Efecto túnel cuántico en barreras exóticas de potencial

Efecto túnel cuántico en barreras exóticas de potencial Presentado por Juan Manuel Franco Patiño Para optar al grado en física Dirigido por Manuel Lozano Leyva Sevilla, 2017 Índice de contenidos I. Introducción y metodología……………………………...1 II. La aproximación semiclásica……………………………2 III. Las fórmulas de conexión……………………………….8 IV. La condición de cuantización de Bohr-Sommerfeld…..15 V. Efecto túnel cuántico para diferentes geometrías……...20 VI. Estados ligados de un pozo doble de potencial………..32 VII. Conclusiones……………………………………..……39 VIII. Anexo I……………………………...………………...40 IX. Referencias…………………………………….……....42 X. Bibliografía…………………………………………….44 A mis padres, simplemente gracias por todo. Resumen La aproximación WKB, nombrada así por los físicos Wentzel, Kramers y Brillouin que la desarrollaron a principio de los años 20, es un método utilizado para el cálculo aproximado de la función de onda de una partícula mediante el desarrollo de una cierta función en potencias de ħ, la cual se puede considerar como muy pequeña en los sistemas que vamos a tratar. Es precisamente este hecho lo que hace que al método se le conozca también como aproximación semiclásica, brindando una valiosa conexión entre la mecánica clásica y la mecánica cuántica mediante la ecuación de Hamilton-Jacobi. Usaremos el método desarrollado para estudiar, dentro de los límites de la aproximación, un efecto conocido comúnmente como efecto túnel por el cual una partícula puede atravesar una barrera de potencial aun teniendo una energía menor que el máximo del potencial. Además, se obtendrá la regla de cuantización de Bohr-Sommerfeld, fundamental en la denominada teoría cuántica antigua, con la que se podrá calcular la energía de los estados ligados de ciertos potenciales. Cabe destacar que el tratamiento que se va a hacer del método WKB, tanto el planteamiento del método en sí como algunas de las aplicaciones, va más allá de lo que suelen ofrecer los libros de mecánica cuántica modernos. 1 I. Introducción: objetivos y metodología El objetivo fundamental de este trabajo es el estudio del efecto túnel cuántico en el marco de la aproximación semiclásica, aunque también se emplearán los resultados obtenidos para el cálculo de energías de estados ligados mediante la condición de cuantización de Bohr-Sommerfeld. Para conseguir dichos objetivos, empezaremos planteando la base teórica de lo que será la aproximación semiclásica de la función de onda de una partícula y continuaremos con una de las partes más delicadas del método, la obtención de las fórmulas de conexión, que relacionarán las funciones de onda de la parte clásicamente permitida y la clásicamente prohibida. Una vez tengamos todo esto, podremos realizar el estudio del efecto túnel en potenciales con una determinada forma, algunos de los cuales permitirán el cálculo analítico del coeficiente de transmisión y su evaluación mediante el uso de un programa informático. Además de esto, usaremos el método WKB para dar una aproximación para los estados ligados de una partícula en un pozo doble de potencial separados por una barrera, en el que la partícula pasará de un pozo al otro atravesando la barrera mediante efecto túnel cuántico. 2 II. La aproximación semiclásica El método WKB es una potente herramienta utilizada para el cálculo aproximado de las soluciones de la ecuación de Schrödinger además de brindar la conexión entre la mecánica clásica y la mecánica cuántica. Wentzel1, Kramers2y Brillouin3 aplicaron el método para la resolución de la ecuación de Schrödinger a principio de los años 20, aunque la naturaleza de la aproximación se remonta más atrás en el tiempo hasta Liouville4 y Green5 que lo aplicaron a otras ramas de la física. La constante de Planck h, cuyo valor en el SI es de 6,626x10-34 J s, es la que marca el límite entre el mundo clásico, gobernado por las leyes de Newton, y el mundo cuántico, gobernado por leyes estadísticas. Así, en aquellos sistemas cuyas acciones características sean muy grandes comparadas con h esta se puede considerar como muy pequeña, siendo este el límite clásico. Sin embargo, existen fenómenos puramente cuánticos como el efecto túnel, sin análogo clásico al igual que, por ejemplo, el spin. El método WKB intenta realizar un estudio del efecto túnel utilizando el marco de referencia de la mecánica clásica. La ecuación de Schrödinger monodimensional e independiente del tiempo es: −ℏ2 2𝑚𝑑2𝜓(𝑥) d𝑥2+𝑉(𝑥)𝜓(𝑥)=𝐸𝜓(𝑥) (1) El desarrollo se podría hacer en principio para tres dimensiones, sin embargo, al final el paso al caso monodimensional será necesario ya que este primero es en general muy complicado de resolver, aunque se puede simplificar en casos muy especiales, como por ejemplo en potenciales con simetría esférica, en los que el problema tridimensional pasa a ser uno monodimensional con un término adicional de potencial comúnmente conocido como potencial centrífugo. Proponemos una función de onda Ψ con la siguiente forma 𝜓(𝑥)=𝑒𝑖ℏ𝑆(𝑥) (2) 3 Sustituyendo (2) en (1), obtenemos una ecuación para S(x): 1 2𝑚(𝑑𝑆(𝑥) 𝑑𝑥 )2−𝑖ℏ 2𝑚𝑑2𝑆(𝑥) 𝑑𝑥2+𝑉(𝑥)=𝐸 (3) Proponemos un desarrollo en serie de potencias de ℏ de la función S(x): 𝑆(𝑥)=𝑠0+ℏ𝑖𝑠1+θ(ℏ2) (4) Sustituyendo el desarrollo en (3) y agrupando los términos de las distintas potencias de ℏ tenemos que: ℏ0→ 𝑠0′2 2𝑚=𝐸−𝑉(𝑥) (5) ℏ1→ 𝑠0′𝑠1′+𝑠0′′ 2=0 (6) Podemos identificar la ecuación (5) como la ecuación de Hamilton-Jacobi independiente del tiempo con 𝑠0′ igual al momento lineal de la partícula p(x). Además, podemos resolver (6) para obtener una expresión de 𝑠1, por lo que según (2) la función de onda tendrá la forma: 𝜓(𝑥)=𝐴 𝑝(𝑥)12𝑒±𝑖ℏ∫√2𝑚(𝐸−𝑉(𝑥′))𝑑𝑥′ 𝑥 (7) En la ecuación (4) hemos supuesto que la función S(x) se puede desarrollar en potencias de ℏ y además solo nos hemos quedado con los dos primeros términos del desarrollo. Sin embargo, los desarrollos de este tipo no siempre convergen dando una solución físicamente aceptable, sino que por lo general suelen divergir. Sabemos que en (4) nos podemos quedar con pocos términos del desarrollo si imponemos que ℏ→0, aunque esta condición matemática no tenga sentido físico en sí, ya que ħ es una constante. Esto se puede interpretar como que el desarrollo es válido en sistemas con acciones características 4 muy grandes en comparación con ħ. Sabemos que en el caso límite ℏ=0, la ecuación de Schrödinger coincide con la ecuación de Hamilton-Jacobi, sin embargo, ese no es nuestro caso y, aunque, ℏ→0, debemos garantizar que los coeficientes del desarrollo (4) no son anormalmente grandes o pequeños. Por tanto, (4) será válido si: 𝑠0 ≫ℏ𝑠1 (8) A partir de (6) y recordando la expresión de la longitud de onda de De Broglie tenemos que: 1≫−ℏ𝑠0′′ 𝑠0′2=𝑑 𝑑𝑥(ℏ 𝑠0′)=1 2𝜋𝑑𝜆 𝑑𝑥 (9) La expresión (9) puede reescribirse en función del incremento de la longitud de onda por unidad de longitud de onda quedando: Δ𝜆 𝜆≪2𝜋 (10) Hemos obtenido (9) y equivalentemente (10) como la condición de validez de la aproximación WKB dada por (4), sin embargo, en nuestro caso, nos conviene intentar encontrar una condición para los potenciales V(x), para saber qué condiciones deben cumplir estos para poder aplicar la aproximación, ya que para el estudio del efecto túnel cuántico, va a ser de vital importancia la forma que tenga el potencial. Para ello, partimos de la expresión general de la ecuación de Schrödinger dada en (1) pero ahora, teniendo en cuenta la forma de la función de onda obtenida en (7) dentro de la aproximación WKB, proponemos una forma más general de función de onda: −𝑘(𝑥)2𝜓(𝑥)=𝑑2𝜓 𝑑𝑥2 ;𝑘(𝑥)2=2𝑚 ℏ2(𝐸−𝑉(𝑥)); 𝜓=𝑄(𝑥)𝑒𝑖𝑆(𝑥) (11) Sustituyendo la forma general de Ψ dada en (11) en la ecuación de Schrödinger y teniendo en cuenta que si 𝑎+𝑖𝑏=0 entonces 𝑎=0 y 𝑏=0 , obtenemos un par de ecuaciones función de K, Q y S y sus derivadas: 11 La función de onda (22) debe ser la misma que la función de onda 𝜓(𝑥) definida en (17) en las inmediaciones del punto de retorno y para 𝑥<𝑎. En esta zona, tomamos la aproximación de primer orden del potencial y por tanto: 𝑝(𝑥)=√2𝑚(𝐸−𝑉(𝑥))≈(2𝑚𝑉′ℏ)13(−𝑧)12; 𝑖ℏ∫𝑝(𝑥′)𝑑𝑥 𝑥 𝑎≈−2𝑖 3(−𝑧)32 (23) Si sustituimos el resultado en (17) para 𝑥<𝑎 y por tanto 𝑧<0: 𝜓(𝑧)=1 (2𝑚𝑉′ℏ)16(−𝑧)14[𝑐1𝑒𝑖(𝛼(𝑧)−𝜋4)+𝑐2𝑒−𝑖(𝛼(𝑧)−𝜋4)] (24) Una comparación directa de (22) y (24) nos dice que 𝜙(z) y 𝜓(𝑧) son iguales salvo un factor de fase constante de 𝜋4 y, además, los coeficientes tienen que cumplir las relaciones: (𝑐𝑎−𝑖𝑐𝑏) 2√𝜋=𝑐1 (2𝑚𝑉′ℏ)16 (𝑐𝑎+𝑖𝑐𝑏) 2√𝜋=𝑐2 (2𝑚𝑉′ℏ)16 (25) Pasamos ahora al análisis a la derecha del punto de retorno, por lo que 𝑧>0 y por tanto consideramos los desarrollos de las funciones de Airy para argumentos muy grandes7: 𝐴𝑖(𝑧)=1 2√𝜋(𝑧)14𝑒−23𝑧32 𝑧≫0 𝐵𝑖(𝑧)=1 √𝜋(𝑧)14𝑒23𝑧32 𝑧≫0 (26) Si definimos el argumento de las exponenciales como 𝛽(𝑧) y sustituimos (26) en (20), tenemos que: 𝜙(𝑧)=1 2√𝜋(−𝑧)14[𝑐𝑎𝑒−𝛽(𝑧)+2𝑐𝑏𝑒+𝛽(𝑧)] (27) 12 Al igual que en el caso anterior, (27) tiene que ser la misma función de onda 𝜓(𝑥) en (17) para 𝑥>𝑎 y cerca del punto de retorno, por lo que: 𝑘(𝑥)=√2𝑚(𝑉(𝑥)−𝐸)≈(2𝑚𝑉′ℏ)13(𝑧)12; 1ℏ∫𝑘(𝑥′)𝑑𝑥 𝑥 𝑎≈23(𝑧)32=𝛽(𝑧) (28) Sustituyendo el valor de 𝑘(𝑥) en (17) tenemos que: 𝜓(𝑧)=1 (2𝑚𝑉′ℏ)16(𝑧)14[𝑐3𝑒−𝛽(𝑧)+𝑐4𝑒𝛽(𝑧)] (29) Vemos que los argumentos de las exponenciales coinciden en (27) y (29) y los coeficientes deben cumplir las relaciones: 𝑐𝑎 2√𝜋=𝑐3 (2𝑚𝑉′ℏ)16 𝑐𝑏 √𝜋=𝑐4 (2𝑚𝑉′ℏ)16 (30) De (25) y (30) podemos despejar las relaciones entre los coeficientes de las soluciones oscilatorias, que corresponden a 𝑥<𝑎 y los coeficientes de las exponenciales reales, que son las soluciones en la región clásicamente prohibida, es decir, 𝑥>𝑎 : (𝑐1 𝑐2)= ( 1 −𝑖2 ⁄ 1𝑖2 ⁄)(𝑐3 𝑐4) (31) Las ecuaciones en (31) son el primer par de fórmulas de conexión, que no son más que las relaciones que tiene que haber entre las soluciones a la izquierda y a la derecha de un punto de retorno clásico de la forma presentada en la figura 2 para que (17) tienda a la forma asintótica de las funciones de Airy en las cercanías del punto de retorno, donde ellas son las soluciones de la ecuación de Schrödinger. Además, no hay que olvidar que en (17) hay que añadir un desfase de 𝜋4 a la función de onda de la región 𝑥<𝑎 tal y como obtuvimos anteriormente. 13 Las primeras fórmulas de conexión se han obtenido para el caso de un potencial con un punto de retorno del tipo mostrado en la figura 2 pero podríamos considerar también un punto de retorno como el de la figura 4. En este último caso, tendríamos que la función de onda WKB a ambos lados del punto de retorno 𝑥=𝑏 es: 𝜓(𝑥)= { 1 𝑝(𝑥)12(𝑐𝑟𝑒𝑖ℏ∫√2𝑚(𝐸−𝑉(𝑥′))𝑑𝑥′ 𝑥 𝑏+𝑐𝑙𝑒−𝑖ℏ∫√2𝑚(𝐸−𝑉(𝑥′))𝑑𝑥′ 𝑥 𝑏) 𝑥>𝑏 1 𝑘(𝑥)12(𝑐𝑑𝑒−1ℏ∫√2𝑚(𝑉(𝑥′)−𝐸)𝑑𝑥′ 𝑥 𝑏+𝑐𝑔𝑒+1ℏ∫√2𝑚(𝑉(𝑥′)−𝐸)𝑑𝑥′ 𝑥 𝑏)𝑥<𝑏 (32) Figura 4. Potencial descendente con un punto de retorno en 𝑥=𝑏. En el caso de la figura 4 procederíamos exactamente de la misma forma que en el primer caso, desarrollando el potencial hasta el término lineal con 𝑥 e involucrando los desarrollos asintóticos de las funciones de Airy, tal y como hicimos en el caso anterior, para conectarlas con la forma de la función de onda (32) en las regiones a la izquierda y a la derecha del punto de retorno. De esta manera, se obtiene, en analogía con el caso anterior, que hay que añadirle un desfase de −𝜋4 a la función de onda (32) en la región 𝑥>𝑏 para que conecte correctamente con las funciones de Airy y, además, se obtienen el segundo par de fórmulas de conexión que relacionan los cuatro coeficientes que aparecen en (32): (𝑐𝑔 𝑐𝑑)= (1/2 1/2 −𝑖 𝑖 )(𝑐𝑟 𝑐𝑙) (33) 14 Hay que destacar que la obtención de las llamadas fórmulas de conexión no es única, ya que a lo largo de la historia distintos autores han propuesto métodos variados para obtenerlas, por ejemplo, se puede pasar de la zona clásicamente permitida a la prohibida mediante un arco en el plano complejo que rodee el punto de retorno8 obteniendo resultados análogos a los que hemos obtenido en nuestro caso. 15 IV. La condición de cuantización de Bohr-Sommerfeld Antes del desarrollo de lo que ahora conocemos como la mecánica cuántica moderna, existía una teoría conocida hoy en día como teoría cuántica antigua que se basaba en ciertos postulados heurísticos y cuyo máximo exponente fue la teoría atómica de Bohr que postulaba a los electrones como partículas que describían órbitas alrededor del núcleo, pero no todas las órbitas eran permitidas, solo lo eran aquellas que obedecían la condición de Bohr-Sommerfeld. En su momento el modelo fue ampliamente aceptado ya que conseguía dar una explicación teórica de la fórmula de Rydberg, sin embargo, no podía dar explicación de la estructura fina de las líneas espectrales. Hoy en día se sabe que esta teoría no es más que las primeras correcciones cuánticas de la mecánica clásica, y dado que el centro de nuestro estudio hasta ahora ha sido precisamente una aproximación semiclásica de la mecánica cuántica, vamos a deducir la condición de cuantización de Bohr-Sommerfeld a partir de los resultados de los apartados anteriores. Hasta ahora hemos obtenido que la función de onda en la zona clásicamente permitida dentro de la aproximación WKB tiene la forma: 𝜓(𝑥)=1 𝑝(𝑥)12 ( 𝐴𝑒𝑖 ( ∫√2𝑚(𝐸−𝑉(𝑥′))𝑑𝑥′ 𝑥 𝑎ℏ±𝜋4 ) +𝐵𝑒−𝑖 ( ∫√2𝑚(𝐸−𝑉(𝑥′))𝑑𝑥′ 𝑥 𝑎ℏ±𝜋4 ) ) (34.𝑎) Donde el signo + corresponde al caso donde la zona clásicamente permitida esté a la izquierda del punto de retorno (𝑥=𝑎) y el signo – al caso en el que la zona clásicamente permitida esté a la derecha del punto de retorno. En cuanto a la zona clásicamente prohibida, hemos obtenido que la función de onda es: 𝜓(𝑥)=1 𝑘(𝑥)12(𝐴′𝑒∫√2𝑚(𝑉(𝑥′)−𝐸)𝑑𝑥′ 𝑥 𝑎ℏ+𝐵′𝑒−∫√2𝑚(𝑉(𝑥′)−𝐸)𝑑𝑥′ 𝑥 𝑎ℏ) (34.𝑏) Las relaciones entre los distintos coeficientes de las exponenciales en los casos expuestos en las figuras 2 y 4 vienen dados por las relaciones de conexión (31) y (33). 16 Vamos a considerar ahora el caso de una partícula ligada moviéndose en un potencial que tiene la forma presentada en la figura 5. En él, para una energía de la partícula E, hay dos puntos de retorno clásicos en 𝑥=𝑎 y en 𝑥=𝑏 y, además, dado que consideramos que el potencial tiende a infinito a la izquierda de 𝑎 y la derecha de 𝑏, no es posible que se dé efecto túnel. Designadas las tres distintas regiones, escribimos la función de onda de la partícula en cada una de ellas: 𝜓𝐼=1 𝑘𝐼(𝑥)12(𝑐𝑔𝑒∫√2𝑚(𝑉(𝑥′)−𝐸)𝑑𝑥′ 𝑥 𝑎ℏ+𝑐𝑑𝑒−∫√2𝑚(𝑉(𝑥′)−𝐸)𝑑𝑥′ 𝑥 𝑎ℏ) 𝑥<𝑎 (35) 𝜓𝐼𝐼= { 1 𝑝(𝑥)12 ( 𝑐𝑟𝑒𝑖 ( ∫√2𝑚(𝐸−𝑉(𝑥′))𝑑𝑥′ 𝑥 𝑎ℏ−𝜋4 ) +𝑐𝑙𝑒−𝑖 ( ∫√2𝑚(𝐸−𝑉(𝑥′))𝑑𝑥′ 𝑥 𝑎ℏ−𝜋4 ) ) 1 𝑝(𝑥)12 ( 𝑐1𝑒𝑖 ( ∫√2𝑚(𝐸−𝑉(𝑥′))𝑑𝑥′ 𝑥 𝑏ℏ+𝜋4 ) +𝑐2𝑒−𝑖 ( ∫√2𝑚(𝐸−𝑉(𝑥′))𝑑𝑥′ 𝑥 𝑏ℏ+𝜋4 ) ) 𝑎<𝑥<𝑏 (36) 𝜓𝐼𝐼𝐼=1 𝑘𝐼𝐼𝐼(𝑥)12(𝑐4𝑒∫√2𝑚(𝑉(𝑥′)−𝐸)𝑑𝑥′ 𝑥 𝑏ℏ+𝑐3𝑒−∫√2𝑚(𝑉(𝑥′)−𝐸)𝑑𝑥′ 𝑥 𝑏ℏ) 𝑥>𝑏 (37) Figura 5. Pozo de potencial genérico con dos puntos de retorno En la región II, en principio, podemos escribir dos expresiones distintas para la función de onda que se diferencia en los límites de integración de las exponenciales, uno para un 17 punto de retorno y otro para el otro punto, así como los correspondientes factores ±𝜋4 , positivo para el caso del punto de retorno 𝑥=𝑏 en el que el potencial es ascendente y negativo en otro caso, tal y como habíamos obtenido en el apartado de las fórmulas de conexión. Dado que el potencial se va a infinito a la izquierda del primer punto de retorno y a la derecha del segundo, debemos exigir que 𝑐4=𝑐𝑑=0 ya que sus correspondientes exponenciales divergen para 𝑥→±∞ respectivamente. Con estas condiciones y usando las relaciones de conexión (31) y (33) obtenemos que necesariamente 𝑐𝑟=𝑐𝑙=𝑐𝑔 y 𝑐1=𝑐2=𝑐3, por lo que la función de onda en la región II se reduce a: 𝜓𝐼𝐼=2𝑐𝑔 𝑝(𝑥)12cos(1ℏ∫𝑝(𝑥′)𝑑𝑥′ 𝑥 𝑎−𝜋4)=2𝑐3 𝑝(𝑥)12cos(1ℏ∫𝑝(𝑥′)𝑑𝑥′ 𝑥 𝑏+𝜋4) (38) Vamos a ver bajo qué condiciones se cumple la igualdad entre los dos miembros de la ecuación (38). Empezamos trabajando con el término más a la derecha, al que cambiamos el signo del argumento del coseno basándonos en que es una función par y alteramos los límites de integración de forma que podemos escribir −∫=∫−∫ 𝑥 𝑎 𝑏 𝑎 𝑥 𝑏. Además, ponemos −𝜋4=𝜋4−𝜋2 por lo que: 2𝑐3 𝑝(𝑥)12cos(1ℏ∫𝑝(𝑥′)𝑑𝑥′ 𝑥 𝑏+𝜋4)=2𝑐3 𝑝(𝑥)12cos(1ℏ∫𝑝(𝑥′)𝑑𝑥′ 𝑏 𝑎−1ℏ∫𝑝(𝑥′)𝑑𝑥′ 𝑥 𝑎+𝜋4−𝜋2)= =2𝑐3 𝑝(𝑥)12sen(1ℏ∫𝑝(𝑥′)𝑑𝑥′ 𝑏 𝑎−1ℏ∫𝑝(𝑥′)𝑑𝑥′ 𝑥 𝑎+𝜋4) Teniendo en cuenta que 𝑠𝑒𝑛(𝑎−𝑏)=𝑠𝑒𝑛(𝑎)cos(𝑏)−cos(𝑎)𝑠𝑒𝑛(𝑏), tenemos que: 2𝑐3 𝑝(𝑥)12cos(1ℏ∫𝑝(𝑥′)𝑑𝑥′ 𝑥 𝑏+𝜋4)=2𝑐3 𝑝(𝑥)12[𝑠𝑒𝑛(1ℏ∫𝑝(𝑥′)𝑑𝑥′ 𝑏 𝑎)cos(−1ℏ∫𝑝(𝑥′)𝑑𝑥′ 𝑥 𝑎+𝜋4)]− −2𝑐3 𝑝(𝑥)12[cos(1ℏ∫𝑝(𝑥′)𝑑𝑥′ 𝑏 𝑎)𝑠𝑒𝑛(−1ℏ∫𝑝(𝑥′)𝑑𝑥′+𝜋4 𝑥 𝑎)] 18 Si 1ℏ∫𝑝(𝑥′)𝑑𝑥′=(2𝑛+1 )𝜋2 𝑏 𝑎 con 𝑛=0,1,2,3… entonces cos(1ℏ∫𝑝(𝑥′)𝑑𝑥′ 𝑏 𝑎)=0 y 𝑠𝑒𝑛(1ℏ∫𝑝(𝑥′)𝑑𝑥′ 𝑏 𝑎)=(−1)𝑛 . Teniendo en cuenta de nuevo la paridad del coseno, tenemos que: 2𝑐3 𝑝(𝑥)12sen(1ℏ∫𝑝(𝑥′)𝑑𝑥′ 𝑏 𝑎−1ℏ∫𝑝(𝑥′)𝑑𝑥′ 𝑥 𝑎+𝜋4)=2𝑐3 𝑝(𝑥)12(−1)𝑛cos(1ℏ∫𝑝(𝑥′)𝑑𝑥′ 𝑥 𝑎−𝜋4) Por tanto, la igualdad en (38) se cumple si 𝑐𝑔=(−1)𝑛𝑐3 y además si: ∫𝑝(𝑥′)𝑑𝑥′=(2𝑛+1 )ℏ𝜋 2 𝑏 𝑎→∮𝑝(𝑥′)𝑑𝑥′=2𝜋ℏ(𝑛+12) (39) La ecuación (39) es la denominada condición de cuantización de Bohr-Sommerfeld, donde la integral se extiende a un periodo completo del movimiento semiclásico que describe la partícula entre los dos puntos de retorno. Con esta condición, es posible obtener los niveles de energía 𝐸(𝑛) dentro de la aproximación semiclásica, lo que en nuestro caso quiere decir que es válida para 𝑛 suficientemente grande. En muchos casos, la relación 𝐸(𝑛) dada por (39) no coincidirá con la solución obtenida resolviendo la ecuación de Schrödinger exacta, pero en otros casos sí. Para ilustrar esto, vamos a tomar el ejemplo de un pozo con la forma de un oscilador armónico, por lo que 𝑉(𝑥)=12𝑚𝜔2𝑥2 y los puntos de retorno serán 𝑎=−√2𝐸 𝑚𝜔2 y 𝑏=√2𝐸 𝑚𝜔2. Según (39) tenemos que: 1ℏ∫𝑝(𝑥′)𝑑𝑥′=√2𝑚𝐸 ℏ 𝑏 𝑎∫ (1−𝑚𝜔2𝑥2 2𝐸 )12 √2𝐸 𝑚𝜔2 −√2𝐸 𝑚𝜔2𝑑𝑥 Con el cambio 𝑚𝜔2𝑥2 2𝐸 =𝑠𝑒𝑛(𝜉)2 conseguimos reducir la ecuación a: 1ℏ∫𝑝(𝑥′)𝑑𝑥′=2𝐸 ℏ𝜔 𝑏 𝑎∫cos(𝜉)2𝑑𝜉=𝐸𝜋 ℏ𝜔 𝜋2 −𝜋2 Según (39): 19 𝐸𝜋 ℏ𝜔=(2𝑛+1 )𝜋2→𝐸(𝑛)=ℏ𝜔(𝑛+12) (40) Sabemos de antemano el resultado exacto de las energías de una partícula en un potencial de oscilador armónico y coincide con el obtenido en (40). Además, dado que sabemos que la función de onda viene dada por (35), (36) y (37), es posible obtener que para el caso del oscilador armónico dichas formas de la función de onda coinciden con la solución exacta dada en función de los polinomios de Hermite salvo en los puntos en los que la aproximación falla, es decir, en los puntos de retorno9. 20 V. Efecto túnel cuántico para diferentes geometrías Con el desarrollo de la aproximación WKB tenemos la herramienta necesaria para empezar el estudio del efecto que nos ocupa en este trabajo, el efecto túnel cuántico. Para ello, vamos a empezar considerando un potencial como el de la figura 6, con dos puntos de retorno en 𝑥=𝑎 y 𝑥=𝑏 y con una función de onda WKB para las tres regiones dadas por: 𝜓𝐼(𝑥)=1 𝑝(𝑥)12(𝑐1𝑒𝑖(∫𝑝(𝑥′)𝑑𝑥′ 𝑥 𝑎ℏ+𝜋4)+𝑐2𝑒−𝑖(∫𝑝(𝑥′)𝑑𝑥′ 𝑥 𝑎ℏ+𝜋4)) 𝑥<𝑎 (41) 𝜓𝐼𝐼(𝑥)= { 1 𝑘(𝑥)12(𝑐4𝑒1ℏ∫𝑘(𝑥′)𝑑𝑥′ 𝑥 𝑎+𝑐3𝑒−1ℏ∫𝑘(𝑥′)𝑑𝑥′ 𝑥 𝑎) 1 𝑘(𝑥)12(𝑐𝑔𝑒1ℏ∫𝑘(𝑥′)𝑑𝑥′ 𝑥 𝑏+𝑐𝑑𝑒−1ℏ∫𝑘(𝑥′)𝑑𝑥′ 𝑥 𝑏) 𝑎<𝑥<𝑏 (42) 𝜓𝐼𝐼𝐼(𝑥′)=1 𝑝(𝑥)12(𝑐𝑟𝑒𝑖(∫𝑝(𝑥′)𝑑𝑥′ 𝑥 𝑏ℏ−𝜋4)+𝑐𝑙𝑒−𝑖(∫𝑝(𝑥′) 𝑥 𝑏ℏ−𝜋4)) 𝑥>𝑏 (43) Figura 6. Potencial genérico v(x) con dos puntos de retorno. Dicho potencial además de tener que cumplir la condición de validez de la aproximación WKB tiene que presentar un buen comportamiento, es decir, tiene que ser continuo.. 27 Figura 12. Potencial genérico con cuatro puntos de retorno para energías comprendidas entre v0 y v1, intervalo en el que hay 4 puntos de retorno. Al igual que en el caso de dos puntos de retorno, empezamos planteando la función de onda en las distintas regiones: 𝜓𝐼=1 𝑝(𝑥)12[𝑐1𝑒𝑖(𝐼1+𝜋4)+𝑐2𝑒−𝑖(𝐼1+𝜋4)] (54) 𝜓𝐼𝐼= { 1 𝑘(𝑥)12[𝑐4𝑒𝐼2+𝑐3𝑒−𝐼2] 1 𝑘(𝑥)12[𝑐𝑔𝑒𝐼3+𝑐𝑑𝑒−𝐼3] (55) 𝜓𝐼𝐼𝐼= { 1 𝑝(𝑥)12[𝑐𝑟𝑒𝑖(𝐼4−𝜋4)+𝑐𝑙𝑒−𝑖(𝐼4−𝜋4)] 1 𝑝(𝑥)12[𝑐1′𝑒𝑖(𝐼5+𝜋4)+𝑐2′𝑒−𝑖(𝐼5+𝜋4)] (56) 𝜓𝐼𝑉= { 1 𝑘(𝑥)12[𝑐4′𝑒𝐼6+𝑐3′𝑒−𝐼6] 1 𝑘(𝑥)12[𝑐𝑔′𝑒𝐼7+𝑐𝑑′𝑒−𝐼7] (57) 𝜓𝑉=1 𝑝(𝑥)12[𝑐𝑟′𝑒𝑖(𝐼8−𝜋4)+𝑐𝑙′𝑒−𝑖(𝐼8−𝜋4)] (58) 28 Donde sabemos las relaciones entre los distintos coeficientes dadas por las relaciones de conexión (31) y (33) y además las integrales definidas en las anteriores expresiones son: 𝐼1=1ℏ∫𝑝(𝑥′)𝑑𝑥′ 𝑥 −𝑎 ;𝐼2=1ℏ∫𝑘(𝑥′)𝑑𝑥′; 𝑥 −𝑎 𝐼3=1ℏ∫𝑘(𝑥′)𝑑𝑥′ 𝑥 −𝑏 ; 𝐼4=1ℏ∫𝑝(𝑥′)𝑑𝑥′; 𝑥 −𝑏 𝐼5=1ℏ∫𝑝(𝑥′)𝑑𝑥′; 𝑥 𝑐𝐼6=1ℏ∫𝑘(𝑥′)𝑑𝑥′ 𝑥 𝑐; 𝐼7=1ℏ∫𝑘(𝑥′)𝑑𝑥′ 𝑥 𝑑;𝐼8=1ℏ∫𝑝(𝑥′)𝑑𝑥′ 𝑥 𝑑 Para las regiones en las que se pueden definir dos funciones de onda, es decir, en las regiones II, III y IV, podemos encontrar relaciones entre los coeficientes de dichas regiones haciendo cambios convenientes en los límites de integración de los argumentos de las exponenciales que forman las distintas funciones de onda de estas regiones, al igual que hicimos en el caso con dos puntos de retorno. Teniendo en cuenta esto último, tenemos que: 𝐼6=𝜇+𝐼7 ;𝐼4=𝜂+𝐼5;𝐼2=Ω+𝐼3 (59) 𝜇=1ℏ∫𝑘(𝑥′)𝑑𝑥′ 𝑑 𝑐; 𝜂=1ℏ∫𝑝(𝑥′)𝑑𝑥′ 𝑐 −𝑏 ; Ω=1ℏ∫ 𝑘(𝑥′)𝑑𝑥′ −𝑏 −𝑎 (60) Con (59) encontramos las siguientes relaciones entre los coeficientes de las regiones II, III y IV: 𝑐𝑔=𝑐4𝑒Ω; 𝑐𝑑=𝑐3𝑒−Ω; 𝑐1′=𝑐𝑟𝑒𝑖(𝜂−𝜋2); 𝑐2′=𝑐𝑙𝑒−𝑖(𝜂−𝜋2); 𝑐3′=𝑐𝑑′𝑒𝜇; 𝑐4′=𝑐𝑔′𝑒−𝜇 (61) Dado que en la región V no hay onda viajera hacia la izquierda, tenemos que 𝑐𝑙′=0. Esto junto con una de las fórmulas de conexión hacen que: (𝑐𝑔′ 𝑐𝑑′)= (1/2 1/2 −𝑖 𝑖 )(𝑐𝑟′ 𝑐𝑙′)=(1/2 1/2 −𝑖 𝑖 )(𝑐𝑟′ 0)→𝑐𝑔′=12𝑐𝑟′ ;𝑐𝑑′=−𝑖𝑐𝑟′ (62) Sustituimos los resultados de (62) en sus correspondientes expresiones en (61) y obtenemos: 𝑐4′=𝑐𝑟′ 2𝑒−𝜇; 𝑐3′=−𝑖𝑐𝑟′𝑒𝜇 (63) 29 Utilizando la otra fórmula de conexión y el resultado (63) tenemos que: (𝑐1′ 𝑐2′)= ( 1 −𝑖2 ⁄ 1𝑖2 ⁄)(𝑐3′ 𝑐4′)→ 𝑐1′=𝑐3′−𝑖2𝑐4′=−𝑖4𝑐𝑟′(4𝑒𝜇+𝑒−𝜇) 𝑐2′=𝑐3′+𝑖2𝑐4′=−𝑖4𝑐𝑟′(4𝑒𝜇−𝑒−𝜇) (64) Sustituimos las expresiones de 𝑐1′ y 𝑐2′ dadas en (64) en sus correspondientes ecuaciones dadas en (61), por tanto: 𝑐𝑟=−𝑖4𝑐𝑟′(4𝑒𝜇+𝑒−𝜇)𝑒−𝑖(𝜂−𝜋2) ; 𝑐𝑙=−𝑖4𝑐𝑟′(4𝑒𝜇−𝑒−𝜇)𝑒𝑖(𝜂−𝜋2) (65) Usando de nuevo la primera fórmula de conexión y teniendo en cuenta (65): 𝑐𝑔=12(𝑐𝑟+𝑐𝑙)=−𝑖8𝑐𝑟′[(4𝑒𝜇+𝑒−𝜇)𝑒−𝑖(𝜂−𝜋2)+(4𝑒𝜇−𝑒−𝜇)𝑒𝑖(𝜂−𝜋2)] 𝑐𝑑=−𝑖(𝑐𝑟−𝑐𝑙)=14𝑐𝑟′[−(4𝑒𝜇+𝑒−𝜇)𝑒−𝑖(𝜂−𝜋2)+(4𝑒𝜇−𝑒−𝜇)𝑒𝑖(𝜂−𝜋2)] Reagrupando los términos comunes reducimos las expresiones a: 𝑐𝑔=−𝑖4𝑐𝑟′[4𝑒𝜇cos(𝜂−𝜋2)−𝑖𝑠𝑒𝑛(𝜂−𝜋2)𝑒−𝜇] (66) 𝑐𝑑=12𝑐𝑟′[4𝑖𝑒𝜇sen(𝜂−𝜋2)−cos(𝜂−𝜋2)𝑒−𝜇] (67) Sustituimos los resultados (66) y (67) en su lugar correspondiente en las expresiones dadas en (61): 𝑐4=−𝑖4𝑐𝑟′[4𝑒𝜇cos(𝜂−𝜋2)−𝑖𝑠𝑒𝑛(𝜂−𝜋2)𝑒−𝜇]𝑒−Ω (68) 𝑐3=12𝑐𝑟′[4𝑖𝑒𝜇sen(𝜂−𝜋2)−cos(𝜂−𝜋2)𝑒−𝜇]𝑒Ω (69) Usando de nuevo las fórmulas de conexión junto con (68) y (69) tenemos que: 30 𝑐1=𝑐3−𝑖2𝑐4=𝑐𝑟′(𝑖𝑠𝑒𝑛(𝜂−𝜋2)[2𝑒𝜇+Ω+18𝑒−(Ω+𝜇)]−cos(𝜂−𝜋2)cosh(Ω−𝜇)) (70) 𝑐2=𝑐3+𝑖2𝑐4=𝑐𝑟′(𝑖𝑠𝑒𝑛(𝜂−𝜋2)[2𝑒𝜇+Ω−18𝑒−(Ω+𝜇)]−cos(𝜂−𝜋2)senh(Ω−𝜇)) (71) Teniendo en cuenta que 𝑠𝑒𝑛(𝜂−𝜋2)=−cos(𝜂) y 𝑐𝑜𝑠(𝜂−𝜋2)=𝑠𝑒𝑛(𝜂)tonces: 𝑐𝑟′ 𝑐1=−1 (𝑖𝑐𝑜𝑠(𝜂)[2𝑒𝜇+Ω+18𝑒−(Ω+𝜇)]+𝑠𝑒𝑛(𝜂)cosh(Ω−𝜇)) (72) 𝑐𝑟′ 𝑐2=−1 (𝑖𝑐𝑜𝑠(𝜂)[2𝑒𝜇+Ω−18𝑒−(Ω+𝜇)]+𝑠𝑒𝑛(𝜂)senh(Ω−𝜇)) (73) A partir de (72) y (73) podemos encontrar las expresiones de los coeficientes de transmisión y reflexión: 𝑇=|𝑐𝑟′|2 |𝑐1|2=1 cos(𝜂)2(2𝑒(𝜇+Ω)+18𝑒−(Ω+𝜇))2+𝑠𝑒𝑛(𝜂)2cosh(Ω−𝜇)2 (74) 𝑅=|𝑐2|2 |𝑐1|2=cos(𝜂)2(2𝑒(𝜇+Ω)−18𝑒−(Ω+𝜇))2+𝑠𝑒𝑛(𝜂)2senh(Ω−𝜇)2 cos(𝜂)2(2𝑒(𝜇+Ω)+18𝑒−(Ω+𝜇))2+𝑠𝑒𝑛(𝜂)2cosh(Ω−𝜇)2 (75) Es posible simplificar las expresiones (74) y (75) considerando el caso particular en el que el potencial de la figura 12 es simétrico, por lo que 𝜇=Ω=ϵ y por tanto cosh(Ω−𝜇)=1 y senh(Ω−𝜇)=0, por lo que las expresiones se reducen a: 𝑇= 1 cos(𝜂)2(2𝑒2𝜖+18𝑒−2𝜖)2+𝑠𝑒𝑛(𝜂)2 (76) 𝑅= cos(𝜂)2(2𝑒2𝜖−18𝑒−2𝜖)2 cos(𝜂)2(2𝑒2𝜖+18𝑒−2𝜖)2+𝑠𝑒𝑛(𝜂)2 (77) De las ecuaciones obtenidas podemos ver que 𝑇+𝑅=1 y que además hay determinados valores de la energía incidente para los cuales 𝑇=1 y 𝑅=0. Dichas energías vienen dadas por la condición: 31 𝜂=1ℏ∫𝑝(𝑥′)𝑑𝑥′ 𝑐 −𝑏 =(𝑛+12)𝜋 (78) La ecuación (78) es la condición de Bohr-Sommerfeld que nos da las energías del pozo de la figura 12, es decir, que la barrera doble de potencial es totalmente transparente para la partícula incidente si esta lleva exactamente la energía correspondiente a uno de los autovalores del pozo de potencial. Un ejemplo de potencial de la forma presentada en la figura 12 es uno de la forma 𝑉(𝑥)=𝐴𝑥2+𝐵𝑥4 con los coeficientes elegidos de manera adecuada. Este tipo de potencial ya se ha estudiado12, tanto en caso de energías por debajo del máximo, donde es válida la aproximación WKB, como para energías mayores, comprobándose la aparición de resonancias para valores de la energía iguales a los autovalores del pozo. 32 VI. Estados ligados de un pozo doble de potencial Hasta ahora, hemos hecho un análisis más o menos profundo del efecto túnel cuántico bajo potenciales con diferentes formas, aunque, la aproximación WKB también nos da una herramienta para el cálculo de las energías de estados ligados para distintos potenciales. Por tanto, resulta interesante utilizar el método para dar una expresión aproximada de los estados ligados del potencial presentado en la figura 13, donde supondremos que el potencial tiende a ∞ a medida que 𝑥→±∞ y además supondremos energías más bajas que el máximo central del potencial. Como en las demás ocasiones, comenzamos definiendo la función de onda WKB en las distintas regiones: Figura 13. Pozo de potencial doble 𝜓𝐼=1 𝑘(𝑥)12[𝑐𝑔𝑒𝛼+𝑐𝑑𝑒−𝛼] (79) 𝜓𝐼𝐼 = { 1 𝑝(𝑥)12[𝑐𝑟𝑒𝑖(𝛽−𝜋4)+𝑐𝑙𝑒−𝑖(𝛽−𝜋4)] 1 𝑝(𝑥)12[𝑐1𝑒𝑖(𝛾+𝜋4)+𝑐2𝑒−𝑖(𝛾+𝜋4)] (80) 𝜓𝐼𝐼𝐼= { 1 𝑘(𝑥)12[𝑐4𝑒Ω+𝑐3𝑒−Ω] 1 𝑘(𝑥)12[𝑐𝑔′𝑒𝜂+𝑐𝑑′𝑒−𝜂] (81) 33 𝜓𝐼𝑉= { 1 𝑝(𝑥)12[𝑐𝑟′𝑒𝑖(𝜉−𝜋4)+𝑐𝑙′𝑒−𝑖(𝜉−𝜋4)] 1 𝑝(𝑥)12[𝑐1′𝑒𝑖(𝜎+𝜋4)+𝑐2′𝑒−𝑖(𝜎+𝜋4)] (82) 𝜓𝑉=1 𝑘(𝑥)12[𝑐4′𝑒𝜗+𝑐3′𝑒−𝜗] (83) Donde de nuevo se han elegido los subíndices de los coeficientes de forma que nos sea sencillo utilizar las relaciones de conexión (31) y (33). Además, las distintas expresiones de las integrales en el argumento de las exponenciales son: 𝛼=1ℏ∫𝑘(𝑥′)𝑑𝑥′ 𝑥 𝑎;𝛽=1ℏ∫𝑝(𝑥′)𝑑𝑥′; 𝑥 𝑎𝛾=1ℏ∫𝑝(𝑥′)𝑑𝑥′ 𝑥 𝑏; Ω=1ℏ∫𝑘(𝑥′)𝑑𝑥′; 𝑥 𝑏 𝜂=1ℏ∫𝑘(𝑥′)𝑑𝑥′; 𝑥 𝑐𝜉=1ℏ∫𝑝(𝑥′)𝑑𝑥′ 𝑥 𝑐; 𝜗=1ℏ∫𝑘(𝑥′)𝑑𝑥′ 𝑥 𝑑;𝜎=1ℏ∫𝑝(𝑥′)𝑑𝑥′ 𝑥 𝑑 Podemos encontrar una relación entre los coeficientes de la región IV de la siguiente forma: 𝜉=𝜃+𝜎 ; 𝜃= 1ℏ∫𝑝(𝑥′)𝑑𝑥′ 𝑑 𝑐 (84) 𝑐𝑟′𝑒𝑖(𝜃−𝜋2)=𝑐1′ ; 𝑐𝑙′𝑒−𝑖(𝜃−𝜋2)=𝑐2′ (85) Y de forma análoga podemos hacer lo mismo con los coeficientes de la zona II: 𝛽=𝜏+𝛾; 𝜏=1ℏ∫𝑝(𝑥′)𝑑𝑥′ 𝑏 𝑎 (86) 𝑐𝑟𝑒𝑖(𝜏−𝜋2)=𝑐1 ; 𝑐𝑙𝑒−𝑖(𝜏−𝜋2)=𝑐2 (87) Dado que el potencial se va a infinito a la izquierda de 𝑥=𝑎 y a la derecha de 𝑥=𝑑, exigimos que 𝑐4′=𝑐𝑑=0 que junto con una de las fórmulas de conexión hacen que 𝑐1′= 34 𝑐3′=𝑐2′=𝐴 y 𝑐𝑟=𝑐𝑙=𝑐𝑔=𝐵. Teniendo en cuenta las relaciones (85) y (87) y aplicando de nuevo las fórmulas de conexión tenemos que: 𝑐𝑔′=𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜃−𝜋2); 𝑐𝑑′=−2𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜃−𝜋2) (88) 𝑐3=𝐵𝑐𝑜𝑠(𝜏−𝜋2) ; 𝑐4=−2𝐵𝑠𝑒𝑛(𝜏−𝜋2) (89) Por otro lado, para la región III, podemos definir relaciones similares a (84) - (87) pero para esta región: Ω=𝜙+𝜂 ; 𝜙= 1ℏ∫𝑘(𝑥′)𝑑𝑥′ 𝑐 𝑏 (90) 𝑐4𝑒𝜙=𝑐𝑔′ ; 𝑐3𝑒−𝜙=𝑐𝑑′ (91) Sustituyendo (88) y (89) en (91) y teniendo en cuenta que 𝑠𝑒𝑛(𝑥−𝜋2)=−cos(𝑥) y 𝑐𝑜𝑠(𝑥−𝜋2)=𝑠𝑒𝑛(𝑥) tenemos un par de ecuaciones: 2𝐵𝑐𝑜𝑠(𝜏)𝑒𝜙=𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜃) (92) 𝐵𝑠𝑒𝑛(𝜏)𝑒−𝜙=2𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜃) (93) Dividiendo (92) y (93) entre sí obtenemos: 4𝑒2𝜙=tan(𝜏)tan(𝜃) (94) La ecuación (94) es una ecuación transcendental cuyas soluciones nos dan los valores aproximados de la energía de los estados ligados del potencial de la figura 13. Considerando que dicho potencial es simétrico, entonces tenemos que 𝜏=𝜃 y la ecuación (94) se reduce a: ±2𝑒𝜙=tan(𝜃) (95) 35 De la condición (94) aparecen dos condiciones distintas en (95) al considerar que el potencial es simétrico. Esto nos lleva a pensar que cada una de las dos condiciones nos da un valor distinto de la energía en función de la paridad de la función de onda, que, al ser el potencial simétrico, puede ser una función par o impar. Para comprobar esto, sabemos que la función de onda en la región III viene dada por (81) que teniendo en cuenta la relación (88) pasa a ser: 𝜓𝐼𝐼𝐼=𝐴 1 𝑘(𝑥)12(𝑠𝑒𝑛(𝜃)𝑒1ℏ∫𝑘(𝑥′)𝑑𝑥′ 𝑥 𝑐+2cos(𝜃)𝑒−1ℏ∫𝑘(𝑥′)𝑑𝑥′ 𝑥 𝑐) (96) Si consideramos la función de onda impar, entonces esta tiene que cumplir la condición 𝜓(0)=0, la cual aplicada a (96) pasa a ser: tan(𝜃)=−2𝑒−2ℏ∫𝑘(𝑥′)𝑑𝑥′ 0 𝑐=−2𝑒1ℏ∫𝑘(𝑥′) 𝑐 𝑏=−2𝑒𝜙 (97) Donde hemos utilizado que el potencial v(x) es una función par según se puede observar en la figura 13. Si consideramos a continuación que la función de onda es una función par, entonces 𝜓′(0)=0, que aplicada a (96) nos lleva a que: 𝐴 𝑘(0)12[−𝑘′(0) 2𝑘(0)14(𝑠𝑒𝑛(𝜃)𝑒1ℏ∫𝑘(𝑥′)𝑑𝑥′ 0 𝑐+2cos(𝜃)𝑒−1ℏ∫𝑘(𝑥′)𝑑𝑥′ 0 𝑐)+𝑘(0) ℏ(𝑠𝑒𝑛(𝜃)𝑒1ℏ∫𝑘(𝑥′)𝑑𝑥′ 0 𝑐−2cos(𝜃)𝑒−1ℏ∫𝑘(𝑥′)𝑑𝑥′ 0 𝑐)]=0 Donde hemos utilizado el primer teorema fundamental del cálculo y el hecho de que k(x) se anula en 𝑥=𝑐 porque es un punto de retorno. Dado que el potencial es una función par, entonces k(x) también lo es y por tanto 𝑘′(0)=0, por lo que nos lleva a: tan(𝜃)=2𝑒−2ℏ∫𝑘(𝑥′)𝑑𝑥′ 0 𝑐=2𝑒1ℏ∫𝑘(𝑥′) 𝑐 𝑏=2𝑒𝜙 (98) Hemos comprobado así que el signo + en la ecuación (95) nos da los autovalores de la función de onda par y el signo – los de la función de onda impar. Sabemos de 𝜙 se hace muy grande en el caso en el que la barrera de potencial sea muy alta en comparación con la energía de la partícula ya que en ese caso la probabilidad de que esta atraviese la barrera disminuye mucho y sabemos que el coeficiente de 36 transmisión va como 𝑇~𝑒−2𝜙. Si suponemos que la barrera central de la figura 13 es muy alta en comparación con la energía de la partícula E, entonces de (95) deducimos que 𝜃→𝜋2 , por lo que en este caso podemos escribir: 𝜃=(𝑛+12)𝜋+𝜀 ; |𝜀|≪1 (99) Donde 𝑛=0,1,2… y 𝜀 es un número muy pequeño. Sustituyendo (99) en (95) tenemos que: tan((𝑛+12)𝜋+𝜀)=±2𝑒𝜙 (100) Sabiendo que tan(𝑎+𝑏)=tan(𝑎)+tan (𝑏) 1−tan (𝑎)tan (𝑏) tenemos que: tan((𝑛+12)𝜋+𝜀)= lim 𝑥→(𝑛+12)𝜋 tan(𝑥)+tan (𝜀) 1−tan (𝜀)tan (𝑥)=− 1 tan(𝜀) (101) Como 𝜀≪1, entonces tan (𝜀)≈𝜀, que junto con (100) nos lleva a que: 𝜀≈∓𝑒−𝜙 2 (102) Sustituyendo (102) en (99) obtenemos: 𝜃≈(𝑛+12)𝜋 ∓𝑒−𝜙 2 (103) Por tanto, la condición (103), aproximación de (95) en el caso de barrera alta, nos da las energías de los estados ligados del caso simétrico del potencial de la figura 13 dependiendo de si la función de onda es par (signo - en (103)) o impar (signo + en (103)). Como caso particular de potencial, podemos considerar el definido como: 43 [12] J.A. Caballero Carretero and A. Martín Sánchez, (1986), Transmission coefficients in anharmonic symmetrical potentials, Badajoz (Spain). 44 X. Bibliografía -R.G. Littlejohn. (2016). The WKB Method. Berkeley, EU. http://bohr.physics.berkeley.edu/classes/221/9697/wkb.pdf. Última vez consultado el 30/08/2017. -D. J. Griffiths. (1994). Introduction to Quantum Mechanics, New Jersey, UE. Prentice Hall, Chapter 8. - L. D. Landau and E.M Lifshitz, Quantum mechanics nonrelativistic theory (2nd ed.), Pergamon press, Chapter 7. -L. F. Casado Jiménez (1986), aproximación WKB, Badajoz (España).