Juegos no cooperativos aplicados a un enfrentamiento Rusia-OTAN

Proyecto Fin de Carrera Ingeniería en Tecnologías Industriales Juegos no cooperativos aplicados a un enfrentamiento Rusia-OTAN Autor: Jaime Fidalgo Molina Tutor: Manuel Ordóñez Sánchez Inmaculada Ventura Molina Dp to . Matemática Aplicada II Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2022 Proyecto Fin de Carrera Ingeniería de Tecnologías Industriales Juegos no cooperativos aplicados a un enfrentamiento Rusia-OTAN Autor: Jaime Fidalgo Molina Tutor: Manuel Ordóñez Sánchez Inmaculada Ventura Molina Dpto. de Matemática Aplicada II Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2022 Proyecto Fin de Carrera: Juegos no cooperativos aplicados a un enfrentamiento Rusia-OTAN Autor: Jaime Fidalgo Molina Tutor: Manuel Ordóñez Sánchez Inmaculada Ventura Molina El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Acuerdan otorgarle la calificación de: Sevilla, 2022 El Secretario del Tribunal A Dios. A mis padres y hermanos por inculcarme los valores necesarios para llegar al final de esta etapa. A mis profesores por mantener despiertas las ganas de formarme. Y a Don Manuel Ordoñez Sánchez por su ayuda y dedicación. I RESUMEN En el día a día tienen lugar infinidad de situaciones que se basan en interacciones entre sujetos que deben tomar decisiones para obtener su máximo beneficio. La Teoría de Juegos permite a dichos agentes optar por una estrategia en función de las elegidas por los demás. Esta herramienta matemática destaca por haber sido aplicada en campos de muy diversas índoles, desde la economía o las ciencias sociales, hasta la política o, por supuesto, la guerra. Para un mejor entendimiento del alcance del estudio, se introduce al lector los conceptos principales de la Teoría de Juegos, así como su origen y las aplicaciones de los mismos, enfocándose en el aspecto bélico. De este modo, no se puede eludir el actual conflicto entre Rusia y Ucrania, del que se explicarán los antecedentes, para dar paso al análisis de un hipotético conflicto militar entre la OTAN y Rusia. Este enfrentamiento se abordará desde dos enfoques: El Equilibrio de Nash y los Juegos de Stackelberg. VIII ÍNDICE DE AXIOMAS Axioma 1: Eficiencia. ....................................................................... 20 Axioma 2: Simetría. ......................................................................... 20 Axioma 3: Jugador pasivo. ............................................................... 21 Axioma 4: Aditividad. ...................................................................... 21 IX ÍNDICE DE EJEMPLOS Ejemplo 1–1. Dilema del Prisionero en forma estratégica. ................ 7 Ejemplo 1–2. Dilema del Prisionero en forma extensiva. .................. 9 Ejemplo 2–1. Juegos de Utilidad Transferible. ................................. 11 Ejemplo 3–1. Estrategias Mixtas. ..................................................... 33 1 1 LA TEORÍA DE JUEGOS. 1.1 Introducción a la teoría de juegos. “Una sociedad maximiza su nivel de bienestar cuando cada uno de sus individuos acciona a favor de su propio bienestar, pero sin perder de vista el bienestar de los demás integrantes.” John Nash La Teoría de Juegos, también conocida como Análisis Matemático de Conflictos o Teoría de Decisiones Interactivas, es un área comprendida dentro de las matemáticas aplicadas, que se basa en modelos cuyo objetivo es estudiar, desde el razonamiento estratégico, las distintas interacciones conflictivas entre entidades o personas, también conocidas como jugadores [11]. Está orientado a predecir cuál será el resultado cierto o más probable de una pugna entre distintos jugadores. En el día a día se pueden observar contextos de decisiones individuales, en las que un jugador intenta maximizar su ganancia, sin tener en cuenta las decisiones que puedan tomar los otros agentes. Esto ocurre, por ejemplo, de manera muy manifiesta en el sector económico. La determinación del mix de producción óptimo en una empresa o la planificación del aprovisionamiento de una empresa según su inventario pueden ser ejemplos de teoría de decisión individual, que no es más que una simplificación de la realidad en la inmensa mayoría de los casos. Por el contrario, la Teoría de Juegos realiza una evaluación minuciosa y formal de la realidad para tener en cuenta la influencia que pudieran tener las decisiones de varios agentes en el resultado. Cada tomador de decisiones procurará obtener el máximo beneficio propio a sabiendas de que éste depende de las acciones que escojan los demás. 2 Este hecho desbanca la utópica visión donde los individuos actúan según el óptimo del conjunto global, dejando a un lado sus propios propósitos. El valor primordial del estudio de la Teoría de Juegos reside en la opción de desarrollar una herramienta, aplicable a campos de muy diversa índole, para alcanzar la solución óptima en conflictos entre diversos agentes. Esta importancia se ve magnificada en la actualidad, con una sociedad globalizada y cada vez más competitiva, donde hay una pugna constante por los limitados recursos. Esta teoría tiene gran variedad de aplicaciones en campos muy disímiles, entre los que se pueden destacar fundamentalmente la ciencia económica, con el caso de las subastas, negociaciones o fusiones y adquisiciones, además de la regulación de duopolios u oligopolios; la gestión de empresas o proyectos, entre los que se encuentran la decisión de entrada o salida de un mercado o la gestión de la propia publicidad; juegos de azar como puede ser el caso del póker, conflictos políticos y militares, u otros de naturalezas menos evidentes, como pueden ser los estudios sociales o la filosofía. 1.2 Conceptos de la Teoría de Juegos. La idea de la Teoría de Juegos surgió por primera vez con autores como James Waldegrave y su estrategia para resolver un juego de dos personas en 1713 o Antoine Cournot y su modelo para regir un duopolio en 1838. Sin embargo, no será hasta el siglo XX, cuando John von Neumann publica obras como On the Theory of Parlor Games [10], de 1928 y Theory of games and Economic Behaviour [3], junto con Oskar Morgenstern en el año 1944, cuando este concepto empieza a ser más ampliamente desarrollado. 3 Esta segunda obra, la cual se centra fundamentalmente en la aplicación de la teoría a aspectos sociales y económicos, motiva el nacimiento de distintos conceptos fundamentales para la comprensión de la Teoría de Juegos. Así, un juego queda descrito como una situación en la que una serie de jugadores racionales, los cuales tienen conocimiento completo y una comprensión absoluta de las circunstancias que rigen el juego, tienen un conjunto de estrategias y una función de pago que dependerá de las estrategias que sigan los demás jugadores. Esta interdependencia estratégica es el planteamiento sobre el que se fundamenta la Teoría de Juegos, dando lugar al conflicto de intereses entre los jugadores y a la noción de riesgo, al considerar no solo las probabilidades de ocurrencia de una determinada estrategia, sino también las de no ocurrencia. Además, aparte de este conflicto de intereses, la interdependencia estratégica puede dar lugar a propósitos mutuos, lo que llevará a lo que más adelante se llamarán coaliciones. [11] Asimismo, se desarrolló la teoría de la utilidad esperada. La función de utilidad asigna cifras a las preferencias del jugador. Dichas cifras miden la utilidad o bienestar del mismo si se da cierto resultado en el juego. Por tanto, se puede entender por utilidad al tratamiento cuantitativo de las preferencias del jugador. [17] Además, se planteó y caracterizó el algoritmo para alcanzar las soluciones óptimas en los juegos de suma cero, que son aquellos en los que la suma de los beneficios obtenidos por los jugadores en el juego se equilibra con la suma de las pérdidas. 4 Cabe resaltar otros términos en lo referente a la Teoría de Juegos. Los resultados del juego son las distintas condiciones en las que puede finalizar un juego. Cada resultado implicará diferentes consecuencias para todos los jugadores. El pago que recibe el jugador al concluir el juego es la utilidad que éste le otorga al mismo, el valor que el propio jugador le concede a las consecuencias de un cierto resultado del juego. Por otro lado, la estrategia de un jugador se define como el plan de acciones con las que este interviene en el juego. Existen distintos criterios según los cuales se pueden clasificar los juegos. Los dos principales enfoques se basan en los juegos cooperativos o no cooperativos. En el primer grupo se pueden encontrar aquellas situaciones en las que existen mecanismos para que algunos o todos los jugadores intercambien información y colaboren formando las anteriormente mencionadas coaliciones. Por el contrario, en los no cooperativos no existen estos mecanismos. En este grupo se encuentran otros criterios para caracterizar los juegos, separándolos en juegos estáticos o dinámicos. Además, según la naturaleza de la situación a abordar, aparecen otros grupos como los juegos bipersonales o Npersonales, de suma constante o suma variable, simétricos o asimétricos, con información perfecta o imperfecta o juegos con información completa o sin ella. Los juegos bipersonales, evidentemente, están compuestos por dos jugadores, mientras que los Npersonales están compuestos por N agentes decisores. 5 Los juegos de suma constante son aquellos en los que hay una cantidad de beneficio a repartir y la cuestión principal es cómo se hace el reparto de la misma. Por tanto, lo que gana un agente es lo que pierde otro. Los juegos de suma cero son un caso concreto de este tipo de juegos. Por otro lado, en los juegos de suma variable se produce o destruye utilidad en el conjunto durante el juego. La suma de las utilidades de los agentes es diferente según sea el resultado. En estos casos es imprescindible distinguir entre equilibrio y solución. Necesariamente, un resultado ha de ser un equilibrio antes de poder ser solución. Si un resultado es equilibrio, ningún jugador puede mejorar su beneficio cambiando de estrategia. Un juego es simétrico si las recompensas por jugar una determinada estrategia dependen solo de las decisiones de las demás y no de quien sea el que la juegue. En estos juegos, la identidad del agente puede intercambiarse sin que se cambie la utilidad de la estrategia. El dilema del prisionero es un ejemplo de este tipo de juegos. Por contra, en un juego asimétrico no hay conjuntos de estrategias idénticas para los jugadores. Los juegos con información completa son aquellos en los que la función de utilidad de cada jugador es conocida por todos los demás. En los de información incompleta al menos un jugador no conoce las utilidades de otro. Un juego será de información perfecta si el jugador que tiene que decidir conoce el historial completo de las decisiones tomadas por los demás, mientras que será de información imperfecta si el agente que no conoce el historial completo de decisiones. Por otro lado, son dos las maneras que predominan a la hora de representar un juego: la forma normal o estratégica y la forma extensiva. 6 1.3 Representación de los juegos. A continuación, se detallarán los principales modos que se emplean para simbolizar los juegos, haciendo hincapié en cómo y cuándo se utiliza cada uno de ellos. Cabe destacar que un mismo juego puede ser expresado de ambos modos. 1.3.1 Juegos en forma normal o estratégica. Un juego representado en forma estratégica se identifica principalmente por recoger toda la información mediante el uso de una matriz de pagos. Este modelo se utiliza esencialmente para juegos estáticos en el que los agentes deciden simultánea e independientemente. Según recoge Oz Shy en su libro Industrial Organization: Theory and Applications [14] de 1995, para recoger adecuadamente la información del juego se ha de proceder de la siguiente manera: 1. Se listan las posibles estrategias de cada jugador. 2. Colocar las estrategias en una matriz. 3. Las filas corresponden a las estrategias del jugador 1, las columnas a las del jugador 2, aunque pueden recoger más agentes. 4. Los pagos se colocan en las casillas de la matriz. 7 Un juego representado en forma estratégica quedará totalmente caracterizado mediante tres conjuntos: • Conjunto de jugadores racionales que buscan su máximo beneficio N = {1, 2, …, n} • Conjunto de estrategias Sn para cada jugador n ∈ N. • Funciones de utilidad o pagos Un(S) para cada combinación de estrategias S = (S1, …, Sn). Ejemplo 1–1. Dilema del Prisionero en forma estratégica. A continuación, se representará el famoso dilema del prisionero en forma estratégica. En él, se muestran dos prisioneros (P1, P2), cada uno de los cuales tiene únicamente dos posibles estrategias (Enj siendo n el jugador y j la estrategia del mismo): confesar (E11, E21) o mentir (E12, E22). Si los dos prisioneros confiesan, el pago será de 8 años de cárcel cada uno (-8). Si uno confiesa pero el otro miente, al que miente le caerá una pena de 10 años (- 10) y al que confiesa 0 años. Si ambos mienten, le caerá una pena de 1 año a cada uno (-1). Prisionero 2 Confiesa Miente Prisionero 1 Confiesa (-8, -8) (0, -10) Miente (-10, 0) (-1, -1) Tabla 1. Dilema del prisionero representado en forma estratégica. 8 1.3.2 Juegos en forma extensiva. A diferencia de la forma normal, un juego representado en forma extensiva se reconoce principalmente por recoger toda la información relevante en un árbol de decisión. Se utiliza fundamentalmente para juegos dinámicos o secuenciales. Un juego modelado según la forma extensiva debe incluir: • Conjunto de jugadores racionales que buscan su máximo beneficio N = {1, 2, …, n} • Un árbol de juego que está compuesto por: a. Nodos, uno para cada jugador y que representan los puntos donde estos intervienen. b. Ramas que representan las acciones que puede tomar un jugador en cada uno de sus nodos. • Información que tiene cada agente en cada punto donde deba tomar una decisión. • Las estrategias de cada jugador, qué elegir cuando llega a uno de sus nodos. • Los pagos o utilidad resultantes del juego situados en los nodos finales del árbol. 15 2.1 Soluciones en Juegos Cooperativos. Sea G = (N, v) un juego cooperativo de utilidad transferible, se estudiará a continuación cómo repartir el beneficio obtenido por la coalición entre los diferentes jugadores. Definición 6. Vector de pagos. El vector de pagos es una función empleada para identificar el pago que cada jugador recibirá del pago total del juego cooperativo v(N). Dicho vector se representa como x = (x1, x2, …, xn) donde xk es el pago recibido por el jugador k. El vector de pagos se caracteriza por una serie de condiciones lógicas que se impondrán al modelar un juego cooperativo de UT: • Es evidente que los agentes aceptarán el reparto de beneficios si de este modo reciben un pago igual o superior al que obtendrían al jugar de manera independiente. Esto se conoce como principio de racionalidad individual. 𝑥𝑘≥𝑣({𝑘}) ∀ jugador k ∈ N • De la misma forma, existe el principio de racionalidad de grupo, también denominado condición de optimalidad de Pareto, por el cual un grupo de jugadores requerirá un vector de pagos mayor o igual al valor que recibirían como coalición. ∑𝑥𝑘 𝑘∈𝑆 =x(S)≥𝑣(𝑆) 16 • El principio de eficiencia se satisfará en el caso de que todos los agentes participantes en el juego lleguen a un acuerdo común, formando así la gran coalición. De este modo, la ganancia total será plenamente distribuida entre los jugadores. ∑𝑥𝑘 𝑘∈N =v(N) Definición 7. Vector de pagos eficiente. Los vectores de pago eficientes, también denominados preimputaciones (PI) para el juego (N, v), será el conjunto de vectores x∈ℝn que satisfacen el principio de eficiencia anteriormente comentado. De manera formal: 𝑃𝐼(𝑁,𝑣)={(𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛)∈ℝ𝑛:𝑥(𝑁)=𝑣(𝑁)} con 𝑥(𝑁)= ∑𝑥𝑘𝑘∈𝑁 Si adicionalmente se aplica el principio de racionalidad individual se llega al conjunto de implicaciones (I) del juego (N, v). 𝐼(𝑁,𝑣)={(𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛)∈𝑃𝐼(𝑁,𝑣):𝑥𝑘≥𝑣({𝑘}), ∀𝑘∈𝑁} O lo que es equivalente: 𝐼(𝑁,𝑣)={(𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛)∈ℝ𝑛:𝑥(𝑁)=𝑣(𝑁),𝑥𝑘≥𝑣({𝑘}), ∀𝑘∈𝑁} En el caso de que I (N, v) = ∅ , el juego es esencial. 17 Una vez definidos y caracterizados los vectores de pago, nace la cuestión de plantear uno concreto que sea aceptado por todos los jugadores. Según las propiedades del juego y los resultados que se esperan obtener, se pueden distinguir dos tipos de soluciones para la obtención de los vectores de pago de los jugadores. Las soluciones tipo conjunto delimitan una región admisible donde se pueden encontrar valores de las posibles soluciones y las de tipo puntual, que arrojan un único vector de pagos como resultado. Por considerarse de mayor importancia, se analizarán el core y el valor de Shapley. 2.1.1 El core. Introducido por Donald Bruce Gillies, discípulo de John von Neumann, en 1953, el core de un juego cooperativo (N, v) es una solución de tipo conjunto que se obtiene al imponer el principio de eficiencia, el de racionalidad individual y la condición de optimalidad de Pareto. Cabe destacar que es un conjunto cerrado, acotado y convexo. De esta forma, el conjunto de vectores de pago que propone el core asegura a cada coalición S un beneficio igual o mayor que el que la coalición podría adquirir por cuenta propia. Definición 8. El core. El core (C) de un juego (N, v) se define de manera formal como: 𝐶(𝑁,𝑣)={(𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛)∈ℝ𝑛:𝑥(𝑁)=𝑣(𝑁),𝑥(𝑆)≥𝑣(𝑆), ∀𝑆⊆𝑁} 18 Ciertas deficiencias surgen alrededor de este tipo de solución puesto que, en ocasiones, puede darse el caso que el core sea un conjunto vacío, por lo que no sería posible extraer un vector de pagos con el que todas las coaliciones fueran beneficiadas. Con el objetivo de aplacar dichas carencias, Olga Bondareva y Lloyd Shapley centraron sus esfuerzos en la determinación de los juegos con core no vacío. Con el teorema Bondareva-Shapley dieron lugar a los conceptos de colección equilibrada y juego equilibrado. Además, se verificó que todo juego convexo tiene core no vacío. Definición 9. Colección Equilibrada. Una colección de subconjuntos {S1, S2, …, Sm} contenidos en N, diferentes y no vacíos, será equilibrada sobre N si existen números positivos α1, α2, …, αm, conocidos como pesos, de manera que: ∑𝑎𝑗 𝑗:𝑘∈𝑆𝑗=1 ∀ 𝑘∈𝑁 Definición 10. Juego Equilibrado. Un juego (N, v) es equilibrado si para cualquier colección equilibrada sobre N se contrasta que: ∑𝑎𝑗·𝑣(𝑆𝑗)≤𝑣(𝑁) ∀ 𝑆⊆𝑁 𝑚 𝑗=1 Los matemáticos anteriormente mencionados pudieron corroborar que los juegos equilibrados concuerdan con los juegos con core no vacío. 19 Teorema 2.1. Juegos de core no vacío. Un juego es equilibrado si y solo si el core es no vacío. Se puede por tanto deducir que el core es una de las ideas más relevantes dentro de la Teoría de Juegos, puesto que acotan las soluciones a una serie de vectores de pago que verifican unas condiciones racionales. No obstante, en ciertas ocasiones es más oportuno tratar de hallar una solución concreta y para ello se puede hacer uso del anteriormente mencionado valor de Shapley. 2.1.2 Valor de Shapley. En honor a quien lo desarrolló en 1953, Lloyd Shapley, el valor de Shapley se ha erigido como uno de los conceptos primordiales en la resolución de juegos cooperativos de utilidad transferible. El empleo de este concepto de solución se fundamenta en la búsqueda de una asignación de los pagos de los jugadores única que cumpla una serie de axiomas preestablecidos. En primer lugar, se debe tener en cuenta que, como se ha mencionado anteriormente, se trata de una solución de tipo puntual. Definiendo ΓN como el conjunto de todos los juegos de UT sobre N, se puede caracterizar una solución puntual sobre ΓN como una aplicación de la forma: 𝜑:Γ𝑁→ℝ𝑛 Siendo Γ𝑁= {(𝑁,𝑣):𝑣:2𝑁→ℝ,𝑣(∅)=0} que a cada juego (N, v) ∈ ΓN le atribuye un vector de ℝ𝑛, donde la componente k-ésima del vector representa el pago que recibe el jugador k ∈ N. 20 La función de asignación de pagos φ (N, v) deberá verificar los siguientes axiomas: Axioma 1: Eficiencia. La función φ: ΓN→ℝ𝑛 es eficiente si se cumple que: ∑𝜑𝑘(𝑁,𝑣)=𝑣(𝑁) 𝑛 𝑘=1 ∀ 𝑗𝑢𝑒𝑔𝑜(𝑁,𝑣)∈Γ𝑁 Esto es, la función debe repartir entre todos los jugadores el pago total del juego, es decir, el que se podría obtener con la gran coalición. Axioma 2: Simetría. Un par de jugadores k, j ∈ N serán simétricos para un juego (N, v) si al unirse a una coalición S contribuyen con el mismo valor. 𝑣(𝑆∪{𝑘})=𝑣(𝑆∪{𝑗}), ∀𝑆⊆𝑁,𝑘,𝑗∉𝑆 Una solución es simétrica si se verifica que para todo juego (N, v) ∈ ΓN y todo par de jugadores k, j ∈ N simétricos en el juego: 𝜑𝑘(𝑣)=𝜑𝑗(𝑣) Es decir, los jugadores que realicen misma contribución a la coalición, recibirán mismo pago, evitando así que la solución dependa de las características del jugador. 21 Axioma 3: Jugador pasivo. La propiedad del jugador pasivo establece que, si un jugador no produce valor añadido a los demás agentes, este no recibirá ningún pago coalicional. 𝑆𝑖 𝑣(𝑆∪{𝑘})=𝑣(𝑆) ∀𝑆⊆𝑁, 𝑠𝑒 𝑑𝑎𝑟á 𝑞𝑢𝑒 𝜑𝑘(𝑁,𝑣)=𝑣({𝑘}) Axioma 4: Aditividad. La solución será aditiva si se verifica que para cualquier par de juegos (N, v) y (N, w) ∈ ΓN: 𝜑(𝑣+𝑤)=𝜑(𝑣)+𝜑(𝑤) Este axioma establece que la función de asignación de pagos no varía sea cual sea la descomposición del juego. Teorema 2.2. Valor de Shapley. El único valor φ en ΓN que satisface los cuatro axiomas anteriormente mencionados es el valor de Shapley. De manera formal, el valor de Shapley se puede definir como: 𝜑𝑘(𝑁,𝑣)=∑𝑞(𝑠)[𝑣(𝑆)−𝑣(𝑆\𝑘)], ∀𝑘∈𝑁 𝑘∈𝑆 𝑆⊆𝑁 Con 𝑞(𝑠)=(𝑛−𝑠)!(𝑠−1)! 𝑛! donde s = |S| y n = |N| hacen referencia al número de jugadores que hay en la coalición S y en el juego, respectivamente. 22 Definición 11. Valor de Shapley. El valor de Shapley de un juego (N, v) puede interpretarse como la contribución marginal esperada de cada jugador al entrar en una coalición al azar. En efecto, el valor v(S) – v(S \ k) es la contribución marginal efectiva de k al incorporarse a S, mientras que el factor q(s) es la probabilidad de que al jugador k le toque incorporarse precisamente a S. [6] Resulta significativo destacar que el valor de Shapley es independiente del core y, al no imponer el principio de racionalidad de grupo, no siempre estará incluido en él. Sí se puede asegurar que cuando el juego es convexo, el valor de Shapley estará comprendido dentro del core. Teorema 2.3. Valor de Shapley de un juego convexo. En un juego convexo, el valor de Shapley se encontrará dentro del core. 23 3 LOS JUEGOS NO COOPERATIVOS. LA TEORÍA DE NASH. Por otra parte, y como se ha mencionado anteriormente, en los juegos no cooperativos, los agentes no disponen de mecanismos para llegar a acuerdos actuando así de manera independiente. A diferencia de los juegos cooperativos, el objetivo principal de este tipo de juegos es modelar la conducta que debe adoptar el jugador para obtener resultados favorables, es decir, determinar qué estrategias deben asumir los jugadores, apoyándose en el comportamiento que se presume que tendrán los demás agentes. Concretamente, la teoría de los juegos no cooperativos estipula perfiles de estrategias que se dirigen a un equilibrio, donde la estrategia especificada para un jugador debe ser óptima para él cuando los demás jugadores asumen las estrategias que les fueron designadas. De esta manera, los jugadores no verán favorable desviarse de la estrategia que le fue recomendada. A este punto se le denomina Equilibrio de Nash. [Véase el apartado 3.2.] Según la evolución en el tiempo del propio juego, se pueden diferenciar dos grandes categorías dentro de los juegos no cooperativos: los juegos estáticos y los dinámicos. En los juegos estáticos, también conocidos como simultáneos, los jugadores tomarán la decisión a la vez, sin tener información acerca de lo que los demás han deliberado, como puede ser el ejemplo del famoso “piedra, papel o tijera”. 24 Los juegos dinámicos o secuenciales, son aquellos en los que los jugadores actúan de manera progresiva, uno detrás de otro. De este modo, puede darse el caso que el agente conozca de antemano las decisiones que han tomado los anteriores. Entre otros muchos, se puede destacar el caso del ajedrez. 3.1 John Forbes Nash. Nacido el 13 de junio de 1928 en Bluefield, West Virginia, Estados Unidos, John Forbes Nash Jr. fue un respetado matemático cuyos trabajos en la Teoría de Juegos y los procesos de negociación le llevó a recibir el Premio Nobel de Economía en 1994 junto a Reinhard Selten y John Harsanyi. Además de los ámbitos mencionados, sus aportaciones revolucionarias en los campos de la geometría, la topología y las ecuaciones diferenciales parciales han sido trasladadas a innumerables áreas, como la economía de mercado, la biología evolutiva, la política y la estrategia militar, entre otras muchas. En 1945, tras comenzar sus estudios en Ingeniería Química en el Instituto Tecnológico de Carnegie, en Pittsburgh, Pennsylvania, John Nash decide reorientar su formación hacia las matemáticas. Al finalizar sus estudios en este instituto, es admitido a cursar el doctorado en cuatro universidades; Harvard, Chicago, Michigan y Princeton, incorporándose a esta última en el año 1948. Esta universidad sobresalía en las matemáticas del siglo XX por tener ilustres personajes como Albert Einstein, John von Neumann o Eugene Wigner. 31 La utilidad esperada por el jugador 1 con su perfil de estrategias actual, teniendo en cuenta el del jugador 2 será: 𝑈1=𝑝𝑞(1)+𝑝(1−𝑞)(−1)+(1−𝑝)𝑞(−1)+(1−𝑝)(1−𝑞)(1) =4𝑝𝑞−2𝑝−2𝑞+10 La estrategia que seguirá el jugador 1 dependerá del valor que asigne a p y a q. Derivando parcialmente respecto a esta variable se puede ver para qué valores el jugador obtendrá una utilidad positiva: (∂𝑈1 ∂𝑝)=4𝑞−2{>0, 𝑠𝑖 𝑞>0.5 =0, 𝑠𝑖 𝑞=0.5 <0, 𝑠𝑖 𝑞<0.5 De este modo, se podrá expresar la estrategia de mejor respuesta del jugador 1 en función de las posibilidades de que el jugador 2 elija cada una de las estrategias: 𝑝={1, 𝑠𝑖 𝑞>0.5 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑎, 𝑠𝑖 𝑞=0.5 0, 𝑠𝑖 𝑞<0.5 Representando gráficamente dicho perfil de estrategias: 1 0.5 q p 1 Ilustración 3. Estrategia mejor respuesta del jugador 1 32 Como se puede interpretar de la Ilustración 3, en el caso de que el jugador 1 establezca una probabilidad mayor de 0.5 a que el jugador 2 tome una cierta estrategia, el jugador 1 debería jugar con probabilidad 1 esa misma estrategia, ya que ganará si ambos eligen la P o los dos eligen N. Por otro lado, si piensa que es igual de probable que el jugador 2 elija una estrategia u otra (probabilidad = 0.5), tendrá infinitas respuestas óptimas, esperando la misma utilidad elija la estrategia que elija. Si, de manera análoga, se analiza la estrategia a seguir por el jugador 2 se obtiene: 𝑞={0, 𝑠𝑖 𝑝>0.5 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑎, 𝑠𝑖 𝑝=0.5 1, 𝑠𝑖 𝑝<0.5 Estrategia que se puede ver representada en la Ilustración 4: 1 q p 0.5 1 Ilustración 4. Estrategia mejor respuesta del jugador 2 33 Teniendo las dos estrategias de mejor respuesta, se podrá evaluar si existen o no equilibrios de Nash en estrategias mixtas: En la Ilustración 5 se puede observar que existe un equilibrio cuando ambos jugadores otorgan a las dos estrategias puras una misma probabilidad (0.5). De este modo, se podría decir que ambos jugadores están actuando de manera imprevisible. Un popular ejemplo donde se han de emplear estrategias mixtas es la guerra de los sexos. Ejemplo 3–1. Estrategias Mixtas. Juan y Paloma son una pareja que está debatiendo acerca de lo que hacer en el fin de semana. Ella prefiere ir al cine en lugar de ir a hacer senderismo, al contrario que Juan. Sin embargo, los dos coinciden en que desean estar juntos. Ilustración 5. Equilibrio de Nash en Estrategias Mixtas 1 0.5 q p 0.5 1 34 La matriz de pagos del juego resulta: Paloma Cine Senderismo Juan Cine (1, 2) (0, 0) Senderismo (0, 0) (2, 1) Tabla 3. Matriz de pagos Guerra de los Sexos En este caso hay dos equilibrios de Nash, que se encuentran subrayados en la matriz de pagos. La manera de abordar este tipo de situaciones es a través de las estrategias mixtas, en las que habrá que estudiar la probabilidad de que el otro jugador escoja cada una de las opciones, y valorar el pago que nosotros recibiríamos ponderándolo con esa probabilidad. Por un lado, se estima que Paloma elegirá el cine con una probabilidad r y el senderismo (1-r) y Juan tendrá una probabilidad q de elegir el cine y (1-q) el senderismo. De este modo, las probabilidades de cada escenario resultan: • Cine-Cine: qr • Senderismo-Cine: (1-q)r • Cine-Senderismo: q(1-r) • Senderismo-Senderismo: (1-q)(1-r) Las probabilidades de que Juan elija ir de senderismo serán 2r, que no es más que el producto del pago por la probabilidad y de que se decida por ir al cine es 1-r. Igualando ambas expresiones para ver la frontera entre una estrategia y otra, se deduce que r =1/3. De manera equivalente, se opera para Paloma y se observa que q =2/3. 35 Ahora, ambos deben considerar qué valores darle a q y r. Paloma debe considerar qué voluntad tendrá Juan de valorar su felicidad por encima de la de Paloma. Si le otorga a r un valor mayor de 1/3, entonces ambos irán al senderismo, yendo al cine si r es menor de 1/3. Si r es igual a 1/3, cualquiera de los escenarios podría darse. El hombre debe estimar q de la misma forma. De este modo, si q>2/3, irán al cine; si q<2/3, entonces irán de senderismo y si q=2/3, podría darse cualquiera. Por tanto, como se puede observar, es fundamental la correcta estimación de r y q por parte de ambos. 3.6 Interpretación del equilibrio de Nash como concepto de solución. La metodología que emplea el equilibrio de Nash como solución a un juego requiere que las expectativas de cada jugador sobre la conducta del resto de agentes sean correctas. Dado que los juegos en estudio son de naturaleza estática, no tiene lugar el conocimiento previo de unos jugadores sobre otros. Por tanto, para garantizar que las predicciones de los jugadores coincidan con las estrategias finalmente elegidas por los demás, los agentes pueden hacer uso de diferentes aspectos en los que basar sus pronósticos: • La experiencia acumulada de haberse encontrado en circunstancias de interdependencia estratégica, que pudieran ser semejantes, con otros jugadores, o la información otorgada por otros agentes que se han visto envueltos en esa situación. • Comunicación previa al juego. 36 En lo que respecta a la comunicación previa al juego, se puede dar la situación en la que los agentes puedan negociar entre ellos. En tal caso, si pactan una cómo se han de comportar de manera colectiva, la estrategia acordada debería ser un equilibrio de Nash para que, de este modo, los agentes involucrados no tengan incentivo alguno de seguir otra estrategia. No obstante, en la gran mayoría de los juegos, se adoptará como hipótesis básica que las predicciones de los jugadores se fundamentan en la experiencia previa acumulada. Resulta interesante que el agente base sus anticipaciones sobre lo que un competidor convencional decidiría en un contexto de ese tipo, no sobre cómo actuarían oponentes concretos. De este modo, el equilibrio de Nash se puede interpretar como un estado estacionario en el que, si todos los agentes intervinientes actúan según la normal social estable descrita para sus predicciones, nadie tendrá alicientes para diferir. Para poder asumir una combinación de estrategias como solución estable, ésta debe ser equilibrio de Nash ya que, en caso contrario, se debería examinar el hecho de que, al menos un jugador no estaría aplicando su mejor respuesta según las estrategias de los demás. Teorema 3.1. Solución estable de un juego. Para ser solución estable a un juego, ésta debe ser un equilibrio de Nash, pero ser equilibrio de Nash no es condición suficiente para que sea solución del juego. 37 3.7 Existencia del equilibrio de Nash. Unicidad y selección de equilibrios. Teorema 3.2. Teorema de Nash. Todo juego finito (N, v), en forma normal tiene, al menos, un equilibrio de Nash en estrategias mixtas. Como se ha mencionado anteriormente, es frecuente que un juego tenga más de un equilibrio de Nash, reafirmando así que ser equilibrio de Nash no es una condición suficiente para asumir un conjunto de estrategias como solución a un juego. En esta situación, se pueden encontrar dos importantes enfoques para la elección de la solución: 1. Incluir conocimiento complementario al recopilado en el juego. Para abordar un juego, los agentes que intervienen se apartan del contexto real, ignorando así datos que puedan considerarse valiosos para la selección de la solución del juego. Entre otros muchos ejemplos, caben destacar las condiciones éticas o morales, o la experiencia adquirida en situaciones pasadas. 2. Refinamientos del equilibrio de Nash. Se pueden aplicar ciertas restricciones adicionales para dar lugar a la perfección en subjuegos o el equilibrio secuencial. 38 4 EL EQUILIBRIO DE NASH APLICADO AL POSIBLE CONFLICTO RUSIA-OTAN. 4.1 El conflicto Rusia-Ucrania. El 24 de febrero de 2022 Rusia emprende acciones militares en diversos territorios ucranianos, entre los que se incluye su capital, Kiev. Se trata de la consecuencia de una prolongada tensión cuya génesis se remonta a 2013 cuando, el entonces presidente prorruso de Ucrania Victor Yanukóvich, frena un pacto de asociación con la Unión Europea (UE) debido a las presiones de Rusia. El conocimiento de esta decisión generó un malestar general entre la población ucraniana, llevando a manifestaciones violentas que en numerosas ocasiones se saldaron con centenares de víctimas. La intensificación de las protestas y la agitación de los ucranianos condujeron a la huida de Yanukóvich. Mientras, prorrusos y defensores de la unidad de Ucrania se enfrentaban en Crimea, al tiempo que militares rusos camuflados y agentes de la KGB penetraban en la región para imponer su anexión a Rusia. Ilustración 6. Protestas en contra del líder ucraniano Yanukóvich 39 El 16 de febrero de 2014 se celebró un referéndum en Crimea, donde venció la opción prorrusa con más del 97% de los votos. Dos días después, el líder del Kremlin firmó la integración de Crimea a su territorio, lo que la comunidad internacional no reconoció. Además, la OTAN paralizó su cooperación con Rusia, y los EEUU y la UE impusieron sanciones. [15] En mayo de ese mismo año, lo ocurrido en Crimea se replica en la región ucraniana del Donbás donde, grupos paramilitares prorrusos exigen la integración en Rusia de los territorios de Donetsk y Lugansk, conflicto que no se zanja y acrecienta la tensión entre los dos países de manera considerable durante varios años más. Ilustración 7. Mapa político de Ucrania. En mayo de 2019 llega a la presidencia del gobierno de Ucrania Volodímir Zelenski, quien inicia negociaciones con el presidente ruso para reanudar el proceso de paz, llegando a efectuarse medidas como ciertos canjes de prisioneros. En enero de 2021, Rusia moviliza tropas a sus fronteras con Ucrania y Crimea en lo que, el secretario general de la OTAN, Jens Stoltenberg calificó como “la mayor acumulación de tropas rusas desde la anexión de Crimea”. 40 Como muestra de intervencionismo en el conflicto, se firma en agosto de 2021 en Kiev la Plataforma de Crimea, en la que 46 Estados y organizaciones, incluyendo la OTAN, exigen a Rusia la devolución de la península a Ucrania. A finales del mismo año, las movilizaciones de la milicia rusa en las fronteras con Ucrania se intensifican, con hasta 175.000 soldados según la inteligencia estadounidense. “La expansión de la OTAN y el desarrollo militar de Ucrania por parte de la Alianza es inaceptable para Rusia”, manifestaba Vladimir Putin, lo que muestra que el ataque ruso poco tiene que ver con la protección de la zona del Donbás, sino que existe un trasfondo geopolítico de mayor peso. Los expertos coinciden en señalar que el control sobre Ucrania es vital para la seguridad de Rusia, “quien no consentiría el acercamiento de la OTAN y la UE al territorio ucraniano, contrario a su objetivo estratégico de neutralizar la soberanía de Ucrania” señalaba Adriano Bosoni, miembro de la consultora especializada en pronósticos geopolíticos Rane. El 21 de febrero de 2022, el líder ruso firma la adhesión de las regiones de Donetsk y Lugansk y congrega gran parte de las tropas en esta zona, lo que es condenado por EEUU y la UE, que comienzan a orquestar una serie de importantes sanciones a Rusia. 47 Se pueden observar las diferentes situaciones de manera resumida en forma estratégica en la Tabla 4: Costos y Beneficios OTAN RUSIA (O1, R1) – OTAN ataca y Rusia responde -C1-C2-C3-C4+B1 -C2-C4-C5 (O2, R2) – OTAN ataca y Rusia se retira -C1-C3+B1 -C4-C6-C7+B2 (O3, R3) – OTAN med. prev. y Rusia ataca -C4+B1+B3 -C1-C3-C8+B1 (O4, R4) – OTAN med. prev. y Rusia negocia B1+B3 B1 (O5, R5) – OTAN med. prev. y Rusia se retira B1+B3 -C9-C10 (O6, R6) – OTAN ignora y Rusia ataca -C4-C6+B1 -C1-C3-C8+B1 (O7, R7) – OTAN ignora y Rusia no ataca -C6+B1 B1 Tabla 4. Tensión Rusia-OTAN en forma estratégica. 4.2.3 Equilibrios de Nash en el conflicto Rusia-OTAN 1. Si la OTAN decide atacar, que es el caso de los escenarios (O1, R1) y (O2, R2), Rusia obtendría distintos pagos en función de su decisión. En el caso de que Rusia decida responder al ataque, incurriría en el coste por usar el ejército, el ataque al propio territorio y el coste de la acumulación de las tropas. Sin embargo, si decide retirarse, sufrirá el ataque al propio territorio, el coste por pasividad y el coste por el debilitamiento de la frontera, pero obtendrá el beneficio de no responder al ataque. Parece evidente que, en cualquier caso, esta segunda opción es más rentable que el hecho de entrar en guerra, debido a su debilidad social y económica. Por ello, Rusia decidiría retirarse. Si se valorasen principalmente los costes bélicos, de nuevo Rusia, se decantaría por la retirada, ya que en ambos contextos se encontrará con un pago C4, pero atacando sufriría también C2. 48 Una valoración fundamentada en los costes y beneficios de seguridad no sería suficiente para tomar una decisión sin acudir al resto de categorías, puesto que en ambos contextos se vería debilitada la frontera, no pudiendo obtener B1. 2. Suponiendo que la OTAN opte por una medida preventiva, Rusia debe elegir entre los pagos de las situaciones (O3, R3), (O4, R4) y (O5, R5). Independientemente de la valoración que haga de los costes y beneficios, Rusia elegirá siempre negociación para obtener el pago del contexto 4. De esta forma, obtiene B1 y evita los costes bélicos o de imagen internacional que podría sufrir en las hipótesis (O3, R3) y (O5, R5). 3. Por último, si la OTAN opta por ignorar los acontecimientos, Rusia tomará su decisión en función de la valoración que haga de los pagos en los sucesos (O6, R6) y (O7, R7). Ya sea el caso en el que se le otorga mayor importancia a los costes bélicos que a los de imagen internacional, como al inverso, se observa que los costes bélicos son muy considerables en el escenario (O6, R6), siendo ninguno en el (O7, R7). En el escenario (O6, R6), Rusia sufre el coste de usar el arsenal sin sopesarlo, el de comenzar la guerra primero, el coste por el posible contraataque, pero consigue beneficios por mantener su ejército, no encontrando resistencia y mantener sus fronteras, por lo que parece lógico pensar que el líder ruso se decantaría por esta situación. Esto se vería fuertemente apoyado por la historia, que es una prueba fehaciente del éxito que tuvieron campañas similares en el pasado. 49 Sin embargo, la situación política es distinta a la dispuesta en aquellos contextos históricos, puesto que la OTAN ha consolidado su identidad y unión, convirtiéndose en un bloque realmente fuerte y haciendo, de este modo, que el contraataque esté asegurado. Las fronteras de los países de la OTAN más poderosos están lejos del alcance del Kremlin y estos parecen dispuestos a no permitírselo. Se entraría en un conflicto de magnitudes mundiales con una cantidad insostenible de pérdidas, tanto poblacionales como económicas. Además, analizando los costes y beneficios de seguridad del escenario (O7, R7), se observa que se obtiene igualmente el pago de B1. De este modo, si la OTAN ignora los acontecimientos, Rusia se decantará por reforzar su frontera sin atacar, evitando así los grandes costes en los que incurriría en la situación (O6, R6). 50 4.2.4 Conclusión conflicto Rusia-OTAN. En primer lugar, se puede observar que Rusia seguirá siempre el mismo perfil de estrategias, independientemente de la categoría de costes y beneficios a la que le otorgue mayor valor. Si la OTAN ataca, se retirará; si la OTAN realiza una medida preventiva, se abrirá a negociaciones; si la OTAN ignora lo ocurrido, no atacará. Tras analizar qué decisiones serían las más idóneas para Rusia en cada caso, la decisión entre los tres caminos que pudiera elegir la OTAN se reduce en la elección entre tres únicas situaciones: (O2, R2), (O4, R4) y (O7, R7) ya que Rusia replicaría en la misma medida. La OTAN nunca podrá tomar una decisión valorando únicamente los costes y beneficios de seguridad, pues en todos los pagos recibe B1 y nunca sufre C10. Sin embargo, como se puede observar fácilmente en la Tabla 4, de seleccionar la estrategia (O2, R2), incurriría en una mayor cantidad de costes. Parece que sus situaciones favorables son, por tanto, la (O4, R4) y la (O7, R7). Ninguna de estas situaciones contempla que, al acabar el juego, las tropas de la OTAN hayan sido retiradas por lo que se deben valorar también otro tipo de costes y beneficios. Prestando atención a los costes bélicos, ninguno de los tres pagos posibles destaca por encima del resto, pues en ninguna de las tres situaciones la OTAN recibe un ataque primero, ni se arriesga especialmente a un futuro ataque. Sin embargo, en el escenario (O7, R7) se sufre un coste por pasividad en la acción, el cual no tiene lugar de darse el contexto (O4, R4). Parece entonces evidente que como se obtendrían más beneficios es con el escenario (O4, R4). Teniendo todo esto en cuenta, el equilibrio final del juego será siempre [Prevención, Negociación] con pagos [B1+B3, B1]. 51 5 JUEGOS DE STACKELBERG APLICADO AL POSIBLE CONFLICTO RUSIA-OTAN. 5.1 Competencia de Stackelberg. El modelo económico de liderazgo de Stackelberg se caracteriza por ser un tipo de juego no cooperativo y de competencia imperfecta. Este modelo fue por primera vez descrito en 1934 por el economista alemán Heinrich Freiherr von Stackelberg en su obra Marktform und Gleichgewicht (Estructura de Mercado y Equilibrio). Ilustración 9. Heinrich Freiherr von Stackelberg. Supone un cambio de paradigma en lo referente al análisis de las estructuras de mercado, fundamentalmente de los duopolios ya que se fundamenta en hipótesis iniciales distintas a los modelos anteriores de Cournot o de Bertrand, llegando también a conclusiones diferentes. Por tanto, la competencia de Stackelberg se centra en juegos bipersonales con dos empresas de bienes homogéneos. Sin embargo, este modelo se ha extendido a una serie de campos donde se mantiene la relación líderseguidor. 52 El juego de Stackelberg es de tipo secuencial existiendo en él la figura de un líder que, por tener una mejor posición en el mercado o por tener mayor poder, decidirá qué cantidad q1 ofertará en primer lugar y la de un seguidor, cuya estrategia a seguir se basará en la elegida por el otro, optando por ofertar q2. Resulta importante destacar que el líder es consciente de que el seguidor tendrá en cuenta sus decisiones y además, tiene conocimiento de cómo actuará el seguidor sea cual sea su elección. Definición 15. Duopolio de Stackelberg en base a la cantidad. De manera formal se puede definir un juego de Stackelberg en base a la cantidad de la siguiente manera: 1. La empresa 1 (líder) ofrece una cantidad q1 ≥ 0. 2. La empresa 2 (seguidor) analiza q1 y entonces ofrece una cantidad q2 ≥ 0. 3. Los beneficios de la empresa i vendrán dados por la siguiente función: 𝜋𝑖(𝑞𝑖,𝑞𝑗)=𝑞𝑖[𝑃(𝑄)−𝑐] teniendo en cuenta que P(Q) = a – b·Q es el precio de equilibrio del mercado tomando, siendo a y b constantes positivas y el cociente 𝑎 𝑏 representa la cantidad máxima que demanda el mercado. Por otro lado, Q = q1 + q2 y c el coste marginal de producción, que se asumirá igual para las dos empresas. 53 5.2 Equilibrio en un juego de Stackelberg. Para encontrar un equilibrio en el juego se debe recurrir a la inducción hacia atrás, al igual que en cualquier juego secuencial, es decir, analizando en primer lugar la decisión del seguidor. Es lógico que la elección de q2 por parte del seguidor será aquella que maximice sus pagos teniendo en cuenta q1, lo que sería la estrategia de mejor respuesta del jugador 2, R2(q1), para la elección dada del líder. Si se maximiza la función de beneficio de la empresa 2 se obtiene que la mejor respuesta del seguidor es: 𝑀𝑅2(𝑞1)=[𝑎−𝑐 2𝑏 −𝑞1 2] Ahora el líder, anticipando la mejor respuesta del seguidor, procurará maximizar sus beneficios. Maximizando ahora la función beneficio del jugador 1, con q2 = MR2, se llega a que la cantidad óptima a producir por la empresa líder es: 𝑞1 ∗=𝑎−𝑐 2𝑏 De este modo, la respuesta óptima, y por tanto el valor en el equilibrio de la cantidad a producir por la empresa seguidora es: 𝑞2 ∗=𝑎−𝑐 4𝑏 El equilibrio perfecto del juego es el equilibrio de Stackelberg. Resulta evidente que la empresa líder obtiene mejores resultados que la seguidora, ya que puede manipularla estratégicamente. De este modo, el beneficio obtenido por cada una de las empresas será: 𝜋1 𝑒𝑞 =(𝑎−𝑐)2 8𝑏 𝜋2 𝑒𝑞 =(𝑎−𝑐)2 16𝑏 54 5.3 Posible enfrentamiento Rusia-OTAN. 5.3.1 Escenario y planteamiento. Supóngase que, al igual que en el caso anterior, los agentes que intervienen en el juego son el país ruso y la OTAN. Rusia, que tomará el rol de líder, plantea una serie de requisitos económicos y territoriales para detener cualquier acción armada: 1. Ucrania rechazaría todos los objetivos de ingresar a cualquier bloque. 2. Se debería reconocer a Crimea como territorio ruso. 3. Reconocer que Donetsk y Lugansk son estados independientes. 5.3.2 Análisis de los escenarios y equilibrio. En lo que respecta al segundo requisito, el reconocimiento de Crimea como territorio ruso, se debe evaluar la trascendencia que pudiera tener en la economía de Europa. Los mercados europeos podrían sufrir pérdidas modestas y pasajeras por el enfriamiento de las relaciones con Moscú, dados los estrechos lazos comerciales. El país alemán sería el más afectado puesto que cuenta con más de 6000 empresas operando en Rusia. Sin embargo, los economistas prevén que dichos efectos serán limitados. Un analista de Berenberg 1 , Holger Schmieding, estima que el golpe para el crecimiento económico de Alemania sería, a lo sumo, del 0.1% a 0.2% en los próximos 12 meses, suponiendo que la crisis se limite a Crimea. Esto no afectaría en absoluto a la recuperación de Europa. 1 Berenberg Bank: Institución financiera multinacional alemana centrada en la banca privada y de inversión 55 En cuanto al tercero de los requisitos, reconocer que Donetsk y Lugansk son estados independientes, los ministros de Defensa de la OTAN concluyeron que el reconocimiento de la independencia de las regiones separatistas de Donetsk y Lugansk, en el este de Ucrania, por parte de Rusia, supondría otra violación flagrante de la integridad territorial y la soberanía del país. Ante la propuesta de Rusia, la OTAN opta por aceptar el primer requisito, no llegando a incorporarse Ucrania al bloque, pero no accede a los restantes. De hecho, este primer requisito podría no interesar a la OTAN por el conflicto latente con Rusia que se originaría y prolongaría en el tiempo. Por la parte del bando ruso, el coste económico resultaría muy considerable. Hay ciertas interpretaciones que indican que esta región del este de Ucrania puede ser la razón del conflicto entre ambos países. Otras señalan que simplemente es una zona industrializada sin mayor valor económico, y otros consideran que es un enclave estratégico que tiene su importancia en un posible corredor con salida al mar de Azov. Mientras que, según algunos estudiosos, su población es prorrusa, para otros, aunque el ruso sea el idioma mayoritario, se trata de una población en mayor medida a favor de la entrada de Ucrania en la OTAN y de un acercamiento a la Unión Europea. 56 Se considera que una situación de equilibrio sería que Ucrania, en su totalidad, fuese un país independiente que pudiese comerciar libremente con ambos bloques. Esto es factible debido a la riqueza en el sector primario que tiene. Además, ambos bloques podrían comprometerse a una modernización del país, aumentando así su calidad de vida y haciéndole competitivo frente a otras economías. El coste de esta situación de equilibrio se denotará por P. Evidentemente, esto conllevará un coste marginal tanto para el bloque ruso como para la OTAN, al que se le llamará c. De este modo, el coste de cada uno de los bandos será: • Rusia: q1(P-c) • OTAN: q2(P-c) Tomando P(q1, q2) = a-b(q1+q2) se llegaría al equilibrio perfecto del juego: 𝜋1 𝑒𝑞 =(𝑎−𝑐)2 8𝑏 𝜋2 𝑒𝑞 =(𝑎−𝑐)2 16𝑏 63 Association. Accedido el 5 de marzo de 2022, en https://www.jstor.org/stable/2729025?origin=JSTOR-pdf. 11. Enric Ricart, J. (1988). Una Introducción a la Teoría de Juegos [Ebook] (pp. 6-17). Universidad de Navarra. Accedido el 9 de marzo de 2022, en https://media.iese.edu/research/pdfs/DI0138.pdf. 12. Faraldo Jarillo, J. (2022). 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