Análisis de sensibilidad de trayectorias óptimas de avión en espacios aéreos estructurados

[Escriba texto] Equation Chapter 1 Section 1 Trabajo Fin de Grado Grado en Ingeniería Aeroespacial Análisis de sensibilidad de trayectorias óptimas de avión en espacios aéreos estructurados. Autor: Iris David Du Mutel de Pierrepont Franzetti Tutor: Antonio Franco Espín Dpto. Ingeniería Aeroespacial y Mecánica de Fluidos Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2018 Trabajo de Fin de Grado Grado en Ingeniería Aeroespacial Análisis de sensibilidad de trayectorias óptimas de avión en espacios aéreos estructurados. Autor: Iris David Du Mutel de Pierrepont Franzetti Tutor: Antonio Franco Espín Profesor titular Dpto. de Ingeniería Aeroespacial y Mecánica de Fluidos Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2018 Trabajo de Fin de Grado: Análisis de sensibilidad de trayectorias óptimas de avión en espacios aéreos estructurados. Autor: Iris David Du Mutel de Pierrepont Franzetti Tutor: Antonio Franco Espín El tribunal nombrado para juzgar el trabajo arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Acuerdan otorgarle la calificación de: Sevilla, 2018 El Secretario del Tribunal I Agradecimientos. Me gustaría agradecer todo el apoyo recibido durante todos estos años a mi familia. Sin sus constantes palabras de ánimo y apoyo no habría sido posible llegar hasta el final. Especialmente a mi madre, que siempre ha creído en mí y me ha defendido. A mis amigos por ayudarme siempre que lo he necesitado y acompañarme en estos años de duro trabajo y esfuerzo. Sobre todo a Fran, por su incansable dedicación y apoyo hacia todos nosotros. Sin él no sé cómo lo haríamos hecho. A Jesús por ser mi ejemplo a seguir y por sus inagotables palabras de ánimo siempre que he estado agobiada o no me he visto capaz de afrontar la situación. Por último, a mis profesores por facilitar mi aprendizaje con su esfuerzo durante todos estos años y por brindarme la oportunidad de continuar mi camino hacia el futuro que yo elija. Debo agradecer a Antonio Franco Espín, mi tutor, su paciencia en todas las tutorías y también por su atención, sin la cual no habría podido elaborar este documento. Iris David Du Mutel de Pierrepont Franzetti Sevilla, 2018 II III RESUMEN Este trabajo se centra en la optimización de rutas aéreas en función de diferentes funciones objetivo, como son la distancia, el tiempo de vuelo y el consumo de combustible. Los valores de estas funciones variarán con la posición de la aeronave puesto que se emplearán matrices de predicción de vientos y de temperaturas. En este análisis se considera un vuelo de crucero compuesto por varios segmentos a Mach y altitud presión constante. En cada segmento se obtendrán las componentes longitudinal y transversal del viento, las cuales no serán constantes durante el recorrido total del mismo. Irán variando a lo largo de la trayectoria según los valores contenidos en las matrices de predicción, los cuales se emplearán en la interpolación y se obtendrá un valor único para cada paso de integración del segmento a estudiar. De esta forma, se obtendrán diferentes rutas óptimas en función de la variable a optimizar y en función del algoritmo empleado para la resolución del problema. El objetivo de este trabajo es exponer las rutas óptimas entre dos puntos, las cuales no tienen por qué coincidir en todos los casos. Dependerá fundamentalmente de lo que se desee optimizar, pudiendo coincidir en algunos casos. Para ello se van a comparar los resultados obtenidos del análisis de la ruta entre Filadelfia y Barcelona en ambos sentidos y se razonarán las posibles causas de las diferencias encontradas. .Introducción. 2 problema. El segundo apartado es más concreto, acercándonos más al problema y su definición. Se especifica el espacio aéreo permitido así como las conexiones entre los puntos de paso del mismo, que se regirán por normas específicas. El tercer apartado abarca los algoritmos de búsqueda en grafos. Se ofrece una descripción breve de la manera de proceder en cada uno de ellos así como sus ventajas en referencia al problema. El capítulo 3 trata la resolución del problema, especificando el software empleado así como el método de resolución para los diferentes casos de interés. Hace referencia a los errores y tolerancias del problema. En el capítulo 4 se comienza a tratar con profundidad cada uno de los casos por separado. Es por ello que se divide en tres apartados, que tratan cada uno de los problemas de optimización propuestos, uno por cada variable a minimizar. Por último, el capítulo cinco concluye el trabajo y añade las posibles líneas de ampliación futuras y de mejora que se proponen a partir de los resultados obtenidos en este trabajo. .Formulación del problema. 3 2 .FORMULACIÓN DEL PROBLEMA. En el siguiente apartado se comentará la formulación del problema a abordar. Se explican las hipótesis aceptadas, las simplificaciones y las ecuaciones de la Mecánica del Vuelo y Navegación que se emplean a la hora de resolver el problema. Se explicará el proceso de obtención de la velocidad de la aeronave respecto a tierra, se describirá el espacio aéreo disponible para el trazado de rutas así como la disposición de la información meteorológica en el mismo. También se detallan los modelos empleados para la definición del problema y los algoritmos que se emplearán para resolverlo. 2.1.- Ecuaciones generales e hipótesis. El problema comienza adoptando las siguientes consideraciones acerca de las condiciones de vuelo:  La aeronave se considera un cuerpo rígido y puntual de masa variable, cuyo empuje se supone paralelo a la dirección de movimiento.  La Tierra se supone esférica, de radio RE = 6371.009 Km (radio medio terrestre).  Se empleará el modelo de atmósfera estándar internacional (ISA), pero no su hipótesis referente a los vientos. En algunos casos, la temperatura tampoco será la predicha por la ISA, sino la propia de las predicciones meteorológicas.  La gravedad se considerará constante e igual a g=9.80665 m/s2 en todos los puntos del espacio aéreo.  El vuelo se considera simétrico, con todas las fuerzas aerodinámicas contenidas en el plano de simetría y actuando sobre el centro de gravedad.  No existen vientos en dirección vertical, se encuentran limitados al plano horizontal.  El vuelo total se conformará por segmentos de crucero a: o Número de Mach constante. o Altitud presión constante de 200 hPa. Se asume altitud presión constante durante el vuelo, lo cual no implica que la altitud geopotencial también lo sea. Sin embargo, para simplificar se considera que la altitud geopotencial se mantiene también constante e igual a la que se corresponde según la atmósfera estándar internacional (ISA) a la presión impuesta. Esta hipótesis es adecuada, ya que las variaciones en altitud se producen muy lentamente, y el modelo de crucero reproduce fielmente la realidad. Por ello, el ángulo de asiento de la velocidad aerodinámica se considera nulo. Por otro lado, debe hacerse notar que en ningún caso se consideran las maniobras de despegue, aproximación o aterrizaje, lo cual simplifica enormemente el problema. Estas consideraciones tienen la siguiente consecuencia: 12·𝜌·𝑉2= 12·𝜅·𝑝·𝑀2 (2.1) En la ecuación (2.1), la parte a la derecha de la igualdad es constante y por esto, la parte de la izquierda también debe serlo. Es una forma muy cómoda de obtener la velocidad aerodinámica. Los límites geográficos para el trazado de rutas vienen dados por los límites de las matrices de predicción meteorológica. La zona se encontrará delimitada por los límites mostrados en la tabla 1: .Formulación del problema. 4 𝜑𝑚á𝑥 60º N 𝜑𝑚í𝑛 30º N 𝜆𝑚á𝑥 14º E 𝜆𝑚í𝑛 90º W Tabla 1 – Límites geográficos del espacio cubierto por las matrices de predicción meteorológica. Entonces, una vez comentadas todas las hipótesis tenidas en cuenta para la formulación del problema, las ecuaciones del vuelo para un crucero horizontal son [1]: (𝑅𝐸+ℎ)𝑑𝜑 𝑑𝑡= 𝑉cos𝜒+𝑤𝑁 (𝑅𝐸+ℎ)cos𝜑𝑑𝜆 𝑑𝑡= 𝑉sin𝜒+𝑤𝐸 𝑑𝑚 𝑑𝑡=−𝑐=−𝑐𝑇𝑇 𝐿=𝑊=𝑚𝑔 𝑇=𝐷 (2.2) Donde 𝑅𝐸 es el radio terrestre, ℎ es la altitud de vuelo, 𝜑 es la latitud y 𝜆 es la longitud. Por otro lado, 𝑉 es la velocidad aerodinámica, 𝜒 es el rumbo de la velocidad aerodinámica, 𝑤𝑁 es el viento meridional (definido positivo hacia el Norte) y 𝑤𝐸 es el viento zonal (definido positivo hacia el Este), 𝐿 es la sustentación, 𝑇 y 𝐷 son el empuje y la resistencia, respectivamente, 𝑚 es la masa de la aeronave, 𝑡 es el tiempo y 𝑐𝑇 es el consumo específico. Entonces, la velocidad respecto de tierra 𝑉𝑔 󰇍 󰇍 󰇍 puede definirse como 𝑉𝑔 󰇍 󰇍 󰇍 =𝑉 󰇍 +𝑤 󰇍 󰇍 , es decir, la suma de la velocidad aerodinámica (velocidad del avión respecto del aire) y la velocidad del viento (velocidad del aire respecto de tierra). Debe tenerse en cuenta que el rumbo 𝜒, propio de la velocidad aerodinámica, no será igual al curso real 𝜓 del segmento 𝑗, ya que habrá variado según la intensidad y dirección del viento. Por lo tanto, podremos expresar las componentes del viento en unos nuevos ejes, definidos por la nueva velocidad con respecto a tierra. Se obtendrían dos componentes del viento; una en la dirección de la velocidad 𝑉𝑔 󰇍 󰇍 󰇍 (paralela a ella), y otra componente perpendicular, denotadas como 𝑤 󰇍 󰇍 𝑙 y 𝑤 󰇍 󰇍 𝑐, respectivamente. Sabiendo el valor del curso 𝜓𝑗, y las componentes del viento 𝑤𝑁𝑗, 𝑤𝐸𝑗, propias del segmento 𝑗, se procede de la siguiente forma: 𝑤𝑙𝑗=𝑤𝑁𝑗·cos𝜓𝑗+𝑤𝐸𝑗·sin𝜓𝑗 𝑤𝑐𝑗=𝑤𝐸𝑗·cos𝜓𝑗−𝑤𝑁𝑗·sin𝜓𝑗 (2.3) Donde 𝑤𝑙𝑗 es la componente longitudinal (en la dirección del movimiento) del viento, definido positivo si su sentido coincide con el de avance y negativo en caso contrario. Entonces 𝑤𝑐𝑗 es la componente transversal del viento, que definiremos positiva si entra por el lado izquierdo del avión y negativa en caso contrario. De esta forma, podemos definir la velocidad 𝑉𝑔𝑗 empleando las ecuaciones (2.3) y que 𝑉𝑔 󰇍 󰇍 󰇍 =𝑉 󰇍 +𝑤 󰇍 󰇍 , se obtiene la expresión (2.4). .Formulación del problema. 5 𝑉𝑔𝑗=√𝑉2−𝑤𝑐𝑗 2+𝑤𝑗 (2.4) Entonces, se empleará la expresión (2.5) para definir la velocidad con respecto del suelo. 𝑉𝑔𝑗= √𝜃𝑅𝑎𝜅𝑀2−𝑤𝑐𝑗 2+𝑤𝑙𝑗 (2.5) Donde 𝜃 es la temperatura a una altitud dada, 𝑅𝑎 es la constante del aire, 𝜅 es el coeficiente de dilatación adiabática, 𝑀 es el número de Mach, que es dado en el problema, y 𝑤𝑐𝑗 y 𝑤𝑙𝑗 serán las componentes transversal y longitudinal del viento en el segmento 𝑗. La temperatura así como las componentes del viento variarán a lo largo de un mismo segmento, ocasionando un cambio en el valor de la velocidad con respecto de tierra. Esto debe tenerse en cuenta a la hora de medir el tiempo de vuelo o el consumo de combustible. En la Figura 2-1 se indican con claridad las diferentes componentes de la velocidad comentadas anteriormente. Figura 2-1 Triángulo de velocidades. Tras estas definiciones y junto con las primeras expresiones de (2.2), podemos proceder con la obtención de las ecuaciones del problema: (𝑅𝐸+ℎ)𝑑𝜑 𝑑𝑡=𝑉𝑔cos𝜓 (𝑅𝐸+ℎ)cos𝜑𝑑𝜆 𝑑𝑡=𝑉𝑔sin𝜓 (2.6) De esta forma la variación de la posición queda en función del módulo de la velocidad de la aeronave respecto de tierra y del curso de la misma. Entonces podemos definir la variación de la distancia recorrida como: .Formulación del problema. 6 𝑑𝑠 𝑑𝑡=(𝑅𝐸+ℎ)√(𝑑𝜑 𝑑𝑡)2+ cos2𝜑(𝑑𝜆 𝑑𝑡)2 (2.7) Es equivalente a decir que: 𝑑𝑠 𝑑𝑡=𝑉𝑔 (2.8) Finalmente, las ecuaciones particularizadas para un segmento 𝑗 [2] son: 𝑑𝑠 𝑑𝑡=𝑉𝑔𝑗 𝑑𝑚 𝑑𝑡=−𝑐𝑇𝑇 𝑇=𝐷 𝐿=𝑚𝑔 (2.9) A partir de la primera ecuación de (2.9), obtenemos una expresión cuya integración nos proporciona el tiempo de vuelo de un segmento. Bastará con invertirla e integrar en función del avance de la aeronave: 𝑑𝑡 𝑑𝑠=1 𝑉𝑔𝑗 (2.10) Una vez obtenido el tiempo de vuelo, puede obtenerse el consumo de combustible de manera similar. Bastará con combinar las primeras dos ecuaciones de (2.9) para obtener una expresión de la variación de la masa con respecto a la variación del avance. 𝑑𝑚 𝑑𝑠=−𝑐𝑇𝑇 𝑉𝑔𝑗 (2.11) La ecuación (2.11) puede expresarse de la siguiente forma [3]: 𝑑𝑚 𝑑𝑠=−(𝐴+𝐵𝑚2) 𝑉𝑔𝑗 (2.12) Donde 𝐴 y 𝐵 se definen como: 𝐴=𝑐𝑇 2𝜅𝑝𝑀2𝑆𝐶𝐷0 𝐵=2𝑐𝑇𝐶𝐷2𝑔2 𝜅𝑝𝑀2𝑆 (2.13) Nótese que la ecuación (2.12) es una ecuación no lineal que describe la evolución de la masa de la aeronave en función de la distancia. No obstante, el problema tiene la siguiente solución explícita: arctan[√𝐵𝐴(𝑚𝑖)𝑗]=arctan[√𝐵𝐴(𝑚𝑓)𝑗]+√𝐴𝐵(𝛥𝑡)𝑗 (2.14) .Formulación del problema. 7 Donde (𝛥𝑡)𝑗=(𝑥𝑓)𝑗/𝑉𝑔𝑗 es el tiempo de vuelo correspondiente al segmento 𝑗. La relación 𝑚𝐹=𝑚𝑖−𝑚𝑓, que define la masa de combustible consumida como la diferencia entre la masa inicial y la masa final (para un segmento determinado) es conocida, y combinando la ecuación (2.14) junto con esta expresión se obtiene la ecuación (2.15): 𝑚𝐹𝑗=𝑚𝑖𝑗− √𝐴 𝐵 (tan(arctan(√𝐵𝐴𝑚𝑖𝑗))−√𝐴𝐵(𝛥𝑡)𝑗) (2.15) Esta ecuación define la masa de combustible que se consume en un segmento 𝑗 en función de la masa inicial en el origen del segmento y el tiempo de vuelo del mismo. De esta forma puede calcularse de manera analítica la masa de combustible consumida, recorriendo el trayecto desde el inicio hasta el final. La forma analítica será válida únicamente para el caso en que la temperatura sea constante en todo el espacio aéreo, ya que resulta imposible evaluar cualquier cambio de dicha variable a través de este método. Entonces, cuando exista una distribución de temperaturas no uniformes para todo el espacio permitido, se procederá al cálculo del consumo de manera numérica, es decir, integrando a lo largo de cada segmento la expresión (2.12), según la distancia total del mismo. Debe calcularse la velocidad con respecto a tierra en cada punto en cada punto del segmento, ya que es necesaria para el cálculo del consumo de combustible. Es importante tener en cuenta que en el caso del cálculo analítico, los coeficientes 𝐴 y 𝐵 serán constantes para cada segmento. En cambio, en el caso numérico, al evaluar cada punto de la trayectoria, puede tenerse en cuenta el valor de la temperatura y actualizar los coeficientes 𝐴 y 𝐵 en cada paso de integración. Por ello, para un valor de temperatura constante en todo el espacio aéreo debe obtenerse el mismo resultado mediante ambos procedimientos (numérico y analítico). En cambio, al variar la temperatura, los resultados serán diferentes. Debe remarcarse que no se desea comprobar el resultado de ambos procedimientos de resolución por separado ya que este trabajo no tiene como objetivo analizar el método de resolución. Entonces, el método analítico se empleará para resolver el problema con temperatura constante por su menor tiempo de ejecución y porque aporta una solución analítica al problema, y el método numérico, al permitir incluir la variación de la temperatura, se empleará para los problemas donde ésta es variable con la posición. 2.1.1.- Rutas loxodrómicas. Ecuaciones y consideraciones. Dado que los puntos de la ruta óptima deben escogerse dentro de un conjunto de puntos distribuidos sobre la superficie, es importante determinar la forma de desplazarse entre ellos. En este trabajo se ha escogido la ruta loxodrómica es decir, aquella cuyo rumbo es constante durante todo un segmento comprendido entre un mismo origen (al que se hará referencia como ‘A’) y destino (al que se hará referencia como ‘B’). Entonces, el curso se define según la ecuación (2.16) [4]: 𝜓𝑗=tan−1 ( (𝜆𝐵𝑗−𝜆𝐴𝑗) 𝑙𝑛( tan(𝜋4−𝜑𝐴𝑗 2) tan(𝜋4−𝜑𝐵𝑗 2)) ) (2.16) .Formulación del problema. 8 Donde 𝜑𝐴𝑗 y 𝜆𝐴𝑗 son la latitud y longitud del punto A (origen del segmento 𝑗); 𝜑𝐵𝑗 y 𝜆𝐵𝑗 son la latitud y longitud del punto B (final del segmento 𝑗), respectivamente. Sin embargo, existen correcciones según los valores numéricos de estas coordenadas. Si |𝜆𝐵𝑗−𝜆𝐴𝑗|>𝜋, (significa que estamos atravesando el meridiano 180º) hay que corregir 𝜆𝐵𝑗: sumar 2𝜋 (si 𝜆𝐵𝑗<0) o restar 2𝜋 en caso opuesto. Esto se detalla en la expresión (2.17): 𝜓𝑗= { tan−1 ( (𝜆𝐵𝑗+2𝜋−𝜆𝐴𝑗) 𝑙𝑛( tan(𝜋4−𝜑𝐴𝑗 2) tan(𝜋4−𝜑𝐵𝑗 2)) ) 𝑠𝑖 𝜆𝐵𝑗<0 tan−1 ( (𝜆𝐵𝑗−2𝜋−𝜆𝐴𝑗) 𝑙𝑛( tan(𝜋4−𝜑𝐴𝑗 2) tan(𝜋4−𝜑𝐵𝑗 2)) ) si 𝜆𝐵𝑗>0 (2.17) Una vez calculado el rumbo, la distancia loxodrómica se puede calcular con la siguiente expresión: 𝑑𝑗=(𝑅𝐸+ℎ)·(𝜑𝐵𝑗−𝜑𝐴𝑗) cos𝜓𝑗 (2.18) No obstante, también hay que considerar casos especiales en cuanto a las posiciones de las coordenadas del par origen-destino. Es decir, la distancia de una ruta que coincide con un segmento de paralelo o meridiano no se calcula de igual forma que una ruta genérica.  Si 𝜑𝐵𝑗=𝜑𝐴𝑗, la ruta a recorrer coincide con un arco de paralelo. El curso es 90º o 270º, lo cual representa una singularidad en la expresión (2.18). Es por ello por lo que la expresión adecuada para estos casos es la (2.19): 𝑑𝑗=(𝑅𝐸+ℎ)·cos𝜑𝑗·|𝜆𝐵𝑗−𝜆𝐴𝑗| (2.19) Finalmente, recorrer un meridiano implica que el curso sea 90º o 180º, lo cual hace que cos𝜓𝑗= 1, lo cual no provoca singularidad alguna. Por ello, se tratará como un caso genérico, no particular. 2.1.2.- Información meteorológica. La información meteorológica se proporciona en la forma de matrices de predicción. Estas matrices están asociadas a una malla de localizaciones geográficas, es decir, se dispondrá de una distribución de puntos de coordenadas conocidas en los que estará disponible información meteorológica. Estos datos son valores de vientos y temperaturas que se han obtenido previamente a través de sistemas de predicción por conjuntos (EPS o Ensemble Prediction Systems), concretamente el ECMWFEPS (European Center for Medium-Range Weather Forecasts Ensemble Prediction Systems) [5]. Una predicción por conjuntos consiste en la ejecución de 51 predicciones llevadas a cabo por el .Formulación del problema. 9 mismo computador partiendo de un mismo instante inicial. Las condiciones iniciales para cada miembro del conjunto son ligeramente diferentes, y los parámetros físicos también varían levemente. Las diferencias entre los miembros del conjunto tienden a crecer a medida que avanza la simulación. En este trabajo y para la resolución del problema se dispone de dos vectores de coordenadas de los puntos de información meteorológica, uno contiene las latitudes y otro contiene las longitudes. El vector de latitudes comienza en la latitud 𝜑𝑚í𝑛=30º N y finaliza en la latitud 𝜑𝑚á𝑥=90º N , existiendo una diferencia de 0.25º entre dos componentes consecutivas. En el caso de la longitud, la primera componente es 𝜆𝑚í𝑛=90º W y la última es 𝜆𝑚á𝑥=14º E, existiendo la misma diferencia de 0.25º entre componentes. De esta forma, se obtienen matrices de predicción de dimensiones 121x421x5x51, correspondiendo cada uno de esos valores a la latitud, longitud, instante de predicción y escenario, respectivamente. Se obtienen 5 instantes de predicción y 51 escenarios por cada matriz, existiendo tres matrices distintas: una matriz de vientos zonales, una de vientos meridionales y una última de temperaturas. Se ha creado la distribución de puntos con información meteorológica, cuya separación es de 0.25º en longitud y latitud y que puede verse en la figura 2-2. Los límites de esta distribución son los denotados en la tabla 1, que coinciden con los límites de los vectores de coordenadas. Figura 2-2 Puntos del espacio aéreo donde existe información meteorológica. A lo largo del vuelo, y en función de la posición de la aeronave, debe obtenerse un valor único de todas las variables del vuelo, principalmente aquellas que no permanecen constantes a lo largo del mismo. No obstante, será difícil que la posición de la aeronave coincida con un punto de esta malla en todos los casos, con lo que se debe recurrir a la interpolación para obtener valores puntuales. Para esto se debe hallar la situación exacta de la aeronave dentro de la malla, lo cual implica detectar los cuatro puntos por los que se encuentra rodeada. Una vez hecho esto, se obtendrán los valores de las variables en esos puntos para pasar a la interpolación. .Formulación del problema. 10 Figura 2-3 Posición genérica de una aeronave entre cuatro puntos que contienen información meteorológica. Suponiendo que la aeronave se encuentra en el punto 𝑥𝑎,𝑦𝑎 (coordenadas relativas a la malla de puntos), como indica la figura 2-3 y siendo conocidos los valores de vientos y temperaturas en los puntos 𝑃11=𝑥1,𝑦1, 𝑃12=𝑥1,𝑦2, 𝑃21=𝑥2,𝑦1 y 𝑃22=𝑥2,𝑦2, se procede a la interpolación para cada una de las variables empleando la siguiente expresión: 𝑓(𝑥𝑎,𝑦𝑎)=𝑓(𝑃11) (𝑥2−𝑥1)(𝑦2−𝑦1)(𝑥2−𝑥𝑎)(𝑦2−𝑦𝑎) + 𝑓(𝑃21) (𝑥2−𝑥1)(𝑦2−𝑦1)(𝑥𝑎−𝑥1)(𝑦2−𝑦𝑎) + 𝑓(𝑃12) (𝑥2−𝑥1)(𝑦2−𝑦1)(𝑥2−𝑥𝑎)(𝑦𝑎−𝑦1)+𝑓(𝑃22) (𝑥2−𝑥1)(𝑦2−𝑦1)(𝑥𝑎 −𝑥1)(𝑦𝑎−𝑦1) (2.20) La cuál puede simplificarse, quedando así: 𝑓(𝑥𝑎,𝑦𝑎)=1 (𝑥2−𝑥1)(𝑦2−𝑦1)((𝑓(𝑃11)(𝑥2−𝑥𝑎)(𝑦2−𝑦𝑎)) + (𝑓(𝑃21)(𝑥𝑎−𝑥1)(𝑦2−𝑦𝑎))+(𝑓(𝑃12)(𝑥2−𝑥𝑎)(𝑦𝑎−𝑦1)) +(𝑓(𝑃22)(𝑥𝑎−𝑥1)(𝑦𝑎−𝑦1))) (2.21) Debe tenerse en cuenta que se analizará el caso en el que la temperatura es igual a una constante en todo el espacio aéreo. Para ello se empleará el modelo de atmósfera estándar internacional descrito en el apartado siguiente. Por otro lado, cuando se empleen distribuciones de temperaturas variables se estará haciendo referencia a las matrices de predicción aportadas por el EPS. .Formulación del problema. 11 2.1.3.- Modelos empleados. El problema quedará totalmente definido una vez que se introduzcan los siguientes modelos, que permitirán una completa caracterización de la actuación.  Modelo de atmósfera ISA. Al volar a una altitud presión de 200 hPa, la altitud de vuelo correspondiente es de 11784.03 metros. Este modelo permite la obtención de la densidad del aire 𝜌, a esta altitud, así como la temperatura 𝜃, que se empleará cuando no se trabaje con las matrices de predicción de temperaturas. En este caso, la temperatura a la altitud presión (constante durante todo el problema) según el modelo de atmósfera estándar internacional será igual a 216.65 K. Para facilitar el trato de la temperatura en este caso, se construirá una matriz de iguales dimensiones que las matrices proporcionadas por el EPS con este valor es todas sus componentes, lo que permite introducir esta matriz junto con las matrices de vientos en el proceso de interpolación para obtener una temperatura constante en todo el espacio aéreo. Entonces, si la presión variara, la altitud de vuelo también lo haría y deberían emplearse valores distintos de 𝜃 y 𝜌 [6]:  Volando a una altitud ℎ, comprendida entre 0<ℎ<ℎ11 es decir, por debajo de la tropopausa (ℎ11=11000 𝑚): 𝜃= 𝜃0− 𝛼𝑇·ℎ 𝜌=𝜌0(1−𝛼𝑇·ℎ 𝜃0)𝑔 𝑅𝑎𝛼𝑇−1 (2.22) Donde las condiciones a nivel del mar vienen denotadas por 𝜃0 y 𝜌0.  Para altitudes mayores, ℎ>ℎ11: Siendo 𝜃11 y 𝜌11, los valores de la temperatura y la densidad del aire en la tropopausa, respectivamente. Por último, el coeficiente de dilatación adiabática del aire, cuyo valor resulta del cociente del calor específico a presión constante y el calor específico a volumen constante, tiene un valor 𝜅= 𝑐𝑃 𝑐𝑉=1.4. Con él puede calcularse la velocidad del sonido: 𝑎= √𝜅·𝑅𝑎·𝜃(ℎ) (2.24) Los valores de las constantes empleadas en este apartado pueden verse en la tabla 2, al final de este apartado.  Modelo de avión. En esta sección se especifica el modelo aerodinámico asumido para el problema, así como el modelo propulsivo y los valores de los parámetros empleados. También se incluyen los valores de 𝜃= 𝜃11 𝜌=𝜌11·𝑒𝑥𝑝(−𝑔·(ℎ−ℎ11) 𝑅𝑎·𝜃11 ) (2.23) .Formulación del problema. 18 suma del coste real asociado al nodo 𝑛 (𝑔(𝑛)), y un valor que estima el coste mínimo para llegar desde 𝑛 hasta el nodo final (ℎ′(𝑛)). Entonces, con esta función, no solo evaluamos el coste de llegar hasta ese nodo partiendo desde el nodo origen, sino que se incluye un coste adicional y orientativo, el cuál no deberá sobreestimar el coste real asociado a alcanzar el nodo final. De esta forma, se puede tener una idea previa del coste total de llegar al nodo objetivo pasando por el actual, aunque la heurística no represente, de manera general, el coste real de esta acción. Figura 2-9 Ejemplo de grafo ponderado aplicable al algoritmo A*. En este caso se emplean tres listas: la lista de ‘nodos cerrados’, la lista de ‘nodos abiertos’ y la lista de ‘antecesores’. La lista de nodos cerrados es equivalente a la lista de nodos visitados del algoritmo de Dijkstra. La lista de nodos abiertos es como la cola empleada anteriormente y la de ‘antecesores’ lleva la cuenta de cuáles son los nodos anteriores a cada nodo. El algoritmo debe inicializarse de igual manera que el Dijkstra, imponiendo un valor infinito en todas las componentes de 𝑓(𝑛) y 𝑔(𝑛) de todos los nodos, menos en las del nodo inicial ′𝑜′, cuya 𝑓(′𝑜′)=0+ℎ′(′𝑜′), siendo 𝑓(′𝑜′) el valor de la función a minimizar en el nodo ′𝑜′ y ℎ′(′𝑜′) el valor de la heurística en este mismo nodo. El valor de 𝑔(′𝑜′) es nulo. Una vez inicializado, el nodo origen se introduce en la lista de nodos cerrados y se extraen sus vecinos, los cuales pasarán a la lista de nodos abiertos. Una vez hecho esto se calcularan los valores de 𝑓(𝑛) para cada uno de los nodos abiertos y se establecerá su nodo antecesor, el nodo origen. Una vez se alcance este punto, se continuará con el siguiente procedimiento:  Se extraen todos los vecinos del nodo de menor valor 𝑓(𝑛) que esté contenido en la lista de nodos abiertos. Estos nodos se añaden a la lista de ‘nodos abiertos’, evitando aquellos que se encuentren actualmente en la lista de ‘nodos cerrados’.  Se comprueba que el nodo seleccionado no sea el nodo final, en cuyo caso el algoritmo se daría por finalizado. En cualquier caso, este nodo se elimina de la lista de nodos abiertos para añadirse a la de nodos cerrados.  Entonces se calcula el valor de 𝑔(𝑛) y ℎ′(𝑛) de cada nodo de la lista de ‘nodos abiertos’ y se evalúa si el valor conjunto de 𝑓(𝑛) de cada uno de ellos es menor que el que existía previamente, en cuyo caso se sustituye por el nuevo valor y se indica en la lista de ‘antecesores’ que el nodo actual es el nodo previo del nodo evaluado.  Una vez evaluados todos los nodos abiertos se vuelve al primer paso. Este algoritmo seguirá en funcionamiento mientras la lista de ‘nodos abiertos’ no se encuentre vacía y mientras no se alcance el nodo objetivo. Una vez dadas esas condiciones se recorrerá en sentido contrario el vector de ‘antecesores’ y se habrá obtenido el valor de 𝑓(𝑛) correspondiente la ruta indicada por dicho vector, obteniéndose así una solución al problema, pero no necesariamente la solución óptima. .Resolución del problema. 19 3 .RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA. El proceso de resolución de los tres problemas propuestos y sus posibles consideraciones se han llevado a cabo empleando MATLAB [9]. Debe describirse con detalle el proceso de resolución, indicando las tolerancias que se asumen. En cada uno de ellos se evaluará el efecto de la temperatura en la ruta óptima, imponiendo primeramente una temperatura constante en todo el espacio aéreo y luego, empleando las matrices de predicción de temperaturas. Además, la ruta se recorrerá en ambos sentidos, es decir, de Este a Oeste y viceversa. Para comenzar, se extraen las matrices de vientos y temperaturas del fichero proporcionado por el servicio meteorológico, luego se selecciona el intervalo temporal a emplear. En este caso, la hora de comienzo del vuelo serán las 20:00, hora local del servicio de información meteorológica. Entonces se empleará la tercera predicción (dentro de los cinco horizontes temporales disponibles), que se corresponde con la predicción a las 00:00. Para la obtención de la ruta de mínima distancia de vuelo se emplearán las ecuaciones del apartado “2.1.1.- Rutas loxodrómicas. Ecuaciones y consideraciones.”, sin necesidad de ningún cálculo adicional. Por otro lado, para la obtención del tiempo de vuelo sí será necesario recurrir a funciones más elaboradas. En este caso se ha optado por emplear la función 𝑜𝑑𝑒45 (véase [10]) de MATLAB, la cual integra el valor de la velocidad respecto de tierra 𝑉𝑔𝑗 para obtener el tiempo de vuelo de un segmento 𝑗. Se evaluará la ruta en ambos sentidos y con temperatura constante así como con las matrices de predicción de temperaturas. Para la resolución del problema se ha optado por crear matrices de tiempos de vuelo entre todos los puntos de paso permitidos. Estos tiempos se calculan para cada conexión y escenario. También se crea una segunda matriz de tiempos que recogerá las medias de tiempos de cada conexión (medias entre todos los escenarios). Entonces, para obtener la ruta de mínimo tiempo de vuelo bastará con emplear la matriz de tiempos medios, obteniendo como resultado final el tiempo medio mínimo. Es importante notar que los tiempos de vuelo de estas matrices corresponden con los propios de volar según una ruta loxodrómica, es decir, atendiendo a las características de ésta. En cambio, para la resolución del problema mediante el algoritmo A* se ha optado por calcular la heurística como el tiempo de vuelo entre un nodo y el nodo final según la ruta ortodrómica, ya que si se empleara la ruta loxodrómica, se estaría sobreestimando el coste real de alcanzar el nodo final. En el caso del problema de obtención de la ruta de mínimo consumo de combustible, se procederá a de dos formas distintas, debido a la posibilidad de obtener un resultado analítico. El caso de temperatura constante será resuelto mediante el método analítico, haciendo uso de la expresión (2.15), válida únicamente para este problema. Para llevar a cabo este método se emplearán las matrices de tiempos de vuelo (aquellas que contienen los valores de tiempos para todos los escenarios) comentadas en el párrafo anterior. Entonces se obtendrá un resultado analítico para cada segmento y escenario. Para un mismo segmento, se hará la media aritmética entre los 51 valores, obteniéndose un valor medio de consumo de combustible. Se procederá de igual manera a medida que se avance en el algoritmo de búsqueda, empleando el valor medio mínimo del consumo obtenido en el paso anterior como masa inicial del segmento siguiente. El método numérico se empleará para resolver el problema con las matrices de predicción de temperaturas, ya que es la única forma de obtener el resultado de este problema. Este último método consiste en integrar la ecuación (2.12) a lo largo de un segmento de vuelo empleando la función 𝑜𝑑𝑒45 a lo largo de la distancia total de dicho segmento, siendo ésta la distancia loxodrómica. Se actúa de igual manera que en el método analítico en cuanto a la búsqueda del camino óptimo, pues se calcula en consumo de un segmento para todos los escenarios y finalmente se hace la media para todos ellos (pero para un mismo segmento). Con ambos métodos se obtendrían resultados idénticos para el problema en el caso de que se considerara la temperatura constante en todo el espacio aéreo. .Resolución del problema. 20 Finalmente, se obtiene el consumo de combustible medio mínimo y la ruta óptima correspondiente. Para la integración con la función 𝑜𝑑𝑒45, es posible variar algunos de sus parámetros, de tal forma que pueden elegirse las tolerancias de integración; 𝑅𝑒𝑙𝑇𝑜𝑙 y 𝐴𝑏𝑠𝑇𝑜𝑙, tolerancias relativas y absolutas, respectivamente. Por defecto, estos parámetros tienen unos valores de 10−3 y 10−6. Estas tolerancias pueden modificarse, y en este trabajo se ha optado por imponer 𝑅𝑒𝑙𝑇𝑜𝑙=10𝑒−9 y 𝐴𝑏𝑠𝑇𝑜𝑙=10𝑒−9, con el objetivo de minimizar el error y obtener resultados más precisos. Por otro lado, el paso de integración en ambos problemas será variable, puesto que todas las rutinas de integración 𝑜𝑑𝑒 escogen el paso de integración oportuno según las tolerancias especificadas (o por defecto, en caso de ser tales las tolerancias). Finalmente, para comprobar la correcta programación de los algoritmos de búsqueda en grafos, se ha empleado la función graphshortestpath [11] de MATLAB, la cual emplea por defecto el algoritmo de Dijkstra para la resolución de estos problemas. Como entradas a esta función deben introducirse una matriz de costes (matrices dispersas) y los nodos de origen y destino, con lo cual no será posible emplearla para la obtención de la ruta de mínimo consumo de combustible. .Resultados. 21 4 .RESULTADOS. En este apartado se exponen con detalle los resultados obtenidos de cada una de las variaciones de problema. Es necesario dividirlo en tres secciones, estudiando el problema de mínima distancia, mínimo tiempo y mínimo consumo de combustible por separado y analizando sus posibles variaciones. Se comienza con el problema más sencillo; el problema de la ruta de mínima distancia, y se va aumentando la complejidad hasta llegar al problema de mínimo consumo de combustible. 4.1.- Ruta de mínima distancia. El primer caso a tratar es la obtención de la ruta de mínima distancia de vuelo. Como ya se ha explicado en el apartado “ 2.1.- Ecuaciones generales e hipótesis.”, una ruta entre dos puntos se conformará por una serie de fragmentos loxodrómicos en régimen de crucero. De esta forma, el rumbo de cada trayecto será constante y su distancia conocida e igual en todos los escenarios, pues la distancia entre dos puntos no depende de ningún fenómeno meteorológico. Así, el problema presenta la formulación más simple, ya que sólo depende del correcto cálculo de la ruta loxodrómica entre dos puntos. Entonces, el procedimiento a seguir para la resolución del problema será el siguiente:  Una vez establecido el sentido del recorrido se construye una matriz cuyas componentes sean las distancias entre los diferentes puntos del espacio aéreo permitido.  Con esa matriz, única para todos los escenarios y horizontes temporales, se procede a la búsqueda del camino óptimo entre el origen y destino seleccionados. Para ello se procede a emplear el algoritmo de Dijkstra y el A*. o Para el caso del algoritmo de Dijkstra no será necesario crear ninguna otra matriz de medidas. o Para el caso del A* se debe crear una matriz adicional que medirá las distancias ortodrómicas desde todos los puntos hasta el punto de destino. Esta matriz se empleará como heurística.  Una vez finalizada la búsqueda se exponen ambos caminos y se evalúan las diferencias. Es fácil de intuir que la mínima distancia será la misma en ambos sentidos, ya que no dependen de ninguna condición meteorológica. Aun así, se comprobará mediante el cálculo de estas rutas y sus respectivas distancias. Se comienza exponiendo la ruta de menor distancia obtenida mediante el algoritmo de Dijkstra, la cual posee una una distancia de 3437.35 millas náuticas. Según el algoritmo A* se obtiene un resultado idéntico, coincidiendo también los puntos de paso de ambas rutas como se muestra en la figura 4-1. .Resultados. 22 Figura 4-1 Ruta de menor distancia según el algoritmo de Dijkstra (línea amarilla) y el A* (línea verde). La distancia ortodrómica entre estos dos puntos mide 3408.17 millas náuticas. La distancia obtenida mediante ambos algoritmos, además de coincidir (entre ellos), es mayor que la distancia ortodrómica entre el origen y el destino. Este resultado es razonable ya que al imponer una malla de puntos que fuerza el paso por ellos, se imposibilita el trazado exacto de la ruta ortodrómica o ruta de mínima distancia. En este caso, ambos algoritmos de búsqueda han resultado igualmente válidos puesto que sus resultados coinciden entre sí, coincidiendo también con el resultado proporcionado por la función graphshortestpath. El tiempo de vuelo y el consumo de combustible de esta ruta se encuentran especificados en la tabla 3. Nótese que estos resultados son los correspondientes a la ruta de Filadelfia a Barcelona. Algoritmo Temperatura Distancia (nmi) Tiempo (h) Consumo (kg) Dijkstra Constante 3437.35 6.453 37378.05 Variable 3437.35 6.435 37272.35 A* Constante 3437.35 6.453 37378.05 Variable 3437.35 6.435 37272.35 Tabla 3 - Parámetros de la ruta de mínima distancia de Filadelfia hacia Barcelona. La ruta de mínima distancia en el sentido opuesto (de Barcelona a Filadelfia) coincide en puntos de paso con la primera, es decir, en distancia. Sin embargo, el tiempo de vuelo y el consumo de combustible de dichas rutas no coinciden, como se puede ver en la tabla 4: Algoritmo Temperatura Distancia (nmi) Tiempo (h) Consumo (kg) Dijkstra Constante 3437.35 8.567 48209.91 Variable 3437.35 8.519 48043.00 A* Constante 3437.35 8.567 48209.91 Variable 3437.35 8.519 48043.00 Menor distancia 90 W 60 W 30 W 0 30 N 45 N 60 N .Resultados. 23 Tabla 4 - Parámetros de la ruta de mínima distancia de Barcelona a Filadelfia. La presencia de vientos en sentido opuesto al avance provoca un aumento en el tiempo de vuelo y en el consumo de combustible de la ruta de Este a Oeste. La temperatura tiene efecto en la velocidad, haciendo que ésta aumente si la temperatura es mayor, reduciendo así el tiempo de vuelo. 4.2.- Ruta de mínimo tiempo de vuelo. En este apartado se tratará el caso en el que la variable a optimizar es el tiempo de vuelo total. Es a partir de este punto cuando las condiciones meteorológicas comienzan a analizarse como parte del problema y marcan una diferencia respecto al caso simplificado en el que se minimiza la distancia de vuelo. Esto se debe a que la velocidad y dirección del viento, así como la temperatura influyen en la velocidad de la aeronave respecto de tierra. El proceso de resolución se explica en los siguientes puntos:  Primero, se deben generar matrices de tiempos de vuelo como las explicadas en el apartado “3..Resolución del problema.”. El tiempo entre dos nodos debe calcularse teniendo en cuenta las posibles variaciones de temperatura (en caso de analizar el problema con las distribuciones de temperaturas proporcionadas) y viento en cada punto de la trayectoria. En función del paso de integración impuesto por la función ode45 de MATLAB, se comprueban todas las variables meteorológicas y se recalcula la velocidad respecto de tierra, cuya inversa deberá ser integrada con el fin de obtener el tiempo de vuelo, tal y como se indica en la expresión (2.10).  Una vez obtenidas las matrices de tiempos, bastará con introducir la que contiene los tiempos de vuelo medios en el algoritmo de búsqueda en grafos. Es necesario tener en cuenta que el sentido de la ruta es importante para el cálculo de estas matrices, ya que los tiempos entre pares de nodos pueden variar al recorrer la conexión en un sentido o en otro. Las matrices de vientos empleadas se construirán a partir de la media de tiempo de vuelo de cada segmento, como ya se ha comentado. Debe constar que no influye en el resultado el hecho de hacer las medias antes de introducir estos datos en el algoritmo de búsqueda en grafos. Si se dejara a realizar dentro del dicho algoritmo se obtendría el mismo resultado, ya que cada vez que se escogiera un par de nodos, debería calcularse la media del tiempo de vuelo para evaluarlo a continuación. Entonces, el único efecto notable sería la ralentización del algoritmo. Finalmente, estas matrices de tiempos se han calculado teniendo en cuenta una temperatura constante en todo el espacio aéreo y también teniendo en cuenta las matrices de predicción de temperaturas. Los resultados tras introducirlas en los algoritmos de búsqueda son los siguientes:  Ruta de Filadelfia a Barcelona. o Con temperatura constante. En la figura 4-2 se muestran las rutas obtenidas mediante el algoritmo de Dijkstra y el A*. .Resultados. 24 Menor tiempo según: Dijk,Dijk Matlab y A* (T NO vble) 90 W 60 W 30 W 0 30 N 45 N 60 N Figura 4-2 Ruta de menor tiempo de vuelo según los algoritmos de Dijkstra (línea turquesa) y A* (línea marrón) con temperatura constante (de Filadelfia a Barcelona). Las rutas no son completamente coincidentes, aunque sí se solapan en la parte final del trayecto. Al no coincidir en puntos de paso, las rutas tampoco coincidirán necesariamente en tiempo de vuelo. La ruta de mínimo tiempo de vuelo obtenida mediante el algoritmo de Dijkstra devuelve un tiempo de 6.394 horas, mientras que el obtenido a través del A* es de 6.409 horas. El tiempo obtenido con el Dijkstra es el menor de los dos y coincide con el calculado con la función graphshortestpath. Entonces, se hace evidente que la ruta obtenida a través del algoritmo de Dijkstra es la ruta óptima, pues su duración es menor. El resto de parámetros de estas rutas se muestran en la tabla 5. o Con temperatura variable. En este caso se emplearán matrices de temperatura variable. Dentro de cada segmento y en cada paso de integración la temperatura en cada punto de la trayectoria se calculará mediante interpolación bilineal. Según el algoritmo de Dijkstra el tiempo de vuelo es de 6.382 horas y se corresponde con la línea azul de la figura 4-3. Por otro lado, el A* obtiene un tiempo mínimo de 6.418 horas y la ruta correspondiente a la línea amarilla. Menor tiempo según: Dijk,Dijk Matlab y A*(T vble) 90 W 60 W 30 W 0 30 N 45 N 60 N Figura 4-3 Ruta de menor tiempo de vuelo según el algoritmo de Dijkstra (línea azul) y el A* (línea amarilla) con temperatura variable (de Filadelfia a Barcelona). En este caso, igual que en el caso de la temperatura constante, el algoritmo de Dijkstra .Resultados. 25 obtiene una solución de menor tiempo de vuelo que coincide con la obtenida a través de la función graphshortestpath. Entonces se puede decir que la ruta óptima es la obtenida con el algoritmo de Dijkstra. En la tabla 5 se presentan los valores de distancias y consumo de combustible de cada una de ellas: Algoritmo Temperatura Distancia (nmi) Tiempo (h) Consumo (kg) Dijkstra Constante 3446.81 6.382 37082.10 Variable 3446.81 6.394 37005.10 A* Constante 3460.33 6.409 37058.78 Variable 3460.60 6.418 37252.35 Tabla 5 - Parámetros de la ruta de mínimo tiempo de vuelo de Filadelfia a Barcelona. Si se superponen las rutas óptimas obtenidas a través del algoritmo de Dijkstra (para las dos distribuciones de temperatura posibles) se obtiene la figura 4-4, donde se superponen completamente, con lo cual sólo es visible una de ellas. Este resultado es razonable, ya que las distancias a recorrer son iguales. Sólo difieren en tiempo de vuelo y consumo de combustible, siendo la ruta a temperatura constante la que posee el menor tiempo de vuelo y mayor consumo de combustible de las dos. Menor tiempo según: Dijk (con T vble y NO vble) P2B 90 W 60 W 30 W 0 30 N 45 N 60 N Figura 4-4 Ruta de menor tiempo de vuelo de Filadelfia a Barcelona con temperatura constante (línea roja) y con temperatura variable (línea blanca).  Ruta de Barcelona a Filadelfia. o Con temperatura constante. En este apartado se evaluará la ruta en sentido contario con temperaturas constantes. Para ello se deben volver a generar las matrices de tiempos de vuelo, ya que el viento, al poseer dirección y sentido, no afectará de igual forma a la ruta de ida que a la ruta de vuelta. Una vez generadas las mismas matrices pero en sentido opuesto se introducen estos datos en los algoritmos de búsqueda en grafos y se obtienen las rutas oportunas. Según el algoritmo de Dijkstra se obtiene un tiempo de vuelo de 8.089 horas, idéntico al obtenido a través del A*. Además, sus rutas coinciden, siendo ambas iguales a la presentada en la figura 4-5. .Resultados. 26 Menor tiempo según: Dijk,Dijk Matlab y A* (T NO vble) 90 W 60 W 30 W 0 30 N 45 N 60 N Figura 4-5 Ruta de menor tiempo de vuelo según el algoritmo de Dijkstra y A* con temperatura constante (de Barcelona a Filadelfia). o Con temperatura variable. El mismo vuelo con temperaturas variables tiene una duración ligeramente inferior a la obtenida a temperatura constante. Tanto con el algoritmo de Dijkstra como con el A* se obtiene una duración de 7.999 horas. En este caso, los algoritmos también coinciden en puntos de paso: Menor tiempo según: Dijk,Dijk Matlab y A*(T vble) 90 W 60 W 30 W 0 30 N 45 N 60 N Figura 4-6 Ruta de menor tiempo de vuelo según el algoritmo de Dijkstra y A* con temperatura variable (de Barcelona a Filadelfia). Para esta ruta, los valores de distancias y consumo de combustible son los mostrados en la tabla 6: Algoritmo Temperatura Distancia (nmi) Tiempo (h) Consumo (kg) Dijkstra Constante 3573.50 8.089 45746.55 Variable 3573.07 7.999 45391.05 A* Constante 3573.50 8.089 45746.55 Variable 3573.07 7.999 45391.05 Tabla 6 - Parámetros de la ruta de mínimo tiempo de vuelo de Barcelona a Filadelfia. .Resultados. 27 El efecto de variar la temperatura provoca una reducción de alrededor de 5 minutos del tiempo mínimo de vuelo. La temperatura hará variar la velocidad del sonido, y con ella la velocidad con respecto a tierra. En la figura 4-7 puede verse la diferencia entre las rutas óptimas obtenidas según la distribución de temperaturas empleada. Menor tiempo según: Dijk (con T vble y NO vble)B2P 90 W 60 W 30 W 0 30 N 45 N 60 N Figura 4-7 Ruta de menor tiempo de vuelo de Barcelona a Filadelfia con temperatura constante (línea roja) y con temperatura variable (línea blanca). En cuanto al tiempo de vuelo, no será posible obtener un valor menor que el que resulta al volar hacia el oeste. Los valores obtenidos de la ruta hacia Barcelona establecían un tiempo de vuelo mínimo de 8 horas aproximadamente, difiriendo con los obtenidos en la ruta de sentido opuesto, los cuales eran próximos a las 6 horas de vuelo. Esto se debe a la presencia de vientos que en un sentido actúan como vientos de cola, disminuyendo el tiempo de vuelo, y en el sentido opuesto actúan como vientos de cara, haciendo que este tiempo aumente. En la figura 4-8 puede verse la diferencia entre las rutas en ambos sentidos, las cuales no coinciden en ninguno de sus puntos intermedios. De hecho, existe una gran diferencia entre ambas. Menor tiempo según: Dijk enun sentido y en el otro (T VBLE) 90 W 60 W 30 W 0 30 N 45 N 60 N Figura 4-8 Rutas de mínimo tiempo de vuelo de Filadelfia a Barcelona (línea verde) y de Barcelona a Filadelfia (línea amarilla) con una distribución de temperaturas variable. Se han representado los resultados del problema en el que se emplean las matrices de predicción de temperaturas en lugar de una distribución constante. En el caso de la ruta de Filadelfia a Barcelona, la temperatura no tenía efecto en la longitud de ésta y ambos resultados coinciden en puntos de paso. En el caso de la ruta de Barcelona hacia Filadelfia no existe solapamiento completo como se observa en la figura 4-7, y se ha escogido el resultado del caso en el que la temperatura no es constante por su mayor parecido con la realidad.