Deformaciones miniversales de parejas de tensores de segundo orden

XX Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones X Congreso de Matem´ atica Aplicada Sevilla, 24-28 septiembre 2007 (pp. 1–8) Deformaciones miniversales de parejas de tensores de segundo orden Josep Clotet1, M. Dolors Magret1, Marta Pe˜ na1 1Departament de Matem`atica Aplicada I, Universitat Polit`ecnica de Catalunya, E-08028 Barcelona. E-mails: [email protected], [email protected], [email protected]. Palabras clave: Deformaciones, versalidad, tensores de segundo orden Resumen Consideramos en el espacio de parejas de tensores tensi´on y deformaci´on la relaci´on de equivalencia que se corresponde con cambios de base ortonormales. Identific´andolas con parejas de matrices cuadradas, podemos utilizar la t´ecnica de las deformaciones miniversales para averiguar, dada una pareja de tensores cualquiera, cu´ales son las parejas de tensores que se pueden obtener al perturbar ligeramente la dada, puesto que las clases de equivalencia se pueden identificar con las ´orbitas que resultan al actuar un grupo de Lie sobre la variedad diferenciable de las parejas de matrices sim´etricas y son, por lo tanto, variedades diferenciables. Presentamos tambi´en las dimensiones que son posibles para dichas ´orbitas. 1. Introducci´on El objetivo del presente trabajo es obtener deformaciones miniversales de parejas de tensores tensi´on y deformaci´on (de segundo orden). Los tensores tensi´on y deformaci´on se utilizan, tanto en f´ısica como en ingenier´ıa, para estudiar ciertas propiedades mec´anicas de los materiales. Se pueden representar por medio de matrices sim´etricas y, a su vez, est´an relacionados por la llamada ecuaci´on constitutiva del material. Las deformaciones miniversales han sido ampliamente estudiadas en los ´ultimos a˜nos, puesto que dan soluci´on al problema de encontrar una forma can´onica local sencilla a la cual se puede reducir una familia arbitraria que depende diferenciablemente de los par´ametros, a la que se puede reducir la familia original a trav´es de una aplicaci´on que tambi´en depende diferenciablemente de los par´ametros. Adem´as, de ellas se pueden deducir las dimensiones de cada clase de equivalencia. 1 Josep Clotet, M. Dolors Magret, Marta Pe˜na El trabajo est´a dividido en las siguientes secciones. En la secci´on 2, se recuerda brevemente la definici´on de los tensores tensi´on y deformaci´on y su representaci´on mediante matrices cuadradas sim´etricas. En la secci´on 3, se considera la subvariedad diferenciable formada por las parejas de matrices sim´etricas de orden tres y las relaciones de equivalencia que consisten en identificar aquellas parejas de matrices que se obtienen al efectuar un mismo cambio de base en las dos matrices, bien sea aceptando solamente bases ortonormales, o bien bases cualesquiera. En ambos casos se observa que estas relaciones de equivalencia pueden interpretarse como las inducidas por las acciones de ciertos grupos de Lie sobre la subvariedad formada por las parejas de matrices sim´etricas, por lo que las clases de equivalencia son subvariedades diferenciables. Se puede entonces realizar un estudio geom´etrico-diferencial, obteniendo la descripci´on de las parejas de matrices que constituyen los espacios normales a las ´orbitas en un punto dado del espacio y se pone de manifiesto la relaci´on existente entre los espacios normales obtenidos al considerar las dos acciones. La secci´on 4 est´a dedicada a la obtenci´on de deformaciones miniversales o formas can´onicas diferenciables para parejas de matrices sim´etricas que representan los tensores tensi´on y deformaci´on. La identificaci´on del concepto de versalidad con el de transversalidad (y el de miniversalidad con el de minitransversalidad) permite utilizar los resultados hallados en el apartado anterior (concretamente, la descripci´on del espacio normal) para obtener una deformaci´on miniversal de una pareja de matrices sim´etricas asociadas a una pareja de tensores tensi´on-deformaci´on dada. As´ı, se dan estas deformaciones miniversales expl´ıcitamente y, como consecuencia, se pueden obtener las dimensiones de las distintas ´orbitas o clases de equivalencia. Las deformaciones miniversales pueden aplicarse al estudio de las perturbaciones locales. 2. Tensor tensi´on y tensor deformaci´on En mec´anica de medios continuos, el estado de tensi´on-deformaci´on viene caracterizado por dos campos tensoriales sim´etricos, llamados respectivamente tensor tensi´on ytensor deformaci´on: el primero de los cuales describe la distribuci´on de esfuerzos y el segundo caracteriza el cambio de forma y volumen del cuerpo. A su vez, est´an relacionados por la llamada ecuaci´on constitutiva del material. Por consiguiente, si examinamos un punto cualquiera del s´olido y consideramos un sistema de referencia ortonormal con origen en dicho punto, el estado de tensi´on-deformaci´on viene caracterizado por una pareja de matrices sim´etricas, asociadas respectivamente al tensor tensi´on y al tensor deformaci´on: Txyz =  σxτxy τxz τyx σyτyz τzx τzy σz   donde σirepresentan tensiones normales o perpendiculares al plano, que podr´an ser de tracci´on (σi>0) o de compresi´on (σi<0), y τij tensiones de cizalla o tangenciales. Asimismo, Dxyz =  εxεxy εxz εyx εyεyz εzx εzy εz   2 Deformaciones miniversales de parejas de tensores de segundo orden donde εirepresentan alargamientos (εi>0) o acortamientos (εi<0) en la direcci´on iy εij variaciones del ´angulo formado por los ejes iyj. Puesto que estas dos matrices son sim´etricas, diagonalizan en una base ortonormal de vectores propios que se denominan direcciones principales de tensi´on y deformaci´on respectivamente. A los valores propios se les llama tensiones y deformaciones principales (resultando en este caso nulas las tensiones tangenciales y las distorsiones angulares). 3. Estudio geom´etrico Como se ha visto en el apartado anterior, los tensores tensi´on y deformaci´on que corresponden al estado de tensi´on-deformaci´on en un punto de un s´olido pueden representarse por una pareja de matrices sim´etricas. La descomposici´on del espacio en suma directa de los espacios tangente y normal, objetos de estudio de este apartado, permite la obtenci´on de deformaciones miniversales. Para calcularlos utilizaremos las t´ecnicas usuales de geometr´ıa diferencial. Consideremos la variedad diferenciable M=M3(R)×M3(R) y la subvariedad X= Sym3(R)×Sym3(R) (de dimensiones 18 y 12, respectivamente). Una pareja formada por los tensores tensi´on y deformaci´on se puede representar, en las distintas bases ortonormales de R3, por parejas de matrices sim´etricas, que forman una clase de equivalencia respecto a la siguiente relaci´on de equivalencia definida en X: (A, B)∼(A0, B0) si y s´olo si existe S∈O3(R) tal que A0=StAS, B0=StBS Las clases de equivalencia por esta relaci´on coinciden con las ´orbitas por la acci´on del grupo de Lie O3(R) que act´ua sobre X, a trav´es de α:O3(R)× X −→ X (S, (A, B)) −→ (StAS, StBS) Se verifican las condiciones del Lema de la ´orbita cerrada, lo que nos permite afirmar que es una subvariedad diferenciable localmente cerrada de Xy su frontera es reuni´on de ´orbitas de dimensi´on inferior. En particular, las ´orbitas de dimensi´on m´ınima son cerradas. Proposici´on 1. El espacio tangente a la ´orbita (respecto de la acci´on α) de una pareja (A, B)∈ X en (A, B)es: T(A,B)Oα(A, B) = {(AS −SA, BS −SB)|S∈Ant3(R)} ⊆ X donde Ant3(R) = TIO3(R)representa el conjunto de las matrices antisim´etricas de orden 3 con coeficientes reales. Demostraci´on. El espacio tangente a la ´orbita (A, B) consiste en las parejas de matrices (AS −SA, BS −SB), con S∈Ant3(R) puesto que ¡(I+εS)tA(I+εS),(I+εS)tB(I+εS)¢= (A, B) + ε(AS +StA, BS +StB) + O(ε2) = (A, B) + ε(AS −SA, BS −SB) + O(ε2)¤ Observemos que no es f´acil, a pesar de esta descripci´on, determinar expl´ıcitamente el espacio tangente. Es m´as f´acil determinar el espacio normal con respecto a un producto escalar eucl´ıdeo cualquiera. Concretamente, utilizaremos el producto escalar en M: <(A, B),(X, Y )>= tr(AXt) + tr(BY t) 3 Josep Clotet, M. Dolors Magret, Marta Pe˜na Al contrario de lo que ocurr´ıa con los espacios tangentes a las ´orbitas, sus ortogonales no est´an incluidos en X. De ellos se puede obtener la siguiente caracterizaci´on. Proposici´on 2. Considerando el producto escalar eucl´ıdeo en Mdefinido anteriormente, el espacio normal a la ´orbita de una pareja de matrices (A, B)∈ X , con respecto a la acci´on α, es: T(A,B)Oα(A, B)⊥∩ X ={(X, Y )∈ X | AX −XA +BY −Y B = 0} Demostraci´on. Por definici´on de complementario ortogonal, (X, Y )∈ M pertenece a T(A,B)Oα(A, B)⊥si y s´olo si <(AS −SA, BS −SB),(X, Y )>= 0 para toda S∈Ant3(R) Equivalentemente, si tr ((AS −SA)Xt) + tr ((BS −SB)Yt) = tr ((XtA−AXt+YtB−BY t)S) = 0 para toda S∈Ant3(R). Es decir, si y s´olo si tr ((XtA−AXt+YtB−BY t)Si) = 0 i= 1,2,3 siendo S1=  0 1 0 −100 0 0 0  , S2=  0 0 1 0 0 0 −100  , S3=  0 0 0 0 0 1 0−1 0   Puede comprobarse directamente, realizando el c´alculo correspondiente, que esta ´ultima condici´on, para una pareja de matrices (X, Y )∈ X es equivalente a AX −XA +BY −Y B = 0 de donde se deduce el resultado. ¤ Consideremos ahora la siguiente acci´on del grupo de Lie Gl3(R) sobre M: β:Gl3(R)× M −→ M (S, (A, B)) −→ (S−1AS, S−1BS) As´ı como las ´orbitas de una pareja de matrices de (A, B)∈ X que representan los tensores tensi´on y deformaci´on por la acci´on αest´an formadas por las parejas de matrices (StAS, StBS), S∈O3(R), que representan dichos tensores en las distintas bases ortonormales de R3, si no nos restringimos a bases ortonormales, podemos considerar las clases de equivalencia por la relaci´on: (A, B)∼β(A0, B0) si y s´olo si existe S∈Gl3(R) tal que A0=S−1AS, B0=S−1BS que coinciden con las ´orbitas por la acci´on β. Tambi´en en este caso se verifican las hip´otesis del Lema de la ´orbita cerrada y las clases de equivalencia son subvariedades diferenciables. 4 Deformaciones miniversales de parejas de tensores de segundo orden Veamos, para finalizar este apartado, la relaci´on que existe entre los espacios normales obtenidos para una pareja de matrices (A, B)∈ X con respecto a las acciones αyβ. Proposici´on 3. Considerando el producto escalar definido en M, la relaci´on entre el espacio normal a la ´orbita de una pareja de matrices (A, B)∈ X, con respecto a la acci´on αy el espacio normal a la ´orbita con respecto a la acci´on βes: T(A,B)Oα(A, B)⊥∩ X =T(A,B)Oβ(A, B)⊥∩ X Demostraci´on. El espacio tangente a la ´orbita (respecto de la acci´on β) de una pareja (A, B) en (A, B) es: T(A,B)Oβ(A, B) = {(AS −SA, BS −SB)|S∈M3(R)} Entonces (X, Y )∈ M pertenece a T(A,B)Oβ(A, B)⊥si y s´olo si <(AS −SA, BS −SB),(X, Y )>= 0 para toda S∈M3(R) Equivalentemente, si tr ((AS −SA)Xt) + tr ((BS −SB)Yt) = tr ((XtA−AXt+YtB−BY t)S) = 0 para toda S∈M3(R). Es decir, si X, Y satisfacen la ecuaci´on AXt−XtA+BY t−YtB= 0 Teniendo en cuenta la descripci´on de T(A,B)Oα(A, B)⊥∩ X dada en la Proposici´on 2, se deduce la igualdad del enunciado. ¤ 4. Deformaciones miniversales de parejas de tensores Las deformaciones versales dan soluci´on al problema de encontrar una forma can´onica sencilla para una familia arbitraria de matrices, que depende diferenciablemente de los par´ametros. Recordemos que, dada una familia diferenciable de parejas de matrices, la familia de las formas reducidas de Jordan no tiene por qu´e ser una familia diferenciable. Las definiciones y resultados b´asicos sobre deformaciones y versalidad se pueden encontrar en [1] y [4]. Aqu´ı los recordamos brevemente, adapt´andolos a nuestro caso particular. Definici´on. Una deformaci´on de (A, B)∈ X es una aplicaci´on diferenciable ϕ:U−→ X, con Uun entorno abierto del origen de Rd, tal que ϕ(0) = (A, B). Una deformaci´on ϕ:U−→ X de (A, B) se llama versal en 0 si para toda otra deformaci´on de (A, B), ψ:V−→ X, existe un abierto V0⊆Vcon 0 ∈V0, una aplicaci´on diferenciable γ:V0−→ Ucon γ(0) = 0 y una deformaci´on de la identidad I∈Gl3(R), θ:V0−→ Gl3(R), tal que ψ(µ) = α(θ(µ), ϕ(γ(µ))) para todo µ∈V0. Una deformaci´on versal con el m´ınimo n´umero de par´ametros dse llama deformaci´on miniversal. En nuestro caso, tenemos la siguiente descripci´on de deformaci´on miniversal de una pareja de X, consecuencia de la descripci´on del espacio normal dada en la Proposici´on 2. 5 Josep Clotet, M. Dolors Magret, Marta Pe˜na Teorema 1. Sea {V1, . . . , Vd}una base del espacio vectorial formado con las soluciones del sistema AX−XA+BY −Y B = 0. La aplicaci´on ϕ(η1, . . . , ηd)−→ (A, B)+η1V1+···+ηdVd es una deformaci´on miniversal de la pareja (A, B). Demostraci´on. El enunciado es v´alido en general como consecuencia del lema en [1], secci´on 2.3, y su generalizaci´on en [4], p. 66: una aplicaci´on ϕ:Rd−→ X es versal en un punto x∈Rdsi y s´olo si ϕes transversal a la ´orbita de ϕ(x) en x.¤ Este resultado permite calcular expl´ıcitamente una deformaci´on miniversal de cualquier pareja de matrices (A, B)∈ X. Observemos que podemos elegir un representante en cada una de las clases de equivalencia con la primera matriz de la pareja en forma diagonal. Para estos representantes, se obtienen las siguientes deformaciones miniversales. Si la pareja de matrices es de la forma (λI, µI), una deformaci´on miniversal es: ϕ(u1, u2, u3, u4, u5, u6, u7, u8, u9, u10, u11, u12) =    λ+u1u2u3 u2λ+u4u5 u3u5λ+u6  ,  µ+u7u8u9 u8µ+u10 u11 u9u11 µ+u12   . Si la pareja de matrices pertenece a la misma clase de equivalencia que una pareja de la forma (λI, diag(µ1, µ1, µ2)), con µ16=µ2, una deformaci´on miniversal es: ϕ(u1, u2, u3, u4, u5, u6, u7, u8, u9, u10) =    λ+u1u2u3 u2λ+u4u5 u3u5λ+u6  ,  µ1+u7u80 u8µ1+u90 0 0 µ2+u10   . Si la pareja de matrices pertenece a la misma clase de equivalencia que una pareja de la forma (diag(λ1, λ1, λ2), µI), con λ16=λ2, una deformaci´on miniversal es: ϕ(u1, u2, u3, u4, u5, u6, u7, u8, u9, u10) =    λ1+u1u20 u2λ1+u30 0 0 λ2+u4  ,  µ+u5u6u7 u6µ+u8u9 u7u9µ+u10   . Si la pareja de matrices pertenece a la misma clase de equivalencia que una pareja de la forma (diag(λ1, λ1, λ2), S−1diag(µ1, µ1, µ2)S), con λ16=λ2yµ16=µ2, una deformaci´on miniversal es: ϕ(u1, u2, u3, u4, u5, u6, u7, u8, u9, u10) =      λ1+u1u2u3 u2λ1+u4u5 u3u5λ2+u6  , S    µ1+u7u8λ1−λ2 µ2−µ1u3 u8µ1+u9λ1−λ2 µ2−µ1u5 λ1−λ2 µ2−µ1u3λ1−λ2 µ2−µ1u5µ2+u10   S−1  . Si la pareja de matrices pertenece a la misma clase de equivalencia que (diag(λ1, λ2, λ3), µI), con λ1, λ2, λ3distintos, una deformaci´on miniversal es: ϕ(u1, u2, u3, u4, u5, u6, u7, u8, u9) =    λ1+u10 0 0λ2+u20 0 0 λ3+u3  ,  µ+u4u5u6 u5µ+u7u8 u6u8µ+u9   . Si la pareja de matrices pertenece a la misma clase de equivalencia que (λI, diag(µ1, µ2, µ3)), con µ1, µ2, µ3distintos, una deformaci´on miniversal es: ϕ(u1, u2, u3, u4, u5, u6, u7, u8, u9) =    λ+u1u2u3 u2λ+u4u5 u3u5λ+u6  ,  µ1+u70 0 0µ2+u80 0 0 µ3+u9   . 6 Deformaciones miniversales de parejas de tensores de segundo orden Si la pareja de matrices pertenece a la misma clase de equivalencia que (diag(λ1, λ1, λ2), S−1diag(µ1, µ2, µ3)S), con λ16=λ2yµ1, µ2, µ3distintos, una deformaci´on miniversal es: ϕ(u1, u2, u3, u4, u5, u6, u7, u8, u9) =      λ1+u1u2u3 u2λ1+u4u5 u3u5λ2+u6  , S    µ1+u70λ1−λ2 µ3−µ1u3 0µ2+u8λ1−λ2 µ3−µ2u5 λ1−λ2 µ3−µ1u3λ1−λ2 µ3−µ2u5µ3+u9   S−1  . Si la pareja de matrices pertenece a la misma clase de equivalencia que (diag(λ1, λ2, λ3), S−1diag(µ1, µ1, µ2)S), con λ1, λ2, λ3distintos, y µ16=µ2una deformaci´on miniversal es: ϕ(u1, u2, u3, u4, u5, u6, u7, u8, u9) =      λ1+u10u2 0λ2+u3u4 u2u4λ3+u5  , S    µ1+u6u7λ1−λ3 µ2−µ1u2 u7µ1+u8λ2−λ3 µ2−µ1u4 λ1−λ3 µ2−µ1u2λ2−λ3 µ2−µ1u4µ2+u9   S−1  . Si la pareja de matrices pertenece a la misma clase de equivalencia que (diag(λ1, λ2, λ3), S−1diag(µ1, µ2, µ3)S), con λ1, λ2, λ3distintos y µ1, µ2, µ3tambi´en distintos, una deformaci´on miniversal es: ϕ(u1, u2, u3, u4, u5, u6, u7, u8, u9) =      λ+u1u2u3 u2λ+u4u5 u3u5λ+u6  , S    µ1+u7λ1−λ2 µ2−µ1u2λ1−λ3 µ3−µ1u3 λ1−λ2 µ2−µ1u2µ2+u8λ2−λ3 µ3−µ2u5 λ1−λ3 µ3−µ1u3λ2−λ3 µ3−µ2u5µ3+u9   S−1  . A partir de las deformaciones miniversales anteriores, pueden deducirse las de cualquier pareja de matrices de X, utilizando el siguiente resultado. Proposici´on 4. Si A0=StAS,B0=StBS con S∈O3(R), entonces: (X, Y )∈T(A0,B0)Oα(A0, B0)⊥∩ Xsi y s´olo si (SXSt, SY St)∈T(A,B)Oα(A, B)⊥∩ X. Demostraci´on. Puede comprobarse f´acilmente que la condici´on A0X−XA0+B0Y−Y B0= 0 es equivalente a A(SXSt)−(SXSt)A+B(SY St)−(SY St)B= 0 de donde se deduce el enunciado. ¤ Como consecuencia del Teorema 1, tambi´en podemos determinar las dimensiones de las distintas ´orbitas, ya que las codimensiones de las ´orbitas coinciden con la dimensi´on de las deformaciones miniversales. Corolario 1. El valor de las codimensiones de las distintas ´orbitas (o clases de equivalencia) por la acci´on αviene dado en la Tabla 1. Como aplicaci´on de los resultados obtenidos podemos efectuar un estudio de los efectos de peque˜nas perturbaciones en los coeficientes de las matrices que representan los tensores tensi´on y deformaci´on. Por ejemplo, puesto que al efectuar tales perturbaciones es m´as probable pasar de una ´orbita de codimensi´on dada a otra ´orbita de codimensi´on menor, la Tabla 1 nos indica cu´ales son las clases de equivalencia a las que hay una mayor probabilidad de acceder. 7 Josep Clotet, M. Dolors Magret, Marta Pe˜na Representante de la clase de equivalencia Codimensi´on de la clase de equivalencia (λI, µI) 12 (λI, diag(µ1, µ1, µ2)) 10 (diag(λ1, λ1, λ2), µI) 10 (diag(λ1, λ1, λ2), S−1diag(µ1, µ1, µ2)S) 10 (diag(λ1, λ2, λ3), µI) 9 (λI, diag(µ1, µ2, µ3)) 9 (diag(λ1, λ1, λ2), S−1diag(µ1, µ2, µ3)S) 9 (diag(λ1, λ2, λ3), S−1diag(µ1, µ1, µ2)S) 9 (diag(λ1, λ2, λ3), S−1diag(µ1, µ2, µ3)S) 9 Tabla 1: Codimensiones de las clases de equivalencia. Agradecimientos Deseamos agradecer a Josep Ferrer la propuesta de realizaci´on de este trabajo as´ı como su constante apoyo, y a nuestros compa˜neros M. A. Barja y F. Planas el introducirnos en el mundo de los tensores. Referencias [1] V. I. Arnold, On matrices depending on parameters, Uspekhi Mat. Nauk. 26, Mosc´u, 1971. [2] M. A. Barja, I. Carol, F. Planas, E. Rizzi, The representation problem of pairs of symmetric secondorder tensors in the context of Solid Mechanics. Accesible en: http://www.ma1.upc.edu/recerca/preprints/03/0301planas.abs [3] F. Puerta, ´ Algebra lineal, Edicions upc, Barcelona, 2005. [4] A. Tannenbaum, Invariance and System Theory: Algebraic and Geometric Aspects, Lecture Notes in Mathematics 845, Springer-Verlag, Berl´ın, 1981. [5] S. P. Timoshenko, Resistencia de materiales, Espasa-Calpe, Madrid, 1967. 8