Tableaux, representaciones y la dualidad de Schur-Weyl

Tableaux, representaciones y la dualidad de Schur-Weyl Aarón Ocampo Amaya Tableaux, representaciones y la dualidad de Schur-Weyl Aarón Ocampo Amaya Memoria presentada como parte de los requisitos para la obtención del título de Grado en Matemáticas por la Universidad de Sevilla. Tutorizada por Profª. Mercedes Helena Rosas Celis Índice general English Abstract 1 1. Teoría de representaciones 3 1.1. Nocioneselementales........................... 3 1.2. Submódulos e irreducibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3. 𝐺-homomorfismos ............................ 9 1.4. Caracteres de representaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5. La representación regular ℂ𝐺...................... 14 1.6. Inducción y restricción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2. Representaciones irreducibles de 𝕊𝑛17 2.1. Tableaux y representaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2. Los módulos de permutaciones, 𝜆................... 21 2.3. Las representaciones irreducibles de 𝕊𝑛................. 24 2.4. La descomposición de 𝜆a través del anillo de representaciones . . . 28 2.5. La base de 𝜆............................... 33 2.6. Homomorfismos explícitos hacia (1(𝑛))................. 35 2.7. Discusión del caso general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ii tableaux, representaciones y la dualidad de schur-weyl 3. Representaciones del grupo lineal general 45 3.1. Productos tensoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2. MódulosdeWeyl ............................. 47 3.3. La dualidad de Schur-Weyl. Las representaciones irreducibles . . . . . 48 Conclusiones 55 A. Apéndice 57 A.1. El anillo de funciones simétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 A.2. Los polinomios simétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 A.3. ElalgoritmoRSK ............................. 62 English Abstract The main objective of this work is to study the relation between representations of the symmetric group and those of the general linear group. This relation is known as the Schur-Weyl duality. We introduce the basic concepts of representation theory in the first chapter. In the second, use tableaux to construct all the irreducible representations of the symmetric group, and provide explicit homomorfisms to decompose the regular representation. Finally, in the third chapter, we use these representations to obtain polynomial representations for the general linear group, establishing the Schur-Weyl duality. 1 Teoría de representaciones La dualidad de Schur-Weyl es un resultado en la teoría de representaciones que relaciona las representaciones del grupo simétrico con las representaciones polinomiales del grupo lineal general. En este capítulo introduciremos los resultados y conceptos básicos de la teoría de representaciones sobre el cuerpo de los números complejos ℂ. Hemos decidido no introducir numerosas demostraciones de los resultados de este capítulo debido a que han sido estudiados parcialmente en la asignatura Álgebra, Combinatoria y Computación. Aún así, las demostraciones de este capítulo se pueden encontrar en los libros de James-Liebeck [6], Sagan [7] y Fulton-Harris [4]. 1.1 Nociones elementales A lo largo del documento, a menos que se indique lo contrario, trabajaremos con los elementos de ℂ𝑛vistos como vectores columna. Definición 1.1.1. Sean 𝐺un grupo y 𝐺𝐿(𝑑)el grupo lineal de matrices complejas de tamaño 𝑑. Una representación (matricial) de 𝐺es un homomorfismo de grupos: 𝑋∶𝐺←→ 𝐺𝐿(𝑑) A𝑑se le llama grado de la representación. En el caso en que 𝐺=𝐺𝐿(𝑛), diremos que 𝑋es polinomial si las entradas de 𝑋(𝐴)son polinomios en las entradas de 𝐴∈𝐺𝐿(𝑛). Definición 1.1.2. Sea 𝑉un espacio vectorial sobre ℂy𝐺un grupo. Diremos que 𝑉 es un G-módulo si 𝐺actúa sobre 𝑉de forma lineal, es decir: 1. 𝑔𝑣 ∈𝑉 2. 𝜖𝑣 =𝑣 3. (𝑔ℎ)𝑣=𝑔(ℎ𝑣) 4. 𝑔(𝑐𝑣 +𝑑𝑤) = 𝑐(𝑔𝑣) + 𝑑(𝑔𝑤) 10 tableaux, representaciones y la dualidad de schur-weyl Teorema 1.3.5 (Lema de Schur). Sean 𝑉y𝑊dos 𝐺-módulos irreducibles. Entonces todo 𝜃∶𝑉←→ 𝑊homomorfismo cumple exactamente uno de los siguientes: 1. 𝜃es un isomorfismo 2. 𝜃es la aplicación nula Demostración. Tenemos que tanto 𝑘𝑒𝑟(𝜃)como 𝑖𝑚(𝜃)son 𝐺-submódulos de 𝑉y𝑊, pero por irreducibilidad, deben ser triviales. Si 𝑘𝑒𝑟(𝜃) = 𝑉, tenemos que 𝜃es la aplicación nula. Si 𝑖𝑚(𝜃) = {0} tenemos la misma conclusión. Si no ocurre ninguno de ellos, tenemos que 𝑘𝑒𝑟(𝜃) = {0} e𝑖𝑚(𝜃) = 𝑊, luego 𝜃es isomorfismo. El lema de Schur es cierto en cuerpos arbitrarios e incluso en grupos infinitos puesto que la demostración dada es válida en dichos supuestos. Sin embargo, restringiéndonos a ℂ, podemos extraer más información aún: Corolario 1.3.6.Todo endomorfismo no nulo de un 𝐺-módulo irreducible sobre ℂes un múltiplo de la identidad. Demostración. Supongamos que 𝜃∶𝑉←→ 𝑉es un homomorfismo de 𝐺-módulos y tomemos una base de 𝑉. Sea 𝑇la matriz de 𝜃respecto de . Entonces que para todo 𝑔∈𝐺: 𝑇 𝑋(𝑔) = 𝑋(𝑔)𝑇 (𝑇−𝑐𝐼)𝑋(𝑔) = 𝑋(𝑔)(𝑇−𝑐𝐼) para todo 𝑐∈ℂ. Dado que ℂes algebraicamente cerrado, el polinomio característico de 𝑇tiene al menos una raíz compleja. Tomando entonces 𝑐como un autovalor de 𝑇, obtenemos que 𝑇−𝑐𝐼 es no invertible. Esta matriz corresponde al endomorfismo 𝜃−𝑐⋅𝐼𝑑, luego tenemos que 𝜃−𝑐⋅𝐼𝑑 no es un isomorfismo y, por el teorema 1.3.5, tenemos que es la aplicación nula. Es decir 𝜃=𝑐⋅𝐼𝑑 como queríamos. 1.4 Caracteres de representaciones Recordemos que la traza de una matriz cuadrada 𝐴= (𝑎𝑖,𝑗)1≤𝑖,𝑗≤𝑑de tamaño 𝑑 es: tr(𝐴) = ∑𝑑 𝑖=1 𝑎𝑖,𝑖. Esta aplicación juega un papel muy importante en la teoría de representaciones. 1. teoría de representaciones 11 Definición 1.4.1. Sea 𝑉un 𝐺-módulo y 𝑋una representación matricial asociada a una base de 𝑉. Definimos el carácter de 𝑉,𝜒, como la traza de 𝑋, es decir: 𝜒∶𝐺←→ ℂ 𝜒(𝑔) = 𝑡𝑟(𝑋(𝑔)) Se cumplen las siguientes propiedades: Proposición 1.4.2. Sean 𝑉,𝑊dos 𝐺-módulos. 1. Si 𝑋e𝑌son dos representaciones matriciales asociadas a dos bases distintas ,de 𝑉, entonces, 𝑡𝑟(𝑋(𝑔)) = 𝑡𝑟(𝑌(𝑔)) para todo 𝑔∈𝐺. En concreto, el carácter es independiente de la base escogida para su cálculo y, por ello, está bien definido. 2. Si 𝑉≅𝑊entonces tienen mismo carácter. 3. El carácter de 𝑉es constante en clases de conjugación de 𝐺. Demostración. Recordemos que la traza es un invariante cíclico, es decir, tr(𝐴𝐵𝐶) = tr(𝐶𝐴𝐵) = tr(𝐵𝐶𝐴). En concreto, si 𝑇es una matriz invertible, tr(𝐴) = tr(𝑇 𝐴𝑇 −1). Esto demuestra los tres resultados, pues sus caracterizaciones son justamente, la existencia de matrices conjugadas en cierta manera: 1. 𝑌 (𝑔) = 𝑇 𝑋(𝑔)𝑇−1 para 𝑇matriz de cambio de base 2. 𝑌 (𝑔) = 𝑇 𝑋(𝑔)𝑇−1 para 𝑇como en la observación 1.3.3 3. 𝑋(ℎ)𝑋(𝑔)𝑋(ℎ−1)para ℎ𝑔ℎ−1 en la clase de conjugación de 𝑔 Ejemplo 1.4.3 (Grupo lineal general).Supongamos que 𝐺=𝐺𝐿(𝑛), y 𝑉sea un 𝐺módulo con representación polinomial 𝜌∶𝐺𝐿(𝑛)←→ 𝐺𝐿(𝑑)(según la definición 1.1.1). Definamos las matrices: diag(𝑥) ∶= diag(𝑥1,…, 𝑥𝑛) = ⎛⎜⎜⎜⎝ 𝑥10 … 0 0𝑥2… 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … 𝑥𝑛 ⎞⎟⎟⎟⎠ Entonces 𝜒(diag(𝑥)) = 𝑡𝑟(𝜌(diag(𝑥))) = 𝑝(𝑥)para 𝑝un cierto polinomio simétrico; es decir, 𝑝es invariante ante cualquier permutación de sus variables (para más información ver apéndice A). Para cada (𝑖, 𝑖+1) ∈ 𝕊𝑛trasposición simple, tenemos una matriz de permutaciones asociada 𝑇, donde 𝑇es la matriz identidad, salvo que tiene las columnas 𝑖y𝑖+ 1 12 tableaux, representaciones y la dualidad de schur-weyl intercambiadas. Si denotamos (𝑖, 𝑗)𝑥= (𝑥1,…, 𝑥𝑖+1, 𝑥𝑖,…, 𝑥𝑛), entonces: 𝑝(𝑥) = 𝜒(diag(𝑥)) = 𝑡𝑟(𝜌(diag(𝑥))) = 𝑡𝑟(𝜌(𝑇diag(𝑥)𝑇−1)) =𝑡𝑟(𝜌(diag((𝑖, 𝑗)𝑥))) = 𝜒(diag((𝑖, 𝑗)𝑥)) = 𝑝((𝑖, 𝑗)𝑥) Como toda permutación se puede descomponer como producto de trasposiciones, y𝑝es invariante ante éstas, 𝑝es simétrico. Ahora terminamos la prueba con un argumento de densidad: Los autovalores de 𝐴vienen dados por las soluciones al polinomio fundamental det(𝐴−𝑥𝐼), cuyos coeficientes son polinomios en las entradas de 𝐴. Podemos asegurar que 𝐴es diagonalizable si todos los autovalores son diferentes entre sí, es decir que det(𝐴−𝑥𝐼)tiene discriminante no nulo. Como el discriminante es un polinomio en los coeficientes de det(𝐴−𝑥𝐼), lo es en los de 𝐴. Esto permite concluir que las matrices no diagonalizables se encuentran en el hiperplano {disc(det(𝐴−𝑥𝐼)) = 0}, dentro de 𝐺𝐿(𝑛). Es la topología de Zariski en 𝐺𝐿(𝑛)la que permite concluir que, al ser 𝜒(𝐴)un polinomio que coincide con 𝑝(𝑥)en el abierto de 𝐺𝐿(𝑛):{disc(det(𝐴−𝑥𝐼)) ≠0}; y al ser todo abierto denso, obtenemos que 𝜒(𝐴) = 𝑝(𝑥)en todo 𝐺𝐿(𝑛). Los caracteres son constantes en clases de conjugación, y aunque no son las únicas funciones con esta propiedad, sí son particularmente importantes. Definición 1.4.4. Sea 𝐺un grupo. Denotemos 𝐺al ℂ-espacio vectorial: 𝐺= {𝑓∶𝐺←→ ℂ|𝑓es constante en clases de conjugación de 𝐺} Este espacio es el espacio de funciones de clase de 𝐺. Una base de este espacio es el conjunto de funciones indicatrices de clase de 𝐺. Para cada clase de conjugación 𝐺𝛼de 𝐺, se definen: 𝐶𝛼(𝑔) = {1si 𝑔∈𝐺𝛼 0si no Todo carácter de una representación es una función de clase, gracias a la parte 3 de la proposición 1.4.2. 1. teoría de representaciones 13 Definición 1.4.5. Sean 𝐺un grupo finito y 𝜒, 𝜓 ∈𝐺. Definimos el producto escalar: ⟨𝜒, 𝜓⟩=1 |𝐺|∑ 𝑔∈𝐺 𝜒(𝑔)𝜓(𝑔−1) Si bien las funciones indicatrices no son ortonormales respecto a este producto escalar, los caracteres irreducibles sí lo son. Teorema 1.4.6 (Relaciones de ortonormalidad). Sean 𝜒,𝜓caracteres de representaciones irreducibles de un grupo finito 𝐺. Entonces: ⟨𝜒, 𝜓⟩={0,si 𝜒≠𝜓 1,si 𝜒=𝜓 Los caracteres irreducibles forman una base ortonormal del espacio de funciones de clase. Proposición 1.4.7. Sea 𝑋una representación matricial de un grupo finito 𝐺. Supongamos que: 𝑋≅𝑚1𝑋(1) ⊕ 𝑚2𝑋(2) ⊕⋯⊕ 𝑚𝑘𝑋(𝑘) es su descomposición en representaciones irreducibles; donde hemos agrupado representaciones irreducibles isomorfas entre sí . Entonces: 1. 𝜒=𝑚1𝜒(1) +𝑚2𝜒(𝑖)+⋯+𝑚𝑘𝜒(𝑘) 2. ⟨𝜒, 𝜒(𝑖)⟩=𝑚𝑖 3. 𝑋es irreducible si y sólo si ⟨𝜒, 𝜒⟩= 1 4. Si es 𝑌otra representación matricial con carácter 𝜒, entonces 𝑋≅𝑌 Demostración. La mayor parte del resultado se extrae del teorema 1.4.6. Para el último, podemos asumir que ambos 𝑋e𝑌se descomponen según: 𝑋≅𝑚1𝑋(1) ⊕ 𝑚2𝑋(2) ⊕⋯⊕ 𝑚𝑟𝑋(𝑟) 𝑌≅𝑛1𝑋(1) ⊕ 𝑛2𝑋(2) ⊕⋯⊕ 𝑛𝑟𝑋(𝑟) donde hemos podido añadir factores en ambas descomposiciones para que tengan los mismos. No tenemos problema en hacerlo pues podemos poner 𝑚𝑖= 0 o𝑛𝑗= 0, si el factor no aparece en la descomposición. Pero, entonces, por 2. de este lema: 𝑚𝑖=⟨𝜒, 𝜒(𝑖)⟩=𝑛𝑖 Luego las descomposiciones son iguales y 𝑋≅𝑌. 14 tableaux, representaciones y la dualidad de schur-weyl 1.5 La representación regular ℂ𝐺 Hemos mencionado la importancia de la representación regular, ℂ𝐺, en el caso de grupos finitos. Veamos explícitamente a qué nos referimos. Teorema 1.5.1. Sea 𝐺un grupo finito y tomemos 𝑉=ℂ𝐺. Sea 𝑁el número de clases de equivalencia de 𝐺-módulos irreducibles bajo isomorfismo. Entonces: 1. 𝑁es finito y toda clase de 𝐺-módulo irreducible aparece en la descomposición de 𝑉. Es decir, si: 𝑉≅ 𝑁 ⨁ 𝑖=1 𝑚𝑖𝑉(𝑖) entonces, todo 𝐺-módulo irreducible es isomorfo a algún 𝑉(𝑖)y𝑚𝑖≠0,∀𝑖. 2. Cada una de estas multiplicidades cumple 𝑚𝑖= dim 𝑉(𝑖) 3. Se cumple |𝐺|=∑𝑁 𝑖=1 𝑚2 𝑖 4. La cantidad de 𝐺-módulos irreducibles no isomorfos entre sí es igual al número de clases de equivalencia de 𝐺. Demostración. Sea 𝑊un 𝐺-módulo irreducible y sea 𝜓su carácter. Sea también 𝜒 el carácter de 𝑉. Por el lema 1.4.7, el producto ⟨𝜒.𝜓⟩es la multiplicidad (bajo isomorfismo) de 𝑊en la descomposición de 𝑉. Un simple estudio del carácter de 𝑉=ℂ𝐺permite concluir que: ⟨𝜒, 𝜓⟩=1 |𝐺|∑ 𝑔∈𝐺 𝜒(𝑔)𝜓(𝑔−1) = 𝜓(𝜖) = dim 𝑊 La última igualdad es clara por el hecho de que toda representación matricial cumple 𝑌(𝜖) = 𝐼𝑑. Se concluye que todo 𝐺-módulo irreducible aparece en la descomposición de 𝑉 con multiplicidad igual a su dimensión. En concreto, deben aparecer todos los 𝐺módulos irreducibles no vacíos, pero como la dimensión de 𝑉es finita, debe haber una cantidad finita de 𝐺-módulos irreducibles no isomorfos entre sí. La prueba de 4. involucra el estudio del centro de End ℂ𝐺,𝑍End ℂ𝐺, para concluir que el número de 𝑉(𝑖)que aparecen en la descomposición es igual a dim 𝑍End ℂ𝐺(ver Sagan [7]) 1. teoría de representaciones 15 1.6 Inducción y restricción En esta sección estudiamos la relación entre representaciones de un grupo y de sus subgrupos. Definición 1.6.1. Sea 𝐻≤𝐺un subgrupo de 𝐺y𝑉un 𝐻-módulo. Definimos la inducción de 𝑉a𝐺,𝑉↑𝐺 𝐻como el 𝐺-módulo: 𝑉↑𝐺 𝐻∶= ℂ𝐺 ⊗ℂ𝐻𝑉=ℂ𝐺 ⊗ℂ𝑉  para el subespacio generado por los elementos de la forma (ℎ𝑔)⊗ 𝑣 −𝑔 ⊗ (ℎ−1𝑣) para 𝑔∈𝐺,𝑣∈𝑉,ℎ∈𝐻. Para simplificar la notación, normalmente escribiremos ℂ𝐺 ⊗𝐻𝑉. La acción de 𝐺sobre 𝑉↑𝐺 𝐻se toma como 𝑔(𝑥 ⊗𝐻𝑣)=(𝑔𝑥)⊗𝐻𝑣. Ejemplo 1.6.2.Sean 𝐺=𝕊3y𝐻= {𝜖, (123),(132)}. La idea de la inducción es obtener una representación de 𝐺, a partir de una de 𝐻, que mantenga su acción al restringirnos a 𝐻. Tomemos 𝑉=⟨𝑣⟩la representación trivial de 𝐻, es decir ℎ𝑣 =𝑣para todo ℎ∈𝐻. En la inducción se cumple: ℎ(𝑥 ⊗𝐻𝑣)=(ℎ𝑥)⊗𝐻𝑣=𝑥 ⊗𝐻(ℎ−1𝑣)=(𝑥 ⊗𝐻𝑣) Es decir, 𝐻sigue actuando de forma trivial sobre 𝑉↑𝐺 𝐻. Un mayor estudio de este ejemplo permite demostrar que 𝑉↑𝐺 𝐻es un 𝐺–módulo de dimensión 2. Podemos realizar también un proceso contrario, restringiendo la acción de 𝐺a la de un subgrupo 𝐻: Definición 1.6.3. Sea 𝐺un grupo y 𝐻un subgrupo de 𝐺. Dado un 𝐺-módulo, 𝑉, definimos la restricción de 𝑉a𝐻como 𝑉↓𝐺 𝐻, donde simplemente consideramos la acción de cada ℎ∈𝐻, como la acción de ℎ∈𝐺sobre 𝑉. Si bien, en esencia, son procesos contrarios, en general, se tiene que 𝑉↑𝐺 𝐻↓𝐺 𝐻≇𝑉 Ejemplo 1.6.4.Tomando 𝐺,𝐻y𝑉como en el ejemplo anterior, 𝑉↑𝐺 𝐻era de dimensión 2. Al restringir de nuevo a 𝐻, obtenemos que 𝐻actúa de forma trivial sobre un 𝐻–módulo de dimensión 2, luego 𝑉es claramente isomorfa a la suma directa de dos representaciones triviales. 𝑉↑𝐺 𝐻↓𝐺 𝐻≅ 2𝑉≇𝑉 16 tableaux, representaciones y la dualidad de schur-weyl Definición 1.6.5. Sea 𝑉↑𝐺 𝐻un 𝐺-módulo inducido. Si 𝜒es el carácter de 𝑉, denotamos el carácter inducido de 𝑉↑𝐺 𝐻por 𝜒↑𝐺 𝐻. Igualmente, si 𝑉↓𝐺 𝐻es un 𝐻-módulo restringido, si 𝜒es el carácter de 𝑉, denotamos el carácter restringido de 𝑉↓𝐺 𝐻por 𝜒↓𝐺 𝐻. A partir de ahora, si 𝐺o𝐻se sobreentienden por el contexto, denotaremos a los anteriores 𝑉↑,𝑉↓,𝜒↑y𝜒↓. Podemos extender estas nociones a funciones de clase a partir de la ortonormalidad de los caracteres. Definición 1.6.6. Del teorema 1.4.6, tenemos que los caracteres de las representaciones irreducibles de 𝐺son una base ortonormal de 𝐺. Si 𝑓∈𝐺se escribe en esta base ortonormal como 𝑓=∑𝑘𝑎𝑘𝜒𝑘, donde cada 𝜒𝑘es el carácter de una representación irreducible de 𝐺, se definen la función de clase inducida yrestringida como: 𝑓↑𝐺=∑ 𝑘 𝑎𝑘(𝜒𝑘↑𝐺) 𝑓↓𝐺=∑ 𝑘 𝑎𝑘(𝜒𝑘↓𝐺) donde estamos induciendo cada carácter a un supgrupo o restringiendo a un subgrupo de 𝐺. Si bien es cierto que inducción y restricción no son procesos contrarios, se pueden entender como tal bajo el siguiente resultado. Proposición 1.6.7 (Reciprocidad de Frobenius).Sea 𝐻≤𝐺y sean 𝑓∈𝐻,𝑔∈𝐺. Entonces, para el producto escalar en cada espacio se da la igualdad: ⟨𝑓↑𝐺, 𝑔⟩𝐺=⟨𝑓, 𝑔 ↓𝐻⟩𝐻 La demostración se realiza primero para los caracteres irreducibles, y luego se extiende por linealidad a funciones de clase. 2 Representaciones irreducibles de 𝕊𝑛 En virtud del teorema 1.5.1, para hallar todas las representaciones irreducibles del grupo simétrico, 𝕊𝑛, basta hallar una por cada clase de conjugación en 𝕊𝑛. Es bien conocido que cada partición de 𝑛determina una clase de conjugación de 𝕊𝑛. Éstas surgen al descomponer 𝜎∈𝕊𝑛en ciclos disjuntos. Como la conjugación en 𝕊𝑛no cambia el tamaño de estos ciclos, cada clase de conjugación de 𝕊𝑛está definida por la forma de esos ciclos, que se pueden representar mediante una partición, es decir, mediante una tupla ordenada de enteros positivos decreciente. Por ejemplo, para 𝕊3, tenemos las clases de conjugación: {𝜖= (1)(2)(3)} {(12)(3),(13)(2),(23)(1)} {(123),(132)} Asociadas a las particiones (1,1,1),(2,1) y(3) respectivamente. Notación. Usaremos la siguiente notación para particiones: - Si 𝜆= (𝜆1,…, 𝜆𝑟), denotamos |𝜆|=𝜆1+⋯+𝜆𝑟. - Si 𝜆es una partición de 𝑛, escribimos 𝜆⊢𝑛. Se cumple 𝜆 ⊢ |𝜆|. - Denotamos el orden de dominancia en particiones por ⊵. Es decir que 𝜆⊵𝜇si: 𝜆1≥𝜇1 𝜆1+𝜆2≥𝜇1+𝜇2 ⋮ |𝜆|≥|𝜇| La teoría general de este capítulo se encuentra desarrollada en los libros de Sagan [7], Fulton [3] y Fulton-Harris [4]. También utilizamos las ideas de Bergeron [1], sobre las cuales trabajaremos en la sección 2.6 y 2.7. 18 tableaux, representaciones y la dualidad de schur-weyl 2.1 Tableaux y representaciones Podemos usar diagramas de Young para representar particiones de 𝑛. Sobre ellos, construimos los tableaux, los cuales utilizaremos para conseguir ciertas representaciones de 𝕊𝑛. Encontraremos las representaciones irreducibles como 𝕊𝑛–submódulos de dichas representaciones. Definición 2.1.1. Dada 𝜆una partición de 𝑛, su diagrama de Young es un diagrama de cajas apiladas, donde en cada fila, hay una cantidad de cajas igual a la parte de 𝜆asociada. Por ejemplo: 𝜆= (5,4,3,2,1) ⇐⇒ Decimos que 𝜆es la forma del diagrama. Definición 2.1.2. Un tableau de Young relleno de números enteros no negativos se llama semi-estándar si sus entradas son crecientes por filas y estrictamente crecientes por columnas. Se llama estándar si son estrictamente crecientes por filas y columnas y no hay repeticiones. Por ejemplo: 3 2 3 112 es un tableau semi-estándar 6 4 5 123 es un tableau estándar Observación 2.1.3.Dada una partición 𝜆⊢𝑛, hay un número finito de tableau estándar y semi-estándar de forma 𝜆con entradas menores o iguales que 𝑛. Definición 2.1.4. Diremos que un tableau (no necesariamente estándar), 𝑡, de forma 𝜆⊢𝑛es inyectivo si sus entradas están en {1,…, 𝑛}y no hay repeticiones. Denotaremos por Iny(𝜆)al conjunto de tableaux inyectivos de forma 𝜆. Podemos definir una acción izquierda de 𝕊𝑛sobre Iny(𝜆). Dada 𝜎, una permutación en 𝕊𝑛, y 𝑡∈ Iny(𝜆), definimos 𝜎𝑡 como el tableau resultante de intercambiar cada entrada 𝑖en 𝑡por la entrada 𝜎(𝑖). Por ejemplo: (13)(24) ⋅1 5 2 3 4 =3 5 4 1 2 Con esta acción izquierda, de acuerdo con el lema 1.1.9, podemos considerar a ℂ[Iny(𝜆)] como un 𝕊𝑛–módulo. Sin embargo, nos centraremos en 𝕊𝑛–submódulos más específicos. 2. representaciones irreducibles de 𝕊𝑛19 Definición 2.1.5. Dado 𝑡un tableau inyectivo de forma 𝜆 ⊢ 𝑛, definimos el subgrupo fila de Young de 𝑡,𝑅𝑡, como el subgrupo de 𝕊𝑛tal que 𝜎𝑡 tiene las mismas entradas por filas que 𝑡, para todo 𝜎∈𝑅𝑡. De igual forma, definimos 𝐶𝑡, el subgrupo columna de Young de 𝑡, como el subgrupo de 𝕊𝑛tal que 𝜎𝑡 tiene las mismas entradas por columnas que 𝑡, para todo 𝜎∈𝐶𝑡. Observación 2.1.6.Los subgrupos 𝑅𝑡,𝐶𝑡permutan elementos en la misma fila o misma columna de 𝑡, respectivamente. Son, por tanto, los productos cartesianos de los grupos simétricos en los elementos de 𝑡por filas o columnas, respectivamente. Como ejemplo, para el tableau anterior: 𝑡=1 5 2 3 4 ⇐⇒ {𝑅𝑡=𝕊{2,3,4} ×𝕊{1,5} 𝐶𝑡=𝕊{1,2} ×𝕊{3,5} Lema 2.1.7.Para todo tableau inyectivo 𝑡de forma 𝜆 ⊢ 𝑛 y𝜎∈𝕊𝑛, se cumplen las siguientes propiedades: 1. 𝑅𝜎𝑡 =𝜎𝑅𝑡𝜎−1 2. 𝐶𝜎𝑡 =𝜎𝐶𝑡𝜎−1 3. Si 𝜎∈𝑅𝑡, entonces 𝑅𝜎𝑡 =𝑅𝑡. 4. Si 𝜎∈𝐶𝑡, entonces 𝐶𝜎𝑡 =𝐶𝑡. Demostración. El resultado se desprende del siguiente hecho básico en 𝕊𝑛: si 𝜏∈𝕊𝑛, con 𝜏= (𝑘1𝑘2…𝑘𝑟), entonces 𝜎𝜏𝜎−1 = (𝜎(𝑘1)𝜎(𝑘2) … 𝜎(𝑘𝑟)). Luego si 𝜏∈𝑅𝑡permuta entradas en las mismas filas en 𝑡,𝜎𝜏𝜎−1 lo hará en 𝜎𝑡. Del mismo razonamiento se sigue la igualdad en 𝐶𝑡. Las dos últimas propiedades se siguen de las anteriores. Definición 2.1.8. Dado 𝑡∈ Iny(𝜆), definimos en ℂ𝕊𝑛las siguientes combinaciones lineales: 𝑅+ 𝑡=∑ 𝜎∈𝑅𝑡 𝜎 𝐶− 𝑡=∑ 𝜎∈𝐶𝑡 sgn(𝜎)𝜎 llamados simetrizador de filas de t yantisimetrizador de columnas de t, respectivamente. Definición 2.1.9. Dado un 𝑡tableau inyectivo de forma 𝜆, definimos su tabloide asociado, [𝑡], como: [𝑡]=(𝑅+ 𝑡)𝑡∈ℂ[Iny(𝜆)] Denotemos por Tab(𝜆)al conjunto de los distintos tabloides de forma 𝜆. 26 tableaux, representaciones y la dualidad de schur-weyl Lema 2.3.6.Sean 𝜆,𝜇 ⊢ 𝑛, y sean 𝑡y𝑠tableaux inyectivos de formas 𝜆y𝜇, respectivamente. Supongamos que no se cumple 𝜆 ⊳ 𝜇. Entonces exactamente uno de los dos ocurre: 1. Existen 𝑖≠𝑗que están en una misma fila de 𝑠y en una misma columna de 𝑡. 2. 𝜆=𝜇y existen 𝜎∈𝐶𝑡y𝜏∈𝑅𝑠tales que 𝜎𝑡 =𝜏𝑠 Demostración. Si no ocurre 1, consideremos los elementos de la primera fila de 𝑠. Todos esos elementos deben estar en distintas columnas de 𝑡. Tomemos entonces 𝜎1∈ 𝐶𝑡tal que esos elementos estén en la primera fila de 𝜎1𝑡. Ahora repetimos el proceso: para los elementos de la segunda fila de 𝑠, existe 𝜎2∈𝐶𝑡, de forma que no modifique los elementos de la primera fila de 𝜎1𝑡, tal que 𝜎2𝜎1𝑡tenga en su segunda fila los mismos elementos que 𝑠. Podemos repetir el proceso para todas las filas de 𝑠, obteniendo 𝜎𝑙𝜎𝑙−1 …𝜎1𝑡∶= 𝜎𝑡 y𝑠con los mismos elementos en las mismas filas. Notemos que todo el proceso ha sido posible, lo cual significa que 𝜆1≥𝜇1,𝜆2≥ 𝜇2,…y por ello, 𝜆⊵𝜇. Pero por hipótesis solo puede darse la igualdad, es decir, 𝜆=𝜇. Además, como [𝜎𝑡]=[𝑠]por construcción, tenemos que existe 𝜏∈𝑅𝑠con 𝜎𝑡 =𝜏𝑠. Lema 2.3.7.Sean 𝑡y𝑠tableaux inyectivos de formas 𝜆y𝜇. Si 𝐶− 𝑡[𝑠]≠0 ∈ 𝜇, entonces 𝜆⊵𝜇. Además, si 𝜆=𝜇, entonces 𝐶− 𝑡[𝑠] = ±Δ𝑡. Demostración. Sean 𝑖≠𝑗de una misma fila de 𝑠. Veamos que no pueden estar en una misma columna de 𝑡. En efecto, si estuvieran, tendríamos que (𝑖, 𝑗) ∈ 𝐶𝑡. Denotemos 𝐾= {𝜖, (𝑖, 𝑗)} ⊆ 𝐶𝑡como subgrupo. Tomando las clases laterales derechas, {𝑔1𝐾, …, 𝑔𝑙𝐾}, tenemos que todo elemento de 𝐶𝑡se escribe de forma única como 𝑔𝑟𝑥para 𝑥∈𝐾. Así: Δ𝑡= (𝐶− 𝑡)[𝑠] = ∑ 𝜎∈𝐶𝑡 sgn(𝜎)𝜎[𝑠] = 𝑙 ∑ 𝑟=1 ∑ 𝑥∈𝐾 sgn(𝑔𝑟𝑥)(𝑔𝑟𝑥)[𝑠] = = 𝑙 ∑ 𝑟=1 sgn(𝑔𝑟)𝑔𝑟[𝑠] − sgn(𝑔𝑟)𝑔𝑟(𝑖, 𝑗)[𝑠] = 𝑙 ∑ 𝑟=1 sgn(𝑔𝑟)𝑔𝑟[𝑠] − sgn(𝑔𝑟)𝑔𝑟[𝑠]=0 Donde hemos usado que sgn(𝑔𝑟(𝑖, 𝑗)) = − sgn(𝑔𝑟)y que (𝑖, 𝑗) ∈ 𝑅𝑠. Esto contradice nuestra hipótesis, luego 𝑖,𝑗aparecen en diferentes columnas de 𝑡. Notemos que el mismo proceso de la demostración del lema anterior permite concluir que 𝜆⊵𝜇. 2. representaciones irreducibles de 𝕊𝑛27 Si ahora 𝜆=𝜇, estamos en las condiciones del apartado 2 del lema anterior y sabemos que 𝜎𝑡 =𝜏𝑠, para 𝜎∈𝐶𝑡y𝜏∈𝑅𝑠. Con ello, [𝑠]=[𝜏𝑠]=[𝜎𝑡] = 𝜎[𝑡]y: 𝐶− 𝑡[𝑠] = ∑ 𝜇∈𝐶𝑡 sgn(𝜇)𝜇[𝑠] = ∑ 𝜇∈𝐶𝑡 sgn(𝜇)(𝜇𝜎)[𝑡] = sgn(𝜎)∑ 𝜇∈𝐶𝑡 sgn(𝜇𝜎)(𝜇𝜎)[𝑡] = = sgn(𝜎)∑ 𝑥∈𝐶𝑡 sgn(𝑥)𝑥[𝑡] = sgn(𝜎)Δ𝑡 Como queríamos. Teorema 2.3.8 (Irreducibilidad). Sea 𝜆una partición de 𝑛. Entonces el módulo de Specht, 𝜆, es un 𝕊𝑛–módulo irreducible. Demostración. Sea 𝑡un tableau inyectivo cualquiera. Claramente tenemos que (𝐶− 𝑡)𝜆 ⊇(𝐶− 𝑡)𝜆⊇ℂ[Δ𝑡]. Aquí estamos denotando (𝐶− 𝑡)𝜆= {(𝐶− 𝑡)𝑥|𝑥∈𝜆}, y de misma manera con 𝜆. Por el lema 2.3.7, tenemos que dado un tabloide [𝑠]de forma 𝜆, se da (𝐶− 𝑡)[𝑠] = ±Δ𝑡. Como los tabloides forman una base de 𝜆como ℂ-espacio vectorial, se da la igualdad (𝐶− 𝑡)𝜆=ℂ[Δ𝑡]=(𝐶− 𝑡)𝜆. Ahora bien, supongamos que 𝜆=𝑉 ⊕ 𝑊 para 𝑉,𝑊dos 𝕊𝑛–módulos no triviales. Entonces: ℂ[Δ𝑡]=(𝐶− 𝑡)𝜆= (𝐶− 𝑡)𝑉 ⊕ (𝐶− 𝑡)𝑊 Luego, o bien Δ𝑡∈ (𝐶− 𝑡)𝑉 ⊆ 𝑉 o bien Δ𝑡∈ (𝐶− 𝑡)𝑊 ⊆ 𝑊 . Pero Δ𝑡es un generador de 𝜆como 𝕊𝑛–módulo cíclico. Luego 𝜆⊆ 𝑉 o𝑊. Esto contradice que ninguno de ellos sea trivial. Lema 2.3.9.Sean particiones 𝜆,𝜇 ⊢ 𝑛. Supongamos que exista un homomorfismo 𝑓∶𝜆←→ 𝜇de 𝕊𝑛–módulos no nulo. Entonces, debe darse 𝜆⊵𝜇. Más aún, si 𝜆=𝜇,𝑓es un múltiplo de la inclusión 𝜆→ 𝜆. Demostración. Como los Δ𝑡son un sistema generador de 𝜆como espacio vectorial, debe existir un tableau inyectivo 𝑡, tal que 𝑓(Δ𝑡)≠0. Luego tenemos que: 0≠𝑓(Δ𝑡) = 𝑓((𝐶− 𝑡)[𝑡]) = (𝐶− 𝑡)𝑓([𝑡]) Como 𝑓([𝑡]) ∈ 𝜇, es combinación lineal de tabloides de forma 𝜇, debe existir [𝑠] ∈ 𝜇tal que (𝐶− 𝑡)[𝑠]≠0. Por el lema 2.3.7, tenemos que 𝜆⊵𝜇. 28 tableaux, representaciones y la dualidad de schur-weyl Para la otra parte de la demostración, tenemos que existe 𝑐∈ℂno nulo tal que: 𝑓(Δ𝑡)=(𝐶− 𝑡)𝑓([𝑡]) = 𝑐Δ𝑡 Esto es consecuencia del lema 2.3.7, pues podemos expresar 𝑓([𝑡]) = ∑[𝑠]𝑎[𝑠][𝑠], y (𝐶− 𝑡)[𝑠]=0,±Δ𝑡; luego dicho 𝑐existe. Es no nulo pues 𝑓(Δ𝑡)≠0por hipótesis. Además, para 𝜎∈𝕊𝑛: 𝑓(Δ𝜎𝑡) = 𝜎𝑓(Δ𝑡) = 𝑐𝜎Δ𝑡=𝑐Δ𝜎𝑡 Como 𝑓es un múltiplo de la inclusión en un sistema generador de 𝜆, lo es también en todo 𝜆. Teorema 2.3.10. Sean 𝜆,𝜇dos particiones de 𝑛. Los módulos de Specht 𝜆y𝜇son isomorfos como 𝕊𝑛–módulos si y sólo si 𝜆=𝜇. Además, el conjunto {𝜆|𝜆⊢𝑛}, es un conjunto completo de clases de isomorfía de 𝕊𝑛–módulos irreducibles. Demostración. Sea 𝜙∶𝜆←→ 𝜇un isomorfismo. Podemos ver 𝜙como un homomorfismo: 𝜆←→ 𝜇. Estamos entonces en las condiciones del lema 2.3.9, luego 𝜆⊵𝜇. El mismo razonamiento con 𝜙−1, concluye que 𝜇⊵𝜆. Luego 𝜆=𝜇. Hemos obtenido una representación irreducible por cada clase de conjugación de 𝕊𝑛. Además, dos distintas entre sí no son isomorfas. En virtud del teorema 1.5.1, todo 𝕊𝑛–módulo irreducible es isomorfo a uno de los módulos de Specht. Por tanto, hemos encontrado todas las clases de isomorfía de 𝕊𝑛-módulos irreducibles. 2.4 La descomposición de 𝜆a través del anillo de representaciones Hemos encontrado los módulos de Specht como submódulos de los 𝜆. El objetivo de esta sección es obtener la multiplicidad de cada módulo de Specht dentro de 𝜆. Podemos dar un resultado básico acerca de nuestro objetivo. Lema 2.4.1.Si 𝜆es una partición de 𝑛, en la descomposición de 𝜆en submódulos irreducibles: 𝜆=⨁ 𝜇⊢𝑛 𝑎𝜆,𝜇𝜇, los coeficientes 𝑎𝜆,𝜇 son nulos salvo que 𝜇⊵𝜆. Además, 𝑎𝜆,𝜆 = 1. 2. representaciones irreducibles de 𝕊𝑛29 Demostración. Supongamos que 𝜇aparece en la descomposición de 𝜆. Entonces la inclusión 𝜇→ 𝜆es un homomorfismo no nulo de 𝕊𝑛-módulos. Por el lema 2.3.9, debe darse 𝜇⊵𝜆. Durante la demostración del teorema 2.3.8 habíamos obtenido la igualdad: (𝐶− 𝑡)𝜆 = (𝐶− 𝑡)𝜆=ℂ[Δ𝑡], para cualquier tableau inyectivo 𝑡. El lema 2.3.7 permite concluir que una identidad similar para 𝜇 ⊳ 𝜆. Si 𝑡es un tableau inyectivo de forma 𝜆, entonces 0⊆(𝐶− 𝑡)𝜇⊆(𝐶− 𝑡)𝜇= 0. En caso contrario, entraríamos en contradicción con 2.3.7. Entonces, si: 𝜆=⨁ 𝜇⊢𝑛 𝑎𝜆,𝜇𝜇,multiplicando por 𝐶− 𝑡∶ ℂ[Δ𝑡] = 𝑎𝜆,𝜆ℂ[Δ𝑡] Y por dimensiones, 𝑎𝜆,𝜆 = 1. Para hallar el resto de los coeficientes 𝑎𝜆,𝜇, introducimos el anillo de representaciones de 𝕊𝑛. Definición 2.4.2. Definamos 𝑅𝑛como el conjunto de combinaciones formales de clases de isomorfía de representaciones irreducibles de 𝕊𝑛sobre ℤ. Como {[𝜆]} es un conjunto completo de representaciones irreducibles de 𝕊𝑛, se da: 𝑅𝑛={∑ 𝜆⊢𝑛 𝑎𝜆[𝜆]|𝑎𝜆∈ℤ}𝑅𝑛tiene estructura de grupo abeliano. Los 𝑅𝑛son grupos abelianos aditivos con la operación usual de suma y resta. Como toda representación de 𝕊𝑛se descompone como una suma directa de los 𝜆, si 𝑉=⊕𝜆𝑎𝜆𝜆, podemos definir un elemento en 𝑅𝑛de la forma natural: [𝑉] = ∑𝜆𝑎𝜆𝜆. Equivalentemente, si 𝑉,𝑊son representaciones de 𝕊𝑛, tenemos que [𝑉 ⊕ 𝑊 ]=[𝑉]+[𝑊]. Definición 2.4.3. Definimos el anillo de representaciones,𝑅, como: 𝑅= ∞ ⨁ 𝑛=0 𝑅𝑛,donde 𝑅0=ℤ cuyo producto podemos definir para representaciones y extender por linealidad: ◦∶𝑅𝑛×𝑅𝑘←→ 𝑅𝑛+𝑘 [𝑉]◦[𝑊] = [(𝑉 ⊗ 𝑊 )↑𝕊𝑛+𝑘 𝕊𝑛×𝕊𝑘] 30 tableaux, representaciones y la dualidad de schur-weyl Aquí, estamos tomando 𝑉 ⊗ 𝑊 como representación de 𝕊𝑛×𝕊𝑘de la manera natural: (𝜎, 𝜏)(𝑣⊗𝑤)=(𝜎𝑣)⊗(𝜏𝑤)para 𝜎∈𝕊𝑛, 𝜏 ∈𝕊𝑘 Este producto convierte a 𝑅en un anillo graduado conmutativo con unidad. Dado que {[𝜆]}𝜆⊢𝑛 son una base de 𝑅, podemos definir un producto escalar sobre 𝑅: ⟨[𝜆],[𝜇]⟩={1si 𝜆=𝜇 0si no Nuestro siguiente objetivo es relacionar este anillo graduado 𝑅con el anillo de funciones simétricas Λcon coeficientes en ℤ. Durante el resto de esta sección daremos por conocidos resultados básicos sobre las funciones simétricas, expuestos en el apéndice A. Definición 2.4.4. Para cada 𝑛, definimos los homomorfismos de grupos: 𝑛∶𝑅𝑛⊗ℚ←→ Λ𝑛⊗ℚ 𝑛([𝑉]) = ∑ 𝜇⊢𝑛 𝜒(𝜇)𝑝𝜇 𝑧𝜇 donde 𝑉es una representación de 𝕊𝑛y𝜒(𝜇)es el carácter de 𝑉evaluado en la clase de conjugación asociada a 𝜇. La definición de 𝑛para el resto de elementos se toma por extensión lineal. La característica de Frobenius se define como la suma directa de estos homomorfismos: =⊕∞ 𝑛=0𝑛. ∶𝑅 ⊗ ℚ←→ Λ⊗ℚ Las definiciones de Λ𝑛yΛvienen en A.1.2, A.1.3. Las funciones 𝑝𝜇son las series de potencias definidas en A.1.4. A continuación probaremos que la característica de Frobenius es un isomorfismo de anillos graduados. Lema 2.4.5.Dadas 𝑉,𝑊, representaciones de 𝕊𝑛y𝕊𝑚se cumple: ([𝑉]◦[𝑊]) = ([𝑉])([𝑊]) Es decir, es un homomorfismo de anillos. Teorema 2.4.6. La característica de Frobenius es un isomorfismo isométrico entre anillos graduados. Más aún, ([𝜆]) = ℎ𝜆y([𝜆]) = 𝑠𝜆(Ver A.1.4, A.1.9). 2. representaciones irreducibles de 𝕊𝑛31 Demostración. Por el lema anterior, es un homomorfismo de anillos, y es sencillo ver que, efectivamente, respeta grados. Tomemos primero 𝑘≥1. Hemos mencionado ya que (𝑘)es isomorfo a la representación trivial de 𝕊𝑘. Esto es, pues todo tableau 𝑡de forma (𝑘)cumple 𝑅𝑡=𝕊𝑘y por ello, (𝑘)=ℂ[𝑡]para cualquier 𝑡de forma (𝑘). Además, 𝕊𝑘actúa de forma trivial sobre [𝑡], luego (𝑘)≅𝟙. Como (𝑘)≅𝟙, se da que 𝜒(𝑘)(𝜇)=1para toda 𝜇∈𝕊𝑛. Luego: ((𝑘)) = ∑ 𝜇⊢𝑘 1𝑝𝜇 𝑧𝜇 =ℎ𝑘,por la proposición 𝐴.1.8 Sea ahora 𝜆= (𝜆1,…, 𝜆𝑘)⊢ 𝑛. Como el producto tensorial de representaciones triviales cumple: 𝟙𝕊𝜆1 ⊗⋯⊗𝟙𝕊𝜆𝑘 =𝟙𝕊𝜆1×⋯×𝕊𝜆𝑘 Obtenemos: [𝜆]=[𝜆1]◦…◦[𝜆𝑘] gracias a la proposición 2.2.3. Ahora simplemente aplicamos el lema 2.4.5 y obtenemos que: ([𝜆]) = ℎ𝜆1⋅…⋅ℎ𝜆𝑘=ℎ𝜆(ver definición A.1.4 ) Del lema 2.4.1, sabemos que 𝜆=𝜆⊕𝜇⊳𝜆 𝑎𝜆,𝜇𝜇, luego: [𝜆]=[𝜆] − ∑ 𝜇⊳𝜆 𝑎𝜆,𝜇[𝜇] Luego, por recursión, existen coeficientes 𝑐𝜆,𝜇 tales que [𝜆]=[𝜆] + ∑𝜇⊳𝜆 𝑐𝜆,𝜇[𝜇]. Esto demuestra que los [𝜆]son también una base de 𝑅 ⊗ ℚ. Entonces la imagen por de una base de 𝑅 ⊗ ℚes una base de Λ⊗ℚ. Luego es isomorfismo. Para demostrar la isometría, sean 𝑉=⊕𝜆𝑎𝜆𝜆y𝑊=⊕𝜇𝑏𝜇𝜇. Tenemos: ⟨([𝑉]),([𝑊])⟩=⟨∑ 𝜆⊢𝑛 𝜒𝑉(𝜆)𝑝𝜆 𝑧𝜆 ,∑ 𝜇⊢𝑛 𝜒𝑊(𝜇)𝑝𝜇 𝑧𝜇⟩= =∑ 𝜆,𝜇⊢𝑛 𝜒𝑉(𝜆)𝜒𝑊(𝜇)1 𝑧𝜆𝑧𝜇⟨𝑝𝜆, 𝑝𝜇⟩=∑ 𝜆⊢𝑛 𝜒𝑉(𝜆)𝜒𝑊(𝜆)1 𝑧𝜆 =1 𝑛!∑ 𝜎∈𝕊𝑛 𝜒𝑉(𝜎)𝜒𝑊(𝜎−1) = =⟨𝜒𝑉, 𝜒𝑊⟩=⟨∑ 𝜆 𝑎𝜆𝜒𝜆,∑ 𝜇 𝑏𝜇𝜒𝜇⟩=∑ 𝜆,𝜇⊢𝑛 𝑎𝜆𝑏𝜆=⟨∑ 𝜆 𝑎𝜆[𝜆],∑ 𝜇 𝑏𝜇[𝜇]⟩= =⟨[𝑉],[𝑊]⟩ 32 tableaux, representaciones y la dualidad de schur-weyl Donde hemos utilizado las definiciones de los productos escalares pertinentes, la proposición A.1.12 y el hecho de que los caracteres de representaciones irreducibles son ortogonales. Por último, veamos que (𝜆) = 𝑠𝜆(ver definición A.1.9). Volvamos a la expresión: [𝜆]=[𝜆] + ∑ 𝜇⊳𝜆 𝑐𝜆,𝜇[𝜇] Tomando característica de Frobenius: ([𝜆]) = ℎ𝜆+∑ 𝜇⊳𝜆 𝑐𝜆,𝜇ℎ𝜇 y, por la proposición A.1.11, sustituyendo los ℎ𝜇, existen coeficientes 𝑑𝜆,𝜇 enteros tales que: ([𝜆]) = 𝑠𝜆+∑ 𝜇⊳𝜆 𝑑𝜆,𝜇𝑠𝜇 Usando que es una isometría y que la proposición A.1.12 asegura que las 𝑠𝜆son ortogonales: 1 = ⟨𝜆,𝜆⟩=⟨(𝜆),(𝜆)⟩= 1 + ∑ 𝜇⊳𝜆 𝑑2 𝜆,𝜇 Como los 𝑑𝜆,𝜇 son enteros, solo puede darse 𝑑𝜆,𝜇 = 0. Luego ([𝜆]) = 𝑠𝜆. Corolario 2.4.7.Para cada partición 𝜆, la descomposición de 𝜆en representaciones irreducibles, es: 𝜆=⨁ 𝜇⊵𝜆 𝐾𝜆,𝜇𝜇 donde los 𝐾𝜆,𝜇 son los coeficientes de Kostka (A.1.10). Demostración. Basta tomar en la descomposición 𝜆=⊕𝜇⊵𝜆𝑎𝜆,𝜇𝜇para obtener ℎ𝜆=∑𝜇⊵𝜆𝑎𝜆,𝜇𝑠𝜇. Por la proposición A.1.11, debemos tener 𝑎𝜆,𝜇 =𝐾𝜆,𝜇. Corolario 2.4.8.Los caracteres de 𝜆y𝜆cumplen: ℎ𝜆=∑ 𝜇⊢𝑛 𝜒𝜆(𝜇) 𝑧𝜇 𝑝𝜇𝑠𝜆=∑ 𝜇⊢𝑛 𝜒𝜆(𝜇) 𝑧𝜇 𝑝𝜇 Es decir, son los coeficientes de las expresiones de ℎ𝜆y𝑠𝜆en función de los 𝑝𝜇 𝑧𝜇 . Demostración. Basta fijarse en ([𝜆]) = ℎ𝜆y([𝜆]) = 𝑠𝜆. 2. representaciones irreducibles de 𝕊𝑛33 2.5 La base de 𝜆 Por construcción, una base de 𝜆es el conjunto de distintos tabloides de forma 𝜆, Tab(𝜆). Hallar una base de 𝜆permitiría trabajar de forma explícita con sus elementos, además, sabiendo su dimensión, obtendremos las multiplicidades en la descomposición de ℂ𝕊𝑛en 𝕊𝑛–submódulos irreducibles. Utilizaremos un orden total sobre tableaux inyectivos introducido por Fulton [3]. Definición 2.5.1. Dado un tableau inyectivo, 𝑡, definimos su palabra por columnas,𝑝𝑡, como la palabra obtenida a partir de la lectura de sus entradas, por columnas, de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo. Por ejemplo, las palabras por columna de los tableau siguientes serían: 𝑡=1 4 2 5 3 ⇐⇒ 𝑝𝑡= (1,2,4,5,3) 𝑠=5 3 1 4 2 ⇐⇒ 𝑝𝑠= (5,1,3,4,2) Lema 2.5.2.Sea 𝜆una partición de 𝑛. Definimos un orden total sobre los tableaux inyectivos: 𝑡 > 𝑠 si la entrada más grande que está en diferentes casillas en 𝑡y𝑠 aparece antes en 𝑝𝑡que en 𝑝𝑠. Entonces, si 𝑡es un tableau estándar, se cumple: 1. 𝜎𝑡 ≥𝑡para 𝜎∈𝑅𝑡. 2. 𝑡≥𝜏𝑡 para 𝜏∈𝐶𝑡. Demostración. Es sencillo ver que efectivamente se trata de un orden total sobre Iny(𝜆). Para ver que verifica las dos propiedades enunciadas, basta darse cuenta de que, si 𝜎∈𝑅𝑡, la mayor entrada que se mueva por 𝜎, se moverá hacia la izquierda, ya que a su derecha solo hay entradas mayores. Luego aparecerá antes en la palabra por columnas. Análogamente, la mayor entrada que se mueva por 𝜏∈𝐶𝑡, lo hará hacia abajo, pues encima solo hay entradas mayores. Aparecerá, entonces, después en la palabra por columnas. El siguiente corolario nos será de utilidad en esta sección y en la siguiente. Corolario 2.5.3.Sea 𝑇un conjunto de tableaux estándar de forma 𝜆. Tomemos 𝑡= m ın{𝑠∈𝑇}utilizando el orden del lema 2.5.2 sobre Iny(𝜆). Entonces en la combinación lineal (𝐶− 𝑡)(𝑅+ 𝑡)𝑡no aparece ningún otro elemento de 𝑇 que no sea 𝑡. 34 tableaux, representaciones y la dualidad de schur-weyl Demostración. Supongamos que apareciera otro 𝑠∈𝑇. Entonces 𝑠=𝜎𝜏𝑡 para 𝜏∈ 𝑅𝑡y𝜎∈𝐶𝑡. Por propiedades de los subgrupos de Young, se cumple 𝑅𝑠=𝑅𝜎𝑡 = 𝜎𝑅𝑡𝜎−1. Además: 𝜎−1𝑠=𝜏𝑡 ⇐⇒ (𝜎𝜏−1𝜎−1)𝑠=𝜎𝑡 Luego tenemos que 𝛽=𝜎𝜏−1𝜎−1 ∈𝑅𝑠. Pero dado el lema 2.5.2, y, como 𝑠>𝑡, tendríamos 𝛽𝑠 ≥𝑠>𝑡≥𝜎𝑡. Luego 𝛽𝑠 ≠𝜎𝑡. Luego ningún otro tableau estándar mayor que 𝑡puede aparecer en (𝐶− 𝑡)(𝑅+ 𝑡)𝑡. Deduciremos una base de 𝜆a partir de este corolario y de la combinatoria de tableaux. Teorema 2.5.4. Para cada partición 𝜆, el conjunto {Δ𝑡|𝑡es un tableau estándar} es una base de 𝜆. Demostración. Primero veamos que es un conjunto linealmente independiente. Supongamos que tenemos una combinación lineal: ∑ 𝑡 𝑎𝑡Δ𝑡= 0 Tomando 𝑠= m ın{𝑡|𝑡es un tableau estándar}, por el corolario anterior, el único sumando que contiene a 𝑠es Δ𝑠. Vista la ecuación en 𝜆, en el lado derecho el coeficiente de 𝑠es 0, luego 𝑎𝑠= 0. Podemos entonces reiterar nuestro argumento, eliminando a 𝑠de la lista de tableaux a comprobar, concluyendo con que 𝑎𝑡= 0 para todo tableau estándar 𝑡. Hemos demostrado que {Δ𝑡|𝑡es estándar de forma 𝜆}son linealmente independientes en 𝜆. Luego dim 𝜆≥𝑓𝜆, donde 𝑓𝜆es el número de tableaux estándar de forma 𝜆. Tomando dimensiones en la descomposición de 𝕊𝑛en submódulos irreducibles obtenemos: 𝑛! = |𝕊𝑛|=∑ 𝜆⊢𝑛 (dim 𝜆)2≥∑ 𝜆⊢𝑛 (𝑓𝜆)2 Llegados a este punto, hacemos de nuevo referencia al apéndice. La correspondencia RSK (ver A.3.6) demuestra que ∑𝜆(𝑓𝜆)2=𝑛!, con lo que dim 𝜆=𝑓𝜆para todo 𝜆y {Δ𝑡|𝑡estándar}son una base de 𝜆. Corolario 2.5.5.Tenemos que (1(𝑛))≅ℂ𝕊𝑛. Demostración. Denotemos 𝜇= (1(𝑛)). Por definición 𝐾𝜆,𝜇 (ver A.1.10) es el número de tableaux semi-estándar sin repeticiones. Todo tableau de esta forma es un tableau 2. representaciones irreducibles de 𝕊𝑛35 estándar, luego 𝐾𝜆,𝜇 =𝑓𝜆= dim 𝜆. Con ello, según el teorema 1.5.1 tenemos: 𝜇=⨁ 𝜆 (dim 𝜆)𝜆≅ℂ𝕊𝑛 Ejemplo 2.5.6.Consideremos 𝜆= (1(𝑛)). Para 𝑛= 3, el único tableau estándar 𝑡de forma 𝜆, nos proporciona una base de 𝜆: 𝑡=3 2 1 ⇐⇒ Δ𝑡(𝑥) = 𝑥2 3𝑥2−𝑥2 3𝑥1−𝑥2 2𝑥3−𝑥2 1𝑥2+𝑥2 1𝑥3+𝑥2 2𝑥1 Para estos 𝜆, como 𝐶𝑡=𝕊𝑛para todo tableau 𝑡Iny(𝜆), tenemos que cada 𝜎∈𝕊𝑛 actúa mediante la multiplicación por sgn(𝜎), es decir, 𝜆es la representación alternada (ejemplo 1.2.4). Hemos desarrollado bases explícitas para la representación trivial (𝑛)=(𝑛)y para la representación alternada (1(𝑛)), dentro de la representación regular (1(𝑛)). La representación (𝑛)aparece en el ejemplo 2.2.2 para (𝑛−1,1), aunque su construcción se generaliza a cualquier 𝜆. Sin embargo, para el resto de módulos de Specht, no es directo encontrar las copias de 𝜆dentro de (1(𝑛)). Dedicaremos la sección siguiente a ello. 2.6 Homomorfismos explícitos hacia (1(𝑛)) Esta sección está dedicada a construir de forma explícita los homomorfismos de 𝕊𝑛–módulos, 𝜆→ (1(𝑛))utilizando la base de polinomios Δ𝑡(𝑥)de Bergeron [1]. Hemos desarrollado nuestras construcciones de forma independiente, salvo por una referencia a Sagan [7] en la sección 2.7 y el orden total del lema 2.5.2. A lo largo de la sección, denotemos 𝜇= (1(𝑛)). Antes de comenzar, necesitaremos las definiciones del apéndice que aparecen en A.1.9: Definición 2.6.1. Dada una r-tupla de enteros no negativos, 𝜆= (𝜆1,…, 𝜆𝑟), los determinantes de Vandermonde generalizados,𝑎𝜆, la partición escalera indexada por 𝑛,𝛿𝑛y el polinomio de Schur indexado por 𝜆: 𝑎𝜆(𝑥1,…, 𝑥𝑟) = det ⎛⎜⎜⎜⎜⎝ 𝑥𝜆1 1𝑥𝜆1 2…𝑥𝜆1 𝑟 𝑥𝜆2 1𝑥𝜆2 2…𝑥𝜆2 𝑟 ⋮ ⋮ ⋮ 𝑥𝜆𝑟 1𝑥𝜆𝑟 2…𝑥𝜆𝑟 𝑟 ⎞⎟⎟⎟⎟⎠ 𝛿𝑛= (𝑛− 1, 𝑛 − 2,…,1,0) 𝑠𝜆=𝑎𝜆+𝛿𝑛 𝑎𝛿𝑛 42 tableaux, representaciones y la dualidad de schur-weyl Lema 2.6.10.Sea 𝜓𝑡como en el teorema 2.6.7. Entonces: 𝜓𝑡∶𝜆←→ 𝜇 (𝑅+ 𝑠)𝑠←→ ∑ 𝜎∈𝑅𝑡 𝜃𝜎𝑡(𝑠) Demostración. Si 𝜎∈𝑅𝑠, sea 𝜏∈𝕊𝑛con 𝜎𝑠 =𝑠𝜏. Es fácil comprobar por la definición que elevar 𝑠𝜏 según 𝑡es lo mismo que elevar 𝑠según 𝑡𝜏. Como 𝜏permuta filas de 𝑠, al actuar mediante permutación de posiciones, también permuta las de 𝑡. Luego existe 𝛼∈𝑅𝑡con 𝑡𝜏 =𝛼𝑡 y hemos terminado. Ahora sí, con esta nueva forma de calcular 𝜓𝑡, tenemos expresiones explícitas de los homomorfismos 𝜆←→ 𝜇: 𝜓𝑡(Δ𝑝(𝑥)) = 𝜓𝑡(𝐶− 𝑝𝑥𝑝)=(𝐶− 𝑝)𝜓𝑡(𝑥𝑝)≅(𝐶− 𝑝)𝜓𝑡(𝑅+ 𝑝𝑝) = = (𝐶− 𝑝)∑ 𝜎∈𝑅𝑡 𝜃𝜎𝑡(𝑝)≅(𝐶− 𝑝)∑ 𝜎∈𝑅𝑡 𝑥𝜃𝜎𝑡(𝑝)=∑ 𝜎∈𝑅𝑡 (𝐶− 𝑝)𝑥𝜃𝜎𝑡(𝑝) Concluyendo con el teorema 2.6.6 y denotando 𝑏𝑡 𝑘,𝑢𝑡 𝑘,𝑒𝑡 𝑘y𝑑𝑡 𝑘para los elementos de la definición 2.6.5 utilizando la guía 𝑡, obtenemos: 𝜓𝑡(Δ𝑝(𝑥)) = Δ𝑝(𝑥)∑ 𝜎∈𝑅𝑡[𝜆1 ∏ 𝑘=1 (𝑢𝜎𝑡 𝑘)(𝑠𝑒𝜎𝑡 𝑘[𝑝𝑘])(𝑠(1(|𝐶𝑘|))[𝑝𝑘])𝑏𝜎𝑡 𝑘−1] 𝜓𝑡(Δ𝑝(𝑥)) = Δ𝑝(𝑥)∑ 𝜎∈𝑅𝑡[𝜆1 ∏ 𝑘=1 (𝑢𝜎𝑡 𝑘)(𝑠𝜎𝑡 𝑑𝑘[𝑝𝑘])] Corolario 2.6.11.Sean 𝑝y𝑡tableaux estándar de forma 𝜆. Entonces 𝜓(Δ𝑝(𝑥)) = Δ𝑝(𝑥)𝑓(𝑥), donde: 𝑓(𝑥) = ∑ 𝜎∈𝑅𝑡[𝜆1 ∏ 𝑘=1 (𝑢𝜎𝑡 𝑘)(𝑠𝜎𝑡 𝑑𝑘[𝑝𝑘])] Concluimos la sección con un ejemplo, para ilustrar la construcción que hemos conseguido. 2. representaciones irreducibles de 𝕊𝑛43 Si tenemos: ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ 𝑡=5 6 3 4 1 2 como guía 𝑝=3 6 2 5 1 4 del que elevamos Δ𝑝 ⇐⇒ 𝜓𝑡([𝑝]) = 6 3 5 2 4 1 + 3 6 5 2 4 1 + 6 3 2 5 4 1 + 6 3 5 2 1 4 + 3 6 2 5 4 1 + 3 6 5 2 1 4 + 6 3 2 5 1 4 + 3 6 2 5 1 4 Entonces: 𝜓𝑡(Δ𝑝(𝑥)) = Δ𝑝(𝑥)⋅𝑓(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3,𝑥4, 𝑥5, 𝑥6) donde los colores indican las variables en las que se evalúan las funciones de Schur en el polinomio: 𝑓=𝑠𝑠𝑠+𝑠𝑠𝑠+𝑠𝑠𝑠+𝑠𝑠 𝑠 +𝑠𝑠𝑠+𝑠𝑠 𝑠 +𝑠𝑠 𝑠 +𝑠𝑠 𝑠 𝑓=𝑠𝑠+𝑠𝑠+𝑠𝑠+𝑠𝑠+𝑠𝑠+𝑠𝑠+𝑠𝑠+𝑠𝑠 2.7 Discusión del caso general En un marco más general, los homomorfismos de 𝜆a𝜇, para cualquier 𝜇 ⊴ 𝜆, vienen dados de forma similar, salvo que las guías son ahora tableaux semi-estándar de forma 𝜆y contenido 𝜇. Véase el capítulo 2.9 de [7]. Comentaremos los cambios que esto implica en nuestros cálculos. En primer lugar, la aplicación 𝜃𝑡, debe simplemente redefinirse para que 𝜃𝑡(𝑝)sea un tabloide. Esto era de esperar, puesto que una guía semi-estándar solo indica la fila en la que va un elemento de 𝑝y no la posición exacta dentro de la fila. La expresión de 𝜓𝑡que aparece en el lema 2.6.10 es válida, pero hay que realizar una pequeña modificación. Por un lado, 𝑅𝑡no está bien definido para 𝑡no inyectivo. Además, ahora no todas las permutaciones de elementos en las filas de 𝑡cambian la guía. Por ejemplo, los siguientes tableaux serían las distintas guías que aparecen al elevar un mismo tabloide en 𝜓𝑡según el lema 2.6.10: 𝑡=𝑡1=23 112, 𝑡2=2 3 121, 𝑡3=2 3 2 1 1 𝑡4=3 2 112, 𝑡5=3 2 121, 𝑡6=3 2 2 1 1 Hay 6guías diferentes, en lugar de 3!⋅2! = 12, como pasaría si la guía fuera estándar. 44 tableaux, representaciones y la dualidad de schur-weyl Otra diferencia es que, en ningún momento un sumando de nuestros 𝜓𝑡(Δ𝑠(𝑥)) se anula, sin embargo, sí es posible que esto suceda en el caso general. Esto ocurre cuando dos elementos de 𝑠en la misma columna aparecen en la misma fila en 𝜃𝑡(𝑝). Este fenómeno se refleja en las guías, si una guía tiene dos elementos iguales en la misma columna, 𝜃𝑡(Δ𝑝(𝑥)) es nulo. Para las guías anteriores, esto ocurriría para 𝑡3y 𝑡5. Por último; a la hora del cálculo explícito, el mismo teorema 2.6.6 sigue siendo cierto. A la hora de relacionar Δ𝑝(𝑥)y(𝐶− 𝑝)𝑥𝜃𝑡(𝑝), la única información que nos interesa es los exponentes de las variables y la reordenación de éstas. El hecho de que la guía sea semi-estándar no afecta al análisis que hemos hecho. Para la obtención de 𝑒𝑘mediante comparación de 𝑝y𝜃𝑡(𝑝), basta cambiar "elementos que no sean de la 𝑘-ésima columna de p" por "filas donde no haya elementos de la 𝑘-ésima columna de 𝑝". Si en algún momento obtuviéramos un espaciado que no podamos considerar como partición, esto indica que, el sumando de 𝜓𝑡(Δ𝑠)correspondiente a esa guía es nulo. La obtención del resto de elementos mediante comparación es fácil de adaptar al hecho de tener guías semi-estándar. Pongamos un último ejemplo para ilustrar el caso general. ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 𝑡=2 3 1 1 2 como guía 𝑝=3 5 1 2 4 para elevar Δ𝑝 ⇐⇒ 𝜓𝑡([𝑝]) = 5 3 4 1 2 +5 3 2 1 4 +5 3 1 2 4 +3 5 4 1 2 +3 5 2 1 4 +3 5 1 2 4 Luego: 𝜓𝑡(Δ𝑠(𝑥)) = Δ𝑝(𝑥)𝑓(𝑥1, 𝑥3,𝑥2, 𝑥5,𝑥4) para: 𝑓=𝑠𝑠+𝑠+0+𝑠𝑠+0+𝑠 𝑓=𝑠𝑠+𝑠+𝑠𝑠+𝑠 3 Representaciones del grupo lineal general En este capítulo, nos introducimos en la teoría de las representaciones de 𝐺𝐿(𝑛)a través del punto de vista combinatorio, es decir, a través de las representaciones de 𝕊𝑛, gracias a los módulos de Weyl. Referencias para este capítulo son Bump [2], Fulton [3] y especialmente Fulton-Harris [4]. Calcularemos las representaciones polinomiales irreducibles del grupo lineal general de un ℂ-espacio vectorial de dimensión finita. La definición de representación polinomial está dada en la definición 1.1.1. A lo largo de esta sección, dado 𝑉un espacio vectorial de dimensión 𝑛, trabajaremos con la identificación 𝐴𝑢𝑡(𝑉) = 𝐺𝐿(𝑛), obtenida al fijar una base de 𝑉. 3.1 Productos tensoriales Para comenzar nuestro estudio, introduciremos unas variantes del producto tensorial de espacios vectoriales habitual. Más adelante veremos una fuerte conexión con representaciones del grupo simétrico. Definición 3.1.1. Sea 𝑉un ℂ-espacio vectorial y denotemos por ⊗𝑘𝑉el producto tensorial 𝑉 ⊗ ⋯⊗ 𝑉 ,𝑘veces. Se define la 𝑘-ésima potencia simétrica de 𝑉como el cociente: ∨𝑘𝑉=⊗𝑘𝑉∕sim donde sim es el subespacio generado por todos los elementos de la forma 𝑣1⊗⋯⊗ 𝑣𝑘− 𝑣𝜎(1) ⊗⋯⊗ 𝑣𝜎(𝑘), donde 𝜎recorre 𝕊𝑘y𝑣1,…, 𝑣𝑘∈𝑉. Sus elementos se denotan 𝑣1∨⋯∨𝑣𝑘. Además, dada una base {𝜉1,…, 𝜉𝑛}de 𝑉, 46 tableaux, representaciones y la dualidad de schur-weyl es bien conocido que una base de ∨𝑘𝑉es {𝜉𝑖1∨⋯∨𝜉𝑖𝑘|1≤𝑖1≤⋯≤𝑖𝑘≤𝑛}. Su dimensión es, por tanto, (𝑛+𝑘−1 𝑘). Asimismo, se define la 𝑘-ésima potencia exterior de 𝑉como el cociente: ∧𝑘𝑉=⊗𝑘𝑉∕alt donde alt es el subespacio generado por todos los elementos de la forma 𝑣1⊗⋯⊗ 𝑣𝑘− sgn(𝜎)(𝑣𝜎(1) ⊗⋯⊗ 𝑣𝜎(𝑘)), donde 𝜎recorre 𝕊𝑘y𝑣1,…, 𝑣𝑘∈𝑉. Sus elementos se denotan 𝑣1∧⋯∧𝑣𝑘. Además, dada una base {𝜉1,…, 𝜉𝑛}de 𝑉, es fácil comprobar que una base de ∧𝑘𝑉es {𝜉𝑖1∧⋯∧𝜉𝑖𝑘|1≤𝑖1<⋯< 𝑖𝑘≤𝑛}. Su dimensión es, por tanto, (𝑛 𝑘). Proposición 3.1.2. Los diferentes productos tensoriales ⊗𝑘𝑉,∨𝑘𝑉y∧𝑘𝑉tienen estructura de 𝐺𝐿(𝑛)-módulo, bajo la acción 𝐴(𝑣1⊗⋯⊗ 𝑣𝑘)=(𝐴𝑣1)⊗⋯⊗(𝐴𝑣𝑘) de 𝐺𝐿(𝑛)sobre ⊗𝑘𝑉y la acción inducida por ésta sobre los cocientes ∨𝑘𝑉y∧𝑘𝑉. Dicha acción define una representación polinomial de 𝐺𝐿(𝑛). Además, los caracteres de ∨𝑘𝑉y∧𝑘𝑉son los polinomios simétricos ℎ𝑘y𝑒𝑘(ver definición A.2.1). Demostración. La representación 𝐺𝐿(𝑛)←→ 𝐺𝐿(𝑛)tautológica es la representación Aut(𝑉)←→ 𝐺𝐿(𝑛), tras la elección de una base de 𝑉. Es claro entonces que 𝑉es una representación polinomial de 𝐺𝐿(𝑛). La representación matricial dada ⊗𝑘𝑉, envía 𝐴∈𝐺𝐿(𝑛)al producto tensorial ⊗𝑘𝐴, y por tanto es polinomial. La prueba de que ∨𝑘𝑉y∧𝑘𝑉son, de hecho, 𝐺𝐿(𝑛)-módulos la conforman las proposiciones 3.2.3 y 3.2.2. Los caracteres se pueden calcular de forma explícita. Tomemos bases {𝑣𝑖1∨⋯∨𝑣𝑖𝑘} y{𝑣𝑖1∧⋯∧𝑣𝑖𝑘}y tomemos 𝐴= diag(𝑥1,…, 𝑥𝑛), la matriz diagonal respecto de {𝑣1,…, 𝑣𝑛}de un automorfismo de 𝑉. Entonces, como: 𝐴(𝑣𝑖1⊗⋯⊗ 𝑣𝑖𝑘)=(𝐴𝑣𝑖1)⊗⋯⊗(𝐴𝑣𝑖𝑘) = 𝑥𝑖1…𝑥𝑖𝑘(𝑣𝑖1⊗⋯⊗ 𝑣𝑖𝑘) Lo mismo ocurre sobre las bases de ∨𝑘𝑉y∧𝑘𝑉, luego obtenemos: 𝜒∨𝑘𝑉(𝑥1,…, 𝑥𝑛) = ∑ 1≤𝑖1≤⋯≤𝑖𝑘≤𝑛 𝑥𝑖1…𝑥𝑖𝑘=ℎ𝑘(𝑥1,…, 𝑥𝑛) 𝜒∧𝑘𝑉(𝑥1,…, 𝑥𝑛) = ∑ 1≤𝑖1<⋯<𝑖𝑘≤𝑛 𝑥𝑖1…𝑥𝑖𝑘=𝑒𝑘(𝑥1,…, 𝑥𝑛) 3. representaciones del grupo lineal general 47 3.2 Módulos de Weyl Hemos visto dos formas de relacionar productos tensoriales con el grupo simétrico para obtener representaciones de 𝐺𝐿(𝑛). Los módulos de Weyl generalizan los dos casos particulares anteriores. A partir de esta sección adaptamos la notación de Fulton [3]; cambiamos nuestros espacios vectoriales 𝑉por 𝐸, pues reservaremos 𝑉para representaciones de 𝕊𝑛. Definición 3.2.1. Sea 𝐸un espacio vectorial de dimensión 𝑛. Notemos que podemos tomar una acción derecha de 𝕊𝑘sobre ⊗𝑘𝐸, que consiste en permutar los factores: (𝑒1⊗⋯⊗ 𝑒𝑘)𝜎= (𝑒𝜎−1(1) ⊗⋯⊗ 𝑒𝜎−1(𝑘)) Sea ahora 𝑉un 𝕊𝑘-módulo. Definimos el módulo de Weyl asociado a 𝑉como: 𝑉(𝐸) ∶= (⊗𝑘𝐸)⊗ℂ𝕊𝑘𝑉=(⊗𝑘𝐸)⊗ℂ𝑉 𝑤 donde 𝑤es el subespacio generado por los elementos (𝑥𝜎)⊗𝑣−𝑥⊗(𝜎𝑣), con 𝑥∈⊗𝑘𝐸 y𝑣∈𝑉. Proposición 3.2.2. Los módulos de Weyl 𝑉(𝐸)tienen estructura de 𝐺𝐿(𝑛)–módulo con la acción inducida por la acción en ⊗𝑘𝐸: 𝐴(𝑥 ⊗𝕊𝑘𝑣)=(𝐴𝑥)⊗𝕊𝑘𝑣 para 𝐴∈𝐺𝐿(𝑛),𝑥∈⊗𝑘𝐸y𝑣∈𝑉. Demostración. Tenemos que ver que la acción de 𝐺𝐿(𝑛)es compatible está bien definida tras cocientar por 𝑤. En efecto, esta acción de 𝐺𝐿(𝑛)sobre ⊗𝑘𝐸conmuta con la acción derecha de 𝕊𝑘: (𝐴(𝑒1⊗⋯⊗ 𝑒𝑘))𝜎= ((𝐴𝑒1)⊗⋯⊗(𝐴𝑒𝑘)))𝜎=𝐴(𝑒𝜎−1(1))⊗⋯⊗ 𝐴(𝑒𝜎−1(𝑘)) 𝐴((𝑒1⊗⋯⊗ 𝑒𝑘)𝜎) = 𝐴(𝑒𝜎−1(1) ⊗⋯⊗ 𝑒𝜎−1(𝑘)) = 𝐴(𝑒𝜎−1(1))⊗⋯⊗ 𝐴(𝑒𝜎−1(𝑘)) Con lo que, efectivamente: 𝐴(𝑥𝜎)⊗ 𝑣 − (𝐴𝑥)⊗(𝜎𝑣) = ((𝐴𝑥)𝜎)⊗ 𝑣 − (𝐴𝑥)⊗(𝜎𝑣) ∈ 𝑤 Proposición 3.2.3. Sean 𝟙la representación trivial de 𝕊𝑘yla representación alternada de 𝕊𝑘. Entonces, las representaciones ∨𝑘𝐸y∧𝑘𝐸, dadas en la sección anterior 48 tableaux, representaciones y la dualidad de schur-weyl cumplen: ∨𝑘𝐸≅𝟙(𝐸)=(⊗𝑘𝐸)⊗𝕊𝑘 𝟙 ∧𝑘𝐸≅(𝐸)=(⊗𝑘𝐸)⊗𝕊𝑘 Demostración. Denotemos =⟨𝑎⟩, con 𝑎el generador de la representación alternada. 𝕊𝑘actúa de la forma: 𝜎𝑎 = sgn(𝜎)𝑎para todo 𝜎∈𝕊𝑘(ejemplo 1.2.4). Por el hecho de ser un cociente, si {𝜉1,…, 𝜉𝑛}es una base de 𝐸, entonces el conjunto {(𝜉𝑖1⊗⋯⊗ 𝜉𝑖𝑘)⊗𝕊𝑘 𝟙}genera 𝟙(𝐸)y{(𝜉𝑖1⊗⋯⊗ 𝜉𝑖𝑘)⊗𝕊𝑘𝑎}genera (𝐸). Como se dan las relaciones: (𝜉𝑖1⊗⋯⊗ 𝜉𝑖𝑘)⊗𝕊𝑘 𝟙= (𝜉𝜎(𝑖1)⊗⋯⊗ 𝜉𝜎(𝑖𝑘))⊗𝕊𝑘 𝟙en 𝟙(𝐸) (𝜉𝑖1⊗⋯⊗ 𝜉𝑖𝑘)⊗𝕊𝑘𝑎= sgn(𝜎)(𝜉𝜎(𝑖1)⊗⋯⊗ 𝜉𝜎(𝑖𝑘))⊗𝕊𝑘𝑎en (𝐸) se deduce que el conjunto 1= {(𝜉𝑖1⊗⋯⊗ 𝜉𝑖𝑘)⊗𝕊𝑘 𝟙}𝑖1≤⋯≤𝑖𝑘genera 𝟙(𝐸)y que 2= {(𝜉𝑖1⊗⋯⊗ 𝜉𝑖𝑘)⊗𝕊𝑘𝑎}𝑖1<⋯<𝑖𝑘genera (𝐸). La diferencia en el caso de (𝐸) viene del hecho de que si hay alguna repetición de índices, digamos 𝑖𝑟=𝑖𝑠, el elemento es nulo, pues tomando la permutación (𝑟𝑠) ∈ 𝕊𝑘, el elemento es igual a su opuesto. Un proceso similar al realizado en la demostración de la proposición 2.2.3 permite demostrar que ambos 1y2son linealmente independientes, luego son una base de sus respectivos espacios. Es claro ahora que los homomorfismos: ∨𝑘𝐸←→ 𝟙(𝐸) ∧𝑘𝐸←→ (𝐸) 𝜉𝑖1∨⋯∨𝜉𝑖𝑘←→ (𝜉𝑖1⊗⋯⊗ 𝜉𝑖𝑘)⊗𝕊𝑘 𝟙𝜉𝑖1∧⋯∧𝜉𝑖𝑘←→ (𝜉𝑖1⊗⋯⊗ 𝜉𝑖𝑘)⊗𝕊𝑘𝑎 extendidos por linealidad, son isomorfismos de espacios vectoriales que respetan la acción de 𝐺𝐿(𝑛). Luego ∨𝑘(𝐸) ≅ 𝟙(𝐸)y∧𝑘(𝐸) ≅ (𝐸)son isomorfismos de 𝐺𝐿(𝑛)- módulos. 3.3 La dualidad de Schur-Weyl. Las representaciones irreducibles Nuestro objetivo es demostrar que los módulos de Weyl conforman todas las representaciones polinomiales de 𝐺𝐿(𝑛). Para ello, probaremos que 𝜆(𝐸)son representaciones polinomiales irreducibles. Esto es suficiente pues se cumple: 3. representaciones del grupo lineal general 49 Lema 3.3.1.Sea 𝑉un 𝕊𝑘-módulo. Si 𝑉≅⊕𝜆⊢𝑘𝑑𝜆𝜆, entonces: 𝑉(𝐸) ≅ ⊕𝜆𝑑𝜆(𝜆(𝐸)) Demostración. La demostración es sencilla, dada la distributividad del producto tensorial respecto de la suma directa: (⊗𝑘𝐸)⊗ 𝑉 = (⊗𝑘𝐸)⊗(⊕𝜆𝑑𝜆𝜆) ≅ ⊕𝜆𝑑𝜆((⊗𝑘𝐸)⊗𝜆) La isomorfía se da también en sus subespacios y por tanto al tomar cociente, dando el resultado que queremos. También utilizaremos el siguiente lema elemental: Lema 3.3.2.Sean 𝑅,𝑆anillos cualesquiera y 𝑉un 𝑅-módulo derecho. Entonces 𝑉 ⊗𝑅𝑅≅𝑉como 𝑅-módulos derechos. Además, si 𝑉es un 𝑆-módulo cuya multiplicación conmuta con la de 𝑅, el isomorfismo lo es de 𝑆-módulos también. Demostración. Estamos definiendo 𝑉 ⊗𝑅𝑅como 𝑅-módulo derecho mediante (𝑣⊗𝑅 𝑟)𝑡= (𝑣𝑡)⊗𝑅𝑟, para 𝑡∈𝑅, y que estamos utilizando 𝑅como 𝑅–módulo izquierdo. Basta tomar los homomorfismos: 𝜙∶𝑉 ⊗𝑅𝑅←→ 𝑉 𝜓 ∶𝑉←→ 𝑉 ⊗𝑅𝑅 𝑣 ⊗𝑅𝑟←→ 𝑣𝑟 𝑣 ←→ 𝑣 ⊗𝑅1 donde 𝜙está bien definida ya que 𝜙viene inducida por la aplicación 𝑣 ⊗ 𝑟 ←→ 𝑣𝑟, que también cumple (𝑣𝑟)⊗1←→ 𝑣𝑟. Por otro lado: 𝜓(𝜙(𝑣 ⊗𝑅𝑟)) = 𝜓(𝑣𝑟)=(𝑣𝑟)⊗𝑅1 = 𝑣 ⊗𝑅𝑟 𝜙(𝜓(𝑣)) = 𝜙(𝑣 ⊗𝑅1) = 𝑣 Es fácil comprobar que respetan la multiplicación por la derecha de 𝑅, luego son isomorfismos de 𝑅-módulos derechos. Si la multiplicación por 𝑆conmuta con la de 𝑅obtenemos: 𝜙(𝑠(𝑣 ⊗𝑅𝑟)) = 𝜙((𝑠𝑣)⊗𝑅𝑟)=(𝑠𝑣)𝑟=𝑠(𝑣𝑟) = 𝑠(𝜙(𝑣 ⊗𝑅𝑟)) y𝜙es también isomorfismo de 𝑆–módulos. Lema 3.3.3.Sea 𝑡un tableau inyectivo cualquiera de forma 𝜆 ⊢ 𝑛. El módulo de permutaciones 𝜆≅ℂ𝕊𝑛(𝑅+ 𝑡)y el módulo de Specht 𝜆≅ℂ𝕊𝑛(𝐶− 𝑡)(𝑅+ 𝑡)como 𝕊𝑛módulos. 50 tableaux, representaciones y la dualidad de schur-weyl Demostración. Basta tomar los homomorfismos: 𝜑∶ℂ𝕊𝑛(𝑅+ 𝑡)←→ 𝜆𝜓∶ℂ𝕊𝑛(𝐶− 𝑡)(𝑅+ 𝑡)←→ 𝜆 𝜎(𝑅+ 𝑡)←→ 𝜎[𝑡]𝜎(𝐶− 𝑡)(𝑅+ 𝑡)←→ 𝜎Δ𝑡 Extendidos por linealidad. Son claramente isomorfismos de 𝕊𝑛–módulos, pues recordemos que [𝑡]=(𝑅+ 𝑡)𝑡yΔ𝑡= (𝐶− 𝑡)(𝑅+ 𝑡)𝑡, y, fijado 𝑡, es obvio ver que se respeta la acción de 𝕊𝑛. El resultado clave es la siguiente proposición de Fulton-Harris [4], la cual demostramos en detalle. Proposición 3.3.4. Sea 𝐴=ℂ𝐺, para 𝐺un grupo finito y 𝑈un 𝐺-módulo derecho. Sea 𝐵= Hom𝐺(𝑈, 𝑈). Es decir: 𝐵= {𝜑∶𝑈←→ 𝑈|𝜑(𝑣𝑔) = 𝜑(𝑣)𝑔, ∀𝑣∈𝑈, 𝑔 ∈𝐺} 𝐵es un anillo y 𝑈es un 𝐵-módulo izquierdo. Se cumplen: 1. Para todo 𝑐∈𝐴, el homomorfismo 𝑈 ⊗𝐺(𝐴𝑐)→𝑈𝑐 (𝑢 ⊗𝐺(𝑎𝑐)) ←→ (𝑢𝑎)𝑐 es un isomorfismo de 𝐵-módulos. 2. Si 𝑊=𝐴𝑐 un 𝕊𝑘-módulo irreducible, entonces 𝑈 ⊗𝐴𝑊es un 𝐵-módulo irreducible. Demostración. Tomando 𝜙como el isomorfismo de la prueba del lema 3.3.2, tenemos el diagrama conmutativo: 𝑈 ⊗𝐺𝐴 𝑈 ⊗𝐺(𝐴𝑐)𝑈 ⊗𝐺𝐴 𝑈 𝑈𝑐 𝑈 𝜙 ⋅𝑐 𝜙 ⋅𝑐 con los homomorfismos horizontales siendo la multiplicación por 𝑐, que es sobreyectiva, y la inclusión. Es simple ver que la mitad derecha del diagrama implica que nuestra aplicación es inyectiva, mientras que la mitad izquierda, que es sobreyectiva. Por otro lado, este homomorfismo respeta la acción izquierda de 𝐵pues todo elemento de 𝐵conmuta con la acción derecha de 𝐺. Esto prueba 1. 3. representaciones del grupo lineal general 51 Para 2, empecemos estudiando 𝐵. Sea 𝑈=⊕𝑖𝑛𝑖𝑈𝑖la descomposición de 𝑈en 𝐺-módulos derechos irreducibles. Notemos que por el lema de Schur (1.3.5), todo 𝐺-endomorfismo de 𝑈𝑖es un múltiplo de la identidad. Si tenemos entonces 𝜑∈ End(𝑛𝑖𝑈𝑖): 𝜑∶𝑈(1) 𝑖⊕⋯⊕ 𝑈(𝑛𝑖) 𝑖←→ 𝑈(1) 𝑖⊕⋯⊕ 𝑈(𝑛𝑖) 𝑖 restringiendo 𝜑en la salida y la llegada, obtenemos homomorfismos 𝜑𝑗,𝑘 ∶𝑈(𝑗) 𝑖←→ 𝑈(𝑘) 𝑖, los cuales se pueden caracterizar por una constante 𝑐𝑗,𝑘 ∈ℂ. A través de la identificación 𝜑= (𝑐𝑗,𝑘), es fácil ver que End(𝑛𝑖𝑈𝑖) ≅ 𝑀𝑛𝑖(ℂ)como anillos, con la composición de endomorfismos y la multiplicación de matrices cuadradas. Entonces: 𝐵= Hom𝐺(𝑈, 𝑈) = End𝐺(⊕𝑖𝑛𝑖𝑈𝑖) = ⊕𝑖End𝐺(𝑛𝑖𝑈𝑖) ≅ ⊕𝑖𝑀𝑛𝑖 ℂ Por otro lado, 𝐴=ℂ𝐺tiene una caracterización similar. Recordemos que 𝐴es la representación estándar de 𝐺y que 𝐴=⊕𝑖𝑚𝑖𝑈𝑖por el teorema 1.5.1, con 𝑚𝑖= dim 𝑈𝑖. Como cada 𝑈𝑖es una representación de 𝐺, por definición (o la proposición 1.1.4), tenemos un homomorfismo de grupos: 𝑥𝑖∶𝐺←→ Aut(𝑈𝑖) los cuales se pueden extender por linealidad, primero en la salida y luego en la llegada a los 𝑋𝑖y a 𝑋=⊕𝑖𝑋𝑖: 𝑋𝑖∶ℂ𝐺←→ End(𝑈𝑖) 𝑋∶𝐴←→ ⊕𝑖End(𝑈𝑖) Notemos que la llegada de 𝑋no es End(𝐴). Además, 𝑋es inyectivo; si existe 𝑣∈ℂ𝐺 con 𝑋(𝑣)=0, entonces cada 𝑋𝑖(𝑣) = 0. Luego 𝑣(ℂ𝐺) = 𝑣(⊕𝑖𝑚𝑖𝑈𝑖) = ⊕𝑚𝑖0=0. Pero esto esto implica que 𝑣𝑔 = 0, para todo 𝑔∈𝐺, y siendo 𝑔una unidad de 𝐴, debe darse que 𝑣= 0. Por último, tomando dimensiones en la descomposición de 𝐴(teorema 1.5.1), dim(𝐴) =∑𝑖𝑚2 𝑖. E identificando, ⊕𝑖End(𝑈𝑖) ≅ ⊕𝑖𝑀𝑚𝑖(ℂ),dim(⊕𝑖End(𝑈𝑖)) = ∑𝑖𝑚2 𝑖. Luego 𝑋es un isomorfismo de álgebras. Tomaremos 𝐴≅⊕𝑖𝑀𝑚𝑖(ℂ) Probemos 2 ahora. Empecemos con el caso en que 𝑈es un 𝐺-módulo derecho irreducible. Tenemos 𝐵≅ℂ, luego basta probar que dim(𝑈 ⊗𝐺𝑊)≤1. Tenemos que 𝑊 ⊂ 𝐴, pues toda representación irreducible aparece en la descomposición de 𝐴 (teorema 1.5.1). Entonces podemos ver 𝑊como un ideal izquierdo y minimal (al ser 𝑊irreducible) de ℂ𝐺≅⊕𝑖𝑀𝑚𝑖(ℂ). De igual forma ocurre con 𝑈, salvo que 𝑈es un 58 tableaux, representaciones y la dualidad de schur-weyl El conjunto de las funciones simétricas de grado 𝑘constituye un anillo conmutativo, que denotaremos por Λ𝑘. Por ejemplo, de las siguientes, 𝑟es la única función simétrica, y es de grado 2: 𝑝(𝑥) = ∑ 𝑖1<𝑖2<𝑖3<… (𝑥𝑖1𝑥𝑖2𝑥𝑖3… ) (incumple 1.) 𝑞(𝑥) = ∑ 𝑖1<𝑖2 (𝑖1𝑥𝑖1𝑥𝑖2)(incumple 2.) 𝑟(𝑥) = ∑ 𝑖1<𝑖2 𝑥𝑖1𝑥𝑖2 Definición A.1.3. Un elemento 𝑝(𝑥) ∈ ℤ[[𝑋]] se dice que es una función simétrica si es la suma finita de funciones simétricas de cualquier grado. El conjunto de funciones simétricas constituye un anillo conmutativo que denotaremos Λ. Notemos que Λes un anillo graduado de forma natural: Λ = ⊕∞ 𝑘=0Λ𝑘, donde Λ0=ℤ. Nos interesan unas funciones simétricas muy específicas. Definición A.1.4. Para cada 𝑘entero no negativo, definimos las siguientes funciones simétricas (de grado 𝑘): 1. Las funciones elementales,𝑒𝑘, como: 𝑒𝑘=∑ 𝑖1<⋯<𝑖𝑘 𝑥𝑖1𝑥𝑖2…𝑥𝑖𝑘(Combinaciones de 𝑘variables con exponente 1) 2. Las funciones homogéneas completos,ℎ𝑘, como: ℎ𝑘=∑ 𝑖1≤⋯≤𝑖𝑘 𝑥𝑖1𝑥𝑖2…𝑥𝑖𝑘(Suma de todos los posibles monomios de grado 𝑘) 3. Para 𝑘≥1, las funciones de series de potencias de Newton,𝑝𝑘, como: 𝑝𝑘= ∞ ∑ 𝑖=1 𝑥𝑘 𝑖(Suma de potencias 𝑘-ésimas de una variable ) A partir de los cuales podemos definir, de forma multiplicativa, variantes de estas funciones simétricas, indexadas por particiones. Si 𝜆= (𝜆1, 𝜆2,…, 𝜆𝑟), tenemos: 𝑒𝜆=𝑒𝜆1…𝑒𝜆𝑟ℎ𝜆=ℎ𝜆1…ℎ𝜆𝑟𝑝𝜆=𝑝𝜆1…𝑝𝜆𝑟 a. apéndice 59 Por ejemplo, para 𝜆= (2,1), en tres variables, tenemos: 𝑒𝜆(𝑥) = 𝑒2(𝑥)𝑒1(𝑥)=(𝑥1𝑥2+𝑥1𝑥3+𝑥2𝑥3+ … )(𝑥1+𝑥2+𝑥3+ … ) ℎ𝜆(𝑥) = ℎ2(𝑥)ℎ1(𝑥)=(𝑥2 1+𝑥2 2+𝑥2 3+⋯+𝑥1𝑥2+𝑥1𝑥3+𝑥2𝑥3+ … )(𝑥1+𝑥2+ … ) 𝑝𝜆(𝑥) = 𝑝2(𝑥)𝑝1(𝑥)=(𝑥2 1+𝑥2 2+𝑥2 3+ … )(𝑥1+𝑥2+𝑥3+ … ) Teorema A.1.5 (Gauss). Las funciones elementales {𝑒𝜆}𝜆⊢𝑘 y las funciones homogéneas {ℎ𝜆}𝜆⊢𝑘 son una base del anillo de funciones simétricas de grado 𝑘,Λ𝑘. Las funciones de series de potencias {𝑝𝜆}𝜆⊢𝑘 son linealmente independientes en Λ𝑘, pero no son una base. Sí lo son cuando admitimos coeficientes racionales: Λ𝑘⊗ℚ. El anillo de funciones simétricas está generado como anillo de las siguientes maneras: Λ = ℤ[𝑒1,…, 𝑒𝑛,… ] Λ = ℤ[ℎ1,…, ℎ𝑛,… ] Λ ⊗ℚ=ℚ[𝑝1,…, 𝑝𝑛,… ] donde no hay relaciones algebraicas entre los generadores. A las series de potencias 𝑝𝑘se les suelen asociar unos coeficientes enteros, responsables de la necesidad de utilizar números racionales. Definición A.1.6. Dada una partición 𝜆= (1(𝑘1),2(𝑘2),…, 𝑛(𝑘𝑛)), escrita indicando la multiplicidad con la que aparecen sus partes, definamos los coeficientes: 𝑧𝜆= 1𝑘1𝑘1!⋅2𝑘2𝑘2!⋅…⋅𝑛𝑘𝑛𝑘𝑛! Estos coeficientes nos interesan por varios motivos: Lema A.1.7.Sea 𝜆una partición de 𝑛. Entonces el número de elementos en la clase de conjugación de 𝕊𝑛asociada a 𝜆es 𝑛! 𝑧𝜆 . Proposición A.1.8 (Base con coeficientes racionales).Para todo 𝑛, se cumple: ℎ𝑛=∑ 𝜆⊢𝑛 𝑝𝜆 𝑧𝜆 Lo cual permite demostrar que las 𝑝𝜆son base de Λ⊗ℚ. Es cierto que estas bases son cómodas en el sentido de ser sencillas de manejar. Sin embargo, en combinatoria, y como vemos a lo largo del trabajo, ciertas bases más complejas tienen mayor relevancia. 60 tableaux, representaciones y la dualidad de schur-weyl Definición A.1.9. Sea 𝑡un tableau de forma 𝜆y entradas en {1,2,…, 𝑛}. Decimos que su peso según contenido es: 𝑥𝑡=𝑥𝑟1 1𝑥𝑟2 2…𝑥𝑟𝑛 𝑛 donde cada 𝑟𝑖es el número de veces que aparece 𝑖como una entrada en 𝑡. Se definen las funciones de Schur como: 𝑠𝜆=∑ 𝑡 𝑥𝑡 donde 𝑡varía en los tableaux semi-estándar de forma 𝜆y entradas en {1,2,… }. Las funciones de Schur son funciones simétricas, aunque esto no sea obvio a partir de la definición. Existen muchas formas diferentes pero equivalentes de definir las funciones de Schur según el punto de vista en el que queramos enfocarnos. En la siguiente sección daremos una definición equivalente cuando tratamos una cantidad finita de variables. Damos unas últimas propiedades importantes sobre las funciones de Schur. Definición A.1.10. Sea 𝑡un tableau de forma 𝜆⊢𝑛. Decimos que el contenido de tes 𝜇si 𝑥𝑡=𝑥𝜇, como monomios, según hemos definido en A.1.1. Definimos los coeficientes de Kostka,𝐾𝜆,𝜇 como el número de tableaux semi-estándar de forma 𝜆y contenido 𝜇. Proposición A.1.11. Para toda partición 𝜇, se cumple que: ℎ𝜇=∑ 𝜆⊵𝜇 𝐾𝜆,𝜇𝑠𝜆=𝑠𝜇+∑ 𝜆⊳𝜇 𝐾𝜆,𝜇𝑠𝜆 Como consecuencia, las funciones de Schur son base del anillo de funciones simétricas. Proposición A.1.12. Definamos un producto escalar en Λ⊗ℚ, dado por: ⟨𝑝𝜆, 𝑝𝜇⟩={𝑧𝜆si 𝜆=𝜇 0si no Las funciones de Schur 𝑠𝜆son ortonormales respecto a este producto escalar. a. apéndice 61 A.2 Los polinomios simétricos Esta sección es una simplificación al caso de tratar funciones simétricas con un número finito de variables. Definición A.2.1. Dada una función simétrica, 𝑝(𝑥), podemos definir un polinomio simétrico,𝑝, en 𝑛variables, como la especialización: 𝑝(𝑥1,…, 𝑥𝑛) = 𝑝(𝑥1,…, 𝑥𝑛,0,0,… ) El anillo de polinomios simétricos en 𝑛variables, Λ(𝑛), es un anillo graduado Λ(𝑛) = ⊕𝑘Λ𝑘(𝑛). En polinomios simétricos la noción de grado se hereda de la de grado en funciones simétricas y coincide con la noción usual de grado en polinomios. Definición A.2.2. Se definen de manera análoga a funciones simétricas, los polinomios elementales,homogéneos y los de series de potencias de Newton de grado 𝑘: 𝑒𝑘=∑ 1≤𝑖1<⋯<𝑖𝑘≤𝑛 𝑥𝑖1𝑥𝑖2…𝑥𝑖𝑘ℎ𝑘=∑ 1≤𝑖1≤⋯≤𝑖𝑘≤𝑛 𝑥𝑖1𝑥𝑖2…𝑥𝑖𝑘𝑝𝑘= 𝑛 ∑ 𝑖=1 𝑥𝑘 𝑖 Estas expresiones se pueden conseguir fácilmente a partir de la especialización anterior. Observación A.2.3.Si bien en el caso de funciones simétricas, ninguna de estas funciones se anula, en el caso de polinomios hay un cambio para las funciones elementales. Como en ninguno de sus sumandos pueden repetirse variables, en el caso de que 𝑘>𝑛, se da 𝑒𝑘= 0. Podemos introducir de igual manera a los polinomios de Schur, mediante la especialización consistente en sustituir 𝑥𝑖= 0 para 𝑖≥𝑛. Sin embargo, daremos una definición equivalente, a partir de la cual es simple observar que los polinomios de Schur son simétricos. Definición A.2.4. Dada una r-tupla de enteros no negativos, 𝜆= (𝜆1,…, 𝜆𝑟), denotaremos por 𝑎𝜆a los determinantes de Vandermonde generalizados: 𝑎𝜆(𝑥1,…, 𝑥𝑟) = det ⎛⎜⎜⎜⎜⎝ 𝑥𝜆1 1𝑥𝜆1 2…𝑥𝜆1 𝑟 𝑥𝜆2 1𝑥𝜆2 2…𝑥𝜆2 𝑟 ⋮ ⋮ ⋮ 𝑥𝜆𝑟 1𝑥𝜆𝑟 2…𝑥𝜆𝑟 𝑟 ⎞⎟⎟⎟⎟⎠ 62 tableaux, representaciones y la dualidad de schur-weyl Definamos también la partición escalera indexada por 𝑛,𝛿𝑛, como la partición 𝛿𝑛= (𝑛− 1, 𝑛 − 2,…,0). Para cada 𝜆partición de 𝑛, definamos el polinomio de Schur indexado por 𝜆como: 𝑠𝜆(𝑥) = 𝑎𝜆+𝛿𝑛(𝑥) 𝑎𝛿𝑛(𝑥) Lema A.2.5.Los polinomios de Schur son polinomios simétricos. Los polinomios de Schur obtenidos por la definición anterior coinciden con los obtenidos a partir de la especialización de las funciones de Schur. Es sencillo ver que los polinomios de Schur son simétricos, puesto que la definición dada es el cociente de dos polinomios alternantes: 𝜎𝑠𝜆(𝑥) = 𝜎𝑎𝜆+𝛿𝑛(𝑥) 𝜎𝑎𝛿𝑛(𝑥)=sgn(𝜎)𝑎𝜆+𝛿𝑛(𝑥) sgn(𝜎)𝑎𝛿𝑛(𝑥)=𝑎𝜆+𝛿𝑛(𝑥) 𝑎𝛿𝑛(𝑥)=𝑠𝜆(𝑥) Al tratarse de un determinante, la permutación de variables en un determinante de Vandermonde generalizado consiste en la multiplicación por un signo. Observación A.2.6.Dado el lema A.2.5, los polinomios de Schur siguen siendo las funciones generatrices de los pesos de los tableaux semi-estándar, pero esta vez, para aquellos tableaux con entradas en {1,…, 𝑛}. Entonces, si 𝜆tiene longitud mayor que 𝑛, como no existe ningún tableau semi-estándar de forma 𝜆con entradas en {1,…, 𝑛}, se da que 𝑠𝜆(𝑥1,…, 𝑥𝑛)=0. A.3 El algoritmo RSK Esta sección está dedicada a presentar el algoritmo de Robinson-Schensted-Knuth (RSK para abreviar) sobre tableaux. Definición A.3.1. Sea 𝑡un tableau semi-estándar (definición 2.1.2). Definimos el proceso de inserción de una entrada 𝑘en 𝑡de forma iterativa por filas. Por cada fila, empezando por la primera, y recorriéndola de izquierda a derecha, hacemos: 1. Comprobamos si 𝑘es mayor que cualquier elemento de la fila. En cuyo caso, añadimos una casilla al final de la fila y colocamos a 𝑘en esa casilla. 2. En caso contrario, sustituimos 𝑘por el primer elemento que sea mayor que 𝑘en esa fila. a. apéndice 63 3. El elemento que ha quedado sustituido se introduce en la siguiente fila, volviendo a empezar en 1. En caso de no haber siguiente fila, se crea una nueva fila y se coloca 𝑘en la nueva fila. Hemos terminado Ejemplo A.3.2.Para insertar 2en el tableau 𝑡=7 8 2 3 3 6 1 1 2 3 5 6 : 7 8 2 3 3 6 2→1 1 2 3 5 6 7 8 3→2 3 3 6 112256 6→7 8 2 3 3 3 1 1 2 2 5 6 7 6 8 2 3 3 3 1 1 2 2 5 6 Obteniendo un nuevo tableau semi-estándar. El proceso de inserción por filas es el que da origen al algoritmo y la correspondencia RSK. Observación A.3.3.Recordemos que podemos entender toda permutación 𝜎∈𝕊𝑛 como una matriz o arreglo de dos líneas. En la primera aparecen 1,…, 𝑛 ordenados de forma creciente, y en la segunda, aparecen las imágenes por 𝜎de los elementos que hay encima en esa columna. 𝜎= (124)(36) ←→ 𝜎=(1 2 3 4 5 6 2 4 6 1 5 3) Definición A.3.4. El algoritmo RSK aplicado a una permutación 𝜎∈𝕊𝑛consiste en insertar reiteradamente las entradas de la segunda fila de 𝜎en el tableau vacío; a la vez que se genera otro tableau, cuyas entradas indican el orden de creación de nuevas casillas en el primer tableau. El primer tableau se llama tableau de inserción y el segundo se llama tableau de registro. Ejemplo A.3.5.Con la permutación del ejemplo anterior, conseguimos un par de tableaux, tras seis pasos de inserción: 2→∅,∅4→2,1 6 →2 4 ,1 2 1 →2 4 6 ,1 2 3 5→2 1 4 6 ,4 1 2 3 3→2 6 1 4 5 ,4 5 123 𝑃=6 2 4 1 3 5 , 𝑄 =6 4 5 1 2 3 Teorema A.3.6 (Correspondencia RSK). Tras aplicar el algoritmo RSK para una permutación de 𝕊𝑛, obtenemos un par de tableaux estándar de misma forma. El conjunto de permutaciones 𝜎∈𝕊𝑛se encuentra en biyección el conjunto {(𝑃 , 𝑄)} de pares de tableaux estándar de misma 𝜆, variando 𝜆entre las particiones de 𝑛. Entonces, si 𝑓𝜆es el número de tableaux estándar de forma 𝜆, se tiene 𝑛! = ∑𝜆⊢𝑛(𝑓𝜆)2. 64 tableaux, representaciones y la dualidad de schur-weyl Ambos tableaux, de inserción y registro son fundamentales para la biyección de la correspondencia RSK. Un simple cálculo del algoritmo RSK para cada permutación de 𝕊3muestra que uno solo de los tableaux no determinan la partición 𝜎de partida. Sin embargo, utilizando el par, sí es posible recuperar la partición inicial. 𝜎1=(1 2 3 1 2 3)⇐⇒ 𝑃1=123 𝑄1=1 2 3 𝜎2=(1 2 3 2 1 3)⇐⇒ 𝑃2=2 1 3 𝑄2=2 1 3 𝜎3=(1 2 3 1 3 2)⇐⇒ 𝑃3=3 1 2 𝑄3=3 1 2 𝜎4=(1 2 3 3 2 1)⇐⇒ 𝑃4=3 2 1𝑄4=3 2 1 𝜎5=(1 2 3 2 3 1)⇐⇒ 𝑃5=2 1 3 𝑄5=3 1 2 𝜎6=(1 2 3 3 1 2)⇐⇒ 𝑃6=3 1 2 𝑄6=2 1 3 Bibliografía [1] François Bergeron, Combinatoire algebrique, LaCIM, Universite de Quebec à Montreal. versión de 8 avril, 2001. [2] Daniel Bump. Lie groups, volume 225 of Graduate Texts in Mathematics. Springer, New York, second edition, 2013. [3] William Fulton. Young tableaux, volume 35 of London Mathematical Society Student Texts. Cambridge University Press, Cambridge, 1997. With applications to representation theory and geometry. [4] William Fulton and Joe Harris. Representation theory, volume 129 of Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1991. A first course, Readings in Mathematics. [5] Roe Goodman and Nolan R. Wallach. Symmetry, representations, and invariants, volume 255 of Graduate Texts in Mathematics. Springer, Dordrecht, 2009. [6] Gordon James and Martin Liebeck. Representations and characters of groups. Cambridge Mathematical Textbooks. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. [7] Bruce E. Sagan. The symmetric group. The Wadsworth Brooks/Cole Mathematics Series. Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books Software, Pacific Grove, CA, 1991. Representations, combinatorial algorithms, and symmetric functions. [8] Richard P. Stanley. Enumerative combinatorics. Vol. 2, volume 62 of Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, 1999. With a foreword by Gian-Carlo Rota and appendix 1 by Sergey Fomin.