la carga de peatones corriendo produce fuerzas que dependen mucho más de la forma individual de correr y del tipo de calzado usado por la persona. El modelo propuesto es muy similar al descrito en el apartado anterior para peatones andando, con la particularidad de que ahora se supone que la fuerza generada se mueve por la estructura a una velocidad v:       '2cos, ntfPtvp s (2.7) Dónde:  P es la fuerza vertical ejercida por un único corredor, que se puede asumir igual a 1250 N de acuerdo a (Heinemeyer et al., 2009).  fs es la frecuencia de paso en Hz, la cual se asume que es igual a la del modo de vibración de la pasarela identificado dentro del rango de la frecuencia de peatones corriendo.  n’ es el número equivalente de peatones, siendo ésta una medida de los peatones cuya carrera se encuentra sincronizada; si se quiere analizar la fuerza de un único peatón, bastaría con eliminar este parámetro de la ecuación (2.7). Su cálculo es equivalente al mostrado en las ecuaciones (2.5) y (2.6).  ψ es un coeficiente de reducción que tiene en cuenta la probabilidad de que la frecuencia de carrera se aproxime al rango crítico de frecuencias. Para la dirección vertical, adquiere los valores que muestran en la Figura 2.9. Diseño óptimo de Múltiples Amortiguadores de Masa Sintonizada sobre pasarelas peatonales 19 -19Figura 2.9. Coeficiente de reducción para corredores. Fuente: (Heinemeyer et al., 2009) 2.5 CLASES DE CONFORT La percepción de las vibraciones por los seres humanos es un tema muy complicado, pues no se puede establecer un estándar fijo al depender de forma importante de las características de cada persona. En este aspecto, la psicología humana tiene un rol fundamental, ya que cada persona percibe las vibraciones de forma diferente; pero no es solo este hecho el que marca la percepción, puesto que también depende del momento en el que se producen las vibraciones, así como de los sonidos que pueda producir la estructura. En este punto cabe distinguir entre dos tipos de vibraciones: verticales y horizontales. Generalmente, los peatones son menos sensibles a las primeras que a las segundas. Con respecto a las vibraciones verticales, la experiencia demuestra que el cuerpo humano es más sensible a ellas en una posición estática que en movimiento. Los criterios de confort en este caso se establecen a partir de la definición de un límite máximo de la aceleración vertical de la estructura; las clases de confort establecidas se muestran en la Tabla 2.4. En cuanto a las vibraciones horizontales, los peatones son mucho más sensibles, más en la dirección lateral de la pasarela que en la longitudinal. El origen de este fenómeno es la mayor facilidad de desestabilizar a una persona con vibraciones horizontales que con verticales. De igual forma que con las vibraciones verticales, una forma de definir las clases de confort es mediante la limitación de las aceleraciones, tal y como se muestra en la Tabla 2.4, pero en este caso con valores menores. Tabla 2.4. Clases de confort en pasarelas. Fuente: (Heinemeyer et al., 2009). CLASE DE CONFORT GRADO DE CONFORT Aceleración Máxima Vertical Horizontal CL 1 Máximo < 0,5 m/s2 < 0,1 m/s2 CL 2 Medio 0,5 - 1,0 m/s2 0,1 - 0,3 m/s2 CL 3 Mínimo 1,0 - 2,5 m/s2 0,3 - 0,8 m/s2 CL 4 Inaceptable > 2,5 m/s2 > 0,8 m/s2 20 ESTUDIO DE LA CARGA PEATONAL -20- -213 REVISIÓN DE METODOLOGÍAS PARA EL DISEÑO ÓPTIMO DE TMD En el presente Capítulo se aborda el estudio del comportamiento de una estructura en la cual se incluye un TMD para reducir sus movimientos vibratorios. A tal efecto, en primer lugar se introduce el concepto de TMD, así como las claves de su funcionalidad. Posteriormente se estudian casos básicos para diferentes configuraciones de estructura-TMD, algo que ayuda a entender el efecto de estos dispositivos de amortiguamiento en el sistema estructural. A continuación, se exponen algunas de las metodologías actuales para la optimización de TMD en sistemas lineales, exponiendo ejemplos numéricos que permiten identificar los parámetros clave de la optimización. Finalmente, se expone la metodología extendida a un caso más general: una estructura de varios grados de libertad con múltiples TMD (o MTMDs). 3.1 INTRODUCCIÓN Un amortiguador de masa sintonizada (TMD – Tuned Mass Damper) es un dispositivo capaz de modificar la respuesta estructural dinámica, compuesto por una masa unida a la estructura mediante un muelle y un amortiguador y sintonizado a una frecuencia natural particular de la misma. La disipación de energía se realiza mediante el amortiguador, siempre que la masa del TMD oscile con desplazamientos o velocidad relativos al sistema principal (estructura) no nulos, permitiendo la transferencia de energía del sistema principal al TMD. Para obtener la efectividad óptima del TMD se deben elegir sus parámetros de manera racional, para lo cual existen diversas metodologías que se exponen a lo largo del presente capítulo. Debido a que la masa del TMD es, de manera general, mucho más pequeña que la de la estructura, cuando ésta es excitada el TMD entra en resonancia fuera de la fase del movimiento de la estructura, es decir: la masa del TMD oscila en la dirección opuesta a la estructura. Por tanto, se generan grandes desplazamientos relativos entre los dos sistemas, por lo que la situación del TMD dentro de la estructura debe tenerse en cuenta en la etapa de diseño junto con las consecuencias de la generación de grandes desplazamientos relativos. Como se acaba de mencionar, la funcionalidad de este tipo de dispositivos es muy dependiente de la frecuencia y amortiguamiento asumido en el diseño, el cual depende de la precisión con la que se conocen las características dinámicas de la estructura en referencia a los modos de vibración y frecuencias. Para reducir la incertidumbre sobre la estructura se puede emplear el Análisis Modal Operacional (OMA – Operational Modal Analysis) con objeto de obtener los parámetros modales de la estructura de manera realista. Con respecto a las funciones que puede realizar un TMD, se distinguen dos fundamentalmente (Karoumi, 1998):  Reducción de la resonancia de la estructura principal.  Aumento del amortiguamiento general de la estructura debido a la adhesión del amortiguador, el cual aporta una fuente auxiliar de disipación de energía. 22 REVISIÓN DE METODOLOGÍAS PARA EL DISEÑO ÓPTIMO DE TMD -22El tráfico peatonal, cuyo estudio se abordó en el Capítulo 2 Estudio de la Carga Peatonal, es el principal causante de la entrada en resonancia en pasarelas peatonales debido a que la frecuencia natural principal de la estructura se suele encontrar en el rango de 1-2 Hz, lo que la hace sensible a fuentes de excitación de baja frecuencia. 3.2 ABSORBEDOR DE VIBRACIONES DE FRAHM Con objeto de explorar el concepto de amortiguador de masa sintonizada, se introduce en el presente apartado el caso del absorbedor de vibraciones de Frahm, patentado por Frahm en 1911 (Frahm, 1911). Tal y como se aprecia en la Figura 3.1, el sistema está compuesto de una masa ms sin amortiguamiento, unida mediante un muelle con rigidez ks a una estructura sin amortiguamiento con masa mp y rigidez kp. En este caso, el dispositivo de Frahm no es un TMD propiamente dicho debido a la ausencia de amortiguador, sino que representa una masa secundaria unida al sistema principal por un muelle sin amortiguador. Figura 3.1. Absorbedor de vibraciones de Frahm. Fuente: (Goitom Tekeste, 2015) Si se considera en el sistema descrito la actuación de una fuerza armónica de excitación, F(t), en el sistema principal, las ecuaciones del movimiento del sistema pueden escribirse de la siguiente forma:   0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p p p s p s s m u t k k u t k u t F t F sin wt         (3.1) ( ) ( ) ( ) 0 s s s s s p m u t k u t k u t      (3.2) Dónde:  () p ut es la aceleración vertical del sistema principal.  () p ut es el desplazamiento vertical del sistema principal.  () s ut es la aceleración vertical del sistema secundario.  () s ut es el desplazamiento vertical del sistema secundario. La solución de las ecuaciones diferenciales expuestas es: 1 ( ) ( ) p u t a sin wt (3.3) 2 ( ) ( ) s u t a sin wt (3.4) Diseño óptimo de Múltiples Amortiguadores de Masa Sintonizada sobre pasarelas peatonales 23 -23Diferenciando las ecuaciones (3.3) y (3.4) dos veces con respecto al tiempo y sustituyendo en (3.1) y (3.2), se obtiene:   2 1 2 0 ( ) ( ) p p s s a m w k k a k sin wt F sin wt             (3.5)   2 12 ( ) 0 s s s a k a m w k sin wt            (3.6) Con objeto de obtener el sistema de ecuaciones de manera adimensional, se introduce la siguiente notación: 0 pst p F uk   Desplazamiento estático del sistema principal p p p k wm   Frecuencia natural del sistema principal s s s k wm   Frecuencia natural del sistema secundario s p m m    Ratio de masas Sustituyendo la notación expuesta en (3.5) y (3.6) se obtiene: 2 12 2 1pspst p s p kk w a a u w k k           (3.7) 2 12 2 1 s w aa w       (3.8) Resolviendo para a1 y a2: 2 2 1 22 22 1 11 s pst ss s p p p w w a ukk ww w w k k                 (3.9) 2 22 22 1 11 pst ss s p p p a ukk ww w w k k             (3.10) 30 REVISIÓN DE METODOLOGÍAS PARA EL DISEÑO ÓPTIMO DE TMD -303.4.2 CRITERIO DE LA NORMA H2 El criterio de la norma de H2 tiene como finalidad minimizar la energía de vibración total del sistema. Si el sistema está sometido a una excitación aleatoria de ruido blanco, la norma de H2 de Gp(rp) está directamente relacionada con la variación del resultado de la función de amplificación dinámica. Matemáticamente, la norma de H2 se expresa (Weber, Feltrin and Huth, 2006):   22 22 1 ( ) ( ) ( ) 2 p p tr p p p p p p tr H G r G t dt G r dr          (3.34) Esta expresión representa una medida del área comprendida entre el cuadrado del valor absoluto de la función de amplificación dinámica, |Gp(rp)|2, y entre el eje horizontal, rp. Se debe notar que, por esta definición, sólo existe un único máximo y no dos como en el caso de la norma de H∞. El objetivo del criterio expuesto es encontrar el ratio de frecuencias, q, y el factor de amortiguamiento del TMD, ξs, que minimizan ||Gp(rp)||2, es decir: 2 2 1 Min( , ) ( ) Min( , ) ( ) 2 p p r s p p s p p p r q G r q G r dr      (3.35) La forma de obtener una solución analítica pasa por resolver el sistema formado por las dos ecuaciones no lineales que definen las dos condiciones de mínimo: 2 () 0 pp s Gr    (3.36) 2 () 0 pp Gr q   (3.37) 3.5 SISTEMA DE 1 G.D.L. CON TMD En el presente apartado se exponen resultados numéricos de las metodologías descritas en el apartado anterior, con objeto de ver el efecto de las mismas y la sensibilidad de sus parámetros, así como las posibles diferencias que puedan existir entre ellas. En primer lugar se estudia el caso de un TMD sujeto a un sistema de 1 g.d.l. sin amortiguar, para posteriormente incluir el amortiguamiento de la estructura y observar el efecto del mismo. 3.5.1 TMD SUJETO A UN SISTEMA SIN AMORTIGUAR Para ratios de amortiguamiento reducidos, menores al 1%-2% (que típicamente se tienen en casos de ingeniería civil), se puede considerar, de forma aproximada, que el amortiguamiento de la estructura es nulo sin que esto incurra en errores de análisis no asumibles. Bajo esta hipótesis, el factor de amplificación dinámica del sistema de 1 g.d.l. sometido a una excitación armónica toma la siguiente expresión: Diseño óptimo de Múltiples Amortiguadores de Masa Sintonizada sobre pasarelas peatonales 31 -31-   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) (2· · · ) () (1 )·( ) · · 4· · · 1 ·(1 ) p s p pp p p p p s p q r q r Gr r q r r q r q r                    (3.38) Como se puede observar, la expresión anterior depende de cuatro factores: el ratio de frecuencias, q, el ratio de masas, μ, el factor de amortiguamiento del TMD, ξs, y la relación entre la frecuencia de excitación y la frecuencia propia del sistema, rp. Si se fija un ratio de masas y un ratio de frecuencias (por ejemplo, μ = 0,20 y q = 0,9), se puede ver el efecto que tiene el amortiguamiento del TMD en la respuesta del sistema (ver Figura 3.6), pudiéndose observar que, a medida que ξs aumenta, los picos de la respuesta de la estructura se reducen; sin embargo, el valor de la respuesta estructural entre picos se incrementa, siendo la tendencia la de formar un único pico central cuando el amortiguamiento del TMD aumenta. En consecuencia, la principal conclusión obtenida al respecto es que, si se aumenta demasiado el amortiguamiento del TMD, éste comienza a vibrar en consonancia con la estructura, perdiendo toda la eficiencia para reducir la amplitud del movimiento. Figura 3.6. Factor de amplificación dinámica para un sistema de 1 g.d.l. con un TMD (μ = 0,20, q = 0,8) y varios factores de amortiguamiento del TMD. Fuente: Elaboración propia. Si se visualiza la figura anterior, ahora observando la simetría de la respuesta, se puede concluir que los parámetros del TMD utilizados no son los óptimos (según el criterio de la norma de H∞), ya que los picos de respuesta no alcanzan el mismo valor. Por otro lado, se puede ver cómo, para todos los casos representados, existen dos puntos comunes en las funciones de respuesta (A y B); estos puntos son la base de la búsqueda de los parámetros óptimos del TMD en estructuras no amortiguadas de acuerdo a la formulación de Den Hartog. Llegado este punto, resulta interesante obtener los parámetros óptimos del TMD que minimizan la respuesta de la estructura antes de seguir con el análisis. A tal efecto, se pueden aplicar las metodologías expuestas en el Apartado 3.4 Criterios clásicos de optimización de TMD para la optimización de TMD; los resultados obtenidos para cada una de las tres metodologías en función del ratio de masas establecido se muestran en la Figura 3.7. Se pueden concluir los siguientes aspectos: 32 REVISIÓN DE METODOLOGÍAS PARA EL DISEÑO ÓPTIMO DE TMD -32-  A medida que aumenta el ratio de masas, el ratio de frecuencias óptimo disminuye. La comparación entre los diferentes métodos de optimización muestra una gran similitud entre Den Hartog (DH en adelante) y H∞, y una diferencia entre éstos y H2, cuyos valores de ratio de frecuencias se encuentran por encima.  Cuanto más aumenta el ratio de masas, mayor es el factor de amortiguamiento óptimo del TMD. El método H∞ es el que mayor factor de amortiguamiento aporta, mientras que el H2 es el que aporta menores valores, estando DH entre ambos.  El factor de amplificación dinámica de la estructura disminuye a medida que aumenta el ratio de masas. Los valores aportados por DH y H∞ son prácticamente idénticos y mayores a los obtenidos por H2. Figura 3.7. Comparación de valores óptimos para diferentes métodos de optimización de TMD en un sistema de 1g.d.l. no amortiguado. Fuente: Elaboración propia. Adicionalmente, es útil evaluar la sensibilidad de la respuesta de la estructura a una ligera variación de los parámetros óptimos del TMD. Tomando como ejemplo los valores obtenidos por el método clásico de Den Hartog para un ratio de masas de μ = 0,1, que son qopt = 0,9091 y ξs,opt = 0,1846, se puede comprobar que una ligera variación del ratio óptimo de frecuencias provoca un incremento notable de la respuesta de la estructura (ver Figura 3.8); por lo tanto, resulta fundamental una correcta definición de la frecuencia del TMD para lograr su efectividad en la reducción de la respuesta. Por otro lado, si se fija el valor de qopt y se hace variar ξs,opt, se obtienen los resultados de la Figura 3.9, mostrándose una ligera variación, lo que determina una menor importancia en la optimización de este parámetro. Diseño óptimo de Múltiples Amortiguadores de Masa Sintonizada sobre pasarelas peatonales 33 -33Figura 3.8. Estudio de sensibilidad del ratio de frecuencias óptimo para un TMD en un sistema de 1 g.d.l. no amortiguado. Fuente: Elaboración propia. Figura 3.9. Estudio de sensibilidad del factor de amortiguamiento óptimo de un TMD en un sistema de 1 g.d.l. no amortiguado. Fuente: Elaboración propia. 34 REVISIÓN DE METODOLOGÍAS PARA EL DISEÑO ÓPTIMO DE TMD -343.5.2 TMD SUJETO A UN SISTEMA AMORTIGUADO Si, a diferencia del apartado anterior, se introduce en el análisis el amortiguamiento de la estructura, el factor de amplificación dinámica del sistema amortiguado viene determinado por la siguiente expresión:   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) (2· · · ) () (1 )·( ) · · 4· · · · 4· ·( ) · · 1 ·(1 ) p s p pp p p p s p p p p p s p q r q r Gr r q r r q q r r q r q r                          (3.39) Al igual que en el caso de estructura no amortiguada, en este caso los parámetros más importantes en el momento de la optimización del TMD son el ratio de masas y el ratio de frecuencias, siendo la efectividad del TMD menos sensible a pequeñas variaciones del factor de amortiguamiento óptimo del mismo. Esto se debe, fundamentalmente, al hecho de que el amortiguamiento de un TMD tiene como función principal la reducción de su desplazamiento como consecuencia de la energía transferida de la estructura a éste; así, la definición del amortiguamiento del TMD vendrá determinada, en la mayoría de los casos, por el espacio disponible para que éste desarrolle su movimiento vibratorio. Llegado este punto, adquiere interés conocer la sensibilidad que el diseño del TMD tiene respecto a la variación del amortiguamiento de la estructura, ξp. Bajo esta hipótesis, ya no es válido el concepto introducido anteriormente de los puntos fijos que se usan como base en el método de Den Hartog para encontrar los parámetros óptimos del sistema; sin embargo, para amortiguamientos reducidos, como se tienen generalmente en el ámbito de la ingeniería civil, sí se pueden seguir empleando dichas expresiones sin una pérdida importante de precisión. Todo esto se puede observar en la Figura 3.10, en la que, para un amortiguamiento de la estructura correspondiente a ξp = 0,01, los puntos A y B permanecen prácticamente fijos, mientras que para ξp = 0,10 se aprecia una diferencia entre ellos; por otro lado, como resulta obvio, la respuesta dinámica de la estructura es menor cuanto mayor es su amortiguamiento. Figura 3.10. Efecto del amortiguamiento de la estructura con μ = 0,20 y q = 0,90: ξp = 0,01 (izquierda) y ξp = 0,10 (derecha). Fuente: Elaboración propia. Con objeto de establecer un cierto límite de aplicación de la formulación de Den Hartog para sistemas amortiguados, se presentan los resultados de la Figura 3.11, correspondientes a los parámetros óptimos del TMD para los diferentes métodos de optimización vistos anteriormente. Diseño óptimo de Múltiples Amortiguadores de Masa Sintonizada sobre pasarelas peatonales 35 -35De su estudio se puede concluir que, para factores de amortiguamiento mayores en la estructura de 0,02, la diferencia comienza a ser importante entre los valores aportados por Den Hartog y por H∞ (el método H2 parte de otro concepto, por lo que no es comparable en este sentido); a tal efecto, queda demostrada la invalidez del método de Den Hartog para estructuras con un factor de amortiguamiento alto (en la práctica, ξp ≥ 2%). Figura 3.11. Comparación de los valores óptimos para diferentes métodos de optimización de TMD en un sistema de 1g.d.l. amortiguado (para μ = 0,10). Fuente: Elaboración propia. 3.6 SISTEMA DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD CON TMD La hipótesis de una estructura con un grado de libertad para el sistema principal es una simplificación de la realidad al considerar que toda la masa se concentra en un punto. Dado que un TMD se diseña para que opere de manera eficiente sobre un modo de vibración concreto de la estructura (siendo por tanto efectivo en un ancho de frecuencias reducido), este concepto puede extenderse a una estructura con múltiples grados de libertad, siendo posible diseñar MTMDs independientes para que cada TMD mitigue las vibraciones de un modo específico de vibración. Cabe mencionar que esta consideración sólo es aplicable si la estructura posee frecuencias naturales suficientemente espaciadas y si el comportamiento es elástico lineal. Un procedimiento similar al aplicado en el caso de un sistema con una estructura de un grado de libertad puede realizarse para obtener las ecuaciones de gobierno de un sistema formado por una estructura de N grados de libertad con un TMD asociado al k-ésimo grado de libertad, obteniéndose:     ,, ( ) · ( ) · ( ) ( ) · ( ) ( ) · ( ) ( ) · p p p p p p s s p k s s p k k M U t C U t K U t F t c u t U t k u t U t E           (3.40) ,, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 s s s s s p k s s s p k m u t c u t c U t k u t k U t          (3.41) 36 REVISIÓN DE METODOLOGÍAS PARA EL DISEÑO ÓPTIMO DE TMD -36Dónde:  p M es la matriz de masa de la estructura.  p C es la matriz de amortiguamiento de la estructura.  p K es la matriz de rigidez de la estructura.  k E es un vector columna de ceros con valor unidad en la fila k-ésima.  () p Ut es el vector de aceleraciones verticales de la estructura.  () p Ut es el vector de velocidades verticales de la estructura.  () p Ut es el vector de desplazamientos verticales de la estructura.  ,pk U es velocidad vertical de la estructura en el grado de libertad k-ésimo.  ,pk U es el desplazamiento de la estructura en el grado de libertad k-ésimo.  () s ut es la aceleración vertical del TMD.  () s ut es la velocidad vertical del TMD.  () s ut es el desplazamiento vertical del TMD.  ()Ft es la fuerza de excitación aplicada. Por la necesidad de considerar los desplazamientos relativos entre los dos sistemas debido a que ésta caracteriza la eficiencia del TMD, se define: , ( ) ( ) ( ) r s p k u t u t U t (3.42) Siendo ur(t) el desplazamiento relativo entre el TMD con respecto al desplazamiento del grado de libertad k-ésimo de la estructura. De esta forma, las ecuaciones (3.40) y (3.41) se pueden reescribir de la siguiente forma:   ( ) · ( ) · ( ) ( ) · ( ) · ( ) · p p p p p p s r s r k M U t C U t K U t F t c u t k u t E      (3.43) , ( ) ( ) ( ) ( ) s r s r s r s p k m u t c u t k u t m U t        (3.44) La solución al problema puede obtenerse mediante el método de superposición modal, por el que cualquier estructura de N grados de libertad puede expresarse como superposición de N estructuras de un grado de libertad asociadas a sus modos de vibración mediante unas coordenadas modales i u : 1 ( ) · ( ) · N p i i p i U t u t u     (3.45) Dónde:   es la matriz de dimensión N x N que contiene N vectores columna que representan la forma de cada modo de vibración.  p u es el vector columna que contienen las coordenadas modales de cada modo ui. Diseño óptimo de Múltiples Amortiguadores de Masa Sintonizada sobre pasarelas peatonales 37 -37Premultiplicando la ecuación (3.43) por T  y sustituyendo (3.45) en (3.43), se obtiene la siguiente expresión:   ( ) · ( ) · ( ) · ( ) · ( ) · ( ) · · TT p p p p p p s r s r k m u t c u t k u t F t c u t k u t E        (3.46) Dónde, según la propiedad de ortogonalidad e independencia de los modos de vibración entre sí, se tiene:  ·· T pp mM   (3.47)  ·· T pp cC   (3.48)  ·· T pp kK   (3.49) Sustituyendo ,, ( ) · ( ) T p k k p i U t E u t   en la ecuación (3.44), se tiene: , ( ) ( ) ( ) · · ( ) ( ) T s r s r s r s k p s k p i m u t c u t k u t m E u t m u t              (3.50) Como ya se ha comentado, un TMD se diseña para que sea efectivo únicamente para mitigar un modo de vibración de la estructura. Si se pretende controlar el modo de vibración i-ésimo de la estructura, dado que el principio de superposición modal permite desacoplar las ecuaciones, se pueden obtener las ecuaciones de un grado de libertad del movimiento referidas al grado de libertad i de la estructura:   , , , , , , , ( ) · ( ) · ( ) · ( ) · ( ) · ( ) · T p i p i p i p i p i p i i s r s r k i m u t c u t k u t F t c u t k u t        (3.51) ,, ( ) ( ) ( ) ( ) s r s r s r s k i p i m u t c u t k u t m u t           (3.52) Dónde ,ki  representa el desplazamiento del grado de libertad k-ésimo (dónde está el TMD) debido al modo de vibración i. Si se normaliza el vector i  con respecto a la matriz de masa, se tiene que ,1 ki   , permitiendo reescribir las ecuaciones (3.51) y (3.52), respectivamente, como: , , , , , , ( ) · ( ) · ( ) · ( ) · ( ) · ( ) T p i p i p i p i p i p i i s r s r m u t c u t k u t F t c u t k u t        (3.53) , ( ) ( ) ( ) ( ) s r s r s r s p i m u t c u t k u t m u t        (3.54) De esta forma, se han obtenido las ecuaciones de equilibrio dinámico para el modo de vibración i de la estructura con la contribución del TMD y, como se puede observar, resulta equivalente a las ecuaciones de una estructura de 1 g.d.l. obtenidas en el Apartado 3.3 Ecuaciones del movimiento para un sistema amortiguado de 1 G.D.L con un TMD. Así, se demuestra que es posible establecer una analogía entre una estructura de un grado de libertad y una estructura de múltiples grados de libertad, siempre y cuando se recurra a coordenadas modales y se cumplan los requisitos para aplicar el principio de superposición modal (casos lineales). Además, resulta inmediato implementar múltiples TMDs asociados a un sistema de múltiples grados de libertad empleando las ecuaciones de equilibrio (3.53) y (3.54) para cada TMD, estando cada TMD sintonizado a un modo específico de vibración, permitiendo así controlar las vibraciones de los modos más altos, que generalmente son los menos relevantes. 38 REVISIÓN DE METODOLOGÍAS PARA EL DISEÑO ÓPTIMO DE TMD -383.7 CASO DE ESTRUCTURAS NO LINEALES Las metodologías de optimización de sistemas estructuras con TMD expuestas y analizadas a lo largo del presente capítulo están concebidas para casos estructurales que se puedan simplificar por un modo dominante. Para casos en los que no se pueda asumir esta hipótesis, en el apartado anterior se ha aportado una extensión de las metodologías a sistemas con varios grados de libertad. Sin embargo, esta extensión es posible cuando la estructura tiene un comportamiento lineal, pudiéndose utilizar una superposición de la respuesta de la estructura; en casos con comportamiento no lineal geométrico, en los que la superposición deja de ser una aproximación válida, es necesario encontrar una nueva metodología de optimización de TMD. Además de lo anterior, las metodologías expuestas hasta ahora están orientadas a su uso en estructuras en las que el modo de vibración afectado (es decir, el modo cuyo movimiento se quiere paliar con la disposición de un TMD o MTMDs en los antinodos) es único y se encuentra claramente diferenciado y separado en frecuencias del resto de modos. Esto equivale a decir que la influencia que la variación de un modo puede tener en el resto es despreciable. Sin embargo, no todas las estructuras pueden englobarse en este grupo, siendo necesario en algunos casos estudiar la influencia que la inclusión de un TMD en la estructura puede tener en los diversos modos. Por lo tanto, tras la reflexión realizada en el presente apartado, se plantea la necesidad de estudiar una técnica de optimización de TMD que tenga en cuenta los diferentes aspectos mencionados. El Capítulo 4 Diseño de MTMDs en una Estructura con Comportamiento no lineal geométrico: Criterio de Desempeño va orientado precisamente a la descripción y estudio de dicha metodología. -394 DISEÑO DE MTMDS EN UNA ESTRUCTURA CON COMPORTAMIENTO NO LINEAL GEOMÉTRICO: CRITERIO DE DESEMPEÑO En el presente capítulo se procede a la exposición del método de diseño de MTMDs desarrollado en el presente TFM para su aplicación en una estructura con comportamiento no lineal geométrico: el Criterio de Desempeño (Performance) combinado con la aplicación de algoritmos de optimización genéticos y un software de cálculo estructural. Esta metodología está orientada a casos en los que la variabilidad de las frecuencias de vibración en una estructura es elevada, por lo que no se puede considerar una única frecuencia para sintonizar el TMD que amortigüe la estructura. El método desarrollado comprende, a grandes rasgos, las siguientes posibilidades:  Aplicación en casos de estructuras con comportamiento no lineal geométrico debido a la incorporación de un software de cálculo estructural en el proceso de optimización.  Posibilidad de paliar las vibraciones causadas cuando se ve afectado más de un modo de vibración; sin embargo, la aplicación práctica se centrará en solventar el caso de un único modo afectado.  Incorporación de varios TMDs (o MTMDs) debido a que el modo de vibración afectado posee más de un antinodo. Así, en primer lugar se procede al estudio de las causas que pueden producir una variación en las frecuencias naturales de una estructura. Posteriormente se describe el criterio de forma teórica. Finalmente, se expone la metodología de cálculo planteada: un algoritmo que incluye el Criterio de Desempeño y las particularidades de los algoritmos genéticos de optimización. 4.1 VARIABILIDAD DE LAS FRECUENCIAS EN UNA ESTRUCTURA Generalmente, cuando se aborda el estudio de los parámetros dinámicos de una estructura se obtienen resultados que se consideran invariables ante otros agentes externos, una suposición que puede ser cierta, como aproximación, en muchos casos. Sin embargo, existen estructuras cuyos materiales, geometría o configuración estructural son muy sensibles a cambios en el ambiente o en el estado de carga, lo que puede llevar a una variación en los parámetros dinámicos que es necesaria tener en cuenta en los cálculos. Si se centra esta reflexión en uno de los parámetros fundamentales que definen la dinámica de la estructura, la frecuencia de vibración, los factores que afectan a su valor se pueden dividir en dos categorías (Safaeifar and Karimi, 2015): 46 DISEÑO DE MTMDS EN UNA ESTRUCTURA CON COMPORTAMIENTO NO LINEAL GEOMÉTRICO: CRITERIO DE DESEMPEÑO -46quedara atascado en óptimos locales en el inicio, mientras que al final permitiría refinar la solución. La reproducción con sus dos mecanismos continúa hasta que se genera una nueva población de un tamaño apropiado, generalmente del mismo que la primera. 5) Evaluación de la nueva generación: Después de generada la nueva población, se evalúa la función objetivo para cada individuo de la misma. 6) Finalización: Los pasos 3º, 4º y 5º se repiten hasta que se cumpla algún criterio de parada. Los criterios de parada suelen ser alcanzar un máximo número de generaciones o generar varias poblaciones seguidas con diferencias por debajo de una cierta tolerancia. Otros criterios pueden ser ejecutar el algoritmo un tiempo máximo u obtener alguna solución para la que el valor de la función objetivo sea menor que un cierto límite que se considera óptimo. Los pasos descritos del funcionamiento de un algoritmo genético se pueden apreciar en la Figura 4.2. Figura 4.2. Diagrama de flujo de un algoritmo genético. Fuente: Elaboración propia Diseño óptimo de Múltiples Amortiguadores de Masa Sintonizada sobre pasarelas peatonales 47 -474.4 ALGORITMO DE OPTIMIZACIÓN DE MTMDS DESARROLLADO En los apartados anteriores se ha explicado en detalle y por separado la formulación del Criterio de Desempeño y el tipo de optimización que se propone para realizar el diseño de MTMDs en una estructura con comportamiento no lineal geométrico. Finalmente, solo restaría explicar cómo se combinan el criterio y el algoritmo genético, y el software necesario para poder completar la resolución. El algoritmo genético de objetivo único que se plantea se ejecutará desde el software MATLAB; concretamente, se empleará la función ga (genetic algorithm) definiendo sus condiciones iniciales teniendo en cuenta la formulación del problema. Tal y como se muestra en la Figura 4.3, se establecen en la función del algoritmo genético la función objetivo, los límites de las variables, los parámetros del algoritmo, el criterio de parada y la restricción del problema. La restricción del problema es de gran importancia en la resolución, puesto que determinará qué individuos de la población son aptos para contribuir a la minimización de la función objetivo. Para evaluar en cada individuo la restricción es necesario obtener la máxima aceleración de la estructura de cada caso de carga para cada configuración. Para obtener la aceleración máxima de la estructura es necesario el empleo de un software de cálculo estructural, ya que se pretende resolver un problema no lineal y, por tanto, no se cumplen las hipótesis lineales que permiten realizar simplificaciones en el cálculo. El software empleado en este caso será ANSYS, con el que se realizarán dos tipos de análisis para cada valor de las variables (cada individuo); por un lado, un análisis modal no lineal para determinar las nuevas frecuencias tras la colocación de los MTMDs con sus parámetros y después, un análisis transitorio en el que se evalúa la respuesta de la estructura frente a la acción peatonal definida por los casos de carga críticos iniciales (antes de colocar amortiguadores) y los resultantes del análisis modal con la inclusión de los amortiguadores. Cabe mencionar que el número de análisis modales a realizar por individuo será igual a la suma del número de casos de carga críticos iniciales de cada modo, y por el número de modos afectados: 11 () ( , , ) D Nd AM dd N LS d f N             (4.3) Dónde:  AM N es el número de análisis modales.   es cada uno de los modos de vibración de la estructura que se encuentran en el rango crítico, siendo N el número total de modos afectados.  LS es cada uno de los casos de carga críticos, estando cada caso definido por una densidad peatonal d y la frecuencia del modo afectado f antes de la instalación de amortiguadores.  D d  es el número total de densidades peatonales que afectan a cada modo  . Por otro lado, el número de análisis transitorios a realizar es indeterminado y específico de cada problema y, como mínimo, es igual al número de análisis modales, lo que equivaldría a evaluar únicamente las situaciones iniciales. Eso es así debido a que el número de nuevas frecuencias del sistema estructural con amortiguadores depende del número de amortiguadores que se propongan. Según se muestra en la Figura 4.3, todo este proceso se encuadra dentro de la evaluación de soluciones de la población inicial, así como de la evaluación de las siguientes generaciones. 48 DISEÑO DE MTMDS EN UNA ESTRUCTURA CON COMPORTAMIENTO NO LINEAL GEOMÉTRICO: CRITERIO DE DESEMPEÑO -48De esta forma, una vez evaluados todos los individuos de una generación, se selecciona una proporción de la población anterior para crear una nueva generación en función de la aptitud de los individuos para optimizar la función objetivo y que cumplan la restricción, eligiéndose los mejores con una mayor probabilidad. Así, se generará una nueva población y se repetirá el proceso hasta que se cumpla el criterio de parada establecido por el usuario. Figura 4.3. Diagrama de flujo del algoritmo para la optimización e interacción de software. Fuente: Elaboración propia -495 CASO DE ESTUDIO: PASARELA SUSPENDIDA EN ZUHEROS (CÓRDOBA) El presente capítulo tiene como objetivo mostrar el modelo numérico de elementos finitos generado de la pasarela de estudio, así como la actualización realizada sobre el mismo a partir de mediciones reales, como base para utilizar de forma práctica la metodología para el diseño optimizado de MTMDs que se ha expuesto en el capítulo anterior. Para ello, se presentan en primer lugar las características que definen la estructura utilizada como ejemplo para realizar el análisis estructural. En base al estudio de estas características, se ha elaborado un modelo estructural numérico en ANSYS (versión 16) para el análisis de la pasarela. Además, aunque no es objetivo directo del presente trabajo, se ha llevado a cabo un ensayo de vibración ambiental con la finalidad de ajustar el modelo numérico de la estructura al comportamiento real de la misma; para ello, se aportan las nociones básicas necesarias para la realización de un análisis modal operacional (OMA) a partir de los datos medidos en el ensayo, así como para la actualización del modelo numérico en base a los resultados del OMA. Finalmente, se comparan los resultados experimentales y numéricos tanto antes como después del ajuste con el objetivo de mostrar el grado de mejora conseguido con la actualización. 5.1 DESCRIPCIÓN GENERAL DE LA ESTRUCTURA La estructura cuyo análisis se aborda consiste en una pasarela peatonal suspendida situada en el municipio de Zuheros, en la provincia de Córdoba (España). La pasarela se encuentra en el límite de la población, sirviendo como paso para un sendero peatonal que permite el tránsito a lo largo del perímetro del municipio por su parte septentrional; su situación exacta dentro de la senda, justo al pie del castillo de la población, se muestra en la Figura 5.1. La pasarela fue construida por la empresa Metalhergos S.L., una compañía del ámbito de la obra industrial, la edificación y otras áreas afines de la construcción. La estructura está formada por un solo vano suspendido con una longitud total aproximada de 32,50 metros y una anchura del tablero de 1,31 metros, cuyo alzado se muestra en la Figura 5.2. La pasarela está compuesta por cables de acero trenzado plastificados de 24 mm de diámetro en cada lateral, dispuestos tanto en la parte superior como en la inferior, dando lugar a una sección transversal en la que actúan un total de 8 cables (2 arriba y 2 abajo en cada lateral). El tablero está materializado a partir de pequeñas vigas transversales de acero rectangulares que unen la parte inferior de las péndolas de cada lateral; sobre estas vigas se apoyan placas de trámex de 30x3, y sobre éstas se encuentran ancladas tablas de madera sobre las que discurre el tráfico (ver Figura 5.3, durante la construcción). En los laterales de la pasarela se encuentra dispuesto un mallazo metálico a modo de protección anticaída del tráfico peatonal. Algunos de los aspectos anteriores se muestran en la imagen de la Figura 5.4. 50 CASO DE ESTUDIO: PASARELA SUSPENDIDA EN ZUHEROS (CÓRDOBA) -50Figura 5.1. Situación de la pasarela respecto al municipio de Zuheros. Fuente: (Google, 2017). Figura 5.2. Alzado de la pasarela. Fuente: Elaboración propia a partir de planos elaborados por Metalhergos S.L. Figura 5.3. Colocación de trámex y madera en el tablero de la pasarela. Fuente: Metalhergos S.L. Diseño óptimo de Múltiples Amortiguadores de Masa Sintonizada sobre pasarelas peatonales 51 -51Figura 5.4. Vista de la pasarela desde el interior. Fuente: Elaboración propia. Los cables de la parte superior y la inferior se encuentran unidos por péndolas rígidas de acero de 20 mm de diámetro; dicha unión se materializa mediante el detalle expuesto en la Figura 5.5. Figura 5.5. Unión entre cables y péndolas en la parte superior. Fuente: Elaboración propia. En los extremos los cables se encuentran anclados al suelo sobre una zapata de hormigón que descansa directamente sobre el suelo. Además, éstos pasan a través de perfiles de acero HEB220, tanto en la parte superior como en la inferior, tal y como se muestra en la Figura 5.6. Figura 5.6. Detalle de unión entre cables y vigas de los extremos de la pasarela. Fuente: Elaboración propia. 52 CASO DE ESTUDIO: PASARELA SUSPENDIDA EN ZUHEROS (CÓRDOBA) -525.2 MODELO DE CÁLCULO NUMÉRICO En el presente apartado se procede a la descripción de los diferentes elementos que forman el modelo de elementos finitos de la pasarela objeto de análisis, especificando las principales consideraciones que se han tenido en cuenta a la hora de elaborar la geometría, establecer los materiales, y elegir los tipos de elementos y su mallado. Además, se exponen las condiciones de apoyo de la estructura. Finalmente, se aportan los resultados numéricos del análisis modal realizado con objeto de poder abordar posteriormente la actualización del modelo. 5.2.1 DESCRIPCIÓN DEL MODELO Como ya se ha mencionado anteriormente, el modelo de la pasarela peatonal objeto de estudio se ha implementado en el software ANSYS (versión 16). En la elaboración del modelo se han seguido, a grandes rasgos, los siguientes pasos: 1) Definición de la geometría del modelo. 2) Definición de los materiales que forman la estructura. 3) Elección de los elementos que simulan las diferentes partes de la pasarela. 4) Mallado de los elementos. 5) Asignación de condiciones de apoyo. 5.2.1.1. Geometría El modelo elaborado es tridimensional, siendo líneas y áreas la geometría implementada en función del tipo de elemento estructural que se quiera modelizar. Así, las líneas se han utilizado para la definición de cables, péndolas, vigas y uniones entre elementos, mientras que las áreas se han utilizado para la definición de la solera de la pasarela. 5.2.1.2. Materiales En la elaboración del modelo se han considerado varios tipos de materiales cuyas características serán el principal objetivo de la actualización llevada a cabo posteriormente. Los materiales empleados (lineales en todos los casos), sus características estimadas en una primera aproximación y los elementos donde serán empleados se muestran en la Tabla 5.1. La elección de estos materiales se justifica en los siguientes puntos:  Necesidad de varios tipos de acero según la parte de la estructura, pues el comportamiento de los distintos elementos puede ser muy diferente. Así, es necesario diferenciar entre el acero de los cables trenzados, de las péndolas, de las placas de trámex y de las vigas (tanto verticales de los extremos como transversales de la solera).  Necesidad del uso de materiales equivalentes para simular algunos aspectos singulares de la estructura, como son los elementos ficticios de unión que materializan la conexión entre solera y cables. Diseño óptimo de Múltiples Amortiguadores de Masa Sintonizada sobre pasarelas peatonales 53 -53Tabla 5.1. Características de los materiales implementados en el modelo. Fuente: Elaboración propia. MATERIAL DESCRIPCIÓN CARACTERÍSTICAS OBSERVACIONES 1 Acero de cables trenzados Tipo: Isótropo Se le ha dado al cable una tensión inicial T para establecer el equilibrio inicial de la estructura E (MPa) 160.000 ν 0,30 ρ (kg/m3) 7.850 T (kg/cm2) 2 2 Acero para placas de trámex Tipo: Isótropo Se ha calculado una densidad equivalente como si se tratara de una placa continua de acuerdo a un peso teórico de 29,9 kg/m2 E (MPa) 160.000 ν 0,30 ρ (kg/m3) 997 3 Madera para placas sobre trámex Tipo: Ortótropo Clase resistente C50 de acuerdo a (Ministerio de Fomento, 2009) E0 (MPa) 16.000 E90 (MPa) 530 G (MPa) 1.000 ν 0,30 ρ (kg/m3) 550 4 Acero para unión solera-cables Tipo: Isótropo Se trata de una unión ficticia para asemejar el comportamiento real, por lo que la densidad se anula E (MPa) 21.000 ν 0,30 ρ (kg/m3) 0 5 Acero de vigas (verticales y transversales) Tipo: Isótropo E (MPa) 210.000 ν 0,30 ρ (kg/m3) 7.850 6 Acero para péndolas Tipo: Isótropo E (MPa) 210.000 ν 0,30 ρ (kg/m3) 7.850 7 Acero parte baja péndolas Tipo: Isótropo La pasarela tiene muy poca rigidez transversal, por lo que se ha disminuido a la sexta parte el módulo E de la parte baja de las péndolas para simular este efecto E (MPa) 35.000 ν 0,30 ρ (kg/m3) 7.850 54 CASO DE ESTUDIO: PASARELA SUSPENDIDA EN ZUHEROS (CÓRDOBA) -545.2.1.3. Elementos En el modelo de elementos finitos se han empleado varios tipos de elementos con objeto de modelizar lo más correctamente posible el comportamiento estructural de las diferentes partes de la estructura. A tal efecto, se han empleado los siguientes tipos de elementos de ANSYS (versión 16):  LINK180: elemento uniaxial de dos nodos con tres grados de libertad en cada nodo (traslaciones en las direcciones X, Y, Z). El elemento puede ser asignado para trabajar únicamente a compresión, únicamente a tracción, o ambas. Su forma se muestra en la Figura 5.7. Figura 5.7. Elemento LINK180 de ANSYS (versión 16). Fuente: (ANSYS, 2013).  BEAM188: elemento de dos nodos que tiene seis grados de libertad por nodo (traslaciones en las direcciones X, Y, Z, y rotaciones alrededor de los ejes X, Y, Z) y admite funciones de forma lineales, cuadráticas o cúbicas. El elemento está basado en la teoría de la viga de Timoshenko, la cual incluye los efectos de la deformación por cortante en la sección. La forma del elemento se muestra en la Figura 5.8. Figura 5.8. Elemento BEAM188 de ANSYS (versión 16). Fuente: (ANSYS, 2013).  SHELL181: adecuado para el análisis de elementos tipo placa delgados y moderadamente gruesos. Se trata de un elemento de cuatro nodos con seis grados de libertad por nodo (traslaciones en las direcciones X, Y, Z, y rotaciones alrededor de los ejes X, Y, Z). El elemento está basado en la teoría de placas de deformación por cortante de primer orden (usualmente conocida como teoría de placas de MindlinReissner). La forma del elemento se muestra en la Figura 5.9. Figura 5.9. Elemento SHELL181 de ANSYS (versión 16). Fuente: (ANSYS, 2013). Diseño óptimo de Múltiples Amortiguadores de Masa Sintonizada sobre pasarelas peatonales 55 -55Para cada uno de los tipos de elementos descritos, se han definido las secciones que se muestran en la Tabla 5.2, junto con los elementos a los que se aplican. Tabla 5.2. Tipos de elementos y secciones asignados en el modelo. Fuente: Elaboración propia. ELEMENTO SECCIÓN DESCRIPCIÓN LINK180 Cables trenzados Sección circular con una sección de área equivalente a dos cables de 24 mm de diámetro. Se ha definido el elemento para que solo trabaje a tracción, dándole una tensión inicial de 2 kg/cm2. BEAM188 Vigas verticales Perfil HEB-220 correspondiente a las vigas verticales de los extremos de la pasarela. Vigas transversales Sección de 8 cm de ancho por 1 cm de canto que se corresponde con las vigas transversales de la solera de la pasarela. La sección está definida en los mismos puntos donde acaban los cables longitudinales, pero con un desfase de 16 mm por encima de ellos. Péndolas Sección circular de 20 mm de diámetro que se corresponde con las péndolas de la pasarela. Unión soleracables Sección ficticia de diámetro que une la solera con los cables. SHELL181 Solera Sección compuesta de dos capas de 3 cm de espesor cada una, la inferior correspondiente al trámex (material 2) y la superior correspondiente a la madera colocada sobre el anterior (material 3). Por otro lado, resulta de especial importancia comentar la forma en la que se han introducido los elementos de la solera (trámex + madera). Estos elementos se encuentran simplemente apoyados sobre las vigas transversales, sin continuidad longitudinal; por ello, se ha dejado un espacio mínimo de 3 mm entre cada pieza de trámex. Además de los elementos básicos estructurales anteriores, en la fase de diseño de MTMDs se han incluido los siguientes elementos:  COMBIN14: elemento de dos nodos que posee propiedades de rigidez y amortiguamiento, pero no posee masa. Puede ser considerado como muelle longitudinal o muelle a torsión; para el primero de los casos, posee tres grados de libertad por nodo: desplazamientos en los ejes X, Y, Z. La forma del elemento se muestra en la Figura 5.10. Figura 5.10. Elemento COMBIN14 de ANSYS (versión 16). Fuente: (ANSYS, 2013). 62 CASO DE ESTUDIO: PASARELA SUSPENDIDA EN ZUHEROS (CÓRDOBA) -62Figura 5.17. Fotografía durante la toma de datos del setup 13 del ensayo. Fuente: Elaboración propia. 5.4 ANÁLISIS MODAL OPERACIONAL El objetivo final de un ensayo de vibración ambiental es la realización de un análisis que permita obtener, de forma experimental, los modos y frecuencias de vibración de la estructura. En estructuras civiles una de las técnicas más extendidas es el Análisis Modal Operacional (OMA), pues es mucho más práctico y económico medir la estructura en su estado normal de operación (de ahí el nombre del análisis) que en un estado controlado de excitaciones forzadas (como se tendría en el ámbito del Análisis Modal Experimental). El OMA utiliza como fuente de excitación la ambiental, asumida como un proceso estocástico denominado ruido blanco; por ello, la determinación del modelo que ajusta las medidas experimentales se llama Identificación de Sistemas Estocásticos (SSI, del inglés Stochastic System Identification). En el presente trabajo no se detallan las diferentes técnicas que permiten realizar un análisis modal operacional, puesto que no es objetivo directo del mismo. Para la realización del mencionado análisis se ha recurrido al uso del software ARTeMIS Modal Pro 5.0, en el cual se encuentran implementadas dichas técnicas. El algoritmo utilizado para la estimación de los modos en el ámbito del OMA ha sido el SSI-UPC-Merge (Stochastic Subspace Identification – Unweighted Principal Component Merged Test Setups). Dicho algoritmo logra estimar convenientemente los parámetros modales cuando en el ensayo se han realizado varias configuraciones, como es el caso, para lo cual trata previamente la señal para compatibilizar los resultados de los distintos setups (Döhler, Andersen and Mevel, 2010). Diseño óptimo de Múltiples Amortiguadores de Masa Sintonizada sobre pasarelas peatonales 63 -63Los datos de entrada del análisis son las aceleraciones medidas en los diferentes puntos definidos en la estructura. Se trata de historias de aceleraciones en los tres ejes del espacio (x,y,z) obtenidas mediante los acelerómetros instalados para el ensayo de vibración ambiental. El análisis contempla un total de 12 medidas, en las cuales se incluyen las historias de los dos puntos fijos de referencia y del punto móvil de cada medida; se han eliminado los puntos correspondientes a los extremos puesto que introducían mucho ruido en la señal correspondiente. Los resultados obtenidos del OMA son los parámetros modales que definen la dinámica de la estructura, es decir: las frecuencias naturales y los modos de vibración; también se obtienen los ratios de amortiguamiento para cada modo. Para el caso de la pasarela de estudio se han identificado un total de 7 modos, cuyas características se muestran en la Tabla 5.4. Del estudio de los modos experimentales se pueden obtener las siguientes conclusiones: 1) La mayoría de frecuencias han sido obtenidas con un grado de ajuste elevado, es decir, con desviaciones de la media reducidas. La excepción es el quinto modo identificado (tercero vertical), con una desviación (σf,EXP) de más de 0,6 Hz respecto a la media. Estos resultados se pueden ver gráficamente en la Figura 5.18. 2) Los amortiguamientos obtenidos son elevados para todos los modos, así como la desviación con respecto a la media (σξ,EXP). Los valores medios se encuentran en torno al 1-2%, valores mucho más elevados que los típicos en pasarelas de acero en estado de servicio (0,4%, de acuerdo a (Heinemeyer et al., 2009)). Este hecho se puede deber al tránsito de peatones sobre la estructura durante la realización del ensayo de vibración ambiental, lo que puede haber generado un gran amortiguamiento en una estructura con un no lineal geométrico (al ser los elementos estructurales principales cables de acero); también puede deberse al efecto del mallazo lateral concebido como protección anticaídas. 3) La forma de los modos mostrada debe ser observada desde un punto de vista aproximado, pues al no medirse todos los puntos de la pasarela es posible que no se haya captado el valor modal máximo de alguno de los modos, especialmente de los más elevados. Figura 5.18. Frecuencias experimentales obtenidas y rango de variación. Fuente: Elaboración propia. 64 CASO DE ESTUDIO: PASARELA SUSPENDIDA EN ZUHEROS (CÓRDOBA) -64Tabla 5.4. Frecuencias naturales experimentales (fEXP), desviación típica de las frecuencias naturales (σf,EXP) , factor de amortiguamiento experimental (ξEXP), desviación típica del factor de amortiguamiento (σξ,EXP), y modos de vibración experimentales obtenidos. Fuente: Elaboración propia. MODO fEXP (Hz) σf,EXP (Hz) ξEXP (%) σξ,EXP (%) FORMA DEL MODO 1º Lateral 0,764 0,028 1,764 0,977 1º Vertical 1,197 0,048 2,319 1,078 2º Lateral 1,496 0,144 1,277 0,868 2º Vertical 1,646 0,072 1,536 0,767 3º Vertical 2,454 0,641 2,136 0,934 3º Lateral 2,603 0,002 2,931 0,086 4º Vertical 3,190 0,122 1,295 0,531 Nota: las formas de los modos son orientativas, pues se han obtenido mediante la interpolación cúbica del conjunto de puntos medidos. Diseño óptimo de Múltiples Amortiguadores de Masa Sintonizada sobre pasarelas peatonales 65 -655.5 COMPARACIÓN INICIAL DE VALORES MODALES Tras la elaboración del modelo de elementos finitos de la pasarela y la obtención de los parámetros modales a través de un análisis modal, así como la estimación de dichos parámetros a través de un ensayo de vibración ambiental, se procede a la comparación de los resultados obtenidos por ambos métodos con objeto de caracterizar el grado de bondad de los resultados proporcionados por el modelo numérico. Esta comparación se realizará únicamente para los modos verticales obtenidos de forma numérica, pues serán los utilizados en la actualización del modelo de elementos finitos realizado para la aplicación práctica del diseño óptimo de MTMDs de acuerdo a la metodología expuesta en el presente TFM. La comparación inicial entre los valores numéricos (modelo MEF) y los valores experimentales (OMA) se muestra en la Tabla 5.5. De su análisis se puede concluir lo siguiente:  Los cuatro modos verticales identificados en el OMA son reproducidos por el modelo de elementos finitos con bastante precisión.  Las frecuencias numéricas asociadas a dichos modos presentan una cierta diferencia con respecto a las experimentales; sin embargo, el residuo de las frecuencias (error relativo) es menor al 3% en todos los casos (media de 1,71%), no suponiendo una diferencia excesiva.  La forma de los modos numéricos presenta más diferencia respecto a los experimentales que en el caso de las frecuencias; sin embargo, se trata de una medición más difícil de obtener con precisión, por lo que la variación existente no conlleva una importancia excesiva. El residuo de los modos es menor del 10% en el peor de los casos (media de 4%).  Otra forma de medir la similitud entre la forma de los modos numéricos y experimentales es el valor MAC (ver ecuación (5.6) en el Apartado 5.6.2 Actualización del Modelo Numérico). Los valores obtenidos en este sentido varían de un 99,42% para el primer modo identificado (el de menor frecuencia), reduciéndose hasta un 85,23% para el cuarto modo considerado (el de mayor frecuencia). Tras el análisis de los resultados obtenidos, se plantea un proceso de actualización del modelo de elementos finitos que permita el ajuste de los resultados numéricos a los experimentales de una forma más precisa. Tabla 5.5. Comparación pre-actualización entre valores experimentales y numéricos. Fuente: Elaboración propia. MODO fEXP (Hz) fNUM (Hz) rf (%) MAC (%) rm (%) 1º Vertical 1,197 1,229 2,66 99,42 0,29 2º Vertical 1,646 1,683 2,27 97,69 1,17 3º Vertical 2,454 2,496 1,73 88,46 6,32 4º Vertical 3,190 3,196 0,19 85,23 8,32 Nota: los valores rf y rm hacen referencia a los residuos de las frecuencias y los modos de vibración, respectivamente; a su vez, el parámetro MAC aporta una idea de la similitud entre las coordenadas modales de modos numéricos y experimentales. La expresión que permite calcular todos estos parámetros se explica posteriormente en el Apartado 5.6.2 Actualización del Modelo Numérico. 66 CASO DE ESTUDIO: PASARELA SUSPENDIDA EN ZUHEROS (CÓRDOBA) -665.6 ACTUALIZACIÓN DEL MODELO NUMÉRICO Después de la comparación de los resultados experimentales y numéricos, se ha planteado una actualización del modelo de elementos finitos para así caracterizar adecuadamente el comportamiento dinámico de la estructura según los resultados del ensayo. En la aplicación práctica realizada sobre la pasarela de Zuheros se ha desarrollado un algoritmo que emplea un método iterativo de actualización para ajustar los resultados numéricos a los experimentales modificando varios parámetros físicos del modelo de la estructura. Se trata de un problema de optimización de una función objetivo que caracteriza las diferencias entre los resultados modales numéricos y experimentales y que depende de los parámetros de ajuste seleccionados, siendo el objetivo que se persigue la minimización del error o residuo de los parámetros modales. En el presente apartado se describe el proceso realizado para la selección de los parámetros de actualización y la función objetivo empleada. Para la resolución del problema se ha empleado un algoritmo de tipo genético, cuyo funcionamiento se expone posteriormente, junto con los resultados obtenidos de la actualización y una comparativa final con los valores experimentales. 5.6.1 ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y ELECCIÓN DE LOS PARÁMETROS A la hora de elegir los parámetros de actualización del modelo existen dos opciones: 1) Elección de parámetros atendiendo a su sentido físico, su incertidumbre y en base a la experiencia. 2) Realización de un estudio de sensibilidad de la solución ante cambios en los diferentes parámetros. En el caso de estudio se han tenido en cuenta ambos criterios de manera conjunta, es decir: se ha llevado a cabo un estudio de sensibilidad de la solución según diferentes parámetros y a su vez, se han incluido en el estudio variables que pueden presentar una gran variabilidad o incertidumbre como pueden ser la tensión de los cables trenzados o la rigidez de las uniones. Para realizar el estudio de sensibilidad se ha seguido la formulación de Fox y Kapoor (Fox and Kapoor, 1968), la cual establece que la sensibilidad de la frecuencia de vibración natural de un modo j, λNUM,j, es proporcional a la energía de deformación modal: , 1 2 (1 ) e ne NUM j j ee e MSE aa         (5.1) Dónde:  ae es el factor de corrección adimensional que tiene en cuenta el error relativo entre el valor del parámetro actualizado y su valor inicial para el modo de vibración j.  MSEje es la energía de deformación modal del elemento e relativa al modo j.  ne es el número de elementos cuyas propiedades son actualizadas al modificar algún parámetro concreto de la actualización. En base a lo expuesto, se puede realizar el estudio de sensibilidad mediante la evaluación de la energía de deformación modal de los elementos, ya que puede calcularse en el análisis modal en ANSYS del modelo de elementos finitos. Para poder realizar la comparativa entre los distintos parámetros, se puede considerar la energía modal que movilizan los elementos que tienen en común un parámetro respecto del total que movilizan todos los elementos del modelo Diseño óptimo de Múltiples Amortiguadores de Masa Sintonizada sobre pasarelas peatonales 67 -67para cada modo vibración. De esta forma se puede obtener una relación en porcentaje de la influencia de cada conjunto de elementos que tienen en común un parámetro en las frecuencias naturales. Lo descrito puede expresarse en forma de una matriz de sensibilidad según la siguiente expresión: 1 1 1,2,..., 100 1,2,..., ne e i e ij Nef j e MSE im Mjm MSE        (5.2) Dónde:  Mij es el valor de la matriz de sensibilidad para el parámetro i en el modo de vibración j.  ne es el número de elementos cuyas propiedades son actualizadas al modificar algún parámetro concreto de la actualización.  N es el número de elementos totales del modelo.  mƟ es el número de parámetros de considerados.  mf es el número de modos de vibración considerados. En la Figura 5.19 se puede apreciar la representación gráfica de los valores de la matriz de sensibilidad en la que se ha discretizado el valor de la energía de deformación modal según los distintos elementos que componen el modelo de elementos finitos. De los resultados obtenidos se puede concluir lo siguiente:  La contribución de las vigas tanto transversales como extremas es prácticamente nula. Es por ello que, a priori, se descarta cualquier propiedad física de estos elementos como parámetro de actualización.  Las péndolas apenas poseen influencia (tanto el total de las péndolas como la parte baja de las mismas). Sin embargo, puesto que son elementos que unen entre sí los cables superiores y los inferiores, se ha incluido en la actualización el módulo de elasticidad de las péndolas, diferenciando el módulo de la parte de la unión inferior.  La unión ficticia que se ha realizado entre la solera y los cables mediante elementos rígidos tiene una contribución creciente a medida que aumenta la frecuencia del modo, llegando hasta un 7% en el cuarto modo vertical. Este hecho y la incertidumbre del módulo de elasticidad de dichos elementos resultan en su inclusión en la actualización.  La contribución de la solera formada por el trámex y la madera es constante para todos los modos, con un valor en el entorno del 9%. Para tener en cuenta la influencia del tablero se ha incluido como parámetro el módulo de elasticidad del trámex.  Los cables trenzados de acero presentan la mayor influencia de todos los elementos de la estructura, con valores mayores al 80% para todos los modos evaluados. Es por ello que se conforman como los elementos principales de la estructura, por lo que se incluirá en el ajuste su módulo de elasticidad y la tensión inicial de los mismos. 68 CASO DE ESTUDIO: PASARELA SUSPENDIDA EN ZUHEROS (CÓRDOBA) -68Figura 5.19. Representación de la matriz de sensibilidad. Fuente: Elaboración propia. 5.6.2 FUNCIÓN OBJETIVO El proceso de actualización se ha llevado a cabo analizando la respuesta modal del modelo tras aplicar modificaciones en los valores de los parámetros físicos definidos en el apartado anterior. Los parámetros de actualización no están relacionados linealmente con los parámetros modales (frecuencias naturales y modos de vibración), por lo que el proceso de actualización requiere el uso de un algoritmo de actualización iterativo. Para la resolución se ha empleado un algoritmo de único objetivo, cuya función objetivo se ha definido de la forma más general usada, esto es, definiendo la función como un problema de mínimos cuadrados entre los parámetros modales numéricos y experimentales. De esta forma la función objetivo se formula como la semisuma de las diferencias al cuadrado, entendiéndose dichas diferencias como residuos (Jin et al., 2014): 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ( ) 1 0 fm mm mf f m m j j j j j j j j j fm lu fm j j j j f w r w r w r m m m w w w w                           (5.3) Diseño óptimo de Múltiples Amortiguadores de Masa Sintonizada sobre pasarelas peatonales 69 -69Dónde:  wj es el valor de los pesos positivos establecidos para cada tipo de residuo para tener en cuenta la distinta fiabilidad a la hora de identificar los parámetros modales (frecuencias naturales y modos de vibración).  rj(Ɵ) es el valor de los residuos que caracteriza las diferencias entre los parámetros modales numéricos y experimentales.  mf es el número de frecuencias naturales consideradas.  mm es el número de modos de vibración considerados.  Ɵ es el vector de parámetros de la actualización.  Ɵl es el vector de límite inferior para cada parámetro de la actualización.  Ɵu es el vector de límite superior para cada parámetro de la actualización. Es importante señalar que el número de parámetros de actualización (mƟ) a elegir debe ser menor que el número de residuos identificados (m) para evitar tener un sistema incompleto o mal condicionado (Nocental and Wright, 1999). En el caso de estudio se han elegido mƟ = 6 < m = 8, por lo que el sistema es compatible. Como se puede observar en la formulación expuesta, se han establecido dos tipos de residuos rj(Ɵ): uno relativo a las frecuencias naturales, rjf(Ɵ), y otro relativo a la forma de los modos de vibración, rjm(Ɵ). El residuo relativo a la frecuencia natural, rjf(Ɵ), se define según la siguiente expresión: ,, , () ( ) 1,2,..., NUM j EXP j f jf EXP j ff r j m f     (5.4) Dónde fNUM,j(Ɵ) y fEXP,j representan la frecuencia natural j numérica y experimental, respectivamente. El residuo relativo a la forma del modo de vibración, rjm(Ɵ), se define según la siguiente expresión:   2 1 ( ) ( ) 1,2,..., () j m jm j MAC r j m MAC     (5.5) Dónde el MAC (Modal Assurance Criterion) es un criterio para establecer la similitud de la forma de los modos desarrollada por (Allemang and Brown, 1982) con la siguiente expresión:      2 ,, , , , , ( )· ( ) 1,2,..., ( )· ( ) · · T NUM j EXP j jm TT NUM j NUM j EXP j EXP j MAC j m           (5.6) Dónde ,() NUM j  y ,() EXP j  representan las coordenadas modales del modo de vibración j numérica y experimental, respectivamente. Los parámetros modales, frecuencias naturales y modos de vibración, constituyen la forma de comprobar el ajuste realizado y la influencia de la fiabilidad de cada una de ellas se establece según unos pesos, wjf y wjm, respetivamente. Para la actualización realizada, se ha establecido que los residuos parciales relativos a las frecuencias contribuyen con el mismo peso en la función objetivo (wjf = wf) y en el caso de los modos también se ha considerado que influyen de 70 CASO DE ESTUDIO: PASARELA SUSPENDIDA EN ZUHEROS (CÓRDOBA) -70manera equivalente (wjm = wm). De esta forma, solo restaría establecer qué ponderación se otorga a las frecuencias y a los modos. En principio, las frecuencias naturales experimentales pueden ser medidas con una precisión bastante alta y además, son un buen indicador del daño de una estructura. Por ello son los parámetros más indicados para su uso en la expresión del residuo a minimizar en las actualizaciones de modelos. Sin embargo, es complicado detectar incongruencias locales del modelo de elementos finitos comparando únicamente las frecuencias naturales. A tal efecto, como se acaba de explicar, se utiliza también información acerca de las coordenadas modales al definir la función objetivo. El problema es que el ruido y la precisión en las medidas afecta más a la identificación de las coordenadas modales, de modo que la fiabilidad de las mismas es menor. Por lo general, los parámetros modales, especialmente las frecuencias naturales, de los modos más bajos se miden con una mayor precisión que los de los modos más altos (Jaishi and Ren, 1994). De esta forma, se puede afirmar que la incertidumbre es diferente para los distintos parámetros modales identificados. La cuestión es entonces de qué manera y con qué criterio determinar el valor de los factores de pesos para los diferentes residuos, wf y wm. Un método estadístico de aplicación sería aquel que define los pesos como la inversa de la matriz de covarianza de los errores experimentales, de acuerdo con el teorema de Gauss-Markov (Beck and Arnold, 1997). Sin embargo, esta información en muchas ocasiones no está disponible, de modo que los pesos se establecen de acuerdo al juicio del ingeniero. Otra forma de definirlos pasaría por realizar una resolución iterativa de los pesos hasta llegar a una definición adecuada de los mismos para el problema particular. Al no ser objetivo principal de este proyecto el definir los pesos y con objeto de no incurrir en altos tiempos de computación, se han seguido las recomendaciones de varios autores (Jiménez and Sáez, 2016) tomándose los valores de los pesos que se muestran a continuación, quedando patente la mayor fiabilidad de las frecuencias naturales: 0,9 0,1 fm ww (5.7) Estos valores son consistentes con lo observado en el ensayo ambiental debido a que el paso de varios peatones durante el ensayo pudo haber influido en la precisión de las coordenadas modales dada la gran sensibilidad de la estructura frente al paso peatonal. Como ya se ha comentado, el vector con los valores de los parámetros, Ɵ, está acotado superior e inferiormente, restricción definida mediante los vectores Ɵu y Ɵl, respectivamente. Dichos valores se observan en la Tabla 5.6. Tabla 5.6. Valores mínimos y máximos establecidos para los parámetros de la actualización del modelo de elementos finitos. Fuente: Elaboración propia. PARÁMETRO VALOR INICIAL VALOR MÍNIMO VALOR MÁXIMO FACTOR MÍNIMO FACTOR MÁXIMO ECABLES (MPa) 160.000 144.000 208.000 0,900 1,300 EPÉNDOLAS (MPa) 210.000 189.000 231.000 0,900 1,100 EPÉND, BAJO (MPa) 35.000 28.000 42.000 0,800 1,200 ETRÁMEX (MPa) 160.000 160.000 192.000 1,000 1,200 EUNIÓN, SOLERA (MPa) 21.000 14.700 27.300 0,700 1,300 TCABLES (kg/cm2) 2 2 4 1,000 2,000 Diseño óptimo de Múltiples Amortiguadores de Masa Sintonizada sobre pasarelas peatonales 71 -715.6.3 PROCESO DE OPTIMIZACIÓN DE OBJETIVO ÚNICO Una vez definida la función objetivo y sus componentes solo resta por explicar el tipo de algoritmo a utilizar en el proceso. El algoritmo empleado es de tipo genético, cuyo funcionamiento ya se abordó en el Apartado 4.3 Optimización con algoritmos genéticos. Los pasos que sigue el algoritmo para la actualización, junto con algunas condiciones empleadas en la resolución del problema, se presentan en la Figura 5.20. Figura 5.20. Diagrama de flujo del algoritmo genético para la actualización del modelo. Fuente: Elaboración propia 78 DISEÑO ÓPTIMO DE MTMDS PARA EL CASO DE ESTUDIO -78correspondiente a peatones andando, por lo que este análisis se realiza para las frecuencias típicas para dichos peatones (se excluyen peatones corriendo). Para ello, en primer lugar, conviene recordar las frecuencias típicas de paso para peatones en dirección vertical, las cuales se muestran en la Figura 6.1 de acuerdo a su función de distribución. Del análisis de dicha figura se puede extraer lo siguiente:  Para el primer armónico de la carga peatonal, se tiene que la mayor carga se da entre 1,7 Hz y 2,1 Hz, y fuera de este rango se da con una menor magnitud entre 1,25 Hz y 2,3 Hz.  En el caso del segundo armónico, con una menor influencia que el primero, aparece el rango entre 3,4 Hz y 4,2 Hz, y fuera de este rango se da una menor magnitud entre 2,5 Hz y 4,6 Hz. Figura 6.1. Función de distribución de frecuencias de paso peatonales. Fuente. (Heinemeyer et al., 2009). Identificadas las frecuencias típicas de paso de los peatones caminando, el siguiente paso ha sido el estudio de la interacción de la estructura con dichas frecuencias. La pasarela peatonal objeto de estudio es muy esbelta y ligera, por lo que sus modos de vibración naturales son sensibles a cambios en la masa de la estructura (masa añadida por los peatones al caminar sobre ella) y en la rigidez (cambio del estado tensional de los cables al pasar los peatones). A tal efecto, ha sido necesario realizar un análisis modal teniendo en cuenta la masa añadida de los peatones para diferentes densidades peatonales, habiéndose obtenido los resultados mostrados en la Tabla 6.1. El análisis de estos resultados ha permitido identificar los modos afectados y los casos de carga que excitan dichos modos, habiéndose obtenido las siguientes conclusiones:  Los valores hallados demuestran la hipótesis de sensibilidad de la estructura a cambios en su configuración normal de masa, dándose variaciones de frecuencia de hasta 0,168 Hz en el caso más desfavorable de densidad peatonal.  Los modos que quedan dentro del rango de actuación de la carga peatonal vertical son el 2º (para todas los casos de carga, considerando el primer armónico) y el 4º (para todas los casos de carga, considerando el segundo armónico). De acuerdo a lo analizado en el presente apartado queda demostrado que son dos modos de vibración de la pasarela los que se ven afectados por el tránsito peatonal. Por lo tanto, serán las configuraciones de carga (densidad + frecuencia de paso) que excitan dichos modos las que serán analizadas en el análisis transitorio de la pasarela previo al comienzo del proceso de diseño de MTMDs. Diseño óptimo de Múltiples Amortiguadores de Masa Sintonizada sobre pasarelas peatonales 79 -79Tabla 6.1. Frecuencias naturales de la pasarela, en Hz, para diferentes densidades peatonales. Fuente: Elaboración propia. MODO CASO DE CARGA Peso Propio 1 peatón 0,2 p/m2 0,5 p/m2 0,8 p/m2 1,0 p/m2 1º Vertical 1,219 1,217 1,207 1,193 1,180 1,172 2º Vertical 1,659 1,655 1,622 1,570 1,523 1,493 3º Vertical 2,467 2,464 2,440 2,406 2,377 2,360 4º Vertical 3,148 3,142 3,103 3,049 3,006 2,980 LEYENDA x Fuera de rango x Modo excitado por el primer armónico x Modo excitado por el segundo armónico 6.1.4 DEFINICIÓN DEL AMORTIGUAMIENTO DE LA ESTRUCTURA Para caracterizar el amortiguamiento de la estructura se ha utilizado un modelo de amortiguamiento clásico de Rayleigh, para el cual se necesita un análisis modal previo. La experiencia comprueba que la obtención de los modos de vibración naturales de la estructura es prácticamente independiente del grado de amortiguamiento, por lo que es posible realizar el análisis modal previamente a la definición del amortiguamiento. Esta consideración es aceptada de manera válida en el campo de aplicación de la Ingeniería Civil, donde la mayoría de estructuras posee un amortiguamiento inferior al 10% con respecto al crítico que puede ser despreciado en el cálculo modal. El amortiguamiento de Rayleigh es una superposición lineal de las características de masa y rigidez de la estructura, de la forma: KMC   (6.8) Dónde:  M, K, son la masa y rigidez de la estructura, respectivamente.  α, β, son los coeficientes de amortiguamiento de Rayleigh. Los coeficientes de amortiguamiento se definen a partir del factor de amortiguamiento ξ contemplado para la estructura (0,4% en el presente estudio, de acuerdo a (Heinemeyer et al., 2009)) y de dos frecuencias naturales de vibración ω de la estructura (obtenidas en el análisis modal). La relación entre todos los términos mencionados es la siguiente: 22 i i i         (6.9) Despejando los coeficientes buscados del sistema de ecuaciones obtenido a partir de las dos frecuencias consideradas (ωi y ωj) se obtiene: 80 DISEÑO ÓPTIMO DE MTMDS PARA EL CASO DE ESTUDIO -80-   22 2 2 2 ji ji j j                  (6.10) (6.11) Esta forma de caracterización del amortiguamiento representa adecuadamente el valor considerado para los dos modos de vibración empleados en el ajuste, siendo necesario un análisis del grado de amortiguamiento para el resto de modos. Del análisis modal realizado teniendo en cuenta las diferentes densidades peatonales en la pasarela se han obtenido un total de diez frecuencias en las cuales la estructura se verá excitada por la carga peatonal. Por lo tanto, el ajuste de los coeficientes del amortiguamiento de Rayleigh se ha realizado de forma que éstos representen el valor de amortiguamiento definido (factor de amortiguamiento de 0,4%). Para ello, se ha realizado un ajuste eligiendo aquel par de frecuencias que minimiza la diferencia entre el amortiguamiento objetivo de 0,4% y el amortiguamiento obtenido para cada frecuencia natural. Así, eligiendo las dos frecuencias extremas (máxima de 3,142 Hz y mínima de 1,493 Hz) se han obtenido resultados satisfactorios para el resto a partir de los siguientes coeficientes del amortiguamiento de Rayleigh: α = 0,05087 β = 0,00027 De esta forma, el amortiguamiento definido para la estructura para cada frecuencia de vibración es el mostrado en la Figura 6.2. Se comprueba que el amortiguamiento es el esperado para las dos frecuencias consideradas en el ajuste (0,4%), siendo el amortiguamiento para el resto de frecuencias el mostrado en la Tabla 6.2. Ante lo expuesto, se puede decir que el amortiguamiento de la estructura queda definido de forma adecuada. Figura 6.2. Función de amortiguamiento de Rayleigh definida. Fuente: Elaboración propia. Diseño óptimo de Múltiples Amortiguadores de Masa Sintonizada sobre pasarelas peatonales 81 -81Tabla 6.2. Valores de amortiguamiento para cada frecuencia afectada. Fuente: Elaboración propia. MODO CASO DE CARGA f (Hz) ω (rad/s) ξ (%) 2º Vertical 1 peatón 1,655 10,397 0,387 0,2 p/m2 1,622 10,193 0,390 0,5 p/m2 1,570 9,867 0,393 0,8 p/m2 1,523 9,566 0,397 1,0 p/m2 1,493 9,380 0,400 4º Vertical 1 peatón 3,142 19,743 0,400 0,2 p/m2 3,103 19,497 0,398 0,5 p/m2 3,049 19,159 0,396 0,8 p/m2 3,006 18,884 0,394 1,0 p/m2 2,980 18,725 0,393 6.1.5 MODELIZACIÓN DE LA CARGA PEATONAL EN ANSYS La carga peatonal que actúa en la estructura se ha obtenido de acuerdo a lo establecido en el Apartado 2.4.1 Modelo para peatones andando. La inclusión de esta carga en el modelo numérico elaborado en ANSYS se ha realizado de acuerdo a la forma del modo afectado (ver Figura 6.3), con objeto de simular el caso más desfavorable. La carga peatonal se ha introducido por unidad de superficie en el tablero de la pasarela, siendo su valor variable de forma armónica a lo largo del período de tiempo simulado. Figura 6.3. Forma de aplicación de la carga peatonal uniformemente distribuida en función de la forma del modo de vibración considerado. Fuente: (Heinemeyer et al., 2009). En el caso de la pasarela peatonal que se está estudiando en el presente TFM, se ha comprobado que son dos los modos afectados por el tránsito peatonal. Dichos modos, así como la forma en la que se ha incluido la carga para cada caso en el modelo estructural de la pasarela, se muestran en la Figura 6.4 para el 2º modo vertical (primer armónico) y en la Figura 6.5 para el 4º modo vertical (segundo armónico). Figura 6.4. Forma de aplicación de la carga peatonal para el 2º modo de vibración vertical (afectado por el primer armónico de la carga peatonal). Fuente: Elaboración propia. 82 DISEÑO ÓPTIMO DE MTMDS PARA EL CASO DE ESTUDIO -82Figura 6.5. Forma de aplicación de la carga peatonal para el 4º modo de vibración vertical (afectado por el segundo armónico de la carga peatonal). Fuente: Elaboración propia. 6.1.6 ANÁLISIS DE RESULTADOS El análisis dinámico inicial de la pasarela se ha efectuado siguiendo las especificaciones expuestas a lo largo del presente apartado. En total, se tienen diez casos de carga, correspondientes a aquellas configuraciones en los que algún modo de vibración de la estructura se ve excitado como consecuencia de la acción peatonal. A modo de resumen, se exponen a continuación las principales características que diferencian los análisis de los distintos casos analizados:  Densidad del flujo peatonal que circula por la estructura, que influye en la definición de la carga peatonal.  Masa añadida en la estructura como consecuencia del peso de los peatones por unidad de superficie según las diferentes densidades analizadas.  Frecuencia de paso del flujo peatonal, igual a la frecuencia excitada de la estructura para una determinada masa añadida (asociada a una densidad peatonal). Los resultados más significativos obtenidos se muestran a continuación, teniendo en cuenta los nodos marcados en la Figura 6.6 para cada modo de vibración afectado. Dichos nodos coinciden con las posiciones de mayor valor modal en cada caso. Figura 6.6. Nodos de referencia para el análisis de los resultados del análisis dinámico de la pasarela peatonal. Fuente: Elaboración propia. Diseño óptimo de Múltiples Amortiguadores de Masa Sintonizada sobre pasarelas peatonales 83 -83En primer lugar, se muestran en la Tabla 6.3 los valores de aceleración máximos obtenidos para los casos de carga del primer armónico que afectan al 2º modo de vibración vertical. Se comprueban valores máximos absolutos que oscilan entre 9,23 m/s2 y 19,67 m/s2 en centro vano, valores muy elevados para el confort del peatón. Tabla 6.3. Valores máximos de aceleración y desplazamiento para los casos de carga que afectan al 2º modo de vibración vertical de la pasarela. Fuente: Elaboración propia. CASO 1 2 3 4 5 f = 1,655 Hz d = 1 peatón f = 1,622 Hz d = 0,2 p/m2 f = 1,570 Hz d = 0,5 p/m2 f = 1,523 Hz d = 0,8 p/m2 f = 1,493 Hz d = 1,0 p/m2 a (m/s²) a (m/s²) a (m/s²) a (m/s²) a (m/s²) Nodo 1 3,13 3,62 -2,62 -3,58 -6,25 Nodo 2 9,23 14,06 11,96 9,13 19,67 Nodo 3 3,12 3,59 -2,57 -3,52 -6,14 Comparando los resultados en aceleraciones de los nodos 1 y 2 para el caso 5, se obtiene lo mostrado en la Figura 6.7, donde se aprecia que en el nodo 1, situado a un cuarto del extremo de la pasarela (aproximadamente), se dan valores de aproximadamente el 40% de los que se obtienen en el nodo 2, situado en el centro de la pasarela; además, los valores de ambos nodos se dan en sentidos contrarios para un mismo instante de tiempo. Todo lo expuesto muestra la consonancia con la forma modal del modo de vibración excitado. Figura 6.7. Historia de aceleración en los nodos 1 y 2 según el 2º modo de vibración vertical para el caso de carga número 5 y límite de confort mínimo según (Heinemeyer et al., 2009). Fuente: Elaboración propia. En segundo lugar, se muestran en la Tabla 6.4 los valores de aceleración máximos obtenidos para los casos de carga del segundo armónico que afectan al 4º modo de vibración vertical. Se comprueban valores máximos absolutos que oscilan entre 1,24 m/s2 y 9,50 m/s2, notablemente menores que los obtenidos para los casos de carga del primer armónico, pero de nuevo por encima de los valores admisibles para garantizar el confort del peatón. 84 DISEÑO ÓPTIMO DE MTMDS PARA EL CASO DE ESTUDIO -84Tabla 6.4. Valores máximos de aceleración y desplazamiento para los casos de carga que afectan al 4º modo de vibración vertical de la pasarela. Fuente: Elaboración propia. CASO 6 7 8 9 10 f = 3,142 Hz d = 1 peatón f = 3,103 Hz d = 0,2 p/m2 f = 3,049 Hz d = 0,5 p/m2 f = 3,006 Hz d = 0,8 p/m2 f = 2,980 Hz d = 1,0 p/m2 a (m/s²) a (m/s²) a (m/s²) a (m/s²) a (m/s²) Nodo 1 1,23 3,20 3,87 3,74 9,23 Nodo 2 0,97 2,64 3,33 3,31 8,15 Nodo 3 1,23 3,21 3,88 3,75 8,23 Nodo 4 0,97 2,60 3,26 3,23 7,96 Nodo 5 1,24 3,26 3,97 3,85 9,50 Comparando los resultados en aceleraciones de los nodos 4 y 5 para el caso 10, se obtiene lo mostrado en la Figura 6.8, donde se aprecia que ambos modos poseen valores de aceleraciones similares, si bien se dan valores con signo opuesto para un mismo instante de tiempo. Todo esto está en consonancia con la forma modal del modo de vibración afectado en este caso. Debe aclararse que en la imagen no se observa el valor máximo de aceleración (9,50 m/s²) ya que éste se produce a los 25 s; cabe mencionarse que la representación únicamente se extiende hasta los 10 segundos con objeto de poder apreciar la tendencia del movimiento desarollado. Figura 6.8. Historia de aceleración en los nodos 3 y 4 según el 4º modo de vibración vertical para el caso de carga número 10 y límite de confort mínimo según (Heinemeyer et al., 2009). Fuente: Elaboración propia. Finalmente, en la Figura 6.9 se exponen los valores máximos de aceleración obtenidos para cada caso de carga. Se puede comprobar que todos los casos aportan aceleraciones superiores a los límites de confort admisibles (aceleración mayor a 2,5 m/s2), excepto uno, en la que el grado de confort es mínimo (aceleración entre 1 m/s2 y 2,5 m/s2). Ante lo expuesto, se hace patente la necesidad diseñar un sistema de MTMDs para lograr alcanzar el grado de confort deseado en la pasarela peatonal, ya que el modo afectado posee varios antinodos. Dicho diseño se aborda en los siguientes apartados, tras la exposición de las especificaciones del diseño y el estudio de la variabilidad de las características dinámicas de la estructura. Diseño óptimo de Múltiples Amortiguadores de Masa Sintonizada sobre pasarelas peatonales 85 -85Figura 6.9. Valores máximos absolutos de aceleración (en m/s2) para cada caso de carga considerado en el análisis dinámico inicial de la pasarela y límites de confort según (Heinemeyer et al., 2009) . Fuente: Elaboración propia. 6.2 ENFOQUE DEL DISEÑO DE MTMDS Tras la realización de un análisis transitorio inicial sobre la pasarela, evaluando los casos de carga peatonal que ocasionan problemas vibratorios en la misma, se ha podido concluir que son dos los modos de vibración afectados, con varios antinodos cada uno de ellos; así, el diseño óptimo de MTMDs debería incorporar ambos casos, pretendiendo encontrar una configuración de TMD que reduzca las aceleraciones en la pasarela hasta unos límites admisibles. Sin embargo, con objeto de acotar el problema, fundamentalmente con el objetivo de ahorrar unos tiempos computacionales muy altos, se centrará el diseño de MTMDs para un modo de vibración: el 2º modo vertical, ya que es el que se encuentra en el rango de actuación del primer armónico de la carga peatonal, resultando, por tanto, más desfavorable. Además, como ya se mencionó, únicamente se analiza como solicitación la carga inducida de los peatones andando. Bajo esta consideración, el paso de tiempo elegido inicialmente para el análisis transitorio puede variar. Anteriormente, en el Apartado 6.1.2 Elección del paso de tiempo, se justificó un paso de tiempo de 0,01 s al ser la frecuencia del modo más alto afectado de 3,14 Hz, valor 86 DISEÑO ÓPTIMO DE MTMDS PARA EL CASO DE ESTUDIO -86obtenido según la ecuación (6.7); siguiendo el mismo criterio, y puesto que la frecuencia más alta para el 2º modo de vibración vertical es de 1,655 Hz (único modo considerado en el diseño), el paso de tiempo necesario sería de 0,03 s. Para quedar del lado de la seguridad, se ha elegido un paso de tiempo de 0,02 s. Así, se dispondrán tres TMD sobre la pasarela, cada uno bajo una de las tres posiciones de máximo valor modal asociadas al 2º modo de vibración vertical. La masa del TMD se ha modelizado 25 cm por debajo del tablero de la pasarela con objeto de permitir el movimiento del mismo de forma física; esta consideración se comprobará posteriormente en el Apartado 6.5.3.2 Estudio de los desplazamientos. 6.3 ESTUDIO DE LA VARIACIÓN DE LAS FRECUENCIAS SIN TMD En el presente apartado se procede a estudiar la variación de la frecuencia de vibración de la pasarela, uno de los parámetros que mejor caracterizan el comportamiento dinámico de una estructura. La variabilidad de las frecuencias según la masa añadida a la estructura ya se ha realizado en el Apartado 6.1.3 Estudio de los modos de vibración afectados por la carga peatonal; ahora, se lleva el análisis un paso más allá, con objeto de ver la influencia que el episodio de carga correspondiente a la carga peatonal supone en la variación de las frecuencias naturales de la estructura. En este caso, la variabilidad se debe fundamentalmente a la presencia de cables de acero en la estructura, los cuales poseen un comportamiento no lineal geométrico. El estudio se ha realizado para la frecuencia de vibración del 2º modo vertical y para el caso de carga más desfavorable de acuerdo a lo observado en el análisis transitorio inicial, el caso correspondiente a 1 peatón/m2. Así, se han realizado múltiples análisis modales, cada uno en diferentes instantes de tiempo, en los cuales la carga peatonal aplicada a la estructura es diferente y, por tanto, también es distinto el estado tensional (fundamentalmente de los cables). La discretización elegida ha sido de 0,20 s, lo que permite obtener un total de 5 valores de frecuencia en un único segundo; los resultados obtenidos se muestran gráficamente en la Figura 6.10 (junto con la carga aplicada y las aceleraciones obtenidas en el centro de vano de la pasarela), de dónde se han podido obtener las siguientes conclusiones:  Los valores de frecuencia oscilan en torno al valor inicial obtenido sin aplicación de carga (1,493 Hz). Se producen valores máximos en torno a 2 Hz y valores mínimos en torno a 1 Hz.  Si se analiza la variación de la frecuencia en relación con la historia de aceleraciones, se comprueba una relación directa entre ambas magnitudes: la amplitud con la que varía la frecuencia de vibración es proporcional a la aceleración obtenida.  Si se compara la variación de la frecuencia con la historia de carga introducida en la pasarela, se puede comprobar que la máxima amplitud en la variación de la frecuencia se produce instantes después de la aplicación de los máximos valores de carga peatonal. Así, se deduce que la frecuencia de vibración natural de la pasarela tiene una gran dependencia respecto al nivel de tensiones que se alcanza en los cables de la misma. Posteriormente, en el Apartado 6.6 Estudio de la variación de las frecuencias con TMD, se analizará la variación de las frecuencias para el mismo caso analizado en el presente apartado, pero una vez dispuestos MTMDs en la estructura, con objeto de comparar con el caso original y comprobar si la inclusión de sistemas de amortiguación reduce la variación de las frecuencias de vibración de la estructura durante el episodio de carga. Diseño óptimo de Múltiples Amortiguadores de Masa Sintonizada sobre pasarelas peatonales 87 -87Figura 6.10. Variación de la frecuencia de vibración de la pasarela correspondiente al 2º modo de vibración vertical con una densidad peatonal de 1 peatón/m2 sin disposición de TMD Fuente: Elaboración propia. 6.4 DISEÑO ESTIMADO MEDIANTE EL CRITERIO DE DEN HARTOG Antes de comenzar con el proceso de diseño de MTMDs en la pasarela objeto de estudio se ha realizado una estimación de las características qué estos deberían tener mediante el criterio de Den Hartog (Den Hartog, 1947). Dicho criterio, como ya se ha expuesto en apartados anteriores, permite obtener unos valores óptimos del TMD de forma analítica, quedando el mismo sintonizado a una determinada frecuencia natural de la estructura. Den Hartog establece unos valores óptimos del factor de frecuencias, q, y del ratio de amortiguamiento del TMD, ξs, a partir del ratio de masas, μ: 1 1 DH q   (6.12) 3· 8·(1 ) DH    (6.13) Así, eligiendo el ratio de masas (masa del TMD entre masa de la estructura) se obtienen ambos parámetros, a partir de los cuales se pueden definir las características físicas del TMD de acuerdo a las siguientes expresiones: 94 DISEÑO ÓPTIMO DE MTMDS PARA EL CASO DE ESTUDIO -941) Generación de los parámetros de los MTMDs (  ): este paso es realizado por el algoritmo genético de MATLAB, que genera para cada individuo distintos valores de ms, cs y ks. 2) Análisis modal no lineal: mediante ANSYS y con los parámetros generados por el algoritmo genético se realiza un análisis modal no lineal para identificar la variación de las propiedades modales para cada densidad peatonal. 3) Extracción de los modos de vibración y frecuencias naturales de interés: en este paso se realiza un vuelco de datos desde ANSYS a MATLAB, incluyendo los modos y frecuencias que se encuentran en el rango de frecuencias del primer armónico (1,25-2,3 Hz). 4) Identificación de los casos de carga críticos: con los datos obtenidos se procede a identificar si el modo de vibración del caso inicial tras la inclusión de los MTMDs se encuentra en el rango de interacción peatonal. Como ya se ha comentado, puede que existan varios modos de vibración nuevos con la forma del inicial en distintas frecuencias y hay que diferenciarlos de la totalidad de modos extraídos. Para ello, se propone el cálculo del MAC (ver ecuación (6.18)) de todos los modos extraídos para así identificar la forma del modo; las posibles frecuencias de interés se establecerán para aquellos modos que posean un MAC ≥ 0,90, valor suficiente para considerar correcta la identificación del modo.      2 ,0 , , 0, 0 ( )· ( ) 1,2,..., ( )· ( ) · · T MTDMs j jTT MTDMs j MTDMs j j MAC j m           (6.18) Dónde 0()  y ,() MTDMs j  representan las coordenadas modales del modo de vibración inicial y de cada modo de vibración j tras la implementación de los amortiguadores en el rango de frecuencias crítico, respectivamente; m es el número total de modos extraídos en el rango de interés de interacción peatonal. 5) Elección del caso crítico más desfavorable: es posible que existan varios modos de vibración con la misma forma modal a distintas frecuencias y que éstas se encuentren en el intervalo de frecuencias de interacción peatonal. El caso más desfavorable es aquel cuya frecuencia será multiplicada a la hora de generar la carga peatonal por un mayor coeficiente de reducción (ver Figura 6.16). Figura 6.16. Coeficiente de reducción para peatones andando. Fuente: (Heinemeyer et al., 2009). Diseño óptimo de Múltiples Amortiguadores de Masa Sintonizada sobre pasarelas peatonales 95 -95El proceso de diseño es el mismo que se explicó en el Capítulo 4 Diseño de MTMDs en una Estructura con Comportamiento no lineal geométrico: Criterio de Desempeño: diseñar los MTMDs para cada configuración según los modos afectados y comprobar los casos críticos de cada modo de vibración. Como se puede observar en la Figura 6.17, los casos tanto iniciales como posteriores a la implementación de MTMDs están definidos en número, siendo p = 10 el número total de casos que se considerarán en el diseño (aquéllos dentro del cuadro azul); como comparación, dentro del cuadro amarillo se muestra la simplificación realizada para estimar una solución a partir del criterio de Den Hartog. Aclarados ya todos los detalles de la formulación, se expone a continuación la formulación específica adoptada para el caso de estudio:   3 , 1 1 1,2,...10 0 32,5 Min ( ) 50,4 72 74,2 106 4.309,9 6.157 ,, . . max max max 1 2,5 sk k s s s LS x fm m c k a x LS st                       (6.19) 96 DISEÑO ÓPTIMO DE MTMDS PARA EL CASO DE ESTUDIO -96Figura 6.17. Esquema de identificación de los casos críticos de diseño para la optimización de MTMDs del caso de estudio con la simplificación adoptada (en azul) y el diseño de Den Hartog (amarillo). Fuente: Elaboración propia. Diseño óptimo de Múltiples Amortiguadores de Masa Sintonizada sobre pasarelas peatonales 97 -976.5.2 ALGORITMO DE OPTIMIZACIÓN En el apartado anterior se ha explicado en detalle la formulación del criterio de desempeño y se han definido todos sus elementos, cuya implementación se realizará mediante algoritmos genéticos. El estudio de los mismos se abordó en el Apartado 4.3 Optimización con algoritmos genéticos. El problema a resolver presenta una serie de particularidades (resolución no lineal, variabilidad de las frecuencias, etc.) que obligan a implementar un algoritmo robusto que permita la interacción entre dos programas de cálculo: un software de cálculo estructural y un software de programación. El algoritmo genético de objetivo único que se plantea se ejecutará desde el software MATLAB; concretamente, se empleará la función ga (genetic algorithm) definiendo sus condiciones iniciales teniendo en cuenta la formulación del problema. Tal y como se muestra en la Figura 6.18, se definen en la función del algoritmo genético la función objetivo, los límites de las variables, los parámetros del algoritmo, el criterio de parada y la restricción del problema. La restricción del problema es de gran importancia en la resolución, puesto que determinará qué individuos de la población son aptos para contribuir a la minimización de la función objetivo. Para evaluar en cada individuo la restricción es necesario obtener la máxima aceleración de la estructura de cada caso de carga para la configuración de MTMDs que amortigua el 2º modo de vibración vertical. Para obtener la aceleración máxima de la estructura es necesario el empleo de un software de cálculo estructural, ya que se pretende resolver un problema no lineal y, por tanto, no se cumplen las hipótesis lineales que permiten realizar simplificaciones en el cálculo. El software empleado en este caso será ANSYS, con el que se realizarán dos tipos de análisis para cada valor de las variables (cada individuo): por un lado, un análisis modal no lineal para determinar las nuevas frecuencias tras la colocación de los MTMDs con sus parámetros, y después, un análisis transitorio en el que se evalúa la respuesta de la estructura frente a la acción peatonal definida por los casos de carga críticos iniciales (antes de colocar amortiguadores) y los resultantes del análisis modal con la inclusión de los amortiguadores. Para el caso de estudio, centrado en amortiguar el segundo modo vertical, el número de análisis modales a realizar por individuo será igual a la suma del número de casos de carga críticos iniciales de cada modo, y por el número de modos afectados: 11 () ( , , ) 5 D Nd AM dd N LS d f N               (6.20) Dónde:  AM N es el número de análisis modales.   es cada uno de los modos de vibración de la estructura que se encuentran en el rango crítico, siendo N = 1 el número total de modos afectados que se ha considerado en el diseño.  LS es cada uno de los casos de carga críticos, estando cada caso definido por una densidad peatonal d y la frecuencia del modo afectado f antes de la instalación de amortiguadores. Los casos de carga críticos iniciales son LS = 5.  D d  es el número total de densidades peatonales que afectan a cada modo  . Por otro lado, el número de análisis transitorios a realizar es indeterminado y específico de cada problema y, como mínimo, es igual al número de análisis modales, lo que equivaldría a evaluar únicamente las situaciones iniciales. Este problema ha sido abordado con objeto de acotar el número de análisis transitorios que realiza el algoritmo, cuyo número influye de manera vital en los tiempos computacionales. Los casos iniciales suponen un total de 5 análisis 98 DISEÑO ÓPTIMO DE MTMDS PARA EL CASO DE ESTUDIO -98transitorios y, siguiendo la metodología expuesta en el apartado anterior para la identificación de la frecuencia del segundo modo de vibración vertical tras la inclusión de los MTMDs, como máximo se pueden tener 5 análisis transitorios adicionales para los casos de carga después de la implementación de los MTMDs. De esta forma, el algoritmo realizaría como máximo 10 análisis transitorios y como mínimo 5. La identificación de los casos de carga con MTMDs se realiza desde MATLAB una vez obtenidos los resultados del análisis modal con los amortiguadores implementados. Según se muestra en la Figura 6.17, todo este proceso se encuadra dentro de la evaluación de soluciones de la población inicial, así como de la evaluación de las siguientes generaciones. De esta forma, una vez evaluados todos los individuos de una generación, se selecciona una proporción de la población anterior para crear una nueva generación en función de la aptitud de los individuos para optimizar la función objetivo y que cumplan la restricción, eligiéndose los mejores con una mayor probabilidad. Así, se generará una nueva población y se repetirá el proceso hasta que se cumpla el criterio de parada. Figura 6.18. Diagrama de flujo del algoritmo para la optimización e interacción de software para el caso de estudio. Fuente: Elaboración propia Diseño óptimo de Múltiples Amortiguadores de Masa Sintonizada sobre pasarelas peatonales 99 -996.5.3 RESULTADOS OBTENIDOS Como ya se ha mencionado anteriormente, el objetivo del algoritmo de optimización es la mejora de los parámetros del TMD estimados previamente a través del criterio básico de Den Hartog. A tal efecto, la optimización ha resultado satisfactoria, lográndose los resultados que se muestran en la Tabla 6.9 para cada uno de los tres TMDs dispuestos; se ven mejorados los tres parámetros característicos de cada TMD dispuesto en un 3,3% para la masa, en un 9,2% para el amortiguamiento, y en un 1,1% para la rigidez. En global, se ha reducido para todo el sistema de MTMDs un total de 7,2 kg de masa respecto al valor estimado con Den Hartog. Tabla 6.9. Parámetros de los MTMDs obtenidos mediante la optimización. Fuente: Elaboración propia. VARIABLE DEN HARTOG OPTIMIZACIÓN REDUCCIÓN ms (kg) 72 69,6 3,3% cs (N·s/m) 106 96,2 9,2% ks (N/m) 6.157 6.089,3 1,1% Con estos resultados, se obtienen los siguientes ratios para cada TMD individual:  Ratio de masas, μ, igual a 1,64%, mejorando el ratio de 1,71% obtenido con el método de Den Hartog.  Ratio de amortiguamiento, ξs, igual a 7,39%, siendo el estimado por Den Hartog igual a 7,96%. Además, la frecuencia fs a la que cada TMD se encuentra sintonizado es de 1,489 Hz, comprobándose la cercanía a la frecuencia del caso de carga más desfavorable (1,493 Hz), lo que indica que el algoritmo ha ajustado el sistema de MTMDs a dicho caso. En este caso, el ratio de frecuencias toma un valor de 99,7%, siendo el valor máximo de este parámetro de 110,8% y el valor mínimo de 81,2% para el global de los casos de carga. La inclusión de MTMDs en la pasarela supone un cambio en sus características dinámicas iniciales, cambio que se ha caracterizado a partir de la frecuencia de vibración derivada de la original. Así, para cada caso de carga, se tienen las frecuencias que se muestran en la Tabla 6.10, cuya obtención se ha realizado teniendo en cuenta la similitud de la forma modal asociada a cada frecuencia con respecto a la forma modal original a partir del parámetro MAC. Tabla 6.10. Variación de las frecuencias de vibración de la estructura como consecuencia de la disposición de MTMDs. Fuente: Elaboración propia. CASO fORIGINAL (Hz) fCON MTMD (Hz) 1 peatón 1,655 1,833 0,2 p/m2 1,622 1,787 0,5 p/m2 1,570 1,722 0,8 p/m2 1,523 1,347 1,0 p/m2 1,493 1,344 Los resultados obtenidos que justifican la validez de estos parámetros se muestran en los siguientes apartados, primero en términos de aceleraciones y posteriormente en términos de desplazamientos. 100 DISEÑO ÓPTIMO DE MTMDS PARA EL CASO DE ESTUDIO -1006.5.3.1. Estudio de las aceleraciones La validez de la solución obtenida, en cuanto a términos de confort peatonal, se resume en lo mostrado en la Figura 6.19. En dicha figura se puede comprobar lo siguiente:  La aceleración de todos los casos de carga analizados están por debajo del límite impuesto en la optimización de 2,5 m/s2.  El caso más desfavorable es el correspondiente a una frecuencia de 1,493 Hz y una densidad peatonal de 1 p/m2, caso que ha sido más ajustado al límite impuesto en la optimización, tal y como se esperaba.  En 4 de los 10 casos analizados el confort obtenido es mínimo; en otros 4 casos el confort obtenido es medio; y en 2 casos el confort es máximo. Figura 6.19. Aceleraciones obtenidas en cada caso para la solución obtenida de la optimización; los primeros cinco casos se corresponden con la frecuencia original y los cinco segundos casos con la frecuencia derivada de la colocación de MTMDs en la pasarela. Fuente: Elaboración propia. Del estudio particularizado de la historia de aceleraciones obtenida en el centro de la pasarela (punto de la estructura donde se dan los valores máximos), las cuales se muestran en la Figura 6.20 y Figura 6.21, se pueden obtener las siguientes conclusiones:  Durante los 3 primeros segundos, aproximadamente, se produce un aumento de la aceleración, tramo en el que se produce el valor máximo (en los casos de carga originales, en los que la desviación de la frecuencia del TMD respecto a la frecuencia natural de la estructura excitada oscila entre un mínimo del 0,29% y un máximo del 10,05%). A partir de los 3 segundos la respuesta se estabiliza en valores menores al máximo alcanzado.  En los cinco casos correspondientes a la frecuencia derivada tras la inclusión de MTMDs en la pasarela la forma de la respuesta difiere a lo comentado anteriormente. En estos casos, la aceleración aumenta paulatinamente hasta alcanzar el máximo, momento en el que se estabiliza. En estos casos la desviación de la frecuencia del TMD respecto a la frecuencia natural de la estructura excitada oscila entre un mínimo del 10,52% y un máximo del 18,78%, es decir, los MTMDs están menos sintonizados que en los casos anteriores; de ahí que el máximo se alcance en un momento de tiempo más avanzado y tarde más en estabilizarse la respuesta. Diseño óptimo de Múltiples Amortiguadores de Masa Sintonizada sobre pasarelas peatonales 101 -101Figura 6.20. Historia de aceleración para los casos de carga originales tras la inclusión de MTMDs en la pasarela en centro de vano. Fuente: Elaboración propia. 102 DISEÑO ÓPTIMO DE MTMDS PARA EL CASO DE ESTUDIO -102Figura 6.21. Historia de aceleración para los casos de carga derivados tras la inclusión de MTMDs en la pasarela en centro de vano. Fuente: Elaboración propia. Diseño óptimo de Múltiples Amortiguadores de Masa Sintonizada sobre pasarelas peatonales 103 -1036.5.3.2. Estudio de los desplazamientos En el presente apartado se aborda el estudio de los desplazamientos de la pasarela, por un lado, y de los MTMDs, por otro lado, con objeto de analizar el movimiento relativo entre ambos elementos y, además, para determinar la viabilidad del posicionamiento del sistema de amortiguamiento en la estructura. En primer lugar se analiza el movimiento del TMD situado en el punto central de la pasarela, ya que es el que mayor amplitud de movimiento desarrolla. Los resultados obtenidos para el caso más desfavorable (frecuencia de 1,493 Hz y densidad peatonal de 1p/m2) se muestran en la Figura 6.22, donde se aprecia que la amplitud máxima del movimiento es de 12,9 cm; este resultado es consecuente con la separación impuesta en el modelo entre cada TMD y el tablero de la pasarela (25 cm), por lo que el movimiento que desarrolla cada TMD para reducir la vibración de la estructura está permitido en el espacio disponible. Figura 6.22. Historia de desplazamientos del TMD situado en centro de vano para el caso de carga más desfavorable (frecuencia de 1,493 Hz y densidad peatonal de 1 p/m2). Fuente: Elaboración propia. En segundo lugar se muestra la historia de desplazamientos, tanto del TMD como de la pasarela en el punto central, en la Figura 6.23 y la Figura 6.24. Del estudio de dichas figuras se pueden observar varios aspectos:  En todos los casos, el desplazamiento del TMD es mayor al del tablero de la pasarela. Este hecho radica en la propia concepción de diseño del TMD: que éste asuma un gran movimiento para reducir la vibración de la pasarela.  De igual forma, en todos los casos se puede observar lo comentado anteriormente: no se supera la amplitud máxima permitida de 25 cm.  Finalmente, se aprecia cómo, en los primeros instantes de la simulación, tanto la pasarela como el TMD se mueven de forma aproximadamente conjunta. Con el avance de la simulación, el TMD tiende a moverse en sentido contrario al de la pasarela, momento en el cual comienza a ser efectivo y permite la reducción de las vibraciones, estabilizando el movimiento de la estructura en un determinado valor. Sin embargo, este movimiento en sentido contrario no se da de forma perfecta, pudiéndose observar un desfase mínimo. 110 DISEÑO ÓPTIMO DE MTMDS PARA EL CASO DE ESTUDIO -110Figura 6.30. Función de Respuesta en Frecuencias antes y después de la optimización para el caso de carga correspondiente a 0,5 p/m2. Fuente: Elaboración propia. Figura 6.31. Función de Respuesta en Frecuencias antes y después de la optimización para el caso de carga correspondiente a 0,8 p/m2. Fuente: Elaboración propia. Diseño óptimo de Múltiples Amortiguadores de Masa Sintonizada sobre pasarelas peatonales 111 -111Figura 6.32. Función de Respuesta en Frecuencias antes y después de la optimización para el caso de carga correspondiente a 1,0 p/m2. Fuente: Elaboración propia. El análisis de las figuras anteriores permite obtener las siguientes conclusiones:  Primero, y principalmente, se observa que el sistema de amortiguamiento dispuesto logra reducir notablemente el coeficiente de amplificación dinámica en todos los casos respecto al valor que se tenía originariamente en la pasarela. La reducción llega a ser de casi 8 veces en el caso de carga más desfavorable (1 p/m2).  Segundo, se observa que, en algunos casos, la nueva frecuencia derivada tras la inclusión de los MTMDs en el sistema estructural aporta un coeficiente de amplificación dinámica mayor al de la frecuencia original. Ante esto, se demuestra la importancia de tener en cuenta esta nueva frecuencia, pues da lugar a vibraciones más desfavorables que las que se tendrían con la frecuencia original amortiguada; no obstante, en ningún caso esta frecuencia derivada aporta valores cercanos a los valores de coeficiente de amplificación dinámica obtenidos antes de la colocación de MTMDs en la pasarela. Finalmente, cabe mencionar que la disposición de MTMDs puede dar lugar a picos de respuesta mayores al original, pero que se encuentran fuera del rango de actuación de la carga peatonal en términos de frecuencia; es por ello que las frecuencias asociadas no ocasionarían problemas vibratorios. 112 DISEÑO ÓPTIMO DE MTMDS PARA EL CASO DE ESTUDIO -112- -1137 CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS En este capítulo final se presentan las conclusiones resultantes del trabajo realizado, en relación tanto al proceso de diseño optimizado de MTMDs en una pasarela peatonal como a los resultados obtenidos del mismo. Además de las conclusiones, se aportan una serie de ideas para futuros trabajos en relación con la temática desarrollada, ideas referentes, fundamentalmente, a la mejora del método implementado para el diseño de MTMDs en estructuras con comportamiento no lineal geométrico. 7.1 CONCLUSIONES SOBRE EL TRABAJO REALIZADO La realización del trabajo ha permitido obtener una serie de conclusiones muy valiosas para el entendimiento del problema de interacción entre la carga peatonal, la estructura y el sistema de amortiguamiento (TMD). Las principales conclusiones son las siguientes:  El estudio de la carga peatonal ha permitido conocer la gran variabilidad de este tipo de carga, variabilidad debida a la gran cantidad de casos que se pueden generar teniendo en cuenta las densidades peatonales típicas y el rango de frecuencias de paso más comunes de los peatones. Este hecho propicia que la carga peatonal deba ser establecida según las características propias del problema abordado, siendo muy complicado definir una carga general para cualquier tipo de pasarela. Así, el estudio de la pasarela realizado en el presente TFM ha permitido adentrarse en las características necesarias para la definición de la carga, observando una gran variación de los valores obtenidos según el caso, así como un importante cambio en la respuesta de la estructura tras la aplicación de la carga.  El análisis de una pasarela peatonal con un comportamiento no lineal geométrico ha permitido observar la sensibilidad de una estructura de este tipo, muy ligera y esbelta, a cualquier cambio en su configuración estructural inicial. Así, se ha analizado el efecto de incluir en el modelo distintas masas añadidas (como consecuencia de diferentes densidades peatonales), observándose un cambio en las frecuencias de vibración que debe tenerse en cuenta en el diseño; además, se ha comprobado la variabilidad de las frecuencias a lo largo de un episodio de carga peatonal, obteniéndose diferencias importantes respecto al valor medio de la misma. De esta forma ha quedado patente el gran cambio que se produce en las características dinámicas de la pasarela debido a cualquier cambio en su configuración inicial.  En relación con el punto anterior, la inclusión de un sistema de amortiguamiento en la pasarela, ya sea un único TMD o MTMDs, también produce un cambio en las propiedades dinámicas de la estructura. Por un lado, se está incluyendo un elemento con una cierta masa que se añade a la masa de la estructura; por otro lado, la disposición de un elemento que amortigua un determinado modo conlleva la aparición de nuevas frecuencias de vibración del conjunto TMD-estructura. El 114 CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS -114estudio que se ha realizado sobre estas nuevas frecuencias ha demostrado que es necesario considerarlas en el diseño, puesto que pueden dar lugar a una situación más desfavorable que la existente inicialmente; además, se ha observado, para el caso de estudio, que las formas modales pueden llegar a sufrir una variación importante respecto a la forma modal inicial que se tenía en la configuración estructural sin sistema de amortiguamiento.  Respecto al estudio de los métodos de optimización clásicos de TMD, se ha podido observar una clara limitación para su uso en un caso no lineal como el estudiado, ya que parten de hipótesis que no siempre se cumplen. Así, en el caso del criterio de Den Hartog, la hipótesis de un único modo afectado en la estructura hace que no se pueda acometer el diseño a partir del mismo, ya que su formulación necesita una frecuencia a la que sintonizar el TMD (la frecuencia del modo afectado, concretamente). Sin embargo, se ha podido comprobar que su uso permite obtener una solución válida para el problema si se identifica claramente el caso más desfavorable (no la óptima), por lo que puede ser un buen criterio para establecer una solución inicial.  La utilización de la metodología desarrollada en el TFM permite paliar el problema comentado en el punto anterior. La generación aleatoria de los parámetros que definen al TMD o los MTMDs, dentro de un rango establecido a partir del sentido físico de los mismos, posibilita encontrar unos parámetros que se sintonicen de forma adecuada a varios modos de vibración (o casos concretos de carga), lo que permite reducir conjuntamente los problemas de vibración en varios casos. A pesar de que lo anterior provoca que los MTMDs no queden sintonizados de forma exacta a un determinado modo, como sí se podría conseguir con el criterio de Den Hartog, la sincronización global con todos los casos afectados mejora. Además, la búsqueda de varios parámetros que realiza la metodología desarrollada (masa, amortiguamiento y rigidez), en lugar de uno solo como hace Den Hartog (masa), permite encontrar una solución mejor al problema (menor masa, menor amortiguamiento y menor rigidez que con Den Hartog); esto supone, obviamente, un ahorro en términos económicos.  El estudio realizado ha permitido validar las dos funciones básicas de un sistema de amortiguamiento (Karoumi, 1998): la reducción de la resonancia de la estructura principal, lo cual queda patente en la reducción del valor de aceleración que se produce en la pasarela durante el episodio de carga; y el aumento del amortiguamiento general de la estructura, ya que se logra una estabilización de las características dinámicas de la pasarela a lo largo de la aplicación de la carga peatonal. 7.2 TRABAJOS FUTUROS A continuación se muestran una serie de ideas que pueden ayudar al desarrollo futuro del trabajo realizado en el presente TFM. Las ideas van orientadas, en todos los casos, a la mejora del algoritmo de diseño de MTMDs en estructuras con comportamiento no lineal. 7.2.1 INCLUSIÓN DE UN MAYOR NÚMERO DE CASOS EN EL DISEÑO El diseño realizado de MTMDs sobre una pasarela peatonal ha supuesto una serie de simplificaciones en cuanto al número de casos considerados en el proceso de diseño. A tal efecto, únicamente se ha considerado un modo afectado, si bien eran dos los modos identificados que se veían afectados por la carga peatonal; a su vez, únicamente se ha Diseño óptimo de Múltiples Amortiguadores de Masa Sintonizada sobre pasarelas peatonales 115 -115considerado la carga correspondiente a peatones andando, obviando el efecto de los corredores. Una posible mejora del algoritmo de diseño pasaría por incluir, en este sentido, lo siguiente:  El estudio de los casos de carga de personas corriendo que puedan ocasionar vibraciones en la pasarela, y la inclusión de dichos casos en la formulación del algoritmo.  La inclusión de un mayor número de modos afectados y, consecuentemente, más configuraciones posibles de los TMD. Ambos aspectos se tuvieron en cuenta en la concepción inicial del trabajo, si bien se redujo el alcance del mismo debido al gran tiempo computacional que requeriría la consideración de dichas casuísticas. 7.2.2 UTILIZACIÓN DE OTRO TIPO DE ALGORITMOS Para la resolución del problema se ha recurrido a los algoritmos genéticos, muy útiles debido a los siguientes aspectos:  Pueden operar de forma simultánea con varias soluciones en vez de trabajar de manera secuencial.  Es posible ejecutarlos de manera paralela para ahorrar tiempo computacional.  Destacan por su habilidad para manipular varios parámetros simultáneamente.  Debido a su aleatoriedad permiten explorar extensamente en el dominio de búsqueda. Sin embargo, también presentan una serie de desventajas:  Pueden tardar mucho tiempo en converger dependiendo de la definición del problema.  Se debe acotar bien el dominio de búsqueda y la definición de la población y el número de generaciones. En la actualidad existe una gran diversidad de algoritmos alternativos y, debido a que el problema fundamental encontrado en el caso de estudio ha sido el alto tiempo computacional para resolver el algoritmo, una nueva línea de investigación podría explorar nuevos algoritmos con objeto de lograr una mayor rapidez en el cálculo. Algunos algoritmos que podrían considerarse son los siguientes: 1) Recocido Simulado (SA): es una técnica relacionada con la optimización global que atraviesa el espacio de búsqueda mediante la generación de soluciones vecinas de la solución actual. Un vecino superior siempre es tomado y uno inferior es tomado de manera probabilística basado en las diferencias de calidad y un parámetro de temperatura. El parámetro de temperatura es modificado en medida del progreso del algoritmo para alterar la naturaleza de la búsqueda. 2) Sistema Inmune Artificial (AIS): algoritmo basado en el modelo de los sistemas inmunológicos de los vertebrados. 3) Enjambre de Partículas (PSO): o método de Inteligencia de Enjambres, permite optimizar un problema a partir de una población de soluciones candidatas, denotadas como "partículas", moviendo éstas por todo el espacio de búsqueda según reglas matemáticas que tienen en cuenta la posición y la velocidad de las partículas. El 116 CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS -116movimiento de cada partícula se ve influido por su mejor posición local hallada hasta el momento, así como por las mejores posiciones globales encontradas por otras partículas a medida que recorren el espacio de búsqueda. El fundamento teórico de esto es hacer que la nube de partículas converja rápidamente hacia las mejores soluciones. Además de una línea de investigación de distintos algoritmos, se puede completar el problema definiendo una función multiobjetivo con objeto de minimizar todos los parámetros del TMD, en vez de únicamente la masa, para que el ahorro sea mayor. 7.2.3 VARIACIÓN ESPACIAL DEL TMD EN EL DISEÑO Una de las conclusiones obtenidas del desarrollo del trabajo, expuesta en el apartado correspondiente, ha sido la observación de la variación que supone en las formas modales la inclusión de sistemas de amortiguamiento en la pasarela. En el presente apartado se justifica lo expuesto y se proponen algunas ideas para tener en cuenta este hecho en el diseño. Una de las consideraciones del algoritmo de diseño pasa por identificar el nuevo modo más desfavorable del conjunto TMD-estructura a partir del parámetro MAC, eligiendo el modo con un MAC mayor al 90% que se encuentra en la zona más crítica de actuación de la carga peatonal. Así, a modo de ejemplo, para el caso de carga correspondiente a 1 peatón/m2, en el diseño estimado realizado por Den Hartog se obtuvo que la nueva frecuencia pico de la estructura se encontraba en 1,33 Hz (1,49 Hz antes de disponer MTMDs), modo con un MAC del 96%; sin embargo, el análisis modal realizado para este caso permitió identificar un modo adicional situado en 1,63 Hz, con una forma similar al original, pero con un MAC del 82%, por lo que quedaba fuera del criterio establecido. Lo expuesto se puede ver en la Figura 7.1. Figura 7.1. Variación de la forma modal del 2º modo de vibración vertical (caso para una masa añadida correspondiente a 1 peatón/m2) tras la inclusión de MTMDs. Fuente: Elaboración propia. Por la forma del modo y por la frecuencia asociada de 1,63 Hz, dentro del rango de acción peatonal, podría tratarse de un modo en el que se ocasionaran problemas vibratorios. Sin embargo, la variación de la forma modal, que hace que los puntos de máximo valor modal se desplacen entre 1,5 m y 2 m respecto a la posición en la que se han dispuesto los TMDs de acuerdo al modo original, podría dar lugar a la imposibilidad de encontrar un sistema de MTMDs que reduzca las vibraciones hasta límites admisibles tanto en este nuevo modo como en los originales, ya que no se estaría disponiendo cada TMD en el punto de mayor valor modal. Diseño óptimo de Múltiples Amortiguadores de Masa Sintonizada sobre pasarelas peatonales 117 -117La solución al problema pasaría por incorporar al algoritmo una variante que permita modificar la posición del TMD durante el proceso de diseño, adaptándose de la mejor manera posible a la forma del modo de vibración afectado. Así, el diseño pasaría a tener cuatro variables: masa, amortiguamiento, rigidez (contempladas antes), y posición. Obviamente, la inclusión de esta variante supondría un incremento en el tiempo de cálculo muy importante, lo que haría al método únicamente útil para problemas muy específicos que requirieran una precisión muy elevada. 7.2.4 DEFINICIÓN INDIVIDUALIZADA DE CADA TMD DEL SISTEMA El proceso de diseño ha supuesto que todos los TMDs dispuestos en la pasarela tienen idénticas propiedades (masa, amortiguamiento y rigidez). Sin embargo, observando la forma del modo que se ha amortiguado (ver Figura 7.1), se puede observar cómo el TMD dispuesto en el centro de vano tendría una mayor importancia que los colocados a los lados, puntos en los cuales la coordenada modal es el 40% de la obtenida en el centro de vano. Así, se puede plantear la opción de diseñar cada TMD de acuerdo a la influencia que tiene la coordenada modal correspondiente al punto donde se ubica en la forma del modo afectado. La inclusión de esta opción en el algoritmo de diseño supondría cálculos modales adicionales, a partir de los cuales se lograría establecer si los parámetros elegidos para el TMD se ajustan a la forma del modo que pretenden amortiguar. De esta forma se lograría una mayor optimización de las propiedades de cada amortiguador (y un mayor ahorro económico, consecuentemente), pero sería necesario realizar un análisis que permita evaluar la rentabilidad obtenida con respecto al tiempo de computación necesario. 118 CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS -118- -119REFERENCIAS Allemang, R. and Brown, D. (1982) A correlation coefficient for modal vector analysis, Orlando: Proceedings of the 1st International Modal Analysis Conference. ANSYS (2013) ANSYS Mechanical APDL Advanced Analysis Guide, Canonsburg, PA. Beck, J. and Arnold, K. (1997) Parameter Estimation in Engineering and Science, New York. Butz, C., Feldman, M., Heinemeyer, C., Sedlacek, G., Chabrolin, B., Lemaire, A., Lukic, M., Martin, P.O., Caetano, E., Cunha, A., Goldack, A., Keil, A. and Schlaich, M. (2008) Advanced Load Models for synchronous pedestrian excitation and Optimised Design Guidelines for Steel Footbridges, Luxemburgo: European Communities. Cantieni, R. (2005) 'Experimental Methods used in System Identification of Civil Engineering Structures', Proceedings of IOMAC (International Operational Modal Analysis), Copenhague. Casado, C.M., Sebastián, J.d., Muñoz, I., Poncela, A. and Lorenzana, A. (2011) 'Control de Vibraciones en Pasarelas Peatonales', DYNA, Ingeniería e Industria, vol. 86, no. 3, Junio - Julio, pp. 318-327. Den Hartog, J.P. (1947) Mechanical Vibrations, 3rd edition, New York: McGraw-Hill. Döhler, M., Andersen, P. and Mevel, L. (2010) Data merging for multi-setup operational modal analysis with data-driven SSI, Proceedings of the IMAC XXVIII. Fox, R. and Kapoor, M. (1968) 'Rate of change of eigenvalues and eigenvectors', AIAA Journal, vol. 6, pp. 2426-2429. Frahm, H. (1911) Device for Damping Vibration of Bodies, U.S. Patent, No. 989, 958. Goitom Tekeste, G. (2015) Master Thesis: Dynamics of Footbridges through Operational Modal Analysis and vibration control using Tuned Mass Dampers, Lisboa: Técnico Lisboa. Google (2017) Google Earth, [Online] [29 Abril 2017]. Heinemeyer, C., Butz, C., Keil, A., Schlaich, M., Goldack, A., Trometer, S., Lukic, M., Chabrolin, B., Lemaire, A., Martin, P.O., Cunha, A. and Caetano, E. (2009) Design of Lightweight Foot-bridges for Human Induced Vibrations, Luxemburgo: Office for Official Publications of the European Communities. Hu, W.-H., Caetano, E. and Cunha, Á. (2012) 'Structural Health monitoring of a stress-ribbon footbridge', Engineering Structures.