Cálculo de áreas encerradas por cicloides y trocoides usando el Teorema de Mamikon. Aplicaciones

TRABAJO FIN DE GRADO C´alculo de ´areas encerradas por cicloides y trocoides usando el Teorema de Mamikon. Aplicaciones. DEPARTAMENTO DE GEOMETR´ IA Y TOPOLOG´ IA Grado en Matem´aticas Realizado por Ana Mar´ıa Bermudo Martos Facultad de Matem´ aticas — Sevilla, junio 2018 A mi madre, por hacer que avance incluso en los momentos que no me ve´ıa capaz ni yo misma. I II Abstract A point on the boundary of a circular disk that rolls once along a straight line traces a cycloid. The cycloid divides its circumscribing rectangle into a cycloidal arch below the curve and a cycloidal cap above it. The area of the arch is three times that of the disk, and the area of the cap is equal to that of the disk. This paper provides deeper insight into this well-known property by applying Mamikon’s sweeping-tangent theorem to show that the ratio 3:1 holds at every stage of rotation. Each cycloidal sector swept by the normal segment from the point of contact of the disk to the cycloid has area three times that of the overlapping circular segment cut from the rolling disk. This surprising result is extended to epicycloids (and hypocycloids), obtained by rolling a disk of radius rexternally (or internally) around a fixed circle of radius R. The factor 3 is replaced by (3 + 2r/R) for the epicycloid, and by (3 −2r/R) for the hypocycloid. This leads to several interesting consequences. For example, for any cycloid, epicycloid, or hypocycloid, the area of one full arch exceeds that of one full cap by twice the area of the rolling disk. Other applications yield (again without integration) compact geometrically revealing formulas for areas of cycloidal radial and ordinate sets. The results are also extended to trochoids, in which the rolling disk rolls around a more general smooth base curve. III IV Resumen Un punto en la frontera de un disco circular rodando a lo largo de una linea recta traza una curva llamada cicloide. La cicloide divide su rect´angulo circunscrito en un arco cicloidal bajo la curva y una tapa cicloidal sobre ella. El ´area del arco es tres veces la del disco, y el ´area de la tapa es igual a la del disco. Este trabajo proporciona una visi´on m´as profunda de esta conocida propiedad aplicando el Teorema del Barrido de las Tangentes de Mamikon para mostrar que la relaci´on 3 : 1 se mantiene en cada etapa de rotaci´on. Cada sector cicloidal formado por los segmentos de recta normal desde el punto de contacto del disco hasta la cicloide tiene tres veces el ´area del segmento circular del disco rodante. Este sorprendente resultado se extiende a los epicicloides (e hipocicloides), obtenidos al hacer rodar un disco de radio rexternamente (o internamente) alrededor de un c´ırculo fijo de radio R. El factor 3 se reemplaza por (3+2r/R) para la epicicloide, y por (3−2r/R) para la hipocicloide. Esto lleva a varias consecuencias interesantes. Por ejemplo, para cualquier cicloide, epicicloide o hipocicloide, el exceso del ´area de un arco completo sobre el ´area de una tapa completa es dos veces el ´area del disco rodante. Otras aplicaciones producen (una vez m´as sin integraci´on) f´ormulas compactas y geom´etricamente reveladoras para ´areas de conjuntos cicloidales radiales y de ordenadas. Los resultados tambi´en se extienden a las trocoides, en los que el disco rodante gira sobre una curva base diferenciable m´as general. V ´ Indice VI ´ Indice Introducci´on 1 1. Nociones generales sobre las curvas cicloidales 7 1.1. Definicionesprevias............................ 7 1.2. Construcci´on y elementos de las cicloides . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3. Parametrizaci´on de las cicloides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4. Curvaturas, rectas tangentes y normales de las cicloides . . . . . . . . 13 1.5. Epicicloides e Hipocicloides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5.1. Epicicloides ............................ 16 1.5.2. Hipocicloides ........................... 18 2. ´ Areas encerradas bajo las curvas cicloidales 21 2.1. ´ Area de un arco de cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2. Tapas y sectores epicicloidales e hipocicloidales . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.1. ´ Area de una tapa y un arco completo . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3. ´ Areas de conjuntos cicloidales radiales y de ordenadas . . . . . . . . . 31 3. Aplicaciones 35 3.1. ´ Area de una tapa y un sector trocoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1.1. Correspondientes resultados para hipotrocoides . . . . . . . . 39 3.2. Aplicaciones a Curvas Conocidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Anexo Maple 6 47 Bibliograf´ıa 49 VII 6 Introducci´on 6 Cap´ıtulo 1 Nociones generales sobre las curvas cicloidales La trocoide es una curva del plano descrita por un punto vinculado a una circunferencia que rueda tangencialmente sin deslizamiento sobre una l´ınea recta. Dependiendo de la posici´on de dicho punto con respecto a la circunferencia pueden darse distintos casos. El m´as conocido, en el que el punto que describe la curva est´e sobre la circunferencia, obtenemos una cicloide. Los casos en los que el punto se encuentre en el interior o exterior de la circunferencia reciben el nombre de cicloide acortada oalargada, respectivamente. Figura 1.1: Tipos de trocoides 1.1. Definiciones previas Para llevar a cabo el desarrollo del trabajo debemos tener en cuenta varios conceptos estudiados en la asignatura de Geometr´ıa local de curvas y superficies. Para conocer estos t´erminos b´asicos tomamos como referencia [6]. 8 Cap´ıtulo 1. Nociones generales sobre las curvas cicloidales Definici´on 1.1.1. Una curva parametrizada regular (c.p.r) en Rmes una aplicaci´on α: (a, b)⊆R−→ Rm:t7−→ α(t)=(x1(t), ..., xm(t)) tal que: 1. α∈Ck, k ≥1(Condici´on de Diferenciabilidad). 2. α0=dα dt 6= 0, para todo t∈(a, b)(Condici´on de Regularidad) En nuestro caso m= 2 y, en general, basta con k= 2. Definici´on 1.1.2. Sea α: (a, b)−→ Rmuna c.p.r. y t0∈(a, b). Se llama vector velocidad de αen α(t0)al vector α0(t0)y se llama campo vectorial velocidad a la aplicaci´on α0: (a, b)−→ Rmdada por t7−→ α0(t), que, por la C.R. es no nula en todos los puntos. Al m´odulo del vector velocidad de αen α(t0)se le llama velocidad de αen α(t0). Se llama vector tangente aαen α(t0)al vector t(t0) = α0(t0) |α0(t0)|, que es unitario. Se llama campo vectorial tangente de αa la aplicaci´on dada por: t: (a, b)−→ Rm t7−→ t(t) = α0(t) |α0(t)|. Definici´on 1.1.3. Sean (a, b)−→ Rmuna c.p.r y t0∈(a, b). Se llama recta tangente aαen α(t0)a la recta que pasa por α(t0)y tiene como direcci´on al vector tangente a αen α(t0), que, claramente es una c.p.r. Su ecuaci´on viene dada por: β:R−→ Rm:r7−→ β(r) = α(t0) + rt(t0) = α(t0) + Rα0(t0). Definici´on 1.1.4. Dada una representaci´on param´etrica regular a trozos de clase C1o superior, α: (a, b)−→ R2, podemos introducir un nuevo par´ametro spor la f´ormula s=Zt t0kα0(u)kdu. Ya que s: (a, b)⊂R−→ J⊂Res una funci´on creciente (kα0(u)k>0, excepto para un n´umero finito de puntos) la funci´on inversa es tambi´en mon´otona creciente y de clase C1a trozos. Usando esta funci´on tenemos una representaci´on param´etrica equivalente: β:J−→ R2 s7−→ β(s) = α(t(s)). El par´ametro sse llama par´ametro natural. 8 1.2. Construcci´on y elementos de las cicloides 9 Nota 1.1.1. Denotaremos por ˙α,¨α, . ..a las derivadas respecto al par´ametro natural. Definici´on 1.1.5. Sean α: (a, b)−→ R2una curva regular parametrizada naturalmente (c.r.p.n.) y s0∈(a, b). Se define la curvatura de αen α(s0)como k(s0) = ˙ θ(s0) = (dθ ds)s=s0, donde θ: (a, b)−→ Res una determinaci´on continua del ´angulo que forma el eje OX con el vector tangente. A la funci´on k: (a, b)−→ R:s7−→ k(s) = ˙ θ(s) se le llama curvatura de α. Cuando tenemos una curva, cuya parametrizaci´on no utiliza el par´ametro natural, podemos calcular la curvatura de la siguiente forma: k(t) = x0(t)y00(t)−x00(t)y0(t) ((x0(t))2+ (y0(t))2)3 2 . Definici´on 1.1.6. Sea α=α(s)una c.r.p.n. en el plano R2. Se llama vector normal de αen α(s)al ´unico vector unitario n(s)ortogonal a t(s)en dicho punto y tal que el par (t(s),n(s)) est´a positivamente orientado. A este par se le llama Referencia de Frenet de αen α(s)y es una referencia ortonormal directa que se mueve con los puntos de la curva. Definici´on 1.1.7. Sean (a, b)−→ Rmuna c.p.r y t0(a, b). Se llama recta normal aαen α(s)a la recta que pasa por α(s)y tiene como direcci´on al vector normal a αen α(s), que, claramente es una c.p.r. Su ecuaci´on es: β:R−→ R2:r7−→ β(r) = α(s) + rn(s). 1.2. Construcci´on y elementos de las cicloides Como primera toma de contacto con estas curvas, procedemos a la construcci´on por puntos de la cicloide (la distancia del punto que describe la curva al centro es igual al radio del c´ırculo generador). Tracemos (Figura 1.2) la recta AB, y en su extremo izquierdo construyamos un c´ırculo de radio atangente a AB en el punto T. Resulta m´as sencillo hacerlo de la siguiente forma: a una distancia ade la recta AB tracemos la recta CD paralela a ella (esta recta nos ser´a de gran utilidad m´as adelante). Cerca del extremo izquierdo de CD se˜nalemos el punto Oy construyamos la circunferencia de radio ay centro O, que necesariamente ser´a tangente a AB. Denotemos con la letra Tel punto de tangencia. Tomemos en la recta AB un segmento partiendo del punto Thacia la derecha con longitud igual a la de la circunferencia de radio a. Sabemos que esto es imposible de hacer de forma exacta con una regla y comp´as, por lo que nos limitaremos a una construcci´on aproximada. Si el radio de la circunferencia es a, entonces su longitud 9 10 Cap´ıtulo 1. Nociones generales sobre las curvas cicloidales Figura 1.2: Construcci´on de la cicloide por puntos es 2πa. Esto se puede ver de manera aproximada como 62 7a´o 6,28a. Denotemos el final de este segmento por A8. Supongamos que el c´ırculo que hemos construido se mueve por la recta AB, por lo que su centro se desplazar´a por CD. Dividamos el segmento OO8, igual a TA8, en 8 partes iguales. El punto O1corresponde a 1 8de vuelta. Cuando el centro se traslada desde Ohasta O1, el radio OT gira en 360o/8 = 45o. Construyamos el ´angulo A1O1T1igual 45oy tracemos el segmento O1T1igual a OT. El punto T1debe pertenecer a la cicloide. Este punto tambi´en pertenece a la circunferencia trazada con centro O1y radio a. Consideremos ahora el punto O2que coincide con el centro del c´ırculo que ha girado 2 8=1 4de vuelta. Hagamos la misma construcci´on que antes, s´olo que esta vez la amplitud del ´angulo A2O2T2debe ser igual a 2360o 8= 90o. As´ı obtenemos el punto T2de la cicloide. Para obtener el siguiente punto, en el centro O3construyamos el ´angulo igual a 3360o 8= 135oy tracemos el segmento O3T3, igual a OT. Para la construcci´on de los puntos T4,T5,T6yT7se procede de la misma forma y es evidente que T8coincide con A8. Al unir mediante una curva suave todos los puntos obtenidos con el procedimiento anteriormente citado, obtendremos la cicloide. Si la curva obtenida no parece suficientemente suave es posible, desde el inicio, dividir el segmento principal (la longitud de la circunferencia que rueda, en un n´umero suficiente de partes para que la curva quede lo m´as exacta posible. Hay que destacar que, al igual que la recta, la cicloide se considera una curva infinita, es decir, suponemos que el c´ırculo, denominado c´ırculo generador rueda por la recta, a la que se le llama directriz por siempre, por lo que se obtiene una curva compuesta de una serie infinita de arcos (en la Figura 1.3 se muestran dos arcos completos y parte del tercero). 10 1.2. Construcci´on y elementos de las cicloides 11 Figura 1.3: Vista general de la cicloide Los arcos se unen en ciertos puntos (picos), los cuales tienen tangentes (verticales) comunes. Estos puntos reciben el nombre de puntos de retroceso de la cicloide y corresponden a las posiciones inferiores del punto de la circunferencia que describe la cicloide. Figura 1.4: Elementos de la cicloide Las posiciones superiores se encuentran justamente entre dos puntos de retroceso, a una misma distancia de ambos; estos puntos “m´as altos” se denominan v´ertices de la cicloide. Adem´as, al segmento de recta que se forma entre dos puntos de retroceso adyacentes lo llamamos base de la cicloide (m´as exactamente, base de un arco de cicloide). Todos estos conceptos los podemos diferenciar claramente en la Figura 1.4. 11 12 Cap´ıtulo 1. Nociones generales sobre las curvas cicloidales 1.3. Parametrizaci´on de las cicloides En esta secci´on nos ocupamos de parametrizar las curvas cicloides. La idea de esto ser´a tomar un punto cualquiera y ver qu´e coordenadas toma dicho punto. Al tratarse de un punto arbitrario, conseguiremos la parametrizaci´on de la curva. Consideremos un arco de la cicloide dado por ACB, con Cel punto medio ´o v´ertice. Sea Pun punto sobre la curva y Oel centro de la circunferencia. Entonces OP corresponde al radio del c´ırculo generador (ver Figura 1.5). Tomando como directriz el eje de abscisas y Acomo el origen de coordenadas. Llamaremos Ial punto de contacto con el eje. Sea PM la recta perpendicular al radio vertical OI. Luego, si OP =ay denotamos por tal ´angulo formado por \ MOP, como en la Figura 1.5, se verifica: AI =arco(PI) = at. Figura 1.5: Obtenci´on de las ecuaciones param´etricas de la cicloide Las coordenadas (x, y) de Pvienen dadas por: x(t) = at −asin t=a(t−sin t), y(t) = a−acos t=a(1 −cos t).(1.1) Es decir, la posici´on de Pviene dada por: α(t) = (x(t), y(t)) = (a(t−sin t), a(1 −cos t)). Hemos supuesto que en t= 0, Pcoincide con Iy con el origen de coordenadas. El vector velocidad, como definimos en el apartado anterior, se obtiene de la siguiente forma: α0(t) = (x0(t), y0(t)). 12 1.4. Curvaturas, rectas tangentes y normales de las cicloides 13 Derivando x(t) e y(t) obtenemos α0(t)=(a(1 −cos t, a sin t), que se anula en t= 0,2π, 4π.... Estos son los puntos de retroceso de nuestra curva. Consideremos ahora que la distancia OP no es igual a a, es decir el punto Pest´a fuera o dentro del c´ırculo generador. Denotemos a esa distancia por b. Figura 1.6: Obtenci´on de las ecuaciones param´etricas de una trocoide cicloidal Procediendo de la misma forma y teniendo en cuenta la Figura 1.6 tenemos AI =arco(LI) = at. En cambio en este caso las coordenadas del punto Pvienen dadas por (x(t), y(t)), donde x(t) = at −bsin t, y(t) = a−bcos t. (1.2) El vector velocidad de estas curvas es α0(t) = (a−bcos t, b sin t). Al contrario del primer caso, el vector velocidad no se anula en ning´un punto, algo que ya supon´ıamos pues las trocoides con a6=bno presentan “picos”. 1.4. Curvaturas, rectas tangentes y normales de las cicloides En primer lugar calculemos la curvatura haciendo uso de la definici´on. Recordando las ecuaciones param´etricas (1.2) definidas en el caso general en el que a6=b en el apartado anterior, calculemos las derivadas de primer y segundo orden de estas expresiones respecto a t:        x0(t) = a−bcos t, y0(t) = bsin t, x00(t) = bsin t, y00(t) = bcos t. (1.3) 13 14 Cap´ıtulo 1. Nociones generales sobre las curvas cicloidales Sustituyendo llegamos a k(t) = (a−bcos t)(bcos t)−(bsin t)(bsin t) (a−bcos t)2+ (asin t)2)3/2 y, operando, queda: k(t) = ab cos t−b2cos2t−b2sin2t (a2−2ab cos t+b2cos2t+b2sin2t)3/2=ab cos t−b2 (a2−2ab cos t+b2)3/2. Pasemos al an´alisis de la rectas tangente y normal de las curvas. Recordando la definici´on de tangente, sabemos que en cada punto donde α0(t)6= 0 existe una recta que est´a bien definida. Adem´as sabemos que la recta normal es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia. Consideremos la cicloide (a=b) de la Figura 1.7. Supongamos que el radio del c´ırculo, que pas´o en el instante inicial por el punto de retroceso M0de la cicloide, gir´o un ´angulo ϕy tom´o la posici´on OM. Dicho de otro modo, consideramos que el segmento M0Trepresenta la misma parte del segmento M0M1que el ´angulo ϕ representa de 360o. El vector OH muestra la velocidad con que se mueve el centro del c´ırculo que rueda. Todos los puntos del c´ırculo, incluido M, tienen la misma velocidad horizontal. Pero, adem´as, el punto Mtoma parte en la rotaci´on del c´ırculo. La velocidad MC que adquiere el punto Mde la circunferencia durante el movimiento de rotaci´on, est´a dirigida por la tangente MC1a dicha circunferencia, es decir, es perpendicular al radio OM. Se cumple que la velocidad MC es igual en valor absoluto a la velocidad MP, es decir, a la velocidad OM (v´ease p´ag. 7 de [1]). Por eso, en nuestro caso, el paralelogramo de velocidades ser´a un rombo (el rombo MCKP en la Figura 1.7). La diagonal MK de este rombo es precisamente la tangente de la cicloide. Figura 1.7: Tangente a la cicloide Ahora prestemos atenci´on a la normal a la curva. Si construimos la parte izquierda de la Figura 1.7 a mayor escala podemos trazar la normal ME (representada en la Figura 1.8), siendo esta perpendicular a MK. De forma similar se traza la recta tangente y normal en el caso en el que a6=b. 14 1.4. Curvaturas, rectas tangentes y normales de las cicloides 15 Figura 1.8: Normal a la cicloide Para obtener la forma anal´ıtica de las rectas descritas usamos las propias definiciones. Consideramos la parametrizaci´on (1.2) y tenemos que: x0(t) = a−bcos t, y0(t) = bsin t. (1.4) Por tanto, α0(t)=(a−bcos t, b sin t). De este modo la recta tangente que pasa por un punto α(t0) viene dada por: β(r) = α(t0) + rα0(t0)=(at0−bsin t0, a −bcos t0) + r(a−bcos t0, b sin t0). Reagrupando: β(r)=(at0−bsin t0+r(a−bcos t0), a −bcos t0+r(bsin t0). Por otro lado, la recta normal tiene como vector director un vector perpendicular aα0(t) = (a−bcos t, b sin t). Llamamos a este vector n(t). Para que ambos vectores sean perpendiculares su producto escalar debe ser cero. En general, existen dos vectores perpendiculares a α0(t), en nuestro caso nos quedamos con el que haga que la Referencia de Frenet sea directa n(t) = (−bsin t, a −bcos t). Haciendo uso de la Definici´on 1.1.7, β(r) = α(t0) + rn(t0)=(at0−bsin t0, a −bcos t0) + r(−bsin t0, a −bcos t0), o, lo que es lo mismo β(r)=(at0−bsin t0−rb sin t0, a −bcos t0+r(a−bcos t0)). 15 22 Cap´ıtulo 2. ´ Areas encerradas bajo las curvas cicloidales Esta notable propiedad geom´etrica viene de la relaci´on entre ´areas ilustrada en la Figura 2.1. El disco que rueda es tangente a la frontera superior e inferior del rect´angulo circunscrito en la cicloide en los correspondientes puntos de tangencia TyC. El di´ametro TC divide al c´ırculo rodante en dos semic´ırculos, uno de los cuales interseca con la cicloide en el punto Pcomo se indica. En la Figura 2.2, el segmento que une PyTcorta una porci´on PCT del disco generador a la que nosotros llamaremos cu˜na. Denominaremos a la regi´on PODT, encerrada por el arco cicloidal PO, el segmento OD,DT yTP,tapa cicloidal. La clave del Teorema 2.1.1 es la siguiente relaci´on: Lema 2.1.2. La tapa cicloidal PODT tiene el mismo ´area que la cu˜na PCT del c´ırculo que rueda. Figura 2.2: La tapa cicloidal PODT tiene la misma ´area que la cu˜na PCT. Deducimos el Lema 2.1.2 como una consecuencia del Teorema de Mamikon. Primero demostraremos que cada cuerda PT es tangente a la cicloide en el punto P. Esto probar´a que a medida que el disco rueda hacia la posici´on que se muestra en la Figura 2.3, el segmento tangente desde la cicloide hasta la frontera superior horizontal del rect´angulo, comenzando inicialmente en OD, barre la tapa cicloidal PODT. Figura 2.3: La tapa, el barrido de una tangente y su grupo de tangentes T0C0P0tienen igual ´area. Para ver que PT es tangente a la cicloide en P, observamos que el tri´angulo TPC est´a inscrito en el semic´ırculo con di´ametro TC y por tanto es un tri´angulo 22 2.1. ´ Area de un sector de cicloide 23 rect´angulo. Debido a que el disco rueda a lo largo de una linea sin resbalarse, su punto de contacto Cest´a instant´aneamente en reposo y el punto Pse somete a una rotaci´on instant´anea sobre Ccon PC el radio instant´aneo de rotaci´on. A esta propiedad se le llama Principio de Rotaci´on Instant´anea(lo denotaremos por P.R.I.), mostrado en la Figura 2.4 para un disco delimitado por una curva convexa cerrada que rueda sin deslizarse a lo largo de una curva plana Γ. Figura 2.4: Principio de Rotaci´on Instant´anea,Pse somete a rotaci´on instant´anea sobre C, as´ı PC es normal al camino de P. El segmento que une un punto arbitrario Pal disco en el punto de contacto Ccon Γ es normal al camino de P. Equivalentemente, una linea por Pperpendicular a PC (indicada en la Figura 2.4 con flechas) es tangente al camino de P. Este principio es f´acil de establecer para pol´ıgonos que ruedan sobre un v´ertice y se sostiene de manera m´as general para todas las curvas que son l´ımites del pol´ıgono. Aplicamos el P.R.I. al disco que genera la cicloide en la Figura 2.3. Debido a que el ´angulo TPC es un ´angulo recto, la cuerda PT es perpendicular a la normal PC y por lo tanto es tangente a la cicloide. As´ı, la tapa cicloidal es la regi´on que barren las tangentes. Para formar el grupo de tangentes correspondiente T0C0P0, trasladamos cada cuerda PT (paralela a si misma) moviendo todos los extremos T a un punto T0a la derecha de la Figura 2.3. Luego el otro extremo Pse mueve al punto P0, con P0T0de igual longitud y paralelo a PT. Es evidente que los segmentos P0T0son cuerdas de un disco circular congruente al disco que rueda. Por el Teorema de Mamikon, el ´area del barrido por las tangentes PODT es igual a la del grupo de tangentes P0C0T0. El grupo de tangentes es congruente a lo que llamamos cu˜na TCP del circulo que rueda en la Figura 2.2 y as´ı obtenemos el Lema 2.1.2 Durante este cap´ıtulo haremos uso de corchetes para designar ´areas de distintas regiones. As´ı, en la Figura 2.5 utilizamos las siguientes notaciones: [Sec] = ´area del sector cicloidal OPC en las Figura 2.5b [T] = ´area de la regi´on curvil´ınea OPC parecida a un colmillo por debajo de la cicloide y fuera del disco (en la Figura 2.5b se le llama ”tusk”). [W] = ´area de la cu˜na PCT del disco circular (sombreado de oscuro en la Figura 2.8a). [Seg] = ´area del segmento del disco cortado por PC (sombreado de oscuro en la 23 24 Cap´ıtulo 2. ´ Areas encerradas bajo las curvas cicloidales Figura 2.5a) [Tri] = ´area del tri´angulo rect´angulo TPC en la Figura 2.5b. [Rec] = ´area del rect´angulo ODTC Con esta notaci´on, el Teorema 2.1.1 nos dice que: [Sec] = 3[Seg] (2.1) (a) (b) Figura 2.5: (a) El rect´angulo ODT C es la uni´on de la tapa,la cu˜na y la regi´on OP C. (b) El sector cicloidal OPC es la uni´on de la regi´on y el segmento. 1 Demostraci´on del Teorema 2.1.1. Para empezar la prueba, en la Figura 2.5b podemos ver claramente que se cumple la siguiente igualdad: [Sec] = [Seg] + [T]. As´ı sustituyendo en (2.1) se tiene: [T] = 2[Seg].(2.2) De este modo, si probamos la igualdad (2.2), habremos demostrado el Teorema 2.1.1. En primer lugar de la Figura 2.5 encontramos que [T] = [Rec] −[W] −[PODT],(2.3) siendo [PODT] el ´area de la tapa cicloidal. Por el Lema 2.1.2 el ´area de PODT es igual al valor de [W]. Por tanto, [T] = [Rec] −2[W] = [Rec] −2[Seg] −2[Tri] (2.4) donde hemos usado la relaci´on: 24 2.2. Tapas y sectores epicicloidales e hipocicloidales 25 [W] = [Seg] + [Tri].(2.5) En la Figura 2.3, la longitud de OD es 2ryOC tiene longitud rθ coincidiendo con la del arco circular CP, por lo que [Rec] = (2r)(rθ)=2r2θ= [Rec] = 4 1 2r2θ.(2.6) Vemos en la Figura 2.3 que 1 2r2θes el ´area del sector central del disco subtendido por el ´angulo central θ. Esta ´area tambi´en se puede expresar como la suma de [Seg] + 1 2[Tri]. Adem´as, (2.6) implica que: [Rec] = 4 [Seg] + 1 2[Tri]= 4[Seg] + 2[Tri] (2.7) Si usamos la relaci´on (2.7) en la segunda igualdad de (2.4) obtenemos [T] = [Rec] −2[Seg] −2[Tri] = 4[Seg] + 2[Tri] −2[Seg] −2[Tri] = 2[Seg], lo que prueba el Teorema 2.1.1. As´ı el ´area de un sector cicloidal es 3 veces la del segmento del c´ırculo que rueda. El ´area del segmento viene dada por la f´ormula elemental [Seg] = r2 2(θ−sin θ),(2.8) obtenida restando el ´area de un tri´angulo is´osceles con base PC en la Figura 2.3 y el ´area de un sector circular con ´angulo central θ. 2.2. Tapas y sectores epicicloidales e hipocicloidales En esta secci´on adaptaremos los resultados previamente vistos para cicloides para las epicicloides y las hipocicloides. En este caso, lo que circunscribe las curvas no ser´a un rect´angulo, sino una circunferencia. Extenderemos el Teorema 2.1.1 para las curvas llamadas epicicloides e hipocicloides (Figura 2.6) reemplazando el factor 3 por una nueva constante independiente de la posici´on del disco generador. En lo que sigue tomaremos r≤R/2 para las hipocicloides. El resultado extendido es el siguiente: Teorema 2.2.1. Todo sector epicicloidal o hipocicloidal OPC tiene ´area w±veces la del segmento sobrepuesto en el disco que rueda cortado por la cuerda PC, con w+= 3 + 2r/R para la epicicloide, y w−= 3 −2r/R para la hipocicloide. 25 26 Cap´ıtulo 2. ´ Areas encerradas bajo las curvas cicloidales (a) (b) Figura 2.6: El sector OPC tiene ´area w±veces la del segmento circular sobrepuesto cortado por la cuerda PC Deduciremos el Teorema 2.2.1 bas´andonos en un lema, que ser´a extensi´on del Lema 2.1.2. En este caso (observar para la epicicloide en la Figura 2.7a) la relaci´on que verifican las ´areas es la siguiente: Lema 2.2.2. Toda tapa epicicloidal o hipoclicloidal tiene ´area k±veces la de la cu˜na PCT del disco, con k+= 1 + 2r/R para la epicicloide y k−= 1 −2r/R en caso de hipocicloides. Nota 2.2.1. Con la notaci´on anterior [C] = k±[W], siendo [C]el ´area de la tapa epicicloidal o hipocicloidal correspondiente. Demostraci´on del Lema 2.2.2. En primer lugar consideramos las epicicloides. La Figura 2.7a muestra un arco epicicloidal OP trazado por un punto Pen un disco de radio ra medida que rueda a lo largo de la circunferencia exterior fijo de radio R. La epicicloide se encuentra en el interior de la corona circular entre el c´ırculo fijo de radio Ry el c´ırculo conc´entrico de radio R+ 2r. Este anillo juega un papel similar al del rect´angulo circunscrito de la cicloide en la Figura 2.2. Ahora analizaremos la Figura 2.9. El punto P, inicialmente en O, traza la porci´on OP de la epicicloide. El punto de contacto de los dos c´ırculos, tambi´en inicialmente en O, se mueve a trav´es de un ´angulo ϕal punto Ccomo se muestra, trazando el arco circular OC de longitud Rϕ. El arco circular CP de radio rtiene longitud rθ, donde θes el ´angulo central en el disco generador. El c´ırculo rueda sin rozamiento por lo que las dos longitudes de arcos circulares son iguales: rθ =Rϕ. (2.9) Si trazamos una recta que una los dos centros de las circunferencias, esta interseca con el c´ırculo exterior en su punto de tangencia Tcon el disco rodante. El tri´angulo TPC est´a inscrito en un semic´ırculo de di´ametro CT, por lo tanto el ´angulo TPC se trata de un ´angulo recto. El punto Csirve como centro de la rotaci´on instant´anea del 26 2.2. Tapas y sectores epicicloidales e hipocicloidales 27 (a) (b) Figura 2.7: (a)El anillo ODCT es la uni´on de la tapa, la cu˜na y la regi´on T. (b)El sector epicicloidal OPC es la uni´on de al regi´on T y el segmento. c´ırculo que rueda, as´ı PC es normal y PT es tangente a la epicicloide. La tangente se mueve desde su posici´on inicial OD barriendo la tapa epicicloidal PODT(Figura 2.9), girando a trav´es de un ´angulo: α=β+ϕ. (2.10) Aqu´ı βes el ´angulo inscrito PTC subtendiendo el arco CP y es la mitad del ´angulo central θ(θ= 2β). De (2.9) tenemos ϕ=rθ/R = 2βr/R. As´ı, usando la igualdad (2.10) llegamos a α=β+2βr R=β1 + 2r R,(2.11) donde llam´abamos k+= 1 + 2r R. Se forma la desarrollable tangencial trasladando cada segmento PT, a su vez el punto Tse mueve a un punto fijo T0en la Figura 2.9. El grupo de tangentes es una porci´on de un sector circular porque la longitud de PT es igual a 2rcos β= 2rcos(α/k+). El ´area del sector es igual a la de la cu˜na circular en la Figura ?? multiplicada por el factor k+, porque el conjunto de las tangentes lo podemos ver formando una cu˜na circular en la Figura ?? rotando cada segmento P0T0sobre T0 para disminuir el ´angulo αhasta α/k+=β. Pero la cu˜na T0C0P0en la Figura ?? es congruente a la cu˜na TCP del disco que rueda en la Figura 2.9, as´ı esto prueba el Lema 2.2.2 para las epicicloides. La prueba es similar para las hipocicloides. En este caso la relaci´on de ´angulos que tenemos es α=β−ϕ(ver Figura 2.10). Considerando de nuevo θ= 2βy la igualdad (2.9) obtenemos k−= 1 −2r R. Demostraci´on del Teorema 2.2.1. Adaptamos la notaci´on de la Secci´on 2.1 para la Figura 2.7. Entonces el Teorema 2.2.1 enuncia lo siguiente: [Sec] = w+Seg].(2.12) 27 28 Cap´ıtulo 2. ´ Areas encerradas bajo las curvas cicloidales Figura 2.8: Prueba del Lema 2.2.2 para un sector epicicloidal(I). Pero, como vimos anteriormente [Sec] = [T]+[Seg]. Es f´acil ver que w+=k++2, por lo que (2.12) es equivalente a: [T] = (k++ 1) [Seg] (2.13) Para probar (2.13) nos fijamos en la Figura 2.7a y usamos el Lema 2.2.2 y la relaci´on (2.5) para conseguir: [T] = [A] −[C] −[W] = [A] −(k++ 1) ([Seg] + [Tri]) .(2.14) Aqu´ı [A] es el ´area de la porci´on ODTC del anillo anular entre los c´ırculos de radio RyR+ 2r. Por otro lado, [A] = (R+ 2r)2ϕ 2−R2ϕ 2 = 2ϕr (R+r) = 2r2θ1 + r R = [Rec](k++ 1) 2, utilizando (2.9) y (2.6), donde [Rec] = 2r2θes el ´area del rect´angulo OCTD en la Figura 2.2. De (2.6) tenemos que: [A] = (k++ 1) (2[Seg] + [Tri]) . 28 2.2. Tapas y sectores epicicloidales e hipocicloidales 29 Figura 2.9: Prueba del Lema 2.2.2 para un sector epicicloidal(II). Sustituyendo esto ´ultimo en la segunda de las igualdades de (2.14) obtenemos: [T] = (k++ 1) (2[Seg] + [Tri]) −(k++ 1) ([Seg] + [Tri]) = (k++ 1) [Seg]. Pero (2.13) era equivalente a (2.12) y, por consiguiente, esto prueba el Teorema 2.2.1 para las epicicloides. El mismo an´alisis basado en la Figura 2.10 funciona para hipocicloides con los factores k−= 1 −2r/R yw−= 2 + k−. 2.2.1. ´ Area de una tapa y un arco completo Cuando el disco Dque rueda hace una rotaci´on completa el sector cicloidal, epicicloidal o hipocicloidal ocupan una regi´on que denominamos arco completo. La correspondiente tapa cicloidal se llama tapa completa. Del Lema 2.2.2 y del Teorema 2.2.1 obtenemos el siguiente resultado: Corolario 2.2.1. Para toda epicicloide, el ´area de la tapa completa es k+[D]y el ´area del arco completo viene dada por w+[D]. Para una hipocicloide, las respectivas ´areas son k−[D]yw−[D]y en una cicloide son [D]y3[D], donde w±=k±+2 = 3±2r/R. La tabla nos da valores de r/R,k±yw±para varias curvas cl´asicas. La primera de las filas se corresponde con la cicloide, donde tomamos R−→ ∞ Curva r/R k+ok−w+ow− Cicloide 0 1 3 Cardioide 1 k+= 3 w+= 5 Nefroide 1/2 k+= 2 w+= 4 Deltoide 1/3 k−= 1/3w−= 7/3 Astroide 1/4 k−= 1/2w−= 5/2 29 30 Cap´ıtulo 2. ´ Areas encerradas bajo las curvas cicloidales Figura 2.10: Prueba del Lema 2.2.2 para un sector hipocicloidal Como w±=k±+ 2, el Corolario 2.2.1 nos lleva a otra propiedad com´un para todas estas curvas. Corolario 2.2.2. Para cualquier cicloide, epicicloide o hipocicloide, el ´area de un arco completo excede la de la tapa completa por dos veces el ´area del disco de rodadura. Otra propiedad interesante es heredada de la relaci´on w++w−= 6. Para toda epicicloide obtenida mediante un disco generador de radio rsobre una circunferencia fija de radio R, hay una hipocicloide correspondiente creada por un disco del mismo radio rrodando dentro del c´ırculo fijo ya mencionado. Estas dos curvas decimos que son complementarias. Cuando el disco del interior y del exterior giran con un mismo ´angulo θ, el Teorema 2.2.1 nos dice que la suma de las ´areas de los sectores complementarios en la Figura 2.6a es seis veces la del segmento circular sobrepuesto en el disco cortado por la cuerda PC, independientemente de R. Esto nos lleva a la siguiente propiedad acerca del ´area de arcos completos complementarios. Corolario 2.2.3. La suma de las ´areas de un arco completo de una epicicloide y su complementaria hipocicloide es seis veces el ´area del c´ırculo que rueda.Adem´as, su diferencia es (4r/R)[D]. 30 2.3. ´ Areas de conjuntos cicloidales radiales y de ordenadas 31 2.3. ´ Areas de conjuntos cicloidales radiales y de ordenadas El ´area de un conjunto radial epicicloidal (sombreado m´as oscuro en la Figura 2.11a) puede ser calculada mediante t´ecnicas comunes de integraci´on basadas en una ecuaci´on polar del punto m´ovil Pque implica el par´ametro θdel disco rodante. Los c´alculos son extensos y la f´ormula resultante es muy complicada. En esta secci´on mostraremos c´omo encontrar el ´area con una simple consecuencia del Teorema 2.2.1, evitando ecuaciones polares e integraci´on. (a) (b) (c) Figura 2.11: Determinaci´on geom´etrica del ´area de (a) un conjunto radial epicicloidal O0OP, (b) un conjunto de ordenadas epicicloidal O0OP X, y (c) un conjunto radial y ordenado hipocicloidal. Consideramos el conjunto radial epicicloidal O0OP en la Figura 2.11a. Su frontera viene dada por dos segmentos radiales O0O,O0Py el arco OP. Denotaremos esta ´area como [Rad]. Entonces tenemos [Rad] = [OPC]+[O0OC]−[O0PC],(2.15) donde [OPC] es el ´area del sector epicicloidal OPC, [O0OC] es el ´area del sector circular O0OC, y [O0PC] del tri´angulo O0PC. El Teorema 2.2.1 nos asegura que [OPC] = w+[Seg], donde w+= 3 + 2r/R) y [Seg] viene dado por (2.8). Tambi´en, como [O0OP] = ϕ 2R2y [O0PC] = 1 2Rrθ, (2.15) se puede reescribir como: [Rad] = R r+w+[Seg].(2.16) Una f´ormula correspondiente se mantiene para la hipocicloide, siendo: [Rad] = R r−w−[Seg]. Ambos resultados est´an contenidos en el siguiente teorema. 31 38 Cap´ıtulo 3. Aplicaciones Reagrupando t´erminos queda: [EpiSect] = [Rec] −[W] −[Tri] + 2r2ϕ−1 2Zt2dϕ. Por (3.3) y (3.5), [Rec] −[W] −[Tri] es igual a 3[Seg], donde [Seg] es el ´area del segmento circular cortado por la cuerda PC. En consecuencia, la ecuaci´on anterior la escribimos como: [EpiSect] = 3[Seg] + 2r2ϕ−1 2Zt2dϕ. (3.6) Los dos ´ultimos t´erminos en (3.6) son igual a 1 2Rn2dϕ, donde n2= (2r)2−t2.(3.7) El significado geom´etrico de n2es revelado por el tri´angulo rect´angulo TPC en la Figura 3.1, el cual tiene hipotenusa de longitud 2ry uno de los catetos t. Por el Teorema de Pit´agoras, n2es el cuadrado de la longitud de PC, la cual es normal a la epitrocoide. Por consiguiente (3.6) toma la forma: [EpiSect] = 3[Seg] + 1 2Zn2dϕ. (3.8) Por tanto, (3.5) y (3.6) nos permite probar el siguiente teorema: Teorema 3.1.1. (a) El ´area de una tapa epitrocoidal y el ´area de la porci´on TCP de la circunferencia que rueda est´an relacionadas por: [EpiCap] = [W] + 1 2Zt2dϕ. (3.9) (b) El ´area de un sector epitrocoidal y el ´area del segmento cortado por la cuerda PT en la circunferencia generadora est´an relacionadas por [EpiSect] = 3[Seg] + 1 2Zn2dϕ. (3.10) N´otese que una tapa epitrocoidal es barrida por las tangentes a una epitrocoide, y un sector epitrocoidal es barrido por los segmentos normales a una epitrocoide.El uso de tangentes y normales para tratar las ´areas cicloidales y epitrocoidales es m´as natural que el uso coordenadas rectangulares. Aplicando el Teorema 3.1.1 a una tapa completa y a un arco completo encontramos: Corolario 3.1.1. El ´area [FullEpiCap]de una tapa epitrocoidal completa vale: [FullEpiCap] = [D] + 1 2Zϕ0 0 t2dϕ, (3.11) y el ´area [FullEpiArch]de un arco epitrocoidal completo vale: [FullEpiArch] = 3[D] + 1 2Zϕ0 0 n2dϕ. (3.12) La suma vale: [FullEpiCap]+[FullEpiArch] = 4[D]+2r2ϕ0.(3.13) 38 3.1. ´ Area de una tapa y un sector trocoidal 39 La suma de integrales en (3.11) y (3.12) se simplifica debido a (3.7). La suma a la derecha de (3.13) es el ´area del trapezoide curvil´ıneo que circunscribe el arco epitrocoidal completo en la Figura ??. 3.1.1. Correspondientes resultados para hipotrocoides El an´alisis para hipotrocoides es completamente an´alogo al de las epitrocoides. En este caso cuando la circunferencia rueda internamente sobre la curva Γ, la relaci´on α=β+ϕse reemplaza por α=β−ϕ. El argumento para probar el Teorema 3.1.1 ahora nos permite probar: Teorema 3.1.2. (a) El ´area de una tapa hipotrocoidal y el ´area de la porci´on TCP de la circunferencia que rueda est´an relacionadas por: [HypoCap] = [W]−1 2Zt2dϕ. (3.14) (b) El ´area de un sector hipotrocoidal y el ´area del segmento cortado por la cuerda PT en la circunferencia generadora est´an relacionadas por: [HypoSect] = 3[Seg]−1 2Zn2dϕ. (3.15) Los resultados correspondientes para una tapa hipocicloidal completa y un arco completo vienen recogidos en el siguiente: Corolario 3.1.2. El ´area [FullHypoCap]de una tapa hipotrocoidal completa vale: [FullHypoCap] = [D]−1 2Zϕ0 0 t2dϕ, (3.16) y el ´area [FullEpiArch]de un arco epitrocoidal completo vale: [FullHypoArch] = 3[D]−1 2Zϕ0 0 n2dϕ. (3.17) La suma vale: [FullHypoCap]+[FullHypoArch] = 4[D]−2r2ϕ0.(3.18) Obs´ervese en las expresiones (3.9) a la (3.18), el ´area de un objeto epitrocoidal o hipotrocoidal viene expresado en t´erminos del ´area del correspondiente objeto cicloidal, m´as un t´ermino de correcci´on debido a la curvatura de Γ. Relaciones de ´areas independientes de Γ Cuando una circunferencia de radio dado gira en lados opuestos de una curva Γ a trav´es del mismo ´angulo, las correspondientes porciones de arcos epitrocoidal e hipotrocoidal se llaman complementarias. Sumando los resultados de los Teoremas 3.1.1 y 3.1.2 encontramos que los t´erminos de correcci´on debido a la curvatura de la curva se cancelan y obtenemos la siguiente consecuencia: 39 40 Cap´ıtulo 3. Aplicaciones Teorema 3.1.3. (a) La suma de las ´areas de una tapa epitrocoidal y su complementaria tapa hipotrocoidal no depende de la curva Γy es dos veces el ´area de la correspondiente tapa cicloidal, esto es: [EpiCap]+[HypoCap] = 2[CycloCap].(3.19) (b) La suma de las ´areas de un sector epitrocoidal y su complementario sector hipotrocoidal no depende de la curva Γy es dos veces el ´area del correspondiente sector cicloidal, esto es: [EpiSector]+[HypoSector] = 2[CycloSector].(3.20) Demostraci´on del Teorema 3.1.3. Para obtener (3.19), sumamos (3.9) y (3.14), [EpiCap] + [HypoCap] = [W] + 1 2Zt2dϕ + [W]−1 2Zt2dϕ y, usamos el Lema 2.1.2 adaptado para este caso, de forma que [W] = [CycloCap]. Para llegar a la igualdad (3.20), sumamos las expresiones (3.10) y (3.15) [EpiSect] + [HypoSect] = 3[Seg] + 1 2Zn2dϕ + 3[Seg] −1 2Zn2dϕ. y hacemos uso del Teorema 2.1.1, de forma que 3[Seg] = [CycloSector]. En particular, para arcos completos tenemos: Corolario 3.1.3. La suma de las ´areas de una tapa epitrocoidal completa y su complementaria tapa hipotrocoidal es igual a dos veces el ´area de la circunferencia que rueda: [FullEpiCap]+[FullHypoCap] = 2[D].(3.21) Corolario 3.1.4. El ´area de un arco completo epitrocoidal y su complementario arco hipotrocoidal es seis veces el ´area de la circunferencia: [FullEpiArch]+[FullHypoArch] = 6[D].(3.22) Caso especial: Curva base centralmente sim´etrica Γ Un caso especialmente importante se observa en la Figura 3.2, cuando la curva base Γ se compone de dos semic´ırculos con punto de contacto en uno de los puntos de la simetr´ıa central para Γ. En este ejemplo, la epitrocoide es la mitad de una cardioide. Aqu´ı la circunferencia Dde radio ry ´area [D] = πr2gira a lo largo de una curva Γ compuesta por dos arcos semicirculares de radios r. El ´area del arco trocoidal es 3[D], porque consiste en la mitad superior de la regi´on cardioide, lo cual ya sab´ıamos por la Tabla 2.2.1. El siguiente resultado general para curvas bases centralmente sim´etricas es una consecuencia directa de los Corolarios 3.1.3 y 3.1.4. Corolario 3.1.5. Para una curva base Γsim´etrica respecto del origen, el ´area de una tapa epitrocoidal completa es [D], y el ´area de un arco epitrocoidal completo es 3[D], al igual que para una cicloide. 40 3.1. ´ Area de una tapa y un sector trocoidal 41 Figura 3.2: Epitrocoide usada para formar la mitad de un cardioide. F´ormula de ´areas en t´erminos de la descripci´on intrinseca de Γ Las f´ormulas de ´areas para un arco trocoidal completo tambi´en pueden ser expresadas de una forma alternativa. Recordemos que tenemos que t2= (2r)2cos2β= 2r2(1 + cos θ) y n2= (2r)2sin2β= 2r2(1 −cos θ). Por tanto las integrales en (3.11) y (3.12) pasan a ser: 1 2Zϕ0 0 t2dϕ =r2ϕ0+r2I(ϕ0), y 1 2Zϕ0 0 n2dϕ =r2ϕ0−r2I(ϕ0),(3.23) donde I(ϕ0) = Zϕ0 0 cos θ dϕ. (3.24) donde el par´ametro θdepende de ϕ. En (3.24) expresamos ambos ´angulos ϕyθcomo funci´on de la longitud de arco ude OC en la curva mostrada en la Figura 3.1. La longitud del arco OC en Γ es igual a rθ, la longitud de l arco circular PC en el c´ırculo que gira. Por tanto u=rθ, oθ=u/r. Por otro lado, no podemos expresar ϕen t´erminos de uhasta conocer Γ, pero podemos indicar la relaci´on como ϕ=ϕ(u), la cual nos da una descripci´on intr´ınseca de Γ. Observemos que ϕ(u) = ϕ0cuando u= 2πr. Integrando por partes en (3.24) tenemos: Zϕ0 0 cos θ dϕ =ϕ0+Z2πr 0 ϕ(u) sin u rdu r. Usando esto en la segunda de las integrales en (3.23), el t´ermino r2ϕ0se cancela y conseguimos: 1 2Zϕ0 0 n2dϕ =−rZ2πr 0 ϕ(u) sin u rdu. 41 42 Cap´ıtulo 3. Aplicaciones Por el contrario, para la primera integral en (3.23) los t´erminos r2ϕ0no se cancelan obteniendo lo siguiente: 1 2Zϕ0 0 t2dϕ = 2r2ϕ0+rZ2πr 0 ϕ(u) sin u rdu. Como consecuencia de las f´ormulas en los Corolarios 3.1.1 y 3.1.2 tenemos siguiente teorema. Teorema 3.1.4. Si ϕ(u)es la descripci´on intr´ınseca de Γ, se verifica: [FullEpiCap] = [D]+2r2ϕ0+rZ2πr 0 ϕ(u) sin u rdu; (3.25) [FullEpiArch] = 3[D]−rZ2πr 0 ϕ(u) sin u rdu; (3.26) [FullHypoCap]=[D]−2r2ϕ0−rZ2πr 0 ϕ(u) sin u rdu; (3.27) [FullHypoArch] = 3[D] + rZ2πr 0 ϕ(u) sin u rdu. (3.28) Caso especial: Curva base circular Γ Para este caso especial, el Teorema 2.2.1 se deduce del Teorema 3.1.1(b). Para una epicicloide, Γ es un c´ırculo de radio Ry la longitud de arco es u=Rϕ =rθ, as´ı ϕ=rθ/R ydϕ = (r/R)dθ. Para deducir el Teorema 2.2.1 calculamos la integral Rn2dϕ en (3.10) considerando que: n2= (2r)2sin2β= 2r2(1 −cos 2β) = 2r2(1 −cos θ). Por consiguiente, 1 2Zn2dϕ =r2Z(1 −cos θ)r Rdθ =2r R r2 2(θ−sin θ) = 2r R[Seg], donde hemos usado (2.8) para [Seg] en la Figura 2.5b. As´ı (3.10) nos da [TroSect] = 3 + 2r R[Seg] = w+[Seg], de acuerdo con el Teorema 2.2.1. El resultado para una hipocicloide se obtiene fij´andose que dϕ/dθ es negativo, por lo que dϕ =−(r/R)dθ. De manera similar, el Lema 2.2.2 se deduce del Teorema 3.1.1(a). 3.2. Aplicaciones a Curvas Conocidas En esta secci´on aplicamos el resultado que nos proporciona el Teorema 3.1.4 a algunas curvas famosas que no han sido previamente usadas como curvas bases para generar trocoides. 42 3.2. Aplicaciones a Curvas Conocidas 43 Espiral de Corn´u como curva base Γ Esta curva, tambi´en llamada Clotoide, fue tratada por Euler en 1781 en un estudio de un resorte el´astico. Tambi´en est´a involucrada en problemas sobre la difracci´on de la luz. Para nuestro objetivo, definimos la curva base Γ por la ecuaci´on intr´ınseca ϕ(u) = cu2, donde ces una constante positiva. Si una circunferencia de radio de r rueda a lo largo de Γ, empezando el punto donde ϕ=u= 0 y haciendo una vuelta completa, la integral (3.26) con ϕ(u) = cu2es igual a Z2πr 0 ϕ(u) sin u rdu =cZ2πr 0 u2sin u rdu. (3.29) Teniendo en cuenta que u=rθ, y por tanto, du =rdθ tenemos cZ2πr 0 u2sin u rdu =cr3Z2π 0 θ2sin θ dθ. (3.30) Si integramos dos veces por partes en (3.30) obtenemos: cr3Z2π 0 θ2sin θ dθ =cr3−θ2cos θ+ 2 (θsin θ+ cos θ)|2π 0=−4π2cr3.(3.31) Este ´ultimo resultado podemos expresarlo como −4πrc[D], donde [D] = πr2es el ´area de la circunferencia que rueda. Usando lo obtenido en la expresi´on(3.26) llegamos a [FullEpiArch] = 3[D] −r(−4πrc[D]) = 3[D] + 4πr2c[D] = 3[D] + 4c[D]2.(3.32) El segundo t´ermino puede ser reescrito en t´erminos del par´ametro a, que localiza los polos de la espiral en (±a, ∓a). Se sabe, por propiedad de la espiral de Corn´u, que a2c=π/8, as´ı la f´ormula del ´area de un arco epitrocoidal entero la escribimos como sigue: [FullEpiArch] = 3 + 1 2 π a2[D][D] = 3 + 1 2πr a2[D]. La f´ormula que se corresponde con el arco hipotrocoidal es: [FullHypoArch] = 3−1 2πr a2[D]. Si tomamos una circunferencia cuyo radio sea r=a/π, siendo ael par´ametro de la espiral anteriormente mencionado, el ´area del arco epitrocoidal completo es de 31 2[D] para el ´area del arco de la derecha, y 21 2[D] para el que est´a a la izquierda. 43 44 Cap´ıtulo 3. Aplicaciones Espiral logar´ıtmica como curva base Γ En este ejemplo, la longitud de arco de Γ viene dada por u=L(eaϕ −1). Por consiguiente ϕ(u) = (1/a) log (1 + u/L) y la integral (3.26) del Teorema para este caso es la siguiente Z2πr 0 ϕ(u) sin u rdu =1 aZ2πr 0 log 1 + u Lsin u rdu. (3.33) Al igual que en el ejemplo anterior, efectuamos el cambio de variable dado por u=rθ. As´ı conseguimos la integral: 1 aZ2πr 0 log 1 + u Lsin u rdu =1 aZ2π 0 log 1 + rθ Lsin θ dθ. (3.34) La integral que multiplica a 1/a puede ser expresada en t´erminos de las funciones transcendentales Ci(x) y Si(x), definidas por las integrales Ci(x) = γ+ log x+Zx 0 cos θ−1 θdθ ySi(x) = Zx 0 sin θ θdθ, donde γes la constante de Euler. Reescribiendo (3.34) usando las funciones Ci(x) y Si(x) queda: 1 acos L rCiL r+ 2π−CiL r+ sin L rSiL r+ 2π−SiL r −log 1 + 2πr L. Cuando L= 2πr la cantidad anterior se simplifica a Ci(4π)−Ci(2π)−log 2 = Z4π 2π cos θ−1 θdθ. En este caso, [FullEpiArch] = 3,8[D] y [FullHypoArch] = 2,2[D] para las ´areas de los dos arcos a la izquierda. Unos c´alculos similares nos dan como resultado [FullEpiArch] = 3,2[D] y [FullHypoArch] = 2,8[D] para los arcos que se crean a la derecha al girar la circunferencia. Tractriz y catenaria como curva base Γ En primer lugar tomemos la tractriz como curva base. As´ı, tenemos que u= −klog cos ϕ, por lo que ϕ(u) = exp(−arc cos(u/k)) y la integral (3.26) toma la forma: Z2πr 0 ϕ(u) sin u rdu =Z2πr 0 exp(−arc cos u k) sin u rdu =rZ2π 0 exp(−arc cos rθ k) sin θ dθ. 44 3.2. Aplicaciones a Curvas Conocidas 45 Cuando r=k, el ´area de un arco epitrocoidal es 3,27[D] y la de el arco hipotrocoidal es de 2,73[D], donde [D] es el ´area de la circunferencia generadora. Por otro lado, para la catenaria como base tenemos u=ktan ϕ, despejando ϕ tenemos ϕ(u) = arctan(u/k) y la integral correspondiente viene dada por: Z2πr 0 ϕ(u) sin u rdu =Z2πr 0 arctan u ksin u rdu =rZ2π 0 arctan rθ ksin θ dθ. En el caso de r=k, el ´area de uno de los arcos epitrocoidales es 3,34[D], y la del arco hipotrocoidal es 2,66[D]. Cicloide como curva base Γ En este caso tomamos la cicloide como curva base, generada por una circunferencia de radio Ra lo largo de una recta horizontal. Distingamos dos ejemplos: (a) Una circunferencia de radio rrueda a lo largo de una cicloide desde el punto m´as alto, de modo que u= 4Rsin ϕ. Los radios ryRest´an relacionados por 2πr = 4R. La integral que aparece en (3.26) es Z2πr 0 ϕ(u) sin u rdu =Z2πr 0 arcsin u 4Rsin u rdu =rZ2π 0 arcsin θ 2πsin θ dθ. Esto nos da los valores 3,4[D] para el arco epitrocoidal y 2,6[D] para el arco hipotrocoidal. (b) Para este ejemplo se cumple que uverifica u= 4R(1 −cos ϕ), y una circunferencia de radio rcon 2πr = 8Rrueda a lo largo de la cicloide desde un extremo a otro. La respectiva integral en (3.26) es de la forma: Z2πr 0 arc cos 1−u 4Rsin u rdu =rZ2π 0 arc cos 1−θ πsin θ dθ. Los resultados son 3,7[D] para la epitrocoide y 2,3[D] es el ´area del arco de la hipotrocoide. Evolvente de un c´ırculo como curva base Γ En este caso hacemos girar una circunferencia de radio r=a/2 a lo largo de la evolvente de un c´ırculo de radio a. Tenemos que u=rϕ2(ver Secci´on 11.11 de [2]), por tanto ϕ(u) = pu/r y la integral en 3.26 adopta la forma Z2πr 0ru rsin u rdu =rZ2πr 0 √θsin θ dθ. Esto nos da 3,6[D] y 2,4[D] para las ´areas de los correspondientes arcos. 45 46 Aplicaciones Espiral hiperb´olica como curva base Γ Si tenemos una circunferencia de radio r=a/(6π) y lo hacemos rodar a lo largo de una curva Γ con longitud de arco dada por la funci´on u(ϕ) = aϕ/(ϕ+ 2π). Entonces u(ϕ)−→ acuando ϕ−→ ∞. Para esta elecci´on de ϕ(u) el valor de la integral en 3.26 es muy cercano a −πr2, y esto hace que obtengamos valores muy cercanos a 4[D] y 2[D] para las ´areas de los arcos correspondientes. 46 Anexo Maple 6 En este apartado voy a exponer los c´odigos implementados en el programa Maple 6 para obtener algunas de las figuras que se han mostrado a lo largo del trabajo. En primer lugar, hemos definido las ecuaciones param´etricas de la epicicloide en funci´on de los radios ryR. Parametrizamos tambi´en la circunferencia fija que funciona como curva base. En funci´on de dichos radios, hemos obtenido las siguientes epicicloides, correspondiendo estas a las Figuras 1.9 y 1.10.